universidade federal de santa catarina departamento de engenharia de...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS

Leonardo Augusto dos Santos Vieira

PLANEJAMENTO DA CAPACIDADE DE FÁBRICA: UMA ABORDAGEM SOB O PONTO DE VISTA DA TEORIA DOS

JOGOS Trabalho de conclusão de curso submetido ao Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do Grau de Engenheiro de Produção Civil. Orientador: Prof. Dr. Sérgio Fernando Mayerle.

Florianópolis

2011

Catalogação na fonte elaborada pela biblioteca da

Universidade Federal de Santa Catarina

A ficha catalográfica é confeccionada pela Biblioteca Central.

Tamanho: 7cm x 12 cm

Fonte: Times New Roman 9,5

Maiores informações em:

http://www.bu.ufsc.br/design/Catalogacao.html

Leonardo Augusto dos Santos Vieira

PLANEJAMENTO DA CAPACIDADE DE FÁBRICA: UMA

ABORDAGEM SOB O PONTO DE VISTA DA TEORIA DOS

JOGOS

Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado para obtenção do Título de “Engenheiro de Produção Civil”, e aprovado em sua forma final pelo Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas.

Florianópolis, 08 de dezembro de 2011.

_________________________________ Prof. Nelson Casarotto Filho, Dr.

Coordenador do Curso Banca Examinadora:

_________________________________

Prof. Dr. Sérgio Fernando Mayerle Orientador


_________________________________ Prof. Dr. Antônio Sérgio Coelho


_________________________________ M. Eng. Vanina Macowski Durski Silva Universidade Federal de Santa Catarina

Aos meus pais Tulnê e Maristela, as minhas irmãs Marina e Carolina, por serem os pilares da minha vida, e os principais responsáveis pelo meu desenvolvimento e independência.

AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus por ter me oportunizado esta vida. Aos meus pais Tulnê Sebastião Velho Vieira e Maristela

Agostinha dos Santos Vieira, por terem me guiado durante toda a minha vida e me apoiado na elaboração deste trabalho.

Às minhas irmãs Carolina Luisa dos Santos Vieira e Marina dos

Santos Vieira pelas inúmeras discussões, incentivo e amizade depositados em mim no decorrer dessa pesquisa.

À minha namorada Raffaella Nunes Bottini pelo seu apoio

incondicional, amor e incentivo durante a realização deste trabalho. Ao Prof. Dr. Sérgio Fernando Mayerle por ter aceitado esta

orientação; compartilhado seu conhecimento; e, confiado em meu trabalho. Também, pela sua dedicação e, pelas incansáveis discussões e orientações, mesmo quando eu não estava em Florianópolis/SC.

Ainda, agradeço aos seguintes professores dos departamentos de

Engenharia de Produção e Sistemas e Engenharia Civil por terem, durante os últimos seis anos, compartilhado seu conhecimento comigo, e assim, contribuído indiretamente para a realização deste trabalho: Aline França de Abreu, Antonio Cezar Bornia, Artur Santa Catarina, Carlos Ernani Fries, Carlos M. Taboada Rodriguez, Dálvio Ferrari Tubino, Emílio Araujo Menezes, Jaime Baú, Leonardo Ensslin, Mirna de Borba, Myriam Eugênia Barbejat, Osmar Possamai, Roberto Wayne Samohyl, Paulo A. Cauchick Miguel, Enzo Morosini Frazzon, Vera Lúcia do Vale Pereira, Carlos Loch, Marciano Maccarini, e Poliana Dias de Moraes.

“Cada indivíduo [...] não tem a intenção de promover o interesse público, nem sabe quando o está provendo [...]. Não pensa senão no próprio ganho, e neste caso, como em muitos outros casos, é conduzido por uma mão invisível a promover um fim que não fazia parte de sua intenção. [...]. Ao perseguir seu próprio interesse, ele freqüentemente promove o interesse da sociedade de modo mais eficaz do que faria se realmente se prestasse a promovê-lo.”

Adam Smith, 1776

RESUMO

O sucesso da empresa depende da determinação de sua capacidade produtiva no longo prazo para atender as demandas atuais e futuras. Ainda, quando situadas em economias de mercado, empresas convivem com decisões descentralizadas tomadas pelos diversos participantes do mercado. Constantemente, entretanto, empresas formulam sua estratégia ótima isoladamente e ignoram as interações competitivas. Esta monografia desenvolve um modelo quantitativo de jogos não cooperativos para a determinação da capacidade produtiva num mercado oligopolista, e analisa os efeitos da saturação do mercado com a entrada de novos competidores. Para contextualizar o sistema real simulado pelo modelo, estabeleceram-se as seguintes premissas: racionalidade; TMA constante; linearidade da oferta, demanda e quantidade investida; capacidade fixada no início do período do planejamento; e, obsolescência planejada. O modelo baseia-se no equilíbrio de Nash formulado como um problema de inequação variacional, solucionado por um algoritmo de projeção, e que calcula a utilidade de cada jogador pelo VPL dos fluxos de caixa futuros do projeto, considerando uma dada capacidade. A solução numérica do modelo é determinada para um estudo de caso com dados fictícios, que permite analisar os efeitos do custo marginal, do custo de investimento unitário, da TMA e da saturação do mercado. Encontra-se um ponto de equilíbrio para a quantidade de empresas no mercado. Finalmente, observa-se que, por razões de capacidade e participação no mercado, é importante adotar estratégias para se reduzir o custo marginal, e o custo do investimento unitário. Palavras-chave: Oligopólio. Jogos não cooperativos. Planejamento da capacidade. Equilíbrio de Nash. Inequação variacional.

ABSTRACT

Defining the correct production capacity to supply today and future demand is essential to the company success. Still, when situated in market economies scope, firms must interact with decisions taken by different stakeholders. However, companies often formulate their optimum strategies in isolation and ignore competitive interactions. This work models a non-cooperative game to determine the long term capacity size in an oligopolistic market. To describe the system behavior the following assumptions were set: rationality; minimum acceptable rate of return constant; linearity of supply, demand, and the investment cost curves; and, planned obsolescence. Thus, a Nash equilibrium model is formulated using a utility function that expresses the net present value of future cash flows of each firm according to their respective capacity. This model is solved as a variational inequality problem, using the projection algorithm. A numerical solution is found using dummy data and a sensitivity analysis is made to determine how the marginal cost, investment cost, MARR and market saturation effects the capacity decision. An equilibrium point is found for the number of firms competing in the market. And, it is observed that marginal cost and investment cost reduction strategies, are significant to the firm success due capacity sizing and market share decisions. Keywords: Oligopoly. Non-cooperative games. Capacity planning. Nash equilibrium. Variational inequality.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. 1 – Gráfico de utilização da capacidade da indústria manufatureira norte americana. ....................................... 29

Figura 1. 2 – Gráfico de capacidade instalada e produção real da indústria manufatureira norte americana. ........................ 30

Figura 1. 3 – Etapas da pesquisa. .......................................................... 34

Figura 2. 1 – Processo de previsão de capacidade de produção............ 40

Figura 2. 2 – Taxa de produção versus quantidade de produtos no sistema ............................................................................. 42

Figura 2. 3 – Economias, deseconomias de escala e melhor nível operacional. ..................................................................... 46

Figura 2. 4 – Curvas de Reação e o Equilíbrio de Cournot................... 58

Figura 3. 1 – Representação gráfica do modelo de capacidade proposto

para apenas um produtor.................................................. 74

Figura 3. 2 – Representação gráfica do modelo de capacidade proposto para um oligopólio com três produtores. ......................... 79

Figura A. 1 – Modelo de determinação da capacidade produtiva

implementado no MS Excel – colunas de A a F........... 111

Figura A. 2 – Modelo de determinação da capacidade produtiva implementado no MS Excel – colunas de G a K. ......... 112

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 3.1 – Variação da taxa de juros básica anual estipulada pelo

Banco Central do Brasil.................................................. 70

Gráfico 4.1 – Caso I – relação entre a capacidade total disponibilizada

anualmente no mercado, a parcela do mercado de cada empresa, e os diferentes custos marginais da Empresa 1......................................................................................... 86

Gráfico 4.2 – Caso II – relação entre a capacidade total disponibilizada anualmente no mercado, parcela do mercado de cada empresa, e os diferentes custos de investimento da Empresa 1. ...................................................................... 88

Gráfico 4.3 – Caso III – relação entre a capacidade total disponibilizada anualmente no mercado, a parcela do mercado de cada empresa, e a variação da TMA. ...................................... 90

Gráfico 4.4 – Comparação entre os ciclos de vida médios dos projetos segundo a variável analisada nos Casos I, II e III respectivamente. ............................................................. 91

Gráfico 4.5 – Comparação entre as quantidades totais providas ao mercado ao final da vida dos projetos segundo a variável analisada nos Casos I, II e III respectivamente............... 92

Gráfico 4.6 – Conseqüências da saturação do mercado sem os custos administrativos: quantidade de empresas, capacidade individual e TIR.............................................................. 94

Gráfico 4.7 – Consequências da saturação do mercado com custo administrativo igual a 50: quantidade de empresas, capacidade individual ( rQ ), capacidade total ( totalQ ) e

TIR. ................................................................................ 97

Gráfico 4.8 – Consequências da saturação do mercado com custo administrativo igual a 100: quantidade de empresas,

capacidade individual ( rQ ), capacidade total ( totalQ ) e

TIR. ................................................................................ 98

LISTA DE QUADROS

Quadro 2. 1 – A importância das decisões que envolvem capacidade.. 39

Quadro 2. 2 – Fatores que determinam a capacidade efetiva................ 43

Quadro 2. 3 – Exemplos de jogos cooperativos e não-cooperativos..... 52

Quadro 2. 4 – Matriz de payoffs de um jogo de campanha de anúncios53

Quadro 2. 5 – Matriz de payoffs modificada para o jogo de campanha de anúncios ......................................................................... 54

Quadro 2. 6 – Matriz de Payoffs Dilema do Prisioneiro....................... 55

Quadro 3. 1 – Características do ciclo de vida do produto: preço e custo.

....................................................................................... 72

Quadro 4. 1 – Custo marginal e investimento unitário para cada jogador

....................................................................................... 82

Quadro 4. 2 – Resultado do estudo de caso básico: capacidade de cada jogador, participação na capacidade total, valor presente líquido e TIR.................................................................. 83

LISTA DE TABELAS

Tabela 4. 1 – Resultados do Caso I....................................................... 85

Tabela 4. 2 – Resultados do Caso II...................................................... 87

Tabela 4. 3 – Resultados do Caso III .................................................... 89

Tabela 4. 4 – Resultados do Caso IV .................................................... 93

Tabela 4. 5 – Resultados do Caso V – custo administrativo ( ADMC )

igual a 50 unidades monetárias........................................ 96

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO........................................................................ 26 1.1 TEMA DA PESQUISA E CARACTERIZAÇÃO DO

PROBLEMA.............................................................................. 26 1.2 PROBLEMÁTICA..................................................................... 28 1.3 OBJETIVOS .............................................................................. 28 1.3.1 Objetivo Geral .......................................................................... 28 1.3.2 Objetivos Específicos................................................................ 28 1.4 JUSTIFICATIVA E IMPORTÂNCIA ....................................... 28 1.5 LIMITAÇÕES............................................................................ 31 1.6 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ............................... 32 1.7 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ......................................... 34 2 REFERENCIAL TEÓRICO................................................... 37 2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS .................................................. 37 2.2 PLANEJAMENTO DE CAPACIDADE.................................... 38 2.2.1 Definição de capacidade........................................................... 40 2.2.2 Medição de Capacidade ........................................................... 44 2.2.3 Modelos de determinação da capacidade produtiva ............. 45 2.3 TEORIA DOS JOGOS ............................................................... 49 2.3.1 Caracterização de situações de jogo ....................................... 50 2.3.2 Estratégias dominantes ............................................................ 52 2.3.3 O Dilema dos Prisioneiros ....................................................... 54 2.3.4 Oligopólio e o equilíbrio antes de Nash .................................. 56 2.3.5 Definição do Equilíbrio de Nash ............................................. 60 2.3.6 Modelos de determinação da capacidade segundo a teoria dos

jogos........................................................................................... 63 3 MODELO PROPOSTO........................................................... 68 3.1 PREMISSAS.............................................................................. 68 3.1.1 Racionalidade ........................................................................... 69 3.1.2 Taxa de mínima atratividade constante ................................. 69 3.1.3 Linearidade das curvas de oferta, demanda, e da quantidade

investida .................................................................................... 70 3.1.4 Capacidade fixada no início do período de planejamento .... 71 3.1.5 Obsolescência planejada .......................................................... 72 3.2 FORMULAÇÃO DO MODELO DE DETERMINAÇÃO DE

CAPACIDADE.......................................................................... 73 3.3 TÉCNICA DE SOLUÇÃO PROPOSTA.................................... 76 3.4 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL.............................. 81

4 RESULTADOS NUMÉRICOS ............................................... 82 4.1 ESTUDO DE CASO BÁSICO ................................................... 82 4.2 CASO I – SENSIBILIDADE AO CUSTO MARGINAL ........... 84 4.3 CASO II – SENSIBILIDADE AO INVESTIMENTO UNITÁRIO

.................................................................................................... 86 4.4 CASO III – SENSIBILIDADE À TMA...................................... 89 4.5 CASO IV – SENSIBILIDADE À SATURAÇÃO DO MERCADO

SEM O CUSTO FIXO DE ADMINISTRAÇÃO........................ 92 4.6 CASO V – SENSIBILIDADE À SATURAÇÃO DO MERCADO

COM O CUSTO FIXO DE ADMINISTRAÇÃO....................... 94 5 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES............................. 101 5.1 CONCLUSÕES........................................................................ 101 5.2 RECOMENDAÇÕES............................................................... 104 REFERÊNCIAS ................................................................................ 106 APÊNDICE A – ESTRUTURA DA PLANILHA ELETRÔNICA

UTILIZADA PARA A IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL ........................................... 110

ANEXO A – ALGORÍTMO DE PROJEÇÃO ............................... 115

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1 INTRODUÇÃO

1.1 TEMA DA PESQUISA E CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA

Determinar capacidade produtiva para atender a demanda atual e futura de um produto é de fundamental importância para o sucesso da empresa (SLACK, CHAMBERS, JOHNSTON, 2002). Da mesma forma, o equilíbrio inadequado entre capacidade e demanda pode ser desastroso. A quantidade demandada de um produto representa a quantia que compradores de determinado produto desejam e podem comprar. Segundo Mankiw (2009), diversas variáveis influenciam a demanda de um produto, contudo do ponto de vista do mercado existe um fator central: o preço. Assim, o planejamento da capacidade deve considerar, além dos custos e da quantidade ofertada, o preço.

Diversos métodos de cálculo da capacidade no longo prazo fundamentam-se no custo médio de produção. Estes buscam obter economias de escala, com relação ao custo unitário do produto, porém sem considerar o preço do produto no mercado. Outros métodos para determinação da capacidade podem ser citados como: análises financeiras – valor presente líquido e taxa interna de retorno –, estudos de teoria das filas, teoria da decisão, e análise custo volume (ponto de equilíbrio entre receita total e custo total). Há, também, modelos constituídos no ramo da pesquisa operacional, que de acordo com Luss (1982, apud VAN MIEGHEM, 2003) concentram-se em determinar o tamanho, momento e local de adição de capacidade.

Gaither e Frazier (2002, p. 172) acrescentam que, antes de determinar a capacidade de longo prazo, deve-se também, estimar quanta capacidade os concorrentes de uma empresa provavelmente acrescentarão ao mercado. Salienta-se, ainda, que as empresas operam em competição onde cada vendedor estabelece o preço do seu produto e os compradores decidem a quantidade que desejam comprar deste (MANKIW, 2011). Van Mieghem (2003) denota que quando se utiliza a abordagem competitiva para o planejamento da capacidade – ao considerar a situação em que múltiplos agentes controlam a capacidade produtiva ou influenciam o mercado –, requerem-se modelos baseados em teoria dos jogos. Esta teoria representa o estudo de como as pessoas se comportam em situações estratégicas (MANKIW, 2011, p. 349). De acordo com Pindyck e Rubinfeld (2005, p. 473), decisões estratégicas são aquelas que levam em consideração as ações e respostas de outros

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agentes do mercado, ou seja, neste caso, a capacidade disponibilizada pelos concorrentes de uma empresa.

Abordagens competitivas baseiam-se principalmente em três formas de competição: monopólio, oligopólio e competição perfeita (VAN MIEGHEM, 2003). A teoria dos jogos, contudo, limita-se a análise do oligopólio: estrutura de mercado em que apenas um pequeno número de companhias pode competir (SALINÉ, 2000, p.150). Pindyck e Rubinfeld (2005, p. 441) discutem que, em mercados oligopolistas, economias de escala contribuem para não tornar rentável a coexistência de mais do que algumas companhias. Paralelamente, existem dificuldades de entrada neste mercado, pois não só as empresas possuem normalmente excesso de capacidade para formar uma barreira aos novos entrantes, mas também a administração revela-se complexa, já que decisões de preço, produção, publicidade e investimento necessitam de considerações estratégicas.

Como apenas poucas empresas atuam num mercado oligopolista, cada uma precisa agir estrategicamente (MANKIW, 2011, p. 349). Isto fornece base para se determinar o equilíbrio do oligopólio, que foi generalizado, claramente explicado e demonstrado matematicamente pelo matemático norte americano John Nash em 1951. Este equilíbrio ficou conhecido como o equilíbrio de Nash e é definido, segundo Pindyck e Rubinfeld (2005, p. 442), por: “uma estratégia ou um conjunto destas na qual cada empresa realiza o seu melhor de acordo com as ações de seus competidores”.

Este trabalho baseia-se no equilíbrio de Nash (NASH, 1950; 1951), para formular um modelo de determinação da capacidade produtiva que leva em consideração a competição oligopolista não cooperativa e a remuneração do capital investido. A formulação do modelo é abordada sob a ótica do problema de inequações variacionais (VIP) apresentado por Nagurney (2010, p. 212).

Acrescenta-se que esta monografia constitui uma análise parcial do equilíbrio. Na determinação do equilíbrio por meio da análise parcial, considera-se que a atividade realizada em um mercado tem pouco ou nenhum efeito em outros mercados – as inter-relações entre mercados são desconsideradas, pois normalmente a análise parcial é suficiente para compreender o funcionamento do mercado (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 579).

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1.2 PROBLEMÁTICA

Como determinar a capacidade de sistemas de produção de bens duráveis, quando submetidos à competição em mercados oligopolistas? Há um limite para o número máximo de empresas que se estabelecem na competição?

