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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
GLADISTON DOS ANJOS ALMEIDA
POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS NO CÍRCULO: UMA ABORDAGEM
HISTÓRICO-PRAXEOLÓGICA EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA
DO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Cuiabá – MT
2012
GLADISTON DOS ANJOS ALMEIDA
POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS NO CÍRCULO: UMA ABORDAGEM
HISTÓRICO-PRAXEOLÓGICA EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA
DO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Federal de Mato Grosso como requisito para obtenção do título de Mestre em Educação na Área de Concentração em Educação, Linha de Pesquisa Educação em Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Sérgio Antonio Wielewski
Cuiabá - MT 2012
FICHA CATALOGRÁFICA
A447p
Almeida, Gladiston dos Anjos.
Polígonos regulares inscritos no círculo: uma abordagem histórico-
praxeológica em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino
Fundamental. / Gladiston dos Anjos Almeida. -- Cuiabá (MT): Instituto
de Educação/IE, 2012.
173 f.: il.; 30 cm.
Dissertação (Mestrado em Educação). Universidade Federal de Mato
Grosso. Instituto de Educação. Programa de Pós - Graduação em
Educação, na Linha de Pesquisa: Educação em Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Sérgio Antonio Wielewski. Inclui bibliografia. 1. Livro didático - Matemática. 2. Geometria – Polígonos regulares.
3. Praxeologia. I. Título. CDU: 371.671:51
GLADISTON DOS ANJOS ALMEIDA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Federal de Mato Grosso como requisito para obtenção do título de Mestre em Educação na Área de Concentração em Educação, Linha de Pesquisa Educação em Ciências e Matemática.
COMISSÃO EXAMINADORA
Presidente: Prof. Dr. Sérgio Antonio Wielewski
Presidente, Orientador, UFMT
Membro: Profa. Dra. Eliane Scheid Gazire
Membro Externo, PUC/MG
Membro: Profa. Dra. Gladys Denise Wielewski
Membro Interno, UFMT
Defesa: Cuiabá – MT, 18 de abril de 2012
DEDICATÓRIA
À minha querida esposa Francilene
pelo amor, carinho, dedicação e apoio
recebido durante à realização desta pesquisa.
AGRADECIMENTOS
A Deus por me iluminar em todos os momentos de minha vida, dando-me força,
coragem, saúde e inteligência para concluir esta pesquisa.
Ao professor Dr. Sérgio Antonio Wielewski, pela orientação, compreensão, incentivo
e respeito às minhas convicções nos momentos de desafios, crescimentos e descobertas no
desenvolvimento deste trabalho.
Às professoras Dra. Gladys Denise Wielewski - UFMT e Dra. Eliane Scheid Gazire –
PUC/MG, pelas contribuições relevantes ao desenvolvimento desta pesquisa.
Aos professores e alunos do Programa de Pós-Graduação em Educação, em especial
aos professores e colegas do Grupo de Estudo sobre Livros Didáticos de Matemática no
Programa de Pós-Graduação da UFMT pelas orientações e incentivos dispensados durante os
estudos realizados e, sobretudo, pela amizade construída.
À Coordenação e aos técnico (a)s do Programa de Pós-Graduação em Educação do
PPGE/UFMT pelo apoio recebido e pelas sugestões que enriqueceram essa pesquisa.
“Um livro aberto é um cérebro que fala.
Fechado, um amigo que espera.
Esquecido uma alma que perdoa.
Destruído, um coração que chora”.
Voltaire
RESUMO
A presente pesquisa visa discutir a abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência
contido em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental avaliados e catalogados pelo
Programa Nacional do Livro Didático PNLD/2011. Decidimos analisar esse conteúdo após estudos preliminares
sobre a história e o ensino da geometria euclidiana em livros didáticos de matemática, de um levantamento das
pesquisas produzidas nos programas de Pós-Graduação do Brasil que abordam a geometria em livros didáticos
de matemática do Ensino Fundamental e, de discussões realizadas no Grupo de Estudo sobre livros didáticos de
matemática do programa de Pós-Graduação da UFMT. Apoiando-se nessas vertentes, definimos nossa questão
de pesquisa, qual seja: “como se articulam as organizações matemáticas e as organizações didáticas na
abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência contido em livros didáticos de
matemática do 9º ano do Ensino Fundamental?”. Para responder a essa questão de pesquisa, recorremos à Teoria
Antropológica do Didático (TAD), de Chevallard, por ser uma teoria que tem sido empregada na análise de
conteúdos contidos em livros didáticos de matemática, e ainda, por situar o estudo da Matemática dentro das
instituições sociais e dos sistemas didáticos, possibilitando as relações entre sujeito-instituição-saber,
objetivando compreender o desenvolvimento dos conceitos e procedimentos matemáticos. Como metodologia,
decidimos pela pesquisa qualitativa com abordagem da fenomenologia, por ser um processo de reflexão de
métodos e técnicas para a compreensão detalhada do fenômeno a ser investigado. Realizamos a coleta de dados
e/ou de documentos, momento da aquisição dos seis livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino
Fundamental, os quais farão parte do corpus documental da pesquisa. O estudo mostra que esses livros exploram
o objeto de pesquisa com aplicação de diferentes tipos de tarefas. A análise do conteúdo de polígonos regulares
inscritos na circunferência contido nesses livros mostra que ao se resolver os diferentes tipos de tarefas é preciso
articular as organizações matemáticas e as organizações didáticas as quais compõem o bloco prático-técnico
(saber-fazer) [T/], constituído pelos tipos de tarefas (T) e pelas técnicas (), e o bloco tecnológico-teórico
(saber) [Ɵ/], constituído pelas tecnologias (Ɵ) e teorias (A articulação desses blocos compõem as
diferentes praxeologias pontuais as quais são caracterizadas por um quatérnio denotado por [T/Ɵ/s
praxeologias pontuais analisadas na pesquisa mostram como foi organizado e apresentado o estudo do conteúdo
de polígonos regulares inscritos na circunferência contido em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino
Fundamental selecionados pelo PNLD/2011.
Palavras-chave: Livro didático de matemática. Polígonos regulares. Praxeologia.
ABSTRACT
This research approach aims to discuss the content of regular polygons inscribed in the circumference contained
in mathematics textbooks in the 9th grade of elementary school evaluated and cataloged by the National
Textbook PNLD/2011. We decided to analyze this content after preliminary studies on the history and teaching
of geometry in mathematics textbooks, a survey of research produced in graduate programs in Brazil that address
geometry in mathematics textbooks of elementary school, and discussions at the Study Group on mathematics
textbooks for the program's Graduate UFMT. Relying on these aspects, we define our research question, namely:
"to articulate mathematical organizations and organizations of the didactic content of regular polygons inscribed
in the circle proposed in mathematics textbooks in the 9th grade of elementary school?".To answer this research
question, we turn to the Anthropological Theory of Didactics (TAD) of Chevallard, being a theory that has been
used in the analysis of the content contained in mathematics textbooks, and yet, by situating the study of
mathematics within the social institutions and educational systems, enabling the relationship between subject and
institution-know in order to understand the development of mathematical concepts and procedures. The
methodology decided by qualitative research with phenomenology, it is a process of reflection methods and
techniques for the detailed understanding of the phenomenon being investigated. We collected data and/or
documents, the time of acquisition of the six mathematics textbooks in the 9th grade of elementary school, which
will be part of the corpus of documentary research. The study shows that these books explore the subject of
research with application of different types of tasks. A content analysis of regular polygons inscribed in the
circumference contained in these books shows that when solving different types of tasks you need to articulate
the mathematical organizations and educational organizations which make up the block practical-technical
(know-how) [T/] composed of the types of tasks (T) and the techniques () and block technological and
theoretical (know) [Ɵ/] consists of the technologies (Ɵ) and theories ( The relationship of these blocks
make up the different praxeologias points which are characterized by a quaternion denoted by [T/Ɵ/ s
praxeologias point analyzed in this investigation show it was presented to study the content of regular polygons
inscribed in the circumference contained in mathematics textbooks of the 9th years of education founded by
PNLD/2011 selected.
Keywords: textbook of mathematics. Regular polygons. Praxeology.
LISTA DE FIGURA
Figura 1: Esquema da trajetória do saber na transposição didática......................... 79
Figura 2: Construção de polígonos regulares com o número de lados tendendo
ao infinito.................................................................................................................
104
Figura 3: Quadrado inscrito na circunferência de raio r conhecido........................ 117
Figura 4: Quadrado inscrito na circunferência de raio r conhecido........................ 118
Figura 5: Hexágono regular inscrito na circunferência de raio r conhecido........... 129
Figura 6: Triângulo equilátero inscrito na circunferência de raio r conhecido....... 139
Figura 7: Triângulo equilátero inscrito na circunferência de raio r conhecido....... 139
Figura 8: Polígono regular inscrito na circunferência de raio r conhecido............. 147
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Gêneros de tarefas empregados nos livros didáticos analisados........... 113
Quadro 2: Tipo de tarefas apresentadas nos livros didáticos analisados................ 114
Quadro 3: Técnicas aplicadas na resolução das tarefas nos LDs analisados......... 115
Quadro 4: Descrição das técnicas e do discurso tecnológico-teórico da tarefa T1.. 118
Quadro 5: Descrição das técnicas e do discurso tecnológico-teórico da tarefa T2.. 124
Quadro 6: Descrição das técnicas e do discurso tecnológico-teórico da tarefa T3 129
Quadro 7: Descrição das técnicas e do discurso tecnológico-teórico da tarefa T4. 134
Quadro 8: Descrição das técnicas e do discurso tecnológico-teórico da tarefa T5. 140
Quadro 9: Descrição das técnicas e do discurso tecnológico-teórico da tarefa T6. 144
Quadro 10: Descrição das técnicas e do discurso tecnológico-teórico da tarefa
T7...............................................................................................................................................................................................
148
Quadro 11: Tarefas, técnicas, tecnologias, teorias e as praxeologias analisadas nos
LDs.....................................................................................................................
152
Quadro 12: As praxeologias que modelam o estudo do objeto de pesquisa nos
LDs analisados.........................................................................................................
154
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO.................................................................................................................... 14
CAPÍTULO 1
1 A INFLUÊNCIA DOS MOVIMENTOS DE INTERNACIONALIZAÇÃO E
MODERNIZAÇÃO NO ENSINO DA MATEMÁTICA............................................................
21
1.1 OS PROFESSORES DO COLÉGIO PEDRO II E O MOVIMENTO DO IMUK NO BRASIL... 25
1.2 AS DISCUSSÕES SOBRE O ENSINO DA MATEMÁTICA NO COLÉGIO PEDRO II........... 26
1.3 O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNO E O ENSINO DA GEOMETRIA........... 31
1.4 A GEOMETRIA E O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA NOS CONGRESSOS 35
1.5 O DECLÍNIO DO MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA................................... 42
CAPÍTULO 2
2 O LIVRO DIDÁTICO E O ENSINO DA MATEMÁTICA NO BRASIL................................ 45
2.1 AS FUNÇÕES DO LIVRO DIDÁTICO............................................................................ 46
2.2 AS FUNÇÕES DO LIVRO DIDÁTICO RELATIVO AO APRENDIZADO............................. 48
2.3 A POLÍTICA DO LIVRO DIDÁTICO NO BRASIL............................................................. 49
2.4 O PROGRAMA NACIONAL DO LIVRO DIDÁTICO ...................................................... 52
2.5 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DO LIVRO DIDÁTICO SEGUNDO O PNLD......................... 53
2.6 ALTERAÇÕES EM LIVRO DIDÁTICO RESULTANTE DAS AVALIAÇÕES.......................... 56
2.7 O GUIA DE LIVROS DIDÁTICOS 2010 E SEUS CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO .................. 57
CAPÍTULO 3
3 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA EM LIVRO DIDÁTICO................................................ 63
3.1 OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO FUNDAMENTAL E
A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ..........................................................................................
68
3.2 O CONTEXTO HISTÓRICO NO ENSINO DA MATEMÁTICA ......................................... 71
CAPÍTULO 4
4 REFERENCIAL TEÓRICO E A METODOLOGIA DE ENSINO.......................................... 76
4.1 REFERENCIAL TEÓRICO DA PESQUISA....................................................................... 76
4.2 A TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO ................ .............................................. 80
4.2.1 Objetos ostensivos e objetos não ostensivos.......................................................... 82
4.2.2 Elementos da Teoria Antropológica do Didático...................................................... 84
4.2.3 Praxeologia............................................................................................................... 86
4.2.4 Praxeologias didáticas ou organizações didáticas.................................................... 88
4.2.5 Praxeologias matemáticas ou organizações matemáticas....................................... 90
4.3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA................................................ 93
4.3.1 A pesquisa qualitativa fenomenológica................................................................... 93
4.3.2 A fenomenologia como método de investigação..................................................... 94
4.3.3 O desenvolvimento da pesquisa sob o enfoque fenomenológico........................... 97
CAPÍTULO 5
5 ANÁLISE DO OBJETO DE PESQUISA.......................................................................... 99
5.1 OLHARES SOBRE OS LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA ANALISADOS NA
PESQUISA..........................................................................................................................
100
5.2 A HISTÓRIA DOS POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA EM
LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA DO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL...............
101
5.3 A ABORDAGEM DO OBJETO DE PESQUISA EM LIVROS DIDÁTICOS DE
MATEMÁTICA DO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL...................................................
106
5.4 OS GÊNEROS DE TAREFAS, TIPOS DE TAREFAS, TÉCNICAS, TECNOLOGIAS E
TEORIAS APLICADAS NO ESTUDO DO OBJETO DE PESQUISA...........................................
112
5.5 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DAS TAREFAS APLICADAS NO ESTUDO DO OBJETO DE
PESQUISA..........................................................................................................................
116
CONSIDERAÇÕES 157
REFERÊNCIAS 164
INTRODUÇÃO
A presente pesquisa visa discutir a abordagem do conteúdo de polígonos regulares
inscritos na circunferência contido em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino
Fundamental selecionados pelo PNLD/2011. Analisamos esse conteúdo em seis livros
didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental por entendermos que esse saber se
mantem em livros didáticos de matemática como parte do saber da geometria relevante para a
formação social e cultural dos alunos da educação básica no Brasil.
Definido o conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência como objeto de
pesquisa realizou-se um estudo no primeiro livro voltado para o ensino da geometria que se
tem conhecimento ao longo da História da Matemática, Os elementos de Euclides, no qual
Euclides, por volta de 300 a.C., aborda o estudo dos polígonos regulares inscritos na
circunferência em três dos treze livros desta obra, mostrando assim, a relevância desse
conteúdo para a geometria da época.
Para entendermos o contexto histórico do nosso objeto de pesquisa recorremos à
História da Matemática, e verificamos que o conteúdo de polígonos regulares inscritos na
circunferência foi estudado por matemáticos renomados como: Platão (427-347 a.C), Euclides
(c. 300 a.C.), Arquimedes (287-212 a.C.), o alemão Gauss (1777-1855). Esses matemáticos
aplicaram as propriedades e conceitos desse conteúdo no estudo de outros saberes da
Matemática como: comprimento da circunferência, área do círculo, cálculo do número π,
estudo de infinito entre outros tópicos da geometria.
Verificamos também, que o estudo de polígonos regulares inscritos na circunferência
esteve presente em um dos primeiros livros de matemática utilizados no Brasil. Como
podemos ver em Valente (2007) O nouveau cours de mathématiques de Bélidor (edição de
1757), essa edição é traduzida para o português em 1764, e a partir de 1774 passa a ser
utilizada no Brasil para estruturação das tropas do Regimento de Artilharia do Reino no Rio
de Janeiro. De acordo Valente (2007) o Curso Matemático de Bélidor é composto de
dezesseis partes, denominadas de livros. O livro seis segundo o autor aborda o conteúdo de:
polígonos regulares inscritos e circunscritos ao círculo.
Para situar nossa pesquisa no contexto atual da Educação Matemática, recorremos ao
que dizem os pesquisadores sobre o ensino da geometria. Segundo Fainguelernt (1999) a
geometria é considerada como uma ferramenta para compreender, descrever e interagir com o
espaço em que vivemos. Segundo a autora a geometria é, talvez, a parte da Matemática mais
intuitiva e real.
Para Almouloud (2003) na prática, vem sendo dado à geometria menos atenção do que
ao trabalho com outros temas. De acordo com esse autor, a geometria é um ramo importante
da Matemática, tanto como objeto de estudo, quanto como instrumento para outras áreas, e
ainda, que várias pesquisas apontam a geometria como um dos problemas de ensino e
aprendizagem da Matemática.
No entender de D’Ambrosio (1999) a geometria é a ciência do espaço, trabalha com
formas e medições, mas é ingênuo segundo esse autor não se reconhecer que nos tempos
atuais a percepção de espaço é distinta e que se distinguem novas formas, assim como se
avalia e se quantifica de outro modo e se trabalham as quantidades com uma outra dinâmica.
Para o autor esse novo situar-se no seu ambiente requer do homem novas maneiras de
explicar, de lidar e de se desempenhar no seu ambiente natural e social. São outros os
fenômenos e os questionamentos que implicam e estimulam o imaginário dos jovens. Ao
reconhecer novas teorias de aprendizagem, novas metodologias e novos materiais didáticos,
estamos trazendo professores e alunos ao mundo como ele se apresenta hoje.
O estudo da geometria tornou-se importante no contexto da Educação Matemática,
pois, passou por diversas reformas, dentre elas destacamos o movimento de modernização do
ensino da matemática (IMUK) e o Movimento da Matemática Moderna (MMM). Neste
contexto, é importante destacar o estudo desses movimentos para entender como se deu as
principais mudanças no ensino da geometria nos últimos séculos.
Quanto ao livro didático de matemática, recurso auxiliar no processo de ensino e
aprendizagem em todos os níveis de ensino, tem passado, no Brasil, por inúmeras discussões
sobre a sua qualidade com a finalidade de atender as necessidades de professores e alunos da
educação básica, de modo a favorecer a aquisição de conhecimentos socialmente relevantes.
Desenvolver uma pesquisa tendo como objeto de estudo o conteúdo de polígonos
regulares inscritos na circunferência em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino
Fundamental envolve investigar como se dá essa abordagem nos livros selecionados pelo
PNLD/2011. Neste contexto, entendemos a importância de conhecer a história do livro
didático no Brasil, a legislação que o regulamenta e o seu processos de avaliação e aquisição,
os quais tornam o livro didático um instrumento importante para se conhecer o trajeto
histórico da Educação Matemática no Brasil.
Na fase inicial da pesquisa realizamos a aquisição dos livros didáticos de matemática
do 9º ano do Ensino Fundamental junto às distribuidoras que representam as editoras na
cidade de Cuiabá-MT, os quais farão parte do corpus documental da pesquisa, uma vez que
são esses livros que abordam o conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência.
Nessa aquisição conseguimos seis dentre os dez livros de matemática do 9º ano do
Ensino Fundamental selecionadas pelo PNLD/2011. Os exemplares que nos foram
disponibilizados são os abaixo relacionados, os demais livros, segundo as informações das
distribuidoras, não estavam disponíveis para distribuição.
LD1 - IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO Antônio. Matemática e Realidade, 9º
ano. 6ª ed. São Paulo: Atual, 2009.
LD2 - JAKUBOVIC, José; CENTURIÓN, Marília Ramos. Matemática na medida certa, 9º
ano. São Paulo: Scipione, 2009.
LD3 - IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática – Imenes & Lellis, 9º ano. 6ª ed.
São Paulo: Moderna, 2009.
LD4 - DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática, 9º ano. 3ª ed. São Paulo: Ática, 2009.
LD5 - CASTRUCCI, Benedicto; GIOVANNI JR, José R. A conquista da matemática, 9º ano.
1ª ed. São Paulo: FTD, 2009.
LD6 - RIBEIRO, Jackson da Silva. Projeto Radix: matemática, 9º ano. São Paulo: Scipione,
2009.
Destacamos que o Guia de Livros Didáticos que traz as resenhas das dez coleções
selecionadas no PNLD/2011 foi lançado em 2010, ressaltamos também, que as coleções
analisadas foram lançadas em 2009, de modo a passar segundo o Guia/2010, por um longo
processo de avaliação até serem selecionadas pelo PNLD/2011.
Entendemos que o estudo de um conteúdo da geometria em livros didáticos não pode
ser desvinculado do seu contexto histórico, pois, a história de um objeto de pesquisa o
particulariza, além de mostrar sua relevância em trabalhos de matemáticos renomados ao
longo dos séculos e também, da inserção e aplicação desse saber no estudo de outros tópicos
da Matemática. Neste sentido, discutimos a relevância da História da Matemática em livros
didáticos, em particular, a história dos polígonos regulares inscritos na circunferência contido
em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental.
De acordo com Proença e Pirola (2009) trabalhos recentes na área da Psicologia da
Educação Matemática, com enfoque nos processos de formação conceitual envolvendo o
ensino da geometria, mostram que esse ensino ainda continua relegado a um plano secundário
ou realizado de forma distante da pretendida nas escolas. Ainda de acordo com estudos
realizados por esses pesquisadores, podemos verificar que os alunos da educação básica
apresentam dificuldades para identificar e de dominar os atributos definidores dos conceitos
básicos dos polígonos.
Neste contexto, na primeira fase do estudo realizamos um levantamento das pesquisas
produzidas nos programas de Pós-Graduação do Brasil que investigam a geometria em livros
didáticos de matemática do Ensino Fundamental, e ainda, realizamos discussões no Grupo de
Estudo sobre Livros Didáticos de Matemática no Programa de Pós-Graduação da UFMT.
Desse levantamento e das discussões realizadas decidimos por investigar o conteúdo de
polígonos regulares inscritos na circunferência contido em livros didáticos de matemática do
9º ano do Ensino Fundamental selecionados pelo PNLD/2011.
Entendemos que investigar esse saber matemático tornou-se um grande desafio.
Primeiro pela relevância desse conteúdo no ensino da geometria e de sua aplicação no estudo
de outros conceitos da Matemática. Segundo por não termos encontrado pesquisas que
investigam esse conteúdo no levantamento realizado junto aos programas de Pós-graduação
em nível de mestrado e doutorado no Brasil, pois, entendemos que as pesquisas produzidas
sobre um objeto de estudo são de suma importância para se decidir pelas teorias e
metodologias a serem empregadas na investigação, e ainda, saber o que já foi pesquisado
sobre objeto de estudo.
Neste contexto, decidimos pela questão de pesquisa, qual seja: como se articulam as
organizações matemáticas e as organizações didáticas na abordagem do conteúdo de
polígonos regulares inscritos na circunferência contido em livros didáticos de matemática do
9º ano do Ensino Fundamental?
Decidido a questão de estudo, passamos ao objetivo geral da pesquisa, qual seja:
investigar as praxeologias que modelam as resoluções das tarefas aplicadas no estudo do
conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência contido em livros didáticos de
matemática do 9º ano do Ensino Fundamental.
Esse objetivo geral nos levou aos objetivos específicos a seguir relacionados, com os
quais buscamos responder o questionamento que surgiu do nosso objeto de estudo.
- Identificar as principais mudanças curriculares no ensino da geometria após os
movimentos de modernização e internacionalização do ensino da Matemática.
- Realizar um estudo sobre a importância do livro didático na construção e transmissão
do saber matemático no Brasil.
- Identificar se os livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental
abordam a história do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência como
recurso didático.
- Identificar se os autores de livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino
Fundamental aplicam o conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência no estudo
de outros conceitos da geometria.
- Identificar os gêneros de tarefas, tipos de tarefas, de técnicas, de tecnologias e teorias
aplicadas na abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência
contido em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental.
- Descrever as praxeologias relativas ao estudo do conteúdo de polígonos regulares
inscritos na circunferência contido em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino
Fundamental selecionado pelo PNLD/2011.
Com a questão de pesquisa e os objetivos de estudo definidos, passamos à análise do
objeto de pesquisa nos fundamentando na Teoria Antropológica do Didático, de Yves
Chevallard (1996), e nos procedimentos metodológicos da pesquisa qualitativa com
abordagem fenomenológica, por entendermos que tanto a teoria quanto os procedimentos
metodológicos adotados nos respaldam na investigação do objeto de pesquisa.
A seguir, apresentamos os capítulos, os quais representam o percurso de investigação
no estudo do objeto de pesquisa.
No primeiro capítulo apresentamos uma síntese da História da Educação Matemática
no qual descrevemos algumas discussões sobre as principais mudanças curriculares para o
ensino da Matemática, e em especial o ensino da geometria, que ocorreram a partir do final do
século XIX e meados do século XX no panorama mundial e do Brasil, com os movimentos de
internacionalização e modernização do ensino da Matemática. Para o estudo desse capítulo
nos apoiamos nos trabalhos de: Shcubring, Valente, Carvalho e Roxo (2004); Shcubring
(1999, 2003); Miguel e Miorim (2008); Miorim (1998); Pavanello (1989); Burigo (1989);
Soares (2001); Kline (1976); Pires (2009); Silva (2007, 2008); Silva e Valente (2008);
Valente, Burigo e Silva (2008); Wielewiski, Matos e Wielewiski (2009) e Villela (2009).
No segundo capítulo realizamos um estudo sobre o livro didático de matemática
ressaltando sua história e importância na construção e transmissão do saber matemático no
Brasil, em que procuramos discutir o livro didático como um dos mais importantes
componentes do cotidiano escolar, e também, como parte integrante de um sistema de ensino
institucionalizado. E ainda, discutimos os critérios de avaliação e aquisição dos livros
didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental propostos no Guia de Livros
Didáticos de Matemática (2010), o qual traz as resenhas das 10 (dez) coleções selecionadas no
PNLD/2011. Os autores que fundamentam este capítulo são: Choppin (2004); Baroni e
Bianchi (2007); Bittencourt (1993, 2008); Carvalho e Lima (2002); D’Ambrosio (1999,
2008); Francalanza (2006); Freitag (1985); Gérard e Roegiers (1998); Höffling (1993);
Nacarato (2007) e Valente (2007).
No terceiro capítulo apresentamos uma discussão sobre a História da Matemática
aplicada como recurso didático na abordagem de conteúdos da Matemática conforme as
propostas defendidas por diferentes pesquisadores em Educação Matemática e também, de
acordo os objetivos propostos nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s). Os autores que
fundamentam este capítulo são: Baroni e Nobre (1999); Baroni, Teixeira e Nobre (2004);
Baroni e Bianchi (2007); Belhoste (2007); Bertoni (1981); Bittencourt (2004); Fauvel (1991);
Galvão (2008); Fossa (1991, 2001); Gomes (2005); Mendes, Fossa e Valdés (2006), Mendes
(2009); Miorim (2008); Miguel e Miorim (2004, 2008) e Miguel (1993).
No quarto capítulo, apresentamos os fundamentos teóricos da pesquisa: a Teoria
Antropológica do Didático (TAD), a qual norteia a análise do conteúdo de polígonos
regulares inscritos na circunferência contido nos livros didáticos analisados. Apresentamos
também, o método de pesquisa adotado, ou seja, realizamos uma pesquisa qualitativa com
abordagem da fenomenologia para a interpretação, compreensão e manifestação do objeto
investigado. Os autores que fundamentam este capítulo são: Almouloud (2010); Bicudo
(2011, 2010, 2006, 2000); Bicudo e Martins (1983); Chevallard (1991, 1992, 1996, 1999,
2002); Chevallard e Bosch (1999); Chevallard, Bosch e Gascón (2001); Godino, Batanero e
Font (2008); Garnica (1997); Klüber e Burak (2008), Marconni e Lakatos (2010) e Miguel
(2005).
No quinto capítulo apresentamos a análise dos seis livros didáticos de matemática do
9º ano do Ensino Fundamental selecionados pelo PNLD/2011, com o objetivo de responder à
nossa questão de pesquisa: como se articulam as organizações matemáticas e as organizações
didáticas na abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência
contido em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental?
Em seguida, apresentamos as considerações sobre a análise das organizações
matemáticas e das organizações didáticas, as quais constituem as praxeologias que modelam o
estudo do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência proposto nos seis livros
didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental selecionados pelo PNLD/2011 e
analisados na pesquisa.
CAPÍTULO 1 – A INFLUÊNCIA DOS MOVIMENTOS DE INTERNACIONALIZAÇÃO E
MODERNIZAÇÃO NO ENSINO DA GEOMETRIA NO BRASIL
Neste capítulo apresentamos um estudo de como se deu a influência dos movimentos
de internacionalização e modernização no ensino da geometria de acordo com o contexto da
História da Educação Matemática Moderna, e ainda, tratamos das discussões sobre as
mudanças curriculares para o ensino da Matemática e, em especial, o ensino da geometria,
que ocorreram no panorama mundial e do Brasil.
Segundo Schubring (2004) o modelo de educação tradicional que estava sendo
praticado na Europa Ocidental e nos Estados Unidos não desempenhava mais um papel
importante em face da nova realidade desses países no final do século XIX. Na Matemática o
método lógico-dedutivo baseado em teoremas, axiomas e postulados empregados no ensino
da geometria já não correspondiam com as necessidades dessas sociedades em processo de
industrialização. Ainda segundo esse autor no sentido de aprimorar o currículo e a
metodologia do ensino da Matemática, países em expansão como a Alemanha, Inglaterra,
França e Estados Unidos, levaram alguns matemáticos a iniciarem movimentos com o
objetivo de aprimorar o currículo e o ensino da Matemática, a fim de atender a demanda do
mercado de trabalho.
As tensões estruturais que afetavam o ensino da Matemática levaram esses países a
criar um comitê internacional com o objetivo de se discutir e acompanhar as reformas
curriculares no ensino da Matemática. De acordo com Schubring (2004) a comissão foi
constituída e, para dirigi-la, foi eleito um “comitê central”, o congresso havia eleito três
matemáticos: o alemão Félix Klein, o suíço Henri Fehr e o inglês George Greenhill. Klein foi
escolhido para ser o presidente.
De acordo com o autor, foi essa presidência que transformou a proposta inicial numa
atividade dinâmica, uma das primeiras propostas sugerida por Klein foram as mudanças nas
estruturas vigentes que pudessem alcançar todos os níveis de educação, ou seja, do primário
ao superior, pois, a proposta inicial do IMUK tinha como propósito a elaboração de relatórios
e publicações a respeito do andamento das reformas entre os países envolvidos. Esses países
deveriam buscar dois conjuntos de objetivos: o primeiro referia-se a explorar desde a idade
jovem, as noções básicas de quantidade variáveis e dependência funcional nos temas
relacionados à Matemática e, o segundo, era conduzir os métodos de ensino no sentido do uso
das aplicações e da intuição.
Foi o IV Congresso Internacional de Matemática, ocorrido em Roma em 1908, que
criou o IMUK. A tarefa atribuída ao comitê era restrita em diversos aspectos: em
relação ao tempo, aos tipos de escolas envolvidas e ao alcance geográfico. Até o
congresso seguinte (em 1912, em Cambridge), o comitê deveria preparar relatórios a
respeito do estado da instrução matemática nas escolas secundárias dos países mais
desenvolvidos. Essa tarefa era, em grande parte, um trabalho de documentação,
compreendendo uma comparação dos métodos e dos programas de instrução
matemática em países diferentes a fim de apresentar um relatório geral em
Cambridge (LIETZMANN, 1917, apud SCHUBRING, 2004, p. 18).
Miorim (1998) explica que o primeiro movimento de modernização internacional para
o ensino da Matemática tinha por objetivo principal diminuir o descompasso entre os estudos
científico-tecnológicos e o ensino da Matemática clássica, euclidiana, desenvolvido por
escolas de nível secundário. De acordo com Valente (2004) os matemáticos desse movimento
de modernização preocupavam-se em discutir questões ligadas ao ensino e a
internacionalização do ensino da Matemática.
Em 1908, em Roma, durante a realização do IV Congresso Internacional de
Matemática, foi dado início a um levantamento da educação matemática praticada
em diferentes países, a partir da criação de uma comissão internacional, que resultou
na primeira proposta de internacionalização do ensino de Matemática. O Brasil
dentre muitos outros países, foi convidado a participar das discussões promovidas
pelo IMUK (Internationale Mathematische Unterrichtskommission) ou CIEM
(Commission Internationale de l’Enseignement Mathématique). Esteve à frente da
Comissão o matemático alemão Felix Klein. Em meio às analises de um volume
enorme de relatórios produzidos pelos diferentes países, sobre o ensino de
matemática, houve possibilidade, para Klein, de conduzir uma proposta de
internacionalização de reformas curriculares postas em ação na Alemanha. Assim,
será a experiência alemã que irá ditar o primeiro projeto de internacionalização do
ensino de Matemática (MATOS, 2007, p. 5).
Para Schubring (2004) seguiu-se ao congresso de Roma, o V Congresso Internacional
de Matemática, em Cambridge, no ano de 1912. Para esse evento previu-se, inicialmente, que
o comitê preparasse relatórios a respeito do estado da instrução Matemática nos diversos
países. Tal tarefa foi ampliada e buscou-se unir a disseminação de uma proposta de reforma
do ensino de Matemática nos países participantes.
De acordo com esse autor o sucesso obtido com as reformas de Klein com a
implantação de um programa de Matemática que valorizava o ensino da geometria e suas
aplicações, levou o grupo IMUK a adotar oito tópicos, os que haviam sido propostos na
Alemanha e, a partir daí, verificar com que incidência esses tópicos estavam se processando
em outros países. Esses tópicos foram apresentados nos respectivos congressos:
1. A fusão dos diferentes ramos da Matemática no ensino das escolas médias
(Milão, 1911).
2. O rigor no ensino de Matemática nas escolas médias (Milão, 1911).
3. O ensino teórico e prático de Matemática destinado aos estudantes de
ciências físicas e naturais (Milão, 1911).
4. A preparação matemática dos físicos na universidade (Cambridge, 1912).
5. A intuição e a experiência no ensino de Matemática nas escolas médias
(Cambridge, 1912).
6. Os resultados obtidos na introdução do cálculo diferencial e integral nas
classes mais adiantadas dos estabelecimentos secundários (Paris, 1914).
7. A preparação matemática dos engenheiros nos diferentes países (Paris, 1914).
8. A formação dos professores de Matemática para os estabelecimentos
secundários (Paris, 1914), (SCHUBRING, 2004, p. 35-36).
Para esse autor o momento alto dos trabalhos do IMUK se deu no congresso de 1914,
em Paris, e dos oito tópicos propostos na Alemanha, apenas três correspondiam ao nível
oficialmente designado pelo IMUK (1, 2 e 5), enquanto os outros cinco, (3, 4, 6, 7 e 8) diziam
respeito ou à transição da educação secundária para a superior ou mesmo à educação superior
exclusivamente.
De acordo com Valente (2004) num texto sobre a Comissão Internacional do Ensino
de Matemática, Henri Fehr (1920) faz um balanço dos trabalhos e relatórios da comissão após
sua suspensão durante a Primeira Guerra Mundial e menciona que, apesar da guerra, várias
subcomissões nacionais continuaram a elaborar os seus relatórios, mas, alguns países, entre
eles o Brasil, ainda estavam devendo os seus relatórios.
Em 1920, Henri Fehr, secretário-geral da Comissão, elabora uma lista completa dos
trabalhos publicados pela Comissão Internacional e pelas subcomissões nacionais.
Ao todo, no período de 1908 até 1920, são 310 relatórios, entre os quais se
destacaram pela quantidade: a Alemanha, com 53, a Grã-Bretanha, com 32 e os
Estados Unidos, com 18. Na relação, o único representante da América do Sul é a
Argentina (VALENTE, 2004, p. 55-56).
Segundo Schumbring (2004) em relação às publicações do IMUK apresentadas em
1920 por ocasião do encerramento das atividades do comitê foi impressionante, e a partir de
1952, o IMUK passou a ser conhecido como ICMI – International Commission on
Mathematical Instruction. Ao estudar o desenvolvimento dos relatórios internacionais,
podemos notar que na Inglaterra foram enfatizados os métodos práticos no ensino da
geometria, ou seja, método de laboratório. Nos Estados Unidos, a principal discussão
referente à reforma se deu em relação à integração da geometria com a álgebra. Em Paris, o
tema que atraiu mais a atenção e participação foi a introdução do cálculo nas escolas
secundárias.
Para estudar o cálculo baseado na ideia do pensamento funcional, a intuição e a
experimentação tornavam-se pontos primordiais e foi a partir da importância dada a esses
temas que a geometria se fortaleceu no ensino secundário, tornando-se uma fonte privilegiada,
tanto para a exploração do pensamento funcional, como para a exploração da intuição e
experimentação.
De acordo com Braga, 2003, apud Menesses, 2007, o matemático Klein (1914) propõe
um ensino de geometria em que se deveria valorizar a intuição e a experimentação numa
primeira abordagem e, só posteriormente, partir-se-ia para uma sistematização. Configura-se,
assim, a necessidade de elaboração de uma geometria que teria por objetivo estabelecer uma
ponte entre a experiência comum do aluno sobre o espaço e a geometria demonstrativa.
