138

6. Transferncia de Massa

6.1 Analogia entre Transferncia de Massa e Transferncia de Calor

Neste captulo considera-se a transferncia de massa, ou transporte de alguma

espcie qumica atravs de um meio em que a espcie atua como um contaminante. Os

processos de transferncia de massa so abundantes na natureza e em muitos processos.

Um exemplo bem familiar a secagem de uma superfcie molhada exposta ao vento. A

lamina de ar que faz contato com a superfcie da camada de gua se torna saturada de

vapor dgua. O vapor a espcie de interesse na mistura de gs ideal representada por

ar mido.

A concentrao de vapor dgua no prximo a superfcie, 0,w , geralmente diferente da concentrao na corrente livre, ,w . A diferena de concentrao

0,0, > ww faz com mais vapor deixe a superfcie de camada de gua. Este processo de evaporao pode ser aumentado a medida que a velocidade longitudinal da

corrente livre varre a superfcie molhada, como ilustrado na Figura 6.1

Figura 5.1 Camada limite de concentrao prximo a uma superfcie molhada varrida

por ar.

Mesmo que no ocorra escoamento, pode ocorrer transferncia de massa por

difuso como ilustrado na Figura 6.2. Um vaso cilndrico de paredes impermeveis

contm um lquido i. O vapor i difundir para cima na coluna de ar estacionria. Ar

mido de gua menos denso que ar seco. Se a coluna larga o bastante, ar mido sobe

139

por conveco natural atravs do centro da coluna, enquanto ar seco toma seu lugar

descendo ao das paredes.

Figura 6.2 Difuso vertical de vapor i atravs de uma coluna unidimensional de ar

acima de um lquido i.

O processo de transferncia de massa por difuso (meios estacionrios)

anlogo ao processo de conduo ou difuso de energia e a conveco tem analogia com

a conveco trmica. O gradiente de concentrao 0=

y

w

y

tem comportamento similar

a 0=

yy

T .

6.2 A Conservao das Espcies Qumicas

6.2.1 Velocidade das Espcies Versus Velocidade Mdia

Se ),,( tyxi a concentrao de espcies qumicas i num meio bidimensional, ento a densidade do meio, , a soma das densidades individuais:

140

=

=N

ii

1

(6.1)

Pode-se demonstrar atravs de balano de massa que

( ) ( )i

iiiii my

vx

ut

=+

+ (6.2)

Na qual ii vu , so as velocidades das espcies i relativas ao volume de controle e im resulta de reaes qumicas. Se no h reaes qumicas 0=im , e mesmo no caso de

ocorrer reaes qumicas a soma de todas as criaes de espcies se anula 01

==

N

iim .

Aplicando o operador somatrio a Eq. (6.2) resulta

0111

=

+

+

===

N

iii

N

iii

N

ii vy

uxt

(6.3)

ou pelo uso da Eq. (6.1) obtm-se a conservao da massa ou equao de continuidade

( ) ( ) 0=+

+

yv

xu

t (6.4)

na qual a densidade do meio fluido composto pelas espcies i e vu, so os componentes de velocidade do meio fluido relativas ao mesmo volume de controle onde

esto as espcies i. Por comparao das Eqs. (6.3) e (6.4) pode-se concluir que

= =

=N

i

N

iiiii vuu

1 1

1,1 (6.5)

A velocidade mdia difere das velocidades das espcies como ser ilustrado na

Figura 6.3. No instante 0=t , uma coluna vertical de ar seco a colocada sob uma coluna de ar saturado com vapor dgua v . Ao longo do tempo, vapor dgua difunde

141

para baixo dentro da coluna de mistura (ar-vapor) relativamente seca, enquanto ar seco

difunde para cima dentro da mistura mida. Em cada seo da coluna, a velocidade de

cada espcie finita, uma positiva ( )0>av e a outra negativa ( )0

142

( )vvj iiiy = , (6.7)

e usando a Eq. (6.2) resulta

( ) ( )i

iyixiii myj

xj

yv

xu

t+

=

++

,, (6.8)

ou na forma no conservativa

( ) ( )i

iyixiii myj

xj

yv

xu

t+

=

++

,, (6.9)

6.2.3 Lei de Fick

Numa mistura binria (espcie 1 e espcie2) pode-se seguir o que foi proposto

por Fick:

xDjx

= 1121, (6.10)

yDjy

= 1121, (6.11)

nas quais a constante de proporcionalidade 12D difusividade de massa da espcie 1 na

espcie 2 ou coeficiente de difuso de 1 em 2. A dimenso de 12D a mesma de

viscosidade cinemtica (difuso de quantidade de movimento) e difusividade trmica

(difuso de calor) m2/s. A equao de concentrao para DD =12 , ou seja, difusividade constante, ser da forma:

( ) ( )i

iiiii myx

Dy

vx

ut

+

+

=+

+

2

2

2

2 (6.12)

143

Compare a Eq. (6.13) com a equao de energia:

( ) ( )pc

qyT

xT

yTv

xTu

tT

+

+

=+

+

2

2

2

2

(6.13)

|As equaes (6.12) e (6.13) mostra a analogia entre transferncia de massa e

transferncia de calor.

