apostila de algebra

Álgebra Moderna - notas de aulasProfª Ana Paula

CAPÍTULO 1 - CONJUNTOS

DATA ___/___/___

O conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da matemática.Intuitivamente, um conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetods bem definidos. Osobjetos em um conjunto, como veremos nos exemplos, podem ser qualquer coisa: números,pessoas, letras, rios, etc.... Esses objetos são chamados os elementos de um conjuntos.

Representação:letras maiúsculas para conjuntos: A, B, C, D,…

letras minúsculas para elementos de um conjunto: a, b, c, d,…

Formas de representação:Forma de listagem: A = a, e, i, o, u = e, o, a, u, i, onde os elementos do conjunto são

apresentados um a um, separados por vírgulas, sob a forma de uma lista linear nãonecessariamente ordenada.

Pela propriedade:A = x/x é um vogal do alfabeto da língua portuguesa = x/Px =

x/x goza da propriedade P , o conjunto passa a ser referido pela propriedade de seus

elementos, e a leitura é a seguinte: “A é igual ao conjunto dos x, tal que x é uma vogal daLíngua Portuguesa”. O x é uma variável que representa cada um dos elementos cujapropriedade é a de ser uma vogal do alfabeto da Língua Portuguesa, o que não permitiráincluir, no conjunto A, o b como vogal.

Pelo Diagrama de Venn-Euler:

Exemplos:A: os números 1,3,7 e 10.B: As soluções da equação x2 − 3x − 2 = 0

C: As pessoas que habitam a Terra.D: Os estudantes Carlos, José e Roberto.E: Os alunos que faltaram à aula.F: Os países: Inglaterra, França e Espanha.G: Os números 2,4,6,8,...H: Os rios do Brasil

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OBS: A repetição não cria novos elementos no conjunto.Exemplo: A = a, e, i, o, u = a, a, a, e, o, u, e, i, o, u.

O símbolo ∈ é usado para especificar se um elemento pertence a um conjunto e ∉quando não pertence a este conjunto.

Exemplos: Seja A = a, e, i, o, u. Então a ∈ A (o elemento a pertence ao conjunto A) eb ∉ A. b não é elemento do conjunto A).

Definição 1: Um conjunto é vazio quando não contém elementos.

Notação: = = x/Px ∧ ~Px = x/x ≠ x

OBS:1) O conjunto vazio é único.2) ≠

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Definição 2: Um conjunto é finito se consiste de um número específico de elementosdiferentes, isto é, se, ao contarmos os diferentes elementos de um conjunto, o processo decontagem chega a um final. De outro modo, o conjunto é infinito.

SUBCONJUNTOS

Definição 3: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, dizemos que A está contido em B (Aé um subconjunto de B) se, somente se, todo elemento de A pertence a B, isto é,A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A / x ∈ B.

Exemplos:

Teorema 1: Seja A um conjunto qualquer. O conjunto vazio é um subconjunto do conjuntoA.

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Definição 4: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, dizemos que dois conjuntos sãoiguais quando um está contido no outro e vice-versa, isto é, A = B ⇔ ∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B ouA = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A.

OBS:1) A ⊈ B significa A não está contido em (não é subconjunto) B e A não é igual a B.2) B ⊃ A significa B contém A.3) B A significa B não contém A e B não é igual a A.4) A B significa que A está contido propriamente em B A ⊂ B e A ≠ B.5) B A significa que B contém propriamente em A A ⊂ B e A ≠ B.

Propriedades:1) Reflexiva: A ⊂ A. (Demonstração Imediata)2) Transitiva: Se A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

3) Antissimétrica: Se A ⊂ B e B ⊂ A ⇒ A = B. (Demonstração decorrente da definição).

São equivalentes as três afirmações:1) A ⊂ B.

2) Se x ∈ A, então x ∈ B.

3) Se x ∉ B, então x ∉ A.

Definição 5: Chamamos de conjunto universo U o conjunto em que todos conjuntos sãosubconjuntos deste conjunto U.

Definição 6: Se os conjuntos A e B não possuem elementos em comum, isto é, se não hánenhum elemento A em B e se não há nenhum elemento de B em A, dizemos que A e B sãodisjuntos.

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COMPLEMENTAR

Definição 7: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Se B ⊂ A, dizemos que ocomplementar de B em relação a A é todo elemento de A que não pertence a B, isto é,BC

A= x ∈ A/x ∉ B.

Definição 8: Considerando U, o conjunto universo e A ⊂ U, chama-se complementar deA em relação a U a parte de U formada pelos elementos de U que não pertencem a A.

AcU = x ∈ U/x ∉ A

Outras notações: Ac, A , A ′,∁UA = ∁A.

OBS:1) Uc = 2) c = U

3) Acc = A

CONJUNTO DAS PARTES

Definição 9: O conjunto das partes de A, PA, é o conjunto de todos os subconjuntosde A.

Exemplo:A = 1, 2 PA = ,1,2,1, 2.

Teorema 1: Se um conjunto A tem n elementos, então PA tem 2n elementos.

Definição 10: A cardinalidade de A é quantidade de elementos distintos deste conjunto.Notação: nA ou #A.

OBS:1) n = 0 ou # = 0.2) nA = 1 ou #A = 1 se A é um conjunto unitário,3) Se A é um conjunto com n elementos escreveremos #A = n ou nA = n.

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OPERAÇÕES

Definição 11: A interseção de dois conjuntos A e B é conjunto dos elementos que sãocomuns a A e B, isto é, os elementos que pertencem a A e também pertencem a B.

A ∩ B = x/x ∈ A e x ∈ B

OBS: Se A ∩ B = = , então dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.

Definição 12: A união de dois conjuntos A e B é conjunto dos elementos que são comunsa A ou B, isto é, os elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos.

A ∪ B = x/x ∈ A ou x ∈ B

Propriedades da interseção:1) Associativa: A ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ C.

2) Comutatividade: A ∩ B = B ∩ A.

3) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A.

4) A ∩ = .

Propriedades da união:1) Associativa: A ∪ B ∪ C = A ∪ B ∪ C.

2) Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A.

3) A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B.

4) A ∪ = A.

5) A ∪ B = A = e B = .

Propriedades:1) A ∩ Ac = e A ∪ Ac = U. ———————————–Lei de De Morgan.2) A ∩ BC = Ac ∪ Bc e A ∪ Bc = Ac ∩ Bc——————Lei de De Morgan.3)A ⊂ B BC ⊂ AC

Definição 13: A diferença entre dois conjuntos, A e B, é o conjunto de elementos quepertencem a A mas que não pertencem a B.

A − B = x ∈ A/x ∈ A e x ∉ B .

OBS:1) A − B ⊂ A

2) Os conjuntos A − B, A ∩ B e B − A são mutuamente disjuntos.3) A − B = A ∩ Bc

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CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto dos números naturais:ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, . . .ℕ∗ = 1, 2, 3, 4, . . ..= ℕ − 0

Conjunto dos números inteiros:ℤ = 0,±1,±2,±3,… = … ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3,…ℤ∗ = ±1,±2,±3,… = … ,−3,−2,−1, 1, 2, 3,… = ℤ − 0ℤ+ = 0, 1, 2, 3,… = conjunto dos números inteiros não-negativos.ℤ− = … ,−3,−2,−1, 0 = conjunto dos números inteiros não-positivos.ℤ+∗ = 1, 2, 3,… = conjunto dos números inteiros positivos ou estritamente positivos.

ℤ−∗ = … ,−3,−2,−1 = conjunto dos números inteiros negativos ou estritamente negativos.

ℤ2n = k ∈ ℤ/k = 2n, n ∈ ℤ =conjunto dos inteiros pares.ℤ2n+1 = k ∈ ℤ/k = 2n + 1 ou k = 2n − 1, n ∈ ℤ =conjunto dos inteiros ímpares.

Conjuntos dos números racionais:ℚ = a

b/a ∈ ℤ e b ∈ ℤ∗

Conjuntos dos números irracionais: ℚCℝ = ℚ′

Conjunto dos números reais:ℝ = x/x = a0, a1a2a3…an… ; a0 ∈ ℤ e ai = 0, 1, 2,…9, com i ≠ 0

Conjunto dos números complexos:ℂ = z/z = a + bi, a, b ∈ ℝ e i = −1

De forma geral:A∗ = A − 0A+ = x ∈ A/x ≥ 0A− = x ∈ A/x ≤ 0A+

∗ = x ∈ A/x > 0A−

∗ = x ∈ A/x < 0OBS: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

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Exemplos:1.) ℝ − ℚ = ℚ2) ℚ − ℝ = 3) ℂ − ℝ = ℝ4) ℚ − ℚ = ℚ5) ℝ − ℕ = ℕ

Resumo

Sejam X um conjunto e A, B e C subconjuntos de X. Então temos:(a) Os elementos neutros:

A ∪ = A

A ∩ X = A

(b) As leis de idempotência:A ∪ A = A

A ∩ A = A

(c) As leis comutativas:A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

(d) As leis associativas:A ∪ B ∪ C = A ∪ B ∪ C.

A ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ C.

(e) As leis distributivas:A ∩ B ∪ C = A ∩ B ∪ A ∩ CA ∪ B ∩ C = A ∪ B ∩ A ∪ C

(f) As leis de identidadeA ∪ = A

A ∪ U = U

A ∩ = A ∩ U = A

(g) Leis de ComplementariedadeA ∪ Ac = U

Acc = A

A ∩ Ac = Uc = c = U

(h) Leis de De MorganA ∩ Ac = e A ∪ Ac = U.

A ∩ BC = Ac ∪ Bc e A ∪ Bc = Ac ∩ Bc

Exercícios do Livro: Páginas 13 a 16 : 1 a 6, 7a, 8,9, 11 a 16.

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CAPÍTULO 2 - RELAÇÕES

DATA ___/___/___

Definição 1: Dados dois conjuntos, E e F, não vazios. O produto cartesiano de E por F éo conjunto formado por todos os pares ordenados x, y, com x ∈ X e y ∈ F.

E × F = x, y/x ∈ E e y ∈ F

Exemplo: E = 0, 1, 2, 3 e F = 4, 5, 6.

E × F =

A idéia informal de "relação" é um sistema R constituído de:1) um conjunto E (conjunto de partida);2) um conjunto F (conjunto de chegada);3) uma sentença px, y/∀a, b ∈ E × F, pa, b é verdadeira ou falsa.

Se pa, b é verdadeira, então dizemos que "a está relacionado com b mediante a R", aRb.

Se pa, b é falsa, então dizemos que "a não está relacionado com b mediante a R", aŔb.

Exemplos:1) E = 0, 1, 2, 3 e F = 4, 5, 6. São exemplos de relações:R1 = x, y ∈ E × F/x + y = 6R2 = R3 = 0, 4, 0, 5, 0, 6R4 = 2, 5, 3, 6

2) Se E = F = ℤ, então E × F é o conjunto formado por todos os pares ordenados denúmeros inteiros.

É um relaçãoR = x, y ∈ ℤ × ℤ/x = −y = … , −n, n,… , −2, 2, −1, 1, 0, 0, 1,−1, 2,−2,… n,−n,… .

3) Se E = F = ℝ, então E × F é o conjunto formado por todos os pares ordenados denúmeros reais.

É um relação R = x, y ∈ ℝ × ℝ/x 0 e y 0 .

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Definição 2: Chama-se relação binária de E em F todo subconjunto R de E × F, isto é, R

é relação de E em F se e somente se R ⊂ E × F. Ou seja R é um conjunto de paresordenados a, b ∈ E × F.

