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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
Instituto de Física – INFIS
“Transporte Quântico de carga em nano-dispositivos
moleculares”
Renato Máximo Coutinho
Monografia submetida à Coordenação do Curso de
Licenciatura Plena em Física da Universidade
Federal de Uberlândia, como requisito parcial para a
obtenção do grau de licenciatura.
Orientador:
Prof. Dr. Fabrício Macedo de Souza
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Ademir Cavalheiro
Prof. Dr. Marco Aurélio Boselli
2
Uberlândia, Julho/2011
Transporte Quântico de carga em nano-dispositivos moleculares
Renato Máximo Coutinho
Monografia submetida e aprovada junto à Coordenação do Curso de Licenciatura
Plena em Física da Universidade Federal de Uberlândia, como requisito parcial para a
obtenção do grau de licenciatura.
Aprovada por:
Prof. Dr. Fabrício Macedo de Souza
(Orientador – INFIS/UFU)
Prof. Dr. Ademir Cavalheiro
(INFIS/UFU)
Prof. Dr. Marco Aurélio Boselli
(INFIS/UFU)
Prof. Dr. Ademir Cavalheiro
Coordenador do Curso de Licenciatura Plena em Física
Instituto de Física – INFIS
Uberlândia, Julho/2011
Reitor:
Prof. Alfredo Júlio Fernandes de Andrade
Vice-Reitor:
Prof. Darizon Alves de Andrade
3
Pró-Reitor de Graduação:
Prof. Waldenor Barros Moraes Filho
Pró-Reitor de Recursos Humanos:
Prof. Sinésio Gomide Júnior
Diretor do Instituto de Física:
Prof. Omar de Oliveira Diniz Neto
Coordenador de Curso:
Prof. Ademir Cavalheiro
__________________________________________________________
Renato Máximo Coutinho
4
ÍNDICE
1. RESUMO ..................................................................................5
2. OBJETIVOS .............................................................................6
3. JUSTIFICATIVA......................................................................7
4. METODOLOGIA ....................................................................9
5. PLANO DE AÇÃO ..................................................................13
6. RESULTADOS ........................................................................19
7. DISCUSSÃO..............................................................................24
8. CONCLUSÃO ..........................................................................25
9. REFERÊNCIAS ........................................................................26
10. ANEXO-1..................................................................................28
11. ASSINATURAS........................................................................33
5
1. Resumo
Na presente monografia estudamos o transporte eletrônico em diversas configurações de
sítios localizados acoplados entre si via hopping. Os sítios podem ainda se acoplarem a eletrodos de
modo que na presença de tensões externas surge uma corrente elétrica. Ainda exploramos a
importância da conformação dos sítios sobre o transporte, procurando encontrar na corrente elétrica,
shot noise e fator de fano traços característicos de cada geometria de sítios. Esse tipo de
mapeamento pode auxiliar no entendimento de resultados experimentais recentes que medem
curvas de corrente versus tensão em sistemas de aglomerados moleculares e polímeros condutores.
Como não há uma determinação da estrutura molecular do aglomerado, um modelamento do
transporte para diversas conformações pode indicar possíveis geometrias. O nosso tratamento
teórico foi baseado no método de funções de Green de não-equilíbrio (formalismo de Keldysh), que
permite o estudo de regimes não lineares na tensão elétrica.
Palavras chaves: Corrente elétrica, Shot noise, Fator de Fano, Funções de Green e Enovelamento.
6
2. Objetivos
2.1 Geral:
Calcular transporte quântico de carga em arranjos de vários sítios acoplados entre si e a eletrodos
não-magnéticos.
2.2 Específicos:
1-Derivar uma formulação geral de transporte quântico que permita calcular corrente elétrica em
sistemas moleculares.
2-Comparar resultados teóricos e experimentais, visando dar um entendimento mais nanoscópico
das propriedades de transporte em sistemas moleculares.
3-Desenvolver código numérico para calcular corrente elétrica em sistemas moleculares.
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3. Justificativa
Desde a proposta de retificadores moleculares dada por Aviram e Ratner em 1974 [1],
estudos sobre dispositivos moleculares têm recebido crescente atenção. Em particular, com os
avanços tecnológicos recentes na fabricação de dispositivos moleculares[2], o interesse por
eletrônica molecular ganhou um impulso adicional[3]. Atualmente já se faz transporte de carga
através de uma única molécula ligada a reservatórios[2]. Curiosamente, algumas estruturas
moleculares apresentaram forte retificação de corrente[4]. Isso torna os sistemas moleculares
importantes candidatos para a implementação de novos dispositivos eletrônicos, tais como
transistores orgânicos.
