MONOGRAFIA VARIÁVEIS COMPLEXAS

ESFERA DE RIEMANN OU RETA PROJETIVA COMPLEXA

JULIETH PAOLA SAAVEDRA RAMÍREZ

IMECC

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASBRASIL

OCTUBRE 2015

Índice de guras

1.1. Representação cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. representação polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1. Projeção estereográca de uma circunferência furada em N . . . . . . . . . . 4

2.2. Ângulos preservados pela projeção estereográca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3. A inversão de uma esfera contendo q, em relação à esfera E , é um plano Π 6

2.4. Projeção estereográca como restrição de inversão geométrica. . . . . . . . . 7

2.5. Projeção estereográca (Figura tomada de [4]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6. (Figura de [4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I

Introdução

Em matemáticas, a esfera de riemann é uma maneira de ampliar o plano de númeroscomplexos com um ponto no innito adicional, de uma maneira que faz com a expressão1 0 =∞ seja bem adequado e útil, pelo menos em determinados contextos. É nomeadodevido ao matemático do século XIX Bernhard Riemann. E também chamada linhaprojetiva complexa ou plano complexo estendido. Em um nível puramente algébrico, osnúmeros complexos, com um elemento extra innito, constituem um sistema conhecidocomo número complexos estendidos. Aritmética com o innito não obedece todas as re-gras usuais da álgebra, e assim os números complexos estendidos não formam um corpo.No entanto, a esfera de Riemann é geométrica e analiticamente bem estabelecida, até aoinnito, é uma variedade complexa monodimensional, também chamado de superfíciede Riemann.

Em análise complexa, a esfera de Riemann facilita uma teoria elegante de funçõesmeromórcas. A esfera de Riemann está presente na geometria projetiva e geometria al-gébrica como um exemplo fundamental de uma variedade complexa, espaço projetivo evariedade algébrica. Ele também encontra utilidade em outras disciplinas que dependemde análise e geometria, como a mecânica quântica e outros ramos da física.

II

NotacionesNotación en espacios euclidianos

Z notación estándar para los números enteros.R notación estándar para los números reales.R+ notación estándar para los números reales positivos.Rn notación estándar para el espacio euclidiano n-dimensional sobre los reales.Ω notación estándar para un conjunto abierto en Rn.Γ = ∂Ω notación estándar para la frontera de Ω.Ω cerradura del abierto Ω.

CAPÍTULO 1

Preliminares

Historicamente os números complexos foram introduzidos a m de dar;se um sentido àsolução geral de uma equação algébrica de grau dois e coecientes reais.

Um número complexo é uma expressão da forma a + ib, sendo a e b números reais(a, b ∈ R) e i um número imaginário que satisfaz à relação i2 = −1. O número inão pode ser real, porque o quadrado de um número real é sempre não negativo. Sejaz = a+ ib e w = c+ id, se dene sua suma por

z + w = (a+ ib) + (c+ id) = (a+ c) + i(b+ d) (1.1)

e seu producto por

z · w = (a+ ib) · (c+ id) = (ac− bd) + i(bc+ ad) (1.2)

Os números complexos são um campo com as operações (1.1) e (1.2).

1.1. Representação cartesiana e representação polar

OS números complexos podem ser identicados com o plano R2 por meio do isomorsmoR-lienar ϕ : R2 → C denido por ϕ(x, y) = x+ iy

Dado z = x + iy ∈ C, denimos Re(z) = x (parte real) e Im(z) = y, onde para todoz ∈ C temos z = Re(z) + iIm(z). OConjugado de um número complexo z, denido porz = Re(z)− iIm(z).

Vemos então que

Re(z) =1

2(z + z)

1

Figura 1.1: Representação cartesiana

Im(z) =1

2i(z − z)

O módulo ou norma de um número complexo z = x + iy é a distância euclideana |z|,entre z e a origem 0 = 0 + i0 de C. Assim temos

|z| =√x2 + y2 =

√z · z

Consideremos agora um número complexo náo nulo z = x + iy. Se l é o segmento dereta que liga 0 a z e θ é o ângulo que l faz com o eixo dos x (0 ≤ θ < 2π), podemosescrever

cos θ =x

|z|e

sen θ =x

|z|e portanto

z = |z| cos θ + i|z| sen θ = |z|(cos θ + i sen θ) (1.3)

Figura 1.2: representação polar

A expressão (1.3) é chamada de representação polar do número complexo z e o númeroθ é chamado de argumento de z.