1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo Geral

O objetivo geral deste trabalho consiste na proposta de um modelo de equilíbrio de preços e quantidades para a determinação da capacidade de uma instalação fabril em longo prazo nas competições oligopolistas, e dos efeitos da saturação do mercado em relação a entrada de novos competidores.

1.3.2 Objetivos Específicos

Para se alcançar o objetivo geral deste trabalho, definiu-se os seguintes objetivos específicos: − Analisar os modelos de determinação de capacidade de fábrica

existentes; − Analisar a teoria dos jogos quanto à determinação da capacidade de

fábrica; − Caracterizar o problema estudado limitando o escopo do ambiente

real modelado para uma situação específica; − Analisar a sensibilidade do modelo proposto segundo as variáveis

escolhidas.

1.4 JUSTIFICATIVA E IMPORTÂNCIA

O trabalho de Luss (1982, apud VAN MIEGHEM 2003) mostra que, dentro da pesquisa operacional, a literatura referente ao problema de expansão de capacidade concentra-se em determinar o tamanho, momento e local de posicionamento da capacidade. Também, Van

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Mieghem (2003), aponta que esta linha de pesquisa normalmente aborda apenas a capacidade de um recurso produtivo e a minimização dos custos.

Observou-se na pesquisa bibliográfica realizada, que poucos trabalhos tratam do estabelecimento da decisão da capacidade inicial de uma instalação considerando a interação estratégica da empresa no mercado. Também, grande parte das pesquisas envolvendo alternativas de investimento desconsidera a interação estratégica entre os agentes do mercado e não analisa os aspectos competitivos do investimento; o que fomenta um resultado menos acurado para o volume de investimento real (GRENADIER, 2002). A não consideração das interações de mercado ao determinar estratégias de investimento, pode ser apontada como uma das razões para o descompasso entre a capacidade disponível e os níveis de utilização desta na indústria norte americana. As figuras 1.1 e 1.2 sugerem que após o final da década de 70, a taxa de utilização média da capacidade não superou 86 por cento, isto é, ao menos 15 por cento da capacidade disponível não foi utilizada nos últimos 30 anos.

Figura 1. 1 – Gráfico de utilização da capacidade da indústria

manufatureira1 norte americana.

1 Indústrias de manufatura constituem aquelas incluídas na Classificação Industrial Padrão (SIC do inglês Standard Industrial Classification) na definição de manufatura.

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Fonte: Estados Unidos (2011). Assim, mostra-se coerente buscar a capacidade considerando as

inter-relações entre as diversas decisões tomadas no mercado. Esta situação representa o equilíbrio de Nash; e, ao determinar a quantidade de produtos a ser disponibilizada no mercado oligopolista a partir desta abordagem, encontra-se uma capacidade economicamente eficiente para os produtores deste mercado. Paralelamente, salienta-se que o oligopólio é o caso que melhor representa a estrutura de mercado presente em grande parte dos setores econômicos (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 441; SALINÉ, 2000, p. 150). Assim, faz sentido tomar ao mercado oligopolista como cenário principal de atuação desta monografia.

Figura 1. 2 – Gráfico de capacidade instalada e produção real da indústria

manufatureira2 norte americana.

2 Indústrias de manufatura constituem aquelas incluídas na Classificação Industrial Padrão (SIC do inglês Standard Industrial Classification) na definição de manufatura.

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Fonte: Estados Unidos (2011). Ainda, à medida que o número de competidores em um

oligopólio aumenta, o mercado tende a se parecer com um mercado perfeitamente competitivo. Neste caso a quantidade produzida fica próxima ao nível socialmente eficiente (MANKIW, 2011, p. 353). Enquanto do ponto de vista da sociedade, é interessante que as decisões sejam tomadas de modo a maximizar o bem estar econômico, por outro lado, do ponto de vista das empresas, o objetivo se volta para a máxima remuneração do capital investido. Diante disso, além do planejamento da capacidade, esta monografia busca compreender os efeitos da saturação do mercado oligopolista, com a entrada de novos competidores.

1.5 LIMITAÇÕES

O resultado final deste trabalho é um modelo para a determinação da capacidade de produção para uma fábrica situada em um mercado oligopolista não cooperativo. Para calcular a capacidade, este modelo utiliza a teoria dos jogos e busca maximizar o retorno sobre o investimento do produtor, com o pressuposto de que outros jogadores do mercado são racionais e procuram, também, maximizar o seu próprio retorno. Assim, possibilita-se encontrar o equilíbrio no mercado.

Destaca-se, entretanto, que se avalia apenas o retorno econômico do investimento. O modelo elaborado não assume aspectos do fluxo financeiro da empresa: não o limita e nem prevê formas de gerenciamento financeiro. Assim, os resultados advindos deste trabalho podem indicar que um projeto de instalação é economicamente viável, mas não necessariamente financeiramente.

O presente modelo foca em indústrias de manufatura. Apesar disto, durante o estudo não foram consideradas questões relativas ao planejamento e controle da produção. Existem atividades como o balanceamento da linha e a definição dos tamanhos dos lotes de produção que podem limitar a capacidade disponível para a produção. Estes fatores, contudo, não foram contemplados pelo modelo desenvolvido, pois estão, na maioria das vezes, ligados as atividades operacionais da empresa.

Também, analisou-se apenas o cenário em que as empresas produzem somente um produto. Neste caso, considera-se que cada produtor fabrica a mesma variação/modelo. Uma análise em que cada

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empresa possui múltiplos produtos disponibilizados no mercado não foi realizada.

O escopo do trabalho limita-se, ainda, a um modelo estacionário, em que a capacidade é determinada para um ponto específico do tempo. Um estado dinâmico em que diferentes condições de mercado (oferta e demanda) ocorrem no decorrer do tempo e do ciclo de vida do produto não é tratado.

Ademais, as curvas de oferta e inversa da demanda baseiam-se em dados fictícios, visto que não se encontrou a disposição dados reais para compor estas curvas. Ainda, para simplificar o modelo desenvolvido, aproximaram-se as curvas inversa de oferta e inversa da demanda para funções de primeiro grau do tipo ( )f x ax b= + , em que

a (coeficiente angular) e b (constante) são números reais.

1.6 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Para alcançar os objetivos desta pesquisa, faz-se necessário determinar os procedimentos metodológicos adotados. Esta pesquisa trata-se da elaboração de um modelo quantitativo. Segundo Morabito e Pureza (2010, p.166), um modelo é uma representação de uma situação ou realidade, sob o ponto de vista de uma pessoa (ou grupo de pessoas), construída para auxiliar o tratamento de uma situação de forma sistemática. O modelo propicia identificar problemas, formular estratégias e oportunidades, bem como compreender melhor o ambiente em questão. Não obstante, ressalta-se que as soluções do modelo apenas apóiam o processo de tomada de decisão, e não substituem os tomadores de decisão (MORABITO; PUREZA, 2010, p.166). Ainda, Morabito e Pureza (2010, p. 166) citam dois aspectos fundamentais de um modelo:

i. ser suficientemente detalhado para captar os elementos e representar de forma adequada o sistema real; e,

ii. ser suficientemente abstraído para permitir este ser tratado por métodos de análise e resolução conhecidos.

Em específico, modelos quantitativos, como no caso desta monografia, são classificados como abstratos e descritos em linguagem matemática e computacional (MORABITO; PUREZA, 2010, p.167). Meredith (et al., 1989, apud MORABITO; PUREZA, 2010, p.174) indica que, de acordo com a orientação do pesquisador, classificam-se os modelos quantitativos como racionais por serem altamente dedutivos ou axiomáticos. Acrescenta-se, também, que as relações entre as

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variáveis são identificadas como causais, porque se conhece de forma explicita que uma mudança na variável x provoca uma alteração no valor em outra variável.

Baseado nas colocações de Bertran e Fransoo (2002, apud MORABITO; PUREZA, 2010, p.175), argumenta-se que esta pesquisa se qualifica na classe de pesquisa axiomática descritiva. Em primeiro, axiomática, pois esta é dirigida por um modelo idealizado, em que se objetiva solucioná-lo para ajudar a esclarecer a estrutura descrita neste. Morabito e Pureza (2010, p. 166) afirmam que:

“uma desvantagem de problemas idealizados é que o efeito do fator humano no desempenho do processo operacional em geral é negligenciado. Em contrapartida, a análise de problemas idealizados pode gerar conhecimento valioso acerca dos problemas reais”.

Em segundo, descritiva, pois permite a melhor compreensão dos relacionamentos funcionais do ambiente em questão, a partir da descrição do comportamento do problema modelado.

A construção de um modelo matemático de pesquisa operacional compreende dois processos de abstração: primeiramente, a elaboração de um modelo conceitual (descrição verbal em que se escolhem algumas variáveis do sistema real para definir o comportamento deste); e, depois, a elaboração de um modelo matemático analítico (as relações do sistema são descritas por funções matemáticas) (MORABITO; PUREZA, 2010, p.180). Além disso, Morabito e Pureza (2010, p. 181) descrevem a abordagem da pesquisa operacional como um método de cinco etapas: (i) definição do problema; (ii) construção do modelo; (iii) solução do modelo (além a utilização de um algoritmo para solução, é comum a realização de análise de sensibilidade para verificar a consistência e robustez do modelo); (iv) validação do modelo (verificar se o modelo descreve adequadamente o sistema real - normalmente não se utilizada na pesquisa axiomática); e (v) implementação da solução (importante para a pesquisa empírica). Neste trabalho, em particular, as etapas da pesquisa foram desenvolvidas segundo o fluxograma representado na figura 1.3.

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2.1. Revisäo

bibliográfica sobre

capacidade

2.2. Revisäo


teoria dos jogos

3. Revisäo


teoria dos jogos

aplicada ao

problema de

capacidade

4. Definição das

variáveis do modelo

5. Seleção da

técnica de solução

e equacionamento

do modelo.

6. Resolução do

modelo.

7. Análise de

sensibilidade de

variáveis

específicas.

8. Interpretação dos

resultados e

compreensão do

funcionamento.

1. Definição do

problema

Figura 1. 3 – Etapas da pesquisa. Fonte: o Autor (2011).

1.7 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Este trabalho está estruturado como segue. No capítulo 2 apresenta-se o referencial teórico que suporta este trabalho. Este revisa, em sua primeira parte, o planejamento da capacidade quanto: (i) às definições de capacidade produtiva; (ii) às diversas técnicas de medição da capacidade; e, (iii) aos diferentes modelos para determinação da capacidade produtiva encontrados na literatura.

Na segunda parte do capítulo 2 revisa-se a temática da teoria dos jogos. Inicialmente contextualizam-se as situações de jogo e descreve-se

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o dilema do prisioneiro3. Em seguida é definido o equilíbrio de Nash e são apresentados modelos de determinação de capacidade segundo a teoria dos jogos.

Após este, o capítulo 3 expõe o modelo proposto: em primeiro lugar, definiram-se as premissas do modelo; e, em segundo lugar, exibiram-se as variáveis necessárias, e a lógica de equacionamento do modelo. Finalmente, propõe-se uma técnica de solução para modelo estruturado e apresenta-se a implementação computacional do mesmo.

Os resultados numéricos são, então, demonstrados no capítulo 4. Este estabelece um caso básico a partir do qual se desenvolvem outros cinco casos para analisar a sensibilidade das variáveis do modelo.

Por último, no capítulo 5 efetuam-se as conclusões deste trabalho e recomendações para trabalhos futuros. Ainda, esta monografia contém um apêndice (apêndice A) em que são ilustradas as planilhas eletrônicas utilizadas para a implementação computacional do modelo, e um anexo (anexo A) que se presta para apresentar o algoritmo de projeção utilizado para solucionar o modelo.

3 Segundo Mankiw (2011, p. 354) o Dilema do Prisioneiro apresenta “um jogo entre dois prisioneiros que ilustra como é difícil manter a cooperação, mesmo quando esta é mutuamente benéfica”.

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2 REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Este estudo abrange o tema da teoria dos jogos e aborda o fenômeno de planejamento da capacidade da instalação. Para isto foi necessário conhecer as diferentes formas de abordagem do planejamento da capacidade produtiva no longo prazo. Realizou-se, então, pesquisa bibliográfica em livros de administração da produção devido à consolidação do tema. Neste âmbito, buscaram-se, também, artigos que pudessem trazer uma revisão de literatura ao tema, buscando na base de dados science direct pelos seguintes acrônimos: capacity planning, operations management, long term, review.

Na busca anterior, selecionaram-se apenas revistas com fator de impacto maior do que 2: European Journal of Operational Research,

International Journal of Production Economics, Journal of Operations

Management, Computers & Industrial Engineering, Computers &

Operations Research, Omega, Journal of Manufacturing Systems. A partir desta seleção, identificaram-se os artigos que relacionassem o planejamento de capacidade e estratégias de longo prazo em seu título e resumo.

Ainda foi essencial identificar um panorama geral da teoria dos jogos, sob a ótica dos diversos autores que publicaram sobre o assunto: Mankiw, Nagurney, Pindyck e Rubinfeld, Vasconcellos e Guena, e Saliné. Além dessas pesquisas bibliográficas em livros de microeconomia, esse panorama desenvolveu-se com base em e artigos chaves sobre o tema. Esses artigos foram obtidos principalmente a partir de literaturas indicadas nos livros consultados.

Também como parte desta pesquisa, analisou-se os estudos relacionados à teoria dos jogos com a determinação da capacidade de fábrica. Para esta análise, realizou-se uma pesquisa bibliográfica na base de dados: science direct. Esta base foi selecionada por possuir diversos periódicos com fatores de impacto maiores que 1,5 relacionados aos temas de pesquisa operacional e administração de operações. A pesquisa bibliográfica foi realizada utilizando os acrônimos: capacity planning, game theory, Nash equilibrium, noncooperative e long term. Devido à grande quantidade de artigos sobre o tema, restringiu-se a busca apenas aos artigos que mencionassem em seu título e resumo a teoria dos jogos, o problema de capacidade e a não cooperação. Ainda, utilizaram-se artigos de revisão bibliográfica sobre o assunto.

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2.2 PLANEJAMENTO DE CAPACIDADE

Segundo Slack, Chambers e Johnston (2002, p. 343), prover a capacidade produtiva adequada para satisfazer à demanda atual e futura é essencial. Este equilíbrio entre capacidade e demanda, quando adequado, pode resultar em benefícios como lucro e clientes satisfeitos. O desequilíbrio, contudo, pode ser desastroso. Ainda, a capacidade da fábrica pode ser abordada com duas perspectivas diferentes: longo prazo e, médio ou curto prazo. As decisões de longo prazo envolvem a introdução ou eliminação de incrementos grandes de capacidade física das instalações. Gaither e Frazier (2002, p. 171) apontam que as decisões de longo prazo abrangem o ciclo de vida do produto: introdução, crescimento, maturidade e declínio. Já no médio ou curto prazo, a decisão estabelece-se num período de poucos dias até 18 meses. Neste período, as decisões de capacidade responsabilizam-se por ajustes que permitam flexibilizar a produção, alterando, por exemplo, o número de horas que os equipamentos são utilizados (SLACK, CHAMBERS, JOHNSTON, 2002, p. 345), isto é, determina a alocação da capacidade disponível na produção dos bens.

Neste trabalho, como já se delimitou em seu objetivo, será apenas abordada a capacidade sob a ótica de longo prazo. Assim, sempre que aqui mencionada, a capacidade terá uma conotação de longo prazo. Para Gaither e Frazier (2002, p. 169), a determinação da capacidade de produção de longo prazo da empresa advém do planejamento das instalações, que por sua vez baseia-se no planejamento estratégico da organização.

Ainda, segundo estes autores, as decisões de capacidade revelam-se cruciais porque, primeiro, o investimento financeiro em máquinas, tecnologia, terras e prédios são enormes – a empresa provavelmente viverá com essas decisões por um longo período de tempo. Em segundo lugar, essas decisões determinam quais as linhas de produtos serão produzidos, onde estes serão vendidos e qual a tecnologia a utilizar. Em terceiro lugar, a capacidade de produção determina a eficiência operacional da instalação. Por último, a capacidade das instalações revela-se uma restrição às demais decisões da administração da produção. Assim, ela é importante para que os gerentes, do processo manufatureiro, quantifiquem as possibilidades de produção (STEVENSON, 2001, p. 156).

Stevenson (2001, p. 157) cita, também, outros fatores importantes que envolvem as decisões de capacidade como apresentado no quadro 2.1.

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Atendimento à

demanda

ter capacidade para atender a demanda e aproveitar variações de curto prazo na demanda.

Custos operacionais

os custos operacionais são delimitados pela capacidade: quando a capacidade é compatível com os requisitos da demanda, os custos operacionais tendem a ser reduzidos.

Custo inicial

quanto mais capacidade for planejada para uma instalação maior tende a ser o seu custo inicial. Contudo, unidades maiores tendem a custar proporcionalmente menos (investimento por unidade produzida) que unidades menores.

Competitividade

ocorrendo um aumento de demanda e a empresa tendo capacidade disponível, esta poderá rapidamente atender a demanda.4 Forma-se assim, uma barreira contra a entrada de novos concorrentes.

Quadro 2. 1 – A importância das decisões que envolvem capacidade Fonte: Adaptado de Stevenson (2001, p. 157).

O mesmo autor aponta, ademais, que as decisões relacionadas à

capacidade de produtos e serviços devem ser revistas freqüentemente. Essas alterações são função do grau de estabilidade da demanda; da velocidade de mudança tecnológica dos processos, equipamentos e produtos; e, de fatores de competitividade. Para tanto, deve-se realizar três perguntas básicas: (i) Qual tipo de capacidade é necessário segundo os produtos e serviços que serão oferecidos pela organização?; (ii) Quanto é necessário?; e, (iii) Quando será necessário?.

Corroborando com este apontamento, Gaither e Frazier (2002, p. 171) colocam que à medida que um produto atravessa seu ciclo de vida, a capacidade de produção deve mudar, tendo em vista expansões ou reduções. Também, desenvolvimentos tecnológicos devem ser previstos com antecipação, pois estes podem afetar drasticamente a forma como os produtos são produzidos e por conseqüência, a capacidade. Os autores defendem, então, que o planejamento da capacidade envolve

4 Segundo Mankiw (2009) ressalta-se, contudo, que no mercado o preço é a característica central influenciadora da demanda.

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dois fatores que serão descritos a seguir: (a) a previsão da capacidade de produção e (b) a determinação da capacidade contingencial. A previsão da capacidade é feita em quatro etapas como demonstrado na figura 2.1. Já a capacidade contingencial representa uma capacidade adicional acrescida à demanda esperada para: absorver incertezas das previsões, e adequar às operações em termos da estratégia competitiva5. Além disso, salienta-se que as decisões de capacidade devem levar em consideração as capacidades que os concorrentes provavelmente acrescentarão no mercado, pois instalar capacidade excessiva pode levar a preços aviltados e pouca lucratividade (GAITHER E FRAZIER, 2002, p. 172).

