UTILIZAÇÃO DE UM MODELO DE CONTORNO ATIVOPARA EXTRAÇÃO DE ARESTAS EM IMAGENS

Bruno Eduardo Madeira

(Instituto Militar de Engenharia)

Luiz Velho(Instituto de Matemática Pura e Aplicada)

RESUMO Esse trabalho descreve a aplicação de um modelo de contorno ativo como uma

ferramenta de extração de arestas em imagens. Esse modelo faz uso de uma curvaparametrizada que se deforma com o tempo segundo uma EDP. Dependendo das condiçõesiniciais e da imagem processada, a curva evolui e alcança um estado estacionário sobre asbordas de algum objeto na imagem.

INTRODUÇÃO

Os modelos de Contorno Ativo foram introduzidos por Kass, Witkin eTerzoupoulos em 1987. A idéia geral do modelo é a utilização de uma curva deminimização de energia para extrair características importantes de uma imagem. Essaenergia associada à curva é definida de forma que ela seja mínima quando a curva seencontre sobre uma região com as características que se deseja extrair, dessa forma afunção de energia passa a funcionar como uma função objetivo de um problema deotimização. As aplicações de modelos de contorno ativo que mais se destacam seencontram nas áreas: processamento de imagens médicas, segmentação e tracking. Nopresente trabalho o potencial foi definido de forma que a minimização ocorresse quando acurva se encontrasse sobre regiões de alto contraste, essa definição é interessante, pois asbordas dos objetos nas imagens normalmente apresentam essa característica. Um protótipofoi implementado e pôde-se verificar a funcionalidade do método. Esse protótipo permiteao usuário definir a imagem a ser processada, o núcleo do filtro de suavização empregadona eliminação de ruído e uma curva poligonal inicial. Se as condições iniciais forem bemescolhidas e se as características da imagem forem satisfatórias o sistema atinge o estadoestacionário quando a curva está sobre as bordas de um objeto. Se a imagem não forsuficientemente suavizada a curva pode estacionar sobre uma região onde exista umagrande presença de ruído. Por outro lado se a suavização for exagerada é possível que asbordas dos objetos sejam descaracterizadas.

MODELO MATEMÁTICO

O modelo matemático adotado foi baseado no modelo de Snakes original propostopor Kass e Terzopolos utilizando uma força "Balloon" proposta por L. D.Cohen . Nessemodelo definimos uma Snake como sendo uma curva plana parametrizada:

O parâmetro s é responsável por definir o formato da curva e o parâmetro t permiteque a curva se deforme com o tempo.

Define-se uma função de energia potencial associada a Snake, de forma que essaenergia seja mínima quando a Snake se encontre sobre as arestas da imagem. Dessamaneira o problema de extração de arestas é convertido em um problema de otimização.

O problema de otimização a ser resolvido é o de encontrar a curva que minimiza oseguinte funcional de energia:

O termo torna a Snake resistente à tração, e o termo torna a Snake resistente a flexão.

O termo faz com que a Snake tente se posicionar nas regiões da imagemonde o módulo do gradiente é alto, ou seja, esse é o termo responsável pela detecção dasarestas.

A equação de Euler-Lagrange associada a esse funcional é:

Um problema nessa EDP está no fato de que a Snake inicial deve estar muitopróxima das arestas da imagem para que estas causem uma atração sobre a Snake. Isso fezcom que fosse inserido na EDP uma força normal a curva ( Ballon ), como sugerido porCohen. Dessa forma a Snake apresenta uma dinâmica interna que pode ser utilizada para"inflar" ou "esvaziar" a Snake. Quando a Snake passa sobre uma aresta as forças entram emequilíbrio e o sistema entra em um estado estacionário.

Por uma questão de simplicidade optou-se por definir o coeficiente de resistência atração e o coeficiente de resistência a flexão como constantes ao longo da Snake.

Dessa forma a EDP que foi utilizada no protótipo foi a seguinte:

onde n é o vetor normal unitário à Snake no ponto ( p, q ).

Acrescentou-se a essa EDP uma restrição que consiste em restringir o espaço de

curvas admissíveis apenas as curvas fechadas. Essa restrição é importante, pois serve comocondição de contorno para o sistema.

É evidente que uma abordagem algébrica para essa EDP é impraticável, o quesugere uma abordagem numérica para o problema.

REPRESENTAÇÃO DO MODELO

Para que a EDP apresentada anteriormente seja solucionada numericamente, énecessário que a Snake seja discretizada no tempo e no espaço.

A discretização da Snake no espaço corresponde à escolha de uma forma derepresentação para sua geometria. Optou-se por utilizar uma representação poraproximação poligonal. Dá-se o nome de snaxel a cada vértice da linha poligonal querepresenta a Snake.

A discretizacão da Snake no tempo está intimamente ligada à solução da EDP. Paraque pudesse ser feito um esquema simples de solução por diferenças finitas, foi utilizadauma discretização uniforme. Foram feitas as seguintes aproximações por diferenças finitas para as derivadasparciais:

O gradiente de uma imagem ? calculada no pixel ( i , j ) é aproximado da seguintemaneira:

O valor do gradiente em um ponto qualquer da imagem é calculado utilizandointerpolação bilinear do gradiente calculado nos quatro pixeis que envolvem esse ponto.

O vetor normal unitário calculado em cada snaxel foi aproximado pela soma dosvetores normais dos lados adjacentes ao snaxel

Essas aproximações levam a um esquema de solução da EDP onde a Snake evolui

no tempo através da solução de um sistema linear pentadiagonal

Onde temos:

Xt é uma matriz que contém em cada linha a coordenada de um snaxel da Snake

P é uma matriz que contém em cada linha o valor calculado emcada snaxel, onde ? é a imagem e n é o vetor unitário normal à Snake.

hi é a distância entre o snaxel xi e o snaxel xi+1

I é a matriz identidade

t é o tamanho dos intervalos de discretização do tempo

Foi necessário acrescentar uma heurística de inserção e remoção de snaxels paraevitar erros numéricos gerados pela discretização das derivadas, por esse motivo àsdimensões das matrizes do sistema são alteradas durante as iterações. Foi acrescentada também uma restrição sobre o deslocamento dos snaxels. Ossnaxels não podem se deslocar de uma distância superior a um pixel em uma única iteração. EXEMPLOS DE RESULTADOS OBTIDOS

BIBLIOGRAFIA

On Active Contours Models and Ballons, Laurent D. Cohen

Tracking Deformable Objects in the Plane Using an Active Contour Model, FrédericLeymarin & Martin D. Levine