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Modelação, Identificação e Controlo Digital 7-Controlo Adaptativo

J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sistemas e Controlo

1

7. Controlo Adaptativo

Objectivo: Mostrar como é possível integrar os blocos anteriormente

estudados de identificação de sistemas e projecto de controladores

para obter controladores adaptativos.



2

Motivação para o Controlo Adaptativo

Há situações em que a dinâmica do sistema a controlar se pode alterar ao longo do

tempo.

Isto pode ser devido, por exemplo, à existência de não linearidades nos actuadores ou

no próprio sistema. Neste caso, a dinâmica linearizada vai variar com o ponto de

trabalho (por exemplo com a velocidade de equilíbrio).

Pode ainda acontecer que a dinâmica varie devido a factores como o envelhecimento

ou alterações do ambiente.

Nesta situação, a afinação do controlador adequada a um ponto de trabalho pode não

o ser para outro.



3

Um exemplo

R yuK(1+ )+

-

e 1Ti s f(.) G(s)

Controlador PI Actuador Sistema

� � �� = � � � ��

� �=

+�

� � � = �� = �

Nestas circunstâncias, a resposta do sistema controlado depende do ponto de

funcionamento. Um controlador bem afinado para um ponto de funcionamento

pode não estar bem afinado para outro.



4

As figuras seguintes mostram a resposta a um escalão na referência de

amplitude 0.1, para diversos pontos de funcionamento, com um PI sintonizado

em torno de r=0.2.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1002.9

2.95

3

3.05

3.1

3.15

3.2

3.25

3.3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1004.9

4.95

5

5.05

5.1

5.15

5.2

5.25

5.3



5

Exemplo de variação da dinâmica num avião

Num avião a dinâmica linearizada altera-se com as condições de voo. A figura

mostra a dependência dos valores próprios do sistema com a velocidade de

equilíbrio

Extraída de Neves da Silva, R. (1994). Controlo de Aeronave não tripulada usando técnicas LQG/LTR de ganho variável Tese de Mestrado, IST -

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores.



6

Devido à variação da dinâmica com as condições de voo, utilizando um

controlador de ganhos fixos, pode ter-se um bom comportamento numa gama

de funcionamento e um mau funcionamento noutras zonas.

Exemplo do controlo do ângulo de pitch com um controlador fixo quando a

velocidade aumenta progressivamente:

.Extraído de Rato, L. M. (1994). Técnicas de Controlo Adaptativo aplicadas a uma aeronave não tripulada Tese de Mestrado, IST - Departamento de

Engenharia Electrotécnica e de Computadores



7

Uma possibilidade consiste em adaptar os ganhos para compensar alterações

da dinâmica devidas a variações da velocidade.

Para tal, podem usar-se várias estruturas. Uma possibilidade é:

Adaptador

Controladoru

y

Ajuste dosganhos do controlador



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O bloco Adaptador por ser obtido de vários modos:

• Tabela que altera os ganhos do controlador de um modo fixo, para cada

valor de velocidade. Esta técnica denomina-se gain-scheduling.

• Identificação da dinâmica com o método dos mínimos quadrados,

refazendo-se o cálculo dos ganhos repetidamente, em tempo real. Esta

técnica denomina-se Controlo Adaptativo.



9

"Gain-scheduling"

x

x

x

+

ControladorV baixo

ControladorV médio

ControladorV alto

u

V

V

V

φ(V)

φ(V)

φ(V)

u

O valor da variável manipulada em

cada instante resulta resulta da

combinação linear das variáveis

calculadas pelos vários

controladores.

Por exemplo, a velocidades baixas, o

controlador respectivo é multiplicado

por um peso próximo de 1 enquanto

o controlador de velocidades altas é

multiplicado por zero.



10

Controlo Adaptativo vs. "Gain Scheduling"

A solução do controlo de sistemas variáveis no tempo por "gain scheduling" é

útil em muitas situações mas levanta problemas quando:

• Não é possível conhecer a priori qual o controlador a utilizar numa dada

situação;

• É necessário recorrer a um número muito elevado de controladores.

Uma possibilidade, que se estuda neste curso é o Controlo adaptativo.



