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O Necessrio e Suficiente para Fazer do Computador um Aliado na Resoluo de Problemas de Engenharia

Antonio Carlos Brando de Arajo, Joo Teotnio Manzi, Jos Jalson Niccio Alves, Lus

Gonzaga Sales Vasconcelos e Romildo Pereira Brito1

1. Introduo

Universidade Federal de Campina Grande Departamento de Engenharia Qumica Campina Grande (PB) Brasil

Abstract O aperfeioamento dos computadores fez surgir uma gama de softwares com grande potencial para auxiliar na tarefa de ensinar engenharia, dentre os quais podemos citar: Mathcad, Mathematica, Matlab, Maple e Polymath. Diversos artigos tm sido publicados com o objetivo de demonstrar as vantagens do uso destes softwares, bem como no sentido de comparar os seus desempenhos na tarefa de ensinar. Os livros mais recentes tambm j indicam claramente a importncia desta ferramenta para a engenharia. Neste artigo, alm de criticar o (muito) pouco uso do computador, os autores so enfticos: independente do software escolhido, o pr-requisito fundamental para uso do computador na resoluo de problemas da engenharia o estudante pensar de forma lgica e sistemtica. Minimizar o problema atravs do uso de facilidades e/ou simplificaes pode custar um preo muito alto para o futuro da engenharia. A sistemtica usada para resoluo de problemas da engenharia defendida neste trabalho apresenta elevada taxa de sucesso em nvel de ps-graduao e a idia antecipar o seu uso para os estudantes de graduao. Palavras-Chave Engenharia Qumica; Ensino; Algoritmo; Programao; Software; Computador.

Mais importante do que simplificar um problema visando obter a soluo, fazer suposies, gerar solues e escolher, a partir das alternativas obtidas e de critrios estabelecidos, a soluo que melhor convier. Destarte, mais do que qualquer outra ferramenta moderna, o computador tem transformado a prtica da engenharia em todos os nveis. Alm de permitir a resoluo de problemas sem necessidade de simplificaes, o computador permite uma abordagem diferente dos problemas, respondendo questo: e se ...? Deste modo, natural colocar o ensino de algoritmo, linguagem de programao e software ocupando lugar de destaque na formao do futuro engenheiro.

Desde o incio da dcada de 80, a presena de disciplinas sobre algoritmo, linguagem de programao e mtodos numricos para os estudantes de engenharia j era uma realidade. Tradicionalmente, o FORTRAN era a linguagem escolhida e o principal problema observado era o tempo despendido para alcanar xito na implementao de um mtodo numrico, para em seguida usar este cdigo na resoluo do problema propriamente dito.

1 Corresponding author: +55 83 3310-1117 romildo.brito@deq.ufcg.edu.br

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Este processo fez com que muitos estudantes desistissem de usar o computador na resoluo de problemas de engenharia e, para estes profissionais, o computador passou a ser usado para edio de texto, navegao na Internet e preparao de apresentaes. Por outro lado, os que persistiram se tornaram profissionais diferenciados, pelo fato de possurem a habilidade de resolver problemas mais complexos usando o computador. Ou seja, fundamental registrar a importncia do FORTRAN na boa formao de engenheiros e cientistas da atualidade.

Com objetivo de eliminar a etapa de implementao do cdigo numrico e assim aumentar o nmero de profissionais que usam o computador na resoluo de problemas da engenharia, uma alternativa fazer uso de softwares comerciais, dentre os quais podemos citar: Mathcad, Mathematica, Matlab, Maple e Polymath. Diversas Universidades j oferecem disciplinas especficas com objetivo familiarizar o estudante com algum destes softwares, alm de auxiliar o estudante a sistematizar o uso do computador na resoluo de problemas de engenharia.

Vrios artigos tm sido publicados com o objetivo de demonstrar as vantagens do uso destes softwares, bem como no sentido de comparar o desempenho destes na tarefa de ensinar. Alguns autores defendem fortemente o uso de softwares que exigem um mnimo de esforo na transcrio do modelo matemtico, por exemplo, o Polymath, bem como o uso em conjunto destes com softwares mais robustos (Shacham et al, 2001; Shacham et al, 2003a; Shacham et al, 2003b; Shacham e Cutlip, 2004; Shacham et al, 2008).

