vetores i

7/29/2019 Vetores I

1/13

Vetores I

1 - O VETOR

Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.

Observe que o segmento orientado AB caracterizado por trs aspectos bastantedefinidos:

comprimento (denominado mdulo) direo sentido (de A para B)

Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientadosequipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos orientadosque possuem o mesmo comprimento, a mesma direo e o mesmo sentido de AB.

Assim, a idia de vetor nos levaria a uma representao do tipo:

Na prtica, para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitossegmentos orientados que o compe. Guarde esta idia, pois ela importante!

Sendo u um vetor genrico, o representamos pelo smbolo:

Para facilitar o texto, representaremos o vetor acima na forma em negrito u . Todasas representaes de letras em negrito neste arquivo, representaro vetores. Omdulo do vetoru, ser indicado simplesmente por u, ou seja, a mesma letraindicativa do vetor, sem o negrito.

Podemos classificar os vetores em tres tipos fundamentais:

7/29/2019 Vetores I

2/13

Vetor livre - aquele que fica completamente caracterizado, conhecendo-se o seumdulo, a sua direo e o seu sentido.Exemplo: o vetoru das figuras acima.

Vetor deslizante - aquele que para ficar completamente caracterizado, devemos

conhecer alm da sua direo, do seu mdulo e do seu sentido, tambm a retasuporte que o contm. Os vetores deslizantes so conhecidos tambm comocursores.Notao: (u, r) - vetor deslizante (cursor) cujo suporte a reta r .Exemplo: ver figura abaixo

Vetor ligado - aquele que para ficar completamente caracterizado, devemosconhecer alm da sua direo, mdulo e sentido, tambm o ponto no qual estlocalizado a sua origem.

Notao: (u, O) - vetor ligado ao ponto O.Exemplo: ver figura abaixo.

Notas:

a) o vetor ligado tambm conhecido como vetor de posio.

b) os vetores deslizantes e os vetores ligados, possuem muitas aplicaes noestudo de Mecnica Racional ou Mecnica Geral, disciplinas vistas nos semestresiniciais dos cursos de Engenharia.

c) neste trabalho, ao nos referirmos aos vetores, estaremos sempre considerandoos vetores livres

1.1 - O VETOR OPOSTO

Dado o vetoru , existe o vetor- u , que possui o mesmo mdulo e mesma direodo vetoru , porm , de sentido oposto.

1.2 - O VETOR UNITRIO (VERSOR)

Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITRIO , ao vetor cujo mdulo seja igual unidade, ou seja:| u | = u = 1.

7/29/2019 Vetores I

3/13

1.3 - O VETOR NULO

Vetor de mdulo igual a zero, de direo e sentido indeterminados.Notao: 0

2 - A PROJEO DE UM VETOR SOBRE UM EIXO

Veja a figura abaixo, na qual o vetoru forma um ngulo com o eixo r.

Teremos que o vetorux ser a componente de u segundo o eixo r , de medidaalgbrica igual aux = u . cos . Observe que se = 90 , teremos cos = 0 e, portanto, a projeodo vetor segundo o eixo r, ser nula.

3 - A NOTAO DE GRASSMANN PARA OS VETORES

Considere o vetoru na figura abaixo, sendo A a extremidade inicial e B aextremidade final do vetor.

Grassmann (matemtico alemo - 1809/1877) interpretou a situao, como oponto B obtido do ponto A, atravs de uma translao de vetoru .

Assim, pode-se escrever:

B = A + u e, portanto, pode-se escrever tambm: u = B - A

Esta interpretao, um vetor enxergado como uma diferena de dois pontos,permitir a simplificao na resoluo de questes, conforme veremos na

seqncia deste trabalho.

4 - UM VETOR NO PLANO COMO UM PAR ORDENADO

Considere o vetoru, representado no plano cartesiano Oxy, conforme figuraabaixo:
http://www.paulomarques.com.br/arq8-1.htmhttp://www.paulomarques.com.br/arq8-1.htm

7/29/2019 Vetores I

4/13

Pela notao de Grassmann, poderemos escrever:P = O + uu = P - OSe considerarmos que o ponto O a origem do sistema de coordenadas

cartesianas e, por conseguinte,O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y (ordenada), teremos oponto P(x, y).Substituindo acima, vem:u = P - O = (x, y) - (0, 0) = (x - 0 , y - 0 ) = (x, y).Portanto,u = (x, y)

