UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES –

URI CAMPUS DE ERECHIM

ANDERSON RIBEIRO

MODELO MATEMÁTICO DA LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON

VERSUS

DADOS EXPERIMENTAIS

ERECHIM, 2009

1

ANDERSON RIBEIRO

MODELO MATEMÁTICO DA LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON

X

DADOS EXPERIMENTAIS Monografia apresentada para obtenção do título de Licenciado em Matemática pelo Departamento de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões − URI, Campus de Erechim. Orientador: Prof. Clémerson Alberi Pedroso

ERECHIM, 2009

2

DEDICATÓRIA

Este trabalho é dedicado a todos os que apoiaram e contribuíram no

desenvolvimento do mesmo.

Em especial, dedico a minha família que esteve presente em todos os

momentos com apoio e carinho, também dedico a minha amada Cátia pela

compreensão e incentivo em certos momentos de dificuldades e ao orientador, Prof.

Clémerson Alberi Pedroso, o qual foi muito importante e me orientou em todo o

processo de desenvolvimento do trabalho, sempre disposto a esclarecer as dúvidas.

3

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Newton o criador do modelo em questão, sobre o

qual desenvolvo o meu trabalho.

Agradeço também ao meu orientador, Prof. Clémerson Alberi Pedroso, aquele

que esclareceu as dúvidas que surgiram no decorrer deste trabalho e, em especial,

agradeço a minha família que esteve sempre ao meu lado.

Por fim, agradeço a todos que contribuíram para a realização desta pesquisa.

A todos, o meu muito obrigado!

4

“ Se pude

enxergar

mais

longe,foi

5

por me

erguer

sobre os

ombros de

gigantes ” . ( ISAAC NEWTON )

RESUMO O tema deste trabalho é modelagem matemática da variação de temperatura de uma xícara de café, tendo como objetivo modelar, através de uma equação diferencial ordinária, medidas de temperaturas obtidas em laboratório. A equação diferencial utilizada é baseada na Lei de Resfriamento de Newton. Trata-se de uma pesquisa de caráter experimental, realizada no Laboratório de Física da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões − URI Campus de Erechim. Constatou-se que, através de gráficos comparativos e dos cálculos dos erros absoluto médio (EAM) e percentual absoluto médio (EPAM), que os dados experimentais e a solução analítica apresentam boa aproximação, o que valida o modelo matemático proposto por Newton. O presente trabalho pode servir como base a futuras atividades a serem desenvolvidas em sala de aula, envolvendo conteúdos relacionados à termodinâmica (física) e equações diferenciais (Matemática), possibilitando aos alunos verificarem na prática a importância da interdisciplinaridade.

Palavras-chave: Lei do Resfriamento de Newton. Equação Diferencial.

6

Modelagem Matemática

7

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Equilíbrio térmico................................................................................ 11

Figura 2 – Condução de calor............................................................................... 12

Figura 3 – Convecção de calor.............................................................................. 12

Figura 4 – Curvas de resfriamento........................................................................ 16

Figura 5 – Curva de resfriamento e temperatura do ambiente.............................. 17

8

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 8

2. MODELAGEM MATEMÁTICA ......................................................................... 9

3. PROPAGAÇÃO DE CALOR ................................................................................ 11

4. COLETA DE DADOS ............................................................................................ 14

5. MODELO PARA A LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON E COMPARATIVOS COM DADOS EXPERIMENTAIS .....................................................................................................

15

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 19

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 21

ANEXOS................................................................................................................ 22

ANEXO 1 – Dados coletados pelo equipamento Data Logger ................................ 23

ANEXO 2 – Resolução do modelo........................................................................... 24

ANEXO 3 – Comparação entre dados do Data Logger e dados do modelo........... 30

9

1 INTRODUÇÃO

Para os gregos a física foi definida como o estudo da natureza, melhor

dizendo, é o entendimento da natureza e de seus fenômenos, porém é composta de

fórmulas que, por sua vez, ligadas à matemática, não deixam de ser uma linguagem

para ser exposta ao mundo com o objetivo de ser melhor compreendido e analisado

(CHERMAN, 2004).

A função dos físicos é entender o mundo e para isso eles não podem abrir

mão das fórmulas matemáticas. A física se apóia firmemente na matemática; isso

pode ser comprovado com as ações de Newton, considerado como um dos

inventores do cálculo (BARON, 1985) e o criador de princípios muito importantes

para a física. Hoje em dia não é diferente esta relação entre a física e a matemática.

Com base nesses comentários serão discutidas idéias da matemática e da

física com o intuito de adequar um modelo matemático a dados experimentais que

permitam calcular e prever variações de temperatura em relação ao tempo. Acredita-

se que este trabalho também possa servir como uma proposta de atividade a nível

superior, para desenvolver idéias relacionadas à Lei de Resfriamento de Newton e

de equações diferenciais ordinárias, conteúdos que fazem parte de vários cursos de

graduação.

Inicialmente são abordadas algumas idéias relacionadas à modelagem

matemática, após algumas discussões sobre propagação de calor. Seguem-se

esclarecimentos sobre a realização da coleta de dados, a apresentação e resolução

da equação diferencial para a Lei de Resfriamento de Newton, comparativos entre a

solução analítica e os dados experimentais e finalmente as considerações finais

deste trabalho.