Nasri e Binous (2008) e Binous (2008) publicaram artigos demonstrando o uso do Mathematica e Matlab na resoluo de problemas envolvendo contedos de Termodinmica e Processos de Separao; para os exemplos apresentados, os autores afirmam que o Mathematica mais didtico que o Matlab. Vasconcelos et al. (2008) publicaram um artigo onde o Mathcad foi usado para demonstrar a aplicao do mtodo de McCabe-Thiele a problemas com especificao no convencional.

Em relao aos livros que consideram o uso do computador na resoluo de problemas da Engenharia Qumica, alguns so dedicados disciplinas especficas (Skogestad, 2008), outros apresentam contedos variados e se concentram na descrio do uso de softwares (Finlayson, 2006; Cutlip e Shacham, 2008).

De fato, as solues propostas para enfrentar o problema do (muito) pouco uso do computador na resoluo de problemas de engenharia podem ser resumidas da seguinte forma: i) ensino de algoritmo e linguagem de programao; ii) uso de software; iii) publicao de livros; iv) publicao de artigos.

O ponto de vista apresentado neste trabalho resultado de mais de vinte anos de ensino de Engenharia Qumica, usando as mais variadas linguagens de programao, alm de diversos softwares. No nosso entendimento, o estudante saber usar um software condio necessria para resolver problemas de engenharia, mas no suficiente, se lhe falta a capacidade de pensar de forma lgica e sistemtica; independente do software.

2. Caracter izao do Problema Com raras excees, o que se aprende nas disciplinas de algoritmos e linguagem de

programao e mtodos numricos no utilizado nas disciplinas subseqentes do curso de

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Engenharia Qumica. No mximo, os estudantes usam o computador nas disciplinas de final de curso, atravs de softwares comerciais (Aspen, Hysys, etc.) que funcionam como caixa-preta.

Por outro lado, interessante observar que, ao visitar a sala do professor, na maioria das vezes o estudante vai encontr-lo usando o computador. Todavia, de acordo com Felder e Brent (2005), no artigo "Death by PowerPoint", de maneira geral, o professor passa a maior parte do tempo usando o computador para preparar apresentaes a serem usadas em sala de aula.

H mais de uma dcada o no uso do computador como ferramenta na resoluo de problemas de engenharia j havia sido observado (Kanto e Edgar, 1996; Jones, 1998) e, considerando a quantidade de artigos relacionados a este tema, o surgimento dos softwares citados anteriormente no fez do computador um aliado forte do estudante na resoluo dos problemas mais complexos da engenharia.

Disciplinas fundamentais como Termodinmica, Fenmenos de Transportes, Operaes Unitrias e Clculo de Reatores apresentam um grande nmero de oportunidades para uso do computador; principalmente os problemas mais realsticos. As referncias citadas no item anterior apresentam excelentes exemplos de como o computador pode ser til na resoluo de problemas destas e de outras disciplinas, contudo, nenhum comentrio formulado sobre a necessidade do estudante pensar de forma lgica e sistemtica antes de usar um software.

Consideremos as Figuras 1, 2 e 3, as quais apresentam como o Matlab, o Mathcad e o Polymath, respectivamente, foram usado para encontrar uma das razes do polinmio de 2 grau. O Polymath usa controle de programao baseado em menu, o Mathcad usa menu ou linha de comando e o Matlab usa apenas linha de comando.

Figura 1 Uso do Matlab (janela de comando) para encontrar uma das razes de uma equao de 2

grau. uma situao tpica em que o estudante pode demonstrar o uso do software (condio

necessria), mas no significa, necessariamente, que o mesmo esteja capacitado a resolver

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problemas da engenharia, visto que os problemas de engenharia em geral no esto dispostos explicitamente na forma de uma equao polinomial.