Além disso, dispositivos moleculares têm atraído considerável atenção, desde a descoberta
de materiais poliméricos de alta condutividade em 1977 [6]. O uso de polímeros para diferentes
aplicações em dispositivos eletrônicos e optoeletrônicos, tais como diodos emissores de luz (LEDs)
[6, 7], transistores de Efeito Campo (FETs) [8-11], memórias orgânicos [13, 14] e fotodiodos [15-
16] impulsiona um estudo sistemático e minucioso de sistemas moleculares tanto aglomerados
quanto individuais entre contatos de natureza metálica. O estudo de propriedades elétricas tais como
transporte [14-16] e injeção de portadores de carga na interface Metal / Sistema Orgânico [17-19]
tem um papel fundamental e importante no desenvolvimento de dispositivos com desempenho
eficiente. A injeção de carga que trafega no dispositivo interfere em seu funcionamento, podendo,
por exemplo, aumentar a eficiência de emissão de luz nos LEDs orgânicos.
Há na literatura uma série de esforços no sentido de se desenvolver dispositivos de uma
única molécula acoplada a eletrodos [20]. A vantagem desses sistemas moleculares frente aos
dispositivos atuais seria o seu baixo custo de produção e suas funcionalidades, tais como retificação
de corrente, absorção e emissão de luz, integrando assim propriedades elétricas e óticas.
Recentemente mostraram que sistemas constituídos por pontes conjugadas de carbono podem
apresentar retificação de corrente, podendo assim operar como diodo molecular [21]. Também
encontrou-se resistência diferencial negativa (NDR) em um sistema molecular[22]. A Fig. (1) ilustra
a curva característica IxV encontrada para um sistema molecular composto por três quantum dots
ligados a dois terminais. Observe a NDR obtida para uma tensão em torno de 10mV.
8
Figura 1: Gráfico de Corrente elétrica ( nA ) em função do Potencial ( Voltagem de Porta ) meV .
Em torno de 10mV ocorre uma resistência diferencial negativa (NDR) devido à quebra do
alinhamento dos sítios com os níveis de Fermi do reservatório emissor.
Dando continuidade a esses estudos, desenvolvemos uma formulação de transporte para
descrever arranjos moleculares arbitrários. Com isso pudemos aplicar nosso formalismo para
descrever uma grande variedade de sistemas, desde cadeias poliméricas até uma única molécula
acoplada a eletrodos.
9
4. Metodologia
A metodologia se baseiou inicialmente na elaboração de um modelo físico para descrever
um sistema molecular com arranjo qualquer de sítios acoplados entre si por hopping. A Fig. 2 ilustra
uma distribuição arbitrária de sítios entre dois eletrodos. Com base nesse sistema geral, aplicamos o
formalismo de Keldysh para determinar uma fórmula para a corrente elétrica. Essa expressão deverá
levar em conta uma conformação qualquer da molécula e um número arbitrário de eletrodos, não
necessariamente dois. Uma vez realizado o desenvolvimento analítico partimos para a escrita de um
programa em linguagem Mathematica, que permitiu o cálculo de corrente elétrica para uma
geometria molecular, em princípio, arbitrária. Vale ressaltar que nossa abordagem difere dos
métodos ab-initio atuais para cálculo de transporte em moléculas (e.g., transiesta, transampa,
smeagol). Em nosso tratamento os parâmetros de hopping e de acoplamento molécula-eletrodo
foram tomados de maneira fenomenológica.
Fig. 2: Sistema geral utilizado para modelar transporte em sistemas moleculares. Aqui os sítios
estão posicionados aleatoriamente. O modelo que descreve esse sistema é geral, permitindo assim
tratar uma grande variedade de sistemas moleculares.
A análise dos efeitos do enovelamento sobre o transporte foram realizadas para quatro
conformações geométrica diferentes, cada uma contento um número total de dez sítios .
10
1- Cadeia Linear
Eletrodo 1 Eletrodo 2
Fig. 3: Sistema contendo 10 sítios dispostos linearmente.
2- Cadeia com 1 Loop
Eletrodo 1
Eletrodo 2
Fig. 4: Sistema contendo 10 sítios dispostos em um Loop.
