Distribuição Amostral das Distribuição Amostral das MédiasMédias

Bioestatística

Profª. Janaína Jaeger

Investigações sobre problemas biológicos sempre envolvem mais do que um indivíduo (com exceção dos relatos de casos clínicos);

Motivo: fenômenos biológicos → resultados que variam;

Ao comparar resultados obtidos em situações diferentes, os pesquisadores desejam considerar a variabilidade entre observações;

Para se conhecer a variabilidade de uma característica → se mede mais do que uma unidade experimental ;

AMOSTRAS (grupo de indivíduos);

Variáveis quantitativas: média e desvio padrão são importantes para elaborar conclusões.

- Problema típico: avaliar se um determinado conjunto de dados difere de um padrão tomado como referência.

Ex: Considere a alcalinidade média no rio Jacuí como sendo de 19,6 mg de CaCO3/L (medida em 1992). Se em uma amostra recente (medida em 2011) de 16 observações a média for 16,2 mg, estará ela indicando que a alcalinidade no rio se modificou?

- Pontos a considerar:

Padrão tomado como referência: 19,6 mg

Diferença entre as médias (2011 – 1992): 16,2 – 19,6 = - 3,4 mg

Pergunta:Pergunta: a diferença obtida (- 3,4 mg) pode ser atribuída a uma diminuição real na alcalinidade ou a um erro aleatório, já que a média 16,2 mg está baseada em uma amostra de apenas 16 dados?

Para decidir sobre a significância estatística da diferença entre uma média amostral (16,2 mg) e o parâmetro tomado como referência (19,6 mg), é necessário saber como é o comportamento aleatório das médias amostrais, isto é, como é a sua distribuição probabilística:

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS (DAM)

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS (DAM)DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS (DAM)

Imagine uma população hipotética de 4 valores:

x =x = 1010 20 20 30 30 40 40

Média = 10 + 20 + 30 + 40 / 4 = 100 / 4 = 25

Retire agora dessa população todas as amostras aleatórias possíveis de 2 elementos:

Amostra Valores Média da Amostra

1 (10, 10) 10

2 (10, 20) 15

3 (10, 30) 20

4 (10, 40) 25

5 (20, 10) 15

6 (20, 20) 20

7 (20, 30) 25

8 (20, 40) 30

9 (30, 10) 20

10 (30, 20) 25

11 (30, 30) 30

12 (30, 40) 35

13 (40, 10) 25

14 (40, 20) 30

15 (40, 30) 35

16 (40, 40) 40

16 amostras possíveis

A) Distribuição de frequência dos valores de x em uma população de 4 valores igualmente prováveis;

B) Distribuição de frequência das médias de 2 elementos obtidas dessa população quanto maior a amostra, mais próximo da normalidade se distribui a curva representando a média de todas as amostras possíveis, retiradas aleatoriamente de uma população.

Apesar dos 4 valores de x serem igualmente frequentes (fr = 0,25 para cada um) na população original, as médias amostraismédias amostrais com valor próximo de 25 são mais comuns do que as médias mais extremas;

Quando as amostras são grandes, as médias de todas as amostras possíveis, de igual tamanho e retiradas aleatoriamente de uma população, distribuem-se segundo uma curva normal = Teorema do Limite CentralTeorema do Limite Central.

Curva Normal ou de GaussCurva Normal ou de Gauss

PROPRIEDADES DA CURVA DE GAUSSPROPRIEDADES DA CURVA DE GAUSS

Forma de sino, com caudas que jamais tocam o eixo x (valores de x podem variar de - a + ). Na prática, no entanto, utiliza-se a curva normal com limites finitos;

A curva é simétrica em relação à perpendicular que passa pela média ();

A média, a mediana e a moda são coincidentes; A curva tem dois pontos de inflexão, que correspondem a valores de x

situados, respectivamente, à distância de um desvio padrão () acima e abaixo da média;

A área sob a curva totaliza 1 ou 100%; Aproximadamente 68% (2/3) dos valores de x situam-se entre os

pontos ( - ) e ( + ); Aproximadamente 95% dos valores estão entre ( - 2) e ( + 2); Aproximadamente 99,7% dos valores estão entre ( - 3) e ( + 3).

TRANSFORMAÇÃO DE UMA VARIÁVEL X TRANSFORMAÇÃO DE UMA VARIÁVEL X EM ZEM Z

As variáveis na prática (x) apresentam valores cujas áreas não estão tabeladas;

Os valores de x podem ser transformados na variável z e então as áreas desejadas podem ser obtidas da tabela de curva normal:

z = x -

Z pode ser interpretado como: o número de desvios padrão o número de desvios padrão envolvidos no afastamento de um determinado valor de x em envolvidos no afastamento de um determinado valor de x em relação à média.relação à média.

EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:

Um treinador deseja selecionar, dentre os jovens que estão prestando serviço militar no quartel, aqueles com estatura, no mínimo de 180cm, para formar um time de basquete. Que percentagem é esperada de jogadores em potencial, sabendo-se que a estatura tem distribuição normal e, nesses jovens, a média é 175cm e o desvio padrão 6cm?

EXEMPLO 2:EXEMPLO 2:

No estudo de genética do desenvolvimento da mosca das frutas, um procedimento importante consiste em criar uma população de indivíduos precoces para o desenvolvimento. O tempo decorrido entre a ovoposição e a emergência do adulto é, em média, 273 horas, com desvio padrão de 20 horas. Suponha que um geneticista deseje selecionar 10% da população, correspondendo aos indivíduos que emergem primeiro, para desenvolver uma população precoce. Qual o tempo limite a partir do qual os indivíduos que nascem não interessam mais ao pesquisador?

CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS DE MÉDIAS

DAMDAM

(1) Se a variável x tem distribuição normal, as médias de todas as amostras aleatórias de igual tamanho, originárias dessa população, distribuem-se também segundo uma curva de Gauss. Se a distribuição de x não for gaussiana, são necessárias amostras grandes para que a DAM seja uma distribuição normal;

(2) A distribuição amostral das médias tem centro em (isto é, na média da população amostrada). A variabilidade é expressa pelo desvio padrão das médias ou erro padrão da média, σ (média). O erro padrão é obtido pela fórmula:

(3) Como a distribuição amostral das médias é uma curva normal, a área total sob a DAM é 1

Aproximadamente 68% das médias estão entre – EP amostral e + EP amostral.

Aproximadamente 95% das médias estão entre – 2EP amostrais e + 2EP amostrais.

CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS DE MÉDIAS

DAMDAM

Vamos supor que se esteja estudando a variável “estatura” em universitárias gaúchas e a média seja de 170 cm;

175 cm? Essa pessoa é maior que a média?????

Tem uma diferença significativa entre 175 cm e 170 cm?????

175 cm é estatisticamente diferente de 170cm?????

Um critério científico para o estabelecimento de uma diferença não pode ser uma

questão de opinião, mas um critério objetivo!

Qual o critério estatístico utilizado?????

SIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA DE UM DESVIOSIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA DE UM DESVIO

Um critério estatístico pressupõe que:

A distribuição de valores seja Gaussiana;

Os valores desviantes sejam uma fração pequena da população e que esta fração seja

determinada a priori.

Atitude razoável: considerar como estatisticamente não-significativos os desvios

apresentados por valores ao redor da média populacional:

95% dos valores ao redor da média são considerados desvios não-significativos

(47,5% acima e abaixo);

Valores fora da área de desvios não significativos (5%) são considerados desvios

significativos (2,5% acima e abaixo) → α (região ou nível de significância do teste).

CRITÉRIO ESTATÍSTICOCRITÉRIO ESTATÍSTICO

CRITÉRIO ESTATÍSTICOCRITÉRIO ESTATÍSTICO

C = 1 -

Os valores de α mais usados em ciências biológicas e da saúde são:

α = 0,05 ; C = 0,95α = 0,01 ; C = 0,99α = 0,001 ; C = 0,999

EXEMPLO 3:EXEMPLO 3:

Certo pesquisador mediu a pressão arterial de cinco executivos do sexo masculino, na faixa de 40 a 44 anos, escolhidos aleatoriamente, e obteve os valores 135; 143; 149; 128 e 158 mmHg. A média observada nessa amostra foi 142,6 mmHg. A média da pressão arterial sistólica populacional é 129 mmHg e o desvio padrão é 15 mmHg.

Serão esses dados suficientes para afirmar que os executivos apresentam pressão arterial sistólica diferente daquela observada na população de homens com essa idade?

O intervalo ± 1,96 x (erro padrão da média amostral) determina uma região de 95% de desvios não significativos e 5% de desvios significativos.

O intervalo ± 2,58 x (erro padrão da média amostral) determina uma região de 99% de desvios não significativos e 1% de desvios significativos.

Nesse caso, o nível de significância escolhido foi α = 5%

Como se calcula o erro padrão da média amostral?????

O erro padrão para a pressão sistólica, referente a amostra com n=5 retirada aleatoriamente da população de homens com 40 – 44 anos é:

Os limites do intervalo de não-significância, portanto, são:

- 1,96 (x) = 129 – 1,96(6,7) = 129 – 13,1 = 115,9 (limite inferior do intervalo) + 1,96 (x) = 129 + 1,96(6,7) = 129 + 13,1 = 142,1 (limite superior do intervalo)

Assim, as médias amostrais com valores entre 115,9 e 142,1 mmHg não apresentam desvios significativos em relação à média populacional. Médias com valores fora desse intervalo desviam-se significativamente de = 129.

142,6 mmHg está acima do limite superior (142,1 mmHg)

A média obtida nos 5 executivos é estatisticamente diferente da média da população de homens da mesma faixa etária, ou seja, é

mais elevada!

Uma forma alternativa para decidir sobre a significância de um desvio

Ao invés de calcular os limites inferior e superior, esta forma alternativa calcula o desvio em unidades de erros padrão e depois compara o valor obtido com o número crítico de erros padrão escolhido

???????????

(1) Escolher inicialmente o critério, ou o nível de significância desejado (por exemplo, α = 0,05);

(2) Obter o valor crítico de z da tabela (nesse caso, zα = z0,05 = 1,96);(3) Calcular o afastamento entre x e , em erros padrão:

A média amostral está a 2,03 erros padrão acima de .

(4) Regra de decisão:

(5) Conclusão: A média da amostra de executivos desvia-se significativamente (para mais) da média de adultos dessa faixa etária, para α = 0,05.

Nunca esquecer… a conclusão “a pressão arterial está aumentada nos executivos” tem uma probabilidade de erro que é igual ao tamanho da região de significância (0,05), ou seja, existe 5% de probabilidade que os estudantes de 20 a 25 anos NÃO tenham a pressão maior que a média da população (simples acaso).

Tabela: Níveis de significância mais usados em ciências da vida e valores de z correspondentes Níveis de significância

(α) Z crítico

(z α) 0,05 1,96 0,01 2,58

0,001 3,29

Afinal, a alcalinidade do Rio Jacuí está ou não alterada?

= 19,6 mg de CaCO3/L

σ = 7,7 mg/L

Média amostral = 16,2 mg/L

Amostra com 16 valores (n)

= 0,05