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VII Jornada de Algebra - UFSM

Caderno de Resumos

VII Jornada de Algebra - UFSM II

Bem-vindo

E um prazer receber voce em Santa Maria para a VII Jornada de Algebra. Esperamos queaproveitem o estimulante ambiente cientıfico deste encontro, restabeleca contatos com amigos

e colaboradores, enquanto tem uma agradavel estada aqui. Se encontrar quaisquerdificuldades durante a sua estadia, sinta-se a vontade para contatar qualquer um de nos do

Comite Organizador.

Comite Organizador

E-mail: [email protected] Alves Sant’ana, UFRGS

Daiana Aparecida da Silva Flores, UFSMDaiane Silva de Freitas, FURG

Dirceu Bagio, UFSMEliezer Batista, UFSC

Gustavo Grings Machado, UFSMJoao Roberto Lazzarin, UFSMMarcelo Muniz Alves, UFPR

Marcelo Escudeiro Hernandes, UEMSaradia Sturza Della Flora, UFSM

Vırginia Silva Rodrigues, UFSC

Comite Cientıfico

Miguel Ferrero, UFRGSAntonio Paques, UFRGSCesar Polcino Milies, USP

Ivan Shestakov, USPWalter Ferrer Santos, Udelar

Endereco do hotel do evento

Centro de Eventos Cerrito BR158, km326, no 2725 - Bairro Nossa Senhora de Lourdes - SantaMaria - RS - Brasil Telefone: +55 (55) 2101 - 1919

VII Jornada de Algebra - UFSM III

Patrocinadores

A VII Jornada de Algebra deseja agradecer as seguintes entidades pelo patrocınio eapoio deste evento:

UFSMUniversidade Federal de Santa Mariawww.ufsm.br

CCNECentro de Ciencias Naturais e Exataswww.ufsm.br/ccne

PPGMATPrograma de Pos-Graduacao em Matematica da UFSMwww.ufsm.br/ppgmat

CAPESCoordenacao de Aperfeicoamento Pessoal de Nıvel Superiorwww.capes.br

DEPMATDepartamento de Matematica da UFSMwww.ufsm.br/depmat

VII Jornada de Algebra - UFSM IV

30/Jul'('5ª 31/Jul'('6ª 1º/Ago'('Sáb7:30(9:30 Café'da'Manhã Café'da'Manhã Café'da'Manhã8:30(9:00 Cred/Abert9:00(10:00 MC'('Gastón'García MC'('Gastón'García Ednei'Santulo10:00(10:30 Gustavo'Machado Daniel'Rios Fábio'Matos10:30(10:45 Coffe'break Coffe'break Coffe'break10:45(11:15 Bárbara'Pogorelsky Ricardo'Santos11:15(12:15 Leandro'Vendramin Marcelo'Muniz12:15(13:45 ALMOÇO ALMOÇO ALMOÇO13:45(14:15 Dirceu'Bagio Geovani'Raulino14:15(14:45 Ronie'Dario Glauber'Quadros14:45(15:45 MC'('Gastón'García Vitor'Ferreira15:45(16:00 Coffe'break Coffe'break16:00(16:30 Danielle'Azevedo16:30(17:00 Grasiela'Martini17:00(17:40 Eliezer'Batista

Pôster

19:30(21:00 Jantar

Felipe'Castro

Pôster

Excursão

Programação'('VII'Jornada'de'Álgebra'2015

Walter'Ferrer


Minicurso

VII Jornada de Algebra - UFSM 2

Grupos quânticos matriciais

Gastón [email protected]

UNLP

Enquanto não existe uma definição formal de grupo quântico, é amplamente aceitoque esses objetos correspondem a deformações de álgebras associativas relaciona-das a grupos ou álgebras de Lie. Este curso irá apresentar a teoria básica atravésdo estudo dos grupos quânticos associados aos grupos clássicos de matrizes comoSL(n), GL(n), Sp(2n) e SU(n), algumas propriedades de determinantes quânti-cos e a teoria básica de representações que se refere a geometria destes grupos coma estrutura de sua álgebra de funções.

Referências

[1] B. Parshall, J. Wang. Quantum linear groups. Mem. Amer. Math. Soc. 89 (1991), no. 439,vi+157 pp.

[2] M. Takeuchi, Some topics on GLq(n). J. Algebra 147(1992), no. 2, 379–410.

[3] C. Kassel. Quantum groups. Graduate Texts in Mathematics, 155.Springer-Verlag, New York,1995. xii+531 pp. ISBN: 0-387-94370-6.

[4] G. García. Quantum subgroups of GLa,b(n). J. Algebra 324 (2010), 1392–1428.


Comunicacoes


Dimensão de Gelfand–Kirillov da álgebra de Lie das matrizes genéricas2× 2 de traço zero.

Gustavo Grings [email protected]

UFSMVesselin [email protected]

IMI, Bulgarian Academy of SciencesPlamen [email protected]

IMECC-UNICAMP

Nesta comunicação faremos uma nova demonstração para a dimensão de Gelfand–Kirillov da álgebra relativamente livre de posto m na variedade de álgebras deLie gerada pela álgebra de Lie sl2(K) das matrizes 2 × 2 de traço zero usandoresultados clássicos de Procesi e Razmyslov.