Figura 2. 1 – Processo de previsão de capacidade de produção Fonte: Adaptado de Gaither e Frazier (2002, p.171).

2.2.1 Definição de capacidade

A capacidade produtiva de uma instalação fabril, segundo Slack, Chambers e Johnston (2002, p. 344), representa a sua capacidade de processamento e por isso é definida por um volume físico e uma dimensão de tempo. Caso se determinasse a capacidade apenas como um volume físico, ter-se-ia uma dimensão da escala da operação, porém não do processamento. Assim, a capacidade é determinada como o 5 Considera-se estratégia competitiva a qualidade de produtos e serviços, a flexibilidade de produto e volume, e as decisões de custo de produção (economias e deseconomias de escala).

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máximo nível de atividade de valor adicionado em determinado período de tempo (SLACK; CHAMBERS; JOHNSTON, 2002, p. 344). Esta se refere ao limite superior de produção ou teto que uma unidade operacional pode suportar (STEVENSON, 2001, p. 156). Ainda, Gaither e Frazier (2002, p. 170) definem capacidade como a cadência máxima de produção.

Embora o conceito de capacidade seja simples, existem diversos fatores subjacentes ao conceito de que tornam seu uso e entendimento complexos (GAITHER; FRAZIER, 2002, p. 170). As operações produtivas dificilmente são inteiramente homogêneas. Na realidade, toda operação é constituída de micro-operações que possuem características distintas (SLACK; CHAMBERS; JOHNSTON, 2002, p. 189). Assim, quando nas definições apresentadas a cima, a capacidade é disposta como o nível máximo produtivo, esta representa a cadência máxima de apenas algumas partes/operações do sistema, que são as restrições de capacidade de toda a operação. Esses elos mais lentos de uma operação são denominados na literatura de gargalos.

Esta definição de capacidade, embora seja funcional, pode ser refinada em duas outras definições: capacidade de projeto e capacidade efetiva. A capacidade de projeto ou capacidade teórica de projeto representa a máxima quantidade produzida por unidade de tempo em condições ideais (STEVENSON, 2001, p. 158). Esta quantidade, na prática, nunca é atingida, devido a fatores que determinam a capacidade efetiva – que estão descritos no próximo parágrafo – e em parte, pois não é econômico atingir a capacidade máxima (GAITHER; FRAZIER, 2002, p. 171; SLACK; CHAMBERS; JOHNSTON, 2002, p. 354; STEVENSON, 2001, p. 158). Askin e Standridge (1993) demonstram em seu trabalho que a relação entre a alta taxa de produção e a capacidade de produção do sistema de manufatura é assintótica. Na figura 2.2, a partir do ponto 0N as saídas e a utilização da capacidade

produtiva aumentam substancialmente, contudo, os ganhos na taxa de produção são pequenos, e o tempo de ciclo aumenta significativamente. Dessa forma, ocorre o aumento de estoque de produtos em processamento e de filas no sistema. Isto resulta em custos variáveis adicionais, em custos de manutenção de estoque e, consequentemente, no aumento dos custos operacionais.

Inferior à capacidade de projeto, a capacidade efetiva representa a máxima produção possível considerando-se as ineficiências do sistema como: o mix de produção (interrupções no sistema de produção para realizar o ajuste das máquinas – tempo de set up); paradas para

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manutenção; e dificuldades na programação e balanceamento da linha (SLACK; CHAMBERS; JOHNSTON, 2002, p. 351; STEVENSON, 2001, p. 158). Essas não são, contudo, as únicas perdas no sistema, ainda existem: problemas de qualidade, paradas por falhas de máquinas, absenteísmo, falhas de suprimento e fatores aleatórios. Denomina-se, então, a medida de capacidade resultante da ação desses últimos fatores como volume de produção real – ainda inferior a capacidade efetiva.

Figura 2. 2 – Taxa de produção versus quantidade de produtos no sistema Fonte: Adaptado de Askin e Standridge (1993, p. 386).

Por conseguinte, Stevenson (2001, p. 158) revela que a partir

dessas diferentes medidas de capacidade, determinam-se dois indicadores de desempenho do sistema: a eficiência e o grau de utilização (equações 2.1 e 2.2).

Produção Real

Capacidade EfetivaEficiência = (2.1)

Produção Real

Capacidade de ProjetoUtilização = (2.2)

Esses indicadores apresentam grande importância para apoiar as

decisões de determinação de capacidade. Não obstante, salienta-se que

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se deve evitar focalizar em apenas um desses indicadores (STEVENSON, 2001, p.158). Uma alta eficiência, por exemplo, não representa uma utilização eficaz dos recursos. De mesma forma, atuar apenas em termos da utilização não é exaustivo, pois a capacidade efetiva constitui o limite da produção real. Assim, o aumento do grau de utilização do sistema dependerá do conhecimento daquilo que afeta a capacidade efetiva. Ainda, a atuação exclusiva no grau de utilização mostra-se contraproducente como já apresentado na figura 2.2.

Stevenson (2001, p.159) apresenta, também, diversos fatores que envolvem o projeto de uma instalação e tem impacto na capacidade efetiva do sistema. Estes consistem em fatores relacionados com: as instalações, o produto ou serviço, o processo, os recursos humanos, as operações e os fatores externos. O quadro 2.2 descreve brevemente cada um desses fatores.

Fatores Questões relevantes

Instalação

O projeto das instalações: seu tamanho atual e provisão para expansão futura; local; arranjo físico; e meio ambiente.

Produto/Serviço Mix de produtos/serviços e projeto do produto (semelhança entre os produtos).

Processo Qualidade: inspeções e retrabalho.

Recursos humanos

Tarefas que compõe o trabalho; treinamento, habilidade, experiência e motivação dos trabalhadores; e remuneração.

Operacional

Diferença de capacidade entre os diferentes equipamentos de produção; níveis de estoque planejados; atrasos nas entregas e critérios de aceitação dos materiais; paralisação de equipamentos; e políticas de manutenção.

Externo Normas de produtos; regulamentos ambientais e de segurança do trabalho; e sindicatos.

Quadro 2. 2 – Fatores que determinam a capacidade efetiva Fonte: Adaptado de Stevenson (2001, p. 159).

Além das definições de capacidade apresentadas acima, o Federal Reserve Board dos Estados Unidos (apud GAITHER;

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FRAZIER, 2002, p. 170) propõe, adicionalmente, a definição de capacidade prática sustentável:

“o maior nível de produção que uma empresa pode manter dentro da estrutura de uma programação de trabalho realista, levando em consideração um período de inatividade normal e supondo uma disponibilidade suficiente de entrada para operar maquinaria e o equipamento existente.”

2.2.2 Medição de Capacidade

Como denotado no tópico anterior, a capacidade representa a cadência máxima de produção de alguma atividade. Apesar de parecer simples, este conceito de máximo está restringido por fatores de ordem física, econômica e política (decisões gerenciais). A aferição da capacidade, também, evidencia-se não menos complexa, e para que aquela propicie resultados adequados, necessita-se selecionar medidas apropriadas para cada situação (STEVENSON, 2001, p.157).

Stevenson (2001, p.157) evidencia que devem ser evitadas medidas para a capacidade que demandem a atualização constante dos valores. Por exemplo, medidas que levam em considerações unidade monetárias são em sua maioria inadequadas, pois a inflação ou deflação de preços requer a contínua atualização dos valores para que estes não percam sua validade.

Ainda, a medição da capacidade está sujeita ao mix de atividades e de produtos produzidos (GAITHER; FRAZIER, 2002, p. 170; SLACK; CHAMBERS; JOHNSTON, 2002, p. 350; STEVENSON, 2001, p. 157). Quando existe apenas um produto ou serviço, as unidades da capacidade de medição podem ser diretas: expressas em termos do item em questão (automóveis por mês, toneladas de carvão por dia) (GAITHER; FRAZIER, 2002, p. 170). Com freqüência, contudo, produtos diferentes são produzidos, assim necessita-se de uma unidade agregada de capacidade, como por exemplo: toneladas processadas por hora. Além disso, quando, o mix de produtos é amplo e variável, utilizam-se medidas baseadas em insumos ou disponibilidade de capacidade (GAITHER; FRAZIER, 2002, p. 170; SLACK; CHAMBERS; JOHNSTON, 2002, p. 350; STEVENSON, 2001, p. 157). Desta última, Slack, Chambers e Johnston (2002, p. 350) citam exemplos como: o número de leitos para hospitais; o número de assentos

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disponíveis para teatros e companhias aéreas; e, o número de horas máquina disponíveis para manufatura.

2.2.3 Modelos de determinação da capacidade produtiva

Na literatura revisada, as alternativas para determinação da capacidade são exploradas principalmente sob a ótica de dois agentes: a previsão de demanda de longo prazo e o custo unitário médio. Stevenson (2001, p.160) descreve que se necessita da previsão de demanda em um longo espaço temporal para, a partir desta, originar os requisitos de capacidade. Assim, deve-se, segundo este autor, identificar padrões básicos de demanda como crescimento, declínio, ciclos, ou estabilidade. E nestes observar: a duração e inclinação da tendência, e a duração e a amplitude dos ciclos.

A partir da previsão de demanda, possibilita-se estimar o volume de vendas por período, e originado deste, um volume que resulte no menor custo unitário médio (GAITHER; FRAZIER, 2002, p. 172). Essa abordagem é apontada por diversos autores inclusive Stevenson (2001), e Slack, Chambers e Johnston (2002). No presente trabalho, contudo, devido à similaridade dos conceitos será revista apenas a abordagem feita por Gaither e Frazier (2002). Estes autores denominam que: “[...] para determinadas empresas, há um volume de saídas anual que resulta no menor custo unitário médio. Esse nível é chamado melhor nível operacional” (grifo do autor). Stevenson (2001, p.162) ressalta, ademais, que este é o melhor nível operacional apenas em termos do custo unitário do produto ou do serviço realizado.

Neste nível operacional, busca-se dividir os custos fixos de produção por um número grande de unidades resultantes de turnos de produção mais longos, do uso efetivo de recursos e mão de obra, entre outras economias. A essas economias, dá-se o nome de economias de escala, que se acumulam à medida que o volume de produção aumenta, até atingir o ponto ótimo de nível operacional (GAITHER; FRAZIER, 2002, p. 172).

Além deste ponto, o volume adicional de produção provoca o crescimento dos custos devido ao congestionamento de materiais, a dificuldades de planejamento, a produtos danificados, ao uso intenso de horas extras e desmotivação de trabalhadores. O impacto dessa e outras deseconomias no aumento do custo é conhecido como deseconomias de escala (GAITHER; FRAZIER, 2002, p. 172). Este conceito é ilustrado na figura 2.3.

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Figura 2. 3 – Economias, deseconomias de escala e melhor nível

operacional. Fonte: Adaptado Gaither e Frazier (2002, p. 174).

Acrescenta-se que, apesar de existirem diversas pesquisas em torno das estratégias de capacidade envolvendo economias e deseconomias de escala, poucas analisam a conveniência econômica de utilizar estas estratégias dependendo das condições competitivas de mercado (PERRONE et al., 2002). Neste sentido, Perrone et al. (2002) desenvolvem um modelo quantitativo para maximizar o lucro unitário de produtos baseado em economias de escala, os efeitos de volume, e preço dos produtos. Os autores mapeiam, então, situações de mercado em que sistemas flexíveis de manufatura evidenciam-se mais adequados do que sistemas dedicados.

A partir do conceito de melhor nível operacional, Gaither e Frazier (2002, p. 174) mostram, também, duas abordagens para a expansão/instalação da capacidade: ou investir fortemente numa grande instalação; ou investir num projeto de instalação inicial para expandir e modificar futuramente. A primeira abordagem apresenta um alto investimento inicial, porém um grande projeto exige um menor investimento total que diversos projetos pequenos. Também, com essa estratégia, podem-se obter ganhos pela proteção à inflação de preços; e reduzem-se os riscos de perda de negócios futuros caso a previsão de demanda de longo prazo resulte em uma capacidade futura inadequada. Esses autores, entretanto, advertem que “uma das principais causas de supercapacidade industrial é o argumento segundo o qual instalações maiores realizam economias de escala”. Essa supercapacidade fica evidente, na figura 1.1., na qual se observa que a utilização média da

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capacidade, da indústria de manufatura dos Estados Unidos, não superou 86% nos últimos 30 anos.

A segunda abordagem – por uma instalação incremental – revela-se interessante, pois o custo médio por projeto tende a ser menor. Ainda, caso as necessidades por capacidade não se materializem, investimentos desnecessários podem ser interrompidos. Além disso, na construção de uma grande instalação uma quantidade expressiva de capital pode ficar imobilizada à capacidade excessiva, sem propiciar retorno por diversos anos.

Somando-se às exposições apresentadas acima para determinação da capacidade a partir do melhor nível operacional, Stevenson (2001, p. 161) evidencia outras considerações relevantes: i. projetar sistemas flexíveis que permitam a sua expansão sem a

reformulação dos sistemas existentes; ii. considerar o quadro global de mudanças da capacidade: visão

sistêmica quanto a inter-relação das partes do sistema produtivo, e ao posicionamento do produto no mercado (ciclo de vida);

iii. observar que os aumentos de capacidade normalmente restringem-se a aumentos em patamares, como na compra de uma nova máquina; e,

iv. deve-se buscar reduzir os requisitos de capacidade, ou por meio da produção de produtos com padrões de consumo complementares (utilizam os mesmos recursos, mas em períodos diferentes) quando existir demanda sazonal, ou preparando-se para subcontratações quando incorrerem variações na demanda, por exemplo.

Do ponto de vista de estratégia de operações, salienta-se,

também, o trabalho de Olhager, Rudberg e Wikner (2001). Os autores desenvolvem um quadro que conecta estratégias de estrutura e infra-estrutura para determinar a capacidade. A perspectiva estrutural relaciona-se com os níveis de capacidade e com as estratégias de expansão e redução de capacidade. Já a perspectiva de infra-estrutura, liga-se ao planejamento e controle da produção. Estes autores defendem que estas perspectivas estão inter-relacionadas e devem ser integradas, ao invés de tratadas seqüencialmente.

Como são de natureza complexa, as decisões de determinação da capacidade podem resultar em diversas alternativas. Com efeito, segundo Stevenson (2001, p. 163) e, Gaither e Frazier (2002, p. 176), essas alternativas devem ser validadas ou apontadas por meio de uma análise. Preferencialmente, estas análises devem ser compostas por métodos que utilizem, principalmente, um enfoque econômico como: a

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análise de custo-volume (break-even ou ponto de equilíbrio), a análise financeira (valor presente), a teoria da decisão, e a teoria das filas (STEVENSON, 2001, p. 163; GAITHER; FRAZIER 2002, p. 176).

Na análise de custo-volume, busca-se uma relação entre os custos, as receitas e os volumes produzidos. Levanta-se, dessa forma, o custo fixo, o custo variável unitário do produto e sua respectiva receita unitária (preço unitário). O volume, então, que iguala a receita total com o custo total é conhecido como break-even point ou ponto de equilíbrio (STEVENSON, 2002, p. 164). Uma capacidade de produção maior do que o ponto de equilíbrio representa, então, uma alternativa viável, embora, de acordo com Stevenson (2002, p. 166), esta análise deve ser precedida de modelos de fluxo de caixa para verificar o desempenho real da proposta.

A análise do valor presente constitui uma abordagem útil para avaliar propostas de investimentos no longo prazo (GAITHER; FRAZIER, 2002, p. 176). Segundo Casarotto e Kopittke (2006, p.116), este método evidencia-se simples, e visa somar o valor presente dos fluxos de caixa futuros (descontados a uma taxa de mínima atratividade – TMA) com o investimento inicial (fluxo de caixa negativo) de cada alternativa de investimento. Aquela que apresentar o melhor (maior) valor representa a alternativa mais adequada.

Aliado ao método do valor presente líquido costuma-se aplicar o método da Taxa Interna de Retorno – TIR (STEVENSON, 2002, p. 166). Este requer a determinação de uma taxa de desconto (TIR) que zera o valor presente dos fluxos de caixa da alternativa de investimento (CASAROTTO E KOPITTKE, 2006, p.130). Compara-se, então, a TIR calculada com a TMA: os investimentos em que a TIR revela-se maior são considerados rentáveis e passíveis de análise (CASAROTTO E KOPITTKE, 2006, p.130). Stevenson (2002, p.166) ainda salienta que os métodos de análise financeira evidenciam-se mais adequados, quando existem estimativas confiáveis dos fluxos de caixa.

Quando as decisões apresentam condições de incerteza e risco, indica-se a aplicação da teoria da decisão (STEVENSON, 2002, p. 166). As decisões de projeto de instalações, normalmente, envolvem decisões interdependentes que devem ser tomadas em seqüência (GAITHER; FRAZIER, 2002, p. 176). Assim, a partir da teoria das decisões, pode-se gerar uma árvore de decisões e calcular o valor esperado de cada alternativa de investimento.

Freqüentemente, de acordo com Stevenson (2002, p.167) para se determinar um nível de capacidade que seja efetivo do ponto de vista dos custos, revela-se útil utilizar a teoria das filas. Uma ampla variedade

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de sistemas de produção (seja ele de serviço ou manufatura) gera filas, pois possui um elo mais lento de operações, denominado de gargalo (este tema foi tratado na seção 2.1.1). Assim, o estudo da formação das filas é útil para determinar o custo esperado do sistema para diferentes níveis de capacidade (STEVENSON, 2002, p.167).

Por exemplo, cita-se Bretthauer e Côté (1996) que elaboraram uma rede aberta de filas para simular um sistema de manufatura com ajuda de métodos de programação não linear. Para tanto, objetivou-se obter um quadro de planejamento de capacidade através de diversos períodos. O método desenvolvido pelos autores permite que medidas de desempenho como custo de capacidade, lead time de produção e trabalho em processo sejam controladas.

Finalmente, em sua pesquisa, Luss (1982 apud BRETTHAUER; CÔTÉ, 1996) denota que a maioria dos trabalhos – que abordam o planejamento de capacidade sobre o ponto de vista da pesquisa operacional – consideram apenas o problema de quando e onde se construir novas instalações. Van Mieghem (2003) revela, também, que as pesquisas de expansão de capacidade estão normalmente restritas à avaliação de apenas um recurso e à minimização de custos. O mesmo autor ressalta que, quando múltiplos agentes controlam a sua própria capacidade, modelos teóricos de jogos são necessários.