Seja R uma relação de E em F.Definição 3: Chama-se domínio de R o subconjunto de E constituído pelos elementos x

para cada um dos quais existe algum y em F tal que xRy.DR = x ∈ E/∃y ∈ F : xRy

Definição 4: Chama-se imagem de R o subconjunto de F constituído pelos elementos y

para cada um dos quais existe algum x em E tal que xRy.ImR = y ∈ F/∃x ∈ E : xRy

Exemplos: Indique o domínio e a imagem de cada relação:1) E = 0, 1, 2, 3 e F = 4, 5, 6. São exemplos de relações:R1 = x, y ∈ E × F/x + y = 6 DR1 = ImR1 =

R2 = DR2 = ImR2 =

R3 = 0, 4, 0, 5, 0, 6 DR3 = ImR3 =

R4 = 2, 5, 3, 6 DR4 = ImR4 =

2) Se E = F = ℤ, então E × F é o conjunto formado por todos os pares ordenados denúmeros inteiros.

É um relaçãoR = x, y ∈ ℤ × ℤ/x = −y = … , −n, n,… , −2, 2, −1, 1, 0, 0, 1,−1, 2,−2,… n,−n,… .

DR = ImR =

3) Se E = F = ℝ, então E × F é o conjunto formado por todos os pares ordenados denúmeros reais.

É um relação R = x, y ∈ ℝ × ℝ/x 0 e y 0 .

DR = ImR =

Representações:a) Gráfico Cartesiano.b) Esquema de flechas.

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Definição 5: Seja R uma relação de E em F. Chama-se relação inversa de R, e, indica-sepor R−1, a seguinte relação de F em E:

R−1 = y, x ∈ F × E/x, y ∈ RExemplos:1) Sejam E = 0, 1, 2, 3 e F = 4, 5, 6, ondeR = 0, 4, 0, 5, 0, 6 = x, y ∈ E × F/x = 0.

Então R−1 = 4, 0, 5, 0, 6, 0 = y, x ∈ F × E/x = 0.

DR = ImR =

DR−1 = ImR−1 =

2) E = ℝ e F = ℝ. R = x, y ∈ ℝ2/y = 2x.EntãoR−1 = y, x ∈ ℝ2/y = 2x = x, y ∈ ℝ2/x = 2y.

DR = ImR =

DR−1 = ImR−1 =

3) E = ℝ e F = ℝ. R = x, y ∈ ℝ2/y = x2.EntãoR−1 = y, x ∈ ℝ2/y = x2 = x, y ∈ ℝ2/x = y2.

DR = ImR =

DR−1 = ImR−1 =

Propriedades:1) DR−1 = ImR2) ImR−1 = DR3) R−1−1

= R

Representação1) Se a relação R admite um gráfico cartesiano, então o mesmo ocorre com

R−1.Notando-se que x, y ∈ R se, e somente se, y, x ∈ R−1, então o gráfico de R−1 é simétricodo gráfico de R relativamente à reta de equação y = x.

2) Dado o diagrama de Euler-Venn de uma relação R, obtém-se o diagrama de R−1

simplesmente invertendo o sentido das flechas.

Exercícios do livro: Página 70: todos, exceto 5.

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RELAÇÃO SOBRE UM CONJUNTO

Definição 6: Quando E = F e R é uma relação de E em F, diz que R é uma relação sobreE, ou ainda, R é uma relação em E.

Propriedades:1) ReflexivaDizemos que R é reflexiva quando todo elemento de E se relaciona consigo mesmo, isto

é,∀x ∈ E, vale xRx

Negação: ∃x ∈ E, vale xŔx

Flechas: Em cada ponto do diagrama deve haver um laço.Exemplos:1) Considerando E = a, b, c e R uma relação sobre E.a) R = a, a, b, b, c, c, a, b, b, c é reflexiva.b) R = a, a, a, b, b, a, b, b, b, c não é reflexiva.

2) SimétricaDizemos que R é simétrica se vale yRx sempre que vale xRy, isto é,

∀x, y ∈ E, se xRy, então yRx.Contrapositiva:∀x, y ∈ E, se yŔx, então xŔy.Negação:∃x, y ∈ E, xRy e yŔx.Flechas: Todas as flechas têm duas pontas.Exemplos:1) Considerando E = a, b, c e R uma relação sobre E.a) R = a, a, a, b, b, a, c, c é simétrica.b) R = a, a, a, b, b, b, b, c não é simétrica.2) Considerando E = ℚ e R = x, y ∈ ℚ2/x2 = y2 é simétrica.3) Considerando E = conjunto das retas do espaço euclidiano e R = x, y ∈ ℝ2/x ⊥ y é

simétrica.

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3) Transitiva.Dizemos que R é transitiva se vale xRz sempre que vale xRy e yRz, isto é,

∀x, y, z ∈ E, se xRy e yRz, então xRz.Contrapositiva: ∀x, y, z ∈ E, se xŔz, então xŔy ou yŔz

Negação:∃x, y, z ∈ E, xRy e yRz e xŔz

Flechas: Para todo par de flechas consecutivas, existe uma terceira flecha cuja origem é aorigem da 1ª e a extremidade da 2ª.

Exemplos:1) Considerando E = a, b, c e R uma relação sobre E.a) R = a, b, b, b, b, c, a, c, c, c é transitiva.b) R = a, b, a, a, b, c, c, c não é transitiva.2) Considerando E = ℕ e R = x, y ∈ ℕ2/x ≤ y é transitiva.3) Considerando E = conjunto dos triângulos do espaço euclidiano e R = relação de

semelhança de triângulos é simétrica.

4) Antissimétrica.Dizemos que R é antissimétrica se vale x = y sempre que vale xRy e yRx, isto é,

∀x, y ∈ E, se xRy e yRx, então x = y.Contrapositiva:∀x, y ∈ E, se x ≠ y, então xŔy ou yŔx.Negação: ∃x, y ∈ E, xRy e yRx e x ≠ y.Flechas: Não há flechas de duas pontas.Exemplos:1) Considerando E = a, b, c e R uma relação sobre E.a) R = a, a, a, b, b, c, c, a é antissimétrica.b) R = a, a, b, b, c, c, b, c, c, b não é antissimétrica.2) Considerando E = ℕ e R = x, y ∈ ℕ2/x ∣ y é antissimétrica. (transitiva, não simétrica

e reflexiva).3) Considerando E = ℤ e R = x, y ∈ ℤ2/x ∣ y é não antissimétrica. (transitiva, não

simétrica e reflexiva).4) Considerando E = ℝ e R = x, y ∈ ℝ2/x ≤ y é antissimétrica. (transitiva, não simétrica

e reflexiva).

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Gráfico cartesiano e propriedadesSejam E = ℝ, R é uma relação em ℝ e GR o seu gráfico cartesiano.

1) Reflexiva: ∀x ∈ ℝ, x, x ∈ R.Ou seja, as retas bissetrizes dos 1º e 3º quadrantespertencem ao GR.

Exemplo: R = x, y ∈ ℝ2/y ≥ x − 1 é reflexiva.

2) Simétrica: Se x, y ∈ R, então y, x ∈ R. GR é simétrico relativamente à bissetriz dos 1º

e 3º quadrantes.Exemplo: R = x, y ∈ ℝ2/x2 + y2 ≤ 9 é simétrica.

Exercícios do livro: Páginas 75 e 76: todos.Página 77: 17 a 20.

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RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA

Definição 7: Uma relação R sobre um conjunto E ≠ é chamada de relação deequivalência sobre R se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Ou seja, R devecumprir, respectivamente, as seguintes propriedades:

1) ∀ x ∈ E, xRx

2) Se x, y ∈ R e xRy, então yRx.3) Se x, y, z ∈ R e xRy e yRz, então xRz.

Exemplos:São relações de equivalência:1) E = a, b, c com R = a, a, b, b, c, c, a, b, b, a.

2) E = ℝ com R = x, y ∈ ℝ2/x = y.

3) E = conjunto das retas do espaço euclidiano com R = x, y ∈ ℝ2/x//y.

4) E = ℤ com R = x, y ∈ ℤ2/x ≡ ymod m, m ∈ ℤ+∗ e m > 1 .

Não é relação de equivalência:5) E = ℤ com R = x, y ∈ ℤ2/x ∣ y.

6) E = ℤ com R = x, y ∈ ℤ2/mdcx, y = 1.

Exercícios do livro: Página 79: todos.

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Revisão:1) Divisibilidade: Diz-se que o número inteiro a é divisor do número inteiro b ou que o

número b é divisível por a se é possível encontrar q ∈ ℤ tal que b = aq.Pode-se dizer também que b é múltiplo de a.Notação: a ∣ b (a divide b) ou a ∤ b (a não divide b).

2) MDC: Sejam a e b ∈ ℤ. Um elemento d ∈ ℤ se diz máximo divisor comum de a e b secumpre as seguintes condições:

i) d ≥ 0

ii) d ∣ a e d ∣ b.

iii) Se d′ é um inteiro tal que d′ ∣ a e d′ ∣ b, então d′ ∣ d (ou seja, todo divisor comum de a

e b também é divisor de d ou se d′ é um divisor de a e b, então d′ ≤ d.Para quaisquer inteiros a e b, existem inteiros x0 e y0, tais que d = ax0 + by0 é o máximo

divisor comum de a e b.

3) Congruência: Sejam a, b números inteiros quaisquer e m um inteiro estritamentepositivo. Diz-se que a é côngruo a b módulo m se m ∣ a − b, isto é, a − b = mq para umconveniente inteiro q. Para indicar que a é côngruo a b, módulo m , usa-se a notação

a ≡ bmod mA relação assim definida sobre o conjunto ℤ chama-se congruência módulo m.

4) Números primos:Um número inteiro p é chamado número primo se as seguintescondições se verificam:

i) p ≠ 0.

ii) p ≠ ±1.

iii) Os únicos divisores de p são ±1,±p.

Um número inteiro a ≠ 0,±1 é chamado número composto se tem outros divisores, alémdos triviais.

Dois inteiros a e b dizem-se primos entre si se mdca, b = 1.Para que os inteiros a e b sejam primos entre si, é necessário e suficiente que se possam

encontrar x0, y0 ∈ ℤ tais que ax0 + by0 = 1.

5) MMC: O Mínimo Múltiplo Comum de dois inteiros positivos a e b é o menor inteiropositivo que é divísel por a e b, isto é, a ∣ m e b ∣ m.

Notação: mmca, b = m

Sejam a e b inteiros. Então, o mmca, b divide todo outro múltiplo comum de a e b.Sejam a, b ∈ ℤ e m um inteiro positivo. Então, m = mmca, b se e somente sem m verifica:i) a ∣ m e b ∣ m.

ii) Se a ∣ m′ e b ∣ m′, então m ∣ m′.

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CLASSE DE EQUIVALÊNCIA

Definição 8: Seja R um relação de equivalência sobre E. Dado a ∈ E. Chama-se classede equivalência determinada por a, módulo R, o subconjunto a ⊂ E constituído peloselementos x tais que xRa.

a = x ∈ E/xRa

Exemplos:1) R = a, a, b, b, c, c, a, b, b, a de E = a, b, c. R é uma relação de equivalência de

E.São classes de equivalência: a = a, b, b = a, b, c = c.

2) E = ℤ com R = x, y ∈ ℤ2/x ≡ ymod m, m ∈ ℤ+∗ e m > 1

3) E = ℤ com R = x, y ∈ ℤ2/x ≡ ymod 6

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CONJUNTO-QUOCIENTE

Definição 9: O conjunto das classes de equivalência módulo R será indicado por E|R echamado conjunto-quociente de E por R.

