veja a tabela abaixo com as notas de um aluno qualquer, em cinco disciplinas durante o ano de 2010....

Veja a tabela abaixo com as notas de um aluno qualquer, em cinco disciplinas durante o ano de 2010.

Matrizes – Conceitos Básicos

Nada mal, embora ele precise melhorar em português e matemática. Porém, nosso negócio aqui é matemática, então repare que cada número tem o seu lugar nesta tabela;Se destacarmos apenas a parte numérica, a tabela ficará assim:

A tabela acima é uma MATRIZ.

6,0 3,5 5,0 7,0 5,5

4,0 4,5 5,0 8,0 5,0

4,5 5,5 5,0 5,0 5,0

3,0 6,5 6,0 5,5 7,5


Colocando em notação matemática teremos:

Esta matriz é do tipo 4x5, pois tem 4 linhas e 5 colunas.

5,7

5

5

5,5

5,565,63

555,55,4

855,44

755,36

A


• As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas.

• Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.

• Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A.

• Ele é escrito como aij.


a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1a11x 1 +


a11 a12 a13a21 a22 a23

a1n...... a2n

a31 a32 a33 a3n...

... ... ... ...

...

am1 am2 am3 amn...

Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij

Sendo dado o sistema

... +a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2

a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3...

am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n =bm

Vamos considerar uma tabela com os coeficientes das incógnitas

A =

Matrizes – Conceitos Básicos Elementos de uma matriz:

874100245210221

3x5

a13=

a34=

2

7

Amxn = [aij]mxn

As matrizes podem ser classificadas segundo:

A natureza dos elementos

A forma


Segundo a forma em:Segundo a forma em:1. Retangular1. Retangular

2. Quadrada2. Quadrada

4. Coluna4. Coluna

3. Linha3. Linha

Se o número de linhas é diferente do número de colunas

Se o número de linhas é igual do número de colunas

Se o número de colunas é igual a um

Se o número de linhas é igual a um

53

054421252043201

33

231310201

13

101

31221

Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m


Segundo a natureza dos elementos em:Segundo a natureza dos elementos em:5. Real:

6. Complexa:

7. Nula:

se todos os seus elementos são reais

ijij aAa :

se pelo menos um dos seus elementos é complexo

CaAa ijij :

se todos os seus elementos são nulos

0: ijij aAa

100251

10251

i

000000


Segundo a natureza dos elementos em:Segundo a natureza dos elementos em:

8. Triangular Superior

9. Triangular Inferior

0: ijij ajiAa

uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos

uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos

0: ijij ajiAa

5000620003007211

5103022000250001


Segundo a natureza dos elementos em:

10. Diagonal

11. Escalar

0: ijij ajiAa

uma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos

5000020000000001

uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais

ij

ijij

aji

ajiAa 0:

2000020000200002


Segundo a natureza dos elementos em:

12. Identidade:

Matriz com n linhas e n colunas, diagonal principal com todos os elementos iguais a 1, e os demais elementos iguais a zero.

1

0:

ij

ijij

aji

ajiAa

1000

0100

0010

0001

33xI


13. Simétrica

5740723243010211se os elementos aij são iguais aos aji

Segundo a natureza dos elementos em:Segundo a natureza dos elementos em:

14. Densa

15. Dispersa

se a maioria dos seus elementos são não nulos

se a maioria dos seus elementos são nulos


645

046

633

BAC

Soma de Matrizes

Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de

342015321

A

303031312

B

A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.

njmibac

BACMCMBA

ijijij

nmnm

,,1,,1;

:,

Matrizes – Operações com Matrizes

ABBAMBA nm ,

goza das seguintes propriedades:

Comutativa

Associativa

Tem elemento neutro

Todos os elementos têm inversa

A soma de matrizes do mesmo tipo

)()(,, CBACBAMCBA nm

AAMOMA nmnm 0:

0: BAMBMA nmnm


goza das seguintes propriedades:

Comutativa

Associativa

Tem elemento neutro

Todos os elementos têm inversa

A soma de matrizes do mesmo tipo

Assim o conjunto M Assim o conjunto M mxnmxn forma forma

umum Grupo Aditivo ComutativoGrupo Aditivo Comutativo


Produto por um escalar (número real)Sejam A uma matriz e um escalar

O produto de por A é uma matriz C

342

015

321

A

9126

0315

963

3 A

que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por

njmiac

ACMAMA

ijij

nmnm

,,1,,1;

:

do mesmo tipo de A


AA

e os escalares e as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A e Bdo mesmo tipo

AAA )(

BABA

AA1


a11 a12 a13

a21 a22 a23

a1n...... a2n

a31 a32 a33 a3n...

