Centro Universitrio Salesiano de So Paulo

Vetores Trabalho apresentado como exigncia parcial para obteno de nota em lgebra Linear e Geometria no curso de Engenharia Eltrica/Eletrnica no Centro Universitrio Salesiano. Orientador: Prof. Benedito Manuel Almeida.

Lorena2015Sumrio

Introduo51-Definies61.3 Clculo com Vetores Subtrao de Vetores101.4 Clculo com Vetores Produto de um nmero por Vetores101.5 Vetor Oposto111.6- Decomposio de Vetores121.7- Adio de mais de dois vetores (mtodo do polgono)121.8 Vetor soma de mais de dois vetores142 Aplicaes152.1- Campo Eltrico152.1.1- Principio da superposio162.2 Flechas Linhas de transmisso172.3 Campo Magntico212.4 Mecnica dos Slidos222.4 Qumica23CONCLUSO28BIBIOGRAFIA29

IntroduoNos dias de hoje, o mercado de trabalho exige cada vez mais dos engenheiros, fazendo com que os estudantes se empenhem mais a suprir essa necessidade. Uma dvida frequentemente dos estudantes de engenharia a prtica do aprendem teoricamente, se tudo o que aprendem ter utilidade pratica na sua futura profisso e se tiver, qual a sua finalidade? E os vetores esto dentre essas dvidas, aprendemos em sala de aula a sua parte terica, porm, qual a sua importncia pratica?Este trabalho busca justificar mostrando ao leitor a importncia dos conceitos e aplicaes dos vetores no curso de engenharia eltrica e eletrnica, para poder aplica-lo em sua prtica com base nos estudos feitos durante o curso.Nossos objetivos especficos so trabalhar os conceitos de vetores e aplica-los na engenharia eltrica.Temos como referencial terico o autor Paulo Winterle, o qual apresenta um livro cujo realce est em suas qualidades didticas englobando assuntos como: vetores, produto escalar, vetorial.Cronograma: 12/03/2015 Entrega do projeto; 15/04/2015 Entrega dos relatrios; 13/05/2015 Primeira entrega do relatrio final; 20/05/2015 Apresentao e entrega final do relatrio.

1- DefiniesO que Vetor? Vetor um substantivo masculino que significa condutor ou portador. A palavra vetor pode ter diferentes acepes, dependendo da rea do conhecimento em que empregada. Abaixo algumas reas e o seu devido significado.Na Fsica,vetor toda grandeza que s fica inteiramente determinada quando dado um nmero real que a mede numa dada unidade, uma direo e um sentido.Em Geometria, vetor um raio que vai do foco ou de um dos focos de uma curva a qualquer ponto da mesma curva.Na matemtica,na rea de Clculo Vetorial, vetor o segmento de reta orientado. o conjunto de n quantidades que dependem de um sistema de coordenadas n-dimensionais e que se transformam segundo leis bem determinadas quando se muda o sistema.Em Astronomia, vetor um raio que indica a distancia varivel do centro do Sol ao centro de um planeta.Na rea militar, vetor faz referncia a um veculo que transporta carga explosiva mais especificamente nuclear.Porm nosso objetivo principal a utilizao dos vetores no curso de Engenharia Eltrica.Vetor, como j dissemos, um instrumentos usado, principalmente pela fsica, que rene "dentro de si" trs informaes sobre um corpo ou um mvel. MDULO (intensidade, nmero realno-numrico) SENTIDO DIREOOs vetores so representados por qualquer letra e por uma seta desenhada por sida da letra, como. O mdulo deste vetor representado pela letra que representa o vetor, porm sem a seta em cima,v,ou ento pelo smbolo do vetor entre os sinais matemticos que representam mdulo,||. Para facilitar a nossa compreenso vamos pegar um exemplo simples