2.3 TEORIA DOS JOGOS

A teoria dos jogos é um importante desenvolvimento nos campos da microeconomia (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 473). Segundo Vasconcellos e Guena (2008, p. 207), a teoria dos jogos representa “o estudo do comportamento estratégico racional”. Para Myerson (1999), a primeira aplicação clara de jogos dentro das ciências sociais – com um modelo matemático – apresenta-se no trabalho de Cournot em 1838, com seu modelo de jogo para competições oligopolistas. Estes estudos foram aprimorados por von Neumann a partir de 1928 e culminaram com a teoria apresentada por Nash em 1951. Mankiw (2011, p. 350) aponta que a teoria dos jogos é útil para compreender situações em que um pequeno número de jogadores interage: ela ajuda a explicar as estratégias que as pessoas escolhem.

Esta revisão apresentará a teoria dos jogos, sua relação com estratégias competitivas e o planejamento da capacidade. Inicialmente serão descritas situações de jogo, estratégias dominantes, o dilema dos

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prisioneiros e o equilíbrio de Nash. Por último, mostram-se aplicações da teoria dos jogos no planejamento da capacidade produtiva.

2.3.1 Caracterização de situações de jogo

Um jogo, de acordo com Pindyck e Rubinfeld (2005, p. 473), refere-se a qualquer situação em que jogadores (participantes deste jogo) devem realizar decisões estratégicas. Decisões estratégicas são decisões nas quais os jogadores levam em consideração as ações e respostas dos outros jogadores (PINDYCK; RUBINFELD, 2005; MANKIW, 2011). Refinando este conceito, pode-se dizer que o comportamento estratégico ocorre quando os agentes percebem que são capazes de afetar variáveis relevantes para a sua decisão e dos outros (VASCONCELLOS; GUENA, 2008, p. 207).

Exemplos de jogos incluem jogos de damas, decisões administrativas para empresas em mercados oligopolistas (Mankiw, 2011, p. 349), empresas competindo umas com as outras pela colocação de preços, e um grupo de consumidores dando lances uns contra outros em um leilão de artes (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 473). Estes jogos advindos de decisões estratégicas resultam em payoffs – ganhos ou benefícios recebidos pelos participantes dos jogos (VASCONCELLOS; GUENA, 2008, p. 207; PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 473). Por exemplo, nos jogos citados a cima, para as empresas que colocam preço, um payoff seria o lucro obtido, e para os jogadores de dama, seria ganhar o jogo.

Para se chegar ao resultado de um jogo, seus participantes põem em ação uma estratégia, que é um plano ou regra para jogar o jogo, como por exemplo: colocar um preço sempre mais baixo que o do seu competidor, ou, no caso do leilão, dar lances de até o máximo de 5000 reais. Cada jogador possui uma estratégia ótima: aquela que maximiza o seu payoff. E, este é o objetivo da teoria dos jogos: determinar a estratégia ótima para um jogador levando em consideração a estratégia ótima para os outros participantes (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 473).

Para melhor compreender importância das decisões estratégicas em situações de jogo, é necessário apreciar a premissa econômica destas decisões: a racionalidade (MYERSON, 1999). Para realizar qualquer tipo de teoria analítica social, precisamos além de descrever as instituições que participam do modelo, prever o comportamento dos indivíduos nestas situações (MYERSON, 1999). A racionalidade

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considera que os participantes de um jogo levam em consideração as conseqüências de seus atos. Assim, todos os agentes atuam de forma a maximizar seus payoffs; ou seja, consideram que seus competidores são racionais e inteligentes como eles (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 473).

Essa premissa é, contudo, imperfeita como uma descrição do comportamento humano. Myerson (1999) revela que estudos experimentais sobre a tomada de decisão humana normalmente encontram comportamentos inconsistentes e insensatos, que violam o princípio da racionalidade. O mesmo autor aponta, entretanto, três possíveis razões pelas quais a racionalidade é considerada: (i) teorias confiáveis sobre a inconsistência e insensatez do comportamento humano ainda não foram desenvolvidas, assim, por falta de fundamentos melhores, assume-se a racionalidade; (ii) no longo prazo quando as apostas são altas, esperamos que o comportamento seja próximo de racionalmente perfeito; e, (iii) o papel funcional das ciências sociais não é apenas analisar o comportamento humano no abstrato, mas realizar propostas para reformas institucionais a partir de análises das instituições sociais.

Outra premissa importante sobre jogos é quanto ao tipo de jogo que ocorre. Normalmente pode se dividir os jogos, conforme Pindyck e Rubinfeld (2005, p. 474), em duas categorias: jogos cooperativos, e jogos não-cooperativos. Nos jogos cooperativos, os jogadores possuem um acordo (ou contrato) para planejarem estratégias conjuntas. A situação, em que um conjunto de empresas – atuantes em mercados oligopolistas – age conforme um acordo entre elas, é conhecida como cartel; a legislação dos países, contudo, proíbe este tipo de acordo. Isto ocorre porque, estes acordos, comumente beneficiam apenas os produtores, que objetivam obter lucros monopolistas (MANKIW, 2011, p. 352).

Em jogos não-cooperativos estes acordos não podem ser negociados, ou forçados (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 474). Do ponto de vista econômico, a não cooperação entre empresas, é mais eficiente, pois aumenta o excedente da sociedade (VASCONCELLOS; GUENA, 2008, p. 211). Pindyck e Rubinfeld (2005, p. 474) citam alguns exemplos dessas situações de jogos que são apresentados no quadro 2.3.

Ainda, vale lembrar que este trabalho irá estudar apenas situações em que jogos não-cooperativos ocorrem; ou seja, os jogadores não podem firmar acordos entre si. Também, na seção 2.3.2, esta revisão

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apresentará o dilema dos prisioneiros e explicará porque jogos cooperativos são situações difíceis de manter-se.

Jogos

cooperativos:

Barganha entre um comprador e um vendedor sobre o preço de um tapete. Se o tapete custa 100 reais para produzir e o comprador o avalia em 200 reais, uma solução cooperativa é possível: um acordo para vender o tapete por qualquer preço entre 101 e 199 reais maximizaria a soma dos excedentes do comprador e do vendedor.

Jogos não-

cooperativos:

Duas firmas competindo assumem o comportamento provável de seu competidor ao definir seu preço. Elas sabem que se baixarem mais o preço podem tomar uma parcela maior do mercado, mas ao mesmo tempo raciocinam que tal atitude pode iniciar uma guerra de preços. Assim, elas mantêm seus preços em um nível estável.

Quadro 2. 3 – Exemplos de jogos cooperativos e não-cooperativos. Fonte: Adaptado de Pindyck e Rubinfeld (2005, p. 474).

2.3.2 Estratégias dominantes

Uma forma simples para se caracterizar uma situação de jogo é a partir de uma representação matricial dos payoffs do jogo. Esta representação pressupõe, contudo, a simplificação de que apenas dois jogadores participarão do jogo (VASCONCELLOS; GUENA, 2008, p. 207). Para exemplificar vamos utilizar o exemplo apresentado por Pindyck e Rubinfeld (2005, p. 476).

Neste exemplo, duas empresas A e B devem decidir quanto a sua estratégia de propaganda. As opções são: realizar ou não campanhas por meio de anúncios. Como as duas empresas oferecem o mesmo produto, a estratégia de uma afetará a outra. O quadro 2.4 apresenta a matriz dos possíveis payoffs das estratégias adotadas pelas empresas. As linhas indicam as estratégias adotadas pela empresa A e as colunas as estratégias adotadas pela empresa B. Dentro de cada célula do quadro é apresentado o payoff da intersecção de estratégias da firma A com a estratégia da firma B. O primeiro valor representa o ganho para a firma A e o segundo valor ganho para a firma B. Assim, se as duas empresas

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decidirem anunciar, a empresa A terá um lucro de 10 e a empresa B um lucro de 5. Se a empresa A anunciar e a empresa B não, a empresa A fará um lucro de 15 e a empresa B não fará lucro nenhum. Na matriz é possível determinar, também, os resultados das duas outras estratégias.

Empresa B

Anunciar Não Anunciar

Anunciar 10 ::: 5 15 ::: 0 Empresa A

Não Anunciar 6 ::: 8 10 ::: 2

Quadro 2. 4 – Matriz de payoffs de um jogo de campanha de anúncios Fonte: Adaptado de Pindyck e Rubinfeld (2005, p. 474).

A partir do quadro 2.4 fica claro que, para a empresa B,

independentemente da estratégia adotada por A, ela obtém um resultado melhor se anunciar. Se a firma A anunciar, B ganhará 5 ao anunciar e nada se não anunciar. Já se A não anunciar, B ganhará 8 anunciando e apenas 2 não anunciando. O mesmo também é verdadeiro para a firma A: independente da decisão escolhida por B, o melhor resultado para A é anunciar. Assim, o resultado deste jogo será que as duas empresas irão realizar uma campanha de anúncios (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 477).

Esta estratégia que – como visto no exemplo anterior para a campanha de anúncio – mostra-se ótima independentemente da decisão adotada pelo oponente é definida como estratégia dominante (PINDYCK; RUBINFELD, 2005; VASCONCELLOS; GUENA, 2008; MANKIW, 2011). Nem todos os jogos, entretanto, possuem estratégias dominantes para todos os jogadores, mas mesmo sim é possível prever um resultado para o jogo (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 477). Normalmente, necessita-se apenas possuir a estratégia dominante para uma das empresas ou um dos participantes do jogo, para se prever o resultado deste (VASCONCELLOS; GUENA, 2008, p.209).

Alterando o quadro 2.4 para o quadro 2.5, observa-se que a estratégia ótima da empresa A depende da decisão de B: A não possui mais uma estratégia dominante (observe o valor em negrito no quadro 2.5). Contudo, a empresa B ainda possui uma estratégia dominante: realizar uma campanha de anúncios independente da estratégia adotada por A. Assim, A seguirá os passos da empresa B, e já que para esta a melhor decisão é anunciar, a empresa A também anunciará obtendo um ganho de 10, ao invés de apenas 6 caso não anuncie. Isto acontece

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porque, em um jogo, a empresa B fará o melhor, considerando o realizado pela empresa A; e a empresa A fará seu melhor, considerando o que a empresa B irá realizar.

Empresa B

Anunciar Não Anunciar

Anunciar 10 ::: 5 15 ::: 0 Empresa A

Não Anunciar 6 ::: 8 20 ::: 2

Quadro 2. 5 – Matriz de payoffs modificada para o jogo de campanha de

anúncios Fonte: Adaptado de Pindyck e Rubinfeld (2005, p. 474).

2.3.3 O Dilema dos Prisioneiros

O dilema dos prisioneiros ilustra porque é difícil manter a cooperação entre participantes de um jogo, mesmo quando esta é mutuamente benéfica (Mankiw, 2011, p. 354). Este dilema é classificado um jogo com um equilíbrio ineficiente de Pareto, e já havia interessado estudioso de jogos anteriores a John Nash. Nash, contudo, o apresentou em seu trabalho como um exemplo para sua teoria sobre jogos não-cooperativos (MYERSON, 1999).

Diversos autores inclusive Mankiw (2011), Pindyck e Rubinfeld (2005), e Vasconcellos e Guena (2008) apresentam o dilema dos prisioneiros para ilustrar as relações entre os jogos e as situações de não cooperação. Este dilema exemplifica principalmente o problema enfrentado por empresas em mercados oligopolistas (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 455).

De acordo Mankiw (2011, p. 354) o dilema retrata a história de dois criminosos que foram capturados pela polícia; e, neste caso, vamos chamá-los de João e Paulo. Estes dois prisioneiros foram acusados de atuarem em conjunto em um crime. Os personagens estão sendo interrogados em salas separadas e não possuem a opção de se comunicarem. Para facilitar as investigações, a polícia convida cada um a confessar o crime. Se nenhum deles confessar o crime, provas suficientes não poderão ser juntadas de forma que os dois prisioneiros receberão uma pena de apenas um ano de prisão. Entretanto, caso apenas um dos criminosos confesse o crime e o outro não, aquele que confessou será solto e o outro ficará preso por 20 anos. Ainda, se os dois confessarem, os dois serão presos pelo período de 8 anos.

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Faz-se, então, a seguinte pergunta: Qual será o resultado deste jogo? O quadro 2.6 mostra a matriz de payoffs deste jogo. Pode-se observar que a situação ótima para este jogo seria que nenhum dos dois prisioneiros confessasse – assim os dois ficariam presos por apenas um ano, por crimes menores. João e Paulo, contudo, enfrentam um dilema: se os dois pudessem combinar, talvez eles não confessassem; mas eles não sabem qual a ação será tomada pelo seu comparsa de crime. Ao final, independentemente da decisão tomada por João, Paulo possui como melhor opção confessar: se o João confessar, Paulo poderá reduzir sua pena para 8 anos confessando. Caso contrário, se João ficar calado e apenas Paulo confessar, Paulo sairá imediatamente da prisão. O mesmo raciocínio é válido para João, de forma que confessar mostra-se, como visto na subseção anterior, a estratégia dominante.

Contudo, supondo que os prisioneiros pactuassem quanto a manter-se em silêncio, uma vez que eles passassem a ser interrogados em salas separadas, a lógica do interesse próprio, provavelmente os levaria a confessar. Mankiw (2011, p. 355) acrescenta, que mesmo que os criminosos combinassem em não confessar, manter a cooperação entre os prisioneiros seria difícil “porque a cooperação é irracional do ponto de vista individual”.

Quadro 2. 6 – Matriz de Payoffs Dilema do Prisioneiro Fonte: Adaptado de Mankiw (2011, p. 354).

Empresas oligopolistas enfrentam constantemente o dilema dos

prisioneiros. Normalmente elas possuem duas estratégias, ou atuar agressivamente sobre o mercado de forma a conquistar a maior parcela do mercado, ou competir passivamente e “colaborar” com seus

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concorrentes, dividindo o mercado igualmente. Isto poderia ser feito sem a realização de um conluio e formação de um cartel que, como visto na subseção 2.3.1, é uma prática ilegal. Quando as empresas competem passivamente, elas podem ter um lucro maior do que competindo agressivamente, pois restringem a oferta e assim oferecem preços maiores. Não obstante, as empresas se preocupam que, ao competir passivamente, seus concorrentes podem agir agressivamente, na busca por obter uma participação maior no mercado De forma que a cooperação não se torna possível (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 477).

Um exemplo de caso real do dilema dos prisioneiros é mencionado por Mankiw (2011, p.356). O autor referencia o caso do petróleo, em que a Organização dos Países Exportadores de Petróleo (OPEC, do inglês Organization of the Petroleum Exporting Countries), representa um exemplo claro de formação de cartel. Os participantes da OPEC mantêm o preço do petróleo elevado ao restringir a produção de cada país pertencente à organização. Entretanto, após concordarem em reduzir a produção, os países rompem o acordo ao aumentar a produção para conseguir uma parte maior do lucro total. O caso mais claro foi o período de 1973 a 1981, em que o preço do petróleo subiu de 3 dólares o barril, para 35 dólares. A OPEC, contudo, não conseguiu mais manter o acordo após discussões entre os países, e em 1986 o preço do barril já havia caído para 13 dólares. Por outro lado, apesar de ruim para a OPEC, essa falta de acordo beneficia os consumidores de todo o mundo ao permitir um preço reduzido do petróleo. Atualmente, entretanto, o preço do barril de petróleo situa-se em torno de 100 dólares e com grande flutuação de preço em função: da crescente demanda mundial por energia, principalmente China; de guerras nos países árabes (maiores produtores de petróleo); e, da atual instabilidade de conjuntura econômica na Europa e Estados Unidos (OPEC, 2011).

2.3.4 Oligopólio e o equilíbrio antes de Nash

Em seu trabalho, Myerson (1999) aponta que se considerar que: (i) o equilíbrio de Nash pode ser utilizado para analisar estímulos em qualquer instituição social e (ii) a lógica simples deste conceito; parece estranho que a idéia de Nash não tenha se desenvolvido antes, principalmente, nas ciências sociais. O autor, contudo, evidencia que a primeira aplicação clara do conceito de jogos não-cooperativos com um modelo matemático preciso, foi o trabalho do matemático-economista

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francês August Cournot em 1838. O trabalho de Cournot, entretanto, não apresentava uma metodologia de equilíbrio genérico (MYERSON, 1999). Para Leonard (1994), a sequência de teorias genéricas quanto ao equilíbrio, inicia-se no modelo de expansão econômica de von Neumann em 1937, depois passa para Kakutani em 1941 com o teorema do ponto fixo, e finaliza com Nash em 1951.

Cournot apresentou, em 1838, o primeiro tratamento específico de que os preços de mercados competitivos determinam-se pela intersecção das funções de oferta e de demanda (SAMUELSON, 1952). De fato, Cournot foi pioneiro ao assumir que a quantidade consumida de um artigo é função de seu preço – relação que hoje é conhecida como curva/lei de demanda (FISHER, 1898). A partir da lei da demanda, Cournot estudou, inicialmente, o monopólio e determinou qual preço levará a maximização do lucro na venda de um produto. Em seguida, ao passar para o estudo da competição perfeita, Cournot, analisou um estágio intermediário em que poucos ou apenas dois competidores atuam no mercado (FISHER, 1898).

Neste momento, Cournot construiu a teoria do oligopólio que inclui monopolistas e competidores perfeitos como seus limitantes (MYERSON, 1999). Segundo Fisher (1898), ao tratar este problema, Cournot concluiu que o interesse próprio de cada competidor irá provocar um equilíbrio de preços, que será menor que se os competidores realizarem um acordo entre si, mas será maior do que se um terceiro competidor entrar em campo (FISHER, 1898). Cada competidor decide a quantidade a produzir de acordo com a quantidade que ele acredita que o seu competidor produzirá. Essa decisão gerará, para cada competidor, uma curva de reação6 própria; e, ao traçar estas curvas em um sistema de eixos coordenados, o ponto onde estas se interceptarem representa o equilíbrio (figura 2.4) (LEONARD, 1994). Este equilíbrio denota que cada empresa assumiu corretamente quanto cada um de seus competidores irá produzir, e ajustou seu nível de produção de acordo (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 445).

Esta conclusão levou, contudo, a diversas objeções. Isto, porque, a principal premissa do modelo consiste em: cada indivíduo considerará que a quantidade disponibilizada por seu concorrente é constante, e apenas realizará alterações na sua produção para garantir o seu lucro máximo (FISHER, 1989). É, de certa forma, irracional pensar que o

6 A curva de reação representa a relação entre a produção que maximiza o lucro de uma companhia e a quantidade que esta acredita que sua concorrente produzirá (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 444).