Referências

[1] Yu. A. Bahturin, Two-variable identities in the Lie algebra sl(2, k) (Russian), Trudy Sem.Petrovsk. 5 (1979), 205-208. translation: Contemp. Soviet Math. Petrovskiı Seminar 5, Topicsin Modern Math., Plenum, New York-London (1985), 259-263.

[2] V. Drensky, Codimensions of T-ideals and Hilbert series of relatively free algebras, J. Algebra91 (1984), 1-17.

[3] V. Drensky, P. Koshlukov, G. G. Machado GK-dimension of the Lie Algebra of generic 2 × 2

matrices [arXiv:1503.02091]

[4] G. R. Krause, T. H. Lenagan, Growth of Algebras and Gelfand-Kirillov Dimension, PitmanPubl., London, 1985. Revsed edition: Graduate Studies in Mathematics 22, AMS, Providence,RI, 2000.

[5] G. G. Machado, P. Koshlukov, GK dimension of the relatively free algebra for sl2, Monatsh.Math. 175 (2014), 543-553.

[6] C. Procesi, Non-commutative affine rings, Atti Accad. Naz. Lincei, Ser. 8, 8 (1967), 237-255.

[7] Yu. P. Razmyslov, Finite basing of the identities of a matrix algebra of second order over afield of characteristic 0 (Russian), Algebra i Logika 12 (1973), 83-113. translation: Algebraand Logic 12 (1973), 43-63.


Módulos de Verma e módulos simples para grupos quânticos não pon-tuais

Bárbara [email protected]

UFRGS

Chamamos de grupo quântico não pontual ao duplo de Drinfeld da bosonizaçãode uma álgebra de Nichols de dimensão finita sobre um grupo finito não abeliano.Provamos que um módulo de Verma de um grupo quântico não pontual possuium único quociente simples e "socle"simples. Como um exemplo, descrevemoso reticulado de submódulos dos módulos de Verma associados à bosonização daálgebra de Fomin-Kirillov de dimensão 12 e o grupo simétrico S3. Este é umtrabalho em conjunto com Cristian Vay.


Globalização de ações parciais de grupóides sobre anéis s-unitários

Dirceu [email protected]

Universidade Federal de Santa Maria

Neste trabalho, realizado em colaboração com H. Pinedo, provamos um teorema deglobalização para ações parciais de grupóides sobre anéis s-unitários. Além disso,construímos um contexto (estrito) de Morita entre o skew anel de grupóide parciale o skew anel de grupóide associado a globalização.


Dilatações de Representações Parciais de Álgebras de Hopf

Eliezer [email protected]

UFSCMarcelo M. S. [email protected]

UFPRJoost [email protected]

ULBUm dos problemas mais importantes na teoria de ações parciais de grupos e deálgebras de Hopf é o problema da globalização. Basicamente, a pergunta principalé se é possível obter uma determinada ação parcial a partir da restrição de umaação global. Neste trabalho, apresentaremos desenvolvimentos recentes sobre a te-oria de globalização no contexto de representações parciais, as assim denominadasdilatações de representações parciais. No contexto de representações parciais degrupos, as dilatações foram introduzidas por Fernando Abadie [1]. No contextode representações parciais de álgebras de Hopf, a categoria de H-módulos parciaispossui uma estrutura monoidal, que explicita uma riqueza muito maior do pontode vista de teoria de representações[3]. Neste trabalho, introduzimos o conceito dedilatação para representações parciais de álgebras de Hopf, com isto introduzimosuma nova categoria monoidal que está relacionada tanto com a categoria dos Hmódulos como com a categoria dos H módulos parciais. Com estas construções,podemos mostrar que a globalização é um funtor monoidal e que restrito aos obje-tos álgebra da categoria dos H-módulos parciais, coincide com a globalização deações parciais obtida em um trabalho anterior [2]. Mostraremos também algunsexemplos não triviais, de dilatação para o caso de G graduações parciais e para ocaso da álgebra de Hopf de Sweedler.

Referências

[1] F. Abadie. Dilations of interaction groups that extend actions of Ore semigroups, [ar-Xiv:1008.0903] (2010)

[2] Marcelo Muniz S. Alves, Eliezer Batista. Enveloping actions for partial Hopf actions, Comm.Algebra 38 (2010) 2872-2902.

[3] Marcelo Muniz S. Alves, Eliezer Batista, Joost Vercruysse. Partial representations of Hopfalgebras, J. Algebra 426 (2015) 137-187.


Módulos Injetivos e a Dualidade de Matlis

Daniel Francisco Bustos [email protected]

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Apresentaremos uma caracterização dos módulos injetivos sobre anéis noetheria-nos comutativos como soma direta de módulos injetivos indecomponíveis. Dis-cutiremos algumas propriedades destes módulos e, em particular, exibiremos umacorrespondência bijetiva entre espectro do anel e as classes dos módulos injetivosindecomponíveis. Como exemplo central apresentaremos o p-grupo de Prüfer edesta maneira exibiremos todos os Z-módulos injetivos. Finalmente, mostraremosuma correspondência bijetiva entre uma certa categoria de módulos noetherianos euma categoria oposta de módulos artinianos.