Para esses autores o matemático Klein propõe que o ensino da geometria deve
começar pelos sólidos simples, de que se farão derivar conceitos fundamentais, as relações de
posição de retas e planos e as principais figuras geométricas. As definições científicas devem
ser evitadas. Por métodos empíricos (translação, rotação, dobramentos e medida) obtêm-se as
principais proposições relativas angulares, áreas e circunferências, neste sentido, haverá uma
transição gradual da intuição para a demonstração. Desde o início, as figuras geométricas não
devem ser consideradas rígidas e recomenda-se um largo uso do movimento para o fim de
ilustrar e sugerir relações geométricas importantes.
No que se refere especialmente à geometria, segundo esses autores, Klein (1931)
sugere que se deva reduzir no ensino secundário à intuição concreta, e passar depois, pouco a
pouco, aos elementos lógicos, pois, o método genético é o único apropriado, porque permite
ao aluno ir penetrando nas coisas sem esforço.
Segundo Roxo (2004) o curso de geometria não se justifica apenas como ponte entre a
experiência vulgar do espaço e a geometria dedutiva, mas ainda, como um complemento desta
última, que pode desenvolver a capacidade de raciocínio dedutivo, capaz de completar a
educação matemática do aluno. Pois, segundo o autor, aquilo que se denomina de
intuitividade ou percepção especial do meio ambiente, aptidão necessária ao êxito da vida
prática, não pode ser fornecido pela geometria dedutiva unicamente.
Essas questões tornaram o ensino da geometria uma fonte primordial na aplicação dos
conteúdos da Matemática e das metodologias propostas pela reforma do IMUK.
1.1 - OS PROFESSORES DO COLÉGIO PEDRO II E O MOVIMENTO DO IMUK NO BRASIL
Os professores de Matemática do Colégio Pedro II interessados nas discussões
internacionais sobre o ensino da Matemática, em 1912 reúnem-se, e o professor Arthur Thiré
propõe que seja nomeada uma comissão para estudar as modificações a serem feitas na
distribuição das matérias para a atualização do ensino da Matemática nesta instituição de
ensino.
De acordo com Valente (2004) ainda na mesma reunião, revelando grande interesse
em saber o que vinha sendo tratado nas discussões internacionais sobre o ensino da
Matemática, o professor Arthur Thiré (1912) propõe que seja nomeada outra comissão “para
dar os passos necessários no intuito de arranjar que o governo nomeie o professor Raja
Gabaglia, delegado do Brasil no Congresso de Matemática a reunir-se na Europa”. Segundo o
autor as sugestões foram aprovadas pelos professores e foi nomeada a seguinte comissão:
Henrique Costa, Raja Gabaglia e Arthur Thiré (VALENTE, 2004, p. 53).
Segundo Valente (2004) Raja Gabaglia viaja para a Inglaterra em 1912, investido da
condição de representante do Brasil no V Congresso Internacional de Matemática. Para esse
autor o professor Gabaglia era oficialmente portador da adesão do governo brasileiro à
comissão internacional, reafirmando o interesse do Brasil no aperfeiçoamento da organização
do ensino da Matemática. O professor Gabaglia também se comprometia a entregar “um
estudo completo sobre o conjunto dos estabelecimentos que forneciam um ensino
matemático” no congresso seguinte (FEHR, 1912, apud VALENTE, 2004, p. 53).
Para Valente (2004) o professor Gabaglia teve, então, a missão de representar o
governo e os matemáticos do Brasil, além de ser um dos primeiros brasileiros a manter
contato com as propostas internacionais de modificações para o ensino de Matemática. Para
esse autor, apesar da oportunidade conferida ao professor Gabaglia, ao que tudo indica pouco
o Brasil colaborou com o movimento das reformas. De acordo com o autor em um texto sobre
a Comissão Internacional do Ensino de Matemática, Henri Fehr (1920) comunica que alguns
países estavam devendo os relatórios que haviam se comprometido a entregar e, dentre esses
países citados, constava o Brasil.
Valente (2004) fez o seguinte comentário sobre a atuação do professor Gabaglia como
representante do Brasil junto ao IMUK:
O resultado final é que pelas mãos de Gabaglia, único brasileiro a ter tido
oportunidade de presenciar as discussões internacionais sobre a modernização do
ensino de matemática, nada parece ter sido trazido para o Brasil. Os antigos livros
F.I.C., traduzidos por Gabaglia, continuaram a referenciar o ensino de matemática e
seus programas. [...] ao que tudo indica, o mestre pouco ou nada teria se enfronhado
nos debates sobre a reforma modernizadora e mais teria feito papel de relações
públicas do governo brasileiro (VALENTE, 2004, p. 57-58).
Segundo Valente (2004) outra hipótese é que o professor Gabaglia, participando dos
debates, teria interesse menos idealista e mais pragmático, e ainda, tinha interesse de
continuar a divulgar e dar uso aos livros F.I.C., que traduziu pela editora Garnier, livros que
seriam considerados ultrapassados, face ao ideário da modernização proposto pela reforma
internacional.
1.2 – AS DISCUSSÕES SOBRE O ENSINO DA MATEMÁTICA NO COLÉGIO PEDRO II
Com o falecimento do professor Raja Gabaglia e com a viagem do professor Joaquim
Almeida Lisboa ao exterior, Valente (2004) afirma que uma nova geração assume o comando
do ensino da Matemática no Colégio Pedro II. Essa nova geração encabeçada por Euclides
Roxo aparentemente, não encontrou dificuldades para produzir inovações no currículo de
Matemática do Colégio Pedro II.
Essas inovações foram aprovadas pelo Departamento Nacional de Ensino e pela
Associação Brasileira de Educação passando a vigorar apenas no Colégio Pedro II, a partir de
1929. Com a aprovação desse novo programa surgiu uma nova disciplina no Brasil,
denominada Matemática, com a fusão da álgebra, aritmética e geometria, que até antes da
aprovação da reforma eram disciplinas autônomas. De acordo com Meneses (2007, p. 88) a
geometria era considerada como “o carro-chefe para o funcionamento dessa nova disciplina
escolar”, pois, o caráter experimental e intuitivo deveria sempre estar vivo e presente nas
questões que tratassem da aprendizagem dos alunos quanto ao ensino da Matemática.
Segundo Carvalho (2004) em 1928, antes da Reforma Campos, a congregação do
Colégio Pedro II propôs uma reforma curricular que representava uma radical mudança para
os programas do ensino da Matemática e na qual estavam presentes as ideias modernizadoras,
defendidas pelo movimento internacional para a modernização do ensino da Matemática
desde o início do século XX.
Entre nós, até 1929, o ensino de aritmética, de álgebra e de geometria eram feitos
separadamente. O estudante prestava, pelo regime de preparatório que vigorou até
1925, um exame distinto para cada uma daquelas disciplinas (...) Em 1928,
propusemos à congregação do Colégio Pedro II a modificação dos programas de
matemática, de acordo com a orientação do moderno movimento de reforma e a
consequente unificação do curso (...) sob a denominação de matemática (...) (ROXO,
1940, apud CARVALHO, 2004, p. 93).
De acordo com Carvalho (2004) a proposta de reforma dos currículos de Matemática
do Colégio Pedro II foi homologada pelo Conselho Nacional do Ensino e institucionalizada
pelo Decreto nº 18 564 de 15/1/1929. Para esse autor, Roxo adotou os princípios gerais das
ideias de Felix Klein e do IMUK sobre o ensino da Matemática. Essas ideias visavam as
seguintes tendências:
1. Tornar predominante o ponto de vista psicológico – isso significa que o ensino
não deve depender unicamente da matéria ensinada, mas deve atender antes de tudo
ao indivíduo a quem se tem de ensinar (...) Aplicando particularmente ao ensino da
matemática esse princípio geral nos conduz a começar sempre pela intuição viva e
concreta e só pouco a pouco trazer ao primeiro plano os elementos lógicos e
adotar, de preferência, o método genético, que permite uma penetração lenta das
noções.
2. Na escolha da matéria a ensinar ter em vista as aplicações da matemática ao
conjunto das outras disciplinas, procurando aliviar o estudante de uma grande
sobrecarga de estudo cujo interesse é puramente formalístico, para tornar o ensino
mais vivo e mais produtivo.
3. Subordinar o ensino da matemática à finalidade da escola moderna: (...) Daí
decorre a necessidade de se ter em vista, no ensino da matemática, as suas
aplicações às ciências físicas e naturais e à técnica (CARVALHO, 2004, p. 95).
Ainda de acordo com o autor, dessas três tendências gerais que se harmonizam e se
fortalecem mutuamente, decorrem outras características e modalidades, que também se
entrelaçam e se completam. São elas:
a) A fusão da aritmética, da álgebra e da geometria (incluindo a trigonometria). Que
segundo Euclides Roxo, repetindo ideias de Klein, essas partes não devem ser
completamente fundidas, mas não devem ser tão separadas como acontecia nas
escolas, contra o que é natural; um exemplo instrutivo é o estudo das proporções que
primeiro se explicam aritmeticamente e depois – muitas vezes sem nenhuma relação
com o estudo anterior – ensina-se novamente sob forma geométrica.
b) Introdução precoce da noção de função, que, para Klein, é o âmago do moderno
movimento de reforma, apresentada – o que se não deve perder de vista – sob forma
geométrica e expressa, eficazmente, pelas representações gráficas.
c) Abandono, em parte, da rígida didática de Euclides (die starre euklidische
Manier), com a introdução da ideia da mobilidade de cada figura, por meio da qual,
em cada caso particular, torna-se compreensível o caráter geral da geometria.
d) Introdução, desde cedo, de noções de coordenadas e de geometria analítica
acessíveis à compreensão dos meninos desde as primeiras séries e que por isso,
deveriam repassar todo o ensino da matemática, em vez de – como se faz atualmente
– sobreporem-se, como uma nova construção à parte, ao estudo já concluído da
geometria elementar.
e) Introdução de noções de cálculo diferencial e de cálculo integral, apoiadas de
modo preponderante em métodos geométricos, e, portanto, intuitivos.
f) Maior desenvolvimento do ensino do desenho projetivo e da perspectiva, ainda
em conexão com o estudo da geometria elementar.
g) Introdução de recursos de laboratório constituindo o que os americanos chamam
de “laboratory method”.
h) Finalmente, um princípio que preside todos os anteriores: o método histórico no
desenvolvimento da matemática – princípio pedagógico de ordem geral, por todos
francamente reconhecidos, mas raramente respeitado (CARVALHO, 2004, p. 96-
97).
Para Carvalho (2004) as discussões sobre a nova orientação do ensino introduzidas por
Euclides Roxo foram muito discutidas, como podemos ver a seguir:
(...) Efetivamente, o novo programa modificava o antigo, alterava-lhe a seriação e o
método; fundia a álgebra e a geometria. No começo do curso, os alunos deveriam
adquirir, de modo intuitivo, um conjunto de noções geométricas, e depois de
exercitarem-se no manejo das principais unidades efetivas de comprimento, o
professor deveria ministrar os conceitos fundamentais da álgebra. O número literal
aparecia a eles como medida de um segmento; o polinômio como representação do
perímetro de um polígono, no qual o professor teria a oportunidade de ressaltar os
três pontos de vista: o aritmético, o algébrico e o geométrico. O aritmético somando
o comprimento dos lados do polígono, realmente medidos pelo aluno; o algébrico,
representando por letras os comprimentos dos diversos lados e indicando a soma; e o
geométrico, justapondo, sobre uma reta, segmentos iguais aos lados (...)
O ensino deveria ter um caráter vivo e intuitivo; as primeiras noções deveriam ser
dadas, tanto quanto possível, experimentalmente. “Fica sendo assim a indução a
base essencial para a aquisição de conhecimentos matemáticos; só nos anos
superiores se irá, aos poucos, iniciando o aluno no método dedutivo e fazendo com
que ele compreenda a necessidade e a importância do raciocínio rigorosamente
abstrato” (Instruções para a execução do programa do 1º grau). (...) (REIS, 1931,
apud CARVALHO, 2004, p. 112-113).
De acordo com Miorim (2008) a proposta da Congregação do Colégio Pedro II, que
estava em acordo com as novas ideias existentes naquele momento no Brasil, representou um
elemento decisivo para a introdução do ensino moderno em todas as escolas secundárias
brasileiras. Para a autora o fato só se deu com a reforma que Francisco Campos apresentaria
para a escola secundária, inicialmente por meio do Decreto nº 19 890, de 18 de abril de 1931,
depois consolidada pelo Decreto nº 21 241, de 4 de abril de 1932. A autora afirma que essa
foi a primeira tentativa de estruturar todo o curso secundário nacional e de introduzir nele os
princípios modernizadores da educação.
Francisco Campos, o primeiro-ministro do recém-criado Ministério da Educação e
Saúde Pública - que havia remodelado o ensino primário e normal de Minas Gerais,
de acordo com as idéias do movimento renovador da educação -, acatou, em sua
reforma para o ensino secundário, todas as idéias modernizadoras presentes na
proposta da Congregação do Colégio Pedro II, na parte relativa ao ensino de
Matemática (MIORIM, 2008, p. 93).
No entender da autora, dessa maneira, essas ideias foram, ao menos oficialmente,
implantadas em todas as escolas secundárias brasileiras, na Portaria Ministerial nº 19 890, de
30 de junho de 1931, são apresentados os programas do curso fundamental do ensino
secundário e as respectivas instruções pedagógicas. Nessa Portaria, segundo a autora, constam
todos os pontos defendidos pelo movimento reformador em geral e, em particular, aqueles
defendidos pelo Movimento Internacional para a Modernização do Ensino da Matemática.
Na parte relativa à geometria, segunda Miorim (1998) percebe-se uma clara
preocupação em introduzir os raciocínios lógicos apenas após um trabalho inicial que
familiarize o aluno com as noções básicas presentes nas figuras geométricas, quer em sua
posição fixa, quer por meio de seus movimentos. De acordo com a autora, apesar de não ser
eliminado o estudo da geometria dedutiva, que, entretanto, ficara restrito à geometria plana,
sugeria-se que ele fosse introduzido de forma gradual e tivesse sempre por base as
observações intuitivas e a compreensão da necessidade de uma demonstração.
O maior problema enfrentado pela modernização, entretanto, veio da forte
resistência apresentada pelos defensores do ensino clássico. Eles entendiam que “a
restauração das Humanidades Clássicas” era a forma adequada de combater o
enciclopedismo superficial e a especialização prematura responsáveis pela “descida
de um nível dos estudos secundários no Brasil” (VIEIRA, 1935, apud MIORIM,
1998, p. 99).
A autora afirma que as críticas à proposta de modernização não vinham, entretanto,
apenas dos defensores das línguas clássicas, mas, também, de professores de Matemática que
defendiam a Matemática clássica, no estilo euclidiano.
“Os livros [didáticos] que obedecem a esta falsa diretriz são simples inventários de
fatos isolados, de exercícios infantis, de noções erradas, livros que envenenam a
mocidade em vez de lhe inspirar o amor da ciência e o hábito do estudo [...]
Os que pretendem realmente aprender nada encontram nessas páginas vazias [...]
Em geral, os autores que seguem os atuais programas oficiais, tomaram por modelo
livros americanos ou alemães, para escolas profissionais elementares. E é isso que
impingem, no Brasil, os estudantes do curso secundário!” (VIEIRA, 1936a, apud
MIORIM, 1998, p. 103).
As propostas do IMUK influenciaram as futuras discussões sobre a Educação
Matemática em diferentes países. No Brasil, segundo Valente (2005) esse primeiro
movimento de renovação internacional do ensino da Matemática produz várias consequências,
entre elas, segundo o autor, é possível mencionar: a criação da disciplina escolar Matemática,
o debate sobre a necessidade de criar faculdades de filosofia para a formação de professores
de Matemática e, a emergência de discussões relativamente à distinção entre ser professor de
Matemática e exercer o ofício de matemático.
O IMUK influenciou também nas ideias de Euclides Roxo quanto ao estudo
simultâneo e integrado das várias áreas da Matemática, e a presença da Matemática em cada
série do currículo. Quanto às reformas promovidas por Campos e Capanema, Euclides Roxo
teve participação decisiva e fez com que se consolidasse a ideias da existência de um
currículo nacional obrigatório, já adotado pela congregação do Colégio Pedro II, obrigando
todos os estabelecimentos de ensino secundário do país a seguirem os novos programas, e
determinando a todos os autores de livros para o ensino secundário a adaptarem-se a estes
programas. Quanto aos livros didáticos, esses só poderiam ser adotados nas escolas
secundárias em todo país se os autores desses livros didáticos de matemática os adaptassem
ao novo programa oficial do governo brasileiro.
Segundo Miorim (1998) é difícil avaliar até que ponto as ideias modernizadoras
conseguiram alterar a fisionomia do ensino da Matemática nas escolas secundárias brasileiras.
Para a autora, podemos apenas afirmar que a partir desse movimento alguns elementos novos
começaram a penetrar nesse ensino.
O IMUK representou a primeira tentativa, organizada e envolvendo vários países, de
reformular o ensino da Matemática, de modo que algumas diretrizes que foram estabelecidas
nesse movimento influenciaram as futuras discussões sobre a Educação Matemática, tanto no
Brasil, como em diferentes países.
1.3 - O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA E O ENSINO DA GEOMETRIA
Na década de sessenta do século XX a Educação Matemática no Brasil e no mundo
passa novamente por intensas discussões sobre reformulações e modernização do currículo
escolar com um movimento de professores e matemáticos que ficou conhecido como
Movimento da Matemática Moderna (MMM). Segundo Villela (2009) esse movimento
chegou a um grande número de países, perdurando por cerca de duas décadas, deixando
consequências não só com relação à visão estruturante dos saberes matemáticos, como
também acrescentou tópicos que até hoje constam no rol de conteúdos trabalhados na
Matemática. O MMM trouxe novidades não só quanto ao currículo escolar, mas também
quanto ao caráter didático-metodológico e à produção de livros didáticos.
Cerca de cinquenta anos mais tarde, um novo movimento para internacionalizar uma
nova proposta de ensino da Matemática tem lugar. Matemáticos em cena,
novamente, elaboram um novo programa de ensino, uma nova matemática escolar
que busca diminuir as distâncias entre o saber dos matemáticos e aquele dos
currículos escolares. Fato inédito na história desse ensino são as ações desenvolvidas
para levar professores, pais e alunos a perceberem que tudo que haviam aprendido
até então sob a rubrica de Matemática, deveria ser mudado em prol de uma
Matemática Moderna (MATOS, VALENTE, 2007, p. 5, grifo dos autores).
De acordo com Guimarães (2007) no período do pós-guerra e ao longo dos anos 50,
em muitos países da Europa, e também em países desenvolvidos como os Estados Unidos da
América, começou a tomar corpo a ideia de que se tornava necessário e urgente uma reforma
no ensino da Matemática. Na verdade, durante toda a década de 50, foram tendo lugar
numerosas iniciativas e realizações, de natureza variada e com propósitos diversificados, que
tinham em comum a intenção de modificar os currículos do ensino da Matemática visando à
atualização dos temas matemáticos ensinados, bem como a introdução de novas
reorganizações curriculares e de novos métodos de ensino.
A Matemática Moderna nasceu num contexto do pós-guerra e foi motivada por um
lado, por razões exteriores à Escola e ao ensino, em particular de ordem social, dada
a necessidade de uma maior e melhor formação matemática dos cidadãos em geral
que, como era então reconhecido, a evolução económica, científica e tecnológica em
muitos países, exigia. Por outro lado, por razões internas relacionadas sobretudo
com o grande desenvolvimento da Matemática e com o desfasamento, face a este
desenvolvimento, dos programas desta disciplina do ensino superior. Foi, por isso,
ganhando corpo a necessidade e a urgência de uma transformação no ensino da
Matemática, essencialmente com um propósito de fundo, a sua modernização.
Pretendia-se uma Matemática nova, nas escolas e por isso se pugnava pela
actualização dos conteúdos ensinados e da sua organização no currículo, bem como
pela modificação dos métodos de ensino praticados para que estivessem mais de
acordo com os conhecimentos da época, particularmente da Psicologia, sobre a
aprendizagem e desenvolvimento (GUIMARÃES, 2007, p. 42).
Para os autores Wielewski, Matos e Wielewski (2010) nesse contexto, um novo
programa de ensino foi idealizado com a pretensão de aproximar o conhecimento matemático
desenvolvido nas universidades e aquele desenvolvido no ensino secundário, além de
evidenciar necessidades relacionadas com aspectos sociais, de progresso científico e
tecnológico, e o próprio desenvolvimento da Matemática. De acordo com Valente (2008) o
propósito de mudança da Matemática escolar, inscreveu-se na criação do chamado Plano
Marshall de ajuda estadunidense aos países europeus saídos da Segunda Guerra Mundial,
onde, para gerir essa ajuda é criada a Organização Européia de Cooperação Econômica
(OECE), em 1948, transformada, no início dos 1960, em OCDE – Organização para a
Cooperação e Desenvolvimento Econômico.
As preocupações da OECE/OCDE com a educação decorrem diretamente da esfera
econômica. A convenção de 1948, que constituiu a OECE, estipulava que as partes
contratantes utilizarão de modo mais completo e racional a mão-de-obra disponível.
A necessidade de dar conteúdo a essa cláusula fez com que, logo em 1953, fosse
criada, ainda no seio da então OECE, a Agência Européia de Produtividade, e, mais
tarde, em 1958, se constituísse, de forma permanente, o Bureau do Pessoal
Científico e Técnico (BPST). Em 1970, ainda sob o impacto do lançamento pela
URSS do primeiro satélite artificial, o Sputnik, foi criado o atual Comitê de
Educação da OCDE, em resultado da fusão de vários organismos ligados à ciência e
à formação dos quadros científicos e técnicos. No cerne destas decisões estava a
convicção de que a ciência era a força motriz do progresso, e que a superação da
penúria de investigadores e de engenheiros qualificados teria consequências a longo
termo nos sistemas educativos, levando a modificações consideráveis não apenas no
ensino universitário, mas sobretudo na formação geral de nível básico e secundário
(TEODORO, 2001, apud VALENTE, 2008, p. 7-8).
A disseminação desse ideário foi viabilizada pelos congressos internacionais e
nacionais, bem como pela intervenção de organizações como UNESCO e OECE. A UNESCO
contribuiu com a viabilização de pesquisas e de uma completa produção escrita sobre o
desenvolvimento do ensino de Matemática em diferentes países. Essa produção, denominada
New Trends in Mathematics Teaching, publicada em quatro volumes, no período de 1966 a
1979, de certa forma, trouxe elementos sobre o ensino de Matemática que subsidiaram a sua
modernização em diferentes países, e que explicitaram a necessidade de uma mudança
(WIELEWSKI, MATOS, WIELEWSKI, 2010, p. 325).
Para esses autores, a OECE atuou diretamente nos países da Europa, porém houve o
envolvimento de representantes de países da América nas discussões iniciais. Com a
finalidade de desencadear ações educativas na área da Matemática, em 1959 a OECE
organizou em Royaumont, na França, uma Sessão de Estudo, com duração de duas semanas,
sobre “A Nova Matemática”. Participaram dessa sessão 16 países europeus, além do Canadá e
EUA, e nela discutiu-se a necessidade de se implantar uma educação Matemática moderna,
inicialmente, no nível secundário.
Uma das conclusões importantes a que se chegou nessa Sessão, gerando a publicação
do livro Mathemátiques Nouvelles, em 1961, segundo esses autores foi a seguinte resolução:
Todos os participantes da sessão de estudo estão de acordo sobre a necessidade de
modernizar o ensino da matemática. Para realizar esta modernização é indispensável
que cada país redija novos livros didáticos e novos manuais. Este trabalho será
muito facilitado se um plano sinóptico indicando as diferentes possibilidades de
reforma for colocado à disposição dos países para ajudá-los a escrever os seus
próprios livros didáticos a serem testados de forma sistemática.
Para estabelecer a base para este trabalho, os membros da sessão de estudo
recomendam que a OECE constitua uma comissão de especialistas, composta por
professores de matemática das universidades, das escolas secundárias e das
instituições encarregadas de formar professores do ensino secundário. Esta comissão
iria elaborar um quadro com uma sinopse de todos os conteúdos que o ensino
secundário de matemática deveria abordar, indicando o espírito com que estes
assuntos deveriam ser ensinados (OECE, 1961, apud WIELEWSKI, MATOS,
WIELEWSKI, 2010, p. 326).
Segundo Wielewski, Matos e Wielewski (2010) outra recomendação da OECE referiu-
se ao programa de Matemática definitivo. Este somente poderia ser formulado após a
elaboração de textos, tendo como parâmetro os programas desenvolvidos naquela sessão de
trabalho, e depois de eles serem utilizados por um período experimental. O programa sugerido
foi distribuído em dois ciclos. O 1º ciclo (11-15 anos) e o 2º ciclo (16 -18 anos), e quanto ao
estudo da geometria, que fosse realizado numa abordagem algébrica, focando as
transformações geométricas numa introdução das noções de vetor, ângulo e simetria, bem
como outras transformações.
Miorim (1998) relata que na Conferência Internacional, em Royaumont, foram
estabelecidas as bases do Movimento da Matemática Moderna, idealizadas principalmente
pelo matemático francês, pertencente ao grupo Bourbaki, Jean Dieudonné (1906-1992). Os
objetivos do Movimento da Matemática Moderna eram similares ao movimento anterior, do
início do século XX, ou seja, diminuir o descompasso entre a Matemática ensinada no
secundário e seus avanços tecnológicos. Porém, diferentemente da primeira proposta
modernizadora, a proposta do Movimento da Matemática Moderna baseou-se,
exclusivamente, na moderna Matemática, em sua forma axiomática desenvolvida pelo grupo
Bourbaki, na qual os elementos essenciais eram as estruturas como elemento unificador, a
teoria dos conjuntos, com sua linguagem simbólica e as relações.
A proposta emanada de Royaumont e Dubrovnik tem a nítida marca de uma
concepção estruturalista da Matemática de inspiração bourbakista, com as
implicações correspondentes no que se refere à Matemática para ser ensinada no
ensino secundário: a ênfase na unidade da Matemática (a ideia de “fusão”
Aritmética/Álgebra e da “síntese” Álgebra/Geometria, a integração da
Trigonometria em outros tópicos curriculares); a importância dada à Álgebra e à
Geometria vectorial, bem como às estruturas matemáticas; a orientação axiomática
do ensino, isto é, a organização do currículo tendo como última meta o estudo
axiomático da Matemática; a preocupação com o rigor e com a linguagem e
simbologia matemáticas (GUIMARÃES, 2007, p. 43).
Miorim (1998 ) afirma que, ao contrário do primeiro Movimento, a adesão ao
Movimento da Matemática Moderna foi maciça, devido a razões externas ao campo
científico-tecnológico a ele vinculadas. Um desses fatores foi a preocupação dos Estados
Unidos em modernizar o ensino da Matemática, que se manifestou fortemente durante a
segunda Guerra-Mundial porque os soldados americanos apresentavam alto grau de
deficiência com relação à Matemática. Outro fator importante foi o lançamento do primeiro
foguete russo em 1957, o Sputnik, evidenciando a defasagem tecnológica americana. Para a
autora as propostas do movimento foram também reforçadas pelos estudos psicológicos de
Jean Piaget (1896-1980). A consequência de todos esses fatores foi a maciça repercussão do
Movimento da Matemática Moderna no mundo todo, com exceção da Itália e dos países
ligados à Rússia.
De acordo com Pavanello (1989) os novos métodos de se abordar a Matemática
Moderna ainda não eram dominados pela grande maioria dos professores, a geometria passou
a ser desenvolvida intuitivamente, sem qualquer preocupação com a construção de uma
sistematização. Assim, optou-se por apenas acentuar as noções de figuras geométricas e de
intersecção de figuras como conjunto de pontos no plano. A coerência da Matemática
Moderna exigia que a geometria fosse trabalhada sob o enfoque das transformações e como os
professores estavam despreparados, aos poucos deixaram de ensinar os conteúdos
geométricos, trabalhando principalmente com a álgebra ou a aritmética e com a teoria dos
conjuntos.
1.4 - A GEOMETRIA E O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA NOS
CONGRESSOS
De acordo com Guimarães (2007) a proposta de reforma delineada em Royaumont
(1959) e a sua especificação realizada em 1960, em Dubrovnik, com a elaboração de “Um
programa moderno de Matemática para o ensino secundário”, foram fortemente influenciadas
pelas ideias estruturalistas dominantes da época, em particular no que se refere à Matemática
e à Psicologia. Respeitando o desenvolvimento da Matemática pura da época e dele se
aproximando, uma das conclusões apontadas no Seminário foi unificar os diferentes campos
da Matemática, respeitando sua unidade. “Não é mais necessário que o curso de Álgebra seja
isolado e paralelo aos cursos de Aritmética, de Geometria, de Trigonometria e de Análise”
(OECE, 1961, apud GUIMARÃES, 2007, p. 22, grifo do autor).
Conforme o autor o programa traz no seu Capítulo II uma ampla abordagem da
geometria para o 1º ciclo do Ensino Secundário (11 a 15 anos), o que mostra que a geometria,
pelo menos como discurso, não foi abandonada pelo ideário. O objetivo era apresentar uma
geometria que refletisse as tendências modernas com relação aos aspectos do espaço. Para
isso, seria preciso uma integração da álgebra com a geometria, ou seja, a integração desses
dois campos serviria como uma preparação para se estudar mais tarde os aspectos da análise.
Em relação especificamente ao ensino de geometria, segundo Silva (2007) podemos
identificar duas importantes contribuições no Seminário de Royaumont. A primeira delas, de
Jean Dieudonné, matemático do grupo Bourbaki, que, em sua Conferência, para sintetizar e
exemplificar as ideias por ele defendidas na nova proposta de ensino enuncia uma frase que se
tornou emblemática: “Se eu quisesse resumir numa frase todo o programa que tenho em
mente, fá-lo-ia com o slogan: Abaixo Euclides!” (OECE, 1961, apud SILVA, 2007, p. 87,
grifo da autora).
Para Silva (2007) nesse seminário, Dieudonné defendia que a noção de vetor teria uma
extrema importância em toda a ciência moderna, podendo inclusive se ensinar geometria
vetorial, e defendia também que as simetrias, as translações e os produtos das transformações
seriam, por exemplo, as noções fundamentais da geometria e que a linguagem e a notação
simbólica deveriam ser introduzidas tão cedo quanto possível.
De acordo com a autora, o matemático Dieudonné esclarece que tem profunda
admiração pelos resultados encontrados pelos gregos na Matemática, porém, há uma
necessidade de reorganização da geometria euclidiana, após a metade do século XIX, para se
reavaliar sua importância em relação às matemáticas modernas. A autora afirma ainda que
Dieudonné propõe dois princípios diretores na reformulação do ensino da Matemática, quais
sejam:
O primeiro é desenvolver uma teoria matemática sob a forma axiomática, quando o
aluno esteja familiarizado com as questões sobre as quais ela se aplica e tenha
trabalhado um certo tempo sobre uma base experimental ou semi-experimental. O
segundo princípio é manter uma honestidade rigorosa ao introduzir a dedução lógica
nas questões matemáticas, o que significa dizer, sem dissimular as lacunas ou os
defeitos de raciocínio. Como exemplo, cita o ensino atual da geometria, que se inicia
com as sequências de definições que não definem nada e de pseudodemonstrações
que não resistem à analise lógica (OECE, 1961, apud SILVA, 2007, p. 87-88).
Em referência ao ensino da geometria, Dieudonné acrescenta:
As minhas críticas visam portanto, não à finalidade mas aos métodos de ensino da
Geometria; afirmo sobretudo que seria muito melhor basear este ensino, não em
noções e resultados artificias que, na maior parte das aplicações não têm nenhuma
utilidade, mas em noções fundamentais que dominam e esclarecem todas as questões
onde a Geometria intervém. No momento em que, por exemplo, a noção de vector
tem uma importância capital em toda a ciência moderna, a noção de triângulo é
artificial e não tem praticamente nenhuma aplicação (OECE, 1961, apud SILVA,
2007, p. 88).
Neste sentido, a tese defendida pelo matemático bourbakista é a de um ensino da
geometria inteiramente baseado nos vetores e espaço vetorial com duas dimensões, com
sugestões para uma extensão a três dimensões. É neste sentido que a abordagem euclidiana
perde a sua importância.
De acordo a autora nem todas as ideias de Dieudonné foram recebidas com
unanimidade, porém, nota-se que algumas delas permaneceram à proposta elaborada pela
OECE (1961b) em Dubrovnik. No programa sugerido, é possível identificar alguns conteúdos
de geometria destinados ao 1º ciclo do Ensino Secundário (11 a 15 anos), tais como:
1) Introdução à noção de vetores como segmentos orientados: adição, subtração e
multiplicação por um escalar. Vetores era um assunto priorizado por se entender
que esse conteúdo tinha muita importância para a ciência moderna;
2) Ângulo: propriedades dos ângulos estudadas com relação às retas paralelas, os
polígonos, os paralelogramos e os triângulos;
3) Simetria: triângulos isósceles;
4) Transformações estudadas em um ponto de vista físico e intuitivo para o estudo
das propriedades das figuras. As transformações serão efetuadas por meio de papel
dobrado.
Silva (2007) afirma que a segunda contribuição no Seminário de Royaumont, em
relação ao ensino de geometria, deve-se ao matemático O. Botsch, da Alemanha, que
recomenda, assim como Dieudonné, que a geometria dedutiva deve ser precedida por um
estudo com base na observação e manipulação de objetos concretos. Segundo a autora esse
matemático defende uma concepção dinâmica no ensino da geometria.
Ainda de acordo com a autora o matemático O. Botsch propõe ainda o ensino da
geometria por meio das transformações geométricas e sugere começar o estudo com as
translações, rotações e simetrias, e seguir progressivamente, passo a passo, em direção ao caso
geral dos grupos das transformações. Quanto à geometria euclidiana, o autor pondera que o
tempo reservado ao seu estudo seja consideravelmente reduzido.
Ele não propõe sua eliminação, sugere reduzir a longa lista de teoremas, modificar
os axiomas, chegando rapidamente ao teorema de Pitágoras, para dar conta do
tratamento axiomático rigoroso. Em compensação, considera absolutamente
necessária a introdução dos métodos de análise vetorial o mais rapidamente possível,
e que sejam mantidos ao longo de todo o ensino secundário (OECE, 1961, apud
SILVA, 2007, p. 87).
De acordo com Silva (2007) podemos dizer que, para atender à unificação da
Matemática proposta nesse Seminário, em particular da álgebra e da geometria, as orientações
e recomendações apontadas caminhavam na direção de uma algebrização da geometria.
Uma das conclusões do Seminário Royaumont deixa clara essa ideia:
É indispensável que esses assuntos (geometria plana e espacial, álgebra e
trigonometria) sejam ensinados no seu encadeamento lógico, mais profundo e com
mais rigor (...) e um ensino tão precoce quanto possível das relações que unem a
Geometria à Álgebra – particularmente a Álgebra linear e vetorial (OECE, 1961,
apud SILVA, 2007, p. 89).
Em dezembro de 1961, acontece a primeira Conferência Inter-Americana sobre
Educação Matemática, Bogotá, Colombia. Realizada com o apoio da OEA e da Unesco, teve
como objetivo explorar métodos para o ensino de Matemática no nível secundário e
universitário e ainda aprovar resoluções com vistas a um projeto futuro de cooperação entre
os países participantes. O presidente do Comitê organizador foi o professor Marshall Stone,
dos Estados Unidos. Estiveram presentes 23 países, participantes e convidados – entre eles o
Brasil (...), os participantes do Brasil foram os professores Omar Catunda e Alfredo Pereira
Gomes, além do professor Leopoldo Nachbin que participou do Comitê organizador da
Conferência (SOARES, 2001, apud SILVA, 2008, p. 86).
Nesse encontro segundo Silva (2008) o professor Howard F. Fehr (1962), dos EUA,
fez uma conferência com o título “Reforma do Ensino da Geometria”, onde tece
considerações sobre o desenvolvimento da geometria enquanto campo matemático.
Segundo Fehr, durante as primeiras décadas do século XX o movimento dedicado a
refinar a base axiomática da Geometria de Euclides surtiu pouco ou nenhum efeito
sobre o ensino dessa matéria, tanto no nível secundário quanto universitário. Essa
situação de inércia mudou na década de 1930 com o renascimento de interesse pelos
axiomas de Hilbert como base apropriada para um programa de instrução na escola
secundária (SILVA, 2008, p. 86).
Para a autora o matemático Ferh aponta duas tendências ao ensino da geometria a
partir de então. A primeira, elaborada por G.D. Birkhoff, que propunha uma modificação
significativa dos axiomas de Euclides, seguindo a forma geral imposta por Hilbert, porém
conseguindo uma grande economia ao fazer uso das propriedades do conjunto dos números
reais: a de ordem e a de completividade. Com o patrocínio da National Science Foundation
(NSF), os axiomas de Birkhoff, modificados por sua vez por Edwin C. Moise, foram usados
na preparação de textos experimentais que eram utilizados em muitos colégios dos Estados
Unidos. “Ele ainda conclui que os atuais tratamentos reformulados da geometria naquele país
eram dirigidos essencialmente para a conservação da geometria de Euclides, corrigidos seus
defeitos por meio da introdução dos números reais” (SILVA, 2008, p. 87).
