universidade federal de santa catarina otimizaÇÃo de ... · ... planejamento e programaÇÃo de...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS
OTIMIZAÇÃO DE PROJETOS LINEARES EM CONSTRUÇÃO CIVIL
ATRAVÉS DO MÉTODO ESPAÇO-TEMPO
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA A
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE
MESTRE EM ENGENHARIA
JORGE EDUARDO ZEGADA CLAURE
FLORIANÓPOLIS
SANTA CATARINA - BRASILMARÇO - 1986
0.2
55.9
28
-9
OTIMIZAÇÃO DE PROJETOS LINEARES EM CONSTRUÇÃO CIVIL ATRAVÉS
DO MÉTODO ESPAÇO-TEMPO
JORGE EDUARDO ZEGADA CLAURE
ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TlTULO DE
’’MESTRE EM ENGENHARIA"
PECIALIDADE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO, E APROVADA EM SUA FORMA
FINAL PELO PROGRAMA DE PÕS-GRADUAÇÃO
BANCA EXAMINADORA:
ÍOF. ROBERT M'YNE SAMOHYL Ph.D, COORDENADOR DO CURSO
PROF. RICARDO MIRANDA BARCIA Ph.D.
PROF. CARLOS ERNANI FRIES M.Eng,
A Oscar y
Maria Teresa
Mis Padres
j
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Ricardo Miranda Barcia um especial agrade
cimento pela orientação e apoio que me concedeu na realização de£>
te trabalho.
Aos Professores Antônio Sérgio Coelho e Robert Wayne
Samohyl pelos comentários e sugestões.
A UFSC que viabilizou a realização deste trabalho.
A CAPES pelo auxílio financeiro.
A todos colegas, professores e amigos que de forma
direta ou indireta auxiliaram na elaboração deste trabalho.
1
R E S U M O
Este trabalho foi elaborado com o objetivo de dar
ao Método de Planejamento e Programação Espaço-Tempo um modelo de
programação matemática que permita otimizar tempos e custos de
obras de construção civil lineares através do uso de computadores.
Nele estão formuladas todas as considerações materna
ticas que, com o uso de Programação Linear Inteira possibilitam a
caracterização da totalidade dos projetos lineares que se apresen
tam na prática.
Com a finalidade de facilitar a implementação compu
tacional do método foi elaborado um programa que gera a partir de
dados básicos de projetos as variáveis, restrições e função objet^
vo no formato compatível com o pacote para solução de programação
matemática utilizado.
A título de ilustração das técnicas propostas, são
resolvidos dois exemplos de obras de porte médio.
ii
A B S T R A C T
In this work a mathematical programming model which
allows to optimize time and costs in construction linear projects
is developed.
The intiger linear programming approach adopted makes
possible to solve all the different scheduling problems which
arise in practical uses of the time space method.
A computer program which formats, from project data,
constraints and objetive functions in a format compatible with a
mathematical programming software was developed.
Two different construction problems were used to
illustrade the application of the proposed model.
S U M Ã R I 0
Lista de Figuras .............................................. vi
Lista de Tabelas .............................................. vii
CAPITULO I - INTRODUÇÃO
1.1 - INTRODUÇÃO .............................................. .... 1
1.2 - OBJETIVO E JUSTIFICATIVA ............................... .... 3
1.3 - ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ................................ ....4
CAPÍTULO II - PROGRAMAÇÃO DE OBRAS EM CONSTRUÇÃO CIVIL
2.1 - INTRODUÇÃO .............................................. 6
2.2 - PLANEJAMENTO E PROGRAMAÇÃO DE OBRAS EM CONSTRUÇÃO CI
VIL ............... ....................... ............... 6
2.3 - DIAGRAMA DE BARRAS (GANTT) ..... ....................... 8
2.4 - MÉTODOS PERT/CPM ........................................ 10
2.5 - CUSTOS EM CONSTRUÇÃO CIVIL ............................. 14
2.6 - CONCLUSÃO ............................................... 15
CAPÍTULO III - MÉTODO DE PLANEJAMENTO E PROGRAMAÇÃO ESPAÇO-
TEMPO
3.1 - INTRODUÇÃO .............................................. 17
3.2 - MÉTODO DE PLANEJAMENTO E PROGRAMAÇÃO E CONSTRUÇÕES LI
NEARES .............................................. .... 17
3.3 - MÉTODO ESPAÇO-TEMPO ..................................... 18
3.4 - CONCLUSÕES .............................. ................ 2 5
iii
CAPÍTULO IV - FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA
4.1 - INTRODUÇÃO .......................................... .... 26
4.2 - FORMULAÇÃO ORIGINAL ..................................... 26
4.3 - CONSTRIBUIÇOES À FORMULAÇÃO MATEMÁTICA ................ 34
4.4 - CONCLUSÃO ............................................... 39
CAPÍTULO V - EXEMPLOS
5.1 - INTRODUÇÃO ................ .............................. 40
5.2 - EXEMPLO 01 - EDIFÍCIO .................................. 41
5.3 - EXEMPLO 02 - COLETOR CENTRAL DE ESGOTOS ............... 44
5.4 - CONCLUSÃO ............................................... 57
CAPÍTULO VI - CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
6.1 - CONCLUSÕES ....... ...................................... 58
6.2 - RECOMENDAÇÕES E FUTUROS TRABALHOS ..................... 59
BIBLIOGRAFIA ................................................... 60
APÊNDICES
APÊNDICE 1 - PROGRAMA GERADOR DE VARIÁVEIS, RESTRIÇÕES E FUN
ÇÃO OBJETIVO ...... ..................... ........ 63
A.1.1 - FORMATO DE DADOS EXIGIDO PELO PACOTE "LAND Ç POWELL" ... 64
A. 1.2 - MANUAL DO USUÁRIO..................................... 68
A. 1.2.1 - NOÇÕES GERAIS ............................ . 68
A.l.2.2 - CARACTERÍSTICAS E LIMITES .................. 68
A.l.2.3 - ENTRADA DE DADOS ........................... 69
V
APÊNDICE 2 - EXEMPLO 2. ENTRADA DE DADOS DO PROGRAMA ........ 74
APÊNDICE 3 - EXEMPLO 2. SAÍDA DE DADOS GERADOS PELO PROGRAMA
(ENTRADA DE DADOS DO ’’LAND AND POWELL".) ....... 76
APÊNDICE 4 - EXEMPLO 2. SAÍDA DE RESULTADOS DO "LAND AND
POWELL".SOLUÇÃO OTIMA ........................... 93
LISTA DE FIGURAS
Fig. 2.3.1 - EXEMPLO DIAGRAMA DE BARRAS ..................... 9
Fig. 2.4.1 - EXEMPLO REDE PERT/CPM........................... 12
Fig. 2.5.1 - GRÁFICO DE CUSTOS ................................ 15
Fig. 3.3.1 - TAXAS DE PRODUÇÃO ....... ...... ................ 20
Fig. 3.3.2 - FOLGAS DE TEMPO ................................. 21
Fig. 3.3.3a - ATIVIDADES PROGRAMADAS COM FOLGA DE TEMPO ..... 22
Fig. 3.3.3b - ATIVIDADES PROGRAMADAS COM FOLGA DE DISTÂNCIA .. 22
Fig. 3.3.4 - DIAGRAMA ESPAÇO-TEMPO ........................... 23
Fig. 3.3.5a - DIAGRAMA DE BARRAS - PROGRAMA DA CONSTRUÇÃO DE
UMA ESTRADA ...................................... 24
Fig. 3.3.5b - REDE PERT/CPM DA CONSTRUÇÃO DE UMA ESTRADA .... 2 5
Fig. 3.3.5c - DIAGRAMA ESPAÇO-TEMPO DA CONSTRUÇÃO DE UMA ES
TRADA ..... ...................................... 2 5
Fig. 4.2.1 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UM PROCESSO CONSTRUTI
VO ........................................... .... 27
Fig. 4.2.2 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA NO PLANO S x T DE UM PRO
CESSO CONSTRUTIVO ............................... 2 8
Fig. 5.2.1 - DIAGRAMA ESPAÇO-TEMPO DO EDIFlCIO DE 14 ANDARES
DO EXEMPLO 1. SOLUÇÃO ÕTIMA .................... 47
Fig. 5.3.1 - DIAGRAMA ESPAÇO-TEMPO DO COLETOR CENTRAL DE ES
GOTOS DO EXEMPLO 2. SOLUÇÃO ÕTIMA .............. 56
vi
LISTA DE TABELAS
Tabela 5.2.1 - TAXAS DE PRODUÇÃO DISPONÍVEIS PARA EXECUÇÃO DO
EXEMPLO 1 ........................................ 41
Tabela 5.2.2 - QUANTIDADES DE TRABALHO NECESSÁRIAS PARA EXECU
ÇÃO DO EXEMPLO 1 . ...... ........................ 42
Tabela 5.2.3 - TEMPOS DE INÍCIO DOS TRABALHOS DE EXECUÇÃO DAS
SEÇOES DO EXEMPLO 1. SOLUÇÃO ÕTIMA ............ 45
Tabela 5.2.4 - EQUIPES EXECUTORAS DA OBRA DO EXEMPLO 1. SOLU
ÇÃO ÕTIMA . . ..................................... 46
Tabela 5.3.1 - QUANTIDADE DE TRABALHO NECESSÁRIA PARA EXECUÇÃO
DO EXEMPLO 2 ................................... 49
Tabela 5.3.2 - TAXAS DE PRODUÇÃO DISPONÍVEIS E CUSTOS DIRETOS
EM UNIDADES MONETÁRIAS PARA A EXECUÇÃO DO EXEM
PLO 2 ................. ....................... . . 49
Tabela 5.3.3 - CUSTOS DE TROCA DE EQUIPES EM UNIDADES MONETÁ
RIAS ................................... .......... 50
Tabela 5.3.4 - TEMPOS DE INÍCIO DOS TRABALHOS DE EXECUÇÃO DAS
SEÇOES DO EXEMPLO 2. SOLUÇÃO ÕTIMA ............ 53
Tabela 5.3.5 - EQUIPES EXECUTORAS DA OBRA DO EXEMPLO 2. SOLU
ÇÃO ÕTIMA ....................................... 54
Tabela 5.3.6 - CUSTOS DE TROCA. SOLUÇÃO ÕTIMA ................ 55
C A P Í T U L O - I
INTRODUÇÃO
1.1 - INTRODUÇÃO
Muitos benefícios foram conseguidos até agora com
a utilização de métodos científicos no planejamento, programação
e controle de projetos de Engenharia Civil. A organização racio
nal da produção proporciona a redução de tempos e custos na cons
trução, como também aumenta a segurança do andamento das obras.
