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Complexidade Computacional na Geometria Algebrica

Thomas Michael Bartlett

UNICAMP

[email protected]

25 de novembro de 2016

Thomas Michael Bartlett (UNICAMP) Complexidade na Geometria 25 de novembro de 2016 1 / 25

Overview

1 Fundamentos da Complexidade ComputacionalDefinicao de Maquina de TuringMT Determinıstica e a classe PMT Nao-determinıstica e a classe NPProblema NP-Completo e teorema de CookNP-DifıcilOutras Classes de Complexidade

2 Exemplos NP-Completo na Algebra e Geometria3-SATTRAVELING SALESMANQUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONSALGEBRAIC EQUATIONS OVER GF[2]DECODING LINEAR CODESGROBNER BASIS


Definicao de Maquina de Turing - 1

Uma Maquina de Turing e um par de fita infinita e um cabecote comcontrole de estados finitos:

b b 0 00 b1 1

read-writehead

qi

... ...

0-1-2 1 2 3 4 5

Figura : Equipamentos da Maquina de Turing


Definicao de Maquina de Turing - 2

Def.: Um programa determinıstico para a MT e a tupla M = (Γ,Q, δ)

Um conjunto finito Γ = {b, γ1, ..., γn} de sımbolos;

Um conjunto finito Q = {qY , qN , q0, q1, ..., qd} de estados

Uma funcao δ : (Q− {qY , qN})× Γ→ Q× Γ× {−1,+1}, chamadafuncao transicao;


Exemplo de programa - 1

Seja o programa que reconhece se os dois sımbolos mais a direita sao 0:

Γ = {b, 0, 1};Q = {qY , qN , q0, q1, q2, q3};δ a seguir

q 0 1 b

q0 (q0, 1,+1) (q0, 1,+1) (q1, 1,−1)q1 (q2, b,−1) (q3, b,−1) (qN , b,−1)q2 (qY , b,−1) (qN , b,−1) (qN , b,−1)q3 (qN , b,−1) (qN , b,−1) (qN , b,−1)


Exemplo de programa - 2

read-writehead

b b 0 00 b1 1... ...q0:

b b 0 00 b1 1... ...q0:

b b 0 00 b1 1... ...q0:

b b 0 00 b1 1... ...q0:

b b 0 00 b1 1... ...q0:read-write

head

b b 0 00 b1 1... ...q0:read-write

head

b b 0 00 b1 1... ...

read-writehead

b b 0 b0 b1 1... ...

read-writehead

b b 0 bb b1 1... ...

read-writehead

read-writehead

read-writehead

read-writehead

q1:

q2:

qY:

Figura : Execucao do programa exemplo


Problemas de decisao - 1

Def.: Dizemos que um programa M aceita x ∈ Γ∗ se o programa terminaem qY quando o input e x . E dizemos que a linguagem LM reconhecidapelo programa M e

LM = {x ∈ Γ∗ : M aceita x}

Exemplo:

LM = {x ∈ {0, 1}∗ : os dois simbolos mais a direita de x sao 0}

Def.: Seja um problema de decisao Π numa codificacao e e uma instanciaI, a sua linguagem associada e

L[Π, e] = {x ∈ Γ∗ : Γ e o alfabeto de e e

x e uma codificacao em e de uma instancia I}


Problemas de decisao - 2

Exemplo: Numa codificacao binaria Γ = {b, 0, 1}:

Instancia: Um numero inteiro positivo NQuestao: Existe um numero m tal que N = 4m?

L[Π, e] = {N ∈ Γ∗ : existe m ∈ Γ∗ tal que N = 4m}

Def.: Dizemos que o programa M resolve um problema de decisao Π numacodificacao e se LM = L[Π, e].

Exemplo: No exemplos acima temos que LM = L[Π, e].


MT Determinıstica e a classe P

Def.: Seja um programa determinıstico M, sua funcao complexidadetemporal TM(n) e definida por :

TM(n) = max {m : existe um x ∈ Γ∗ , com |x | = n, tal que

M termina depois de m iteracoes de δ}

Exemplo: A funcao complexidade temporal de M e TM(n) = n + 2.

Def.: M e um programa determinıstico de tempo polinomial (PDTP) seexiste um polinomio p tal que TM(n) ≤ p(n),∀n ≥ 0.Def.: A classe de linguagens determinısticas de tempo polinomial P e

P = {L : existe um PDTP M tal que LM = L} .

Exemplo: [Π, e] ∈ P.


MT Nao-determinıstica e a classe NP - 1

Def.: Um programa nao-determinıstico (PND) e uma tupla M = (Γ,Q, δ),onde δ e uma relacao, δ ⊂ ((Q− {qY , qN})× Γ)× (Q× Γ× {−1,+1}).

Em um programa nao determinıstico e possıvel, testar todas as possıveissolucoes S de modo a testar a validade de questao com a instancia I ∈ Γ∗.

Def.: Seja um PND M, sua funcao complexidade temporal TM(n) edefinida por :

TM(n) = max {{1} ∪ {m : existe um x ∈ LM , com |x | = n, tal que

M termina depois de m iteracoes de δ}}

Nota.: A complexidade temporal de um PND M e, dado um input comtamanho n, determinar em quanto tempo uma solucao e verificada.



