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Fundamentos de Combustão Aula 2

Prof. Jorge Nhambiu

UNIVERSIDADE ZAMBEZE

Aula 2. Tópicos � Termodinâmica da combustão: � Revisão dos conceitos da primeira lei; � Propriedades das misturas; � Estequiometria da combustão; � Energia química; � Cálculos da combustão com a primeira lei; � Análise da segunda lei.

Prof. Jorge Nhambiu 2

2.1. Revisão dos conceitos da primeira lei


� Para um sistema termodinâmico (por exemplo, uma quantidade de matéria ou de massa fixa) a primeira lei da termodinâmica preconiza que O calor recebido pelo sistema é igual à soma entre a variação da energia interna do sistema e o trabalho efectuado pelo sistema.



�  Se desconsiderar-se as energia cinética e potencial a energia do sistema consiste na energia interna U resultante da energia térmica produzida pela translação, rotação e vibração das moléculas, também chamada energia sensível e da energia química resultante do vinculo dos átomos nas moléculas.

�  Se considerar-se W o trabalho realizado pelo sistema e q a taxa de transferência de calor para o sistema, para uma unidade de massa a primeira lei da termodinâmica pode-se escrever:



d mu( )dt

= W + q

Onde W em geral e a forca no veio, potencia electrica e o trabalho feito para mover as fronteiras do sistema. Se o trabalho transferido para um sistema de volume V for restrito a trabalho Mecânico, feito a pressão uniforme no sistema, movendo uma fronteira de área A com a velocidade dx/dt então:

W = −pA dxdt= −p dV

dtAssim, a primeira lei da termodinâmica torna-se:

( )d mu dVp qdt dt

= − +

(2.1)

(2.2)

(2.3)



Dividindo o sistema em j células cada uma de volume Vj e assumindo as propriedades ρj,Tj,pj a cada uma das células a energia do sistema passa a ser:

1

J

j j jj

mu V uρ=

=∑A temperatura média T de uma mistura não uniforme de gases ideais em J células é obtida pela aplicação da lei dos gases perfeitos e assumindo que a pressão é a mesma em cada célula:

j j j jj jp V pV N RT NRT= = +∑ ∑

) )

Resolvendo em função de T obtém-se:

j jj j

j j

N TpVT x TNR N

= = =∑ ∑)

Onde xj é a fracção molar da espécie j

(2.4)

(2.5)

(2.6)



Se cada uma das células tiver a mesma composição, daí T=pV/mR é a temperatura média da massa, contudo se o sistema não tiver a mesma composição:

( ) ( )j jj

mu T m u T≠∑Se o calor específico cv for função da temperatura, daí u é uma função não linear de T. Integrando a Equação 2.3 em relação ao tempo o balanço do sistema fechado torna-se:

( )2 1 12 12m u u W Q− = − +

Onde:

2 2

1 1

12 12

t t

t t

dVW p dt e Q qdtdt

= =∫ ∫

(2.7)



Para um sistema uniforme com pressão constante, a equação da energia simplifica-se para:

( )d mu pVq

dt+

=

ou

( )d mhq

dt=

A integração da Equação 2.9 da:

( )2 1 12m h h Q− =

(2.8)

(2.9)

(2.10)



Se a composição química for constante, a energia química não vai variar, e para gases ideais:

2

1

2 1

T

vT

u u c dT− = ∫

2

1

2 1

T

pT

h h c dT− = ∫Onde cp=cv + R

(2.11)

(2.12)

Para um sistema que tenha massa atravessando as fronteiras do volume de controle (sistemas abertos) têm de ser adicionados alguns termos à Equação 2.3, para contemplar a energia que o fluxo traz ou retira do sistema.