A segunda tendência discutida nessa Conferência por este professor de acordo com
Silva (2008) é o estudo da geometria na escola secundária, iniciado na Alemanha, onde se
aplicava de forma bastante generalizada alguns aspectos do Programa de Erlangen, de Klein,
o qual propõe o desenvolvimento da geometria por meio das transformações geométricas. O
grupo de transformações (rotações, reflexões e translações) é utilizado para caracterizar a
geometria euclidiana, porém precedida de um sistema de axiomas que conservam a
congruência de triângulos da geometria de Euclides como fundamentais para o
desenvolvimento posterior do estudo da geometria (SILVA, 2008, p. 87).
Para Klein (1976) muitos defensores da Matemática Moderna abreviaram
drasticamente o estudo da geometria euclidiana, de modo que os compêndios modernos
comuns substituem grande parte da geometria sintética pela geometria analítica. Para esse
autor alguns modernistas extremados têm favorecido a abolição de toda a geometria sintética.
“Acabemos com Euclides” e “Tem-se que abandonar Euclides” são “slogans” que têm
aparecido no movimento da nova Matemática.
Ainda de acordo com Klein (1976) seria trágica essa medida, pois, a geometria
sintética não só é parte essencial da Matemática, na qual a geometria euclidiana é a base,
como também fornece a interpretação pictórica de trabalhos analíticos. Os matemáticos
geralmente pensam em termos de figuras, e a geometria não só fornece as figuras como
sugere novos teoremas analíticos. De acordo com esse autor é inacreditável que matemáticos
cultos procurem eliminar a geometria sintética.
Segundo Silva (2008) no Brasil, também encontramos posições distintas quanto ao
ensino da geometria na abordagem moderna. De acordo com a autora o professor Omar
Catunda, na Primeira Conferência Inter-Americana sobre Educação Matemática, realizada na
Colômbia em 1961, ao discutir a preparação dos professores de Matemática, responde a
Dieudonné da seguinte forma:
Outro problema que no Brasil é profundamente distinto do que é na Europa, é o
ensino da geometria euclidiana. O professor Dieudonné alega que o ensino médio
perde muito tempo com a geometria clássica, segundo os modelos de Euclides. No
Brasil, o problema é outro. Com a liberdade que têm os professores de dar apenas
75% do programa [...] se encontram com freqüência estudantes que praticamente
não aprendem nada de geometria [...], a fórmula que reivindicaria para o Brasil não é
Abaixo à Euclides!, senão ao menos Euclides! (CATUNDA, 1962, apud SILVA,
2008, p. 65).
De acordo Silva (2008) Benedito Castrucci matemático participante do G.E.E.M. e
autor de livros didáticos de geometria, ao publicar o livro “Geometria curso moderno”, em
1968, se posiciona, em relação ao ensino da geometria, do seguinte modo:
Há um movimento para a substituição do conteúdo geométrico no curso colegial e,
talvez, no ginasial, por uma algebrização da Geometria, tratando-a como um
capítulo de Álgebra Linear. Acreditamos que esta inovação preconizada por grandes
matemáticos não possa ser feita imediatamente, pois a nosso ver seria, no momento,
um passo ousado (CASTRUCCI, 1968, apud SILVA, 2008, p. 71, grifo da autora).
Segundo a autora, Castrucci (1988) ao comentar sobre os motivos que poderiam ter
levado o Movimento ao denominado “fracasso”, diz: “E o fracasso para mim está na
Geometria”. No entender da autora, para o professor Castrucci, a geometria teria sido a grande
vilã do MMM, a geometria teria atrapalhado o Movimento (SILVA, 2008, p. 71).
Em síntese, o MMM propõe a unificação da Matemática a partir das estruturas, em
particular, das estruturas algébricas. Desta forma, pensar sobre Geometria, assim
como sobre o ensino de geometria, significa trata-la por meio de estruturas
algébricas. A polémica criada em torno da Geometria nesta nova concepção foi
muito acentuada (O.C.D.E., 1961, apud SILVA, 2008, p. 70).
O MMM entendido como um movimento internacional de mudança no ensino de
Matemática da Educação Básica em especial no que diz respeito ao ensino de geometria tem
como um de seus focos principais o rompimento com a clássica geometria euclidiana.
Entendemos que as discussões realizadas nos congressos que tratam da MMM, contribuíram
para o entendimento acerca do ensino da geometria no Brasil.
O primeiro congresso realizado em 1955, em Salvador, segundo Silva (2008) não há
discussão específica quanto ao ensino da geometria, ou seja, pode-se dizer que o tema
geometria não se revelou problemático, questionador, ou ainda, necessitando alterações.
Segundo a autora tudo indica que o ensino da geometria, na visão dos participantes do
congresso, encontrava-se estabilizado, ou seja, era reconhecido certos problemas com seu
ensino sem, no entanto, necessidade de uma reestruturação significativa.
Segundo Silva (2008) ao contrário do I Congresso, no II Congresso, realizando em
1957 em Porto Alegre, encontramos discussões sobre o tema do ensino da geometria. Nesse
congresso discussões sobre a geometria giram em torno de duas teses: “O Ensino da
Geometria Dedutiva” e “O Ensino da Geometria Dedutiva na Escola Secundária”. Segundo a
autora, as discussões sobre essas teses se complementam, pois os diagnósticos em relação às
dificuldades da prática do ensino de geometria coincidem e as soluções sugeridas seguem a
mesma linha, ou seja, simplificar o estudo da geometria dedutiva, reduzindo o número de
teoremas a serem demonstrados e a inclusão da geometria experimental ou da demonstração
intuitiva.
Para a autora está claro que as discussões se dão nos aspectos didáticos do ensino, com
a preocupação de que os alunos abandonem a memorização de teoremas que não faz sentido
algum a eles. Outro dado a observar pela autora é que não se questiona a perda do rigor da
geometria euclidiana, ou a substituição desta geometria por outra, o foco é a metodologia
empregada no ensino e não o conhecimento em si.
Quanto ao terceiro congresso, no Rio de Janeiro em 1959, segundo Silva (2008) essas
discussões giram em torno de relato de experiências em sala de aula que utilizam o método de
estudo dirigido, com as respectivas análises e comentários. Segundo a autora, a partir da
análise dos anais, não é possível saber muito sobre o ensino da geometria. Percebe-se ainda
que não há uma continuidade das discussões realizadas no II Congresso sobre o ensino da
geometria, nem retomada; fica a impressão de que este congresso não estabeleceu um diálogo
com o anterior. Segundo a autora, a discussão presente nos três congressos enfoca o dualismo
entre a geometria intuitiva e a geometria dedutiva.
Na opinião de Silva (2008) as discussões presentes nesses Congressos Nacionais de
Ensino da Matemática não tratam da geometria especificamente, nem da possibilidade de sua
reformulação de modo a atender às estruturas que regem a ciência matemática; o debate diz
respeito aos problemas didáticos, em como colocar em prática o ensino de geometria
dedutiva, ou seja, debates relacionados com o ensino do saber e mais especificamente com a
prática pedagógica, ligados à cultura escolar.
De acordo com a autora da análise dos anais dos congressos realizados na década de
1950 sobre o ensino de geometria mostra que há uma distância entre as discussões ocorridas
nos congressos nacionais e aquelas presentes no debate internacional, o que caracteriza de
maneira particular a recepção do ideário do MMM no Brasil, no que diz respeito ao ensino de
geometria.
1.5 - O DECLÍNIO DO MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA NO ENSINO DA
MATEMÁTICA
Segundo Vianna (1988) no declínio do Movimento da Matemática Moderna na década
de 1980 surgiram críticas ao método dedutivo no ensino, por parte de psicólogos, pedagogos e
matemáticos. O método dedutivo foi acusado de ser rigoroso e abstrato. E a consequência
disso, segundo o autor, foi que os livros brasileiros da década de 1980 conservaram as
demonstrações dos teoremas mais tradicionais, mas na parte de exercícios diminuíram ou
aboliram quaisquer exercícios de caráter lógico ou para demonstrar. Para esse autor foi
defendido um ensino mais “prático”, de aplicação de propriedades.
De acordo com Silva e Valente (2008) para Sangiorgi, o lado ruim da Matemática
Moderna apresentava-se na atualidade (1976), como consequência da Lei 5.692, de 1971. Foi
ela, no dizer de Sangiorgi, que deu “liberdade para a elaboração de programas e de currículos,
de Estado para Estado, de cidade para cidade, de escola para escola, ensejou a maior produção
de livros didáticos de Matemática para o ensino de 1º grau que se poderia imaginar”
(SANGIORGI, 1976, apud SILVA, VALENTE, 2008, p. 157).
A partir de 1961, alteram-se os programas de Matemática de ensino do 1º Grau. Por
um lado, temos a liberdade permitida pela Lei de Diretrizes e Bases; por outro,
começam a chegar no Brasil as propostas do chamado movimento da Matemática
Moderna, com suas propostas radicais de revisão do ensino de matéria.
Temos assim um movimento em direção à diversidade, com as várias Secretarias
instituindo grupos específicos para estudos de currículos (laboratórios de currículos,
por exemplo) e ao mesmo tempo um ponto de atração muito forte para o qual se
direcionavam essas mudanças, a Matemática Moderna (CARVALHO, 2000, p. 101).
Segundo Carvalho (2000) atualmente as ideias da Matemática Moderna já não parece
a solução milagrosa para o ensino da disciplina, como acontecia na década de 60 e início da
década de 70, elas já foram abandonadas nas propostas curriculares de muitos Estados no
Brasil.
Para esse autor uma das falhas do movimento da Matemática Moderna, pelo menos
como difundido e implementado quanto a sua direcionalidade foi a preocupação exclusiva
com o desenvolvimento da Matemática como disciplina lógica, enfatizando suas propriedades
estruturais e seu desenvolvimento coerente. O movimento tinha por objetivo ensinar a criança
a pensar lógica e claramente, a compreender os conceitos básicos da Matemática como
estrutura e a aplicá-los de maneira a aprofundar progressivamente os conhecimentos da
geometria.
Ainda de acordo com esse autor, essa deformação decorre em parte do fato de que as
propostas de ensino baseadas na Matemática Moderna foram feitas principalmente por
matemáticos, professores universitários, que raramente tinham contato com a realidade do
ensino do 1º e 2º graus.
Nos anos de 1970, segundo o autor, começou a se perceber que muitas das mudanças
introduzidas não eram acertadas. Com a substituição da geometria pela álgebra, a Matemática
elementar esvaziou-se de conteúdos e de problemas interessantes. A carência da intuição
espacial foi outra das desastrosas consequências do distanciamento da geometria de nossos
programas, deficiência que se pode perceber claramente nas pessoas que realizaram sua
formação naqueles anos.
De acordo com Pires (2009) o Movimento da Matemática Moderna, que ocorreu no
período de 1965 a 1980, foi veiculado inicialmente por meio de livros didáticos, sem
adequada preparação dos educadores nem suficiente discussão de seus propósitos. Para a
autora no período de 1980 a 1994 algumas reformas, novas propostas curriculares, lideradas
por Secretarias Estaduais e Municipais de Educação buscaram se contrapor ao ideário desse
Movimento.
Pires (2009) afirma que após essas reformas surge no Brasil um novo movimento, a
partir de 1995, organizado em nível nacional e consubstanciado num documento divulgado ao
conjunto das escolas brasileiras, denominado Parâmetros Curriculares Nacionais. Também
nesse período, o Conselho Nacional de Educação apresenta Diretrizes Curriculares Nacionais,
com força de lei, passando a gerar muita polêmica o que leva à discussão alguns clássicos da
educação brasileira.
As discussões sobre os movimento de internacionalização e modernização traz
contribuições importantes para nossa pesquisa, pois, passamos a entender como se deu os
principais movimentos de internacionalização e modernização do ensino da Matemática e as
principais mudanças curriculares no ensino da geometria no Brasil.
O estudo mostra que os movimentos de reforma dos programas, como o da
Matemática Moderna não resolveram o problema do ensino da geometria no Brasil. Como
afirma Carvalho (2000) esses movimentos ao serem enxertados na estrutura existente, sem
crítica aos objetivos do ensino da Matemática no contexto social, mostram-se insatisfatórios
perante as exigências de uma sociedade cada vez mais complexa, que passa a exigir do
cidadão não só conhecimentos específicos, mas principalmente novas maneiras de organizar o
pensamento, de saber lidar com dados, interpretá-los e avaliá-los. É também necessária a
capacidade de aprender a aprender, de resolver problemas, de saber trabalhar em grupos,
como parte de equipes multidisciplinares, de expor sua ideias por escrito ou oralmente.
Também estamos de acordo com Miorim (1998) ao entender que apesar de diferentes,
as posições assumidas pelos dois movimentos de modernização da Matemática influenciaram
profundamente o ensino da geometria no Brasil. Ainda hoje, podemos perceber a presença de
suas ideias não apenas nas discussões teóricas sobre o assunto, mas também na forma como o
ensino da geometria vem sendo abordado na educação brasileira.
CAPÍTULO 2 – O LIVRO DIDÁTICO E O ENSINO DA MATEMÁTICA NO BRASIL
Na história da educação do Brasil, o livro didático vem desempenhando papel
importante não só como material para a preparação de recursos humanos desde o Brasil
Colônia D’Ambrosio (2008) como também, ferramenta de trabalho indispensável para os
professores em sala de aula, tornando-se um símbolo da cultura, um depositário privilegiado
do saber a se ensinado Bittencourt (2008). Neste capítulo realizamos uma discussão a
respeito da importância e do contexto em que vem sendo produzido o livro didático no Brasil,
e ainda, como vem sendo discutido o processo de avaliação do livro didático de matemática
pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD).
Como podemos ver em Bittencourt (2008) o livro didático visava, portanto, nos seus
primórdios, prioritariamente, atender o professor. No decorrer do século XIX, embora o
manual escolar mantivesse esse caráter intrínseco em sua elaboração, ele passou a ser
considerado também como obra a ser consumida diretamente por crianças e adolescentes, que
obtiveram o direito de posse sobre ele.
Nos livros didáticos estão embutidos valores a serem transmitidos num determinado
momento histórico. Nas instâncias normativas das instituições escolares, os manuais
foram e permaneceram como um importante instrumento de apoio e orientação aos
professores; ditam a apresentação dos conteúdos a serem ministrados, estabelecendo
um currículo que, em muitos casos, é fielmente seguido. O livro didático é utilizado
pelos docentes “para a preparação de ‘suas aulas’ em todos os níveis de
escolarização, quer para fazer o planejamento do ano letivo, quer para sistematizar
os conteúdos escolares ou simplesmente como referencial na elaboração de
exercícios e questionários” (BITTENCOURT, 1993, p. 2).
A autora nos afirma que o livro didático independentemente da condição do professor,
no transcorrer do século XIX, transformou-se em uma ferramenta de trabalho indispensável
na sala de aula. Com o aperfeiçoamento técnico na fabricação do livro e a possibilidade de
serem consumidos por um número cada vez maior de alunos, aliados à continuidade de uma
precária formação do corpo docente, fizeram do livro didático um símbolo da cultura escolar,
um depositário privilegiado do saber a ser ensinado.
Ainda segundo a autora, os livros didáticos foram concebidos para que o Estado
pudesse controlar o saber a ser divulgado pela escola. Os discursos de grupos de intelectuais
instalados no poder ou próximos a ele, compostos por administradores, políticos e/ou
educadores expressaram a forma como o Estado liberal brasileiro elaborou sua política
cultural, procurando disseminá-la, primordialmente, pela instituição escolar.
A política do livro escolar representou um dos traços característicos da produção
cultural feita por uma elite que procurava ser inserida no mundo “civilizado”, preservando, de
maneira intransigente, privilégios de uma sociedade hierarquizada e aristocrática. A
manutenção desse controle exigiu a criação de uma legislação para evitar “desvios”,
comprovando que o projeto concebido pelo poder estatal sofria “distorções” em seu processo
de elaboração.
O livro escolar foi concebido pelo poder instituído como um poderoso instrumento
para fixar e assegurar determinada postura educacional, veículo privilegiado para
inculcar normas e ortodoxias. O livro didático proposto com base na instalação de
instituições escolares públicas deveria se encarregar de uniformizar o saber escolar,
de construir uma forma de pensar a ciência e de reforçar a disseminação de crenças
religiosas oficiais (BITTENCOURT, 2008, p. 63).
Segundo Bittencourt (2008) para efetivar a transformação de um material didático em
um produto de maior consumo e simbólico da cultura escolar as editoras aproximaram-se do
Estado, engendrando atuações conjuntas em suas formas de circulação. Assim, as editoras ao
conquistarem o direito de fabricar e divulgar o livro didático cuidaram de transformá-lo em
uma mercadoria inserida na lógica capitalista.
2.1 - AS FUNÇÕES DO LIVRO DIDÁTICO
Choppin (2004) destaca que os livros escolares assumem, conjuntamente ou não,
múltiplas funções e ainda de acordo com o autor, o estudo histórico mostra que os livros
didáticos exercem quatro funções essenciais, que podem variar consideravelmente segundo o
ambiente sociocultural, a época, as disciplinas, os níveis de ensino, os métodos e as formas de
utilização. As funções são:
1. Função referencial, também chamada de curricular ou programática, desde que
existam programas de ensino: o livro didático é então apenas a fiel tradução do programa ou,
quando se exerce o livre jogo da concorrência, uma de suas possíveis interpretações. Mas, em
todo o caso, ele constitui o suporte privilegiado dos conteúdos educativos, o depositário dos
conhecimentos, técnicas ou habilidades que um grupo social acredita que seja necessário
transmitir às novas gerações.
2. Função instrumental: o livro didático põe em prática métodos de aprendizagem,
propõe exercícios ou atividades que, segundo o contexto, visam a facilitar a memorização dos
conhecimentos, favorecer a aquisição de competências disciplinares ou transversais, a
apropriação de habilidades, de métodos de análise ou de resolução de problemas etc.
3. Função ideológica e cultural: é a função mais antiga. A partir do século XIX, com a
constituição dos estados nacionais e com o desenvolvimento, nesse contexto, dos principais
sistemas educativos, o livro didático se afirmou como um dos vetores essenciais da língua, da
cultura e dos valores das classes dirigentes.
Instrumento privilegiado de construção de identidade, geralmente ele é reconhecido,
assim como a moeda e a bandeira, como um símbolo da soberania nacional e, nesse sentido,
assume um importante papel político.
Essa função, que tende a aculturar - e, em certos casos, a doutrinar - as jovens
gerações, pode se exercer de maneira explícita, até mesmo sistemática e ostensiva, ou, ainda,
de maneira dissimulada, sub-reptícia, implícita, mas não menos eficaz.
4. Função documental: acredita-se que o livro didático pode fornecer, sem que sua
leitura seja dirigida, um conjunto de documentos, textuais ou icônicos, cuja observação ou
confrontação podem vir a desenvolver o espírito crítico do aluno. Essa função surgiu muito
recentemente na literatura escolar e não é universal: só é encontrada — afirmação que pode
ser feita com muitas reservas — em ambientes pedagógicos que privilegiam a iniciativa
pessoal da criança e visam a favorecer sua autonomia; supõe, também, um nível de formação
elevado dos professores.
A concepção de um livro didático inscreve-se em um ambiente pedagógico específico
e em um contexto regulador que, juntamente com o desenvolvimento dos sistemas nacionais
ou regionais, é, na maioria das vezes, característico das produções escolares (edições estatais,
procedimentos de aprovação prévia, liberdade de produção etc.).
Sua elaboração (documentação, escrita, paginação etc.), realização material
(composição, impressão, encadernação etc.), comercialização e distribuição supõem formas
de financiamento vultuosos, quer sejam públicas ou privadas, e o recurso a técnicas e equipes
de trabalho cada vez mais especializadas, portanto, cada vez mais numerosas. Por fim, sua
adoção nas classes, seu modo de consumo, sua recepção, seu descarte são capazes de
mobilizar, nas sociedades democráticas, sobretudo, numerosos parceiros (professores, pais,
sindicatos, associações, técnicos, bibliotecários etc.) e de produzir debates e polêmicas.
2.2.1 - AS FUNÇÕES DO LIVRO DIDÁTICO RELATIVO À APRENDIZAGEM
Segundo Gérard e Roegiers (1998) um manual escolar pode desempenhar diferentes
funções, que variam de acordo com o respectivo utilizador, a disciplina e o contexto em que o
manual é elaborado. O manual do aluno preenche determinadas funções quando está nas mãos
do aluno (ajudá-lo, por exemplo, na função de transmissão de conhecimentos), mas preenche
outras quando está nas mãos do professor (ajudá-lo, por exemplo, a evoluir na sua prática
pedagógica). Da mesma maneira, um manual destinado ao professor poderá permitir-lhe uma
gestão das aulas e, ao mesmo tempo, poderá propor ao aluno pistas de trabalho que lhe
facilitem a integração dos saberes adquiridos.
Segundo Gérard e Roegiers (1988) algumas funções são especificamente orientadas
para as aprendizagens escolares, as quais são:
Função de transmissão de conhecimentos: é a função tradicionalmente mais conhecida
dos manuais escolares e a que motiva mais críticas. Para alguns, estes seriam apenas
instrumentos de transmissão de conhecimentos, e fá-lo-iam de forma directiva e fechada sem
tomarem em consideração o percurso e os reais interesses dos alunos.
Função de desenvolvimento de capacidade e de competências: um manual não permite
apenas assimilar uma série de conhecimentos, mas visa igualmente a aprendizagem de
métodos e atitudes ou, até mesmo, de hábitos de trabalho e de vida.
Enquanto que, na aquisição de conhecimento, se põe, sobretudo, a tônica no objeto da
aprendizagem, na aquisição de capacidades e de competências, em compensação, dá-se maior
importância à actividade: procurar-se-á levar o aluno a exercer determinada actividade sobre
numerosos objetos de aprendizagem.
Por exemplo, podemos pedir ao aluno que compare as propriedades dos losangos e
dos rectângulos, no sentido de estruturar o conhecimento das referidas propriedades
(aquisição de conhecimentos) das figuras. Neste último caso, privilegia-se o processo de
comparação (aquisição de capacidade).
Segundo os autores, adquirir conhecimentos, capacidades e competências é tornar-se
capaz de exercer determinadas atividades sobre determinados conteúdos.
Função de consolidação das aquisições: depois de se ter aprendido determinado saber
ou saber-fazer, trata-se de o exercer em diferentes situações a fim de lhe assegurar uma certa
estabilidade. Este é o papel das aplicações, dos exercícios...
Esta função é igualmente uma função tradicional e alguns manuais têm
principalmente, ou até mesmo quase exclusivamente, este objectivo.
Função de avaliação das aquisições: esta função é indispensável a qualquer
aprendizagem. Não se trata tanto de uma avaliação certificativa, isto é, da avaliação que visa
determinar se o nível de saberes adquiridos pelo aluno é suficiente. Esta avaliação incumbe à
própria instituição por meio dos seus representantes (os professores). O manual pode sugerir
pistas para a avaliação certificativa, ou para uma auto-avaliação que prepare o aluno para a
certificação social, mas não pode de próprio preencher essa função de avaliação.
2.3 - A POLÍTICA DO LIVRO DIDÁTICO NO BRASIL
Para Freitag, Costa e Motta (1993) remontam a 1937 as primeiras iniciativas
desenvolvidas pelo Estado Novo para assegurar a divulgação e distribuição de obras de
interesse educacional e cultural, criando-se o Instituto Nacional do Livro (INL), órgão
subordinado ao MEC. Segundo esses autores, este órgão estruturou-se em vários órgãos
operacionais menores, entre os quais a coordenação do livro didático. Competia a essa
coordenação: planejar as atividades relacionadas com o livro didático e estabelecer convênios
com órgãos e instituições que assegurassem a produção e distribuição do livro didático.
Com o Decreto-Lei nº 1.006 de 30/12/1938 é instituída a Comissão Nacional do Livro
Didático (CNLD), a qual passa a estabelecer as condições para produção, importação e
utilização do livro didático no Brasil. Em virtude desse decreto foram estabelecidos
impedimentos à autorização para edições de livros didáticos e exigências quanto à correção de
informação e linguagem.
O Decreto-lei 1.006 de 30/12/1938 define, pela primeira vez, o que deve ser
entendido por livro didático. “Art. 2º, § 1º - Compêndios são livros que exponham
total ou parcialmente a matéria das disciplinas constantes dos programas escolares;
2º - Livros de leitura de classe são os livros usados para leitura dos alunos em aula;
tais livros também são chamados de livros de texto, livro-texto, compêndio escolar,
livro escolar, livro de classe, manual, livro didático (OLIVEIRA, 1980, apud
FREITAG, COSTA, MOTTA, 1993, p. 13).
Com esse mesmo decreto, segundo esses autores, é criada uma Comissão Nacional do
Livro Didático (CNLD), composta inicialmente por sete membros, designados pela
Presidência, a essa comissão cabia examinar e julgar os livros didáticos, indicar livros de
valor para tradução e sugerir abertura de concurso de livros didáticos ainda não existentes no
país. Essa comissão é ampliada em 1939 e fortalecida em 1945 com a função de realizar,
inclusive, o controle político e ideológico.
Em 1945, o Decreto-Lei nº 8.460 redimensionou as funções da Comissão Nacional do
Livro Didático, centralizando, na esfera federal, o poder de legislar sobre o livro didático.
Consolidou-se, pois, a legislação sobre a matéria. O Estado passou, então, a assumir o
controle sobre o processo de adoção de livros em todos os estabelecimentos de ensino no
Brasil. Tais funções vão, gradativamente, se descentralizando com a criação, em alguns
estados, de Comissões Estaduais do Livro Didático.
Em 1961, o País recebeu – após anos de discussões e debates políticos – sua
primeira legislação educacional própria: a Lei de Diretrizes e Bases da Educação
Nacional (Lei 4.024/61), a qual, embora não trouxesse mudanças substanciais à
estrutura dos níveis de ensino no Brasil, apresentava, em seu bojo, a ideia de
descentralização. A partir daí, na década de 1970, os diferentes Estados brasileiros
passaram a ser responsáveis pela educação pública e pela publicação de seus
programas de ensino (NACARATO, 2007, p. 66).
A Fundação Nacional de Material Escolar (FENAME) foi criada em outubro de 1967,
em consequência, extingue-se em 1971 a Comissão do Livro Técnico e do Livro Didático
(COLTED) constituída no regime militar com a criação do Programa do Livro Didático
(PLID), subordinado ao INL, que a partir de 1976 é assumido pela FENAME.
A FENAME tinha como finalidade básica a produção e a distribuição de material
didático às instituições escolares, mas, efetivamente, não contava com organização
administrativa nem recursos financeiros para desempenhar tal tarefa. Em função dessa
situação, em 1970, foi implantado o sistema de co-edição com as editoras nacionais, instituído
pela Portaria Ministerial nº 35/70.
A partir de 1972, o Instituto Nacional do Livro (INL) assumiu a responsabilidade de
promover e agilizar, em ação conjugada com as editoras, o programa de co-edição de obras
didáticas. Em abril de 1983, foi criada a FAE (Fundação de Assistência ao Estudante),
absorvendo os programas que eram da responsabilidade da FENAME e do Instituto Nacional
de Assistência ao Estudante (INAE), órgãos vinculados ao Ministério da Educação. Em 1983,
o Programa do Livro Didático foi incorporado à FAE e em 1984, deu-se fim ao sistema de co-
edição, passando o MEC a ser comprador dos livros produzidos pelas editoras participantes
do Programa do Livro Didático.
Em 1985 foi criado o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) para distribuição
gratuita dos livros didáticos pelo governo com características diferenciadas dos programas
anteriores, como a indicação dos livros feita pelos professores, à reutilização do livro,
implicando a abolição do livro descartável e o aperfeiçoamento das especificações técnicas
para sua produção, visando maior durabilidade e possibilitando a implantação de bancos de
livros didáticos. Porém até o início da década de 1990, a distribuição não alcançava a
abrangência de todo o Ensino Fundamental e a distribuição dos livros era comprometida pelas
limitações orçamentárias, restringindo-se o atendimento até a quarta série.
A partir de agosto de 1985, através do Decreto-Lei nº 91.542, o Programa recebeu a
denominação de Programa Nacional do Livro Didático, PNLD, tendo seus objetivos
substancialmente ampliados. Estabeleceu-se como meta o atendimento de todos os
alunos de 1ª a 8ª série do 1º grau das escolas públicas federais, estaduais, territoriais,
municipais e comunitárias do país, sendo priorizados os componentes básicos
Comunicação e Expressão e Matemática (FRACALANZA, p. 23, 2006).
Apenas em 1995 é que, de forma gradativa, volta a universalização da distribuição dos
livros didáticos no Ensino Fundamental e neste mesmo ano é implantado o programa para
todas as séries do Ensino Fundamental, contemplando as disciplinas de Matemática e de
língua Portuguesa.
A partir de 1997, com a extinção da FAE, a execução do PNLD fica a cargo do FNDE
(Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação), autarquia federal ligada ao MEC, criada
em 1968, pela Lei nº 5.537. Uma das principais funções do FNDE é captar recursos
financeiros e destiná-los ao financiamento do ensino e da pesquisa, e, sobretudo, prestar
assistência financeira a projetos e programas voltados para o Ensino Fundamental público
brasileiro. Para esses objetivos contam com duas fontes principais de recursos: o Tesouro
Nacional e o Salário-Educação.
De acordo com Höfling (2006) os programas de melhoria da qualidade do livro
didático brasileiro e de distribuição ampla para os estudantes de escolas públicas têm sido
uma das principais ações do governo federal e do Ministério da Educação, sendo o Programa
Nacional do Livro Didático uma estratégia de apoio à política educacional implementada pelo
Estado brasileiro com a perspectiva de suprir uma demanda que adquire caráter obrigatório
com a Constituição de 1988.
2.4 - O PROGRAMA NACIONAL DO LIVRO DIDÁTICO
O Ministério da Educação do Governo Brasileiro, por intermédio do programa
Nacional do Livro Didático (PNLD), desenvolvido pelo Fundo Nacional de Desenvolvimento
da Educação, adquire e distribui livros didáticos para os alunos matriculados nas escolas
públicas do Ensino Fundamental do sistema escolar brasileiro visando contribuir para a
universalização e melhoria da qualidade do ensino.
O Programa Nacional do Livro Didático – PNLD – foi criado por uma iniciativa do
Ministério da Educação e Cultura – MEC – por meio do Fundo Nacional de
Desenvolvimento da Educação – FNDE – autarquia federal vinculada ao MEC. O
PNLD foi instituído em 1985 e é o responsável pela distribuição dos Livros
Didáticos para estudantes matriculados nas escolas públicas do país. Até 1996, os
critérios de escolha dos livros eram ainda puramente técnicos tais como durabilidade
e qualidade do papel. A finalidade principal ainda não era exigir que o livro fosse
correto do ponto de vista metodológico e conceitual, ajustado ao contexto da escola
(BATISTA, 2000 apud BARONI, BIANCHI, 2007, p. 15).
De acordo com Baroni e Bianchi (2007) foi no inicio dos anos 1990 que o MEC
passou a discutir mais ativamente os Livros Didáticos e os reflexos disso foram percebidos a
partir de 1996 quando o PNLD começa a adquirir algum espaço no ambiente educacional
passando a ser conhecido pelos educadores em geral.
A Fundação de Amparo ao Estudante – FAE – publicou, em 1994, um documento
denominado Definição de critérios para avaliação de Livros Didáticos que é
fundamentado num estudo realizado com os dez livros didáticos mais solicitados
pelos professores das áreas de Língua Portuguesa, Matemática, Ciências e Estudos
Sociais. Este trabalho revelou as grandes deficiências pedagógicas e erros
conceituais que acompanhavam alguns livros didáticos e, consequentemente, com
reflexos negativos no trabalho do professor em sala de aula. Visando resolver este
problema, a Secretaria de Educação Fundamental – SEF – determinou que os livros
distribuídos na Rede Pública de Ensino deveriam passar por uma avaliação
(CARVALHO, LIMA, 2002, apud BARONI, BIANCHI, 2007, p. 15).
Para esses autores o PNLD tem como objetivo contribuir para a socialização e
universalização do ensino, bem como para a melhoria de sua qualidade por meio de seleção,
aquisição e distribuição de Livros Didáticos, além disso, deve possibilitar a participação ativa
e democrática do professor no processo de seleção dos livros, fornecendo subsídios para uma
crítica consciente dos títulos a serem adotados no programa e promover a crescente melhoria
física e pedagógica dos livros, garantindo a sua reutilização por três anos consecutivos.
2.5 – CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO SEGUNDO O PNLD
Podemos distinguir dois momentos distintos no processo de avaliação de Livros
Didáticos: o primeiro se refere aos anos de 1997 e 1998, em que o objetivo foi excluir as
obras que apresentassem erros conceituais graves ou manifestações de discriminação de todos
os tipos; e o segundo, a partir do PNLD 1999, que também estabelece o critério de coerência,
pela pertinência e correção metodológica como critério eliminatório (CARVALHO, LIMA,
2002 apud BARONI, BIANCHI, 2007).
Tratando-se de critérios eliminatórios, segundo o Guia de Livros Didáticos (2005),
temos:
Correção dos conceitos e informações básica - os erros conceituais observáveis podem
ocorrer de diversas formas, seja em proposições que contrariam o conhecimento matemático
estabelecido ou no mau emprego de regras lógicas de dedução dessas proposições. Da mesma
forma, quando o texto induz ao erro questiona-se o seu uso em sala de aula.
Correção e adequação metodológica - ou seja, é observada a escolha de alternativas
metodológicas que contribuam para um processo satisfatório de ensino-aprendizagem. Esta
escolha deve incluir estratégias que mobilizem e desenvolvam várias competências cognitivas
básicas, como observação, compreensão, argumentação, organização, análise, síntese,
planejamento, memorização etc. O Livro Didático que deixar de contemplar de forma clara o
trabalho adequado dessas competências poderá comprometer o desenvolvimento cognitivo do
aluno. Por esta razão, deve atender a duas coisas: privilegiar as várias habilidades e ser
coerente com a proposta explícita.
Contribuição para a construção da cidadania - o Livro Didático não pode veicular, nos
textos e desenhos, preconceitos que levem a discriminação a ser instrumento de propaganda e
doutrinação religiosa, que violem os preceitos legais constantes do Estatuto da Criança e do
Adolescente, como estimular o consumo de fumo, álcool, drogas, armas de fogo e à indução
de práticas socialmente nocivas. Na área de Matemática, a partir do PNLD 2002, ficou
definido também como critério específico de exclusão, a utilização de logotipos e ilustrações
(nas páginas), de bens e produtos de empresas comerciais privadas.
Ainda de acordo com o Guia de Livros Didáticos (2005) para a análise de todas as
questões descritas acima, os pareceristas se apoiam em uma ficha de avaliação que contém
vários aspectos a serem avaliados, fazendo assim uma verificação padronizada em todas as
obras em questão. Esta ficha está reproduzida no Guia, assim como o conjunto completo dos
critérios de seleção.
Destacam-se alguns aspectos que a avaliação deve verificar (GUIA DE LIVROS
DIDÁTICOS, 2005, p. 204-206):
- Se a escolha de conteúdos é adequada à sociedade atual fornecendo instrumentos
para a resolução de problemas; se há uma relação entre os conteúdos de Matemática, por
exemplo, articulando áreas de aritmética, álgebra, geometria, grandezas e medidas, estatística,
probabilidade e combinatória; se a apresentação dos conteúdos propicia uma aprendizagem
significativa dosando o uso da intuição, de fatos do dia-a-dia, o emprego de variados materiais
instrucionais.
- Se o texto leva em conta a idade do aluno sem subestimá-lo ou superestimá-lo; se há
situações que exercitam a imaginação, a criatividade; se o texto supõe a capacidade de um
raciocínio lógico-dedutivo desenvolvido de maneira formal e sistematizado.
- Se os conteúdos estudados se relacionam com o contexto sociocultural
contemporâneo. Essa tem sido uma das recomendações mais frequentes. Com isso, a
contextualização, passou a ser um dos requisitos presentes na avaliação de currículos e Livros
Didáticos.
- Se o Manual do Professor é adequado, observando que esse instrumento não deve ser
simplesmente o livro do aluno acrescido das respostas dos exercícios. O Manual deve também
incluir sugestões detalhadas de atividades práticas.
Os critérios classificatórios utilizados pelo PNLD e verificados na ficha de avaliação
são: seleção e distribuição de conteúdos, articulação entre eles, diversidade de abordagens,
contextualização, interdisciplinaridade, metodologia de ensino-aprendizagem, atividades,
linguagem, construção da cidadania, estrutura editorial e manual do professor.
A análise é então dividida em quatro eixos principais, com vários subitens. No caso
dos livros didáticos de matemática do Ensino Fundamental, os eixos principais são:
1. Aspectos Teórico-Metodológicos do Livro Didático: Conteúdo Matemático;
Formação de conceitos, habilidades e atitudes; Linguagem;
2. Manual do Professor;
3. Construção da Cidadania;
4. Estrutura Editorial.
Antes das coleções serem avaliadas como um todo, segundo Baroni e Bianchi (2007)
ocorreram avaliações separadas por cada série de coleção (PNLD 1999) quando chegou a se
fazer a exclusão de algum volume de uma determinada série de coleção de Livros Didáticos e
os demais serem aprovados. Também foram observadas classificações diferentes para livros
de uma mesma coleção. A partir dessa experiência, cada coleção passou a ser avaliada como
um todo. Para o Professor, no processo de escolha de Livros Didáticos na escola, não é
apropriado separar coleções.