Exemplos1) R = a, a, b, b, c, c, a, b, b, a de E = a, b, c. R é uma relação de equivalência de

E.E|R = a, b,c

2) E = ℤ com R = x, y ∈ ℤ2/x ≡ ymod m, m ∈ ℤ+∗ e m > 1

ℤ|R = ℤm = 0 , 1 , 2 ,… , m − 1

3) E = ℤ com R = x, y ∈ ℤ2/x ≡ ymod 6ℤ6 = 0 , 1 , 2 ,… , 5

Proposição 1: Seja R uma relação de equivalência sobre E e sejam a ∈ E e b ∈ E. Asseguintes proposições são equivalentes:

1) aRb

2) a ∈ b

3) b ∈ a

4) a = b

Dem:


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CAPÍTULO 3 - APLICAÇÃO

DATA ___/___/___

Definição 1: Seja f uma relação de E em F. Dizemos que f é uma aplicação de E em F

se, e somente se,1) Df = E;

2) ∀a ∈ Df, existe um único b ∈ F/a, b ∈ f.

Notação: f : E → F

x fxb = fa

Exemplos:1) Sejam E = a, b, c, d e F = m, n, p, q, r.As relações de R : E → F dadas por:R1 = a, n, b, p, c, qR2 = a, m, b, n, c, q, d, rR3 = a, n, b, n, c, q, d, rR4 = a, m, b, n, b, p, c, r, d, qEntão somente R2 e R3 são aplicações.

2) E = F = ℝAs relações de R : E → F dadas por:R1 = x, y ∈ ℝ2/x2 = y2.

R2 = x, y ∈ ℝ2/x2 + y2 = 1.

R3 = x, y ∈ ℝ2/y = x2.

Então somente R3 é uma aplicação.

Definição 2: Se f : E → F e g : E → F, então f = g se fx = gx, ∀x ∈ E.


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IMAGEM DIRETA

Seja uma aplicação f : E → F.

Definição 3: Dado A ⊂ E. fA = fx/x ∈ A ⊂ F é a imagem direta de A, segundo f.Dado B ⊂ F. f−1B = x ∈ E/fx ∈ B ⊂ E é a imagem inversa de B, segundo f.

Exemplos:1) Se E = 1, 3, 5, 7, 9, F = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 e f : E → F dada por fx = x + 1.f1, 5, 7 =

fE =

f =

f−12, 4, 10 =

f−10, 12 =

2) Se E = F = ℝ e f : E → F dada por fx = x2.f1, 2, 3 =

f0, 2 =

f−1, 3 =

f−10, 4, 16 =

f−11, 9 =

f−1ℝ−∗ =

3) Se E = F = ℝ e f : E → F dada por fx =0 se x ∈ ℚ

1 se x ∈ ℝ − ℚ

fℚ =

fℝ − ℚ =

f2, 3 =

f−10 =

f−14, 5 =


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APLICAÇÕES INJETORES E SOBREJETORAS

Seja uma aplicação f : E → F.

Definição 4: f é uma aplicação injetora se para ∀x1, x2 ∈ E/x1 ≠ x2 ⇒ fx1 ≠ fx2 ou∀x1, x2 ∈ E/fx1 = fx2 ⇒ x1 = x2.

OBS: f não é injetora se ∃x1, x2 ∈ E/x1 ≠ x2 e fx1 = fx2.

Definição 5: f é uma aplicação sobrejetora se Imf = F.

OBS:

1) Para provar que Imf = F é necessário provar queImf ⊂ F

F ⊂ Imf. Imf ⊂ F já é válida

pela definição. Então, basta provar F ⊂ Imf, isto é, que ∀y ∈ F,∃x ∈ E/fx = y.

2) f não é sobrejetora se ∃y ∈ F/∀x ∈ E, fx ≠ y.

Definição 6: f é uma aplicação bijetora ou bijeção quando f é injetora e sobrejetora.

Exemplos:1) Dados os conjuntos E = a, b, c, d e F = 0, 1, 2, 3, 4 e f : E → F uma aplicação tal quef = a, 1, b, 2, c, 3, d, 4 é injetora e não é sobrejetora.

2) Dados os conjuntos E = a, b, c, d e F = 0, 1, 2 e f : E → F uma aplicação tal quef = a, 0, b, 1, c, 2, d, 2 não é injetora e é sobrejetora.

3) Dada f : ℝ → ℝ uma aplicação tal que fx = 3x − 1 é bijetora.

4) Dada f : ℝ → ℝ uma aplicação tal que fx = x2 não é injetora e não é sobrejetora.

Exercícios do livro: Página 100: Todos exceto 78.

20

APLICAÇÃO INVERSA

Proposição 1: Sejam f : E → F uma aplicação e f−1 a relação inversa de f. Uma condiçãonecessária e suficiente para que f−1 seja uma aplicação de F em E é que f seja bijetora. Isto é,

f é bijetora ⇔ f−1 é uma aplicação de F em E.Dem:

21

OBS: f−1−1= f

Exemplos:1) Dados os conjuntos E = a, b, c, d e F = 0, 1, 2, 3, 4 e f : E → F

f = a, 1, b, 2, c, 3, d, 4 é uma relação de E em F e f−1 = 1, a, 2, b, 3, c, 4, d éuma relação inversa de F em E. Existe a relação inversa, mas f−1 não é uma aplicaçãoinversa, pois Df−1 = 1, 2, 3, 4 ≠ F.

2) Dados os conjuntos E = a, b, c, d e F = 0, 1, 2 e f : E → F .f = a, 0, b, 1, c, 2, d, 2 é uma relação de E em F e f−1 = 0, a, 1, b, 2, c, 2, d é

uma relação inversa de F em E. Existe a relação inversa, mas f−1 não é uma aplicaçãoinversa, pois não é injetora.

3) Dada f : ℝ → ℝ uma aplicação tal que fx = 3x − 1 é bijetora, portanto f−1 = x+13

éaplicação inversa.


22

COMPOSIÇÕES DE APLICAÇÕES

Sejam f : E → F e g : F → G duas aplicações.Definição 7: Chama-se composta de f e g a aplicação de E em G definida da seguinte

maneira:gofx = gfx ∀x ∈ E

OBS:1) A composta de f e g só está definida quando o contradomínio de f coincide com o

domínio de g.2) A composta de f e g tem o mesmo domínio de f e o mesmo contradomínio de g.3) Quando E = G, ou seja, f : E → F e g : F → E, então é possível definir, além de gof, a

composta de g e f, que é a aplicação de F em F que obedece à lei:fogx = fgx ∀x ∈ F

4) gof ≠ fog, em geral.

Exemplos:1) Sejam E = a1, a2, a3, a4, F = b1, b2, b3, b4, b5 e G = c1, c2, c3.Consideremos as

aplicações:f = a1, b1, a2, b2, a3, b4, a4, b5 de E em F e

g = b1, c1, b2, c1, b3, c2, b4, c2, b5, c3 de F em G. A aplicação composta gof : E → G édada por:

gof = a1, c1, a2, c1, a3, c2, a4, c3Imgof =

Dgof =

f é injetora e não sobrejetora e g é sobrejetora e não injetora.gof é não injetora e sobrejetora.

2) Sejam f : ℝ → ℝ uma aplicação tal que fx = 3x e g : ℝ → ℝ uma aplicação tal quegx = x2. A aplicação composta gof : ℝ → ℝ é dada por gofx = 9x2. E a aplicação compostafog : ℝ → ℝ é dada por fogx = 3x2. Portanto gof ≠ fog.

3) Sejam f : ℝ → ℝ+ uma aplicação tal que fx = 2x e g : ℝ+ → ℝ uma aplicação tal quegx = x . A aplicação composta gof : ℝ → ℝ é dada por gofx = 2x . E a aplicaçãocomposta fog : ℝ+ → ℝ+ é dada por fogx = 2 x . Portanto gof ≠ fog.

4) Sejam f : ℝ → ℝ uma aplicação tal que fx =x + 1 se x ≥ 0

−x + 1 se x < 0e g : ℝ → ℝ uma

aplicação tal que gx = 3x − 2.

A aplicação composta fog : ℝ → ℝ é dada por fogx =

23

Proposição 2: Se f : E → F e g : F → G são aplicações injetoras, então gof é injetoratambém.

Dem:

Proposição 3: Se f : E → F e g : F → G são aplicações sobrejetoras, então gof ésobrejetora também.

Dem:

OBS: fog é injetora também, se estiver definida. fog é sobrejetora também, se estiverdefinida.

24

OBS: Se uma aplicação é injetora e a outra é sobrejetora, nada podemos afirmar dacomposta.

Exemplo: Sejam E = a1, a2, a3, a4, F = b1, b2, b3, b4, b5 e C = c1, c2, c3.Consideremosas aplicações:

f = a1, b1, a2, b2, a3, b4, a4, b5 de E em F eg = b1, c1, b2, c1, b3, c2, b4, c2, b5, c3 de F em G.

A aplicação composta gof : E → G é dada por:gof = a1, c1, a2, c1, a3, c2, a4, c2Imgof =

Dgof =

f é injetora e não sobrejetora e g é sobrejetora e não injetora.gof é não injetora e não sobrejetora.

Exercícios: Página 105: todos

APLICAÇÃO IDÊNTICA

Definição 8: Dado E ≠ . Chama-se aplicação idêntica de E a aplicação iE : E → E dadapela lei iEx = x,∀x ∈ E.

Proposição 4: Se f : E → F é bijetora, então fof−1 = iF e f−1of = iE.

Dem:

25

Proposição 5: Se f : E → F e g : F → E, entãoa) foiE = f

iFof = f

goiF = g

iEog = g

b) Se gof = iE e fog = iF, então f e g são bijetoras e g = f−1.

Dem:

Exercícios do livro: Página 107: 94,95,98,99,100

26

OPERAÇÕES

Definição 9: Sendo E ≠ . Toda aplicação f : E × E → E recebe o nome de operaçãosobre E (ou em E) ou lei de composição interna sobre E (ou em E).

Notação: f : E × E → E

fx, y = x ∗ y

OBS: E é um conjunto munido da operação ∗.

Símbolos para operações:+: adição⋅: multiplicaçãoΔ,,,×,⊕,⊗,⊙,… : genéricos

Exemplos:1) f : ℕ × ℕ → ℕ onde fx, y = x + y, operação de adição sobre ℕ.

2) f : ℕ∗ × ℕ∗ → ℕ∗ onde fx, y = xy, operação de potenciação sobre ℕ∗.

3) f : ℚ∗ × ℚ∗ → ℚ∗ onde fx, y = xy , operação de divisão sobre ℚ∗.

4) h : PE × PE → PE onde hX, Y = X ∩ Y, operação de interseção sobre PE,conjunto das partes de E.

5) f : E × E → E, E = Mmxnℝ, onde fx, y = x + y, operação de adição sobre Mmxnℝ.6) ϕ : E × E → E, E = ℝℝ conjunto das funções de ℝ em ℝ, f : ℝ × ℝ → ℝ e g : ℝ × ℝ → ℝ

onde ϕf, g = fog, operação de composição sobre ℝℝ.

Tábua de operaçãoSeja E = a1, a2, a3,…an finito com n > 1 e f : E × E → E onde ai ∗ aj = aij.

∗ aj

ai aij

→ linha fundamental

↪ coluna fundamental

Exemplos: Faça a tábua para as seguintes operações definidas no conjunto E dado.1) E = 1, 2, 3, 6 com x ∗ y = mdcx, y2) E = ,a,b,a, b com x ∗ y = X ∪ Y.

3) E = 0, 1, 2, 3 com x ∗ y = resto da divisão em ℤ de x + y por 4.

Exercícios do Livro: Página 126: 132, 133, 134, 135, 138, 139, 140, 142, 143.

27

Propriedades:Seja E é um conjunto munido da operação ∗.1) Associativa: x ∗ y ∗ z = x ∗ y ∗ z, para ∀x, y, z ∈ E.

Exemplos:1) Adição em ℕ, ℤ, ℚ, ℝ e ℂ.