10

2 MODELAGEM MATEMÁTICA

De acordo com Biembengut e Hein (2003), a modelagem matemática existe já

há certo tempo, havendo relatos de modelagem desde os tempos em que surgiu a

própria matemática, porém a modelagem na educação é mais recente, passando a

ganhar ênfase nas últimas três décadas.

Ela começou a ser usada como estratégia de ensino, com o objetivo de unir a

matemática formal com situações reais, onde teve muito sucesso e tornou-se um

método não só de ensino-aprendizagem, mas também útil para resolver problemas

ou acontecimentos do cotidiano. A modelagem matemática é uma forma de

converter as informações do dia-a-dia em fórmulas e modelos matemáticos,

objetivando despertar nos alunos um interesse maior pela matemática ou também

resolver problemas reais de maneira simplificada, pois muitas vezes a matemática

perde seu encanto por ser um pouco abstrata, mas ela se apresenta desta forma por

não serem mostradas as suas aplicações.

Um artigo escrito por Curi (1999) relata propostas de trabalho desenvolvidas

por professores de escolas municipais de Salvador, Bahia, que participaram de um

projeto que envolvia a modelagem matemática na elaboração de trabalhos sociais.

Conforme relatos, os alunos tiveram um grande empenho na elaboração e no

desenvolvimento dos mesmos, reforçando a importância da modelagem em sala de

aula, além de despertar o interesse dos alunos pelo conteúdo, também desenvolvem

a capacidade de compressão de questões sociais.

Hoje em dia a modelagem matemática também auxilia no desenvolvimento de

indústrias, empresas, comércio, agricultura, pecuária, entre outros setores. Através

de equações matemáticas obtidas pela modelagem matemática, há maior facilidade

no controle destes setores, possibilitando fazer previsões de produção e até mesmo

de quantidades.

Já Bassanezi (2004) apresenta a modelagem matemática como ferramenta

no ensino-aprendizagem, como forma de cativar a atenção dos alunos, mostrando

que a matemática vista em sala de aula pode ser aplicada em situações reais.

11

Entretanto, a modelagem exige do professor criatividade, conhecimento matemático,

domínio do conteúdo e cautela; criatividade em elaborar algo novo, mas que tenha

objetivos traçados, que tenha sentido para sua existência, que não seja algo vago;

conhecimento matemático para que sejam usados métodos matemáticos e uma

linguagem matemática de forma adequada, sem que haja equívocos; domínio do

conteúdo, onde o professor possa explorar o máximo possível para obter melhores

resultados na transmissão do seu saber e cautela para que não ocorram exageros

nos símbolos, tornando o desenvolvimento destrutivo e não esclarecedor.

Libâneo (1994) descreve a modelagem como um fator gerador do processo

de desenvolvimento intelectual do aluno, através do qual aprende a desenvolver

métodos para encontrar soluções dos problemas do cotidiano, passa a ter uma visão

crítica e construtiva da realidade, relacinando o que aprendeu em sala de aula com a

realidade em que vive.

O mesmo autor também descreve alguns dos requisitos que o professor deve

ter para obter melhores resultados na modelagem, primeiro uma compreensão clara

do que se deseja utilizar como assunto na modelagem, total conhecimento do

conteúdo a ser trabalhado, capacidade de criar formas para solucionar problemas

inéditos, facilidade de expressão para os alunos terem um acompanhamento do

desenrolar da situação.

[...] a modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo, este, sob certa óptica, pode ser considerado um processo artístico, visto como uma arte, ao formular, resolver e elaborar expressões que valem não apenas para uma solução particular, mas que também sirvam, posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias podendo dizer também que a matemática e a realidade são dois conjuntos distintos e a modelagem é um meio de fazê-los interagir (BIEMBENGUT; HEIN, 2003, p.12).

De acordo com esses autores, a modelagem matemática constitui um elo

entre o formal e o informal, com o intuito de desenvolver competências para

construir abordagens matemáticas para diversas situações.

12

3 PROPAGAÇÃO DE CALOR

A termodinâmica, segundo Halliday, Resnick e Walker (2001), é uma área da

física relacionada à energia térmica e a ações de temperaturas, comportamento de

objetos sobre a ação do calor, variações de estado físico de corpos, fenômenos

observados que envolvem temperatura, área utilizada como base neste trabalho,

onde será colocada em evidência a propagação de calor e o equilíbrio térmico.

A noção mais comum de temperatura é a sensação térmica de quente ou frio,

porém, cientificamente, temperatura é uma medida do estado de agitação das

moléculas que constituem um corpo, isso de acordo com Potter (2007). Tratando-se

de temperatura dar-se-á ênfase ao equilíbrio térmico, o qual ocorre quando dois ou

mais corpos possuem temperaturas iguais.

Para que dois corpos tenham temperatura igual é necessário que ocorra uma

troca de calor entre eles, onde calor é energia térmica em trânsito. Devido a uma

diferença de temperatura, essa troca de calor também chamada de propagação de

calor ocorre de forma espontânea e sempre do corpo de maior temperatura para o

de menor temperatura, este conceito, conhecido como “enunciado de Clausius”,

recebeu o nome de seu autor, isso pode ser visto na figura abaixo.

Figura 1 −−−− Representação do equilíbrio térmico, sendo TA a temperatura do corpo A e TB a temperatura do corpo B.