Para esses autores, a operacionalização das avaliações e o funcionamento vêm sendo
aprimorados continuamente. Outro aperfeiçoamento deste processo é que, desde o PNLD
2000, foram aceitas para análise apenas coleções completas, não mais volumes isolados,
garantindo a unidade do projeto pedagógico desenvolvido para a Educação Básica.
2.6 – ALTERAÇÕES EM LIVROS DIDÁTICOS RESULTANTES DAS AVALIAÇÕES
Comparando-se com livros didáticos anteriores a 1997, de acordo com Baroni e
Bianchi (2007) percebe-se que atualmente há certa influência dos PCN’s na reelaboração ou
na elaboração de um livro didático de Matemática. Há uma tentativa de englobar aspectos
apresentados pelos Parâmetros para tentar ser bem avaliados pelo programa atual. Podemos
dizer que os livros que estão no mercado hoje são basicamente diferentes daqueles que
existiam em torno de 1995.
Segundo esses autores grande parte dos Livros Didáticos de Matemática apresentavam
problemas, tais como: erros grosseiros, uso exagerado da linguagem da teoria dos conjuntos,
ênfase no formalismo e terminologia, descaso com a geometria, obras que enfatizavam
memorização, exercícios algoritmos. Números e operações, medidas e geometria eram
trabalhados separadamente, sem qualquer interação, havendo um isolamento mútuo entre eles.
Para esses autores após as cinco avaliações do PNLD, as obras já se apresentavam
com melhor qualidade, com inexistência de erros grosseiros, maior preocupação por parte dos
autores em adotar metodologias recomendadas em estudos da Educação Matemática e
incluídas nos Parâmetros Curriculares Nacionais, como:
- Contextualização significativa dos conteúdos;
- Encorajamento da autonomia e participação do aluno na construção do
conhecimento;
- Incentivo ao desenvolvimento simultâneo de várias habilidades (memorização,
síntese, análise, generalização, indução);
- Integração da aritmética, álgebra, geometria e medidas;
- Utilização de trabalho em grupo, participação em atividades e jogos;
- Manuais de professores mais elaborados;
- A teoria dos conjuntos passa a ser recomendada para a primeira série do Ensino
Médio.
Para os autores todos esses fatores apontados denotam as tentativas de mudanças, de
modo que o PNLD fez com que o meio editorial sofresse um grande impacto e a comunidade
acadêmica também. As editoras acostumadas com o fato de o governo adquirir suas coleções
sem avaliações de qualidade científica e pedagógica tentaram mobilizar a mídia, a sociedade e
professores contra esta avaliação.
Segundo os autores após alguns anos verifica-se a tentativa de adequação aos
parâmetros avaliados no PNLD e o abandono de críticas deste cunho. Há também um impacto
na comunidade acadêmica, com vários pesquisadores se dedicando a pesquisas sobre livros
didáticos.
2.7 - O GUIA DE LIVROS DIDÁTICOS 2010 E SEUS CRITÉRIOS AVALIAÇÃO
O PNLD 2011 é constituído de várias etapas, iniciando com a inscrição das coleções,
pelas editoras, em resposta a um edital público do MEC, sendo o Guia (2010) a etapa final de
um longo e cuidadoso processo de avaliação por professores com larga experiência no ensino-
aprendizagem da Matemática escolar de diversas instituições educacionais de várias regiões
do Brasil.
O presente Guia é a etapa final de um longo e cuidadoso processo de avaliação, que
reuniu professores de diversas instituições educacionais de várias regiões de nosso
país, todos eles com larga experiência no ensino-aprendizagem da matemática
escolar (GUIA DE LIVROS DIDÁTICOS, 2010, p. 7).
No Guia de livros didáticos de 2010, há algumas especificidades que se diferenciam
do Guia de 2007, como a implantação do ensino fundamental de nove anos, o que exigiu uma
readequação do Programa Nacional do Livro Didático quanto aos objetivos desse novo ensino
e da nova organização do ensino.
O Guia de Livros Didáticos 2010 traz as informações das resenhas das 10 coleções de
Matemática aprovadas para um período de três anos, as quais serão adquiridas pelo Ministério
da Educação e distribuídas a todas as escolas de ensino público do país que oferecem os
quatro anos finais do Ensino Fundamental.
As informações dessas resenhas, segundo o Guia/2010 procuram ajudar aos
professores na escolha do livro didático que seja mais adequado ao trabalho com seus alunos e
ao projeto político pedagógico da sua escola.
O professor não encontrará neste Guia apenas as resenhas. Ele inclui, também,
textos sobre os princípios gerais e os critérios que foram utilizados na avaliação dos
livros e a própria ficha usada pelos avaliadores. Há, ainda, uma reflexão sobre o
complexo cenário da sala de aula, na qual interagem: o professor, o aluno; o livro
didático; e o saber a ser ensinado. Neste contexto, reafirma-se o que o professor já
sabe: seu papel é central em todo o processo de ensino-aprendizagem. Por fim, o
Guia contém comentários gerais sobre as coleções aprovadas. Todo esse material
procura contribuir para a escolha, o posterior uso do livro e, também, para a
formação docente (PNLD/2011, p. 9).
De acordo com o Guia de Livros Didáticos PNLD/2011 as funções mais importantes
do livro didático na relação com o aluno, tomando como base Gérarg & Roegiers, são:
- favorecer a aquisição de conhecimentos socialmente relevantes;
- propiciar o desenvolvimento de competências cognitivas, que contribuam para
aumentar a autonomia;
- consolidar, ampliar, aprofundar e integrar os conhecimentos adquiridos;
- auxiliar na auto avaliação da aprendizagem;
- contribuir para a formação social e cultural e desenvolver a capacidade de
convivência e de exercício da cidadania.
No que diz respeito ao professor, o livro didático desempenha, entre outras, as
importantes funções de:
- auxiliar no planejamento e na gestão das aulas, seja pela explanação de conteúdos
curriculares, seja pelas atividades, exercícios e trabalhos propostos;
- favorecer a aquisição dos conhecimentos, assumindo o papel de texto de referência;
- favorecer a formação didático-pedagógica;
- auxiliar na avaliação da aprendizagem do aluno.
Segundo o Guia do (PNLD/2011) é preciso observar que as possíveis funções que um
livro didático pode exercer não se tornam realidade, caso não se leve em conta o contexto em
que ele é utilizado, uma vez que essas funções são históricas e socialmente situadas e, assim,
sujeitas a contradições e limitações.
Vale ressaltar, ainda, que o livro didático é recurso auxiliar no processo de ensino-
aprendizagem e não pode, portanto, ocupar o papel dominante nesse processo. (...)
apesar de toda a sua importância, o livro didático não deve ser o único suporte do
trabalho pedagógico do professor (PNLD/2011, p. 13).
De acordo com o Guia do (PNLD/2011) é sempre desejável buscar complementá-lo,
seja para ampliar suas informações e as atividades nele propostas ou contornar suas
deficiências, seja para adequá-lo ao grupo de alunos que o utilizam. Mais amplamente, é
preciso levar em consideração as especificidades sociais e culturais da comunidade em que o
livro é utilizado, para que seu papel na formação integral do aluno seja mais efetivo.
2.7.1 - Critérios de avaliação dos livros de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental
selecionados pelo PNLD/2011
Com a finalidade de conhecer os critérios de avaliação dos livros de matemática do 9º
ano do Ensino Fundamental, fez-se necessário conhecer os critérios eliminatórios comuns ou
específicos na avaliação proposta pelo Guia do Livro Didático 2010 no que se refere a
requisitos indispensáveis quanto à qualidade didático-pedagógico contida nesses livros. De
acordo com o Guia do Livro Didático de matemática de 2010, a não observância desses
requisitos implicará a exclusão da coleção do PNLD/2011.
Critérios eliminatórios comuns a serem observados na apreciação de todas as coleções
submetidas ao PNLD/2011 são:
- Respeito à legislação, às diretrizes e às normas oficiais relativas ao ensino
fundamental;
- Observância de princípios éticos necessários à construção da cidadania e ao convívio
social republicana;
- Coerência e adequação da abordagem teórico-metodológica assumida pela coleção,
no que diz respeito à proposta didático-pedagógica explicitada e aos objetivos visados;
- Correção e a atualização de conceitos, informações e procedimentos;
- Observação das características e finalidades específicas do manual do professor e
adequação da coleção à linha pedagógica nele apresentada;
- Adequação da estrutura editorial e do projeto gráfico aos objetivos didático-
pedagógicos da coleção.
De acordo com o Guia do Livro Didático o não atendimento de qualquer um desses
critérios resultará em uma proposta pedagógica incompatível com os objetivos estabelecidos
para os anos finais do Ensino Fundamental, o que justificará sua exclusão do PNLD/2011.
Além dos critérios eliminatórios comuns, para o componente curricular da Matemática
será excluída a coleção que:
- apresentar erro ou indução a erro em conceitos, argumentação e procedimentos
matemáticos, no livro do aluno, no manual do professor e, quando houver, no
glossário;
- deixar de incluir um dos campos da Matemática escolar, a saber, números e
operações, álgebra, geometria, grandezas e medidas e tratamento da informação;
- der atenção apenas ao trabalho mecânico com procedimentos, em detrimento da
exploração dos conceitos matemáticos e de sua utilidade para resolver problemas;
- apresentar os conceitos com erro de encadeamento lógico, tais como: recorrer a
conceitos ainda não definidos para introduzir outro conceito, utilizar-se de definições
circulares, confundir tese com hipóteses em demonstrações matemáticas;
- deixar de propiciar o desenvolvimento, pelo aluno, de competências cognitivas
básicas, como: observação, compreensão, argumentação, organização, análise, síntese,
comunicação de ideias matemáticas, memorização; supervalorizar o trabalho
individual;
- apresentar publicidade de produtos ou empresas.
De acordo com o Guia de Livros Didáticos de Matemática 2010 para os anos finais do
Ensino Fundamental, foram selecionados 10 (dez) livros didáticos de matemática do 9º ano,
abaixo relacionados, os quais serão usados no período de 2011 a 2013.
- CASTRUCCI, Benedicto; GIOVANNI JR, José R. A conquista da matemática, 9º
ano. 1ª ed. São Paulo: FTD, 2009.
- IRACEMA; DULCE. Matemática – ideias e desafios, 9º ano. São Paulo: Saraiva
Livreiros Editores, 2009.
- BIANCHINI, Edwaldo. Matemática, 9º ano. São Paulo: Moderna, 2009.
- DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática, 9º ano. 3ª ed. São Paulo: Ática, 2009.
- IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO Antônio. Matemática e Realidade, 9º
ano. 6ª ed. São Paulo: Atual, 2009.
- IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática – Imenes & Lellis, 9º ano.
São Paulo: Moderna, 2009.
- CARVALHO, Alexandre Luiz Trovon de; REIS, Lourisnei. Aplicando a matemática,
9º ano. São Paulo: Casa Publicadora Brasileira, 2009.
- RIBEIRO, Jackson da Silva. Projeto Radix: matemática, 9º ano. São Paulo: Scipione,
2009.
- JAKUBOVIC, José; CENTURIÓN, Marília Ramos. Matemática na medida certa, 9º
ano. São Paulo: Scipione, 2009.
- SOUZA, Joamir; PATARO, Patrícia Moreno. Vontade de saber matemática. 9º ano.
São Paulo: FTD, 2009.
O estudo deste capítulo se tornou importante para a pesquisa, pois, nos levou a
entender como vem sendo tratada as discussões sobre a política do livro didático no Brasil ao
longo do tempo, pois, o livro didático tornou-se instrumento de ensino e aprendizagem, e
também, parte integrante das políticas educacionais do sistema de ensino brasileiro.
Entender como se dá o processo de avaliação para a escolha dos livros didáticos
selecionados pelo PNLD/2011 nos levou a questionar se esses livros didáticos de matemática
do 9º ano do Ensino Fundamental, mesmo passando por esses critérios de avaliação,
apresentam o conteúdo do nosso objeto de estudo de forma clara e bem elaborado e dentro do
seu contexto histórico, de modo a levar os alunos a uma aprendizagem significativa.
O PNLD mesmo sendo constituído por várias etapas e por avaliações trienais,
entendemos que necessita de constantes reformulações, pois como afirmam Batista (2000),
Baroni e Bianchi (2007) a necessidade de reformulação do PNLD apoia-se,
fundamentalmente, na busca de superação dos limites pedagógicos próprios de um processo
de transição entre diferentes paradigmas educacionais. Segundo esses autores, as atuais
exigências encontram-se representadas, em especial, na Lei de Diretrizes e Bases da Educação
Nacional (LDB) e nas novas Diretrizes Curriculares para o Ensino Fundamental emanadas do
Conselho Nacional de Educação (CNE).
Entendemos que as avaliações realizadas pelo PNLD levam autores de livros didáticos
e as editoras a melhorar a qualidade dos livros didáticos de matemática que produzem. O
PNLD sendo o responsável por selecionar os livros didáticos de matemática do Ensino
Fundamental é merecedor de um estudo cuidadoso e de muitas reflexões sobre o seu processo
de avaliação, o que nos leva aos seguintes questionamentos:
O PNLD realiza uma avaliação dos conteúdos da matemática do Ensino Fundamental
voltados para uma aprendizagem significativa, ou é mais uma forma do Estado controlar o
saber a ser divulgado pelas escolas?
O Guia resultante das avaliações contém as informações necessárias de modo a
fornecer critérios para uma escolha consistente dos livros didáticos de matemática por parte
dos professores do Ensino Fundamental?
Os livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental distribuídos pelas
escolas públicas são os livros didáticos sugeridos pelos professores ou são os livros didáticos
de matemática produzidos pelas editoras que tem maior status no mercado?
CAPÍTULO 3 – A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA EM LIVRO DIDÁTICO
Neste capítulo apresentamos uma discussão sobre a História da Matemática aplicada
ao ensino como recurso didático, pois, estudar a história de outros tempos, interrogar o que
dela nos foi deixado, pode ser uma ferramenta importante como recurso didático na
abordagem de conteúdos da Matemática em livros didáticos atuais.
Como afirma Mendes (2009) todo conhecimento produzido pelo ser humano é
transversalizado pela história que o procedeu. Por essa razão é tão importante umedecer a
cognição com os respingos históricos do conhecimento que chegaram até nós por meio das
incisões e dos registros seculares gravados nos diferentes suportes que o conservaram ao
longo do tempo como as pedras, os papiros, os pergaminhos, os papéis, dentre outros. Tais
incisões e registros nos permitiram conhecer parte da nossa história e ajudaram a definir
alguns padrões de pensar e explicar saberes que até hoje são importantíssimos e, por essa
razão, continuam sendo ensinados nas escolas.
Devemos à cultura greco-romana a primeira concepção de que a história deve ser
registrada e preservada para as gerações futura, pois como afirma Gomes (2005) a evolução
histórica da Matemática que conhecemos surgiu na forma de comentário a partir do livro, Os
Elementos de Euclides, feito pelo filósofo Proclus Diadochus (410-485 d.C).
A obra de Euclides, os Elementos, pode ser considerado o mais famoso livro de
Matemática já escrito, sobre o qual se apóia o ensino de Geometria elementar há
mais de dois mil anos. Nesse trabalho temos a forte influência dos platonistas, e
Proclus menciona que o texto de Euclides incorpora os resultados de Eudemos e
aperfeiçoa os teoremas de Teetero, completando-os com seus próprios resultados
(GALVÃO, 2008, p. 141).
Mendes (2006) afirma que historicamente a Matemática construída pela sociedade foi
difundida culturalmente, mantida viva por estudiosos sobre o assunto, selecionada e
reorganizada de acordo com a necessidade da ciência, e armazenada posteriormente em textos
de divulgação científica ou em manuais escolares. Esse percurso histórico, entretanto,
permite-nos estabelecer um diálogo entre o conhecimento aprendido e disseminado
mecanicamente, a memória da prática manipulativa que utiliza os objetos matemáticos, os
textos, os documentos, os relatos da prática e outros registros, de modo geral, que os
armazenam para torná-los público.
Quanto à inserção da História da Matemática no Brasil, Miguel e Miorim (2008)
afirmam que se deu principalmente com os Eléments de Clairauts (1892), pois como afirmam
esses autores Clairaut optou por tornar a História o fio orientador de sua produção, tendo em
vista produzir uma obra que pudesse interessar e esclarecer aqueles que estariam iniciando os
seus estudos em geometria. Segundo esses autores, no Brasil, temos Euclides Roxo como um
defensor da inserção da História da Matemática como consta no prefácio do livro Curso de
Mathematica Elementar, v. 1, de 1929, onde Euclides Roxo se manifesta em favor do método
histórico como um “princípio pedagógico de ordem geral, por todos francamente reconhecido,
mas raramente respeitado” (MIGUEL, MIORIM, 2008, p. 40).
Durante muito tempo, conforme aponta Belhoste (2007) a história das matemáticas
escolares foi negligenciada. Ela não interessava nem aos historiadores da educação, cuja
atenção estava concentrada nos saberes elementares e nas humanidades, nem aos historiadores
das matemáticas, para quem as matemáticas escolares constituíam somente um subproduto
das matemáticas eruditas.
Há uns vinte anos, felizmente, a situação mudou muito: numerosos trabalhos de pesquisa
foram realizados na Europa e fora dela sobre a história do ensino das matemáticas. O
impulso veio através dos didáticos das matemáticas, desejosos de recolocar seus trabalhos
numa perspectiva histórica, e de historiadores das matemáticas, cada vez mais conscientes
do papel do ensino no desenvolvimento da disciplina (BELHOSTE, 2007, p. 11).
De acordo com Baroni, Teixeira e Nobre (2004) o movimento da História da
Matemática no Brasil e no exterior, revela a disseminação e amadurecimento das pesquisas
nessa área, principalmente em seus aspectos filosóficos, cultural e interdisciplinar, mas revela
também controvérsias e o muito que ainda se pode fazer, sobretudo na reflexão didática do
uso da História da Matemática no ensino e aprendizagem da Matemática.
Segundo Baroni e Bianchi (2007) esse processo de disseminação e amadurecimento
pode ser considerado em uma área emergente, principalmente no Brasil, onde apenas na
década de 1990 os primeiros núcleos e grupos de pesquisas em História da Matemática
começaram a se constituir academicamente, gerando massa crítica. Desde então se registraram
inúmeros progressos na área, incluindo a realização dos Seminários Nacionais de História da
Matemática, a partir de 1995, e a criação da Sociedade Brasileira de História da Matemática,
em 1999.
Também vários programas de pós-graduação contêm a História da Matemática como linha
de pesquisa e, sobretudo em programas ligados à área de Educação, a linha relacionando a
Educação Matemática e a História da Matemática. Dessa forma os avanços têm vindo a
passos largos e, ano a ano, mais pesquisadores voltam suas pesquisas ao tema. Além disso,
fatores políticos também contribuem para que a História da Matemática seja valorizada
(BARONI, BIANCHI, 2007, p. 8).
Baroni, Teixeira e Nobre (2004) explicam que em vários países, incluindo o Brasil, já
se observa que tem sido intensificada e até mesmo incentivada à inclusão da História da
Matemática em livros didáticos e em currículos de formação de matemáticos.
Neste sentido, Baroni e Nobre (1999) apontam que o movimento de educação
Matemática incorpora, de tempos em tempos, alguns componentes novos que visam, em uma
primeira instância, fornecer instrumentos metodológicos que possam ser utilizados pelo
professor de Matemática em suas atividades didáticas. Entre estes instrumentos esses autores
destacam a História da Matemática, que nos últimos tempos, vem ganhando destaque nas
pesquisas em Educação Matemática.
De acordo com Peters (2005) uma das faces das pesquisas em Educação Matemática é
caminhar no sentido de encontrar instrumentos metodológicos para serem usados no ensino da
Matemática. Por meio de reflexões teóricas os pesquisadores desbravam seus campos de
pesquisa na intenção de fornecer subsídios para uma maior compreensão da Matemática.
Para Miguel e Miorim (2008) nos últimos anos temos presenciado uma ampliação da
presença do discurso histórico em produções brasileiras destinadas à Matemática escolar,
dentre os quais constam os livros didáticos, os livros paradidáticos e as propostas elaboradas
por professores individualmente, por grupos de professores, por escolas ou por órgãos
governamentais responsáveis pela elaboração de diretrizes para os ensinos fundamental,
médio e superior.
Apresentada em várias propostas como um dos aspectos importantes da
aprendizagem matemática, por propiciar compreensão mais ampla da trajetória dos
conceitos e métodos da ciência, a História da Matemática também tem se
transformado em assunto específico, um item a mais a ser incorporado ao rol dos
conteúdos, que muitas vezes não passa da apresentação de fatos ou biografias de
matemáticos famosos (BRASIL, 1998, p. 23)
Segundo Miguel e Miorim (2008) muitos autores defendem a importância da História
da Matemática no processo de ensino-aprendizagem da Matemática por considerar que isso
possibilitaria a desmistificação da Matemática e o estímulo à não alienação do seu ensino.
Para esses autores podemos entender que é possível buscar na História da Matemática
apoio para se atingir, com os alunos, objetivos pedagógicos que os levem a perceber, por
exemplo:
(1) a matemática como uma criação humana;
(2) as razões pelas quais as pessoas fazem matemática;
(3) as necessidades práticas, sociais, econômicas e físicas que servem de estímulo ao
desenvolvimento das ideias matemáticas;
(4) as conexões existentes entre matemática e filosofia, matemática e religião,
matemática e lógica etc.;
(5) a curiosidade estritamente intelectual que pode levar à generalização e extensão de
ideias e teorias;
(6) as percepções que os matemáticos têm do próprio objeto da matemática, as quais
mudam e se desenvolvem ao longo do tempo;
(7) a natureza de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova.
Quanto aos argumentos utilizados para justificar a participação da história no processo de
ensino e aprendizagem da Matemática, Miguel e Miorim (2008) explicam a existência de duas
categorias diferenciadas, embora não necessariamente excludentes: os de natureza
epistemológica e os de natureza ética.
Para esses autores essa categorização foi estabelecida considerando o modo como se
concebe a natureza dos elementos considerados determinantes ou, pelo menos,
condicionadores da aprendizagem Matemática e/ou da natureza das atitudes e dos valores, isto
é, da natureza da aprendizagem ética, via aprendizagem Matemática, que se deseja promover
entre os estudantes.
Quantos aos tipos de argumentos de natureza epistemológica e ética, estabelecidos por
autores diversos e de épocas diversas, dentre os quais se destacam matemáticos, historiadores
da Matemática e investigadores em educação Matemática, Miguel e Miorim (2008) destacam
os seguintes:
Argumentos de natureza epistemológica
- Fonte de seleção e constituição de sequências adequadas de tópicos de ensino;
- Fonte de seleção de métodos adequados de ensino para diferentes tópicos da
matemática escolar;
- Fonte de seleção de objetivos adequados para o ensino-aprendizagem da Matemática
escolar;
- Fonte de seleção de tópicos, problemas ou episódios considerados motivadores da
aprendizagem da Matemática escolar;
- Fonte de busca de compreensão e de significados para o ensino-aprendizagem da
matemática escolar na atualidade;
- Fonte de identificação de obstáculos epistemológicos de origem epistemológica para
se enfrentar certas dificuldades que se manifestam entre os estudantes no processo de
ensino-aprendizagem da Matemática escolar;
- Fonte de identificação de mecanismos operatórios cognitivos de passagem a serem
levados em consideração nos processos de investigação em Educação Matemática e no
processo de ensino-aprendizagem da Matemática escolar;
Argumentos de natureza ética
- Fonte que possibilita um trabalho pedagógico no sentido de uma tomada de
consciência da unidade da Matemática;
- Fonte para a compreensão da natureza e das características distintivas e específicas
do pensamento matemático em relação a outros tipos de conhecimento;
- Fonte que possibilita a desmistificação da Matemática e a desalienação do seu
ensino;
- Fonte que possibilita a construção de atitudes academicamente valorizadas;
- Fonte que possibilita uma conscientização epistemológica;
- Fonte que possibilita um trabalho pedagógico no sentido da conquista da autonomia
intelectual;
- Fonte que possibilita o desenvolvimento de um pensamento crítico, de uma
qualificação como cidadão e de uma tomada de consciência e de avaliação de
diferentes usos sociais da Matemática;
- Fonte que possibilita uma apreciação da beleza da Matemática e da estética inerente
a seus métodos de produção e validação do conhecimento;
- Fonte que possibilita a promoção da inclusão social, via resgate da identidade
cultural de grupos sociais discriminados no (ou excluídos do) contexto escolar.
3.1 - OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO
FUNDAMENTAL E A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s), lançados em 1997, são constituídos
por propostas elaboradas por equipes designadas pelo Ministério da Educação e Cultura que
visam orientar políticas educacionais e têm como principal objetivo contribuir para o avanço
da qualidade na educação brasileira, e visa ainda, uma reflexão sobre a prática pedagógica, o
planejamento das aulas, como também, a seleção dos materiais didáticos e recursos
tecnológicos.
Não é impositivo e homogêneo, é uma proposta consistente e ao mesmo tempo
flexível, que pode ser emoldurada para cada contexto escolar. O termo parâmetro pretende
informar que ao mesmo tempo respeitam-se as variedades regionais, culturais e políticas do
Brasil e os pontos comuns que caracterizam a educação de todas as regiões brasileiras
(BRASIL, 1998).
Apesar da não obrigatoriedade para a utilização dos PCN’s, as indicações dos
Conselhos de Educação apontam que estes são parâmetros a serem adotados. Quando foram
instituídos nas Escolas Estaduais, em 1997, não foi bem explicitada a não obrigatoriedade de
sua utilização.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s, 1998) conceitos
abordados em conexão com sua história constituem-se de veículos de informação cultural,
sociológica e antropológica de grande valor formativo. A História da Matemática é nesse
sentido, um instrumento de resgate da própria identidade cultural.
Verificar o alto nível de abstração matemática de algumas culturas antigas, o aluno
poderá compreender que o avanço tecnológico de hoje não seria possível sem a
herança cultural de gerações passadas. Desse modo, será possível entender as razões
que levam alguns povos a respeitar e conviver com práticas antigas de calcular, com
o uso do ábaco, ao lado dos computadores de última geração (PCN’s 1998, p. 43).
Outra forma de participação da história manifestada na proposta dos PCN’s (1998),
para o ensino da Matemática, diz respeito ao uso de problemas históricos, pois consideram
que os conceitos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou
seja, situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-
las.
A própria História da Matemática mostra que ela foi construída como resposta a
perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas
de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas vinculados a
outras ciências (Física, Astronomia), bem como por problemas relacionados a
investigações internas à própria Matemática (PCN’s, 1998, p. 40).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais trazem algumas indicações acerca do uso da
História da Matemática no processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Segundo este
documento oficial, deve-se compreender o conhecimento como resultado de uma construção
humana, inserido em um processo histórico e social.
Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar as necessidades e
preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao
estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e
do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e
valores mais favoráveis diante desse conhecimento (PCN’s, 1998, p. 42).
Quanto às habilidades e competências, no que se refere à contextualização sócio
cultural, os PCN’s estabelecem que o aluno deva:
Reconhecer o sentido histórico da ciência e da tecnologia, percebendo seu
papel na vida humana em diferentes épocas e na capacidade humana de
transformar o meio.
Compreender as ciências como construções humanas, entendendo como elas se
desenvolveram por acumulação, continuidade ou ruptura de paradigmas,
relacionando o desenvolvimento científico com a transformação da sociedade.
Relacionar etapas da História da Matemática com a evolução da humanidade.
De acordo com Bittencourt (2004) os PCN’s passam a ter certas influências no ensino
da Matemática, pois como aponta a autora:
Embora os PCN tenham sido propostos apenas de maneira indicativa, nestes últimos
anos já é possível identificar a influência indireta desse material curricular, através
da rede de relações que sustentam os sistemas de ensino, como: os processos de
avaliação dos diferentes níveis de escolarização; os mecanismos de seleção dos
livros didáticos; e até mesmo os materiais de apoio, em diferentes mídias, à difusão
dos princípios pedagógicos desse documento (BITTENCOURT, 2004, p. 72, Grifo
da autora).
As principais características dos PCN’s são: primar os significados dos conteúdos,
proporcionar uma visão de conteúdos além dos conceitos, indicar um trabalho com temas
transversais e explicitar a necessidade do desenvolvimento de diferentes capacidades, cujo
lema é acreditar que o avanço da qualidade na educação é dado a partir das concepções de
cidadania e contemporaneidade.
Os PCN’s estabelecem que os objetivos do Ensino Fundamental são: permitir que os
alunos sejam capazes de compreender esta cidadania como participação social e política;
situar-se de maneira crítica, responsável e construtiva nas diferentes situações sociais,
conhecer as características fundamentais do Brasil nas dimensões sociais, materiais e
culturais; conhecer aspectos socioculturais de outros países; posicionar-se contra qualquer
tipo de discriminação, perceber-se integrante, dependente e agente transformador do
ambiente; desenvolver o conhecimento e a confiança em si mesmo; conhecer e valorizar com
hábitos saudáveis o próprio corpo; utilizar diferentes linguagens (verbal, Matemática, gráfica,
plástica e corporal); saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos e
questionar a realidade formulando problemas e tratando de resolvê-los.
A proposta geral contida nos PCN’s é que todas as áreas do Ensino (Língua
Portuguesa, Matemática, Ciências Naturais, História, Geografia, Arte, Educação Física e
Línguas Estrangeiras) envolvam-se independente e conjuntamente, levando em consideração
a ética, a saúde, o meio ambiente, a orientação sexual e a pluralidade cultural, caracterizando
assim a área específica, isto é, uma educação interdisciplinar, que utiliza conceito de
cidadania e contemporaneidade.
Os PCN’s são formulados com a intenção de inovar, de deixar algumas tradições de
lado e proporcionar um ensino integrador e significante. São oferecidos alguns caminhos para
ensinar Matemática, entre eles a História da Matemática inserida na forma de informações,
curiosidades, desafios.
Mediante um processo de transposição didática e aliada a outras metodologias e
recursos, a História da Matemática se torna uma importante contribuição para o processo de
ensino e aprendizagem em Matemática. A Matemática pode ser evidenciada como criação
humana fruto de diferentes culturas e de diferentes momentos históricos, podendo estabelecer
comparações entre processos matemáticos do passado e do presente, com isso, o aluno pode
desenvolver atitudes e valores mais favoráveis do conhecimento matemático.
De acordo com Baroni e Bianchi (2007) a História da Matemática tem papel
importante no processo de ensino e aprendizagem embora possam ser compreendidos de
forma diferente por outros autores e que ainda não haja consenso de como utilizá-la. Para
esses autores é inegável que a História da Matemática seja um meio potencialmente rico para
dar qualidade ao ensino da Matemática, neste sentido, a História da Matemática pode
desempenhar um papel muito importante no processo de ensino e aprendizagem de
Matemática.
Segundo Baroni e Bianchi (2007) a indicação do uso da História da Matemática,
contida nos PCN’s – documento oficial do MEC -, está exercendo alguma influência na
composição de livros didáticos atuais, uma vez que se observa neles cada vez mais a inserção
da História da Matemática. Para esses autores os atuais Parâmetros Curriculares Nacionais
buscam argumentos relacionados ao desenvolvimento Histórico da Matemática para justificar
a importância da história no ensino da Matemática.
3.2 – O CONTEXTO HISTÓRICO NO ENSINO DA MATEMÁTICA
Segundo Baroni e Bianchi (2007) muito se tem falado sobre o uso da História da
Matemática no ensino e aprendizagem da matemática, mas segundo esses autores, o que se
observa, de fato, é o amadurecimento de ideias e a consequente produção de vasto material
teórico, com fundamentações baseadas nas mais diversas correntes – filosófica, cultural,
interdisciplinar, metodológica, epistemológica etc. Todavia, muito pouco ainda se tem sobre o
uso efetivo da História da Matemática em sala de aula. As escassas experiências pontuais
relatadas não são conclusivas sobre sua eficácia em âmbito geral. Para esses autores isso
ocorre tanto em nível nacional como internacional.
Segundo Mendes (2006) o uso da história como recurso pedagógico tem como
principal finalidade promover um ensino e aprendizagem da Matemática que permita uma
ressignificação do conhecimento matemático produzido pelas sociedades ao longo dos
tempos.
É muito raro encontrarmos a história da matemática nos livros didáticos utilizados
por professores e estudantes do nível fundamental e médio do sistema educacional
brasileiro. Embora esses livros incluam, muitas vezes, certas informações históricas,
tais informações geralmente falam sobre figuras históricas e acontecimentos que se
constituem em algo meramente desnecessários à aquisição (geração/construção) de
conhecimento matemático pelo estudante. É prudente que discutamos de que
maneira a história poderá ser usada como um recurso favorável à construção das
noções matemáticas pelos estudantes, durante as suas atividades escolares
(MENDES, 2006, p. 83-84).
Fauvel (1991) apud Mendes (2006) no artigo Using History in mathematics education
aponta várias razões para se usar a história em educação matemática:
1) a história aumenta a motivação para aprendizagem da matemática;
2) humaniza a matemática;
3) mostra o seu desenvolvimento histórico através da ordenação e apresentação de
tópicos no currículo;
4) os alunos compreendem como os conceitos se desenvolveram;
5) contribui para as mudanças de percepções dos alunos com relação à matemática;
6) a comparação entre o antigo e o moderno estabelece os valores das técnicas
modernas a partir do conhecimento desenvolvido ao longo da história da sociedade;
7) ajuda a desenvolver uma aproximação multicultural para a construção do
conhecimento matemático;
8) suscita oportunidades para investigação matemática;
9) pode apontar os possíveis aspectos conceituais históricos da matemática que
dificultam a aprendizagem dos estudantes;
10) contribui para que os estudantes busquem no passado soluções matemáticas para
o presente e projetem seus resultados no futuro;
11) ajuda a explicar o papel da matemática na sociedade;
12) faz da matemática um conhecimento menos assustador para os estudantes e para a
comunidade em geral;
13) explora a história, ajudando a sustentar o interesse e a satisfação dos estudantes;
14) fornece a oportunidade para a realização de atividades extracurriculares que
evidenciem trabalhos com outros professores e/ou outros assuntos (caráter interdisciplinar da
História da Matemática).
Todas as proposições apresentadas por Fauvel (1991) são essenciais para o uso da
história no ensino da matemática, principalmente porque elas se mostram
interconectadas de modo a dar significado tanto ao trabalho do professor quanto à
aprendizagem dos estudantes (MENDES, 2006, p. 86).
As razões defendidas por Fauvel, segundo Mendes (2006) abordam amplamente os
aspectos do cotidiano, escolar e científico da Matemática, quando postas em práticas na sala
de aula. No entanto, Mendes (2006) alega que para se alcançar várias dessas metas é
necessário que o professor, a escola e os estudantes assumam um novo papel com relação à
Matemática, à sua história, ao seu ensino e à sua aprendizagem, tendo em vista a sua
utilização por quem aprende.
Mendes (2006) faz menção ao estudo realizado por Miguel (1993) no qual este autor
analisa os diferentes papéis pedagógicos atribuídos à história por matemáticos, historiadores
da Matemática e educadores matemáticos, objetivando explicitar as razões pedagógicas que
justificam o uso da história no ensino e aprendizagem da Matemática e que justificativas esses
autores apresentam para recorrer à história no ensino de Matemática.
Para Mendes (2006) o estudo realizado por Miguel (1993) caracteriza as diversas
formas de utilização da história na aprendizagem da matemática, oportunizando, tanto aos
pesquisadores dessa área quanto aos professores e estudantes, o acesso a um corpo de
possiblidades pedagógicas, dentre as quais menciona: a motivação; a determinação de
objetivos de ensino; a recreação; a desmistificação; a formalização; a dialética; a unificação
da matemática; a conscientização; a significação; a cultura e a epistemologia.
A história como uma fonte de motivação para a aprendizagem da Matemática é
considerada imprescindível para que as atividades de sala de aula se tornem atraentes e
despertem o interesse dos estudantes para a Matemática. O caráter motivador deve estar
presente também nas atividades contidas nos livros didáticos, devendo configurar-se
concretamente na ação docente.
Quanto à determinação de objetivos de ensino, a história se configura como uma fonte
de seleção de objetivos adequados aos procedimentos de ensino, de modo a contribuir
diretamente no trabalho do professor se ele estabelecer continuamente um aprofundamento
acerca dos aspectos históricos do assunto que vai ensinar em cada série que atua. Isso porque
os objetivos previstos em seu planejamento de ensino deverão estar diretamente relacionados
com os aspectos construtivos presentes no desenvolvimento histórico do conteúdo abordado.
Dessa forma, o desenvolvimento da Matemática escolar se apoiará diretamente nas
informações históricas e nos objetivos definidos a partir dela.
Em se tratando da fonte de recreação, acreditamos que a História da Matemática se
efetiva com a aplicação de atividades lúdicas e heurísticas incorporadas às atividades de sala
de aula. Trata-se de mais de uma alternativa para tornar as aulas mais agradáveis, motivadoras
e desafiadoras da capacidade imaginativa do aluno. Além disso, a Matemática passa a ser
revestida de muita dinâmica criativa, dependendo do empenho do professor. Por outro lado,
seu uso pedagógico deve ser realizado com cautela, para que os estudantes não o interpretem
apenas como sinônimo de diversão. Vale lembrar que os aspectos recreativos e lúdicos devem
ser incorporados ao ensino e aprendizagem da Matemática sempre em uma perspectiva
investigatória e construtiva do conhecimento escolar, principalmente porque surge dos
aspectos históricos do cotidiano de diversas sociedades antigas ou mesmo atuais, que pode
fomentar a imaginação Matemática tão ausente das atividades escolares.