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gerente da empresa 1 assumirá que a produção da empresa 2 permanecerá constante, quando ele realizar uma alteração na produção de 1 (MYERSON, 1999). Ainda, outra limitação do modelo do equilíbrio de Cournot, reside no fato de que este modelo não explica a dinâmica do processo de ajuste para se atingir o equilíbrio, apenas demonstra o comportamento das empresas no equilíbrio (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 445).

Figura 2. 4 – Curvas de Reação e o Equilíbrio de Cournot Fonte: Adaptado de Pindyck e Rubinfeld (2005, p. 445).

Outra crítica ao modelo de Cournot foi realizada pelo economista francês Joseph Bertrand em 1883. Bertrand (1883) afirmou que ao invés da quantidade, o preço deve ser considerado a variável estratégica para o equilíbrio. Em sua revisão do trabalho de Cournot, Bertrand contestou a teoria de equilíbrio oligopolista baseada na quantidade ao justificar que: independentemente do preço adotado no mercado, se um produtor baixar o seu preço ele atrairá todos os compradores e maximizará o seu lucro, caso seus concorrentes o deixem agir assim (BERTRAND, 1883 apud MORISSON, 1998). Atualmente, entretanto, é de consenso comum, que se cada rival do mercado assumir que seu concorrente vai deixá-lo agir

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assim, isso levará ao resultado competitivo em que o preço de equilíbrio será igual ao custo marginal (MORISSON, 1998). Por outro lado, acrescenta-se que, no equilíbrio de Cournot os competidores escolhem suas quantidades e esperam, sem tomar qualquer outra ação, que os preços sejam estabelecidos sozinhos pelo mercado – contudo, algumas vezes mostra-se mais fácil para as empresas ajustarem os preços do que as quantidades (SALINÉ, 2000).

Devido a estas discussões hoje é comumente aceito na literatura de organização industrial, que a rivalidade de mercado envolvendo quantidades produzidas como variável estratégica é referida como “Competição de Cournot” ou “Oligopólio de Cournot”; e, a rivalidade envolvendo estratégias de preços é referida como “Competição de Bertrand” (MORISSON, 1998; SALINÉ, 2000). O equilíbrio, independente da competição oligopolista por quantidade ou preço, é chamado, na teoria de jogos moderna, mutuamente de equilíbrio de Nash (MORISSON, 1998). Não obstante, nomeia-se também o equilíbrio oligopolista de Cournot-Nash e Bertrand-Nash em competições envolvendo quantidade e preço respectivamente (MORISSON, 1998).

O livro de Cournot em 1838 foi pioneiro. Porém, apesar de ter analisado primeiro a competição entre companhias que vendem o mesmo produto, e depois um segundo modelo de produtores de matérias complementares para um bem manufaturado; Cournot não demonstrou nenhuma iniciativa de articular uma teoria genérica de equilíbrio (MYERSON, 1999). Iniciativas mais assertivas para compor tal teoria iniciaram com os trabalhos de von Neumann a partir de 1928 em três contribuições importantes (MYERSON, 1999).

De acordo com Myerson (1999) a primeira grande contribuição de von Neumann foi a apresentação da forma normal para representação de jogos extensivos genéricos, e a definição do conceito de independência estratégica. Von Neumann (1928, apud MYERSON, 1999) argumenta que qualquer jogo competitivo pode ser modelado por um jogo matemático composto pela seguinte estrutura: (i) um conjunto de jogadores; (ii) um vetor de estratégias pertencente a cada jogador; (iii) uma função de ganhos (payoffs) representada pelo produto cartesiano desse vetor de estratégias com o conjunto de números reais; e, (iv) a escolha da estratégia de um jogador independentemente da estratégia escolhida pelos outros. Em sua segunda contribuição, von

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Neumann mostrou a existência genérica de soluções minimax7

(utilizando teoremas do ponto fixo) para estratégias randômicas em jogos de duas pessoas finitos de soma zero.

A terceira importante contribuição de von Neumann, ocasionou-se em seu livro junto com Morgenstern (1944, apud Myerson 1999). Este reapresenta os dois conceitos fundamentais da teoria dos jogos descritos a cima: a forma normal e o uso de teoremas do ponto fixo para provar a existência de soluções em jogos randômicos. E mostra uma derivação genérica da utilidade esperada para a tomada de decisões individual: para tanto se utilizou a derivação axiomática da maximização da utilidade esperada de um argumento de substituição. Myerson (1999), entretanto, evidencia que apesar de todas estas novas contribuições para uma teoria unificada de jogos, Morgenstern e von Neumann não aplicaram consistência a elas. Foi Nash que reconsiderou toda a estrutura da teoria dos jogos, desmembrou os elementos e os rearranjou corretamente (MYERSON, 1999).

2.3.5 Definição do Equilíbrio de Nash

Grande parte do trabalho de Nash foi publicada pelo autor em dois artigos principais: em 1950 e 1951 (MAYERSON, 1999). Nash (1951) aponta que von Neumann e Morgenstern devolveram uma teoria frutífera para jogos de duas pessoas com soma zero. Ressalta-se, entretanto, que esta teoria baseia-se nas diversas coalizões e inter-relações que podem ser formadas entre os jogadores: o que caracteriza um jogo cooperativo (NASH, 1951). A teoria apresentada em Nash (1951), em contradição, fundamenta-se: “[...] na abstenção de coalizões em que se assume que cada participante age independentemente, sem colaborar e comunicar com qualquer um dos outros”.

Em seu trabalho, Nash (1950; 1951) apresenta – a partir da forma normal definida por von Neumann (1928) – a representação matemática de um jogo genérico não-cooperativo finito com n jogadores, e demonstra em seu teorema mais importante (teorema 1), que um jogo não-cooperativo sempre possui ao menos um ponto de equilíbrio. Essa formulação genérica da definição do equilíbrio para jogos não-cooperativos evidencia-se a principal contribuição do trabalho de Nash, pois fornece uma metodologia completa para analisar todos os tipos de

7 Estratégia minimax é aquela que maximiza o mínimo ganho possível (PINDYCK; RUBINFELD, 2005, p. 481).

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jogos, estendendo o escopo da análise de decisões racionais para situações competitivas genéricas (MAYERSON, 1999). A teoria de equilíbrio proposta por Nash – comumente chamada de equilíbrio de Nash (MANKIW, 2011, p. 352) – mostra-se de tal forma impactante, que segundo (Kreps, 1990; apud Leonard, 1994):

“atualmente não podemos encontrar um campo da economia (ou disciplinas relacionadas como: finança, marketing, contabilidade e ciências políticas) em que a compreensão do equilíbrio de Nash não seja essencial para a compreensão da literatura”.

Ainda, Rasmusen (1898; apud Leonard, 1994) argumenta que devido à ampla aceitação do equilíbrio de Nash, um leitor sempre pode assumir que o equilíbrio usado em um modelo é o de Nash, caso o modelo não especifique o conceito de equilíbrio adotado. Além dos conceitos descritos acima, o artigo de Nash (1951) demonstra outros quatro importantes teoremas quanto ao problema de equilíbrio não cooperativo:

i. a simetria dos pontos de equilíbrio (teorema 2); ii. a representação e caracterização de uma sub-solução

(solução não única) (teoremas 3 e 4); e, iii. a existência de uma forma geométrica para representar

soluções (teorema 5). Este trabalho, contudo, não utilizará a notação apresentada por

Nash (1951), mas sim aquela revelada por Nagurney (2010, p. 212). Nagurney (2010, p.212) aborda o equilíbrio de Nash do ponto de vista de um problema de inequações variacionais8

¯9, que consiste na

abordagem escolhida para a formulação do modelo proposto nesta monografia. Assim, para unificar as representações matemáticas, utilizar-se-á apenas a formulação de Nagurney (2010, p. 212).

Segundo Nagurney (2010, p. 212) para o equilíbrio de Nash considera-se m jogadores, com cada jogador i dispondo de um vetor de

8 O problema de inequações variacionais é uma formulação genérica para problemas matemáticos. Este é discutido intensamente no trabalho de Nagurney (2010), em que o autor, além de definir a forma genérica e mostrar a representação geométrica do problema de inequações variacionais, relata diversos problemas matemáticos que podem ser apresentados a partir deste conceito, inclusive: os sistemas de equações, os problemas de otimização, o problema de complementaridade, e o problema do ponto fixo. 9 Ainda, a demonstração de que o equilíbrio de Nash satisfaz as inequações variacionais foi realizada por Hartmann e Stampacchia (1966, apud NAGURNEY, 2010) e Gabay e Moulin (1980, apud NAGURNEY, 2010).

62

estratégias ( )1 2, , ...,i i i inx x x=x , onde inx representa a n-ésima

estratégia tomada pelo jogador i, e cada vetor de estratégias ix

é

selecionado de um conjunto (de estratégias) compacto fechado n

iK R⊂ , com uma função utilidade 1:iu K R→ , onde

1 2 ... mn

mK K K K R= × × × ⊂ . A função utilidade iu pode ser escrita

como ˆ( , )i i iu x x e é continuamente diferençável em iK e côncava com

relação à ix , onde ˆix representa as estratégias tomadas pelos jogadores

diferentes de i. Acrescenta-se, também, que a partir da premissa da racionalidade (apresentada na seção 2.3.1), pressupõe-se que cada

jogador i seleciona um vetor de estratégias i iK∈x que maximiza a

utilidade 1 1 1( ,..., , , ,..., )i i i i mu − +x x x x x , dado as decisões ( )j j i≠x dos

outros jogadores. Dessa forma, define-se o equilíbrio de Nash como sendo um

vetor de estratégias ( )* * * *1 2, , ..., m K= ∈x x x x tal que

* * *ˆ ˆ( , ) ( , ), ,i i i i i i i iu u K i≥ ∀ ∈ ∀x x x x x (2.1)

onde ( )* * * * *1 1 1ˆ ,..., , , ...,i i i m− +=x x x x x .

A partir das suposições anteriores, Nagurney (2010, p.212) define

o equilíbrio de Nash por meio de um formulação em inequações

variacionais (teorema 6.1). Nesta definição, *x é um equilíbrio de Nash

se e somente se * K∈x é uma solução do problema de inequações

variacionais: * *( ), 0, F K− ≥ ∀ ∈x x x x (2.2)

onde ( )1 1( ) ( ),..., ( )

m mF u u≡ −∇ −∇x xx x x é um vetor linha em que:

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1

( ) ( )( ) ,...,

i

i ii

i in

u uu

x x

∂ ∂∇ =

∂ ∂ x

x xx .

A prova deste teorema reside na observação de que sendo iu uma

função continuamente diferençável e côncava com relação à ix , a

condição de equilíbrio (2.1) para i fixo é equivalente ao seguinte problema de inequação variacional:

( )* *, 0, i i i i i iu K− ∇ − ≥ ∀ ∈x x x x x , (2.3)

que, se assumido para todos os jogadores i, equivale a (2.2) (NAGURNEY, 2010, p.212).

2.3.6 Modelos de determinação da capacidade segundo a teoria dos jogos

Na seção 2.2 desta revisão descreveu-se o planejamento de capacidade e os diversos modelos existentes para determinação deste. Estas abordagens, contudo, analisam a capacidade sobre a ótica de apenas um agente no mercado. Grenadier (2002) destaca que comumente as análises de estratégias de otimalidade são realizadas isoladamente, e esquece-se das interações competitivas dos mercados. Salienta-se, também, que decisões de investimento de capacidade não são realizadas em um vácuo, e mostra-se essencial para modelos de determinação de capacidade incorporar o comportamento estratégico de todos os jogadores (VAN MIEGHEM, 2003). Van Mieghem (2003) aponta que estas decisões interagem no mínimo com a demanda de clientes externos e, muitas vezes, com mercados de fornecimento. Esses clientes, por sua vez, podem ter acesso a outras empresas e os fornecedores podem, também, suprir outras empresas. Assim, as decisões de capacidade de uma empresa normalmente dependem ou interagem com as decisões de outros agentes econômicos (VAN MIEGHEM, 2003).

Como destacado nesta revisão bibliográfica, quando se trata de uma situação em que alguns (ou poucos) agentes econômicos atuam em mercado, é coerente abordar este problema sob a ótica da competição oligopolista a partir da teoria dos jogos (MANKIW, 2011, p. 352;

64

PINYDCK; RUBINFELD, 2005, p. 473). Além disso, van Mieghem (2003) argumenta que quando o problema de capacidade é divido em diferentes agentes, convém ampliar os métodos de determinação da capacidade para soluções focadas no equilíbrio de Nash. O mesmo autor ressalta a elevada complexidade de modelos baseados no equilíbrio de Nash, e ao cuidado que deve ser tomado para se especificar um modelo tratável de vários jogadores. Por isso, grande parte dos modelos de capacidade baseados em teoria dos jogos restringe-se a um cenário estacionário, em que se determina a otimalidade de um investimento único em capacidade, com foco central em tipo e tamanho da capacidade.

Partindo desta constatação, Van Mieghem (2003) classifica os modelos de capacidade baseados em jogos em dois tipos:

i. Modelos de capacidade com agentes múltiplos e recurso

único: representados essencialmente por um único recurso produtor controlado por um (ou conjunto de) agente(s) produtor(es), que interage(m) com outros agentes desprovidos de recursos produtivos. Esses agentes sem recursos de produção possuem outro ativo econômico de importância para o produtor como: informações de mercado, habilidades de design e marketing, ou decisões de compra;

ii. Modelos de capacidade com múltiplos agentes e

recursos: referem-se a redes onde coexistem diversos agentes com capacidade produtiva. As relações desses modelos podem ser verticais – os agentes controlam diferentes elos em uma cadeia de suprimentos e provoca-se a concorrência entre cadeias –, ou horizontais – companhias paralelas (concorrentes) suprindo um mesmo mercado.

Das duas categorias apresentadas acima, este trabalho limitar-se-á

apenas à segunda. Ainda, Mieghem (2003) afirma que desta, a maior parte dos artigos abordam os modelos horizontais. Neste sentido pode-se citar o trabalho de Loch (1991, apud VAN MIEGHEM, 2003) que considera decisões de preço e capacidade para um duopólio a parir de um modelo de filas. Bashyam (1996) analisa, também, um modelo duopolista, porém para firmas entrando em um novo mercado em que são avaliados dois cenários: quando as firmas escolhem simultaneamente o investimento em capacidade, e quando o fazem sequencialmente. O autor demonstra que antecipar o investimento de

65

capacidade em relação ao competidor é uma boa estratégia, principalmente quando o mercado está altamente otimista ou altamente pessimista.

Grenadier (2002) soluciona modelos genéricos a partir do equilíbrio Cournot-Nash, para determinar o momento ideal de realização de uma estratégia de investimento, como por exemplo: adicionar ou retirar capacidade em um determinado mercado. Segundo o autor, modelos de investimentos como a determinação do valor presente líquido, fornecem resultados mais acurados para o volume de investimento real quando se utilizam análises competitivas a partir do equilíbrio de Nash.

Van Mieghen e Dada (1999) discutem como a competição, incerteza e o momento de realização (postergação) de três importantes decisões operacionais – capacidade, quantidade de produção (estoques) e preço – impactam as estratégias de investimento. Os pesquisadores avaliam as decisões sob incerteza para mercados monopolistas, oligopolistas e perfeitamente competitivos.

Li e Meissner (2011) consideram o problema de determinação de lote para múltiplas empresas, e para tanto analisam três variáveis e seus custos: aquisição de capacidade, produção e níveis de estoque. A partir de um modelo de competição estabelece-se, então, a capacidade de equilíbrio e o respectivo tamanho ótimo de lote que minimiza o custo de produção.

Finalmente, Chuang, Wu e Varaiya (2001) apresentam um modelo não cooperativo de expansão de geração de eletricidade para plantas de produção de diferentes fontes energéticas. O modelo analisa o investimento em geração e a fatia do mercado oligopolista obtido, em relação aos custos e às taxas de falta de abastecimento energético.

Encontra-se, também, na literatura modelos que abordam a capacidade a partir de jogos cooperativos. Aponta-se, assim, o trabalho de Renna e Argoneto (2011) que propõe um mecanismo de coordenação para uma rede de fábricas independentes com o compartilhamento da capacidade. Uma revisão extensa quanto aos modelos cooperativos, entretanto, não é produzida, visto o foco em jogos não-cooperativos desta monografia.

Diante dessa revisão, o capítulo 3, a seguir, evidencia um modelo quantitativo analítico para determinar a capacidade produtiva em um mercado oligopolista não cooperativo.

68

3 MODELO PROPOSTO

Para planejar a capacidade de um fábrica, desenvolveu-se um modelo quantitativo que determina o equilíbrio de Nash para um mercado oligopolista não cooperativo, em participam empresas produtoras (jogadores) de um mesmo produto. O modelo define, assim, a capacidade da instalação para cada empresa, a fim de maximizar a utilidade de sua decisão, dado as decisões tomadas pelos outros jogadores/competidores. A utilidade, neste caso é definida pelo valor presente líquido do investimento, ou seja, o retorno do capital investido.

Este capítulo dedica-se a descrição e formulação do modelo proposto. Para tanto se desenvolvem inicialmente premissas de forma a adequar o modelo a uma situação específica, realizando uma abstração do ambiente real. Com os limites do problema definidos, formula-se, então, o mesmo como um problema de inequações variacionais (como apresentado na subseção 2.3.5). Em seqüência identifica-se e demonstra-se a técnica de solução do modelo.

3.1 PREMISSAS

O modelo proposto restringe-se a determinação da capacidade de uma instalação que produz eletrônicos de consumo. O mercado desses produtos é caracterizado pela alta volatilidade da demanda, curto ciclo de vida do produto, obsolescência rápida de tecnologia, e curtos ciclos de introdução de novos produtos (RENNA; ARGONETO, 2011). Além disso, destaca-se a baixa diferenciação de produtos de uma mesma base tecnológica produzidos por fornecedores diferentes.

Como exemplo de um produto de eletrônica de consumo, este trabalho avalia alguns aspectos dos televisores de LCD para levantar algumas das premissas aplicadas ao modelo. Ainda, o modelo desenvolvido fundamenta-se em cinco premissas: (i) racionalidade; (ii) taxa de mínima atratividade constante; (iii) linearidade das curvas de oferta, demanda e da quantidade investida; (iv) capacidade fixada no início do período do planejamento; e, (v) obsolescência planejada (substituição planejada de tecnologia). As subseções a seguir explicam cada uma dessas premissas.

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3.1.1 Racionalidade

Na elaboração de qualquer tipo de observação analítica dentro das teorias sociais, precisa-se formular um modelo que não só descreva as instituições sociais em estudo, mas também que preveja o comportamento humano nessas situações (MAYERSON, 1999). Neste sentido, assume-se a escolha racional como definição do comportamento humano.

