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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Instituto de Matemática

Departamento de Métodos Matemáticos

Fabiana Travessini De Cezaro

Análise do modelo de cascas rasas de

Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos

Orientador

Gustavo Alberto Perla Menzala

Rio de Janeiro

2011

Análise do modelo de cascas rasas de Marguerre-Vlasov com

efeitos térmicos


Tese de Doutorado apresentada

ao Instituto de Matemática da

Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisi-

tos necessários à obtenção do tí-

tulo de Doutor em Matemática

Orientador: Gustavo Alberto Perla Menzala

Rio de Janeiro

Setembro de 2011

Ficha Catalográca

Travessini De Cezaro, Fabiana.

Análise do modelo de cascas rasas de Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos

Fabiana Travessini De Cezaro.

Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2011

x, 148 f.

Orientador: Gustavo Alberto Perla Menzala

Tese (doutorado) - UFRJ/ IM/ Programa de

Pós-graduação em Matemática, 2011

Referências Bibliográcas: f. 144-148.

1. Existência e Unicidade de Soluções Regulares.

2. Unicidade de Soluções Fracas.

3. Limite Singular. 4. Estabilização

I. Menzala, Gustavo Alberto Perla. II. Universidade

Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática.

III. Análise do modelo de cascas rasas de Marguerre-Vlasov

com efeitos térmicos

ii

Análise do modelo de cascas rasas de Marguerre-Vlasov com

efeitos térmicos


Tese submetida ao Programa de Pós-gradução em Matemática da Universidade Federal

do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de

Doutor em Matemática.

Aprovada por:

Gustavo Alberto Perla Menzala (Orientador).

IM/UFRJ e LNCC/MCT.

Marcelo Moreira Cavalcanti.

DM/UEM.

Hugo Danilo Fernández Sare.

IM-UFRJ.

Ruy Coimbra Charão.

MTM/UFSC.

Ademir Fernando Pazoto.

IM/UFRJ.

Alexandre Madureira.

LNCC/MCT.

iii

Agradecimentos

Aos meus pais Nelsi e Valdir Travessini, por orientar meu caminho e apoiar as minhas

decisões em todos os momentos.

Ao meu esposo Adriano De Cezaro, pelo amor, dedicação, compreensão e, sobretudo, a

paciência durante toda esta jornada.

Aos demais familiares, em especial ao meu irmão Evandro Travessini e ao meu tio-

padrinho Wolnei Caumo, pelo apoio e incentivo.

Ao meu orientador Professor Dr. Gustavo Alberto Perla Menzala, meus sinceros agrade-

cimentos por sua serenidade, paciência e competência demonstradas neste período.

A meus amigos, em especial ao Alisson R. A. Babosa e ao Prof. Dr. Alexandre Marinho,

pelas conversas longas e animadas.

À banca examinadora pelos comentários e sugestões valiosos que aprimoraram a forma

de apresentação desta Tese.

Aos técnicos, direção, professores do Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF,

em especial a diretora Dr. Denise M. Varella Martinez.

Aos professores e funcionários da pós-graduação do Instituto de Matemática - UFRJ.

Ao CNPq.

iv

Resumo

Neste trabalho, estudamos uma versão bidimensional do sistema dinâmico de Mar-

guerre-Vlasov na presença de efeitos térmicos. Mostramos a existência e unicidade de

soluções globais regulares e fracas. Também, consideramos o sistema dependendo de

um parâmetro ε > 0. Mostramos que, quando este parâmetro tende a zero, o sistema

converge fracamente, no espaço energia, para a solução de uma equação não-linear do

tipo Timoshenko com efeitos térmicos. Além disso, estabelecemos o decaimento uniforme

da energia associada.

Palavras-chave: Cascas Rasas, Unicidade de Solução Fraca, Limite Singular, Esta-

bilização.

v

Abstract

In this work, we study a bi-dimensional version of the dynamic Marguerre-Vlasov

system in the presence of thermal eects. The wellposedness of regular and weak solutions

is showed. Also, we consider the system depending on a parameter ε > 0. We showed

that when this parameter tends to zero, the system converges weakly in the energy

space for the solution of a nonlinear equation of Timoshenko type with thermal eects.

Furthermore the uniform decay rate is obtained for the associated energy.

Key-Words: Shallow shells, uniqueness of weak solution, limit singular, stabiliza-

tion.

vi

Sumário

1 O Sistema de Marguerre-Vlasov para Cascas Rasas sob Efeitos Térmi-

cos: Soluções Globais Regulares 9

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Existência e Unicidade de Soluções Regulares . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Dependência Contínua dos Dados Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 O Sistema de Marguerre-Vlasov para Cascas Rasas sob Efeitos Térmi-

cos: Soluções Globais Fracas 50

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2 Operadores de Projeção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3 Existência e Unicidade de Soluções Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Limite Singular do Sistema Perturbado 80

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2 O Limite Assintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4 Estabilização do sistema Marguerre-Vlasov com Efeitos Térmicos 92

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2 Identidade de Dissipatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3 Regularidade do Traço na Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.4 Comportamento Assintótico I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.5 Comportamento Assintótico II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5 Conclusões e Trabalhos Futuros 139

A Apêndice 140

vii

Introdução

Cascas estão presentes em larga escala na vida cotidiana. Podemos pensar que é

uma lâmina que apresenta uma forma curva. Isto não é uma denição rigorosa, mas

permite identicar um grande número de cascas presentes na natureza. Por exemplo,

cascas de ovos, tartarugas, moluscos, parte do crânio, unhas, o cásulo do bicho-da-seda,

etc. Ainda, existe uma variedade de cascas articiais (feitas pelo homem) que são empre-

gadas na indústria moderna, sobretudo, nas indústrias naval, petroquímica, automobilís-

tica e aeroespacial. Assim, a Teoria de Cascas, ao longo dos anos, tem atraído muitos

estudiosos, entre eles, engenheiros e matemáticos.

A Teoria de Cascas não-lineares pode ser considerada como uma generalização do

problema de Plateau. A principal característica deste problema é estudar superfícies

sob a hipótese de que a densidade da energia potencial na deformação é essencialmente

proporcional a mudança de área no elemento. Derivações de modelos físicos, bem como

interpretações físicas relevantes nos modelos podem ser encontrado em [12, 49].

Nesta Tese, consideramos uma versão bidimensional do sistema de equações não-

lineares de Marguerre-Vlasov sujeito à efeitos térmicos. Este sistema é amplamente aceito

como um modelo dinâmico que descreve as vibrações de cascas rasas ("shallow shells").

Ainda, segundo [12], algumas hipóteses usuais para a modelagem de cascas rasas são:

i) Pequenez dos tensores.

ii) Hipótese de moderada exão (deformação com moderados ângulos de rotação).

iii) Hipóteses de Kirchho:

a deformação no interior da casca é completamente determinada pela defor-

mação da superfície média.

pequenez do deslocamento transversal ei3, i = 1, 2 em comparação com as

outras componentes do tensor de deformações eij, i, j = 1, 2.

1

o tensor de tensões tem o último termo de sua diagonal muito pequeno em

comparação com os outros componentes da matriz.

iv) A casca é muito na (superfície é regular).

Seja M uma superfície regular, que é o gráco de uma função de duas variáveis,

denida em Ω, um aberto, limitado do R2 com fronteira suave. O sistema dinâmico de

Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos, [12, 49], pode ser escrito como:Utt −Div([Bij]) + Ut = 0

wtt + ∆2w −∆wtt + ∆θ − div([Bij]∇w) +K1B11 +K2B22 = 0

θt −∆θ −∆wt = 0 em M × (0,∞).

(1)

Em (1), U =

(u

v

)é o deslocamento longitudinal na superfície média da casca,

assim, u and v dependem das variáveis (x, y) ∈ M e t > 0. Representamos por

w = w(x, y, t) o correspondente deslocamento transversal e θ = θ(x, y, t) a função que

representa os efeitos térmicos. Ainda, K1 = K1(x, y) e K2 = K2(x, y) denotam as curva-

turas da casca; Div denota o divergente matricial e div denota o divergente de um vetor.

O parâmetro µ representa o módulo elástico e varia no intervalo 0 < µ < 1/2. Outras

constantes positivas no modelo, por simplicidade, foram normalizadas com norma igual

a um.

A matriz simétrica [Bij] = [Bij(U,w)]2×2 tem componentes Bij dados por

B11 = 21−µ(b11 + µb22)

B22 = 21−µ(b22 + µb11)

B12 = B21 = b12 = b21 = uy + vx + wxwy

b11 = ux + 12w2x +K1w, b22 = vy + 1

2w2y +K2w

(2)

O sistema (1) será estudado com condições de fronteira de Dirichlet

U = 0, w =∂w

∂ν= 0, θ = 0 sobre ∂M × (0, T ) (3)

2

e condições iniciais

U(x, y, 0) = (u(x, y, 0), v(x, y, 0)) = (u0(x, y), v0(x, y))

Ut(x, y, 0) = (ut(x, y, 0), vt(x, y, 0)) = (u1(x, y), v1(x, y))

w(x, y, 0) = w0(x, y)

wt(x, y, 0) = w1(x, y)

θ(x, y, 0) = θ0(x, y), (x, y) ∈M.

(4)

Em (3), ∂∂ν

denota a derivada normal, ν é o vetor normal unitário exterior a M .

Neste trabalho, ∆ = ∆M denota o operador Laplace-Beltrami, onde M é o gráco

de uma função de duas variáveis que está denida em Ω, um aberto, limitado do plano

com fronteira suave. Um boa referência para a análise de EDP's em variedades, por

exemplo, é o artigo Cavalcanti et al., [9]. O modelo de cascas rasas de Marguerre-Vlasov

com efeitos térmicos é uma EDP denida na superfície M . Para simplicar, seguimos as

mesmas notações de Sedenko, [44], e as mesmas notações de Vorovich, [48].

O modelo de cascas descrito pelo sistema (1) é não-linear, fortemente acoplado de

duas equações diferenciais hiperbólicas com a equação do calor e condições de fronteira

de Dirichlet. Este sistema acopla uma equação de placas do tipo Kircho na variável de

deslocamento transversal, uma equação de ondas elásticas para a variável de deslocamento

(no plano) tangencial e a equação do calor. Fisicamente, o modelo descreve as vibrações

de cascas rasas.

Os principais objetivos desta tese são:

• Mostrar que o sistema (1) é bem-posto no sentido de Hadamard para soluções

regulares;

• Estabelecer a existência e unicidade de soluções fracas do sistema (1);

• Perturbar o sistema (1) com um parâmetro ε > 0 e investigar a "proximidade",

quando ε → 0, das componentes w = wε e θ = θε em (1) com a solução de uma

equação do tipo Timoshenko não-linear com efeitos térmicos;

• Estabelecer o decaimento exponencial, quando t→ +∞, da energia total do sistema

(1) associada a soluções fracas.

Nesta linha de raciocínio, estes resultados já foram obtidos para o caso unidimensional.

G. Perla Menzala e J. J. Suarez em [32], consideraram o sistema de Marguerre-Vlasov

3

com efeitos térmicos, isto é, para ε > 0 e 0 < α < 1, com u = uε, w = wε e θ = θε,

εutt = µo[ux + 1

2w2x +K1(x)w

]x− εαut

wtt + wxxxx − wxxtt =[µowx

(ux + 1

2w2x +K1(x)w

)]x

−µoK1(x)(ux + 1

2w2x +K1(x)w

)− θxx

θt − θxx − wxxt = 0

(5)

Usando a Teoria de Semigrupos, os autores estabeleceram a existência e unicidade de

soluções regulares e fracas e o decaimento exponencial da energia para o sistema (5) com

condições de fronteira do tipo Dirichlet.

Ainda no caso unidimensional, mas sem efeitos térmicos, G. Perla Menzala e E. Zuazua

em [37], consideraram o sistema de Marguerre-Vlasov com outros mecânismos de dissi-

pação interna e com com condições de fronteira de Dirichlet. A. Munch e F. Pazoto em

[28] consideraram o sistema de Marguerre-Vlasov mas com dissipação na fronteira. Em

ambos os trabalhos ([37, 28]), resultados de existência, unicidade e comportamento das

soluções regulares e fracas foram estudados.

No entanto, para o caso bidimensional, pelo nosso conhecimento, não há trabalhos

publicados sobre o sistema Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos (1). Sem efeitos tér-

micos, a existência de soluções regulares e fracas foi estabelecida por I. I. Vorovich, [48],

meados dos anos cinquenta. Já a unicidade de soluções fracas foi anunciada por V. I.

Sedenko em [43] e os detalhes da demonstração foram apresentados no nal da década

de noventa em [44].

Neste trabalho, a existência de soluções regulares para o sistema de Marguerre-Vlasov

com efeitos térmicos (1) é provada estabelecendo apropriados limites a priori para as

soluções correspondente às aproximações do método de Galerkin. A unicidade segue via

técnicas clássicas de análise e desigualdade de Gronwall. Ainda, obtemos a dependência

contínua com respeito aos dados iniciais para soluções regulares, ou seja, mostramos que

o sistema (1) é bem-posto no sentido de Hadarmad para soluções regulares. A existência

de solução global fraca é obtida via um processo limite e argumentos de compacidade.

Um ponto crítico e delicado é mostrar a unicidade de solução fraca, pois as téc-

nicas clássicas não se aplicam. Isto está relacionado com o fato que o problema não é

monótono, os termos não-lineares de (1) não são localmente Lipschitz e nem são limitados

no espaço energia, uma vez que faltam imersões de Sobolev adequadas no caso bidimen-

sional (H1(Ω) * L∞(Ω)). Desta forma, os métodos tradicionais falham. Assim, para

demonstrarmos a unicidade de soluções fracas usaremos o método aplicado em [23], para

4

equações de von Kármán, por I. Lasiecka. O método em [23] é baseado na adaptação das

técnicas de V. I. Sedenko, [44]. A principal ideia deste método é considerar o problema

em um nível de energia mais baixo e provar a unicidade para esse nível. A mesma técnica

foi aplicada por I. Lasiecka e A. Benabdallah em [3, 4] no contexto de placas termoelás-

ticas com condição de fronteira livre; por A. Boutet de Monvel e I. Chueshov em [6]

para o sistema modicado de von Kármán com condições de Dirichlet na fronteira; por

I. Chueshov e A. Shcherbina em [11] para o sistema Zakharov 2D no contexto de física

plasma sob várias condições de fronteira; I. Lasiecka e I. Chueshov em [10] para o modelo

de placas do tipo Kirchho-Boussinesq 2D para condições na fronteira de Dirichlet, livres

e simplesmente apoiadas; por M. Grasselli et. al. [14] para a equação de Cahn-Hilliard

2D a qual descreve o fenômeno de separação de fases em sistemas binários; J. Cagnol et.

al. em [7, 8] no contexto cascas não-lineares introduzidas por Koiter.

Em [32], os autores mostraram que as componentes (wε, θε) do sistema (5) convergem

fraco estrela, no espaço energia, para a solução (w, θ) de um modelo de viga do tipo

Timoshenko com efeitos térmicos. Estenderemos este resultado para o caso bidimensional.

Seja 0 < α ≤ 1 xo. Vamos considerar o sistema Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos

dependendo de um parâmetro ε > 0, isto éεU ε

tt = Div([Bεij

])− εαU ε

t

wεtt + ∆2wε −∆wεtt + ∆θε = div([Bε

ij]∇wε)−K1B

ε11 −K2B

ε22

θεt −∆θε −∆wεt = 0

(6)

com condições iniciais dadas em (4) e condições de fronteira dadas em (3), onde U ε =

(uε, vε) e

Bε11 =

2

1− µ(µ+ ε(1− µ)) bε11 + µbε22

Bε22 =

2

1− µ(µ+ ε(1− µ)) bε22 + µbε11

Bε12 = Bε

21 = bε12 = bε21 = εuεy + vεx + wεxw

εy

bε11 =

uεx +

1

2(wεx)

2 +K1wε

bε22 =

vεy +

1

2(wεy)

2 +K2wε

.

Analisaremos a "proximidade", quando ε → 0, das componentes w = wε e θ = θε

do sistema (6) com a solução (z, φ) de um modelo do tipo Timoshenko não-linear com

5

efeitos térmicos dado por ztt + ∆2z −∆ztt + ∆φ = D(t)∆z − (K1 +K2)D(t)

φt −∆φ−∆zt = 0(7)

onde

D(t) =µ

(1− µ)|Ω|

∫Ω

(|∇z|2 + 2(K1 +K2)z

)dA

com condições iniciais dadas em (4) e condições de fronteira dadas em (3). Para fazer

esta análise explicaremos brevemente o método empregado. Estimativas clássicas de

energia fornecerão limites uniformes (com respeito a ε) para as soluções fracas de (6)

e argumentos de compacidade, [45], nos permitem passar o limite quando ε → 0 no

sistema (6) e identicar as condições iniciais do sistema limite. A principal diculdade na

passagem ao limite é a identicação do limite dos termos não-lineares. Isso é feito através

de funções testes ad hoc as quais dependem sensivelmente das condições de fronteira, pois

condições de fronteira diferentes podem mudar drasticamente o sistema limite.

Existência e unicidade de solução global fraca do modelo do tipo Timoshenko não-

linear (7) pode ser obtida usando métodos clássicos sob a hipótese queK1 eK2 pertencem

a W 1,∞(Ω). Neste trabalho, provaremos a existência e unicidade de soluções fracas do

sistema Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos perturbado (6). Então, como a solução

fraca de ambos os modelos é única, não há ambiguidade em analisar a proximidade

destas soluções fracas. Resultados similares de análise de limites singulares podem ser

encontrados em [28, 37, 38] para o sistema Marguerre-Vlasov sem efeitos térmicos e em

[34, 35, 36, 31] para o sistema dinâmico completo de von-Kármán uni e bidimensional.

Em [32] os autores obtiveram o decaimento exponencial da energia total associada a

soluções fracas do sistema (5). Mas, novamente, a extensão destes resultados para o caso

bidimensional não é trivial. Isto se deve ao fato que, no caso bidimensional, as equações

envolvidas possuem uma complexidade maior; a regularidade do traço na fronteira tem

um papel fundamental; H1(Ω) não está imerso em L∞(Ω); os termos não-lineares não

são limitados no espaço determinado pelas soluções de energia nita.

Um dos objetivos deste trabalho é estabelecer o decaimento exponencial da energia

associada a soluções fracas do sistema de Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos. Devido

as diculdades citadas acima, demonstraremos o decaimento exponencial da energia as-

sociada a soluções fracas do sistema (1) ou (6) por duas técnicas. Para ambas as técnicas,

inicialmente, estabelerecemos um resultado de regularidade de traço para o modelo. Esta

6

regularidade não segue da teoria padrão de traço de Sobolev e é crítica nas estimativas

de decaimento exponencial, [24, 26].

A primeira técnica utilizada é baseada nos métodos de multiplicadores introduzidos

por G. Avalos et. al. em [1, 2] com condições de fronteira livre no contexto de placas

termoelásticas. Esta técnica também foi usada por G. Perla Menzala e E. Zuazua em

[33, 39] e por G. Perla Menzala e J. J. Suarez em [32]. Sob hipótese adequada nas

curvaturas K1 e K2, pelo método de multiplicadores citado acima, obteremos estimativas

apropriadas para a energia do sistema para soluções regulares. Combinaremos estas

estimativas, o fato da energia ser decrescente, a identidade de dissipatividade, a boa-

colocação do sistema (1) (demonstrada no primeiro capítulo desta Tese) para soluções

regulares e propriedades de semigrupos não-lineares para demonstrarmos o decaimento

exponencial da energia associada a soluções regulares. A unicidade de soluções fracas

(que será estabelecida nesta Tese) para o sistema (1) e a semi-continuidade fraca do

funcional de energia permitem estender este resultado para todas as soluções fracas.

A segunda técnica é baseada na escolha de um funcional de Lyapunov adequado.

Nesta técnica, conseguimos retirar as hipóteses feitas sob as curvaturas mas, em con-

trapartida, teremos que colocar hipótese na constante módulo elástico µ e na energia

inicial.

Se K1 = K2 = 0 em (1), então obtemos o sistema dinâmico completo de Von Kármán

com efeitos térmicos, que modela placas termoelásticas. Este sistema foi estudado por I.

Lasiecka et. al. em [3, 4]. As autoras estabeleceram a boa-colocação do sistema e taxas

de decaimento exponencial da energia para soluções fracas através da primeira técnica

descrita acima. Sem efeitos térmicos, o sistema completo de von-Kármám foi estudado

no caso estático por [19] e no caso dinâmico por [20, 22, 23, 31, 36, 40, 41, 47]. Ainda,

no caso dinâmico, temos o modelo de von-Kárman modicado (escalar), o qual não

leva em conta os deslocamentos no plano, onde a não-linearidade aparece via o tensor

de Airy, [5, 6, 18, 33]. Para ambos os modelos de von-Kármán encontramos muitos

resultados sobre boa-colocação e estabilização para soluções regulares e fracas. Vale a

pena ressaltar que a rica teoria desenvolvida para o modelo dinâmico de von Kárman

modicado (escalar) deve seu sucesso a regularidade do tensor de Airy. No sistema

completo de von Karman (vetorial) este tensor não desempenha nenhuma função, assim,

os benefícios da regularidade adicional dos termos não-lineares não estão disponíveis.

Entretanto, a simplicação de ignorar os deslocamentos no plano não faz sentido no caso

de uma casca. Assim, no caso de cascas, os modelos dinâmicos relevantes são os de

7

estrutura vetorial.

Este trabalho está organizado da seguinte forma. No capítulo 1, estabelecemos alguns

lemas técnicos importantes que serão usados no decorrer do trabalho. Provamos a ex-

istência de solução global regular do sistema Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos via

método de Faedo-Galerkin não-linear. A unicidade segue via técnicas clássicas de ener-

gia. Também, mostramos a dependência contínua das soluções regulares em relação aos

dados iniciais, isto é, que o sistema é bem-posto no sentido de Hadamard para soluções

regulares. No capítulo 2, provamos a existência de solução global fraca via um processo

limite. Introduzimos operadores e demonstramos algumas de suas propriedades especiais.

Com estes operadores e pela técnica de [23], que é uma adaptação do método utilizado

em [44], provamos a unicidade de solução global fraca para o sistema Marguerre-Vlasov

com efeitos térmicos. No capítulo 3, consideramos o sistema de Marguerre-Vlasov com

efeitos térmicos e condições de fronteira simplesmente apoiadas. Estabelecemos para

este sistema a boa colocação para soluções regulares, a existência e unicidade de soluções

fracas. No capítulo 4, consideramos o sistema de Marguerre-Vlasov dependendo de um

parâmetro ε > 0. Mostramos que, quando ε→ 0, as componentes (wε, θε) convergem fra-

camente, no espaço energia, para a solução de um sistema do tipo Timoshenko não-linear

com efeitos térmicos. O capítulo 5 é dedicado para o estudo do decaimento exponencial

da energia associada a soluções fracas. Na seção 5.2, estabelecemos a identidade de dissi-

patividade para soluções regulares. Na seção 5.3, provamos um resultado de regularidade

de traço na fronteira. Na seção 5.4, sob hipótese nas curvaturas K1 e K2, mostramos

que a energia associada a soluções fracas decai exponencialmente quando t → ∞. Na

seção 5.5, sob hipótese relacionando a energia inicial e na constante módulo elástico µ,

fornecemos uma segunda prova de decaimento exponencial da energia.

8

Capítulo 1

O Sistema de Marguerre-Vlasov para

Cascas Rasas sob Efeitos Térmicos:

Soluções Globais Regulares

1.1 Introdução

Neste capítulo, provaremos a existência, unicidade e dependência contínua em relação

aos dados iniciais da solução global regular do sistema (1), com condições de fronteira

dadas em (3) e condições iniciais dadas em (4). A existência seguirá através do método

de Galerkin. A unicidade e dependência contínua em relação aos dados iniciais seguirão

via métodos clássicos de energia e desigualdade de Gronwall.

Para iniciar, estabeleceremos alguns lemas técnicos importantes que serão utilizados

no decorrer do trabalho.

Seja U =

(u

v

), introduzimos o tensor simétrico

ε(U) =1

2

(∇U + (∇U)T

)(1.1)

onde ∇U é a matriz dada por

∇U =

(ux uy

vx vy

). (1.2)

Introduzimos a função f : R2 → S, onde S é o conjunto das matrizes simétricas 2×2,

f(s) =1

2s⊗ s =

1

2s · sT =

1

2

((s1)2 s1s2

s1s2 (s2)2

)(1.3)

9

Seja A = [aij]1≤i,j≤2 uma matriz pertencente a S. Denimos o tensor C : S → S por

C[A] = 2

[1

1−µ a11 + µ1−µ a22 a12

a211

1−µ a22 + µ1−µ a11

](1.4)

Seja A = [aij], B = [bij] matrizes simétricas, 2× 2, cujas entradas pertenem a L2(Ω).

Denimos o seguinte produto interno

(A,B)(L2(Ω))4 = (a11, b11)L2(Ω) + (a12, b12)L2(Ω) + (a21, b21)L2(Ω) + (a22, b22)L2(Ω)

e

‖A‖(L2(Ω))4 =‖a11‖2

L2(Ω) + ‖a12‖2L2(Ω) + ‖a21‖2

L2(Ω) + ‖a22‖2L2(Ω)

1/2

Lema 1.1. Seja A uma matriz simétrica cujas entradas são funções de L2(Ω). Então, o

tensor C[·] está bem denido, (C[A], A)(L2(Ω))4 ≥ 0 e existem constantes C1 > 0 e C2 > 0

tais que

C1‖A‖2(L2(Ω))4 ≤ (C[A], A)(L2(Ω))4 ≤ C2‖A‖2

(L2(Ω))4 (1.5)

Demonstração:

(C[A], A)(L2(Ω))4 =

(2

[1

1−µ a11 + µ1−µ a22 a12

a211

1−µ a22 + µ1−µ a11

],

[a11 a12

a21 a22

])

=2

1− µ(a11, a11)L2(Ω) +

2µ

1− µ(a11, a22)L2(Ω) + 2(a12, a12)L2(Ω)

+ 2(a21, a21)L2(Ω) +2

1− µ(a22, a22)L2(Ω) +

2µ

1− µ(a11, a22)L2(Ω)

=2

1− µ‖a11‖2

L2(Ω) +2

1− µ‖a22‖2

L2(Ω) + 2‖a12‖2L2(Ω) + 2‖a21‖2

L2(Ω)

+2µ

1− µ

(‖a11‖2

L2(Ω) + ‖a22‖2L2(Ω) + 2(a11, a22)L2(Ω)

)− 2µ

1− µ

(‖a11‖2

L2(Ω) + ‖a22‖2L2(Ω)

)= 2‖a11‖2

L2(Ω) + 2‖a22‖2L2(Ω) + 2‖a12‖2

L2(Ω) + 2‖a21‖2L2(Ω)

+2µ

1− µ‖a11 + a22‖2

L2(Ω)

Como

‖A‖2(L2(Ω))4 = ‖a11‖2

L2(Ω) + ‖a22‖2L2(Ω) + ‖a12‖2

L2(Ω) + ‖a21‖2L2(Ω)

então, escolhemos C1 = 2 e temos a primeira desigualdade em (1.5). Por outro lado,

escolhemos C2 = 2

(1 + µ

1− µ

)e obtemos a segunda desigualdade em (1.5).

10

Lema 1.2. Seja A = [aij] ∈ L2(Ω,S). Então, existe uma constante C1 > 0 tal que

‖C[A]‖(L2(Ω))4 ≤ C1‖A‖(L2(Ω))4

Demonstração: Pela denição do tensor C[·], segue que

‖C[A]‖(L2(Ω))4 =

∥∥∥∥ 2

1− µa11 +

2µ

1− µa22

∥∥∥∥L2(Ω)

+ 2 ‖ a12‖L2(Ω)

+ 2 ‖ a21‖L2(Ω) +

∥∥∥∥ 2

1− µa22 +

2µ

1− µa11

∥∥∥∥L2(Ω)

≤ C1

∑‖ aij‖L2(Ω) = C1 ‖A‖(L2(Ω))4

onde podemos escolher a constante C1 = 2

(1 + µ

1− µ

).

Lema 1.3. Sejam A = [aij] e B = [bij] pertencentes a L2(Ω,S). Então,

(C[A], B)(L2(Ω))4 = (C[B], A)(L2(Ω))4

Demonstração: Novamente, da denição de C[·], segue que

(C[A], B)(L2(Ω))4 =2

1− µ(a11, b11)L2(Ω) +

2µ

1− µ(a22, b11)L2(Ω) + 2(a12, b12)L2(Ω)

+ 2(a21, b21)L2(Ω) +2

1− µ(a22, b22)L2(Ω) +

2µ

1− µ(a11, b22)L2(Ω)

=2

1− µ(b11, a11)L2(Ω) +

2µ

1− µ(b22, a11)L2(Ω) + 2(b12, a12)L2(Ω)

+ 2(b21, a21)L2(Ω) +2

1− µ(b22, a22)L2(Ω) +

2µ

1− µ(b11, a22)L2(Ω)

= (C[B], A)(L2(Ω))4

Lema 1.4. Seja a matriz [Bij] = [Bij(U,w)], com Bij denidos em (2). Então,

[Bij] = C[ε(U)] + C[f(∇w)] + C[J(w)] (1.6)

onde C[·] é o tensor denido por (1.4), ε(·) é o tensor denido em (1.1), f é a função

denida em (1.3) e J(w) é matriz

J(w) =

[K1w 0

0 K2w

](1.7)

11

Demonstração: Pela denição de Bij e bij em (2),

[Bij] =

[B11 B12

B21 B22

]= 2

[1

1−µ b11 + µ1−µ b22

12b12

12b21

11−µ b22 + µ

1−µ b11

]

= 2

[1

1−µ ux + µ1−µ vy

12

(uy + vx)12

(uy + vx)1

1−µ vy + µ1−µ ux

]

+ 2

[1

1−µw2x

2+ µ

1−µw2y

212wxwy

12wxwy

11−µ

w2y

2+ µ

1−µw2x

2

]

+ 2

[1

1−µ K1w + µ1−µ K2w 0

0 11−µ K2w + µ

1−µ K1w

]= C[ε(U)] + C[f(∇w)] + C[J(w)]

Lema 1.5. Seja A = [aij] uma matriz simétrica que possui componentes em C1[0, T ].

Então,

d

dtC[A] = C

[dA

dt

].

Demonstração: Derivamos a matriz A por componentes, isto é,dA

dt= [(aij)t]. Pela

denição (1.4) do tensor C[·], segue que

C

[dA

dt

]=

[2

1−µ (a11)t + 2µ1−µ (a22)t 2 (a12)t

2(a21)t2

1−µ (a22)t + 2µ1−µ (a11)t

]

que é exatemente a matrizdC[A]

dt, onde a matriz C[A] é derivada componente a compo-

nente.

Denição 1.1. Consideramos o operador diferencial de segunda ordem denido por

Lu =n∑

i,j=1

aij(x)∂2u

∂xi∂xj+

n∑i=1

bi(x)∂u

∂xi+ c(x)u

onde aij ∈ C1(Ω), bi, c ∈ C(Ω), com Ω ⊂ Rn. Dizemos que o operador L é fortemente

elíptico se existe λ > 0, independente de x e ξ, tal que

n∑i,j=1

aij(x)ξiξj ≥ λ|ξ|2, ∀x ∈ Ω, ∀ ξ ∈ Rn

12

Sejam ε(·) e C[·] denidos em (1.1) e (1.4), respectivamente. Seja

L : [H2(Ω)]2 −→ [L2(Ω)]2

L(U) = −Div (C[ε(U)]) (1.8)

Lema 1.6. O operador L denido em (1.8) é fortemente elíptico.

Demonstração: Vamos escrever o operador L de forma explícita, isto é,

LU = −Div (C[ε(U)]) = −Div

([2

1−µ ux + 2µ1−µ vy uy + vx

uy + vx2

1−µ vy + 2µ1−µ ux

])

= −

21−µ uxx + uyy +

(1+µ1−µ

)vxy

vxx + 21−µvyy +

(1+µ1−µ

)uxy

Sejam ξ = (ξ1, ξ2) ∈ R2 e η = (η1, η2) ∈ R2. Pela denição 1.1, devemos mostrar que

existe λ > 0 (independente de ξ e η) tal que(2

1− µξ2

1 + ξ22 +

(1 + µ

1− µ

)ξ1ξ2 + η2

1 +2

1− µη2

2 +

(1 + µ

1− µ

)η1η2

)≥ λ(ξ2

1 + ξ22 + η2

1 + η22)

É suciente mostrarmos que existe λ > 0 tal que(2

1− µξ2

1 + ξ22 +

(1 + µ

1− µ

)ξ1ξ2

)≥ λ(ξ2

1 + ξ22), ∀ ξ ∈ R2 (1.9)

A desigualdade (1.9) é vericada se e somente se(2

1− µ− λ)ξ2

1 + (1− λ) ξ22 +

(1 + µ

1− µ

)ξ1ξ2 ≥ 0, ∀ ξ ∈ R2

Escolhemos λ > 0 tal que

(2

1− µ− λ)> 0 e (1 − λ) > 0. Ou seja, escolhemos λ > 0

tal que

0 < λ < 1 e λ <2

1− µ(1.10)

Seja λ como em (1.10). Adicionalmente, se λ satiszer a seguinte desigualdade(1 + µ

1− µ

)2

≥ 4

(2

1− µ− λ)

(1− λ) (1.11)

13

então a desigualdade (1.9) é vericada. Escolhemos λ =1

cem (1.11), para algum c > 1.

Então,

(1 + µ)2

(1− µ)2≥ 4

(2

1− µ− 1

c

)(1− 1

c

)⇐⇒ (1 + µ)2

(1− µ)2≥ 4

(2c− (1− µ)

c(1− µ)

)(c− 1)

c

⇐⇒ c2

4

(1 + µ)2

1− µ≥ (c− 1) ((2c− 1) + µ)

⇐⇒ c2

4(1 + µ)2 ≥ (c− 1) ((2c− 1) + µ) (1− µ)

⇐⇒ c2

4+c2µ

2+c2µ2

4≥ (c− 1)

((2c− 1)− (2c− 1)µ+ µ− µ2

)⇐⇒

(c2

4+ (c− 1)

)µ2 +

(c2

2+ 2(c− 1)2

)µ+

(c2

4− (c− 1)(2c− 1)

)≥ 0

Os coecientes de µ2 e µ são positivos, pois c > 1. Precisamos encontrar c > 1

tal que o termo independente, g(c) =c2

4− (c− 1)(2c− 1), também seja positivo. Ou

seja, queremos que g(c) ≥ 0 para algum c. Notamos que g é a função quadrática

g(c) = −7

4c2 + 3c+ 1, então g(c) ≥ 0 se e somente se c2 ≤ c ≤ c1 onde c1 =

6 + 2√

2

7e

c2 =6− 2

√2

7. Logo, podemos escolher c tal que 1 < c ≤ c1, como, por exemplo, c =

5

4.

Assim, as desigualdades (1.10) e (1.11) são vericadas para 0 < λ =1

c< 1. Consequente-

mente, obtemos a desigualdade (1.9).

Lema 1.7 (Desigualdade de Korn). Seja U = (u, v)T ∈ [H1o (Ω)]2. Então,

‖∇U‖2(L2(Ω))4 ≤ 2‖ε(U)‖2

(L2(Ω))4 ,

onde a matriz ∇U é denida em (1.2) e o tensor ε(·) é denido em (1.1).

Demonstração: Ver [29], página 13, Teorema 2.1.

Lema 1.8. Seja, U = (u, v)T ∈ [H1o (Ω)]2, w ∈ H2

o (Ω), bij denidos em (2) e Ki ∈ L∞(Ω),

i = 1, 2. Então, existe uma constante C1 > 0 tal que

‖∇U‖2(L2(Ω))4 ≤ C1

‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2

L2(Ω)

+ ‖∆w‖4L2(Ω) + (‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω))‖∆w‖2

L2(Ω)

14

Demonstração: Pelo Lema 1.7 e imersão H1(Ω) → L4(Ω), segue que

‖∇U‖2(L2(Ω))4 ≤ C‖ε(U)‖2

(L2(Ω))4 ≤ C1‖ux‖2L2(Ω) + ‖uy + vx‖2

L2(Ω) + ‖vy‖2L2(Ω)

≤ C1

∥∥∥∥ux +1

2w2x +K1w −

1

2w2x −K1w

∥∥∥∥2

L2(Ω)

+ ‖uy + vx + wxwy − wxwy‖2L2(Ω)

+

∥∥∥∥vy +1

2w2y +K2w −

1

2w2y −K2w

∥∥∥∥2

L2(Ω)

≤ C2

‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2

L2(Ω)

+ ‖wx‖4L4(Ω) + ‖wy‖4

L4(Ω) + ‖K1w‖2L2(Ω) + ‖K2w‖2

L2(Ω)

≤ C3

‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2

L2(Ω)

+ ‖wx‖4H1(Ω) + ‖wy‖4

H1(Ω)

+ (‖K1‖2L∞(Ω) + ‖K2‖2

L∞(Ω))‖w‖2H2(Ω)

≤ C4

‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2

L2(Ω)

+ ‖∆w‖4L2(Ω) + (‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω))‖∆w‖2

L2(Ω)

Lema 1.9. Sejam U ∈ [H1o (Ω)]2 e w ∈ H2

o (Ω). Então,

(−Div([Bij(U,w)]), φ)(L2(Ω))2 = ([Bij(U,w)], ε(φ))(L2(Ω))4

= (C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(φ))(L2(Ω))4 , ∀ φ = (φ1, φ2) ∈ [H1o (Ω)]2 (1.12)

Demonstração: Seja φ = (φ1, φ2) ∈ [H1o (Ω)]2. Integrando por partes e pelo fato que

B12 = B21, obtemos que

(−Div([Bij(U,w)]), φ)(L2(Ω))2 = −

((B11,x +B12,y

B21,x +B22,y

),

(φ1

φ2

))(L2(Ω))2

= − (B11,x +B12,y, φ1)L2(Ω) − (B12,x +B22,y, φ2)L2(Ω)

= (B11, φ1,x)L2(Ω) + (B12, φ1,y)L2(Ω) + (B21, φ2,x)L2(Ω) + (B22, φ2,y)L2(Ω)

=

([B11 B12

B21 B22

],

[φ1,x

12(φ1,y + φ2,x)

12(φ1,y + φ2,x) φ2,y

])(L2(Ω))4

= ([Bij], ε(φ))(L2(Ω))4 .

A última igualdade em (1.12) segue do Lema 1.4.

15

Lema 1.10. Sejam U ∈ [H1o (Ω)]2 e w ∈ H2

o (Ω). Então,

(−div ([Bij(U,w)] · ∇w) , ξ)L2(Ω) = ([Bij(U,w)],∇w ⊗∇ξ)(L2(Ω))4

= (C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇ξ)(L2(Ω))4 , ∀ ξ ∈ H2o (Ω) (1.13)

Demonstração: Seja ξ ∈ H2o (Ω), integrando por partes e como B12 = B21, obtemos que

(−div ([Bij(U,w)] · ∇w) , ξ)L2(Ω) = −(

(B11wx +B12wy)x + (B21wx +B22wy)y , ξ)L2(Ω)

= (B11, wx ξx)L2(Ω) + (B12, wy ξx)L2(Ω) + (B21, wx ξy)L2(Ω) + (B22, wy ξy)L2(Ω)

=

([B11 B12

B21 B22

],

[wx ξx wx ξy

wy ξx wy ξy

])[L2(Ω)]4

= ([Bij],∇w ⊗∇ξ)[L2(Ω)]4 .

A última igualdade em (1.13) segue pelo Lema 1.4.

1.2 Existência e Unicidade de Soluções Regulares

Denição 1.2. Dado T > 0, a tripla (U,w, θ) é dita uma solução regular se possui a

seguinte regularidade:

U ∈ L∞(0, T ; [H1o (Ω) ∩H2(Ω)]2), w ∈ L∞(0, T ;H3(Ω) ∩H2

o (Ω))

θ ∈ L∞(0, T ;H2(Ω) ∩H1o (Ω))

Ut ∈ L∞(0, T ; [H1o (Ω)]2), wt ∈ L∞(0, T ;H2

o (Ω)),

θt ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) ∩ L2(0, T ;H1o (Ω))

Utt ∈ L∞(0, T ; [L2(Ω)]2), wtt ∈ L∞(0, T ;H1o (Ω)),

e satisfaz

(Utt(t), ϕ)(L2(Ω))2 + (C[ε(U(t)) + f(∇w(t)) + J(w(t))], ε(ϕ))(L2(Ω))4

+ (Ut(t), ϕ)(L2(Ω))2 = 0, ∀ϕ ∈ [H1o (Ω) ∩H2(Ω)]2

(wtt(t), ξ)L2(Ω) + (∇(∆w(t)),∇ξ)L2(Ω) + (∇wtt(t),∇ξ)L2(Ω) + (∆θ(t), ξ)L2(Ω)

+ (C[ε(U(t)) + f(∇w(t)) + J(w(t))],∇w(t)⊗∇ξ)(L2(Ω))4

+ (K1B11 +K2B22, ξ)L2(Ω) = 0, ∀ξ ∈ H2o (Ω)

(θt(t), η)L2(Ω) + (∇θ(t),∇η)L2(Ω) − (∆wt(t), η)L2(Ω) = 0, ∀η ∈ H1o (Ω) ∩H2(Ω)

16

Teorema 1.1. Sejam K1 e K2 pertencentes a W 1,∞(Ω). Consideramos os dados iniciais

satisfazendo

U0 ∈ [H1o (Ω) ∩H2(Ω)]2, U1 ∈ [H1

o (Ω)]2

w0 ∈ H3(Ω) ∩H2o (Ω), w1 ∈ H2

o (Ω)

θ0 ∈ H2(Ω) ∩H1o (Ω)

Então, existe uma solução global de (1)-(4).

