universidade tecnolÓgica federal do paranÁ...
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AULA 7- FILTROS ATIVOS
INTRODUÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROTÉCNICA
ELETRÔNICA 2– ET74BC
Prof.ª Elisabete Nakoneczny Moraes
Curitiba, 20 de setembro 2016.
LOGARITMOS E A UNIDADE (deci)bel
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 2
O (deci)bel é a intensidade de uma relação. Permite expressar a razão entre duas grandezas da mesma natureza.
Por ex.: caso seja necessário expressar um ganho, ou seja, uma razão entre saída e entrada que seja muito maior que a unidade ou uma atenuação em que essa mesma razão seja muito menor que a unidade, resultaria em valores que teríamos dificuldade em expressar numericamente e por consequência o seu entendimento.
A unidade bel originou-se com Alexander Graham Bell que percebeu que a variação de som que o ouvido humano percebe não acompanha uma escala linear e sim logarítmica.
Pi
PoA
Pi
PoA B 10log
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LOGARITMOS E A UNIDADE (deci)bel
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 3
Logaritmos são usados para comprimir escalas quando a faixa de valor é muito ampla. Também podem transformar operações de “x” e “/” em “+” e “-”.Proporção de uma quantidade física, geralmente energia ou intensidade em relação a um nível de referência especificado ou implícito [7] .
Ex1: supondo que Po=10Pi:
BbelPi
PoAB 1110loglog
Então o ganho de potência é 1B, ou seja, Po está 10x acima de Pi, há uma amplificação de 1bel.
Ex2: supondo que Po=1000Pi:
BbelPi
PoAB 3310log1000loglog 3
Então o ganho de potência é 3B, ou seja, Po está 1000x acima de Pi.
LOGARITMOS E A UNIDADE (deci)bel
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 4
A saída é 1000x menor que a entrada, ou seja, houve uma amplificação de -30dB ou uma atenuação de 30dB.
Ex2.a: ainda supondo que Po=1000Pi:
O uso do decibel décima parte do bel *
dBdecibelsPi
PoAdB 303010log10
1000log10 3
Ex3: supondo que Po=0,001Pi = 10-3:
dBdecibelsAdB 303010log10001,0log10 3
BbelAB 3310log001,0log 3
*A utilização do decibel facilita cálculos onde há uma grande variação entre as grandezas envolvidas, pois o uso de logaritmos torna estes números pequenos e fáceis de manipular [8].
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GANHO DE POTÊNCIA, TENSÃO e CORRENTE
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 5
Dois valores de potência podem ser comparados através da unidade bel
i
OP
P
PA
i
OV
P
PbelA
10log)(
iin
outout
in
outV
RV
RV
P
PA
2
2
log.10log.10
A unidade “dB” também é usada para expressar ganhos de tensão (Av) e corrente (AI).
i
OP
P
PdBA
log10)(
belP
P
i
O 10logComo dBdecibelP
P
i
O 10log.10e
Para expressar ganhos de tensão:
in
outV
V
VA log.20
in
out
in
out
iin
outout
R
R
V
V
RV
RVlog10log10log.10
2
2
2
Se R1=R2, suposição que é feita quando compara-se valores de tensão em dB, resulta que o 2º termo é igual a zero e portanto o ganho de tensão deve ser expresso por:
Raciocínio semelhante para a determinação do ganho de corrente, cuja equação final resulta em:
in
outI
I
IA log.20
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA [1]
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A análise CA de um circuito é realizada fixando-se uma frequência de operação para o circuito através de uma fonte senoidal, por exemplo: vF(t) = A sen (2 ft) em que w=2 f.
Créditos: [9]
A representação do domínio
do tempo fornece a
amplitude do sinal em um
determinado instante de
tempo.
Ao fazer com que o circuito opere sempre na frequência de 60 Hz, todos os cálculos podem ser realizados considerando asimpedâncias fixadas em ZL = j w L e ZC = 1/(j w C)).
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 7
Amplitude
do sinal
Frequência
Em muitos circuitos a frequência de operação varia e a análise do circuito necessita mostrar o seu comportamento em toda uma faixa de frequências.
A análise do circuito em função da frequência é realizada através da determinação da resposta em frequência, que pode ser obtida por meio de gráficos como Diagra-
mas de Bode – ganho e fase, ou ainda pela função matemática que descreve a relação entre a tensão de saída e a de entrada em função da frequência (w), Função de Transferência-H(w) .
CONCEITOS [4,5]
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 8
Filtros Passivos: são construídos somente com elementos passivos, como resistores, capacitores e indutores.