(Trabalho orientado pelo Professor Alveri Alves Sant’ana (UFRGS)).

Referências

[1] Matlis, Eben. Injective Módules over Noetherian Rings. Pacific Journal of Mathematics, vol 8,N. 3, 1958.


Extensões de Hopf Ore

Ricardo Leite dos [email protected]


Extensões de Ore consistem em polinômios sobre um anel R em uma variável x, aqual não necessariamente comuta com os elementos de R. Tais estruturas recebemeste nome em homenagem a Øyesten Ore (1899-1968), por ter sido o primeiro aestudar estas extensões no caso geral, R[x;α, δ].

Na teoria de álgebras de Hopf, extensões de Ore aparecem em [1], respondendonegativamente a décima conjectura de Kaplansky. Em seguida temos [2], que for-maliza extensões de Hopf Ore e estabelece condições necessárias e suficientes paraque a extensão obtida a partir de uma álgebra de Hopf também o seja.

Neste trabalho estudamos estas extensões para o caso em que o anel base é umaálgebra de Hopf fraca. Nosso objetivo é estabelecer condições necessárias e sufici-entes como em [2] neste novo contexto. Esta pesquisa está sendo desenvolvida soba orientação dos professores Alveri Alves Sant’Ana (UFRGS) e Christian Lomp(Faculdade de Ciências da Universidade do Porto-FCUP).

Referências

[1] M. Beattie, S. Dascalescu, L. Grünenfelder. On the number of types of finite dimensional Hopfalgebras. Invent. math. v. 136, 1-7, November 12, 1999.

[2] A. N. Panov. Ore Extensions of Hopf Algebras. Mathematical Notes v. 74, n. 3, 401-410,September 24, 2002.


Álgebras de Hopf fracas associadas à grupóides duplos vacantes

Geovani [email protected]

Universidade Federal de Santa Maria - UFSM

Neste trabalho, construímos uma álgebra de Hopf fraca ([2]) a partir de um gru-póide duplo.

Dado um corpo k e um grupóide duplo

B ⇒ H� �V ⇒ P

consideremos o k-espaço vetorial com base dada pelos elementos de B (caixas).Esse espaço vetorial tem estrutura de álgebra associada a estrutura de álgebra dogrupóide B ⇒ H e tem estrutura de coálgebra associada a dual estrutura de álgebrado grupóide B ⇒ V . Estudamos as condições necessárias e suficientes para queeste seja uma álgebra de Hopf fraca ([1]). Isto se verifica com a condição dogrupóide duplo ser vacante ([3]).

Referências

[1] N. Andruskiewitsch and S. Natale. Double Categories and Quantum groupoids. Publ. Mat.Urug 10, 11-51, (2005).

[2] G. Böhm, F. Nill and K. Szlachányi. Weak Hopf algebras I. Integral theory and C*-structure.J. Algebra 221, 385-438, (1999).

[3] K. Mackenzie. Double Lie algebroides and Second-order Geometry. I, Adv. Math. 94, 180?239,(1992).


Estruturas geradas por (co)ações parciais e suas categorias

Glauber [email protected]


Teremos por objetivo construir estruturas baseadas nas (co)ações parciais. Maisainda, daremos um enfoque categórico a estas estruturas.

Para uma álgebra de Hopf fraca H e uma álgebra A, definiremos um (A,H)-módulo parcial e um (A,H)-comódulo parcial e mostraremos que cada um delesgera uma categoria.

Finalmente faremos uma correspondência entre as categorias

{(A,H)-módulos parciais}←→ { A#H - módulos}{(A,H)-comódulos parciais}←→ {A⊗H - comódulos}

Referências

[1] S. Caenepeel and E. De Groot. Galois Theory for Weak Hopf Algebras. Rev. Roumaine Math.Pures Appl 52 (2007) v.2 151-172 .

[2] F. Castro, A. Paques, G. Quadros and A. Sant’Ana. Partial Actions of Weak Hopf Algebras:Smash Product, Globalization and Morita Theory. Journal of Pure and Applied Algebra (toappear) .

[3] R. Cavalheiro and A. Sant’Ana. On Partial H-Radicals of Jacobson Type. (pre-print) .


Par Combinado Parcial de Álgebras de Hopf

Danielle Santos [email protected]

Universidade Federal do Rio GrandeGrasiela [email protected]

Universidade Federal do Rio Grande

A noção de par combinado de álgebras de Hopf foi introduzida por Mitsuhiro Ta-keuchi em [3] com o objetivo de gerar exemplos de álgebras de Hopf. De fato,Takeuchi mostra nesse artigo que se tivermos um par combinado de álgebras deHopf, onde H é cocomutativa e L é comutativa, então L#H é uma álgebra deHopf.

Com isso, surge naturalmente a seguinte questão: o que ocorre no caso em queas ações e coações envolvidas são parciais? E é exatamente isso que abordare-mos nesta apresentação oral, definindo par combinado parcial de álgebras de Hopf,juntamente com alguns resultados pertinentes e relevantes.