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Controlo Adaptativo

Numa das famílias de Controlo Adaptativo, o Adaptador é constituído por dois

blocos:

• Identificador, que estima continuamente os parâmetros (e. g. a posição

dos pólos, dos zeros e o ganho) de um modelo, a partir dos dados de

entrada e saída medidos.

• Projecto do Controlador, que recalcula continuamente os ganhos do

controlador tendo em conta as novas estimativas do modelo.

Deste modo, quando a dinâmica do sistema se altera, o identificador dá conta

desse facto e os ganhos do controlador são alterados para fazer face à nova

situação.



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No caso do exemplo do controlo do ângulo de pitch, é possível, recorrendo ao

Controlo Adaptativo, obter uma resposta com características razoavelmente

constantes quando a velocidade varia de 10 a 40 m/s:

Extraído de Rato, L. M. (1994). Técnicas de Controlo Adaptativo aplicadas a uma aeronave não tripulada Tese de Mestrado, IST - Departamento de

Engenharia Electrotécnica e de Computadores



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Isto é possível graças ao ajuste dos ganhos do controlador efectuado pelo

adaptador:

Extraído de Rato, L. M. (1994). Técnicas de Controlo Adaptativo aplicadas a uma aeronave não tripulada Tese de Mestrado, IST - Departamento de

Engenharia Electrotécnica e de Computadores.

O adaptador actualiza constantemente o modelo melhor ajustado aos dados e

recalcula os ganhos do controlador de acordo com esta estimativa do modelo.



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Estimador de Mínimos Quadrados Recursivo

RLS – Recusrsive Least Squares

Objectivo: Obter estimativas de mínimos quadrados combinando uma

estimativa anterior com novos dados, aproveitando cálculos já efectuados

anteriormente.

RLS

Novos dados

� � � � �ϕ − �

Estimativa anterior θ � � − � e

variáveis auxiliares � �− �

Nova estimativa θ � � e

variáveis auxiliares � �



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Estimador não recursivo dadas observações:

( )�� θ �= ′ ′−Φ Φ Φ�

Pode ser escrita como (mostre!):

�� θ ϕ � � ��

= −−

=�Λ �

�

�

em que a matriz de informação é dada por

Λ� � � � � � � ��

= − ′ −=�ϕ ϕ� ��



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Matriz de informação verifica

Λ Λ� � � � � � � � = − + − ′ −� � �ϕ ϕ (1)

Tem-se ainda

�� θ ϕ � � ��

= −−

=�Λ �

�

� (2) e Λ� � ��

θ ϕ= −=� ��

(3)

Pretende-se escrever �� θ em função de �� θ −� , de Λ� � , de � � � e de ϕ� � −�

Sugestão: Isolar o último termo do somatório em (2).

Escrever (3) para −� ;

Usar (1);



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�� θ ϕ � � ��

= −−

=�Λ �

�

�

�� θ ϕ ϕ � � � � �

= − + −�

��

�

��

−

=

−

�Λ �

�

�

� �

Λ� � ��

− − = −=

−

��

�

θ ϕ

[ ]�� θ θ ϕ � = − − + −−Λ Λ� � � �



18

[ ]�� θ θ ϕ � = − − + −−Λ Λ� � � �

Λ Λ� � � � � � � � − = − − ′ −� � �ϕ ϕ

Assim:

[ ]�� θ θ ϕ ϕ θ ϕ � = − − − ′ − − + −−Λ Λ� � � � � �

[ ]�� θ θ ϕ ϕ θ � = − + − − ′ − −−� � � ��Λ



19

As equações do estimador recursivo são:

[ ]�� θ θ ϕ ϕ θ � = − + − − ′ − −−� � � ��Λ

Λ Λ� � � � � � � � = − + − ′ −� � �ϕ ϕ

É necessário inverter uma matriz em cada iteração !

Diferença entre o que esperamos que seja y(t)

dada a estimativa e o que observamos

Nova

estimativa Estimativa

anterior Ganho

vectorial



20

Será que podemos alterar o algoritmo para evitar inversão de matrizes?