Pelo contrrio, na grande maioria das vezes o estudante deve definir uma seqncia de etapas (programar) at chegar ao equacionamento final. E este o ponto da questo: para usar um software, antes de tudo, necessrio que o aluno equacione o seu problema e o faa de modo que o computador (software) possa ser usado na obteno da soluo (ou solues). Obviamente, o estudante precisa ter conhecimento de como o processo de busca pela soluo funciona ou, em outras palavras, ter maturidade suficiente em termos de algoritmo, programao e mtodos numricos (condio suficiente).

Figura 2 Figura 1 Uso do Mathcad para encontrar uma das razes de uma equao de 2 grau.

Figura 3 Uso do Polymath para encontrar uma das razes de uma equao de 2 grau.

Por outro lado, observando as Figuras 1, 2 e 3, os mais pragmticos podem argumentar

que o importante o resultado final: uma das razes foi encontrada. Consideremos ento, um arquivo do Mathcad usado para demonstrar a aplicao do mtodo de McCabe-Thiele a problemas com especificao no convencional e que envolve uma etapa de otimizao

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(Vasconcelos et al. (2008), Figura 4. O Mathcad se apresenta como um caderno eletrnico, onde as equaes, somatrios, integrais, etc., so digitadas praticamente da mesma forma que aparecem nos livros. Entretanto, apesar de ser um software extremamente amigvel, apenas o estudante com maturidade em algoritmo e programao, e obviamente conhecendo a sintaxe do aplicativo e o assunto em questo, ter condio de criar (ou compreender) um arquivo como o da Figura 4.

Figura 4 Uso do Mathcad usado para demonstrar a aplicao do mtodo de McCabe-Thiele a

problemas com especificao no convencional.

3. Algor itmo, Programao e Software Na viso dos autores, pensar de forma lgica e sistemtica o nico pr-requisito para

usar o computador na resoluo de problemas. E o caminho para obter este pr-requisito atravs do uso de algoritmos e programao. Para aprofundar esta questo, o primeiro passo definir o que entendemos por programar.

De forma sucinta, um programa um algoritmo concretizado, isto , uma seqncia de atividades (instrues) que deve ser executada para se atingir um objetivo. Ou seja, possvel programar usando uma linguagem de programao, um software ou uma planilha eletrnica (Bjedov e Andersen,1996).

No ensino de algoritmos e programao, inicialmente a recomendao evitar a implementao de cdigos mais complexos, de modo a no desestimular o estudante, pois o objetivo no desafi-lo a elaborar cdigos para disputar com os softwares comerciais, e sim estimul-lo a raciocinar e descobrir que programao pode ser uma atividade prazerosa.

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importante enfatizar para o aluno a simplicidade dos comandos, por exemplo, chamar a ateno para o fato de que com trs comandos bsicos (por exemplo, for , if e while, no caso do Matlab) a maioria dos problemas pode ser resolvida (Chapra e Canale, 2008).

Por exemplo, a Figura 5 apresenta o cdigo em Matlab usado para calcular a soma de n termos da srie S = 1 2 + 3 5 + 5 8 e, mesmo que a probabilidade do estudante se deparar com este problema na sua vida profissional seja pequena, o objetivo deste exemplo faz-lo pensar logicamente: i) que o 1 termo 1/2; i) que o numerador est variando de 2 em 2, enquanto o denominador varia de 3 em 3; iii) que ser preciso usar um estrutura de repetio; iv) que ser preciso definir o nmero de termos. Tambm representa um exemplo que dificilmente um software fornecer o resultado usando uma nica funo interna (built-in).

Figura 5 Cdigo em Matlab para clculo da soma de n termos de uma sr ie.

No decorrer do curso, a implementao de mtodos numricos mais simples pode ser

usada, por exemplo, Newton para equaes algbricas no lineares e Euler para equaes diferenciais ordinrias. Neste momento, o uso de funes internas (solvers) do software escolhido tambm deve ser introduzido e os resultados obtidos das duas formas comparados.

Conforme pode ser observado, os autores no separam os assuntos algoritmos e linguagem de programao e mtodos numricos em duas disciplinas, pois, do ponto de vista da engenharia, fica difcil discernir onde termina um e onde comea o outro. Uma disciplina chamada Computao para a Engenharia Qumica, por exemplo, dividida em duas partes e lecionada por um engenheiro qumico, poder ser usada para cobrir todo o contedo.

