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13/07/2017 09:32 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

Estatística Aplicada I

Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Campus de Belém

Curso de Engenharia Mecânica

13/07/2017 09:32 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais

Capítulo V

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Distribuições Amostrais

Campus de Belém

Curso de Engenharia Mecânica

7/13/2017

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Introdução

Distribuição amostral das médias

Distribuição amostral das frequências relativas

Distribuição amostral de variâncias

Distribuição amostral da soma ou diferença de duas médias

Distribuição amostrals da soma de duas frequências relativas

Distribuição amostral das médias quando σ2 é desconhecida

Distribuição amostral de razões de variâncias

V – Distribuições Amostrais


Introdução









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5.1 Introdução

Nos capítulos anteriores foram apresentados os

principais modelos de distribuição de probabilidade, bem

como as medidas que caracterizam uma amostra.

Tais estudos vão agora se juntar para que se obtenha as

distribuições amostrais dos principais estimadores.

O conhecimento das distribuições amostrais é de

fundamental importância, pois é a base para a aplicação

das técnicas de inferências estatísticas que serão

apresentadas posteriormente


5.1 Introdução

Inferência ou indução estatística:

• Como já explicado no primeiro capítulo, a inferência

estatística é do processo de obter informações sobre

uma população a partir dos resultados observados na

amostra.

• De modo geral tem-se uma população com grande

número de elementos e deseja-se, a partir de uma

amostra retirada dessa população, conhecer, o mais

próximo possível, algumas características da

população.

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5.1 Introdução

Inferência ou indução estatística:

• Seja X uma das variáveis da população que se deseja estudar. Seja

θ uma característica (medida) de X que se quer conhecer. O

conhecimento de θ ocorre pela construção de um estimador que

revelará o valor mais aproximado de θ a partir dos elementos

amostrais.

• Amostragens de populações muito grandes podem ser consideradas como

amostragens de populações infinitas; portanto, os parâmetros populacionais são

desconhecidos.

Inferência ou

indução estatística

População (N) Amostra (n)


5.1 Introdução

Amostra aleatória:

);(NãodistribuiçteráXcada),;(NXSe2

i

2d

• Seja X uma variável populacional que se deseja

estudar. Uma amostra aleatória de X é o conjunto de n

variáveis aleatórias independentes (X1, X2, ..., Xn ) tal

que cada Xi (i = 1, 2, ..., n) tem a mesma característica,

ou distribuição, da variável X. Assim:

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5.1 Introdução

Amostra aleatória:

• Ao retirar uma amostra aleatória de uma

população estaremos considerando cada valor da

amostra como um valor de uma variável aleatória

cuja distribuição de probabilidade é a mesma da

população no instante da retirada desse elemento

para a amostra.


5.1 Introdução

• Dada uma amostra aleatória, estimador ou estatística é qualquer

variável aleatória função dos elementos amostrais, ou seja:

deestimadorumé)x,...,x,x(fˆn21

Estimador ou estatística:

• As medidas de posição, dispersão e forma, estudadas

anteriormente, são exemplos de estimadores.

• Deve-se ter um critério para escolher o “melhor” estimador de um

parâmetro populacional.

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5.1 Introdução

• Estimativa é o valor numérico de um estimador. Assim: s2 = 2,3

é uma estimativa da variância populacional σ2.

Estimativa:

• Se para cada amostra possível de tamanho n que podem ser

extraídas de uma determinada população se calcular um valor

do estimador, tem-se uma distribuição amostral desse estimador.

Como o estimador é uma variável aleatória, pode-se determinar

suas características, isto é, encontrar sua média, variância,

desvio padrão etc.

Distribuição amostral:


Introdução









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5.2 Distribuição Amostral das Médias

Objetivo:

• Procura-se levantar a distribuição de probabilidade

da média aritmética das amostras.

• Sabe-se que (média aritmética) é um

estimador da média populacional μ. O estimador é

uma variável aleatória; portanto, procura-se conhecer

a sua distribuição de probabilidade.

n/xx ix



)x()x(E

Teorema 1: A média da distribuição amostral das médias,

denotada por μ ( ) é igual à média populacional μ, isto é: x

Teorema 2: Se a população é infinita, ou se a amostragem é com

reposição, então a variância da distribuição amostral das médias é

dada por:

onde σ2 é a variância da população; isto é, pode-se afirmar que,

para populações infinitas, ou com amostragens com reposição, a

variância da distribuição das médias é igual a variância da

população dividida pelo tamanho da amostra.

n

)x()x(E2

22

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Teorema 3: Se a população é finita, ou se a amostragem é sem

reposição, então a variância da distribuição amostral das médias é

dada por:

Teorema 4: Se a população tem ou não distribuição normal com

média μ e variância σ2, então a distribuição das médias amostrais

será normalmente distribuídas com média μ e variância σ2/n.