11
3- Cadeia com 2 Loops
Eletrodo 1
Eletrodo 2
Fig. 5: Sistema contendo 10 sítios dispostos em dois Loops.
4- Cadeia aleatória
Eletrodo 1
Eletrodo 2
Fig. 6: Sistema contendo 10 sítios dispostos de forma aleatória.
12
Mostraremos ainda como as diferentes conformações citadas afetam a Corrente Elétrica,
Coeficiente de Transmissão, Shot Noise e Fator de Fano, visto que tais grandezas são fortemente
dependentes do acoplamento inter-sítios.
13
5. Plano de Ação
5.1 Pontos Quânticos
Com o desenvolvimento das técnicas de miniaturização de dispositivos ( e.g, litografia,
BEM ), uma variedade de novos dispositivos vêm surgindo, cujas dimensões giram em torno de
dezenas a centenas de nanômetros. Assim, sistemas quânticos que antes pareciam puramente
acadêmicos, com os problemas de tunelamento através de uma ou duas barreiras [23], hoje em dia
são produzidos rotineiramente nos laboratórios. Nessa escala, uma descrição quântica dos
fenômenos físicos torna-se fundamental para compreender propriedades do transporte elétrico.
Em particular um sistema nanoscópico que vem recebendo crescente atenção é constituído
de reservatórios ( terminais ) acoplados, via barreiras de tunelamento, a um sistema de dimensão
zero ( ponto quântico ), isto é, que confina os elétrons nas três dimensões espaciais [24]. Existem
diversas formas de se produzir um ponto quântico. Por exemplo, através de técnicas litográficas
pode-se depositar eletrodos metálicos sobre uma superfície semicondutora sob a qual reside um gás
de elétrons bidimensional. Ao se aplicar tensões negativas nesses contatos, o gás de elétrons se
depleta, deixando uma região vazia de portadores que corresponde ao ponto quântico [25]. O
tamanho típico de um ponto quântico varia de alguns nanômetros até centenas de nanômetros, e o
seu tamanho, formato e interações podem ser controladas através de técnicas avançadas de
nanofabricação.
Devido ao confinamento eletrônico, surgem níveis de energia no ponto quântico
semelhantes aos de átomos, com a vantagem de ser possível ajustá-los em laboratórios. Assim é
possível gerar uma “ tabela periódica ” completa para pontos quânticos, variando simplesmente uma
tensão de porta [24].
5.2 Transporte Quântico
Existem alguns formalismos para se estudar transporte quântico. Por exemplo, o formalismo
de funções de Green de não equilíbrio, o formalismo de Landauer-Buttiker, equação mestra e
equação de Boltzman. Nesta monografia, focamos nas funções de Green de não-equilíbrio, e por
vezes fizemos conexão com a abordagem de Landauer-Buttiker, visto que as funções de Green
recuperam as equações de Landauer-Buttiker quando não há interações no sistema. A vantagem do
formalismo de funções de Green está na possibilidade de se incluir interações de muitos corpos
14
como elétron-elétron, elétron-fônon, ao contrário da abordagem de Landauer-Buttiker que é não
interagente.
O formalismo de funções de Green foi desenvolvido originalmente pelo físico russo Keldysh
[26] em 1965 e independentemente por Kadanoff e Bayn [27]. Porém, somente na década de 90,
com a necessidade de explicar experimentos, essa técnica começou a ser empregada para calcular
propriedades de transporte ( e.g., ruído, corrente ) em sistemas nanoscópicos. Vale citar o trabalho
pioneiro de Meir e Wingreen [28], no qual os autores apresentaram uma equação para a corrente em
um sistema constituído por dois terminais acoplados a uma região central, que pode ser, por
exemplo, um ponto ou poço quântico. Posteriormente, Jauho, Meir e Wingreen [29] sistematizaram
a forma de se calcular, uma vez dado o Hamiltoniano do sistema, e aplicaram suas equações para
tratar perturbações independentes e dependentes do tempo.
5.3 Modelo
Iniciamos o projeto escrevendo o Hamiltoniano do sistema,
hibMAD H+H+H+H=H ,
onde DH , AH e MH são os Hamiltonianos do doador (D), aceitador (A) e da molécula,
respectivamente. O termo hibH leva em conta a hibridização dos orbitais moleculares com o
doador e aceitador. Esse termo dá origem à corrente elétrica na presença de uma diferença de
potencial elétrico entre doador e aceitador. Mais especificamente temos em linguagem de segunda
quantização,
α
AαD
+
AαDαAD ccE=H /// ,
n
+
nnM ddE=H ,
αn
ADnnADhib ctddtc=H //
onde αE e nE são o níveis eletrônicos dos reservatórios e da molécula, respectivamente. Os
operadores t
AαDc / , t
nd , AαDc / e t
nd criam e destroem elétrons no sistema.