Referências

[1] M. M. S. Alves, E. Batista. Partial Hopf actions, partial invariants and a Morita context.Journal Algebra and Discrete Mathematics 3, 1-19 (2009).

[2] S. Caenepeel, K. Janssen. Partial (co)actions of Hopf algebras and partial Hopf-Galois theory.Communications in Algebra 36, 2923-2946 (2008).

[3] M. Takeuchi. Matched Pairs of Groups and Bismash Products of Hopf Algebras. Communica-tions in Algebra 9:8, 841-882 (1981)


Álgebras de Hopf oriundas de Ações e Coações Parciais

Grasiela [email protected]

Universidade Federal do Rio GrandeDanielle Santos [email protected]

Universidade Federal do Rio Grande

Dada uma ação parcial λ de uma álgebra de Hopf H sobre um corpo k é possívelobter uma ação parcial deH em qualquer álgebra envolvendo a ação λ. Dualmente,dada uma coação parcial ρ de uma álgebra de Hopf sobre um corpo também temosuma coação parcial de H em qualquer coálgebra envolvendo a coação ρ.

Após ter sido definido Par Combinado Parcial de Álgebras de Hopf, o primeiroquestionamento que surge é: existe um exemplo desta nova definição? Nesta apre-sentação será mostrado que com a ação λ e a coação ρ obtemos um exemplo depar combinado parcial de álgebras de Hopf, bem como exibiremos uma álgebra deHopf obtida a partir desse par combinado parcial.

Referências

[1] M. M. S. Alves, E. Batista. Partial Hopf actions, partial invariants and a Morita context.Journal Algebra and Discrete Mathematics 3, 1-19 (2009).

[2] F. L. Castro, A. Paques, G. Quadros, A. Sant’Ana. Partial actions of weak Hopf algebras:Smash product, globalization and Morita theory. Journal of Pure and Applied Algebra , (2015)

[3] F. L. Castro. On partial (co)actions on coalgebras: globalizations and some Galois theory.Tese de Doutorado (2015).

[4] M. Takeuchi. Matched Pairs of Groups and Bismash Products of Hopf Algebras. Communica-tions in Álgebra, 9:8, 841-882 (1981)


Uma versão do Teorema 90 de Hilbert para o Radical de Kaplansky

Fábio A. [email protected]

Universidade Federal de São João del-Rei-UFSJ

Em 1969, em [K], Irving Kaplansky definiu um novo objeto para um corpo F

de característica distinta de 2 que chamou simplesmente de radical. O Radical deKaplansky, como ficou conhecido na literatura, é o conjunto dos elementos a ∈ F×

tais que DF 〈1,−a〉 = F×, isto é, a 1−forma de Pfister 〈1,−a〉 é universal. ParaK = F (

√a), a ∈ F× r (F×)2 uma extensão quadrática de F, denotaremos por

NK/F a função norma da extensão, ou seja, NK/F (x) = xσ(x), onde σ é umgerador do grupo de Galois Gal(K/F ). Nosso objetivo é apresentar uma versãodo Teorema 90 de Hilbert para o radical de Kaplansky, a saber:

Teorema 90 de Hilbert (Uma versão para o radical de Kaplansky): Sejam Fum corpo de característica distinta de 2 e K = F (

√r), r ∈ R(F ) r (F×)2. Se

F×/R(F ) é um F2−espaço vetorial de dimensão finita com base {a1, . . . , an} sa-tisfazendo (F× : DF 〈1,−ai〉) = 2 para todo i = 1, . . . , n, então N−1

K/F (R(F )) =

F×R(K).

Referências

[A] J. K. Arason, Cohomologische Invarianten quadratischer Formen. J. Algebra 36 (1975), 448-491.

[CR] C. M. Cordes, J. R. Ramsey Jr., Quadratic forms over quadratic extensios of fields with twoquaternio algebras. Can. J. Math.

[K] I. Kaplansky, Fröhlich’s local quadratic forms. J. reine angew. Math. 39/40 (1969), 74-77.

[KN] D. Kijima, M. Nishi, Kaplansky’s radical and Hilbert Theorem 90 II, Hiroshima Math. J. 13(1983), 29-37.

[L] T. Y. Lam, The Algebraic Theory of Quadratic Forms. American Math. Soc. 2000.

[M] M. Marshall, Abstract Witt rings, Queen’s Papers in Pure and Appl. Math., Vol 57, Kingston,Ontario, 1980.

[NSW] J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg, Cohomology of Number Fields, Springer 2000.