Neste exemplo tempos um vetor que possui todas as informaes necessrias. veja: Direo: como vemos, o vetor acima possui a mesma direo da reta r, horizontal; Sentido: Fica notvel que o vetor segue de P para O, da esquerda para direita, neste caso; Mdulo: O mdulo a intensidade do vetor, como j sabemos. O mdulo , graficamente representado, pelo tamanho do vetor desenhado, que em nossa caso de trs unidades de medidas u, ou seja 3u.OBS.: Devemos sempre notar que se a unidade de medida fosse centmetros, o mdulo do vetor seria 3 cm, e se a unidade de medida fosse metros, o mdulo do vetor possuiria 3 metros, etc. Agora, possumos todo o conhecimento necessrio para retornar quela histria e dela tirar todas as informaes do vetor que representa o carro visto. Ento entendemos como:As informaes do vetor so: Sentido: Sentido centro de So Paulo. Direo: A mesma direo da Av. Rebouas. Mdulo: Aproximadamente 190 km/h.1.1 Vetores iguais e Vetores diferentesEste outro item muito importante para entendermos, definitivamente, um vetor. Para que dois vetores sejam iguais eles, necessariamente, precisam possuir mdulos, sentidos e direo iguais. Por exemplo:

Os vetores acima so iguais, pois possuem as trs informaes, que constitui um vetor, iguais.

Se tivermos dois vetores que possuem mdulos e direes iguais, porm sentidos diferentes, dizemos que estes vetores so diferentes e opostos. Por exemplo:

Estes dois vetores so diferentes, pois possuem a mesma direo (horizontal), o mesmo mdulo, porm o sentido contrrio e opostos.

1.2 Clculo com Vetores Adio de VetoresQuando executamos uma operao com vetores, chamados o seu resultado de resultante. Dado dois vetores= A - Oe= B - O, a resultante obtida graficamente tranando-se pelas extremidades de cada um deles uma paralela ao outro.

Em que o vetor soma. Como a figura formada um paralelogramo, este mtodo denominado mtodo do paralelogramo. A intensidade do vetor dado por:

Esta expresso obtida pela lei dos co-senos para o tringulo OC:

E a partir desta equao basta substituir os valores do paralelogramo acima, para se obter a equao do mtodo do paralelogramo.Quando temos um caso particular onde os vetores esto em posies ortogonais entre si, basta aplicar o teorema de Pitgoras.

1.3 Clculo com Vetores Subtrao de VetoresDados dois vetores= A - Oe= B - O, o vetorresultante dado por=-= (A - O) - (B - O) = A - O - B + O; = A - B, ondeA a extremidade eB a origem.

Analiticamente o vetor dado por: Mdulo: Direo: da reta AB Sentido: de B para ASe tivssemos efetuado= A - B, o sentido seria de A para B e o mdulo seria o mesmo.1.4 Clculo com Vetores Produto de um nmero por VetoresO produto de um nmero a por um vetor, resultar em um outro vetordado por: Mdulo: || = a Direo: A mesma de; Sentido: 1) se a > 0 - o mesmo sentido de 2) se a < 0 - contrrio de.

1.5 Vetor OpostoAntes de entrarmos em outra parte importante do estudo de vetor, precisamos entender o que um vetor oposto. Denomina-se vetor oposto de um vetor, o vetorcom as seguintes caractersticas:

A figura representa o vetore o seu oposto.

Detalhes:1.Quando dois vetores tiverem a mesma direo e o mesmo sentido (a = 0), o vetor resultante ser:

2.Quando dois vetores tiverem a mesma direo e os sentidos opostos (a = 180), o vetor resultante ser:

1.6- Decomposio de VetoresSo dados um vetore um sistema de dois eixos ortogonais x e y:

Projetando ortogonalmente as extremidades do vetornos eixos x e y, obtendo suas componentes retangularese.Analiticamente temos: o tringulo OP'P retngulo, portanto.

1.7- Adio de mais de dois vetores (mtodo do polgono)Neste mtodo o objetivo formar um polgono com os vetores que se deseja somar, obedecendo ao seguinte critrio: a partir de um ponto, previamente escolhido, coloca-se um vetor equipolente a um dos outros vetores dados e assim sucessivamente.O vetor soma ou resultante ser aquele que tem origem na origem do primeiro e extremidade do ltimo.Vetor equipolente um vetor que tem o mesmo mdulo, a mesma direo e o mesmo sentido que o vetor considerado. Exemplo: Determinar o vetor soma dos vetores abaixo.