Dois métodos tem sido amplamente utilizados em cons
trução civil, a saber: o Diagrama de Barras e o PERT/CPM.
0 Diagrama de Barras é um excelente método visual e
simples de ser entendido, motivos pelos quais é amplamente utiliza
do. Entretanto, ele possue limitações pelo fato de não conseguir
mostrar claramente as seqüências e interdependências entre as ati
vidades que devem ser realizadas para executar as obras, bem como,
suas taxas de progresso nas diferentes seções dos projetos.
Os Métodos PERT/CPM, baseados em redes gráficas,
utilizam arcos orientados e nos para representar atividades e in
terdependências conseguindo mostrar claramente a seqüência constru
tiva lõgica da execução da obra. Estes métodos consideram também
nivelamento e limitação de recuros otimizando custos. Atualmente
existem programas que permitem o tratamento computacional destes
problemas. 0 PERT/CPM também apresenta limitações. Quando traba
lha-se em grandes projetos com muitas atividades a sua representa
ção torna-se ininteligível proporcionando pouca informação e difí-
.2
cil acesso a ela (20). Pode-se ainda citar como desvantagem deste
método o fato de não mostrar a taxa de progresso para atividades
em diferentes seções do projeto e dar maior ênfase na minimização
do tempo do que no custo, o que geralmente não ocorre na constru
ção civil (16). A forma bãsica da estrutura grafica dos Métodos
PERT/CPM representa as atividades do projeto como discretas com a
próxima atividade iniciando quando a atual for concluída. Entretan
to, em muitos projetos construtivos a seqllência das atividades não
ê discreta. O progresso das atividades ê contínuo, em seqüência,
ao longo do eixo no projeto (11). Estes são os chamados projetos
lineares, projetos tais quais estradas, edifícios com andares re
petitivos, redes coletoras de esgoto e distribuição de ãgua, etc.
Como os métodos anteriormente citados não satisfa
zem as necessidades de planejamento, programação e controle de
projetos lineares, recentemente surgiram novas técnicas orientadas
para tais tipos de obras. Técnicas que receberam varias denomina
ções "Linear Scheduling Method", "Time-Space Diagram", "Flow Lines",
etc, mas que, basicamente constituem um mesmo método que lembra o
"Line of Balance Method" utilizado na indústria fabril, e que nos
denominamos Método Espaço-Tempo.
0 novo método parte de duas considerações básicas.
Primeiro,o planejamento deve permitir a definição de várias equi
pes, cada uma realizando um tipo de trabalho ao longo do eixo do
projeto, para a execução da obra. Segundo, as quantidades de recur
sos disponíveis devem ser determinadas para minimizar a duração
ou o custo do projeto (7).
Apesar do consenso existente quanto a maior adequa
ção do Método Espaço-Tempo com relação ãs outras técnicas para o
planejamento, programação e controle de projetos lineares (20),
praticamente não existem trabalhos que visem seus aspectos compu
tacionais. Foi inclusive afirmado que a maior desvantagem do meto
do ê o fato de existir a dificuldade de implementã-lo em computa
dor (20).
1.2 - OBJETIVO E JUSTIFICATIVA
! Grande^parte dos projetos de Engenharia Civil apre
sentam características lineares e, por este motivo, não são trata
dos adequadamente no seu planejamento e programação pelos métodos
tradicionais. 0 Método Espaço-Tempo tem vantagens para construções
lineares com relação a estas técnicas tradicionais pelo fato de
permitir a programação das atividades em cada uma das seções dos
projetos. Além do mais, por que é um método inteligível proporcio
nando fãcil controle do andamento das obras.
Na literatura especializada tem-se apontado como a
principal desvantagem do método a dificuldade do uso do computador
para seu tratamento. 0 objetivo deste trabalho consiste em utili
zar técnicas de programação matemática que permitam a fãcil solu
ção em computador do Método Espaço-Tempo. E também mostrar-se-ã a
aplicabilidade do método e da técnica proposta para vãrios tipos
de projetos lineares.
Selinger (19) propôs um algoritmo baseado em progra
mação dinâmica para a solução do método. Porém sua formulação é
muito restrita, sendo aplicável só a um caso específico (20).
Barcia (2) propôs uma abordagem baseada em controle
4
otimo, discretizando o problema e usando Brogramação Linear Intei
ra ele chega a uma formulação básica genérica para a solução do
problema. Porém esta abordagem deixa de considerar catacterísticas
que se apresentam comumente nas obras bem como certos custos impor
tantes em construção civil.
Neste trabalho se apresentarão formulações de con
siderações adicionais que superem as deficiências mencionadas. As
sim se permitira que o Método Espaço-Tempo possa ser utilizado pa
ra a totalidade dos projetos lineares que se apresentam na práti
ca .
A partir desta formulação mais completa se implemen
tara e operacionalizarã o método através de um programa computa
cional que, a partir de dados básicos, gere as variáveis, restrições
e função objetivo necessárias para a solução do problema por Pro
gramação Linear Inteira. Dado que os projetos de porte real preci
sam de grande numero de variáveis e restrições. 0 programa permiti
rã a seleção pelo usuário de combinações de características cons
trutivas que definam a obra, bem como a escolha entre otimização
do tempo e/ou custo do projeto.
1.3 - ORGANIZAÇAO DO TRABALHO
Este trabalho está dividido em seis capítulos.
0 presente capítulo apresenta a motivação inicial
do estudo, abordando sucintamente o conteúdo da dissertação.
0 segundo capítulo introduz os conceitos básicos de
planejamento e programação de obras civis, bem como seu desenvolvimento
5
histórico e importância. Os métodos mais utilizados até agora são
brevemente descritos e analisados sob o ponto de vista da aplica
ção prática como os custos em construção.
No capítulo três o Método Espaço-Tempo ê apresenta
do e suas vantagens com relação aos métodos tradicionais para o
planejamento e programação de construçõès lineares são discutidas.
Os fundamentos e características do método são abordados e analisa
dos com a conclusão de que a sua maior limitação é a dificuldade
de tratamento computacional.
No capítulo quatro a formulação matemática que via
biliza a solução do Método Espaço-Tempo, ou seja por programação
linear inteira é abordado. Inicialmente a formulação básica propos
ta por Barcia (2) é considerada. A seguir, complementa-se esta for
mulação de maneira que o método possa ser utilizado na totalidade
dos casos práticos.
No capítulo cinco, a título de exemplos práticos,
são considerados dois projetos. 0 primeiro é um edifício de qua
torze andares onde se otimiza o tempo de construção. 0 segundo pro
jeto é um coletor central de esgotos para o qual se otimiza o
custo da obra.
No capítulo seis são apresentadas as conclusões e
recomendações.
0 manual de utilização do programa desenvolvido que,
a partir dos dados básicos do projeto gera as variáveis, restri
ções e função objetivo é apresentado no Apêndice 1.
C A P I T U L O - I I
PROGRAMAÇÃO DE OBRAS EM CONSTRUÇÃO CIVIL
2.1 - INTRODUÇÃO
Este capítulo tem por objetivo introduzir alguns con
ceitos de programação de obras, a sua importância e desenvolvimen
to histórico. Como foi dito no capítulo anterior, na construção ci.
vil, quase que exclusivamente dois métodos são utilizados para a
programação de obras, a saber, o Diagrama de Barras e o PERT/CPM.
Estes dois métodos serão descritos e analisados brevemente, com
considerações a sua aplicação prática.
Finalmente, serão feitas considerações sobre os cus
tos na execução de obras.
2.2 - PLANEJAMENTO E PROGRAMAÇÃO DE OBRAS DE CONSTRUÇÃO CIVIL
Na construção de obras civis, três são os princi
pais objetivos a atingir: segurança, estética e economia. A segu
rança foi a primeira preocupação dos construtores desde a anti
guidade. Com o decorrer do tempo e com o domínio de algumas técn_i
cas construtivas, a estética das obras começou a ser também uma
grande preocupação e, começaram a ser combinadas funções estrutu
rais e estéticas. Nos dias de hoje o fator econômico em qualquer
empreendimento tem fundamental importância. E preciso aproveitar
racionalmente os recuros existentes.
7
Apesar do consenso cada vez maior em torno da im
portância do fator econômico nas construções, tem-se constatado
que é mais fãcil aceitar maquinas ou técnicas novas do que novos
conceitos organizacionais. Ultimamente, tem-se constatado a efeti.
vidade dos conceitos organizacionais que não sõ garantem uma me
lhor relação custo/rentabilidade como também a viabilidade do em
preendimento (14).
0 planejamento, a programação e o controle são as
três etapas de projetos que determinarão o sucesso econômico do em
preendimento. 0 planejamento envolve um conjunto de decisões que
definem os grupos de atividades que comporão a execução da obra.
A programação ê a ordenação estruturada de atividades e tempos in
dicando o início e o fim de cada atividade. 0 calculo e/ou minimi
zação de tempos e custos ê realizado nesta etapa. 0 controle é a
analise do desempenho da execução das obras comparando-o e corri
gindo-o de acordo ao plano de programação inicial e/ou mudanças que
se façam necessárias.
Os esforços em direção ao planejamento e a programa
ção de obras iniciaram-se por volta de 1918 com a apresentação dos
Diagramas de Gantt, hoje um método amplamente utilizado no contro
le de obras (Diagrama de Barras). Em 1957 Morgan Walquer, um mem
bro da Companhia Dupont de Moure e James Kelley Jr. da Companhia Remington Rand desenvolveram e aplicaram o Método do Caminho Críti_
co (CPM). Paralelamente a Força Naval dos Estados Unidos em cola
boração com construtores civis, desenvolvia um método de programação
e controle para a produção do submarino e do míssil atômico "Po-
laris", que foi denominado "Program Evaluation and Review Tecnique"
(PERT) (18).