Ao admitir a racionalidade, declara-se que os indivíduos compreendem o ambiente em volta deles de forma inteligente, e assume-se que cada membro da sociedade irá agir – dentro do seu domínio de controle – de forma a maximizar o seu bem-estar, dado o provável comportamento de dos demais indivíduos (MAYERSON, 1999). No modelo aqui construído, considera-se o bem-estar como uma função utilidade que retrata o retorno de capital obtido pelo investimento em capacidade produtiva.

3.1.2 Taxa de mínima atratividade constante

A utilidade, para este modelo, representa-se pela remuneração do capital investido, e escolhe-se o método do valor presente líquido para avaliação da viabilidade (retorno) do investimento. Casarotto e Kopittke (2006, p.116) afirmam que este método objetiva calcular o valor presente dos fluxos de caixas futuros, para somá-los ao investimento inicial e assim confirmar a viabilidade econômico-financeira de um projeto. Para se “trazer” o valor de um fluxo de caixa ao presente, necessita-se de uma taxa de desconto, que neste caso é a taxa de mínima atratividade (TMA) (CASAROTTO; KOPITTKE, 2006, p.116).

A TMA representa a taxa de mínimo rendimento que uma alternativa de investimento deve retornar. Para um investidor, esta taxa deve ser no mínimo equivalente à rentabilidade das aplicações correntes e de pouco risco (CASAROTTO; KOPITTKE, 2006, p.108). O valor da taxa, argumentam Casarotto e Kopittke (2006, p.109), não é fixo e depende de diversos fatores como por exemplo: do prazo dos investimentos, da importância estratégica do investimento, dos juros praticados no mercado, das condições da conjuntura econômica, e do mercado em que a empresa atua. O presente trabalho, entretanto, desconsidera o impacto destes fatores na TMA, e assume uma taxa anual constante que não varia no tempo, e comum a todos os jogadores – todos atuam em um mesmo mercado e por isso devem possuir taxas

70

muito semelhantes. Essa premissa, além de simplificar o equacionamento do modelo, também se fundamenta na observação de uma pequena variação mensal da taxa de juros básica anual determinada pelo Banco Central do Brasil (2011), principalmente nos últimos cinco anos (gráfico 3.1). Variações bruscas são normalmente observadas nas épocas de transição entre período estável e um momento de instabilidade da conjuntura econômica ou política, e vice versa. Salienta-se, por exemplo, o ano de 1999 em que a taxa de juros básica anual brasileira iniciou o ano em 42% e finalizou com 19% (BANCO CENTRAL DO BRASIL, 2011); o presente estudo, entretanto, não incorpora estas situações.

Gráfico 3. 1 – Variação da taxa de juros básica anual estipulada pelo Banco

Central do Brasil. Fonte: Gráfico elaborado pelo autor (2011) a partir de dados históricos Banco Central do Brasil (2011).

3.1.3 Linearidade das curvas de oferta, demanda, e da quantidade investida

Em qualquer situação competitiva, antes de se determinar o equilíbrio para os jogadores, necessita-se compreender os mecanismos do mercado onde os jogadores competem. Parte-se, assim, da quantidade demandada do produto e de sua respectiva oferta (PINDICK; RUBINFELD, 2005, p. 23). Mankiw (2011, p.67) ressalta, entretanto,

71

que o preço do bem representa o principal fator que determina a sua demanda. Ou seja, deve-se analisar, então, a relação entre quantidade e preço; o mesmo raciocínio vale para a oferta, porém relaciona-se a quantidade ofertada com o custo marginal de produção. A estas relações dá-se o nome de curva de demanda (ou lei da demanda) e curva de oferta (ou lei da oferta) respectivamente (MANKIW, 2011). Estas curvas medem a disposição de compra (quantia máxima que o indivíduo paga por um bem) e de venda de um produto (quantia que excede os custos de produção do bem) (MANKIW, 2011, p. 140).

A reunião destas duas curvas em uma mesma análise é de extrema importância, pois permite determinar: (i) o excedente do consumidor: a quantia que um comprador está disposto a pagar por um bem, menos a quantia que realmente paga por ele; (ii) o excedente do produtor: a quantia que este recebe por um produto menos seu custo marginal de produção; e, (iii) o equilíbrio dos mercados (MANKIW, 2011, p. 141).

Estas duas curvas não possuem uma determinação simples, principalmente a curva de demanda. Esta representa uma descrição do desejo humano e nem sempre segue uma função claramente definida. Em virtude disso, o uso de uma função linear para modelar a curva de oferta ou demanda de um produto, mostra-se amplamente utilizada na literatura econômica (PERRONE et al., 2002). O mesmo conceito é adotado neste modelo, consideram-se as curvas inversa de oferta e

inversa de demanda funções lineares do tipo ( )f x ax b= + , em que a

(coeficiente angular) e b (constante) são números reais, e não se alteram no decorrer do tempo.

Outra importante premissa incorporada ao modelo proposto nesta monografia revela-se a linearidade da quantidade investida. Stevenson (2001, p. 161) aponta que os investimentos em capacidade são feitos em blocos. Adota-se esse mesmo padrão aqui: o investimento de capacidade é uma função linear fixa – para cada unidade de produto acrescentada à capacidade, há um acréscimo I no investimento.

3.1.4 Capacidade fixada no início do período de planejamento

A capacidade produtiva Q é fixada no início de cada período de planejamento para todo o ciclo de vida do produto. Não se considera a possibilidade de alteração da capacidade (expansão ou redução) no decorrer do ciclo de vida do produto. Assim, a capacidade de todos os

72

jogadores, uma vez instalada, deverá ser suficiente para absorver a demanda. A justificativa para esta suposição se expressa na estabilidade do mercado modelado: a demanda varia a uma taxa constante, e não existem novos entrantes, isto é, a quantidade de empresas concorrendo não se altera após o período inicial ( 0t = ).

3.1.5 Obsolescência planejada

Em pesquisa realizada pela DisplaySearch (2011) identifica-se que os televisores de LCD têm uma taxa de troca muito maior do que os antigos televisores tubo de raio catódico. A principal razão desta alta taxa de troca é a obsolescência tecnológica – novas tecnologias permitem melhor desempenho (qualidade da imagem) e a produção de telas em tamanhos maiores.

Estágio do ciclo de vida

Introdução Crescimento Maturidade Declínio

Custo Alto Médio Baixo Baixo

Preço

Custos

adicionados

de margem

Preço de

penetração

do mercado

Preço de

cooperação

ou ataque

Preço

reduzido

Quadro 3. 1 – Características do ciclo de vida do produto: preço e custo. Fonte: Adaptado de Kotler e Philip (1991).

Ainda, DisplaySearch (2010, apud CONLON, 2010) apresenta

uma pesquisa de preços de televisores de LCD de 2006 a 2009. Nesta, denota-se que o preço dos televisores em 2009 reduziu-se, em média, a um valor que representa de 60 a 80 por cento do preço praticado em 2006. Segundo Conlon (2010), a principal característica que pode levar a essa conduta de preços é, além da redução dos custos relacionados à produção, a dinâmica do comportamento dos consumidores. O autor argumenta que à medida que se consome um produto, a distribuição dos consumidores altera-se. Assim, os produtores sentem-se encorajados em realizar uma estratégia de preços temporal: inicialmente coloca-se o preço elevado e vende-se apenas aos compradores que mais valorizam o

73

bem; depois, reduz-se o preço e vende-se para os consumidores que mais estimam o produto na população restante. Paralelamente a estratégia indicada acima, a dinâmica dos estágios do ciclo de vida do produto também incentiva o produtor a adotar estratégias de redução de preços – conforme retrata o quadro 3.1 (KOTLER; PHILIP, 1991).

Com base nas informações acima, supõe-se neste modelo que o produto em questão possui “obsolescência planejada”. Tendo consciência da obsolescência tecnológica e do comportamento dos consumidores, os produtores, então, “pré-determinam” o ciclo de vida do produto e reduzem o preço gradualmente durante ciclos de tempo até um mínimo – onde o preço do bem se iguala ao custo marginal de produção.

3.2 FORMULAÇÃO DO MODELO DE DETERMINAÇÃO DE CAPACIDADE

Este modelo objetiva determinar a capacidade Q de produção de uma instalação, e diante disso baseia-se na máxima remuneração do capital investido em capacidade. Inicialmente determinar-se-á o equacionamento para apenas uma fábrica e depois se generalizará este para um modelo oligopolista (figura 3.1).

A formulação parte de duas funções principais: a curva inversa de demanda e a curva inversa de oferta. A curva inversa da demanda é descrita pela equação (3.1):

( , )D t Q A B t Q= + ⋅ ⋅ (3.1)

onde:

( , )D t Q – curva inversa de demanda que representa o preço do

produto para a capacidade produtiva Q disponível no período t ;

A – constante equivalente ao máximo valor que um comprador estaria disposto a pagar pelo produto; B – coeficiente angular: demonstra a taxa de variação do preço com relação à quantidade. O coeficiente é, por definição, negativo, visto que existem mais compradores dispostos a pagar um valor baixo pelo produto; Q– capacidade da fábrica em unidades; e,

74

t – período de tempo em anos, representado por um número inteiro não negativo.

Já a inversa curva de oferta, retrata-se por meio do custo marginal de produção CMg . Representa-se esta por uma função constante, isto é,

não sofre variação com a modificação da quantidade (Q ), nem com a

alteração do período ( t ). Na figura 3.1 traçam-se as curvas de demanda (em azul) e de custo marginal (em vermelho).


para apenas um produtor. Fonte: o Autor (2011).

Salienta-se, também, que as variáveis Q e t não são

independentes. A quantia Q , além de especificar a capacidade da

fábrica disponível para o período t , também se relaciona com a quantidade de períodos t necessários para atender toda a demanda – ou

75

seja, o tempo de vida do projeto em anos. Assim, por exemplo, se a capacidade Q for igual a 1 unidade por ano e a demanda total ao longo de toda a vida do produto representar 15 unidades, serão necessários 15 anos ( 15t = ) para atender toda a demanda existente. Isto acontece, porque Q não representa o somatório da demanda do produto durante todo o seu ciclo de vida, mas sim uma capacidade fixa suficiente para atender parte da demanda total em um período de tempo t . A premissa da obsolescência planejada pressupõe que Q é uma quantidade

suficiente para atender, inicialmente, – durante o período 1t = – os consumidores que mais valorizam o produto (aqueles que estão dispostos a pagar o maior valor por ele). Quando os clientes de maior valor forem atendidos, reduz-se o preço dos produtos, e a quantia Q passa a atender os indivíduos que mais estimam o produto na população restante. Este ciclo repete-se, então, até o ponto em que o preço do produto torna-se igual ou muito próximo ao custo marginal de produção.

A figura 3.1 representa graficamente a sistemática descrita acima: a quantia Q atende, no período 1t = , a demanda com disposição para

comprar o produto por um preço (1, )D Q . No período 2t = , a quantia

Q atende a demanda disposta a pagar o preço equivalente à (2, )D Q , e assim sucessivamente.

Tendo definido a oferta, a demanda, a capacidade de fábrica e a sua relação com o período t , emprega-se o conceito do valor presente líquido – que se preocupa em calcular o valor presente dos fluxos de caixa futuros – para determinar da função de ganho/utilidade. Os fluxos de caixa futuros equivalem-se ao excedente do produtor P para cada

período t . O excedente tP pode ser definido, como na equação 3.2, pela

diferença entre o preço pago pelo comprador (equação 3.1) e o custo marginal do produtor, multiplicado pela quantidade Q vendida.

( ) MgtP A tB Q C Q= + ⋅ − ⋅ (3.2)

Neste estudo de capacidade só serão aceitas entradas de caixa

positivas. Assim, quando o custo marginal for igual ou menor ao preço não se deverá mais considerar entradas de caixa, pois a produção será descontinuada. Então se tem:

76

( ){ }max 0; MgtP A tB Q C Q= + ⋅ − ⋅ (3.3)

O cálculo do valor presente líquido para um investimento prevê o

somatório de todos os fluxos de caixas futuros descontados pela TMA, subtraídos pelo investimento inicial em capacidade. Assim tem-se o seguinte equacionamento:

( ){ }1

1max 0; Mg

(1 )

N

tt

G A tB Q C Q I Qθ=

= + ⋅ − ⋅ − ⋅ +∑

(3.4)

onde: G – função de ganho/utilidade; θ – taxa de mínima atratividade (TMA) anual que desconta os fluxos de caixa futuros; I – custo de investimento unitário em capacidade.

O equacionamento acima (equação 3.4) representa a função de ganho para o investimento em apenas uma única fábrica. Para o oligopólio, entretanto, não existe apenas uma única função de maximização e sim várias – cada jogador procura maximizar a sua utilidade dado a decisão dos demais jogadores. Assim não é possível solucionar o equilíbrio de Nash a partir de métodos mais difundidos como aqueles que envolvem programação não linear. Diante disso, transforma-se o problema de oligopólio estudado um problema de inequação variacional (VIP), como sugerido por Nagurney (2010, p.212) e descrito no capítulo 2. Tanto a representação em forma de inequação variacional quanto a técnica de solução serão discutidos na seção 3.3 a seguir.

3.3 TÉCNICA DE SOLUÇÃO PROPOSTA

Conforme apontado na subseção 2.3.5, o método proposto por Nagurney (2010, p. 212) será utilizado para formulação e resolução do modelo proposto nesta monografia. Esta escolha reside no fato de que não se encontrou outros métodos para solução do equilíbrio de Nash. Uma alternativa seria otimizar independemente a função utilidade de

77

cada jogador sucessivamente considerando a decisão os demais jogadores. Isto, contudo, exigira a resolução de n problemas de programação não linear de maximização até que a diferença entre a solução do problema 1n − e do n-ésimo problema seja aceitável. Ao invés de solucionar de um único problema de inequações variacionais.

O teorema 6.1 apresentado por Nagurney (2010, p. 212) sugere

que *x

é um equilíbrio de Nash se e somente se *

x K∈ é uma solução

do problema de inequações variacionais (2.2).

Neste caso a função utilidade ( )i

u x é equivalente a função de

ganho ( )G Q definida na seção anterior (equação 3.4) para apenas um

produtor. Assim, o gradiente de G poder ser definido como a derivada parcial de G em função da capacidade Q :

( ){ }1

1max 0; Mg

(1 )

N

tt

GA tB Q C Q I Q

Q Q θ=

∂ ∂= + ⋅ − ⋅ − ⋅ = ∂ ∂ +

∑

( ){ }[ ]

( )

[ ]

1

2 1

1max 0; Mg

(1 )

N

tt

A tB Q C Q I QQ Qθ=

∂ ∂= + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ∂ ∂∑

��

(3.5)

Derivando [1] obtém-se:

( )I Q IQ

∂⋅ =

∂ (3.6)

Antes de se derivar [2], destaca-se que, como se consideram

apenas os fluxos de caixa positivos, a diferença entre o preço do produto e o custo marginal deve ser maior ou igual que 0, então:

( ) Mg 0A t B Q C+ ⋅ ⋅ − ≥

Mgt B Q A C⋅ ⋅ ≥ − +

78

MgA Ct

B Q

−≤ − ⋅

(3.7)

Reorganizando a equação 3.5 parte [2], tem-se:

( )2 MgA Q t B Q C QQ

∂⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

∂

Sendo assim ao derivar [2], encontra-se:

[ ]

[ ]

Mg2 Mg , 3

Mg0 , 4

A CA t B Q C se t

B Q

A Cse t

B Q

−+ ⋅ ⋅ ⋅ − ≤ − ⋅

= − > − ⋅

(3.8)

Finalmente, pode-se escrever:

( )1

12 Mg

(1 )

N

tt

GA t B Q C I

Q θ=

∂= + ⋅ ⋅ ⋅ − −

∂ +∑ (3.9)

onde:

MgA CN

B Q

− = −

⋅

Para representar o oligopólio, generaliza-se a situação

equacionada em 3.9 para um ambiente onde mais de uma companhia interage, cada uma oferecendo no mercado uma capacidade disponível – a figura 3.2 ilustra a extensão do modelo para três firmas oligopolistas. Salienta-se ainda que, para apreciar apenas os fluxos de caixa positivos, modela-se o oligopólio apenas para os casos em que a condição proposta na equação (3.7) revela-se verdadeira. Assim, a equação (3.2) pode ser reescrita para cada jogador i como:

79

,1

Mgm

r

t r i r

i

P A t B Q C Q=

= + ⋅ − ⋅

∑ (3.10)

onde:

1

m

i

i

Q=

∑ – a capacidade total disponível (dos m jogadores) no mercado;

MgrC – o custo marginal do jogador r; e,

rQ – capacidade produtiva do jogador r.


para um oligopólio com três produtores. Fonte: o Autor (2011).

Defini-se, então, a função de ganho ( )r rG G Q= para o

oligopólio como:

80

2

1

1Mg

(1 )

1Mg

(1 )

r r

r r r i r rtt i

Nr r

r r r i r r rtt i r

G A Q Q tBQ C Q I Q

G A Q Q tBQ tBQ C Q I Q

θ

θ= ≠

= ⋅ + − − +

= ⋅ + + − − +

∑ ∑

∑ ∑

(3.11)

em que:

rI – custo unitário do investimento em capacidade do jogador r.

A representação do modelo como um problema de inequação

variacional exige a determinação do gradiente da função utilidade, que é equivalente ao calculo derivada parcial para cada

rQ :

1

12 Mg

(1 )

Nr rr

i rtt i rr

GA tBQ tBQ C I

Q θ= ≠

∂ = + + ⋅ − − ∂ + ∑ ∑

1

1Mg

(1 )

Nr rr

i rtt ir

GA tBQ tBQ C I

Q θ=

∂ = + + − − ∂ + ∑ ∑ (3.12)

Usando este resultado, monta-se o VIP para o modelo como

segue:

1 11

1 1 *1 1

*

1 1

*

1 1

1Mg

(1 )

1Mg ,

(1 )

1Mg

(1 )

N m

itt i

N mr r

i r r rtt i

m mN mm m

i mtt i

A tBQ tBQ C I

Q Q

A tBQ tBQ C I Q Q

Q Q

A tBQ tBQ C I

θ

θ

θ

= =

= =

= =

− + + − + +

− + + − + − +

− + + − + +

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

⋮⋮ ⋮

⋮ ⋮⋮

0

≥

(3.13)

com 0i

Q ≥ .