CAPÍTULO 2

Projeção estereográca

Nesta seção, estableceremos uma correspondência biunívoca entre uma esfera furada (ouseja, uma esfera menos um de seus pontos) e um plano complexo. Seja C∗ = C ∪ ∞(chamado plano complexos estendido) a compacticação de C, dada pela função δ :S2 → C∗ (chamada Projeção estereográca) onde S2 é a esfera unitaria em R3 cujospontos tem a seguinte propriedade

S2 = (x, y, z) ∈ R3 :√x2 + y2 + z2 = 1.

Inicialmente, consideremos a uma esfera unitaria S2 e centro O, e seja Π um planopassando por O. Para associarmos os pontos de S2 a pontos de Π, primero tomamos odiâmetro NS da esfera perpendicular ao plano Π em O. Então, dado p ∈ S2 −N ondeN = (0, 0, 1), construimos a reta Np, que intercepta o plano Π em um único ponto p.

A construção acima fornece a correspondência desejada, chamada de "projeção estere-ográca", entre os pontos de S2 −N e os pontos do plano Π.

Figura 2.1: Projeção estereográca de uma circunferência furada em N

3

A gura acima ilustra algumas propriedades da Projeção estereográca, como por ex-emplo:

1. O anterior da circunferência unitária do plano Π é aplicada sobre o hemisfério sul(que contém S) de S2, em particular, O é aplicado em S (chamado polo sul).

2. Cada ponto da circunferência unitária do plano Π é aplicada nele mesmo;

3. O exterior da circunferência unitaria do plano Π é aplicada sobre o hemisférionorte de S2, exceto o polo N que não é imagem de nenhuma ponto do plano.

Notemos que, quando p se aproxima de N , a reta Np tende a ser paralela ao plano Πe portanto a projeção p se distancia de O. Também, qualquer plano α que contém Ne não é paralelo ao plano Π, intercepta S2 em uma circunferência C. Assim, se p ∈ C,p 6= N , a reta Np está contida em α de modo que a projeção p está contida na interseçãoα ∩Π, que é uma reta.

Proposição 2.0.1. A projeção estereográca de uma circunferência C furada em N é

uma reta L contida em Π.

Além disto, a a projeção estereográca preserva magnitude de ângulos.

Figura 2.2: Ângulos preservados pela projeção estereográca

2.1. Inversão em relação à uma esfera

Denição 2.1.1. Seja E uma esfera de raio R e centro q. Se p 6= q é um ponto doespaço à distância ρ de q, então IE(p) é o ponto da semirreta de q para p à distânciaR2/ρ de q. Aplicação IE e chamada de inversão do espaço tridimensional em relação àesfera E .

Figura 2.3: A inversão de uma esfera contendo q, em relação à esfera E , é um plano Π

Propiedade 1. Sob a inversão em relação a uma esfera centrada em q, um plano Πque não contém q é invertido em uma esfera furada, e cujo plano tangente neste pontoé paralelo ao Π. Reciprocamente, uma esfera furada é invertida em um plano paraleloao plano tangente a esfera em q por q

Propiedade 2. A inversão IE aplica em esfera.

Propiedade 3. Sob a inversão IE , a imagem de uma circunferência C é uma circun-ferência. Se C é furada, então sua imagem é uma reta paralela à reta tangente de C emq.

Propiedade 4. Se S é a esfera de raio√

2 centrada em N , então a projeção estereográ-ca é a restrição à 2 da inversão geométrica em relação à S. em outras palavras, se p éum ponto de 2 e p é a sua projeção estereográca em Π, então p = IS(p) e p = IS(p)

Demostração.Consideremos o segmento de reta por N e S. Seja x o ponto de interseçãoda reta passando por p e perpendicular ao segmento por N e S. Como os triângulosNpO e Npx são semelhantes temos a seguinte relação:

d(N, p)

d(N,O)=d(N, p)

d(N, x)⇒ d(N, p)d(N, x) = d(N, p)d(N,O)

mas sendo d(N,O) = 1 temos d(N, p)d(N, x) = d(N, p). Multiplicando ambos os ladospor d(N, p)/d(N, x) obtemos

d(N, p)d(N, p) = d(N,p)2

d(N,x) = d(N,x)2+d(x,p)2

d(N,x) (2.1)

= (1+d(O,x))2+d(x,p)2

1+d(O,x) (2.2)

= 2(1+d(O,x))1+d(O,x) = 2 (2.3)

Logo d(N, p)d(N, p = 2, e portanto p = IS(p) e p = IS(p).

Figura 2.4: Projeção estereográca como restrição de inversão geométrica.

2.2. Projeção estereográca

Seja p = (X,Y, Z) ∈ S2 e N = (0, 0, 1). A reta que une o ponto p e N dene a Projeção

estereográca de p à o ponto z = x+ iy v (x, y, 0).

Figura 2.5: Projeção estereográca (Figura tomada de [4]).