8
2.3 - DIAGRAMA DE BARRAS (GANTT)
0 Diagrama de Barras ou Diagrama de Gantt era hã
pouco tempo o único instrumento conhecido para a programação de
obras em construção civil e, até agora continua sendo amplamente
utilizado.
A utilização desta técnica pode ser descrita da se
guinte maneira:
a) Inicialmente definem-se quais as atividades1 ne
cessarias para a execução do projeto, estimando-
se os tempos de duração de cada uma delas.
b) Faz-se uma listagem das atividades de forma que
cada uma seja representada por uma linha. Estabe
lece-se uma ordem de execução das atividades. Ca
da uma representa-se em barras, com os compri
mentos em escala representando as durações das
atividades. As barras são colocadas ao longo üe
uma escala de tempos comum para todas as ativida
des. (Fig. 2.3.1)
c) Faz-se da escala de tempos uma escala de dias
úteis fazendo coincidir esta escala com a data
de iniciação dos trabalhos e ajusta-se as posi
ções das barras de maneira que representem o iní!
cio e o fim de cada atividade. Se a data de fi
nalização no projeto é satisfatória o diagrama
1 No contexto deste trabalho se denominará atividade os trabalhos
que executados no seu conjunto permitirão realização total da obra.
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Fig.
2.3.1
- EXEMPLO
DIAGRAMA
DE BA
RRAS
10
p é aceito. Caso contrario se intensificam os tra
balhos de algumas atividades consequentemente re
duzindo o comprimento das respectivas barras, e
se deslocam barras em direção a data de início
do projeto, atê obter uma data de finalização da
obra compatível com as exigências do projeto
(18).
A partir desta estruturação grafica, variáveis adi
cionais para melhorar.a potencialidade do método podem ser efetua
das (16).
O Diagrama de Barras é um excelente método visual
que pode ser diretamente compreendido pelo pessoal da obra. Isto
porque ê simples e inteligível (14). Como desvantagens, ele não
mostra claramente as relações entre as atividades nem o seu seqüen
ciamento, suas interdependências, bem como, as suas taxas de pro
gresso da execução (20). Não pode ser dito que, por estes motivos,
o Diagrama de Barras não tenha utilidade na prática, pois ele ê
muito utilizado como complemento de outras técnicas mais complexas .
2.4 - MÉTODOS PERT/CPM
A partir de 1960, os métodos PERT/CPM, vem sendo ex
tensivamente aplicados na construção civil (18) . constituindo-se
atê o momento nos métodos mais utilizados, pela sua maior potência
lidade na programação de obras.
A seguir se fará uma breve descrição da utilização
do método:
11
a) Inicialmente determinam-se as atividades compo
nentes da obra, seu número e duração respecti
vas, podendo-se inclusive considerar, estas dura
ções, como variáveis aleatórias. Neste caso es
tima-se a duração otimista, a mais provável, e a
pessimista e assume-se que as durações são dis
tribuídas de acordo com uma distribuição de pro
babilidade beta.
b) Estabelecem-se as seqüências e interdependências
tecnológicas e organizacionais entre as ativida
des.
c) Faz-se uma representação gráfica contendo as ati vidades e interdependências através de arcos ori
entados e nós. Os nós representam as atividades
e os arcos as interdependências (ou vice-versa)
(Fig. 2.4.1).
d) Faz-se uma análise de tempos e custos determinan
do o caminho crítico da rede e as atividades que
o constituem. Estas atividades, denominadas crí
ticas, não poderão sofrer atrasos, pois estes in
fluiram diretamente no tempo final de execução
do projeto. As outras atividades (não críticas)
podem ser executadas com folgas, isto ê, poderão
sofrer atrasos sem afetar o tempo final do pro
jeto.
Além do que foi exposto acima, o método permite a
análise de utilização e nivelamento de recursos. A redução da dura
ção total do projeto pode ser feita através de uma análise de
2.4.1 - EXEMPLO REDE PERT/CPM
13
custo a qual indicara quais atividades devem ser aceleradas. A du
ração õtima do projeto, ou seja, a realização do projeto com um
custo mínimo, também pode ser determinada.
Atualmente existem programas computacionais que via
bilizam o tratamento destes métodos por este meio.
Os Métodos PERT/CPM são poderosos instrumentos de
programação de obras, principalmente para projetos que apresentam
duas características bãsicas: a) 0 número de atividades é propor
cional a complexidade do projeto e b) As atividades apresentam uma
clara interdependência, o que define diretamente o caminho de con
clusão do projeto (7).
Existem projetos na construção que caracterizam-se
por estar compostos por unidades repetitivas que não apresentam es
tas características bãsicas exigidas para a utilização pratica dos
Métodos PERT/CPM (7).
Quando trabalha-se em grandes projetos, a represen
tação dos métodos PERT/CPM torna-se ininteligível proporcionando
pouca informação ou difícil acesso a ela por parte dos executores
da obra. Existem autores (5) que afirmam que nas duas últimas dé
cadas a indústria de construção tentou utilizar variações do PERT/
CPM obtendo resultados insatisfatórios. Isto, principalmente pela
incompatibilidade da essência dos processos construtivos com a
filosofia dos métodos. Além do mais, se alguns construtores utili
zam o PERT/CPM, é somente para satisfazer as exigências do clien
te, sendo entretanto os projetos administrados., sem o uso desta
ferramenta.
14
2.5 - CUSTOS EM CONSTRUÇÃO CIVIL
Na construção civil se consideram os custos dos pro
dutos como compostos por duas espécies de custos: os custos indi
retos e os custos diretos.
Os custos indiretos são aqueles que não tem origem
diretamente na execução de uma atividade específica. Além do mais
eles estão relacionados com o tempo de execução da obra. Estes cus
tos consistem principalmente nos honorários da inspeção e direção
da obra bem como no aluguel de máquinas, equipamentos, instalações
e outros que a empresa construtora incorre mesmo que a obra esteja
parada. A curva (a) (Fig. 2.5.1) mostra as variações dos custos in
diretos com o tempo.
Os custos diretos dependem diretamente da execução
de uma atividade e podem-se referir a toda a obra ou a cada ativi
dade em particular. Estes custos caracterizam-se pelo fato de dei
xarem de existir sempre que a tarefa deixe de ser realizada. 0 cus
to direto geralmente cresce com a intensificação nos trabalhos pa
ra a realização da atividade, conseqüentemente com a diminuição do
tempo de execução da atividade como mostra a curva (b) (Fig. 2.5.1).
0 custo total da obra ê o resultado da soma dos cujs
tos diretos e indiretos ocorridos na obra. Curva (c) (Fig. 2.5.1).
IS
o CUSTO TOTAL
Fig. 2.5.1 - GRÁFICO DE CUSTOS
2.6 - CONCLUSÃO
Neste capítulo foram apresentados os dois métodos
mais amplamente utilizados no planejamento, programação e controle
de obras de construção civil: 0 Diagrama de Barras e o PERT/CPM.
0 Diagrama de Barras ê um excelente método visual e
simples de ser entendido, Mas, ao não mostrar as interdependências
entre as atividades, não ê o mais indicado para a efetiva programa ção de obras.
0 PERT/CPM é o mais aprimorado dos métodos tradi
cionais. Quando trabalha-se projetos com muitas atividades ou com
atividades repetitivas torna-se ininteligível perdendo a represen
tatividade do processo construtivo.
16
No próximo capítulo um outro método que se mostra
mais apropriado para certo tipo de projetos, o Método Espaço-Tempo,
será apresentado.
C A P I T U L O - I I I
MÉTODO DE PLANEJAMENTO E PROGRAMAÇÃO ESPAÇO-TEMPO
3.1 - INTRODUÇÃO
No capítulo anterior, o Diagrama de Barras e o PERT/
CPM foram apresentados. Este capítulo tem por objetivo apresentar
outra técnica em muitos casos mais adequada para a programação de
obras com atividades repetitivas. (Ex.: Estradas, redes coletoras,
etc): 0 Método Espaço-Tempo.
3.2 - MÉTODOS DE PLANEJAMENTO E PROGRAMAÇÃO E CONSTRUÇÕES LINEARES
Entende-se por construções lineares aquelas que po
dem ser executadas por varias equipes, cada uma definida e especia
lizada em um trabalho específico, que seqüencialmente realizam atividades repetitivas em cada seção do projeto. As atividades ou tarefas são progressivamente executadas pelo deslocamento das res pectivas equipes ao longo do eixo imaginário do projeto. Ex. : Con_s trução de estradas, edifícios com andares repetitivos, redes de distribuição de água, etc.
Como foi mencionado no capítulo anterior, o Diagrama de Barras apesar das suas vantagens não mostra claramente as relações tecnológicas e organizacionais entre as atividades que compõem os projetos (20). Sõ com a utilização do Diagrama de Bar ras um projeto não pode ser efetivamente programado e gerenciado.Quando trabalha-se na programação de projetos lineares, a potencialidade dos métodos PERT/CPM ê reduzida, pois estes proporcionam
18
pouca informação do desempenho das equipes que executam as ativida
des repetitivas ao longo do eixo imaginário do projeto. Em proje
tos com muitas atividades a rede gráfica torna-se complexa e inin
teligível (20). 0 número de atividades cresce consideravelmente
quando intenta-se discretizar tarefas contínuas, desencorajando mui
tos construtores pelo esforço requerido para desenvolver e traba
lhar redes PERT/CPM. As taxas de progresso para as atividades nas
diferentes seções do projeto não são mostradas por esses métodos (11).
0 fato que os métodos "tradicionais" de planejamen
to e programação de obras não constituem ferramentas adequadas pa
ra projetos lineares, têm levado ao recente surgimento de novas
técnicas para dirigir tais atividades (3).
3.3 - MÉTODO ESPAÇO-TEMPO
A origem exata do Método Espaço-Tempo não é clara,
mas lembra a filosofia básica da técnica "Line of Balance"(11). E£
te último método foi desenvolvido pela Força Naval dos Estados UnjL
dos no início dos anos 50. Suas primeiras aplicações foram no con
trole da produção da indústria manufatureira onde o objetivo é
o de programar o fluxo das linhas de produção (11).