81

Dado que o problema proposto no modelo constitui um equilíbrio de Nash para o oligopólio, e que este se formula como um problema de inequação variacional, utilizar-se-á o algoritmo de projeção apresentado por Nagurney (2010, p.54) e descrito no anexo B deste trabalho para solucionar o modelo proposto. O algoritmo caracteriza-se por dar um passo na direção de crescimento da função, projetando o resultado desta operação no conjunto de estratégias viáveis. A direção de crescimento, aqui adotada, é o gradiente da função de ganho dos diversos produtores. Para o passo, estipulou-se um valor entre 0,05 e 0,00001 dependendo da simulação realizada. O tamanho do passo foi obtido experimentalmente, visto que a diminuição deste valor pode resultar em um tempo computacional muito grande, enquanto seu aumento, por outro lado, pode provocar a não convergência do modelo, de modo que este fique alternando entre valores acima e abaixo da solução ótima.

3.4 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

A implementação computacional do modelo favoreceu-se de uma planilha eletrônica baseada no software. Para tanto, empregou-se a linguagem disponível no software para escrever o equacionamento desenvolvido no capítulo 3. Nesta planilha, cada equação do modelo, ou parte desta, fica endereçada a uma célula, que é calculada para apresentar os resultados numéricos do modelo. Paralelamente, beneficiou-se da programação em Visual Basic inclusa no Microsoft Excel®, para programar a execução as iterações do algoritmo de projeção necessárias à solução do modelo. A estrutura da planilha eletrônica utilizada para a implementação do modelo é apresentada no apêndice A deste trabalho.

Mediante o modelo construído e a sua implementação computacional, o próximo capítulo apresenta uma solução numérica para o problema proposto.

82

4 RESULTADOS NUMÉRICOS

Para avaliar o comportamento do modelo elaborado, construiu-se um estudo de caso com dados fictícios. A solução deste estudo de caso prestou-se não só para demonstrar a funcionalidade do modelo, mas também para avaliá-lo com relação à sensibilidade de suas variáveis. Para tanto, foram selecionadas algumas variáveis e observaram-se os impactos dessas no resultado do modelo, principalmente no que se refere à saturação do mercado. Destaca-se a importância desta fase, pois permitiu a compreensão dos mecanismos de funcionamento do mercado oligopolista estudado.

4.1 ESTUDO DE CASO BÁSICO

O estudo de caso construído envolve uma curva de demanda com o parâmetro A (constante) igual a 100 e B (coeficiente angular – taxa de decrescimento da demanda) igual a -0,1. Para a TMA foi adotado um valor constante 12%θ = ao ano, com base nas taxas de juros estabelecidas pelo Banco Central do Brasil (2011) de 2006 a 2011 conforme apresentado no gráfico 3.1 da subseção 3.1.2. Os demais parâmetros do modelo: custo marginal MgC e investimento unitário em

capacidade I , estão subordinados a cada jogador r, e são ilustrados no quadro 4.1.

Empresa1 Empresa2 Empresa3

MgrC 5,0 5,5 4,5

rI 250 300 270

Quadro 4. 1 – Custo marginal e investimento unitário para cada jogador Fonte: o Autor (2011).

Estes dados e o modelo construído no capítulo anterior

possibilitaram encontrar um resultado numérico para o problema proposto. O quadro 4.2 mostra a solução calculada para o problema de capacidade, apresentando a capacidade de cada empresa, o percentual de capacidade em relação ao total do mercado, o valor presente líquido e a taxa interna de retorno do investimento (TIR). Esta solução, que apresenta caráter fictício, tem como objetivo principal demonstrar a

83

funcionalidade e convergência do modelo, ao invés de obter um valor numérico específico. Neste sentido, observa-se claramente nos resultados apresentados, que estipulada a demanda e a TMA iguais para todos os jogadores, a empresa que disponibiliza mais capacidade e assim obtém maior participação no mercado, é aquela que possui o maior potencial de remuneração do capital investido, ou seja, aquela que possui a melhor combinação10 entre investimento e custo marginal (Empresa 1).

Empresa1 Empresa2 Empresa3 TOTAL

rQ 31,77 15,25 26,51 73,52

r totalQ Q em %

43% 21% 36% 100%

Valor Presente Líquido

(VPL) 3244 747 2259 –

TIR anual 24% 17% 21% –

Quadro 4. 2 – Resultado do estudo de caso básico: capacidade de cada

jogador, participação na capacidade total, valor presente líquido e TIR.

Fonte: o Autor (2011). Além dos valores individuais para cada empresa, a solução

numérica encontrada estima em 12 anos o tempo de vida do projeto no mercado. Como visto durante a elaboração do modelo, além deste tempo, o projeto torna-se inviável, pois as entradas de caixa passam a ser negativas.

Com o objetivo de compreender as características intrínsecas do problema de capacidade para um mercado oligopolista, este estudo de caso básico servirá como condição ceteris paribus para as análises de sensibilidade quanto ao custo marginal, ao investimento, à TMA, à saturação do mercado sem os custos administrativos fixos, e à saturação do mercando quando existem custos administrativos, produzidas nas seções seguintes deste capítulo.

10 A melhor combinação é aquela que resulta na maior renumeração do capital investido. Indicativos para a relação entre custo marginal e investimento que resulta na melhor combinação, são abordados durante a análise de sensibilidade realizada nas seções 4.2 e 4.3 desta monografia.

84

4.2 CASO I – SENSIBILIDADE AO CUSTO MARGINAL

Mantidas as condições ceteris paribus do caso básico, este caso I varia o custo marginal da Empresa 1 (empresa com o melhor desempenho no caso básico), com reduções de 30%, 50% e 90%, e incrementos de 30%, 70%, 120%, 200% e 500% ao valor original. Os resultados deste caso são apresentados na tabela 4.1, na qual a primeira coluna contém as proporções em relação ao valor original do custo marginal e seu respectivo valor. As demais colunas mostram, para cada empresa, a capacidade (

rQ ), a participação no mercado (

r totalQ Q ), o

valor presente líquido (VPL), a taxa interna de retorno (TIR) e o tempo de duração do projeto em anos ( t ), de acordo com os diferentes valores de custo marginal da Empresa 1.

Observa-se na tabela 4.1 que a variação do custo marginal impacta a capacidade disponibilizada no mercado e a participação individual de cada empresa; aumentando o custo marginal da empresa, diminui-se a participação desta no mercado. Esta conclusão pode ser analisada de forma clara no gráfico 4.1, que mostra um caso extremo: quando o custo marginal sofre um aumento de 500%11 (CMg = 30), a Empresa 1 torna-se de tal forma ineficiente, que não investir neste mercado evidencia-se a melhor decisão.

Ao analisar a tabela 4.1, também se conclui que, quanto maior o custo marginal, mais o valor da TIR aproxima-se da TMA, isto é, reduz-se o retorno do investimento. Outra observação importante é relativa ao tempo de vida do projeto: quando a Empresa 1 possui eficiência máxima – custo marginal igual a 0,5 –, seu projeto tem 13 anos de duração contra apenas 12 anos das demais empresas participantes do oligopólio. Quando o custo marginal da Empresa 1 sobe para 30, esta tem como melhor alternativa não atuar neste mercado, enquanto as Empresas 2 e 3 permanecem neste por 16 anos.

Finalmente, o caso I demonstra a importância das empresas controlarem o seu custo marginal e mantê-lo em um nível tão baixo quanto possível. Neste sentido, podem-se citar as diversas técnicas gerenciais pertencentes à Engenharia de Produção que promovem a diminuição do custo marginal ao racionalizar a produção e reduzir os desperdícios, tais como: práticas de manufatura lean, de métodos de

11 Aumentos dessa magnitude no custo marginal representam, por exemplo, situações em que a empresa está localizada fora do seu mercado de consumo, e existe o aumento dos custos logísticos devido a estoques, transportes e impostos.

85

otimização, ou técnicas pertencentes à programação e controle da produção.

Tabela 4. 1 – Resultados do Caso I

CMg

(Empresa1) Empresa r

Q r totalQ Q VPL TIR t

1 35,9 48% 4524 26% 13

2 13,9 19% 619 16% 12 10% – 0,5

3 25,1 34% 2031 21% 12

1 33,1 45% 3859 25% 13

2 14,8 20% 703 17% 12 50% – 2,5

3 26,0 35% 2181 21% 13

1 32,7 45% 3751 25% 13

2 14,8 20% 768 17% 12 70% – 3,5

3 25,2 35% 2223 21% 12

1 30,6 43% 3294 24% 13

2 15,5 22% 841 17% 13 100% – 5

3 25,8 36% 2346 21% 13

1 28,6 40% 2866 23% 13

130% – 6,5 2 16,2 23% 917 17% 13

3 26,5 37% 2472 22% 13

1 27,6 39% 2451 22% 12

2 16,5 23% 953 17% 13 170% – 8,5

3 26,8 38% 2531 22% 13

1 24,0 34% 1851 21% 12

2 17,7 25% 1098 18% 13 220% – 11

3 28,0 40% 2764 22% 13

1 19,2 29% 1179 19% 12

2 19,0 28% 1377 19% 14 300% – 15

3 28,7 43% 3125 23% 14

1 0,0 0% 0 – 0

2 24,8 43% 2659 21% 16 600% – 30

3 33,3 57% 4806 25% 16

Fonte: o Autor (2011). Acrescenta-se, ainda, que quando se realiza a avaliação do custo

marginal deve-se, também, considerar os níveis de preço. Nos dados utilizados no caso básico, o valor do preço é muito superior ao valor do custo marginal: no melhor caso – redução de 90% do custo marginal – o custo marginal evidencia-se 100 vezes menor que o preço médio do produto durante toda a vida do projeto, e no caso mais desfavorável –

86

aumento de 500% do custo marginal – o custo marginal atinge um valor equivalente a 60% do preço médio do produto. Por isso, reduções de até 90% no valor do custo marginal e aumentos de até 200% têm uma influência tênue nos resultados do modelo, ou seja, quando o preço é elevado com relação ao custo marginal, pequenas ineficiências da empresa têm efeitos de menor relevância. Porém, em outros casos, como o aumento de 500% do custo marginal simulado, a análise dos preços torna-se indispensável.

Gráfico 4. 1 – Caso I – relação entre a capacidade total disponibilizada

anualmente no mercado, a parcela do mercado de cada empresa, e os diferentes custos marginais da Empresa 1.

Fonte: o Autor (2011).

4.3 CASO II – SENSIBILIDADE AO INVESTIMENTO UNITÁRIO

Neste caso II, mantidas as condições ceteris paribus do caso básico, realizar-se-ão alterações no custo de investimento unitário (I) da empresa que melhor desempenha no caso básico: a Empresa 1. Essas variações seguirão o mesmo padrão utilizado no caso I: reduções de 30%, 50% e 90%, e incrementos de 30% e 70% ao valor original.

87

A tabela 4.2 apresenta os resultados numéricos do modelo para o caso II. Esta solução aponta que o valor do investimento unitário representa um impacto relevante na capacidade disponibilizada ao mercado. Por exemplo, caso a Empresa 1 reduzisse seu custo de investimento em 90%, o investimento nesse mercado para os demais competidores tornar-se-ia desinteressante, e a Empresa 1 monopolizaria o mercado. De forma semelhante, caso o custo de investimento da Empresa 1 verifique um aumento de 70%, esta deixaria de investir no mercado em estudo. Estes resultados de capacidade e participação no mercado são retratados no gráfico 4.2.

Tabela 4. 2 – Resultados do Caso II

Investimento ( )I Empresa r


1 115,0 100% 25688 320% 8

2 0,0 0% 0 0% 0 10% – 25

3 0,0 0% 0 0% 0

1 70,6 80% 12920 57% 10

2 2,0 2% 10 13% 10 50% – 125

3 15,7 18% 642 17% 10

1 52,4 64% 7977 38% 11

2 8,4 10% 203 15% 11 70% – 175

3 20,7 25% 1248 19% 11

1 31,8 43% 3244 24% 13

2 15,2 21% 747 17% 12 100% – 250

3 26,5 36% 2259 21% 12

1 14,8 23% 830 17% 14

2 20,5 31% 1595 19% 14 130% – 325

3 30,1 46% 3450 23% 14

1 0,0 0% 0 – 0

2 24,8 43% 2659 21% 16 170% – 425

3 33,3 57% 4806 25% 16

Fonte: O Autor (2011). Verifica-se ainda que, investimentos mais altos contribuem para

que o valor da TIR aproxime-se da TMA, e aumentam o tempo de vida do projeto. Observa-se, também, que os resultados do caso II são semelhantes aqueles apresentados pelo caso I. Entretanto, apesar do caso II considerar variações de investimento unitário proporcionais às variações de custo marginal do caso I, as variações de investimento representam um impacto maior ao mercado. Isto é motivado pela

88

natureza diferente destas duas variáveis: o investimento está diretamente ligado aos custos fixos e ao capital imobilizado da empresa como terrenos, edificações e equipamentos; já o custo marginal conecta-se com os custos variáveis.

Gráfico 4. 2 – Caso II – relação entre a capacidade total disponibilizada

anualmente no mercado, parcela do mercado de cada empresa, e os diferentes custos de investimento da Empresa 1.

Fonte: o Autor (2011). Do ponto de vista da conjuntura econômica, contudo, variações

no custo marginal de produção são mais prováveis, visto que estas dependem das decisões gerenciais de cada empresa; enquanto, o custo de investimento depende de condições econômicas gerais, que estão aplicadas a todos os concorrentes de um mesmo mercado. Não obstante, as empresas constantemente buscam reduzir seus custos de investimento ao se instalarem em países diferentes ou procurarem incentivos governamentais; e conforme evidenciado neste caso II, tais oportunidades podem justificar ou não a realização de um investimento.

89

4.4 CASO III – SENSIBILIDADE À TMA

O caso III apresenta a variação da TMA, mantidas as condições ceteris paribus do caso básico. A TMA é uma taxa relativa ao segmento de mercado no qual as empresas estão inseridas e por isso, sua variação influencia diretamente todos os competidores simultaneamente. Assim, como no caso I e II, implementar-se-á as alterações da TMA por meio de reduções de 30%, 50% e 90%, e incrementos de 30%, 70%, 120% ao valor original.

Tabela 4. 3 – Resultados do Caso III

TMA

(Empresa1) Empresa r


1 37,5 39% 5866 17% 9

2 24,5 26% 2504 10% 9 10% – 1,2%

3 33,7 35% 4744 15% 9

1 33,3 40% 4737 21% 11

2 20,7 25% 1826 14% 11 50% – 6,0%

3 29,5 35% 3728 18% 11

1 33,3 41% 4038 22% 12

2 18,6 23% 1262 15% 12 70% – 8,4 %

3 28,8 36% 3015 19% 12

1 31,8 43% 3244 24% 12

2 15,2 21% 747 17% 12 100% – 12,0%

3 26,5 36% 2259 21% 12

1 29,6 46% 2583 26% 14

130% – 15,6% 2 11,7 18% 403 19% 14

3 23,8 37% 1664 23% 14

1 27,5 51% 1829 28% 17

2 5,8 11% 83 22% 17 170% – 20,4%

3 20,2 38% 987 26% 17

1 23,8 64% 1005 32% 25

2 0,0 0% 0 – 0 220% – 26,4%

3 13,6 36% 329 29% 25

Fonte: o Autor (2011) A tabela 4.3 – conforme o padrão utilizado nos casos I e II –

consolida os resultados numéricos do modelo para o caso III. Ainda, o gráfico 4.3 desenha as diversas variações da TMA e seu efeito na capacidade individual de cada empresa. Esse gráfico evidencia um estado diferente dos outros casos (I e II), em que o aumento do valor das

90

variáveis provocava a inversão da situação das empresas, isto é, a empresa mais eficiente torna-se menos eficiente, e vice-versa. No caso III, entretanto, o incremento do valor da TMA reforça o posicionamento de cada empresa: a Empresa 1 passa a obter cada vez mais participação no mercado, ou seja, torna-se ainda mais eficiente quando comparada com as demais; a Empresa 2, que se revela a menos eficiente das três empresas, passa a ter desinteresse nesse tipo de investimento; e, a Empresa 3 estabiliza a sua situação com relação à participação no mercado. Isto demonstra que o aumento do custo do capital beneficia a empresa mais eficiente do mercado. Ainda, outros três efeitos são observados decorrentes do crescimento da TMA: (i) a diminuição da capacidade total disponível no mercado por ano, o que implica no aumento do preço e do período de vida do projeto; (ii) o aumento da TIR; e, (iii) a redução do VPL, comprovando que quanto maior é a expectativa dos jogadores em relação ao retorno do investimento, menos atrativo este se torna, pois melhores alternativas de investimento, que apresentarem melhor remuneração ou menor risco, podem ser encontradas.

Gráfico 4. 3 – Caso III – relação entre a capacidade total disponibilizada

anualmente no mercado, a parcela do mercado de cada empresa, e a variação da TMA.


91

Paralelamente mostra-se, também, que – conforme apresentado

no gráfico 4.4 – o tempo de vida do projeto é sensível às três variáveis: TMA, investimento e custo marginal. Esse gráfico mostra a modificação do prazo médio de vida do projeto das três empresas de acordo com as reduções de 30%, 50% e 90%, e os incrementos de 30% e 70% ao valor original dos parâmetros analisados nos casos I, II e III. Sempre que existe uma situação de mercado mais desfavorável, a tendência é de reduzir a quantidade total disponibilizada por período (gráficos 4.1, 4.2 e 4.3), o que provoca o aumento do prazo de vida dos projetos, de forma a obter preços mais altos e tentar melhorar o retorno sobre o investimento. Observa-se, ainda, que a variação do custo marginal contribui brandamente para a mudança da idade dos projetos, quando confrontada com as modificações causadas pelas outras duas variáveis. Em contrapartida, apesar de incorrerem variações de até 100% no prazo de vida do projeto e reduções na quantidade anual disponibilizada, há uma pequena variabilidade na quantidade total de produtos fornecida ao mercado durante toda a vida do projeto (gráfico 4.5)

Gráfico 4. 4 – Comparação entre os ciclos de vida médios dos projetos

segundo a variável analisada nos Casos I, II e III respectivamente.


92

Gráfico 4. 5 – Comparação entre as quantidades totais providas ao

mercado ao final da vida dos projetos segundo a variável analisada nos Casos I, II e III respectivamente.


4.5 CASO IV – SENSIBILIDADE À SATURAÇÃO DO MERCADO SEM O CUSTO FIXO DE ADMINISTRAÇÃO

Este quarto caso analisa os efeitos da saturação do mercado para o problema estudado. A premissa básica desta análise é que o mercado não se sustenta indefinidamente com o acréscimo de novos entrantes no mercado. Neste sentido, toma-se os parâmetros de custo marginal e investimento da Empresa 1 – empresa com melhor desempenho no caso básico –, e replicam-se os dados para todas as empresas do mercado. Simula-se, assim, um mercado com a inserção gradual de novos jogadores, onde todos possuem os mesmos parâmetros, para: 3, 5, 10, 20, 40, 80, 150, 300, 500 e 1076 empresas.

