modelos de equilÍbrio de fluxo em...
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MODELOS DE EQUILÍBRIO DE FLUXO EM REDES
Prof. Sérgio Mayerle Depto. Eng. Produção e Sistemas
UFSC/CTC
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5
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3
Definição Básica
A rede é definida por um grafo ),( ANG = , onde:
{ }nN ,...,2,1= é um conjunto de nós
{ }mA ,...,2,1= é um conjunto de arcos onde Ajiak ∈= ),( é um par ordenado de
elementos do conjunto N , isto é, Nji ∈, . Diz-se que ka é um arco com origem em i e término em j .
Problemas de Fluxo em Redes
Definição Um Problema de Fluxo em Redes consiste em encontrar um padrão de fluxo Φ∈f , associado ao grafo ),( ANG = , que atenda as condições de conservação de fluxo, capacidade e não-negatividade. O conjunto Φ depende das características particulares de cada problema, e pode ser definido como segue:
Modelos de Tráfego
∀≥
∀=≡Φ ∑
ksrf
srqfrs
k
k rs
rs
k
,,0
,1
Modelos Econômicos
∀≤≤
∈∀=−+−≡Φ
∑∑ ∈⋅=∈⋅=
aqfq
Nidpff
aaa
iiAia aAia a
maxmin
),(),(2
0
Problemas de Fluxo em Redes
Problemas de Equilíbrio em Redes de Tráfego
Fluxo de Equilíbrio
Definição – Fluxo de Equilíbrio
Um padrão de fluxo viável Φ∈f em ),( ANG = está em equilíbrio quando não existe um mecanismo atuando no sentido de modificá-lo. (Mayerle, 2006)
Definição – UE
Um fluxo em redes corresponde a solução de Equilíbrio do Usuário (UE) quando nenhum usuário consegue diminuir seu próprio tempo de viagem, através de uma mudança unilateral de rota. (Wardrop, 1952)
Definição – SUE
Um fluxo em redes corresponde a solução de Equilíbrio Estocástico do Usuário (SUE) quando nenhum usuário acredita ser possível diminuir seu próprio tempo de viagem, através de uma mudança unilateral de rota. (Daganzo e Sheffi, 1977)
Premissas do UE
1. É conhecido mm
mttt ℜ→ℜ= :))(),...,(),(()( 21 xxxxt , um mapeamento contínuo, diferenciável e não decrescente em relação às componentes do vetor de
fluxo dos arcos, denotado por ),...,,( 21 mxxx=x , onde ℜ→ℜm
at :)(x é a função do tempo de viagem do arco a .
2. )(xt
x∇ , o Jacobiano de )(xt em relação a ),...,,( 21 mxxx=x , é uma matriz simétrica e semidefinida positiva.
3. São conhecidas as demandas Nsrqrs ∈∀ ,, para todo par ),( sr da matriz O/D.
4. Cada usuário conhece estes tempos e é capaz de determinar e escolher, com base
neles, qual o caminho mais curto a ser tomado, dado o fluxo produzido pelos demais usuários da rede.
Algumas Funções Empíricas
BPR – U. S. Bureau of Public Roads (1964)
AaC
xtxt
a
ao
aaa ∈∀
′+= ,1)(
β
α
Davidson (1966)
AaxC
xtxt
aa
ao
aaa ∈∀
−+= ,1)( γ
Onde: ax fluxo do arco Aa ∈
o
at tempo de viagem com fluxo livre do arco Aa ∈
γβα ,, parâmetros das funções, ajustados com base em dados
aa CC ,′ capacidade prática e teórica do arco Aa ∈
Formulação de Modelos de NLP
1. Sem interação entre arcos
Min ∑∫∈
=Aa
x
a dwwtza
0
)()(x (1.a)
s.a: Aafxksr
rs
ka
rs
ka ∈∀= ∑,,
,δ (1.b)
1)( Φ∈= rs
kff (1.c)
2. Com interação em vias de mão-dupla
Min ∑ ∫∫∈
′
+=
Aa
x
a
x
aa dwwtdwxwtzaa
00
)0,(),(2
1)(x (2.a)
s.a: (1.b) e (1.c)
Condição de Equivalência
Modelo Lagrangeano Equivalente ao problema (1.a) – (1.c) com respeito às restrições de conservação de fluxo:
Min ∑ ∑
−+=
rs k
rs
krsrs fquzL ))((),( fxuf
s.a: Aafxksr
rs
ka
rs
ka ∈∀= ∑,,
,δ
ksrfrs
k ,,0 ∀≥ Aplicando as condições de primeira ordem de KKT para este problema
0),( =∂
∂ufL
ff
rs
k
rs
k e ksrLf
rs
k
,,0),( ∀≥∂
∂uf
srLurs
,0),( ∀=∂
∂uf
Obtém-se:
ksrucf rs
rs
k
rs
k ,,0)( ∀=−
ksruc rs
rs
k ,,0 ∀≥−
srqf rs
k
rs
k ,∀=∑
ksrfrs
k ,,0 ∀≥ Portando, na solução ótima do problema (1.a) – (1.c), f satisfaz 1Φ e existindo fluxo no
k -ésimo caminho que conecta o par ),( sr da matriz O/D então rs
rs
k uc = . Se não existe
fluxo no k -ésimo caminho que conecta o par ),( sr da matriz O/D, então rs
rs
k uc ≥ . Assim, na solução ótima do problema (1.a)–(1.c) não haverá incentivo para que usuários troquem de rota e o fluxo estará em equilíbrio. (Wardrop, 1952)
Condições de Unicidade da Solução
1. 1Φ é um conjunto compacto e não vazio
2. ))((2
fxz∇ é semidefinida positiva ⇒ ))(( fxz é uma função convexa 3. As duas condições acima garantem a existência de um único mínimo global 4. Se existe um único mínimo global então o ponto de equilíbrio é único
Observação:
As condições de KKT também se aplicam ao problema com interação em vias de mão-dupla, que também tem solução única e, consequentemente, um único ponto de equlíbrio.