Várias adaptações e transformações foram realizadas
para aplicar o método a obras de Engenharia Civil. Estas várias
adaptações foram denominadas de ’’Linear Scheduling Method"(11),
"Time-Space Scheduling Method"(20),"Flow Lines"(3), etc. Ressalta-
se que estes são diferentes nomes dados a um mesmo método que, nes
te trabalho, denominaremos de Método Espaço-Tempo.
19
Para o método ser apresentado é necessária a intro
dução de alguns elementos ou conceitos básicos, ou seja:
a) Deve-se determinar as seções ou unidades repeti
tivas nas quais o projeto a ser programado se
rã dividido.
b) A análise do projeto deve permitir a definição
das atividades contínuas que permitirão a total
execução da obra bem como as relação as tecnoló
gicas e organizacionais entre as equipes que irão
executá-la.
c) 0 método é representado graficamente por um dia
grama espaço versus tempo, isto é, por um siste
ma de eixos cartesianos no qual a abscissa moj5
tra os tempos e ordenada o espaço. Os pontos re
presentados neste sistema cartesiano medem a ta
xa de progresso no tempo das equipes executoras
do trabalho. A programação deve ser feita em un_i
dades de tempo adequadas. Usam-se dias, semanas
ou meses dependendo da duração do projeto e do
nível de detalhamento exigido. A programação no
tempo pode ainda ser feita baseando-se em calen
dârio considerando feriados e fins de semana. 0
espaço pode ser medido de várias formas. Em edi
fícios, a forma mais apropriada seria considerar
o eixo das distâncias perpendicular aos andares.
Em outros tipos de projetos pode-se medir por
unidades construtivas (ex.: Conjuntos residen
ciais) . Em estradas, redes coletoras e redes de
20
distribuição de ãgua, o eixo das distâncias acom
panha o traçado do projeto.
d) Definem-se equipes especializadas de trabalho
executoras das atividades contínuas, estimando-
se várias taxas de produção para as equipes dijs
poníveis como função dos tipos de atividades,
equipamentos, características, condições de tra
balho, etc. A taxa de produção de uma determina
da atividade r^ ê utilizada para plotar o pro
gresso desde sua localização s^, no tempo t^ até
sua localização final S2 no tempo Í2 > As diver
sas capacidades de produção são indicadas direta
mente pelas tangentes do ângulo que mede a in
clinação das linhas plotadas (Fig. 3.3.1).
Fig. 3.3.1 - TAXAS DE PRODUÇÃO - A inclinação das
linhas representa a capacidade produti.
va das equipes. A capacidade a é maior
que a2 pois permite executar a mesma se
ção (s2)em tempo menor Ç1 2).
21
e) As taxas de produção numa mesma atividade podem
variar dependendo das características do proje
to. Na figura 3.3.2 a taxa de produção para a
atividade i da seção 1 , r^, ê menor que a da
segunda seção r^- 0 progresso das atividades po
de ser interrompido intencionalmente criando-se
folgas de tempo entre o início dos trabalhos de
uma equipe em determinada seção e a finalização
dos mesmos na seção anterior. Isto serve para ca
racterizar, por exemplo, manutenção de equipamen
tos, cura de concreto, etc. Na figura 3.3.2, Et-
e Et-2 mostram graficamente esta ocorrência (11) .
Fig. 3.3.2 - FOLGAS DE TEMPO
f) Folgas de tempo e/ou distância também podem ser
definidas segundo as características tecnológi
cas e organizacionais de projeto, determinando
ou regulando distâncias ou intervalos de tempo
qúe deverão separar duas equipes consecutivas
22
numa mesma seção. Na figura 3.3.3a e FT2
representam folgas de tempo entre as atividades
i e i + 1 e na figura 3.3.3b FD- e FD2 folgas de
distância (11).
ativid ad e i atividade i+1
FT- = folga de tempo entre atividades consecutivas.
Fig. 3.3.3a - ATIVIDADES PROGRAMADAS COM FOLGAS DE TEMPO(11)
ativ id ad e i atividade i+ 1
FD^= folga de distância entre atividades consecutivas.
Fig. 3.3.3b - ATIVIDADES PROGRAMADAS COM FOLGAS DE
DISTÂNCIA (11).
23
h) Linhas representando o desempenho das equipes
em cada seção devem ser plotadas no sistema de
eixos, fazendo um balanceamento de todo o proces^
so de produção. Este balançamento indicara a
otimização do tempo ou custo da execução da obra
através da escolha adequada de tempo e equipes
executoras para cada atividade e seção de proje
to (Fig. 3.3.4).
Fig. 3.3.4 - DIAGRAMA ESPAÇO-TEMPO
As vantagens do Método Espaço-Tempo são claras. Ele
ê simples e altamente inteligível, mostrando visualmente o andamen
to da obra para cada seção de projeto, bem como as interrelações
entre as diferentes atividades. Ele proporciona mais informação so
bre a obra do que o Diagrama de Barras (mostra interdependências).
Para projetos lineares oferece mais vantagens que o PERT/CPM, prin
cipalmente sob o aspecto da visualização (16).
Os Métodos PERT/CPM são ferramentas mais poderosas
em projetos com atividades discretas. Porém em atividades contínuas
24
o Método Espaço-Tempo é mais efetivo pois permite visualizar o pro
cesso de execução do projeto (11).
As figuras 3.3.5 representam graficamente as pro
gramações de um projeto linear simples através do Diagrama de Bar
ras, do PERT/CPM e do Método Espaço-Tempo para construção de uma
estrada. Destas representações podem-se observar claramente as van
tagens representativas do método no que se refere a projetos li
neares.
A maior desvantagem citada na literatura especiali
zada para o método é a dificuldade de viabilizar seu tratamento em
computadores. Selinger (19) fez o primeiro esforço para solucionar
este problema propondo um modelo matemático que utiliza programa
ção dinâmica. Porém sua formulação ê muito restrita, sendo aplica
vel sõ a um caso específico.
ATIVIDADESM E S E S
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ii
A TRAÇADO E LIMPEZA ' / / / / / / / / / / / / , 777.
B MOVIMENTO DE TERRA ' / / / / 7/77/777á \\\ 7777 \ \ \
C CONST. DE DRENAGEM V777'777//ÚLU 7777,D BASE 7///,V/// v77/ 777E PAVIMENTAÇÃO ' / / / / / / / / 7////77///
Fig. 3.3.5a - DIAGRAMA DE BARRAS-PROGRAMA DA CONS
TRUÇÃO DE UMA ESTRADA
25
Fig. 3.3.5b - REDE PERT/CPM DA CONSTRUÇÃO DE UMA ESTRADA
ESPAÇO (km)
Fig. 3.3.5c - DIAGRAMA ESPAÇO-TEMPO DA CONSTRUÇÃO
DE UMA ESTRADA
3.4 - CONCLUSÕES
O Método de Planejamento e Programação Espaço-Tempo
tem vantagens com relação ãs técnicas tradicionais para o tratamen
to de obras civis que possuem atividades contínuas ou repetitivas.
Isto porque, ele permite a programação de atividades em cada uma
das seções dos projetos e além do mais é um método altamente inte
ligível proporcionando um fãcil controle da execução de obras.
C A P Í T U L O - I V
FORMAULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA
4.1 - INTRODUÇÃO
Este capítulo tem por objetivo apresentar a aborda
gem que permite o tratamento computacional do Método Espaço-Tempo.
Inicialmente (na seção 4.2) mostra-se a formulação
bãsica original proposta por Barcia que permite o tratamento mate
mático do problema. Na seção seguinte propõem-se considerações adi.
cionais e complementares que tem por objetivo consolidar e ampliar
a aplicabilidade do sistema.
4.2 - FORMULAÇÃO ORIGINAL
Barcia visualizou os processos construtivos como
sistemas dinâmicos que evoluem com o tempo, evolução esta passível
de modificações. Esta abordagem pode ser caracterizada graficamen
te plotando num sistema de eixos cartesianos, tempo (t), espaço
(s) e produção acumulada (p), uma curva que representa o comporta
mento destas variáveis durante o desenvolvimento do proceso cons
trutivo (Fig.4.2.1). Esta curva plotada no espaço pode ser projeta
da no plano espaço-tempo incorporando em cada unidade de distância
uma quantidade de trabalho. Isto pode ser feito pelo fato de que
a quantidade de trabalho pode ser associada com a distância. Mas
especificamente, dada uma distância pode-se determinar a quantida
de necessária de trabalho que as equipes devem realizar até atingir
27
aquela distância (Fig. 4.2.2). Observe que existe a consideração
de que o movimento da(s) equipe(s) de trabalho ê numa so direção
(a partir da origem). Então considera-se de que os elementos que
afetam o tempo para atingir cada distância são as taxas de produ
ção e as quantidades de trabalho requeridas ao longo do eixo s.
Fig. 4.2.1 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO PROCESSO CONS
TRUTIVO.
28
Fig. 4.2.2 - REPRESENTAÇÃO GRAFICA NO PLANO s x t DE UM PROCESSO CONSTRUTIVO.
Com base na teoria do Controle Otimo, Barcia formu
lou o problema com o objetivo de otimizar os recursos a serem uti.
lizados no processo construtivo. Fazendo-se, por exemplo:
Min (Cj t(s) + CD r (s)) d (4.1)
Sujeito a:
dt(s) ( -, , . — = w(s) r(s)ds
(4.2)
t(s,)= 0
T - (s) « t (s) T (s) mm'' J K } maxk J
(4.3)
(4.4)
onde : sl5 s2 representam as distâncias de início e do fim
do projeto,
t(s) ê o tempo necessário para se atingir a distân
cia s;
29
w(s) ê a quantidade de trabalho a ser executada na
distância s;
r(s) ê a taxa de produção na distância s;
Cj são os custos indiretos do projeto;
Cp são os custos diretos;
t(s ) ê o tempo de início dos trabalhos;
t(s2) ê o tempo de finalização dos trabalhos e ;
T . (s) e T fs) são os limites impostos ao início m m maxv J r
e ao fim da execução dos traba
lhos na distância s.