2) Multiplicação em ℕ, ℤ, ℚ, ℝ e ℂ.

3) Adição em MmxnK, onde K = ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ.

4) Multiplicação em MnK, onde K = ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ.

5) Composição de funções de ℝ em ℝ.

Contra-exemplos:1) f : ℕ∗ × ℕ∗ → ℕ∗ onde fx, y = xy, operação de potenciação sobre ℕ∗.

2) f : ℝ∗ × ℝ∗ → ℝ∗ onde fx, y = xy , operação de divisão sobre ℝ∗.

OBS: Quando a operação for associativa não precisa de parêntesis. Quando não for, éobrigatório.

Exercícios do livro:105c) E = ℝ+ e x ∗ y = x2 + y2 é associativa.

105a) E = ℝ e x ∗ y =x+y

2não é associativa.

28

2) Comutativa:x ∗ y = y ∗ x, para ∀x, y ∈ E.

Exemplos:1) Adição em ℕ, ℤ, ℚ, ℝ e ℂ.

2) Multiplicação em ℕ, ℤ, ℚ, ℝ e ℂ.

3) Adição em MmxnK, onde K = ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ.

Contra-exemplos:1) Multiplicação em MnK, onde K = ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ.

2) Composição de funções de ℝ em ℝ.

3) f : ℕ∗ × ℕ∗ → ℕ∗ onde fx, y = xy, operação de potenciação sobre ℕ∗.


5) f : ℤ × ℤ → ℤ onde fx, y = x − y, operação de subtração sobre ℤ.

Exercícios do livro:108c) E = ℝ+ e x ∗ y = x2 + y2 é comutativa.

108a) E = ℝ e x ∗ y =x+y

2é comutativa.

Tábua de operações

Uma operação ∗ é comutativa desde que sua tábua seja simétrica em relação à diagonalprincipal.

Exemplo: E = 1, 2, 3, 6 com x ∗ y = mdcx, y é comutativa

∗ 1 2 3 6

1

2

3

6

Exercícios do Livro: Página 114: Todos exceto 107.

29

3) Elemento NeutroElemento neutro à esquerda para ∗: ∃e ∈ E/e ∗ x = x, ∀x ∈ E.

Elemento neutro à direita para ∗: ∃e ∈ E/x ∗ e = x, ∀x ∈ E.

Se e é elemento neutro à direita e à esquerda para a operação ∗, dizemos que e é oelemento neutro para essa operação.

Proposição 6: Se a operação ∗ sobre E tem um elemento neutro e, então ele é único.Dem:

Exemplos:1) Elemento neutro das adições em ℕ, ℤ, ℚ, ℝ e ℂ é o número 0.2) Elemento neutro das multiplicações em ℕ, ℤ, ℚ, ℝ e ℂ é o número 1.3) Elemento neutro da adição em MmxnK, onde K = ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ é a matriz

0mxn (matriz nula).

4) Elemento neutro da multiplicação em MnK, onde K = ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ é a matriz In

(matriz identidade).5) Elemento neutro da composição de funções de ℝ em ℝ é a função idêntica Iℝ.

Contra-exemplos: Não tem elemento neutro1) f : ℤ × ℤ → ℤ onde fx, y = x − y, operação de subtração sobre ℤ.


Exercícios do livro:111c) E = ℝ+ e x ∗ y = x2 + y2 . O elemento neutro é 0.

111a) E = ℝ e x ∗ y =x+y

2. Não tem elemento neutro.

30


Uma operação ∗ tem elemento neutro desde que exista um único elemento cujas linha ecoluna são, respectivamente, iguais à linha e coluna fundamentais.

Exemplo: E = 1, 2, 3, 6 com x ∗ y = mdcx, y. O elemento neutro é o 6.

∗ 1 2 3 6

1

2

3

6

Exercícios do livro: Página 116: Todos exceto 115.

4) Elementos simetrizáveisSeja ∗ uma operação sobre E que tem elemento neutro e.Dizemos que x ∈ E é um elemento simetrizável para essa operação se

∃x ′ ∈ E/x ′ ∗ x = e = x ∗ x ′. O elemento x′ é chamado simétrico de x para a operação ∗.

Exemplos:1) Elementos simetrizáveis de x ∈ ℤ da adição em ℤ é −x.2) Elementos simetrizáveis de x ∈ ℤ da multiplicação em ℤ são 1 e −1 são simetrizáveis.3) Elementos simetrizáveis de x ∈ ℚ da multiplicação em ℚ são 1

x , x ≠ 0.

4) Elementos simetrizáveis de A ∈ MmxnK da adição em MmxnK, onde K = ℤ, ℚ, ℝ ou ℂé −A.

5) Elementos simetrizáveis de A ∈ MnK da multiplicação em MnK, onde K = ℚ, ℝ ou ℂ,somente se detA ≠ 0, é A−1 (matriz inversa).

6) Elementos simetrizáveis de f ∈ ℝℝ da função composta de ℝℝ, se somente se f ébijetora, é f−1 (função inversa).

31


Um elemento ai é simetrizável quando o elemento neutro figura ao menos uma vez nalinha i e na coluna i da tábua, ocupando posições simétricas em relação à diagonal principal.

Exemplo: E = 1, 2, 3, 6 com x ∗ y = mdcx, y. Somente 6 é simetrizável..

∗ 1 2 3 6

1

2

3

6

Proposição 7: Seja ∗ uma operação sobre E que é associativa e tem elemento neutro e.a) Se um elemento x ∈ E é simetrizável, então o simétrico de x é unico.b) Se x ∈ E é simetrizável, então o seu simétrico x′ também é e x′′ = x.c) Se x, y ∈ E são simetrizáveis, então x ∗ y é simetrizável e x ∗ y′ = y′ ∗ x′.Dem:

OBS: Generalizando, por indução, Se a1, a2, a3,…an são elementos de E simetrizáveis,então a1 ∗ a2 ∗ a3 ∗…∗an ′ = an

′ ∗ an−1′ ∗…∗a2

′ ∗ a1′ .

32

Conjunto dos simetrizáveisDefinição 10: Se ∗ é uma operação sobre E com elemento neutro e, indica U∗E o

conjunto dos simetrizáveis de E para operação ∗.U∗E = x ∈ E/∃x ′ ∈ E, x ′ ∗ x = e = x ∗ x ′ ≠

OBS: e ∈ U∗E, sempre.

Exemplos:U+ℕ =

U+ℤ =

U+Mnℝ =

U⋅ℤ =

U⋅ℝ =

U⋅Mnℝ =

Uoℝℝ =

Exercícios do livro:116c) E = ℝ+ e x ∗ y = x2 + y2 . U∗ℝ+ =

116a) E = ℝ e x ∗ y =x+y

2. U∗ℝ =

Exercícios do livro: Página 119: 116 e 117

5) Elementos regularesSeja ∗ uma operação sobre E.Dizemos que a ∈ E é um elemento regular (ou simplificável ou cumpre a lei do

cancelamento) à esquerda em relação à operação ∗ se para ∀x, y ∈ E/a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y, eà direita em relação à operação ∗ se para ∀x, y ∈ E/x ∗ a = y ∗ a ⇒ x = y. Se a é elementoregular à direita e à esquerda para a operação ∗, dizemos que a é regular para essaoperação.

Exemplos:1) 3 é regular para adição em ℕ.

2) 3 é regular para multiplicação em ℤ.

3) 0 não é regular para multiplicação em ℤ.

4)1 2

3 4é regular para adição em M2ℝ.

5)0 0

1 1não é regular para multiplicação em M2ℝ.

33

Proposição 8: Se a operação ∗ sobre E é associativa, tem elemento neutro e e umelemento a ∈ E é simetrizável, então a é regular.

Dem:

Conjunto dos regularesDefinição 11: Se ∗ é uma operação sobre E, indica R∗E o conjunto dos regulares de E

para operação ∗.OBS:1) Se a operação ∗ tem elemento neutro e, então e ∈ R∗E. Portanto, R∗E ≠ .

2) Se a operação ∗ é associativa e tem elemento neutro, então U∗E ⊂ R∗E.Exemplos:R+ℕ =

R+ℤ =

R+Mnℝ =

R⋅ℤ =

R⋅ℝ =

R⋅Mnℝ =

Roℝℝ =

Exercícios do livro:120c) E = ℝ+ e x ∗ y = x2 + y2 . R∗ℝ+ =

120a) E = ℝ e x ∗ y =x+y

2. R∗ℝ =

34


a é regular quando na linha e na coluna de a não há elementos iguais.Exemplo: E = 1, 2, 3, 6 com x ∗ y = mdcx, y.

∗ 1 2 3 6

1

2

3

6

Exercícios do livro: Página 120 : 120, 121,122,123.

6) DistributivaSejam ∗ e Δ duas operações sobre E.Dizemos que Δ é distributiva à esquerda em relação à operação ∗ se para

xΔy ∗ z = xΔy ∗ xΔz ∀x, y, z ∈ E, e à direita em relação à operação ∗ se paray ∗ zΔx = yΔx ∗ zΔx. Quando Δ é distributiva à direita e à esquerda para a operação ∗,dizemos que Δ é distributiva em relação à operação ∗.

Exemplos:1) Multiplicação em ℤ (ou ℝ) é distributiva em relação à adição em ℤ (ou ℝ).2) Multiplicação em Mnℝ é distributiva em relação à adição em Mnℝ.

Contra-exemplos:1) A potenciação em ℕ∗ não é distributiva em relação à multiplicação em ℕ∗.

2) ℤ munido da operação de adição e da operação Δ onde aΔb = a2b. Δ não é distributivaà direita em relação à adição.

35

3) Com a tábua E = 1, 2, 3, 4 com aΔb = a e ⊥ definida pela tábua

⊥ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 1 4 3

3 3 4 1 2

4 4 3 2 1

Δ é distributiva à direita em relação à operação ⊥.

Mas Δ não é distributiva à esquerda em relação a operação ⊥.

OBS:1) Se a operação Δ é distributiva à esquerda em relação à operação ∗ e se Δ é

comutativa, então Δ também é distributiva à direita em relação à operação ∗.2) Se a operação Δ é distributiva à direita em relação à operação ∗ e se Δ é comutativa,

então Δ também é distributiva à esquerda em relação à operação ∗.3) Portanto, quando a operação Δ é comutativa, a distributiva unilateral de Δ em relação à

operação ∗ implica a distributiva de Δ em relação à operação ∗.

Exemplos:A interseção de conjuntos é distributiva em relação à união e vice-versa.

Exercícios do livro:Página 123: 125 e 126Página 132: 144, 145, 147, 148, 149, 150, 151

36

PARTE FECHADA PARA UMA OPERAÇÃO

Definição 12: Sejam ∗ uma operação sobre E e A ≠ , A ⊂ E. Dizemos que A é umaparte fechada de E para operação ∗ se, somente se, ∀x, y ∈ A verifica-se x ∗ y ∈ A.

Exemplos:1) ℕ ≠ , ℕ ⊂ ℤ. ℕ é parte fechada para as operações + e ⋅ em ℤ.

2) ℚ ≠ , ℚ ⊂ ℝ. ℚ é parte fechada para as operações + e ⋅ em ℝ.

3) ℝ+ ≠ , ℝ+ ⊂ ℝ. ℝ+ é parte fechada para a operação ⋅ em ℝ.

4) D2ℝ ≠ , D2ℝ ⊂ M2ℝ, onde D2ℝ é conjunto das matrizes diagonais 2 × 2.

D2ℝ é parte fechada para as operações + e ⋅ em M2ℝ.

Contra-exemplos:1) ℤ− não é parte fechada para a operação ⋅ em ℝ, mas é para a operação + em ℝ.