[ ]�� θ θ ϕ ϕ θ � = − + − − ′ − −−� � � ��Λ

Λ Λ� � � � � � � � = − + − ′ −� � �ϕ ϕ

Se trabalharmos com a matriz de covariância as equações ficam:

[ ]�� θ θ ϕ ϕ θ � = − + − − ′ − −� � � �

[ ] � � � � � � � �= − + − ′ − −Λ � � ��ϕ ϕ



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Lema de inversão de matrizes

[ ] [ ]� �� + = − +− − − − − − −� � � � ��

�

Aplique-se este lema a

[ ] � � � � � � � �= − + − ′ − −Λ � � ��ϕ ϕ

com

� − −= − = −� � � �Λ � � � � , = −ϕ � �� , � = � , � = ′ −ϕ � ��

Obtém-se:

[ ] � � � � � � � � � � � � � � � �= − − − − ′ − − + ′ − −−� � � � � � � �

�ϕ ϕ ϕ

Escalar



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Algoritmo de Mínimos Quadrados Recursivo (RLS)

Modelo:

� � �� = ′ − +ϕ θ�

Estimador:

[ ]�� θ θ θ ϕ � � = − + − − −� � �

� � � � � � �= −ϕ � ("Ganho de Kalman")

� � � �

� � � � � � � �

� � � � � �= − − − − ′ − −

+ ′ − − −�

� � � �

� � � �

ϕ ϕϕ ϕ "Equação de Riccati"



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Alternativamente, o ganho de Kalman e a equação de Riccati podem ser

escritos como (demonstre!):

�

� �

� � � �

� � � � � �= − −

+ ′ − − −� �

� � � �

ϕϕ ϕ

[ ] � � � � � � � � � �= − ′ − −ϕ � �

Esta forma é vantajosa porque permite adaptar a estimativa dos parâmetros

antes de adaptar a estimativa da matriz de covariância.



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Exemplo: Estimação recursiva de um parâmetro

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Ganho fixo=0.03

Ganho fixo=0.5

Ganho de Kalman

� � �

�

� � � � � �= − +=

ϕ θθ

�

Ganho do estimador:

Alto leva a convergência rápida mas a

grande variância das estimativas em

regime estacionário.

Baixo leva a convergência lenta.

O ganho de Kalman é alto no início e

baixo no fim, variando no tempo.



25

Programa MATLAB usado no exemplo thrls=0;

thsm=0;

thbig=0;

p=10;

theta0=2;

tfinal=200;

for t=1:tfinal

pp(t)=p;

fi=1+0.1*rand;

y=theta0*fi+0.2*randn;

p=p-p*fi*fi*p/(1+fi*p*fi);

kalm=p*fi;

thrls=thrls+kalm*(y-thrls*fi);

thsm=thsm+0.03*(y-thsm*fi);

thbig=thbig+0.5*(y-thbig*fi);

sth(t,1)=thrls;

sth(t,2)=thsm;

sth(t,3)=thbig;

end;

axis([0 tfinal 0 5])

hold on

plot(sth)

hold off



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Este exemplo ilustra a convergência dos mínimos quadrados recursivos.

Inicialmente, como a nossa incerteza sobre o valor verdadeiro do parâmetro a

estimar é grande, escolhemos um valor elevado para a covariância.

Neste caso, = �� . O ganho de Kalman é elevado inicialmente pelo que a

convergência é rápida.

Há medida que o tempo passa e vamos

recebendo dados, diminui e o

ganho de Kalman também. Isto leva à

convergência da estimativa pois o termo

de correcção fica progressivamente menor. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10-3

10-2

10-1

100

101



27

O estimador pode ser encarado

como um mecanismo que reduz

a nossa incerteza sobre o

valor verdadeiro do parâmetro

através das observações.

A incerteza é medida por uma

função densidade de probabilidade

do erro na estimativa. Neste

exemplo esta incerteza é gaussiana

e com variância proporcional a . 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

1

2

3

4

5

6

Parameter probability densitygiven 200 observations

Initial parameter probabilitydensity function



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Um exemplo com parâmetros não identificáveis

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Aumentando o número de observações, reduz-se a incerteza da soma mas

mantém-se a incerteza na direcção perpendicular (assume-se � constante).

� � � � � � � � � �� = − + − +� ��

Apenas a soma pode ser estimada

Densidade de

probabilidade

dos parâmetros

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