13

Dependendo de o corpo ser sólido, líquido ou gasoso, e mesmo na ausência

de um corpo, a propagação do calor se dá basicamente de três maneiras: por

condução, por convecção e por irradiação esta também chamada de radiação.

Todas essas maneiras são descritas por Potter (2007).

A condução, como é representada na figura 2, é um processo de propagação

de calor típico de corpos sólidos, em que as moléculas permanecem em seus

devidos lugares, porém vão passando o calor e a agitação de uma para outra.

A convecção, a qual será abordada no processo experimental deste trabalho,

é um processo de propagação de calor típico dos corpos fluidos, em que as

moléculas se movimentam com facilidade, as moléculas que recebem calor tendem

a afastar-se da fonte que está emitindo calor, enquanto isso as outras moléculas que

ainda não receberam calor aproximam-se desta fonte. Estas também irão receber

calor e consequentemente irão afastar-se também, com isso irá se formar um ciclo

entre as moléculas deste líquido em aquecimento, como mostra na figura 3.

Figura 2 – Propagação de calor de corpos sólidos através da condução

Fonte: Autor do trabalho

Figura 3 − Propagação de calor dos corpos fluidos através da convecção Fonte: Autor do trabalho

14

E a irradiação, que é um processo de propagação de calor que não precisa de

matéria para ocorrer, ocorre através de ondas de calor, ou seja, o calor é transmitido

de um ponto para outro sem que haja a necessidade de um contato entre os

mesmos.

Nas trocas de calor dos corpos, podendo receber ou ceder calor, eles podem

mudar de temperatura ou de estado físico, o que caracteriza dois tipos distintos de

calor, dependendo do efeito provocado. Quando ocorre apenas uma variação de

temperatura denomina-se calor sensível; e quando há uma mudança de estado do

corpo chama-se então de calor latente (Potter; Scott, (2007); Bonjorno, (2001). Por

exemplo, colocando um recipiente com água em um resfriador, a água trocará de

temperatura, mas não terá nenhuma mudança de estado físico, calor sensível; caso

for colocado este mesmo recipiente em um congelador, a água terá uma variação de

temperatura e também sofrerá uma mudança de estado físico, passando do estado

líquido para o estado sólido, o que caracteriza o calor latente.

A nível de curiosidade, de acordo com a segunda Lei da Termodinâmica, o

calor flui espontaneamente do corpo mais quente para o corpo mais frio, conforme

relata Anjos (2000). Pode-se aproveitar este fato para obter trabalho, por exemplo,

as locomotivas utilizavam caldeiras para aquecer a água, com o aquecimento da

água, há uma produção de vapor, o qual vai para um cilindro ligado a um pistão; o

vapor gerado pelo aquecimento da água é comprimido neste cilindro, o qual irá

mover o pistão para cima. Quando o pistão sobe, o vapor sai por uma válvula de

escape, então o pistão desce novamente. Isso forma um ciclo, com este movimento,

o pistão é ligado à biela, ou seja, uma espécie de braço, o qual é preso a um eixo

que recebe o nome de virabrequim, este por sua vez é o responsável pelo

funcionamento do veículo. Tudo isso se dá graças à variação de temperatura entre o

líquido e o meio ambiente, porém após o líquido e o meio ambiente atingirem o

equilíbrio térmico não é mais possível obter trabalho.

A energia térmica é considerada uma forma de energia de segunda classe,

porque possui um baixo rendimento, o qual é entorno de 40%; e todas as formas de

energia consideradas nobres, como, por exemplo, elétrica e mecânica, tendem a se

dissipar na forma de calor.

15

4 COLETA DE DADOS

Os dados experimentais deste trabalho foram coletados por um equipamento

chamado Data Logger, que consiste de termopares acoplados a um computador. O

equipamento foi aferido antes do experimento através da medição de temperatura

de um determinado líquido, onde foram colocados dois outros termômetros e

também os termopares do Data Logger, com o intuito de verificar se o

funcionamento do mesmo estava de acordo com outros dois termômetros que havia

no laboratório. Utilizaram-se dois termopares para medir a temperatura, um termopar

foi utilizado para medir a variação de temperatura do café e outro para medir a

variação de temperatura do ambiente.

O equipamento é conectado a um computador onde ficaram registradas todas

as temperaturas, do ambiente e a do café. A cada minuto o equipamento efetuava a

leitura e registro das temperaturas, o equipamento ficou em funcionamento até que a

temperatura do café estivesse em equilíbrio com a temperatura do meio ambiente,

essa temperatura foi de 18ºC, isso ocorreu em um intervalo de tempo de duas horas

e vinte e dois minutos (2h 22 min).

Iniciou–se o experimento com um copo de café com volume de 180 ml, com

temperatura inicial de 68ºC, e a temperatura ambiente estava em 19ºC. Toda a

experiência ocorreu em uma sala onde não havia corrente de ar e praticamente

nenhuma outra interferência de temperatura. No decorrer do experimento, iniciado

às 16h12 min, a temperatura ambiente teve pequenas variações, no final, às 18h 34

min, a temperatura do ambiente baixou 2ºC, isso talvez porque o horário

encaminhava-se para o pôr-do-sol. Ao final da coleta dos dados, o computador

forneceu um relatório com o registro das temperaturas e o instante de cada registro.

(Veja Anexo 1).