A equação (4.2) ê o que se chama de dinâmica do pro
cesso. Ela descreve como varia o tempo necessário a execução dos
serviços com a quantidade de trabalho e taxa de produção.
A condição de que os trabalhos iniciem-se (por exem
pio) no tempo 0, é dada pela equação (4.3).
A equação (4.4) estabelece restrições relacionadas
com o tempo de execução (por exemplo normas construtivas que devem
ser obedecidas).
Pelo fato de que os processos construtivos envolvem
quantidades discretas, estes sistemas de produção são representados
mais fielmente usando-se uma versão discreta do modelo acima. Fa
zendo-se esta discretização na variável distância obtém-se um pro
blema de programação matemática. Para uma equipe, o problema pode
rá ser:
30
nminimizar l (Cj tN + r^) (4.5)
k=l
Sujeito a:
tk+l " tk" Wk rk
V 0A partir desta formulaçao pode-se definir:
lÍ U r 4 + wk 4 k= 1- 2• (4 -6^
onde t^ representa o tempo de início dos trabalhos da equipe i na
seção k, ê a quantidade de trabalho necessário para a execu
ção de toda a seção k, a variãvel r£ ê a taxa de produção a ser
escolhida para a equipe i na seção k e N é o número de seções no
qual o projeto serã dividido.
Para alguns projetos pode ser necessário generali-
zar-se a equação (4.6) adicionando-se um elemento s^ que represen
ta a folga de tempo entre o fim dos trabalhos na seção k e o iní
cio dos trabalhos na seção k+1 , numa determinada atividade i, ou
seja:
tk + r tk + wk rk + sk k= 2> •••**' (4‘7)
Para um projeto genérico poder-se-ia representar a
dinâmica de todas as equipes, fazendo-se:
tk+l tk + wk rk + Sk k~ 1> Z>
31
(4.8)
onde tj é o tempo de início dos trabalhos da equipe 1 , e n ê o nú
mero de equipes de trabalho contínuo necessários para concluir to
do o projeto.
Em algumas obras pode ser exigida uma data limite
para o término dos trabalhos. Neste caso, o tempo de conclusão
da obra, t^ não poderã exceder uma data limite T^, faz-se:
tras características. Algumas tecnologias construtivas exigem que
uma equipe não possa iniciar os trabalhos de uma determinada seção
se a equipe predecessora não concluiu nessa seção suas atividades.
Por exemplo, alvenaria não pode ser executada simultaneamente com
estruturas. Assim:
(4.9)
Diferentes tipos de obras podem exigir varias ou-
i= 1 , 2 , ... ; n-1
j = i+1 k= 1, 2, ... N-1, (4.10)
permite que se leve em conta esta característica.
32
0 início das atividades das equipes na primeira se
ção do projeto deve ser seqüenciada . com:
t-j t*, j= i + 1 i= 1 , 2 , ...; n-1 (4.11)
Em alguns tipos de projetos ê necessária a utiliza
ção de folgas de tempos entre as equipes de trabalho.
Estas folgas podem ser consideradas fazendo-se:
tí " tk ^ bk i= 1 , 2 , ... n-1
i= j+1 k= 1, 2, ...N , (4.12)
onde bj^ ê o tempo de folga mínimo requerido entre as equipes i e
j para a seção k.
Os tamanhos das equipes (compostas por diferentes
configurações homem-equipamentos) que realizarão os trabalhos de
verão ser escolhidas dentre as diferentes disponíveis para cada
tipo de atividade, a fim de otimizar o consumo de recursos. Para
tal, as taxas de produção das equipes são restringidas entre os
seus valores limite fazendo-se:
r1 - ri1 r1 , i= 1, 2, ...n (4.13)m m k max’ ’ y J
onde r^ ê a taxa de produção da equipe i que pode assumir valores
no intervalo r1 , r1 • , cujos limites são respectivamente as max m m j J ^
taxas de produção mãximas e mínimas.
Certos projetos podem exigir (por razões econômi
cas, tencolõgicas, etc) que a capacidade de produção de cada
S % â 0 |3 3<' nMONUOAian azntc?1
equipe seja modificada em algumas seções. Neste caso pode-se defi
nir a equação a seguir:
. i . i . r,ri i , T.ri i . _h + r ‘k * wk rk + wk ek 1= 2"--n
k= 1, '2,...N (4.14)
onde e^ a troca de capacidade de produção da equepe i na seção k.
Definindo como o número de equipes (com diferentes taxas de pro
dução) disponíveis para a atividade i. Com o objetivo de efetuar a
escolha de uma so equipe para cada atividade em cada seção tem-se as equações a seguir:
-i i r. i i 2 , _Í H l i n -| -,Í, rk ô 2 rk ••• ô^irk = rk ’ 2 , . . . , N
6 j + Ô2+...+ôJi= 1 i= 1, 2,...,n (4.15)
onde :
0 ou 1 , V i , j •
Observe que a formulação acima (4.15) faz do sistema um problema
de Programação Linear Inteira.
Barcia propôs duas funções objetivo para solucionar o problema, a
primeira otimiza o tempo de execução. A outra otimiza o custo da
obra. Estas funções objetivo são respectivamente:
Min (PN tN + E ri) (4.16)i = l
ou
Min (C tjj * j f Cj íj) (4.17)1 = 1 3=1. J J
34
onde P^ é uma penalidade para dar prioridade â otimização do tempo
à das taxas de produção e ê o custo de execução (direto) da
atividade i pela equipe j .
4.3 - CONSTRIBUIÇOES À FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
A formulação de Barcia exposta no item anterior, não
considera alguns aspectos que se apresentam comumente nas obras de
construção civil. Acrescente-se que ela também deixa de considerar
a ocorrência de certos custos que podem se tornar determinantes na
programação das obras. A seguir se formularão algumas considera
ções sobre estes problemas com a finalidade de ampliar e consoli^
dar a aplicabilidade computacional do Método de Programação Espa
ço- Tempo.
Existem alguns tipos de obras, nas quais se apresen
tam equipes que devem-se deslocar ao longo do eixo das distâncias,
em sentido contrario ã orientação natural das outras equipes. Nos
edifícios altos, por exemplo, as equipes de pintura exterior se
deslocam no seu trabalho de cima para baixo em sentido contrario
as outras equipes que trabalham de baixo para cima. Neste caso as
equações de programação do tempo destes equipes devem ser:
tÍ-l= 4 + (-wj)C-rj) k= N, N-l,...1 (4.18)
e
tj > t1 k N
nas quais j ê a equipe que devera se deslocar em sentido contrario
as demais. Observe que a equipe i é a que determinara o início do
35
trabalho da equipe j na seção N. As consderações das quantidades
de trabalho e taxas de produção negativas devem ser entendidas em
termos de programação matemática já que fisicamente carecem de sen
tido.
Muitas vezes precisa-se otimizar o custo da obra,
considerando a possibilidade de troca do tamanho das equipes (isto
e, taxas de produção). Barcia não considerou os custos decorrentes
de trocas de equipes, por exemplo, transporte de homens e equipa
mentos. alteração de rotinas de trabalho, etc. Estes custos podem
tornar-se determinantes na escolha da troca ou não de equipes, fa
to que torna sua consideração imprescindível. Para resolver este
problema, duas formulações envolvendo duas técnicas diferentes são
propostas neste item. Estas duas soluções alternativas tem caracte
rísticas diferentes apresentando maiores ou menores vantagens na
implantação computacional, pois elas se diferenciam na sua maior
ou menor geração de variáveis e restrições.
A primeira solução está baseada numa técnica propoj;
ta por Vanelli (21) para solucionar problemas de Programação Qua
drática (0-1). Suponha que se esteja analisando a troca de equipes
da seção k para a seção k+1 para determinada atividade.
Sejam P= 1, 2,... as equipes disponíveis para a execução da seção
k.
q= 1 , 2 ,... as equipes disponíveis para a execução da se
ção k+1. Faca:
kp kp " kp ’
36
*i
J’i
onde
al ak? sk?i - 4 P ti - «íp) «M
K = l 4 PkP q=! kq
p= 1 , 2 ,... £i
i = 1 , 2 ., . . . n
k= 1, 2,... N-l.
Nestas restrições a^p representa custo de troca da equipe p pela
equipe q entre a seção k e a seção k+1 na atividade i. é a va
riável que assumirá o valor dos custos decorrentes da troca escolhi-i£da pelo sistema através das variaveis 6- i ja consideradas em for
mulação anterior (4.15). Sendo o objetivo minimizar os custos da
obra, na função objetivo deverá ser incluído o termo a seguir:
n N-l li .I l l Z£ (4.20)
i=l k=l p=l Kp
nA utilização desta técnica gera £ l.(N-l) variá-
n 2 1 = 1 veis reais e \ (£.) (N-l) restrições a serem adicionadas as jái = l 1
existentes no problema sem trocas de equipe.
A segunda formulação proposta para chegar a solução
do problema se baseia na utilização das propriedades dos números
binários e números inteiros (0-1). Esta solução consiste em atribuir
37
- i / um numero com base dois a cada ôk i e a partir das domas das combi^
nações possíveis identificar qualquer troca de equipe efetuada
juntamente com o custo desta troca.
■ . l.-l il. I. . 1.+1 .2° ôj1 + 21 ô£2+...+ 2 1 6 ^ + 2 1 + 2 1 S^+1 +...
21.-1 il. I. . 1.+1 . zl.-l i£.+ l ôk+l 2 ) Yk ^2 2 Yk + -** + (2 +2 )
l. il.+l zl.-l izl. l.-l l.. .lZ-l.+ (2 X+2 X) Yk 1 +...+ C21 +2 1 ) yk 1 +...+ (2 1 + 2 X) 1 1 +
...+ (2£i_1 + Z2^ " 1) / 4 (4.21)
ondeil2.
Y 1 1 - y + + Y = 1 Yk Yk * * * Yk 1
y}u= 0 ou 1, V i, k, u
2k= 1, 2, ... N-l, i= 1, 2,...n e u= 1, 2,...l^
Os valores encontrados para Y^U (0~1) determinarão
qual foi a troca õtima escolhida. Como deve-se minimizar todos os custos da obra inclui-se na função objetivo o termo:
l -n N-l il ï l
i»l k=l u=l, 1U Yi1U (4.22)
111 -•onde C^ e o custo de troca das equipes.