Demonstração: Seja T > 0. Usaremos o método de Galerkin, [25], para mostrar a

existência de solução regular para o sistema (1).

Escolhemos duas bases, uma correspondente a −∆ e outra a ∆2 de autofunções destes

operadores em H2(Ω) e H4(Ω), respectivamente, com condições de fronteira de Dirichlet.

Sejam ϕn e ξn autofunções de −∆ e ∆2, respectivamente, com condições de fronteira de

Dirichlet e aulovalores λn e σn autovalores, isto é,

−∆ϕn = λnϕn em Ω e ϕn = 0 sobre ∂Ω

∆2ξ = σnξn em Ω e ξn =∂ξn∂ν

= 0 sobre ∂Ω.

Podemos assumir que ϕn e ξn são bases ortonormais em L2(Ω).

Sejam Vm = span[ϕ1, . . . , ϕm], Wm = span[ξ1, . . . , ξm] e [Vm]2 = Vm × Vm.

Sejam Um(t) =

(um(t)

vm(t)

)∈ [Vm]2, wm(t) ∈ Wm e θm(t) ∈ Vm, isto é,

um(t) =m∑i=1

gim(t)ϕi(x), vm(t) =m∑i=1

him(t)ϕi(x),

wm(t) =m∑i=1

pim(t)ξi(x), θm(t) =m∑i=1

qim(t)ϕi(x).

Pelos Lemas 1.9 e 1.10, o problema aproximado para (1) é: dados U0,m ∈ [Vm]2,

w0,m ∈ Wm, θ0,m ∈ Vm, U1,m ∈ [Vm]2, w1,m ∈ Wm, encontrar (Um(t), wm(t), θm(t)),

denidos na forma acima, em (0, tm) com 0 < tm < T , tais que

(Umtt (t), ϕ)(L2(Ω))2 + (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))], ε(ϕ))(L2(Ω))4

+ (Umt (t), ϕ)(L2(Ω))2 = 0, ∀ϕ ∈ [Vm]2 (1.14)

(wmtt (t), ξ)L2(Ω) + (∇(∆wm(t)),∇ξ)L2(Ω) + (∇wmtt (t),∇ξ)L2(Ω) + (∆θm(t), ξ)L2(Ω)

+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))],∇wm(t)⊗∇ξ)(L2(Ω))4

+ (K1Bm11 +K2B

m22, ξ)L2(Ω) = 0, ∀ξ ∈ Wm (1.15)

(θmt (t), η)L2(Ω) + (∇θm(t),∇η)L2(Ω) − (∆wmt (t), η)L2(Ω) = 0, ∀η ∈ Vm (1.16)

17

com

Um(0) = (u0,m, v0,m)→ U0 = (u0, v0) forte em [H1o (Ω) ∩H2(Ω)]2

Umt (0) = (u1,m, v1,m)→ U1 = (u1, v1) forte em [H1

o (Ω)]2

wm(0) = w0,m → w0 forte em H2o (Ω) ∩H3(Ω)

wmt (0) = w1,m → w1 forte em H2o (Ω)

θm(0) = θ0,m → θ0 forte em H1o (Ω) ∩H2(Ω)

(1.17)

A existência de solução local, em (0, tm), para o sistema (1.14)-(1.17) segue do fato

que os termos não-lineares são localmente Lipschitz em [Vm]2 × Wm × Vm. Usando o

Teorema de Caratheodory, segue a existência de solução regular local em (0, tm). Vamos

estender para [0, T ).

Escolhemos ϕ = Umt (t) em (1.14), ξ = wmt (t) em (1.15) e η = θm(t) em (1.16).

Somamos as equações resultantes e obtemos:

(Umtt (t), Um

t (t))(L2(Ω))2 + (wmtt (t), wmt (t))L2(Ω) + (∇(∆wm(t)),∇wmt (t))L2(Ω)

+ (∇wmtt (t),∇wmt (t))L2(Ω) − (∆wmt (t), θm(t))L2(Ω) + (∆θm(t), wmt (t))L2(Ω)

+ (θmt (t), θm(t))L2(Ω) + ‖Umt (t)‖2

(L2(Ω))2 + ‖∇θm(t)‖2L2(Ω)

+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))], ε(Umt (t)))(L2(Ω))4

+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))],∇wm(t)⊗∇wmt (t))(L2(Ω))4

+ (K1Bm11 +K2B

m22, w

mt (t))L2(Ω) = 0 (1.18)

Pela Fórmula de Green,

(∆θm(t), wmt (t))L2(Ω) − (∆wmt (t), θm(t))L2(Ω) = 0 (1.19)

Agora, lembrando que bm12 = bm21, para os termos não-lineares em (1.18) teremos a

18

seguinte expressão:

Dm = (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))], ε(Umt (t)))(L2(Ω))4

+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))],∇wm(t)⊗∇wmt (t))(L2(Ω))4

+ (K1Bm11 +K2B

m22, w

mt (t))L2(Ω)

=2

1− µ(bm11, u

mxt + wmx w

mxt +K1w

mt )L2(Ω) +

2

1− µ(bm22, v

myt + wmy w

myt +K2w

mt )L2(Ω)

+2µ

1− µ(bm11, v

mty + wmy w

myt +K2w

mt )L2(Ω) +

2µ

1− µ(bm22, u

mtx + wmx w

mxt +K1w

mt )L2(Ω)

+ (bm12, umyt + vmxt + wmx w

myt + wmy w

mxt)L2(Ω)

= (bm12, (bm12)t)l2(Ω) +

2

1− µ

(bm11, (bm11)t)L2(Ω) + (bm22, (b

m22)t)L2(Ω)

+

2µ

1− µ

(bm11, (bm22)t)L2(Ω) + (bm22, (b

m11)t)L2(Ω)

=

1

2

d

dt

2‖bm11‖2

L2(Ω) + 2‖bm22‖2L2(Ω) +

2µ

1− µ‖bm11 + bm22‖2

L2(Ω) + ‖b12‖2L2(Ω)

(1.20)

Denimos

Em(t) =1

2

‖Um

t ‖2L2(Ω) + ‖wmt ‖2

L2(Ω) + ‖∆wm‖2L2(Ω) + ‖∇wmt ‖2

L2(Ω) + ‖θm‖2L2(Ω)

+ ‖bm12‖2L2(Ω) + 2‖bm11‖2

L2(Ω) + 2‖bm22‖2L2(Ω) +

2µ

1− µ‖bm11 + bm22‖2

L2(Ω)

(1.21)

Substituímos (1.19), (1.20) e (1.21) na igualdade (1.18), e obtemos que

d

dtEm(t) + ‖∇θm(t)‖2

L2(Ω) + ‖Umt (t)‖2

L2(Ω) = 0 (1.22)

Integramos (1.22) de 0 a t,

Em(t) +

∫ t

0

‖∇θm(s)‖2L2(Ω) ds+

∫ t

0

‖Ums (s)‖2

L2(Ω) ds = Em(0) (1.23)

Agora, por (1.17), temos

Em(0) ≤ C

onde C > 0 é uma constante que independe de m e t, pois os termos bm11(0), bm22(0) e bm12(0)

são limitados. De fato pela a imersão H1(Ω) → L4(Ω), por (1.17), como Ki ∈ L∞(Ω),

19

segue que

‖bm11(0)‖2L2(Ω) =

∥∥∥∥(u0,m)x +1

2(w0,m)2

x +K1w0,m

∥∥∥∥2

L2(Ω)

≤‖∇U0,m‖2

L2(Ω) + ‖(w0,m)x‖4L4(Ω) + ‖K1‖2

L∞(Ω)‖w0,m‖2L2(Ω)

≤ C

‖∇U0,m‖2

L2(Ω) + ‖(w0,m)x‖4H1(Ω) + ‖K1‖2

L∞(Ω)‖w0,m‖2H2(Ω)

≤ C

‖∇U0,m‖2

L2(Ω) + ‖w0,m‖4H2(Ω) + ‖K1‖2

L∞(Ω)‖w0,m‖2H2(Ω)

≤ C1

Analogamente,

‖bm22(0)‖2L2(Ω) =

∥∥∥∥(v0,m)y +1

2(w0,m)2

y +K2w0,m

∥∥∥∥2

L2(Ω)

≤ C

‖∇U0,m‖2

L2(Ω) + ‖w0,m‖4H2(Ω) + ‖K2‖2

L∞(Ω)‖w0,m‖2H2(Ω)

≤ C2

Pela desigualdade de Holder,

‖bm12(0)‖2L2(Ω) = ‖(u0,m)y + (v0,m)x + (w0,m)x(w0,m)y‖2

L2(Ω)

≤ C‖∇U0,m‖2

L2(Ω) + ‖(w0,m)x‖2L4(Ω) · ‖(w0,m)y‖2

L4(Ω)

≤ C

‖∇U0,m‖2

L2(Ω) + ‖w0,m‖4H2(Ω)

≤ C3

Portanto, em (1.23), temos que

Em(t) ≤ C, ∀ t > 0 (1.24)

onde C > 0 é uma constante positiva que independe de m e t. Isto mostra que podemos

estender a solução de (1.14)-(1.17) para [0, T ). Como T > 0 é qualquer, então a solução

existe em [0,∞). Além disso, temos as seguintes limitações:

(Umt ) é limitada em [L∞(0,∞;L2(Ω))]2 (1.25)

(wmt ) é limitada em L∞(0,∞;H1o (Ω)) (1.26)

(wm) é limitada em L∞(0,∞;H2o (Ω)) (1.27)

(θm) é limitada em L∞(0,∞;L2(Ω)) ∩ L2(0,∞;H1o (Ω)) (1.28)

(bm11) é limitada em L∞(0,∞;L2(Ω)) (1.29)



20

Seja Um(t) =

(um(t)

vm(t)

), então, pelo Lema 1.8,

‖∇Um(t)‖2(L2(Ω))4 ≤ C1

‖bm11(t)‖2

L2(Ω) + ‖bm22(t)‖2L2(Ω) + ‖bm12(t)‖2

L2(Ω)

+ ‖wmx (t)‖4H1(Ω) + ‖wmy (t)‖4

H1(Ω)

+ (‖K1‖2L∞(Ω) + ‖K2‖2

L∞(Ω))‖wm(t)‖2H2(Ω)

Como K1, K2 ∈ L∞(Ω), e pelas limitações (1.27), (1.29)-(1.31), segue que

(Um) é limitada em L∞(0,∞;H1o (Ω)) (1.32)

As estimativas (1.25)-(1.32) não são sucientes para obtermos uma solução regular

do problema (1)-(4). Para isso, precisaremos mais estimativas sobre as soluções aproxi-

madas. Assim, vamos derivar as equações (1.14), (1.15) e (1.16), em relação ao tempo,

no sentido das distribuições.

(Umttt(t), ϕ)(L2(Ω))2 + (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))]t, ε(ϕ))(L2(Ω))4

+ (Umtt (t), ϕ)(L2(Ω))2 = 0, ∀ϕ ∈ [Vm]2 (1.33)

(wmttt(t), ξ)L2(Ω) + (∇(∆wmt (t)),∇ξ)L2(Ω) + (∇wmttt(t),∇ξ)L2(Ω) + (∆θmt (t), ξ)L2(Ω)

+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))]t,∇wm(t)⊗∇ξ)(L2(Ω))4

+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))],∇wmt (t)⊗∇ξ)(L2(Ω))4

+ (K1(Bm11)t +K2(Bm

22)t, ξ)L2(Ω) = 0, ∀ξ ∈ Wm (1.34)

(θmtt (t), η)L2(Ω) + (∇θmt (t),∇η)L2(Ω) − (∆wmtt (t), η)L2(Ω) = 0, ∀η ∈ Vm (1.35)

Escolhemos ϕ = Umtt ∈ [Vm]2 em (1.33), ξ = wmtt ∈ Wm em (1.34), η = θmt ∈ Vm em

(1.35), somamos as equações resultantes e obtemos que

(Umttt(t), U

mtt )(L2(Ω))2 + (wmttt(t), w

mtt )L2(Ω) + (∇(∆wmt (t)),∇wmtt )L2(Ω) + (∇wmttt(t),∇wmtt )L2(Ω)

+ (θmtt (t), θmt )L2(Ω) + ‖Um

tt ‖2L2(Ω) + ‖∇θmt ‖2

L2(Ω) + (∆θmt (t), wmtt )L2(Ω) − (∆wmtt (t), θmt )L2(Ω)

+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))]t, ε(Umtt ))(L2(Ω))4

+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))]t,∇wm(t)⊗∇wmtt )(L2(Ω))4

+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))],∇wmt (t)⊗∇wmtt )(L2(Ω))4

+ (K1(Bm11)t +K2(Bm

22)t, wmtt )L2(Ω) = 0 (1.36)

Considere a matriz 2× 2 simétrica

σ(Um(t), wm(t)) = ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t)) (1.37)

21

Denimos

Fm(t) = (C[σ(Um(t), wm(t))]t, ε(Umtt ))(L2(Ω))4

+ (C[σ(Um(t), wm(t))]t,∇wm(t)⊗∇wmtt )(L2(Ω))4

+ (C[σ(Um(t), wm(t))],∇wmt (t)⊗∇wmtt )(L2(Ω))4

+ (K1(Bm11)t +K2(Bm

22)t, wmtt )L2(Ω) (1.38)

Substituímos (1.37) e (1.38) em (1.36), obtemos que

(Umttt(t), U

mtt )(L2(Ω))2 + (wmttt(t), w

mtt )L2(Ω) + (∇(∆wmt (t)),∇wmtt )L2(Ω)

+ (∇wmttt(t),∇wmtt )L2(Ω) + (θmtt (t), θmt )L2(Ω) + ‖Um

tt ‖2L2(Ω) + ‖∇θmt ‖2

L2(Ω)

+ (∆θmt (t), wmtt )L2(Ω) − (∆wmtt (t), θmt )L2(Ω) + Fm(t) = 0 (1.39)

Pela fórmula de Green,

(∆θmt (t), wmtt )L2(Ω) − (∆wmtt (t), θmt )L2(Ω) = −(∇θmt ,∇wmtt )L2(Ω) + (∇wmtt ,∇θmt )L2(Ω) = 0

(1.40)

Vamos estimar os termos não-lineares.

Fm =((bm12)t, w

mx w

mytt + wmy w

mxtt + umytt + vmxtt

)L2(Ω)

+(bm12, w

mxtw

mytt + wmty w

mttx

)L2(Ω)

+2

1− µ

((bm11)t, u

mxtt + wmx w

mxtt +K1w

mtt

)L2(Ω)

+((bm22)t, v

mytt + wmy w

mytt +K2w

mtt

)L2(Ω)

+ (bm11, wmxtw

mxtt)L2(Ω) +

(bm22, w

mytw

mytt

)L2(Ω)

+

2µ

1− µ

((bm22)t, u

mxtt + wmx w

mxtt +K1w

mtt )L2(Ω)

+((bm11)t, v

mytt + wmy w

mytt +K2w

mtt

)L2(Ω)

+(bm11, w

mytw

mytt

)L2(Ω)

+ (bm22, wmxtw

mxtt)L2(Ω)

= Gm

1 +Gm2 +Gm

3 (1.41)

22

onde

Gm1 =

((bm12)t, w

mx w

mytt + wmy w


)L2(Ω)

+(bm12, w

mxtw

mytt + wmty w

mttx

)L2(Ω)

Gm2 =

2

1− µ

((bm11)t, u

mxtt + wmx w

mxtt +K1w

mtt )L2(Ω)

+((bm22)t, v

mytt + wmy w

mytt +K2w

mtt

)L2(Ω)

+ (bm11, wmxtw

mxtt)L2(Ω) +

(bm22, w

mytw

mytt

)L2(Ω)

Gm

3 =2µ

1− µ

((bm22)t, u

mxtt + wmx w

mxtt +K1w

mtt )L2(Ω)

+((bm11)t, v

mytt + wmy w

mytt +K2w

mtt

)L2(Ω)

+(bm11, w

mytw

mytt

)L2(Ω)

+ (bm22, wmxtw

mxtt)L2(Ω)

Agora, somamos e subtraímos o termo 2

((bm12)t, w

mty w

mtx

)L2(Ω)

,

Gm1 =

((bm12)t, w

mx w

mytt + wmy w


)L2(Ω)

+(bm12, w

mxtw

mytt + wmty w

mttx

)L2(Ω)

= ((bm12)t, (bm12)tt)L2(Ω) − 2

((bm12)t, w

mty w

mtx

)L2(Ω)

+(bm12, w

myt w

mxtt + wmtxw

mtty

)L2(Ω)

(1.42)

Somamos e subtraímos os termos ((bm11)t, (wmxt)

2)L2(Ω) e((bm22)t, (w

myt)

2)L2(Ω)

Gm2 =

2

1− µ

((bm11)t, u

mxtt + wmx w

mxtt +K1w

mtt )L2(Ω) +

((bm22)t, v

mytt + wmy w

mytt +K2w

mtt

)L2(Ω)

+ (bm11, wmxtw

mxtt)L2(Ω) +

(bm22, w

mytw

mytt

)L2(Ω)

=

2

1− µ

((bm11)t, (b

m11)tt)L2(Ω) + ((bm22)t, (b

m22)tt)L2(Ω) −

((bm11)t, (w

mxt)

2)L2(Ω)

−((bm22)t, (w

myt)

2)L2(Ω)

+ (bm11, wmtxw

mxtt)L2(Ω) +

(bm22, w

mty w

mytt

)L2(Ω)

(1.43)

Finalmente, somamos e subtraímos os termos ((bm22)t, (wmxt)

2)L2(Ω) e((bm11)t, (w

myt)

2)L2(Ω)

, obtemos que

Gm3 =

2µ

1− µ

((bm22)t, u

mxtt + wmx w

mxtt +K1w

mtt )L2(Ω) +

((bm11)t, v

mytt + wmy w

mytt +K2w

mtt

)L2(Ω)

+(bm11, w

mytw

mytt

)L2(Ω)

+ (bm22, wmxtw

mxtt)L2(Ω)

=

2µ

1− µ

((bm22)t, (b

m11)tt)L2(Ω) + ((bm11)t, (b

m22)tt)L2(Ω) −

((bm22)t, (w

mxt)

2)L2(Ω)

−((bm11)t, (w

myt)

2)L2(Ω)

+(bm11, w

myt w

mtty

)L2(Ω)

+ (bm22, wmxtw

mttx)L2(Ω)

(1.44)

23

Assim, de (1.42), (1.43) e (1.44), segue que

3∑i=1

Gmi =

1

2

d

dt

‖(bm12)t‖2

L2(Ω) + 2‖(bm11)t‖2L2(Ω) + 2‖(bm22)t‖2

L2(Ω)

+2µ

1− µ‖(bm11)t + (bm22)t‖2

L2(Ω)

− 2

((bm12)t, w

mty w

mtx

)L2(Ω)

+1

1− µ((bm11)t, (w

mxt)

2)L2(Ω)

+1

1− µ((bm22)t, (w

myt)

2)L2(Ω)

+µ

1− µ((bm22)t, (w

mxt)

2)L2(Ω)

+µ

1− µ((bm11)t, (w

myt)

2)L2(Ω)

+

2

1− µ(bm11, w

mtxw

mxtt)L2(Ω) +

2

1− µ(bm22, w

mty w

mytt

)L2(Ω)

+2µ

1− µ(bm11, w

mty w

mytt

)L2(Ω)

+2µ

1− µ(bm22, w

mty w

mytt

)L2(Ω)

+(bm12, w

myt w

mxtt + wmtxw

mtty

)L2(Ω)

(1.45)

Substituimos (1.40) e (1.45) em (1.36),

1

2

d

dt

‖Um

tt ‖2L2(Ω) + ‖wmtt ‖2

L2(Ω) + ‖∆wmt ‖2L2(Ω) + ‖∇wmtt ‖2

L2(Ω) + ‖θmt ‖2L2(Ω)

+ ‖(bm12)t‖2L2(Ω) + 2‖(bm11)t‖2

L2(Ω) + 2‖(bm22)t‖2L2(Ω) +

2µ

1− µ‖(bm11)t + (bm22)t‖2

L2(Ω)

+ ‖Um

tt ‖2L2(Ω) + ‖∇θmt ‖2

L2(Ω) − 2

((bm12)t, w

mty w

mtx

)L2(Ω)

+1

1− µ((bm11)t, (w

mxt)

2)L2(Ω)

+1

1− µ((bm22)t, (w

myt)

2)L2(Ω)

+µ

1− µ((bm22)t, (w

mxt)

2)L2(Ω)

+µ

1− µ((bm11)t, (w

myt)

2)L2(Ω)

+

2

1− µ(bm11, w

mtxw

mxtt)L2(Ω) +

2

1− µ(bm22, w

mty w

mytt

)L2(Ω)

+2µ

1− µ(bm11, w

mty w

mytt

)L2(Ω)

+2µ

1− µ(bm22, w

mty w

mytt

)L2(Ω)

+(bm12, w

myt w

mxtt + wmtxw

mtty

)L2(Ω)

= 0 (1.46)

Denimos g : R2 −→ S2×2, g(s) = s · sT . Lembrando que (bm12)t = (bm21)t e

C[ε(Um) + f(∇wm) + J(wm(t))]t =

(2

1−µ(bm11)t + 2µ1−µ(bm22)t (bm12)t

(bm21)t2

1−µ(bm22)t + 2µ1−µ(bm11)t

)

24

então

(C[σ(Um, wm)]t, g(∇wmt ))(L2(Ω))4 = (C[ε(Um) + f(∇wm) + J(wm(t))]t, g(∇wmt ))(L2(Ω))4

= 2

((bm12)t, w

mty w

mtx

)L2(Ω)

+1

1− µ((bm11)t, (w

mxt)

2)L2(Ω)

+1

1− µ((bm22)t, (w

myt)

2)L2(Ω)

+µ

1− µ((bm22)t, (w

mxt)

2)L2(Ω)

+µ

1− µ((bm11)t, (w

myt)

2)L2(Ω)

(1.47)

Ainda, como

∇wmtt ⊗∇wmt =

(wmtxw

mttx wmty w

mttx

wmtxwmtty wmty w

mtty

)segue que

(C[σ(Um, wm)],∇wmtt ⊗∇wmt )(L2(Ω))4

= (C[ε(Um) + f(∇wm) + J(wm(t))],∇wmtt ⊗∇wmt )(L2(Ω))4

=2

1− µ(bm11, w

mtxw

mxtt)L2(Ω) +

2

1− µ(bm22, w

mty w

mytt

)L2(Ω)

+2µ

1− µ(bm11, w

mty w

mytt

)L2(Ω)

+2µ

1− µ(bm22, w

mty w

mytt

)L2(Ω)

+(bm12, w

myt w

mxtt + wmtxw

mtty

)L2(Ω)

(1.48)

Seja

Em(t) =1

2

‖Um

tt ‖2L2(Ω) + ‖wmtt ‖2

L2(Ω) + ‖∆wmt ‖2L2(Ω) + ‖∇wmtt ‖2

L2(Ω) + ‖θmt ‖2L2(Ω)

+ ‖(bm12)t‖2L2(Ω) + 2‖(bm11)t‖2

L2(Ω) + 2‖(bm22)t‖2L2(Ω)

+2µ

1− µ‖(bm11)t + (bm22)t‖2

L2(Ω)

(1.49)

Sustituindo (1.47), (1.48) e (1.49) em (1.46), temos

d

dtEm + ‖Um

tt ‖2L2(Ω) + ‖∇θmt ‖2

L2(Ω) = (C[σ(Um, wm)]t, g(∇wmt ))(L2(Ω))4

− (C[σ(Um, wm)],∇wmtt ⊗∇wmt )(L2(Ω))4 (1.50)

Integramos a identidade (1.50) de 0 a t,

Em(t) +

∫ t

0

‖∇θms (s)‖2L2(Ω) ds+

∫ t

0

‖Umss (s)‖2

L2(Ω) ds = Em(0)

+

∫ t

0

(d

dsC[σ(Um, wm)], g(∇wms )

)(L2(Ω))4

ds−∫ t

0

(C[σ(Um, wm)],∇wmss ⊗∇wms )(L2(Ω))4

(1.51)

25

Agora, integramos por partes (em relação a t) e pela igualdade (1.48),∫ t

0

(C[σ(Um, wm)],∇wmss ⊗∇wms )(L2(Ω))4 =2

1− µ

∫ t

0

(bm11,

1

2

d

ds(wmsx)

2

)L2(Ω)

+2

1− µ

∫ t

0

(bm22,

1

2

d

ds(wmsy)

2

)L2(Ω)

+2µ

1− µ

∫ t

0

(bm22,

1

2

d

ds(wmsx)

2

)L2(Ω)

+2µ

1− µ

∫ t

0

(bm11,

1

2

d

ds(wmsy)

2

)L2(Ω)

+2

1− µ

∫ t

0

(bm21,

d

ds(wmsxw

msy)

)L2(Ω)

=1

2

2

1− µ(bm11, (w

mtx)

2)L2(Ω)

+2

1− µ(bm22, (w

mty)

2)L2(Ω)

+2µ

1− µ(bm22, (w

mtx)

2)L2(Ω)

+2µ

1− µ(bm11, (w

mty)

2)L2(Ω)

+ 2(bm12, w

mtxw

mty

)L2(Ω)

∣∣∣∣t0

− 1

2

2

1− µ

∫ t

0

((bm11)s, (w

msx)

2)L2(Ω)

+2

1− µ

∫ t

0

((bm22)s, (w

msy)

2)L2(Ω)

+2µ

1− µ

∫ t

0

((bm22)s, (w

msx)

2)L2(Ω)

+2µ

1− µ

∫ t

0

((bm11)s, (w

msy)

2)L2(Ω)

+ 2

∫ t

0

((bm12)s, w

msxw

msy

)L2(Ω)

=

1

2(C[σ(Um, wm)], g(∇wmt ))(L2(Ω))4

∣∣∣∣t0

−1

2

∫ t

0

(d


)(L2(Ω))4

ds

(1.52)

Substituimos (1.52) na igualdade (1.51), obtemos que

Em(t) +

∫ t

0


∫ t

0

‖Umss (s)‖2

L2(Ω) ds = Em(0)

+3

2

∫ t

0

(d


)(L2(Ω))4

ds− 1

2(C[σ(Um, wm)], g(∇wmt ))(L2(Ω))4

∣∣∣∣t0

(1.53)

Vamos estimar os termos do lado direito de (1.53). Pela desigualdade de Cauchy-

Schwarz,

Em(t) +

∫ t

0


∫ t

0

‖Umss (s)‖2

L2(Ω) ds ≤ Em(0)

+3

2

∫ t

0

∥∥∥∥ ddsC[σ(Um, wm)]

∥∥∥∥(L2(Ω))4

· ‖g(∇wms )‖(L2(Ω))4ds

+1

2‖C[σ(Um, wm)]‖(L2(Ω))4 · ‖g(∇wmt )‖(L2(Ω))4

∣∣∣∣t0

(1.54)

26

Agora, usando a desigualdade de Holder, pela imersão H1/2(Ω) → L4(Ω) (veja [46],

Teorema 26.3) e pela desigualdade de interpolação ‖ϕ‖H1/2(Ω) ≤ C‖ϕ‖L2(Ω) · ‖ϕ‖H1(Ω),

segue que

‖g(∇wmt )‖(L2(Ω))4 = ‖(wmxt)2‖L2(Ω) + 2‖wmxtwmyt‖L2(Ω) + ‖(wmyt)2‖L2(Ω)

≤ ‖wmxt‖2L4(Ω) + 2‖wmxt‖L4(Ω) · ‖wmyt‖L4(Ω) + ‖wmyt‖2

L4(Ω)

≤ C ‖wmxt‖2L4(Ω) + ‖wmyt‖2

L4(Ω)

≤ C ‖wmxt‖2H1/2(Ω) + ‖wmyt‖2

H1/2(Ω)

≤ C ‖wmxt‖L2(Ω) · ‖wmxt‖H1(Ω) + ‖wmyt‖L2(Ω) · ‖wmyt‖H1(Ω)

≤ C‖wmxt‖2L2(Ω) + ‖wmyt‖2

L2(Ω)1/2 · ‖wmxt‖2H1(Ω) + ‖wmyt‖2

H1(Ω)1/2

≤ C‖wmt ‖H1(Ω) · ‖wmt ‖H2(Ω)

≤ C(Em(0))1/2 · ‖wmt ‖H2(Ω) (1.55)

pois ‖wmt ‖2H1(Ω) ≤ Em(t) ≤ Em(0).

Substituímos (1.55) em (1.54), pelos Lemas 1.5 e 1.2, segue que

Em(t) +

∫ t

0


∫ t

0

‖Umss (s)‖2

L2(Ω) ds ≤ Em(0)

+

∫ t

0

∥∥∥∥C [ ddsσ(Um, wm)

]∥∥∥∥(L2(Ω))4

· ‖g(∇wms )‖(L2(Ω))4ds

+ C1‖C[σ(Um(t), wm(t))]‖(L2(Ω))4 · ‖g(∇wmt (t))‖(L2(Ω))4

+ C1‖C[σ(Um(0), wm(0))]‖(L2(Ω))4 · ‖g(∇wmt (0))‖(L2(Ω))4

≤ Em(0) + C1(Em(0))1/2

∫ t

0

‖σ(Um, wm)s‖(L2(Ω))4 · ‖wms ‖H2(Ω) ds

+ C1(Em(0))1/2‖σ(Um(t), wm(t))‖(L2(Ω))4 · ‖wmt (t)‖H2(Ω)

+ C1(Em(0))1/2‖σ(Um(0), wm(0))‖(L2(Ω))4 · ‖wmt (0)‖H2(Ω)

≤ Em(0) + C1(Em(0))1/2

∫ t

0

‖σ(Um, wm)s‖(L2(Ω))4 · ‖wms ‖H2(Ω) ds

+C2

1Em(0)

2γ‖σ(Um(t), wm(t))‖2

(L2(Ω))4 +γ

2‖wmt (t)‖2

H2(Ω)

+C2

1Em(0)

2γ‖σ(Um(0), wm(0))‖2

(L2(Ω))4 +γ

2‖wmt (0)‖2

H2(Ω)

27

≤ (1 +γ

2)Em(0) + C1(Em(0))1/2

∫ t

0

‖σ(Um, wm)s‖2(L2(Ω))4 + ‖wms ‖2

H2(Ω) ds

+ C2Em(0)2 +γ

2Em(t)

≤ CγEm(0) + CEm(0)2 + C(Em(0))

∫ t

0

Em(s)ds+γ

2Em(t)

Logo, temos que para γ > 0 sucientemente pequeno,

Em(t) ≤ CγEm(0) + CEm(0) + C(Em(0))

∫ t

0

Em(s)ds (1.56)

Aplicando a desigualdade de Gronwall em (1.56), obtemos que

Em(t) ≤ C(Em(0) + Em(0))C(T ), ∀ t ≤ T. (1.57)

Uma vez que Em(0) ≤ C, ou seja, é limitada, para limitarmos Em(t) em (1.57) temos

que limitar o termo Em(0).

Retornamos para a equação original (1.14). Seja ϕ ∈ Vm × Vm.

(Umtt (0), ϕ)(L2(Ω))2 = (Div([Bm

ij (0)]), ϕ)(L2(Ω))2 − (Umt (0), ϕ)(L2(Ω))2

≤ C

2∑

i,j=1

‖(bmij (0))x‖L2(Ω) +2∑

i,j=1

‖(bmij (0))y‖L2(Ω)

· ‖ϕ‖(L2(Ω))2

+ ‖Umt (0)‖(L2(Ω))2 · ‖ϕ‖(L2(Ω))2

≤ Cγ

2∑

i,j=1

‖(bmij (0))x‖2L2(Ω) +

2∑i,j=1

‖(bmij (0))y‖2L2(Ω)

+ Cγ‖Um

t (0)‖2(L2(Ω))2 +

γ

2‖ϕ‖2

(L2(Ω))2

Já sabemos que ‖Umt (0)‖2

(L2(Ω))2 ≤ Em(0) ≤ C. Na desigualdade acima, resta limitar

os termos ‖(bmij (0))y‖L2(Ω) e ‖(bmij (0))x‖L2(Ω), i, j = 1, 2. Como ilustração, vamos fazer os

cálculos da estimativa para ‖(bm11(0))x‖L2(Ω). Pela desigualdade de Holder, como Ki ∈

28

W 1,∞(Ω), i = 1, 2, a imersão H1(Ω) → L4(Ω), temos a seguinte estimativa

‖(bm11(0))x‖L2(Ω) = ‖(u0,m)xx + (w0,m)x (w0,m)xx +K1(w0,m)x +K1,xw0,m‖L2(Ω)

≤ ‖U0,m‖H2(Ω) + ‖(w0,m)x‖L4(Ω)‖(w0,m)xx‖L4(Ω)

+ ‖K1‖L∞(Ω)‖(w0,m)x‖L2(Ω) + ‖K1,x‖L∞(Ω)‖w0,m‖L2(Ω)

≤ C

‖U0,m‖H2(Ω) + ‖(w0,m)x‖H1(Ω)‖(w0,m)xx‖H1(Ω)

+ (‖K1,x‖L∞(Ω) + ‖K1‖L∞(Ω))‖w0,m‖H2(Ω)

≤ C

‖U0,m‖H2(Ω) + ‖w0,m‖H2(Ω)‖w0,m‖H3(Ω)

+ (‖K1,x‖L∞(Ω) + ‖K1‖L∞(Ω))‖w0,m‖H2(Ω)

≤ C

onde C é uma constante positiva que independe de m. De fato, pelas condições iniciais

aproximadas (1.17) temos que as U0,m é limitada emH2(Ω)∩H1o (Ω) e w0,m é limitada

em H2o (Ω) ∩H3(Ω). Logo,

(Umtt (0), ϕ)(L2(Ω))2 ≤ Cγ +

γ

2‖ϕ‖(L2(Ω))2 (1.58)

Escolhemos ϕ = Umtt (0) em (1.58), segue que, para γ > 0 pequeno,

‖Umtt (0)‖2

(L2(Ω))2 ≤ C1. (1.59)

Nas equações originais (1.15) e (1.16), seja ϕ ∈ Vm e ξ ∈ Wm.

(wmtt (0), ξ)H1(Ω) + (θmt (0), ϕ)L2(Ω)

= (wmtt (0), ξ)L2(Ω) + (∇wmtt (0),∇ξ)L2(Ω) + (θmt (0), ϕ)L2(Ω)

= −(∆wm(0),∆ξ)L2(Ω) − (∆θm(0), ξ)L2(Ω) + (∆wmt (0), ϕ)L2(Ω)

+ (∆θm(0), ϕ)L2(Ω) + (C[σ(Um(0), wm(0))] · ∇wm(0),∇ξ)(L2(Ω))2

− (K1Bm11(0) +K2B

m22(0), ξ)L2(Ω) (1.60)

Usando a fórmula de Green e a desigualdade de Cauchy-Schwarz e (1.17),

(∆wm(0),∆ξ)L2(Ω) = −(∇(∆w0,m),∇ξ)L2(Ω) ≤ ‖∇(∆w0,m)‖L2(Ω) · ‖∇ξ‖L2(Ω)

≤ 1

γ‖w0,m‖2

H3(Ω) +γ

4‖ξ‖2

H1(Ω) ≤ C +γ

4‖ξ‖2

H1(Ω) (1.61)

29

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, a imersão H2(Ω) → L∞(Ω) e, novamente,

por (1.17), obtemos que

(C[σ(Um(0), wm(0))] · ∇wm(0),∇ξ)(L2(Ω))2

≤ ‖∇ξ‖L2(Ω) · ‖C[σ(Um(0), wm(0))] · ∇wm(0)‖(L2(Ω))

≤ C

( 2∑i,j=1

‖bmij (0)((w0,m)x + (w0,m)y)‖L2(Ω)

)· ‖∇ξ‖L2(Ω)

≤ C(‖(w0,m)x‖L∞(Ω) + ‖(w0,m)y‖L∞(Ω))2∑

i,j=1

‖bmij (0)‖L2(Ω) · ‖∇ξ‖L2(Ω)

≤ C(‖(w0,m)x‖H2(Ω) + ‖(w0,m)y‖H2(Ω))(Em(0))1/2‖∇ξ‖L2(Ω)

≤ C(Em(0))1/2‖w0,m‖H3(Ω)‖∇ξ‖L2(Ω)

≤ Cγ +γ

4‖ξ‖2

H1(Ω) (1.62)

De (1.17) obtemos que

−(∆θm(0), ξ)L2(Ω) ≤ ‖∆θ0,m‖L2(Ω) · ‖ξ‖L2(Ω) ≤ Cγ +γ

4‖ξ‖2

H1(Ω) (1.63)

Usando a denição de Bm11(0),

(K1Bm11(0), ξ)L2(Ω) ≤ ‖K1B

m11(0)‖L2(Ω)‖ξ‖L2(Ω)

≤ C(‖K1bm11(0)‖L2(Ω) + ‖K1b

m22(0)‖L2(Ω))‖ξ‖L2(Ω)

≤ ‖ξ‖L2(Ω)‖K1‖L∞(Ω)(‖bm11(0)‖L2(Ω) + ‖bm22(0)‖L2(Ω))

≤ Cγ +γ

4‖ξ‖2

H1(Ω) (1.64)

pois ja vimos que bmii (0) é limitada em L2(Ω) devido as convergências em (1.17).

Analogamente, pela denição de Bm22(0),

(K2Bm22(0), ξ)L2(Ω) ≤ Cγ +

γ

4‖ξ‖2

H1(Ω) (1.65)

Finalmente, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, devido a (1.17) (pois θ0,m → θo

forte em H2(Ω) ∩H1o (Ω) e w1,m → w1 forte em H2

o (Ω)),

(∆wmt (0), ϕ)L2(Ω) + (∆θm(0), ϕ)L2(Ω) = (∆w1,m, ϕ)L2(Ω) + (∆θ0,m), ϕ)L2(Ω)

≤ ‖∆w1,m‖L2(Ω)‖ϕ‖L2(Ω) + ‖∆θ0,m‖L2(Ω)‖ϕ‖L2(Ω)

≤ Cβ + β‖ϕ‖2L2(Ω) (1.66)

30

Substituímos (1.61)-(1.66) em (1.60), temos

(wmtt (0), ξ)H1(Ω) + (θmt (0), ϕ)L2(Ω) ≤ Cγ,β + γ‖ξ‖2H1(Ω) + β‖ϕ‖2

L2(Ω) (1.67)

Na desigualdade (1.67), escolhemos ξ = wmtt (0) e ϕ = θmt (0),

‖wmtt (0)‖2H1(Ω) + ‖θmt (0)‖2

L2(Ω) ≤ Cγ,β + γ‖wmtt (0)‖2H1(Ω) + β‖θmt (0)‖2

L2(Ω)

Para γ > 0 e β > 0 sucientemente pequenos, segue que

‖wmtt (0)‖2H1(Ω) + ‖θmt (0)‖2

L2(Ω) ≤ C (1.68)

Para limitarmos Em(0), resta ainda limitarmos os termos ‖(bmij (0))t‖L2(Ω), i, j = 1, 2.

Faremos apenas um dos termos, pois os demais são análogos. Usando a desigualdade

Holder e (1.17), temos que

‖(bm11(0))t‖L2(Ω) = ‖(u1,m)x + (w0,m)x(w1,m)x +K1w1,m‖L2(Ω)

≤ ‖U1,m‖H1(Ω) + ‖(w0,m)x‖L4(Ω)‖(w1,m)x‖L4(Ω) + ‖K1‖L∞(Ω)‖w1,m‖L2(Ω)

≤ C‖U1,m‖H1(Ω) + ‖(w0,m)x‖H1(Ω)‖(w1,m)x‖H1(Ω)

+ ‖K1‖L∞(Ω)‖w1,m‖H2(Ω)

≤ C‖U1,m‖H1(Ω) + ‖w0,m‖H2(Ω)‖w1,m‖H2(Ω)

+ ‖K1‖L∞(Ω)‖w1,m‖H2(Ω) ≤ C

Portanto, temos que

‖(bm11(0))t‖L2(Ω) + ‖(bm22(0))t‖L2(Ω) + ‖(bm12(0))t‖L2(Ω) ≤ C (1.69)

Observamos que ∆wmt (0) = ∆w1,m e w1,m → w1 forte em H2(Ω) ∩H1o (Ω), segue que

∆w1,m é limitada em L2(Ω). Disto, de (1.59), (1.68) e (1.69), resulta que

Em(0) ≤ C (1.70)

Agora, substituímos (1.70) em (1.57), obtemos que

Em(t) ≤ C(T ), ∀ t < T. (1.71)

31

Assim, de (1.71), segue que

Umtt é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.72)

wmtt é limitada em L∞(0, T,H1o (Ω)) (1.73)

∆wmt é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.74)

θmt é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.75)

(bm11)t é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.76)



Das limitações (1.25)-(1.32) e (1.72)-(1.78), podemos extrair subsequências, ainda

denotadas da mesma forma, tais que:

Um U fraco− ∗ em L∞(0, T,H1o (Ω)) (1.79)

Umt Ut fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.80)

wm w fraco− ∗ em L∞(0, T,H2o (Ω)) (1.81)

wmt wt fraco− ∗ em L∞(0, T,H1o (Ω)) (1.82)

θm θ fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.83)

θm θ fraco em L2(0, T,H1o (Ω)) (1.84)

bm11 z fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.85)

bm22 ξ fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.86)

bm12 σ fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.87)

Umtt Utt fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.88)

wmtt wtt fraco− ∗ em L∞(0, T,H1o (Ω)) (1.89)

∆wmt ∆wt fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.90)

θmt θt fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.91)

(bm11)t zt fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.92)

(bm22)t ξt fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.93)

(bm12)t σt fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.94)

Com as convergências (1.79)-(1.84), podemos passar limite nos termos lineares de

(1.14)-(1.16). Agora, passaremos limite nos termos não-lineares do sistema aproximado.