A adição do trabalho do fluxo e a energia interna por unidade de massa dão a entalpia h. Desprezando a energia potencial do fluxo gasoso a versão da Equação 2.3 para um sistema aberto apresenta-se como:

d mu( )dt

+ mii∑ hi +

Vi2

2

"

#$$

%

&''=W + q

O primeiro termo da equação, representa a taxa de alteração da energia do sistema com o tempo. M é o fluxo mássico que atravessa as fronteiras do sistema de área i e h representa a entalpia do fluido ao cruzar as superfícies fronteiriças.

m h2 − h1 +V22

2−V12

2

"

#$$

%

&''= q+ W

(2.13)

(2.14)

2.2 Propriedades das misturas


Para as misturas de gases, a massa total do sistema é obtida pela soma de todos os espécimes separados que compõe o sistema.

ii

m m=∑Desde que cada espécime ocupe todo o volume, a densidade da mistura será igual a soma da densidade dos espécimes.

ii

ρ ρ=∑A fracção mássica yi é a massa do espécime i, dividida pela massa total do sistema.

i iimym

ρρ

= =

(2.15)

(2.16)

(2.17)



E pela definição:

Similarmente, a fracção molar é o mole do espécime I dividida pelo total de moles, ou a razão entre a concentração molar do espécime i e a concentração molar total.

E pela definição:

(2.18)

(2.19)

(2.20)

1iiy =∑

i iiN nxN n

= =

1iix =∑

Na cinética molecular a concentração molar de um espécime é dada pelo símbolo químico do espécime dentro de parênteses rectos. Por exemplo [CO] moles/cm3



A massa molecular M é dada por m/N, daí para a mistura:

Para se encontrar a relação entre as fracções molares e mássicas, escreve-se:

Dai:

(2.21)

(2.22)

(2.23)

ii i

i i

mM xMN

= =∑ ∑

i i iiN m MxN m M

= =

ii

i

MyxM

=



A energia interna da mistura u e a entalpia h por unidade de massa são dados por:

Similarmente os valores por mole de mistura são:

A pressão da mistura para gases ideais é igual a soma das pressões parciais que os componentes da mistura exerceriam se cada um deles estivesse sozinho no volume da mistura à temperatura da mistura.

(2.25)

(2.26)

i i i ii i

u y u e h y h= =∑ ∑ (2.24)

ˆ ˆˆ ˆi i i ii i

u y u e h y h= =∑ ∑

i ii ip x p p= =∑ ∑



O volume V da mistura dos gases ideais é igual ¬a soma dos volumes parciais que cada componente do gás ocuparia se cada um existisse sozinho à pressão e temperatura da mistura.

(2.27) i ii iV xV V= =∑ ∑

2.3 Estequiometria da combustão


Quando moléculas submetem-se a uma reação química, os átomos reagentes rearranjam-se e formam novas combinações. Por exemplo o Oxigénio e o Hidrogénio reagem e forma a água.

2 2 212

H O H O+ →

Esta equação de reacção representa os resultados inicial e final e não a trajectória real da reação, que envolve muitos passos intermédios e espécimes intermédios. Esta aproximação geral é similar à análise termodinâmica de sistemas, onde o estado final, mas não a trajectória são usados.

A massa relativa das moléculas obtém-se multiplicando o número de moles de cada espécime pela respectiva massa molecular (que tem como unidades kg/kmol no Sistema Internacional) para a reacção acima de oxigénio com hidrogénio tem-se:

( )

( )

2 22 2

22

2 1 3212

181

kg kgkgmol H molOkgmol H kgmolO

kgkgmol H Okgmol H O

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠



Para combustíveis que contenham carbono, hidrogénio e oxigénio que ardem em condições estequiométricas, o balanço dos átomos de C, H, O e N segue a seguinte expressão geral:

Onde α, β e γ representam o numero de átomos de carbono, hidrogénio e oxigénio na molécula de combustível. Alternativamente α, β e γ são as fracções molares de carbono, hidrogénio e oxigénio da última análise do combustível

( )2 2

2 2 2

3,764 2

3,762 4 2

C H O O N

CO H O N

α β γ

α β γ

β β γα α

+⎛ ⎞+ − + →⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.28)



Os moles de ar estequiométricos por moles da mistura vêm de:

A relação mássica estequiométrica combustível –ar é dada por:

(2.29) 4,764 2

as

comb

nn

α β γ+⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )29,0 4 2 4,76comb comb comb comb

sas a as

m M n MRCAm M M α β γ

= = =+ − (2.30)

A percentagem de excesso de ar é dada pelo ar usado menos o ar estequiométrico, tudo dividido pelo ar estequiométrico vezes 100

( ) ( ) ( )2 2

2

( )

( )

100100 100% O O sa as a as

as as O s

n nm m n nexcessodear

m n n

−− −= = = (2.31)



A percentagem teórica de ar é a percentagem de ar realmente usada dividida pelo ar estequiométrico

Daí:

(2.32)

(2.33)

Algumas vezes em vez da relação combustível ar usa-se a taxa equivalente para descrever as misturas combustíveis. A taxa equivalente é definida como a razão entre a relação Combustível/Ar real e a estequiométrica.

(2.34)

% 100 100a a

as as

m nteoricadearm n⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

% % 100de excesso de ar teorica de ar= −

s

RCARCA

λ =



O excesso de ar está directamente ligado à taxa de equivalência. Usando a Equação 2.31, segue:

O excesso de ar pode ser calculado medindo a composição dos produtos de combustão. Em relação aos produtos o excesso de ar determina-se de:

(2.35)

(2.36)

Se os produtos de combustão contiverem espécimes tais como CO, H2 e fragmentos de combustível resultantes da combustão incompleta é possível obter o excesso de ar por medição directa dos constituintes dos produtos.

( )100 1% excessodear

λ

λ

−=

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2 2

2

2 2

% 1003,76

1003,76

O prod

N Oprod prod

O prod

N Oprod prod

nexcessodear

n n

x

x x

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎣ ⎦

2.4 Energia química


� Para descrever a energia química liberta quando um combustível reage com o ar, para formar os produtos de combustão os espécimes químicos nos reagentes, nos produtos de reação, bem como o seu estado devem ser especificados. Calor de vaporização de combustíveis líquidos e o calor da pirólise dos combustíveis sólidos são tipicamente pequenos quando comparados com a energia química liberta na combustão.



Para se entender o calor de reação, considere-se a reação de uma mistura de combustível com o ar de massa m. Para a combustão a volume constante com calor transferido Qv que se toma como negativo se estiver a sair do sistema. A primeira lei torna-se:

m u2 −u1( )s + u2 −u1( )c"#

$%=Qv

Onde os subscritos s e c referem-se a energia sensível e a energia química. É de notar que na Equação 2.37 os valores de u no estado 1 e 2 são obtidos somando todos os n espécimes. I=1,2,…n. Daí:

u1( )s = u T1( )( )s= yii=1

n

∑ ui T1( )( )s= yii=1

n

∑ cvi( )r dTT0

T1

∫ = cv( )r dTT0

T1

∫

Onde To é a temperatura de referência. (cv)r é o calor específico da mistura reagente:

(2.37)



u2( )s = cv( ) p dTT0

T1

∫Analogamente:

Se a reação tiver lugar a pressão constante e e o calor transferido for Qp, a Equação de energia 2.10 passa a ser:

m h2 − h1( )s + h2 − h1( )c"#

$%=Qp

T1 = T2 = To, daí Qp é a energia química liberta. Se os moles dos produtos de combustão forem mais do que os dos reagentes isso significa que parte da energia química foi gasta a empurrar os lados do combustor contra a pressão ambiente, Para reagentes e produtos de gases ideais:

Qp −Qv = Δ pV( ) = Np − Nr( ) RTo = ΔNRTo

(2.38)

(2.39)



Para a reacção:

CαHβOγ + α +β4−γ2

"

#$

%

&' O2 +3,76N2( )→

αCO2 +β2

"

#$

%

&'H2O+3,76 α +

β4−γ2

"

#$

%

&'N2

Assumindo que o combustível se encontra na fase gasosa e que também a água está no estado gasoso