16

5 MODELO PARA A LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON E

COMPARATIVOS COM OS DADOS EXPERIMENTAIS

O modelo matemático para a lei de resfriamento de Newton que trata das

trocas de calor de um corpo com o meio ambiente é apresentado pela seguinte

equação diferencial ordinária:

( )TmTkdtdT −−= . (1)

Onde a taxa de variação da temperatura, T, com relação ao tempo, t, é proporcional,

k, a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente, Tm.

Newton utiliza “k” como constante que depende do material, neste caso o café,

sendo que o sinal negativo indica que a temperatura está diminuindo com o passar

do tempo, em relação à temperatura do ambiente (ZILL, 2001).

Neste trabalho considerou-se o valor de Tm igual a 17,13°C, obtida pela

média aritmética da variação da temperatura da sala a cada medição feita pelo

equipamento Data Logger. Consideraram-se para a resolução do modelo proposto

por Newton, condições para as temperaturas inicial e final também medidas pelo

equipamento, conforme o sistema abaixo:

( )

°=°=

−−=

C18 T(142) C;68 T(0)

13,17TkdtdT

(2)

A resolução de (2) se dá por separação de variáveis, obtendo a seguinte

solução particular: (Veja Anexo 2).

13,1787,50)t(T += ⋅t57-0,0286516e . (3)

17

O gráfico apresentado pela figura 4 ilustra as curvas de resfriamento obtidas

experimentalmente e pela resolução analítica do modelo dado pela função (3).

Neste gráfico pode-se observar que a curva de resfriamento obtida pela

resolução do modelo e a curva obtida através dos dados fornecidos pelo

equipamento são muito semelhantes. Houve no início uma pequena diferença entre

os resultados do modelo e do equipamento a qual acredita-se que esteja relacionada

à variação da temperatura que o café sofre, quando está com uma temperatura um

tanto elevada em relação com à do ambiente, neste momento a temperatura do café

baixa de 2ºC em 2ºC.

No gráfico a seguir, pode-se observar a curva de resfriamento do café em

relação à temperatura do ambiente, isso indica que o ambiente sofreu poucas

alterações, foi praticamente constante.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122 133

Tempo (s)

Tem

pera

tura

( C

)

Café

Modelo

Figura 4 − Curvas de resfriamento Fonte: Dados da pesquisa

18

Outra forma de comprovar que os dados do modelo estão próximos aos

coletados é verificar os valores do erro absoluto médio (EAM) e o erro percentual

absoluto médio (EPAM), descrito por Mesquita(2008):

n

Df

EAM

n

1ttt∑

=

−= , (4)

n

DDf

EPAM

n

1t t

tt∑=

−

= . (5)

Onde ft representa a temperatura do café obtida pela resolução do modelo

matemático da lei do resfriamento de Newton; Dt a temperatura do café obtida pelo

equipamento Data Logger e “n” o número de medições feitas pelo equipamento,

para ambos os erros.

71,22390962143

0190766,175

1

==−

=∑=

n

t

tt

n

DfEAM (6)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122 133

Tempo (s)

Tem

pera

tura

( C

)

Café

Ambiente

Figura 5 − Curva de resfriamento e temperatura do ambiente Fojnte: Dados da pesquisa

19

60,03852639143

509274669,51 ==

−

=∑

=

n

D

Df

EPAM

n

t t

tt

(7)

Um tópico que deve ser observado é a composição do líquido. Neste

experimento o café tinha uma determinada composição. Caso houver uma alteração

nos componentes deste café, por exemplo, mais açúcar ou pó de café, as

constantes encontradas não serão as mesmas. Acredita-se que a viscosidade do

líquido tenha influência na variação de temperatura.

20

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste trabalho pode-se constatar que o modelo da Lei de Newton é válido

para modelar o resfriamento de líquidos, como, por exemplo, o café, mas

provavelmente é válido para outras substâncias. Entretanto, deve ser adequado para

cada tipo, pois o valor de “k”, o qual Newton considera uma constante, depende da

substância em questão.

Uma dificuldade em adequar um modelo matemático para resfriamento de

líquidos é porque há diferenças de temperaturas, havendo momentos em que a

temperatura baixa de 2°C em 2°C por minuto, isso qu ando a temperatura está mais

alta; em outros momentos, ela baixa a uma taxa de 0,025°C por minuto. Este fato

ocorre quando a temperatura tende ser a temperatura do ambiente.

Enfim, com este trabalho, não se quer somente adequar a curva de

resfriamento de um líquido ao modelo matemático, mas também mostrar a

existência de aplicações das equações diferenciais ordinárias, através de uma

proposta de atividade para o nível superior. Trabalhos como este podem contribuir

para o ensino de conteúdos de cálculo, pois além de mostrar a importância do

conteúdo, também pode ser vista a aplicação do mesmo.

Acredita-se também que este trabalho possa ser aprofundado tanto na área

da modelagem matemática, como na elaboração de atividades de aplicação de

determinados conteúdos e também na área da física, no aprimoramento e

entendimento de certos assuntos e teorias, isso com o auxílio da matemática.

Futuramente, pretende-se dar continuidade a esta pesquisa.

Este trabalho que se apóia na modelagem matemática, em práticas

didáticas e na interdisciplinaridade contribui para o estudo da termodinâmica,

revendo conceitos e teorias.