De (1.81)e (1.82), usando o Lema de Lions-Aubin, [45], existe uma subsequência (ainda

32

denotada por wm) tal que

wm −→ w forte em L∞(0, T,H2−δ(Ω)), (1.95)

para qualquer δ > 0 e T <∞.

Portanto, da convergência acima, e a imersão de Sobolev Hs(Ω) → L2s (Ω), 0 < s < 1,

então para p ∈ [2,∞),

∇wm −→ ∇w forte em L∞(0, T, Lp(Ω)). (1.96)

Assim, de (1.96),

(wmx )2 −→ (wx)2 forte em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.97)

(wmy )2 −→ (wy)2 forte em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.98)

De (1.79), temos que

umx ux fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.99)

umy uy fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.100)

vmx vx fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.101)

vmy vy fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.102)

Ainda, de (1.95), implica que

K1wm −→ K1w forte em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.103)

K2wm −→ K1w forte em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.104)

Como

bm11 = umx +

1

2(wmx )2 +K1w

m

, de (1.99), (1.103), (1.97), segue que

bm11 b11 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)). (1.105)

Logo, z = b11 em (1.85).

Da mesma forma, como

bm22 = vmy +

1

2(wmy )2 +K2w

m

, de (1.98), (1.102) e (1.104),

segue que

bm22 b22 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)). (1.106)

Logo, ξ = b22 (1.86).

33

Ainda, como bm12 = umy + vmx + wmy wmx , de (1.100), (1.101), (1.96), segue que

bm12 b12 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)). (1.107)

Portanto, σ = b12 em (1.87).

Finalmente, como B11 =2

1− µb11 +

2µ

1− µb22 e B22 =

2

1− µb22 +

2µ

1− µb11,

de (1.105) e (1.106), segue que

Bm11 =

2

1− µbm11 +

2µ

1− µbm22 B11 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.108)

Bm22 =

2

1− µbm22 +

2µ

1− µbm11 B22 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.109)

Por hipótese, K1, K2 ∈ L∞(Ω), de (1.108) e (1.109), segue que

K1Bm11 K1B11 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.110)

K2Bm22 K2B22 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)), (1.111)

o que completa a passagem ao limite dos termos não-lineares em (1.14)- (1.16).

Pelas convergências (1.79)-(1.94), obtemos funções (U,w, θ) tais queUtt −Div([Bij]) + Ut = 0


θt −∆θ −∆wt = 0

(1.112)

com a seguinte regularidade:U ∈ [L∞(0, T ;H1

o (Ω))]2, Ut ∈ [L∞(0, T ;L2(Ω))]2, Utt ∈ [L∞(0, T ;L2(Ω))]2

w ∈ L∞(0, T,H2o (Ω)), wt ∈ L∞(0, T,H2

o (Ω)), wtt ∈ L∞(0, T,H1o (Ω))

θ ∈ L∞(0, T, L2(Ω)) ∩ L2(0, T,H1o (Ω)), θt ∈ L∞(0, T, L2(Ω)) ∩ L2(0, T,H1

o (Ω))

(1.113)

Vamos melhorar a regularidade espacial da solução (U,w, θ) em (1.113). Em (1.112),

temos

Utt(t) = Div([Bij(t)])− Ut(t) = Div(C[ε(U(t))] + C[f(∇w(t))] + C[J(w(t))])− Ut(t)

= Div(C[ε(U(t))]) +Div(C[f(∇w(t))]) +Div(C[J(w(t))])− Ut(t),

ou seja,

Div(C[ε(U(t))]) = Utt(t) + Ut(t)−Div(C[f(∇w(t))])−Div(C[J(w(t))]) (1.114)

34

Como w(t) ∈ H2o (Ω), então Div(C[f(∇w(t))]) ∈ [H−ε(Ω)]2, sendo ε > 0 pequeno,

Div(C[J(w(t))]) ∈ [L2(Ω)]2. Ainda, Utt(t) ∈ [L2(Ω)]2 e Ut(t) ∈ [L2(Ω)]2. Assim,

Utt(t) + Ut(t)−Div(C[f(∇w(t))])−Div(C[J(w(t))]) ∈ [H−ε(Ω)]2.

Portanto, ∀ t ≤ T , temos o seguinte problema de valor de fronteira elíptico para U :Div(C[ε(U(t))]) = G ∈ [H−ε(Ω)]2

U = 0 na ∂Ω

Por argumentos clássicos de regularidade elíptica, segue que

U ∈ L∞(0, T, [H2−ε(Ω)]2). (1.115)

Agora, para a função θ em (1.112), temos a seguinte identidade

∆θ(t) = θt(t)−∆wt(t) ∈ L∞(0, T, L2(Ω))

e, usando regularidade elíptica, obtemos que

θ ∈ L∞(0, T,H2(Ω) ∩H1o (Ω)). (1.116)

Finalmente, para a variável w em (1.112), temos

∆2w(t) = −(I −∆)wtt(t)−∆θ(t) + div([Bij(t)]∇w(t))−K1B11(t)−K2B22(t) = F (t)

Por (1.115), [Bij(t)∇w(t)] ∈ H1−ε(Ω), o que implica que div([Bij(t)]∇w(t)) ∈ H−ε(Ω).

Também, K1B11(t) ∈ L2(Ω), K2B22(t) ∈ L2(Ω) e ∆θ(t) ∈ L2(Ω).

Então, −∆θ(t) + div([Bij(t)]∇w(t))−K1B11(t)−K2B22(t) ∈ H−ε(Ω) → H−1(Ω).

Ainda, wtt(t) ∈ H1o (Ω), então −∆wtt(t) ∈ H−1(Ω). Assim, temos o seguite problema

elíptico : ∆2w(t) = F (t) ∈ H−1(Ω)

w = ∂w∂ν

= 0 sobre ∂Ω

Usando regularidade elíptica,

w ∈ L∞(0, T,H2o (Ω) ∩H3(Ω)). (1.117)

Retornando a (1.115), como melhoramos a regularidade de w, temos que

U ∈ [L∞(0, T,H1o (Ω) ∩H2(Ω))]2. (1.118)

35

Portanto, de (1.116), (1.118) e (1.117), podemos reescrever (1.113), comoU ∈ [L∞(0, T ;H1

o ∩H2(Ω))]2, Ut ∈ [L∞(0, T ;H1o (Ω))]2, Utt ∈ [L∞(0, T ;L2(Ω))]2

w ∈ L∞(0, T,H3(Ω) ∩H2o (Ω)), wt ∈ L∞(0, T,H2

o (Ω)), wtt ∈ L∞(0, T,H1o (Ω))

θ ∈ L∞(0, T,H2(Ω) ∩H1o (Ω))), θt ∈ L∞(0, T,H1

o (Ω))

(1.119)

Teorema 1.2. Considere os dados iniciais nas hipóteses do Teorema 1.1. Então, a

solução global regular (U,w, θ) de (1)-(4), com a regularidade (1.119), é única.

Demonstração: Seja

X =(L∞(0, T, [H2(Ω) ∩H1

o (Ω)]2) ∩W 1,∞(0, T, [H1o (Ω)]2) ∩W 2,∞(0, T, [L2(Ω)]2)

)×(L∞(0, T,H3(Ω) ∩H2

o (Ω)) ∩W 1,∞(0, T,H2o (Ω)) ∩W 2,∞(0, T,H1

o (Ω)))

×(L∞(0, T,H2(Ω) ∩H1

o (Ω)) ∩W 1,∞(0, T,H1o (Ω))

)Sejam U = U1 − U2 =

(u1

v1

)−

(u2

v2

)=

(u

v

), w = w1 − w2 e θ = θ1 − θ2,

onde (U1, w1, θ1) e (U2, w2, θ2) são soluções regulares de (1.112) pertencentes a X com os

mesmos dados iniciais.

Substituindo em (1.112),

U1,tt −Div([B1,ij]) + U1,t = 0

U2,tt −Div([B2,ij]) + U2,t = 0

Subtraímos a segunda equação da primeira nas equações acima, obtemos que

Utt −Div([B1,ij]− [B2,ij]) + Ut = 0

Seja φ = (φ1, φ2)T ∈ [H1o (Ω)]2. Tomando produto interno na equação acima em

[L2(Ω)]2, pelo Lema 1.4 e usando a Fórmula de Green, obtemos(Utt, φ

)(L2(Ω))2

+(Ut, φ

)(L2(Ω))2

+(C[ε(U)], ε(φ)

)(L2(Ω))4

+

(C[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(φ)

)(L2(Ω))4

+ (C[J(w) ], ε(φ))(L2(Ω))4 = 0 (1.120)

Agora, vamos estudar as variáveis w e θ. Substituímos w e θ na segunda e terceira

equações de (1.112), respectivamente. Em seguida, tomamos produto interno, em L2(Ω),

36

das equações resultantes com ξ ∈ H2o (Ω) e η ∈ H1

o (Ω) ∩H2(Ω) e integramos por partes

para obtermos

(wtt, ξ)L2(Ω) + (∆w,∆ξ)L2(Ω) + (∇wtt,∇ξ)L2(Ω) −(∇θ,∇ξ

)L2(Ω)

+ (C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)] · ∇w1 − C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)] · ∇w2,∇ξ)(L2(Ω))2

+(K1(B1

11 −B211), ξ

)L2(Ω)

+(K2(B1

22 −B222), ξ

)L2(Ω)

= 0 (1.121)(θt, η

)L2(Ω)

+(∇θ, η

)L2(Ω)

+ (∇wt,∇η)L2(Ω) = 0 (1.122)

Escolhemos φ = Ut ∈ [H1o (Ω)]2 em (1.120),(

Utt, Ut

)(L2(Ω))2

+∥∥∥Ut∥∥∥2

(L2(Ω))2+(C[ε(U)], ε(Ut)

)(L2(Ω))4

+

(C[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(Ut)

)(L2(Ω))4

+(C[J(w) ], ε(Ut)

)(L2(Ω))4

= 0 (1.123)

Observamos que(C[ε(U)], ε(Ut)

)(L2(Ω))4

=1

2

d

dt

(2‖ux‖2

L2(Ω) + 2‖vy‖2L2(Ω) +

2µ

1− µ‖ux + vy‖2

L2(Ω)

+ ‖uy + vx‖2L2(Ω)

)=

1

2

d

dt|||U |||2

onde

|||U |||2 = 2‖ux‖2L2(Ω) + 2‖vy‖2

L2(Ω) + ‖uy + vx‖2L2(Ω) +

2µ

1− µ‖ux + vy‖2

L2(Ω) (1.124)

Substituindo a identidade acima em (1.123), temos

1

2

d

dt

‖Ut‖2

(L2(Ω))2 + |||U |||2

+∥∥∥Ut∥∥∥2

(L2(Ω))2= −

(C[J(w)], ε(Ut)

)(L2(Ω))4

−(C[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(Ut)

)(L2(Ω))4

. (1.125)

Integrando (1.125) de 0 a t, levando em conta que no tempo inicial os dados para a

diferença são nulos, segue que

1

2‖Ut‖2

(L2(Ω))2 +1

2|||U |||2 +

∫ t

0

‖Us(s)‖2(L2(Ω))2 ds

= −∫ t

o

(C[J(w)], ε(Us)

)(L2(Ω))4

ds−∫ t

o

(C[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(Us)

)(L2(Ω))4

ds

(1.126)

37

Integrando por partes,∫ t

0

(C[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(Us)

)(L2(Ω))4

ds

=

(C[f(∇w1(t))− f(∇w2(t))], ε(Ut(t))

)(L2(Ω))4

−∫ t

0

(d

dsC[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(U)

)(L2(Ω))4

ds (1.127)

pois a matriz ε(U(0)) é a matriz nula.

Substituindo (1.127) em (1.126), obtemos,

1

2‖Ut‖2

(L2(Ω))2 +1

2|||U |||2 +

∫ t

0

‖Us(s)‖2(L2(Ω))2 ds

=

∫ t

0

(d

dsC[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(U)

)(L2(Ω))4

ds−∫ t

o

(C[J(w)], ε(Us)

)(L2(Ω))4

ds

−(C[f(∇w1(t))− f(∇w2(t))], ε(Ut(t))

)(L2(Ω))4

(1.128)

Agora, pelas propriedades de C[·] dadas nos Lemas 1.2 e 1.5, temos que∥∥∥∥C [ ddt(f(∇w1)− f(∇2))

]∥∥∥∥(L2(Ω))4

≤ C1

∥∥∥∥ ddt(f(∇w1)− f(∇w2))

∥∥∥∥(L2(Ω))4

≤ C2

‖w1,xw1,xt − w2,xw2,xt‖L2(Ω) + ‖w1,xw1,yt + w1,xtw1,y − w2,xw2,yt − w2,yw2,xt‖L2(Ω)

+ ‖w1,yw1,yt − w2,yw2,yt‖L2(Ω)

(1.129)

Pela desigualdade de Holder e pelas imersões H2(Ω) → L∞(Ω) e

H1(Ω) → L4(Ω), segue que

‖w1,xw1,xt − w2,xw2,xt‖L2(Ω) ≤ ‖w1,x wxt‖L2(Ω) + ‖wxw2,xt‖L2(Ω)

≤ C1‖w1,x‖L∞(Ω) · ‖wtx‖L2(Ω) + C1‖wx‖L4(Ω) · ‖w2,xt‖L4(Ω)

≤ C2‖w1,x‖H2(Ω) · ‖wt‖H1(Ω) + C2‖wx‖H1(Ω) · ‖w2,tx‖H1(Ω)

≤ C2‖w1‖H3(Ω) · ‖wt‖H1(Ω) + ‖w‖H2(Ω) · ‖w2,t‖H2(Ω) (1.130)

Analogamente, para os demais termos do lado direito de (1.129) usamos o mesmo

raciocínio. Sustituindo (1.130) em (1.129), obtemos que∥∥∥∥C [ ddt(f(∇w1)− f(∇2))

]∥∥∥∥(L2(Ω))4

≤ C3

(‖w1‖H3(Ω) + ‖w2‖H3(Ω)) · ‖wt‖H1(Ω)

+ (‖w1,t‖H2(Ω) + ‖w2,t‖H2(Ω)) · ‖w‖H2(Ω)

(1.131)

38

Pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz, Young e (1.131), segue que∫ t

0

(d

dsC[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(U)

)(L2(Ω))4

ds

≤∫ t

0

∥∥∥∥ ddsC[f(∇w1)− f(∇w2)]

∥∥∥∥(L2(Ω))4

· ‖ε(U)‖(L2(Ω))4ds

≤ C1

∫ t

0

(‖w1‖H3(Ω) + ‖w2‖H3(Ω)) · ‖wt‖H1(Ω)

+ (‖w1,t‖H2(Ω) + ‖w2,t‖H2(Ω)) · ‖w‖H2(Ω)

· ‖U‖(H1(Ω))2ds

≤∫ t

0

‖U‖2

(H1(Ω))2 + maxi=1,2

(‖wi‖2H3(Ω))‖wt‖2

H1(Ω) + maxi=1,2

(‖wi,t‖2H2(Ω))‖w‖2

H2(Ω)

ds

Como wi e wi,t pertencem a X, segue na desigualdade acima que∫ t

0

(d

dsC[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(U)

)(L2(Ω))4

ds

≤ C1

∫ t

0

‖U‖2

(H1(Ω))2 + ‖wt‖2H1(Ω) + ‖w‖2

H2(Ω)

ds (1.132)

Ainda, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, para γ > 0,(C[f(∇w1(t))− f(∇w2(t))], ε(U(t))

)(L2(Ω))4

≤ γ‖U(t)‖2(H1(Ω))2

+1

γ‖f(∇w1)− f(∇w2)‖2

(L2(Ω))4 (1.133)

Agora, f(·) é uma matriz e estamos analisando a soma do módulo das componentes,

pois sua norma no (L2(Ω))4 é soma das normas das componentes no L2(Ω)). Temos que,

conforme [16], se a, b ∈ [0,∞) e s ≥ 0, existem constantes ms e Ms tais que

ms(as + bs) ≤ (a+ b)s ≤Ms(a

s + bs)

Pela desigualdade acima com s = 2 e a desigualdade de Holder,

|w21,x − w2

2,x|2 + |w1,xw1,y − w2,xw2,y|2 + |w21,y − w2

2,y|2

≤ C1

|w2

1,x − w22,x|+ |w1,xw1,y − w2,xw2,y|+ |w2

1,y − w22,y|2

≤ C1

|wx| · (|w1,x|+ |w2,x|) + |wy| · |w1,x|+ |wx| · |w2,y|+ |wy| · (|w1,y|+ |w2,y|)

2

≤ C1

|∇w| ·

(|∇w1(x, t)|+ |∇w2(x, t)|

)2

≤ C2

∣∣∣∣∫ t

0

∇ws(x, s)ds∣∣∣∣2 · |∇w1(x, t)|2 + |∇w2(x, t)|2

≤ CT

(∫ t

0

|∇ws(x, s)|2ds)·|∇w1(x, t)|2 + |∇w2(x, t)|2

39

Então, pela imersão H2(Ω) → L∞(Ω), pela desigualdade acima e como wi ∈ X, segue

que

‖f(∇w1)− f(∇w2)‖2(L2(Ω))4

≤ C1

∫Ω

|w2

1,x − w22,x|2 + |w1,xw1,y − w2,xw2,y|2 + |w2

1,y − w22,y|2

dA

≤ CT

∫Ω

∫ t

0

|∇ws(x, s)|2ds(|∇w1(x, t)|2 + |∇w2(x, t)|2

)dA

≤ CT(sup|∇w1(t)|2 + sup|∇w2(t)|2

) ∫ t

0

∫Ω

|∇ws(x, s)|2dAds

≤ CT (‖∇w1‖2H2(Ω) + ‖∇w2‖2

H2(Ω))

∫ t

0

‖ws(s)‖2H1(Ω)ds

≤ CT (‖w1(t)‖2H3(Ω) + ‖w2(t)‖2

H2(Ω))

∫ t

0


≤ CT

∫ t

0

‖ws(s)‖2H1(Ω)ds (1.134)

Sustituindo (1.134) em (1.133), obtemos que(C[f(∇w1(t))− f(∇w2(t))], ε(U(t))

)(L2(Ω))4

≤ γ‖U(t)‖2(H1(Ω))2

+ Cγ,T

∫ t

0

‖ws(s)‖2H1(Ω)ds (1.135)

Agora, integrando por partes e como w ∈ H2o (Ω),∫ t

0

(C[J(w)], ε(Us))(L2(Ω))4ds =

∫ t

0

2

1− µ(K1w, usx)L2(Ω) +

2µ

1− µ(K2w, usx)L2(Ω)

+2

1− µ(K2w, vsy)L2(Ω) +

2µ

1− µ(K1w, vsy)L2(Ω)

ds

= −∫ t

0

2

1− µ((K1w)x, us)L2(Ω)

2µ

1− µ((K2w)x, us)L2(Ω)

+2

1− µ((K2w)y, vs)L2(Ω) +

2µ

1− µ((K1w)y, vs)L2(Ω)

ds

≤ C1

∫ t

0

‖us‖L2(Ω) · (‖(K1w)x‖L2(Ω) + ‖(K2w)x‖L2(Ω))

+ ‖vs‖L2(Ω) · (‖(K1w)y‖L2(Ω) + ‖(K2w)y‖L2(Ω))ds

≤ C1

∫ t

0

‖Us‖2L2(Ω)ds+ C1

∫ t

0

‖(Kiw)xj‖2L2(Ω)

40

Como Ki ∈ W 1,∞, segue que

‖(Kiw)xj‖2L2(Ω) ≤ C1‖(Ki)xj w‖2

L2(Ω) + C1‖Kiwxj‖2L2(Ω)

≤ C2(‖Ki‖2L∞(Ω) + ‖(Ki)xj‖2

L∞(Ω)) · ‖w‖2H2(Ω)

Portanto,∫ t

0

(C[J(w)], ε(Us))(L2(Ω))4ds ≤ C1

∫ t

0


∫ t

0

‖w‖2H2(Ω)ds (1.136)

Substituindo (1.132), (1.135), (1.136) em (1.128), obtemos

1

2‖Ut‖2

(L2(Ω))2 +1

2|||U |||2 +

∫ t

0

‖Us(s)‖2(L2(Ω))2 ds

≤ γ‖U(t)‖2(H1(Ω))2 + C1

∫ t

0

‖U(s)‖2(H1(Ω))2ds

+ C1

∫ t

0

‖ws(s)‖2H1(Ω)ds+ C1

∫ t

0


∫ t

0

‖w‖2H2(Ω)ds (1.137)

Agora, usando a desigualdade de Korn, temos que

‖U‖2(H1(Ω))2 ≤ C|||U |||2

Portanto, pela desigualdade acima, para γ sucientemente pequeno em (1.137), segue

que

‖Ut‖2(L2(Ω))2 + ‖U‖2

(H1(Ω))2 ≤ C1

∫ t

0


∫ t

0


+C1

∫ t

0

‖U(s)‖2(H1(Ω))2ds+ C1

∫ t

0

‖w‖2H2(Ω)ds. (1.138)

Escolhemos ξ = wt na equação (1.121) e η = θ na equação (1.122) e somamos ambas

para obtermos

1

2

d

dt

‖wt‖2

L2(Ω) + ‖w‖2H2(Ω) + ‖∇wt‖2

L2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω)

+ ‖∇θ‖2

L2(Ω)

= −(K1(B111 −B2

11), wt)L2(Ω) − (K2(B122 −B2

22), wt)L2(Ω)

−(C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)] · ∇w1 − C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)] · ∇w2,∇wt

)(L2(Ω))2

(1.139)

41

Integrando a equação acima de 0 a t, obtemos

1

2

‖wt‖2

L2(Ω) + ‖w‖2H2(Ω) + ‖∇wt‖2

L2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω)

+

∫ t

0

‖∇θ(s)‖2L2(Ω)ds

≤∫ t

0

|(K1(B111 −B2

11), ws)L2(Ω)|ds+

∫ t

0

|(K2(B122 −B2

22), ws)L2(Ω)|ds

+

∫ t

0

∣∣(C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)] · ∇w1,∇ws)

(L2(Ω))2

−(C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)] · ∇w2,∇ws

)(L2(Ω))2

∣∣ds (1.140)

Vamos estimar os termos do lado direito de (1.140). Primeiro, notemos que

C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)] · ∇w1 − C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)] · ∇w2

= C[ε(U1)] · ∇w1 − C[ε(U2)] · ∇w2

+ C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w2)] · ∇w2 + C[J(w1)] · ∇w1 − C[J(w2)] · ∇w2

= (C[ε(U1)]− C[ε(U2)]) · ∇w1 + C[ε(U2)] · ∇(w1 − w2)

+ C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w2)] · ∇w2

+ C[J(w1)] · ∇(w1 − w2) + (C[J(w1)]− C[J(w2)]) · ∇w2 (1.141)

Então,

‖C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)] · ∇w1 − C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)] · ∇w2‖(L2(Ω))2

≤ ‖(C[ε(U1)]− C[ε(U2)]) · ∇w1‖(L2(Ω))2 + ‖C[ε(U2)] · ∇(w1 − w2)‖(L2(Ω))2

+ ‖C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w2)] · ∇w2‖(L2(Ω))2

+ ‖C[J(w1)] · ∇(w1 − w2)‖(L2(Ω))2 + ‖(C[J(w1)]− C[J(w2)]) · ∇w2‖(L2(Ω))2

(1.142)

Vamos estimar os termos do lado direito de (1.142). Como w1(t) ∈ H3(Ω), segue que

42

(w1)xi ∈ H2(Ω) → L∞(Ω), então

‖(C[ε(U1)]− C[ε(U2)]) · ∇w1‖(L2(Ω))2

=

∥∥∥∥ 2

1− µuxw1,x +

2µ

1− µvy w1,x + (uy + vx)w1,y

∥∥∥∥L2(Ω)

+

∥∥∥∥ 2

1− µvy w1,y +

2µ

1− µuxw1,y + (uy + vx)w1,x

∥∥∥∥L2(Ω)

≤ C1

2∑i,j=1

(‖uxiw1,xj‖L2(Ω) + ‖vxiw1,xj‖L2(Ω))

≤ C1

2∑i,j=1

‖w1,xj‖L∞(Ω) · (‖uxi‖L2(Ω) + ‖vxi‖L2(Ω))

≤ C2

2∑i,j=1

‖w1,xj‖H2(Ω) · (‖uxi‖L2(Ω) + ‖vxi‖L2(Ω))

Ou seja, da estimativa acima, concluímos que

‖(C[ε(U1)]− C[ε(U2)]) · ∇w1‖(L2(Ω))2 ≤ C2‖w1‖H3(Ω) · ‖U‖(H1(Ω))2 (1.143)

Para o segundo termo do lado direito (1.142). Usando desigualdade de Holder e a

imersão H1(Ω) → L4(Ω), otbemos

‖C[ε(U2)] · ∇(w1 − w2)‖(L2(Ω))2 = ‖C[ε(U2)] · ∇(w)‖(L2(Ω))2

≤ C1

2∑i,j=1

(‖u2,xiwxj‖L2(Ω) + ‖v2,xiwxj‖L2(Ω)

)

≤ C1

2∑i,j=1

(‖u2,xi‖L4(Ω) + ‖v2,xi‖L4(Ω)

)‖wxj‖L4(Ω)

≤ C2

2∑i,j=1

(‖u2,xi‖H1(Ω) + ‖v2,xi‖H1(Ω)

)‖wxj‖H1(Ω)

≤ C3‖U2‖(H2(Ω))2 · ‖w‖H2(Ω).

Ou seja,

‖C[ε(U2)] · ∇(w1 − w2)‖(L2(Ω))2 ≤ C3‖U2‖(H2(Ω))2 · ‖w‖H2(Ω) (1.144)

Armamos que a desigualdade

‖C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w2)] · ∇w2‖(L2(Ω))2 ≤ C1

(‖w1‖2

H3(Ω) + ‖w2‖2H3(Ω)

)· ‖w‖H2(Ω)

(1.145)

43

é válida. De fato, pelas denições de f e C[·], segue que

‖C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w2)] · ∇w2‖(L2(Ω))2

=

∥∥∥∥ 1

1− µ(w2

1,xw1,x − w22,xw2,x) +

µ

1− µ(w2

1,yw1,x − w22,yw2,x) + w2

1,yw1,x − w22,yw2,x

∥∥∥∥L2(Ω)

+

∥∥∥∥ 1

1− µ(w2

1,yw1,y − w22,yw2,y) +

µ

1− µ(w2

1,xw1,y − w22,xw2,y) + w2

1,xw1,y − w22,xw2,y

∥∥∥∥L2(Ω)

(1.146)

Usando a imersão H2(Ω) → L∞(Ω), segue que

‖w21,xw1,x − w2

2,xw2,x‖L2(Ω) ≤ ‖wx(w1,x + w2,x)w1,x‖L2(Ω) + ‖w22,xwx‖L2(Ω)

≤ (‖w1,x‖L∞ + ‖w2,x‖L∞)‖w1,x‖L∞‖wx‖L2(Ω)

+ ‖w2,x‖2L∞‖wx‖L2(Ω)

≤ C1(‖w1,x‖2H2(Ω) + ‖w2,x‖2

H2(Ω))‖wx‖L2

≤ C1(‖w1‖2H3(Ω) + ‖w2‖2

H3(Ω))‖w‖H2(Ω)

Usando a desigualdade triangular e estimando os demais termos do lado direito de (1.146)

como na estimativa acima, obtemos (1.145).

Agora, novamente, como Ki ∈ L∞(Ω) a imersão H2(Ω) → L∞(Ω),

‖C[J(w1)] · ∇(w1 − w2)‖(L2(Ω))2 =

∥∥∥∥ 2

1− µK1w1wx +

2µ

1− µK2w1wx

∥∥∥∥L2(Ω)

+

∥∥∥∥ 2

1− µK2w1wy +

2µ

1− µK1w1wy

∥∥∥∥L2(Ω)

≤ C1

2∑i,j=1

‖Kiw1wxj‖L2(Ω)

≤ C2

2∑i,j=1

‖Ki‖L∞(Ω)‖w1‖L∞(Ω)‖wxj‖L2(Ω)

≤ C2(‖Ki‖L∞(Ω))‖w1‖H3(Ω)‖w‖H2(Ω) (1.147)

44

Finalmente,

‖(C[J(w1)]− C[J(w2)]) · ∇w2‖(L2(Ω))2 =

∥∥∥∥( 2

1− µK1w +

2µ

1− µK2w

)w2,x

∥∥∥∥L2(Ω)

+

∥∥∥∥( 2

1− µK2w +

2µ

1− µK1w

)w2,y

∥∥∥∥L2(Ω)

≤ C1

2∑i,j=1

‖Kiw1ww2,xj‖L2(Ω)

≤ C2(‖Ki‖L∞(Ω))‖w2‖H3(Ω)‖w‖H2(Ω) (1.148)

Substituindo (1.143), (1.144), (1.145), (1.147) e(1.148) em (1.142), obtemos que


≤ C1(K1, K2)(‖U1‖(H2(Ω))2 + ‖U2‖(H2(Ω))2 + ‖w1‖H3(Ω)

+ ‖w2‖H3(Ω) + ‖w1‖2H3(Ω) + ‖w2‖2

H3(Ω)

) (‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)

)Como Ui e wi são pertencem a X, segue na desigualdade acima que


≤ C2(K1, K2)(‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)

)(1.149)

Agora, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos que∣∣∣(K1(B111 −B2

11), wt)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ ‖K1(B111 −B2

11)‖L2(Ω) · ‖wt‖L2(Ω) (1.150)

Observamos que, pela denição de B11,

‖K1(B111 −B2

11)‖L2(Ω) ≤ C1

‖K1ux‖L2(Ω) + ‖K1wx(w1,x + w2,x)‖L2(Ω) + ‖K2

1 w‖L2(Ω)

+ ‖K1vy‖L2(Ω) + ‖K1wy(w1,y + w2,y)‖L2(Ω) + ‖K1K2w‖L2(Ω)

≤ C2(K1, K2)

(‖w1‖H3(Ω) + ‖w2‖H3(Ω)

) (‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)

)≤ C3(K1, K2)

(‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)

)(1.151)

Substituindo (1.151) em (1.150), segue que∣∣∣(K1(B111 −B2

11), wt)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ C3(K1, K2)(‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)

)· ‖wt‖L2(Ω) (1.152)

Analogamente,∣∣∣(K2(B111 −B2

11), wt)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ C3(K1, K2)(‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)

)· ‖wt‖L2(Ω) (1.153)

45

Substituindo (1.149), (1.152), (1.153) em (1.140), obtemos

1

2

‖wt‖2

L2(Ω) + ‖w‖2H2(Ω) + ‖∇wt‖2

L2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω)

+

∫ t

0

‖∇θ(s)‖2L2(Ω)ds

≤ C2(K1, K2)

∫ t

0

(‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)

)‖∇ws‖L2(Ω)ds

+ C3(K1, K2)

∫ t

0

(‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)

)· ‖ws‖L2(Ω)ds

Pela desigualdade de Young,

1

2

‖wt‖2

L2(Ω) + ‖w‖2H2(Ω) + ‖∇wt‖2

L2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω)

≤ C4(K1, K2)

∫ t

0

(‖U‖2

(H1(Ω))2 + ‖w‖2H2(Ω) + ‖∇ws‖2

L2(Ω) + ‖ws‖2L2(Ω)

)ds (1.154)

Das desigualdades (1.138) e (1.154) segue que

‖Ut‖2(L2(Ω))2 + ‖U‖2

(H1(Ω))2 + ‖wt‖2L2(Ω) + ‖w‖2

H2(Ω) + ‖∇wt‖2L2(Ω) + ‖θ‖2

L2(Ω)

≤ C5(K1, K2)

∫ t

0

‖Us‖2

L2(Ω) + ‖ws‖2H1(Ω) + ‖U‖2

(H1(Ω))2 + ‖w‖2H2(Ω) + ‖θ‖2

L2(Ω)

ds

(1.155)

Aplicando a desigualdade de Gronwall em (1.155), obtemos

U = 0, w = 0, θ = 0,

o que implica que U1 = U2, w1 = w2 e θ1 = θ2, o que completa a demonstração da

unicidade de soluções regulares.

1.3 Dependência Contínua dos Dados Iniciais

Teorema 1.3. A solução global regular do sistema Marguerre-Vlasov com efeitos térmi-

cos (1)-(4) depende continuamente dos dados iniciais.

Demonstração: Sejam os dados iniciais

(U0, U1) ∈ [H2(Ω) ∩H1

o (Ω)]2 × [H1o (Ω)]2

(w0, w1) ∈ (H3(Ω) ∩H2o (Ω))×H2

o (Ω)

θ0 ∈ H2(Ω) ∩H1o (Ω)

e

(U0, U1) ∈ [H2(Ω) ∩H1

o (Ω)]2 × [H1o (Ω)]2

(w0, w1) ∈ (H3(Ω) ∩H2o (Ω))×H2

o (Ω)

θ0 ∈ H2(Ω) ∩H1o (Ω)

e denimos (U,w, θ) e (U , w, θ) as soluções

globais regulares do sistema (1) com os dados iniciais acima, respectivamente.

46

Seja U = U − U , w = w − w e θ = θ − θ. Seguindo o roteiro apartir de (1.125) (mas

agora para os sistemas em U e U),

1

2

d

dt

‖Ut‖2

(L2(Ω))2 + |||U |||2

+∥∥∥Ut∥∥∥2

(L2(Ω))2= −

(C[J(w)], ε(Ut)

)(L2(Ω))4

−(C[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(Ut)

)(L2(Ω))4

. (1.156)

Integramos a identidade acima de 0 a t,

1

2‖Ut‖2

(L2(Ω))2 +1

2|||U |||2 +

∫ t

0

∥∥∥Us∥∥∥2

(L2(Ω))2ds =

1

2‖U1 − U1‖2

(L2(Ω))2 +1

2|||U0 − U0|||2

−∫ t

0

(C[J(w) ], ε(Us)

)(L2(Ω))4

ds−∫ t

0

(C[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(Us)

)(L2(Ω))4

ds.

(1.157)

Pela desigualdade de Korn,

‖Ut‖2(L2(Ω))2 + ‖U‖2

(H1(Ω)2) ≤ C1

‖U1 − U1‖2

(L2(Ω))2 + ‖U0 − U0‖2(H1(Ω))2

−∫ t

0

(C[J(w) ], ε(Us)

)(L2(Ω))4

ds−∫ t

0

(C[f(∇w)− f(∇w)], ε(Us)

)(L2(Ω))4

ds

.

(1.158)

Integrando por partes (como feito em (1.127)),∫ t

0

(C[f(∇w)− f(∇w)], ε(Us)

)(L2(Ω))4

ds =

(C[f(∇w(t))− f(∇w(t))], ε(U(t))

)(L2(Ω))4

−(C[f(∇wo)− f(∇wo)], ε(Uo − Uo)

)(L2(Ω))4

−∫ t

0

(d

dsC[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(U)

)(L2(Ω))4

(1.159)

47

Substituindo (1.159) em (1.158), pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos

‖Ut‖2(L2(Ω))2 + ‖U‖2

(H1(Ω)2) ≤ C1

‖U1 − U1‖2

(L2(Ω))2 + ‖U0 − U0‖2(H1(Ω))2

+ ‖C[f(∇w(t))− f(∇w(t))]‖L2 · ‖ε(U(t))‖L2

+ ‖C[f(∇w0)− f(∇w0)]‖L2 · ‖ε(U0 − U0)‖L2

+

∫ t

0

∥∥∥∥ ddsC[f(∇w(s))− f(∇w(s))]

∥∥∥∥L2

· ‖ε(U(s))‖L2ds

+

∣∣∣∣∫ t

0

(C[J(w) ], ε(Us)

)(L2(Ω))4

ds

∣∣∣∣≤ C2

‖U1 − U1‖2

(L2(Ω))2 + ‖U0 − U0‖2(H1(Ω))2 +

1

2γ‖f(∇w(t))− f(∇w(t))‖2

L2

+γ

2‖U(t)‖2

(H1(Ω))2 + ‖f(∇w0)− f(∇w0)‖2L2 +

∫ t

0

‖U(s)‖2(H1(Ω))2ds

+

∫ t

0

∥∥∥∥ ddsC[f(∇w(s))− f(∇w(s))]

∥∥∥∥2

L2

ds+

∣∣∣∣∫ t

0

(C[J(w)], ε(Us)

)(L2(Ω))4

ds

∣∣∣∣ (1.160)

Observe que

‖f(∇w0)− f(∇w0)‖L2 ≤ C1‖w0‖H2(Ω)

(‖w0‖H3(Ω) + ‖w0‖H3(Ω)

)(1.161)

Usando (1.134), como (w, w) ∈ [L∞(0, T,H3(Ω) ∩H2o (Ω))]2 e

(wt, wt) ∈ [L∞(0, T,H2o (Ω))]2, obtemos que

‖C[f(∇w(t))− f(∇w(t))]‖2L2 ≤ C(T )

∫ t

0

‖ws‖2H1(Ω)ds (1.162)

Usando (1.131), obtemos∥∥∥∥ ddtC[f(∇w(t))− f(∇w(t))]

∥∥∥∥L2

≤ C1

(‖w(t)‖H3(Ω) + ‖w(t)‖H3(Ω))‖wt‖H1(Ω)

+ (‖wt(t)‖H2(Ω) + ‖wt(t)‖H2(Ω))‖w‖H2(Ω)

≤ C(T )

‖wt‖H1(Ω) + ‖w‖H2(Ω)

(1.163)

De (1.136) e substituindo (1.161), (1.162) e (1.163) em (1.160), para γ > 0 sucien-

temente pequeno, segue que

‖Ut‖2(L2(Ω))2 + ‖U‖2

(H1(Ω)2) ≤ C1

‖U1 − U1‖2

(L2(Ω))2 + ‖U0 − U0‖2(H1(Ω))2

+ ‖w0 − w0‖2H2(Ω)(‖w0‖2

H3(Ω) + ‖w0‖2H3(Ω))

+ C(T )

∫ t

0

‖ws‖2

H1(Ω) + ‖Us‖2L2(Ω) + ‖U‖2

H1(Ω) + ‖w‖2H2(Ω)

ds (1.164)

48

Por outro lado, seguindo o roteiro apartir de (1.140), segue que

‖wt‖2H1(Ω) + ‖w‖2

H2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω) ≤ C1

‖w1 − w1‖2

H1(Ω)

+ ‖w0 − w0‖2H2(Ω) + ‖θ0 − θ0‖2

L2(Ω)

+

∫ t

0

∣∣(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)] · ∇w − C[ε(U) + f(∇w) + J(w)] · ∇w,∇wt)

(L2(Ω))2

∣∣ds+

∫ t

0

|(K1(B11 − B11), ws)L2(Ω)|ds+

∫ t

0

|(K2(B22 − B22), ws)L2(Ω)|ds (1.165)

Estimando o lado esquerdo de (1.165), como feito em (1.142)- (1.153), segue que

‖wt‖2H1(Ω) + ‖w‖2

H2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω) ≤ C1

‖w1 − w1‖2

H1(Ω)+

+ ‖w0 − w0‖2H2(Ω) + ‖θ0 − θ0‖2

L2(Ω)

+ C(T )

∫ t

0

‖U‖2

H1(Ω) + ‖ws‖2H1(Ω) + ‖w‖2

H2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω)

ds (1.166)

Somando (1.164) e (1.166), segue

‖Ut‖2(L2(Ω))2 + ‖U‖2

(H1(Ω)2) + ‖wt‖2H1(Ω) + ‖w‖2

H2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω)

≤ C2

‖U1 − U1‖2

(L2(Ω))2 + ‖U0 − U0‖2(H1(Ω))2 + ‖w1 − w1‖2

H1(Ω)

+ ‖w0 − w0‖2H2(Ω) + ‖θ0 − θ0‖2

L2(Ω)

+ C(T )

∫ t

0

‖U‖2

H1(Ω) + ‖Us‖2L2(Ω) + ‖ws‖2

H1(Ω) + ‖w‖2H2(Ω) + ‖θ‖2

L2(Ω)

ds

≤M0 + C(T )

∫ t

0

‖U‖2

H1(Ω) + ‖Us‖2L2(Ω) + ‖ws‖2

H1(Ω) + ‖w‖2H2(Ω) + ‖θ‖2

L2(Ω)

ds

(1.167)

onde M0 = ‖U1 − U1‖2(L2(Ω))2 + ‖U0 − U0‖2

(H1(Ω))2 + ‖w1 − w1‖2H1(Ω) + ‖w0 − w0‖2

H2(Ω) +

‖θ0 − θ0‖2L2(Ω)

.

Aplicamos a desigualdade de Gronwall em (1.167) e obtemos que

‖Ut‖2(L2(Ω))2 + ‖U‖2

(H1(Ω)2) + ‖wt‖2H1(Ω) + ‖w‖2

H2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω) ≤ C(T )M0.

e esta estimativa nos fornece a dependência contínua das soluções regulares em relação

aos dados iniciais.

49

Capítulo 2

O Sistema de Marguerre-Vlasov para

Cascas Rasas sob Efeitos Térmicos:

Soluções Globais Fracas

2.1 Introdução

Neste capítulo, provaremos a existência e unicidade de solução global fraca do sistema

Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos (1)-(4). A existência de solução global fraca será

obtida aproximando os dados iniciais por funções mais regulares (isto é, dados iniciais com

a regularidade do Teorema 1.1) e usando o Teorema 1.1 e argumentos de compacidade.