Def.: M e um programa nao-determinıstico de tempo polinomial(PNDTP) se existe um polinomio p tal que TM(n) ≤ p(n), ∀n ≥ 0.Def.: A classe de linguagens nao-determinısticas de tempo polinomial NPe

NP = {L : existe um PNDTP M tal que LM = L} .

Exemplo: P ⊂ NPTeo.: Se Π ∈ NP, entao existe um polinomio p tal que Π e resolvido porum programa determinıstico em tempo O(2p(n)).



Com

ple

xit

y

P ≠ NP P = NP

NP-Hard

NP-Complete

P

NP

NP-Hard

P = NP =NP-Complete

Figura : Dependencias de classes


Problema NP-Completo e teorema de Cook - 1

Pergunta: P 6= NP ?

Def.: Uma linguagem L1 ⊂ Γ∗1 transforma polinomialmente em L2 ⊂ Γ∗2(L1 ∝ L2), se existe uma funcao f : Γ∗1 → Γ∗2 tal que:

existe um PDTP que computa f ;

∀x ∈ Γ∗1, x ∈ L1 ⇐⇒ x ∈ L2.

Lema: Se L1 ∝ L2, entao L2 ∈ P implica L1 ∈ P.Lema: Se L1 ∝ L2 e L2 ∝ L3, entao L1 ∝ L3



Def.: Dizemos que L ∈ NP e NP-Completo se L′ ∈ NP⇒ L′ ∝ L.

Observacao: Seja L ∈ NP NP-Completo, se L ∈ P entao NP ⊂ P.

Lema: Sejam L1, L2 ∈ NP, L1 e NP-Completo e L1 ∝ L2 entao L2 eNP-Completo.Observacao: Para provar que uma linguagem L e NP-Completa, deve-se:

provar que L ∈ NP;

provar que uma linguagem L0 conhecidamente NP-Completatransforma polinomialmente para L, L0 ∝ L.



O primeiro problema NP-Completo historicamente e o seguinte: SejaU = {u1, u2, ..., um} um conjunto de variaveis booleanas e uma valoracaode verdade t : U → {V ,F}. Uma formula booleana f pertencente aAlgebra de Boole e satisfazıvel se existe t tal que t(f ) = V .

Problema de satisfazibilidade booleana (SAT):Instancia: U um conjunto de variaveis booleanas e f uma formulabooleana;Questao: Existe uma valoracao t tal que t(f ) = V ?

Teo.: SAT e NP-Completo.


NP-Difıcil

Def.: Um problema L e dito NP-Difıcil se L′ ∈ NP entao L′ ∝ L.

Nota: NP-Completo ⇒ NP-Difıcil, mas nao vale a volta.

Exemplo: Em breve...


Outras Classes de Complexidade

P ⊂ NP ⊂ PSPACE ⊂ EXPTIME ⊂ NEXPTIME ⊂ EXPSPACE

Ha um zoologico de classes de complexidade! (https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo )


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3-SAT

Def.: Uma formula 3-booleana e f = c1 ∧ c2 ∧ · · · ∧ cm com|ci | = Numero de variaveis emci = 3.

Problema de 3-satisfazibilidade booleana (3-SAT)Instancia: U um conjunto de variaveis booleanas e f uma formula3-booleana;Questao: Existe uma valoracao t tal que t(f ) = V ?


TRAVELING SALESMAN

Problema de caixeiro viajante:Instancia: C = {c1, c2, ..., cm} cidades e uma distancia d(ci , cj) ∈ Z+ euma cota B ∈ Z+;Questao: Existe um tour T = (cπ(1), cπ(2), ..., cπ(m)) tal que

m∑i=1

d(cπ(i), cπ(i+1)) + d(cπ(m), cπ(1)) ≤ B ?


QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS

Equacao Quadratica Diofantina:Instancia: Sejam a, b, c ∈ Z+ ;Questao: Existe x , y ∈ Z+ tal que ax2 + by = c ?


ALGEBRAIC EQUATIONS OVER GF[2]

Equacao Algebrica em F2:Instancia:Sejam {Pi (x1, x2, ..., xn) : 1 ≤ i ≤ m} polinomios em F2 ;Questao: Existe u1, u2, ..., un ∈ {0, 1} tal que Pi (u1, u2, ..., un) = 0, ∀i ?


DECODING LINEAR CODES

Decodificacao de Codigos Lineares:Instancia: H uma matriz m × n em F2, s ∈ Fm

2 e t ∈ Z+ ;Questao: Existe um x ∈ Fn

2 tal que xHT = s com wt(x) ≤ t?


GROBNER BASIS

Sejam f0, f1, ..., fm ∈ K [x1, ..., xn], decidir se f0 ∈ 〈f1, ..., fm〉 eEXPSPACE-Completo;

Sejam f1, ..., fm ∈ K [x1, ..., xn] tal que o conjunto solucao e0-dimensional, entao calcular sua base de Grobner e PSPACE;

Se f1, ..., fm sao homogeneos entao calcular sua base de Grobner e NP.


References

Bardet, Magali. ”On the complexity of a Grobner basis algorithm.”AlgorithmsSeminar, 2002–2004. 2005.

Michael R. Garey and David S. Johnson. 1979. Computers and Intractability: AGuide to the Theory of Np-Completeness. W. H. Freeman & Co., New York, NY,USA.

Pellikaan,Ruud. Coding Theory- MasterMath 2MMC30 Slides.(www.win.tue.nl/ ruudp/courses/2MMC30/week13-2.coding-theory.pdf)


The End


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