Sao geradas por esta técnica 2(N-l)n restrições e £ £• (N - 1)i=l 1
variáveis inteiras a mais do que o problema sem trocas de equipe.
Como pode ser observado, a primeira solução propos
ta gera mais restrições que a segunda. Por outro lado ela gera me
nos variáveis e sõ variáveis reais. Já a segunda gera variáveis in
teiras (0-1).
Na otimização do tempo e/ou custo no Método de Pro
gramação Espaço-Tempo, pode ser necessário que se tenha a flexibi
lidade de permitir a geração automática de folgas de tempo entre o
início dos trabalhos de uma seção e a finalização dos mesmos na
seção anterior. Estas folgas podem significar equipes paradas du
rante intervalos de tempo. Isto acarretaria custo adicional a ser
considerado. Neste caso, todas as equações do tipo:
38
£ 2
deve ser adicionada uma variável e, incorporar na função ob
jetivo o termo:
£•
5 i i cPk vk 4 U <4-24)i=l k=l u=l FK K K
onde Cp^ é o custo da equipe u na seção k da atividade i quan
do não está trabalhando e representa as folgas em questão.
r
39
4.4 - CONCLUSÃO
Neste capítulo foram desenvolvidas formulações que
permitem a consideração de diversas características construtivas
que aparecem numa variedade de situações praticas. Estas formula
ções resolvem os aspectos computacionais relacionados com o Método
Espaço-Tempo.
>
C A P Í T U L O - V
EXEMPLOS
5.1 - INTRODUÇÃO
No capítulo anterior, foram formuladas matematica
mente uma série de considerações que viabilizam a solução do Méto
do de Programação de Obras Espaço-Tempo utilizando técnicas de pro
gramação matemática.
Neste capítulo, com o objetivo de mostrar na práti
ca a viabilidade da solução proposta, são considerados, processa
dos e solucionados dois projetos.
Inicialmente, é estudado o projeto de um edifício
de quatorze andares. 0 objetivo da programação deste projeto é mi
nimizar o tempo de execução da obra. 0 segundo exemplo, tem por
objetivo, minimizar o custo de execução da obra de um coletor cen
tral de esgotos.
Como foi dito no capítulo anterior, a programação
de uma obra através do Método Espaço-Tempo é formulada como um pro
blema de Programação Linear Inteira. Para a solução deste problema
deve ser utilizado um pacote computacional especializado no trata
mento de problemas de programação matemática deste tipo.
Considerando o grande numero de restrições e variá
veis necessárias ãs formulações propostas, criou-se um programa
computacional (apêndice 1) que gera, a partir de dados do projeto,
as várias restrições e função objetivo num formato de entrada de
41
dados compatível com o exigido pelo pacote computacional escolhido
(Land § Powell)(13). 0 programa desenvolvido permite a utilização
prática das soluções propostas pois está estruturado para minimi
zar o trabalho de entrada de dados e para viabilizar a utilização
do método por pessoas sem formação em programação matemática.
5.2 - EXEMPLO 0.1 - EDIFÍCIO
Neste exemplo, ê considerado um edifício de quator
ze andares. O projeto foi dividido em oito atividades que deverão
ser executadas nas suas quinze seções, seqüencialmente por equipes
de trabalho a serem escolhidas para cada seção.
A tabela 5.2.1 mostra as equipes disponíveis para
realizar cada atividade. Na tabela 5.2.2 são mostradas as atividades e
as quantidades de trabalho necessárias para executar cada seção da obra.
E Q U I P E TAXAS DE PRODUÇÃO DISPONÍVEIS1 2 3
A - Estrutura 1.00 0.85 0.65
B - Alvenaria 1.10 0.80 0.60C - Instalações Elétri
ca e Sanitárias 1.00 0.70 0. 55
D - Revestimentos 1 . 00 0.80 0.65E - Pisos 0.95 0.85 0.50F - Aparelhos 1.00 0.65 0.45
G - Limpeza final e Detalhes 1.10 . 0.7 0 0 . 55
H - Pintura 1.00 0.8 5 0.7 0
Tabela 5.2.1 - TAXAS DE PRODUÇÃO DISPONÍVEIS PARA A EXECUÇÃO DO EXEMPLO 1.
42
ci<OZi<
cáO(X
Wn<Q
H<
O<c_>
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O
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wQWQ<
H2;<
O'
o o O o o o O oIO o ca 1-0 C-l LO O oolH . • . . ,c- rr <N rH O -d- rHo O o O O o O Oto I--. rH LO LO C-- LO Of-t • • . . . , .co r- C-3 «O I—1 to toCD o O o O o o oCNJ r- rH E-b 1-0 t"- «o o
rH » • • . , . 9CO C-J LO rsj rH to too O O o O O o oT—i r-- t—< LO LO LO orH • • • • . . . *oo r-» LO CO rH fO too o o o o O o oO r^ i—í LO í* LO r— LO orH • • • . • •oo r--- Csj LO CsJ rH fO to ■o o O o O O o or-. rH LO ■çj- IO r- LO oCT> • • ■ • • . #CO c. Cs3 LO rH to too O O o o O o or-» rH LO LO h- LO oCO - • ,CO r-~- C ; LO rsj iH iO too o O o o O o oc-. 1—< . LO J- LO r-~~- LO o .r-s. > • . , .CO r*>- C4 IO Cvl rH to too o O o o O o or-"- rH LO’ LO r- to o■o • • • • . .CO r. c-ji LO C'î rH to toO o o o o O o or--. rH LO LO r- LO oLO • • • . « . .' CO r C-I LO C-4 rH to toO o O o O O o or- rH LO *3- LO LO o■*=3* • • • . , .. «CO r-'- CNS LO . C4 ' rH to too o o o O O o or~- rH LO LO r- LO oto • • • » • #CO r- rsi LO C-J ï—< to too o o o o o o or-. rH LO LO r. LO ocg • • • , . .CO r- LO CvJ rH to too o o o O O O ' or-- rH LO LO t"- LO ot-i • • • - • . • - .CO r-- (NJ LO C'î rH to to
O o o O o o O o o<üj-, to >o LO LO LO LO oU • • • • • • • • •(D VO vO Cv! LO to rH rH toH rH
1\<D •rH- *->
ino a>
W -H +-> rHJ rt C3 Çj (n c3 G
o (fi< Zj
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Q> CO IO O' <d
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OX! mh
to aï+-> cJ Kj +-> rH ■u3 C rH V) V) V) <D 3> <ü CÖ CS o o U (0 rH 4->H +J > •f-» O > V) rt B- £-« t/) rH d ’S o •H • CU E 4-» •rH d> •Hc W < KH «fJ a, < hJ Q Ph1<
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O '
I
04C s)
•
L O
<
Wpq< SH
43
Neste exemplo considera-se que a programação da obra
deve obedecer aos critérios descritos a seguir:
. 0 tempo de execução da obra deve ser minimizado.
. A equipe que trabalhara na execução das estrutu
ras devera respeitar folgas de dois dias entre os
andares para permitir que haja cura do concreto.
. A equipe de pintura terã, o seu deslocamento, de
cima para baixo ao contrario das outras equipes,
e só poderã iniciar os seus trabalhos após a con
clusão total da atividade "Limpeza Final e Deta
lhes" .
. As equipes só poderão ingressar numa nova seção
se a sua predecessora concluiu seus trabalhos ne_s
sa seção.
0 problema ê formulado a seguir:
8 1 5
Min P t ^ + P t + Y 7 ri1n 1 n 16 i-i k-i k
Sujeito a:
tk+l tk + rk + 2 k 1 , 2,...16
t^+ 2 ^k + rk Wk i- 2, 3, 7 k 1,2,... 16
V r tk + .('rk K X D k= I6’ 2
44
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k k k k k k rk k X ’ 2 --- 15i= 1 , 2 , . . . 8
^ . i' 1 3 -i
sk + sk + ók - 1
onde :
6, 1= 0 ou 1 i, k, 1 . (5.1)
0 número de restrições geradas por este projeto ê de 480 e, o número de variáveis ê de 608, das quais 360 são inteiras .
A solução obtida para o problema acima ê mostrada
nas tabelas 5.2.3 (onde são indicados os tempos de início dos tra
balhos para cada seção) e, a tabela 5.2.4 (que indica as equipes
que devem executar cada seção através das suas taxas de produção).
A figura 5.2.1 mostra graficamente os tempos de exe
cução das diferentes atividades num Diagrama Espaço-Tempo.
5.3 - EXEMPLO 0.2 - COLETOR CENTRAL DE ESGOTOS
Este exemplo é apresentado com o objetivo de ilus
trar a utilização das formulações propostas no capítulo anterior
para otimizar os custos de um projeto, considerando os custos
45
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9
OíctfOo>LO/
Ati-\
vidade \
< CQ CJ Q w tu LD SC
TABELA
5.2.3
- TEMPOS
DE INÍCIO
DOS
TRABALHOS
DE EXECUÇÃO
DAS
SEÇOES
DO EX
EMPL
O SOLUÇÃO
0TIM
A.
46
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trutura
Alvenaria
Instalções Elé
tricas e San.
Revestimentos
Pisos
VIo
1—1 (D
a
Limpeza
Final
Detalhes
Pintura
4->< PQ
1C J
1Q
IIw f i t i TA
BELA
5.2.4
- EQUIPES
EXECUTORAS
DA OBRA
EXEMPLO
1. SOLUÇÃO
ÕTIM
A.
ANDARES Fi
g.
5.2.1
- DIAGRAMA
ESPA
ÇO-T
EMPO
DO
EDIFÍCIO
DE 14
ANDARES
DO EXEMPLO
1. SOLUÇÃO
ÕTIMA.
48
diretos, indiretos e os custos de troca de equipes. Utiliza-se a
primeira das formulações propostas (Vanelli).
0 coletor central de esgotos é de aproximadamente
14.500 m de extensão e atravessa solos diferentes que exigem tra
tamentos diferenciados na sua execução.
0 projeto foi dividido em sete seções e seis ativi
dades. As quantidades de trabalho por seção necessárias ã execução
da obra são mostrados na tabela 5.3.1. As equipes disponíveis para
a execução de cada atividade e seus custos diretos estão indicados
na tabela 5.3.2. Os custos de troca de equipes são mostrados na ta
bela 5.3.3.