Resoluo: Fixando o ponto O arbitrariamente

Notamos:Quando a extremidade do ltimo vetor coincidir com a origem do primeiro, isto , quando o polgono for fechado, o vetor resultante ser nulo. (R = 0)

Em qualquer ordem de colocao dos vetores, o vetor Resultante ter o mesmo mdulo.1.8 Vetor soma de mais de dois vetoresQuando o sistema formado por mais de dois vetores concorrentes e coplanares, a soluo analtica possvel. Para tanto se deve empregar o mtodo das projees de cada vetor em dois eixos perpendiculares. Neste item vamos considerar o ngulo que o vetor forma com o eixo de referncia como sendo um ngulo menor ou igual a 90. O eixo de referncia ser sempre o eixo x. De acordo com esta conveno, observa-se o ngulo que cada vetor da figura forma com o eixo x.

2 AplicaesAgora, aps definirmos o que so vetores e seus clculos veremos qual a sua utilidade em algumas matrias do Curso de Engenharia Eltrica.2.1- Campo EltricoUmcampo eltrico ocampo de foraprovocado pela ao decargas eltricas, (eltrons,prtonsouons) ou por sistemas delas, em outras palavras, Campo eltrico a regio ao redor de uma carga (positiva ou negativa), na qual, ao se colocar um corpo eletrizado, este fica sujeito a uma fora eltrica. As cargas eltricas colocadas num campo eltrico esto sujeitas ao deforas eltricas, de atrao e repulso.O campo eltrico em um ponto umagrandeza vetorial, portanto representado por um vetor.

Campo eltrico gerado pela carga QQuando o campo eltrico criado em uma carga positiva ele, por conveno, ter um sentido de afastamento.Quando o campo eltrico criado em uma carga negativa ele, por conveno, ter um sentido de aproximao.

Que fique claro que o sentido do campo eltrico depende exclusivamente do sinal da carga eltrica.A equao usada para se calcular a intensidade do vetor campo eltrico (E) dada pela relao entre a fora eltrica (F) e a carga de prova (q):

Unidade noSistema Internacional de Unidades:

Onde N a unidade de fora (Newton) e C a unidade de carga (Coulomb).2.1.1- Principio da superposioA fora com a qual duas cargas interagem no modificada pela presena de uma terceira. Em outras palavras, se uma carga est em presena de outras cargas eltricas, a fora resultantesobre ela a soma vetorial das foras exercidas por cada uma das cargas em separado.

2.2 Flechas Linhas de transmisso Uma informao extremamente til para uso em projetos de linhas de transmisso a flecha. Flecha a distncia vertical entre uma reta que liga os dois pontos de fixao, ou seja, a corda e linha reta tangente curva. Como mencionado anteriormente, a flecha depende do comprimento do vo, da temperatura do cabo e da trao aplicada ao cabo quando este instalado. A flecha pode ser calculada admitindo uma parbola (Primeira figura ) como a funo que define o eixo do cabo ou tomando-se a forma de uma catenria ( Segunda figura), que seria a melhor aproximao. Na prtica, a utilizao da parbola ou invs da catenria conduz a pequenos erros quando o vo tambm pequeno. Por exemplo, menor que 450 metros.Considere a Figura (1), que representa um condutor suspenso em dois suportes rgidos, A e B, separados entre si por uma distncia a. Essa distncia comumente recebe o nome de vo. Como os pontos A e B esto a uma mesma altura, a curva descrita pelo condutor ser simtrica, e seu ponto mais baixo, o vrtice O, encontra-se sobre um eixo a meia-distncia entre A e B.

Figura (1) Condutor suspenso em dois suportes de mesma altura.

A distncia OF = recebe o nome de flecha. Nas linhas de transmisso, as alturas de suspenso (H) dos condutores esto diretamente relacionadas com o valor das flechas e com as distncias dos vrtices das curvas ao solo (h). A flecha formada depende do vo, da temperatura e do valor da trao aplicada ao cabo nos pontos de fixao A e B.A altura h, denominada altura de segurana, estabelecida por normas, em funo da classe de tenso da linha, do tipo de terrenos e dos objetos atravessados pelas linhas.