A metodologia usada nos exemplos a seguir, nica para problemas simples e complexos, consiste em estruturar a resoluo do problema de forma modular, incluindo:

Programa principal; Modelo do problema; Parmetros; Solver.

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De fato, foi a metodologia empregada nos primrdios do uso do computador pelas engenharias, com a diferena de que um dos mdulos (solver) j est pronto e disponibilizado pelo software. uma metodologia que apresenta elevada taxa de sucesso em nvel de ps-graduao e a idia antecipar o seu uso para os estudantes de graduao.

O Matlab foi escolhido por ser um hibrido de software e linguagem de programao, o que torna possvel dispor o modelo do problema completamente separado do solver; caracterstica fundamental para a metodologia defendida neste artigo. Considerando o custo de aquisio do Matlab, uma opo usar o Scilab ou Octave que so distribudos gratuitamente, apesar de possurem uma biblioteca de solvers (toolboxes) menor.

Como aplicao, a Figura 6 apresenta os arquivos do Matlab usados para determinar uma das razes do polinmio y = x2 + 2x 10, usando arquivos do tipo m-file. Pode parecer um dispndio desnecessrio de energia por parte do estudante, mas o objetivo sistematizar a forma de resolver problemas, sejam simples ou complexos.

Figura 6 Arquivos do tipo m-file do Matlab usados para encontrar uma das razes de uma equao de

2 grau. fundamental esclarecer para o estudante de que o arquivo do lado esquerdo (Main.m),

geralmente chamado de programa principal, o elo entre ele e o computador; de que este arquivo, a partir de uma estimativa inicial, que chama a funo embutida fzero (fzero.m) do Matlab para resolver a equao (modelo) contida no arquivo do lado direito (Model.m).

A Figura 7 apresenta um diagrama de bloco da comunicao entre os arquivos. O estudante deve entender que:

i. O arquivo Main.m chama o arquivo fzero.m, que por sua vez chama o arquivo Model.m;

ii. Cada vez que o arquivo Model.m chamado, um valor para y calculado e o retorna para o arquivo fzero.m;

iii. Este mecanismo (1-2-3-2-3-2-3 ... 2-3-4) ocorre at uma tolerncia para o valor de y ser alcanada

iv. Visto que estamos procurando uma das razes do polinmio, o valor de y deve ser bem prximo de zero.

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Main Model

fzero

1

3

2

4 Figura 7 Diagrama de bloco da comunicao entre os arquivos da Figura 6.

importante observar que as funes embutidas do Matlab aparecem apenas nos

diagramas de bloco. Os outros softwares citados neste artigo tambm dispem de uma linguagem de

programao prpria (for, while, if, continue, break, etc., no caso do Mathcad), entretanto, no permitem que o estudante equacione o seu problema de forma modular, de modo que, para um problema mais complexo o arquivo final fica extenso e, no nosso entendimento, mais difcil de compreender (ver Figura 4).

A metodologia explicitada acima considera que algoritmo, programao e software esto intimamente ligados. Se um programa um algoritmo concretizado, no possvel programar sem ter aprendido algoritmo. Da mesma forma, no possvel usar um software de forma eficiente sem saber programar; independente de quo amigvel o software seja.

Os problemas apresentados a seguir so tpicos da Engenharia Qumica e, apesar da necessidade de uso do computador, so relativamente simples. Tambm importante destacar que as implementaes foram realizadas visando o aspecto didtico, mas no tm caracterstica de um guia. 4. Resoluo de Problemas da Engenhar ia Qumica 4.1. Problemas Envolvendo Equaes Algbr icas

A equao de estado (EOS) dos gases ideais representa de forma satisfatria a relao entre a presso, a temperatura e o volume (PVT) apenas para os casos onde a presso baixa (prxima da presso atmosfrica). Para maiores valores de presso EOS mais complexas devem ser usadas e, nestes casos, o clculo do volume molar e do fator de compressibilidade demanda o uso de tcnicas numricas.