Um ponto crítico e delicado é mostrar a unicidade de solução fraca, pois as técnicas

clássicas não se aplicam. Isto está relacionado com o fato que os termos não-lineares

não são limitados no espaço energia, uma vez que faltam imersões de Sobolev adequadas

no caso bidimensional (H1(Ω) * L∞(Ω)). Assim, para demonstrarmos a unicidade de

solução fraca, usamos o método aplicado em [23] por I. Lasiecka. O método em [23] é

baseado na adaptação das técnicas de V.I. Sedenko [44]. A principal ideia deste método

é considerar o problema num nível de energia mais baixo e provar a unicidade para este

nível. A energia neste nível mais baixo dependerá de um parâmetro grande N destinado

a ir para o innito. Este parâmetro N serve para compensar a falta de imersão de H1(Ω)

em L∞(Ω) no caso bidimensional. O parâmetro N é baseado em estimativas derivadas

de operadores de projeção em espaços de dimensão nita. A mesma técnica também foi

aplicada em [3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 14, 22].

Como ponto de partida para obtermos a unicidade de soluções fracas do sistema (1),

50

introduziremos alguns operadores e espaços de Hilbert especiais, para os quais escrever-

emos o sistema (1) como um sistema de equações diferenciais abstrato.

Como em [1, 2], seja o operador linear

A : D(A) ⊂ L2(Ω) −→ L2(Ω)

Aw = ∆2w (2.1)

onde D(A) = H2o (Ω) ∩H4(Ω). Temos que A é positivo denido e auto-adjunto e, conse-

quentemente, conforme [15], temos as seguintes caracterizações

D(A1/2) = H2o (Ω)

D(A1/4) = H1o (Ω).

Usando a fórmula de Green, se w, w ∈ D(A1/2),

〈Aw, w〉H−2(Ω)×H2o (Ω) =

(A1/2w,A1/2w

)L2(Ω)

(2.2)

Além disso, conforme [6], sabemos que o operador biharmônico A com condições de

fronteira de Dirichlet é um isomorsmo de Hs(Ω)∩H2o (Ω) em Hs−4(Ω) para s ≥ 2, então

temos G = A−1 : Hs(Ω)→ Hs+4(Ω) ∩H2o (Ω), s ≥ −2. Ainda, a norma em Hs

o(Ω) pode

ser denida pela fórmula

‖ · ‖Hs(Ω) =∥∥(A)s/4·

∥∥L2(Ω)

, −2 ≤ s ≤ 2, s 6= ±1

2,±3

2. (2.3)

Considere o operador linear

−∆ : D(−∆) = H2(Ω) ∩H1o (Ω) ⊂ L2(Ω) −→ L2(Ω) (2.4)

O operador −∆ com condições de fronteira de Dirichlet é positivo denido, auto-adjunto

e, conforme [15], D((−∆)1/2) = H1o (Ω).

Introduzimos o operador linear

M : H1o (Ω)→ H−1(Ω)

Mz = (I −∆)z (2.5)

Temos que M ∈ L(H1o (Ω), H−1(Ω)) e para w1, w2 ∈ H1

o (Ω)

〈Mw1, w2〉H−1(Ω)×H1o (Ω) = (w1, w2)H1

o (Ω) = (w1, w2)L2(Ω) + (∇w1,∇w2)L2(Ω) (2.6)

A H1o -elipticidade de M e Teorema de Lax-Milgran garantem que M é invertível com

inversa limitada, isto é, M−1 ∈ L(H−1(Ω), H1o (Ω)).

51

Ainda, como um operador M : H1o (Ω)∩H2(Ω) ⊂ L2(Ω)→ L2(Ω) é positivo denido,

auto-adjunto e sua raiz quadrada, denotada porM1/2, está bem denida com D(M1/2) =

H1o (Ω). Segue da Teoria de Interpolação de [[27], página (10)] e (2.6) que

‖M1/2w‖2L2(Ω) = ‖w‖2

L2(Ω) + ‖∇w‖2L2(Ω) = ‖w‖2

H1o (Ω), ∀w ∈ H1

o (Ω) (2.7)


Ao :D(Ao) ⊂ [L2(Ω)]2 −→ [L2(Ω)]2

AoU = −Div(C[ε(U)]) (2.8)

onde D(Ao) = [H1o (Ω)∩H2(Ω)]2, C[·] está denido em (1.4) e ε(·) está denido em (1.1).

Lema 2.1. O operador Ao denido em (2.8) é invertível, auto-adjunto e positivo denido.

Demonstração: O operador Ao é sobrejetivo. Seja F ∈ [L2(Ω)]2. Devemos mostrar que

existe U ∈ D(Ao) tal que AoU = F em Ω,

U = 0 na ∂Ω.

Denimos a forma

a : [H1o (Ω)]2 × [H1

o (Ω)]2 → R,

a(U,W ) = (C[ε(U)], ε(W ))(L2(Ω))4 .

Pelo Lema 1.3, a(·, ·) é bilinear. Ainda, a(·, ·) é coerciva. De fato, seja U = (u, v) ∈[H1

o (Ω)]2, pela desigualdade de Korn,

a(U,U) = (C[ε(U)], ε(U))(L2(Ω))4 =2

1− µ‖ux‖2

L2(Ω) +2µ

1− µ(ux, vy)L2(Ω)

+ ‖uy + vx‖2L2(Ω) +

2

1− µ‖vy‖2

L2(Ω) +2µ

1− µ(ux, vy)L2(Ω)

= 2‖ux‖2L2(Ω) + 2‖vy‖2

L2(Ω) + ‖uy + vx‖2L2(Ω) +

2µ

1− µ‖ux + vy‖2

L2(Ω)

≥ C1‖U‖2(H1

o (Ω))2

Também, a(·, ·) é contínua. De fato, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,

|a(U,W )| = |(C[ε(U)], ε(W ))(L2(Ω))4| ≤ C1‖U‖[H1o (Ω)]2 · ‖W‖[H1

o (Ω)]2 .

52

Denimos o funcional T : [H1o (Ω)]2 → R, por T (φ) = (F, φ)(L2(Ω))2 . Claramente, T é

linear e contínuo. Pelo Teorema de Lax-Milgram, existe um único U ∈ [H1o (Ω)]2 tal que

a(U, φ) = T (φ), ∀φ ∈ [H1o (Ω)]2. Logo, temos

−Div(C[ε(U)]) = F em [D′(Ω)]2.

Como F ∈ [L2(Ω)]2, usando regularidade elíptica (veja Lema 1.6), U ∈ [H1o (Ω)∩H2(Ω)]2

e segue que

‖U‖[H1o (Ω)∩H2(Ω)]2 ≤ C1‖F‖[L2(Ω)]2 (2.9)

O operador Ao é injetivo. De fato, seja U ∈ D(Ao) tal que AoU = 0. Por (2.9) com

F = 0 segue que U = 0.

Seja U ∈ D(Ao). Seja W ∈ D(Ao), integrando por partes e pelo Lema 1.3

(AoU,W )(L2(Ω))2 = (−Div(C[ε(U)]),W )(L2(Ω))2 = (C[ε(U)], ε(W ))(L2(Ω))4

= (ε(U), C[ε(W )])(L2(Ω))4 = (U,−Div(C[ε(W )]))(L2(Ω))2

= (U,AoW )(L2(Ω))2 ,

ou seja, o operador Ao é simétrico. Como Ao possui inversa, por (2.9), temos que A−1o

é contínuo e, assim, λo = 0 pertence ao resolvente de Ao. Logo, por [[13], Teor.1.9, pag

137], segue que Ao é auto-adjunto. Finalmente, seja U ∈ D(Ao), integrando por partes

e pela desigualdade de Korn, obtemos que

(AoU,U)(L2(Ω))2 = (−Div(C[ε(U)]), U)(L2(Ω))2 = (C[ε(U)], ε(U))(L2(Ω))4 > 0.

Logo, Ao é positivo denido.

Seja H1 = [H1o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 com produto interno denido por((U

V

),

(U1

V1

))H1

=(A1/2o U,A1/2

o U1

)(L2(Ω))2

+ (V, V1)(L2(Ω))2

= (C[ε(U)], ε(U1))(L2(Ω))4 + (V, V1)(L2(Ω))2 (2.10)


A1 : D(A1) ⊂ H1 → H1

A1

(U

Y

)=

(Y

−AoU − Y

)(2.11)

onde D(A1) = [H1o (Ω) ∩H2(Ω)]2 × [H1

o (Ω)]2, U =

(u1

u2

)e Y =

(y1

y2

).

53

Lema 2.2. O operador A1 denido em (2.11) gera um semigrupo de classe Co em H1.

Demonstração: Etapa 1. A1 é dissipativo. Sejam U e Y pertencentes ao D(A1).

Integrando por partes,(A1

(U

Y

),

(U

Y

))H1

=

((Y

−AoU − Y

),

(U

Y

))H1

= (C[ε(U)], ε(Y ))(L2(Ω))4 + (−AoU, Y )(L2(Ω))2 − ‖Y ‖2(L2(Ω))2

= (C[ε(U)], ε(Y ))(L2(Ω))4 + (Div(C[ε(U)]), Y )(L2(Ω))2 − ‖Y ‖2(L2(Ω))2

= (C[ε(U)], ε(Y ))(L2(Ω))4 − (C[ε(U)], ε(Y ))(L2(Ω))4 − ‖Y ‖2(L2(Ω))2

= −‖Y ‖2(L2(Ω))2 ≤ 0 (2.12)

Etapa 2. A1 é maximal.

Vamos mostrar que para qualquer F =

(f

g

)∈ H1 = [H1

o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2, existe

U =

(U

Y

)∈ D(A1) tal que

A1U = F (2.13)

A igualdade (2.13) é equivalente aY = f

−AoU − Y = g

que é equivalente a Y = f ∈ [H1o (Ω)]2

−AoU = f + g ∈ [L2(Ω)]2

Ou seja, temos o seguinte problema,Div(C[ε(U)]) = f + g ∈ [L2(Ω)]2

U = 0 na ∂Ω(2.14)

Seguindo as ideias do Lema 2.1, pelo Teorema de Lax-Milgram, existe um único U ∈[H1

o (Ω)]2 solução do problema (2.14). Usando regularidade elíptica, U ∈ [H1o (Ω) ∩

H2(Ω)]2. Logo, obtemos a solução U de (2.13).

Logo, pelo Teorema de Lumer-Phillips, [30], segue que A1 gera um semigrupo de

classe Co de contrações em H1.

54

Observação 2.1. O operador

A−11 : H1 → D(A1)

A−11

(f

g

)=

(−A−1

o (f + g)

f

)(2.15)

está bem denido. De fato, ele é injetivo devido ao Lema 2.1 (Ao é injetivo) e sobrejetivo

por (2.13).

Seja H2 = H2o (Ω)×H1

o (Ω)× L2(Ω) com o seguinte produto interno

w1

w2

θ1

,

v1

v2

θ2

H2

=(A1/2w1,A1/2v1

)L2(Ω)

+(M1/2w2,M

1/2v2

)L2(Ω)

+ (θ1, θ2)L2(Ω)

(2.16)

Introduzimos o seguinte operador linear

A2 : D(A2) ⊂ H2 → H2

A2

w

y

θ

=

y

−M−1Aw −M−1∆θ

∆y + ∆θ

(2.17)

ondeD(A2) = (w, v, θ) ∈ (H2o (Ω)×H2

o (Ω)×H2(Ω) ∩H1o (Ω)) ;Aw ∈ H−1(Ω),A denido

em (2.1) e M = I −∆.

Lema 2.3. O operador A2 denido em (2.17) gera um semigrupo de classe Co de con-

trações em H2.

Demonstração: Etapa 1. A2 é dissipativo. Seja U = (w, y, θ) ∈ D(A2). Por (2.2),A2

w

y

θ

,

w

y

θ

H2

=

y

−M−1Aw −M−1∆θ

∆y + ∆θ

,

w

y

θ

H2

=(A1/2w,A1/2y

)L2(Ω)

+(M1/2(−M−1Aw −M−1∆θ),M1/2y

)L2(Ω)

+ (∆y + ∆θ, θ)L2(Ω)

=(A1/2w,A1/2y

)L2(Ω)

− 〈Aw, y〉H−2(Ω)×H2o (Ω) + (−∆θ, y)L2(Ω) + (∆y + ∆θ, θ)L2(Ω)

=(A1/2w,A1/2y

)L2(Ω)

−(A1/2w,A1/2y

)L2(Ω)

+ (−∆θ, y)L2(Ω) + (∆y + ∆θ, θ)L2(Ω)

= (∇θ,∇y)L2(Ω) − (∇y,∇θ)L2(Ω) − (∇θ,∇θ)L2(Ω)

= −‖∇θ‖2L2(Ω) ≤ 0 (2.18)

55

Etapa 2. A2 é maximal. Seja F = (f1, f2, f3) ∈ H2 = H2o (Ω) × H1

o (Ω) × L2(Ω),

vamos mostrar que existe U = (w, y, θ) ∈ D(A2) tal que

A2U = F (2.19)

A igualdade (2.19) é equivalente ay = f1

−M−1Aw −M−1∆θ = f2

∆y + ∆θ = f3

(2.20)

que, por sua vez, é equivalente ay = f1 ∈ H2

o (Ω)

Aw + ∆θ = −Mf2 ∈ H−2(Ω)

∆θ = f3 −∆f1 ∈ L2(Ω)

(2.21)

Pelo Teorema de Lax-Milgram e regularidade elíptica, temos que o problema ∆θ = f3 −∆f1 ∈ L2(Ω)

θ = 0 na ∂Ω

possui uma única solução θ ∈ H2(Ω) ∩H1o (Ω).

Da mesma forma, seja G = −Mf2 −∆θ, o problema Aw = G ∈ H−1(Ω) → H−2(Ω)

w = ∂w∂ν

= 0 sobre ∂Ω

possui uma única solução w ∈ H2o (Ω) com Aw ∈ H−1(Ω). Portanto, obtemos uma

função U = (w, y, θ) ∈ D(A2) solução (2.19).

Logo, pelo Teorema de Lumer-Phillips, [30], segue que A2 gera um semigrupo de

classe Co em H2.

Observação 2.2. O operador linear

A−12 : H2 → D(A2)

A−12

f1

f2

f3

=

A−1(−Mf2 − f3 + ∆f1)

f1

∆−1f3 − f1

(2.22)

está bem denido, pois ele é sobrejetivo devido a (2.19) e injetivo (devido a injetividade

de A e −∆).

56

2.2 Operadores de Projeção

A prova da unicidade de soluções fracas é baseada nos operadores que compõe a parte

linear do sistema de Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos, os quais foram introduzidos

na seção 2.1, e em estimativas para os operadores de projeção abaixo.

Seja Pn o operador de projeção do L2(Ω) sobre o espaço gerado pelas primeiras n

autofunções do operador biharmônico ∆2 com condições sobre a fronteira do tipo Dirichlet

.

Seja ek uma base ortonormal de autofunções do operador ∆2 e sejam λk os auto-

valores correspondentes, isto é,

∆2ek = λkek, emΩ; ek =∂ek∂ν

= 0 na ∂Ω, k = 1, 2, . . .

com 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . .

Assim, Pn é o operador de projeção de L2(Ω) sobre o espaço spane1, e2, . . . , en eseja Qn = I − Pn.

Lema 2.4. Seja f ∈ L2(Ω) e g ∈ H1(Ω). Então, existe no > 0 e uma constante C > 0

tal que

‖(Pnf)g‖L2(Ω) ≤ C(log(1 + λn))1/2 ‖f‖L2(Ω) · ‖g‖H1(Ω), ∀n ≥ no (2.23)

Demonstração: Ver [6], Lema 2.4.

Lema 2.5. Seja Qn = I − Pn.

‖QnA−α‖L(L2(Ω)) = ‖(I − Pn)A−α‖L(L2(Ω)) ≤1

(λn)α, ∀α > 0 (2.24)


Lema 2.6. Se u ∈ Hβ(Ω) e v ∈ H1−β(Ω), 0 < β < 1, então

‖u v‖L2(Ω) ≤ C‖u‖Hβ(Ω) · ‖v‖H1−β(Ω)


57

2.3 Existência e Unicidade de Soluções Fracas

Denição 2.1. A tripla (U,w, θ) é dita uma solução fraca se satisfaz (1)-(4) e possui

a seguinte regularidade: ∀T > 0,

U ∈ L∞(0, T ; [H1o (Ω)]2), w ∈ L∞(0, T ;H2

o (Ω))

Ut ∈ L∞(0, T ; [L2(Ω)]2), wt ∈ L∞(0, T ;H1o (Ω)), (2.25)

θ ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) ∩ L2(0, T ;H1o (Ω))

Teorema 2.1. Sejam K1 e K2 funções pertencentes a W 1,∞(Ω). Considere os dados

iniciais

U0 ∈ [H1o (Ω)]2, U1 ∈ [L2(Ω)]2

w0 ∈ H2o (Ω), w1 ∈ H1

o (Ω)

θ0 ∈ L2(Ω)

e as condições de fronteira (3). Então, existe uma solução global fraca de (1)-(4).

Demonstração: Para provarmos a existência de solução global fraca, aproximamos os

dados iniciais por funções mais regulares e então usamos o Teorema 1.1 e argumentos de

compacidade. Mais precisamente, sejam

U0,n ⊂ [H2(Ω) ∩H1o (Ω)]2, U1,n ⊂ [H1

o (Ω)]2, w0,n ⊂ H3(Ω) ∩H2o (Ω),

w1,n ⊂ H2o (Ω), θ0,n ⊂ H2(Ω) ∩H1

o (Ω), tais que

U0,n −→ U0 forte em [H2(Ω) ∩H1o (Ω)]2

U1,n −→ U1 forte em [H1o (Ω)]2

w0,n −→ w0 forte em H3(Ω) ∩H2o (Ω) (2.26)

w1,n −→ w1 forte em H2o (Ω)

θ0,n −→ θ0 forte em H2(Ω) ∩H1o (Ω)

Introduzimos o seguinte problema de valor inicial, sejam ϕ ∈ [H2(Ω) ∩ H1o (Ω)]2,

ξ ∈ H2o (Ω) e η ∈ H2(Ω) ∩H1

o (Ω),

(Untt, ϕ)L2(Ω) + (C[ε(Un) + f(∇wn) + J(wn)], ε(ϕ))L2(Ω) + (Un

t , ϕ)L2(Ω) = 0

(wntt, ξ)L2(Ω) + (∇wntt,∇ξ)L2(Ω) + (∆wn,∆ξ)L2(Ω) + (∆θn, ξ)L2(Ω)

+ (C[ε(Un) + f(∇wn) + J(wn)],∇wn ⊗∇ξ)L2(Ω) + (K1Bn11 +K2B

n22, ξ)L2(Ω) = 0

(θnt , η)L2(Ω) + (∇θn,∇η)L2(Ω) − (∆wnt , η)L2(Ω) = 0 (2.27)

58

com

Un(0) = U0,n, Unt (0) = U1,n, w

n(0) = w0,n,

wnt (0) = w1,n, θn(0) = θ0,n (2.28)

Pelo Teorema 1.1, existe uma única solução regular global de (2.27)-(2.28) com

Un ∈ L∞(0, T ; [H2(Ω) ∩H1o (Ω)]2), Un

t ∈ L∞(0, T ; [∩H1o (Ω)]2),

Untt ∈ L∞(0, T ; [L2(Ω)]2)

wn ∈ L∞(0, T ;H3(Ω) ∩H2o (Ω)), wnt ∈ L∞(0, T ;H2

o (Ω)), wntt ∈ L∞(0, T ;H1o (Ω))

θn ∈ L∞(0, T ;H2(Ω) ∩H1o (Ω)) θnt ∈ L∞(0, T ;H1

o (Ω))

Além disso, esta solução satisfaz a estimativa

‖Unt ‖2

L2(Ω) + ‖wnt ‖2L2(Ω) + ‖∇wnt ‖2

L2(Ω) + ‖wn‖2H2(Ω) + ‖θn‖2

L2(Ω)

+ 2‖bn11‖2L2(Ω) + 2‖bn22‖2

L2(Ω) + ‖bn12‖2L2(Ω) +

2µ

1− µ‖bn11 + bn22‖2

L2(Ω) (2.29)

+

∫ t

0

‖∇θn‖2L2(Ω)ds+

∫ t

0

‖Uns ‖2

L2(Ω)ds ≤ C1

onde C1 é uma constante positiva independente de t e n.

Usando o Lema 1.7 e (2.29),

‖∇Un‖L2(Ω) ≤ C2 (2.30)

Por (2.29) e (2.30), existe uma subsequência (ainda denotada da mesma forma) e

funções (U,w, θ) tais que

Un U fraco− ∗ em L∞(0, T, [H1o (Ω)]2) (2.31)

Unt Ut fraco− ∗ em L∞(0, T, [L2(Ω)]2) (2.32)

wn w fraco− ∗ em L∞(0, T,H2o (Ω)) (2.33)

wnt w fraco− ∗ em L∞(0, T,H1o (Ω)) (2.34)

θn θ fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (2.35)

θn θ fraco em L2(0, T,H1o (Ω)) (2.36)

bn11 b11 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (2.37)

bn22 b22 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (2.38)

bn12 b12 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (2.39)

59

Com as convergências (2.31)-(2.39) e por argumentos de compacidade de [45], pas-

samos o limite em (2.27) (como feito na parte de passagem ao limite do Teorema 1.1) e

obtemos uma função (U,w, θ), com a regularidade (2.25), solução global fraca de (1)-(4).

Teorema 2.2. Sejam K1, K2 e os dados iniciais como no Teorema 2.1. A solução global

fraca de (1)-(4) é única.

Demonstração: Sejam (U1, w1, θ1) e (U2, w2, θ2) soluções fracas de (1) com as mesmas

condições iniciais. Sejam U = U1 − U2, w = w1 − w2 e θ = θ1 − θ2. Sustituímos em (1),

obtemos que

Utt + Ut −Div(C[ε(U)]

)= Div (C[f(∇w1)− f(∇w2) + J(w) ])

(I −∆)wtt + ∆2w + ∆θ = −K1(B111 −B2

11)−K2(B122 −B2

22)

+div

(C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)]∇w1 − C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)]∇w2

)θt −∆θ −∆wt = 0

(2.40)

com condições iniciais U(x, 0) = (0, 0), Ut(x, 0) = (0, 0)

w(x, 0) = 0, wt(x, 0) = 0

θ(x, 0) = 0

(2.41)

Pela denição de Ao em (2.8) e a denição de A em (2.1), podemos reescrever o

sistema (2.40) num sistema de EDP's de segunda ordem abstrato:Utt + Ut + AoU = f1(w, wi)

Mwtt +Aw + ∆θ = f2(w, U , wi, Ui)

θt −∆θ −∆wt = 0

(2.42)

onde

f1(w, wi) = Div (C[f(∇w1)− f(∇w2) + J(w) ]) ∈ [H−1(Ω)]2 (2.43)

f2(w, U , wi, Ui) = div(C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)] · ∇w1

)− div

(C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)] · ∇w2

)−K1(B1

11 −B211)−K2(B1

22 −B222) ∈ H−2(Ω) (2.44)

60

Considere o operador A1 denido em (2.11). Podemos reescrever a primeira equação

de (2.42) na forma

d

dt

(U

Ut

)= A1

(U

Ut

)+

(0

f1(w, wi)

)(2.45)

Seja A2 o operador denido em (2.17). Podemos reescrever a segunda e terceira

equações de (2.42) na forma

d

dt

w

wt

θ

= A2

w

wt

θ

+

0

M−1f2

0

(2.46)

Seja H1 = [H1o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 com o produto interno denido em (2.10). Aplicamos

o operador A−11 em ambos os lados de (2.45), obtemos que

d

dtA−1

1

(U

Ut

)= A−1

1 A1

(U

Ut

)+ A−1

1

(0

f1(w, wi)

)(2.47)

Multiplicamos (2.47), em H1, por A−11 (U , Ut) e obtemos que(

d

dtA−1

1

(U

Ut

), A−1

1

(U

Ut

))H1

=

(A1A

−11

(U

Ut

), A−1

1

(U

Ut

))H1

+

(A−1

1

(0

f1

), A−1

1

(U

Ut

))H1

(2.48)

Pela dissipatividade de A1 no Lema 2.2 (pois A−11 (U , Ut) ∈ D(A1)), segue em (2.48) que

1

2

d

dt

∥∥∥∥∥A−11

(U

Ut

)∥∥∥∥∥2

H1

≤

(A−1

1

(0

f1

), A−1

1

(U

Ut

))H1

(2.49)

ComoA1 é linear, temos queA−11 também é linear e, assim, A−1

1 (U(0), Ut(0)) = A−11 (0, 0) =

0. Integramos (2.49) de 0 a t, pela denição da inversa de A1 em (2.15) e denição do

61

produto interno em H1 dada por (2.10), segue que

1

2

∥∥∥∥∥A−11

(U

Ut

)∥∥∥∥∥2

H1

≤∫ t

0

(A−1

1

(0

f1

), A−1

1

(U

Ut

))H1

ds

≤∫ t

0

((−A−1

o f1

0

),

(−A−1

o (U + Ut)

U

))H1

ds

≤∫ t

0

(A1/2o A−1

o f1 , A1/2o A−1

o (U + Ut))L2(Ω)

ds

≤∫ t

0

(A−1/2o f1 , A

−1/2o (U + Ut)

)L2(Ω)

ds

≤ 1

2

∫ t

0

‖A−1/2o f1‖2

L2(Ω)ds+1

2

∫ t

0

‖A−1/2o (U + Ut)‖2

L2(Ω)ds (2.50)

Por outro lado, novamente pela denição (2.15),∥∥∥∥∥A−11

(U

Ut

)∥∥∥∥∥2

H1

=

∥∥∥∥∥(−A−1

o (U + Ut)

U

)∥∥∥∥∥2

H1

=∥∥∥A−1/2

o (U + Ut)∥∥∥2

L2(Ω)+ ‖U‖2

L2(Ω) (2.51)

Susbtituímos (2.51) em (2.50), obtemos que

‖U‖2L2(Ω) +

∥∥∥A−1/2o (U + Ut)

∥∥∥2

L2(Ω)≤∫ t

0

‖A−1/2o f1‖2

L2(Ω)ds+

∫ t

0

‖A−1/2o (U + Ut)‖2

L2(Ω)ds

Aplicamos a desigualdade de Gronwall na desigualdade acima, obtemos que

‖U‖2L2(Ω) ≤ CT

∫ t

0

‖A−1/2o f1‖2

L2(Ω)ds (2.52)

Agora, vamos estudar as variáveis w e θ. Aplicamos o operador A−12 em ambos os

lados da equação (2.46),

d

dtA−1

2

w

wt

θ

= A−12 A2

w

wt

θ

+ A−12

0

M−1f2

0

(2.53)

Seja H2 = H2o (Ω) ×H1

o (Ω) × L2(Ω) com produto interno denido em (2.16). Multi-

62

plicamos, em H2, a equação (2.53) por A−12 (w, wt, θ) e obtemos que d

dtA−1

2

w

wt

θ

, A−12

w

wt

θ

H2

=

A2A−12

w

wt

θ

, A−12

w

wt

θ

H2

+

A−12

0

M−1f2

0

, A−12

w

wt

θ

H2

Pela dissipatividade de A2 dada pelo Lema 2.3 (pois A−12 (w, wt, θ) ∈ D(A2) ), segue

que

1

2

d

dt

∥∥∥∥∥∥∥∥A−12

w

wt

θ

∥∥∥∥∥∥∥∥

2

H2

≤

A−12

0

M−1f2

0

, A−12

w

wt

θ

H2

(2.54)

Como A2 é linear, temos que A−12 também é linear e, assim, A−1

2 (w(0), wt(0), θ(0)) =

A−12 (0, 0, 0) = 0. Integramos a desigualdade (2.54) de 0 a t, pela denição da inversa de

A2 em (2.22) e denição do produto interno em H2 dada por (2.16), segue que

1

2

∥∥∥∥∥∥∥∥A−12

w

wt

θ

∥∥∥∥∥∥∥∥

2

H2

≤∫ t

0

A−12

0

M−1f2

0

, A−12

w

wt

θ

H2

ds (2.55)

≤∫ t

0

A−1(−θ + ∆w −Mwt)

w

∆−1θ − wt

,

A−1f2

0

0

H2

ds

≤∫ t

0

(A1/2(A−1(−θ + ∆w −Mwt)) ,−A1/2A−1f2

)L2(Ω)

ds

≤∫ t

0

(A−1/2(−θ + ∆w −Mwt),−A−1/2f2

)L2(Ω)

ds

≤ 1

2

∫ t

0

‖A−1/2f2‖2L2(Ω)ds+

1

2

∫ t

0

‖A−1/2(−θ + ∆w −Mwt)‖2L2(Ω)ds

(2.56)

Por outro lado, usando a inversa de A2 dada por (2.22) e a denição do produto

63

interno em H2 dada por (2.16), segue que∥∥∥∥∥∥∥∥A−12

w

wt

θ

∥∥∥∥∥∥∥∥

2

H2

=

∥∥∥∥∥∥∥∥A−1(−θ + ∆w −Mwt)

w

∆−1θ − w

∥∥∥∥∥∥∥∥

2

H2

=∥∥∥A−1/2(−θ + ∆w −Mwt)

∥∥∥2

L2(Ω)+∥∥M1/2w

∥∥2

L2(Ω)+∥∥∥∆−1θ − w

∥∥∥2

L2(Ω)

Observamos que∥∥∥∆−1θ∥∥∥2

L2(Ω)≤ C

(∥∥∥∆−1θ − w∥∥∥2

L2(Ω)+ ‖w‖2

L2(Ω)

)e usando (2.7),

∥∥M1/2w∥∥2

L2(Ω)é equivalente a ‖w‖2

H1(Ω), na identidade acima segue que∥∥∥∥∥∥∥∥A−12

w

wt

θ

∥∥∥∥∥∥∥∥

2

H2

≥∥∥∥A−1/2(−θ + ∆w −Mwt)

∥∥∥2

L2(Ω)+C1

2‖w‖2

H1(Ω)

+C1

2‖w‖2

L2(Ω) +∥∥∥∆−1θ − w

∥∥∥2

L2(Ω)

≥∥∥∥A−1/2(−θ + ∆w −Mwt)

∥∥∥2

L2(Ω)+ C2 ‖w‖2

H1(Ω) + C3

∥∥∥∆−1θ∥∥∥2

L2(Ω)

(2.57)

Substituímos (2.57) em (2.56), e obtemos que

‖w‖2H1(Ω) +

∥∥∥∆−1θ∥∥∥2

L2(Ω)+∥∥∥A−1/2(−θ + ∆w −Mwt)

∥∥∥2

L2(Ω)

≤ C1

∫ t

0

‖A−1/2f2‖2L2(Ω)ds+

∫ t

0

∥∥∥∆−1θ∥∥∥2

L2(Ω)ds

+ C1

∫ t

0

‖A−1/2(−θ + ∆w −Mwt)‖2L2(Ω)ds

Aplicando a desigualdade de Gronwall na desigualdade acima e obtemos que

‖w‖2H1(Ω) +

∥∥∥∆−1θ∥∥∥2

L2(Ω)≤ CT

∫ t

0

‖A−1/2f2‖2L2(Ω)ds (2.58)

O restante do trabalho consiste em estimar o lado direito de (2.52) e (2.58).

Seja φ ∈ [L2(Ω)]2. Integrando por partes, pela denição de f1 em (2.43),(A−1/2o f1, φ

)L2(Ω)

=(f1, A

−1/2o φ

)L2(Ω)

=(Div (C[f(∇w1)− f(∇w2) + J(w) ]) , A−1/2

o φ)L2(Ω)

= −(C[f(∇w1)− f(∇w2) + J(w) ], ε(A−1/2

o φ))L2(Ω)

≤ C1

(‖C[f(∇w1)− f(∇w2)]‖L2(Ω) + ‖C[J(w) ]‖L2(Ω)

)‖φ‖L2(Ω)

64

Escolhemos φ = A−1/2o f1 ∈ [L2(Ω)]2 na igualdade acima, segue que∥∥A−1/2

o f1

∥∥2

L2(Ω)≤ C1

(‖C[f(∇w1)− f(∇w2)]‖L2(Ω) + ‖C[J(w) ]‖L2(Ω)

)‖A−1/2

o f1‖L2(Ω).

Pelo Lema 1.2,∥∥A−1/2o f1

∥∥L2(Ω)

≤ C1

(‖C[f(∇w1)− f(∇w2)]‖L2(Ω) + ‖C[J(w)]‖L2(Ω)

)≤ C2

(‖f(∇w1)− f(∇w2)‖L2(Ω) + ‖J(w) ‖L2(Ω)

)(2.59)

Agora, observamos que

‖f(∇w1)− f(∇w2)‖L2(Ω) =1

2

∥∥∥∥∥(

w21,x − w2

2,x (w1,xw1,y − w2,xw2,y)

(w1,xw1,y − w2,xw2,y) w21,y − w2

2,y

)∥∥∥∥∥L2(Ω)

=1

2

∥∥∥∥∥(

wx(w1,x + w2,x) wxw2,y + wyw1,x

wxw2,y + wyw1,x wy(w1,y + w2,y)

)∥∥∥∥∥L2(Ω)

≤ C1 ‖∇w ⊗∇(w1 + w2)‖L2(Ω)

Como Pn +Qn = I, temos que ∇w = Pn∇w +Qn∇w, então

‖f(∇w1)− f(∇w2)‖L2(Ω) ≤ C1 ‖∇w ⊗∇(w1 + w2)‖L2(Ω)

≤ C1 ‖(Pn∇w +Qn∇w)⊗∇(w1 + w2)‖L2(Ω)

≤ C1 ‖(Pn∇w)⊗∇(w1 + w2)‖L2(Ω) + C1 ‖(Qn∇w)⊗∇(w1 + w2)‖L2(Ω)

≤ C1

‖(Pnwx)(w1 + w2)x‖L2(Ω) + ‖(Pnwx)(w1 + w2)y‖L2(Ω)

+ ‖(Pnwy)(w1 + w2)x‖L2(Ω) + ‖(Pnwy)(w1 + w2)y‖L2(Ω)

+ C1

‖(Qnwx)(w1 + w2)x‖L2(Ω) + ‖(Qnwx)(w1 + w2)y‖L2(Ω)

+ ‖(Qnwy)(w1 + w2)x‖L2(Ω) + ‖(Qnwy)(w1 + w2)y‖L2(Ω)

(2.60)

Como wi ∈ H2o (Ω), temos wi,x ∈ H1(Ω), então, pelo Lema 2.4,

‖(Pnwx)(w1 + w2)x‖L2(Ω) ≤ C1(log(1 + λn))1/2‖wx‖L2(Ω)‖(w1 + w2)x‖H1(Ω)

≤ C1(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω)

(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)

)(2.61)

Pelo Lema 2.6, para 0 < ε < 1, segue

‖(Qnwx)(w1 + w2)x‖L2(Ω) ≤ C1‖Qnwx‖Hε(Ω) · ‖(w1 + w2)x‖H1−ε(Ω)

≤ C1‖Qnwx‖Hε(Ω) · ‖w1 + w2‖H2−ε(Ω)

≤ C1‖Qnwx‖Hε(Ω) · ‖w1 + w2‖H2(Ω)

≤ C1‖Qnwx‖Hε(Ω) ·(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)

)(2.62)

65

Substituímos (2.61) e (2.62) em (2.60) (aplicamos o mesmo raciocínio para os demais

termos em (2.60)), obtemos que

‖f(∇w1)− f(∇w2)‖L2(Ω) ≤ C2(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω)

(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)

)+ C2

(‖Qnwx‖Hε(Ω) + ‖Qnwy‖Hε(Ω)

)·(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)

)(2.63)

Por (2.3) e pelo Lema 2.5, segue que

‖Qnwy‖Hε(Ω) ≤ C1‖Aε4Qnwy‖L2(Ω) ≤ C1‖A

ε−βo+βo4 Qnwy‖L2(Ω)

≤ C1‖Aε−βo

4 QnAβo4 wy‖L2(Ω) ≤ C1‖A

ε−βo4 Qn‖L(L2(Ω))‖A

βo4 wy‖L2(Ω)

≤ C1λε−βo

4n ‖wy‖Hβo (Ω) ≤ C2λ

ε−βo4

n ‖w‖H3/2(Ω) (2.64)

se βo <1

2.

Substituímos (2.64) em (2.63), segue que

‖f(∇w1)− f(∇w2)‖L2(Ω) ≤ C2(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω)

(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)

)+ C2λ

ε4−βo

4n ‖w‖H3/2(Ω)

(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)

)≤ C2

(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω) + λ

ε4−βo

4n ‖w‖H2(Ω)

(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)

)≤ C2

(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω) + λ

ε4−βo

4n (‖w1‖H2(Ω) + ‖w1‖H2(Ω))

E(0)

≤ C2E(0)(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω) + C3(E(0))λε4−βo

4n

≤ C2E(0)(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω) + C3(E(0))λ−βn (2.65)

se β < 18e E(0) é a energia inicial. De fato, em (2.65), usamos o fato que

H2(Ω) → H3/2(Ω), então

‖w‖H3/2(Ω) ≤ C‖w‖H2(Ω) ≤ C‖w1 − w2‖H2(Ω) ≤ C(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)).

Também,

λε4−βo

4n = λ

ε4−βo

4+β−β

n = λε4−βo

4+β

n · λ−βn

Na identidade acima, queremos queε

4− βo

4+ β < 0, isso acontece se, e somente se,

ε

4+ β <

βo4. Como βo <

1

2, então é necessário que β <

1

8. Dai, temos λ

ε4−βo

4+β

n ≤ C1

uma vez que

1λn

é limitada.

66

Agora, como Ki ∈ L∞(Ω) e 1 < (log(1 + λn))1/2, segue que

‖J(w) ‖L2(Ω) ≤ C1

(‖K1w‖L2(Ω) + ‖K2w‖L2(Ω)

)≤ C1

(‖K1‖L∞(Ω) + ‖K2w‖L∞(Ω)

)‖w‖L2(Ω)

≤ C1(K1, K2) (log(1 + λn))1/2 ‖w‖H1(Ω) (2.66)

Das estimativas (2.65) e (2.66), segue que

‖f(∇w1)− f(∇w2)‖L2(Ω) + ‖J(w) ‖L2(Ω) ≤ C3E(0)(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω)

+ C3(E(0))λ−βn , se β <1

8(2.67)

Substituímos a estimativa (2.67) em (2.59), segue que∥∥A−1/2o f1

∥∥L2(Ω)

≤ C3E(0)(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω) + C3(E(0))λ−βn , se β <1

8(2.68)

Agora vamos estimar o termo∥∥A−1/2f2

∥∥L2(Ω)

, onde f2 está denida em (2.44) por

f2(w, U , wi, Ui) = div(C[ε(U1)+f(∇w1)+J(w1)]∇w1−C[ε(U2)+f(∇w2)+J(w2)]∇w2

)−

K1(B111 −B2

11)−K2(B122 −B2

22).