2) ℝ − ℚ não é parte fechada para as operações + e ⋅ em ℝ.

Exercícios do livro: Página 123: 127, 128, 129 e 130.

37

CAPÍTULO 4 - GRUPO

DATA ___/___/___

Definição 1: Seja G ≠ munido de uma operação:x, y x ∗ y sobre G

A operação ∗ sobre G é chamada de grupo se essa operação se sujeita aos seguintesaxiomas:

1) Associatidade: x ∗ y ∗ z = x ∗ y ∗ z, para ∀x, y, z ∈ G.

2) Existência de Elemento neutro: ∃e ∈ G/e ∗ x = x ∗ e = x, ∀x ∈ G.

3) Existência de simétricos: ∀x ∈ G,∃x ′ ∈ G/x ′ ∗ x = e = x ∗ x ′.

Se a comutativa for válida, além dos axiomas anteriores, o grupo é chamado de grupoabeliano (Em honra ao matemático norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829)). Se não forválida a comutativa, o grupo é chamado de grupo não-abeliano.

Notação: G,∗ G tem uma estrutura de grupo em relação à operação ∗.G,+ grupo aditivo (simétrico é chamado de oposto −x).G, ⋅ grupo multiplicativo (simétrico é chamado de inverso x−1).

Exemplos:1) ℤ,+ grupo aditivo dos números inteiros.2) ℚ,+ grupo aditivo dos números racionais.3) ℝ,+ grupo aditivo dos números reais.4) ℂ,+ grupo aditivo dos números complexos.5) MnK,+ grupo aditivo de matrizes quadradas de ordem n com coeficientes em K =

ℤ,ℚ,ℝ ou ℂ, ou qualquer outro conjunto K.6) ℚ∗, ⋅ grupo multiplicativitivo dos números racionais.7) ℝ∗,⋅ grupo multiplicativo dos números reais.8) ℂ∗, ⋅ grupo multiplicativo dos números complexos.9) ℚ+

∗,Δ onde aΔb = ab2

é um grupo abeliano.

10) ℝ,⊥ onde a ⊥ b = a + b − 5 é um grupo abeliano.

38

Contra-exemplos:1) ℤ, ⋅ não é grupo multiplicativo dos números inteiros.

2) ℝ∗ × ℝ,∗ onde a, b ∗ c, d = ac, bc + d é um grupo não-abeliano.

PropriedadesSeja (G,*) um grupo.1) O elemento neutro do G,∗ é único.2) O elemento simétrico de cada elemento de G é único.3) Se e é o elemento neutro, então o e′ = e.4) a′ ′ = a, ∀a ∈ G.

5) a ∗ b ′ = b′ ∗ a′.

6) a1 ∗ a2 ∗ a3 ∗…∗an ′ = an′ ∗ an−1

′ ∗…∗a2′ ∗ a1

′

7) Todo elemento de G é regular para a operação ∗, ou seja,∀x, y ∈ G/a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y e x ∗ a = y ∗ a ⇒ x = y.

8) No grupo G, a equação a ∗ x = b (ou x ∗ a = b) tem conjunto solução unitário,constituído do elemento a′ ∗ b.

GRUPOS FINITOS

Definição 2: Um grupo G,∗ em que G é finito, chama-se de grupo finito.Definição 3: oG é o número de elementos de G, chamado de ordem do grupo.

Exemplo: G = −1, 1, G, ⋅ um grupo multiplicativo é grupo finito e oG = 2.

OBS:Se o grupo finito G,∗ é abeliano, então a sua tábua é simétrica em relação à diagonal

principal.

Exemplo: Tábua de um grupo finito G,∗G = a, b, c, e

∗ e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

A operação ∗ é comutativa, associativa, tem elemento neutro, todo elemento ésimetrizável e regular.

39

GRUPOS IMPORTANTES

1) Grupos lineares de grau n (multiplicativo, não comutativo se n > 1)

Mnk, ⋅ onde K = ℚ,ℝ ou ℂ não é grupo porque nem toda matriz tem um simétrico (éinversível).

Seja GLnk = A ∈ Mnk/ det A ≠ 0.

In ∈ GLnkGLnk é um grupo não-abeliano, chamado de grupo linear racional, real ou complexo, de

grau n conforme K = ℚ,ℝ ou ℂ

2) Grupos aditivos de classes de restos (comutativo)

ℤm,+ é um grupo abeliano, chamado de grupo aditivo das classes de restos módulo m.Lembrando que ℤm = 0 , 1 ,… , m − 1 onde ∀a , b ∈ ℤm, chama-se soma a + b a classe

a + b.

0 é o elemento neutro de ℤm.

O simétrico de a ∈ ℤm é m − a.

Exemplo: ℤ3,+

+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

3) Grupos multiplicativos de classes de resto.

ℤm, ⋅ não é um grupo, apesar de 1 ser o elemento neutro, valer a associativa ecomutatica, nem todo elemento é simetrizável.

Exemplo: ℤ4, ⋅

⋅ 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

somente 1 e 3 são simétrizáveis.

OBS: ∀a, b ∈ ℤm, chama-se produto a ⋅ b a classe a ⋅ b.

40

Exemplo: ℤ4∗, ⋅

⋅ 1 2 3

1 1 2 3

2 2 0 2

3 3 2 1

não é grupo porque não é uma operação binária.

OBS: ℤm∗ = ℤm − 0 com operação ⋅ nem sempre é grupo multiplicativo abeliano.

Proposição 1: ℤm∗ , ⋅ é um grupo multiplicativo abeliano se e somente se m é primo.

Dem:

41

4) Grupos das permutações

Permutação é o termo específico usado na teoria dos grupos para designar um bijeçãode um conjunto nele mesmo.

Definição 4: Seja E ≠ . Chama-se permutação de E toda função bijetora f de E em E

f : E → E.OBS: Se E é finito, toda função injetora ou sobrejetora f : E → E é bijetora e, portanto, f é

uma permutação em E.

Exemplo: A função idêntica de E. IE : E → E. IEx = x,∀x ∈ E é bijetora. Portanto, IE éuma permutação de E.

Definição 5: O conjunto de todas as permutações de um conjunto E indica-se por SE.SE = f : E → E/f é bijetora onde E = 1, 2,… , n.

Exemplo: SE, o é um grupo.1) Associativa: fogoh = fogoh, ∀f, g, h ∈ SE.2) Elemento neutro: foIE = IEof = f,∀f ∈ SE.3) Todo elemento f ∈ SE é simetrizável e seu simétrico é a permutação inversa

f−1 ∈ SE.fof−1 = f−1of = IE

Portanto, SE, o é chamado o grupo das permutações sobre E.

42

OBS: SE, o onde E = 1, 2,… , n é de ordem n!, isto é, oSE = n!.

Definição 6: Chama-se Sn para SE, o o grupo das permutações de ordem n ou gruposimétrico de grau n.

OBS: SE, o é um grupo não-abeliano para n > 2.

Exemplos:1) n = 1

oSE = 1 e E = a.

fa = a,∀a ∈ E.

Então SE = IE é um grupo abeliano.

2) n = 2

oSE = 2! = 2 e E = a, b.

SE = f1, f2 onde f1 =a b

b ae f2 =

a b

a b.

A tábua fica:

o f1 f2

f1 f2 f1

f2 f1 f2

Portanto, SE, o é um grupo abeliano.

3) n = 3

oSE = 3! = 6 e E = 1, 2, 3.

SE = f0, f1, f2, g1, g2, g3 onde f0 =1 2 3

1 2 3, f1 =

1 2 3

2 3 1, f2 =

1 2 3

3 1 2,

g1 =1 2 3

1 3 2, g2 =

1 2 3

3 2 1e g3 =

1 2 3

2 1 3

A tábua fica:

o f0 f1 f2 g1 g2 g3

f0 f0 f1 f2 g1 g2 g3

f1 f1 f2 f0 g3 g1 g2

f2 f2 f0 f1 g2 g3 g1

g1 g1 g2 g3 f0 f1 f2

g2 g2 g3 g1 f2 f0 f1

g3 g3 g1 g2 f1 f2 f0

Tábua não é simétrica.

Portanto, SE, o é um grupo. Mas C3 = f0, f1, f2 é um grupo abeliano.

43

GRUPOS DA SIMETRIA

1) Simetria do triângulo equiláteroDefinição 7: Denomina-se simetria de um triângulo equilátero T qualquer aplicação

bijetora f : T → T que preserva distâncias.Preservar distâncias significa que, se a e b são pontos arbitrários do triângulo, então a

distância de fa e fb é igual a distância de a e b.

FIGURA 1 - Simetria do triângulo equilátero (Rotação no sentido anti-horário)

Define-se T = 1, 2, 3 o conjunto dos vértices do triângulo, D3 = R0, R1, R2, X, Y, Z oconjunto das simétrias do triângulo:

R0, R1, R2 as rotações de 0∘, 120∘ e 240∘ em torno do seu centro O, no sentido anti-horário;X, Y, Z as reflexões de π radianos em torno das retas x, y e z.dadas por:

R0 =1 2 3

1 2 3, R1 =

1 2 3

2 3 1, R2 =

1 2 3

3 1 2,

X =1 2 3

1 3 2, Y =

1 2 3

3 2 1e Z =

1 2 3

2 1 3

D3, o é um grupo não-abeliano, pois R0 é o elemento neutro, todos os elementos sãosimétrizáveis, a associativa vale por se tratar de particular composição de aplicações e não éválida a comutativa.

A tábua fica:

o R0 R1 R2 X Y Z

R0 R0 R1 R2 X Y Z

R1 R1 R2 R0 Z X Y

R2 R2 R0 R1 Y Z X

X X Y Z R0 R2 R1

Y Y Z X R1 R0 R2

Z Z X Y R2 R1 R0

. A composta de duas rotações é uma rotação. A composta

de duas reflexões é uma rotação.A composta de uma rotação com uma reflexão e vice-versaé uma reflexão.

44

2) Simetria do quadradoDefinição 8: Denomina-se simetria de um quadrado Q qualquer aplicação bijetora

f : Q → Q que preserva distâncias.

FIGURA 3 - Simetria do quadrado (Rotação no sentido anti-horário)

Define-se Q = 1, 2, 3, 4 o conjunto dos vértices do quadrado,D4 = R0, R1, R2, R3, X, Y, Z, W o conjunto das simétrias do quadrado:

R0, R1, R2,R3 as rotações de 0º, 90º, 180º e 270º em torno do seu centro O, no sentidoanti-horário;

X, Y, Z, W as reflexões de π radianos em torno das retas x e y, e z e w.dadas por:

R0 =1 2 3 4

1 2 3 4, R1 =

1 2 3 4

4 1 2 3, R2 =

1 2 3 4

3 4 1 2, R3 =

1 2 3 4

2 3 4 1

X =1 2 3 4

1 4 3 2, Y =

1 2 3 4

3 2 1 4, Z =

1 2 3 4

2 1 4 3, W =

1 2 3 4

4 3 2 1

D4, o é um grupo não-abeliano, pois R0 é o elemento neutro, todos os elementos sãosimétrizáveis, a associativa vale por se tratar de particular composição de aplicações e não éválida a comutativa.

45

A tábua fica:

o R0 R1 R2 R3 X Y Z W

R0 R0 R1 R2 R3 X Y Z W

R1 R1 R2 R3 R0 Z W Y X

R2 R2 R3 R0 R1 Y X W Z

R3 R3 R0 R1 R2 W Z X Y

X X Z Y W R0 R2 R1 R3

Y Y W X Z R2 R0 R3 R1

Z Z Y W X R3 R1 R0 R2

W W X Z Y R1 R3 R2 R0

.

A composta de duas rotações é uma rotação.A composta de duas reflexões é uma rotação.A composta de uma rotação com uma reflexão e vice-versa é uma reflexão.