A equao de estado de Redlich-Kwong relaciona os dados de PVT atravs da Equao (1): P = RT(V b) aV(V + b)T (1)

As constantes a e b so expressas pelas Equaes (2) e (3). a = 0.42747R2Tc2.5Pc (2)

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b = 0.08664 RTcPc (3)

Para um dado valor de presso e uma dada temperatura, uma EOS pode ser usada para determinar o volume molar da substncia, bem como o fator de compressibilidade. Dados de temperatura crtica (Tc) e presso crtica (Pc), alm da constante Universal dos gases (R), so necessrios para efetivao dos clculos.

Visto que so fornecidos valores para a P e a T e que as constantes a e b so especficas para cada substncia, o problema consiste em encontrar um valor de V que satisfaa a Equao (1).

Ao comparar este problema com o exemplo do polinmio, o estudante percebe que as equaes (modelos) so diferentes. Neste caso, o modelo no est explicitamente definido; fundamental mostrar que a Equao (1) deve ser transformada, antes de continuar com a resoluo do problema

A partir da Equao (1) fica evidente que a varivel V no pode ser isolada. Passando P para o lado direito da igualdade, obtm-se a Equao (4), a qual funo apenas de V.

RT(V b) aV(V + b)T P = 0 (4a) f(V) = RT(V b) aV(V + b)T P (4b)

Desta forma, temos um modelo na forma padro, onde o nmero de variveis igual ao nmero de equaes e o software pode ser usado para determinar o valor de V para o qual o valor de f aproximadamente nulo; da mesma forma que no caso da Figura 6 encontramos um valor de x para o qual y era aproximadamente nulo. Entretanto, ainda temos um problema: as constantes a e b, as quais precisam ser calculadas antes para completar o modelo.

Os modelos da Engenharia Qumica normalmente apresentam parmetros associados s espcies qumicas presente no processo. recomendvel que estes parmetros estejam disponibilizados em um local especfico; um m-file s para esta finalidade, de modo que apenas o arquivo contendo os parmetros seja modificado, por ocasio da mudana de espcie qumica.

A Figura 8 apresenta os arquivos do tipo m-file usados para resoluo deste problema, onde possvel perceber a presena de um arquivo m-file apenas para armazenar dados especficos. A partir do momento que a palavra Parameters aparece, os dados contidos neste arquivo passam a ser disponveis a partir daquele ponto. Por exemplo, no arquivo Main.m a presena da palavra Parameters torna possvel o clculo da estimativa inicial, a qual precisa do valore de R, enquanto no arquivo Model.m a presena da palavra Parameters torna possvel os clculos de a e b, os quais precisam de R, Tc e Pc, antes de calcular o valor da funo f.

A Figura 9 apresenta o diagrama de blocos da comunicao entre os arquivos. A comunicao entre os arquivos pode ser assim resumida: 1-2-3-4-5-6-7-4-5-6-7 ... 4-5-6-7-8. Aps atingir a tolerncia especificada, fezero.m retorna a soluo para Main.m.

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Um exemplo mais elaborado apresentado na Figura 10, que representa de forma simplificada o diagrama de bloco do processo de fabricao de estireno, onde duas reaes so consideradas. So fornecidos os seguintes dados:

Seletividade para o tolueno em funo da temperatura; Temperatura de operao do reator; Razo entre as vazes de etil benzeno e gua na entrada do reator; Presso de operao do reator; Vazo de produo de estireno; Constante de equilbrio para a reao de formao do estireno.

Figura 8 M-files usados para determinao do volume molar a par tir da equao de Redlich-Kwong.

Main

1

2

3

4

Modelfzero

Parameters

5 6

7

8

Figura 9 Diagrama de bloco da comunicao entre os arquivos da Figura 8.

O objetivo do problema determinar a vazo de cada componente em cada corrente e o

primeiro passo consiste em numerar as espcies qumicas: etil benzeno (1); gua (2); Estireno (3); Tolueno (4); Metano (5) e Hidrognio (6). O passo seguinte realizar uma anlise de graus de liberdade, a qual apresentada na Tabela 1.