Seja ψ ∈ L2(Ω). Integrando por partes,(A−1/2f2, ψ

)L2(Ω)

= −(K1(B1

11 −B211) +K2(B1

22 −B222),A−1/2

)L2(Ω)

−(C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)]∇w1 − C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)]∇w2,∇A−1/2ψ

)L2(Ω)

(2.69)

Substituindo a identidade (1.141) em (2.69),(A−1/2f2, ψ

)L2(Ω)

≤∣∣∣(C[ε(U1)− ε(U2)] · ∇w1,∇A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(C[ε(U2)] · ∇(w1 − w2),∇A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w1)] · ∇w2,∇A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(C[J(w1) ] · ∇(w1 − w2),∇A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(C[J(w1)− J(w2))] · ∇w2,∇A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(K1(B1

11 −B211),A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(K2(B1

22 −B222),A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣≤ J1 + J2 + J3 + J4 + J5 + J6 + J7 (2.70)

67

Vamos estimar os termos Ji de (2.70). Seja g = A−1/2ψ. Integrando por partes, como

U ∈ [H1o (Ω)]2,

J1 =∣∣∣(C[ε(U1)− ε(U2)] · ∇w1,∇A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣ =

∣∣∣∣(C[ε(U)] · ∇w1,∇g)L2(Ω)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣ (

21−µ ux + 2µ

1−µ vy

)w1,x + (uy + vx)w1,y

(uy + vx)w1,x +(

21−µ vy + 2µ

1−µ ux

)w1,y

,

(gx

gy

)L2(Ω)

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣ 2

1− µ(ux, w1,xgx)L2(Ω) +

2µ

1− µ(vy, w1,xgx)L2(Ω) + (uy + vx, w1,ygx)L2(Ω)

+2

1− µ(vy, w1,ygy)L2(Ω) +

2µ

1− µ(ux, w1,ygy)L2(Ω) + (uy + vx, w1,xgy)L2(Ω)

∣∣∣∣≤ 2

1− µ

∣∣∣(u, (w1,xgx)x)L2(Ω)

∣∣∣+2µ

1− µ

∣∣∣(v, (w1,xgx)y)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(u, (w1,ygx)y)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(v, (w1,ygx)x)L2(Ω)

∣∣∣+2

1− µ

∣∣∣(v, (w1,ygy)y)L2(Ω)

∣∣∣+2µ

1− µ

∣∣∣(u, (w1,ygy)x)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(u, (w1,xgy)y)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(v, (w1,xgy)x)L2(Ω)

∣∣∣ (2.71)

Vamos estimar os termos em (2.71). Pela desigualdade de Holder, pelos Lemas 2.4,

68

2.5 e 2.6, e pelas imersões H1(Ω) → H1−ε e H2(Ω) → H2−ε como wi ∈ H2o (Ω), segue que

2

1− µ

∣∣∣(u, (w1,xgx)x)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ C1

∣∣∣(u, (w1,xgx)x)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ C1

∣∣∣((Pn +Qn)u, (w1,xgx)x)L2(Ω)

∣∣∣≤ C1

∣∣∣(Pnu, (w1,xgx)x)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(Qnu, (w1,xgx)x)L2(Ω)

∣∣∣≤ C1

∫Ω

|Pnu| · |w1,x| · |gxx|+∫

Ω

|Pnu| · |w1,xx| · |gx|

+

∫Ω

|Qnu| · |w1,x| · |gxx|+∫

Ω

|Qnu| · |w1,xx| · |gx|

≤ C1

‖(Pnu)w1,x‖L2(Ω) ‖gxx‖L2(Ω) + ‖(Pnu)gx‖L2(Ω) ‖w1,xx‖L2(Ω)

+ ‖(Qnu)w1,x‖L2(Ω) ‖gxx‖L2(Ω) + ‖(Qnu)gx‖L2(Ω) ‖w1,xx‖L2(Ω)

≤ C1 (log(1 + λn))1/2 ‖u‖L2(Ω)

‖w1,x‖H1(Ω)‖gxx‖L2(Ω) + ‖gx‖H1(Ω)‖w1,xx‖L2(Ω)

+ C1‖Qnu‖Hε(Ω)

‖w1,x‖H1−ε(Ω) ‖gxx‖L2(Ω) + ‖gx‖H1−ε(Ω) ‖w1,xx‖L2(Ω)

≤ C1 (log(1 + λn))1/2 ‖u‖L2(Ω)

‖w1‖H2(Ω)‖g‖H2(Ω) + ‖g‖H2(Ω)‖w1‖H2(Ω)

+ C1‖Qnu‖Hε(Ω)

‖w1‖H2(Ω) ‖g‖H2(Ω) + ‖g‖H2−ε(Ω) ‖w1‖H2(Ω)

≤ C1

(log(1 + λn))1/2 ‖u‖L2(Ω) + ‖Qnu‖Hε(Ω)

‖w1‖H2(Ω)‖g‖H2(Ω) (2.72)

Da mesma forma que zemos em (2.64), pelo Lema 2.5, para βo < 12,

‖Qnu‖Hε(Ω) ≤ C1

∥∥Aε/4Qnu∥∥L2(Ω)

≤ C1

∥∥A(ε−βo)/4Qn

∥∥L(L2(Ω))

∥∥Aβo/4u∥∥L2(Ω)

≤ C1λ(ε−βo)/4n ‖u‖Hβo (Ω) ≤ C1λ

(ε−βo)/4n ‖u‖H1(Ω)

≤ C1λε−βo

4+β

n λ−βn ‖u1 − u2‖H1(Ω)

≤ C1λ−βn

(‖u1‖H1(Ω) + ‖u2‖H1(Ω)

), (2.73)

pois para β < 18, temos ε−βo

4+ β < 0.

69

Substituímos (2.73) em (2.72), obtemos

2

1− µ

∣∣∣(u, (w1,xgx)x)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ C1

(log(1 + λn))1/2 ‖u‖L2(Ω)

+ ‖Qnu‖Hε(Ω)

‖w1‖H2(Ω)‖g‖H2(Ω)

≤ C1

(log(1 + λn))1/2 ‖u‖L2(Ω)

+ λ−βn(‖u1‖H1(Ω) + ‖u2‖H1(Ω)

)‖w1‖H2(Ω)‖A−1/2ψ‖H2(Ω)

≤ C1

(log(1 + λn))1/2 ‖u‖L2(Ω) + λ−βn

(‖u1‖H1(Ω) + ‖u2‖H1(Ω)

)‖w1‖H2(Ω)‖ψ‖L2(Ω)

(2.74)

Aplicamos o mesmo raciocínio da estimativa (2.74) nos demais termos de (2.71),

obtemos que

J1 ≤ C1

(log(1 + λn))1/2 ‖u‖L2(Ω) + λ−βn

(‖u1‖H1(Ω) + ‖u2‖H1(Ω)

)‖w1‖H2(Ω)‖ψ‖L2(Ω)

(2.75)

Agora, vamos estimar J2. Seja g = A−1/2ψ.

J2 =∣∣∣(C[ε(U2)] · ∇(w1 − w2),∇A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣ =∣∣∣(C[ε(U2)] · ∇w,∇g)L2(Ω)

∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣ (

21−µu2,x + 2µ

1−µv2,y

)wx + (u2,y + v2,x)wy

(u2,y + v2,x)wx +(

21−µv2,y + 2µ

1−µu2,x

)wy

,

(gx

gy

)L2(Ω)

∣∣∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣( 2

1− µu2,x +

2µ

1− µv2,y, wxgx

)L2(Ω)

+ (u2,y + v2,x, wygx)L2Ω

+ (u2,y + v2,x, wxgy)L2Ω +

(2

1− µv2,y +

2µ

1− µu2,x, wygy

)L2(Ω)

∣∣∣∣≤∣∣∣(C[ε(U2)],∇w ⊗∇g)L2(Ω)

∣∣∣

70

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz e I = Pn +Qn,

J2 =∣∣∣(C[ε(U2)] · ∇w,∇g)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ ∣∣∣(C[ε(U2)],∇w ⊗∇g)L2(Ω)

∣∣∣≤ ‖C[ε(U2)]‖L2(Ω) · ‖∇w ⊗∇g‖L2(Ω)

≤ C1 ‖U2‖H1(Ω) · ‖(Pn(∇w) +Qn(∇w))⊗∇g‖L2(Ω)

≤ C1 ‖U2‖H1(Ω) ·

∥∥∥∥∥(Pnwx

Pnwy

)⊗

(gx

gy

)∥∥∥∥∥L2(Ω)

+

∥∥∥∥∥(Qnwx

Qnwy

)⊗

(gx

gy

)∥∥∥∥∥L2(Ω)

≤ C1 ‖U2‖H1(Ω) ·

‖(Pnwx)gx‖L2(Ω) + ‖(Pnwx)gy‖L2(Ω) + ‖(Pnwy)gx‖L2(Ω)

+ ‖(Pnwy)gy‖L2(Ω) + ‖(Qnwx)gx‖L2(Ω) + ‖(Qnwx)gy‖L2(Ω)

+ ‖(Qnwy)gx‖L2(Ω) + ‖(Qnwy)gy‖L2(Ω)

(2.76)

Pelo Lema 2.4, pois wx ∈ L2(Ω) e gx ∈ H1(Ω),

‖(Pnwx)gx‖L2(Ω) ≤ C1 (log(1 + λn))1/2 ‖wx‖L2(Ω)‖gx‖H1(Ω)

≤ C1 (log(1 + λn))1/2 ‖w‖H1(Ω)‖g‖H2(Ω) (2.77)

Pelo Lema 2.6, da mesma forma que estimamos (2.73),

‖(Qnwx)gx‖L2(Ω) ≤ C1 ‖Qnwx‖Hε(Ω) ‖gx‖H1−ε(Ω)

≤ C1 ‖Qnwx‖Hε(Ω) ‖gx‖H1(Ω)

≤ C1 ‖Qnwx‖Hε(Ω) ‖g‖H2(Ω)

≤ C1λ−βn

(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)

)‖g‖H2(Ω) (2.78)

Substituímos (2.77) e (2.78) em (2.76) (fazemos o mesmo raciocínio para os demais

termos em (2.76)), obtemos que

J2 =∣∣∣(C[ε(U2)] · ∇w,∇g)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ C1 ‖U2‖H1(Ω) ·

(log(1 + λn))1/2 ‖w‖H1(Ω)‖g‖H2(Ω)

+ λ−βn(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)

)‖g‖H2(Ω)

≤ C1

(log(1 + λn))1/2 ‖w‖H1(Ω)

+ λ−βn(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)

)‖U2‖H1(Ω) ‖A

−1/2ψ‖H2(Ω)

Logo,

J2 ≤ C1

(log(1 + λn))1/2 ‖w‖H1(Ω) + λ−βn

(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)

)‖U2‖H1(Ω) ‖ψ‖L2(Ω)

(2.79)

71

Agora, vamos mostrar que

J3 =∣∣∣(C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w2)] · ∇w2,∇A−1/2φ

)L2(Ω)

∣∣∣≤ C1

(‖w1‖2

H2(Ω) + ‖w2‖2H2(Ω)

)‖w‖H1(Ω)‖ψ‖L2(Ω) (log(1 + λn))1/2 (2.80)

De fato,

J3 =∣∣∣(C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w2)] · ∇w2,∇A−1/2φ

)L2(Ω)

∣∣∣≤ 1

1− µ

∣∣∣(w21,xw1,x − w2

2,xw2,x, gx)L2(Ω)

∣∣∣+µ

1− µ

∣∣∣(w21,yw1,x − w2

2,yw2,x, gx)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(w2

1,yw1,x − w22,yw2,x, gx

)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(w2

1,xw1,y − w22,xw2,y, gy

)L2(Ω)

∣∣∣+

1

1− µ

∣∣∣(w21,yw1,y − w2

2,yw2,y, gy)L2(Ω)

∣∣∣+µ

1− µ

∣∣∣(w21,xw1,y − w2

2,xw2,y, gy)L2(Ω)

∣∣∣(2.81)

Observamos que∣∣∣(w21,xw1,x − w2

2,xw2,x, gx)L2(Ω)

∣∣∣ =∣∣∣(w2

1,xwx + wx(w1,x + w2,x)w2,x, gx)L2(Ω)

∣∣∣≤∣∣∣(w2

1,xwx, gx)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(wx(w1,x + w2,x)w2,x, gx)L2(Ω)

∣∣∣≤ D1 +D2 (2.82)

Pela desigualdade de Holder e imersões H1(Ω) → L2/δ(Ω) e H1(Ω) → L4

1−δ (Ω),

0 < δ < 1,

D1 =∣∣∣(w2

1,xwx, gx)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ ∥∥w21,x gx

∥∥L2(Ω)

‖wx‖L2(Ω)

≤ ‖w1,x‖2

L4

1−δ (Ω)‖gx‖L2/δ(Ω) ‖w‖H1(Ω)

≤ C1 ‖w1,x‖2H1(Ω) ‖gx‖H1(Ω) ‖w‖H1(Ω)

≤ C1 ‖w1‖2H2(Ω) ‖g‖H2(Ω) ‖w‖H1(Ω)

≤ C1 ‖w1‖2H2(Ω) ‖ψ‖L2(Ω) ‖w‖H1(Ω) (2.83)

72

Pela desigualdade de Holder e as imersões acima,

D2 =∣∣∣(wx(w1,x + w2,x)w2,x, gx)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ ‖(w1,x + w2,x)w2,x gx‖L2(Ω) ‖wx‖L2(Ω)

≤ ‖(w1,x + w2,x)w2,x‖L2/(1−δ)(Ω) ‖gx‖L2/δ(Ω) ‖w‖H1(Ω)

≤ ‖(w1,x + w2,x)‖L4/(1−δ)(Ω) ‖w2,x‖L4/(1−δ)(Ω) ‖gx‖L2/δ(Ω) ‖w‖H1(Ω)

≤ C1 ‖w1,x + w2,x‖H1(Ω) ‖w2,x‖H1(Ω) ‖gx‖H1(Ω) ‖w‖H1(Ω)

≤ C1

(‖w1‖2

H2(Ω) + ‖w2‖2H2(Ω)

)‖g‖H2(Ω) ‖w‖H1(Ω)

≤ C1

(‖w1‖2

H2(Ω) + ‖w2‖2H2(Ω)

)‖ψ‖L2(Ω) ‖w‖H1(Ω) (2.84)

Substituímos (2.83) e (2.84) em (2.82),∣∣∣(w21,xw1,x − w2

2,xw2,x, gx)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ (‖w1‖2H2(Ω) + ‖w2‖2

H2(Ω)

)‖ψ‖L2(Ω) ‖w‖H1(Ω) (2.85)

Fazemos o mesmo raciocínio de (2.85) para os demais termos de (2.81),

como 1 ≤ (log(1 + λn))1/2, segue a desigualdade (2.80).

Agora, seja g = A−1/2ψ,

J4 =∣∣∣(C[J(w1) ] · ∇(w1 − w2),∇A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣ =∣∣∣(C[J(w1) ] · ∇w,∇g)L2(Ω)

∣∣∣≤

∣∣∣∣∣((

2

1− µK1w1 +

2µ

1− µK2w1

)wx, gx

)L2(Ω)

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣((

2

1− µK2w1 +

2µ

1− µK1w1

)wy, gy

)L2(Ω)

∣∣∣∣∣Pela desigualdade de Holder generalizada, Ki ∈ L∞(Ω) e a imersão H1(Ω) → L4(Ω),∣∣∣(K1w1wx, gx)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ ‖K1‖L∞(Ω)‖wx‖L2(Ω)‖w1‖L4(Ω)‖gx‖L4(Ω)

≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w|H1(Ω)‖w1‖H1(Ω)‖gx‖H1(Ω)

≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w‖H1(Ω)‖w1‖H1(Ω)‖g‖H2(Ω)

≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w‖H1(Ω)‖w1‖H1(Ω)‖ψ‖L2(Ω) (2.86)

Como em (2.86), estimamos da mesma forma os demais termos de J4 e obtemos que

J4 ≤ C2(K1, K2)‖w‖H1(Ω)‖w1‖H1(Ω)‖ψ‖L2(Ω)

≤ C2(K1, K2)(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω)‖w1‖H1(Ω)‖ψ‖L2(Ω) (2.87)

73

Agora,

J5 =∣∣∣(C[J(w1)− J(w2) ]∇w2,∇A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣≤

∣∣∣∣∣((

2

1− µK1w +

2µ

1− µK2w

)w2,x, gx

)L2(Ω)

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣((

2

1− µK2w +

2µ

1− µK1w

)w2,y, gy

)L2(Ω)

∣∣∣∣∣Pela desigualdade de Holder generalizada, Ki ∈ L∞(Ω) e a imersão H1(Ω) → L4(Ω),∣∣∣(K1ww2,x, gx)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ ‖K1‖L∞(Ω)‖w‖L2(Ω)‖w2,x‖L4(Ω)‖gx‖L4(Ω)

≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w‖L2(Ω)‖w2,x‖H1(Ω)‖gx‖H1(Ω)

≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w‖L2(Ω)‖w2‖H2(Ω)‖g‖H2(Ω)

≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w‖L2(Ω)‖w2‖H2(Ω)‖ψ‖L2(Ω) (2.88)

Como em (2.88), estimamos da mesma forma os demais termos de J5 e obtemos que

J5 ≤ C2(K1, K2)‖w‖L2(Ω)‖w2‖H2(Ω)‖ψ‖L2(Ω)

≤ C2(K1, K2)(log(1 + λn))1/2‖w‖L2(Ω)‖w2‖H2(Ω)‖ψ‖L2(Ω) (2.89)

Resta ainda estimarmos os termos J6 e J7. Observamos que

J6 =∣∣∣(K1(B1

11 −B211),A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ 2

1− µ

∣∣∣(K1ux,A−1/2ψ)L2(Ω)

∣∣∣+

1

2

∣∣∣(K1(w21,x − w2

2,x),A−1/2ψ)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(K2

1 w,A−1/2ψ)L2(Ω)

∣∣∣+

2µ

1− µ

∣∣∣(K1vy,A−1/2ψ)L2(Ω)

∣∣∣+1

2

∣∣∣(K1(w21,y − w2

2,y),A−1/2ψ)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(K1K2w,A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣ (2.90)

Agora, intergrando por partes e como u ∈ H1o (Ω), como Ki,x ∈ L∞(Ω)∣∣∣(K1ux,A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣ =

∣∣∣∣∫Ω

u(K1A−1/2ψ)x

∣∣∣∣≤∣∣∣∣∫

Ω

uK1(A−1/2ψ)x

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫Ω

uK1,xA−1/2ψ

∣∣∣∣≤ ‖K1‖L∞(Ω)‖u‖L2(Ω)‖A−1/2ψ‖H1(Ω)

+ ‖K1,x‖L∞(Ω)‖u‖L2(Ω)‖A−1/2ψ‖L2(Ω)

≤ C(‖K1‖L∞(Ω) + ‖K1,x‖L∞(Ω))‖u‖L2(Ω)‖ψ‖L2(Ω) (2.91)

74

Também, usando a desigualdade de Holder,∣∣∣(K1(w21,x − w2

2,x),A−1/2ψ)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ ‖K1‖L∞(Ω)‖wx‖L2(Ω)‖w1,x + w2,x‖L4(Ω)‖A−1/2ψ‖L4(Ω)

≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w‖H1(Ω)‖w1,x + w2,x‖H1(Ω)‖A−1/2ψ‖H1(Ω)

≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w‖H1(Ω)(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω))‖ψ‖L2(Ω) (2.92)

Finalmente,∣∣∣(K21 w,A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ ‖K1‖2L∞(Ω)‖w‖L2(Ω)‖A−1/2ψ‖L2(Ω)

≤ ‖K1‖2L∞(Ω)‖w‖H1(Ω)‖ψ‖L2(Ω) (2.93)

Substituindo (2.91), (2.92) e (2.93) em (2.90), segue

J6 ≤ C(K1, K2)(‖U‖L2(Ω) + ‖w‖H1(Ω)(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω))

)‖ψ‖L2(Ω)

≤ C(K1, K2)(log(1 + λn))1/2(‖U‖L2(Ω) + ‖w‖H1(Ω)(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω))

)‖ψ‖L2(Ω)

(2.94)

Finalmente,

J7 =∣∣∣(K2(B1

22 −B222),A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣ ≤ 2

1− µ

∣∣∣(K2vy,A−1/2ψ)L2(Ω)

∣∣∣+

1

2

∣∣∣(K2(w21,y − w2

2,y),A−1/2ψ)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(K2

2 w,A−1/2ψ)L2(Ω)

∣∣∣+

2µ

1− µ

∣∣∣(K2ux,A−1/2ψ)L2(Ω)

∣∣∣+1

2

∣∣∣(K2(w21,x − w2

2,x),A−1/2ψ)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(K1K2w,A−1/2ψ

)L2(Ω)

∣∣∣Analogamente como obtemos (2.94),

J7 ≤ C(K1, K2)(log(1 + λn))1/2(‖U‖L2(Ω) + ‖w‖H1(Ω)(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω))

)‖ψ‖L2(Ω)

(2.95)

Agora, substituímos as estimativas de Ji (2.75), (2.79), (2.80), (2.87), (2.89), (2.94) e

(2.95) em (2.70), obtemos que(A−1/2f2, ψ

)L2(Ω)

≤ C1(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω) + ‖U‖L2(Ω)

·

‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω) + ‖U1‖H1(Ω) + ‖U2‖H1(Ω)

+ ‖w1‖2H2(Ω) + ‖w2‖2

H2(Ω)

‖ψ‖L2(Ω) + C1λ

−βn

‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω) + ‖U1‖H1(Ω)

+ ‖U2‖H1(Ω) + ‖w1‖2H2(Ω) + ‖w2‖2

H2(Ω)

‖ψ‖L2(Ω) (2.96)

75

Escolhemos ψ = A−1/2f2 em (2.96), obtemos

‖A−1/2f2‖L2(Ω) ≤ C1(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω) + ‖U‖L2(Ω)

·

‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω) + ‖U1‖H1(Ω) + ‖U2‖H1(Ω) + ‖w1‖2H2(Ω) + ‖w2‖2

H2(Ω)

+ C1λ

−βn

‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω) + ‖U1‖H1(Ω)

+ ‖U2‖H1(Ω) + ‖w1‖2H2(Ω) + ‖w2‖2

H2(Ω)

≤ C1(E(0))(log(1 + λn))1/2

‖w‖H1(Ω) + ‖U‖L2(Ω)

+ C1(E(0))λ−βn (2.97)

Logo, da estimativa acima,∫ t

0

‖A−1/2f2‖2L2(Ω)ds ≤ C2(E(0)) log(1 + λn)

∫ t

0

‖w‖2

H1(Ω) + ‖U‖2L2(Ω)

ds

+ C2(E(0))λ−2βn (2.98)

De (2.68) e (2.98), segue que∫ t

0

‖A−1/2f2‖2L2(Ω)ds+

∫ t

0

‖A−1/2o f1‖2

L2(Ω)ds ≤ C(E(0))λ−2βn

+ C(E(0)) log(1 + λn)

∫ t

0

‖w‖2

H1(Ω) + ‖U‖2L2(Ω) + ‖∆−1θ‖2

L2(Ω)

ds (2.99)

De (2.52) e (2.58), segue que

‖w‖2H1(Ω) + ‖U‖2

L2(Ω) + ‖∆−1θ‖2L2(Ω) ≤

∫ t

0

‖A−1/2f2‖2L2(Ω)ds+

∫ t

0

‖A−1/2o f1‖2

L2(Ω)ds

≤ C(E(0)) log(1 + λn)

∫ t

0

‖w‖2

H1(Ω) + ‖U‖2L2(Ω) + ‖∆−1θ‖2

L2(Ω)

ds+ C(E(0))λ−2β

n

(2.100)

Aplicando a desigualdade de Gronwall em (2.100),

‖w‖2H1(Ω) + ‖U‖2

L2(Ω) + ‖∆−1θ‖2L2(Ω) ≤ C(E(0))λ−2β

n eC(log(1+λn))t

≤ C(E(0))λ−2βn elog((1+λn)Ct)

≤ C(E(0))λ−2βn (1 + λn)Ct

≤ C(E(0))λ−2β+CTon

Se α = −2β + CTo < 0, como λαn tende para zero,

w(t) = 0, U(t) = 0, ∆−1θ(t) = 0, ∀ t ∈[0,

2β

C

).

76

o que implica que

w(t) = 0, U(t) = 0, θ(t) = 0, ∀ t ∈[0,

2β

C

).

Como todas as constantes dependem apenas dos dados iniciais no espaço de energia

nita, de µ e das funções K1(x, y) e K2(x, y), isto permite aplicar o argumento de "boot-

strap" na equação original e obter a unicidade para todo tempo nito t, isto completa a

unicidade de soluções fracas.

Observação 2.3. A prova acima não fornece dependência contínua, na norma da energia

de soluções fracas, com respeito aos dados iniciais.

Observação 2.4. Também podemos considerar o sistema dinâmico de Marguerre-Vlasov

com efeitos térmicos com condições de fronteira simplesmente apoiadas ou de maior or-

dem. Isto é,Utt −Div([Bij]) + Ut = 0


θt −∆θ −∆wt = 0

(2.101)

em M × (0, T ), T > 0. A matriz simétrica [Bij] = [Bij(U,w)] tem componentes dadas

por (2), 0 < µ < 1/2.

Completamos o sistema (2.101) com condições de fronteira dadas porU = 0,

w = ∆w = 0,

θ = 0, sobre ∂M × (0, T ).

(2.102)

e as condições iniciais são dados por

U(x, y, 0) = (u(x, y, 0), v(x, y, 0)) = (uo(x, y), vo(x, y)) = Uo(x, y)

Ut(x, y, 0) = (ut(x, y, 0), vt(x, y, 0)) = (u1(x, y), v1(x, y)) = U1(x, y)

w(x, y, 0) = wo(x, y)

wt(x, y, 0) = w1(x, y)

θ(x, y, 0) = θo(x, y), (x, y) ∈M.

(2.103)

77

Dado T > 0, a tripla (U,w, θ) é dita uma solução regular se satisfaz (2.101)-(2.102)

e possui a seguinte regularidade

U ∈ L∞(0, T ; [H1o (Ω) ∩H2(Ω)]2), w ∈ L∞(0, T ;H2)

θ ∈ L∞(0, T ;H2(Ω) ∩H1o (Ω))

Ut ∈ L∞(0, T ; [H1o (Ω)]2), wt ∈ L∞(0, T ;H1

o (Ω) ∩H2(Ω)),

θt ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) ∩ L2(0, T ;H1o (Ω))

Utt ∈ L∞(0, T ; [L2(Ω)]2), wtt ∈ L∞(0, T ;H1o (Ω)),

onde H2 = ϕ ∈ H3(Ω);ϕ = ∆ϕ = 0 sobre ∂Ω.Se K1 e K2 pertencem a W 1,∞(Ω), considerando os dados iniciais

Uo ∈ [H1o (Ω) ∩H2(Ω)]2, U1 ∈ [H1

o (Ω)]2

wo ∈ H2, w1 ∈ H1o (Ω) ∩H2(Ω)

θo ∈ H2(Ω) ∩H1o (Ω)

podemos mostrar que existe uma única solução global regular de (2.101)-(2.102). Ainda,

esta solução depende continuamente dos dados iniciais. A prova da existência de solução

regular é feita através do método de Galerkin e segue as mesmas ideias do Teorema 1.1.

A unicidade e a dependência contínua sobre os dados iniciais das soluções regulares são

demonstradas da mesma forma que os Teoremas 1.2 e 1.3, respectivamente.

A tripla (U,w, θ) é dita uma solução fraca se satisfaz (2.101)-(2.102), e possui a

seguinte regularidade: ∀T > 0,

U ∈ L∞(0, T ; [H1o (Ω)]2), w ∈ L∞(0, T ;H2(Ω) ∩H1

o (Ω))

Ut ∈ L∞(0, T ; [L2(Ω)]2), wt ∈ L∞(0, T ;H1o (Ω)), (2.104)

θ ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) ∩ L2(0, T ;H1o (Ω))

Se K1 e K2 são funções pertencentes a W 1,∞(Ω), considerando os dados iniciais

Uo ∈ [H1o (Ω)]2, U1 ∈ [L2(Ω)]2

wo ∈ H1o (Ω) ∩H2(Ω), w1 ∈ H1

o (Ω)

θo ∈ L2(Ω)

então, podemos provar que existe uma solução global fraca de (2.101)-(2.102) Ainda,

esta solução fraca é única. A demonstração da unicidade é análoga a prova do Teorema

78

2.2, mas devemos fazer as devidas adaptações ao espaço energia que agora é: Y =

[H1o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 ×H2(Ω) ∩H1

o (Ω)×H1o (Ω)× L2(Ω).

Também, temos que fazer as devidas adaptações aos domínios dos operadores intro-

duzimos no Capítulo 2. Por exemplo, A : D(A) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω), Aw = ∆2w, onde

D(A) = H4(Ω); w = ∆w = 0 sobre ∂Ω. Neste domínio, este operador é auto-adjunto

e positivo denido.

79

Capítulo 3

Limite Singular do Sistema Perturbado

3.1 Introdução

Sejam ε > 0 e 0 < α ≤ 1. Consideramos o sistemaεU ε

tt = Div([Bεij

])− εαU ε

t

wεtt + ∆2wε −∆wεtt + ∆θε = div([Bε

ij]∇wε)−K1B

ε11 −K2B

ε22

θεt −∆θε −∆wεt = 0 em M × (0, T ).

(3.1)

com condições de fronteira

U ε∣∣∂M

= 0, wε∣∣∂M

=∂wε

∂ν

∣∣∣∣∂M

= 0, θε∣∣∂M

= 0 (3.2)


U ε(x, y, 0) = Uo(x, y), wε(x, y, 0) = wo(x, y), θε(x, y, 0) = θo(x, y)

U εt (x, y, 0) = U1(x, y), wεt (x, y, 0) = w1(x, y), (x, y) ∈ M. (3.3)

onde U ε = (uε, vε), Ki : Ω ⊂ R2 −→ R funções pertencentes a W 1,∞(Ω) e

Bε11 =

2

1− µ(µ+ ε(1− µ)) bε11 + µbε22 (3.4)

Bε22 =

2

1− µ(µ+ ε(1− µ)) bε22 + µbε11 (3.5)

Bε12 = Bε

21 = bε12 = bε21 = εuεy + vεx + wεxw

εy

(3.6)

bε11 =

uεx +

1

2(wεx)

2 +K1wε

(3.7)

bε22 =

vεy +

1

2(wεy)

2 +K2wε

(3.8)

80

Em [32], G. Perla Menzala e J. Suarez demonstraram que, no caso unidimensional,

o sistema de Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos converge fracamente, no espaço en-

ergia, para o modelo de viga do tipo Timoshenko. Neste capítulo, estabeleceremos que

os resultados obtidos pelos autores em [32] podem ser estendidos para sistema (3.1) no

caso bidimensional, se considerarmos ideias adicionais para usarmos as técnicas corres-

pondentes. Isto é, demonstraremos que um modelo do tipo Timoshenko não-linear sob

efeitos térmicos pode ser obtido como limite singular do sistema (3.1) quando o parâmetro

ε → 0. Outros resultados relacionados a perturbação por um parâmetro adequado do

sistema de Marguerre-Vlasov (1) podem ser encontrados em [28, 37, 38]. Também, pode-

mos ver resultados de limites singulares quando um parâmetro conveniente é adaptado

aos modelos de placas nas, [31, 34, 35, 36, 42].

3.2 O Limite Assintótico

Nesta seção, estudaremos o limite assintótico da solução (U ε, wε, θε) do sistema (3.1)

quando ε→ 0.

Seja X = [H1o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 ×H2

o (Ω)×H1o (Ω)× L2(Ω).

Teorema 3.1. Sejam 0 < ε < 1 e 0 < α ≤ 1. SejamK1, K2 ∈ W 1,∞(Ω) e (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈X. Então, o sistema (3.1)-(3.3) tem uma única solução global fraca (U ε, wε, θε) a qual

pertence a C([0,∞), X).

Demonstração: A demonstração segue dos Teoremas 2.1 e 2.2.

Teorema 3.2. Sejam 0 < ε < 1 e 0 < α ≤ 1. Seja o sistema (3.1) com condições

de fronteira (3.2) e condições iniciais (3.3) e (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈ X. Sejam K1 e K2

pertencentes a W 1,∞(Ω). Então, existem funções z = z(x, y, t) e φ = φ(x, y, t) tais que,

quando ε→ 0,

(wε, wεt ) (z, zt) fraco− ∗ em L∞(0,∞, H2o (Ω))× L∞(0,∞, H1

o (Ω))

θε φ fraco− ∗ em L∞(0,∞, L2(Ω))

onde (z, φ) é a solução do modelo acoplado ztt + ∆2z −∆ztt + ∆φ = D(t)∆z − (K1 +K2)D(t)

φt −∆φ−∆zt = 0(3.9)

81

em Ω× (0,∞), com condições de fronteira

z =∂z

∂ν= φ = 0 sobre ∂Ω× (0,∞)


z(x, y, 0) = wo(x, y), zt(x, y, 0) = w1(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω

θ(x, y, 0) = θo(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω.

onde

D(t) =µ

(1− µ)|Ω|

∫Ω

(|∇z|2 + 2(K1 +K2)z

)dA

Demonstração: Sejam 0 < ε < 1 e 0 < α ≤ 1. Consideremos (U ε, wε, θε) como no

Teorema 3.1.

A energia do sistema (3.1)-(3.3) é dada por

Eε(t) =1

2

∫Ω

ε|U ε

t |2 + |wεt |2 + |∇wεt |2 + |∆wε|2 + |θε|2

+ ε|bε12|2 + 2ε|bε11|2 + 2ε|bε22|2 +2µ

1− µ|bε11 + bε22|2

dA (3.10)

Como a solução fraca do sistema (3.1) é obtida através de um procedimento de regu-

larização, temos que

Eε(t) +

∫ t

0

∫Ω

|∇θε|2 + εα∫ t

0

∫Ω

|U εs |2 ≤ Eε(0) (3.11)

Para 0 < ε < 1, segue que Eε(0) ≤ C, onde C é uma constante positiva que independe

de ε e t. Logo, para qualquer t > 0,

Eε(t) +

∫ t

0

∫Ω

|∇θε|2 + εα∫ t

0

∫Ω

|U εs |2 ≤ C (3.12)

Assim, de (3.12), segue que√εU ε

t

ε>0

é limitada em L∞(0,+∞, [L2(Ω)]2) (3.13)

wεtε>0 é limitada em L∞(0,+∞, H1o (Ω)) (3.14)

wεε>0 é limitada em L∞(0,+∞, H2o (Ω)) (3.15)

θεε>0 é limitada em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.16)√ε bε12

ε>0

é limitada em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.17)√ε bε11

ε>0

é limitada em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.18)√ε bε22

ε>0

é limitada em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.19)

bε11 + bε22ε>0 é limitada em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.20)

82

Também, segue de (3.12), queεα/2 U ε

t

ε>0

é limitada em L2(0,+∞, L2(Ω)) (3.21)

θεε>0 é limitada em L2(0,+∞, H1o (Ω)) (3.22)

Assim, (3.13)-(3.16) e (3.22) implicam a existência de subsequências (ainda denotadas

da mesma forma) e de funções ξ, η, z, φ (as quais dependem de x, y, t) tais que√ε uεt ξ fraco− ∗ em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.23)√ε vεt η fraco− ∗ em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.24)

wε z fraco− ∗ em L∞(0,+∞, H2o (Ω)) (3.25)

wεt zt fraco− ∗ em L∞(0,+∞, H1o (Ω)) (3.26)

θε φ fraco− ∗ em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.27)

θε φ fraco em L2(0,+∞, H1o (Ω)) (3.28)

quando ε −→ 0.

Observamos que as convergências (3.23)-(3.28) são sucientes para passar o limite nos

termos lineares da segunda e terceira equações do sistema (3.1).

Agora, vamos estudar o limite dos termos não-lineares na segunda equação do sistema

(3.1), ou seja, os termos: div([Bεij]∇wε), K1B

ε11 e K2B

ε22, onde B

εij estão denidos em

(3.4)-(3.8).

Da limitação em (3.15), temos que

wεx e wεy são limitadas em L∞(0,∞, H1o (Ω))

Como temos a imersão H1(Ω) → Lp(Ω), para qualquer 2 ≤ p <∞, então segue que|∇wε|2

é limitado em L∞(0, T, L2(Ω)) (3.29)

De fato, para p = 4 na imersão acima,∫Ω

|∇wε|2 =

∫Ω

(|wεx|2 + |wεy|2

)2 ≤ C

∫Ω

|wεx|4 + C

∫Ω

|wεy|4

≤ C‖wεx‖4H1(Ω) + ‖wεy‖4

H1(Ω) ≤ C1

Agora, pela desigualdade de Korn, como Ki ∈ L∞(Ω), pela denição de ε(·) em (1.1),

segue

‖∇U ε‖2L2(Ω) ≤ C‖ε(U ε)‖2

L2(Ω) ≤‖bε11‖2

L2(Ω) + ‖bε22‖2L2(Ω) + ‖bε12‖2

L2(Ω)

+ ‖wε‖4H2(Ω) + (‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω))‖wε‖2

H2(Ω)

83

De (3.15), (3.17), (3.18) e (3.19), segue na desigualdade acima que

U εε>0 é limitada em L∞(0,∞, H1o (Ω)) (3.30)

De (3.30), segue que

uεxε>0, uεyε>0 são limitadas em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.31)

vεxε>0, vεyε>0 são limitadas em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.32)

√ε(uεy + vεx)ε>0, é limitada em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.33)

Então, (3.31) e (3.32) implicam que existe subsequências (ainda denotadas da mesma

forma) e funções u, v ∈ L∞(0,+∞, H1o (Ω)) tais que

uεx ux fraco− ∗ em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.34)

vεy vy fraco− ∗ em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.35)

vεx vx fraco− ∗ em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.36)

uεy uy, fraco− ∗ em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.37)

quando ε→ 0.

De (3.34) e (3.35), segue que

uεx + vεy ux + vy fraco− ∗ em L∞(0,∞, L2(Ω)), (3.38)

quando ε→ 0.

Das limitações (3.15) e (3.14) e pelo Teorema de Compacidade de Lions-Aubin, [45],

segue que

wε → z forte em L∞(0, T ;H2−δ(Ω)), (3.39)

quando ε→ 0, para qualquer δ > 0 e T <∞.

De (3.39), segue que

∇wε → ∇z forte em L∞(0, T ;H1−δ(Ω)), (3.40)

quando ε→ 0, para qualquer δ > 0 e T <∞.

Agora, por (3.40) e pela imersão de Sobolev H1−δ(Ω) → L2/δ(Ω), 0 < δ ≤ 1, [46],

∇wε → ∇z forte em L∞(0, T, Lp(Ω)), (3.41)

quando ε→ 0, para qualquer 2 ≤ p <∞ e T <∞.

84

Da convergência (3.41), segue que

|∇wε|2 → |∇z|2 forte em L∞(0, T, Lr(Ω)), (3.42)

quando ε → 0, para qualquer 1 ≤ r < ∞ e T < ∞. De fato, seja 1 ≤ r < ∞. Pela

desigualdade de Holder,∥∥|∇wε|2 − |∇z|2∥∥rLr(Ω)

=

∫Ω

∣∣(|wεx|2 − |zx|2)+(|wεy|2 − |zy|2

)∣∣r dA≤ C

∫Ω

∣∣|wεx|2 − |zx|2∣∣r dA+

∫Ω

∣∣|wεy|2 − |zy|2∣∣r dA≤ C

∫Ω

||wεx| − |zx||r · (|wεx|+ |zx|)

r dA+

∫Ω

∣∣|wεy| − |zy|∣∣r · (|wεy|+ |zy|)r dA≤ C

(∫Ω

||wεx| − |zx||2r dA

)1/2(∫Ω

(|wεx|+ |zx|)2r dA

)1/2

+

(∫Ω

∣∣|wεy| − |zy|∣∣2r dA)1/2(∫Ω

(|wεy|+ |zy|

)2rdA

)1/2Como r ≥ 1, temos 2r ≥ 2 então por (3.41) e o fato que wεx e wεy são limitadas em

L∞(0, T ;L2r(Ω)), temos a convergência forte em (3.42) quando ε→ 0.

Já sabemos de (3.15) que wεx e wεy são limitadas em L∞(0,+∞, H1(Ω)), conse-

quentemente, pela imersão de Sobolev H1(Ω) → Lp(Ω), 2 ≤ p < ∞, wεx e wεy sãolimitadas em L∞(0,+∞, Lp(Ω)), 2 ≤ p <∞. Então, as sequências

√ε bε11w

εx,

√ε bε12w

εy,

√ε bε21w

εx,

√ε bε22w

εy,

são limitadas em L∞(0,+∞, Lq(Ω)), ∀ 1 ≤ q < 2 (3.43)

De fato, veremos que a armação acima é verdadeira para o termo √ε bε11w

εx, pois os

demais são análogos. Seja 1 ≤ q < 2. Pela desigualdade de Holder com1

β+

1

γ= 1,

‖√ε bε11w

εx‖

qLq =

∫Ω

|√ε bε11w

εx|q dA ≤

(∫Ω

|√ε bε11|βq dA

)1/β (∫Ω

|wεx|γq dA)1/γ

Escolhemos β =2

q(q < 2 então 2/q > 1), segue que γ =

2

2− qe s = γq =

2q

2− q≥ 2,

então por (3.18) e imersão acima,

‖√ε bε11w

εx‖

qLq ≤

(∫Ω

|√ε bε11|2 dA

)q/2(∫Ω

|wεx|s dA)(2−q)/2

≤ ‖√ε bε11‖

qL2(Ω) · ‖w

εx‖

qLs(Ω) ≤ C

85

Observamos que, pela denição (3.6),

Bε21w

εx = ε bε21w

εx =√ε(√

ε bε21wεx

)Bε

12wεy = ε bε12w

εy =√ε(√

ε bε12wεy

)Então, pela identidade acima, para 1 ≤ q < 2, de (3.43),

Bε21w

εx 0 fraco− ∗ em L∞(0,+∞, Lq(Ω)) (3.44)

Bε12w

εy 0 fraco− ∗ em L∞(0,+∞, Lq(Ω)), (3.45)

quando ε→ 0.

Ainda, da denição (3.4), observamos que

Bε11 =

2

1− µ(µ+ ε(1− µ)) bε11 + µ bε22 =

2µ

1− µ bε11 + bε22+

2

1− µε(1− µ) bε11

=2µ

1− µ bε11 + bε22+ 2ε bε11 (3.46)

Analogamente, da denição (3.5),

Bε22 =

2

1− µ(µ+ ε(1− µ)) bε22 + µ bε11 =

2µ

1− µ bε11 + bε22+ 2ε bε22 (3.47)

Como 2ε bε11wεx = 2

√ε(√εbε11w

εx) e 2ε bε22w

εy = 2

√ε(√εbε22w

εy), segue de

(3.43),

2ε bε11wεx 0 fraco− ∗ em L∞(0,+∞, Lq(Ω)) (3.48)

2ε bε22wεy 0 fraco− ∗ em L∞(0,+∞, Lq(Ω)) (3.49)

quando ε→ 0, para 1 ≤ q < 2.