15
5.4 Corrente
Para calcular a corrente utilizamos a seguinte definição de corrente,
H,Nie=dtdNe=I ADADAD /// / ,
onde e é a carga elétrica ( 0>e ) e ADN / é o operador número para os eletrodos D e A. O símbolo
indica uma média termodinâmica de não-equilíbrio e denota um comutador. Seguindo o
procedimento padrão de funções de Green de não-equilíbrio podemos mostrar que
EfEfETdEe=I DAADAD /// 2 ,
onde a
M
Ar
M
D GΓGΓ=ET Tr e Df e Af são as distribuições de Fermi para os terminais D e A,
respectivamente,
T]k)μ[(E+=(E)f
BAD
AD/exp1
1
/
/
,
sendo Dμ e Aμ os potenciais químicos do doador e aceitador e Bk a constante de Boltzmann. Os
parâmetros DΓ e
AΓ são as taxas de tunelamento entre doador/aceitador e a molécula central.
Esses parâmetros podem entrar de maneira empírica na formulação. Em uma notação matricial
temos
η
η
ηη
Γ
Γ
Γ=Γ
3
2
1
00
00
00 ,
onde D=η ou A . A função de Green molecular r
MG é dada por
1 r
M
r
M ΣHEI=G ,
onde I é a matriz identidade e 2/2/ iΓ=Γ+Γi=Σ ADr é a auto-energia de tunelamento.
Assumimos essa quantidade independente da energia (wideband limit). Em notação matricial temos
16
1
3
2
1
2/00
02/0
002/
iΓ+EE
iΓ+EE
iΓ+EE=G r
M ,
para o caso de vários níveis localizados (não interagentes) fracamente acoplados aos reservatórios.
A função de Green avançada é simplesmente o complexo conjugado de r
MG . Assumimos uma
queda linear de tensão (V) ao longo do sistema. Com isso temos 0
LL μ=μ e eVμ=μ 0
RR , onde
0
Lμ e 0
Rμ são os potenciais químicos da esquerda (D) e da direita (A). Os níveis nE são dados por
eVxE=E 0
nn , onde x leva em conta assimetrias na queda de tensão ao longo da estrutura.
Assimetrias na queda de tensão elétrica podem correr, por exemplo, quando os níveis moleculares
estão mais fortemente acoplados a um dos reservatórios. Em particular, para acoplamentos
simétricos temos x=1/2.
5.5 Shot Noise e Fator de Fano
Uma grandeza relevante no estudo do transporte em sistemas em escala nanoscópica é o
ruído, pois fornece informações adicionais sobre um dado sistema, que não estão contidas na
corrente média. Por exemplo, medidas de shot noise em contatos pontuais quânticos no regime Hall
fracionário, revelaram a existência de quase-partículas de carga e/3 [30].
O ruído de uma maneira geral são variações temporais aleatórias de uma determinada
grandeza em torno do seu valor médio. Mais especificamente em condutores elétricos, há várias
fontes de ruído. Por exemplo, o ruído 1/f, que em geral se observa em junções de tunelamento a
baixas freqüências, o ruído térmico, que está relacionado ao movimento térmico aleatório dos
portadores de carga, e o shot noise , que se deve a natureza discreta da carga elétrica[31]. Em outras
palavras, a corrente elétrica é o resultado da passagem de cargas discretas ( elétrons ) pelo sistema,
essa granulosidade do fluxo de portadores gera o shot noise.
Matematicamente o ruído é definido como a função auto-correlação corrente-corrente,
´)}(),({´),( tItI=ttS
Onde δI(t) = I(t) - < I >, sendo I(t) a corrente no instante t, e < I > o seu valor médio. Essa definição
inclui o shot noise e o ruído térmico. Vale salientar que o ruído térmico pode ocorrer mesmo
quando não há uma corrente fluindo pelo sistema, ( tensão nula ), isto é, trata-se de uma flutuação
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de equilíbrio, ao contrário do shot noise que é uma flutuação de não equilíbrio [32].