6.2.4 Concentrao Molar e Fluxo Molar

No estudo de misturas e solues, define-se frao molar e frao em massa. As

seguintes relaes so definidas, em termodinmica, para uma mistura de N

componentes i

nn

x ii = (6.14)

=

=N

iix

1

1 (6.15)

Vmi

i = (6.16)

Mm

n ii = (6.17)

Mmn = (6.18)

i

N

iiMxM

==

1

(6.19)

144

ii

i MMx

= (6.20)

Num meio estacionrio 3D:

+

+=

2

2

2

2

2

2

zx

yx

xx

Dtx iiii (6.21)

A concentrao molar definida como

Vn

C ii = (6.22)

Da definio de concentrao molar resulta

ii xMC = (6.23)

iii CM= (6.24)

Pode-se definir tambm o fluxo por difuso molar

xC

Dj iix =, (6.25)

As relaes definidas acima se aplicam para qualquer mistura unifsica gasosa, lquida

ou slida. No caso de mistura de gases ideais tem-se que a frao molar e proporcional a

presso parcial

ppx ii = (6.26)

145

6.3 Difuso atravs de um Meio Estacionrio

6.3.1 Difuso em Regime Permanente

A classe mais simples de transferncia de massa por difuso aquela em que a

mistura estacionria e j tenha se passado tempo suficiente desde a imposio de

condies de contorno, de modo que, a difuso da espcie seja independente do tempo.

Considere o caso de um meio unidimensional de espessura L como mostrado no

lado esquerdo da Figura 6.4

(a)

(b)

Figura 6.4 Difuso unidirecional permanente atravs de um meio estacionrio; (a)

espessura constante, (b) anel formado entre cilindros ou esferas concntricos

Considerando a geometria do lado esquerdo da Figura 6.4 a Eq. (6.21) se reduz

a

022

=dyxd i (6.27)

com as condies de contorno

Ly em

0y em0====

Li

i

xxxx

(6.28)

A soluo da Eq. (6.27) com as condies de contorno (6.28) da forma:

146

( ) 00 xLyxxx Li += (6.29)

A partir de (6.29) pode-se calcular os fluxos de difuso molar e em massa como

LCCD

Lxx

MD

dydx

MD

dydCDj

L

L

iiiy

=

=

==

0

0

,

(6.30)

LD

Lxx

MMD

dydx

MMD

dyDDj

L

Li

iiiiy

=

=

==

0

0

,

(6.31)

No caso de uma regio anelar entre dois cilindros concntricos a equao de

frao molar no meio ser

( ) ( )( )00

00 /ln/lnrrrr

xxxxL

Li = (6.32)

Os fluxos molar e de massa por unidade de comprimento sero:

- fluxo molar

( )( ) ( )LL

rr

irriri

CCrr

D

drdCDrjrn

=

===

=

00

0,0

/ln2

220

0

(6.33)

- fluxo em massa

147

( )

( ) ( )LLrr

irriri

rrD

drdDrjrm

=

===

=

00

0,0

/ln2

220

0

(6.34)

A relao entre os fluxos : iii nMm = .

No caso de duas esferas concntricas tem-se

+= LL

Li rrrr

xxxx 1111

0

00 (6.35)

Os fluxos molar e de massa por unidade de comprimento sero

- fluxo molar

( )( )L

L

rr

irriri

CCrrD

drdCDrjrn

=

==

==

0110

20,

20

4

440

0

(6.36)

- fluxo em massa

( )( )L

L

rr

irriri

rrD

drdDrjrm

=

==

==

0110

20,

20

4

440

0

(6.37)

6.3.2 Difusividades de Massa

Para calcular a transferncia de massa, deve-se primeiro identificar valores de

dois itens: (6.29)-(6.37):

(a) a difusividade de massa da espcie de interesse, D

(b) a concentrao das espcies em duas superfcies ou contornos

148

No caso de uma mistura gasosa binria a difusividade ou coeficiente de difuso

independe do sentido de difuso se de 1 em 2 ou de 2 em 1. Em outras palavras

2112 DDD == (6.38)

Demonstrao:

A difuso da espcie 1 na 2 ser

dydx

MDjy 1121,

= (6.39)

e a difuso da espcie 2 em 1 ser

dydx

MDjy 2212,

= (6.40)

Somando as Eqs. (6.39) e (6.40)

0 2,1, =+ yy jj ; em qual quer plano ctey = onde 121 =+ xx (6.41)

A influncia da temperatura e presso sobre a difusividade pode ser levada em

considerao em relaes do tipo:

( )( ) p

pTT

pTDpTD 0

75,1

000 ,,

(6.42)

No caso de misturas lquidas, os componentes da mistura so chamados de soluto e

solvente (espcie 2). A difusividade funo da temperatura na forma:

( )( ) )(

)(

2

02

00 TT

TT

TDTD

(6.43)

149

6.3.3 Condies de Contorno

Os quatro casos principais de condies de contorno so ilustrados na Figura

6.5.

Figura 6.5. Possveis contornos de meios difusivos e maneiras de especificar condies

de contorno.

O caso Fig. 6.5(a) uma ilustrao de uma interface entre uma mistura de gases

ideais e fase lquida de um de seus componentes. Se a espcie 1 uma substncia pura

na fase lquida ento 1 tambm um componente na mistura gasosa acima. A presso

de vapor da espcie 1 na interface do lado do gs igual a presso de saturao na

temperatura da interface lquida:

)(,11 Tpp sat= (6.44)

O caso Fig. 6.5(b) uma ilustrao de uma interface entre um meio lquido e

uma mistura de gasosa. A espcie 1 difunde atravs do lquido e est presente como um

componente na mistura gasosa. A condio de contorno de interesse a frao molar da

espcie 1 do lado do lquido. A frao molar na fronteira Lx ser maior quanto maior a

quantidade da espcie 1 na mistura gasosa, ou seja quando a presso parcial 1p alta.

No caso de mistura diluda, na qual apenas pequenas quantidades de solvente so

150

encontradas no lquido, Lx e 1p esto relacionados atravs de uma proporcionalidade

conhecida como lei de Henry:

HpxL 1= (6.45)

Na qual H a constante de Henry que depende da temperatura e da substncia gasosa.

O caso da Fig. 6.5(c) ilustra uma mistura lquida binria em que o soluto a

espcie 1. Um exemplo deste tipo de mistura pode ser um bloco de laCN acima da

interface de gua salgada ( )OHeCN la 2 . A concentrao de laCN do lado lquido pode ser determinada por equaes termodinmicas e dados de solubilidade.

O caso da Fig. 6.5(d) ilustra uma interface entre um meio slido e um gs. A

espcie que difunde atravs do slido (espcie 1) tambm um componente na mistura

gasosa. Neste caso, a concentrao na fronteira dada por

1pSCL = (6.46)

na qual S o coeficiente de solubilidade da espcie 1 no slido.

Ex. 6.1 Difuso permanente, slido entre dois planos paralelos. Uma membrana de

borracha fina (neoprene) separa um volume de nitrognio gasoso a alta presso (5 bares)

de um volume de nitrognio gasoso a baixa presso (1 bar). A espessura da membrana

05 mm e a temperatura do sistema inteiro de 300 K. Calcule os fluxos molar e de

massa de nitrognio que difundem atravs da membrana.

6.3.4 Difuso Dependente do Tempo

Um processo de difuso transiente ilustrado na Figura 6.6. Inicialmente a

concentrao da espcie de interesse uniforme e igual a inC . No instante 0=t , a concentrao em 0=y mantida a 0C por contato com outro meio. Quando 0C maior que inC a espcie difunde para dentro do meio semi-infinito e forma uma camada

151

limite de concentrao, cuja espessura aumenta com o tempo. A equao governante do

problema :

tC

DyC

=

12

2

(6.47)

com as condies inicial e de contornos

0, == tCC in (6.48)

0CC = , em 0=y (6.49)

inCC , em y (6.50)

Figura 6.6 Camada limite de concentrao num meio semi-infinito com uma

concentrao diferente imposta na superfcie.