... ... ... ...

...

am1 am2 am3 amn...

Matriz de ordem m por n de elementos aij

Consideremos o sistema

a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1a11x1 + ... +

a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3...

am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm

=

b1

b2

b3

...bm

x1

x2

x3

...

xn


Multiplicação de Matrizes Multiplicação de Matrizes CASO 1CASO 1

Multiplicar uma matriz linha por uma matriz colunaMultiplicar uma matriz linha por uma matriz colunaSó se podem multiplicar matrizes se Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunaso número de colunas de A for de A for igual ao número de linhasigual ao número de linhas de B. de B.

C = A.B

A = B =

AA..BB = [1.0 + 0.4 + (-1).(-1) + 2.5] = [11] = [1.0 + 0.4 + (-1).(-1) + 2.5] = [11]

2101

5

1

4

0


Multiplicação de Matrizes Multiplicação de Matrizes CASO 2CASO 2


Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz colunacolunaFaz-se o produto de cada linha da primeira matriz pela coluna.

Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas da matriz for igual ao número de elementos da matriz coluna.

C = A.B

5

1

4

0

B

1321

0201A

51)1(34201

50)1(24001BA

10

2BA

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=x3

3x3iguais

2x3


Multiplicação de Matrizes - CASO 3Multiplicação de Matrizes - CASO 3

O elemento O elemento ccijij da matriz da matriz CC é o produto da é o produto da linha linha ii da matriz da matriz AA pela coluna pela coluna jj da matriz da matriz BB

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=x3

3x3

8

2x3




1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=x3

3x3

8

2x3

12




1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=x3

3x3

8

2x3

12 15




1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=x3

3x3

8

2x3

12 15

15




1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=x3

3x3

8

2x3

12 15

15 29




1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=x3

3x3

8

2x3

12 15

15 29 27




Produto de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo

O produto de A por B é uma matriz C do tipo

cujos elementos são dados por:

mxp

n

kjkkiji bac

1e escreve-se C = AB.

nxp.

O produto de matrizes não é comutativo


CBACBA

Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar.

CBCACBA )(

CABACBA

BABABA


232223 xxx ABBxA


Iguais

Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo

O produto de A por B é uma matriz C do tipomxp

nxp.

Produto de Matrizes

Lembre-se: linhas da 1ª x colunas da 2ªLembre-se: linhas da 1ª x colunas da 2ª

Transposição de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn.

Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:

jiji ab mjni ,....;,..., 11

e escreve-se B = AT

5305442

12520

43201

A

35014

523

452

420

201

TA


AATT

Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A e B e a um escalar.

TTT BABA )(

TT AA

TTT ABBA


A matriz B diz-se OPOSTA da matriz A se os elementos de B forem os opostos dos elementos correspondentes de A.

Conclusão: B = - AConclusão: B = - A

560

142

203

A

560

142

203

B

Matrizes – Matriz Oposta

Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que:

ABAB = = BABA = = II

então diz-se que A é invertível e escreve-se: B = A-1

10

21

10

21BA

10

01

10

21

10

21

10

01

10

21

10

21

Matrizes – Matriz Inversa

Como encontrar a matriz inversa de uma matriz A dada?

Vamos lembrar que sendo: B = A-1, então teremos: A . B = I ou ainda, A . A-1 = I

10

21A 2

1 IAA

10

01

10

21

dc

ba

10

0122

dc

dbca


Resolvendo os sistemas obtidos:

0,10

12

cac

ca

10

211AB

1,21

02

dbd

db

Assim a matriz inversa será:


veja a tabela abaixo com as notas de um aluno qualquer, em cinco disciplinas durante o ano de 2010....

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