Figura (2) Condutor suspenso em dois suportes de altura diferente.

Aproximando a figura para se obter uma melhor anlise dos pontos e elegendo um ponto qualquer da curva, tem-se do vrtice da curva a este ponto M um segmento de comprimento ds como pode ser visto na Figura (3).

Figura (3) Foras que Atuam na LT para Efeito de Clculo.

Considerando-se :T a fora de reao da estrutura;H a tenso mecnica horizontal na linha (dado de projeto);g a acelerao da gravidade;ds o segmento do condutor do vrtice at o ponto M; o ngulo formado pela fora tangente da trao e a horizontal.

O que causam as flechas? A energia trmica adquirida pelo condutor devido corrente eltrica (efeito Joule) e s altas temperaturas ambientes causam expanso trmica nas linhas de transmisso, aumentando significativamente o comprimento do condutor e conseqentemente a flecha formada. Na Figura (4) ilustrado o aumento da flecha de Df correspondente ao aumento de temperatura de T0 para T1.

Figura (4) Aumento da flecha formada devido variao de temperatura.

2.3 Campo Magntico a regio prxima a um m que influencia outros ms ou materiais ferromagnticos e paramagnticos, como cobalto e ferro.Compare campo magntico com campo gravitacional ou campo eltrico e ver que todos estes tm as caractersticas equivalentes.Tambm possvel definir um vetor que descreva este campo, chamado vetor induo magntica e simbolizado por . Se pudermos colocar uma pequena bssola em um ponto sob ao do campo o vetor ter direo da reta em que a agulha se alinha e sentido para onde aponta o polo norte magntico da agulha.Se pudermos traar todos os pontos onde h um vetor induo magntica associado veremos linhas que so chamadas linhas de induo do campo magntico. estas so orientados do polo norte em direo ao sul, e em cada ponto o vetor tangencia estas linhas.

As linhas de induo existem tambm no interior do m, portanto so linhas fechadas e sua orientao interna do polo sul ao polo norte. Assim como as linhas de fora, as linhas de induo no podem se cruzar e so mais densas onde o campo mais intenso. 2.4 Mecnica dos SlidosO produto vetorial de dois vetores P e Q definido como sendo o vetor V que satisfaa as condies: A linha de ao V perpendicular ao plano que contem P e Q A intensidade de V e o produto das intensidades de P e Q e do sen do ngulo formado por P e Q e que seja: V= PQ.sen O sentido de V determinado pela regra da mo direita. Determinaremos ps produtos vetoriais de quaisquer dois vetores i, j e k. Considerando primeiramente o produto i x j veremos que esse produto deve ser k j que os vetores i, j e k so mutuamente ortogonais e formam um triedro positivo. Por outro lado, o produto j x i ser igual a k pois a rotao de 90 graus que traz j a i observada como anti horria. Deve ser observado que o produto vetorial de um vetor unitrio, tal como i x i e zero, pois os vetores tem a mesma direo.Os produtos dos pares possveis de vetores so:I x i = 0I x j = kI x k = -jJ x i= -kJ x j = 0J x k= iK x i= -kK x j= -iK x k= 0O produto vetorial dos vetores P= x1i + y1j + z1k e Q= x2i + y2j + z2k e igual a: P x Q= (y1z2 z1y2) i + (z1x2 z2x1) j + (x1y2 y1x2) k2.4 QumicaDada umaligao covalente(AB) podemos ter dois casos:a) A e B apresentam a mesmaeletronegatividade. Aligaochamadacovalente apolarExemplo:FF; OO; ClClb) A e B tem eletronegatividades diferentes.Exemplo:HF; HO; HClConsidere asmolculasH2 e HF:H H e+H F-NamolculaH2, o par de eltrons compartilhado igualmente pelos dois tomos. Na molcula HF compartilhado desigualmente, aparecendo no lado dofloruma pequenacargaformal negativa, enquanto no lado dohidrognioaparece uma carga formal positiva. A molcula de HF dipolo, definindo-semomento dipolara grandeza= . d, sendoda distncia entre os dois centros de cargas formais.Associa-se ao momento dipolar um vetor () com aorientaodada na figura. Para uma molcula com mais de uma ligao, define-se o momento dipolar total (soma vetorial do momento dipolar de cada ligao).a) Setotal 0 molecular polar.Exemplo:

b) Setotal= 0 molcula apolar.Exemplo:

Considere que o vetor momento de dipolo () represente a polaridade de uma ligao qumica. importante chamar a ateno de que a polaridade de uma ligao ou molcula no pode ser medida; apenas o momento de dipolo mensurvel. Como uma entidade vetorial, caracterizado pelo seu mdulo, direo e sentido.