Extensões de Super-redes
Demanda Elástica
)()(1
rsrsrsrsrsrs qDuuDq−=→= ou
)()(1
rsrsrsrsrsrs eWeqDu =−= − A demanda associada a um par O/D ),( sr é função do tempo de viagem mínimo entre o nó de origem r e o nó de destino s.
rs rs rs
rs
rs
rs rs rs
rs
Extensões de Super-redes
Escolha entre Modais Independentes
sruqq
qu
eq
qrs
rsrs
rsrsuu
rs
rs
rsrs,ˆ
ˆ
ˆln
1
1
1ˆ)ˆ(
∀+−
=→+
=− θθ
O particionamento da demanda entre os diversos modais de transporte obedece a uma função distribuição de probabilidade logit multinomial.
rs
rsrs
rsrsrs u
qqt ˆ
ˆ
ˆln
1)ˆ(ˆ +
−=
θ
rsq̂
Método de “Frank-Wolfe” (1956)
Algoritmo P0. Inicialização. Faça uma alocação tudo-ou-nada baseada em att aa ∀= ),0( ,
gerando }{1
ax . Faça 1:=k .
P1. Atualização. Faça axttk
aa
k
a ∀= ),(: .
P2. Obtenção da direção. Faça uma alocação tudo-ou-nada baseada em }{k
at ,
gerando o padrão de fluxo auxiliar }{k
ay .
P3. Busca em linha. Encontre kα que resolve: dwwtka
ka
ka xyx
a∫−+
≤≤
)(
010 )(min
α
α
P4. Movimento. Faça axyxxk
a
k
ak
k
a
k
a ∀−+=+),(:
1 α .
P5. Teste de Convergência. Se ε≤−+ kkxx
1 , pare. Em caso contrário faça
1: += kk e volte para P1.
Formulação VI
Teorema (adaptado de Nagurney, 1999)
Um padrão de fluxo 1
* Φ∈f , sobre caminhos de ),( ANG = , é solução do UE
se e somente se *f satisfaz o seguinte problema de VI:
1
**0),( Φ∈∀≥− ffffc
Algortimo de Projeção
P1. Obtenha 0f . Faça 0:=k .
P2. Calcule ))((:1
1 k
k
kkP fcff α−= Φ
+
P3. Se ε>−+ kkff
1 , faça 1: += kk volte para P2.
P4. Apresente 1+kf
Exemplo
3
2424 3 xt +=
3
1212 4 xt +=
3
1313 5,02 xt +=
3
3434 5,06 xt +=
3
3232 25,0 xt +=
10ˆ =u
20,1
50,1
00,2
12
14
=
=
=
θ
q
q
Fluxo de Caminhos: →14
1f ��� →14
2f ���� →14
3f ��� →12
1f �� →12
2f ��� →14q̂ ��
Formulação (dados)
Fluxos e tempos de viagem nos arcos da rede
14
2
14
124
14
334
12
2
14
232
12
2
14
3
14
213
12
1
14
112
ffx
fx
ffx
fffx
ffx
+=
=
+=
++=
+=
3
242424
3
343434
3
323232
3
131313
3
121212
3)(
5,06)(
25,0)(
5,02)(
4)(
xxt
xxt
xxt
xxt
xxt
+=
+=
+=
+=
+=
3213
12
2
12
12
1
3413
14
3
243213
14
2
2412
14
1
ttc
tc
ttc
tttc
ttc
+=
=
+=
++=
+=
14q̂ 10ˆ2
ˆln
2,1
1)ˆ(ˆ
14
1414 +
−=
q
qqt
Formulação
≥
=+
=+++
≡Φ
0,,,,,ˆ
5,1
2ˆ
12
2
12
1
14
3
14
2
14
114
12
2
12
1
14
3
14
2
14
114
1
fffffq
ff
fffq
=
14
12
2
12
1
14
3
14
2
14
1
ˆ
)(
t
c
c
c
c
c
fc
=
14
12
2
12
1
14
3
14
2
14
1
q̂
f
f
f
f
f
f
Encontrar 1
***,0),(| Φ∈∀≥− ffffcf .
Cálculos
Solução
381,0394,0
381,01
1
394,0000,2
787,0ˆ
1
1ˆ
)ˆ(
14
14
)ˆ(
14
14
≅
=+
==
+=
−
−
rsrs
rsrs
uu
uu
e
q
q
eq
q
θ
θ
CONVERGÊNCIA
-
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
0 5 10 15 20
Iteração
Flu
xo
Arco 1-2
Arco 1-3
Arco 3-2
Arco 3-4
Arco 2-4
Ferrovia
Solução
Conclusão...
F I M