Sobre as raízes da equação cúbica nos quatérnios de Hamilton

Ronie Peterson [email protected]

DAMAT-UTFPRGustavo Sanches [email protected]

UTFPR

Ivan Niven [4] foi o primeiro a apresentar um método para obter as raízes da equa-ção polinomial

anxn + . . .+ a1x+ a0 = 0,

sobre a álgebra dos quatérnios de Hamilton. Um método mais eficiente, do pontode vista computacional, foi exibido em [2]. Outra abordagem para o problema se-gue a teoria clássica das equações algébricas, no sentido de expressar as raízes emtermos de operações algébricas elementares e radicais envolvendo os coeficientesda equação. Para o caso da equação quadrática isso foi feito em [3]. Nós estu-damos o correspondente problema para a equação cúbica. Neste caso, não existeuma fórmula geral para as raízes sem a (forte) restrição de que existe um quatérniopuro como raiz [1]. Sem assumir isto, densenvolvemos uma versão da fórmula deCardano nos quatérnios, assumindo que os coeficientes são números reais. Utiliza-mos essencialmente o método de Niven. Para a equação cúbica geral (coeficientesquatérnios) obtivemos a fórmula assumindo uma restrição sobre os coeficientes.

Referências

[1] A. Chapman, Pure imaginary roots of quaternion standard polynomials[http://arxiv.org/abs/1109.4967v4]

[2] D. Janovská, G. Opfer A note on the computation of all zeros of simple quaternionic polyno-mials. SIAM J. Numer. Anal, Vol. 48, No. 1, pp. 244-256

[3] L. Huang Quadratic formulas for quaternions. Applied Mathematics Letters, v. 15, n. 5, p.533-540, 2002.

[4] I. Niven, Equations in quaternions. The American Mathematical Monthly, v. 48, n. 10, p. 654-661, 1941.


Palestras Plenarias


Classificação das álgebras de Nichols sobre grupos não abelianos

Leandro [email protected]

UBA

Álgebras de Nichols surgem em diversos ramos da matemática desde álgebras deHopf e grupos quânticos, até cálculo de Schubert e teorias de corpos conformes.Nesta palestra nós examinaremos os principiais problemas relacionados as álgebrasde Nichols e discutiremos alguns teoremas de classificação.


Teoria de Galois sob um ponto de vista parcial

Felipe [email protected]


Nesta apresentação desenvolveremos a teoria de Galois no contexto de ações parci-ais, com enfoque na teoria de Galois para ações parciais de álgebras de Hopf fracasem álgebras e para ações parciais de álgebras de Hopf em coálgebras.

Referências

[1] F. Castro, A. Paques, G. Quadros and A. Sant’Ana. Partial Actions of Weak Hopf Algebras:Smash Product, Globalization and Morita Theory. Journal of Pure and Applied Algebra (2015)(to appear)

[2] F. Castro, and G. Quadros Galois Theory for Partial Comodule Coalgebras. (preprint)


Álgebras de Hopf na natureza

Marcelo [email protected]

UFPR

Nesta palestra faremos uma introdução às álgebras de Hopf por meio das álgebrasde Taft e de mais dois exemplos próximos. As álgebras de Taft são provavelmenteo caso mais simples de álgebras de Hopf que não são nem comutativas e nemcocomutativas, e vem sido estudadas desde sua construção por Earl Taft no inícioda década de 70. O último exemplo é uma versão da álgebra de Taft, construídapor Pareigis, que é associada à categoria de complexos de módulos sobre um anelcomutativo.


Ações de álgebras de Hopf em álgebras associativas livres

Vitor [email protected]

USP

Uma álgebra de Hopf H age linearmente em uma álgebra associativa livre A sea ação se restringe a uma estrutura de H-módulo no espaço vetorial gerado pe-los geradores livres em A. Reciprocamente, qualquer estrutura deH-módulo emum espaço vetorial V induz uma estrutura de H-módulo (linear) na álgebra tenso-rial sobre V . Nós inspecionaremos resultados recentes no estrutura da subálgebrade invairiantes da álgebra associativa livre sob uma ação linear de uma álgebrade Hopf, mostrando como estes resultados generalizam resultados conhecidos deações de grupos por automorfismos e de ações de álgebras de Lie por derivaçõesobtidos por Kharchenko, Lane, Jooste, Dicks-Formanek.


Álgebras de incidência - histórico e problemas

Ednei [email protected]

UEM

Nessa palestra serão apresentadas as álgebras de incidência, seu histórico, as mo-tivações para seu estudo, conexões com outras áreas da álgebra e serão discuti-dos problemas resolvidos recentemente e problemas em aberto relacionados a elas,principalmente no que diz respeito a seus automorfismos, involuções, graduaçõese identidades polinomiais.


Cohomologia de álgebras de Hopf

Walter [email protected]

Udelar

Construiremos para álgebras de Hopf uma teoria da cohomologia de comódulos eprovamos suas propriedades principais. Em particular demonstra-se a validade dasequência espectral de Hochscild-Serre nesse contexto.


Posteres


Álgebras de Hopf sobre espaços de árvores enraizadas

Alexandre [email protected]

Instituto de Matemática e Estatística da USP

Apresentaremos a construção de duas álgebras de Hopf sobre o conjunto de árvoresenraizadas, tais álgebras foram propostas por Kreimer e Connes [4] e Grossmane Larson [1], respectivamente. Daremos enfoque nos aspectos combinatórios desuas estruturas, explorando as formas de seus mapas fundamentais no detalhe. Porfim mencionaremos a conexão existente entre estas álgebras de Hopf, descrita aprincípio por Panaite [5] e posteriormente corrigida por Hoffman [3].