21

REFERÊNCIAS

ANJOS, Ivan Gonçalves dos. Física. São Paulo: Ibep, 2000 BARON, Margaret E.; BROS, H. J.; MAIER, Rudolf (Trad.). Curso de história da matemática: origem e desenvolvimento do cálculo: unidade 1. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1985. BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática : uma nova estratégia.2. ed. São Paulo: Contexto, 2004.389 p. BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino . 3. ed . São Paulo: Contexto,2003. BONJORNO, Regina A. et al. Física completa. São Paulo: FTD, 2001. CHERMAN, Alexandre. Sobre os ombros de gigantes: uma história da física. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 2004. CONFORTIN, Helena, et al. Trabalhos acadêmicos – da concepção à apresentação. Erechim: Edifapes, 2005. CURI, Edda. Mudando as aulas de matemática. Educação matemática em revista, São Paulo, SBEM, ano 6, n. 7, p. 31-36, jul. 1999. HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da física : Gravitação, Ondas e Termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC, 2001. LIBÂNEO, José Carlos. Didática. São Paulo: Cortez, 1994. MESQUITA, Marco Aurélio. Previsão de Demanda. Disponível em <http://www.poli.usp.br/pro/disciplinas/docs/pro5760/5760A02Prev_2003.pdf>. Acesso em: 17 dez. 2008. POTTER, Merle C.; Scott, Elaine P. Ciências térmicas: Termodinâmica, Mecânica dos fluidos e Transmissão de calor. São Paulo: Thomson, 2007. ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R..Equações Diferencias. São Paulo: Makron Books , 2001.

22

ANEXOS

23

ANEXO 1

DADOS COLETADOS PELO EQUIPAMENTO

DATA LOGGER

24

MODELO MATEMÁTICO DE RESFRIAMENTO DE NEWTON X DADOS

EXPERIMENTAIS

Título: Resfriamento do café Nome do Arquivo: A:\Resfriamento.txt Primeira Aquisição: 09/04/08 16:12:55 Última Aquisição: 09/04/08 18:34:55 Intervalo Base entre Aquisições: 1min00.0seg Número de Série: 21605220 Versão de Firmware: V1.13 N# Data Hora Canal 1 Canal 2 Canal 3 Canal 4 Canal 5 Canal 6 Canal 7 Canal 8 .... Canal 10 ---- ------- ------ --------- ---------- --------- --------- ---------- --------- ---------- ---------- ------------ 0000 09/04/2008 16:12:55.0 68 19 0001 09/04/2008 16:13:55.0 66 19 0002 09/04/2008 16:14:55.0 64 19 0003 09/04/2008 16:15:55.0 62 18 0004 09/04/2008 16:16:55.0 60 18 0005 09/04/2008 16:17:55.0 59 18 0006 09/04/2008 16:18:55.0 57 18 0007 09/04/2008 16:19:55.0 56 18 0008 09/04/2008 16:20:55.0 54 18 0009 09/04/2008 16:21:55.0 53 18 0010 09/04/2008 16:22:55.0 52 18 0011 09/04/2008 16:23:55.0 51 18 0012 09/04/2008 16:24:55.0 50 18 0013 09/04/2008 16:25:55.0 49 18 0014 09/04/2008 16:26:55.0 47 17 0015 09/04/2008 16:27:55.0 46 17 0016 09/04/2008 16:28:55.0 45 17 0017 09/04/2008 16:29:55.0 45 17 0018 09/04/2008 16:30:55.0 44 17 0019 09/04/2008 16:31:55.0 43 17 0020 09/04/2008 16:32:55.0 42 17 0021 09/04/2008 16:33:55.0 42 17 0022 09/04/2008 16:34:55.0 41 17 0023 09/04/2008 16:35:55.0 40 17 0024 09/04/2008 16:36:55.0 40 17 0025 09/04/2008 16:37:55.0 39 17 0026 09/04/2008 16:38:55.0 38 17 0027 09/04/2008 16:39:55.0 38 17 0028 09/04/2008 16:40:55.0 37 17 0029 09/04/2008 16:41:55.0 37 17 0030 09/04/2008 16:42:55.0 36 17 0031 09/04/2008 16:43:55.0 36 17 0032 09/04/2008 16:44:55.0 35 17 0033 09/04/2008 16:45:55.0 35 17 0034 09/04/2008 16:46:55.0 34 17 0035 09/04/2008 16:47:55.0 34 17 0036 09/04/2008 16:48:55.0 33 17 0037 09/04/2008 16:49:55.0 33 17 0038 09/04/2008 16:50:55.0 33 17 0039 09/04/2008 16:51:55.0 32 17 0040 09/04/2008 16:52:55.0 32 17 0041 09/04/2008 16:53:55.0 31 17 0042 09/04/2008 16:54:55.0 31 17 0043 09/04/2008 16:55:55.0 31 17 0044 09/04/2008 16:56:55.0 30 17 0045 09/04/2008 16:57:55.0 30 17 0046 09/04/2008 16:58:55.0 30 17 0047 09/04/2008 16:59:55.0 30 17 0048 09/04/2008 17:00:55.0 29 17 0049 09/04/2008 17:01:55.0 29 17 0050 09/04/2008 17:02:55.0 29 17 0051 09/04/2008 17:03:55.0 28 17 0052 09/04/2008 17:04:55.0 28 16 0053 09/04/2008 17:05:55.0 28 17 0054 09/04/2008 17:06:55.0 28 16 0055 09/04/2008 17:07:55.0 27 17 0056 09/04/2008 17:08:55.0 27 17