Logo, o vetoru, fica expresso atravs de um par ordenado, referido origem dosistema de coordenadas cartesianas.Neste caso, o mdulo do vetoru (aqui representado por u , conforme conveno

adotada acima), sendo a distncia do ponto P origem O, ser dado por:

5 - UM VETOR NO PLANO, EM FUNO DOS VERSORES DOS EIXOSCOORDENADOS

Vimos acima que um VERSOR, um VETOR de mdulo unitrio. Vamos associarum versor a cada eixo, ou seja: o versori no eixo dos x e o versorj no eixo dos y ,conforme figura abaixo:

7/29/2019 Vetores I

5/13

O par ordenado de versores (i,j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2,ou seja, base do plano cartesiano Oxy.

Verifica-se que um vetoru = (x, y) , pode ser escrito univocamente como:u = x.i + y.j

Analogamente, se em vez do plano R2, estivssemos trabalhando no espao R3,poderamos considerar os versores i,j e k , respectivamente dos eixos Ox, Oy eOz , conforme figura abaixo, e a representao do vetoru, no espao seria:u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k

Analogamente, o terno (i,j, k) , ser a BASE do espao R3 .

O mdulo do vetoru = x.i + y.j + z.k ser dado por:

A demonstrao desta frmula fcil, quando soubermos determinar o produtointerno de vetores, conforme voc mesmo confirmar na seqncia deste trabalho.

6 - OPERAES COM VETORES

6.1 - ADIO

Dados dois vetores u e v , define-se o vetor soma u + v , conforme indicado nasfiguras abaixo.

Regra do tringulo Regra do paralelogramo

7/29/2019 Vetores I

6/13

7/29/2019 Vetores I

7/13

c) se dois vetores so perpendiculares, ( = 90 e cos 90 = 0) ento o produtointerno deles ser nulo.

d) o produto interno de dois vetores ser sempre um nmero real.

e) o produto interno de vetores tambm conhecido como produto escalar.

6.4.1 - CLCULO DO PRODUTO INTERNO EM FUNO DAS COORDENADASDO VETOR

Sejam os vetores u = (a, b) = a i + bj e v = (c, d) = c i + djVamos multiplicar escalarmente os vetores u e v .u.v = (a i + bj).(c i + dj) = ac i.i + ad i.j + bcj.i + bdj.j

Lembrando que os versores i ej so perpendiculares e considerando-se asconcluses acima, teremos:

i.i =j.j = 1 e i.j =j.i = 0Da, fazendo as substituies, vem:u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd

Ento conclumos que o produto interno de dois vetores, igual soma dosprodutos das componentes correspondentes ou homnimas.

Unindo a concluso acima, com a definio inicial de produto interno de vetores,chegamos a uma importante frmula, a saber:

Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d)J sabemos que: u.v = u.v.cos = ac + bdLogo, o ngulo formado pelos vetores, ser tal que:

Onde u e v correspondem aos mdulos dos vetores e a, b, c, d so as suascoordenadas.Portanto, para determinar o ngulo formado por dois vetores, basta dividir oproduto interno deles, pelo produto dos seus mdulos. Achado o coseno, o ngulo

estar determinado.

Veremos um exerccio de aplicao, no final deste arquivo.

Vamos demonstrar o teorema de Pitgoras, utilizando o conceito de produtointerno de vetores.

Seja o tringulo retngulo da figura abaixo:

7/29/2019 Vetores I

8/13

bvio que: w = u + v

Quadrando escalarmente a igualdade vetorial acima, vem:w2 = u2 + 2.u.v + v2

Dos itens (b) e (c) acima, conclumos que w2 = w2 , u2 = u2 , v2 = v2 e u.v = 0(lembre-se que os vetores u e v so perpendiculares).

Assim, substituindo, vem:

w

2

= u

2

+ 2.0 + v

2

, ou, finalmente: w

2

= u

2

+ v

2

(o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos).

Agora, convidamos ao visitante, a deduzir o teorema dos cosenos, ou seja : emtodo tringulo, o quadrado de um lado igual soma dos quadrados dos outrosdois lados, menos o dobro do produto desses lados pelo coseno do nguloformado entre eles.

Existe uma outra operao elementar definida no espao R3 , denominadaPRODUTO VETORIAL ou PRODUTO EXTERNO, que ser objeto de discussona prxima atualizao desta pgina, prevista para a primeira semana de

fevereiro.Para concluir, vamos resolver algumas questes envolvendo vetores.