1N

nN

n)x(

22



Gráfico da distribuição amostral das médias

finitaspopulaçõespara1N

nN

n

σ;μNx

initasinfpopulaçõesparan

σ;μNx

2d

2d

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Introdução










5.3 Distribuição Amostral das Frequências relativas

Definição:

Seja X uma população infinita, e p a probabilidade (ou proporção)

de certo evento de X. Logo 1 – p = q será a probabilidade do evento

não ocorrer.

Seja (x1, x2, ..., xn) uma amostra aleatória de n elementos dessa

população e x o número de sucessos da amostra.

Neste caso, pode-se identificar que os valores de x são variáveis

aleatórias que apresentam distribuição binomial (número de

sucessos na amostra), de média np e variância npq.

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5.3 Distribuição Amostral das Frequências relativas

Definição:

Então, a distribuição amostral da frequência relativa f = x/n será

dada por:

n

pq

n

npq

n

xVar)f(Var

pn

np

n

xE)f(E

2

Para n ≥ 30 a distribuição amostral de f será normal:

finitapopulação1N

nN

n

pq;pNfinitainfpopulação

n

pq;pNf

dd


Introdução









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5.4 Distribuição Amostral de Variâncias

Definição:

Seja S2 (variância amostral) o estimador de σ2. Se se desejar saber a

distribuição de S2, pode-se demonstrar que:

e que S2 tem distribuição qui-quadrado com (n–1) graus de

liberdade; ou seja:

Lembrar que (n–1) e σ2 são constantes.

1n

σ2)S(Vareσ)S(E

4222

2

1n

d

2

2S)1n(


5.4 Distribuição Amostral de Variâncias

Gráfico da distribuição amostral das variâncias:

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Introdução










5.5 D. A. da Soma ou Diferença de Duas Médias

2

2

2

1

2

1

21

d

21nn

;N)xx(

Definição:

Deseja-se encontrar a distribuição amostral do estimador .

Considerando-se as amostras independentes de duas populações

tem-se:

)xx( 21

ou seja tem distribuição normal de média igual à soma ou

diferença das médias populacionais, e variância igual à soma das

variâncias.

)xx( 21

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Introdução





Distribuição amostral da soma de duas frequências relativas





5.6 D. A. da Soma ou Diferença de Duas Freqs. Relativas

2

22

1

11

21

d

21n

qp

n

qp;ppN)ff(

Definição:

Deseja-se encontrar a distribuição amostral do estimador (f1 ± f2).

Considerando-se as amostras independentes de duas populações,

com n1 ≥ 30 e n2 ≥ 30 tem-se:

ou seja (f1 ± f2) tem distribuição normal de média igual à soma ou

diferença das proporções populacionais, e variância igual à soma das

suas variâncias.

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Introdução










5.7 D. A. das Médias quando a Variância Pop. é Desconhecida

n

S

xT

n;Nx

2d

Definição:

Como visto anteriormente , com distribuição normal

padronizada dada por:

Como não se conhece o valor de σ2, portanto de σ, uma

possibilidade é substituir o σ pela variável aleatória S (desvio padrão

amostral) e procurar a distribuição estatística T.

n

xZ i

i

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5.7 D. A. das Médias quando a Variância Pop. é Desconhecida

n

S

xt 1n

Pode-se demonstrar que T tem distribuição de Student com n-1

graus de liberdade. Assim:

Definição:

Para o caso da soma ou diferença entre duas médias, admitindo-se

variáveis desconhecidas e iguais tem-se:

2nn(

S)1n(S)1n(Sc,

n

1

n

1Sc

)()xx(t

21

2

22

2

11

21

2121

)2nn( 2i

onde Sc é o desvio padrão comum.


Introdução









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5.8 Distribuição Amostral de Razões de Variâncias

2

2

2

222

2

1

2

111

S)1n(n

S)1n(n

F

Deseja-se conhecer a distribuição amostral da razão: S12/S2

2.

dadas duas amostras aleatórias independentes, n1 e n2, então a

estatística

Definição:

tem distribuição F com (n1 – 1) e (n2 – 1) graus de liberdade; ou

seja, à exceção das constantes, S12/S2

2 tem distribuição F.


5. Exemplos

Exemplo 1: Uma população é constituída dos números 2, 3, 4, 5.

Considere todas as amostras possíveis, de tamanho 2, que podem ser

extraídas dessa população com reposição. Determine: (a) a média da

população, (b) o desvio padrão da população, (c) a média da

distribuição amostral das médias amostrais, (d) o desvio padrão da

distribuição amostral das médias.

7906,02

118,1

n

)x(σ)x(σ)d

5,3)x(μ)x(μ)c

118,14

)5,35()5,34()5,33()5,32()x(σ)b

5,34

5432

N

x)x(μ)a

22

2222

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FIM


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