Calculo de Funcoes de Varias Variaveis

Eduardo Henrique Fernandes RosaDepartamento Academico de Matematica - DAMAT

2014Curitiba - PR

Duas Restricoes

Introducao

Ao comecarmos a estudar o Metodo dos Multiplicadores de Lagrange, fomos apresentados a problemasonde deveramos maximizar ou minimizar funcoes tendo uma restricao, ou seja, encontramos quais ospontos de uma certa regiao dada (restricao) que maximizam a funcao alvo.

Agora vamos extender um pouco este problema da seguinte maneira:Dada uma funcao, queremos maximizar ou minimizar a mesma, sujeita a nao apenas a uma, e sim

a duas, restricoes.Para tanto avaliemos o seguinte problema preliminar:Suponhamos que queremos otimizar o volume de uma caixa retangular de forma que a area da

superfcie seja de 1500 cm2 e o comprimento total dos lados seja de 200 cm2.Pelo que ja temos de teoria do Metodo dos Multiplicadores de Lagrange, podemos ate tentar

resolver este problema da seguinte maneira:Como o comprimento total dos lados e 200, segue que 50 = x+y+z e assim x = 50yz. Tambem

sabemos que a superfcie e 1500 e portanto que 750 = xy + xz + yz. Aqui podemos substrituir o xencontrado a partir da primeira informacao na segunda e assim recairamos no caso ja conhecido demaximizar uma funcao com apenas uma restricao. Se quiser, tente fazer as contas.

Mas podemos abordar o mesmo problema de outra forma...

Multiplicadores de Lagrange com duas restricoes

Ideia Central

Da mesma forma que o metodo para uma unica restricao tem forte apelo geometrico, para duasrestricoes podemos fazer comparacao analoga.

Para facilitar na vizualizacao, suponhamos que as restricoes g1 = c1 e g2 = c2 definam superfciesem R3 que se interceptam formando uma curva . Dada uma funcao objetivo (a qual queremosmaximizar ou minimizar), gostaramos de saber em que pontos da curva atingimos o objetivoesperado. E seja F (x, y, z) a funcao objetivo.

O maximo (ou mnimo) agora ocorrera quando OF = Og1 + Og2, ou seja, quando a direcao demaior crescimento da funcao for combinacao linear dos grafientes das funcoes restricoes.

Aplicacoes

Voltemos ao problema dado anteriormente:

Problema.

Resolucao.

Mais um exemplo para fixar as ideias.

Problema. O plano x+ y + 2z = 2 intercepta o paraboloide z = x2 + y2 em uma elipse. Achemos ospontos da elipse mais proximos e mais distantes da origem.

Resolucao.

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