PRODUTO DIRETO

Sejam G e L grupos multiplicativos (ou aditivos).G × L, ⋅ é um grupo. Se G e L forem abelianos, então G × L, ⋅ também será.G × L, ⋅ onde a, b ⋅ c, d = ac, bd,∀a, b, c, d ∈ G × L.

Provando que é um grupo.1) Associativa: a. b ⋅ c, d ⋅ e, f = ac, bd ⋅ e, f = ace, bdf = ace, bdf =

a, b ⋅ ce, df = a, b ⋅ c, d ⋅ e, f2) Elemento neutro: se eG e eL são elementos neutros de G e L, respectivamente, então

eG, eL é o elemento neutro de G × L.

3) Elemento oposto: Se a, b ∈ G × L e a′ e b′ os inversos de a e b em G e L. Entãoa, b ⋅ a′, b′ = aa′, bb′ = eG, eL

Exercícios do livro: Página 155: 1 a 6, 8,11,14 a 20.

46

SUBGRUPOS

Definição 8: Seja G,∗ um grupo. Diz-se que um subconjunto não-vazio H ⊂ G ésubgrupo de G se:

a) H é fechado para operação ∗, isto é, ∀a, b ∈ H, a ∗ b ∈ H.

b) H,∗ também é um grupo.

Exemplos:1) ℤ ⊂ ℝ é fechado para a operação + em ℝ.

ℤ,+ é um grupo.Portanto, ℤ,+ é um subgrupo de ℝ.

2) P,+ dos números inteiros pares é um subgrupo de ℤ,+.3) I,+ dos números inteiros ímpares não é um subgrupo de ℤ,+.4) ℤ,+ é um subgrupo de ℚ,+, que é de ℝ,+.5) ℚ∗,+ é um subgrupo de ℝ∗,+.6) Sejam S3 = f0, f1, f2, g1, g2, g3, conjunto das permutações, e C3 = f0, f1, f2 ⊂ S3. C3 é

fechado para a composição de funções. C3 é subgrupo de S3.

OBS:1) A associatividade da operação ∗ em G garante a associatividade desta operação em H,

porque H ⊂ G.

2) O elemento neutro e de um grupo G,∗ também é o elemento neutro de todos os seussubgrupos.

3) O simétrico de ∀a ∈ H no subgrupo H,∗ coincide com o simétrico de a ∈ G no grupoG,∗.

47

OBS: Todo grupo G,∗ em que o conjunto G tem mais de um elemento admite pelomenos dois subgrupos:

G,∗

e,∗chamados de subgrupos triviais ou impróprios de G.

Exemplos:

1) Todos subgrupos de ℤ4,+ :

ℤ4,+

0 ,+

0 , 2 ,+

.Mas 0 , 3 ,+ não é subgrupo de

ℤ4,+.

2) Todos subgrupos de ℤ6,+ :

ℤ6,+

0 ,+

0 , 3 ,+

0 , 2 , 4 ,+

.

3) Todos os subgrupo de e, a, b, c,∗ onde

∗ e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

são

e, a, b, c,∗

e,∗

e, a,∗

e, b,∗

e, c,∗

.

O par e, a, b,∗ não é subgrupo pois a ∗ b = c ∉ e, a, b, c.

4) Todos os subgrupos do grupo D3, o das simetrias do triângulo equilátero, onde

D3 = R0, R1, R2, X, Y, Z são:

D3, o

R0, o

R0, X, o

R0, Y, o

R0, Z, o

R0, R1, R2, o

.

Teorema 1: Sejam G,∗ um grupo e H uma parte não vazia de G. O par H,∗ é umsubgrupo de G,∗ se, e somente se, são válidas as duas seguintes condições:

1) ∀a, b ∈ H ⇒ a ∗ b ∈ H.

2) ∀a ∈ H ⇒ a′ ∈ H.

Dem:

48

Teorema 2: Sejam G,∗ um grupo e H uma parte não vazia de G. O par H,∗ é umsubgrupo de G,∗ se, e somente se, é válida aseguinte condição: ∀a, b ∈ H ⇒ a ∗ b′ ∈ H.

Dem:

Exemplo: Consideremos ℝ2,+ onde a, b + c, d = a + c, b + d e o conjuntoH = x, y ∈ ℝ2/y = 2x.

Mostrar que H,+ é um subgrupo do ℝ2,+.

Exercícios do livro: Página 158: 28,29,31 a 34, 36 a 39, 41,42,44.

49

HOMOMORFISMO E ISOMORFISMOS DE GRUPOS

Definição 9: Dá-se o nome de homomorfismo de um grupo G,∗ num grupo J,Δ atoda aplicação f : G → J tal que, quaisquer que sejam x, y ∈ G tem-se fx ∗ y = fxΔfy.

OBS: Se J = G e a operação é a mesma, chama-se homomorfismo de G.

Definição 10: Seja f : G → J um homomorfismo de grupos. Se f for também uma bijeção,então será chamada de isomorfismo do grupo G,∗ no grupo J,Δ. Neste caso, diz-se que f

é um isomorfismo de grupos.OBS: Se J = G e a operação é a mesma, f é um isomorfismo de G.Notação: G,∗ ≅ J,Δ.

Exemplos:1) Sejam ℝ,+ um grupo aditivo e ℝ+

∗, ⋅ grupo multiplicativo. A função f : ℝ → ℝ+∗ dada

por fx = 2x é um homomorfismo de ℝ,+ em ℝ+∗, ⋅.

É um homomorfismo injetor? simÉ um homomorfismo sobrejetor? simÉ um isomorfismo de grupos? sim

2) Sejam ℂ∗, ⋅ um grupo multiplicativo e ℝ+∗, ⋅ grupo multiplicativo. A função f : ℂ∗ → ℝ+

∗

dada por fz = |z| é um homomorfismo de ℂ∗, ⋅ em ℝ+∗, ⋅.

É um homomorfismo injetor? nãoÉ um homomorfismo sobrejetor? simÉ um isomorfismo de grupos? não

3) Sejam ℤ,+ um grupo aditivo e ℤm,+ grupo aditivo com m > 1. A função f : ℤ → ℤm

dada por fx = x é um homomorfismo de ℤ,+ em ℤm,+.É um homomorfismo injetor? nãoÉ um homomorfismo sobrejetor? simÉ um isomorfismo de grupos? não

4) Sejam M2ℝ,+ um grupo aditivo e ℝ,+ grupo aditivo. A função f : M2ℝ → ℝ dada

por fa b

c d= a + d é um homomorfismo de M2ℝ,+ em ℝ,+.

É um homomorfismo injetor? nãoÉ um homomorfismo sobrejetor? simÉ um isomorfismo de grupos? não

5) Sejam ℝ+∗, ⋅ grupo multiplicativo e ℝ,+ um grupo aditivo. A função f : ℝ+

∗ → ℝ dadapor fx = logx é um isomorfismo de ℝ+

∗, ⋅ em ℝ,+.

50

6) Sejam ℤ4,+ um grupo aditivo e G, ⋅ grupo multiplicativo onde G = ±i,±1 cuja atábua é dada por:

⋅ 1 −1 i −i

1 1 −1 i −i

−1 −1 1 −i i

i i −i −1 1

−i −i i 1 −1

. A função f : ℤ4 → G dada por f0 = 1, f1 = i, f2 = −1 e

f3 = −i é um isomorfismo de ℤ4,+ em G, ⋅. Mas não é única: g : ℤ4 → G dada porg0 = 1, g1 = −i, g2 = −1 e g3 = i é um isomorfismo de ℤ4,+ em G, ⋅ também.

PropriedadesSejam G,∗ e J,Δ dois grupos cujos elementos neutros respectivos são e1 e e2 e

f : G → J um homomorfismo de G,∗ em J,Δ.1) fe1 = e2

2) Se ∀a ∈ G, então fa−1 = fa−1.

3) fa ∗ b−1 = faΔfb−1

4) Se H é um subgrupo de G, então fH é um subgrupo de J.Dem:

51

Proposição 1: Sejam G, J, e L grupos. Se f : G → J e g : J → L são homomorfismos degrupos, então o mesmo se pode dizer de gof: G → L.

Dem:

Corolário 1: Se f e g são homomorfismo injetores (sobrejetores) então gof também éhomomorfismo injetor (sobrejetor).

Proposição 2: Se f : G → J é um isomorfismos de grupos, então f−1 : J → G também éum isomorfismo de grupos.

Dem:

Exercícios do livro: Páginas 171: 48,49,52,54, 55, 56, 58 (sem fazer o núcleo quando épedido), 59, 60,62,63,64,66,67 e 68,

52

GRUPOS CÍCLICOS

Definição 11: Seja G, ⋅ grupo multiplicativo. Se a ∈ G e m ∈ ℤ, então am ∈ G definido daseguinte maneira:

Se m ≥ 0, então a0 = e elemento neutro de G e am = am−1 ⋅ a se m ≥ 1.

Se m < 0, então am = a−m−1

OBS: em = e.

Exemplo: ℤ5∗, ⋅.

Proposição 3: Seja G, ⋅ grupo multiplicativo. Se m e n são números inteiros e a ∈ G,então:

1) am ⋅ an = am+n

2) a−m = am−1

3) amn = amn

Definição 12: Seja G,+ grupo aditivo. Se a ∈ G e e m ∈ ℤ, a ⋅ m ∈ G definido da seguintemaneira:

Se m ≥ 0, então 0 ⋅ a = e elemento neutro de G e m ⋅ a = m − 1 ⋅ a + a se m ≥ 1.

Se m < 0, então m ⋅ a = −−m ⋅ a

Proposição 4: Seja G,+ grupo aditivo. Se m, n ∈ ℤ e a ∈ G, então:1) ma + na = m + na2) −ma = −ma3) nma = nma

Definição 13: Se a ∈ G onde G, ⋅ é um grupo multiplicativo. Define-sea = am/m ∈ ℤ = a0, a1, a2,… , am,…

onde a ⊂ G e a ≠

Proposição 5:1) O subconjunto a é um subgrupo abeliano de G.

2) Se H é um subgrupo de G ao qual a pertence, então a ⊂ H.

OBS: De 2), tem-se que a é o menor subgrupo de G que inclui o elemento a.Dem:

53

Definição 14: Um grupo multiplicativo G será chamado de grupo cíclico se, para algumelemento a ∈ G, se verificar a igualdade a = G.

Nessas condições, o elemento a é chamado gerador do grupo G.G = am/m ∈ ℤ para algum a ∈ G.

OBS:1) No caso do grupo aditivoG = ma/m ∈ ℤ = … , −2a,−a, e = 0. a, a, 2a,… 2) a não é necessariamente infinito.3) Um grupo cíclico pode ter mais do que um gerador.

Teorema 3: Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico.Dem:

Exemplos:1) ℝ∗, ⋅ grupo multiplicativo−1 ∈ ℝ∗ e temos −1 = −1m/m ∈ ℤ = −1,+1.

Portanto, −1,+1, ⋅ é um grupo cíclico de ℝ∗, ⋅ gerado pelo elemento −1.

2) ℤ,+ é um grupo cíclico pois 1 ∈ ℤ é um elemento gerdor, assim com −1 ∈ ℤ tambémé.

ℤ = 1k/k ∈ ℤ = … ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3,…

3) ℤ,+ grupo aditivo.3ℤ = 3k/k ∈ ℤ = … ,−9,−6,−3, 0, 3, 6, 9,… 3ℤ,+ é um subgrupo cíclico de ℤ,+ gerado pelo elemento 3 ou −3.

4) 1,−1, i,−i, ⋅ é um grupo cíclico pois i é um elemento gerador, assim com −i tambémé.