Referências

[1] R. Grossman, R. G. Larson, Hopf-algebraic structure of families of trees. J. Algebra. 126p. 184-210 (1989).

[2] H. Figueroa, J. M. Gracia-Bondia, On the antipode of Kreimer’s Hopf algebra.Modern Physics Letters A 16, p. 1427-1434, (2001).

[3] M. E. Hoffman Combinatorics of Rooted Trees and Hopf Algebras.Trans. Amer. Math. Soc. 355, p. 3795-3411, , (2003).

[4] A. Connes, D. Kreimer Hopf Algebras, Renormalization and Noncommutative Geometry.Comm. Math. Phys. 199, p. 203-242 (1998).

[5] F. Panaite, Relating the Connes-Kreimer and Grossman-Larson Hopf algebras built on rootedtrees, Lett. Math. Phys. 51, 211-219, (2000).


Um estudo sobre categorias hereditárias com objeto inclinante

Cristian [email protected]

Universidade Federal do Paraná

O objetivo deste trabalho é fazer um estudo sobre categorias hereditárias com ob-jeto inclinante utilizando objetos excepcionais e a categoria perpendicular associ-ada a tais objetos. Mais especificamente, nosso objetivo é provar o seguinte teo-rema: Se H é uma k-categoria abeliana hereditária conexa com objeto inclinante eH tem um objeto não nulo de comprimento finito, então H é derivadamente equi-valente à categoria modH , para alguma álgebra hereditária H de dimensão finita,ou H é derivadamente equivalente à categoria cohX. Primeiramente, apresenta-remos de forma sucinta algumas propriedades básicas de categorias hereditáriascom objeto inclinante. Em seguida, definimos objetos excepcionais e categoriasperpendiculares para estudarmos suas propriedades, e finalmente, provamos o teo-rema mencionado anteriormente, utilizando algumas ferramentas de álgebras quaseinclinadas e álgebras canônicas.


O anel de cohomologia de uma família de álgebras de Hopf de postoum

Diego das Neves de [email protected]


Neste pôster apresentaremos resultados de Burciu e Witherspoon sobre o anel decohomologia de uma família de álgebras de Hopf de posto um (onde o posto foi de-finido por Radford e Krop) baseado em resultados anteriores de Redondo e Holmsobre a cohomologia de Hochschild de K[x]/〈f(x)〉. Sendo G um grupo, ire-mos abordar os grupos de cohomologia de G com coeficientes em um G-móduloe explicitaremos estes no caso em que G for um grupo cíclico finito. Sendo Kum anel comutativo estudaremos também os K-módulos de cohomologia de umaK-álgebra A com coeficientes em um (A − A)-bimódulo e explicitaremos estesnos dois primeiros graus. Se f for um polinômio mônico em K[x] calcularemosas cohomologias de Hochschild de K[x]/〈f〉. No caso em que K é um corpo ef(x) = xn, para cada caractere χ : G→ K∗ temos uma ação deG emK[x]/〈xn〉,e com isso formamos o produto smash B = K[x]/〈xn〉#KG, onde KG é a ál-gebra do grupo G. Trabalhando com a álgebra B, explicitaremos as cohomologiasde Hochschild desta em cada grau, e depois veremos que há um isomorfismo entreas cohomologias de Hochschild de B de graus 2i e 2i + 1. Através do produtocup, calcularemos a estrutura de anel de cohomologia de Hochschild de B sob ahipótese de que a ordem do caractere antes citado seja divisor de n.

Referências

[1] T. Holm. Hochschild Cohomology Rings of Algebras k[x]/〈f〉, Beiträge zur Algebra und Geo-metrie Contribuitions to Algebra and Geometry, v. 41, n. 1, 2000, pg. 291-301.

[2] S. M. Burciu, S. J. Witherspoon. Hochschild Cohomology of Smash Products and Rank OneHopf Algebras, 2006.

[3] The Buenos Aires Cyclic Homology Group. Cyclic Homology of Algebras with One Generator,K-Theory 5, 1991, pg. 51-69.

[4] M. Gerstenhaber. The Comology Structure of an Associative Ring, Annals of Mathematics, v.78, n. 2, 1963, pg. 267-288.


Corpos de característica p = 0 e de característica p, aproximações eparticularidades

Djerly [email protected]

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

O presente trabalho provêm do projeto de pesquisa Resolvendo Sistema de Equa-ções sob Corpos de Característica 2, ainda em andamento, sob orientação do Dr.Wilian F. Araujo. Até o presente momento nossos estudos pautaram-se nos concei-tos de extensões de corpos de característica p = 0, tendo como referência principal[1]. Em consonância com a proposta, fizemos uma análise do artigo Solução deEquações por Radicais em Característica p ≥ 0 de Otto Endler, a fim de perceberos resultados presentes no mesmo que possibilitariam avançar em nossos estudos,e como nesse artigo discorre-se sobre extensões de corpos de característica p, nestetrabalho, estamos interessados em expor o elo entre o que já exploramos sobrecorpos de caractrística p = 0 e corpos de característica p, as aproximações e parti-cularidades.