Uma formula explicita pra a projeção estereográca é a seguinte:

A reta que passa por p e N pode ser vista parametricamente por N + t(p−N), t ∈ R,a reta tem um ponto no (x,y)-plano O cual está dado pelo ponto (x, y, 0) que satisfaz

(x, y, 0) = (0, 0, 1) + t[(X,Y, Z)− (0, 0, 1)]

= (tX, tY, 1 + t(Z − 1))

pra algum parâmetro t. Da equação tem-se 0 = 1 + t(Z − 1), logo

t =1

1− Z(2.4)

Substituindo o parâmetro t nas dos primeras componentes ca o seguinte

x = tX = X1−Z (2.5)

y = tY = Y1−Z (2.6)

Solucionar praX,Y, Z em termino de x, y, precisa da equação da esferaX2+y2+Z2 = 1.Multiplicando a equação da esfera por t2 e substituindo tX = x, tY = y e tZ = t − 1,nos obtemos x2 + y2 + t2 − 2t+ 1 = t2, assim

t =1

2(|z|2 + 1)

Logo

X = 2x|z|2+1

(2.7)

Y = 2y|z|2+1

(2.8)

Z = 1− 1t = |z|2−1

|z|2+1(2.9)

O ponto (X,Y, Z) da esfera esta determinada unicamente pelo ponto z = x + iy doplano complexo, onde a Projeção estereográca é uma função que faz corresponder acada ponto complexo um ponto da esfera exceto o ponto N .

Linhas de longitude na esfera correspondem a linhas retas no plano através de O, en-quanto que as linhas de lattitude na esfera correspondem aos círculos centrados em O.Como os raios dos círculos tendem a OC, as linhas de lattitude sobre a esfera tendem aopólo norte, por isso estamos no direito de fazer corresponder pólo norte N ao ponto emN Sob a projeção estereográca, círculos na esfera correspondem aos círculos e linhasretas no plano.

Teorema 2.2.1. Sob a projeção estereográca, círculos na esfera correspondem aos

círculos e linhas retas no plano.

vamos usar o fato de que o lugar geométrico de pontos no plano satisfaz equaçãoquadrática da forma

x2 + y2 + ax+ by + c = 0 (2.10)

o qual é um círculo, um ponto, ou vazio. Isto pode ser visto através do preenchimentodo quadrado e reescrever (2.10) como (x+ a/2)2 + (y + b/2)2 = (a2 + b2)/4− c Os trêscasos correspondem, respectivamente, ao facto (a2 + b2)/4 − c é estritamente positivo,zero, ou estritamente negativo.

Começamos com um círculo na esfera, e nós expressá-la como a intersecção da esfera eum plano AX +BY +CZ = D. Assim a projeção estereográca do círculo que consistenos pontos z = x+ iy que satiz

A2x

|z|2 + 1+B

2y

|z|2 + 1+ C|z|2 − 1

|z|2 + 1= D (2.11)

Figura 2.6: (Figura de [4])

Nós podemos escrevê-los de outro jeito

(C −D)(x2 + y2) + 2Ax+ 2By − (C +D) = 0 (2.12)

Se C = D, (2.12) é uma linha reta. Se C 6= D, Logo dividimos por C − D, assim aequação (2.12) tem a forma (2.10). Sendo a projecção de um círculo na esfera, o locusnão pode ser um ponto ou vazio, por isso deve ser um círculo no plano. Cada círculo noplano é a solução da equação da forma

x2 + y2 + Ax+ By + D = 0

. Denir A,B,C,D, de modo que 2A = A,2B = B,C − D = 1 −(C + D) = D ecorrespondente conjunto sobre a esfera é a interseção do plano com o plano AX+BY +CZ = D.A interseção não pode estar vazio ou um ponto; portanto, é um círculo naesfera. Da mesma forma, cada linha reta no plano é soluções de uma equação da formaAx+ By = D que também determina um plano via 2A = A,2B = B,C = D = D/2, eeste plano encontra a esfera num círculo através do pólo norte.

Desde linhas retas no plano correspondem aos círculos na esfera pelo pólo norte, éconveniente considerar uma linha reta no plano complexo como um círculo através OC.Com essa convenção o teorema arma simplesmente que projeção estereográca aplicacírculos na esfera para círculos no plano complexo estendido.

Bibliografía

[1] AHLFORS, Lars V., Complex Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1979

[2] CONWAY, John B., Functions of One Complex Variable, Springer, Estados Unidos,1978.

[3] LANG, Serge, Complex Analysis, Fourth edition, Estados Unidos, Springer, 1999.

[4] THEODORE.W.GAMELIN .Complex Analysis, departament of mathematics.UCLA.Springer-Verlag, New York, 2001.

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