ΔN =β4+γ2−1

Considere-se que a reação é a pressão constante com a temperatura dos reagentes T1 e a temperatura dos produtos T2. Assuma-se por exemplo que T2>T1>To . Para usar Qp(To) imaginemos que primeiro os reagentes são arrefecidos de T1 a To dai a reação tem lugar a To e finalmente os produtos são aquecidos de To a T2

(2.28)



Qp =m cp( )r dTT1

T0

∫ +Qp To( )+m cp( )r dTTo

T2

∫ou

Qp −Qp To( ) =m hs2 − hs1( )

Onde r refere-se aos reagentes, p aos produtos, e h é a entalpia sensível. É de notar que Qp(To) é negativo para uma reacção exotérmica

(2.40)

2.4.1 Calor de Formação e entalpia absoluta


O calor da reação de combustível ardendo no ar (oxigénio) começando e terminando nos pontos 25oC e 1 Atmosfera dá-nos o poder calorífico do combustível. Este valor encontra-se tabelado para os combustíveis comuns. Seguindo a mesma prática para todas as possíveis reacções pode-se lidar com uma enorme quantidade de dados tabelados. A solução deste problema consegue-se notando que pode-se somente ter um certo número de reacções e o seu respectivo calor de reacção e a partir destas construir as outras reacções.

2.4.1 Calor de Formação e entalpia absoluta


A entalpia absoluta de uma substância é definida como a entalpia sensível em referência à temperatura To mais o calor de formação na temperatura de referência,

h = cp dTT0

T

∫ = Δho (2.41)

2.5 Equilíbrio Químico


�  Para se obter um equilíbrio termodinâmico, é necessário que haja um um equilíbrio químico completo entre os graus internos de liberdade moleculares, equilíbrio químico completo e equilíbrio espacial completo.

�  Atinge-se o equilíbrio químico a umas pressão e temperatura constantes quando a taxa de alteração de todos espécimes tende para zero para todas os espécimes. Em reações complexas alguns espécimes atingem o equilíbrio rapidamente devido à altas taxas de reação ou a muito pequenas alterações na concentração. Enquanto outras tendem ao equilíbrio bastante devagar.

2.5.1 Critério do Equilíbrio Químico


� Quando um produto atinge o equilíbrio químico o problema consiste em determinar a composição dos produtos a uma conhecida temperatura e pressão de uns dados reagentes. Contudo, dado um assumido conjunto de constituintes , a termodinâmica pode determinar a proporção de cada espécime que existe na mistura em equilíbrio. Desde que a composição seja determinada as propriedades termodinâmicas da mistura tais como u,h...etc podem ser calculadas.



Para um sistema de j espécimes em equilíbrio, a temperatura e a pressão não variam, o que pode ser especificado pelo facto da Energia livre de Gibbs so Sistema (G=H-TS) não se alterar

dG( )T ,p = 0Onde:

G = N j g jj=1

j

∑

E onde g j = hj −Tsj. Desde que:

s j = s jo − R ln

p jpo

"

#$$

%

&''

(2.42)

(2.43)

(2.44)



E:

A energia livre de Gibbs do espécime j pode ser escrita como

Introduzindo gj=hj-Tsj e atendendo a que pj/p=xj, daí

s jo =

cpTTo

T

∫ dt

g j = h j −Tsjo + RT ln

p jpo

"

#$$

%

&''

g j = g jo + RT ln x j( )+ RT ln

p jpo

!

"##

$

%&& (2.47)

(2.46)

(2.45)



Substituindo a Equação 2.43 na Equação 2.42 o critério de equilíbrio torna-se

A Equação 2.48 está sujeita às restrições do balanço atómico que mantêm o numero de átomos de C, O, etc constantes.