25

0057 09/04/2008 17:09:55.0 27 17 0058 09/04/2008 17:10:55.0 27 17 0059 09/04/2008 17:11:55.0 26 17 0060 09/04/2008 17:12:55.0 26 17 0061 09/04/2008 17:13:55.0 26 17 0062 09/04/2008 17:14:55.0 26 17 0063 09/04/2008 17:15:55.0 26 17 0064 09/04/2008 17:16:55.0 25 17 0065 09/04/2008 17:17:55.0 25 17 0066 09/04/2008 17:18:55.0 25 17 0067 09/04/2008 17:19:55.0 25 17 0068 09/04/2008 17:20:55.0 25 17 0069 09/04/2008 17:21:55.0 25 17 0070 09/04/2008 17:22:55.0 24 17 0071 09/04/2008 17:23:55.0 24 17 0072 09/04/2008 17:24:55.0 24 17 0073 09/04/2008 17:25:55.0 24 17 0074 09/04/2008 17:26:55.0 24 17 0075 09/04/2008 17:27:55.0 24 17 0076 09/04/2008 17:28:55.0 23 17 0077 09/04/2008 17:29:55.0 23 17 0078 09/04/2008 17:30:55.0 23 17 0079 09/04/2008 17:31:55.0 23 17 0080 09/04/2008 17:32:55.0 23 17 0081 09/04/2008 17:33:55.0 23 17 0082 09/04/2008 17:34:55.0 23 17 0083 09/04/2008 17:35:55.0 23 17 0084 09/04/2008 17:36:55.0 23 17 0085 09/04/2008 17:37:55.0 22 17 0086 09/04/2008 17:38:55.0 22 17 0087 09/04/2008 17:39:55.0 22 17 0088 09/04/2008 17:40:55.0 22 17 0089 09/04/2008 17:41:55.0 22 17 0090 09/04/2008 17:42:55.0 22 18 0091 09/04/2008 17:43:55.0 22 18 0092 09/04/2008 17:44:55.0 22 17 0093 09/04/2008 17:45:55.0 21 17 0094 09/04/2008 17:46:55.0 21 17 0095 09/04/2008 17:47:55.0 21 17 0096 09/04/2008 17:48:55.0 21 17 0097 09/04/2008 17:49:55.0 21 17 0098 09/04/2008 17:50:55.0 21 17 0099 09/04/2008 17:51:55.0 21 17 0100 09/04/2008 17:52:55.0 21 17 0101 09/04/2008 17:53:55.0 21 17 0102 09/04/2008 17:54:55.0 21 17 0103 09/04/2008 17:55:55.0 20 17 0104 09/04/2008 17:56:55.0 20 17 0105 09/04/2008 17:57:55.0 20 17 0106 09/04/2008 17:58:55.0 20 17 0107 09/04/2008 17:59:55.0 20 17 0108 09/04/2008 18:00:55.0 20 17 0109 09/04/2008 18:01:55.0 20 17 0110 09/04/2008 18:02:55.0 20 17 0111 09/04/2008 18:03:55.0 20 17 0112 09/04/2008 18:04:55.0 20 17 0113 09/04/2008 18:05:55.0 20 17 0114 09/04/2008 18:06:55.0 20 17 0115 09/04/2008 18:07:55.0 20 17 0116 09/04/2008 18:08:55.0 20 17 0117 09/04/2008 18:09:55.0 20 17 0118 09/04/2008 18:10:55.0 20 17 0119 09/04/2008 18:11:55.0 20 17 0120 09/04/2008 18:12:55.0 19 17 0121 09/04/2008 18:13:55.0 19 17 0122 09/04/2008 18:14:55.0 19 17 0123 09/04/2008 18:15:55.0 19 17 0124 09/04/2008 18:16:55.0 19 17 0125 09/04/2008 18:17:55.0 19 17 0126 09/04/2008 18:18:55.0 19 17 0127 09/04/2008 18:19:55.0 19 17 0128 09/04/2008 18:20:55.0 19 17 0129 09/04/2008 18:21:55.0 19 17 0130 09/04/2008 18:22:55.0 19 17

26

0131 09/04/2008 18:23:55.0 19 17 0132 09/04/2008 18:24:55.0 19 17 0133 09/04/2008 18:25:55.0 19 17 0134 09/04/2008 18:26:55.0 19 17 0135 09/04/2008 18:27:55.0 19 17 0136 09/04/2008 18:28:55.0 19 17 0137 09/04/2008 18:29:55.0 19 17 0138 09/04/2008 18:30:55.0 19 17 0139 09/04/2008 18:31:55.0 19 17 0140 09/04/2008 18:32:55.0 19 17 0141 09/04/2008 18:33:55.0 18 17 0142 09/04/2008 18:34:55.0 18 18

27

ANEXO 2 RESOLUÇÃO DO MODELO

28

RESOLUÇÃO DO MODELO

Considerando os valores de temperatura obtidos pelo Data Logger,

T(0) = 68 °C e T(142) = 18 °C, o sistema pode ser escrito como

( )

°=°=

−−=

C18 T(142) C;68 T(0)

13,17TkdtdT

.