Quando a transferência de elétrons através de um condutor é descrita pela estatística de
Poisson, que é utilizada para analisar eventos que não estão correlacionados no tempo, o shot noise
é dado pelo valor de Poisson S = 2e < I >. Porém, quando correlações estão presentes, S desvia-se
do valor poissônico 2e < I >, podendo ser suprimido ou intensificado, dependendo do tipo de
correlação. Para “medir” o desvio do shot noise com relação ao seu valor clássico ( poissônico ),
define-se o fator de Fano γ = S / 2e < I >. Quando γ se desvia de 1, significa que há algum tipo de
correlação no sistema ( e.g. Pauli, Coulomb ).
A supressão do ruído ( γ < 1 ) em sistemas de dupla barreira com tunelamento ressonante (
poço quântico acoplado a terminais ) foi observada originalmente por Li et al. [33], e
posteriormente por Liu et at. [34], onde constataram que γ ≈ 0.5 para barreiras assimétricas, e γ ≈ 1
para barreiras assimétricas. A supressão do ruído no caso simétrico deve-se ao princípio de Pauli.
Mais especificamente, um elétron ao tunelar para dentro da região entre as barreiras, ocupando
assim um i-ésimo nível do poço, permanecerá aí por algum tempo antes de sair para o terminal
coletor. Durante o seu tempo de permanência, um segundo elétron de mesmo spin fica proibido de
ocupar esse estado. Logo, há uma correlação no transporte eletrônico, que tende a atrasar duas
transições sucessivas pelo sistema. Isso resulta numa supressão do ruído ( γ ≈ 0.5 ). No caso
fortemente assimétrico o transporte é governado essencialmente pela barreira maior, o que resulta
numa transmissão mais descorrelacionada ( γ ≈ 1 ).
Ao contrário do princípio de Pauli, que sempre suprime o ruído, a interação de Coulomb
pode aumentá-lo ou suprimi-lo. Por exemplo, observou-se γ ≈ 6.6 para um sistema de poço quântico
com tunelamento ressonante [35], em que o elétron ao tunelar do emissor para o poço modifica a
energia eletrostática do sistema, levando a uma maior ressonância dos estados do poço com os
estados do emissor. Com isso a transição emissor-poço é favorecida, resultando num aumento do
shot noise ( γ > 1 ). Também se observou um aumento do shot noise ( γ > 1 ) em sistema de
tunelamento ressonante via estados localizados [36]. Atribui-se esse efeito a correlações de
Coulomb entre elétrons que tunelam através de dois estados localizados vizinhos.
Por outro lado, a interação de Coulomb também pode suprimir o ruído. Por exemplo, Anda e
Latgé [35] mostraram que o ruído, em um sistema de ponto quântico acoplado a terminais,
apresenta uma supressão no regime de Coulomb. Birk et al.[37] mediram ruído no regime de
bloqueio de Coulomb em uma sistema constituído de uma nano-partícula entre uma ponta de STM (
scanning tunneling microscopy ).
Na ausência de espalhamento de spin ( R = 0 ) e interação de Coulomb ( U = 0 ) temos a
seguinte expressão para o ruído
18
dEffETETffffETe
S DSDDss ]))}((1){()}1()1(){([2 2
2
onde os dois primeiros termos da equação correspondem à contribuição do shot noise de equilíbrio
e o último termo dá o shot noise de não equilíbrio ( Térmico ). O cálculo de shot noise nos permite
determinar o Fator de Fano, que é essencial para prever se o shot noise está no limite de Poisson ou
então no limite sub-Poissonico, através da relação.
I
SF
Onde S é o shot noise e I é a corrente elétrica total. Para F = 1, o shot noise atinge o limite de
Poisson, onde não existe correlação eletrônica entre os portadores de carga. Por outro lado, para F
<1, o shot noise atinge o limite sub-Poissonico e fornece as informações sobre a correspondência
eletrônica entre os portadores de carga.
5.6 Coeficiente de Transmissão
O Coeficiente de Transmissão, que mede a amplitude de probabilidade do elétron do
reservatório emissor tunelar para os sítios, é dada pela seguinte relação:
onde L e R representam a taxa de acoplamento do reservatórios , já as r
MG e a a
MG são
respectivamente as funções de Green retardada/avançada dos sítios.
][ a
MR
r
MLr GGTT
19
6. Resultados.
6.1- Coeficiente de Transmissão ( T )
Fig. 7: (a) – Coeficiente de Transmissão para uma cadeia linear de dez sítios. (b) - Coeficiente de
Transmissão para uma cadeia contendo 1 loop em sua estrutura.