Os resultados da simulação realizada são resumidos na tabela 4.4 que apresenta na primeira coluna a quantidade de empresas no mercado, e nas demais colunas: a quantidade disponibilizada por cada jogador – igual para todos os jogadores –, a capacidade total disponível no mercado, o VPL para cada jogador, a TIR e o tempo de vida do projeto. Ainda, o gráfico 4.6 revela com mais facilidade os resultados da tabela 4.4, onde se observa que, quando mais de 40 empresas competem no mercado modelado, a TIR assume um valor menor que 12,9% e começa a aproximar-se assintoticamente da TMA. Isto acontece, pois o modelo elaborado desconsidera custos administrativos fixos, como por exemplo,

93

o pagamento de salários da alta gerência da empresa. Assim, mercados que não possuem custos administrativos (ou que estes são irrelevantes), podem suportar a entrada indefinida de participantes, ao reduzir as capacidades individuais, tornando-se assim mercados perfeitamente competitivos.

Tabela 4. 4 – Resultados do Caso IV

Quantidade de Empresas r

Q total

Q VPL TIR t

3 26,3 79 2227,3 22,2% 12

5 18,5 92 881,9 18,5% 10

10 10,3 103 239,1 15,4% 9

20 5,4 109 57,5 13,6% 8

40 2,8 111 15,1 12,9% 8

80 1,4 113 3,9 12,4% 8

150 0,8 113 1,1 12,2% 8

300 0,4 114 0,3 12,1% 8

500 0,2 114 0,1 12,1% 8

1076 0,1 114 0,0 12,0% 8

Fonte: o Autor. De fato, observa-se que com 80 ou mais empresas competindo, a

concorrência tonar-se suficientemente intensa para que a participação de novos competidores verifique-se apenas com quantidades individuais de produtos muito pequenas. Nestes casos, a remuneração do capital também se reduz, porém a capacidade total disponibilizada no mercado permanece praticamente constante. Observa-se, também, a partir da tabela 4.4 que, com o aumento da competição, aumenta-se a quantidade total de produtos disponibilizados no mercado; por exemplo, com 3 empresas a capacidade total disponível no mercado é de 79 unidades, enquanto com 1076 empresas esta é de aproximadamente 108 unidades, um aumento de 36,7%. O que se revela benéfico do ponto de vista da sociedade, pois disponibiliza mais produtos com preços menores.

94

Gráfico 4. 6 – Conseqüências da saturação do mercado sem os custos

administrativos: quantidade de empresas, capacidade individual e TIR.


4.6 CASO V – SENSIBILIDADE À SATURAÇÃO DO MERCADO COM O CUSTO FIXO DE ADMINISTRAÇÃO

De forma semelhante ao caso da subseção anterior, este caso V realizará uma análise da saturação do mercado, porém considerará os custos fixos administrativos da empresas participantes: pagamento da alta gerência e despesas com setores de RH e planejamento, por exemplo. Assim, utilizar-se-ão os parâmetros de custo marginal e investimento da Empresa 1 replicados a todas as empresas do mercado (como no caso IV), adicionados de um custo administrativo fixo igual para todas as empresas.

A adoção deste custo adiciona uma nova variável a equação (3.11) de ganho. Assim, esta pode ser reescrita como:

1

1Mg

(1 )

mr r

r i r ADM rtt i

G A t B Q C Q C I Qθ =

= + ⋅ − ⋅ − − + ∑ ∑ (4.1)

onde:

95

ADMC

– custo administrativo por período, constante e igual para todas

as empresas. A partir da equação (4.1)12 deve-se reformular a condição descrita

na equação (3.7) conforme mostrado a baixo:

Mg 0

Mg

Mg

Mg

r

i r ADM

i

r ADMi

i r

rADMi

i r

rADM

r

i

i

A tB Q C Q C

CA tB Q C

Q

CtB Q C A

Q

CC A

Qt

B Q

+ ⋅ − ⋅ − ≥

+ ⋅ − ≥

⋅ ≥ + −

+ −

≥⋅

∑

∑

∑

∑

e, então,

Mg +rADM

r

i

i

CC A

Qt

B Q

− −

≤⋅

∑ (4.2)

Adotando-se da condição apresentada em na expressão (4.2)

permite, assim, calcular a saturação de um mercado oligopolista com o custo administrativo com a formulação em inequação variacional da expressão (3.13) e a mesma implementação computacional apresentada na seção 3.4. Com este objetivo, adotou-se um custo administrativo (

ADMC ) igual a 50, e simulou-se o oligopólio não cooperativo com

inserção gradual de: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 empresas. 12 Por ser uma constante, a variável

ADMC

tem derivada parcial em relação à

rQ igual a zero.

Assim, a nova equação de ganho (equação (4.1)) não implica na alteração da formulação em inequação variacional apresentada na expressão (3.13).

96

A tabela 4.5 contém os resultados para a saturação do mercado com até 12 empresas. Observa-se que à medida que a quantidade de empresas no mercado aumenta o valor presente líquido do investimento diminui, bem como a capacidade individual de cada empresa. Em contraste, com os casos I, II e III, ocorre um aumento da capacidade total no mercado, pois cada jogador comporta-se racionalmente e busca obter o máximo desempenho dada a decisão tomada pelos outros jogadores. Este resultado é positivo do ponto de vista da sociedade (conforme evidenciado nas subseções 2.3.1 e 2.3.2). Por exemplo, na situação de equilíbrio onde 9 empresas competem (tabela 4.5), caso estas realizassem um conluio e optassem por reduzir a capacidade existente no mercado, produzindo 10 unidades ao invés de 11,3, estas melhorariam seus resultados obtendo um VPL de 253 e uma TIR de 15,6%, porém menos quantidades estariam disponível no mercado e os preços subiriam reduzindo o excedente da sociedade. Também, esta situação não seria estável. Uma empresa pode decidir aumentar sua capacidade para 11 unidades com o objetivo de ganhar mais mercado – o que de fato aumentaria seu VPL para 280 –; entretanto, ao mesmo tempo, todas as outras empresas teriam o seu VPL reduzido para 231 e provavelmente decidiriam por também produzir 11 unidades, retornando, assim, para o estado de equilíbrio apontado anteriormente.

Tabela 4. 5 – Resultados do Caso V – custo administrativo (ADM

C ) igual a

50 unidades monetárias

Quantidade de Empresas rQ

totalQ VPL TIR t

3 26,3 78,96 1928,87 20,9% 11

4 21,6 86,44 1075,63 18,6% 10

5 18,5 92,25 599,40 16,5% 10

6 15,8 94,89 380,85 15,4% 9

7 14,1 98,82 185,57 14,0% 9

8 12,5 100,39 90,74 13,1% 9

9 11,3 101,64 26,65 12,4% 8

10 10,3 102,67 -18,94 11,7% 8

11 9,4 103,52 -53,61 11,1% 8

12 8,7 104,24 -80,84 10,5% 8

Fonte: o Autor (2011). Outra observação importante é a existência de um equilíbrio para

a quantidade de empresas no mercado. Quando a TIR torna-se inferior a

97

TMA, este investimento mostra-se desinteressante para novos entrantes, o que os direcionaria a outras opções de alocação de recursos, levando o sistema a estabilizar-se. Na solução numérica encontrada para um custo administrativo igual a 50, esse equilíbrio estabelece-se com 9 competidores no mercado (gráfico 4.7). Com efeito, caso aumente-se o custo administrativo para 100, por exemplo, o equilíbrio ainda se constituirá para uma competição oligopolista, porém de com menos competidores, neste caso, 6 empresas (gráfico 4.7).

Gráfico 4. 7 – Consequências da saturação do mercado com custo

administrativo igual a 50: quantidade de empresas,

capacidade individual (r

Q ), capacidade total (total

Q ) e

TIR. Fonte: o Autor (2011).

Estes resultados demonstram, assim, que não existe a

possibilidade de a TIR se estabelecer indefinidamente acima da TMA, e este limite é determinado pela quantidade de empresas no mercado e pela capacidade por elas disponibilizada. Isto se evidencia particularmente importante, pois implica que, constantemente, os recursos sejam direcionados para investimentos em mercados onde existe baixa concorrência, menos oferta e preços elevados. Conseqüentemente, aumenta-se a concorrência em setores da economia onde a competição é reduzida e os lucros são elevados, o que além de

98

diversificar as opções de investimento, beneficia a sociedade ao permitir excedentes mais elevados.

Gráfico 4. 8 – Consequências da saturação do mercado com custo

administrativo igual a 100: quantidade de empresas,

capacidade individual (r

Q ), capacidade total (total

Q ) e

TIR. Fonte: o Autor (2011).

101

5 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

5.1 CONCLUSÕES

A capacidade produtiva de uma fábrica representa a sua cadência máxima de produção, e sua determinação correta mostra-se essencial para o sucesso da fábrica. Conseqüentemente, decisões incorretas quanto à capacidade evidenciam-se desastrosas, pois esta é necessária ao atendimento da demanda atual e futura. O descompasso entre o planejamento da capacidade e demanda ocorre de duas formas principais: ou, (i) planeja-se capacidade excedente para, muitas vezes, servir de barreira para novos entrantes, o que origina um grande investimento em capital que não é remunerado; ou, (ii) instala-se uma capacidade inferior à suficiente para atender a demanda, o que significa uma perda de oportunidade do mercado e a insatisfação dos clientes.

A revisão bibliográfica desse trabalho mencionou métodos que se prestam à determinação da capacidade de produção, como por exemplo: teoria das filas, análise econômico financeira, teoria da decisão, e métodos originados da pesquisa operacional. Essas técnicas, entretanto, desconsideram – em sua maioria – a interação estratégica das companhias no mercado. Salienta-se que empresas não atuam sozinhas. E existem competidores, clientes e fornecedores, cujas decisões influenciam diretamente o sucesso da empresa. Neste sentido, este trabalho desenvolveu um modelo de determinação da capacidade produtiva que obtém o nível ótimo de capacidade produtiva para uma empresa competindo num mercado oligopolista não cooperativo. Este modelo apresenta como conceito fundamental a interação estratégica entre as empresas que participam do mercado, com cada uma atuando racionalmente na busca da maximização de seus ganhos.

O modelo proposto, dessa forma, incorpora o equilíbrio de Nash e a sua representação como um problema de inequações variacionais proposta por Nagurney (2010), juntamente à análise econômica financeira, para estabelecer seu equacionamento. Para solucionar o modelo, utilizou-se o algoritmo de projeção com um passo variando entre 0,05 e 0,0001, e implementou-se o mesmo computacionalmente numa planilha eletrônica. Ainda, garante-se a consistência do modelo como o estabelecimento das seguintes premissas: (i) racionalidade; (ii) taxa de mínima atratividade constante; (iii) linearidade das curvas de oferta, demanda e da quantidade investida; (iv) capacidade fixada no

102

início do período do planejamento; e, (v) obsolescência planejada (substituição planejada de tecnologia).

O comportamento do modelo construído foi, então, avaliado a partir de um estudo de caso básico com três empresas, que se prestou como condição ceteris paribus para outros cinco estudos de caso. Cada caso analisou especificamente um dos parâmetros do modelo:

i. o caso básico comprova a funcionalidade e convergência do modelo;

ii. o caso I avalia a sensibilidade ao custo marginal para reduções de 30%, 50% e 90%, e incrementos de 30%, 70%, 120%, 200% e 500% ao valor original do custo marginal da empresa com melhor desempenho no caso básico;

iii. de forma semelhante, o caso II estuda a sensibilidade do modelo ao custo de investimento unitário para reduções de 30%, 50% e 90%, e incrementos de 30% e 70% ao valor original do custo de investimento da empresa com melhor desempenho no caso básico;

iv. o caso III analisa os impactos da variação da TMA no modelo. Para tanto, aplicou-se reduções de 30%, 50% e 90%, e incrementos de 30%, 70% e 120% ao valor original a TMA do caso básico;

v. o caso IV verifica a sensibilidade da saturação do mercado sem custos administrativos; assim, novos entrantes – com parâmetros iguais aos da empresa de melhor desempenho do caso básico – são inseridos no mercado de forma a avaliar o ambiente competitivo para: 3, 5, 10, 20, 40, 80, 150, 300, 500 e 1076 empresas; e por último,

vi. o caso V examina a sensibilidade a saturação do mercado com custos administrativos; assim, novos entrantes, todos com os mesmos parâmetros, são inseridos no mercado para analisar uma competição com até 12 empresas.

Além de obter um resultado numérico específico, os casos apresentados acima se prestaram para compreender o comportamento de um mercado oligopolista com relação à capacidade de fábrica. Neste sentido, observa-se a necessidade da manutenção de um valor baixo do custo marginal, quando comparado ao custo praticado pelos demais competidores do mercado, visto que a redução do custo marginal motiva a instalação de mais capacidade, de modo a obter maior participação no

103

mercado e, assim, maior retorno do investimento realizado. Esse decrescimento do custo marginal pode, também, motivar a saída antecipada de competidores do mercado, isto é, empresas com o custo marginal mais baixo, possuem um prazo de vida do projeto maior do que empresas menos eficientes, pois mesmo com preços reduzidos, aquelas possuem margem para atuação. Paralelamente, aponta-se a importância da aplicação de técnicas relativas à engenharia de produção para a redução do custo marginal como: práticas de manufatura lean, ou métodos baseados na pesquisa operacional.

A análise dos impactos do custo de investimento no caso II denota a forte influência deste na capacidade final a ser disponibilizada no mercado e no retorno do investimento. Esta observação justifica a necessidade das empresas em buscarem incentivos governamentais, ou a instalarem-se em países cujos custos de infra-estrutura (terrenos e edificações) sejam reduzidos.

Considerando um mercado em que não há a entrada de novos jogadores, revela-se que as variações na TMA reforçam o posicionamento de cada empresa. Assim, aquelas com melhor desempenho são beneficiadas com o crescimento do custo de capital e aumentam a sua participação no mercado, e aquelas com performance inferior passam a perder interesse no investimento em capacidade.

Finalmente, avalia-se a influência da saturação do mercado no planejamento da capacidade. Em situações onde o custo administrativo pode ser desconsiderado observa-se a entrada indefinida de participantes e a aproximação assintótica da TIR a TMA, o que se equivale a um mercado perfeitamente competitivo. Quando, entretanto, se consideram os custos administrativos, verifica-se a existência de um ponto de equilíbrio para a quantidade de empresas existente no mercado e sua capacidade. A partir deste ponto, uma quantidade superior de empresas, torna o investimento desinteressante, ou seja, o mercado não aceita a entrada de novos jogadores indefinidamente. A existência desde ponto de equilíbrio significa que os recursos de investimento são constantemente retirados de mercados em equilíbrio, e direcionados para mercados com pouca concorrência, baixa oferta e preços elevados. Isto é benéfico para a sociedade, pois além de diversificar os investimentos, promove o aumento da competição em setores econômicos onde a concorrência é baixa e os lucros são elevados.

104

5.2 RECOMENDAÇÕES

Acrescentam-se às conclusões obtidas na subseção anterior, recomendações e sugestões para possíveis futuros trabalhos a serem realizados:

a) analisar situações em que as empresas produzem mais de

um produto. Produtos diferentes podem ocupar um mesmo recurso e diminuir a capacidade total produtiva dos produtos devido à ocupação de máquina e tempo de set up, por exemplo;

b) aperfeiçoar o modelo para considerar mudanças das

curvas de oferta e demanda no tempo. Os mercados (conjuntura econômica) e os desejos dos consumidores não são estacionários e transformam-se constantemente;

c) empregar dados reais para uma análise mais detalhada do

problema estudado. Os resultados numéricos podem, assim, não só expressar indicativos do funcionamento do mercado, mas também determinar valores específicos de capacidade e retorno do investimento; e, por último,

d) adotar situações específicas de fluxo de caixa e

gerenciamento financeiro: como a disponibilidade de recursos financeiros, por exemplo. Verifica-se, dessa forma, se o projeto também é viável financeiramente – a saúde financeira da empresa pode ser um importante indicativo se esta será capaz ou não de investir em capacidade.

106

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110

APÊNDICE A – ESTRUTURA DA PLANILHA ELETRÔNICA UTILIZADA PARA A IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

As figuras abaixo apresentadas mostram a estrutura da planilha eletrônica utilizada na implementação computacional deste modelo, em que:

A constante da curva de demanda;

B coeficiente angular da curva de demanda;

TMA taxa de mínima atratividade;

Cmg custo marginal de produção por empresa;

Inv custo de investimento unitário por empresa;

Cap capacidade individual instalada;

Cap Tot capacidade total disponível no mercado – equivalente ao somatório das capacidades individuais;

TIR taxa interna de retorno;

Invest total investimento total para a capacidade disponibilizada;

Share participação de cada empresa no mercado em relação à capacidade total disponível;

Período prazo de vida do projeto em anos;

Desconto resultado do cálculo do valor utilizado para descontar os fluxos de caixas futuros a partir da TMA;

Gradiente gradiente da função utilidade conforme a equação (3.12);

Ncap capacidade calculada após uma iteração do algoritmo de projeção;

Tam. Passo tamanho do passo do algoritmo de projeção; e,

Preço preço praticado no mercado.

111


implementado no MS Excel – colunas de A a F. Fonte: o Autor (2011).

112


implementado no MS Excel – colunas de G a K. Fonte: o Autor (2011).

115

ANEXO A – ALGORÍTMO DE PROJEÇÃO

O algoritmo para a resolução inequações variacionais pelo método de projeção é apresentado por Nagurney (2010, p. 56).

Nagurney (2010, p. 56) aponta que seja * nK R∈ ⊂x tal que:

( )* *, 0, T

F K− ≥ ∀ ∈x x x x ,

onde F é uma função continuamente diferençável pertencente ao

conjunto fechado, convexo e compacto K no nR . Então, obtém-se *x por meio dos seguintes passos algorítmicos13: Passo 1:

Obtenha kx com 0k = e selecione um passo k

ρ .

Passo 2:

Faça ( )( )1k k k

K kP Fρ+ ← −x x x , onde ( )( )k k

K kP Fρ−x x

representa a projeção de ( )k k

k Fρ−x x sobre o conjunto K .

Passo 3:

Se 1k k ε+ − <x x , sendo 0ε > uma tolerância especificada, então pare

e apresente 1k +x . Caso contrário, volte ao Passo 2.

13 Mais detalhes quanto ao método de projeção e outros métodos de solução para o problema de inequações variacionais podem ser encontrados no trabalho de Nagurney (2010).

universidade federal de santa catarina departamento de engenharia de...

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