A soluo da Eq. (6.47) com a condio inicial (6.48) e condies de contornos

(6.49 e (6.50) da forma (fica como exerccio obter a soluo)

( )

=

2/1

0

0

2 tDyerf

CCCC

in

(6.51)

Na Eq. (6.51) erf denominada de funo erro definida como

152

( ) = x dmmxerf 0 22/1 exp2)( (6.52)

Com seguintes propriedades:

[ ] 2/10 2)(1)(0)0(

===

=xxerfdxderferf

(6.53)

No caso de uma parede plana, o tempo adimensional

tLD

2 (6.54)

e para cilindros ou esferas o tempo adimensional

trD

o2 (6.55)

Resultados grficos da Eq. (6.51) so apresentados na Figura 6.7. No caso em que a

abscissa na Fig. 6.7 for maior que 0,1, as correlaes aproximadas pode ser usadas:

Placa:

t

LD

CCCC

in

o22

0 4exp8 (6.56)

Cilindro:

405,2,exp4 122

1210

=

bt

rDb

bCCCC

oin

o (6.57)

153

Figura 6.7. Concentrao mdia no volume em corpos com concentrao constante

imposta no contorno.

Esfera:

t

rD

CCCC

oin

o2

22

0

exp4 (6.58)

Ex. 6.2: Difuso dependente do tempo de ar em gua. Uma camada fina de gua pura

colocada em contato com ar a presso atmosfrica e 20 oC. Ar comea a difundir para

dentro da gua. Deseja-se saber qual a frao molar de ar x a 1 mm para dentro da

interface gua-ar. Calcule o tempo para x atingir da frao molar doar na interface

0x , isto 2/0xx = . Calcule tambm o valor real da frao molar x no tempo.

154

6.4 Conveco

6.4.1 Conveco Forada em Escoamento de Camada Limite Laminar

A analogia entre transferncia de massa e transferncia de calor tambm pode

ser feita no caso de conveco. A Figura 6.8 ilustra uma camada limite de conveco no

caso de transferncia de massa

Figura 6.8 Transferncia de massa de uma superfcie plana para um escoamento em

camada limite por conveco forada laminar

O fluxo molar na superfcie definido como

0

=

=

yw y

CDj (6.59)

e o coeficiente de transferncia de massa por conveco para o escoamento externo

pode ser definido como

=

CCjh

w

wm

ou (6.60)

( )

=CCyCD

hw

ym

0/ (6.61)

A distribuio de concentrao no escoamento governada pela seguinte

equao:

155

2

2

yCD

yCv

xCu

=+

(6.62)

com as condies de contorno

wCC = em 0=y (6.63)

CC em 0y (6.64)

O campo de concentrao determinado da mesma maneira que no caso da

camada limite trmica. A Analogia entre transferncia de calor e de massa nos permite

fazer a seguinte equivalncia de variveis nas camada limite de temperatura (C.L.T) e

camada limite de concentrao (C.L.C):

DkjqDCTCTCT

ww

ww

massade Transf. calor de Transf.

(6.65

No caso da camada limite trmica laminar tem-se a correlao para o coeficiente

de transferncia de calor:

==

5,0;332,0

2/13/1

xu

kx

TTq

Nuw

wx (6.66)

Por analogia pode-se escrever

=

5,0;332,0

2/13/1

Dxu

DDx

CCj

w

w

(6.67)

w no caso de transferncia de massa se define o nmero de Sherwood:

156

( ) ( ) ( )5,0;Re332,0 2/13/1 = cxcx SSSh (6.68)

na qual

( ) Dxh

DCCxjSh m

w

wx ==

(6.69)

e cS o nmero de Schmidt definido como

DSc

= (6.70)

A analogia entre transferncia de calor e massa leva a equivalncia:

cr

xx

SPShNu

massa de Transf. calor de Transf.

(6.71)

No caso de escoamentos com baixo nmero de Prandtl a correlao de clculo

do coeficiente de transferncia de calor :

( ) ( ) ( )5,0;Re564,0 2/13/1 ==

rxr

w

wx PPk

xTT

qNu (6.72)

De maneira anloga pode-se obter

( ) ( ) ( )5,0;Re564,0 2/13/1 == cxcww

x SSDx

CCjSh (6.73)

O coeficiente de transferncia de massa pode ser calculado como

= L mm dxhLh 01 (6.74)

157

e o nmero de Sherwwod baseado neste coeficiente definido na forma:

DLhhS mL = (6.75)

A partir das Eqs. (6.68) e (6.73) pode-se obter

( ) ( ) ( )5,0;Re664,0 2/13/1 = cLcL SShS (6.76)

( ) ( ) ( )5,0;Re128,1 2/13/1 = cLcL SShS (6.77)

O coeficiente de transferncia de massa baseado no fluxo de massa pode ser

avaliado como

= w

wm

jh (6.78)

Desta forma, as vazes molar e de massa podem ser calculadas como

( )= CCLhn wm (6.79)

( )= wmLhm (6.80)

( )= CCAhn wm (6.81)

( )= wm Ahm (6.82)