Filtros Ativos: construídos com alguns elementos passivos associados a elementos ativos, tais como: transistores e amplificadores operacionais.
Filtro: é um quadripolo capaz de atenuar determinadas frequências do sinal de entrada e permitir a passagem das demais.
Essa característica permite que sejam utilizados para selecionar uma determinada faixa de frequências, ou para eliminar sinais indesejáveis, tais como ruídos [10].
Sedra, cap 11Boylestad, seção 15.6
Vin VoutL R
C
Filtro passa-baixa de 2ª ordem passivo
Vin Vout
R1 R2
C1
C2
Filtro passa-baixa de 2ª ordem ativo
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CONCEITOS [4,5]
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 9
Faixa de passagem: faixa de frequência na qual o sinal sofre a mínima atenuação.
Faixa de corte ou rejeição: faixa na qual os sinais sofrem grandes atenuações
Faixa de transição: os sinais apresentam atenuação variável.
Créditos figura: Antonio Pertence Jr
CLASSIFICAÇÃO
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 10
Créditos figuras: Prof. José Carlos Vitorino
a)Passa Baixa (PB): só permite a passagem de frequências abaixo de uma frequência de corte “fc”. Frequências superiores são atenuadas.
b)Passa Alta (PA): permite a passagem de frequências acima da frequência de corte (fc). As frequências inferiores são atenuadas
Resposta ideal
Nos filtros passa-baixo, a banda de passagem é toda a banda contida entre DC (ω=0) e a frequência de corte. ω ∈[ 0, ωc ].
ω ∈ [ ωc, +∞ [
ω ∈ [ 0, ωc ]
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CLASSIFICAÇÃO
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 11
c)Passa Faixa (PF): permite a passagem das frequências
situadas em uma faixa delimitada por uma frequência de corte inferior e outra superior.
d)Rejeita Faixa (RF) ou Notch: permite a passagem de frequências situadas abaixo da frequência de corte inferior e acima da frequência de corte superior. A faixa delimitada entre as frequências é atenuada.
Resposta ideal
ω ∈[ ωp1, ωp2 ].
ω ∈[ 0, ωp1 ] ∪ [ ωp2, +∞ [.
RESPOSTAS IDEAIS NO DOMÍNIO DO TEMPO
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 12
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RESPOSTAS IDEAIS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 13
FREQUÊNCIA DE CORTE (fc) ou CRÍTICA ou MEIA POTÊNCIA [1]
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 14
Definida como a frequência na qual a potência de saída é a metade da potência de entrada.
2
1
Pin
PoutA
Como: e , tem-se:2
2
R
VoutPout
707,02
1
2
12
2
Vi
Vo
Vi
Vo
2
1
1
2
2
2
R
Vin
R
Vout
Av1
2
R
VinPin
Admitindo que 21 RR
O ganho de tensão em dB:
dBAdBv 3707,0log20
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FREQUÊNCIA DE CORTE & LARGURA DE FAIXA
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 15
A frequência de corte é a frequência na qual a tensão de saída é ≈ 70,7% da tensão de entrada, o que equivale a um ganho de -3dB ou uma atenuação de 3dB.
Largura de faixa (bandwidth) de um filtro é a diferença entre a frequência superior e a inferior:
LH
LH
BW
ffBW
HL ffSe H
H
BW
fBW
PRODUTO GANHO-LARGURA BANDA - GBP
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 16
Produto (Ganho-Largura Banda) (Passante) - GBPA relação entre o ganho e largura de banda em um amplificador operacional pode ser expressa
pelo produto do (ganho × largura de banda) = ponto de ganho unitário.
Circuitos com amplificador operacional, o ponto de ganho unitário para uma dada configuração será igual ao produto do ganho pela largura de banda para qualquer outra configuração do mesmo amplificador operacional.Ou seja, quando o ganho muda, a largura de banda também muda, mas o produto é constante.
Considerando queHfBW
O valor doHM fAPGB
Sendo “AM” o valor do ganho na faixa de frequências médias em volts/volts.
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ANÁLISE DA RESPOSTA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 17
A Transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil no estudo de sistemas dinâmicos, pois transforma as equações diferenciais que descrevem esses sistemas em equações algébricas.
0
)()( dtetfsFtfL st
Onde s é uma variável complexa na forma: js
jFFsF
Então uma função complexa F(s), que é uma função de s também é formada por uma parte real e uma imaginária:
Im
Re
s
sLLjX L
LL C
CsCjX C
11
Representação de indutor e capacitor no domínio da frequência
ORDEM & FT DO FILTRO
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 18
Cada conjunto de componentes RC ou RL apresentam uma constante de tempo (). A ordem do filtro corresponde ao número de constantes de tempo que atuam sobre o filtro. A ordem do filtro influencia diretamente na faixa de atuação.