Onde: j –são os espécimes i – são os átomos J – é o número total de elementos no sistema nij – é o número de i átomos em j espécimes Ai – são os moles de i átomos no sistema

d N j g jj=1

J

∑"

#$$

%

&''= 0

nij g jj=1

J

∑ = Ai

(2.48)

(2.49)



Uma abordagem para a solução do equilíbrio químico consiste na minimização de G com as restrições (Equação 2.43). Contudo, para reacções que envolvam muitos espécimes, há muitos graus de liberdade para torna-la uma aproximação prática. A melhor aproximação consiste em expandir a Equação 2.48 notando que dgj=0 a pressão e temperatura constantes, assim o critério de equilíbrio torna-se:

Para misturas contendo I tipos de átomos e J espécimes , pode ser demonstrado que minimizar G usando I multiplicadores de Lagrange λ resulta na seguinte equação que deve ser satisfeita:

g jj=1

J

∑ dN j = 0

xi =

exp −g jo

RT+ λinij

i

1

∑#

$%%

&

'((

p po

(2.50)

(2.51)



E:

11

J

jjx

=

=∑

A terceira abordagem, que é a mais tradicional, consiste em notar que para uma reação dada dNj=ajd€ onde aj são os coeficientes estequiométricos e € representa o progresso da reação. Por exemplo, para a reacção.

aA+bB = cC + dDQue segue que:

( )( )( )( )

A

B

C

D

d N ad

d N bd

d N cd

d N dd

ε

ε

ε

ε

= −

= −

= −

=



Usando a definição de g e dividindo por RT

( )ˆ ˆ ˆ ˆln lnˆ

c d a b c doA B C D C Da bA B

ag bg cg dg p p pp pRT

+ − −⎛ ⎞+ − −= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Se o lado direito d Equação 2.52 for definido como ln kp da reacção e se for tomado como 1 Atmosfera a Equação 2.52 para o equilíbrio químico torna-se:

c d c dc d a bC D C D

p a b a bA B A B

p p x xK pp p x x

+ − −= = ⋅

A pressão p deve estar em atmosferas e Kp é obtido de tabelas termodinâmicas.

ˆˆ ˆ ˆln ˆ ˆ ˆ ˆ

CA B Dp

cgag bg dgKRT RT RT RT

= + − −

(2.52)

(2.53)

(2.54)



Quando se determina o equilíbrio dos produtos pela Equação 2.54, são identificadas as reacções a serem consideradas e as constantes de equilíbrio são retiradas de tabelas a temperatura especificada. As restrições de balanço atómico são especificadas para o sistema e uma equação de equilíbrio é escrita para cada uma das reacções especificadas usando a forma da Equação 2.53. Este conjunto de equações é resolvido em simultâneo para obter as fracçoes molares dos espécimes e outras propriedades termodinâmicas do sistema. Para os produtos de combustão as equações de equilíbrio da fase gasosa incluem:

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2

2

2 2

1212

2222

2

H O H O

CO CO O

CO H O CO HH O OHO ON NH HO N NO

= +

= +

+ = +

+ =

=

=

=

+ =

2.5.2 Propriedades dos Produtos de Combustão


Quando a fração molar de cada espécime é determinada, a energia interna, entalpia e a massa molecular média da mistura dos produtos pode ser obtida. Para um dado combustível cada fração molar dos produtos xi, é função de T, p, e RCA. Daí u e h tornam-se funções de T, p e RCA embora a energia interna de cada espécime seja unicamente função de T

ˆi ix uu

M=∑

Quando se considera o balanço de energia de um sistema não estacionário é necessário avaliar as alterações da u em função de T e p. Expandindo a Equação 2.35, obtém-se:

( ) ( )ˆ ˆi i i ix T u x u T M T uuT M M

⎡ ⎤∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎣ ⎦= −∂

∑

(2.55)

(2.56)



Onde M =ΣxiMi . Também:

Uma expressão similar pode ser escrita para a entalpia a e para a energia livre de Gibbs. Estas relações são geralmente escritas em código computacional.