1 - Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i - 5j e v = i +j , pede-se determinar:a) o vetor soma u + vb)o mdulo do vetoru + vc)o vetor diferena u - vd)o vetor 3 u - 2 ve)o produto interno u.vf)o ngulo formado pelos vetores u e v

SOLUO:a)Temos: u = (2, -5) e v = (1, 1). Logo, u + v = (2, -5) + (1, 1) = (3, -4) = 3 i - 4jb)| u + v| = 32 + 42 = 25 = 5 ou 5 u.c (u.c. = unidades de comprimento).c) u - v = (2, -5) - (1, 1) = (1, -6) = i - 6jd)3u - 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17je) u.v = 2.1 + (-5).1 = - 3f) conforme visto acima, teremos que calcular os mdulos de u e de v .

7/29/2019 Vetores I

9/13

Vem:u = 22+(-5)2 = 4+25 = 29 e v = 12+12 = 2Logo, cos = (-3) / 29. 2 = (-3) / 58 = (-3/58). 58 - 0,3939Ento, o ngulo ser igual aproximadamente a 113,19738 , obtido numacalculadora cientfica.

2 - Dado o vetor no espao R3, u = x.i + y.j + z.k , deduza a frmula para o clculodo mdulo u , vista no item 5.

DICA: determine o produto interno u.u , lembrando que os versores i,j, k soperpendiculares dois a dois e, portanto os produtos internos sero nulos.Como u.u = u2, teremos: u = u.u .

No prximo captulo, resolveremos mais questes e daremos continuidade aoassunto, apresentando PRODUTO VETORIAL.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 10/01/2000

Vetores II

No texto a seguir,os vetores sero indicados atravs de

letras em negrito e os seus mdulos, atravs das mesmas

letras sem o negrito.

Exemplo: u indicar o mdulo do vetor u.

Considere dois vetores u e v pertencentes ao espao R3.

Define-se o Produto Vetorial u x v como sendo um terceiro

vetorw, com as seguintes caractersticas:

a) o mdulo dew w = |u x v| = u.v.sen, onde o ngulo

formado pelos vetores u e v.

b) a direo dew perpendicular ao plano dos vetores u e v.
http://www.paulomarques.com.br/arq16-1.htm#item5http://www.paulomarques.com.br/arq16-2.htmhttp://www.paulomarques.com.br/arq16-1.htm#item5http://www.paulomarques.com.br/arq16-2.htm

7/29/2019 Vetores I

10/13

c) o sentido do vetorw = u x v dado pela regra da mo

esquerda:

Dispondo-se os dedos mdio e indicador da mo esquerda,

apontando no mesmo sentido dos vetores u e v, o dedo

polegar apontar o sentido do vetorw.

Veja a figura a seguir:

Notas importantes:

1 o produto vetorial tambm denominado produto

externo.

2 do item (c) da definio dada, conclui-se que uxv = -

(vxu), ou seja, o produto vetorial uma operao no

comutativa.

3 se = 0, ou seja, os vetores u e v so paralelos,

o mdulo do vetorw = uxv ser w = u.v.sen 0 = u.v.0 = 0 e,

portanto, o vetorw = uxv ser o vetor nulo.

Observe ento que o produto vetorial de dois vetores pode ser

nulo, sem que pelo menos um dos vetores seja nulo; basta que

eles sejam paralelos.

4 se = 90, ou seja, os vetores u e v so

perpendiculares, o mdulo do vetorw = uxv ser w =

u.v.sen90 = u.v.1 = u.v

5 Lembrando dos vetores unitrios(ou seja, de mdulo igual

a 1) do espao R3, i,j e k, os quais so perpendiculares

entre si dois a dois, e, baseados nas notas (3) e (4) acima,

podemos escrever as seguintes igualdades relativas aos

produtos vetoriais dos vetores unitrios i, j e k:

i x i = 0 i x j = k

j xj = 0 j x k= i

kx k= 0 kx i =j

Para melhor entender a tabela acima, basta lembrar que

vetores paralelos possuem produto vetorial nulo (todo vetor

paralelo a si prprio e portanto, i // i, j // j e k // k)e

tambm lembrar que os vetores i, j, k so perpendiculares

entre si dois a dois.