O modelo deste problema constitudo por dezoito variveis (vazes por espcie e coordenadas de reaes) e dezoito equaes, apresentadas na Tabela 2.

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Mixer Reactor Separator1Eb

3EbWa

4EbWaStyTolMetHyd

8Sty

9Wa

7Tol

6HydMet

5Eb

2Wa Eb Sty + Hyd

Eb + Hyd Tol + Met

Figura 10 Diagrama de blocos do processo de fabr icao de estireno.

Tabela 1 Anlise de graus de liberdade do problema da Figura 9. Misturador Reator Separador Global Processo

Variveis 5 8+2 12 7+2 16+2 Balano de massa 2 6 6 6 14

Vazo 1 1 1 Seletividade 1 1 Equilbrio 1 1

Razo 1 1 1 DF 2 1 5 2 0

Tabela 2 Modelo matemtico para o problema da Figura 10.

Equao Origem Nmero n1,3 = n1,5 + n1,1 Balano de massa no misturador para a espcie 1 (5) n2,3 = n2,2 Balano de massa no misturador para a espcie 2 (6) n1,4 = n1,3 1 2 Balano de massa no reator para a espcie 1 (7) n2,4 = n2,3 Balano de massa no reator para a espcie 2 (8) n3,4 = 1 Balano de massa no reator para a espcie 3 (9) n4,4 = 2 Balano de massa no reator para a espcie 4 (10) n5,4 = 2 Balano de massa no reator para a espcie 5 (11) n6,4 = 1 2 Balano de massa no reator para a espcie 6 (12) n1,4 = n1,5 Balano de massa no separador para a espcie 1 (13) n2,4 = n2,9 Balano de massa no separador para a espcie 2 (14) n3,4 = n3,8 Balano de massa no separador para a espcie 3 (15) n4,4 = n4,7 Balano de massa no separador para a espcie 4 (16) n5,4 = n5,6 Balano de massa no separador para a espcie 5 (17) n6,4 = n6,6 Balano de massa no separador para a espcie 6 (18) Sel = n4,4n1,3 n1,4 Seletividade para o tolueno (19) Keq = n3,4n1,4 + n3,4 + n6,4 n6,4n1,4 + n3,4 + n6,4n1,4n1,4 + n3,4 + n6,4 P

Constante de equilbrio da reao 1 (20)

R = n2,3n1,3 Razo de reagentes para o reator (21) n3,8 = 100000104 Produo de estireno (22)

Aos olhos do estudante, este problema completamente diferente daquele apresentado no incio deste artigo (polinmio do 2 grau), quando na verdade no ; apenas deve ser escrito na forma padro antes de resolv-lo.

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Passando os termos do lado direito das equaes que constituem o modelo para o lado esquerdo, possvel obter as 18 funes na forma padro, conforme mostra a Tabela 3. Neste caso, o problema consiste em resolver um sistema de equaes algbricas no lineares.

Tabela 3 Sistema de equaes algbr icas no lineares para o problema da Figura 9. Equao Origem Nmero f1 = n1,3 n1,5 n1,1 Balano de massa no misturador para a espcie 1 (23) f2 = n2,3 n2,2 Balano de massa no misturador para a espcie 2 (24) f3 = n1,4 n1,3 + 1 + 2 Balano de massa no reator para a espcie 1 (25)

. . .

. . .

. . . f18 = n3,8 100000104 Produo de estireno (40)

A Figura 11 apresenta parte dos arquivos m-file usados na resoluo deste problema. Neste caso, por se tratar de um sistema de equaes algbricas, foi usada a funo fsolve (fsolve.m) do Matlab.

Figura 11 M-files usados para determinao das vazes de fluxograma da Figura 10.

Por se tratar de um problema envolvendo mais de uma equao, a estimativa inicial

fornecida no programa principal deve ser fornecida na forma de um vetor (com dezoito elementos). No arquivo contendo o modelo (Model_II.m) as variveis esto contidas no vetor x; por isto, antes de calcular o valor das funes (f1, f2, f3, ... , f18), didaticamente recomendvel associar cada varivel escrita na modelagem com um elemento do vetor x.