Agora, denimos

Dε =2µ

1− µ bε11 + bε22 =

2µ

1− µ

uεx + vεy +

1

2|∇wε|2 + (K1 +K2)wε

(3.50)

e

D =2µ

1− µ

ux + vy +

1

2|∇z|2 + (K1 +K2) z

(3.51)

De (3.38) e (3.42), segue que, quando ε→ 0,

Dε D fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (3.52)

86

De (3.42) e (3.52), para 1 ≤ q < 2 (L2(Ω) → Lq(Ω)), quando ε→ 0, obtemos

Dεwεx Dzx fraco− ∗ em L∞(0, T, Lq(Ω)) (3.53)

Dεwεy Dzy fraco− ∗ em L∞(0, T, Lq(Ω)) (3.54)

Por (3.46) e (3.50), temos

Bε11w

εx =

2µ

1− µbε11 + bε22wεx + 2εbε11w

εx = Dεwεx + 2εbε11w

εx (3.55)

Analogamente, de (3.47) e (3.50)

Bε22w

εy =

2µ

1− µbε11 + bε22wεy + 2εbε22w

εy = Dεwεy + 2εbε22w

εy (3.56)

De (3.48), (3.55) e (3.53), para 1 ≤ q < 2, quando ε→ 0,

Bε11w

εx Dzx fraco− ∗ em L∞(0, T, Lq(Ω)) (3.57)

De (3.49), (3.56) e (3.54), para 1 ≤ q < 2, quando ε→ 0,

Bε22w

εy Dzy fraco− ∗ em L∞(0, T, Lq(Ω)) (3.58)

Agora, como

[Bεij] · ∇wε =

[Bε

11 Bε12

Bε21 Bε

22

]·

[wεx

wεy

]=

[Bε

11wεx +Bε

12wεy

Bε21w

εx +Bε

22wεy

]

de (3.44), (3.45), (3.57) e (3.58), segue que, para 1 ≤ q < 2, quando ε→ 0,

[Bεij] · ∇wε

[Dzx

Dzy

]fraco− ∗ em [L∞(0, T, Lq(Ω))]2 (3.59)

Agora para o termo K1Bε11, de (3.46) e (3.50), temos

K1Bε11 = K1

(2µ

1− µ(bε11 + bε22) + 2εbε11

)= K1D

ε + 2K1εbε11 (3.60)

Analogamente, para K2Bε22, de (3.47) e (3.50), temos

K2Bε22 = K2

(2µ

1− µ(bε11 + bε22) + 2εbε22

)= K2D

ε + 2K2εbε22 (3.61)

Somamos (3.60) e (3.61), obtemos que

K1Bε11 +K2B

ε22 = (K1 +K2) Dε + 2K1εb

ε11 + 2K2εb

ε22

87

Da igualdade acima, de (3.48), (3.49) e (3.52), como Ki ∈ L∞(Ω), segue que

K1Bε11 +K2B

ε22 (K1 +K2)D fraco− ∗ em L∞(0, T, Lq(Ω)) (3.62)

quando ε→ 0, para qualquer 1 ≤ q < 2.

Vamos passar o limite na segunda e terceira equações do sistema (3.1) quando ε→ 0.

Das convergências (3.28), (3.27), (3.59) e (3.62), segue que (z, φ) = (z(x, y, t), φ(x, y, y))

é a solução fraca do seguinte sistema ztt + ∆2z −∆ztt + ∆φ = (Dzx)x + (Dzy)y − (K1 +K2)D

φt −∆φ−∆zt = 0(3.63)

com z =∂z

∂ν= 0 e φ = 0 sobre a fronteira ∂Ω.

Resta identicar D em termos de z,K1, K2. De (3.13), temos que √εU ε

t é lim-

itada em [L∞(0, T, L2(Ω))]2 → [L2(0, T, L2(Ω))]2. Portanto, √εU ε

tt é limitada em

[H−1(0, T, L2(Ω))]2. Então,

εU εtt =√ε(√εU ε

tt) 0 fraco− ∗ em [H−1(0, T, L2(Ω))]2 (3.64)

De (3.21), temos que εα/2 U εt é limitada em [L2(0, T, L2(Ω))]2, então

εα U εt = εα/2(εα/2 U ε

t ) 0 fraco− ∗ em [L2(0, T, L2(Ω))]2 (3.65)

De (3.64), (3.65) e a primeira equação de (3.1), segue que

εU εtt + εα U ε

t = Div([Bε

ij]) 0 fraco− ∗ em [H−1(0, T, L2(Ω))]2 (3.66)

Já sabemos que[Bεij

]

[D 0

0 D

]fraco− ∗ em [L∞(0, T, L2(Ω))]4 (3.67)

Assim, as convergências (3.66) e (3.67) implicam que

Dx = 0 e Dy = 0,

o que diz que D = D(t) é uma função que só depende de t. Vamos explicitar o seu valor.

Integramos Dε em Ω, pelo o Teorema da Divergência, como U = (u, v) ∈ [H1o (Ω)]2,

segue que∫Ω

Dεdxdy =2µ

1− µ

∫Ω

uεx + vεy +

1

2|∇wε|2 + (K1 +K2)wε

dxdy

=2µ

1− µ

∫Ω

div(U ε)dxdy +2µ

1− µ

∫Ω

1

2|∇wε|2 + (K1 +K2)wε

dxdy

=µ

1− µ

∫Ω

|∇wε|2dxdy +2µ

1− µ

∫Ω

(K1 +K2)wεdxdy

88

Por um lado, por (3.41),∫Ω

Dεdxdy −→ µ

1− µ

∫Ω

|∇z|2dxdy +2µ

1− µ

∫Ω

(K1 +K2) z dxdy (3.68)

Por outro lado, por (3.52),∫Ω

Dεdxdy −→∫

Ω

D(t) dxdy = |Ω|D(t) (3.69)

Comparamos (3.68) e (3.69), obtemos

|Ω|D(t) =µ

1− µ

∫Ω

|∇z|2 + 2 (K1 +K2) z

dxdy,

ou seja,

D(t) =µ

(1− µ)|Ω|

∫Ω

|∇z|2 + 2 (K1 +K2) z

dxdy, (3.70)

Substituímos (3.70) em (3.63), e temos que (z, φ) é a solução fraca do sistemaztt + ∆2z −∆ztt + ∆φ =

(µ

(1−µ)|Ω|

∫Ω

(|∇z|2 + 2(K1 +K2)z) dxdy)

∆z

−(

µ(1−µ)|Ω|

∫Ω

(|∇z|2 + 2(K1 +K2)z) dxdy)

(K1 +K2)

φt −∆φ−∆zt = 0

(3.71)

com z =∂z

∂ν= 0 e φ = 0 sobre a fronteira ∂Ω.

Ainda resta identicar as condições iniciais De (3.39), segue que

wε −→ z forte em C([0, T ], L2(Ω))

Desta convergência e de (3.3) obtemos que

wε(x, y, 0) = wo(x, y) −→ z(x, y, 0),

o que implica

z(x, y, 0) = wo(x, y) (3.72)

Na segunda equação do sistema (3.1), temos

(I −∆)wεtt = −∆2wε −∆θε + div([Bε

ij]∇wε)−K1B

ε11 −K2B

ε22 (3.73)

Como wε é limitada em L∞(0, T,H2o (Ω)), segue que −∆2wε é limitada em

L∞(0, T,H−2(Ω)). Também, θε é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)), então −∆θε é limi-

tada em L∞(0, T,H−2(Ω)).

89

Da discussão anterior, vimos que [Bεij]∇wε é limitada [L∞(0, T, Lq(Ω))]2 para qual-

quer 1 ≤ q < 2. Agora, para o caso bidimensional, temos a imersão contínua H1−δ(Ω) →L2/δ(Ω) para 0 < δ < 1. Logo, para os espaços duais temos L(2/δ)′(Ω) → H−(1−δ)(Ω)

para 0 < δ < 1. Como (2/δ)′ =2

2− δ, segue que L

22−δ (Ω) → H−(1−δ)(Ω) para 0 < δ < 1.

Escolhendo q = 22−δ < 2, segue que [Bε

ij]∇wε é limitada [L∞(0, T, Lq(Ω))]2, então

div([Bεij]∇wε) é limitada [L∞(0, T,H−2+δ(Ω))]2, 0 < δ < 1. Pela imersão H−2+δ(Ω) →

H−2(Ω), segue que div([Bεij]∇wε) é limitada em [L∞(0, T,H−2(Ω))]2.

As sequências K1Bε11 e K2B

ε22 são limitadas L∞(0, T, L2(Ω)), então são limitadas

em L∞(0, T,H−δ(Ω)), ∀δ > 0. Logo, em (3.73), temos

wεtt = (I −∆)−1gε

com gε limitada em L∞(0, T,H−2(Ω)), o que implica que

wεtt é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)) (3.74)

Como wεt é limitada em L∞(0, T,H1o (Ω)), por (3.74) e pelo lema de Compacidade de

Lions-Aubin, [45], podemos extrair uma subsequência de wεt tal que

wεt −→ zt forte em C([0, T ], L2(Ω)) (3.75)

Então, desta convergência e de (3.3), segue que

wεt (x, y, 0) = w1(x, y) −→ zt(x, y, 0)

o que implica

zt(x, y, 0) = w1(x, y) (3.76)

Para a variável θε, temos θεt = ∆θε + ∆wεt que é limitada em L∞(0, T,H−2(Ω)).

Como θε é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)), segue pelo Teorema de Lions-Aubin, [45],

θε −→ φ em C([0, T ], H−1(Ω)),

então, de (3.3),

θε(x, y, 0) = θo(x, y) −→ φ(x, y, 0) em C([0, T ], H−1(Ω)),

o que implica

φ(x, y, 0) = θo(x, y) (3.77)

Logo, (z, φ) é a solução fraca de (3.71) com condições iniciais dada por (3.72), (3.76)

e (3.77).

90

Observação 3.1. Todas as convergências obtidas neste Capítulo foram para subsequên-

cias em ε, porém como ambos os modelos (3.1) e (3.9) têm solução global fraca única,

segue que o resultado é válido sempre que ε→ 0, não importando por qual sequência.

91

Capítulo 4

Estabilização do sistema

Marguerre-Vlasov com Efeitos

Térmicos

4.1 Introdução

Neste capítulo, estabeleceremos o decaimento exponencial da energia associada a

soluções fracas. Em [32], G.A Perla Menzala e J.S. Suarez obtiveram o decaimento da

energia do sistema de Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos no caso unidimensional.

Mas a extensão deste resultado para o caso bidimensional não é trivial. Isto se deve ao

fato que, no caso bidimensional:

i) as equações envolvidas possuem uma complexidade maior;

ii) o termo não-linear não é limitado no espaço determinado pelas soluções de energia

nita;

iii) ao fato que H1(Ω) não está imerso em L∞(Ω);

iv) a regularidade do traço na fronteira tem um papel fundamental nas estimativas.

Devido a essas diculdades, o decaimento exponencial da energia será feito por duas

técnicas que serão apresentadas nas seções 5.4 e 5.5.

Na seção 5.2, estabelecemos a identidade de dissipatividade para soluções regulares.

Na seção 5.3, estabelecemos uma regularidade de traço na fronteira. Os resultados apre-

sentados nestas duas seções são cruciais para a aplicação das duas técnicas.

92

Na seção 5.4, apresentamos a primeira técnica que é baseada no multiplicadores in-

troduzidos por G. Avalos e I. Lasiecka, [1, 2]. Sob uma hipótese adequada nas curvaturas

K1 e K2, estabelecemos o decaimento exponencial da energia do sistema (4.1)-(4.3).

Na seção 5.5, apresentamos a segunda técnica que é baseada na escolha de um fun-

cional de Lyapunov adequado. Para aplicarmos esta técnica, colocamos uma hipótese

relacionando a energia incial e o coeciente módulo elástico µ. Para o sistema de

Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos (3.1), com condições de fronteira simplesmente

apoiadas (ie, U = w = ∆w = θ = 0 sobre ∂Ω), feita as devidas adaptações, estendemos

os resultados obtidos em [32]. Já, para o sistema (3.1), com condições na fronteira de

Dirichlet, combinamos o método utilizado em [32] com o método utilizado em [33, 39]

para obtermos o decaimento exponencial da energia.

Consideramos novamente o sistema de Marguerr-Vlasov sob efeitos térmicos

Utt −Div([Bij]) + Ut = 0 em Ω× (0, T )

wtt + ∆2w −∆wtt + ∆θ

−div([Bij]∇w) +K1B11 +K2B22 = 0

θt −∆θ −∆wt = 0

(4.1)

Em (4.1), U =

(u

v

)e a matriz simétrica [Bij] = [Bij(U,w)] tem componentes

B11 = 21−µ(b11 + µb22)

B22 = 21−µ(b22 + µb11)

B12 = B21 = b12 = b21 = uy + vx + wxwy

b11 = ux + 12w2x +K1w, b22 = vy + 1

2w2y +K2w

Completamos o sistema (4.1) com condições de fronteira de Dirichlet

U = 0, w =∂w

∂ν= 0, θ = 0 sobre ∂Ω× (0, T ) (4.2)


U(x, y, 0) = (u(x, y, 0), v(x, y, 0)) = (uo(x, y), vo(x, y)) = Uo(x, y)

Ut(x, y, 0) = (ut(x, y, 0), vt(x, y, 0)) = (u1(x, y), v1(x, y)) = U1(x, y)

w(x, y, 0) = wo(x, y)

wt(x, y, 0) = w1(x, y)

θ(x, y, 0) = θo(x, y)

(4.3)

93

Vamos reescrever o sistema (4.1) na forma variacional. Pelos Lemas 1.4, 1.9 e 1.10,

sejam ξ ∈ H1(Ω)×H1(Ω), ψ ∈ H2(Ω) ∩H1o (Ω), δ ∈ H1

o (Ω) funções testes, então

(Utt, ξ)(L2(Ω))2 + (C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(ξ))(L2(Ω))4

− 〈C[ε(U)] · ν, ξ〉(L2(Γ))2 + (Ut, ξ)(L2(Ω))2 = 0 (4.4)

(wtt, ψ)L2(Ω) + (∆w,∆ψ)L2(Ω) −⟨∂ψ

∂ν,∆w

⟩L2(Γ)

+ (∇wtt,∇ψ)L2(Ω) − (∇θ,∇ψ)L2(Ω)

+ (C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇ψ)(L2(Ω))4 + (K1B11 +K2B22, ψ)L2(Ω) = 0

(4.5)

(θt, δ)L2(Ω) + (∇θ,∇δ)L2(Ω) + (∇wt,∇δ)L2(Ω) = 0 (4.6)

4.2 Identidade de Dissipatividade

Seja a energia total do sistema (4.1)-(4.3) dada por

E(t) =1

2

∫Ω

|Ut|2 + |wt|2 + |∆w|2 + |∇wt|2 + |θ|2

+ 2|b11|2 + 2|b22|2 + |b12|2 +2µ

1− µ|b11 + b22|2

dA (4.7)

ou escrita na forma

E(t) = E1(t) + E2(t)

onde

E1(t) =1

2

∫Ω

|Ut|2 + |wt|2 + |∇wt|2

dA (4.8)

E2(t) =1

2

∫Ω

|∆w|2 + |θ|2 + 2|b11|2 + 2|b22|2 + |b12|2 +

2µ

1− µ|b11 + b22|2

dA (4.9)

Lema 4.1 (Identidade de Dissipatividade). Sejam (U,w, θ) soluções globais regulares do

sistema (4.1)-(4.3). Se 0 ≤ s < t, então

E(t) +

∫ t

s

∫Ω

|∇θ|2dAdt+

∫ t

s

∫Ω

|Uτ |2dAdτ = E(s) (4.10)

Demonstração: Seja (U,w, θ) uma solução regular do sistema (4.1) dada pelo Teorema

1.1. Então, (U,w, θ) possui a regularidade em (1.119).

Para provarmos (4.10), basta escolhermos ξ = Ut em (4.4), ψ = wt em (4.5) e δ = θ

em (4.6) e depois intergrarmos em (s, t).

94

4.3 Regularidade do Traço na Fronteira

Para demonstrarmos o decaimento exponencial da energia, necessitamos de uma es-

timativa de traço do termo ∆w sobre ∂Ω × (0,∞). O Lema 4.8 abaixo fornecerá este

resultado. Ainda, este Lema diz que ∆w ∈ L2(0,∞, ∂Ω) o que não é uma consequência

direta das propriedades das soluções regulares no interior de Ω. Mas, para isso, iniciare-

mos esta seção fornecendo alguns lemas técnicos.

Lema 4.2. Sejam A = [aij], B = [bij] matrizes simétricas com entradas aij = aij(x1, x2) ∈H1(Ω) e bij = bij(x1, x2) ∈ H1(Ω). Seja C = [cij] matriz simétrica com entradas con-

stantes tais que

a11 = c11b11 + c22b22, a22 = c11b22 + c22b11

a12 = c12b12, a21 = c21b21 (4.11)

Seja h = (h1(x1, x2), h2(x1, x2)) ∈ C1(Ω), então

div(

(A,B)(L2(Ω))4 · h)

= (A,B)(L2(Ω))4 · divh + 2

(a11, b11,x1)L2(Ω) + (a22, b22,x1)L2(Ω)

+ (a12, b12,x1)L2(Ω) + (a21, b21,x1)L2(Ω)

h1 + 2

(a11, b11,x2)L2(Ω) + (a22, b22,x2)L2(Ω)

+ (a12, b12,x2)L2(Ω) + (a21, b21,x2)L2(Ω)

h2

= (A,B)(L2(Ω))4 · divh + 2aijbij,xihi

Demonstração: Sejam A,B,C as matrizes acima relacionadas pela expressão (4.11).

Então,

div(

(A,B)(L2(Ω))4 · h)

=(

(A,B)(L2(Ω))4 · h1

)x1

+(

(A,B)(L2(Ω))4 · h2

)x2

= (A,B)(L2(Ω))4 (h1,x1 + h2,x2) +(

(A,B)(L2(Ω))4

)x1· h1 +

((A,B)(L2(Ω))4

)x2· h2

= (A,B)(L2(Ω))4 · divh +

(2∑

ij=1

(aij,x1 , bij)L2(Ω) +2∑

ij=1

(aij, bij,x1)L2(Ω)

)· h1

+

(2∑

ij=1

(aij,x2 , bij)L2(Ω) +2∑

ij=1

(aij, bij,x2)L2(Ω)

)· h2

95

= (A,B)(L2(Ω))4 · divh +

(c11b11,x1 + c22b22,x1 , b11)L2(Ω) + (c12b12,x1 , b12)L2(Ω)

+ (c21b21,x1 , b21)L2(Ω) + (c11b22,x1 + c22b11,x1 , b22)L2(Ω) + (c11b11 + c22b22, b11,x1)L2(Ω)

+ (c12b12, b12,x1)L2(Ω) + (c21b21, b21,x1)L2(Ω) + (c11b22 + c22b11, b22,x1)L2(Ω)

h1

+

(c11b11,x2 + c22b22,x2 , b11)L2(Ω) + (c12b12,x2 , b12)L2(Ω)

+ (c21b21,x2 , b21)L2(Ω) + (c11b22,x2 + c22b11,x2 , b22)L2(Ω) + (c11b11 + c22b22, b11,x2)L2(Ω)

+ (c12b12, b12,x2)L2(Ω) + (c21b21, b21,x2)L2(Ω) + (c11b22 + c22b11, b22,x2)L2(Ω)

h2

= (A,B)(L2(Ω))4 · divh + 2

(c11b11,x1 , b11)L2(Ω) + (c22b22,x1 , b11)L2(Ω) + (c12b12,x1 , b12)L2(Ω)

+ (c21b21,x1 , b21)L2(Ω) + (c11b22,x1 , b22)L2(Ω) + (c22b11,x1 , b22)L2(Ω)

h1

+ 2

(c11b11,x2 , b11)L2(Ω) + (c22b22,x2 , b11)L2(Ω) + (c12b12,x2 , b12)L2(Ω)

+ (c21b21,x2 , b21)L2(Ω) + (c11b22,x2 , b22)L2(Ω) + (c22b11,x2 , b22)L2(Ω)

h2

= (A,B)(L2(Ω))4 · divh + 2

(c11b11 + c22b22, b11,x1)L2(Ω) + (c12b12, b12,x1)L2(Ω)

+ (c21b21, b21,x1)L2(Ω) + (c22b11 + c11b22, b22,x1)L2(Ω)

h1

+ 2

(c11b11 + c22b22, b11,x2)L2(Ω) + (c12b12, b12,x2)L2(Ω)

+ (c21b21, b21,x2)L2(Ω) + (c22b11 + c11b22, b22,x2)L2(Ω)

h2

= (A,B)(L2(Ω))4 · divh

+ 2

(a11, b11,x1)L2(Ω) + (a22, b22,x1)L2(Ω) + (a12, b12,x1)L2(Ω) + (a21, b21,x1)L2(Ω)

h1

+ 2

(a11, b11,x2)L2(Ω) + (a22, b22,x2)L2(Ω) + (a12, b12,x2)L2(Ω) + (a21, b21,x2)L2(Ω)

h2

Lema 4.3. Seja ε(·) denido em (1.1). Sejam U =

(u1(x1, x2)

u2(x1, x2)

)∈ [H1

o (Ω)]2 e

h =

(h1(x1, x2)

h2(x1, x2)

)∈ [C1(Ω)]2. Então,

ε(∇U · h) = Θ1(DxiU) +M (4.12)

96

onde

Θ1(DxiU) =

[(Dx1h) · ∇u1

12(Dx2h) · ∇u1 + (Dx1h) · ∇u2

12(Dx2h) · ∇u1 + (Dx1h) · ∇u2 (Dx2h) · ∇u2

](4.13)

e

M =

[(D2

x1,xiu1)hi

12(D2

x2,xiu1)hi + (D2

x1,xiu2)hi

12(D2

x2,xiu1)hi + (D2

x1,xiu2)hi (D2

x2,xiu2)hi

](4.14)

onde (Dxih) = (Dxih1, Dxih2) e na notação acima ocultamos o símbolo de somatório,

mas o índice duplo denota a soma de termos.

Demonstração: Pela denição de ε(·), temos que

ε(∇U · h) =1

2

∇(∇U · h) + (∇(∇U · h))T

(4.15)

Agora, notemos que

∇U · h =

[u1,x1 u1,x2

u2,x1 u2,x2

]·

[h1

h2

]=

[u1,x1h1 + u1,x2h2

u2,x1h1 + u2,x2h2

]=

[a

b

]

Então,

∇(∇U · h) =

[ax1 ax2

bx1 bx2

]=

[(u1,x1h1 + u1,x2h2)x1 (u1,x1h1 + u1,x2h2)x2

(u2,x1h1 + u2,x2h2)x1 (u2,x1h1 + u2,x2h2)x2

](4.16)

97

Substituindo (4.16) em (4.15), segue que

ε(∇U · h) =

(u1,x1h1 + u1,x2h2)x1

12((u1,x1h1 + u1,x2h2)x2

+(u2,x1h1 + u2,x2h2)x1)12((u1,x1h1 + u1,x2h2)x2 (u2,x1h1 + u2,x2h2)x2

+(u2,x1h1 + u2,x2h2)x1)

=

h1,x1u1,x1 + h2,x1u1,x2

12(h1,x2u1,x1 + h2,x2u1,x2

h1,x1u2,x1 + h2,x1u2,x2)12(h1,x2u1,x1 + h2,x2u1,x2 h1,x2u2,x1 + h2,x2u2,x2

h1,x1u2,x1 + h2,x1u2,x2)

+

h1u1,x1x1 + h2u1,x1x2

12(h1u1,x1x2 + h2u1,x2x2

+h1u2,x1x1 + h2u2,x1x2)12(h1u1,x1x2 + h2u1,x2x2 h1u2,x1x2 + h2u2,x2x2

+h1u2,x1x1 + h2u2,x1x2)

=

(h1,x1 , h2,x1) · (u1,x1 , u1,x2)

12((h1,x2 , h2,x2) · (u1,x1 , u1,x2)

+(h1,x1 , h2,x1) · (u2,x1 , u2,x2))12((h1,x2 , h2,x2) · (u1,x1 , u1,x2) (h1,x2 , h2,x2) · (u2,x1 , u2,x2)

+(h1,x1 , h2,x1) · (u2,x1 , u2,x2))

+

[ ∑2i=1 hiu1,x1xi

12

∑2i=1 hi(u1,xix2 + u2,x1xi)

12

∑2i=1 hi(u1,xix2 + u2,x1xi)

∑2i=1 hiu2,xix2

]= Θ1(DxiU) +M

onde Θ1 é a matriz denida em (4.13) e contém as primeiras derivadas de U e M é a

matriz denida em (4.14) e contém as segundas derivadas do vetor U.

Lema 4.4. Seja A = [aij] uma matriz simétrica e a M a matriz denida em (4.14).

Então,

(A,M)(L2(Ω))4 =(akj, (D

2xkxj

uj)hi

)L2(Ω)

(4.17)

98

Demonstração: Seja A uma matriz simétrica.

(A,M)(L2(Ω))4 =(a11, (D

2x1xi

u1)hi)L2(Ω)

+

(a12,

1

2(D2

x2xiu1)hi + (D2

x1xiu2)hi

)L2(Ω)

+

(a21,

1

2(D2

x2xiu1)hi + (D2

x1xiu2)hi

)L2(Ω)

+(a22, (D

2x2xi

u2)hi)L2(Ω)

=(a11, (D

2x1xi

u1)hi)L2(Ω)

+(a12, (D

2x1xi

u2)hi)L2(Ω)

+(a21, (D

2x2xi

u1)hi)L2(Ω)

+(a22, (D

2x2xi

u2)hi)L2(Ω)

=(akj, (D

2xkxj

uj)hi

)L2(Ω)

Observação 4.1. Podemos ver que (A,M)(L2(Ω))4 =2∑

k=1

2∑j=1

2∑i=1

(akj, (D

2xkxj

uj)hi

)L2(Ω)

,

mas para falicitar a notação, ocultaremos os símbolos de soma, deixando apenas a indi-

cação nos índices.

Lema 4.5. Sejam w ∈ H2o (Ω) e h = (h1, h2) ∈ [C1(Ω)]2. Então,

∇(∇w · h) = (∇w · (Dx1h),∇w · (Dx2h)) + (wx1xihi, wx2xihi) (4.18)

Demonstração: Seja w ∈ H2o (Ω). Então, ∇w · h = wx1h1 + wx2h2. Logo,

∇(∇w · h) = ((wx1h1 + wx2h2)x1 , (wx1h1 + wx2h2)x2)

= (h1,x1wx1 + h2,x1wx2 , h1,x2wx1 + h2,x2wx2)

+ (h1wx1x1 + h2wx2x1 , h1wx1x2 + h2wx2x2)

= ((h1,x1 , h2,x1) · (wx1 , wx2) , (h1,x2 , h2,x2) · (wx1 , wx2))

+

(2∑i=1

hiwx1xi ,2∑i=1

hiwx2xi

)

=

(∇w · (Dx1h),∇w · (Dx2h)

)+ (wx1xihi, wx2xihi)

Lema 4.6. Sejam w e h como no Lema 4.5. Então,

∇(∇w · h)⊗∇w =

(∇w · (Dx1h),∇w · (Dx2h)

)⊗∇w + (wx1xihi, wx2xihi)⊗∇w

(4.19)

99

Demonstração: A prova deste lema segue diretamente do Lema 4.5.

Lema 4.7. Sejam A = [aij] uma matriz simétrica, w e h como no Lema 4.5. Então,

(A,∇(∇w · h)⊗∇w)(L2(Ω))4 =

(A,

(∇w · (Dx1h),∇w · (Dx2h)

)⊗∇w

)(L2(Ω))4

+ akjwxjwxkxihi (4.20)

Demonstração: Pelo Lema 4.6 segue que

(A,∇(∇w · h)⊗∇w)(L2(Ω))4 =

(A,

(∇w · (Dx1h),∇w · (Dx2h)

)⊗∇w

)(L2(Ω))4

+

(A, (wx1xihi, wx2xihi)⊗∇w

)(L2(Ω))4

(4.21)

Agora, (wx1xihi, wx2xihi

)⊗∇w =

[(wx1xihi)wx1 (wx1xihi)wx2

(wx2xihi)wx1 (wx2xihi)wx2

]então,(A, (wx1xihi, wx2xihi)⊗∇w

)(L2(Ω))4

= (a11, (wx1xihi)wx1)L2(Ω) + (a12, (wx1xihi)wx2)L2(Ω)

+ (a21, (wx2xihi)wx1)L2(Ω) + (a22, (wx2xihi)wx2)L2(Ω)

=2∑

k=1

2∑j=1

2∑i=1

akjwxj wxkxihi.

Logo, substituímos a identidade acima em (4.21), ocultando os símbolos de somatário,

segue a identidade (4.20).

Lema 4.8. Sejam (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈ [H2(Ω)∩H1o (Ω)]2× [H1

o (Ω)]2×H3(Ω)∩H2o (Ω)×

H2o (Ω)×H2(Ω)∩H1

o (Ω). Sejam (U,w) uma solução regular do sistema (4.1)-(4.3) e θ a

correspondente solução regular termal xa. Então, existe umas constante C1 > 0 tal que∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt ≤ C1

E(0) +

∫ T

0

‖Ut‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖U‖2H1(Ω)dt

+

∫ T

0

‖w‖2H2(Ω)dt+

∫ T

0

‖∇wt‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt

+

∫ T

0

‖b11‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖b22‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖b12‖2L2(Ω)dt

(4.22)

onde E(0) é a energia inicial.

100

Demonstração: Seja h =

(h1

h2

)∈ [C1(Ω)]2 tal que h quando restrito a fronteira

∂Ω = Γ é igual ao vetor unitário ν.

Escolhemos ξ = ∇U · h em (4.4) e integramos em (0, T ),∫ T

0

(Utt,∇U · h)(L2(Ω))2 dt+

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(∇U · h))(L2(Ω))4 dt

−∫ T

0

〈C[ε(U)] · ν,∇U · h〉(L2(Γ))2 dt+

∫ T

0

(Ut,∇U · h)(L2(Ω))2 dt = 0

Integrando por partes, obtemos que∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(∇U · h))(L2(Ω))4 dt−∫ T

0

〈C[ε(U)] · ν,∇U · h〉(L2(Γ))2 dt

= −∫ T

0

(Utt,∇U · h)(L2(Ω))2 dt−∫ T

0

(Ut,∇U · h)(L2(Ω))2 dt

= − (Ut,∇U · h)(L2(Ω))2

∣∣T0

+

∫ T

0

(Ut,∇Ut · h)(L2(Ω))2 dt

−∫ T

0

(Ut,∇U · h)(L2(Ω))2 dt (4.23)

Agora, pelo Lema A.1,∫ T

0

(Ut,∇Ut · h)(L2(Ω))2 dt = −1

2

∫ T

0

∫Ω

|Ut|2div(h) dAdt

Logo, substituímos a identidade acima em (4.23), obtemos que∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(∇U · h))(L2(Ω))4 dt

−∫ T

0

〈C[ε(U)] · ν,∇U · h〉(L2(Γ))2 dt = B(1) (4.24)

onde

B(1) = − (Ut,∇U · h)(L2(Ω))2

∣∣T0−∫ T

0

(Ut,∇U · h)(L2(Ω))2 dt−1

2

∫ T

0

∫Ω

|Ut|2div(h) dAdt

Agora, notemos que, pela desigualdade de Cauchy-Schwartz e (4.10),

|B(1)| ≤ |(Ut,∇U · h)|∣∣T0

+

∫ T

0

‖Ut‖L2(Ω) · ‖∇U · h‖L2(Ω)dt+ C1

∫ T

0

‖Ut‖2L2(Ω)dt

≤ ‖Ut(T )‖L2(Ω) · ‖∇U(T ) · h‖L2(Ω) + ‖Ut(0)‖L2(Ω) · ‖∇U(0) · h‖L2(Ω)

+ C2

∫ T

0

‖Ut‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖∇U · h‖2L2(Ω)dt

≤ C3

E(T ) + E(0) +

∫ T

0

‖Ut‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖U‖2H1(Ω)dt

(4.25)

101

Escolhemos ψ = h · ∇w em (4.5) e integramos em (0,T), então,∫ T

0

(wtt,h · ∇w)L2(Ω) dt+

∫ T

0

(∆w,∆(h · ∇w))L2(Ω) dt−∫ T

0

⟨∂(h · ∇w)

∂ν,∆w

⟩L2(Γ)

dt

+

∫ T

0

(∇wtt,∇(h · ∇w))L2(Ω) dt−∫ T

0

(∇θ,∇(h · ∇w))L2(Ω) dt

+

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt

+

∫ T

0

(K1B11 +K2B22,h · ∇w)L2(Ω) dt = 0

Então,∫ T

0

(∆w,∆(h · ∇w))L2(Ω) dt+

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt

−∫ T

0

⟨∂(h · ∇w)

∂ν,∆w

⟩L2(Γ)

dt = −∫ T

0

(wtt,h · ∇w)L2(Ω) dt

−∫ T

0

(∇wtt,∇(h · ∇w))L2(Ω) dt+

∫ T

0

(∇θ,∇(h · ∇w))L2(Ω) dt

−∫ T

0

(K1B11 +K2B22,h · ∇w)L2(Ω) dt (4.26)

Pelo Lema A.2, segue que∫ T

0

(wtt,h · ∇w)L2(Ω)dt = (wt,h · ∇w)L2(Ω)

∣∣T0

+1

2

∫ T

0

∫Ω

w2t div(h) dAdt

Pelo Lema A.3, segue que

−∫ T

0

(∇wtt,∇(h · ∇w))L2(Ω)dt = −(∇wt,∇(h · ∇w))∣∣T0

− 1

2

∫ T

0

∫Ω

(w2tx1h2,x2 + w2

tx2h1,x1 − w2

tx1h1,x1 − w2

tx2h2,x2)

+

∫ T

0

∫Ω

(wtx1wtx2h2,x1 + wtx1wtx2h1,x2)

Logo, substituindo as duas identidades acima em (4.26), segue que∫ T

0

(∆w,∆(h · ∇w))L2(Ω) dt+

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt

−∫ T

0

⟨∂(h · ∇w)

∂ν,∆w

⟩L2(Γ)

dt = B(2) (4.27)

102

onde

B(2) = −(wt,h · ∇w)L2(Ω)

∣∣T0−1

2

∫ T

0

∫Ω

w2t div(h) dAdt− (∇wt,∇(h · ∇w))

∣∣T0

− 1

2

∫ T

0

∫Ω

(w2tx1h2,x2 + w2

tx2h1,x1 − w2

tx1h1,x1 − w2

tx2h2,x2) dAdt

+

∫ T

0

∫Ω

(wtx1wtx2h2,x1 + wtx1wtx2h1,x2) dAdt+

∫ T

0

(∇θ,∇(h · ∇w))L2(Ω) dt

−∫ T

0

(K1B11 +K2B22,h · ∇w)L2(Ω) dt

Notemos que, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, por (4.10), como Ki ∈ L∞(Ω),

segue que

|B(2)| ≤ ‖wt(T )‖L2(Ω) · ‖h · ∇w(T )‖L2(Ω) + ‖wt(0)‖L2(Ω) · ‖h · ∇w(0)‖L2(Ω)

+ ‖∇wt(T )‖L2(Ω) · ‖∇(h · ∇w(T ))‖L2(Ω) + ‖∇wt(0)‖L2(Ω) · ‖∇(h · ∇w(0))‖L2(Ω)

+ C1

∫ T

0

(‖wtx1‖2

L2(Ω) + ‖wtx2‖2L2(Ω)

)dt+ C2

∫ T

0

‖wtx1‖L2(Ω) · ‖wtx2‖L2(Ω)dt

+

∫ T

0

‖∇θ‖L2(Ω) · ‖∇(h · ∇w)‖L2(Ω)dt

+

∫ T

0

‖K1B11 +K2B22‖L2(Ω) · ‖∇(h · ∇w)‖L2(Ω)dt

≤ C3

E(0) + E(T ) + C(h)

∫ T

0

‖∇wt‖2L2(Ω)dt+ C(h)

∫ T

0

‖w‖2H2(Ω)dt

+

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt+ ‖K1‖2

L∞(Ω)

∫ T

0

‖B11‖2L2(Ω)dt+ ‖K2‖2

L∞(Ω)

∫ T

0

‖B22‖2L2(Ω)dt

Pela denição de B11 e B22, segue que

|B(2)| ≤ C(h, K1, K2)

E(0) +

∫ T

0


∫ T

0

‖w‖2H2(Ω)dt

+

∫ T

0

‖b11‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖b22‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0


(4.28)

Pelo Lema 4.3 e denição da matriz Θ1 em (4.13) e denição da matriz M em (4.14),

103

segue que ∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(∇U · h))(L2(Ω))4 dt

=

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],Θ1(DxiU) +M)(L2(Ω))4 dt

=

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],Θ1(DxiU))(L2(Ω))4 dt

+

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)(L2(Ω))4 dt

= B(3) +

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)(L2(Ω))4 dt (4.29)

onde, pelo Lema 1.3,

|B(3)| =∣∣∣∣∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],Θ1(DxiU))(L2(Ω))4 dt

∣∣∣∣≤∫ T

0

‖C[ε(U) + f(∇w) + J(w)]‖L2(Ω) · ‖Θ1(DxiU)‖L2(Ω)dt

≤ C(h)

∫ T

0

(‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2

L2(Ω) + ‖U‖2H1(Ω)

)dt (4.30)

Agora, como U = 0 sobre ∂Ω, por [17](Lema 4.1), segue que

〈C[ε(U)]ν,∇U · h〉L2(Γ) = 〈C[ε(U)], ε(U)νh〉L2(Γ) (4.31)

Substituímos (4.29) e (4.31) em (4.24), segue que

B(3) +

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)(L2(Ω))4 dt−∫ T

0

〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt = B(1),

ou seja,∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)(L2(Ω))4 dt = B(1)−B(3) +

∫ T

0

〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt

(4.32)

Pelo Lema A.4, segue que∫ T

0

∫Ω

∆w ·∆(∇w · h) = −1

2

∫ T

0

∫Ω

divh|∆w|2 +

∫ T

0

∫Ω

∆w2∑

k=1

(∆hk)wxk

+ 2

∫Ω

∆w2∑

k=1

∇hk∇wxk +1

2

∫ T

0

∫Γ

|∆w|2

104

Então, ∫ T

0

∫Ω

∆w ·∆(∇w · h) = B(4) +1

2

∫ T

0

∫Γ

|∆w|2 (4.33)

onde

B(4) = −1

2

∫ T

0

∫Ω

divh|∆w|2 +

∫ T

0

∫Ω

∆w2∑

k=1

(∆hk)wxk + 2

∫Ω

∆w2∑

k=1

∇hk∇wxk

Como h ∈ C2(Ω), pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, segue que

|B(4)| ≤ C(h)

∫ T

0

‖w‖2H2(Ω)dt (4.34)

Ainda, como w ∈ H2o (Ω), como feito em [33],⟨

∆w,∂(h · ∇w)

∂ν

⟩L2(Γ)

= ‖∆w‖2L(Γ) (4.35)

Substituímos (4.33) e (4.35) em (4.27), segue que

1

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt+B(4) +

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt

−∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt = B(2)

Então,∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt = B(2)−B(4)

+1

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt (4.36)

Combinando (4.32) e (4.36), segue que∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt

+

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)(L2(Ω))4 dt = B(1)−B(3) +B(2)−B(4)

+1

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt+

∫ T

0

〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt

ou seja,∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M +∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt

= B(1)−B(3) +B(2)−B(4) +1

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt+

∫ T

0

〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt

(4.37)

105

Escolhemos a matriz simétrica A = C[ε(U) + f(∇w) + J(w)] no Lema 4.7,∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt

=

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], (∇w ·Dx1h,∇w ·Dx2h)⊗∇w)(L2(Ω))4 dt

+

∫ T

0

∫Ω

akjwxjwxkxihi dAdt

= B(6) +

∫ T

0

∫Ω

akjwxjwxkxihi dAdt (4.38)

onde

B(6) =

∫ T

0


Agora, notemos que

(∇w ·Dx1h,∇w ·Dx2h)⊗∇w =

[(∇w ·Dx1h)wx1 (∇w ·Dx1h)wx2

(∇w ·Dx2h)wx1 (∇w ·Dx2h)wx2

]Então, pela desigualdade de Holder e a imersão H1(Ω) → L4(Ω),

|B(6)| =∣∣∣∣∫ T

0


∣∣∣∣≤∫ T

0

∣∣∣(a11, (∇w ·Dx1h)wx1)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(a12, (∇w ·Dx1h)wx2)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(a21, (∇w ·Dx2h)wx1)L2(Ω)

∣∣∣+∣∣∣(a22, (∇w ·Dx2h)wx2)L2(Ω)

∣∣∣dt≤

2∑ij=1

∫ T

0

‖aij‖L2(Ω) · ‖(∇w ·Dxih)wxj‖L2(Ω)

≤2∑

ij=1

∫ T

0

‖aij‖L2(Ω) ·(‖w2

xihi,xj‖L2(Ω) + ‖wxiwxjhi,xj‖L2(Ω)

)dt

≤ C1

2∑ij=1

∫ T

0

‖aij‖L2(Ω) ·(‖wxi‖2

L4(Ω) + ‖wxi‖L4(Ω)‖wxj‖L4(Ω)

)dt

≤ C1

2∑ij=1

∫ T

0

‖aij‖L2(Ω) · ‖wxi‖2H1(Ω)dt ≤ C1

2∑ij=1

∫ T

0

‖aij‖L2(Ω) · ‖w‖2H2(Ω)dt

≤ C1

2∑

ij=1

∫ T

0

‖aij‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖w‖4H2(Ω)dt

≤ C1

2∑

ij=1

∫ T

0

‖aij‖2L2(Ω)dt+ E(0)

∫ T

0

‖w‖2H2(Ω)dt

(4.39)

106

Susbtituímos (4.38) em (4.37), obtemos que∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)(L2(Ω))4 dt+

∫ T

0

∫Ω

akjwxjwxkxihi dAdt

= B(1)−B(3) +B(2)−B(4)−B(6)

+1

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt+

∫ T

0

〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt (4.40)

Escolhemos A = C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], B = [ε(U) + f(∇w) + J(w)] e a matriz

constante C =

[2

1−µ 2

2 2µ1−µ

]no Lema 4.2 e obtemos que

div

((C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U) + f(∇w) + J(w)

)h

)−(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U) + f(∇w) + J(w)

)div(h) = 2aijwxjwxkxihk

+ 2aij(D2xkxj

ui)hk + 2aij(DxiKi)whk + 2aijKiwxkhk (4.41)

Pelo Lema 4.4, segue que∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)dt =

∫ T

0

∫Ω

aij(D2xkxj

ui)hk dAdt

pois M contém as segundas derivadas de U .