6.4.2 O Modelo de Superfcie Impermevel

O caso de parede impermevel, 0=v , s justificado quando a concentrao da espcie de interesse baixa, menor do que um valor crtico. O fluxo de massa pode ser

calculado como

158

( )

== 5,0;2/1

5,0;3/1Re 2/1

c

cncxww Sn

SnS

xDj (6.83)

No caso de camada limite com 0v ou linhas de corrente no paralela a 0=y ,

2/1Re xuv (6.84)

A transferncia de massa atravs da parede s pode desprezada quando o

movimento transversal induzido por ela pequeno relativo ao movimento natural

transversal (sempre presente) da camada limite, isto ,

vjw < ou (6.85)

nc

w S

159

turbulenta sobre uma superfcie plana, que no caso de transferncia de calor leva a

correlao:

( )

160

( ) ( )

DuCCDj

kuTTq

w

w

w

w

(6.93)

ento, pode-se definir o nmero de Stanton local para transferncia de massa como

=uh

St mm (6.94)

( )5,0;Re0296,0 5/13/2 = cxcm SSSt (6.95)

o que leva ao coeficiente mdio

( )5,0;Re037,0 5/13/2 = cLcm SStS (6.96)

Em outras configuraes tambm esto cilindros e esferas em escoamentos

cruzados, Figura 6.9. Para um cilindro em escoamento cruzado, o numero de Nusselt foi

definido como

Figura 6.9. Cilindro ou esfera em escoamento cruzado com transferncia de massa.

( )[ ]5/48/5

4/13/2

3/12/1

282000Re1

/4,01

Re62,03,0

+

++= D

r

rDD

P

PuN (6.97)

Se definir o nmero de Sherwood baseado no dimetro externo como

161

DDhhS mD 00 = (6.98)

obtm-se por analogia

( )[ ] ( )2,0Re;282000Re1/4,01 Re62,03,0 005/48/5

4/13/2

3/12/1

>

+

++= cDD

c

cDD S

S

ShS (6.99)

Para uma esfera em escoamento cruzado, a correlao para se calcular o

coeficiente de transferncia de massa da forma

( ) ( )44,03/22/1 106,7Re5,3;Re06,0Re4,020000

xShS DcDDD

162

Para escoamento laminar num tubo num tubo o nmero de Sherwwod baseado no

dimetro interno

DDh

hS imDi = (6.104) Na regio de escoamento completamente desenvolvido na velocidade e concentrao

66,3=DDh im (6.105)

Figura 6.10. Escoamento num tubo com transferncia de massa.

No caso de escoamento turbulento, o comprimento de desenvolvimento

estimado como

10i

c

DX

(6.106)

No caso do escoamento turbulento completamente desenvolvido, por analogia pode

calcular o nmero de Sherwood como

( )643/15/4 10Re102;5,0;Re023,0

163

superfcie no contm qualquer gua lquida sobre ela. A temperatura do sistema todo

25oC. Ar forado atravs do canal para secar a neblina na superfcie. A velocidade

mdia 0,5 m/s. Calcule o coeficiente de transferncia de massa entre a parede molhada

e a corrente de ar.

6.4.5 Conveco Natural

A transferncia de massa tambm pode ocorrer em conveco natural. Neste

caso a massa especfica da mistura pode ser definida como uma funo da temperatura,

presso e da massa especfica das espcies componentes da mistura, i , na forma:

( )ipT ,,= (6.108)

Assumindo uma expanso para a massa especfica da mistura na forma:

( ) "+

+ ,

,ii

pTi

ou

( )[ ]"+= ,1 iic (6.109)

na qual uma massa especfica de referncia da mistura correspondendo ,i e

pTic

,

1

=

(6.110)

o coeficiente de expanso de composio da mistura.

No caso de camada limite sobre uma superfcie plana vertical, Figura 6.11, as

equaes governantes so:

( )+=+ ,22

iicgxv

yvv

xvu (6.111)

164

2

2

xD

yv

xu iii

=+

(6.112)

Figura 6.11. Transferncia de massa em conveco natural numa superfcie plana

vertical

O nmero de Rayleigh pode ser definido por analogia na forma:

( ) ( )ym

iwicwy RaD

ygyTTgRa ,3

,,3

==

(6.113)

Analogia entre os processos de transferncia de calor e massa permite fazer a

seguinte equivalncia entre variveis

( ) ( )

yy

cr

ymy

iwicw

i

ShNuSPDkRaRaD

TTT

massa de Transf.calor de Trans.

,

,,

(6.114)

165

O nmero de Sherwood global pode ser calculado como

( )[ ] ( )12,12

27/816/9

6/1, 1010;

/492,01

387,0825,0