Separando as variáveis, lembrando que a temperatura 17,13°C do meio ambiente foi

obtida considerando a média aritmética das pequenas variações de temperatura da

sala de aula e integrando ambos os lados, tem-se:

∫ ∫−=−

dtk13,17T

dT

21 ckTc13,17Tln +=+−

12 cckT13,17Tln −+=− , sendo 312 ccc =− ,

3ckT13,17Tln +=−

3ckT e.e13,17T =− , sendo 4c ce 3 = ,

4kt c.e13,17T =− .

Nesta última, fazendo T(0) = 68°C, obtém-se o valo r de c4

4kt c.e13,17T =−

4o.k c.e13,1768 =−

4c87,50 =

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Encontrado o valor de c4, este valor será uma constante em todo o processo

de resfriamento, pois não sofrerá nenhuma mudança de valor, mesmo que a

temperatura do líquido entre em equilíbrio com a temperatura do meio. Ainda resta

encontrar o valor de K.

Agora, substituindo C4 por 50,87, a função ficará da seguinte forma:

87,50.e13,17T kt=−

Isolando a variável “K” ter-se-á:

87,50.e13,17T kt=−

13,17Te.87,50 Kt −=

87,50

13,17TeKt −

=

Que aplicando logaritmo natural em ambos os lados da igualdade.

87,50

13,17Tln)eln( Kt −

=

87,50

13,17TlntK

−=

87,50

13,17Tln

t1

K−

=

Agora, considerando a condição T(142) = 18°C, obtém -se a constante K

87,50

13,1718ln

1421

K−

=

K = -0,028651657

Finalmente, a solução do modelo da lei de resfriamento de Newton pode ser

escrita como:

13,17e.87,50)t(T t.028651657,0 += −

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ANEXO 3 COMPARAÇÕES ENTRE DADOS DO DATA LOGGER

E DADOS DO MODELO

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COMPARAÇÕES ENTRE DADOS DO DATA LOGGER

E DADOS DO MODELO

Tempo Café Ambiente Modelo Erro Absoluto Erro Relativo

0 68 19 68 0 0 1 66 19 66,56317225 0,563172248 0,008532913 2 64 19 65,16692783 1,166927827 0,018233247 3 62 18 63,81012045 1,810120455 0,029195491 4 60 18 62,49163623 2,49163623 0,04152727 5 59 18 61,21039271 2,210392711 0,037464283 6 57 18 59,96533803 2,965338031 0,052023474 7 56 18 58,75545003 2,755450034 0,049204465 8 54 18 57,57973543 3,579735432 0,066291397 9 53 18 56,437229 3,437228996 0,064853377 10 52 18 55,32699276 3,326992757 0,06398063 11 51 18 54,24811524 3,248115242 0,063688534 12 50 18 53,19971072 3,199710719 0,063994214 13 49 18 52,18091848 3,180918477 0,064916704 14 47 17 51,19090211 4,190902114 0,08916813 15 46 17 50,22884885 4,228848852 0,091931497 16 45 17 49,29396887 4,293968873 0,095421531 17 45 17 48,38549466 3,385494662 0,075233215 18 44 17 47,50268039 3,502680388 0,079606372 19 43 17 46,64480128 3,644801283 0,084762821 20 42 17 45,81115305 3,811153051 0,090741739 21 42 17 45,00105129 3,001051289 0,071453602 22 41 17 44,21383092 3,213830924 0,07838612 23 40 17 43,44884567 3,448845669 0,086221142 24 40 17 42,70546749 2,705467493 0,067636687 25 39 17 41,9830861 2,9830861 0,076489387 26 38 17 41,28110843 3,281108435 0,086344959 27 38 17 40,59895819 2,598958192 0,068393637 28 37 17 39,93607535 2,936075345 0,079353388 29 37 17 39,29191568 2,291915684 0,061943667 30 36 17 38,66595037 2,665950371 0,074054177 31 36 17 38,0576655 2,057665504 0,057157375 32 35 17 37,4665617 2,466561699 0,070473191 33 35 17 36,89215367 1,892153674 0,054061534 34 34 17 36,33396986 2,333969856 0,068646172 35 34 17 35,79155199 1,79155199 0,052692706 36 33 17 35,26445477 2,264454766 0,068619841 37 33 17 34,75224545 1,752245451 0,053098347 38 33 17 34,25450353 1,254503534 0,038015259 39 32 17 33,77082038 1,770820383 0,055338137 40 32 17 33,30079891 1,300798906 0,040649966 41 31 17 32,84405323 1,844053228 0,059485588 42 31 17 32,40020837 1,400208373 0,045168012 43 31 17 31,96889996 0,968899956 0,031254837 44 30 17 31,54977388 1,549773885 0,051659129 45 30 17 31,14248607 1,142486067 0,038082869 46 30 17 30,74670213 0,74670213 0,024890071 47 30 17 30,36209715 0,362097147 0,012069905 48 29 17 29,98835537 0,988355366 0,03408122 49 29 17 29,62516996 0,625169955 0,021557585 50 29 17 29,27224275 0,27224275 0,009387681 51 28 17 28,929284 0,929284005 0,033188714 52 28 16 28,59601216 0,596012161 0,021286149 53 28 17 28,27215361 0,27215361 0,009719772 54 28 16 27,95744247 0,042557526 0,001519912 55 27 17 27,65162038 0,651620381 0,024134088 56 27 17 27,35443626 0,354436262 0,013127269 57 27 17 27,06564613 0,065646135 0,002431338 58 27 17 26,78501291 0,214987089 0,007962485 59 26 17 26,5123062 0,512306198 0,019704085 60 26 17 26,24730211 0,247302111 0,00951162 61 26 17 25,98978309 0,010216912 0,000392958 62 26 17 25,73953771 0,260462287 0,01001778