20
Fig. 8: (a) – Coeficiente de Transmissão para uma cadeia de sítios contendo 2 loops em sua
estrutura. (b) - Coeficiente de Transmissão para uma cadeia de dez sítios disposta aleatoriamente.
21
6.1- Corrente Elétrica ( I )
Fig. 9: Corrente Elétrica em função da Tensão para as diferentes conformações dos dez sítios.
22
6.2- Shot Noise ( S )
Fig. 10: Shot Noise em função da Tensão para as diferentes conformações dos dez sítios.
23
8.2- Fator de Fano ( F )
Fig. 11: Fator de Fano ( F ) em função da Tensão para as diferentes conformações dos dez sítios.
24
7. Discussão.
Nas [Figuras 7, 8] são mostrados os gráficos do coeficiente de transmissão ( T ) em função
da tensão e da energia para dez sítios conformados de maneiras diferentes. A conformação da cadeia
molecular leva a uma variação nos acoplamento inter-sítios, implicando numa mudança do
coeficiente de transmissão. As linhas pontilhadas em verde que cruzam o gráfico na diagonal e na
metade do gráfico representam os potenciais químicos dos eletrodos doador/emissor
respectivamente. O cruzamento dos potenciais químicos com a projeção do coeficiente de
transmissão no plano (Energia x Tensão) indica ressonância nos níveis de energia dos sítios com o
nível de Fermi do eletrodo emissor e por conseqüência abertura da janela de condução (conduction
window CW). Com relação à cadeia linear [Figura 7(a)], percebe-se que há uma diminuição no
número de canais que entram na janela de condução quando o sistema se enrola [Figura 7(a), (b),
(c) e (d)]. Isso implica numa redução do tunelamento ressonante entre reservatório emissor e o
sistema molecular.
Para o caso da corrente elétrica, [Figura 9], os painéis mostram as oscilações na corrente que
são devidas às ressonâncias dos níveis de energia dos pontos quânticos com o nível de Fermi do
reservatório emissor. Percebemos da análise gráfica do Coeficiente de Transmissão que quanto mais
enrolada está a cadeia menos canais entram em ressonância, isto explica a queda nas oscilações da
corrente para os sistemas dispostos com loops e também aleatória, pois estes estão mais
correlacionados.
O Shot Noise [Figura 10] mede as flutuações temporais da corrente elétrica no sistema
proposto. Verificamos que quanto mais enovelada está a cadeia, maior é a correlação no transporte
elétrico.
A medida de quanto um sistema está correlacionado é dada pelo Fator de Fano ( F ). A partir
da [Figura 11], percebemos que o sistema se correlaciona mais (F<1) à medida que o número de
loops cresce. No presente modelo essa correlação é dada apenas pelo Princípio de Exclusão Pauling,
pois não consideramos interação coulombiana. Uma observação importante, é que o Fator de Fano
chega a um valor de 0.4, para o caso de estrutura aleatória.
25
8. Conclusão
O estudo do transporte eletrônico de múltiplos pontos quânticos acoplados via hopping em
diferentes conformações geométricas revela que quanto maior a desordem do sistema, maior é a
correlação dos sítios e por consequência ocorre uma queda no número de canais de condução. A
medida do Fator de Fano indica o quanto nosso sistema está correlacionado via Pauling. Em
particular, para o caso aleatório observamos uma queda acentuada de F (F=0.4), comparada às
outras conformações.
A medida do ruído nos mostra que a flutuação eletrônica aumenta conforme temos um
determinado sítio acoplado a dois ou mais sítios vizinhos. Este aumento pode ser visto pelo gráfico
do Coeficiente de Transmissão [Figura: 7, 8 - a,b,c,d], que apresenta uma queda no número de
canais de condução conforme a estrutura vai se enrolando.
Os gráficos de corrente [Figura 9] apresentam picos à medida que os níveis de Fermi do
emissor entram em ressonância com os níveis dos sítios. Percebemos que estes picos de
estabilização diminuem conforme a correlação aumenta (número de loops), devido à queda dos
canais de condução já observados anteriormente pelo Coeficiente de Transmissão.
Esperamos com esta monografia ter contribuído para o estudo da eletrônica molecular, haja
visto que o entendimento de fenômenos relacionados ao transporte quântico são de suma
importância para a construção de nano-dispositivos.