7/29/2019 Vetores I

11/13

6 Vimos em Trigonometria que a rea de um tringulo pode

ser calculada pelo semi-produto das medidas de dois dos seus

lados,pelo seno do ngulo que eles formam, ou seja:

A = 1/2 .a.b.sen , onde a e b so as medidas de dois lados

e

o ngulo formado entre eles, e A rea.

Nestas condies, considere o paralelogramo da figura abaixo:

Ento, o tringulo limitado

pelos vetores u e v que formam

entre si o

ngulo , ter uma rea dada por

A = 1/2.u.v.sen

A rea S do paralelogramo, ser evidentemente igual ao dobro

da rea deste tringulo, ou seja: S = 2.A = u.v.sen

Ora, u.v.sen , exatamente, o mdulo do produto vetorial

uxv, conforme j vimos acima.

Logo, a concluso final que:

A rea do paralelogramo construdo a partir dos vetores u e v

,

igual ao mdulo do produto vetorialu x v.

Assim,S = |u x v|

Antes de resolver e propor exerccios, temos que aprender a

determinar o produto vetorial de dois vetores.

Sejam os vetores

u = (a,b,c) = a.i + b.j + c.k

v = (d,e,f) = d.i + e.j + f.k

Suponha que u x v = (x,y,z) = x.i + y.j + z.k

Teremos:

x.i + y.j + z.k = (a.i + b.j + c.k) x (d.i + e.j + f.k)

Efetuando as operaes indicadas no segundo membro da

igualdade acima, vem:

x.i + y.j + z.k = a.d.(ixi) + a.e.(ixj) + a.f.(ixk) + b.d.

7/29/2019 Vetores I

12/13

(jxi) + b.e.(jxj) + b.f.(jxk)+ c.d.(kxi) + c.e.(kxj) + c.f.

(kxk)

Observando pela tabela anterior que i x i = k x k = j x j =

0,

e substituindo acima, vem:

x. i + y.j + z.k =

a.e.(ixj) + a.f.(ixk) + b.d.(jxi) + b.f.(jxk)+ c.d.(kxi)+

c.e.(kxj).

Observando ainda que: i x j = k, k x i = j, j x k = i,

j x i = -k, k x j = -i e i x k = -j, vem, substituindo:

x . i + y.j + z.k =

a.e.k + a.f.(-j) + b.d.(-k) + b.f.i + c.d.j + c.e.(-i).

Somando os termos semelhantes e arrumando convenientemente,

vem:

x.i + y.j + z.k = (b.f c.e).i + (c.d a.f).j + (a.e

b.d).k

Comparando ambos os membros da igualdade obtida, vem:

x = b.f - c.e

y = c.d a.f

z = a.e b.d

Portanto, em resumo, teremos:

Dados os vetores

u = (a,b,c) = a.i + b.j + c.kv = (d,e,f) = d.i + e.j + f.k

O produto vetorial u x v ser o vetor

w = (x,y,z) = x.i + y.j + z.k , onde x, y e z so dados pelas

relaes acima, ou seja:

x = b.f - c.e

y = c.d a.f

z = a.e b.d

O resultado acima, pode ser expresso na forma de

determinante, conforme abaixo:

Vamos agora resolver o seguinte problema:

Calcule a rea do tringulo cujos vrtices so os pontos

A(2,1,-1), B(1,-1,0) e C(-1,1,2).

7/29/2019 Vetores I

13/13

Soluo:

Considere a figura a seguir:

Como j vimos no captulo de Vetores I, usando a notao deGrassman para vetores, podemos escrever:

AB = B A = (1,-1,0) (2,1,-1) = (-1,-2,1)

AC = C A= (-1,1,2) (2,1,-1) = (-3,0,3)

Como j sabemos, o mdulo deste vetor, nos dar a rea do

paralelogramo. A rea do tringulo, ser ento, a metade da

rea deste paralelogramo.

Teremos:

Mdulo do vetorAB xAC :

Portanto, a rea do paralelogramo igual a

62Ento, a rea do tringulo ser a metade, ou seja:

32Cujo valor aproximado 4,2.

A rea do tringulo vale ento aproximadamente

4,2 unidades de rea ou 4,2 u.a.

Agora, resolva este:

Determine a rea do tringulo de vrtices

P(3,2,4), Q(1,1,1)e R(2,1,0).

Resposta: aproximadamente 2,6 u.a.

Nota: as figuras foram executadas pelo meu filho

Rafael C. Marques, 14.

vetores i

Documents