54

5) 3, 5, 7, 9,∗ definido pela tábua é um grupo cíclico,

∗ 3 5 7 9

3 3 5 7 9

5 5 7 9 3

7 7 9 3 5

9 9 3 5 7

. 5 é o elemento

gerador. 9 também é.

6)ℤ5,+ é um grupo cíclico. 3 é o elemento gerador. Mas 1 , 2 e 4 também são.

7) Devido à teorema anterior, são subgrupo cíclicos de ℤ0 = 01 = −1 = ℤ2 = −2 = … ,−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6,… 3 = −3 = … ,−9,−6,−3, 0, 3, 6, 9,…

55

Teorema: Em grupo cíclico finito de ordem n, para o qual a é o elemento gerador, n é omenor número natural tal que an = e

Definição 15: A ordem, de um subgrupo cíclico finito é igual ao menor número natural n

para qual an = e n. a = e para n ≥ 1.

Exemplos:1) ℝ∗, ⋅ grupo multiplicativo. Subgrupo cíclico gerado por -1 é −1, ⋅ = −1, 1, ⋅.o−1 = o−1 = 2.

Portanto, −1, ⋅ tem ordem finita.

2) ℤ6,+ grupo aditivo.2,+ = 0 , 2 , 4 ,+

o2 = 3 tem ordem finita.o0 = 1, o3 = 2, o1 = o5 = 6, o4 = 3

3) No grupo das permutações S3, o, a ordem do elemento g2 ∈ S3 é 3, ondeS3 = f0, f1, f2, g1, g2, g3g2 , o = f0, g2, g3, oo f0 = 1, o f1 = o f2 = og3 = 2, og1 = 3.

Exercícios do livro: Página 183: 74, 75,76, 78 a 82, 84 a 87, 94 a 98.

56

Capítulo IV:

Página 155; 1,4,7,14 a 20.Página 158: 28,29,31,32,36,38Página 160: 39,41,44Página 171: 48,49Página 172: 54,59,60,62,63,64,66,67Página 183: 74,82,85,86

57

CAPÍTULO 5 - ANEL

DATA ___/___/___

Definição 1: Seja A ≠ munido de duas operações:x, y x + y adição

x, y x. y multiplicaçãoO conjunto A com as duas operações é chamado anel se:1) A,+ é um grupo abeliano2) Se x, y, z ∈ A, então xyz = xyz3) Se x, y, z ∈ A, então xy + z = xy + xz e x + yz = xz + yz

Isto é, os itens 2 e 3 dizem que a multiplicação é associativa e distributiva em relação àadição.

Obs: Adição e multiplicação podem ser outras operações, como ∗ e Δ.

Notação: A,+, ⋅ ou A,∗,Δ

Exemplos:1) (ℤ,+,⋅) anel dos números inteiros.2) (ℚ,+,⋅) anel dos números racionais.3) (ℝ,+,⋅) anel dos números reais.4) (ℂ,+,⋅) anel dos números complexos.5) (MnK,+,⋅ anel de matrizes quadradas de ordem n com coeficientes em K = ℤ,ℚ,ℝ ou

ℂ, ou qualquer outro anel K.6) (ℤm,+,⋅) anel das classes de resto módulo m, m > 1.

7) A,+, ⋅ é um anel das funções de ℤ em ℤ onde A = ℤℤ = f/f : ℤ → ℤ.

Se f, g ∈ A,define-se soma f + g e produto f ⋅ g como sendo:f + g : ℤ → ℤ e f + gx = fx + gx, ∀x ∈ ℤf ⋅ g : ℤ → ℤ e fgx = fx ⋅ gx, ∀x ∈ ℤ

58

Obs: Sejam A um anel e X ≠ um conjunto. AX,+, ⋅ é um anel onde f : X → A, com asoperações análogas ao que foi feito em ℤℤ.

8) Sejam X = a, b, A = ℤ2 = 0, 1. e f uma função f : X → ℤ2 onde:

f =a b

0 0, g =

a b

1 1, h =

a b

0 1e u =

a b

1 0. AX,+, ⋅ é um anel.

9) A = a + b 3 /a, b ∈ ℤ . A,+, ⋅ é um anel.

10) 0A,+, ⋅ é um anel.

Propriedades:Seja A,+,⋅ um anel.Como (A,+) é um grupo abeliano, tem-se:1) O elemento neutro OA é único (é o elemento neutro do A,+).2) O oposto −a de um elemento de A do anel é único.3) Se a1, a2,… , an ∈ A, então −a1 + a2 +…+an = −a1 + −a2 +…+−an.4) Se a ∈ A, então −−a = a.

5) Se a + x = a + y, então x = y (Todo elemento de A é regular). Vale a lei do cancelamentopara adição.

6) A equação a + x = b tem uma e única solucão (x = b + −a).7) Se a ∈ A, então a.0A = 0A. a = 0A.

59

8) Se a, b ∈ A, então a−b = −ab = −ab.

9) Se a, b ∈ A, então −a. −b = a. b.

Definição 2: Sejam a, b ∈ A. Chama-se diferença entre a e b e indica-se por a − b oelemento a + −b ∈ A.

Portanto, a − b = a + −b.

10) Se a, b, c ∈ A, então ab − c = ab − ac e a − bc = ac − bc.

Exercícios do livro: Página 226: 1,2,4,5,12,16,17 e 18.

TIPOS DE ANÉIS

1. Anel comutativoDefinição 3: Seja A um anel. Se a multiplicação de A goza da propriedade comutativa,

isto é, ab = ba para quaisquer a, b ∈ A, então se diz que A é um anel comutativo.

Exemplos:São anéis comutativos:1) ℤ,+, ⋅ anel dos números inteiros.2) ℚ,+, ⋅ anel dos números racionais.3) ℝ,+, ⋅ anel dos números reais.4) ℂ,+, ⋅ anel dos números complexos.5) ℤm,+, ⋅ anel das classes de resto módulo m, m > 1.6) AX,+, ⋅

60

Contra-exemplo: MnK,+, ⋅.

2. Anel com unidade

Definição 4: Seja A um anel. Se A conta com elemento neutro para a multiplicação, isto é,se existe um elemento 1A ∈ A, 1A ≠ 0A tal que:

a ⋅ 1A = 1A ⋅ a = a, ∀a ∈ A

então se diz que 1A é a unidade de A e que A é um anel com unidade.

Exemplos:1) ℤ,+, ⋅ anel dos números inteiros.2) ℚ,+, ⋅ anel dos números racionais.3) ℝ,+, ⋅ anel dos números reais.4) ℂ,+, ⋅ anel dos números complexos.5) ℤm,+, ⋅ anel das classes de resto módulo m, m > 1.6) MnK,+, ⋅ anel de matrizes quadradas de ordem n com coeficientes em K = ℤ,ℚ,ℝ ou

ℂ.

7) AX,+, ⋅ um anel com unidade.u : X → A onde ux = 1A é a unidade do anel AX.

∀f ∈ AX e ∀x ∈ X / f ⋅ ux = fx ⋅ ux = fx ⋅ 1A = fx.

Contra-exemplo: nℤ,+, ⋅ não possuem unidade quando n ≠ ±1.

Exemplo: ℤ4,+, ⋅

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

⋅ 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

61

Potências em um anelDefinição 4:. Seja A um anel com unidade. Se a ∈ A e n é um número natural, define-se

an por recorrência:a0 = 1A

an+1 = an ⋅ a n ≥ 0

Propriedades:Seja A um anel com unidade. Se a ∈ A e n, m são um números naturais,então:

1) am ⋅ an = am+n

2) amn = amn

3. Anéis comutativos com unidadeDefinição 5: Um anel cuja multiplicação é comutativa e que possui unidade chama-se

anel comutativo com unidade.

Exemplos:1) ℤ,+, ⋅ anel dos números inteiros.2) ℚ,+, ⋅ anel dos números racionais.3) ℝ,+, ⋅ anel dos números reais.4) ℂ,+, ⋅ anel dos números complexos.5) ℤm,+, ⋅ anel das classes de resto módulo m, m > 1.6) AX,+, ⋅ um anel com unidade.

62

4. Anéis FinitosDefinição 6: Seja A,+, ⋅ um anel. Se A é um conjunto finito então A,+, ⋅ é um anel

finito.

Exemplos:1) ℤm,+, ⋅ anel das classes de resto módulo m, m > 1.2) AM,+, ⋅ onde M é um conjunto finito de m elementos e A um conjunto finito de a

elementos. Então AM tem am elementos.

SUBANÉIS

Definição 7: Sejam A,+, ⋅ um anel e L um subconjunto não vazio de A. Diz-se que L éum subanel de A se:

1) L é fechado para as operações que dotam o conjunto A da estrutura de

anel:∀a, b ∈ L ⇒ a + b ∈ L

∀a, b ∈ L ⇒ a ⋅ b ∈ L.

2) L,+, ⋅ também é um anel.

Exemplos:1) ℤ é um subanel de ℚ,ℝ e ℂ.

2) ℚ é um subanel de ℝ e ℂ.

3) ℝ é um subanel de ℂ4) Mnℤ é um subanel de Mnℚ, Mnℝ e Mnℂ.5) Mnℚ é um subanel de Mnℝ e Mnℂ.5) Mnℝ é um subanel de Mnℂ.6) Seja B = a + b 3 /a, b ∈ ℤ . B,+, ⋅ é um subanel de ℝ,+, ⋅.

Obs: Todo anel não-nulo A,+, ⋅ admite pelo menos dois subáneis: A,+, ⋅ e 0,+, ⋅.

63

Proposição 1: Sejam A um anel e L ⊂ A, L ≠ .Então L é um subanel de A, se e somentese, se a − b ∈ L e a. b ∈ L, sempre que a, b ∈ L.

Dem:

Obs: A proposição acima pode ser enunciada como: Sejam A um anel e L

⊂ A, L ≠ .Então L é um subanel de A se e somente se, L é um subgrupo do grupo aditivoA,+ e a. b ∈ L, sempre que a, b ∈ L.

Exemplos:1) B é um subanel de ℝ, onde B = a + b 2 /a, b ∈ ℤ = ℤ 2 .

2) A,+, ⋅ é um anel das funções de ℝ em ℝ onde A = ℝℝ = f/f : ℝ → ℝ.

L = f ∈ A/f1 = 0 é um subanel de A.

64

Sejam A um anel com unidade e L um subanel de A. As seguintes possibilidades podemocorrer:

1) L possui unidade e essa unidade é a mesma de A.Ex: ℤ subanel de ℚ.

2) L não possui unidade, mesmo A sendo um anel com unidade.Ex: 2ℤ subanel de ℤ.

3) L e A são anéis com unidade, mas as unidades são diferentes.

Ex: L =a 0

0 0/a ∈ ℝ é subanel de M2ℝ.

1 0

0 1é unidade de M2ℝ e

1 0

0 0é unidade de L.

Sejam A um anel e L um subanel de A. As seguintes possibilidades podem ocorrer:4) Nem L nem A possuem unidades.Ex: 4ℤ subanel de 2ℤ.

5) A não é um anel com unidade, mas L possui unidade.Ex: A = 2ℤ × ℤ não possui unidade.L = 0 × ℤ é subanel de A cuja unidade é o par 0, 1.

Exercícios do livro: Página 226: 3,6,9,10,12,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29.

65

HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO DE ANÉIS

Definição 8: Dá-se o nome de homomorfismo de um anel A,+, ⋅ num anel B,+, ⋅ a todaaplicação:

f : A → B/∀x, y ∈ A : fx + y = fx + fy e fxy = fxfy.

Obs:1) Se A = B com as mesmas operações, então f será chamada de homomorfismo de A.2) Se f é injetor, então f é um homomorfismo injetor.3) Se f é sobrejetor, então f é um homomorfismo sobrejetor.