32

63 26 17 25,49636054 0,503639458 0,019370748 64 25 17 25,26005193 0,260051931 0,010402077 65 25 17 25,03041788 0,030417879 0,001216715 66 25 17 24,80726986 0,192730139 0,007709206 67 25 17 24,59042468 0,40957532 0,016383013 68 25 17 24,37970431 0,62029569 0,024811828 69 25 17 24,17493576 0,825064244 0,03300257 70 24 17 23,97595091 0,024049092 0,001002046 71 24 17 23,78258641 0,217413595 0,0090589 72 24 17 23,5946835 0,4053165 0,016888187 73 24 17 23,41208793 0,58791207 0,024496336 74 24 17 23,23464979 0,765350212 0,031889592 75 24 17 23,0622234 0,937776597 0,039074025 76 23 17 22,89466722 0,105332784 0,004579686 77 23 17 22,73184367 0,268156331 0,011658971 78 23 17 22,57361909 0,426380912 0,018538301 79 23 17 22,41986357 0,580136426 0,025223323 80 23 17 22,2704509 0,729549101 0,031719526 81 23 17 22,1252584 0,874741601 0,038032244 82 23 17 21,98416687 1,015833127 0,044166658 83 23 17 21,84706049 1,152939509 0,050127805 84 23 17 21,71382669 1,286173309 0,055920579 85 22 17 21,58435609 0,415643909 0,018892905 86 22 17 21,4585424 0,5414576 0,024611709 87 22 17 21,33628233 0,663717671 0,030168985 88 22 17 21,2174755 0,782524496 0,035569295 89 22 17 21,10202439 0,897975612 0,040817073 90 22 18 20,9898342 1,0101658 0,045916627 91 22 18 20,88081283 1,119187166 0,050872144 92 22 17 20,77487079 1,225129214 0,055687692 93 21 17 20,67192108 0,328078919 0,015622806 94 21 17 20,5718792 0,4281208 0,020386705 95 21 17 20,47466301 0,525336989 0,025016047 96 21 17 20,3801927 0,619807299 0,029514633 97 21 17 20,28839071 0,711609286 0,033886156 98 21 17 20,19918168 0,800818317 0,038134206 99 21 17 20,11249237 0,887507631 0,042262268

100 21 17 20,0282516 0,971748398 0,046273733 101 21 17 19,94639022 1,053609777 0,050171894 102 21 17 19,86684103 1,133158973 0,053959951 103 20 17 19,7895387 0,210461296 0,010523065 104 20 17 19,71441979 0,285580207 0,01427901 105 20 17 19,64142262 0,358577378 0,017928869 106 20 17 19,57048726 0,429512737 0,021475637 107 20 17 19,50155548 0,49844452 0,024922226 108 20 17 19,43457068 0,565429319 0,028271466 109 20 17 19,36947787 0,630522127 0,031526106 110 20 17 19,30622362 0,693776382 0,034688819 111 20 17 19,24475599 0,755244015 0,037762201 112 20 17 19,18502451 0,814975489 0,040748774 113 20 17 19,12698016 0,873019842 0,043650992 114 20 17 19,07057527 0,929424727 0,046471236 115 20 17 19,01576355 0,984236452 0,049211823 116 20 17 18,96249999 1,037500014 0,051875001 117 20 17 18,91074086 1,089259141 0,054462957 118 20 17 18,86044367 1,139556328 0,056977816 119 20 17 18,81156713 1,188432866 0,059421643 120 19 17 18,76407112 0,235928882 0,01241731 121 19 17 18,71791663 0,282083368 0,014846493 122 19 17 18,67306578 0,326934217 0,017207064 123 19 17 18,62948175 0,37051825 0,019500961 124 19 17 18,58712875 0,412871248 0,021730066 125 19 17 18,54597202 0,454027981 0,02389621 126 19 17 18,50597776 0,494022239 0,02600117 127 19 17 18,46711314 0,532886855 0,028046677 128 19 17 18,42934626 0,570653737 0,030034407 129 19 17 18,39264611 0,60735389 0,031965994 130 19 17 18,35698256 0,643017443 0,033843023 131 19 17 18,32232632 0,677673677 0,035667036 132 19 17 18,28864896 0,711351041 0,037439528 133 19 17 18,25592281 0,744077186 0,039161957 134 19 17 18,22412102 0,775878978 0,040835736 135 19 17 18,19321747 0,806782525 0,042462238 136 19 17 18,1631868 0,836813199 0,0440428

33

137 19 17 18,13400435 0,865995653 0,045578719 138 19 17 18,10564615 0,894353847 0,047071255 139 19 17 18,07808894 0,921911061 0,048521635 140 19 17 18,05131008 0,948689919 0,049931048 141 18 17 18,02528759 0,025287595 0,001404866 142 18 18 18,00000012 1,15584E-07 6,42134E-09

17,12587413 1,223909627

(Média) (Erro Absoluto Médio, EAM)

0,038526396

(Erro Percentual Absoluto Médio,

EPAM)