( ) ( )ˆi ix p u M p uup M M

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂∂= −⎢ ⎥

∂ ⎣ ⎦∑

Um exemplo da dissociação é dado pela expansão dos produtos de combustão num sistema de cilindro pistão. Usando a primeira lei para o sistema dos produtos, obtém-se:

du p dV qdt m dt m

= − −

(2.57)

(2.58)



As equações a serem resolvidas são:

Manipulações algébricas destas equações produzem uma única equação diferencial da forma:

u dT u dp RT dV qT dt p dt V dt m∂ ∂

+ − −∂ ∂

mRTpV

=

( )1d Vdp mR dV mT dRmRTdt V dt dt V dt

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

dR R dT R dPdt T dt P dt

∂ ∂= +∂ ∂

( ),dT T tdt

τ=

(2.59)

(2.60)

(2.61)

(2.62)

2.6 Cálculos da Combustão com a Primeira Lei


O uso da primeira lei permite calcular o processo que vai desde o estado de equilíbrio para outro. Se o processo for estendido para um processo passo a passo no tempo. A assunção é que o estado de equilíbrio atinge-se muito rapidamente em cada passo de tempo. Se a energia cinética for pequena comparativamente a entalpia então:

Assim o problema torna-se a determinação da temperatura dos produtos que faz esta equação acontecer. Este é o problema da temperatura adiabática de chama. Similarmente para o volume constante:

r ph h=

r pu u=E o problema passa a ser determinar T e p dos produtos que façam a igualdade acontecer. Como T e p são são incógnitas é necessária uma equação extra p=mRT/V

(2.63)

(2.64)

2.6.1 Temperatura adiabática de chama


Quando somente uma resposta aproximada é necessária a entalpia dos produtos de combustão pode ser obtida do calor específico médio. Daí a equação de energia torna-se:

( ) ( ) ( ) ( )comb acomb p comb o i a p a o comb a p chama om c T T Q m c T T m m c T T⎡ ⎤− + + − = + −⎣ ⎦

Resolvendo para a temperatura adiabática de chama e assumindo que o combustível e o ar entram a temperatura de referencia 25º C

1i

chama op

QRCAT TRCA c

= ++

Onde cp é o calor específico médio dos produtos.

(2.65)

(2.66)


� Considere-se o processo de combustão a volume constante onde os reagentes estão misturados uniformemente e a ignição tem lugar no centro assim a chama difunde-se esfericamente para fora. A pressão aumenta e uma pequena quantidade de calor transfere-se dos reagentes não queimados para as paredes do combustor . Para se derivar as equações governantes divide-se o volume em duas zonas separadas por um fino descontínuo que é a chama. Designe-se a zona não queimada por u e a queimada por b

2.6.2 Combustão em Volumes fechados


A conservação de massa aplicada a zona queimada e não queimada dá-nos:

(2.68)

(2.69a)

mu = ρcombVcombAcomb

dmu

dt= mu = −

dmb

dt

u bm m m+ =

u bV V V+ =

(2.69b)

(2.69c)



A equação de energia para os volumes de controlo queimado e não queimado vem da Equação

(2.70a)

(2.70b)

(2.71a)

d muuu( )dt

= − muhu − pdVudt

− qu

d mbub( )dt

= − mbhb − pdVbdt

− qbOnde qu e qb é a taxa transferida de cada zona através das paredes. Como a chama é uma descontinuidade fina não há transferência de calor da chama para as paredes

( )u u u uu u

d m u dm dVh p qdt dt dt

= − −

( )b b b bu b

d m u dm dVh p qdt dt dt

= − − (2.71b)



A pressão é uniforme ao longo de todo o volume existindo apenas uma pequena variação de pressão ao longo da chama, e

(2.72)

(2.73)

Simplificando a Equação 2.71a para os reagentes , assumindo os calores especificos constantes e usando cp – cv = R

(2.74)

u u u b b b

u b

m R T m R TpV V

= =

, lnu v u u u u u uu u u

m c dT R T dm d Vm R Tdt dt dt

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠Dividindo a Equação 2.73 por muRuTu e integrando termo a termo

2 2 2,

1 1 1

1v u u u

u u u

c dt dm dVR T m V dt

= −∫ ∫ ∫



E para

(2.72)

(2.73)

, 11

v u

u

cR k

=−

Constante

2 2

1 1

2

1

1 ln ln ln1

u u

u u

m VTk T m V

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

1

1

2

1

k

u

u

TT

ρ

ρ

−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ou

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