De acordo com Mendes (2006) a respeito da desmistificação, a história exerce uma
influência decisiva na Matemática escolar, pois a mesma pode ser usada para desvelar as
outras faces da Matemática e, com isso, mostrar que ela é um conhecimento estruturalmente
humano. Desse modo, a Matemática deve ser acessível a todos, à medida que as atividades
Matemáticas educativas desenvolvidas dentro da escola ou fora dela se mostrem de forma
clara, simples e sem mistérios, buscando sempre o crescimento integral da sociedade humana.
Para esse autor, a respeito da formalização dos conceitos matemáticos, podemos
considerar que a História da Matemática possibilita a representação destes a partir dos
aspectos ligados ao desenvolvimento cognitivo do aluno. Para que isso ocorra, é necessário
que o professor e os estudantes conheçam e compreendam as diversas formalizações presentes
no desenvolvimento histórico do conteúdo dos conceitos matemáticos abordados durante o
processo ensino e aprendizagem. Além disso, a formalização descrita pelos aspectos
históricos de cada conceito estudado deve deixar transparecer a viabilidade e adaptabilidade
de cada conceito, de acordo com o momento histórico, pois caso contrário os estudantes
poderão estranhar as mudanças conceituais ocorridas ao longo do tempo e isso poderá
dificultar a compreensão das ideias discutidas na sala de aula.
Quanto à dialética, a história pode exercer tal função na construção da Matemática
escolar se o seu uso no ensino e aprendizagem da Matemática contribuir para que os
estudantes construam seu pensamento a partir de uma perspectiva independente e crítica
acerca da construção histórica da Matemática. Isso significa que eles passam a analisar os
objetivos da criação e difusão das ideias Matemáticas em cada contexto especial e temporal,
tendo em vista os interesses políticos, sociais e culturais de quem constrói esses
conhecimentos.
Ainda segundo esse autor, a história como fonte de significação constitui-se em uma
função importante para que a educação Matemática promova uma aprendizagem significativa
e compreensiva da Matemática escolar com o emprego da história. É uma das funções de
maior interesse para o trabalho que se desenvolve atualmente, visto que por meio dessa
abordagem é possível contribuir para que os estudantes alcancem uma aprendizagem integral
e ampla da Matemática escolar, ou seja, desenvolvam uma compreensão relacional dos
conceitos matemáticos estudados.
É a partir dos significados históricos que será possível estabelecermos uma conexão
construtiva entre os aspectos cotidiano, escolar e científico da Matemática, de modo a fazer
com que os estudantes passem a observar o seu contexto cotidiano e compreendam a
Matemática que está sendo feita hoje, de acordo com o momento histórico atual.
A história como fonte de cultura constitui-se uma função pedagógica por meio da qual
se procura resgatar a identidade cultural da sociedade usando a História da Matemática. Ela
está presente fortemente nos trabalhos ligados à história e a etnomatemática. A história como
forma de resgate da cultura pode contribuir para que os estudantes estabeleçam ricas conexões
entre os aspectos cotidiano, escolar e científico da Matemática, ou seja, esse tipo de
abordagem histórica levada às atividades escolares valoriza os saberes matemáticos
construídos pelas sociedades em todos os tempos.
CAPÍTULO 4 – REFERENCIAL TEÓRICO E METODOLÓGICO DA PESQUISA
Realizar uma pesquisa sobre a geometria plana contida em livros didáticos de
matemática do Ensino Fundamental e analisar as organizações matemáticas e as organizações
didáticas na abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência, nos
levou a um estudo cuidadoso a respeito da teoria e da metodologia empregadas na análise do
objeto de pesquisa, pois, entendemos o estudo desse conteúdo como uma atividade
Matemática respaldada na prática matemática, práxis, e no discurso lógico, logos, sobre essa
prática. Neste sentido, para o estudo do objeto de pesquisa nos fundamentamos na Teoria
Antropológica do Didático, TAD, e na pesquisa qualitativa fenomenológica.
4.1 – REREFENCIAL TEÓRICO DA PESQUISA
Para a análise do nosso objeto de estudo em livros didáticos de matemática do 9º ano
do Ensino Fundamental nos fundamentamos na Teoria Antropológica do Didático de Yves
Chevallard (1996), por ser uma teoria importante, e que tem sido aplicada por pesquisadores
em Educação Matemática nos procedimentos de análise no estudo de conteúdos matemáticos
e das práticas docentes.
Como afirmam Marconi e Lakatos (2010) as teorias surgem da necessidade que se tem
de encontrar explicações para os fenômenos e fatos da realidade, os quais são apreendidos por
meios de suas manifestações e visa conduzir a descoberta de aspectos invariáveis comuns aos
diferentes fenômenos, por meio da classificação e da generalização.
O objetivo das teorias é compreender e explicar os fenômenos de uma forma mais
ampla, através da reconstrução conceitual das estruturas objetivas dos mesmos.
Dessa forma, de um lado, a compreensão e a explicação estabelecem as causas ou
condições iniciais de um fenômeno e, de outro, proporcionam a derivação, tanto de
consequências quanto de efeitos, e, assim, possibilitam a previsão da existência ou
do comportamento de outros fenômenos. Portanto, a teoria fornece-nos dois aspectos
relacionados com os fenômenos: de um lado, um sistema de descrição e, de outro,
um sistema de explicações gerais. Concluindo, a teoria não é uma mera descrição da
realidade, mas uma mera abstração (MARCONNI, LAKATOS, 2010, p. 107).
Antes de iniciar a abordagem da Teoria Antropológica do Didático (TAD) realizamos
um breve estudo da teoria da transposição didática de Yves Chevallard (1991), uma vez que o
estudo do nosso objeto de pesquisa antes de chegar aos livros didáticos de matemática passou
por profundas transformações ao longo do tempo, ou seja, passou de objeto de estudo a objeto
de ensino, o que leva o conteúdo analisado a ter uma relação direta com a teoria da
transposição didática.
De acordo com Almouloud (2007) uma classe de objetos a ensinar é a consequência de
uma história particular, o resultado de um tratamento didático que obedece à regras precisas.
Estes mecanismos gerais que permitem a passagem de um objeto de saber a um objeto de
ensino são agrupados sob o nome, que Chevallard (1991) chama, de transposição didática.
Um conteúdo do conhecimento, tendo sido designado como saber a ensinar, sofre
então um conjunto de transformações adaptativas que vão torná-lo apto a tomar
lugar entre os objetos de ensino. O trabalho que, de um objeto de saber a ensinar faz
um objeto de ensino, é chamado de transposição didática (CHEVALLARD, 1991, p.
39).
A noção de transposição didática visa estudar esse processo seletivo, que ocorre por
meio de uma rede de influências, envolvendo diferentes segmentos do sistema educacional.
Para esse autor a teoria da transposição didática tem o propósito de fazer uma análise
epistemológica do saber sob o ponto de vista didático essencialmente em termos de objetos de
saber.
Levando em consideração o modelo proposto pela TAD, pode-se interpretar a
transposição didática como uma noção que desenvolve, segundo Chevallard (1999),
a tripla ruptura epistemológica provocada pela teoria das situações, pois a noção de
transposição didática mostra que o saber matemático (saber científico, ensinado ou
a ensinar) está no centro de toda problematização didática. Em consequência, esse
saber jamais pode ser considerado como algo inquestionável (ALMOULOUD, 2007,
p. 112, grifo do autor).
Segundo Almouloud (2007) a teoria da transposição didática tem em vista uma análise
epistemológica do saber sob o ponto de vista didático basicamente em termos de objetos de
saber. Tais objetos podem ser categorizados em:
- paramatemático: ferramentas utilizadas para descrever e estudar outros objetos
matemáticos.
- matemáticos: além de instrumentos úteis para estudar outros objetos matemáticos,
tornam-se objetos de estudo em si mesmos.
- protomatemáticos: apresentam propriedades utilizadas para resolver alguns
problemas, sem contudo adquirir o status de objeto de estudo ou de ferramenta para
o estudo de outros objetos (ALMOULOUD, 2007, p. 113) .
Para o autor a insuficiência dessa classificação foi uma das razões que levaram
Chevallard a desenvolver a Teoria Antropológica do Didático (TAD).
De acordo com a teoria da transposição didática, a pessoa que ensina e os estudantes
estão inter-relacionados e inseridos no sistema de ensino stricto sensu. Ao redor deles está o
que Chevallard (1991) chamam de “noosfera”. Segundo esse autor, englobando a noosfera,
temos o entorno que é constituído pela sociedade.
Para Chevallard (1991) a noosfera é o centro operacional do processo de transposição
didática, de onde emergem os conflitos entre o sistema e o entorno, quando o saber ensinado
se torna ultrapassado, banalizado em relação ao saber científico. Assim, passa a existir uma
incompatibilidade entre o sistema de ensino e o seu entorno, verificada pela insatisfação e
interferência dos acadêmicos, dos professores e as instituições sociais. A própria noosfera
busca um reequilíbrio, selecionando os elementos do saber científico que, designados como
saberes a serem ensinados, são submetidos ao trabalho de transposição didática.
Segundo Chevallard (1991) o conceito inserido no livro didático passou por um
processo de transposição didática realizada por uma instância distante da escola, adaptando-o
ao conteúdo a ser ensinado, que, por sua vez, passará por outras formas de transposição
dependentes do interlocutor, como o professor.
O estudo da trajetória percorrida pelo saber escolar permite visualizar as influências
recebidas do saber científico, bem como de outras fontes. São influências que moldam não só
o aspecto conceitual como também o didático, tendo como pressuposto que as praxeologias
matemáticas e didáticas são indissociáveis.
A escolha dos conteúdos escolares, bem como dos recursos didáticos adotados no
ensino, ocorre sob o balizamento de um conjunto de fontes de influência, entre as quais estão
as efetivas práticas realizadas pelos professores, os programas escolares e os livros didáticos.
Mas, embora muitas dessas fontes sejam preexistentes em relação à escolha docente, é
possível perceber que alguns conteúdos e recursos indicados para o ensino são, conforme
Chevallard (2001) verdadeiras criações didáticas incorporadas à lista oficial dos conteúdos
avalizados pela instituição escolar. Em certos casos, são criações motivadas por supostas
necessidades do ensino para servirem como recurso para outras aprendizagens. Para esse autor
tais criações têm uma finalidade educacional, entretanto, o problema surge quando seu uso
acaba acontecendo de forma puramente automatizada e desvinculada de aplicação.
Figura 01 – Esquema da trajetória do saber na transposição didática
Fonte: www.puc.br/eventos/educare/educare2008/anais/pdf/431_246.pdf
A figura 01 mostra a trajetória do saber, do momento em que é produzido (saber
científico), até chegar à escola (saber a ser ensinado), e por fim um saber ensinado (dentro da
sala de aula). Esta última etapa expressa o momento em que acontece o que Chevallard (1991)
chamou de trabalho interno de transposição, que tem no professor o responsável por esse
novo momento de transformação.
Segundo a teoria da transposição didática o conjunto de adaptações e transformações
que o saber matemático passa até tornar-se objeto de estudo contido em livros didáticos tem
várias fases, que são:
Saber científico: são os conceitos operatórios despersonalizados, descontextualizados
e reconhecido pela comunidade científica.
Saber a ser ensinado: é o saber que o professor acha que deve ensinar após
interpretação dos documentos oficiais e dos livros didáticos. Nesta etapa, os professores
procuram trabalhar os conteúdos contidos em livros didáticos com seus próprios
conhecimentos, proporcionando aos alunos a aprendizagem desses conteúdos.
Saber escolar: é o saber proposto em livros didáticos, ou seja, esse saber representa os
conhecimentos que o sistema social de ensino designa como saberes relevantes na formação
dos alunos. No Brasil, esses saberes são representados pelos Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN’s).
Entendemos que o saber escolar contido em livros didáticos deve ser apresentados de
maneira a proporcionar aos alunos uma aprendizagem significativa. Neste sentido,
acreditamos que a Teoria Antropológica do Didático nos proporciona realizar uma análise
desse saber, ou seja, das tarefas resolvidas na abordagem do conteúdo de polígonos regulares
inscritos na circunferência contido em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino
Fundamental.
4.2 – A TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO
A Teoria Antropológica do Didático (TAD) tem seu foco o saber como forma de
organização do conhecimento e situa a atividade matemática e, em consequência, a atividade
da aprendizagem da Matemática no conjunto das atividades humanas e das instituições
sociais. A TAD considera os objetos matemáticos, não como existentes em si, mas como
entidades que emergem de sistemas de práticas que existem em dadas instituições.
Chevallard (1996) propõe a elaboração de uma antropologia didática cujo objeto de
estudo é a didática, com o objetivo de estudar o professor e o aluno diante de problemas
matemáticos. Esse autor se utiliza inicialmente de três temas primitivos que são: os objetos
(O), as pessoas (X) e as instituições (I) e considera que o saber deve necessariamente estar
associado (deve existir) a uma instituição e para se obter conhecimento é necessário que uma
pessoa ou uma instituição tenha uma relação com o objeto.
Segundo Chevallard (1996) do ponto de vista da “semântica” da teoria, qualquer coisa
pode ser um objeto. Um objeto existe a partir do momento em que uma pessoa X ou uma
instituição I o reconhece como existente (para ela). Segundo esse autor podemos dizer que o
objeto O existe para X (e respectivamente, para I) se existe um objeto, denotado pela relação
R(X,O), ou seja, relação pessoal de X com O ou pela relação RI(O), relação institucional de I
com O. O autor afirma que o objeto O existe ao menos para uma pessoa X ou para uma
instituição I, se pelo menos uma pessoa ou uma instituição tiver uma relação com esse objeto,
ou seja, reconhece esse objeto.
Os objetos ocupam, contudo, uma posição privilegiada: são o “material de base” da
construção teórica considerada. Da mesma maneira que, no universo matemático
contemporâneo, fundado na teoria dos conjuntos, tudo é conjunto (os próprios
números inteiros são conjuntos), assim, também, no universo que estou a considerar,
todas as coisas são objetos. As pessoas X e as Instituições I, bem como as restantes
entidades que serei levado a introduzir, são pois objetos de um tipo particular
(CHEVALLARD, 2006, p. 127, grifo do autor).
Neste sentido, Chevallard (1996) introduz a noção de conhecimento, ou seja, conhecer
um objeto é tanto para uma instituição como para uma pessoa ter uma relação com esse
objeto. De acordo com esse autor a instituição I pode ter várias representações, uma escola é
uma instituição, tal como é uma sala de aula; mais existe igualmente a instituição “trabalhos
orientados”, a instituição “cursos”, a instituição “família”. A vida quotidiana é uma instituição
(num dado meio social), o mesmo acontecendo ao estado amoroso (numa dada cultura) etc.
Para esse autor, os objetos e as instituições se articulam, pois, cada instituição I está
associada a um conjunto de objetos OI, chamado conjunto dos objetos institucionais, ou seja,
é o conjunto dos objetos O que I conhece. Um objeto O é institucional para I, ou seja, existe
para I, quando I define uma relação institucional com O. O autor acrescenta ainda que
algumas análises apelam a uma noção suplementar: a noção de objetos institucionalmente
visível a partir de I, e que nem por isso é um objeto institucional para I.
Uma instituição (I) é (está) constituída pelas pessoas envolvidas (misturadas) numa
mesma classe de situações problemáticas. O compromisso mútuo com a mesma
problemática contribui para a realização de algumas práticas sociais compartilhadas,
as quais estão, deste modo, ligadas à instituição a cuja caracterização contribuem
(GODINO, BATENERO, 1994, p. 9)
Chevallard (1996) considera ainda, outro termo primitivo, pois, para qualquer
instituição I, existe aquilo que o autor chama de tempo institucional tI. O conjunto OI
(conjunto dos objetos institucionais) depende de t = tI (tempo institucional), e a notação OI(t)
seria por isso mais exata. Para o autor o conjunto OI(t) registra algumas das alterações que
afetam a instituição I: a cada “instante” t, surgem novos objetos institucionais, enquanto
outros desaparecem (para passarem a ser institucionalmente visíveis, por exemplo, apenas a
partir de I). De acordo com o autor o mesmo acontece com as relações institucionais RI(O,t).
“De uma maneira geral, todas as noções relativas à instituição I dependem de tI”
(CHEVALLARD, 1996, p. 129).
4.2.1 – Objetos ostensivos e objetos não ostensivos
Segundo Almouloud (2007) o problema da “natureza” dos objetos matemáticos e o de
seu funcionamento na atividade matemática conduziram Bosch e Chevallard (1999) a
estabelecer uma dicotomia fundamental que os distingue em dois tipos: ostensivos e não
ostensivos.
Para Almouloud (2007) esses autores falam de objetos ostensivos (em latim:
ostendere, “mostrar, apresentar com insistência”) para se referir a todo objeto que, tendo uma
natureza sensível e certa materialidade, tem, para o sujeito, uma realidade perceptível. Pode-
se dizer, dessa forma, que os ostensivos são os objetos manipuláveis na realização da
atividade matemática.
Quanto aos objetos não ostensivos, segundo Chevallard (1999) não devem ser
entendidos como entidades mentais, pessoais e individuais, que existem somente na cabeça ou
no espírito das pessoas.
Almouloud (2007) afirma os objetos não ostensivos são, segundo Bosch e Chevallard
(1999), todos os “objetos” que, como as ideias, as instituições ou os conceitos, existem
institucionalmente sem que, no entanto, eles sejam vistos, ditos, escutados, percebidos ou
mostrados por conta própria. Assim, esses objetos só podem ser evocados ou invocados pela
manipulação adequada de certos objetos ostensivos que lhes são associados, tais como uma
palavra, uma frase, um gráfico, uma escrita, um gesto ou todo um discurso (ALMOULOUD,
2007, p 120).
Em qualquer atividade humana, mais especificamente em toda atividade matemática,
existe a coativação de objetos ostensivos e de objetos não ostensivos. Na abordagem
antropológica, podemos dizer que o cumprimento de toda tarefa envolve necessariamente a
manipulação de ostensivos regulados pelos não ostensivos, fazendo com que os objetos
ostensivos tornem-se a parte perceptível da atividade (ALMOULOUD 2007, p 119, grifo do
autor).
Entendemos por ostensivos qualquer objeto que é público e que, portanto, pode ser
mostrado a outro. Os objetos institucionais e pessoais têm natureza não ostensiva
(não perceptíveis por si mesmos). Entretanto, qualquer destes objetos é utilizado nas
práticas públicas através de seus ostensivos associados (notações, símbolos, gráfico).
Esta classificação entre ostensivo e não ostensivo é relativa ao jogo da linguagem
em que participam. O motivo disto é que um objeto ostensivo pode ser também
pensado, imaginado por um sujeito ou estar implícito no discurso matemático (por
exemplo, o sinal de multiplicar na notação algébrica) (GODINO, BATANERO,
FONT 2008, p 16-17).
Segundo Almouloud (2007) na análise da atividade matemática, a dialética
ostensivo/não ostensivo é, geralmente, concebida em termos de signos e de significação: os
objetos ostensivos são signos de objetos não ostensivos que constituem o sentido ou a
significação. A função semiótica dos ostensivos, sua capacidade de produzir um sentido ou
significado, não pode ser separada de sua função instrumental, de sua capacidade de integrar-
se nas manipulações técnicas, tecnológicas e teóricas. Para o autor os ostensivos são
ferramentas materiais para a ação nas organizações matemáticas, onde as duas funções,
semiótica e instrumental, coabitam.
De acordo com Miguel (2005) o valor instrumental de um objeto ostensivo depende da
situação, pois:
O valor semiótico (ou semioticidade) de um objeto ostensivo está em estreita relação
com seu valor instrumental; ele tem seus valores instrumental e semiótico
estabilizados localmente na história da instituição e podem evoluir de acordo com
seu engajamento nas atividades institucionais. Essa evolução não é universal e
uniforma, pois depende da instituição e das condições ecológicas (BOSCH,
CHEVALLARD, 1999, apud MIGUEL, 2005, p. 35).
Vários objetos ostensivos aparecem na realização de uma atividade matemática sem
que possam ser ativados individualmente, porque suas funções são distintas e dependem de
técnica adotada e dos registros utilizados (ALMOULOUD, 2007, p 121).
4.2.2 – Elementos da Teoria Antropológica do Didático
Ao enquadrar a atividade matemática dentro do conjunto de atividades humanas e das
instituições sociais, Chevallard (1999) toma a noção de organização praxeológica ou
simplesmente praxeologia, como conceito-chave na TAD, para estudar as práticas
institucionais relativas a um objeto de saber e, em particular, as práticas sociais em
Matemática (ORDEM, 2010, p. 66-67).
A Teoria Antropológica do Didático analisa o papel do saber matemático em relação à
instituição escolar por meio de organizações praxeológicas. A praxeologia ou organização do
saber matemático, para Chevallard (1999) ocorre em quatro categorias: tipo de tarefas,
técnicas, tecnologias e teorias, que modelam toda a atividade matemática.
Na Teoria Antropológica do Didático, as noções de (tipos de) tarefas, técnicas,
tecnologias e teorias, as quais permitem modelar as práticas sociais em geral e, em particular,
as atividades matemáticas, baseiam-se em três postulados:
Primeiro: toda prática institucional pode ser analisada sob diferentes pontos de vista e
de diferentes maneiras, em um sistema de tarefas relativamente bem delineadas.
Segundo: o cumprimento de toda tarefa decorre do desenvolvimento de uma técnica.
Para Almouloud (2007) a relação institucional que se estabelece entre uma instituição
I (aluno, professor...) e um objeto O depende das posições que ocupam nessa instituição e do
conjunto de tarefas que essas pessoas devem cumprir usando determinadas técnicas. “Para
Chevallard, a necessidade de reconstrução de tarefas, como construções institucionais,
caracteriza um problema a ser resolvido dentro da própria instituição, que no caso da sala de
aula, por exemplo, é uma questão didática” (ALMOULOUD, 2007, p. 115).
Para uma determinada tarefa, geralmente, existe uma técnica ou um número limitado
de técnicas reconhecidas na instituição que problematizou essa tarefa, embora possam existir
técnicas alternativas em outras instituições. A maioria das tarefas institucionais torna-se
rotineira quando deixa de apresentar problemas em sua realização. Isso quer dizer que para
produzir técnicas é necessário que se tenha uma tarefa efetivamente problemática que
estimula o desenvolvimento de pelo menos uma técnica para responder às questões colocadas
pela tarefa. As técnicas assim produzidas são então organizadas para que funcionem
regularmente na instituição.
Com esses dois postulados, obtém-se um bloco prático-técnico formado por um tipo
de tarefas e por uma técnica que pode ser verificado em linguagem corrente como um saber-
fazer (CHEVALLARD 1999, apud ALMOULOUD 2007, p. 115).
Terceiro: a ecologia das tarefas, quer dizer, as condições e restrições que permitem sua
produção e sua utilização nas instituições.
[...] a ecologia das tarefas e técnicas são as condições e necessidades que permitem a
produção e utilização destas nas instituições e supõe-se que, para poder existir em
uma instituição, uma técnica deve ser compreensível, legível e justificada [...] essa
necessidade ecológica implica a existência de um discurso descritivo e justificativo
das tarefas e técnicas que chamamos de tecnologia da técnica. O postulado
anunciado implica também que toda tecnologia tem necessidade de uma justificativa
que chamamos teoria da técnica e que constitui o fundamento último (BOSCH,
CHEVALLARD, 1999, apud ALMOULOUD, 2007, p. 117).
Segundo Almouloud (2007) supõe-se que, para existir em uma instituição, uma técnica
deve ser pelo menos compreensível, legível e justificada, o que seria uma condição mínima
para permitir o seu controle e garantir a eficácia das tarefas feitas, que são geralmente tarefas
supondo a colaboração de vários autores. Essas condições e restrições ecológicas implicam
então a existência de um discurso descritivo e justificativo das tarefas e técnicas que Bosch e
Chevallard (1999) chamam de tecnologia da técnica. Toda tecnologia precisa também de uma
justificação, a que chamaram a teoria da técnica.
De acordo com Almouloud (2007) para Chevallard (2002) um saber fazer, identificado
por uma tarefa e uma técnica, não é uma entidade isolada porque toda técnica exige, em
princípio, uma justificativa, isto é, um “discurso lógico” (logos) que lhe dá suporte, chamado
de tecnologia, a qual vem descrever e justificar a técnica como uma maneira de cumprir
corretamente uma tarefa.
Um conjunto de técnicas, de tecnologias e de teorias organizadas para resolver um
determinado tipo de tarefa forma uma organização praxeológica (ou praxeologia) pontual.
4.2.3 - Praxeologia
O postulado básico da TAD é permitir que qualquer atividade humana possa ser
descrita por um modelo único, que se resume pela palavra praxeologia. De acordo com
Chevallard (1999) as ações humanas regularmente realizadas podem ser descritas como uma
praxeologia, ou seja, estudar ou ensinar Matemática podem ser descritas segundo um modelo
praxeológico.
Para Chevallard (1999) toda atividade humana consiste em quatro conceitos básicos
que são: tarefa (T), técnica (), tecnologia (Ɵ) e teoria (). Neste sentido, pode-se dizer que
toda atividade humana, coloca em ação uma organização envolvendo [T//Ɵ/], a qual
Chevallard (1999) nomeia praxeologia, ou organização praxeológica.
O autor afirma que a noção de tarefa, ou mais precisamente dos tipos de tarefas, supõe
um objetivo relativamente preciso, por exemplo, subir uma escada é um tipo de tarefa, da
mesma forma, calcular o apótema de um triângulo equilátero inscrito na circunferência é um
tipo de tarefa. Neste sentido, “subir”, assim como “calcular”, são gêneros de tarefas.
De acordo com a TAD, uma técnica, denotada por é uma determinada maneira de
realizar uma tarefa T. Uma praxeologia relativa a um tipo de tarefa T contém em princípio
uma técnica nomeada em saber-fazer. Assim, um determinado tipo de tarefa Ti, corresponde
a uma determinada maneira i de resolver as tarefas desse tipo. De acordo com a teoria,
podemos destacar as seguintes considerações sobre as técnicas:
- As técnicas permitem agrupar as questões, ou problemas, em tipos de problemas.
- Uma técnica tem sempre uma “competência” limitada. Ela somente é bem sucedida
em algumas tarefas de determinado tipo.
- Pode acontecer que, a partir de uma primeira técnica de competência reduzida (no
âmbito de aplicabilidade/validade), elabora-se uma técnica mais abrangente.
- Uma tarefa pode ser problemática ou não. Ela é problemática quando o aluno não
tem o domínio de uma técnica para resolvê-la. O objetivo no ensino é transformar as tarefas
problemáticas em tarefas rotineiras.
Segundo a TAD a tecnologia Ɵ é um discurso racional a respeito da técnica
empregada. O autor explica que a existência de uma técnica supõe a existência subjacente de
um discurso interpretativo e justificativo da técnica e de seu âmbito de aplicabilidade e
validade que denominamos de tecnologia (tékhne, técnica, e logos, discurso). O discurso
(tecnologia Ɵ) torna compreensível e justifica a técnica , assegurando que ela permita
concluir/realizar as tarefas do tipo T, isto é, realizar o que é pretendido. A tecnologia Ɵ
também tem a importante função de trazer elementos para modificar a técnica e ampliar seu
alcance, superando, assim, suas limitações e permitindo, em alguns casos, a produção de uma
nova técnica.
De acordo com Ordem (2010) se um aluno memoriza uma determinada tecnologia
(teorema ou fórmula em geometria) pode chegar a resolver certos tipos de exercícios com essa
tecnologia, mas, de vez em quando, pode não explicar o porquê do resultado encontrado.
Ainda de acordo com o autor, é preciso destacar que a primeira função da tecnologia é
justificar a técnica e consiste em assegurar que a técnica atinja o que se pretende. Quanto à
segunda função é explicar, expõe o porquê daquele procedimento. Vale destacar que essas
duas funções da tecnologia, justificar e explicar, podem ser vistas, de formas distintas, ou seja,
um mesmo discurso tecnológico sobre uma tarefa do tipo T pode assumir duplamente a
função de técnica e tecnologia, que permite, por um lado, encontrar o resultado do que se pede
(função técnica) e justificar o resultado esperado (função tecnológica).
No ensino da Matemática, um conteúdo de estudo é, frequentemente, associado a uma
tecnologia Ɵ determinada (por exemplo, Teorema de Pitágoras, Teorema de Tales), ou ainda,
o bloco de saber [Ɵ/] corresponde a uma tecnologia que permite explicar e justificar
técnicas relativas aos diversos tipos de tarefas desse conteúdo.
A teoria é o discurso suficientemente amplo que serve para interpretar e justificar a
tecnologia. De acordo com a TAD podemos dizer que a teoria é a tecnologia de sua
tecnologia. De certa maneira, é o fundamento último da atividade que vai além do que parece
óbvio e natural, sem necessidade de nenhuma justificativa.
4.2.4 - Praxeologias didáticas ou organizações didáticas
Segundo Chevallard (1999) as praxeologias didáticas ou organizações didáticas são
respostas às questões do tipo: “Como estudar um objeto matemático?” Que resposta dar a
questão, como organizar o ensino de um objeto matemático?
De acordo com Chevallard (1999) qualquer que seja o caminho do estudo, certos tipos
de situações estão necessariamente presentes. Tais tipos de situações serão chamados de
momentos de estudo ou momentos didáticos porque qualquer que seja o caminho seguido o
objetivo de ensinar deve ser concretizado.
A noção de momento foi introduzida por Chevallard (1999) para descrever uma
organização didática e remete, apenas aparentemente, à estrutura temporal do processo de
estudo. O sentido dado à palavra “momento” é, de início, multidimensional, um fator no
processo multifatorial. Os momentos didáticos são, primeiramente, uma realidade funcional
do estudo, antes de ser uma realidade cronológica. Conforme a TAD quando se pretende
descrever uma organização didática em torno de um objeto matemático, qualquer que seja o
caminho desse estudo, certos tipos de situações, momentos de estudo ou momentos didáticos,
podem ocorrer simultaneamente, pois, como não existe uma sequência pré-definida para sua
ocorrência, podem se repetir no decorrer do estudo.
De acordo com Almouloud (2007) para que seja feita uma análise de uma organização
didática é necessário que se conheça a teoria que sustenta o tema em estudo. Segundo este
autor, os momentos propostos por Chevallard (1999) são:
Primeiro momento de estudo: refere-se ao encontro com a organização praxeológica
por meio de tarefas; esse momento vai orientar o desenvolvimento das relações institucionais
e pessoais com o objeto. Estas relações serão construídas ao longo de todo o processo de
estudo e têm papel importante na aprendizagem. Este momento consiste em encontrar a
organização didática por meio de, pelo menos, um dos tipos de tarefas que a constituem e que,
no entanto, não determina completamente a relação com o objeto, porque a organização
didática é construída e modificada durante o processo de estudo.
Segundo momento de estudo: tem-se a exploração das tarefas e o início da elaboração
de uma técnica para resolver esse tipo de tarefa. É nesse momento que o professor tem o papel
de orientar os alunos para que seja constituída, pelo menos parcialmente, uma técnica que, a
princípio, possa resolver a tarefa estudada. Essa ação deve, posteriormente, possibilitar a
emergência de outra técnica mais elaborada, geral e completa. Assim, estudar problemas de
certo tipo é um meio permanente de criar e aprimorar uma ou mais técnica que se tornarão o
meio para resolver de maneira quase rotineira os problemas desse tipo.
Terceiro momento de estudo: diz respeito à construção do ambiente
tecnológico/teórico que começa a se construir desde o primeiro encontro, tornando-se cada
vez mais preciso no decorrer do estudo. Em geral, esse momento começa por uma relação
entre ambiente tecnológico/teórico construído anteriormente e o início da criação de um novo
ambiente, que se tornará necessário com a emergência da técnica. Em geral, esse momento
está em estreita inter-relação com cada um dos outros momentos, estabelecendo um processo
dinâmico e atemporal na evolução do processo desencadeado pela organização matemática e
que é foco do estudo da organização didática. De acordo com a teoria desde o primeiro
encontro com um tipo de tarefa, têm-se inter-relações e/ou conexões com um ambiente
tecnológico-teórico anteriormente elaborado. Conforme Chevallard (1999) vale a pena
destacar que, no ensino tradicional, esse momento constitui a primeira etapa do estudo e as
tarefas aparecem como aplicação do bloco tecnológico/teórico.
Quarto momento de estudo: ocorre o trabalho com a técnica em diferentes tarefas, que
pode, eventualmente, ser aperfeiçoada pela mobilização relativa a um conjunto de tarefas
qualitativamente e quantitativamente representativas da organização matemática em jogo.
Quinto momento de estudo: ocorre a institucionalização, a organização é definida.
Elementos que fizeram parte em fases anteriores podem ser descartados e outros integrados
definitivamente a partir da explicitação oficial desses elementos pelo professor ou pelo aluno,
tornando-se parte integrante da cultura da instituição ou da classe. Ou seja, novos elementos
podem ser introduzidos pela modificação da relação institucional vigente ou pela criação de
uma nova relação institucional com esses elementos.
Sexto momento de estudo: é considerado sob dois aspectos, o da avaliação das
relações pessoais e da avaliação da relação institucional, ambas em relação ao objeto
construído, da técnica construída, buscando verificar sua capacidade intelectual.
4.2.5 - Praxeologias matemáticas ou organizações matemáticas
A praxeologia matemática ou organização matemática, diz respeito aos objetos
matemáticos em termos de tarefa (T), técnica (), tecnologia (Ɵ) e teoria ().
Em torno de um tipo de tarefa T, em princípio, encontramos pelo menos uma técnica
, de uma tecnologia Ɵ e de uma teoria . O todo anotado por [T//Ɵ/], constitui uma
praxeologia pontual, onde pontual significa que se trata de uma praxeologia a um único tipo
de tarefa T.
Segundo a TAD uma praxeologia ou organização praxeológica é então constituída de
um bloco prático-técnico [T/], e de um bloco tecnológico-teórico [Ɵ/]. O bloco prático-
técnico [T/] constitui um saber-fazer e o bloco tecnológico-teórico [Ɵ/] é identificado
como um saber.
Geralmente, de acordo com a TAD, em uma instituição I dada, uma teoria responde
as várias tecnologias Ɵj, onde cada uma por sua vez justifica e torna inteligível várias técnicas
i,j, correspondentes aos tipos de tarefas Tij. As organizações pontuais vão assim se agregar,
primeiramente em organizações locais, [Ti/tij/Ɵ/], centradas sobre uma tecnologia Ɵ
determinada, em seguida em organizações regionais, [Tij/tij/Ɵj/], formadas em torno de uma
teoria Ɵ. É chamado de organização global o complexo praxeológico [Tijk/tijk/Ɵjk/k], obtido
em uma instituição dada pela agregação de diversas organizações regionais correspondendo as
diversas teorias k.
A passagem de uma praxeologia pontual [T//Ɵ/], a uma praxeologia local
[Ti/ij/Ɵ/] destaca a tecnologia Ɵ, da mesma maneira que a passagem da praxeologia local
para a regional [Tij/ij/Ɵj/], dá lugar no primeiro plano para a teoria . Nos dois casos a
visibilidade do bloco saber se destaca, em detrimento do saber-fazer.
De acordo com a TAD um desequilíbrio não é justificado, pois em ambos os casos o
tipo de tarefa T precede geneticamente do bloco tecnológico-teórico [Ɵ/], o qual se constitui
como meio de justificar uma técnica apropriada a uma tarefa T. Por esta razão o saber-fazer
[T/], poderá ser classicamente apresentado no texto do saber como uma simples aplicação do
saber [Ɵ/].
O emprego da TAD, em particular a organização didática e organização matemática
proposta por Chevallard (1996) se justifica nesta pesquisa, por ser uma teoria que tem por
objetivo fornecer princípios de base que podem ser empregados no estudo do conteúdo de
polígonos regulares inscritos na circunferência contidos em livros didáticos de matemática do
9º ano do Ensino Fundamental.
Segundo Chevallard, Bosch e Gascón (2001) uma obra matemática surge sempre
como resposta a uma questão ou para um conjunto de questões. Segundo esses autores,
poderíamos dizer que a resposta matemática para uma questão se cristaliza em um conjunto
organizado de objetos ligados entre si por diversas inter-relações, isto é, em uma organização
matemática. Essa organização é o resultado final de uma atividade matemática que, como
toda atividade humana, apresenta dois aspectos inseparáveis: a prática matemática ou
“práxis”, que consta de tarefas e técnicas, e o discurso fundamentado ou “logos” sobre essa
prática, que é constituída por tecnologias e teorias.
Não é possível, nem para o matemático nem para os alunos de uma série do ensino
fundamental, atuar matematicamente com verdadeira eficácia sem entender o que
está fazendo. Mas também não se pode entender em profundidade uma organização
matemática determinando se, simultaneamente, não for realizado uma prática
matemática eficaz. Não há práxis sem logos, mas também não há logos sem práxis.