A comunicao entre os arquivos ocorre conforme apresentado na Figura 7, apenas mudando a funo embutida (de fzero para fsolve).

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O modelo do problema ainda apresenta a equao que relaciona a seletividade para o tolueno com a temperatura; um polinmio de segundo grau obtido usando o Matlab. A constante de equilbrio (Keq) calculada usando a Equao (41):

LnKeq = 15.5408 14852.6T (41)

4.2. Problemas Envolvendo Estimativa de Parmetros (Otimizao) A Tabela 3 apresenta os dados de presso versus composio (lquido e vapor) para o

sistema metanol(1)-gua(2). O objetivo determinar os parmetros da equao de Margules que melhor representa os dados, considerando que a mistura segue a Lei de Raoult modificada.

Tabela 3 Dados de equilbr io lquido-vapor para o sistema metanol(1)-gua(2) 60 oC. P (kPa) x1 y1 19.953 0.0 0.0 39.223 0.1686 0.5714 42.984 0.2167 0.6268 48.852 0.3039 0.6943 52.784 0.3681 0.7345 56.652 0.4461 0.7742 60.614 0.5282 0.8085 63.998 0.6044 0.8383 67.924 0.6804 0.8733 70.229 0.7255 0.8922 72.832 0.7776 0.9141 84.562 1.0 1.0

A Lei de Raoult modificada apresenta a seguinte forma: yi = Psati xiiP (42)

onde representa o coeficiente de atividade da fase lquida, P a presso do sistema, x a composio da fase lquida e y a composio da fase vapor. O subscrito i representa o componente i.

Uma expresso bastante usada para calcular a equao de Margules: ln1 = x22[A12 + 2(A21 A12)x1] (43a) ln2 = x12[A21 + 2(A12 A21)x2] (43b) onde A12 e A21 so as constantes de Margules.

A presso de vapor Psati calculada usando a Equao de Antoine: lnPsati = Ai + BiCi + T (44)

onde A, B e C so constantes especficas para cada componente.

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Sabendo que a soma das fraes molares em cada fase igual a 1, obtm-se a equao: P = Psat1 x11 + Psat2 x22 (45)

A Equao (45) permite calcular o valor de P (calculado) a partir dos dados de T e x.

Entretanto, isto somente possvel se dispusermos das constantes de Antoine e de Margules. Considerando que as constantes de Margules esto indisponveis, as nicas variveis da

Equao (45) so as constantes de Margules. Visto que a Tabela 4 disponibiliza dados de P (experimental), a seguinte equao pode ser definida:

fobj = Pcalc Pexp 2j (46)

A funo fobj representa a soma da diferena para todos os experimentos j, entre o valor experimental (Pexp) e o valor terico (Pcalc). Para minimizar esta diferena, os parmetros a serem variados so as constantes de Margule (A12 e A21). E isto que as rotinas de otimizao fazem; minimizam (ou maximizam) uma funo.

Uma vez que no colocamos restries quanto aos valores de A12 e A21, o problema foi resolvido usando a funo fminunc do Matlab. A Figura 12 apresenta os arquivos do tipo m-file usados para resolver o problema, enquanto a Figura 13 mostra a comunicao entre estes (1-2-3-4-5-2-3-4-5-2-3-4-5 ... 2-3-4-5-6-7-8).

Figura 12 M-files usados para determinao das constantes de Margules.

Deve ficar claro para o estudante que a Equao (46) somente pode ser obtida depois de

calcular Psati e i, os quais dependem dos dados de P, T e x. Por esta razo, o arquivo contendo os parmetros e os dados experimentais, deve ser chamado logo no incio arquivo contendo o modelo. Ou seja, deve ser enfatizado para o estudante que todos os dados necessrios para formao da funo objetivo devem ser fornecidos nas linhas anteriores.

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Main

Margules_Model

fminunc

Parameters_Margules

1

2

3

4

5

6

7 8

Figura 13 Diagrama de blocos da comunicao entre os m-files da Figura 12.