Portanto, de (4.41) e a igualdade acima,∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)dt+

∫ T

0

∫Ω

akjwxjwxkxihi dAdt

=

∫ T

0

∫Ω

aij(D2xkxj

ui)hk dAdt+

∫ T

0

∫Ω

akjwxjwxkxihi dAdt

=1

2

∫ T

0

∫Ω

div

((C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U) + f(∇w) + J(w)

)· h)dAdt

− 1

2

∫ T

0

∫Ω

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U) + f(∇w) + J(w)

)div(h) dAdt

−∫ T

0

∫Ω

aij(DxiKi)whk dAdt−∫ T

0

∫Ω

aijKiwxkhk dAdt

=1

2

∫ T

0

∫Ω

div

((C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U) + f(∇w) + J(w)

)· h)dAdt+B(7)

(4.42)

107

onde

B(7) = −1

2

∫ T

0

∫Ω

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U) + f(∇w) + J(w)

)div(h) dAdt

−∫ T

0

∫Ω

aij(DxiKi)whk dAdt−∫ T

0

∫Ω

aijKiwxkhk dAdt.

Como Ki ∈ W 1,∞(Ω), pela desigualdade de Cauchy-Schwartz,

|B(7)| ≤ C(h,K1, K2)

∫ T

0

‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2

L2(Ω) + ‖w‖2H2(Ω)

dt. (4.43)

Aplicando o Teorema da Divergência em (4.42), como w ∈ H2o (Ω),∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)dt+

∫ T

0

∫Ω

akjwxjwxkxihi dAdt

=1

2

∫ T

0

∫∂Ω

C[ε(U) + f(∇w) + J(w)] · [ε(U) + f(∇w) + J(w)]h · νdΓdt+B(7)

=1

2

∫ T

0

〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) + 〈C[ε(U)], f(∇w)〉L2(Γ) + 〈C[ε(U)], J(w)〉L2(Γ)

+ 〈C[f(∇w)], ε(U)〉L2(Γ) + 〈C[f(∇w)], J(w)〉L2(Γ) + 〈C[ε(J(w))], ε(U)〉L2(Γ)

+ 〈C[ε(J(w))], f(∇w)〉L2(Γ) + 〈C[ε(J(w))], J(w)〉L2(Γ)

dt+B(7)

=1

2

∫ T

0

〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt+B(7) (4.44)

Comparando (4.40) e (4.44), segue que

B(7) +1

2

∫ T

0

〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt =

∫ T

0

〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt

+1

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt+B(1)−B(3) +B(2)−B(4)−B(6)

Logo,

1

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt+

1

2

∫ T

0

〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt = B(7)−B(1)−B(2)

+B(3) +B(4) +B(6) (4.45)

Como∫ T

0

〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt ≥ 0, segue que

1

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt ≤ |B(7)|+ |B(1)|+ |B(2)|+ |B(3)|+ |B(4)|+ |B(6)| (4.46)

Por (4.25), (4.28), (4.30), (4.34), (4.39) e (4.43), para θ ∈ H2(Ω) ∩ H1o (Ω) xo em

(4.1), segue a estimativa (4.22).

108

4.4 Comportamento Assintótico I

O principal resultado desta seção é o Teorema 4.2 e sua demonstração é baseada

nos métodos de multiplicadores introduzidos por G. Avalos e I. Lasiecka em [1, 2], com

condições de fronteira livre, no contexto de placas termoelásticas. Esta técnica também

foi usada por I. Lasiecka em [22]; por I. Lasiecka e A. Benabdallah em [3, 4]; por G.A.

Perla Menzala e E. Zuazua em [33, 39]; por G.A. Perla e J.S. Suarez em [32].

Introduzimos o operador

L : H1o (Ω) ∩H2(Ω)→ L2(Ω)

L = −∆

Sabemos que L−1 = (−∆)−1 : L2(Ω)→ H1o (Ω) ∩H2(Ω) é contínuo, ie,

‖L−1z‖H1o (Ω)∩H2(Ω) ≤ C‖z‖L2(Ω) (4.47)

Teorema 4.1. Seja (U,w, θ) uma solução global regular do sistema original dado por

(4.1), com condições de fronteira dadas por (4.2) e com condições iniciais em (4.3) com

a regularidade (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈ [H2(Ω) ∩ H1o (Ω)]2 × [H1

o (Ω)]2 × H3(Ω) ∩ H2o (Ω) ×

H2o (Ω)×H2(Ω) ∩H1

o (Ω). Sejam K1 e K2 pertencentes a W 1,∞(Ω) e

‖Ki‖L∞(Ω) ≤1− µ√1 + µ

, i = 1, 2. (4.48)

Então, existem constantes C > 0 e β > 0 tais que

E(t) ≤ C(E(0)) e−βt, ∀ t > 0

onde E(t) é dada por (4.7) e E(0) é a energia inicial.

Demonstração: Escolhemos ψ = L−1θ em (4.5), integramos em (0, T ) e obtemos que∫ T

0

(wtt, L

−1θ)L2(Ω)

dt+

∫ T

0

(∆w,∆(L−1θ)

)L2(Ω)

dt−∫ T

0

⟨∆w,

∂(L−1θ)

∂ν

⟩L2(Γ)

dt

+

∫ T

0

(∇wtt,∇(L−1θ)

)L2(Ω)

dt−∫ T

0

(∇θ,∇(L−1θ)

)L2(Ω)

dt

+

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(L−1θ)

)(L2(Ω))4

dt

+

∫ T

0

(K1B11 +K2B22, L

−1θ)L2(Ω)

dt = 0 (4.49)

109

Integrando por partes e usando a equação θt = ∆θ + ∆wt, obtemos que∫ T

0

(wtt, L

−1θ)L2(Ω)

dt =(wt, L

−1θ)L2(Ω)

∣∣T0−∫ T

0

(wt, L

−1θt)L2(Ω)

dt

=(wt, L

−1θ)L2(Ω)

∣∣T0−∫ T

0

(wt, L

−1∆(θ + wt))L2(Ω)

dt

=(wt, L

−1θ)L2(Ω)

∣∣T0

+

∫ T

0

(wt, L

−1(−∆(θ + wt)))L2(Ω)

dt

=(wt, L

−1θ)L2(Ω)

∣∣T0

+

∫ T

0

(wt, θ + wt)L2(Ω) dt

=(wt, L

−1θ)L2(Ω)

∣∣T0

+

∫ T

0

‖wt‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

(wt, θ)L2(Ω) dt

(4.50)

Analogamente,∫ T

0

(∇wtt,∇(L−1θ)

)L2(Ω)

dt =(∇wt,∇(L−1θ)

)L2(Ω)

∣∣T0−∫ T

0

(∇wt,∇(L−1θt)

)L2(Ω)

dt

=(∇wt,∇(L−1θ)

)L2(Ω)

∣∣T0

+

∫ T

0

(∇wt,∇(L−1(−∆(θ + wt))

)L2(Ω)

dt

=(∇wt,∇(L−1θ)

)L2(Ω)

∣∣T0

+

∫ T

0

(∇wt,∇θ)L2(Ω) dt+

∫ T

0

‖∇wt‖2L2(Ω)dt (4.51)

Substituímos (4.50) e (4.51) em (4.49) e obtemos que∫ T

0

‖wt‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖∇wt‖2L2(Ω)dt = −

(wt, L

−1θ)L2(Ω)

∣∣T0−(∇wt,∇(L−1θ)

)L2(Ω)

∣∣T0

−∫ T

0

(wt, θ)L2(Ω) dt−∫ T

0

(∇wt,∇θ)L2(Ω) dt−∫ T

0

(∆w,∆(L−1θ)

)L2(Ω)

dt

+

∫ T

0

⟨∆w,

∂(L−1θ)

∂ν

⟩L2(Γ)

dt+

∫ T

0

(∇θ,∇(L−1θ)

)L2(Ω)

dt

−∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(L−1θ)

)(L2(Ω))4

dt

−∫ T

0

(K1B11 +K2B22, L

−1θ)L2(Ω)

dt

110

Logo,∫ T

0

‖wt‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖∇wt‖2L2(Ω)dt ≤

∣∣∣(wt, L−1θ)L2(Ω)

∣∣∣ ∣∣∣∣T0

+∣∣∣(∇wt,∇(L−1θ)

)L2(Ω)

∣∣∣ ∣∣∣∣T0

+

∣∣∣∣∫ T

0

(wt, θ)L2(Ω) dt

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ T

0

(∇wt,∇θ)L2(Ω) dt

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ T

0

(∆w,∆(L−1θ)

)L2(Ω)

dt

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∫ T

0

⟨∆w,

∂(L−1θ)

∂ν

⟩L2(Γ)

dt

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ T

0

(∇θ,∇(L−1θ)

)L2(Ω)

dt

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(L−1θ)

)(L2(Ω))4

dt

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ T

0

(K1B11 +K2B22, L

−1θ)L2(Ω)

dt

∣∣∣∣ (4.52)

Vamos estimar os termos do lado direito de (4.52). De (4.10) e (4.47), segue que∣∣∣(wt, L−1θ)L2(Ω)

∣∣∣ ∣∣∣∣T0

≤ ‖wt‖L2(Ω) · ‖L−1θ‖L2(Ω)

∣∣∣∣T0

≤ C1‖wt‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)

∣∣∣∣T0

≤ C1(E(0))1/2(E(0))1/2 ≤ C1E(0) (4.53)

Analogamente,∣∣∣(∇wt,∇(L−1θ))L2(Ω)

∣∣∣ ∣∣∣∣T0

≤ ‖∇wt‖L2(Ω) · ‖∇(L−1θ)‖L2(Ω)

∣∣∣∣T0

≤ C1‖wt‖H1(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)

∣∣∣∣T0

≤ C1E(0) (4.54)

Pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz, Young e Poincaré, para algum ε1 > 0 segue

que ∣∣∣∣∫ T

0

(wt, θ)L2(Ω) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ t

0

‖wt‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)dt

≤ ε1

2

∫ t

0

‖wt‖2L2(Ω)dt+

C

2ε1

∫ t

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.55)

Analogamente,∣∣∣∣∫ T

0

(∇wt,∇θ)L2(Ω) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ t

0

‖∇wt‖L2(Ω) · ‖∇θ‖L2(Ω)dt

≤ ε1

2

∫ t

0


1

2ε1

∫ t

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.56)

111

De (4.47) e a desigualdade de Poincaré, para algum ε > 0, segue que∣∣∣∣∫ T

0

(∆w,∆(L−1θ)

)L2(Ω)

dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ T

0

‖∆w‖L2(Ω) · ‖∆(L−1θ)‖L2(Ω)dt

≤ ε

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Ω)dt+

C

2ε

∫ T

0

‖θ‖2L2(Ω)dt

≤ ε

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Ω)dt+

C

2ε

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.57)

Agora, de (4.47) e a desigualdade de Poincaré, para algum γ > 0, segue que∣∣∣∣∣∫ T

0

⟨∆w,

∂(L−1θ)

∂ν

⟩L2(Γ)

dt

∣∣∣∣∣ ≤ γ

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt+

1

2γ

∫ T

0

∥∥∥∥∂L−1θ

∂ν

∥∥∥∥2

L2(Γ)

dt

≤ γ

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt+

C

2γ

∫ T

0

‖θ‖2L2(Ω)dt

≤ γ

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt+

C

2γ

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt, (4.58)

pois como L−1θ ∈ H2(Ω) quando θ ∈ L2(Ω) e, assim, ∂(L−1θ)∂ν

∈ L2(∂Ω).

Pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz, Poincaré e (4.47),∣∣∣∣∫ T

0

(∇θ,∇(L−1θ)

)L2(Ω)

dt

∣∣∣∣ ≤ C

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.59)

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, Holder, a imersão H1(Ω) → L4(Ω) e a con-

112

tinuidade de L−1 dada por (4.47), para algum ε > 0, segue que∣∣∣∣∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(L−1θ)

)(L2(Ω))4

dt

∣∣∣∣≤∫ T

0

‖C[ε(U) + f(∇w) + J(w)]‖(L2(Ω))4 · ‖∇w ⊗∇(L−1θ)‖(L2(Ω))4dt

≤ ε

2

∫ T

0

‖C[ε(U) + f(∇w) + J(w)]‖2(L2(Ω))4dt+

1

2ε

∫ T

0

‖∇w ⊗∇(L−1θ)‖2(L2(Ω))4dt

≤ Cε

2

∫ T

0

(‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2

L2(Ω)

)dt

+1

2ε

∫ T

0

‖∇w‖2L4(Ω) · ‖∇(L−1θ)‖2

L4(Ω)dt

≤ Cε

2

∫ T

0

(‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2

L2(Ω)

)dt

+C

2ε

∫ T

0

‖∇w‖2H1(Ω) · ‖∇(L−1θ)‖2

H1(Ω)dt

≤ Cε

2

∫ T

0

(‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2

L2(Ω)

)dt+

C

2ε

∫ T

0

‖w‖2H2(Ω) · ‖θ‖2

L2(Ω)dt

≤ Cε

2

∫ T

0

(‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2

L2(Ω)

)dt+

C

2εE(0)

∫ T

0

‖θ‖2L2(Ω)dt (4.60)

Como Ki ∈ L∞(Ω), de modo análogo como foi obtida a estimativa acima, temos que∣∣∣∣∫ T

0

(K1B11 +K2B22, L

−1θ)L2(Ω)

dt

∣∣∣∣ ≤ CE(0)

2ε

∫ T

0


+ C(‖K1‖L∞(Ω), ‖K2‖L∞(Ω))ε

2

∫ T

0

(‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2

L2(Ω)

)dt (4.61)

Substituindo as estimativas (4.53)-(4.61) em (4.52), segue que∫ T

0

‖wt‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖∇wt‖2L2(Ω)dt ≤ CE(0) +

ε1

2

∫ T

0

‖wt‖2L2(Ω)dt

+ε1

2

∫ T

0


ε

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Ω)dt

+ εC

∫ T

0

(‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2

L2(Ω)

)dt

+γ

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt+ C(ε1, ε, γ, E(0))

∫ T

0


113

Para ε1 > 0 sucientemente pequeno, segue que∫ T

0

‖wt‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖∇wt‖2L2(Ω)dt ≤ CE(0) +

ε

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Ω)dt

+ εC

∫ T

0

(‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2

L2(Ω)

)dt

+γ

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt+ C(ε1, ε, γ, E(0))

∫ T

0


Pela denição (4.9), temos∫ T

0

‖wt‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖∇wt‖2L2(Ω)dt ≤ CE(0) + Cε

∫ T

0

E2(t)dt

+γ

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt+ C(ε1, ε, γ, E(0))

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.62)

Agora, pela desigualdade (4.22), (como ‖U‖2H1(Ω) ≤ C(1 + E(0))E(0)), segue que∫ T

0

‖∆w‖2L2(Γ)dt ≤ CT (E(0) + ‖U‖2

H1(Ω)) + C(E(0))

∫ T

0


≤ CTE(0)(1 + E(0)) + C(E(0))

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.63)

Substituindo (4.63) em (4.62), segue que∫ T

0

‖wt‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖∇wt‖2L2(Ω)dt ≤ CE(0) + Cε

∫ T

0

E2(t)dt

+γ

2CTE(0)(1 + E(0)) + C(ε1, ε, γ, E(0))

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.64)

Escolhemos em (4.64) γ > 0 tal que

γ

2CT (1 + E(0)) < 1

dai segue que∫ T

0

‖wt‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖∇wt‖2L2(Ω)dt ≤ C1E(0) + Cε

∫ T

0

E2(t)dt

+ C(ε1, ε, γ, E(0))

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.65)

onde a constante C1 independe de T .

Mas da igualdade (4.10), temos que

E(T ) +

∫ T

0

‖Ut‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt = E(0) (4.66)

114

donde segue que ∫ T

0

‖Ut‖2L2(Ω)dt ≤ E(0)

Então, somamos∫ T

0

‖Ut‖2L2(Ω)dt em ambos os lados (4.65), pela denição de E1(t)

em (4.8), segue que∫ T

0

E1(t)dt ≤ CE(0) + εC

∫ T

0

E2(t)dt+ C(E(0))

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.67)

para algum ε > 0 a ser xado posteriormente.

Escolhemos ξ = U em (4.4) e ψ =w

2em (4.5). Integramos em (0, T ) e somamos as

equações resultantes,∫ T

0

(Utt, U)(L2(Ω))2 dt+

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U))(L2(Ω))4 dt+

∫ T

0

(Ut, U)(L2(Ω))2 dt

+1

2

∫ T

0

(wtt, w)L2(Ω) dt+1

2

∫ T

0

(∆w,∆w)L2(Ω) dt+1

2

∫ T

0

(∇wtt,∇w)L2(Ω) dt

− 1

2

∫ T

0

(∇θ,∇w)L2(Ω) dt+1

2

∫ T

0

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇w)(L2(Ω))4 dt

+1

2

∫ T

0

(K1B11 +K2B22, w)L2(Ω) dt = 0 (4.68)

115

Agora, observamos que, pelo Lema (1.9),

(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U))(L2(Ω))4 +1

2(K1B11 +K2B22, w)L2(Ω)

+(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇

(w2

))(L2(Ω))4

=2

1− µ

(b11, ux +

w2x

2+K1w

2

)L2(Ω)

+2

1− µ

(b22, vy +

w2y

2+K2w

2

)L2(Ω)

+2µ

1− µ

(b11, vy +

w2y

2+K2w

2

)L2(Ω)

+2µ

1− µ

(b22, ux +

w2x

2+K1w

2

)L2(Ω)

+ (b12, uy + vx + wxwy)L2(Ω)

= ‖b12‖2L2(Ω) +

2

1− µ‖b11‖2

L2(Ω) +2

1− µ‖b22‖2

L2(Ω) +4µ

1− µ(b11, b22)L2(Ω)

− 1

1− µ

∫Ω

(b11K1w + b22K2w + µb11K2w + µb22K1w) dA

= ‖b12‖2L2(Ω) +

2

1− µ‖b11‖2

L2(Ω) +2

1− µ‖b22‖2

L2(Ω)

+2µ

1− µ

∫Ω

(b211 + 2b11b22 + b2

22)dA− 2µ

1− µ

(‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω)

)− 1

1− µ

∫Ω


= ‖b12‖2L2(Ω) + 2‖b11‖2

L2(Ω) + 2‖b22‖2L2(Ω) +

2µ

1− µ‖b11 + b22‖2

L2(Ω)

− 1

1− µ

∫Ω

(b11K1w + b22K2w + µb11K2w + µb22K1w) dA (4.69)

Integrando por partes∫ T

0

(Utt, U)(L2(Ω))2 dt = (Ut, U)(L2(Ω))2

∣∣T0−∫ T

0

‖Ut‖2L2(Ω)dt

1

2

∫ T

0

(wtt, w)L2(Ω) dt =1

2(wt, w)L2(Ω)

∣∣T0−1

2

∫ T

0

‖wt‖2L2(Ω)dt (4.70)

1

2

∫ T

0

(∇wtt,∇w)L2(Ω) dt =1

2(∇wt,∇w)L2(Ω)

∣∣T0−1

2

∫ T

0

‖∇wt‖2L2(Ω)dt

116

Substituímos (4.69) e (4.70) em (4.68), obtemos que

1

2

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖b12‖2

L2(Ω) + 2‖b11‖2L2(Ω) + 2‖b22‖2

L2(Ω)

+2µ

1− µ‖b11 + b22‖2

L2(Ω)

dt = −

(Ut, U)(L2(Ω))2 +

1

2(wt, w)L2(Ω) +

1

2(∇wt,∇w)L2(Ω)

∣∣∣∣T0

+

∫ T

0

‖Ut‖2L2(Ω)dt+

1

2

∫ T

0

‖wt‖2L2(Ω)dt+

1

2

∫ T

0

‖∇wt‖2L2(Ω)dt−

∫ T

0

(Ut, U)(L2(Ω))2 dt

+1

2

∫ T

0

(∇θ,∇w)L2(Ω) dt+1

1− µ

∫ T

0

∫Ω


(4.71)

Estimaremos o lado direito de (4.71). Pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz e

Poincaré ,∣∣∣(Ut, U)(L2(Ω))2

∣∣∣ ∣∣∣∣T0

≤ ‖Ut‖L2(Ω) · ‖U‖L2(Ω)

∣∣∣∣T0

≤ C1‖Ut‖L2(Ω) · ‖∇U‖L2(Ω)

∣∣∣∣T0

≤(C2

1

2β‖Ut‖2

L2(Ω) +β

2‖∇U‖2

L2(Ω)

) ∣∣∣∣T0

≤ CE(0) +β

2E(0)(1 + E(0))

Escolhemos β > 0 tal queβ

2(1 + E(0)) < 1, dai segue que

∣∣∣(Ut, U)(L2(Ω))2

∣∣∣ ∣∣∣∣T0

≤ C1E(0) (4.72)

Da desigualdade de Cauchy-Schwarz, segue que∣∣∣∣12 (wt, w)L2(Ω) +1

2(∇wt,∇w)L2(Ω)

∣∣∣∣ ∣∣∣∣T0

≤ C1E(0) (4.73)

Pela desigualdade de Poincaré, como ‖∇U‖2L2(Ω) ≤ C‖b11‖2

L2(Ω)+‖b22‖2L2(Ω)+‖b12‖2

L2(Ω)+

E(0)‖w‖2L2(Ω), pela denição de E2(t) em (4.9),∣∣∣∣∫ T

0

(Ut, U)(L2(Ω))2 dt

∣∣∣∣ ≤ C2

4β1

∫ T

0

‖Ut‖2L2(Ω)dt+

β1

4

∫ T

0

‖∇U‖2L2(Ω)dt

≤ C2

4β1

∫ T

0

‖Ut‖2L2(Ω)dt+

β1

4

∫ T

0

E2(t)dt (4.74)

Novamente, pela de pela denição de E2(t) em (4.9),∣∣∣∣∫ T

0

(∇θ,∇w)L2(Ω) dt

∣∣∣∣ ≤ C2

4β1

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt+

β1

4

∫ T

0

‖∆w‖2L2(Ω)dt

≤ C2

4β1

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt+

β1

4

∫ T

0

E2(t)dt (4.75)

117

Agora pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, como 0 < µ < 1,

1

1− µ

∫Ω

(|b11K1w|+ |b22K2w|+ µ|b11K2w|+ µ|b22K1w|) dA

≤ 1

1− µ‖K1‖L∞(Ω) · ‖b11‖L2(Ω) · ‖w‖H2(Ω) +

1

1− µ‖K2‖L∞(Ω) · ‖b22‖L2(Ω) · ‖w‖H2(Ω)

+µ

1− µ‖K2‖L∞(Ω) · ‖b11‖L2(Ω) · ‖w‖H2(Ω) +

µ

1− µ‖K1‖L∞(Ω) · ‖b22‖L2(Ω) · ‖w‖H2(Ω)

≤ 1

2γ(1− µ)

(‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)

) (‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω)

)+

(γ

1− µ+

γµ

1− µ

)‖w‖2

H2(Ω)

≤ 1

2γ(1− µ)

(‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)

) (‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω)

)+ γ

(1 + µ

1− µ

)‖∆w‖2

L2(Ω) (4.76)

Substituímos (4.72)-(4.76) em (4.71), obtemos que(1

2− γ

(1 + µ

1− µ

))∫ T

0

‖∆w‖2L2(Ω)dt+

∫ T

0

‖b12‖2L2(Ω)dt

+

(2− 1

2γ(1− µ)

(‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)

))∫ T

0

(‖b11‖2

L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω)

)dt

+2µ

1− µ

∫ T

0

‖b11 + b22‖2L2(Ω)dt ≤ C3E(0) + C4

∫ T

0

‖Ut‖2L2(Ω)dt+

1

2

∫ T

0

‖wt‖2L2(Ω)dt

+1

2

∫ T

0


β1

2

∫ T

0

E2(t)dt+ C5

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.77)

Escolhemos γ > 0 tal que

1

2− γ

(1 + µ

1− µ

)> 0⇐⇒ 1

2> γ

(1 + µ

1− µ

)⇐⇒ (1− µ)

2(1 + µ)> γ (γ fixo)

Por outro lado, queremos que

0 <

(2− 1

2γ(1− µ)

(‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)

))⇐⇒

(1

2γ(1− µ)

(‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)

))< 2

⇐⇒(‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)

)< 4γ(1− µ)

⇐⇒(‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)

)< 2

(1− µ)2

(1 + µ)

que é a hipótese (4.48).

118

Então, em (4.77), temos

C6

∫ T

0

‖∆w‖2

L2(Ω) + ‖b12‖2L2(Ω) + 2‖b11‖2

L2(Ω) + 2‖b22‖2L2(Ω) +

2µ

1− µ‖b11 + b22‖2

L2(Ω)

dt

≤ C3E(0) + C8

∫ T

0

E1(t)dt+ C5

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω) +

β1

2

∫ T

0

E2(t)dt

Somamos C6

∫ T

0

‖θ‖2L2(Ω)dt a ambos os lados da desigualdade acima, então pela

denição de E2(t) em (4.9) e pela desigualdade de Poincaré,

C6

∫ T

0

E2(t)dt ≤ C3E(0) + C8

∫ T

0

E1(t)dt+ C9

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω) +

β1

2

∫ T

0

E2(t)dt

Escolhemos β1 > 0 sucientemente pequeno,∫ T

0

E2(t)dt ≤ CE(0) + C

∫ T

0

E1(t)dt+ C

∫ T

0

‖∇θ‖2L2(Ω) (4.78)

e substituímos (4.67) em (4.78) para obter que∫ T

0

E2(t)dt ≤ CE(0) + Cε

∫ T

0

E2(t)dt+ C(E(0))

∫ T

0

(‖∇θ‖2

L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)

)dt

Para ε > 0 sucientemente pequeno, obtemos que∫ T

0

E2(t)dt ≤ CE(0) + C(E(0))

∫ T

0

(‖∇θ‖2

L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)

)dt (4.79)

Por (4.67) e como E(t) = E1(t) + E2(t), segue que∫ T

0

E(t)dt =

∫ T

0

E1(t)dt+

∫ T

0

E2(t)dt

≤∫ T

0

E2(t)dt+ CE(0) + Cε

∫ T

0

E2(t)dt+ C(E(0))

∫ T

0

(‖∇θ‖2

L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)

)dt

≤ CE(0) + C

∫ T

0

E2(t)dt+ C(E(0))

∫ T

0

(‖∇θ‖2

L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)

)dt

Pela desigualdade (4.79) aplicada na desigualdade acima, segue que∫ T

0

E(t)dt ≤ CE(0) + C(E(0))

∫ T

0

(‖∇θ‖2

L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)

)dt. (4.80)

Como E(0) = E(T ) +

∫ T

0

(‖∇θ‖2

L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)

)dt por (4.66), substituímos esta

expressão em (4.80) e obtemos que∫ T

0

E(t)dt ≤ CE(T ) + C(E(0))

∫ T

0

(‖∇θ‖2

L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)

)dt (4.81)

119

Como E(t) é decrescente, de (4.81) segue que

TE(T ) =

∫ T

0

E(T )dt ≤∫ T

0

E(t)dt

≤ CE(T ) + C(E(0))

∫ T

0

(‖∇θ‖2

L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)

)dt

Escolhemos T > 0 tal que T − C > 1, então

E(T ) ≤ (T − C)E(T ) ≤ C(E(0))

∫ T

0

(‖∇θ‖2

L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)

)dt,

ou seja,

E(T ) ≤ C(E(0))

∫ T

0

(‖∇θ‖2

L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)

)dt (4.82)

Novamente, substituindo a identidade (4.66) em (4.82), segue que

E(T ) ≤ C(E(0))(E(0)− E(T )) = C(E(0))E(0)− C(E(0))E(T ),

então,

(1 + C(E(0)))E(T ) ≤ C(E(0))E(0),

o que implica que

E(T ) ≤ C(E(0))

(1 + C(E(0)))E(0) ≤ ρE(0), (4.83)

com ρ < 1.

Pela propriedade de semigrupos, como o sistema (4.1) é bem-posto para soluções

regulares, segue que existem constantes C > 0 e ω > 0, tais que

E(t) ≤ Ce−ωt, ∀t > 0 (4.84)

Teorema 4.2. Seja (U,w, θ) uma solução global fraca do sistema original dado por (4.1),

com condições de fronteira dadas por (4.2) e com condições iniciais em (4.3) com a

regularidade (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈ [H1o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 ×H2

o (Ω)×H1o (Ω)× L2(Ω). Sejam

K1 e K2 pertencentes a W 1,∞(Ω) e

‖Ki‖L∞(Ω) ≤1− µ√1 + µ

, i = 1, 2.

Então, existem constantes C > 0 e β > 0 tais que

E(t) ≤ C(E(0)) e−βt, ∀ t > 0

onde E(t) é dada por (4.7) e E(0) é a energia inicial.

120

Demonstração: Se (U,w, θ) são soluções globais regulares de (4.1), então, pelo Teorema

4.1, segue estimativa (4.84). A unicidade de soluções fracas no Teorema (2.2) e a semi-

continuidade fraca do funcional de energia permitem estender a estimativa (4.84) para

todas as soluções fracas.

4.5 Comportamento Assintótico II

Vamos dar uma segunda demonstração de decaimento exponencial da energia do

sistema de Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos para condições de fronteira de Dirichlet

e simplesmente apoiadas. Vamos escolher um funcional de Lyapunov adequado e aplicar

o método utilizado em [32] combinado com o método aplicado em [33, 39].

Para facilitar a notação, sejam U = U ε, w = wε e θ = θε soluções globais regulares

de (3.1)-(3.3). Seja

Eε(t) =1

2

∫Ω

ε|Ut|2 + |wt|2 + |∆w|2 + |∇wt|2 + |θ|2 + 2ε|b11|2 + 2ε|b22|2

+ ε|b12|2 +2µ

1− µ|b11 + b22|2

dA (4.85)

Então, para soluções regulares, temos que

dEεdt

= −εα‖Ut‖2L2(Ω) − ‖∇θ‖2

L2(Ω) (4.86)

Lema 4.9. Sejam 0 < ε ≤ 1, 0 < α ≤ 1 e K1 e K2 pertencentes a W 1,∞(Ω). Sejam

(U,w, θ) soluções regulares do sistema (3.1)-(3.3), com dados iniciais (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈[H2(Ω) ∩H1

o (Ω)]2 × [H1o (Ω)]2 ×H3(Ω) ∩H2

o (Ω)×H2o (Ω)×H1

o (Ω) ∩H2(Ω).

Denimos

Iε(t) =

∫Ω

(wtθ −

θ2

2+ wt(−∆)−1θ

)dA. (4.87)

Então,

dIεdt

=

∫Ω

|∇θ|2dA−∫

Ω

|∇wt|2dA+

∫Ω

θ∆w dA+

∫Ω

|θ|2dA

+

∫Ω

(−∆)−1θdiv([Bij]∇w)−K1B11 −K2B22

dA

−∫

Ω

wtθ dA−∫

Ω

|wt|2dA+

∫∂Ω

∆w∂

∂η((−∆)−1θ)dΓ

121

Demonstração: Multiplicamos a equação θt − ∆θ − ∆wt = 0 por θ e wt e depois

integramos em Ω, ∫Ω

θ · θtdA−∫

Ω

∆θ · θ dA−∫

Ω

θ ·∆wt dA = 0∫Ω

wt · θtdA−∫

Ω

∆θ · wt dA−∫

Ω

wt ·∆wt dA = 0

Pela fórmula de Green, como θ(t) ∈ H2(Ω) ∩H1o (Ω) e wt(t) ∈ H2

o (Ω), obtemos que∫Ω

θ · θtdA+

∫Ω

|∇θ|2 dA−∫

Ω

∆θ · wt dA = 0 (4.88)∫Ω

wt · θtdA−∫

Ω

∆θ · wt dA+

∫Ω

|∇wt|2 dA = 0 (4.89)

Multiplicamos a segunda equação do sistema (3.1) por (−∆)−1θ(t) ∈ H2(Ω)∩H1o (Ω)

e integramos em Ω, segue que∫Ω

(−∆)−1θ · wtt dA = −∫

Ω

∆2w · (−∆)−1θ dA+

∫Ω

∆wtt · (−∆)−1θ dA

−∫

Ω

∆θ · (−∆)−1θ dA+

∫Ω

div([Bij]∇w)(−∆)−1θ dA

−∫

Ω

(K1B11 +K2B22)(−∆)−1θ dA (4.90)

Pela fórmula de Green, como w(t) ∈ H2o (Ω) e (−∆)−1θ(t) ∈ H2(Ω) ∩H1

o (Ω),

−∫

Ω

∆2w · (−∆)−1θ dA = −∫

Ω

∆(∆w) · (−∆)−1θdA

= −∫∂Ω

∂∆w

∂η· (−∆)−1θdΓ +

∫Ω

∇(∆w) · ∇((−∆)−1θ)dA

=

∫∂Ω

∂

∂η((−∆)−1θ) ·∆wdΓ−

∫Ω

∆w ·∆(−∆)−1θdA

=

∫∂Ω

∂

∂η((−∆)−1θ) ·∆wdΓ +

∫Ω

∆w · (−∆)(−∆)−1θdA

=

∫∂Ω

∂

∂η((−∆)−1θ) ·∆wdΓ +

∫Ω

∆w · θ dA (4.91)

Da mesma forma, como wtt(t) ∈ H1o (Ω), pela fórmula de Green, segue que∫

Ω

∆wtt · (−∆)−1θ dA =

∫∂Ω

∂wtt∂η· (−∆)−1θdΓ−

∫Ω

∇wtt · ∇((−∆)−1θ) dA

= −∫∂Ω

∂

∂η((−∆)−1θ) · wttdΓ +

∫Ω

wtt ·∆((−∆)−1θ) dA

=−∫

Ω

wtt · (−∆)((−∆)−1θ) dA = −∫

Ω

wtt · θ dA (4.92)

122

Similarmente,

−∫

Ω

∆θ · (−∆)−1θ dA = −∫∂Ω

∂θ

∂η· (−∆)−1θdΓ +

∫Ω

θ · (−∆)(−∆)−1θ dA

=

∫Ω

|θ|2dA (4.93)

Substituímos (4.91)-(4.93) em (4.90), obtemos que∫Ω

(−∆)−1θ · wtt dA =

∫Ω

∆w · θ dA−∫

Ω

wtt · θ dA+

∫Ω

|θ|2dA

+

∫Ω

(div([Bij]∇w)−K1B11 −K2B22) (−∆)−1θ dA

+

∫∂Ω

∂

∂η((−∆)−1θ) ·∆w dΓ (4.94)

Agora, subtraímos a equação (4.89) de (4.88),∫Ω

wt · θt dA−∫

Ω

θ · θt dA =

∫Ω

|∇θ|2 dA−∫

Ω

|∇wt|2 dA (4.95)

Agora, pelas identidades (4.94), (4.95) e pela equação θt −∆θ −∆wt = 0 segue que

dIεdt

=d

dt

∫Ω

(wtθ −

θ2

2+ wt(−∆)−1θ

)dA

=

∫Ω

wtt · θ dA+

∫Ω

wtt · (−∆)−1θ dA+

∫Ω

θt · wt dA−∫

Ω

θt · θ dA

+

∫Ω

wt · (−∆)−1θt dA

=

∫Ω

∆w · θ dA+

∫Ω

|θ|2dA+

∫Ω

|∇θ|2 dA−∫

Ω

|∇wt|2 dA

+

∫Ω

div([Bij]∇w)−K1B11 −K2B22 (−∆)−1θ dA

−∫

Ω

wt · θ dA−∫

Ω

|wt|2dA+

∫∂Ω

∂

∂η((−∆)−1θ) ·∆w dΓ

e com esta identidade obtemos o Lema 4.9.

Lema 4.10. Sejam as hipóteses do Lema 4.9. Denimos a função

Fε(t) =

∫Ω

(εU · Ut + w · wt +∇w · ∇wt) dA. (4.96)

Então,

dFεdt

= −∫

Ω

|∆w|2 dA−∫

Ω

∆w · θ dA− εα∫

Ω

Ut · U dA+

∫Ω

Div[Bij] · U dA

+

∫Ω

div([Bij]∇w) · w dA−∫

Ω

(K1B11 +K2B22) · w dA

+ ε

∫Ω

|Ut|2dA+

∫Ω

|∇wt|2dA+

∫Ω

|wt|2dA

123

Demonstração: Seja Fε(t), então,

dFεdt

= ε

∫Ω

Utt · U dA+

∫Ω

wtt · w dA+

∫Ω

∇wtt · ∇w dA

+ ε

∫Ω

|Ut|2 dA+

∫Ω

|∇wt|2 dA+

∫Ω

|wt|2 dA (4.97)

Multiplicamos a primeira equação do sistema (3.1) por U e integramos em Ω,

ε

∫Ω

Utt · U dA =

∫Ω

Div[Bij] · U dA− εα∫

Ω

Ut · U dA (4.98)

Agora, multiplicamos a segunda equação do sistema (3.1) por w e integramos em Ω,∫Ω

wtt · w dA+

∫Ω

∇wtt · ∇w dA = −∫

Ω

|∆w|2 dA−∫

Ω

∆w · θ dA

+

∫Ω


Ω

(K1B11 +K2B22) · w dA (4.99)

Substituímos (4.98) e (4.99) em (4.97), obtemos o Lema 4.10.

Lema 4.11. Seja 0 < ε ≤ 1 e 0 < µ < ε1+ε

. Seja a matriz [Bij] = [Bεij] com coecientes

dados por (3.4)-(3.8). e sejam Ki ∈ W 1,∞(Ω). Denimos

C(µ, ε) =ε− (1 + ε)µ

2(1− µ)(4.100)

C1(µ, ε) =µ2

2(ε− (1 + ε)µ)+µ+ ε(1− µ)

2(1− µ)+ ε (4.101)

Seja

ψε(t) =

∫Ω

Div([Bij]) · U dA+

∫Ω

div([Bij] · ∇w)w dA−∫

Ω

(K1B11 +K2B22)w dA

Então,

ψε(t) ≤ −C(µ, ε)‖bij‖2L2(Ω) + C1(µ, ε)E(0)‖∆w‖2

L2(Ω) (4.102)

onde E(0) é a energia inicial dada por (4.7).

