UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULMESTRADO EM ENSINO DE MATEMÁTICA

TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA BPROFESSORA: MARIA PAULA

MESTRANDAS: MARLISE FURLAN E VIVIANE B

MÓDULO DE AULAS SOBRE A APLICAÇÃO DE MÓDULO DE AULAS SOBRE A APLICAÇÃO DE MATRIZESMATRIZES

MÓDULO DE AULAS SOBRE MATRIZES

Duração: Aproximadamente 15 aulas

Assunto: Aplicabilidade de matrizes no cotidiano e introdução as operações.

Objetivo Geral: Identificar a aplicabilidade das matrizes, em situações do cotidiano, onde existem poucas ou (principalmente) muitas variáveis, como meio facilitador de obtenção de informações.

MÓDULO DE AULAS SOBRE MATRIZES

Objetivos Específicos: a)Coletar dados, tabulá-los e inseri-los num contexto de matrizes.b)A partir de matrizes criadas com dados coletados, obter informações sobre possíveis alterações nos dados.c)Reconhecer a aplicabilidade das matrizes em situações do cotidiano, principalmente no que se refere a organização de dados e obtenção de informações.d)Introduzir operações com matrizes.e)Reconhecer os diferentes tipos de matrizes.

Dinâmicas: Tabular dados reais e simular situações do cotidiano.

DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES

ATIVIDADE 1:

a) Texto sobre emprego, empresas do Municípiob) Questionário:1- Em que ano sua empresa se instalou no Município?2- Quantos funcionários ela teve cada ano e quantos tem hoje?3- O que a empresa produz? Calçados, que tipos? Biscoitos, quais? Artefatos de madeira, o quê?4- Qual a produção diária?5- Qual a produção de cada item nos meses: março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro e outubro?5- O que é necessário para fabricar aquele produto até que esteja pronto?6- Como o produto é embalado?

ATIVIDADE 2:

a) Socialização dos dados obtidos a partir da pesquisa realizada.b) Confecção de cartazes por empresac) Preenchimento das seguintes tabelas:

FÁBRICA DE CALÇADOS

TIPO

PEÇASDECOUROPOR PAR

REBITESPOR PAR

FIVELASPOR PAR

PARESPORCAIXAPARAEMBARQUE

PRODUÇÃODIÁRIA

BOTA

SANDÁLIA

SAPATO

FÁBRICA DE BISCOITOS

TIPOBISCOITOS PORPACOTE

PACOTESPORCAIXA

KG DEFARINHAPORCAIXA

OVOSPORCAIXA

PRODUÇÃODIÁRIA

ROSQUINHA

MANTEIGA

SALGADINHO

FÁBRICA DE ARTEFATOS DE MADEIRA E PEDRA

TIPO

PEÇASDEMADEIRA PORCONJUNTO

PEDRASPORCONJUNTO

CAMURÇAPORCONJUNTO

CONJUNTOS PORCAIXA

PRODUÇÃODIÁRIA

PORTA-JÓIA

PORTA-COPO

CINZEIRO

ATIVIDADE 3:

* Introdução de Matrizes a partir das tabelas anteriores. a) Comentários sobre a organização de números dessa forma, em linhas e colunas, o que facilita em muitas situações a leitura dos mesmos. Por exemplo, para saber a produção diária de botas na Fábrica de Calçados, basta observar o valor que está na 1ª linha e 5ª coluna da tabela...

b) Explicação sobre a escrita de uma Matriz e denominação de cada elemento.a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

- Chamamos uma Matriz Aixj com os elementos aij, onde i representa a linha e j a coluna.

c) Escrever cada tabela em forma de Matrizd) Escrever uma Matriz da produção diária de cada produto. Quantas linhas e colunas ela possui?e) Elaboração de Matrizes sobre:- Número de funcionários por empresa nos anos de 2005, 2006 e 2007.- A produção mensal, total de cada empresa nos meses solicitados.

OBSERVAÇÃO 1:

Neste momento, é interessante que se trabalhe outras aplicações com matrizes. Abaixo temos outro exemplo de aplicação, brevemente descrito, porém poderíamos desenvolver uma motivação semelhante a desenvolvida sobre as empresas e produtos fabricados.

Atividade sobre Aeroportos

Vamos supor eu dos aeroportos de quatro cidades partem vôos diários. No esquema abaixo, (1), (2), (3) e (4) representam essas cidades e as linhas, os vôos existentes entre elas.