Ao unir as duas faces da atividade matemática, obtemos a noção de praxeologia:
para responder a um determinado tipo de questão matemática é necessário elaborar
uma praxeologia matemática constituída por um tipo de problema determinado, uma
ou várias técnicas, sua tecnologia e a teoria correspondente (CHEVALLARD,
BOSCH, GASCÓN, 2001, p. 275).
Para esses autores, elaborar uma praxeologia matemática supõe para qualquer
“estudante”, seja matemático pesquisador ou aluno de Matemática, entrar em um processo de
estudo que, como tal, não é um processo homogêneo, mas está estruturado em diferentes
momentos. Cada momento do processo de estudo faz referência a uma dimensão ou aspecto
da atividade de estudo, mais do que a um período cronológico preciso. Portanto, os momentos
estão distribuídos de uma forma dispersa ao longo do processo de estudo e não podem ser
vividos “de uma só vez”.
Para o nosso estudo, nos apoiaremos nos conceitos previstos na TAD, os quais serão
empregados na análise do nosso objeto de pesquisa, pois, a TAD tem seu foco nos três temas
primitivos que são: os objetos (O), as pessoas (X) e as instituições (I).
O objeto (O) da pesquisa: entendemos como o objeto (O) da pesquisa o conteúdo de
polígonos regulares inscritos na circunferência contido nos livros didáticos de matemática do
9º ano do Ensino Fundamental selecionados pelo PNLD/2011 e analisados no estudo.
As pessoas (X) de acordo com a TAD: entendemos que as pessoas (X) de acordo a
teoria pode ser representado por alunos e professores que utilizam os livros didáticos de
matemática do 9º ano do Ensino Fundamental. Na nossa pesquisa não trabalhamos com
alunos e professores.
As instituições (I) de acordo com a TAD: entendemos como instituições (I) os autores
de livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental. Na nossa pesquisa não
trabalhamos com as instituições, ou seja, com os professores de livros didáticos de
matemática.
Chevallard (1999) considera que o saber deve necessariamente estar associado a uma
instituição e para se obter conhecimento é necessário que uma pessoa (X) ou uma instituição
(I) tenha uma relação com o objeto (O). Neste sentido, de acordo com a TAD toda atividade
humana consiste nos conceitos básicos que são: tarefa (T), técnica (), tecnologia (Ɵ) e teoria
(), as quais colocam em ação uma organização praxeológica.
Para entender como se articulam as organizações didáticas e as organizações
matemáticas na abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência em
livros didáticos de matemática realizamos um estudo desse objeto matemático, a fim de
identificar o bloco tecnológico-teórico, o bloco prático-técnico e os momentos didáticos, os
quais constituem as praxeologias que modelam o estudo do objeto de pesquisa com a
aplicação de diferentes tipos de tarefas. Na pesquisa entendemos como tarefas os exercícios
resolvidos nos livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental.
4.3 - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA
Passamos a descrever os aspectos metodológicos utilizados no estudo, pois, como
ressalta Bicudo (2011) toda investigação solicita que se fique atento às concepções
concernentes à realidade do investigado, abrindo campo para a compreensão do solo em que
os procedimentos serão desdobrados. Para a autora a consonância entre as dimensões
ontológicas e epistemológicas “do que” e “do como” se investiga o investigado confere um
grau de confiança que transcende as análises apenas baseadas em cálculos e em explicitações
de procedimentos metodológicos, devidamente esclarecidos.
4.3.1 – A pesquisa qualitativa fenomenológica
Como nosso estudo visa investigar como se articulam as organizações didáticas e as
organizações matemáticas das tarefas resolvidas em livros didáticos de matemática,
entendemos que a pesquisa qualitativa com abordagem fenomenológica parece-nos apropriada
na busca de compreender como se dá essa articulação, pois, o método fenomenológico de
conduzir pesquisas é, descritivo e rigoroso e tem por objetivo chegar à essência do fenômeno
a ser investigado a partir do que se mostra do objeto de estudo.
Segundo Bicudo (2011) os procedimentos metodológicos da pesquisa qualitativa
fenomenológica fazem sentido nas investigações em Educação Matemática, haja vista que,
nos últimos anos, as investigações têm se voltado para a formação de professores; práticas
docentes; capacidade de aprendizagem dos alunos, pesquisas etnográficas, pesquisas em
Etnomatemática e Modelagem Matemática. De acordo com a autora para dar conta das
interpretações, a descrição, a interpretação por meio da hermenêutica e a explicitação dos
resultados se mostram significativos, pois, os dados são muitos e as interpretações não ficam
apenas no âmbito da linguagem, ou da quantificação.
A fenomenologia é uma escola filosófica iniciada na Alemanha baseada nas ideias de
Edmund Husserl (1859-1938).
Como corrente filosófica fundada por Husserl, a Fenomenologia surge intimamente
ligada à Matemática: “O que motivou o início da fenomenologia – afirma Husserl –
foi o problema radical de uma clarificação dos conceitos fundamentais lógicos e
matemáticos, e com isso o de uma fundamentação efetivamente radical da lógica e
da Matemática “(Moura, 1989; p.47). Rompendo com os tradicionais modos de
filosofar, todos tributários de posições filosóficas outras, Husserl toma como
máxima o “ir às coisas mesmas” donde os princípios dessa fenomenologia não se
pautarem em posições prévias, mas “exprimirem aquilo que é dado diretamente na
consciência (GARNICA, 1997, p. 113).
A pesquisa qualitativa direcionada pelo modo de compreender o que está sendo
interrogado, no decorrer de seu desenvolvimento, possibilita a obtenção de dados descritivos,
o que se dá a partir do contato direto do pesquisador com a situação estudada, de modo a
favorecer a compreensão do fenômeno que está sendo interrogado.
De acordo com Klüber e Burak (2008) a Matemática é re-significada e compreendida
como construída sócio-historicamente, inclusive por diferentes culturas.
O fato de o olhar fenomenológico deixar de lado os preconceitos pode ajudar a
esclarecer aspectos que ainda não são bem definidos em tais tendências, como por
exemplo, as concepções de realidade e de conhecimento, de ciência, de ensino. De
aprendizagem, entre outras. Talvez essa seja uma das mais importantes
contribuições da Fenomenologia para a Educação Matemática, isso quer dizer,
oferecer subsídios para interpretação dos fazeres e saberes desenvolvidos pelas
diversas atividades na área. Sendo uma filosofia consistente, comporta-se como uma
“meta-ciência’ dessa área que ainda está se desenvolvendo e é relativamente recente
em nosso país (KLÜBER, BURAK, 2008, p. 99).
No que concerne ao conteúdo matemático e às pesquisas que se voltam para o ensino e
para a aprendizagem da Matemática, a postura fenomenológica pode fornecer a ruptura das
formas predominantes de transmissão de conteúdos. Isso se torna possível a partir da
compreensão de que a fenomenologia busca o significado, o sentido de o homem estar no
mundo, do seu fazer, dos seus atos que são sempre intencionais.
4.3.2 - A fenomenologia como método de investigação
A fenomenologia, como método de pesquisa, parte de caminhos conhecidos no que se
refere às práticas sociais e ações realizadas, procurando estabelecer novas perspectivas para a
compreensão do fenômeno. Este método leva em consideração a experiência vivida pelo
pesquisador e busca focar diretamente o objeto investigado.
Fenomenologia é uma palavra composta pelos termos fenômeno mais logos.
Fenômeno diz do que se mostra na intuição ou percepção e logos diz do articulado
nos atos da consciência em cujo processo organizador a linguagem está presente,
tanto como estrutura, quanto como possibilidade de comunicação e, em
consequência, de retenção em produtos culturais postos à disposição do mundo-vida
(BICUDO, 2011, p. 29-30, grifo da autora).
Como método de pesquisa, a Fenomenologia é uma forma radical de pensar. Assim
sendo, ela parte, necessariamente, de caminhos conhecidos de fazerem-se as coisas, desafia os
pressupostos aceitos e busca estabelecer uma nova perspectiva para ver o fenômeno.
Enquanto um método genuinamente radical fundamenta-se em novos conceitos, os quais, no
começo, para aquele que nela se inicia, são estranhos e desconhecidos. Como ocorre sempre
que se abandona o conhecido e o familiar, ao iniciarem-se novos trajetos, corre-se o risco de
caminhar na obscuridade (BICUDO, 1983, p. 11).
O momento em que o pesquisador deixa de lado, ou coloca em suspensão o que já
conhece do fenômeno interrogado denomina-se de epoché. É o momento em que o
pesquisador busca a compreensão dos dados a fim de que possa deixar que o fenômeno se
mostre na multiplicidade de sua aparência. É neste momento que o pesquisador permite que
sua consciência se volte para o que lhe é dado enquanto tal, permitindo sua compreensão. Para
Martins e Bicudo (2006) proceder à epoché, ou seja, fazer a redução ou colocar em evidência
a região a ser investigada, é o primeiro movimento do processo de investigação.
Na pesquisa de abordagem fenomenológica, Bicudo (2006) destaca a importância da
descrição do fenômeno. “Esse modo de pesquisar dá destaque à descrição” (BICUDO, 2006,
p. 111).
O momento em que o pesquisador descreve o visto e seleciona as partes da descrição
consideradas essenciais ao fenômeno, de acordo com a sua interrogação, é chamado de
redução fenomenológica. Por intermédio das “eliminações” do que julga ser supérfluo e de
comparações no contexto onde o fenômeno se manifesta o pesquisador reduz as descrições ao
que entende ser essencial, característico, básico. Este processo envolve dois grandes
momentos: o da análise ideográfica e o da análise nomotética.
Situado o fenômeno, recolhidas as descrições, iniciam-se os momentos das análises
Ideográficas e Nomotética. Na análise Ideográfica (assim chamada porque busca
tornar visível a ideologia presente na descrição ingênua dos sujeitos, podendo para
isso lançar mão de ideogramas ou símbolos expressando idéias), o pesquisador
procura por unidades de significados, o que faz após várias leituras de cada uma das
descrições. As leituras prévias fazem parte de uma primeira aproximação do
pesquisador em relação ao fenômeno, numa atitude de familiarização com o que a
descrição coloca. As unidades de significados, por sua vez, são recortes
considerados significativos, pelo pesquisador, dentre os vários pontos aos quais a
descrição pode levá-lo (GARNICA, 1997, p. 116-117).
Segundo Bicudo (2000) no momento da análise ideográfica encaramos a descrição à
luz da interrogação. De acordo com Martins e Bicudo (1989) é impossível analisar um texto
inteiro simultaneamente, o que torna necessário dividi-lo em unidades. (...) as unidades de
significados são discriminações espontaneamente percebidas nas descrições.
Garnica (1997) afirma que o trabalho segue, então, ancorado nessas unidades de
significados que são, depois de recolhidas, transcritas para a linguagem do pesquisador, num
discurso mais próprio da área na qual a pesquisa se insere. Segundo esse autor, articulando as
compreensões que resultam dessa seleção das unidades de significado e das próprias unidades,
o pesquisador trata de agrupá-las em categorias abertas, mediante reduções. É a partir desses
agrupamentos que o pesquisador passa a sua segunda fase de análise, a nomotética.
A análise nomotética é feita com base na análise das divergências e convergências
expressas pelas unidades de significados, estando vinculada, ainda, a interpretações que o
pesquisador faz para obter cada uma dessas convergências ou divergências. Disso, novos
grupos são formados e, num processo contínuo de convergência e interpretações, sempre
explicitadas, novas categorias abertas, mais gerais, vão-se formando.
Categorias são como grandes regiões de generalidades compreendidas e interpretadas
no âmbito estudado. Elas indicam os aspectos estruturantes do fenômeno investigado. Neste
exercício de redução fenomenológica o pesquisador caminha em direção a invariantes cada
vez mais abrangentes, que assumem a denominação de categorias abertas.
Em torno das categorias abertas são elaboradas as interpretações que se articulam com
a interrogação, com o referencial teórico, com os discursos e com a reflexão do pesquisador.
A interpretação é o momento em que, a partir das convergências, buscam-se as generalizações
que, no entanto, permanecem abertas a novas interpretações, pois, ela é um registro de como o
fenômeno se manifesta na perspectiva do pesquisador.
A análise e interrogação das categorias abertas permitem ao pesquisador caminha em
direção à compreensão de como o fenômeno se manifesta em sua essência. É uma trajetória
que lhe permite um entendimento a respeito do que é interrogado.
4.3.3 - O desenvolvimento da pesquisa sob o enfoque fenomenológico
Na análise do objeto de pesquisa buscamos descrever como se dá as articulações das
organizações didáticas e das organizações matemáticas, as quais constituem as praxeologias
que modelam o estudo do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência contido
em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental.
Primeiramente, realizamos a redução fenomenológica, ou seja, colocamos em
evidência a região a ser investigada, pois, de acordo com Martins e Bicudo (2006) esse é o
primeiro movimento do processo de investigação, o momento em que o pesquisador seleciona
as partes consideradas essenciais do objeto investigado.
Em seguida, realizamos os recortes do objeto de pesquisa, ou seja, o momento da
análise ideográfica. Os recortes que fizemos nos levaram às unidades de significados. Desses
recortes referentes à abordagem do objeto de pesquisa nos LDs analisados surgiram os
gêneros de tarefas, os tipos de tarefas, as técnicas e as teorias. Esses recortes, ou seja, as
unidades de significados nos levaram a descrever como se deu a resolução das tarefas
aplicadas no estudo do objeto de pesquisa, ou seja, a descrição do bloco prático-técnico e do
bloco tecnológico-teórico. As descrições desses blocos nos levaram às questões abertas
visando à busca da essência do fenômeno investigado.
Em seguida, passamos à análise nomotética, que consiste na relação de convergência
entre as unidades significativas, representadas no estudo pela articulação entre as
organizações didáticas e as organizações matemáticas, as quais constituem as praxeologias
pontuais analisadas no estudo.
Nesse momento, ou seja, na análise nomotética ocorre a passagem do individual para o
geral, onde atingimos as categorias abertas, representado no estudo pelas sequências de
praxeologias pontuais apresentadas em cada livro didático. Após esse momento, passamos à
análise ideográfica, na qual buscamos a compreensão e descrição de como se dá a organização
do estudo do objeto de pesquisa em função dessas praxeologias pontuais.
Desse modo, a partir dessas convergências, buscamos os pontos comuns das
generalizações abertas, ou seja, passamos às novas interpretações das praxeologias pontuais a
fim de desvendar a praxeologia local, a qual representa como foi organizado o estudo do
objeto de pesquisa nos seis livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental
analisados na pesquisa.
Neste contexto, ao proceder a análise das categorias abertas, tendo o nosso olhar
sempre voltado para a nossa questão de pesquisa, construímos nosso próprio discurso, o qual
foi se desvelando gradativamente e nos possibilitou a entender como se articulam as
organizações matemáticas e as organizações didáticas na constituição das praxeologias
aplicadas no estudo do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência.
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE DO OBJETO DE ESTUDO
Neste capítulo apresentamos a analise do objeto de estudo em seis livros didáticos de
matemática do 9º ano do Ensino Fundamental selecionados pelo PNLD/2011, a fim de buscar
respostas à questão de pesquisa: como se articulam as organizações matemáticas e as
organizações didáticas na abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na
circunferência contido em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental?
Para responder a essa questão de pesquisa analisamos nesses livros didáticos de
matemática do 9º ano do Ensino Fundamental os capítulos que abordam a geometria, em
particular, os que tratam do estudo dos polígonos regulares inscritos na circunferência.
Iniciamos a análise com o estudo da história dos polígonos regulares inscritos na
circunferência, discutimos também, como se dá a abordagem do objeto de pesquisa nesses
livros didáticos. Em seguida, passamos a analisar os gêneros de tarefas, tipos de tarefas, de
técnicas, tecnologias e das teorias aplicadas nessa abordagem com o objetivo de descrever
como se articulam as organizações matemáticas e as organizações didáticas, as quais
constituem as praxeologias pontuais que modelam o estudo do objeto de pesquisa.
Como afirmam Chevallard, Bosch e Gascón (2001) o fato de se ensinar Matemática
nas escolas, responde a uma necessidade ao mesmo tempo individual e social, ou seja, cada
um de nós deve saber um pouco de Matemática para poder resolver, ou quando muito
reconhecer, os problemas com os quais se depara na convivência com os demais. A presença
da Matemática na escola é uma consequência de sua presença na sociedade e, portanto, as
necessidades matemáticas que surgem na escola deveriam estar subordinadas às necessidades
matemáticas da vida em sociedade.
Neste sentido, não poderíamos estudar um objeto matemático sem entender seu
contexto histórico, pois, segundo Mendes, Fossa e Valdés (2006) a História da Matemática é
compreendida como um processo dinâmico e inacabado, que passa por uma reorganização
histórica à medida que articula diferentes dimensões do conhecimento como: cotidiano,
escolar e científico.
5.1 - OLHARES SOBRE OS LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA ANALISADOS
NA PESQUISA
Um estudo preliminar nos seis livros didáticos de matemática adquiridos mostrou que
esses livros abordam o conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência o que nos
proporcionou alguns olhares do nosso objeto de pesquisa. Os olhares são:
- Primeiro: verificamos que todos os livros analisados abordam o objeto de pesquisa
com a aplicação de diferentes tipos de tarefas. Observamos que no estudo dessas tarefas é
possível descrever as praxeologias matemáticas, ou seja, as organizações matemáticas
associadas ao estudo desse conteúdo. Segundo a TAD estudar ou ensinar um saber
matemático pode ser descrito segundo um modelo praxeológico. Como afirma Aumouloud
(2007) a praxeologia associada a um saber é a junção de dois blocos: saber-fazer
(técnico/prático) e saber (tecnológico/teórico).
- Segundo: verificamos que essas tarefas são aplicadas de modo organizado segundo
uma sequência sugerida pelos autores dos livros didáticos analisados, e, representam as
diferentes formas de se estudar o objeto de pesquisa. Com o estudo dessas tarefas verificamos
que é possível descrever as praxeologias didáticas associadas ao estudo do objeto de pesquisa.
De acordo com a TAD as organizações didáticas são respostas às questões do tipo: “Como
estudar um objeto matemático?” “Como organizar o ensino de um objeto matemático?” De
acordo com a teoria quando se pretende descrever uma praxeologia em torno de um objeto
matemático, qualquer que seja esse estudo, certos tipos de situações, momentos do estudo ou
momentos didáticos estão presentes.
- Terceiro: identificamos que no estudo das tarefas aplicadas na abordagem do objeto
de pesquisa nos livros didáticos de matemática analisados é possível articular as organizações
matemáticas e as organizações didáticas no estudo do objeto de pesquisa. Segundo Chevallard
(1999) as organizações matemáticas referem-se à realidade matemática que se pode construir
para ser desenvolvida em uma sala de aula, enquanto as organizações didáticas referem-se à
maneira como se faz essa construção, passando a existir uma relação entre os dois tipos de
organizações que Chevallard (2002) define como “fenômeno de codeterminação” entre as
organizações matemáticas e organizações didáticas.
Os olhares que formamos da relação entre as organizações matemáticas e as
organizações didáticas, sob a ótica da TAD, nos levam à constituição das praxeologias
pontuais associadas ao estudo do objeto de pesquisa. Apoiado nesses olhares decidiu-se
analisar os seis livros didáticos adquiridos, pois, esses livros didáticos se apresentam
diferentes quanto ao estudo do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência.
5.2 - A HISTÓRIA DOS POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS NA
CIRCUNFERÊNCIA EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA DO 9º ANO DO
ENSINO FUNDAMENTAL
Na pesquisa analisamos como se deu a abordagem histórica do conteúdo de polígonos
regulares inscritos na circunferência nos seis livros didáticos de matemática selecionados pelo
PNLD de 2011, a fim de verificar se os autores desses livros aplicam a história do objeto de
pesquisa como recurso didático na abordagem de outros conteúdos da Matemática.
No estudo verificamos que apenas os livros didáticos LD1, LD3 e LD6 abordam a
história dos polígonos regulares inscritos na circunferência, quanto aos LD2, LD4 e LD5 não
identificamos nesses livros a aplicação do contexto histórico do objeto de pesquisa como
recurso didático.
5.1.1 - A história do objeto de pesquisa no LD1
No LD1, na apresentação da obra, os autores fazem referência à importância da
História da Matemática, ao sugerir a leitura de tópicos da Matemática como forma de
concretizar o aprendizado do conteúdo estudado no capítulo. “Em outra seção de leitura,
“Matemática no tempo”, você entrará em contato com a interessante história das descobertas
matemáticas por meio da abordagem de um tema ligado ao assunto que foi estudado”
(DOLCE, IEZZI, MACHADO, 2009, p.3).
No tópico Matemática no tempo, os textos sobre história dos polígonos regulares
contextualizam conhecimentos matemáticos ao longo do tempo e, de sua importância no
estudo de outros tópicos da Matemática, como no cálculo do comprimento da circunferência e
do número π e da área do círculo.
No LD1 os autores exploram, após o estudo do objeto de pesquisa, a história desse
conteúdo e a trajetória de grandes matemáticos que aplicaram o conteúdo dos polígonos
regulares inscritos na circunferência no estudo de outros conceitos da Matemática ao longo do
tempo. Os autores destacam alguns matemáticos como Platão (427-347 a.C), Euclides (c. 300
a.C.), Arquimedes (287-212 a.C.) e o alemão Gauss (1777-1855), além dos Pitagóricos, que
escolheram para representar o símbolo da irmandade pitagórica o pentagrama ou pentágono
estrelado.
O livro destaca o trabalho do matemático alemão Gauss (1777-1855), que aos 19 anos
de idade, conseguiu um resultado notável e surpreendente ao demonstrar que o heptadecágono
regular (17 lados) pode ser construído com régua e compasso apenas. O matemático Gauss
demonstrou que um polígono regular de p lados (em que p é primo) pode ser construído com
régua e compasso se, e somente se, p puder ser colocado na forma:
+ 1, em que m é
um número inteiro.
Outro matemático que tem destaque no estudo é o sábio grego Arquimedes (287-212
a.C), considerado o maior matemático da Antiguidade, sendo o primeiro matemático a buscar
uma aproximação de π por métodos científicos, utilizando-se de polígonos regulares inscritos
e circunscritos na circunferência.
Segundo o texto, Arquimedes para obter cientificamente uma aproximação de π,
considerou, sucessivamente, os perímetros dos polígonos regulares de 6, 12, 24, 48 e 96 lados,
inscritos e circunscritos a uma circunferência. A partir dos resultados obtidos, Arquimedes
considerou que o perímetro de um polígono regular inscrito é uma aproximação por falta do
comprimento da circunferência, assim como o perímetro de cada polígono circunscrito é uma
aproximação por excesso desse comprimento. Usando-se essas aproximações
indefinidamente, de um lado por falta, e de outro por excesso, Arquimedes chegou próximo
do valor do comprimento de uma circunferência. E, dividindo-as pelo dobro do raio,
encontrou aproximações de π cada vez melhores. Depois de exaustivos cálculos, Arquimedes
mostrou que π encontra-se entre 3,1408... e 3,1428 (em dígitos modernos).
Segundo o texto, o método de Arquimedes foi explorado mais a fundo posteriormente
por outros matemáticos. O holandês Ludolph von Ceulen (1540-1610) passou grande parte de
sua vida calculando a aproximação de π até a 35ª casa decimal, e para isso teve de chegar até
aos polígonos regulares de 262
lados.
5.1.2 - A história do objeto de pesquisa no LD3
No LD3, capítulo 12, Círculo e Cilindros, os autores abordam a história dos polígonos
regulares inscritos na circunferência como recurso didático no estudo do perímetro do círculo,
área do círculo, e no estudo da ideia de infinito.
Os autores demostram que é possível obter o valor, com grande precisão, do perímetro
do círculo utilizando-se de polígonos regulares inscritos e circunscritos na circunferência.
Segundo os autores, podemos começar calculando os perímetros do hexágono regular inscrito
e do hexágono regular circunscrito a um círculo de diâmetro d. Para obter um valor mais
preciso de π, devemos calcular perímetros de polígonos inscritos e circunscritos na
circunferência. E quanto maior o número de lados desses polígonos, mais próximos da
circunferência estará seus perímetros e mais preciso será o valor obtido para π. Os autores
abordam ainda, que a ideia de se aproximar do perímetro do círculo por meio de polígonos
regulares inscritos e circunscritos também serve para se obter a área de um círculo.
No processo de ensino e aprendizagem no estudo da ideia de infinito, os autores
trabalham conceitos matemáticos como: há infinitos números naturais; toda reta é infinita;
todo segmento de reta tem infinitos pontos. E, demonstram que pelo método para se calcular o
valor de π por meio de polígonos regulares inscritos na circunferência, também é possível se
chegar à ideia de infinito.
Na figura 02, ilustrada a seguir, os autores adotam o procedimento para se construir
polígonos regulares com muitos lados, de modo que os perímetros desses polígonos regulares
se aproximem do comprimento da circunferência circunscrita a esses polígonos,
demonstrando assim, por meio dos procedimentos ilustrados da figura 02 que é possível se
aumentar infinitamente o número de lados de um polígono regular inscrito na circunferência,
de modo que seu perímetro se aproxima do perímetro da circunferência, ou seja, podemos
aumentar infinitamente o número de lados desse polígono regular, de modo que o
procedimento é, então, infinito.
Figura 02 – Construção de polígonos regulares inscritos com o número de lados tendendo ao
infinito
Fonte LD3
5.1.3 - A história do objeto de pesquisa no LD6
No LD6 o autor utiliza a história dos polígonos regulares inscritos na circunferência
como recurso pedagógico no estudo do comprimento da circunferência. O autor apresenta o
trabalho do matemático grego Arquimedes [287-212 a.C] que, segundo o texto, realizou uma
das primeiras tentativas científicas de calcular o valor de π, utilizando a medida dos
perímetros dos polígonos regulares inscritos e circunscritos.
Ao adotar esse procedimento, Arquimedes construiu polígonos com número de lados
cada vez maior, e conseguiu aproximações mais precisa do número π, com isso, chega à
conclusão de que o valor do número π é dado pela desigualdade (223/71<π<22/7). O método
desenvolvido por Arquimedes é conhecido como método clássico de cálculo do valor de π e
está entre 3,14084507... e 3,142857143...
Utilizar a história dos polígonos regulares inscritos na circunferência como recurso
didático sugerido em livros didáticos de matemática exige que os professores conheçam sobre
esse contexto histórico, pois, de acordo com Mendes (2001) é importante que o professor
conheça profundamente o tópico histórico que deseja apresentar aos alunos, para que possa
assegurar as discussões provocadas por eles, no ato da realização das atividades.
Entendemos que o domínio do professor acerca do contexto histórico do objeto estudo
pode auxiliá-lo no desenvolvimento das atividades a serem ministradas e consequentemente,
auxiliará no processo de ensino e aprendizagem no estudo de outros tópicos da Matemática.
Nos livros didáticos LD1, LD3 e LD6, os autores apresentam a história dos polígonos
regulares inscritos na circunferência na aplicação de outros tópicos da geometria o que pode
levar os alunos a uma compreensão da evolução do estudo desse conteúdo ao longo do tempo,
pois, de acordo com as propostas dos PCN’s, a importância da História da Matemática tem
uma relevância para o aprendizado que transcende a relação social, e ainda, ilustra também, o
desenvolvimento e a evolução dos conceitos a serem apreendidos.
Entendemos que os autores de livros didáticos de matemática ao aplicar a história do
objeto de pesquisa como recurso didático mostram a influência e importância desse conteúdo
no ensino da geometria e também, sua importância na trajetória de grandes matemáticos no
estudo de outros conceitos da Matemática como: comprimento da circunferência, área da
circunferência, cálculo do número π, a ideia de infinito etc.
Neste contexto, a abordagem da história dos polígonos regulares inscritos na
circunferência em livros didáticos de matemática auxilia no processo de ensino e
aprendizagem desse conteúdo, e ainda, proporciona aos alunos à compreensão de que a
história de um saber da Matemática reflete aspectos da sua evolução como objeto da cultura
escolar, e também, como uma criação do homem em diferentes momentos históricos.
5.3 - A ABORDAGEM DO OBJETO DE PESQUISA EM LIVROS DIDÁTICOS DE
MATEMÁTICA DO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Na analise dos seis livros didáticos de matemática, mais precisamente os capítulos que
abordam o conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência, descrevemos como se
dá essa abordagem, a fim de saber como esse conteúdo está sendo proposto em livros
didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental, analisados e selecionados pelo
PNLD/2011, pois, o estudo dos polígonos regulares inscritos na circunferência se mantem
como parte do saber da geometria relevante para a formação social e cultural dos alunos no
Brasil ao longo do tempo.
5.3.1 - O LD1 e a abordagem do objeto de pesquisa
A abordagem do objeto de pesquisa no LD1 se dá na Unidade 6 Polígonos e
Circunferência. Nesta Unidade o conteúdo de polígonos é trabalhado nos capítulos 19, 20, 21
e 22.
Os autores iniciam o estudo do capítulo 19 com uma tarefa ilustrada por um hexágono
regular, em seguida, realizam uma revisão sobre os principais conceitos de polígonos
regulares, que são: Polígonos simples e não simples; Polígonos convexos e côncavos; Número
de diagonais de um polígono; Soma dos ângulos internos de um polígono; Soma dos ângulos
externos de um polígono; Polígono regular; Polígonos inscritíveis em uma circunferência;
Polígonos circunscritíveis a uma circunferência; Elementos notáveis de um polígono regular;
Área do polígono regular.
No capítulo 20, os autores trabalham o conteúdo de polígonos regulares inscritos na
circunferência, como: apótema de polígonos regulares inscritos na circunferência; lado de
polígonos inscritos na circunferência; raio da circunferência circunscrita a polígonos
regulares; perímetro de polígonos regulares inscritos na circunferência, área de polígonos
inscritos na circunferência e construção de polígonos regulares inscritos na circunferência.
Nos capítulos 21 e 22, os autores aplicam o conteúdo do objeto de pesquisa no estudo
do cálculo do número π, do comprimento da circunferência e da área do círculo.
Complementando o estudo os autores abordam a história dos polígonos regulares para falar da
sua importância no estudo de conceitos matemáticos ao longo do tempo e na construção de
polígonos regulares inscritos.
Nesses capítulos verificamos que o foco de estudo sugerido pelos autores é a
abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência, mostrando assim,
a importância desse objeto de pesquisa no estudo da geometria no LD1.
5.3.2 - O LD2 e a abordagem do objeto de pesquisa
Os autores do LD2 abordam o objeto de pesquisa nas Unidades 8 e 9 do Capítulo 4 -
Geometria e medidas: comprimentos. Na Unidade 8 - Polígonos regulares inscritos na
circunferência: os autores iniciam o estudo dos principais polígonos regulares inscritos na
circunferência com o cálculo do lado l, do apótema a e da área A.
Na Unidade 9 - Comprimento da circunferência: os autores voltam a abordar o objeto
de pesquisa no estudo da circunferência. E para ilustrar esse estudo os autores apresentam
uma sequência dos principais polígonos regulares inscritos na circunferência.
No capítulo 5 - Geometria e medidas: áreas e volumes, nas Unidades 3 e 4, os autores
voltam a aplicar o conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência no cálculo da
área de polígonos regulares e da área do círculo. Os autores iniciam o estudo da área do
círculo com a seguinte afirmação: “A ideia básica para se obter a área do círculo é considerar
polígonos regulares inscritos na circunferência, cada vez com um número maior de lados.
Desse modo, a área do polígono vai se aproximando da área do círculo” (CENTURION,
JAKUBOVIC, 2009, p. 157)
Na abordarem do objeto de pesquisa no LD2, os autores apresentam o estudo dos
principais conceitos do objeto de pesquisa, e ainda, aplicam esses conceitos no estudo do
perímetro da circunferência e na área do círculo, o que mostra a importância do objeto de
pesquisa no estudo da geometria no LD2.
5.3.3 - O LD3 e a abordagem do objeto de pesquisa
No Capítulo 7 - Geometria dedutiva: os autores do LD3 realizam uma revisão do
conteúdo de polígonos, no qual trabalham a soma dos ângulos internos e externos de
polígonos. No capítulo 9 - Trigonometria, após o estudo das razões trigonométricas, os
autores iniciam o estudo do objeto de pesquisa com uma figura ilustrando um polígono
regular inscrito na circunferência e fazem o comentário: “a primeira imagem mostra o interior
de um chuveiro elétrico. Nela se vê a posição correta da resistência elétrica, o que lembra um
pentágono regular dentro de um círculo” (IMENES, LELLIS, 2009, p. 171).
Os autores trabalham também, a construção de pentágono regular inscrito na
circunferência aplicando o estudo de ângulo central para dividir a circunferência. “Você já
construiu polígonos regulares inscritos em círculos. Vamos recordar como se faz isso”
(IMENES, LELLIS, 2009, p. 172).
Os autores voltam a ilustrar os polígonos regulares ao apresentar figuras de desenhos
industriais e comentam que as formas poligonais são muito utilizadas e que profissionais de
diversas áreas precisam saber construir polígonos regulares inscritos e até mesmo calcular as
medidas desses polígonos.
Quanto à abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência os
autores apresentam apenas um exemplo de tarefa resolvida no estudo do objeto de pesquisa.
Os autores demonstram apenas o cálculo do lado l3 do triângulo equilátero inscrito em função
do raio r da circunferência, utilizando-se das relações trigonométricas no triângulo retângulo.
Verificamos no LD3 que os autores trabalham o objeto de pesquisa no capítulo sobre
Trigonometria e aplicam esse conteúdo no estudo das relações trigonométricas.
As formas poligonais regulares aparecem com frequência em projetos
arquitetônicos, no desenho industrial, nas artes, na publicidade etc. Os profissionais
dessas áreas precisam saber construir polígonos regulares inscritos ou circunscritos a
um círculo e, até mesmo, devem saber calcular medidas desses polígonos. (...). Para
isso, usam-se as relações trigonométricas e o teorema de Pitágoras (IMENES,
LELLIS, 2009, p. 172).
Entendemos que os autores do LD3 aplicam o estudo do conteúdo de polígonos
regulares inscritos na circunferência voltado para a abordagem das relações trigonométricas.
Ao verificar a citação anterior, os autores mostram a importância das rrelações
trigonométricas e do teorema de Pitágoras na resolução de problemas sobre polígonos
regulares inscritos na circunferência.
5.3.4 – O LD4 e a abordagem do objeto de pesquisa
A abordagem do objeto de pesquisa no LD4 se dá no Capítulo 8 – Introdução a
trigonometria. O autor inicia o capítulo com o seguinte texto: “muitas situações que envolvem
medidas de lados e de ângulos em um polígono são resolvidos com a trigonometria”
(DANTE, 2009, p. 194).
Após o estudo das relações trigonométricas o autor aborda o objeto de pesquisa no
tópico: Uso das relações trigonométricas em polígonos regulares inscritos em uma
circunferência. O autor inicia o estudo do objeto de pesquisa com a figura de um pentágono
regular inscrito na circunferência de centro O e raio r. Neste tópico o autor aborda conceitos
como: medida do ângulo central, do apótema e do lado em polígonos regulares inscritos na
circunferência. Segundo o autor: “Quando consideramos a medida r do raio da circunferência
em que o polígono regular está inscrito, a medida l do lado do polígono e a medida a do
apótema desse polígono, podemos estabelecer várias relações entre essas medidas” (DANTE,
2009, p. 215).
No Capítulo 9 sobre perímetros, áreas e volumes, o autor volta a abordar os polígonos
regulares inscritos na circunferência e aplica esse conteúdo no estudo da área de um círculo e
no comprimento de uma circunferência, como podemos ver na citação do autor: “Você deve
ter percebido que à medida que aumentamos o número de lados dos polígonos regulares, a
tendência é chegar ao círculo, no qual o apótema passa a ser o raio r, e o perímetro passa a ser
o comprimento da circunferência 2πr” (DANTE, 2009, p. 244).
Verificamos no LD4, que o autor trabalha o conteúdo de polígonos regulares inscritos
na circunferência no capítulo sobre Trigonometria. Entendemos que o autor trabalha o objeto
de pesquisa no capítulo sobre Trigonometria com a finalidade de aplicar esse conteúdo no
estudo das razões trigonométricas. Tal intenção se confirma com a afirmação do autor de que
em muitas situações que envolvem medidas de lados e de ângulos em um polígono são
resolvidos com a aplicação da trigonometria.
5.3.5 - O LD5 e a abordagem do objeto de pesquisa
No LD5 identificamos que os autores trabalham o estudo dos polígonos regulares
inscritos na circunferência no capítulo: Estudando a Circunferência e o Círculo. Os autores
iniciam o estudo do objeto de pesquisa com uma revisão dos principais elementos e
propriedades de polígonos regulares inscritos na circunferência.
Quanto à abordagem do objeto de pesquisa no LD5 entendemos que os autores têm a
intensão de apresentar o estudo dos polígonos regulares inscritos na circunferência como foco
principal e como aplicação para o estudo de outros conceitos matemáticos. Entendemos que
os autores exploram o objeto de pesquisa como objetivo principal do estudo, essa intensão
fica clara quando apresentam uma revisão dos principais elementos e propriedades de
polígonos regulares como: ângulo interno, ângulo central, apótema, perímetro e área de
polígonos regulares inscritos na circunferência.