Referências

[1] GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. 5. ed. IMPA, 2012.


Correspondência de Galois-Grothendieck

Graziela Langone [email protected]


Apresentaremos a Correspondência de Galois-Grothendieck segundo a visão de A.Dress que, em [1], a desenvolveu especificamente através de um atalho construído,tendo como argumento principal o Lema de Dedekind e algumas propriedades bá-sicas da teoria de G-conjuntos.

(Trabalho orientado pelo Professor Antonio Paques (UFRGS)).

Referências

[1] A. W. M. Dress, R. G. Roberts, W. J. Stirling and R. S. Thorne. One more shortcut to GaloisTheory. Advances in Mathematics 110 (1995) 129-140.


Álgebras de Hopf e Grupos Quânticos

Leonardo Duarte [email protected]


Este trabalho tem como objetivo um primeiro contato com os chamados gruposquânticos. Para isto definimos um grupo quântico como sendo uma álgebra deHopf que não é comutativa nem cocomutativa. Desta forma, como pré-requisito,exibimos também algumas definições e exemplos básicos sobre álgebras de Hopf.Para exibir um grupo quântico devemos então procurar por uma álgebra de Hopfque satisfaça as condições requeridas, como por exemplo a álgebra de Sweedler.Exibimos ainda outra estrutura que também é conhecida como grupo quântico, emque se utiliza a envolvente quântica de uma álgebra de Lie.

(Trabalho orientado por Barbara Seelig Pogorelsky, Universidade Federal do RioGrande do Sul.)

Referências

[1] S. Dascalescu, C. Nastasescu, S. Raianu. Hopf algebras: An Introduction. Marcel Dekker,(2001).

[2] S. Montgomery. Hopf algebras and their actions on rings. American Mathematical Society,(1993).


Teoria de Galois Parcial

Patrícia Lima da [email protected]

UFRGS

Neste trabalho desenvolvemos a Teoria de Galois Parcial sem exigir que os ideaisenvolvidos na ação parcial considerada sejam todos não nulos. Para isto, seguimosos passos de Chase, Harrison e Rosenberg fazendo as devidas adaptações ao casoparcial.

(trabalho orientado por Antonio Paques, UFRGS)

Referências

[1] S. U. Chase, D. K. Harrison and A. Rosenberg. Galois theory and Galois cohomology of com-mutative rings. Mem. Amer. Math. Soc. 52 (1965) 1-19.

[2] M. Dokuchaev, M. Ferrero and A. Paques. Partial actions and Galois theory. Journal of Pureand Applied Algebra 208 (2007) 77-87.

[3] A. Paques. Teoría de Galois sobre anillos conmutativos. Univ. de Los Andes, Mérida, Venezu-ela (1999).


Anéis de Operadores Diferenciais com a Propriedade Diamante

Robson Willians [email protected]


Na literatura, anéis para os quais fechos injetivos de módulos simples são local-mente artinianos são conhecidos como anéis que satisfazem a propriedade dia-mante. Tais anéis passaram a ser estudados de modo independente por volta de1974, quando Jategonkar usou esta propriedade para mostrar que anéis FBN (fullybounded noetherian) satisfazem a conjectura de Jacobson. O objetivo deste pôsteré apresentar os conceitos relacionados com esta propriedade, bem como, algunsaspectos históricos, exemplos e sua relação com a conjectura de Jacobson. Alémdisso, iremos destacar casos particulares de anéis de operadores diferenciáveis quesatisfazem a propriedade diamante. Em geral, não se sabe quando anéis de ope-radores diferenciáveis satisfazem tal propriedade e esse assunto está relacionadocom a pesquisa de doutorado que venho desenvolvendo no PPGMAT-UFRGS, soborientação do professor Alveri Alves Sant’Ana (UFRGS) e coorientação da pro-fessora Paula Alexandra Carvalho Lomp (Universidade do Porto).


Ações Parciais sobre Categorias Fracas

Simone Francisco [email protected]

Universidade Federal do Rio Grande do SulWagner de Oliveira [email protected]


Neste trabalho estudamos alguns conceitos relacionando ações parciais sobre cate-gorias fracas. Uma categoria fraca distingui-se de uma categoria pelo fato de que,na primeira, não se exige a existência de morfismo identidade para cada objeto.Dada uma categoria fraca C, tomamos a ação parcial de um grupo G sobre os mor-fismos de C e também sobre os objetos da mesma. Desta forma, é possível definiruma órbita parcial de G sobre os objetos e sobre os morfismos de C, por meiodos quais obtemos uma nova categoria fraca, a categoria quociente C/G. Nestecaminho, relacionamos a ação parcial de G sobre C com a ação parcial de G sobreC/G e, supondo que a primeira possua envolvente, mostramos que esta se estendeà segunda. Também investigamos se algumas propriedades da ação parcial de G

sobre C se estende à sua envolvente, quando existe, e vice-versa.

Referências

[1] E.Babson, D.N. Kozlov, Group actions on posets, J. Algebra 285 (2005) 439–450.

[2] W.Cortes, M.Ferrero, E.N, Marcos, Group actions on categories, aceito para publicação noCommunications in Algebra.