ORDEM DO FILTRO
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA (H(w))
Equação matemática que relaciona a tensão de saída e a tensão de entrada do filtro. A análise do comportamento de um filtro é através do cálculo da sua função de transferência H(s)=Vo(s)/Vi(s), no domínio da transformada de Laplace.
Domínio do tempo
Domínio da Frequência
jw
A
Vi
VowH
1)(
sw
Aw
Vi
VosH
0
0)(
1ª ordem
21 11)(
jwjw
A
Vi
VowH
2
00
2
2
0)(wsws
Aw
Vi
VosH
2ª ordem
0w frequência angular de ressonância
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EXERCÍCIO 1
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 19
1-Obtenha a função de transferência de tensão T(s)V0(s)/Vi(s) para a rede CTS (constante de tempo simples) . Sedra, Ex. 7.1,p.537. A resposta deve ser dada em forma de frações de polinômios mantendo o “s” isolado.
C
CsX C
1
ZCR VVV //0
XcRXcRZ 22.
sCR
sCR
Z1
1
2
2
1
.2
2
CsR
sC
sC
R
12
2
CsR
R
1
1
2
21
2
2
1
CsR
RR
CsR
R
Vi
ZR
ZVi
Vi
Vo
a)Cálculo de Z
b)Cálculo de T(s)
2121
2
RRCRsR
R
Vi
Vo
CRR
CRRx
21
21
/1
/1
CRR
RRs
CR
Vi
Vo
21
21
1/1
EXERCÍCIO 2
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 20
2-Determine a FT no domínio da frequência para o filtro passa baixa
R
CVi Vo
ViVoXw C ,0
00, VoXw C
)(
)()(
sVi
sVosH
sCR
sCVi
sVc1
1
)(
sCR
sC
sVi
sVo
1
1
)(
)(
Fazendo: RC
sCR
sCsH1
1
Reorganizando:
sRC
sH
1
1
s
sH
1
1
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EXERCÍCIO 3
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 21
Determine o ganho e a frequência de corte para o circuito abaixo. Créditos: Coughlin, Robert F; Driscoll, Frederick F. p. 297
Acl (closed loop)=1/(1+jwRC)fc=15,9kHz
FILTRO ATIVO PASSA BAIXA DE 1ª ORDEM [3]
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 22
Considerando que o AmpOpopera na faixa linear, portanto sem saturação, Vd=0 V-=0
1
1
1
1
1// 21
2
2
2
12
1
CsRR
R
V
V
sCR
sCRV
R
V
sCR
VV
R
VV
i
o
o
ioi
1
1)(
s
AsHCR2
1
2 R
RA Constante de carga em
regime transitório
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FILTRO ATIVO PASSA ALTA DE 1ª ORDEM [3]
20 Set 16 Aula 7 - Filtros ativos-introdução 23
1111
1
1
2
21
21
CsR
CsR
R
R
V
V
R
V
sCR
V
R
VV
sCR
VV
i
ooioi
1
)(
s
sAsH CR1
1
2 R
RA
REFERÊNCIAS
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[1] Moecke, Marcos. Filtros em telecomunicações. IFSC Campus São José. 2006[2] T.P. nº1 de Laboratórios Integrados II – Electrónica Industrial[3] Circuitos e Sistemas Electrónicos - apontamentos sobre filtros analógicos[4] Pertence Jr., Antonio. Amplificadores operacionais e filtros ativos. Teoria, projetos, aplicações e laboratório. 5ª ed, Makron Books, 1996.[5] Sedra, Adel S.; Smith, Kenneth Carless. Microeletrônica. São Paulo: Makron, 1995.[6] http://manoel.pesqueira.ifpe.edu.br/cefet/anterior/2008.1/elebas/aop/AOP.htm. Visitado em 24/02/2015.[7] Wikipédia: Bel e decibel.[8]http://coral.ufsm.br/gpscom/professores/Renato%20Machado/TopicosAvancados/Decibel.pdf Visitado em 06/07/2015.[9] NI – Tutorial – 13419-pt. http://www.ni.com/white-paper/13419/pt/pdf. [10]http://www.faccamp.br/apoio/JoseCarlosVotorino/princ_com/AulassobreFiltrosdesinais.pdf . Visitado em 17/09/16.[11] Pedroni, Volnei A. Circuitos Eletrônicos. Rio de Janeiro, LTC, 1986.