Neste exemplo considera-se que a programação da obra
deve obedecer os critérios descritos a seguir:
. 0 custo de execução da obra deve ser otimizado.
. O custo indireto da obra ê de 2200 Unidades Mone
tárias por dia (um/dia).
. A primeira atividade tem duas equipes alternati
vas disponíveis, e as demais atividades dispõem
de três.
. As equipes sô poderão começar a executar uma nova
seção se a sua predecessora concluiu seus traba
lhos nessa seção.
O modelo de otimização que leva em conta todos es
tes critérios ê formulado a seguir:
Minimizar 2200 t 6 + l 1 1 ZL + I I I cnv 6v-n1 1 = 1 k = l p = l k p 1 = 1 k ‘ l p = l D k k P
49
SN'Nx\Seçao QUANTIDADE DE TRABALHO POR SEÇÃO
Atividade^v 1 2 3 4 5 6 7
LocaçãoTopográfica 3.50 2.90 4.60 2.90 3.00 2 . 20 3.90
Escavação 70. 00 105.60 153.00 112.90 81. 00 73. 50 109.50
AssentamentoTubulações 25.30 30.00 35.90 20. 50 25.70 1 0 . 00 22.50
Concreto 28. 00 30. 00 46.40 28. 80 22.10 16. 00 28. 50
PartesMetálicas 1 0 . 00 11.50 18. 00 8.00 13. 70 1 0 . 20 17.00
Fechamento 7.00 11. 50 19.00 12.60 9.60 1 0 . 00 15. 60
TABELA 5.3.1 - QUANTIDADE DE TRABALHO NECESSÁRIO PARA A EXECUÇÃODO EXEMPLO 2. '
^\^quipe EQUIPES DISPONÍVEIS
Atividade^X. Taxa 1 Custos Direto(U.M.) Taxa 2 Custo
Direto (U.M.) Taxa 3 Custos Direto (U.M.)
LocaçãoTopográfica 1.000 75.000 0.800 96.000 - -
Escavação 1 . 000 508.000 0. 750 658.000 0. 550 758.000
Assentamentotubulações 0.950 156:000 0 . 850 186.000 0. 500 302.000
Concreto 1.000 202.000 0.900 238.000 0.680 288.000
PartesMetálicas 0.900 34.000 0.750 53.000 0.450 81.000
Fechamento 1.000 104.000 0.700 131.000 0.400 201.000
TABELA 5.3.2 - TAXAS DE PRODUÇÃO DISPONÍVEIS E CUSTOS DIRETOS EMUNIDADES MONETÁRIAS PARA A EXECUÇÃO DO EXEMPLO 2.
50
LOCAÇÃO TOPOGRÁFICA
Equipes 1 2 3
1 0 . 00 8 . 00 -
2 8.00 0 . 00 -
-70 - - -
(a)
ASSENTAMENTO DE TUBULAÇÕESEquipes 1 2 3
1 0.00 15. 00 19. 00
2 15.00 0 . 00 2 2. 00
3 19. 00 22 . 00 0 . 00
(c)
PARTES METÁLICASEquipes 1 2 3
1 0.00 3.00 5.00
2 3.00 0.00 7. 00
3 5.00 7.00 0.00
(e)
ESCAVAÇÃO
Equipes 1 2 3
1 0 . 00 20. 00 33. 00
2 2 0. 00 0.00 45.00
3 33. 00 45.00 0.00
(b)
CONCRETOEquipes 1 2 3
1 0. 00 7. 00 11.00
2 7.00 0 . 00 15.00
3 11.00 15. 00 0 . 00
(d)
FECHAMENTOEquipes 1 2 3
1 0.00 12.00 17.00
2 1 2. 00 0.00 21.00
3 17.00 21.00 0.00
(f)
TABELA 5.3.3 - CUSTOS DE TROCA DE EQUIPES EM UNIDADES MONETÁ
RIAS
Suj eito
52
Ai1 6Í £ Z,1 kp kp kp
> K kp i= 2 . j • ® •
k= 1 , 2
P= l. 2, 3
- AkP C1 - ôkp) « z,1 kp
0 número de restrições gerado para estes exemplo ê
de 311 o número de variãveis ê de 478, das quais 119 são inteiras.
(Apêndice 3).
As tabelas 5.3.4, 5.3.5 e 5.3.6 mostram os tem
pos de início dos trabalhos, as equipes que foram escolhidas para
executar cada seção bem como, os custos diretos e de troca associa
dos a esta solução. No Apêndice 4 ê mostrado o relatório do re
sultado final ótimo. 0 custo total ótimo da obra ê de 994.989,84
U.M. A figura 5.3.2 mostra o Diagrama Espaço-Tempo do projeto
otimizado.
LO O LO CDO t \ rH 00 vOt o • • • .
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EXEMPLO
2. SO
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VO o' o o o o o1 • • • • • *
< LO o o o o o oLJO o o o o o opc: LO o o o o o oH 1 • • • • •o o o o o owQ o o o o o oLO o o o o o oO 1 • • « « .H 10 o o o o o oC/3u o o o o o ot'Q o o o o o o1 • • • • • *OxJ o o o T“H o CxJrH rH '
o o o o o Oc-o o o o o o o1 • • • • • ,rH 00 o o o o o
oo ctf pICÖ o ti to oo •H o <U <1> to P0)/ <U m io3 HíO o 03 tic/y' Tj 0 >CTJ L» CTJ O 4-> o <DCÖ ■ ■ i 103 ?H 03 P CtJ CD to -H STj •H O bO > ti r—i P d) r-H 03> c3 O CTJ 0) ^ o +-MCÜ rti•H O Q. u (/) ,£) ti P P u«P o o w to 3 o 03 <U CU< kJ h w < H u ewg Ph
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<CJooíHwnwoHCOElu
vO
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<h-5WPQ<H
SE
ÇÕ
ES
56
i/ÍOCL
—T—OD Fig.
5.3.1
- DIAGRAMA
ESPA
ÇO-T
EMPO
DO
COLETOR
CENTRAL
DE ESGOTOS
DO EX
EMPL
O SOLUÇÃO
ÓTIM
A.
57
5.4 - CONCLUSÃO
Os dois exemplos apresentados foram escolhidos por
representarem obras típicas de porte médio em construção.
0 primeiro exemplo, ilustrou uma aplicação da formu
lação que permite que equipes se desloquem em sentido contrario.
0 segundo, ê um exemplo da formulação que permite
considerar trocas de equipes e custos associados a estas trocas.
Estas duas formulações que foram aqui ilustradas
através dos exemplos apresentados não foram ainda consideradas na 1iteratura.
C A P Í T U L O I V
CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
6.1 - CONCLUSÕES
As publicações especializadas que tratam do Método-
Espaço-Tempo têm abordado amplamente as suas vantagens com relação
aos outros métodos de planejamento, programação e controle para
obras de construção civil com características lineares. A .aplica
ção prática do método enfrentava, como maior dificuldade a não
existência de um modelo matemático que permita obter um procedimen
to computacional para a solução do problema.
0 objetivo deste trabalho foi superar este obstácu
lo. Barcia propôs a solução do problema com a utilização de técni^
cas de Controle õtimo Discreto. Porém, ele não considerou no seu
modelo certas características construtivas indispensáveis para o
planejamento de obras. 0 problema de equipes se deslocando em sen
tidos contrários foi solucionado neste trabalho. Além disso resojL
veu-se o problema de trocas de equipes na execução de uma mesma
atividade considerando os custos associados a estas trocas. Este
último problema foi solucionado através de duas formulações. Cada
uma, com características particulares dado que envolvem diferente
número de variáveis e restrições, fi opinião deste autor que a pri
meira solução proposta oferece mais vantagens, pois so acrescenta
ao problema sem trocas variáveis reais enquanto que a segunda,
também acrescenta variáveis inteiras (0-1).
59
A consideração que permite folgas de tempo entre o
início e o fim dos trabalho entre seções de uma mesma atividade
com a consideração do custo da equipe parada, também foi formulada
neste trabalho dando origem a um problema de Programação Quadráti
ca com variáveis inteiras (0-1).
Dado que para problemas práticos as formulações aqui
desenvolvidas envolvem um número elevado de variáveis e restri
ções, desenvolveu-se também neste trabalho um programa computacio
nal que, a partir de poucos dados básicos, gera as variáveis, fun
ção objetivo e restrições numa forma compatível com o pacote utili.
zado. 0 programa possibilita a combinação das várias caracterís
ticas construtivas formuladas no capítulo quatro. No caso da mini
mização de custos com troca de equipes o programa gera a primeira
das duas formulações propostas para abordar este caso.
6.2 - RECOMENDAÇÕES E FUTUROS TRABALHOS
0 número de restrições e variáveis necessárias para
solução de problemas reais através da técnica proposta é bastante
elevado. 0 pacote utilizado neste trabalho não é eficiente em ter
mos de C.P.U. Por este motivo torna-se recomendável a implementa
ção das formulações propostas para um outro pacote de caracterís
ticas comerciais e não acadêmicas como é o caso do "Land and Powell".
Uma outra possibilidade que se vislumbra é o desen
volvimento de algoritmos específicos usando outras técnicas de pe£
quisa operacional mais eficientes que Programação Inteira para a
solução desta categoria de problemas.
60
CD -
CD -
(D -
CD -
(5) -
(6)
(7)
( 8 )
B I B L I O G R A F I A
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APÊNDICE 1 - PROGRAMA GERADOR DE VARIÁVEIS, RESTRI
ÇÕES E FUNÇAO OBJETIVO
64
A.1.1 - FORMATO DE DADOS EXIGIDO PELO PACOTE "Land and Powell"
Cartão 1 Coluna 1
Cartão 2 Coluna 1-10 M
11-20 N
21-30 NUND
31-40
41-50
Cartão 3 Coluna 1-3 J
= 4 chama as subrotinas de progra
mação linear inteira
Número de restrições
Número total de variáveis
Número de variáveis discretas = 0
> 1 A subrotina PRINT ê chamada
na otimização inicial de programa
ção linear. 0 número de iterações
ê impresso, as variáveis e os
seus valores também são impres
sos .