Teoria de Galois Parcial: um adendo

Victor [email protected]

UFRGS

Em [1] Dokuchaev, Ferrero e Paques introduzem a teoria de Galois para ação par-cial de grupo sobre álgebras e estabelecem uma correspondencia de Galois entreos subgrupos de um grupo finito G agindo parcialmente sobre uma álgebra R, ealgumas subálgebras separáveis de R. Dada uma ação parcial (veja [1])

α =({Dg}g∈G, {αg : Dg−1 → Dg}g∈G

)

de um grupo finito G sobre uma k- álgebra R (k anel comutativo com unidade) eum subgrupo H de G, tem-se por restrição a H , uma ação parcial αH de H sobreR. Tambem, se R é uma extensão α -Galois parcial da subálgebra de todos osα-invariantes de R

Rα = {r ∈ R|αg(rx) = rαg(x),∀g ∈ G, x ∈ Dg−1},

então R é uma extensão αH -Galois parcial de RαH [1]. Além disso, se H é umsubgrupo normal deG, pode-se obter uma ação parcial deG/H sobreRαH e nestecaso RαH é uma extensão αG/H -parcial de Rα.

Referências

[1] M. Dokuchaev, M. Ferrero and A. Paques. Partial actions and Galois theory. J. Pure Appl.Algebra 208 (2007), 77-87.


A Influência dos Subgrupos Minimais na Estrutura de Grupos Finitos

Wilian Francisco de [email protected]

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Neste trabalho realizamos um estudo do artigo “The influence of minimal sub-groups of focal subgroups on the structure of finite groups" de X. Y. Guo e K. P.Shum, [3], onde investigam a influência da existência de complementos dos sub-grupos minimais de um grupo G finito na estrutura do grupo. Um resultado de Guoe Shum, diz que se p é o menor divisor primo da ordem de um grupo finito G eP um p-subgrupo de Sylow de G e se todo subgrupo minimal de P ∩ G′ tem umcomplemento em NG(P ), então G é p-nilpotente.

(Dissertação de mestrado orientada pela profa. Dra. Irene Naomi Nakaoka, Uni-versidade Estadual de Maringá.)

Referências

[1] BALLESTER-BOLINCHES, A. & GUO, X.Y.: On Complemented Subgroups of FiniteGroups. Arch. Math. 72 (1999), 161-166.

[2] DOERK, K.: Minimal nicht Überauflösbare, endliche Gruppen. Math. Zeitschr. 91 (1996),198-205.

[3] GUO, X.Y. & SHUM, K.P.: The Influence of Minimal Subgroups of Focal Subgroups onthe Structure of Finite Groups. Journal of Pure and Applied Algebra. 169 (2002), 43-50.

[4] HALL, P.: Complemented Groups. J. London Math. Soc. 12 (1937), 201-204.

[5] ROBINSON, D.J.S.: A Course in the Theory of Groups. New York: Spring-Verlag, (1993).


Ação de semigrupos e ação parcial de grupos em frações e generaliza-ções

Willian [email protected]


Neste pôster, apresentaremos alguns dos resultados obtidos em um trabalho deconclusão de curso em Licenciatura em Matemática. No mesmo, inicialmente éabordada a construção algébrica do Corpo de Frações, partindo do anel Z, poste-riormente é analisado o processo de Localização, que é a construção de elementosinversos a partir de um anel comutativo qualquer A. Posteriormente, mostramosuma construção do Corpo de Frações a partir de uma ação do semigrupo multipli-cativo Z∗ no conjunto Z × Z∗ e é provada que a relação de equivalência existentepara ações de semigrupo implica na relação de equivalência usual da construçãodo Corpo de Frações e vice-versa. Também é mostrado que é possível gerar toda aclasse de equivalência de uma fração (a, b) a partir de uma ação parcial do grupomultiplicativo Q∗ no conjunto Z×Z∗. Num segundo momento, abordamos algunsdos assuntos que vêm sendo estudados durante a dissertação de Mestrado em Mate-mática, em andamento, que visam generalizar relações entre ações de semigrupos,em especial semigrupos inversos, e ações parciais de grupos, como, por exemplo,que ações parciais de um grupo G em um conjunto X correspondem a ações dosemigrupo inverso S(G) em X , onde S(G) é o semigrupo de Exel, definido porgeradores e relações.

Referências

[1] M. F. Atiyah, I. G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Pu-blishing Company, 1969.

[2] M. Dokuchaev, R. Exel. Associativity of crossed products by partial actions, enveloping actionsand partial representations. Trans. Amer. Math. Soc., 357, 2005.

[3] J. M. Howie. An introduction to semigroup theory. L.M.S. monographs, Academic Press, 1976.

[4] T. M. B. Makuta. Cohomologia para ações parciais de grupos. Dissertação em Matemática,Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada, Universidade Federal do Paraná, Curi-tiba, 2015.

[5] J. J. ROTMAN. Advanced Modern Algebra. Prentice Hall. 2nd printing. 2003. 1040p.

vii jornada de algebra - ufsm´ caderno de...

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