26
9. Referências Bibliográficas
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[21] A. S. Souza, R. M. Gester, M. A L. Reis, F. M. Souza, e J. Del Nero, Journal of Computational
and Theoretical Nanoscience 5, 2243 (2008).
[22] E. R. Granhen, M. A. L. Reis, F. M. Souza, J. Del Nero, Journal of Nanoscience and
Nanotechnology, in press (2010).
[23] C.Cohen-Tannoudji, B. Diu, e F. Laboe, Quantum Mechanics, vol. 1, John Wiley e Sons (
1977 ).
[24] L.Kouwenhovem e C.Marcus, Phys.World, 35, June ( 1988 ).
[25] A primeira realização experimental de um ponto quântico gerado eletrostaticamente ( via
eletrodos ) sobre uma superfície de GaAs foi de U. Meirav, M. A. Kastner, e S. J Wind, Phys. Rev.
Lett. 65, 771 ( 1990 ).
[26] L. V. Keldysh, Sov. Phys. JETP 20, 1018 ( 1965 ).
[27] L. P. Kadanoff e G. Bayn, Quantum Statistical Mechanics, Green’s Function Methodos in
Equilibrium and Nonequilibrium Problems, Benjamin Cummings Publishing Company ( 1962 ).
[28] Y. Meir e N. S. Wingreen, Phys. Rev. Lett. 68, 2512 ( 1992 ).
[29] A. P. Jauho, N. S. Wingreen, e Y. Meir, Phys. Rev. B 50, 5528 ( 1994 ).
[30] R. de-Picciotto et al. , Nature 329, 162 (1997).
[31] Sh. Kogan, Eletronic Noise and Fluctuations in Solids, Cambridge University Press,
Cambridge ( 1996 ).
[32] Y. P. Li et al., Phys. Rev. B 41, 8388 ( 1990 ).
[33] H. C. Liu et al., Phys. Rev. B 51, 5116 ( 1995 ).
[34] G. Iannaccone et al., Phys. Rev. Lett. 80, 1054 ( 1988 ).
[35] S. S. Safonov et al., Phys. Rev. Lett. 91, 136801 ( 2003 ).
[36] E. V. Anda e A. Latgé, Phys. Rev. B 50, 8859 ( 1994 ).
[37] H. Birk, M. J. de Jong, e C. Schonenberger, Phys. Rev. Lett.75, 1610 ( 1995 )
28
10. Anexo -1
Código númerico realizado no ambiente Mathematica para a obtenção dos resultados encontrados
no item 9.
Clear[eV];
E0 = 4; (*Energia dos níveis*)
V = 2; (*Acoplamento intra-dot*)
d = 0.5; (*Acoplamento do primeiro e último sítio com os reservatórios da esquerda e da direita
respectivamente *)
********************************************************************************
(*cadeia linear*)
E1 = E0 - (1/11)*eV; (*Energia dos níveis e sua respectiva queda de tensão, válida para todos
outros abaixo*)
E2 = E0 - (2/11)*eV;
E3 = E0 - (3/11)*eV;
E4 = E0 - (4/11)*eV;
E5 = E0 - (5/11)*eV;
E6 = E0 - (6/11)*eV;
E7 = E0 - (7/11)*eV;
E8 = E0 - (8/11)*eV;
E9 = E0 - (9/11)*eV;
E10 = E0 - (10/11)*eV;
HM = {{E1, V, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {V, E2, V, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0},
{0, V, E3, V, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, V, E4, V, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, V, E5, V, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, V, E6, V, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, V, E7, V, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, V, E8, V, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, V, E9, V}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, V, E10}}; (*Hamiltoniana molecular*)
********************************************************************************
29
(*1enovelamento na cadeia*)
E1 = E0 - (1/11)*eV;
E2 = E0 - (2/11)*eV;
E3 = E0 - (3/11)*eV;
E4 = E0 - (4/11)*eV;
E5 = E0 - (5/11)*eV;
E6 = E0 - (4/11)*eV;
E7 = E0 - (3/11)*eV;
E8 = E0 - (5/11)*eV;
E9 = E0 - (9/11)*eV;
E10 = E0 - (10/11)*eV;
HM = {{E1, V, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {V, E2, V, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, V, E3, V, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, V, E4, V, 0, V, V, 0, 0},