Molculas diatmicas heteronucleares so molculas polares e possuemno nulo. J as molculas diatmicas homonucleares so apolares, pois exibem= 0.A polaridade de molculas tri e poliatmicas depende da soma vetorial dos vetoresindividuais. Essa soma vetorial s pode ser feita aps a determinao dageometria molecular.As molculasCO2(geometria linear),BF3(geometria triangular ou trigonal plana) eCCl4(geometria tetradrica) so apolares. Na figura 2 essas molculas, os momentos de dipolo individuais so cancelados mutuamente em virtude das geometrias moleculares, fazendo com que ovetor momento de dipolo resultante,, tenha mdulo igual a zero. Uma molcula apolar caracterizada por.

Por causa das geometrias moleculares, muitos nions poliatmicos (molculas com carga negativa) so apolares, apesar de formarem compostos inicos com ctions, como:NO3-,SO42-,PO43-...Nas molculas deH2O,NF3eCHCl3(clorofrmio), os momentos de dipolo das ligaes no se anulam e as molculas so ditas polares, j que(momento que o dipolo resultante diferente de zero) (Figura 3).

Considere trs tipos de grandeza como funes contnuas do espao tridimensional R 3 (elas tambm podem ser funo do tempo, mas a dependencia temporal irrelevante para as consideraes desta seo com coordenadas cartesianas r = (x, y, z) cujos vetores unitrios canonicos so (ex, ey, ez): = (x, y, z), v = v(x, y, z), T = T(x, y, z). (1.3) um escalar, ou seja, definido por uma componente apenas, um vetor no espao R 3 , e T uma matriz 3 3 (tambm chamada de tensor de ordem 2 no espao R 3) com nove componentes. O produto vetorial entre dois vetores u e v tem como resultado um vetor w cujas componentes so dadas em coordenadas cartesianas em termos das componentes de u e v por: w = u v = (uyvz uzvy, uzvx uxvz, uxvy uyvx)O mdulo de w igual a area do paralelogramo cujos lados so os vetores u e v. A direo de w perpendicular ao plano definido por u e v, e o sentido dado pela regra da mo direita. Por definio, u v = v u. Note tambm que a expresso pode ser calculada como o determinante: w = u v = ex ey ez ux uy uz vx vy vz Suponha que um corpo no instante t = t0 ocupa uma certa regio do espao. A posio espacial de uma partcula pode ser descrita pelo vetor X, medido a partir de um ponto fixo. Seja x o vetor posio da partcula no instante t. Ento, temos x = x(X,t) com x(X,t0) = X (1.1) e essas equaes descrevem o caminho de qualquer partcula que em t = t0 est na posio X (diferentes X's para diferentes partculas). A terna (X1,X2,X3) serve para identificar as diferentes partculas do corpo e conhecida como coordenada material.

CONCLUSOConclumos que a pergunta realizada anteriormente fora obtida com xito, visto que abrangemos de forma incisiva e terica no s na teoria, mas tambm as suas aplicaes prticas.

BIBIOGRAFIAhttp://bdm.unb.br/bitstream/10483/4172/1/2012_NeilMartinsdaSilva.pdfhttp://www.ufjf.br/ppee/files/2008/12/211049.pdfhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9tricohttp://www.infoescola.com/fisica/campo-eletrico/http://www.brasilescola.com/fisica/campo-eletrico.htmhttp://educacao.globo.com/fisica/assunto/eletromagnetismo/forca-eletrica-e-campo-eletrico.htmlhttp://www.cefetsp.br/edu/okamura/vetores_resumo_teorico.htm