Definição 9: Sejam A,+, ⋅ e B,∗, T dois anéis e f : A → B um homomorfismo de A,+, ⋅e B,∗, T. Diz-se que o homomorfismo f é um isomorfismo de A,+, ⋅ em B,∗, T, se esomente se, a função é bijetora.

Exemplos:1) f : A → B com A,+, ⋅ e B,∗, Tfx = 0B x ∈ A é um homomorfismo de anéis.

2) f : ℤ → ℤ2 com ℤ,+, ⋅ e ℤ2,∗, T com a, b ∗ c, d = a + c, b + d ea, bTc, d = ac, bd.

fx = x, 0 é um homomorfismo de ℤ,+, ⋅ em ℤ2,∗, T.

3) ℤ 2 = a + b 2 /a, b ∈ ℤ

f : ℤ 2 → ℤ 2 onde f(a + b 2 = a − b 2 . f é um homomorfismo em ℤ 2 .

66

4) Sejam ℝ,+, ⋅ e ℝ,∗, T onde a ∗ b = a + b + 1 e aTb = a + b + ab.

f : ℝ → ℝ definida como fx = x − 1 é um isomorfismo de ℝ,+, ⋅ em ℝ,∗, T.

5) Sejam ℝ,+, ⋅ e A,+, ⋅ onde A = a, a/a ∈ ℝ.

f : ℝ → A definida como fx = x, x é um isomorfismo de ℝ,+, ⋅ em A,+, ⋅.

6) f : ℤ 2 → ℤ 2 onde fa + b 2 = a − b 2 . f é um isomorfismo em ℤ 2 .

7) Sejam ℤ6,+, ⋅ e ℤ2 × ℤ3,+, ⋅f : ℤ6 → ℤ2 × ℤ3 definida como fa = a , a é um isomorfismo de ℤ6,+, ⋅ e ℤ2 × ℤ3,+, ⋅.Se substituirmos as entradas das tábuas +, ⋅ de ℤ6 pelos correspondes elementos

correspondentes de ℤ2 × ℤ3, obtém-se como resultado exatamente as tábuas de ℤ2 × ℤ3

ℤ6 ℤ2 × ℤ3

0 0 , 0

1 1 , 1

2 0 , 2

3 1 , 0

4 0 , 1

5 1 , 2

67

Contra-exemplo:1) f : ℤ → 2ℤ com ℤ,+, ⋅ e 2ℤ,+, ⋅. fx = 2x não é um homomorfismo de ℤ,+, ⋅ em

2ℤ,+, ⋅.

2) Sejam ℤ4,+, ⋅ e ℤ2 × ℤ2,+, ⋅. ℤ4 e ℤ2 × ℤ2 não são isomorfos.

ℤ4 ℤ2 × ℤ2

0 0 , 0

1 1 , 1

2 0 , 0

3 1 , 1

Proposição 2: Se f : A → B é um homomorfismo de anéis, então:1) f0A = 0B

2) f−a = −fa

3) fa − b = fa − fb

Teorema 1: Se f : A → B um homomorfismo sobrejetor de anéis e suponhamos que Apossua unidade. Então

1) f1A é a unidade de B e, portanto, B também é um anel com unidade.2) Se a ∈ A é inversível, então fa também é e fa−1 = fa−1.Dem:

68

Contra-exemplo: f : ℤ → ℤ2 com fx = x, 0 é homomorfismo, mas não é sobrejetor, poisImf = n, 0/n ∈ ℤ ≠ ℤ2. Neste caso, f1 = 1, 0 ≠ 1, 1.

Proposição 3: Se f : A → B um homomorfismo de anéis e L é um subanel de A, então fLé um subanel de B.

Dem:

Exemplo: f : ℤ → ℤ2 com fx = x, 0 é homomorfismo, então Imf = n, 0/n ∈ ℤ é umsubanel de ℤ2.

Proposição 4: Sejam f : A → B e f : B → C homomorfismos de anéis. Então, gof : A → C

também é um homomorfismo de anéis.Dem:

69

Definição 10: Sejam A um anel e L um subanel de A, ambos com unidade. Se 1A = 1L,diz-se que L é um subanel unitário de A.

Exemplo: L é um subanel do anel ℝ,+, ⋅. L possui unidade, então essa unidade é amesma de ℝ, ou seja, é o número real 1.

Proposição: Se f : A → B um isomorfismo de anéis. Então f−1 : B → A também é umisomorfismo de anéis.

Dem:

70

ANEL DE INTEGRIDADE

Definição 11: Seja A um anel comutativo com unidade. Se para esse anel vale a lei doanulamento do produto, ou seja, se um igualdade do tipo

ab = 0A

em que a, b ∈ A, só for possível para a = 0A ou b = 0A.Então se diz que A é um anel deintegridade ou domínio.

Isto é, se a ≠ 0A e b ≠ 0A, então ab ≠ 0A para ∀a, b ∈ A.

Se ab = 0A, então a = 0A ou b = 0A.

Exemplos: São anéis de integridade:1) ℤ,+, ⋅ anel dos números inteiros.2) ℚ,+, ⋅ anel dos números racionais.3) ℝ,+, ⋅ anel dos números reais.4) ℂ,+, ⋅ anel dos números complexos.

Contra-exemplos:1) 6ℤ,+, ⋅ não é um anel de integridade, onde 6ℤ = 0,±6,±12,… , porque é um anel

comutativo sem unidade.

2) A,+, ⋅ não é um anel integridade, onde A = ℤℤ = f/f : ℤ → ℤ.

Se f, g ∈ A,define-se soma f + g e produto f ⋅ g como sendo:f + g : ℤ → ℤ e f + gx = fx + gx, ∀x ∈ ℤf ⋅ g : ℤ → ℤ e fgx = fx ⋅ gx, ∀x ∈ ℤ.

Considere f, g: ℤ → ℤ da seguinte maneira:

fx =1 se x = 0

0 se x ≠ 0e gx =

0 se x = 0

1 se x ≠ 0

3) (MnK,+,⋅ é um anel com unidade I, mas não é anel de integridade.

Obs: Se não vale a lei do anulamento do produto, então no anel há pelo menos um par deelementos a, b ≠ 0A tais que ab = 0A. Quando isso se verificar, diz-se que a e b são divisorespróprios do zero do anel.

71

Conclusão: Um anel de integridade pode ser definido com um anel comutativo comunidade que não possui divisores próprios do zero.

Exemplo: ℤm,+, ⋅ é um anel comutativo com unidade 1 , mas não é anel de integridade.

Exemplo: ℤ,+, ⋅ não possui divisores de zero.

Exercício: Encontrar os divisores próprios de zero do ℤ6,+, ⋅.

Proposição 4: Um anel de classes de restos ℤm é um anel de integridade se, e somentese, m é um número primo.

Dem:

Proposição 5: Seja A um anel comutativo com unidade. Então A é um anel de integridadese, e somente se, todo elemento não nulo de A é regular para a multiplicação.

Dem:

72

CORPO

Definição 12: Seja A um anel comutativo com unidade. UA é o conjunto de todos oselementos de um anel que têm simétrico multiplicativo (elementos inversíveis).

Obs: UA ≠ e 0A ∉ UA.

Exemplos:1) ℤ,+, ⋅ ⇒ Uℤ = −1,+12) ℚ,+, ⋅ ⇒ Uℚ = ℚ∗

3) ℝ,+, ⋅ ⇒ Uℝ = ℝ∗

4) ℂ,+, ⋅ ⇒ Uℂ = ℂ∗

Definição 13: Seja K um anel comutativo com unidade. Se UK = K∗ = K − 0, então Krecebe o nome de corpo.

Exemplos: São corpos: ℚ,ℝ e ℂ.Mas ℤ não é corpo.

Outra forma de definir: Corpo é todo K,+, ⋅ tal que são válidas:1) K,+ é um grupo abeliano.2) K∗, ⋅ é um grupo abeliano.3) A multiplicação é distributiva em relação a adição.

Exemplos: São corpos:1) ℤm,+, ⋅ com m primo.

2) ℚ 3 ,+, ⋅ sendo ℚ 3 = a + b 3 /a, b ∈ ℚ .

Contra-exemplo: Não é corpo: ℤ 3 ,+, ⋅

73

Propriedades: Seja K,+, ⋅ um corpo. Sejam a, b, c ∈ K

1) −−a = a

2) x + a = b ⇒ x = b − a.

3) a + b = a + c ⇒ b = c

4) a.0 = 0. a = 0

5) a−b = −ab = −ab

6) −a−b = ab

7) ab − c = ab − ac

74

Teorema 2: Todo corpo K,+, ⋅ não possui divisores de zero.Dem:

Proposição 6: Todo corpo é um anel de integridade.Dem:

Proposição 7: Todo anel de integridade finito é corpo.Dem:

75

APÊNDICE A

DEFINIÇÕES

Hipótese = Na lógica tradicional, a proposição particular compreendida como implícita àtese, ou inclusa nela; na lógica moderna, fórmula que figura como pressuposto de umadedução e que, distintamente de um axioma, tem apenas um caráter transitório. Emmatemática, conjunto de dados de que se parte para procurar demonstrar por via lógica umaproposição nova.

Tese = Proposição que se enuncia, que se expõe, que se sustenta.Axioma ou Postulado = Na lógica aristotélica, ponto de partida de um raciocínio

considerado como indemonstrável, evidente.Proposição = palavra utilizada para designar os teoremas de uma certa teoria. É uma

sentença declarativa à qual se pode atribuir um valor lógico.Teorema = Proposição científica que pode ser demonstrada. Formulação fechada de uma

teoria, que pode ser obtida a partir dos axiomas desta teoria através de uma seqüência finitade aplicações das regras de dedução.

Corolário = Consequência imediata de um teorema.Lema = É um teorema cuja utilidade está na prova do próximo teorema.

CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTECaso: P ⇒ Q (vale Q se valer P ou vale P somente se valer Q)A hipótese P é a condição suficiente de Q (suficiente para a validade de Q);A tese Q é a condição necessária de P.

Caso: P ⇔ Q (P se e somente se Q)Qualquer uma das proposições P e Q é ao mesmo tempo necessária e suficiente para a

validade da outra.P e Q são proposições equivalentes.

TIPOS DE DEMONSTRAÇÃO1. Principio da indução.Muito útil para demonstrar proposições que se referem a números inteiros. Ele está

implícito em todos os argumentos onde se diz “e assim por diante”, “ e assimsucessivamente” ou “etc...”

a) Verificar a proposição para o 1º valor de n;b) Suponha verdadeira a proposição para n qualquer dado.c) Mostre que a proposição é verdadeira para n + 1 usando b) como hipótese.

2. Demonstração DiretaHipótese ⇒ Tese

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3. Demonstração indireta~Tese ⇒ ~Hipótese

(Prova-se a contrapositiva da condicional)

4. Demonstração por absurdoHipótese verdadeira e a tese é falsa ⇒ Negação da Hipótese

5. Demonstração de existênciaA demonstração muitas vezes é feita simplesmente exibindo-se um objeto que cumpre

a(s) condição(ões) desejada(s).

6. Demonstração por contra-exemploPara demonstrar que uma proposição ou propriedade é falsa, basta dar um

contra-exemplo.

OBS:O principio da não contradição afirma que uma proposição não pode ser verdadeira

juntamente com sua negação. Em outras palavras, se uma proposição P for verdadeira, suanegação ~P não pode ser verdadeira.

O principio do terceiro excluído afirma que qualquer proposição P é verdadeira ou falsa.Em outras palavras, ou P é verdadeira, ou ~P é verdadeira, não sendo possível uma terceiraalternativa.

P ⇒ Q é equivalente a ~Q ⇒ ~P

77

apostila de algebra

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