{0, 0, 0, V, E5, V, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, V, E6, V, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, V, 0, V, E7, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, V, 0, 0, 0, E8, V, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, V, E9, V}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, V, E10}};
********************************************************************************
(*2 enovelamentos na cadeia*)
E1 = E0 - (1/11)*eV;
E2 = E0 - (2/11)*eV;
E3 = E0 - (3/11)*eV;
E4 = E0 - (1/11)*eV;
E5 = E0 - (3/11)*eV;
E6 = E0 - (6/11)*eV;
E7 = E0 - (7/11)*eV;
E8 = E0 - (3/11)*eV;
E9 = E0 - (7/11)*eV;
E10 = E0 - (10/11)*eV;
HM = {{E1, V, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {V, E2, V, V, V, 0, 0, 0, 0, 0},
30
{0, V, E3, V, 0, 0, 0, V, 0, 0}, {0, V, V, E4, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, V, 0, 0, E5, V, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, V, E6, V, V, V, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, V, E7, V, 0, 0}, {0, 0, V, 0, 0, V, V, E8, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, V, 0, 0, E9, V}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, V, E10}};
********************************************************************************
(*cadeia aleatória*)
E1 = E0 - (1/11)*eV;
E2 = E0 - (2/11)*eV;
E3 = E0 - (2/11)*eV;
E4 = E0 - (4/11)*eV;
E5 = E0 - (4/11)*eV;
E6 = E0 - (4/11)*eV;
E7 = E0 - (7/11)*eV;
E8 = E0 - (7/11)*eV;
E9 = E0 - (9/11)*eV;
E10 = E0 - (10/11)*eV;
HM = {{E1, V, V, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {V, E2, 0, V, V, 0, 0, 0, 0, 0},
{V, 0, E3, 0, V, V, 0, 0, 0, 0}, {0, V, 0, E4, V, 0, 0, V, 0, 0},
{0, V, V, V, E5, V, V, V, 0, 0}, {0, 0, V, 0, V, E6, V, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, V, V, E7, 0, V, 0}, {0, 0, 0, V, V, 0, 0, E8, V, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, V, V, E9, V}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, V, E10}};
********************************************************************************
GammaA = {{d, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}};
GammaD = {{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
31
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, d}}; (*Matriz que acopla o primeiro e último
sítio com os reservatórios da esquerda e da direita respectivamente *)
SigmaA = I*GammaA/2.0;
SigmaD = I*GammaD/2.0;
M = Eigensystem[HM];
Veigenvalues = {M[[1, 1]], M[[1, 2]], M[[1, 3]], M[[1, 4]], M[[1, 5]],
M[[1, 6]], M[[1, 7]], M[[1, 8]], M[[1, 9]], M[[1, 10]]}
EV1 = Veigenvalues[[1]];
EV2 = Veigenvalues[[2]];
EV3 = Veigenvalues[[3]];
EV4 = Veigenvalues[[4]];
EV5 = Veigenvalues[[5]];
EV6 = Veigenvalues[[6]];
EV7 = Veigenvalues[[7]];
EV8 = Veigenvalues[[8]];
EV9 = Veigenvalues[[9]];
EV10 = Veigenvalues[[10]];
GRM = Inverse[Energy*IdentityMatrix[10] - HM - SigmaS - SigmaD]; (*Função de Green
Retardada*)
GAM = ConjugateTranspose[GRM]; (*Função de Green Avançada*)
Prod = GammaS.GRM.GammaD.GAM;
Transmission = Re[Tr[Prod]];
********************************************************************************
Subrotina para o cálculo da corrente elétrica, ruído e fator de fano.
NV = 500;
eVmax = 40;
deV = eVmax/NV;
32
mus = 0.0;
mud = mus - eV;
KT = 0.01;
fs = 1/(1 + Exp[(Energy - mus)/KT]);
fd = 1/(1 + Exp[(Energy - mud)/KT]);
For[iv = 0, iv < NV, iv++;
eV = deV*(iv - NV/2.0);
Current[iv] = NIntegrate[(fs - fd)*Transmission, {Energy, -5, 20}, WorkingPrecision -> 70];
Shot[iv] = NIntegrate[ Transmission*(fs*(1.0 - fs) + fd*(1.0 - fd)) + (Transmission*(1.0 -
Transmission)*(fs - fd)*(fs - fd)), {Energy, -5, 20}, WorkingPrecision -> 70];
Fano[iv] = Shot[iv]/Current[iv]];
(*fim do programa*)
********************************************************************************
********************************************************************************
33
11. Assinaturas
34