Outra observao importante quanto ao clculo da Psati. No arquivo principal, aps a

chamada da funo fminunc e a obteno dos valores de A12 e A21, o clculo desta varivel realizado usando a principal caracterstica do Matlab: as operaes com matrizes e vetores. Por outro lado, no arquivo contendo o modelo do problema, a Psati calculada usando um comando for , apesar de tornar mais lento a execuo do arquivo. O objetivo foi demonstrar o uso do comando for quando o Matlab usado como linguagem de programao.

4.3. Problemas Envolvendo Equaes Diferenciais

A Figura 14 apresenta dois reatores do tipo mistura perfeita (CSTR). Considerando a operao isotrmica, reao de 1 ordem ( ), constantes o volume dos reatores (V1 e V2) e a densidade da mistura, o modelo matemtico que descreve a variao da concentrao do componente A (CA1 e CA2) na sada dos reatores dada por duas equaes diferenciais ordinrias (EDO) no-lineares: V1 dCA1dt = F0CA0 F1CA1 KCA1V1 (47a) V2 dCA2dt = F1CA1 F2CA2 KCA2V2 (47b) onde F a vazo de entrada (ou sada) dos reatores e K a taxa de reao especfica.

V1

K1

V2

K2

FinCAin

F1CA1

F2CA2

Figura 14 CSTR isotrmicos.

Trata-se de um sistema de EDO e o raciocnio para resoluo deste problema

semelhante aquele empregado no item 4.1, com a diferena de que no lado esquerdo da igualdade de cada equao aparecer um operador diferencial (aps a diviso pelo volume).

O sistema de EDO foi resolvido usando a funo ode45 (ode45.m) do Matlab. A Figura 15 apresenta os arquivos m-file usados para resoluo do problema. A comunicao entre os

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arquivos ocorre conforme apresentado na Figura 7, apenas mudando a funo embutida (de fzero para ode45); entretanto, o trmino do processo ditado pelo tempo final de integrao.

Semelhante ao sistema de equaes algbricas, no arquivo contendo o modelo do problema as EDO so colocadas como elementos de um vetor (dydt), o qual somente ser formado na ltima linha de comando. Tambm interessante chamar a ateno do estudante para o fato de que os elementos do vetor dydt sero definidos pelo lado direito de cada EDO.

No arquivo do modelo do problema foi utilizado um comando if com objetivo, mais uma vez, de demonstrar o uso do Matlab tambm como linguagem de programao.

Figura 15 M-files usados para resoluo do problema dos CSTRs.

5. Concluses

Das solues propostas para enfrentar o problema em questo, o ensino de algoritmo e de linguagem de programao o mais importante, pois se o estudante raciocina de forma lgica e sistemtica, a escolha do software depender da convenincia e do tipo de problema a ser abordado. Em outras palavras, independente do software fundamental que o estudante de engenharia tenha uma base slida em algoritmo, programao e mtodos numricos.

O uso dos softwares citados neste trabalho apresenta grande potencial para auxiliar na tarefa de ensinar engenharia. Entretanto, necessrio tomar as devidas precaues no uso destes softwares, de modo a evitar que o estudante seja estimulado a minimizar a importncia da programao, a qual, normalmente, est relacionada com pensar de forma lgica e sistemtica.

So quase trs dcadas diante do problema de como fazer o estudante pensar logicamente e de forma sistemtica; minimizar o problema atravs da introduo de facilidades para o estudante pode custar um preo muito alto para o futuro da engenharia. Neste sentido, recomendvel iniciar com um software que exija mais do estudante, para em seguida, se for o caso, passar para um software mais amigvel.

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Na viso dos autores, dificilmente professores com averso ao uso do computador na resoluo de problemas mudaro a sua postura. Isto significa que, se pretendemos ter estudantes usando o computador na resoluo sistemtica de problemas da engenharia, o passo inicial ter professores com este objetivo nas primeiras disciplinas do ciclo profissional. Tambm fundamental que as disciplinas de algoritmos e linguagem de programao e mtodos numricos sejam ministradas por professores da Engenharia Qumica.

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