Demonstração: Integrando por partes,

ψε(t) =

∫Ω

Div([Bij]) · U dA+

∫Ω

div([Bij] · ∇w)w dA−∫

Ω

(K1B11 +K2B22)w dA

= −∫

Ω

[Bij] · ∇U + [Bij]∇w · ∇w + (K1B11 +K2B22)w

dA

= −∫

Ω

B11ux +B12uy +B21vx +B22vy + (B11wx +B12wy)wx

dA

−∫

Ω

(B21wx +B22wy)wy +K1B11w +K2B22w

dA

124

Pela denição da matriz [Bij] dada em (3.4)-(3.6),

ψε(t) = − 2

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

b11 · (ux + w2x +K1w)dA

− 2

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

b22 · (vy + w2y +K2w)dA

− ε∫

Ω

b12(uy + vx + 2wxwy)dA−2µ

1− µ

∫Ω

b11 · (vy + w2y +K2w)dA

− 2µ

1− µ

∫Ω

b22 · (ux + w2x +K1w)dA

Na identidade acima, somamos e diminuímos os termos:

2

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

b11(ux +K1) + (vy +K2w)

dA

ε

∫Ω

b12(uy + vx)dA,

2µ

1− µ

∫Ω

b11(vy +K2w) + b22(ux +K1w)dA

Então, obtemos que

ψε(t) = − 2

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

b11 · (2ux + w2

x + 2K1w)dA

− 2

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

b22 · (2vy + w2

y + 2K2w)dA

− ε∫

Ω

b12(2uy + 2vx + 2wxwy)

dA− 2µ

1− µ

∫Ω

b11 · (2vy + w2

y + 2K2w)dA

− 2µ

1− µ

∫Ω

b22 · (2ux + w2

x + 2K1w)dA

+2

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

b11(ux +K1w) + b22(vy +K2w)

dA

+2µ

1− µ

∫Ω

b11(vy +K2w) + b22(ux +K1w)

+ ε

∫Ω

b12(uy + vx)dA

Assim, pela denição de bij, temos

ψε(t) = − 4

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

(|b11|2 + |b22|2)

dA

− 2ε

∫Ω

|b12|2dA−8µ

1− µ

∫Ω

b11b22dA

+2

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

b11(ux +K1w) + b22(vy +K2w)

dA

+2µ

1− µ

∫Ω

b11(vy +K2w) + b22(ux +K1w)

dA+ ε

∫Ω

b12(uy + vx)dA

125

Somamos e diminuímos os termos4µ

1− µ

∫Ω

|bii|2dA, i = 1, 2, e obtemos que

ψε(t) = − 4

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

|b11|2 + |b22|2

dA− 2ε

∫Ω

|b12|2dA

− 4µ

1− µ

∫Ω

(b11)2 + 2b11b22 + (b22)2

dA+

4µ

1− µ

∫Ω

|b11|2 + |b22|2

dA

+2

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

b11(ux +K1w) + b22(vy +K2w)

dA

+2µ

1− µ

∫Ω

b11(vy +K2w) + b22(ux +K1w)

dA+ ε

∫Ω

b12(uy + vx)dA

= − 4

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

|b11|2 + |b22|2

dA

− 2ε

∫Ω

|b12|2 −4µ

1− µ

∫Ω

|b11 + b22|2dA+4µ

1− µ

∫Ω

|b11|2 + |b22|2

dA

+2

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

b11(ux +K1w) + b22(vy +K2w)

dA

+2µ

1− µ

∫Ω

b11(vy +K2w) + b22(ux +K1w)

dA+ ε

∫Ω

b12(uy + vx)dA

Agora, na identidade acima, somamos e diminuímos os termos2µ

1− µ

∫Ω

b11

w2y

2+ b22

w2x

2

dA,

ψε(t) = − 4

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

(|b11|2 + |b22|2)

dA

− 2ε

∫Ω

|b12|2dA−4µ

1− µ

∫Ω

|b11 + b22|2dA+4µ

1− µ

∫Ω

|b11|2 + |b22|2

dA

+4µ

1− µ

∫Ω

b11b22 dA−µ

1− µ

∫Ω

(b11w2y + b22w

2x)dA+ ε

∫Ω

b12(uy + vx)dA

+2

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

(b11(ux +K1w) + b22(vy +K2w))

dA

Agora, somamos e diminuímos o termo4µ

1− µ

∫Ω

b11b22dA, então,

4µ

1− µ

∫Ω

|b11|2 + |b22|2 + b11b22

dA =

4µ

1− µ

∫Ω

(b11 + b22)2dA− 4µ

1− µ

∫Ω

b11b22dA

Logo,

ψε(t) = − 4

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

(|b11|2 + |b22|2)

dA− 2ε

∫Ω

|b12|2dA

− 4µ

1− µ

∫Ω

b11b22 dA−µ

1− µ

∫Ω

(b11w2y + b22w

2x)dA+ ε

∫Ω

b12(uy + vx)dA

+2

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

(b11(ux +K1w) + b22(vy +K2w))

dA

126

Aplicando a desigualdade de Young na identidade acima, para algum β > 0, obtemos

que

ψε(t) ≤ −4

1− µ(µ+ ε(1− µ))

∫Ω

|b11|2 + |b22|2

dA− 2ε

∫Ω

|b12|2dA

+2µ

1− µ

∫Ω

(|b11|2 + |b22|2) dA+

(µ+ ε(1− µ)

1− µ

)∫Ω

(|b11|2 + |b22|2)dA

+β

2

∫Ω

(|b11|2 + |b22|2) dA+µ2

(1− µ)2

1

2β

∫Ω

(w4x + w4

y) dA

+ε

2

∫Ω

|b12|2dA+ε

2

∫Ω

(uy + vx)2dA

+

(µ+ ε(1− µ)

1− µ

)∫Ω

(ux +K1w)2 + (vy +K2w)2dA (4.103)

Somamos e diminuímos os termos wxwy e aplicando a desigualdade (a+b)2 ≤ 2a2+2b2,

segue que

ε

2

∫Ω

(uy + vx)2dA =

ε

2

∫Ω

(uy + vx + wxwy − wxwy)2dA =ε

2

∫Ω

(b12 − wxwy)2dA

≤ ε

∫Ω

|b12|2dA+ ε

∫Ω

w2yw

2xdA ≤ ε

∫Ω

|b12|2dA+ ε

∫Ω

w4y + w4

x

dA

(4.104)

Analogamente, somamos e diminuímos os termos 12w2x e

12w2y,(

µ+ ε(1− µ)

1− µ

)∫Ω

(ux +K1w)2 + (vy +K2w)2dA

=

(µ+ ε(1− µ)

1− µ

)∫Ω

(ux +K1w +

1

2w2x −

1

2w2x

)2

+

(vy +K2w +

1

2w2y −

1

2w2y

)2dA

=

(µ+ ε(1− µ)

1− µ

)∫Ω

(b11 −

1

2w2x

)2

+

(b22 −

1

2w2y

)2dA

≤ 2

(µ+ ε(1− µ)

1− µ

)∫Ω

|b11|2 + |b22|2

dA+

(µ+ ε(1− µ)

2(1− µ)

)∫Ω

w4x + w4

ydA (4.105)

Substituindo (4.104) e (4.105) em (4.103), obtemos que

ψε(t) ≤(−4(µ+ ε(1− µ))

1− µ+β

2+

2µ

1− µ+

3(µ+ ε(1− µ))

1− µ

)∫Ω

|b11|2 + |b22|2dA

− ε

2

∫Ω

|b12|2dA+

(µ2

(1− µ)2

1

2β+

(µ+ ε(1− µ))

2(1− µ)+ ε

)∫Ω

w4x + w4

ydA (4.106)

Agora, pela imersão H1(Ω) → L4(Ω),

‖wxi‖4L4(Ω) ≤ ‖wxi‖4

H1(Ω) ≤ ‖w‖4H2(Ω) ≤ ‖∆w‖4

L2(Ω)

≤ Eε(0)‖∆w‖2L2(Ω) ≤ E(0)‖∆w‖2

L2(Ω) (4.107)

127

onde Eε(0) é a energia inicial dada por (4.85) e E(0) é a energia inicial dada por (4.7).

Substituímos (4.107) em (4.106),

ψε(t) ≤ −(ε− (1 + ε)µ

1− µ− β

2

)∫Ω

|b11|2 + |b22|2dA−ε

2

∫Ω

|b12|2dA

+

(µ2

(1− µ)2

1

2β+

(µ+ ε(1− µ))

2(1− µ)+ ε

)E(0)

∫Ω

|∆w|2dA (4.108)

Escolhemos β =ε− (1 + ε)µ

1− µ> 0, pois, por hipótese, µ <

ε

1 + ε. Com esta escolha

em (4.108),

ψε(t) ≤ −(ε− (1 + ε)µ

2(1− µ)

)∫Ω

|b11|2 + |b22|2dA−ε

2

∫Ω

|b12|2dA

+

(µ2

2(ε− (1 + ε)µ)+

(µ+ ε(1− µ))

2(1− µ)+ ε

)E(0)

∫Ω

|∆w|2dA

e, pela denição de C(µ, ε) em (4.100) e de C1(µ, ε) em (4.101), segue a conclusão do

Lema 4.11.

Lema 4.12. Sejam as hipóteses do Lema 4.9. Introduzimos a função

Hε = Fε(t) + 2 Iε(t) (4.109)

onde Iε(t) é dada por (4.87) e Fε(t) é dado por (4.96). Então,

dHε

dt≤(

1 +εα−1

2γ

)∫Ω

ε|Ut|2dA+ (γ − 1)

∫Ω

|wt|2dA−∫

Ω

|∇wt|2dA

+ C

∫Ω

|∇θ|2dA+ C

(1

γ+ γ

)∫Ω

|θ|2dA

+

(−C(µ, ε) +

Cγεα

2+Cγ

2

(‖K1‖2

L∞ + ‖K2‖2L∞

))∫Ω

|bij|2dA

+

(−1 + γ +

Eε(0)γ

2+Cγεα

2

(Eε(0) + ‖K1‖2

L∞ + ‖K2‖2L∞

))∫Ω

|∆w|2dA

+ C1(µ, ε)E(0)

∫Ω

|∆w|2dA+ 2

∫∂Ω

∆w∂((−∆)−1θ)

∂ηdΓ

para qualquer t ≥ 0 e algum γ > 0.

128

Demonstração: Pelos Lemas 4.9 e 4.10, segue que

dHε

dt=dFεdt

+ 2dIεdt

= −∫

Ω

|∆w|2 dA−∫

Ω

∆w · θ dA− εα∫

Ω

Ut · U dA

+

∫Ω

Div[Bij] · U dA+

∫Ω


Ω

(K1B11 +K2B22) · w dA

+ ε

∫Ω

|Ut|2dA+

∫Ω

|∇wt|2dA+

∫Ω

|wt|2dA

+ 2

∫Ω

|∇θ|2dA− 2

∫Ω

|∇wt|2dA+ 2

∫Ω

θ∆w dA+ 2

∫Ω

|θ|2dA

+ 2

∫Ω

(−∆)−1θ (div([Bij]∇w)−K1B11 −K2B22) dA

− 2

∫Ω

wtθ dA− 2

∫Ω

|wt|2dA+ 2

∫∂Ω

∆w∂

∂η((−∆)−1θ)dΓ

= −∫

Ω

|∆w|2 dA+ ε

∫Ω

|Ut|2dA−∫

Ω

|∇wt|2dA−∫

Ω

|wt|2dA+ 2

∫Ω

|∇θ|2dA

+ 2

∫Ω

|θ|2dA+

∫Ω

∆w · θ dA− 2

∫Ω

wt · θ dA− εα∫

Ω

Ut · U dA

+ 2

∫Ω

(−∆)−1θ (div([Bij]∇w)−K1B11 −K2B22) dA

+

∫Ω

Div[Bij] · U dA+

∫Ω


Ω

(K1B11 +K2B22) · w dA

+ 2

∫∂Ω

∆w∂

∂η((−∆)−1θ)dΓ

=5∑j=1

Lj(t) + 2

∫∂Ω

∆w∂

∂η((−∆)−1θ)dΓ

onde

L1(t) = −∫

Ω

|∆w|2 dA+ ε

∫Ω

|Ut|2dA−∫

Ω

|∇wt|2dA−∫

Ω

|wt|2dA

+ 2

∫Ω

|∇θ|2dA+ 2

∫Ω

|θ|2dA

L2(t) = −εα∫

Ω

Ut · U dA

L3(t) =

∫Ω

∆w · θ dA− 2

∫Ω

wt · θ dA

L4(t) = 2

∫Ω

(−∆)−1θ div([Bij]∇w)−K1B11 −K2B22 dA

L5(t) =

∫Ω

Div[Bij] · U dA+

∫Ω


Ω

(K1B11 +K2B22) · w dA

Vamos estimar os termos Lj(t) para 2 ≤ j ≤ 5. Pela desigualdade de Holder, a imersão

H1(Ω) → L4(Ω), a energia ser decrescente, continuidade de (−∆)−1 e desigualdade de

129

Young, para algum γ > 0, segue que

|L4(t)| ≤ 2

∫Ω

|[Bij] · ∇w| · |∇((−∆)−1θ)| dA

+ 2

∫Ω

(|K1| · |B11|+ |K2| · |B22|) · |(−∆)−1θ|dA

≤ C‖Bij‖L2(Ω) · ‖∇w‖L4(Ω) · ‖∇((−∆)−1θ)‖L4(Ω)

+ C(‖K1‖L∞(Ω) + ‖K2‖L∞(Ω)

)· ‖Bij‖L2(Ω) · ‖(−∆)−1θ‖L2(Ω)

≤ C‖bij‖L2(Ω) · ‖∇w‖H1(Ω) · ‖∇((−∆)−1θ)‖H1(Ω)

+ C(‖K1‖L∞(Ω) + ‖K2‖L∞(Ω)

)· ‖bij‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)

≤ C‖bij‖L2(Ω) · ‖∆w‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)

+ C(‖K1‖L∞(Ω) + ‖K2‖L∞(Ω)

)· ‖bij‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)

≤ C(Eε(0))1/2 · ‖∆w‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)

+ C(‖K1‖L∞(Ω) + ‖K2‖L∞(Ω)

)· ‖bij‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)

≤ Cγ

2E(0)‖∆w‖2

L2(Ω) +1

2γ‖θ‖2

L2(Ω)

+Cγ

2(‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω))‖bij‖2

L2(Ω) +1

2γ‖θ‖2

L2(Ω)

Logo,

|L4(t)| ≤ Cγ

2E(0)‖∆w‖2

L2(Ω) +1

γ‖θ‖2

L2(Ω)

+Cγ

2(‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω))‖bij‖2

L2(Ω) (4.110)

Agora, para algum γ > 0, pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz e Young,

|L2(t)| ≤ εα∫

Ω

|Ut| · |U |dA ≤εα

2γ‖Ut‖2

L2(Ω) +εαγ

2‖U‖2

L2(Ω) (4.111)

Agora, lembrando que pelas desigualdade de Poincaré e Korn, obtemos

‖U‖L2(Ω) ≤ C‖∇U‖L2(Ω) ≤ C‖ε(U)‖L2(Ω)

≤ C‖bij‖L2(Ω) +

((Eε(0))1/2 + ‖K1‖L∞(Ω) + ‖K2‖L∞(Ω)

)‖∆w‖L2(Ω)

Substituindo a desigualdade acima em (4.111), segue que

|L2(t)| ≤ εα

2γ‖Ut‖2

L2(Ω) +Cεαγ

2‖bij‖2

L2(Ω)

+Cεαγ

2

(Eε(0) + ‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)

)‖∆w‖2

L2(Ω) (4.112)

130

Pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz e Young, segue que

|L3(t)| =∣∣∣∣∫

Ω

∆w · θ dA− 2

∫Ω

wt · θ dA∣∣∣∣

≤ ‖∆w‖L2(Ω)‖θ‖L2(Ω) + 2‖wt‖L2(Ω)‖θ‖L2(Ω)

≤ γ‖∆w‖2L2(Ω) +

1

2γ‖θ‖2

L2(Ω) + γ‖wt‖2L2(Ω) +

1

γ‖θ‖2

L2(Ω)

≤ γ‖∆w‖2L2(Ω) +

C

γ‖θ‖2

L2(Ω) + γ‖wt‖2L2(Ω) (4.113)

Finalmente, pelo Lema 4.11,

|L5(t)| ≤ −C(µ, ε)‖bij‖2L2(Ω) + C1(µ, ε)E(0)‖∆w‖2

L2(Ω) (4.114)

onde C(µ, ε) está denida em (4.100) e C1(µ, ε) está denida em (4.101).

De (4.110), (4.112), (4.113), (4.114) e pela desigualdade de Poincaré, segue que

dHε

dt=

5∑j=1

Lj(t) + 2

∫∂Ω

∆w∂

∂η((−∆)−1θ)dΓ

≤ −‖∆w|2L2(Ω) + ε‖Ut‖2L2(Ω) − ‖∇wt‖2

L2(Ω) − ‖wt‖2L2(Ω)

+ 2‖∇θ‖2L2(Ω) + 2‖θ‖2

L2(Ω) +εα

2γ‖Ut‖2

L2(Ω)

+Cεαγ

2

(Eε(0) + ‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)

)‖∆w‖2

L2(Ω)

+Cεαγ

2‖bij‖2

L2(Ω) + γ‖∆w‖2L2(Ω) +

C

γ‖θ‖2

L2(Ω) + γ‖wt‖2L2(Ω)

+Cγ

2Eε(0)‖∆w‖2

L2(Ω) +1

γ‖θ‖2

L2(Ω)

+Cγ

2(‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω))‖bij‖2

L2(Ω)

− C(µ, ε)‖bij‖2L2(Ω) + C1(µ, ε)E(0)‖∆w‖2

L2(Ω)

+ 2

∫∂Ω

∆w∂

∂η((−∆)−1θ)dΓ

≤(

1 +εα−1

2γ

)ε‖Ut‖2

L2(Ω) + (γ − 1)‖wt‖2L2(Ω) − ‖∇wt‖2

L2(Ω)

+ C‖∇θ‖2L2(Ω) + C

(1

γ+ γ

)‖θ‖2

L2(Ω)

+

(−C(µ, ε) +

Cεαγ

2+Cγ

2(‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω))

)‖bij‖2

L2(Ω)

+

(−1 + γ +

Cγ

2Eε(0) +

Cεαγ

2

(Eε(0) + ‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)

))‖∆w‖2

L2(Ω)

+ C1(µ, ε)E(0)‖∆w‖2L2(Ω) + 2

∫∂Ω

∆w∂

∂η((−∆)−1θ)dΓ

131

e esta desigualdade prova o Lema 4.12.

Lema 4.13. Sejam as hipóteses do Lema 4.9. Seja δ > 0 e consideramos

Gε,δ(t) = Eε(t) + δHε(t) (4.115)

onde Eε(t) é a energia denida em (4.85) e Hε(t) está denida em (4.109). Então,

1

2Gε,δ(t) ≤ Eε(t) ≤ 2Gε,δ(t)

para δ > 0 sucientemente pequeno.

Demonstração: Pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz e Young,

|Gε,δ(t)− Eε(t)| = δ|Hε(t)| = δ|Fε(t) + 2Iε(t)| ≤ δ|Fε(t)|+ 2δ|Iε(t)|

≤ δε‖U‖L2(Ω) · ‖Ut‖L2(Ω) + δ‖w‖L2(Ω) · ‖wt‖L2(Ω) + δ‖∇w‖L2(Ω) · ‖∇wt‖L2(Ω)

+ 2δ‖wt‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω) + δ‖θ‖2L2(Ω) + 2δ‖wt‖L2(Ω) · ‖(−∆)−1θ‖L2(Ω)

≤ δε

2‖U‖2

L2(Ω) +δε

2‖Ut‖2

L2(Ω) + Cδ‖∆w‖2L2(Ω)

+ Cδ‖wt‖2L2(Ω) + Cδ‖∇wt‖2

L2(Ω) + Cδ‖θ‖2L2(Ω)

Como ‖U‖2L2(Ω) ≤ C

‖bij‖2

L2(Ω) + (E(0) + ‖K1‖2L∞(Ω) + ‖K2‖2

L∞(Ω))‖∆w‖2L2(Ω)

, segue

que

|Gε,δ(t)− Eε(t)| ≤ Cδ

1 + ε(E(0) + ‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K1‖2L∞(Ω)

)‖∆w‖2

L2(Ω)

+ Cδε‖bij‖2L2(Ω) + Cδε‖Ut‖2

L2(Ω)

+ Cδ‖wt‖2L2(Ω) + Cδ‖∇wt‖2

L2(Ω) + Cδ‖θ‖2L2(Ω)

≤ Cδ

1 + ε(E(0) + ‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)

)Eε(t)

Escolhemos δ > 0 tal que Cδ

1 + ε(E(0) + ‖K1‖2

L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)

)<

1

2, então

segue o Lema 4.13.

Lema 4.14. Sejam 0 < ε ≤ 1, 0 < α ≤ 1 e Ki ∈ W 1,∞(Ω), i = 1, 2. Sejam

(Uo, U1, wo, w1, θo) ∈ [H2(Ω)∩H1o (Ω)]2 × [H1

o (Ω)]2 ×H3(Ω)∩H2o (Ω)×H2

o (Ω)×H2(Ω)∩H1o (Ω). Sejam 0 < µ < ε

1+ε, C(µ, ε) denida em (4.100) e C1(µ, ε) denida em (4.101)

tal que

C1(µ, ε) <1

E(0)(4.116)

132

onde E(0) é a energia inicial dada por (4.7) e E(0) ≤M , M > 0. Sejam δ > 0 e Gε,δ(t)

denidos no Lema 4.13.

Então, existe uma constante C3 = C3(δ) > 0 tal que

dGε,δ(t)

dt≤ −C3(δ)Eε(t) + 2δ

∫∂Ω

∆w∂

∂η((−∆)−1θ)dΓ (4.117)

para qualquer t ≥ 0 e qualquer solução global regular (U,Ut, w, wt, θ) de (3.1)-(3.3).

Demonstração: Pela denição de Gε,δ(t) em (4.115), por (4.86) e pelo Lema 4.12, segue

que

dGε,δ(t)

dt=dEε(t)

dt+ δ

dHε(t)

dt≤ −εα‖Ut‖2

L2(Ω) − ‖∇θ‖2L2(Ω)

+ δ

(1 +

εα−1

2γ

)∫Ω

ε|Ut|2dA+ δ(γ − 1)

∫Ω

|wt|2dA− δ∫

Ω

|∇wt|2dA

+ δC

∫Ω

|∇θ|2dA+ δC

(1

γ+ γ

)∫Ω

|θ|2dA

+ δ

(−C(µ, ε) +

Cγεα

2+Cγ

2

(‖K1‖2

L∞ + ‖K2‖2L∞

))∫Ω

|bij|2dA

+ δ

(−1 + C1(µ, ε)E(0) + γ +

Eε(0)γ

2

+Cγεα

2

(Eε(0) + ‖K1‖2

L∞ + ‖K2‖2L∞

))∫Ω

|∆w|2dA

+ 2δ

∫∂Ω

∆w∂((−∆)−1θ)

∂ηdΓ

Então, agrupamos os termos na desigualdade acima e obtemos que, como 0 < ε ≤ 1,

dGε,δ(t)

dt≤ −

(εα−1 − δ

(1 +

εα−1

2γ

))∫Ω

ε|Ut|2dA− δ(1− γ)

∫Ω

|wt|2dA

− δ∫

Ω

|∇wt|2dA− δC(µ, ε)− Cγ

(1 + ‖K1‖2

L∞ + ‖K2‖2L∞

) ∫Ω

|bij|2dA

− δC4 − Cγ

(1 + Eε(0) + εα

(Eε(0) + ‖K1‖2

L∞ + ‖K2‖2L∞

))∫Ω

|∆w|2dA

+ (Cδ − 1)

∫Ω

|∇θ|2dA+ δC

(1

γ+ γ

)∫Ω

|θ|2dA

+ 2δ

∫∂Ω

∆w∂((−∆)−1θ)

∂ηdΓ (4.118)

onde C4 = C4(µ, ε) = 1− E(0)C1(µ, ε) > 0 devido a hipótese (4.116).

Seja

k = 1 + Eε(0) + εα(Eε(0) + ‖K1‖2

L∞ + ‖K2‖2L∞

)133

Notemos que k > 1 para qualquer ε > 0. Tomamos γ = λk−1. Então,

δC

(1

γ+ γ

)= δC

(k

λ+λ

k

)≤ δC

(k

λ+ λ

), (4.119)

pois k−1 < 1.

Pela desigualdade de Poincaré,

−‖∇θ‖2L2(Ω) ≤ −

1

C‖θ‖2

L2(Ω) (4.120)

Usando a escolha acima de γ e as desigualdades (4.119) e (4.120) em (4.118), segue

que

dGε,δ(t)

dt≤ −

(εα−1 − δ

(1 +

εα−1

2γ

))∫Ω

ε|Ut|2dA− δ(1− λk−1)

∫Ω

|wt|2dA

− δ∫

Ω

|∇wt|2dA− δC(µ, ε)− Cλk−1

(1 + ‖K1‖2

L∞ + ‖K2‖2L∞

) ∫Ω

|bij|2dA

− δ (C4 − Cλ)

∫Ω

|∆w|2dA−(

1

C− Cδ − Cδ

(k

λ+ λ

))∫Ω

|θ|2dA

+ 2δ

∫∂Ω

∆w∂((−∆)−1θ)

∂ηdΓ (4.121)

Vamos escolher λ e δ como segue:

a) C4 − Cλ > 0;

b) 1− λk−1 > 0;

c) C(µ, ε)− Cλk−1 (1 + ‖K1‖2L∞ + ‖K2‖2

L∞) > 0;

d) εα−1 − δ(

1 + εα−1

2γ

)> 0;

e) 1C− Cδ − Cδ

(kλ

+ λ)> 0

As armações a), b) e c) são válidas se tomarmos:

0 < λ < min

C4C

−1,C(µ, ε)

1 + ‖K1‖2L∞ + ‖K2‖2

L∞, 1

pois k > 1.

Seja λ xo escolhido acima. Observemos que, como 0 < ε ≤ 1,

k = k(ε) ≤ Co,

134

onde Co é uma constante positiva que depende apenas dos dados iniciais (independe de

ε). Então,

C +k

λ+ λ ≤ C +

Coλ

+ λ

Assim, para vericar e), escolhemos δ > 0 sucientemente pequeno tal que

δ <C−1

C + Coλ

+ λ<

C−1

C + kλ

+ λ(4.122)

Para vericar d), como k ≤ Co e 0 < ε ≤ 1, segue que 2λεα−1 + k ≤ 2λ+ Co. Então,

escolhemos δ > 0 tal que

δ <2λ

Co + 2λ≤ 2λ

2λεα−1 + k(4.123)

De (4.122) e (4.123), escolhemos δ > 0 tal que

0 < δ < min

C−1

C + Coλ

+ λ,

2λ

Co + 2λ

Substituímos a escolha de δ > 0 feita acima em (4.121) e e segue a desigualdade

(4.117).

Teorema 4.3. Sejam as hipóteses do Lema 4.14 com os dados iniciais (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈[H1

o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 ×H1o (Ω) ∩H2(Ω)×H1

o (Ω)× L2(Ω).

Então, existem constantes positivas C e ω > 0 tais que

Eε(t) ≤ CEε(0)exp(−ωt), ∀ t ≥ 0 (4.124)

para qualquer (U,Ut, w, wt, θ) solução global fraca de(2.101)-(2.103).

Demonstração: Sejam (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈ [H2(Ω) ∩ H1o (Ω)]2 × [H1

o (Ω)]2 × H2(Ω) ×H1o ∩ H2(Ω) × H2(Ω) ∩ H1

o (Ω) e (U,Ut, w, wt, θ) a correspondente solução regular de

(2.101)-(2.103).

Pelo Lema 4.14, temos que

dGε,δ(t)

dt≤ −C3(δ)Eε(t)

uma vez que ∆w se anula sobre a fronteira de Ω.

Aplicamos o Lema (4.13) na desigualdade acima,

dGε,δ(t)

dt≤ −C4(δ)Gε,δ(t)

135

Então, temos que

Gε,δ(t) ≤ Gε,δ(0)exp(−ωt)

Aplicamos novamente o Lema (4.13) e obtemos que

Eε(t) ≤ CEε(0)exp(−ωt)

para qualquer solução global regular (U,Ut, w, wt, θ) de (2.101)-(2.103).

Como o sistema (2.101)-(2.103) é bem-posto para soluções regulares e pela semi-

continuidade inferior do funcional da energia, estendemos este resultado para todas as

soluções fracas.

Teorema 4.4. Sejam as hipóteses do Lema 4.14 com os dados iniciais (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈[H1

o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 ×H2o (Ω)×H1

o (Ω)× L2(Ω).

Então, existem constantes positivas C e ω > 0 tais que

Eε(t) ≤ CEε(0)exp(−ωt), ∀ t ≥ 0. (4.125)

para qualquer solução global fraca (U,Ut, w, wt, θ) de (3.1)-(3.3).

Demonstração: Sejam (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈ [H2(Ω) ∩ H1o (Ω)]2 × [H1

o (Ω)]2 × H3(Ω) ∩H2o (Ω)×H2

o (Ω)×H2(Ω) ∩H1o (Ω) e (U,Ut, w, wt, θ) a correspondente solução regular de

(3.1)-(3.3).

Aplicamos o Lema 4.13 na desigualdade (4.117), obtemos que

dGε,δ(t)

dt≤ −C6(δ)Gε,δ(t) + 2δ

∫∂Ω

∆w∂

∂η((−∆)−1θ)dΓ (4.126)

Agora, para algum β > 0, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz e Young,∣∣∣∣2δ ∫∂Ω

∆w∂

∂η((−∆)−1θ)dΓ

∣∣∣∣ ≤ β

2

∫∂Ω

|∆w|2dΓ +1

2β

∫∂Ω

∣∣∣∣∂(−∆)−1θ

∂η

∣∣∣∣2 dΓ (4.127)

Como∂(−∆)−1

∂ηé um operador linear limitado de H1

o (Ω) em L2(Ω) e como para

soluções regulares temosdEεdt

= −(‖∇θ‖2L2(Ω) + εα‖Ut‖2

L2(Ω)), segue que existe uma cons-

tante C7 > 0 tal que∥∥∥∥∂(−∆)−1θ

∂η

∥∥∥∥2

L2(∂Ω)

≤ C7‖∇θ‖2L2(Ω) ≤ C7(‖∇θ‖2

L2(Ω) + εα‖Ut‖2L2(Ω))

≤ −C7dEεdt

(4.128)

136

Substituímos as estimativas (4.127) e (4.128) em (4.126), obtemos que

dGε,δ(t)

dt≤ −C6(δ)Gε,δ(t) +

δβ

2

∫∂Ω

|∆w|2dΓ− δC7

2β

dEεdt

Logo,

d

dt

(Gε,δ(t) +

δC7

2βEε(t)

)≤ −C6(δ)Gε,δ(t) +

δβ

2

∫∂Ω

|∆w|2dΓ (4.129)

Integramos (4.129) de t = 0 até t = T (T > 0 que será escolhido posteriormente),

Gε,δ(T ) +δC7

2βEε(T ) ≤ Gε,δ(0) +

δC7

2βEε(0)− C6(δ)

∫ T

0

Gε,δ(s)ds

+δβ

2

∫ T

0

∫∂Ω

|∆w|2dΓ ds (4.130)

Agora, pelo Lema 4.8,∫ T

0

∫∂Ω

|∆w|2dΓ ds ≤ C

(Eε(0) +

∫ T

0

(Eε(s) + E2ε (s)) ds

)≤ C

(Eε(0) +

∫ T

0

Eε(s)(1 + Eε(s)) ds

)(4.131)

Pelo Lema 4.13 em (4.131), como a energia é decrescente, segue que∫ T

0

∫∂Ω

|∆w|2dΓ ds ≤ C

(Eε(0) + 2(1 + Eε(0))

∫ T

0

Gε,δ(s) ds

)(4.132)

Substituímos (4.132) em (4.130), obtemos que

Gε,δ(T ) +δC7

2βEε(T ) ≤ Gε,δ(0) +

δC7

2βEε(0)− C6(δ)

∫ T

0

Gε,δ(s)ds

+Cδβ

2

(Eε(0) + 2(1 + Eε(0))

∫ T

0

Gε,δ(s) ds

)(4.133)

Escolhemos β > 0 tal que β < C−1C6(δ)(1 + Eε(0))−1. Com tal escolha em (4.133)

segue que

Gε,δ(T ) +δC7

2βEε(T ) ≤ Gε,δ(0) +

δC7

2βEε(0)− C8(δ)

2

∫ T

0

Gε,δ(s) ds+Cδβ

2Eε(0) (4.134)

Pelo Lema 4.13 temos Eε(t) ≤ 2Gε,δ(t) e como Eε(t) é decrescente, obtemos

−∫ T

0

Gε,δ(s) ds ≤ −T

2Eε(T ) (4.135)

137

Pelo Lema 4.13 e substituindo (4.135) e (4.134)(1

2+δC7

2β+C8(δ)T

4

)Eε(T ) ≤

(2 +

δC7

2β+Cδβ

2

)Eε(0) (4.136)

Seja 0 ≤ σ < 1 xo, escolhemos T > 0 tal que(2 +

δC7

2β+Cδβ

2

)·(

1

2+δC7

2β+C8(δ)T

4

)−1

≤ σ < 1

Logo, teremos que

Eε(T ) ≤ σEε(0) com 0 < σ < 1. (4.137)

Agora, usaremos uma propriedade de Semigrupos. Como o sistema de Marguerre-

Vlasov com efeitos térmicos é bem-posto para soluções regulares, podemos escrever a

solução como

S(t)ϕo = (U,Ut, w, wt, θ)T onde ϕo = (Uo, U1, wo, w1, θo)

Ainda, S(t+ r) = S(t)S(r) para qualquer t, r ≥ 0, segue que

Eε(nT ) = Eε(S(nT )ϕo) = E(Sn(T )ϕo) ≤ σnE(S(T )ϕo) ≤ σnEε(0)

o que implica que existe constantes positivas ω e C tais que

Eε(t) ≤ CEε(0)exp (−ωt) . (4.138)

138

Capítulo 5

Conclusões e Trabalhos Futuros

Neste trabalho, mostramos a existência e unicidade de soluções regulares e fracas

do sistema de Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos. No caso de soluções regulares, o

sistema é bem-posto no sentido de Hadamard. Perturbamos o sistema com um parâmetro

positivo e mostramos que duas componentes do modelo convergem fracamente, no espaço

energia, para a solução fraca de um modelo do tipo Timoshenko acoplado com a equação

do calor. Estabelecemos o decaimento exponencial da energia total do sistema.

Algumas direções na pesquisa futura:

• Estabelecer que o sistema Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos é bem-posto no

sentido de Hadamard para soluções fracas, ou seja, ainda falta mostrar a dependên-

cia contínua das soluções fracas em relação aos dados iniciais.

• Retirar a hipótese (4.48) das curvaturas no Teorema 4.1.

• Considerar outros mecânismos de dissipação no sistema de Marguerre-Vlasov com

efeitos térmicos. Por exemplo, tentar considerar uma dissipação interna localizada

da forma a(x, y)Ut, com hipóteses adequadas para a função a.

• Considerar outras condições de fronteira, inclusive não-lineares, para o sistema de

Marguerre-Vlasov com e sem efeitos térmicos.

139

Appendix A

Apêndice

Lema A.1. Sejam U = (u1, u2) ∈ [H2(Ω) ∩H1o (Ω)]2 e h = (h1, h2) ∈ [C1(Ω)]2. Então,∫ T

0

(Ut,∇Ut · h)(L2(Ω))2 = −1

2

∫ T

0

∫Ω

|Ut|2div(h) dAdt (A.1)

Demonstração: Observamos primeiro que como |Ut|2 · h = (|Ut|2h1, |Ut|2h2), então

div(|Ut|2 · h) = (|Ut|2h1)x1 + (|Ut|2h2)x2

= 2(u1,tu1,tx1 + u2,tu2,tx1)h1 + 2(u1,tu1,tx2 + u2,tu2,tx2)h2 + |Ut|2div(h)

(A.2)

Por outro lado, como

∇Ut · h =

[u1,tx1h1 + u1,tx2h2

u2,tx1h1 + u2,tx2h2

]então,

(Ut,∇Ut · h) = u1,tu1,tx1h1 + u1,tu1,tx2h2 + u2,tu2,tx1h1 + u2,tu2,tx2h2 (A.3)

Comparamos (A.2) e (A.3), obtemos que

(Ut,∇Ut · h) =1

2div(|Ut|2 · h)− 1

2|Ut|2 · div(h) (A.4)

De (A.4) e pelo Teorema da Divegência, como Ut ∈ [H1o (Ω)]2∫ T

0

(Ut,∇Ut · h)(L2(Ω))2dt =1

2

∫ T

0

∫Ω

div(|Ut|2 · h) dAdt− 1

2

∫ T

0

∫Ω

|Ut|2 · div(h) dAdt

=

∫ T

0

∫Γ

|Ut|2h · η dΓdt− 1

2

∫ T

0

∫Ω


= −1

2

∫ T

0

∫Ω


140

Lema A.2. Sejam w ∈ H2o (Ω)∩H3(Ω) com wt ∈ H2

o (Ω), h = (h1, h2) ∈ [C1(Ω)]2. Então,∫ T

0


∣∣T0

+1

2

∫ T

0

∫Ω

w2t divh dAdt (A.5)

Demonstração: Integrando por partes,∫ T

0


∣∣T0−∫ T

0

(wt,h · ∇wt)L2(Ω)dt (A.6)

Agora, integrando por partes e como wt ∈ H2o (Ω), segue que

−∫

Ω

wt(h · ∇wt) = −∫

Ω

wt(h1wtx + h2wty) =

∫Ω

wt(wth1)x1 +

∫Ω

wt(wth2)x2

=

∫Ω

w2t (h1,x1 + h2,x2) +

∫Ω

(wtwtx1h1 + wtwtx2h2)

=1

2

∫Ω

w2t divh +

∫Ω

(wtwtx1h1 + wtwtx2h2) +1

2

∫Ω

w2t divh (A.7)

Agora, observamos que

1

2div(w2

th) = wtwtx1h1 + wtwtx2h2 +1

2w2t (h1,x1 + h2,x2) (A.8)

Substituímos (A.8) em (A.7), obtemos que

−∫

Ω

wt(h · ∇wt) =1

2

∫Ω

w2t divh +

1

2

∫Ω

div(w2th) (A.9)

Pelo Teorema da Divergência, como wt = 0 sobre Γ,∫Ω

div(w2th) =

∫Γ

w2th · η = 0

Substituindo a identidade acima e (A.9) em (A.6), segue a identidade (A.5).

Lema A.3. Sejam w e h como no Lema A.2.∫ T

0

(−∆wtt,h · ∇w)L2(Ω)dt = (∇wt,∇(h · ∇w))∣∣T0

+1

2

∫ T

0

∫Ω

(w2tx1h2,x2 + w2

tx2h1,x1 − w2

tx1h1,x1 + w2

tx2h2,x2)

−∫ T

0

∫Ω

(wtx1wtx2 + wtx1wtx2h1,x2) (A.10)

Demonstração: Integramos por partes e o fato que wtt ∈ H1o (Ω)∫ T

0

(−∆wtt,h · ∇w)L2(Ω)dt =

∫ T

0

∫Ω

(∇wtt,∇(h · ∇w))

= (∇wt,∇(h · ∇w))∣∣T0−∫ T

0

(∇wt,∇(h · ∇wt)) (A.11)

141

Primeiro notemos que h · ∇wt = h1wtx1 + h2wtx2 , então

∇(h · ∇wt) =((h1wtx1 + h2wtx2)x1 , (h1wtx1 + h2wtx2)x2

)|∇wt|2 · h =

((w2

tx1+ w2

tx2)h1, (w

2tx1

+ w2tx2

)h2

)Então,

1

2div(|∇wt|2 · h) =

1

2((w2

tx1+ w2

tx2)h1)x1 +

1

2((w2

tx1+ w2

tx2)h2)x2

=1

2(w2

tx1+ w2

tx2)h1,x1 +

1

2(w2

tx1+ w2

tx2)h2,x2 + wtx1wtx1x1h1

+ wtx2wtx1x2h1 + wtx1wtx1x2h2 + wtx2wtx2x2h2 (A.12)

Assim, de (A.12),

−∫

Ω

∇wt · ∇(h∇wt) = −∫

Ω

(wtx1(h1wtx1 + h2wtx2)x1 + wtx2(h1wtx1 + h2wtx2)x2)

= −∫

Ω

w2tx1h1,x1 + w2

tx2h2,x2 + wtx1wtx1x1h1 + wtx2wtx1x2h1 + wtx1wtx1x2h2

+ wtx2wtx2x2h2 + wtx1wtx2h2,x1 + wtx2wtx1h1,x1

= −1

2

∫Ω

(w2tx1h1,x1 + w2

tx2h2,x2)−

1

2

∫Ω

(w2tx1h1,x1 + w2

tx2h2,x2 + w2

tx2h1,x1 + w2

tx1h2,x2)

−∫

Ω

(wtx1wtx1x1h1 + wtx2wtx1x2h1 + wtx1wtx1x2h2 + wtx2wtx2x2h2)

−∫

Ω

(wtx1wtx2h2,x1 + wtx2wtx1h1,x2) +1

2

∫Ω

(w2tx2h1,x1 + w2

tx1h2,x2)

= −1

2

∫Ω

(w2tx1h1,x1 + w2

tx2h2,x2)−

1

2

∫Ω

div(|∇wt|2h)

+1

2

∫Ω

(w2tx2h1,x1 + w2

tx1h2,x2 −

∫Ω

(wtx1wtx2h2,x1 + wtx2wtx1h1,x2) (A.13)

Pelo Teorema da Divergência e o fato que ∇wt = 0 sobre ∂Ω,∫Ω

div(|∇wt|2h) =

∫Γ

|∇wt|2h · η =

∫Γ

|∇wt|2 = 0

Substituindo a identidade acima e (A.13) em (A.11) segue (A.10).

Lema A.4. Sejam w e h como no Lema A.2.∫ T

0

∫Ω

∆w ·∆(∇w · h) = −1

2

∫ T

0

∫Ω

divh|∆w|2 +

∫ T

0

∫Ω

∆w2∑

k=1

(∆hk)wxk

+ 2

∫Ω

∆w2∑

k=1

∇hk∇wxk +1

2

∫ T

0

∫Γ

|∆w|2 (A.14)

142

Demonstração: Primeiro, notamos que

∆w ·∆(∇w · h) = (wx1x1 + wx2x2)(h1wx1x1x1 + 2h1,x1wx1x1 + h1,x1x1wx1 + h2,x1wx1x2

+ h2,x1x1wx2 + h2,x1wx1x2 + h1wx1x1x2 + h1wx1x2x2 + h1,x2wx1x2

+ h1,x2x2wx1 + h2,x2x2wx2 + 2h2,x2wx2x2 + h2wx2x2x2 + h2wx2x2x2)

= h1wx1x1wx1x1x1 + h1wx1x1wx1x2x2 + h1wx2x2wx1x2x2 + h1wx2x2wx1x1x1

+ h2wx1x1wx2x2x2 + h2wx2x2wx2x1x1 + h2wx2x2wx2x2x2 + h2wx1x1wx2x1x1

+1

2h1,x1w

2x1x1

+ h1,x1wx1x1wx2x2 +1

2h1,x1w

2x2x2

+1

2h2,x2w

2x1x1

+ h2,x2wx1x1wx2x2 +1

2h2,x2w

2x2x2

+3

2h1,x1w

2x1x1

+ h1,x1x1wx1wx1x1

+ h2,x1wx2x1wx1x1 + h2,x1x1wx2wx1x1 + h2,x1wx2x1wx1x1 + h1,x2wx1x1wx2x1

+ h1,x2x2wx1wx1x1 + h1,x2wx2x1wx1x1 + h2,x2x2wx1x1wx2 + h2,x2wx1x1wx2x2

+ h1,x1wx2x2wx1x1 + h1,x1x1wx1wx2x2 + h2,x1wx2x1wx2x2 + h2,x1x1wx2wx2x2

+ h2,x1wx2x1wx2x2 + h1,x2wx2x1wx2x2 + h1,x2x2wx1wx2x2 + h1,x2wx2x1wx2x2

+ h2,x2x2wx2wx2x2 +3

2h2,x2u

2x2x2− 1

2h1,x1w

2x2x2− 1

2h2,x2w

2x2x2

=1

2div(|∆w|2h) +B(wx1 , wx2 , wx1x1 , wx2,x2 , wx1x2) (A.15)

143

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