Os autores trabalham o conteúdo dos polígonos regulares inscritos na circunferência
na seção “Relações métricas” e exploram o estudo do lado l, do apótema a, e da área A de
polígonos regulares e iniciam o estudo com a seguinte afirmação: “Considerando a medida l
do lado de um polígono regular inscrito, a medida a do apótema do mesmo polígono e o
comprimento r do raio da circunferência onde esse polígono está inscrito, podemos
estabelecer algumas relações métricas” (GIOVANNI, CASTRUCCI, 2009, p. 325).
Os autores voltam a abordar o objeto de pesquisa no estudo da área de regiões
circulares. E iniciam o estudo com a citação:
Observe a sequência de regiões poligonais regulares inscritas em uma
circunferência: [...]. À medida que o número de lados aumenta, o polígono regular
inscrito se aproxima do círculo determinado pela circunferência. Isso faz com que a
área desse polígono regular se aproxime da área do círculo (GIOVANNI,
CASTRUCCI, 2009, p. 330).
Entendemos que os autores dão importância a todo o conteúdo do objeto de pesquisa,
e aplicam esse conteúdo no estudo do comprimento da circunferência e da área do círculo o
que monstra a relevância dos polígonos regulares inscritos na circunferência no ensino de
outros conceitos da geometria.
5.3.6 - O LD6 e a abordagem do objeto de pesquisa
Na abordagem do objeto de pesquisa no LD6 identificamos que o autor trabalha o
conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência no Capítulo 9 sobre
Circunferência. No estudo o autor faz uma abordagem histórica desse conteúdo como a
aplicação do método clássico de Arquimedes (287-212 a.C) para o cálculo do valor de π.
O autor realiza essa abordagem na seção: Polígonos inscritos e circunscritos na
circunferência e inicia o estudo do conteúdo do objeto de pesquisa com uma ilustração de um
professor de Matemática do 9º ano desenhando polígonos regulares inscritos e circunscritos
na lousa, em seguida, o autor apresenta uma sequência dos principais polígonos regulares
inscritos na circunferência.
No estudo do objeto de pesquisa o autor do LD6 apresenta apenas uma tarefa sobre o
hexágono regular inscrito, na qual demonstra que a medida de um lado desse polígono é igual
ao raio do círculo circunscrito. Para tal demonstração o autor aplica o conceito de ângulo
central e de ângulo interno de um polígono regular inscrito, para mostrar que os triângulos
construídos com a intersecção das diagonais traçadas partindo dos vértices desse polígono são
equiláteros. O autor volta a abordar esse conteúdo na construção de um hexágono regular
inscrito na circunferência utilizando apenas compasso.
Verificamos que o autor do livro LD6 não dá ênfase ao estudo do conteúdo de
polígonos regulares inscritos na circunferência. Entendemos que a intenção do autor em
trabalhar o objeto de pesquisa é aplicar esse conteúdo no estudo de ângulos na circunferência.
Tal intencionalidade fica clara nas tarefas sugeridas nesse livro como atividades sobre o
objeto de pesquisa, pois, oito tarefas trazem a ideia de ângulos central como sugestão para
resolvê-las.
5.4 - OS GÊNEROS DE TAREFAS, TIPOS DE TAREFAS, TÉCNICAS, TECNOLOGIAS
E TEORIAS APLICADAS NO ESTUDO DO OBJETO DE PESQUISA
Passamos a analisar nos seis livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino
Fundamental como se dá a abordagem do objeto de pesquisa quanto à aplicação das tarefas,
das técnicas, tecnologias e teorias, as quais constituem as praxeologias pontuais que modelam
esse estudo. Pois, como afirma Chevallard (1999) toda atividade humana pode ser descrita a
partir de um modelo chamado organização praxeológica e que a aquisição do conhecimento
está condicionada a vivência de uma praxeologia completa. Neste sentido, é essencial que as
tarefas propostas em livros didáticos valorizem não somente técnicas de solução, mas algum
discurso racional que justifique e que esclareça tais técnicas, e que tal discurso esteja
fundamentado em um discurso teórico, possibilitando assim a construção de uma organização
praxeológica completa.
De acordo Chevallard (1999) as tarefas desempenham um papel importante na
aquisição de um conteúdo conceitual, a análise das tarefas propostas pelos livros didáticos
assume um papel fundamental no estudo das práticas humanas que influenciam no processo
de aprendizagem da Matemática, pois, segundo o autor essas tarefas além de promoverem a
interação e colaboração entre alunos e professores podem determinar parte da organização
praxeológica a respeito do conteúdo a ser estudado.
Segundo a TAD posterior à análise da organização praxeológica promovida pelos
tipos de tarefas propostas em livros didáticos podemos determinar qual delas tem possível
potencial de influenciar na aprendizagem da Matemática, além de estabelecer padrões e
práticas de ensino. Entendemos que os diferentes tipos de tarefas Ti resolvidas em livros
didáticos de matemática podem sugerir distintas formas de se trabalhar conteúdos
matemáticos aceitos pelos sistemas sociais de ensino. Esses tipos de tarefas quando bem
apresentadas em livros didáticos, podem valorizar os conteúdos matemáticos e proporcionar
uma melhor abordagem do conteúdo estudado.
Quanto às técnicas aplicadas na resolução dessas tarefas constituem o bloco “saber-
fazer” e as tecnologias e teorias empregadas na aplicação dessas técnicas, constituem o bloco
“tecnológico-teórico”.
A seguir, apresentamos os principais gêneros de tarefas, tipo de tarefas, de técnicas, de
tecnologias e teorias contidas nos livros didáticos analisados, as quais constituem as
praxeologias pontuais associadas ao estudo do conteúdo de polígonos regulares inscritos na
circunferência.
No quadro 01, apresentamos os principais gêneros de tarefas apresentados nos livros
didáticos analisados.
Quadro 01 – Gênero das tarefas aplicadas no estudo do objeto de pesquisa
GÊNERO DE TAREFAS LD1 LD2 LD3 LD4 LD5 LD6
Com verbo calcular 11 20 4 3 11 2
Com verbo determinar 11 5 - - 17 28
Com verbo construir 5 - - 1 -
Com verbo provar - 2 1 - -
Com verbo demonstrar - - - 6 -
Com verbo medir - 3 7 2 - 1
Com o verbo deduzir - - 1 - - -
Com o verbo Desenhar - - 3 - - -
Com o verbo explicar - - 1 - - -
Com o verbo classificar - 2 - -
Com o verbo escrever - - - 6 -
Com verbo completar - - - - 30 -
Com verbo estudar - - - - - 6
Total de gêneros de tarefas
nos LDs analisados
27 30 17 14 64 48
- De acordo a TAD a noção de tarefa supõe um objetivo relativamente preciso, por exemplo, subir
uma escada é um tipo de tarefa, da mesma forma, calcular o apótema de um polígono regular inscrito
na circunferência de raio r conhecido é um tipo de tarefa. Neste sentido, “subir”, assim como
“calcular”, são gêneros de tarefas.
Fonte: Dados do pesquisador
No quadro a seguir, apresentamos os diferentes tipos de tarefas Ti aplicadas no estudo
do objeto de pesquisa, as quais constituem as distintas formas de se estudar o conteúdo de
polígonos regulares inscritos na circunferência em LDs.
Quadro 02: Tipo e descrição das tarefas apresentadas nos livros didáticos analisados
Tipo de
tarefas Ti
Descrição das tarefas Ti LDs
T1 Como calcular o lado (l4) de um quadrado inscrito em uma
circunferência de raio r conhecido
LD1, LD2, LD4,
e LD5
T2 Como calcular o apótema (a4) de um quadrado inscrito em uma
circunferência de raio r conhecido
LD1, LD2, LD4,
e LD5
T3 Como calcular o lado (l6) de um hexágono regular inscrito em uma
circunferência de raio r conhecido
LD1, LD2, LD4,
LD5 e LD6
T4 Como calcular o apótema (a6) de um hexágono regular inscrito em
uma circunferência de raio r conhecido
LD1, LD2, LD4,
LD5 e LD6
T5 Como calcular o lado (l3) de um triângulo equilátero inscrito em uma
circunferência de raio r conhecido
LD1, LD2, LD3,
D4, e LD5
T6 Como calcular o apótema (a3) de um triângulo equilátero inscrito em
uma circunferência de raio r conhecido
LD1, LD4, e LD6
T7 Como calcular a área de um polígono regular qualquer inscrito em
uma circunferência de raio r conhecido
LD1, LD2, LD4,
e LD5
- De acordo com a TAD uma obra matemática surge sempre como resposta a uma tarefa T ou para um conjunto
de tarefas Ti. De acordo com essa teoria poderíamos dizer que a resposta matemática para um tipo de tarefa se
cristaliza em um conjunto organizado de objetos ligados entre si por diversas inter-relações as quais constituem
as técnicas i.
Fonte: Dados do pesquisador
No quadro 03, apresentamos as técnicas aplicadas na resolução das tarefas contidas
nos livros didáticos analisados, as quais constituem as diferentes maneiras de resolver os
diferentes tipos de tarefas associadas ao estudo do objeto de pesquisa. Essas técnicas i
constituem o bloco “saber-fazer” e são justificadas pelas tecnologias e teorias as quais
constituem o bloco “saber”.
Quadro 03: Técnicas aplicadas na resolução das tarefas nos livros didáticos analisados
Técnicas i Descrição das técnicas i LDs Tarefas relativas
às técnicas i
1 Desenvolver a fórmula que permite calcular o lado
(l4) de um quadrado inscrito numa circunferência de
raio r conhecido em função do Teorema de Pitágoras.
LD1
T1
2 Desenvolver a fórmula que permite calcular o lado
(l4) de um quadrado inscrito em uma circunferência
de raio r conhecido em função das relações
trigonométricas.
LD2, LD4 e
LD5
3 Desenvolver a fórmula que permite calcular o
apótema (a4) de um quadrado inscrito em uma
circunferência de raio r conhecido em função do
Teorema de Pitágoras.
LD1
T2
4 Desenvolver a fórmula que permite calcular o
apótema (a4) de um quadrado inscrito em uma
circunferência de raio r conhecido em função das
relações trigonométricas.
LD2, LD4 e
LD5
5 Desenvolver a fórmula que permite calcular o lado
(l6) de um hexágono regular inscrito em uma
circunferência de raio r conhecido em função das
relações trigonométricas.
LD2, LD4 e
LD5 T3
6 Desenvolver a fórmula que permite calcular o lado
(l6) de um hexágono regular inscrito em função do
raio r da circunferência.
LD1, LD4 e
LD6
7 Desenvolver a fórmula que permite calcular o
apótema (a6) de um hexágono inscrito em uma
circunferência de raio r conhecido em função das
relações trigonométricas.
LD1, LD4 e
LD6
T4
8 Desenvolver a fórmula que permite calcular o
apótema (a6) de um hexágono inscrito em uma
circunferência de raio r conhecido em função do
Teorema de Pitágoras.
LD2, LD4 e
LD5
9 Desenvolver a fórmula que permite calcular o lado
(l3) de um triângulo equilátero inscrito em uma
circunferência de raio r conhecido em função do
Teorema de Pitágoras.
LD1 e LD4
T5
10 Desenvolver a fórmula que permite calcular o lado
(l3) de um triângulo equilátero inscrito em uma
circunferência de raio r conhecido em função das
ralações trigonométricas.
LD2, LD3, LD4 e LD5
11 Desenvolver a fórmula que permite calcular o
apótema (a3) de um triângulo equilátero inscrito em
LD1, LD4 e
LD6 T6
Técnicas i Descrição das técnicas i LDs Tarefas relativas
às técnicas i
uma circunferência de raio r conhecido em função
das ralações trigonométricas.
12 Desenvolver a fórmula que permite calcular a área de
um polígono regular inscrito numa circunferência de
raio r conhecido em função do lado l desse polígono.
LD1, LD2, LD4 e LD5
T7
13 Desenvolver a fórmula que permite calcular a área de
um polígono regular inscrito numa circunferência de
raio r conhecido em função do perímetro 2P e do
apótema a desse polígono.
- De acordo com a TAD para se resolver um tipo de tarefa Ti colocamos em prática dois aspectos
inseparáveis: a prática matemática ou “práxis”, que consta de tarefas e técnicas, e o discurso
fundamentado ou “logos” sobre essa prática, que é constituído por tecnologias e teorias.
Fonte: Dados do pesquisador
5.5 - DESCRIÇÃO E ANÁLISE DAS TAREFAS APLICADAS NO ESTUDO DO OBJETO
DE PESQUISA
Nossa investigação visa descrever como se articulam as organizações praxeológicas,
ou seja, as organizações matemáticas e as organizações didáticas associadas ao estudo dos
diferentes tipos de tarefas Ti, quanto à aplicação das técnicas, tecnologias e teorias
relacionadas às escolhas didáticas empregadas pelos autores dos livros didáticos analisados na
pesquisa no estudo do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência.
Nosso objetivo ao explorar o estudo dessas organizações praxeologias é entender
como se articulam as organizações matemáticas e as organizações didáticas na construção do
bloco prático-técnico [T/] para se constituir um saber-fazer fundamentado em um discurso
racional representado pelo bloco tecnológico-teórico [Ɵ/] o qual torna compreensível e
justificativo a técnica i empregada, ou seja, o discurso que permite concluir/realizar uma
tarefa do tipo Ti, ou seja, realizar o que é pretendido.
5.5.1 – Tipo de tarefa T1 – como calcular o lado de um quadrado inscrito em uma
circunferência
Na pesquisa esse tipo de tarefa T1 representa o conjunto das tarefas que tem por
objetivo calcular o lado de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio r conhecido.
Para o estudo do tipo de tarefa T1 do gênero “calcular” contida nos livros didáticos
LD1, LD2, LD4 e LD5, nos quais os autores aplicam técnicas i para obter uma fórmula que
permite calcular o lado l4 de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio r conhecido.
Essas técnicas i são justificadas pelas tecnologias Ɵj. As técnicas i e as tecnologias Ɵj
aplicadas para cumprir a tarefa do T1 serão analisadas no quadro 04.
Tarefa T1 – Calcular o lado l4 de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio r
conhecido.
Figura 03 – Quadrado inscrito na circunferência de raio r conhecido
Fonte: LD1
Figura 04 – Quadrado inscrito na circunferência de raio r conhecido
Fonte: LD2
Quadro 04: Descrição das técnicas e do discurso tecnológico-teórico da tarefa T1
Tipos de
tarefas Ti
Técnicas i Discurso
tecnológico-
teórico Ɵj
LDs
T1
1: Demonstrar uma fórmula que permite calcular o lado l4 de
um quadrado inscrito em função do raio r da circunferência;
1,1: identificar o lado do quadrado inscrito a ser calculado
ilustrado na figura 03;
Ɵ1 - Teorema
de Pitágoras
LD1
Tipos de
tarefas Ti
Técnicas i Discurso
tecnológico-
teórico Ɵj
LDs
T1
1,2: identificar o raio r da circunferência da figura 03;
1,3: calcular o ângulo central do triângulo ΔAÔB ilustrado na
figura 03 e identifica que esse triângulo é retângulo em Ô;
1,4: aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo
ΔAÔB e deduzir uma fórmula que permite calcular o lado l4 do
quadrado inscrito em função do raio r da circunferência.
2: Demostrar uma fórmula que permite calcular do lado l4 de
um quadrado inscrito em uma circunferência de raio r
conhecido;
2,1: identificar o lado do quadrado inscrito a ser calculado
ilustrado na figura 04;
2,2: identificar o raio r da circunferência da figura 04;
2,3: identificar e calcular o ângulo central do triângulo retângulo
isóscele ΔCÔD ilustrado na figura 04 e em seguida traçar sua
altura e construir o triângulo retângulo ΔMÔC em função dessa
altura;
2,4: Aplicar as relações trigonométricas (função seno) no
triângulo retângulo ΔMÔC para encontrar uma fórmula que
permite calcular o lado l4 do quadrado inscrito em função do
raio r da circunferência.
Ɵ2 - Relação
trigonométrica
(função seno)
no triângulo
retângulo
LD2, LD4 e
LD5
- Segundo a TAD cada técnica i é formada pelo conjunto de conceitos que são mobilizados pelos
objetos ostensivos na realização de um tipo de tarefa Ti. Essa técnica é justificada por uma tecnologia
Ɵj. Essa tecnologia, por sua vez, é explicada por uma teoria .
- Segundo a TAD, em uma dada instituição I, uma teoria responde a várias tecnologias Ɵj, cada uma
das quais, por sua vez, justificam e tornam inteligíveis várias técnicas ij, correspondentes a outros
tipos de tarefas Tij.
- Os livros LD3 e LD6 não trabalham o tipo de tarefa T1 na abordagem do objeto de pesquisa.
- Destacamos que as figuras 03 e 04 ilustradas nos LD1 e LD2 representam o modelo de tarefa T1
apresentada no estudo.
Fonte: Dados do pesquisador
5.5.2 – Descrição e análise da organização matemática da tarefa T1 no LD1
Segundo a TAD quando um matemático constrói uma nova organização matemática,
aplica determinadas técnicas, justificadas de uma determinada maneira recorrendo a alguma
praxeologia. Isso significa que, para o matemático resolver certo problema, terá que construir
uma praxeologia.
De acordo com a TAD, a praxeologia matemática está diretamente ligada ao fazer, no
sentido de produzir; porém, a praxeologia didática refere-se ao fazer no sentido de agir. Neste
contexto, “para elaborar uma praxeologia matemática, o matemático precisa de uma
praxeologia didática” Chevallard (2001, p. 254).
Na resolução do tipo de tarefa T1 os autores empregam conceitos da geometria já
estudados neste livro, identificamos também, que os autores aplicam apenas uma técnica
denominada no estudo de 1 a qual garante resolver esse tipo de tarefa T1.
Discurso prático-técnico [T1/1]: o discurso racional aplicado na resolução desse tipo
de tarefa T1 mobiliza diversos conceitos matemáticos a fim de garantir o emprego do Teorema
de Pitágoras no triângulo ΔAÔB ilustrado na figura 03. O emprego dessa técnica leva à
dedução de uma fórmula que permite calcular o lado l4 do quadrado inscrito em função do
raio r da circunferência. A aplicação dessa técnica monstra que o lado de um quadrado
inscrito pode ser calculado em função do raio r da circunferência.
Discurso tecnológico-teórico [Ɵ1/]: o discurso que fundamenta o tipo de técnica 1
baseia-se no fato de que todo quadrado inscrito pode ter seu lado l4 calculado em função do
raio r de uma circunferência aplicando-se o Teorema de Pitágoras. Neste sentido, esse
teorema representa o discurso racional e justificativo da técnica 1 a qual garante a realização
das tarefas do tipo T1.
5.5.3 – Descrição e análise da organização matemática da tarefa T1 no LD2, LD4 e LD5
No que diz respeito ao conteúdo matemático empregados na resolução da tarefa T1,
entendemos que se trata de conceitos da geometria já estudado nestes livros. Ao analisar como
foi conduzida a organização matemática na resolução da tarefa T1 nos livros didáticos LD1,
LD4 e LD5, podemos identificar o emprego de uma técnica nominada no estudo de 2.
Discurso prático-técnico [T1/2]: o discurso racional da técnica 2 empregada na
resolução do tipo de tarefa T1 mobiliza conceitos matemáticos os quais garantem a aplicação
das relações trigonométricas (função seno) no retângulo ΔMÔC ilustrado na figura 04, de
modo a demonstrar uma fórmula que permite calcular o lado l4 do quadrado inscrito em
função do raio r da circunferência.
Discurso tecnológico-teórico [Ɵ2/]: o discurso racional que fundamenta a técnica 2
baseia-se no fato de que todo quadrado inscrito em uma circunferência de raio r conhecido,
pode ter seu lado l4 calculado em função do raio r da circunferência. Usando as relações
trigonométricas, mais precisamente, a função seno, ou seja, o seno de 45º, é possível calcular
o lado do quadrado inscrito. Esse discurso racional a respeito da técnica 2, aplicação da
função seno no triângulo retângulo, justifica o emprego dessa técnica, a qual representa a
tecnologia que garante resolver tarefas do tipo T1.
5.5.4 - Descrição e análise da organização didática da praxeologia [T1/1,2/Ɵ1,2/]
A organização didática, no contexto da pesquisa, pode ser compreendida como o
conjunto das técnicas, tecnologias e teorias mobilizadas para conduzir a realização de um
determinado tipo de tarefa Ti. Segundo a TAD, as organizações praxeológicas – didática e
matemática – podem ser caracterizadas e analisadas por meio de tarefas, técnicas, tecnologias
e teorias.
O estudo da organização didática caracteriza-se também pelos momentos de estudo ou
momentos didáticos, segundo a TAD, o desenvolvimento de uma organização didática ou
momentos de estudo não ocorrem, necessariamente, em uma ordem cronológica. Para
conduzir a descrição da organização didática segundo a teoria, é importante destacar que
nosso estudo está voltado para a análise das praxeologias que são constituídas pelas técnicas,
tecnologias e teorias, as quais garantem a resolução de determinadas tarefas Ti no estudo do
objeto de pesquisa abordado em livros didáticos de matemática.
Destacamos que a opção pelo uso de uma técnica ou outra é uma escolha didática
relacionada aos objetivos visados pelos autores dos LDs para resolver determinadas tarefas Ti
no estudo de determinados conceitos. É importante destacar também, o emprego dos objetos
ostensivos na apresentação das tarefas Ti e na condução das técnicas i, ou seja, nas diversas
representações do objeto de estudo.
A resolução da tarefa T1 com a aplicação das técnicas 1 e 2 representam diferentes
momentos de exploração dessa tarefa e na elaboração de diferentes discursos justificativos
que permeiam entre conceitos da geometria como o Teorema de Pitágoras e as relações
trigonométricas (função seno), mostrando assim, que na resolução da tarefa T1 nos LDs
podem ser mobilizados mais de uma técnica e mais de um discurso interpretativo e
justificativo dessas técnicas no seu campo de validez.
Todo discurso tecnológico se realiza concretamente pela manipulação de objetos
ostensivos os quais permitem materializar as explicações e justificações necessárias ao
desenvolvimento da tarefa. Segundo a TAD os objetos ostensivos são as ferramentas das
técnicas, das tecnologias e das teorias, pois, sem o emprego dessas ferramentas a ação não
pode ser realizada.
A tarefa T1 apresentada nos LDs analisados valoriza a articulação entre diferentes
registros de linguagem usados para conduzir as técnicas. Os registros de representação
apresentados na pesquisa são: figura geométrica (linguagem da figura), linguagem matemática
(linguagem algébrica) e linguagem natural (linguagem materna). Todos esses registros
aplicados no estudo do objeto de pesquisa são denominados de objetos ostensivos. Os
registros de representação, ou seja, os objetos ostensivos, apresentados na resolução das
tarefas Ti facilitam a visualização e interpretação dos dados da tarefa e também, a identificar
os momentos de estudo.
O primeiro momento de estudo, está caracterizado pela linguagem natural
representada pelo enunciado da tarefa T1 e pela linguagem da figura (figura geométrica do
quadrado inscrito na circunferência) as quais são representadas por objetos ostensivos na
apresentação da tarefa a ser resolvida.
O segundo momento é representado durante a exploração de um tipo de tarefa Ti e da
elaboração de uma técnica i relativa a esse tipo de tarefa. Esse momento está representado no
estudo conforme a descrição e elaboração dessas técnicas no quadro 04. Neste momento de
estudo os autores aplicam diversos conceitos e propriedades da geometria e articulam os
objetos ostensivos (linguagem algébrica) na elaboração das técnicas 1 e 2 para resolver a
tarefa T1 sugerida.
O terceiro momento, diz respeito à construção do ambiente tecnológico/teórico
[Ɵ1,2/] que começa a ser construído a partir do momento em que os autores apresentam a
tarefa, e se justifica no momento em que apresentam a fórmula que permite calcular o lado do
quadrado inscrito. Segundo a TAD esse momento está em inter-relação com os outros
momentos, assim, desde o primeiro encontro com a tarefa, têm-se inter-relações e/ou
conexões com o ambiente tecnológico-teórico, ou seja, esses momentos constituem a
exploração da tarefa e a emergência da técnica, bem como, com a construção do bloco
tecnológico-teórico [Ɵ1,2/].
É importante destacar que na exploração da tarefa T1 as técnicas aplicadas permitem
desenvolver a fórmula que proporciona calcular o lado l4 do quadrado inscrito. Na exploração
da tarefa T1 os autores aplicaram propriedades, definições e conceitos matemáticos, tais
como: diâmetro da circunferência; lado do quadrado; raio da circunferência circunscrita ao
quadrado; aplicação da relação de Pitágoras no triângulo retângulo isósceles e a aplicação das
relações trigonométricas (função seno), os quais são articulados com o emprego de objetos
ostensivos. Esses são saberes que se mostram associados ao cálculo do lado l4 do quadrado
inscrito.
A construção do bloco tecnológico-teórico [Ɵ1,2/] é representada pelo discurso
interpretativo e justificativo da tecnologia no seu campo de validez. A esse discurso a TAD
denomina de teoria . Entendemos que na elaboração das técnicas, ou seja, na construção do
bloco tecnológico-teórico foram aplicados conceitos geométricos representados por objetos
ostensivos para resolver a tarefa T1 relativa ao lado do quadrado inscrito.
O discurso interpretativo e justificativo aplicados na construção do bloco tecnológico-
teórico [Ɵ1,2/] está representado no estudo conforme o quadro 04. A teoria que justifica a
construção do bloco tecnológico-teórico pode ser entendida como a tecnologia da tecnologia,
ou seja, a teoria do discurso, a qual a TAD denomina de praxeologia local. A construção
desse discurso que garante a resolução da tarefa T1 é representada no estudo pela praxeologia
[T1/1,2/Ɵ1,2/].
5.5.5 – Tipo de tarefa T2 – como calcular o apótema de um quadrado inscrito em uma
circunferência
A tarefa T2 representa o conjunto das tarefas cujo enunciado tem por objetivo calcular
o apótema de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio r conhecido.
No estudo desse tipo de tarefa T2 do gênero “calcular” contida nos livros didáticos
LD1, LD2, LD4 e LD5 visa elaborar técnicas i para o calculo do apótema a4 de um quadrado
inscrito em uma circunferência de raio r conhecido. Essas técnicas são justificadas pelas
tecnologias Ɵj. As técnicas i e as tecnologias Ɵj relativas à tarefa T2 serão analisadas no
quadro 05.
Quadro 05: Descrição das técnicas e do discurso tecnológico-teórico da tarefa T2
Tipos de
tarefas Ti
Técnicas i
Discurso
tecnológico-
teórico Ɵj
LDs
T2
3: Demostrar a fórmula que permite calcular o apótema a4 de
um quadrado inscrito em uma circunferência em função do raio
r conhecido;
3,1: identificar que o apótema do quadrado inscrito ilustrado na
figura 03 é igual à metade da medida do lado do quadrado
correspondente;
3,2: identificar o raio r da circunferência na figura 03;
3,3: calcular o ângulo central do triângulo ΔAÔB ilustrado na
figura 03 e identifica que é retângulo;
3,4: aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo ΔAÔB para
encontrar o valor do lado do quadrado em função do raio r e
dividir esse valor por 2 para encontrar a fórmula que permite
calcular o apótema a4 do quadrado.
Ɵ1 - Teorema de
Pitágoras
LD1
4: Aplicar as relações trigonométricas no cálculo do apótema a4
de um quadrado inscrito na circunferência de raio r conhecido;
4,1: identificar o apótema do quadrado inscrito a ser calculado
Ɵ3 - Relações
função
trigonométrica
LD2, LD4 e
LD5
Tipos de
tarefas Ti
Técnicas i
Discurso
tecnológico-
teórico Ɵj
LDs
na figura 04;
4,2: identificar o comprimento do raio r na figura 04;
4,3: identificar e calcular o ângulo central do triângulo retângulo
isóscele ΔCÔD e construir o triângulo retângulo ΔCÔM;
4,4: Aplicar as relações trigonométricas no triângulo retângulo
ΔCÔM para encontrar o valor do apótema a4 do quadrado
inscrito em função do raio r da circunferência.
(função
cosseno) no
triângulo
retângulo
- Os livros LD3 e LD4 não trabalham esse tipo de tarefa na abordagem do objeto de pesquisa.
- Destacamos que as figuras 03 e 04 ilustradas nos LD1 e LD2 representam o modelo de tarefa T2
apresentada no estudo.
Fonte: Dados do pesquisador
5.5.6 – Descrição e análise da organização matemática da tarefa T2 no LD1
Ao analisar como foi conduzida a organização matemática na resolução da tarefa T2
no livro didático LD1, podemos identificar que os autores aplicam apenas a técnica 3 na
resolução da tarefa T2.
Discurso prático-técnico [T2/3]: considerando o triângulo ΔAÔB da figura 03, os
autores aplicam as relações de Pitágoras para deduzir a fórmula que permite calcular o
apótema a4 do quadrado inscrito em função do raio r da circunferência. Com a elaboração da
fórmula fica definido que o apótema de um quadrado inscrito pode ser calculado em função
do raio r da circunferência.
Discurso tecnológico-teórico [Ɵ1/]: o discurso que valida a técnica 3 baseia-se no
fato de que todo quadrado inscrito na circunferência de raio r conhecido, pode ter seu
apótema a4 calculado em função do raio r dessa circunferência. Esse discurso racional cumpre
a função de justificar a técnica 3 que é representada pelo Teorema de Pitágoras, ou seja, é a
tecnologia que garante a técnica 3 a realizar tarefas do tipo T2.
5.5.7 – Descrição e análise da organização matemática da tarefa T2 no LD2, LD4 e LD5
No que diz respeito à resolução da tarefa T2 sugerida nos livros didáticos LD2, LD4 e
LD5, podemos identificar que foi aplicado apenas a técnica 4 na resolução dessa tarefa.
Discurso prático-técnico [T2/4]: considerando o triângulo ΔCÔM ilustrado na figura
04, os autores aplicam as relações trigonométricas (função cosseno) para deduzir a fórmula
que permite calcular o apótema a4 do quadrado inscrito em função do raio r da circunferência.
A elaboração dessa fórmula garante a técnica 4 a resolver esse tipo de tarefa T2.
Discurso tecnológico-teórico [Ɵ3/]: o discurso racional que garante à técnica 4 a
resolver a tarefa sugerida baseia-se no fato de que todo quadrado inscrito em uma
circunferência de raio r conhecido, pode ter seu apótema a4 calculado em função do raio r
dessa circunferência.
Usando as relações trigonométricas, mais precisamente a função cosseno do ângulo de
45º, é possível calcular o lado de um quadrado inscrito em função do raio r da circunferência.
Quanto ao discurso racional a respeito da técnica 4, as relações trigonométricas (função
cosseno) no triângulo retângulo justifica o emprego dessa técnica, e representa a tecnologia
que garante a técnica 4 a resolver tarefas do tipo T2.
5.5.8 – Descrição e análise da organização didática da praxeologia [T2/3,4/Ɵ1,3/]
O tipo de tarefa T2 representado neste estudo pela praxeologia local [T2/3,4/Ɵ1,3/] é
apresentada nos livros didáticos em linguagem natural e/ou ostensivo geométrica o que
valoriza os momentos de estudo e a uma melhor apreensão e interpretação dos dados dessa
tarefa.
A resolução da tarefa T2 com a aplicação das técnicas 3 e 4 representam diferentes
momentos de exploração da tarefa T2 e na elaboração de diferentes discursos justificativos que
permeiam entre o Teorema de Pitágoras e as relações trigonométricas (função cosseno),
mostrando assim, que na resolução da tarefa T2 podemos mobilizar mais de uma técnica e
mais de um discurso interpretativo e justificativo dessas técnicas. A resolução dessa tarefa
pode ser entendida como os momentos de exploração e elaboração de técnicas cuja
justificação está fundamentada em conceitos geométricos como a relação de Pitágoras e as
relações trigonométricas no triângulo retângulo.
É importante destacar que para o cálculo do apótema a4 do quadrado inscrito, os
autores aplicam propriedades, definições e conceitos matemáticos, tais como: diâmetro da
circunferência; lado e apótema do quadrado inscrito; raio da circunferência; aplicação do
Teorema de Pitágoras e das relações trigonométricas (função cosseno) no triângulo retângulo.
Esses são saberes que se mostram associados ao cálculo do apótema a4 do quadrado inscrito.
A resolução da tarefa T2 apresentada nos LDs valoriza a articulação entre diferentes
registros de linguagem usados para conduzir as técnicas. Os registros de representação
apresentados na resolução são: figura geométrica (linguagem da figura), linguagem
matemática (linguagem algébrica) e linguagem natural. A aplicação desses registros, ou seja,
dos objetos ostensivos na resolução das tarefas T2 facilita a visualização e interpretação dos
dados da tarefa e também, a identificar os momentos de estudo.
O primeiro momento de estudo, representado pela linguagem natural, ou seja, pelo
enunciado da tarefa T2 e pela linguagem da figura (figura geométrica do quadrado inscrito na
circunferência) as quais são representadas por objetos ostensivos na apresentação da tarefa T2.
O segundo momento, ou, seja, momento de exploração da tarefa T2 e da elaboração
das técnicas 3 e 4 relativas a esse tipo de tarefa. Esse momento está representado no estudo
conforme a descrição e elaboração dessas técnicas no quadro 05. Neste momento de estudo os
autores aplicam diversos conceitos e propriedades da geometria articulados pelos objetos
ostensivos (linguagem algébrica) na elaboração dessas técnicas para resolver a tarefa T2
sugerida nos LDs.
O terceiro momento, diz respeito à construção do ambiente tecnológico/teórico
[Ɵ1,3/] que começa a ser construído a partir do momento em que os autores apresentam a
tarefa T2, e se justifica no momento em que os autores apresentam a fórmula que permite
calcular o apótema a4 do quadrado inscrito na circunferência.
Na exploração da tarefa T2 as técnicas aplicadas permite desenvolver a fórmula que
proporciona calcular o apótema a4 do quadrado inscrito. Na exploração da tarefa T2 os autores
aplicaram propriedades, definições e conceitos da geometria que foram estudados em
momentos anteriores, tais como: raio da circunferência; lado do quadrado inscrito; aplicação
da relação de Pitágoras no triângulo retângulo e das relações trigonométricas no triângulo
retângulo, os quais são articulados com o emprego de objetos ostensivos. Esses são saberes
que se mostram associados ao cálculo do apótema a4 do quadrado inscrito.
Quanto à teoria correspondente da construção do bloco tecnológico-teórico [Ɵ1,3/] é
representada pelo discurso interpretativo e justificativo da tecnologia no seu campo de
validez. O discurso interpretativo e justificativo aplicado na construção do bloco tecnológico-
teórico [Ɵ1,3/] está representado no estudo conforme o quadro 05.
A teoria que justifica a construção desse bloco tecnológico-teórico entendido como a
tecnologia da tecnologia, a qual justifica a resolução da tarefa T2 é representada no estudo
pela praxeologia [T2/3,4/Ɵ1,3/].
5.5.9 – Tipo de tarefa T3 – como calcular o lado de um hexágono regular inscrito em uma
circunferência
Esse tipo de tarefa T3 representa o conjunto das tarefas que tem por objetivo calcular o
lado l6 de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio r conhecido.
O estudo da tarefa T3 do gênero “calcular” contida nos livros didáticos LD1, LD2, LD4
e LD5 visa desenvolver técnicas i que permite calcular o lado l6 de um hexágono regular
inscrito em uma circunferência de raio r conhecido.
Essas técnicas i se justificam por tecnologias Ɵj. As técnicas i e as tecnologias Ɵj
aplicadas para resolver essa tarefa serão analisadas no quadro 06.
Tarefa T3 – Calcular o lado l6 de um hexágono regular inscrito em numa circunferência de
raio r conhecido.
Figura 05 – Hexágono regular inscrito na circunferência de raio r conhecido
Fonte LD4
Quadro 06: Descrição das técnicas e do discurso tecnológico-teórico da tarefa T3
Tipos de
tarefas Ti
Técnicas i Discurso tecnológico-
teórico Ɵj
LDs
T3
5: Demonstrar uma fórmula que permite calcular o lado l6
de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de
raio r conhecido;
5,1: identificar o lado l6 do hexágono regular inscrito a ser
calculado ilustrado na figura 05;
5,2: identificar o raio r da circunferência na figura 05;
5,3: identificar na figura 05 que o triângulo ΔHÔB é
retângulo;
5,4: Aplicar as relações trigonométricas no triângulo
Ɵ2 - Relação
trigonométrica
(função seno) no
triângulo retângulo
correspondente.
LD2, LD4
e LD5
Tipos de
tarefas Ti
Técnicas i Discurso tecnológico-
teórico Ɵj
LDs
T3
retângulo ΔHÔB para demonstrar uma fórmula que
permite calcular o lado l6 do hexágono regular inscrito em
função do raio r.
6: calcular o lado l6 de um hexágono regular inscrito em
uma circunferência em função do raio r conhecido;
6,1: identificar o lado do hexágono regular inscrito a ser
calculado ilustrado na figura 05;
6,2: identificar o do raio r na figura 05;
6,3: calcular o ângulo central do triângulo ΔAÔB ilustrado
na figura 05 e identifica que esse triângulo é equilátero;
6,4: identificar que todo triângulo equilátero tem os lados
iguais, em consequência, o lado desse triângulo é igual ao
raio r da circunferência, que corresponde ao lado l6 do
hexágono regular inscrito.