(1)

(4)

(2)

(3)

Podemos associar a essa situação uma matriz A=(a) , que estabelece se há ou não vôo direto entre as cidades, de modo que:

se as cidades possuem ligação entre elas, ou seja, se há vôo direto entre uma e outra, definimos a = 1;se as cidades não se ligam diretamente, o que na situação descrita significa que não há vôo direto entre elas, consideramos a = 0;

Em nosso exemplo, para montar a matriz A devemos “combinar os pontos dois a dois, incluindo a “combinação” de cada ponto com ele mesmo. Assim, na matriz A:

Portanto, a matriz procurada é:

A= 1 1 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

1 0 0 1

A princípio o desenho pode parecer mais simples que a matriz, mas pense no que aconteceria se tivéssemos 200 ou mesmo 1000 cidades.Nesses casos, consultar as matrizes provavelmente seria mais fácil. Observe que essas matrizes teriam tamanho 200x200 ou 1000x1000 e poderiam estar armazenadas em computadores que permitissem uma consulta rápida para sabermos se duas cidades possuem ou não rota aérea direta entre elas e, até mesmo, que conexões são possíveis para ir de uma cidade à outra.

ATIVIDADE 4:

* Trabalhar cada um dos tipos de matriz:- Matriz Quadrada; Matriz Triangular; Matriz Diagonal, Matriz Identidade, Matriz Nula exemplificando.

ATIVIDADE 5:

* Adição de Matrizes (a partir das tabelas construídas com os dados pesquisados nas empresas, dizer qual a produção de cada produto no 2º trimestre do ano).- Comentar sobre como realizaram a adição e fazer a mesma soma utilizando matrizes.

ATIVIDADE 6:

* Multiplicação de um número por uma Matriz.- Sugerir que digam qual a produção no 4º trimestre se ela for exatamente o dobro daquela do 2º trimestre.

ATIVIDADE 7:

* Multiplicação de matriz por matriz.- Para a Fábrica de Biscoitos, calcular quantos biscoitos de cada tipo foram produzidos em cada mês e o total de biscoitos por mês. Observar a diferença entre as duas situações e montar as matrizes.- Para a Fábrica de Calçados, calcular as fivelas ou rebites gastos.- Para a Fábrica de Artefatos de Madeira e Pedra, calcular as pedras e folhas de papel camurça gastos.

OBSERVAÇÃO 2:

Como retomada dos conceitos estudados, sugerimos uma também uma outra aplicação, como a que segue abaixo, de controle de trânsito.

Matrizes e Controle de Tráfego em Cruzamentos

(2)

(1) (3)

As matrizes M1, M2 e M3 indicam o tempo, em minutos, durante o qual alguns

semáforos se mantêm simultaneamente abertos segundo a seqüência dada:

de

a) M1=

()

()

()

1

2

3

011

100

000

para (1) (2) (3)

Inicialmente, durante 1 minuto, ficam verdes os semáforos de (1) para (2), de (1)

para (3) e de (2) para (1).

de

b) M2=

()

()

()

1

2

3

0001

20

1

2

01

20

para (1) (2) (3)

Em seguida, durante meio minuto ficam verdes os semáforos de (2) para (1)m de (2)

para (3) e de (3) para (2).

c) M3=

()

()

()

1

2

3

001

20001

2

1

20

para (1) (2) (3)

Por fim, durante meio minuto ficam verdes os semáforos de (3) para (1)m de (3)

para (2) e de (1) para (3).

A matriz M, obtida de M1, M2, e M3, termo a termo, mostra o tempo que cada

semáforo fica aberto em cada sentido no período de 2 minutos:

de

M =

()

()

()

1

2

3

013

23

20

1

21

210

para (1) (2) (3)

Para essa matriz observamos, por exemplo, que o semáforo de (2) para (1) fica aberto

durante 1 minuto e meio a cada período de 2 minutos.

Se multiplicarmos todos os termos da matriz M por 30, obteremos o tempo, em

minutos, que cada semáforo fica aberto durante 1 hora:

30 x M=

0 30 45

45 0 15

15 30 0

Para essa matriz observamos, por exemplo, que o semáforo de (2) para (1) fica aberto

durante 1 minuto e meio a cada período de 2 minutos.

Se multiplicarmos todos os termos da matriz M por 30, obteremos o tempo, em

minutos, que cada semáforo fica aberto durante 1 hora:

30 x M=

0 30 45

45 0 15

15 30 0

No caso dessas ruas, sabe-se que é possível passar até 20 carros por minuto cada vez

que os semáforos se abrem. Então, se multiplicarmos por 20 todos os termos da matriz

anterior, teremos a quantidade máxima de carros que podem passar por esse “cruzamento”

no período de 1 hora:

20 x 30 x M =

0 600 900

900 0 300

300 600 0

Se o número de carros em alguma das direções for maior que a quantidade máxima possível, teremos um engarrafamento, que poderá ou não ser resolvido alterando-se os tempos de abertura dos semáforos, isto é, modificando-se os valores nas matrizes M1, M2 e M3.