Numero de variavel discreta J
5-10 JDISC(S) = 1 tipo de passo da variável di£
creta J
11-13 J
15-20 JDISC(J)
17-73 J
75-80 JDISC(J)
0 cartão 3 deve ser repetido até que todas as variá
veis discretas tenham sido especificadas com os seus tipos de pas
so. Oito por cartão.
65
Cartão 4 Coluna 1-10
Cartão 5 Coluna 1-10 M
11-20 N
21-30 ISBND
31-40 MOREPR
Cartão 6 Coluna 1-3 J
5-10 C CJ)
11-13 J
15-20 C(J)
9999999999 indicando o fim da ej;
pecificação das variáveis dis
cretas
Número de restrições
Número de variáveis
Número de variáveis limitadas
= 0 para imprimir os cartões de
entrada e não a inversa em
IPRINT.
= 1 para imprimir os cartões de
entrada e a inversa.
= 2 para não imprimir os cartões
de entrada e sim a inversa.
= 3 para não imprimir a inversa
nem os cartões de entrada.
Número do elemento não zero da
função objetivo C
J-êsimo elemento da função obje
tivo .
71-73 J
75-80 C(J)
0 cartão 6 deve ser repetido até que todos os ele
mentos não zero da função objetivo tenham sido especificados. Oito
por cartão.
66
Cartão 7 Coluna 1-3 J
5-10 BOUND(J)
11-13 J
15-20 BOUND(J)
Número da variável com limite su
perior.
= 1 valor do limite superior da
J-ésima variável
71-73 J
75-80 BOUND(J)
0 cartão 8 deve ser repetido até que todas as variã
veis limitadas tenham sido especificadas. Oito por cartão.
Cartão 9 Coluna 1-10
Cartão 10 Coluna 1 - 3 1
4 S(I)
5-10 B(I)
11-13 I
14 SCI) 15-20 B(I)
9999999999 indicando o fim da es pecificação das variáveis limi
tadas .
Número do elemento do vetor b
ou seja número da restrição.
= 0 restrição de igualdade
= 1 restrição menor ou igual que
= 2 restrição maior ou igual que.
Elemento I do vetor b, ou seja,
elemento a direita do símbolo da
restrição.
67
71-73 I
74 S(I)
75-80 B(I)
O cartão 10 deve ser repetido até que todos os ele
mentos do vetor b tenham sido especificados.Oito por cartão.
Cartão 11 Coluna 1-10
Cartão 12 Coluna 5-10 I
11-13 J
15-20 A (I,J)
21-23 J
25-30 A (I,J)
9999999999 indicando o fim da
especificação dos elementos do
vetor b.
Numero de restrição (linha da ma
triz A)
Número de variável (coluna da ma triz A)
Valor do elemento (I,J) (Elemen
to não zero (I,J) da matriz A)
71-73 J
75-80 A (I,J)
As restrição devem ser especificadas em correta or
dem de numeração. 0 cartão 12 deve ser repetido até que todas as
restrições tenham sido especificadas.
Cartao 13 Coluna 1-10
Cartão 14 Coluna 1-10 MORE
9999999999 indicando o fim da
especificação dos elementos da
matriz A (I,J)
= 0 indica a finalização do processo.
68
A.1.2 - MANUAL DO USUÃRIO
A.1.2.1 - NOÇ0ES GERAIS
A otimização de tempo e/ou custo do Método Espaço-
Tempo através do modelo proposto, exige a utilização de um pacote
computacional que solucione problemas de Programação Linear Intei
ra. 0 pacote utilizado neste trabalho é o "Land § Powell" que exige
a entrada de dados exposta no item anterior. A formulação matemáti^
ca de projetos de porte real (exemplos do capítulo 5) e a sua estru
turação de forma da entrada de dados do pacote exige a montagem de
um grande numero de variáveis e restrições o que dificulta o uso
das formulações propostas. 0 objetivo deste programa ê gerar as
variáveis e formular a função objetivo e restrições de forma compa
tível com a entrada de dados requerida pelo pacote (Apêndice 3).
Isto a partir de dados básicos. 0 programa também permite selecio
nar e combinar as diversas formas construtivas cujas formulações
foram consideradas no capítulo 4.
A.1.2.2 - CARACTERÍSTICAS E LIMITES
. 0 programa pode gerar até 999 variáveis x 999 res trições.
. Para tratamento de custos decorrentes da troca de
equipes o programa utiliza a primeira técnica
proposta no capítulo 4 (Vanelli).
. Ao se escolher a programação da obra com a possi
bilidade de troca de equipes de seção para seção
será considerada esta alternativa para todas as
atividades.
69
. 0 programa esta estruturado para formular até uma
equipe que trabalha em sentido contrario a maio
ria delas. Esta equipe serã colocada pelo progra
ma como a última equipe, e serã pedida, a defini
ção da equipe que, como fim dos seus trabalhos
permita o início dos da equipe em questão.
. A programação otimizando custos e admitindo troca
de equipes numa mesma atividade, estã limitada a
obras de até sete seções. Se ultrapassar, aparece
rã a mensagem de erro "estouro".
. Até quatro capacidades de produção alternativas
poderão ser consideradas para cada atividade.
. 0 programa oferece duas alternativas para o se-
quenciamento dos trabalhos entre as equipes. Se é
especificado z3= 10, folgas de tempo entre o inj!
cio dos trabalhos entre equipes que executam ati
vidades diferentes na mesma seção serão permiti
das. Caso contrário, serã considerado que uma
equipe não poderã iniciar os trabalhos numa seção
se a sua predecessora não concluiu nessa seção
suas atividades.
A.1.2.3 - ENTRADA DE DADOS
Cartão 1 Coluna 1-10 = 2 para otimização do custos.
í 2 para otimização do tempo.
Cartão 2 Coluna 1-10 Z = 1 otimização com troca de equi
pe de uma seção para outra.
f 1 otimização sem troca de equipes.
70
1 1 - 2 0 z3
21-30 z4
Cartão 3 Coluna 1-10 N
11-20 M
Cartão 4 Coluna 1-10 A(I)
= 10 otimização com folgas de tem
po entre as equipes.
10 otimização sem folgas de
tempo.
= 100 existência de equipe que
trabalha em sentido contrario.
i 100 não existência desta equi
pe .
Número de seções do projeto.
Número de atividades do projeto.
Quantidades necessárias de traba
lho nas seções para cada ativida
de, formato (FIO.2).11-20 A (I)
71-80 A (I)
0 cartão quatro deve ser repetido até que todas as
seções e atividades tenham sido especificadas nas quantidades de
trabalho necessárias. Oito dados por cartão e, (NxM) em número to
tal .
Cartao 5 Coluna 1-10 L-, Quantidade de equipes alternati
vas disponíveis para cada ativi.
dade.
0 cartão 5 deve ser repetido até que todas as (M)
atividades do projeto tenham sido especificadas. Se Z3^ 1 o car
tão 5 não deve ser colocado e o cartão 6 deve continuar a sequência.
71
Cartão 6 Coluna 1-10 III
Cartão 7 Coluna 1-10 NFOLG
Cartao 8 Coluna 1-10 J
11-20 IFOLG
Tempo de início do projeto.
Número de folgas de tempo progra
madas entre o início dos traba
lhos numa seção e o fim dos me.s
mos na seção anterior.
Número da interseção que tem fo L
ga programada.
Tempo de folga.
0 cartão oito deve ser repetido NFOLG vezes. Se
NF0LG= 0 o cartão oito não deve ser colocado. 0 proximo cartão de
ve continuar a sequência.
Cartão 9 Coluna 1-10 1AMR(I) Tempo de folga entre atividades
em ordem de ocorrência.
11-20 IAMR(I)
71- 8 LAMR(I)
0 cartão 9 deve ser repetido atê que todas as fol
gas de tempo entre atividades tenham sido especificadas ((N-l)xM).
Se Z3^ 10 o cartão 9 não deve ser colocado e o proximo cartão deve
continuar a sequência.
Cartão 10 Coluna 1-10 TCUST
Cartão 11 Coluna 1-10 VCUST(I)
Custo indireto da obra.
Custo direto de cada equipe dis
ponível para a atividade.
11-20 VCUST(I)
21-30 VCUST(I)
31-40 VCUST(I)
72
Cartão 12 Coluna 1-10 CUST(I,J) Custo de troca de equipe
11-20 CUST(I,J)
71-80 CUST(I,j)
O cartão 12 deve ser repetido atê que todos os cus
tos de troca permitidos sejam considerados.
Os cartões 11 e 12 devem ser repetidos nesta ordem
M vezes atê que todas as equipes tenham sido especificadas. Se
MCUST^ 2 estes cartões não devem ser colocados e o próximo cartão
deve continuar a sequência.
Cartão 13 Coluna 1-10 I PRINT Seção que define o início dos
trabalhos da equipe que se deslo
ca em sentido contrario.
Se Z4^ 100 o cartão 13 não deve ser colocado, e o próximo cartão
deve continuar na sequência.
Cartão 14 Coluna 1-10 R- (I) Taxa de produção alternativa pa
ra a execução da atividade I ,
formato (FIO.3).
11-20 R1 (I)
21-30 R1 (I)
31-40 Rx(I)
0 cartão 14 deve ser repetido até que todas as ati
vidades tenham sido especificadas. Um cartão por atividade (M ve
zes) .
Cartão 15 Coluna 1-10 = 0 para finalizar o processo.
73
No apêndice dois ilustra-se a entrada de dados para
o programa e no apêndice três a saída de dados gerados. Serã apre
sentado o segundo exemplo do capítulo cinco.
APÊNDICE 2 - EXEMPLO 2. ENTRADA DE DADOS DO PROGRA
MA
F I
L c
C C
t L
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1
75
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APÊNDICE 3 - EXEMPLO 2. SAlDA DE DADOS GERADOS PELO
PROGRAMA (ENTRADA DE DADOS DO "LAND
AND POWELL"j
77
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APÊNDICE 4 - EXEMPLO 2. SAlDA DE RESULTADOS
"LAND AND POWELL” . SOLUÇÃO ÕTIMA.
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