Ɵ3 – o lado do
hexágono regular
inscrito é igual ao
raio r da
circunferência.
LD1, LD4
e LD6
- O livro LD3 não trabalha esse tipo de tarefa na abordagem do objeto de pesquisa.
- Destacamos que a figura ilustrada no do LD4 representa o modelo de tarefa T3 apresentada no estudo.
Fonte: Dados do pesquisador
5.5.10 – Descrição e análise da organização matemática da tarefa T3 no LD2, LD4 e LD5
No que diz respeito à teoria correspondente ao bloco tecnológico-teórico descritos no
quadro 06, entendemos que tem seu discurso fundado em conceitos da geometria já estudado
nestes livros. Quanto a condução da organização matemática na resolução da tarefa T3 nos
livros didáticos LD2, LD4 e LD5, identificamos apenas a aplicação de uma técnica na
resolução dessa tarefa a qual denominamos de 5.
Discurso prático-técnico [T3/5] da técnica 5: considerando o triângulo HÔB ilustrado
na figura 05, os autores aplicam as relações trigonométricas (função seno) para deduzir a
fórmula que permite calcular o lado l6 do hexágono regular inscrito em função do raio r da
circunferência.
Discurso tecnológico-teórico [Ɵ2/]: o discurso que fundamenta a técnica 5 baseia-se
no fato de que todo hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio r conhecido, tem
seu lado l6 calculado em função do raio r dessa circunferência. Os autores aplicam as relações
trigonométricas, mais precisamente, o seno de 30º, para calcular o lado l6 do hexágono regular
inscrito em função do raio r da circunferência.
Quanto ao discurso racional a respeito da técnica 5, as relações trigonométricas no
triângulo retângulo justificam o emprego dessa técnica, ou seja, representa a tecnologia que
garante a técnica 5 a realizar a tarefa do tipo T3.
5.5.11 – Descrição e análise da organização matemática da tarefa T3 no LD1 LD4 e LD6
No que diz respeito à teoria correspondente ao discurso tecnológico-teórico descritos
no quadro 06, entendemos que se trata de conteúdo da geometria já estudado nestes livros. Ao
analisar como foi conduzida a organização matemática na resolução da T3 nos livros didáticos
LD1 LD4 e LD6, identificamos que foi aplicada apenas a técnica 6 na resolução da tarefa T3.
Discurso prático-técnico [T3/6]: considerando o triângulo equilátero ΔAÔB ilustrado
na figura 05, os autores aplicam a teoria de que todo hexágono regular inscrito tem lado igual
ao raio da circunferência, mostrando assim, que o triângulo equilátero inscrito ilustrado na
figura 05 tem um de seus lados respondente a um dos lados do hexágono regular inscrito.
Discurso tecnológico-teórico [Ɵ4/]: o discurso racional que valida a técnica 6 se
respalda na teoria de que todo hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio r
conhecido, pode ter seu lado l6 calculado em função do raio r dessa circunferência, pois, o
lado do hexágono regular inscrito tem lado igual ao raio r da circunferência.
O cálculo do lado l3 do triângulo equilátero inscrito em função raio r da circunferência
representa o discurso racional a respeito da técnica empregada, a qual cumpre a função de
justificar a técnica 6 ao realizar tarefas do tipo T3.
5.5.12 - Descrição e análise da organização didática da praxeologia [T3/5,6/Ɵ2,4/]
A praxeologia local [T3/5,6/Ɵ2,4/] referente ao estudo da tarefa T3 é apresentada
nesses livros em linguagem natural e/ou ostensivo geométrica o que facilita a apreensão e
interpretação do discurso racional empregado na elaboração das técnicas 5 e 6.
Destacamos que na exploração dessa tarefa, ou seja, ao calcular o lado l6 do hexágono
regular inscrito os autores aplicam propriedades, definições e conceitos matemáticos que
foram objetos de ensino em momentos anteriores, tais como: raio da circunferência; triângulo
equilátero; triângulo retângulo; aplicação da relação de Pitágoras no triângulo retângulo e
aplicação das relações trigonométricas (função seno). Esses são saberes que se mostram
associados ao cálculo do lado l6 do hexágono regular inscrito.
A resolução da tarefa T3 com a aplicação das técnicas 5 e 6 representam as diferentes
formas de exploração dessa tarefa e a elaboração de diferentes discursos justificativos que se
fundamentam no Teorema de Pitágoras e nas relações trigonométricas. A aplicação de
diferentes conceitos da geometria na resolução da tarefa T3 mobiliza mais de uma técnica e
mais de um discurso interpretativo e justificativo no emprego dessas técnicas.
A resolução dessa tarefa pode ser representada por diferentes momentos de estudo na
elaboração das técnicas cuja justificação está fundamentada em conceitos da geometria como
a aplicação do Teorema de Pitágoras e das relações trigonométricas (função seno) no
triângulo retângulo, os quais se articulam com o emprego de objetos ostensivos.
A resolução da tarefa T3 apresentada nos LDs analisados valoriza a articulação entre
diferentes registros de linguagem usados para conduzir as técnicas. Os registros de
representação apresentados no estudo dessa tarefa são: figura geométrica (linguagem da
figura), linguagem matemática (linguagem algébrica) e linguagem natural. A aplicação desses
registros de representação facilitam a visualização e interpretação dos dados da tarefa, os
quais valorizam os momentos de estudo.
O primeiro momento de estudo está representado pela linguagem natural, ou seja, pelo
enunciado da tarefa T3 e pela linguagem da figura (figura geométrica do hexágono regular
inscrito na circunferência) as quais são representadas por objetos ostensivos na apresentação
dessa tarefa.
O segundo momento, representado pela exploração da tarefa T3 e da elaboração das
técnicas 5 e 6 relativas a esse tipo de tarefa.. Esse momento está representado no estudo
conforme a descrição e elaboração dessas técnicas no quadro 06. Neste momento de estudo os
autores aplicam diversos conceitos e propriedades da geometria na elaboração das técnicas
para resolver a tarefa sugerida. Esses conceitos e propriedades, articulados com o emprego de
objetos ostensivos, justificam a elaboração das técnicas 5 e 6.
O terceiro momento, diz respeito à construção do ambiente tecnológico/teórico
[Ɵ2,4/] que começa a ser construído na apresentação do enunciado da tarefa T3 e se justifica
no momento em que os autores apresentam a fórmula que permite calcular o lado l6 do
hexágono regular inscrito na circunferência. Esse momento se caracteriza com a construção
do bloco tecnológico-teórico [Ɵ2,4/].
Na exploração da tarefa T3 as técnicas aplicadas permitem desenvolver a fórmula que
proporciona calcular o lado l6 do hexágono regular inscrito. Na exploração da tarefa T3 os
autores aplicaram propriedades, definições e conceitos da geometria estudados em momentos
anteriores, tais como: raio da circunferência; lado do hexágono regular inscrito; aplicação do
teorema de Pitágoras, aplicação das relações trigonométricas no triângulo retângulo, os quais
são articulados com o emprego de objetos ostensivos. Esses são saberes que se mostram
associados ao cálculo do lado l6 do hexágono regular inscrito.
Quanto à teoria que garante a construção do bloco tecnológico-teórico [Ɵ2,4/] é
representada pelo discurso interpretativo e justificativo da tecnologia. O discurso
interpretativo e justificativo aplicados na construção do bloco tecnológico-teórico [Ɵ2,4/]
está representado no estudo conforme o quadro 06.
Na construção desse bloco tecnológico-teórico [Ɵ2,4/] foram aplicados conceitos
geométricos mobilizados por objetos ostensivos para resolver a tarefa T3 relativa ao lado do
hexágono regular inscrito. A teoria que justifica a construção desse bloco tecnológico-teórico
é representada no estudo pela praxeologia [T3/5,6/Ɵ2,4/].
5.5.13– Tipo de tarefa T4 – como calcular o apótema de um hexágono regular inscrito em uma
circunferência
Esse tipo de tarefa denominado pelo símbolo T4 representa o conjunto das tarefas que
tem por objetivo calcular o apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência
de raio r conhecido.
O estudo da tarefa T4 do gênero “calcular” contida nos livros didáticos LD1, LD2, LD4
e LD5 têm por objetivo desenvolver técnicas que permitem calcular o apótema a6 de um
hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio r conhecido. Essas técnicas i são
justificadas pelas tecnologias Ɵj. As técnicas i e as tecnologias Ɵj aplicadas para cumprir a
tarefa do tipo T4 serão analisadas no quadro 07.
Quadro 07: Descrição das técnicas e do discurso tecnológico-teórico da tarefa T4
Tipos de
tarefas Ti
Técnicas i Discurso tecnológico-
teórico Ɵj
LDs
T4
7: aplicar as relações trigonométricas no cálculo do
apótema do a6 de um hexágono regular inscrito na
circunferência de raio r conhecido;
7,1: identificar o apótema a6 do hexágono regular inscrito
a ser calculado na figura 05;
7,2: identificar o raio r da circunferência ilustrada na
figura 05;
7,3: identificar o ângulo central do triângulo ΔAÔB é
verificar que esse triângulo é equilátero;
7,4: traçar a altura do triângulo ΔAÔB e construir o
triângulo retângulo ΔHÔB ilustrado na figura 05.
7,5: aplicar as relações trigonométricas no triângulo
retângulo ΔHÔB da figura 05 para deduzir uma fórmula
que permite calcular o apótema a6 do hexágono regular
inscrito em função do raio r da circunferência.
Ɵ3 - Relação
trigonométrica
(função cosseno) no
triângulo retângulo
LD1, LD4
e LD6
8: Demostrar a fórmula que permite calcular o apótema a6
de um hexágono regular inscrito em uma circunferência
em função do raio r conhecido;
8,1: identificar o apótema a6 do hexágono regular inscrito
na circunferência ilustrado na figura 05;
8,2: identificar o raio r da circunferência na figura 05;
Ɵ5 - a altura do
triângulo equilátero
inscrito corresponde
ao apótema a6 do
hexágono regular
inscrito na mesma
circunferência.
LD2, LD4
e LD5
Tipos de
tarefas Ti
Técnicas i Discurso tecnológico-
teórico Ɵj
LDs
8,3: calcular o ângulo central do triângulo ΔAÔB ilustrado
na figura 05 e identifica que esse triângulo é equilátero;
8,4: identificar que todo triângulo equilátero tem os lados
iguais, em consequência, verificar que os lados desse
triângulo é igual ao raio r da circunferência.
8,5: identificar que o apótema a6 do hexágono regular
inscrito é igual à altura do triângulo equilátero ΔAÔB
ilustrado na figura 05.
8,6: traçar a altura do triângulo equilátero ΔAÔB de modo
a construir o triângulo retângulo ΔHÔB ilustrado na figura
05.
8,7: aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo
ΔHÔB e deduzir a fórmula que permite calcular o
apótema a6 do hexágono regular inscrito na circunferência.
- O livro LD3 não trabalha esse tipo de tarefa na abordagem do objeto de pesquisa.
- Destacamos que a figura 05 ilustrada no LD4 representar o modelo de tarefa T4 abordada no estudo.
Fonte: Dados do pesquisador
5.5.14 – Descrição e análise da organização matemática da tarefa T4 no LD1 LD4 e LD6
Quanto à teoria correspondente ao discurso tecnológico-teórico descrito no quadro 07,
os autores dos livros didáticos LD2, LD4 e LD5 aplicam conceitos da geometria já estudados
nestes livros. Ao analisar como foi conduzida a organização matemática na resolução da
tarefa T4 identificamos que foi aplicado apenas uma técnica na resolução dessa tarefa a qual
denominamos de 7.
Discurso prático-técnico [T4/7]: considerando o triângulo retângulo ΔHÔB da figura
05, os autores aplicam as relações trigonométricas, mais precisamente o cosseno de 30º, para
deduzir a fórmula que permite calcular o apótema a6 do hexágono regular inscrito em função
do raio r da circunferência. O apótema a6 é dado em função do raio da circunferência e a
técnica 7 está diretamente relacionada com as relações trigonométricas.
Discurso tecnológico-teórico [Ɵ3/]: o discurso racional que fundamenta a técnica 7
aplicada baseia-se no fato de que todo hexágono regular inscrito na circunferência de raio r
conhecido, pode ter seu apótema a6 calculado em função do raio r dessa circunferência.
Aplicando as relações trigonométricas, ou seja, o cosseno de 30º no triângulo
retângulo ΔHÔB é possível calcular o apótema de um hexágono regular inscrito em função do
raio r da circunferência. O emprego da técnica 7 com a aplicação das relações
trigonométricas representa a tecnologia que garante essa técnica a realizar a tarefa T4.
5.5.15 – Descrição e análise da organização matemática da tarefa T4 no LD2, LD4 e LD5
Ao analisar como foi conduzida a organização matemática na resolução da T4 nesses
LDs identificamos que foi aplicado a técnica 8 na resolução dessa tarefa. Os autores se
utilizam de conceitos e propriedades da geometria já apresentados nesses LDs os quais são
articulados por objetos ostensivos.
Discurso prático-técnico [T4/8]: considerando o triângulo equilátero ΔHÔB ilustrado
na figura 05, os autores aplicam o teorema de Pitágoras para deduzir a fórmula que permite
calcular o apótema a6 do hexágono regular inscrito em função do raio r da circunferência, ou
seja, o apótema a6 do hexágono regular inscrito é igual a altura do triângulo equilátero que
tem lados correspondentes ao raio r da circunferência. A técnica 8 está diretamente
relacionada com a aplicação do teorema de Pitágoras.
Discurso tecnológico-teórico [Ɵ5/]: o discurso que fundamenta a técnica 8
corresponde à teoria de que todo hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio r
conhecido, pode ter seu apótema a6 calculado em função do raio r dessa circunferência.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ΔHÔB ilustrado na figura 05
é possível calcular o apótema a6 do hexágono regular em função do raio r da circunferência.
Esse teorema representa o discurso racional e cumpre a função de justificar a técnica 8. Neste
sentido o teorema de Pitágoras representa a tecnologia que garante a técnica 8 a realizar a
tarefa do tipo T4.
5.5.16 - Descrição e análise da organização didática da praxeologia [T4/7,8/Ɵ3,5/]
A resolução da tarefa T4 com a aplicação das técnicas 7 e 8 representam diferentes
momentos de exploração dessa tarefa e na elaboração de diferentes discursos que se justificam
com a aplicação do Teorema de Pitágoras e das relações trigonométricas no triângulo
retângulo. Na resolução da tarefa T4 foram mobilizadas mais de uma técnica e mais de um
discurso interpretativo e justificativo dessas técnicas.
No cálculo do apótema a6 do hexágono regular inscrito, os autores valorizam
articulações entre diferentes registros de linguagem usados para conduzir as técnicas. Os
registros aplicados na resolução da tarefa T4 são: figura geométrica (linguagem da figura),
linguagem matemática (linguagem algébrica) e linguagem natural. A aplicação desses
registros, representados por objetos ostensivos, na resolução das tarefas T4 facilita a
visualização e interpretação dos dados da tarefa e os momentos de estudo.
O primeiro momento de estudo, representado pela linguagem natural e pela linguagem
da figura (figura geométrica do hexágono regular inscrito na circunferência) são representadas
por objetos ostensivos utilizados na apresentação da tarefa T4.
O segundo momento, representado durante a exploração e aplicação das técnicas 7 e
8 relativas ao tipo de tarefa T4. Esse momento está representado no estudo conforme a
descrição e elaboração dessas técnicas no quadro 07. Neste momento de estudo os autores
aplicam diversos conceitos e propriedades da geometria na resolução da tarefa sugerida, os
quais são articulados por objetos ostensivos empregados na elaboração das técnicas 7 e 8.
O terceiro momento, diz respeito à construção do ambiente tecnológico/teórico
[Ɵ3,5/] que começa a ser construído a partir do momento em que os autores apresentam a
tarefa T4, e se justifica no momento em que os autores apresentam a fórmula que permite
calcular o apótema a6 do hexágono regular inscrito na circunferência. É nesse momento que
se concretiza a construção do bloco tecnológico-teórico [Ɵ3,5/].
As técnicas aplicadas na exploração da tarefa T4 permitiu desenvolver a fórmula que
proporciona calcular o apótema a6 do hexágono regular inscrito. Na exploração dessa tarefa
os autores aplicaram propriedades, definições e conceitos da geometria já estudados em
momentos anteriores, tais como: raio da circunferência; lado e apótema do hexágono regular
inscrito; teorema de Pitágoras e relações trigonométricas no triângulo retângulo. Esses
conceitos e propriedades são articulados por objetos ostensivos, os quais se mostram
associados ao cálculo do apótema a6 do hexágono regular inscrito.
A teoria aplicada na resolução da tarefa T4 garante a construção do bloco tecnológico-
teórico [Ɵ3,5/] representado pelo discurso interpretativo e justificativo das tecnologias. O
discurso interpretativo e justificativo aplicado na construção do bloco tecnológico-teórico
[Ɵ3,5/] está representado no estudo conforme o quadro 07.
Na construção do bloco tecnológico-teórico [Ɵ3,5/] foram mobilizados conceitos
geométricos articulados por objetos ostensivos para resolver a tarefa T4. A teoria do discurso
que justifica a construção desse bloco tecnológico-teórico é representada no estudo pela
praxeologia [T4/7,8/Ɵ3,5/].
5.5.17 – Tipo de tarefa T5 – como calcular o lado de um triângulo equilátero inscrito em uma
circunferência
Esse tipo de tarefa T5 representa na pesquisa o conjunto das tarefas que tem por
objetivo calcular o lado de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio r
conhecido.
Os livros didáticos LD1, LD4 e LD5 que abordam esse tipo de tarefa T5 do gênero
“calcular” visam desenvolver técnicas i que permitem calcular o lado de um triângulo
equilátero inscrito em uma circunferência de raio r conhecido. Essas técnicas i se justificam
pelas tecnologias Ɵj. As técnicas i e as tecnologias Ɵj aplicadas para cumprir esse tipo de
tarefa serão analisadas no quadro 08.
Tarefa T5 – Calcular o lado (l3) de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de
raio r conhecido.
Figura 06 – Triângulo equilátero inscrito na circunferência de raio r conhecido
Fonte LD1
Figura 07 – Triângulo equilátero inscrito na circunferência de raio r conhecido
Figura 07 - LD5
Quadro 08: Descrição das técnicas e do discurso tecnológico-teórico da tarefa T5
Tipos de
tarefas Ti
Técnicas i Discurso tecnológico-
teórico Ɵi
LDs
T5
9: Demostrar a fórmula que permite calcular o lado l3 de
um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência em
função do raio r conhecido;
9,1: identificar o lado l3 do triângulo ΔABC inscrito na
circunferência ilustrado na figura 06 e verificar que esse
triângulo é equilátero;
9,2: traçar o diâmetro da circunferência passando pelo
ponto médio do lado BC do triângulo ΔABC e construir o
triângulo ΔACD ilustrado na figura 06.
9,3: identificar que o triângulo ΔACD é retângulo por
está inscrito em uma semicircunferência.
9,4: identificar que o diâmetro da circunferência
corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo ΔACD
ilustrado na figura 06;
9,5: aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo
ΔACD e demonstrar a fórmula que permite calcular o lado
l3 do triângulo equilátero inscrito em função do raio r da
circunferência.
Ɵ1 - Teorema de
Pitágoras
LD1 e LD4
10: Demostrar a fórmula que permite calcular o lado l3 de
um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de
raio r conhecido;
10,1: identificar o lado l3 do triângulo equilátero ΔABC
inscrito a ser calculado ilustrado na figura 07;
10,2: construir o triângulo ΔBÔC a partir do triângulo
equilátero ΔABC ilustrado na figura 07;
10,3: traçar a altura do triângulo ΔBÔC em relação ao lado
BC, de modo a construir o triângulo retângulo ΔMÔC e
verificar que o ponto O ilustrado na figura 07 é o centro da
circunferência.
10,4: identificar que o raio r da circunferência corresponde
à hipotenusa do triângulo retângulo ΔMÔC;
10,5: Aplicar as relações trigonométricas no triângulo
retângulo ΔMÔC e demostrar a fórmula que permite
calcular o lado do triângulo equilátero inscrito em função
do raio r da circunferência.
Ɵ2 - Relações
trigonométricas
(função seno) no
triângulo retângulo
LD2, LD3,
LD4 e LD5
- O livro LD6 não trabalha esse tipo de tarefa na abordagem do objeto de pesquisa.
- Destacamos que as figuras 06 e 07 ilustradas nos LD1 e LD5 representam o modelo de tarefa T5
apresentada no estudo.
Fonte: Dados do pesquisador
5.5.18 – Descrição e análise da organização matemática da tarefa T5 no LD1 LD4 e LD6
No que diz respeito à organização matemática descrita no quadro 08, entendemos que
se respalda em conteúdos da geometria já estudados nesses livros. Ao analisar como foi
conduzida a resolução da T5 identificamos que foi aplicado apenas a técnica 9 na execução
dessa tarefa nesses LDs.
Discurso prático-técnico [T5/9]: considerando o triângulo ΔACD ilustrado na figura
06, os autores aplicam o teorema de Pitágoras para deduzir a fórmula que permite calcular o
lado l3 do triângulo equilátero inscrito em função do raio r da circunferência. A construção da
técnica 9 aplicada na demonstração dessa fórmula se dá com o emprego desse teorema.
Discurso tecnológico-teórico [Ɵ1/]: o discurso tecnológico-teórico que valida a
técnica 9 fundamenta-se no fato de que todo triângulo equilátero inscrito pode ter seu lado l3
calculado em função do raio r da circunferência. Na resolução da tarefa T5 com a aplicação da
técnica 9 o teorema de Pitágoras é o discurso racional que cumpre a função de justificar essa
técnica. Neste sentido, o teorema de Pitágoras representa a tecnologia que garante a técnica 9
a realizar tarefas do tipo T5.
5.5.19 – Descrição e análise da organização matemática da tarefa T5 nos LD2, LD4 e LD5
Ao analisar como foi conduzida a organização matemática na resolução da T5 nos
livros didáticos LD2, LD4 e LD5, verificamos que foi aplicada apenas uma técnica 10 na
resolução dessa tarefa. Quanto à teoria correspondente ao discurso tecnológico-teórico
descritos no quadro 08, entendemos que se trata de conteúdo da geometria já estudado nesses
livros.
Discurso prático-técnico [T5/10]: considerando o triângulo ΔMÔC ilustrado na figura
07, os autores aplicam as relações trigonométricas para deduzir a fórmula que permite
calcular o lado l3 do triângulo equilátero inscrito em função do raio r da circunferência. A
técnica 10 está diretamente relacionada com as relações trigonométricas, ou seja, com a
aplicação do seno do ângulo de 60º no triângulo retângulo ΔMÔC.
Discurso tecnológico-teórico [Ɵ2/]: o discurso tecnológico-teórico que fundamenta a
técnica 10 implica no fato de que todo triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de
raio r conhecido, pode ter seu lado l3 calculado em função do raio r dessa circunferência.
Usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo ΔMÔC ilustrado na figura 07, mais
precisamente o seno de 60º, é possível calcular o lado do triângulo equilátero. Quanto ao
discurso racional a respeito da técnica 10, as relações trigonométricas justificam o emprego
dessa técnica, e ainda, representam a tecnologia que garante a realização desse tipo de tarefa.
5.5.20 - Descrição e análise da organização didática da praxeologia [T5/9,10/Ɵ1,2/]
Na resolução da tarefa T5 a aplicação das técnicas 9 e 10 representam os diferentes
momentos de exploração dessa tarefa e na elaboração de diferentes discursos que se justificam
com a aplicação do teorema de Pitágoras e das relações trigonométricas. Na resolução dessa
tarefa foram mobilizados diferentes técnicas e mais de um discurso interpretativo e
justificativo dessas técnicas aplicadas no calcular o lado l3 do triângulo equilátero inscrito na
circunferência.
No cálculo do lado l3 do triângulo equilátero inscrito, os autores valorizam
articulações entre diferentes registros de linguagem usados para conduzir as técnicas. Os
registros aplicados na resolução da tarefa T5 são: figura geométrica (linguagem da figura),
linguagem matemática (linguagem algébrica) e linguagem natural. A aplicação desses
registros, representados por objetos ostensivos, que se articulam na resolução da tarefa T5
facilitam a visualização e interpretação dos dados da tarefa e também, caracterizam os
momentos de estudo.
O primeiro momento de estudo, representado pela linguagem natural e pela linguagem
da figura (figura geométrica do triângulo equilátero inscrito na circunferência) são
representadas por objetos ostensivos utilizados na apresentação da tarefa T5.
O segundo momento, ou, seja, momento de exploração da tarefa T5 e elaboração das
técnicas 9 e 10. Esse momento está representado no estudo conforme a descrição e elaboração
dessas técnicas no quadro 08. Neste momento de estudo os autores aplicam diversos conceitos
e propriedades da geometria na elaboração dessas técnicas, as quais são articuladas com o
emprego de objetos ostensivos.
O terceiro momento, diz respeito à construção do ambiente tecnológico/teórico
[Ɵ1,2/] que começa a ser construído a partir do momento em que os autores apresentam a
tarefa T5, e se justifica no momento em que os autores apresentam a fórmula que permite
calcular o lado l3 do triângulo equilátero inscrito na circunferência. É nesse momento que se
concretiza a construção do bloco tecnológico-teórico [Ɵ1,2/].
As técnicas aplicadas na exploração da tarefa T5 permitem desenvolver a fórmula que
proporciona calcular o lado l3 do triângulo equilátero inscrito. Na exploração dessa tarefa os
autores aplicaram propriedades, definições e conceitos da geometria já apresentados em
momentos anteriores, tais como: raio da circunferência; lado do triângulo equilátero inscrito;
Teorema de Pitágoras e relações trigonométricas no triângulo retângulo, esses conceitos são
articulados com o emprego de objetos ostensivos e se mostram associados ao cálculo do lado
l3 do triângulo equilátero inscrito.
A teoria que garante a construção do bloco tecnológico-teórico [Ɵ1,2/] é representada
pelo discurso interpretativo e justificativo das tecnologias Ɵ1,2. O discurso interpretativo e
justificativo aplicados na construção desse bloco está representado no estudo conforme a
ilustração do quadro 08. Na construção do bloco tecnológico-teórico [Ɵ1,2/] foram
mobilizados propriedades e conceitos geométricos articulados por objetos ostensivos, os quais
garantem resolver a tarefa T5 relativa cálculo do lado do triângulo equilátero inscrito. A teoria
que justifica a construção desse bloco tecnológico-teórico pode ser entendida como a
tecnologia da tecnologia, a qual é representada no estudo pela praxeologia [T5/9,10/Ɵ1,2/].
5.5.21 – Tipo de tarefa T6 – como calcular o apótema de um triângulo equilátero inscrito em
uma circunferência
Esse tipo de tarefa T6 representa o conjunto das tarefas que tem por objetivo calcular o
apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio r conhecido.
O estudo da tarefa T6 do gênero “calcular”, está contido nos livros didáticos LD1, LD2,
LD4 e LD5 e tem por objetivo desenvolver uma técnica que permite calcular o apótema a3 de
um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio r conhecido. Essa técnica i e a
tecnologia Ɵj empregadas no estudo da tarefa T6 serão analisadas no quadro 09.
Quadro 09: Descrição das técnicas e do discurso tecnológico-teórico da tarefa T6
Tipos de
tarefas Ti
Técnicas i Discurso
tecnológico-
teórico Ɵi
LDs
T6
11: Demostrar a fórmula que permite o calcular o apótema a3 de
um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência em função
do raio r conhecido;
11,1: identificar o lado l3 e o apótema a3 do triângulo equilátero
inscrito conforme a ilustração da figura 07;
11,2: identificar o raio r e o centro O da circunferência e construir
o triângulo ΔBÔC ilustrado na figura 07;
11,3: traçar a altura do triângulo ΔBÔC relativa ao lado BC e
verificar que essa altura corresponde ao apótema do triângulo
equilátero ΔABC ilustrado na figura 07.
11,4: identificar que o triângulo ΔMÔC é retângulo e que a
medida correspondente ao lado MO desse triângulo representa a
medida do apótema a ser calculado no triângulo equilátero ΔABC
ilustrado na figura 07;
11,5: desenvolver uma fórmula que permite calcular o apótema a3
do triângulo equilátero ΔABC ilustrado na figura 07 aplicando as
relações trigonométricas (função cosseno) no triângulo retângulo
ΔMÔC em função do raio r da circunferência.
Ɵ3 - Relação
trigonométrica
(função
cosseno) no
triângulo
retângulo
LD1, LD2,
LD4, LD5
e LD6
- O livro LD3 não trabalha a tarefa T6 na abordagem do objeto de pesquisa.
- Destacamos que a figura 07 ilustrada no LD5 representa o modelo de tarefa T6 apresentada no estudo.
Fonte: Dados do pesquisador
5.5.22 – Descrição e análise da organização matemática da tarefa T6 no LD1, LD4 e LD6
A teoria apresentada no discurso tecnológico-teórico descritos no quadro 09
corresponde a conceitos da geometria estudados em momentos anteriores nesses LDs. Ao
analisar como foi conduzida a organização matemática na resolução da T6 nos livros
didáticos, identificamos que foi aplicada apenas a técnica 11 na resolução da tarefa T6.
Discurso prático-técnico [T6/11]: considerando o triângulo retângulo ΔMÔC ilustrado
na figura 07, os autores aplicam as relações trigonométricas para deduzir a fórmula que
permite calcular o apótema a3 do triângulo equilátero inscrito em função do raio r da
circunferência, ou seja, a técnica 11 está diretamente relacionada com a aplicação do cosseno
de 60º no triângulo retângulo ΔMÔC ilustrado na figura 07.
Discurso tecnológico-teórico [Ɵ3/]: o discurso que fundamenta a técnica 11
respalda-se no fato de que todo triângulo equilátero inscrito pode ter seu apótema a3 calculado
em função do raio r da circunferência.
Aplicando as relações trigonométricas é possível deduzir uma fórmula que permite
calcular o apótema do triângulo equilátero inscrito em função do raio r da circunferência. As
relações trigonométricas representam o discurso racional que justifica e garante a técnica 11 a
realizar tarefas do tipo T6.
5.5.23 - Descrição e análise da organização didática da praxeologia [T6/11/Ɵ3/]
A resolução da tarefa T6 com a aplicação da técnica 11 representa os diferentes
momentos de exploração dessa tarefa e na elaboração do discurso que se justifica com a
aplicação das relações trigonométricas.
O estudo mostra que na resolução da tarefa T6 os autores desses livros mobilizam uma
técnica e um discurso interpretativo e justificativo dessa técnica para calcular o apótema a3 do
triângulo equilátero inscrito na circunferência.
No cálculo do apótema a3 do triângulo equilátero inscrito, os autores desses LDs
apresentam diferentes registros para conduzir essa técnica. Os registros aplicados na resolução
da tarefa T6 são: figura geométrica (linguagem da figura), linguagem matemática (linguagem
algébrica) e linguagem natural. Quanto à aplicação dos objetos ostensivos facilitam a
visualização, interpretação e os momentos de estudo na resolução da Tarefa T6.
O primeiro momento de estudo, está representado pela linguagem natural e pela
linguagem da figura (figura geométrica do triângulo equilátero inscrito na circunferência), ou
seja, pelos objetos ostensivos que apresentam a essa tarefa T6.
O segundo momento, ou, seja, momento de exploração da tarefa T6 e da elaboração da
técnica 11 relativa a esse tipo de tarefa. Neste momento de estudo os autores aplicam
conceitos e propriedades na elaboração da técnica, a qual permite resolver a tarefa T6
sugerida. Esse momento está representado no estudo conforme a descrição e elaboração dessa
técnica no quadro 09. Na elaboração dessa técnica os autores articulam objetos ostensivos, os
quais permitem a dedução da fórmula a ser aplicada na resolução da tarefa.
O terceiro momento, diz respeito à construção do ambiente tecnológico/teórico [Ɵ3/]
que começa a ser construído a partir do momento em que os autores apresentam a tarefa T6, e
se justifica no momento em que os autores apresentam a fórmula que permite calcular do
apótema a3 do triângulo equilátero inscrito na circunferência. É nesse momento que se dá a
construção do bloco tecnológico-teórico [Ɵ3/].
Na exploração dessa tarefa são aplicados propriedades e conceitos matemáticos já
estudados, tais como: apótema do triângulo equilátero; raio da circunferência; triângulo
retângulo; relações trigonométricas no triângulo retângulo, os quais representam saberes
aplicados no estudo do apótema a3 do triângulo equilátero inscrito na circunferência.
A teoria que garante a construção do bloco tecnológico-teórico [Ɵ3/] é representada
pelo discurso interpretativo e justificativo das tecnologias. Esse discurso está representado no
estudo conforme o quadro 09. Na construção desse bloco foram mobilizados conceitos
geométricos representados pelos objetos ostensivos aplicados na resolução da tarefa T6
relativa cálculo do apótema a3 do triângulo equilátero inscrito. A teoria que justifica a
construção desse bloco tecnológico-teórico entendido como a teoria do discurso, é
representada no estudo pela praxeologia [T6/11/Ɵ3/].
5.5.24 – Tipo de tarefa T7 – como calcular a área de um polígono regular inscrito em uma
circunferência
Esse tipo de tarefa denominada pelo símbolo T7 representa o conjunto das tarefas que
tem por objetivo calcular a área de um polígono regular inscrito em uma circunferência de
raio r conhecido.
O estudo da tarefa T7 tem por objetivo desenvolver uma fórmula que permite calcular
a área de um polígono regular inscrito em uma circunferência de raio r conhecido. Essa tarefa
é do gênero “calcular”, e visa elaborar técnicas i que se justificam pelas tecnologias Ɵj. As
técnicas i e as tecnologias Ɵj aplicadas na resolução da tarefa T7 serão analisadas no quadro
10.
Tarefa T7 – Calcular a área de um polígono regular inscrito em uma circunferência
de raio r conhecido.
Figura 08 – Polígono regular inscrito na circunferência de raio r conhecido
Fonte LD4
Quadro 10: Descrição das técnicas e do discurso tecnológico-teórico da tarefa T7
Tipos de
tarefas Ti
Técnicas i Discurso tecnológico-
teórico Ɵi
LDs
T7
12: Demostrar a fórmula que permite calcular a área de um
polígono regular inscrito na circunferência em função do
apótema an e do lado ln desse polígono;
12,1: decompor esse polígono em n regiões triangulares
com ln lados e altura medindo an (apótema do polígono)
conforme a ilustração da figura 08;
12,2: calcular a área de um desses triângulos em função do
lado ln e da altura an que corresponde ao apótema desse
polígono e identificar que todos os triângulos tem a mesma
área;
12,3: desenvolver uma fórmula que permite calcular a área
An de um polígono regular inscrito em função do apótema
an e do número de lados n desse polígono.
Ɵ6 – área do polígono
regular inscrito An
em função da soma
das áreas dos
triângulos isósceles
construídos com as
diagonais desse
polígono.
LD1, LD2,
LD4 e LD5
13: Demostrar a fórmula que permite calcular a área de um
polígono regular inscrito em uma circunferência em
função do perímetro 2p e do apótema an desse polígono;
13,1: decompor esse polígono em n regiões triangulares
com lados correspondentes a ln e altura medindo an
(apótema do polígono) conforme a ilustração da figura 08;
13,2: calcular o perímetro 2p em função do lado ln desse
polígono;
13,3: identificar que todos os triângulos têm a mesma
medida para os lados ln e mesma altura an correspondente
ao apótema desse polígono;
13,4: calcular o perímetro desse polígono em função do
número de lados ln desse polígono.
13,5: desenvolver uma fórmula que permite calcular a área
An de um polígono regular inscrito em função do perímetro
2p e do apótema an do polígono.
Ɵ7 – área do polígono
regular inscrito An
em função do
perímetro 2p e do
apótema an
correspondentes ao
polígono.
LD1, LD2,
LD4 e LD5
- Os livros LD3 e LD6 não trabalham esse tipo de tarefa na abordagem do conteúdo de polígonos
regulares inscritos na circunferência.
- Destacamos que a figura 08 ilustrada no LD4 representa o modelo de tarefa T7 analisada no estudo.
Fonte: Dados do pesquisador
5.5.25 – Descrição e análise da organização matemática da tarefa T7 no LD1, LD2, LD4 e LD5
quanto ao emprego da técnica 12
Ao analisar como foi conduzida a organização matemática na resolução da T7
identificamos que os autores empegam conceitos e propriedades da geometria, os quais são
aplicados na elaboração da técnica 12 a qual permite resolver esse tipo de tarefa.
Discurso prático-técnico [T7/12]: considerando o polígono ilustrado na figura 08, os
autores decompõem esse polígono em n regiões triangulares com lado medindo ln e altura
medindo an (apótema do polígono) e calculam a área A de uma dessas regiões, a qual
corresponde à área do triângulo ΔAÔB ilustrado na figura 08, e em seguida multiplicam o
valor da área desse triângulo pelo número de lados n do polígono, obtendo-se a área An da
região poligonal.
Discurso tecnológico-teórico [Ɵ6/]: o discurso tecnológico-teórico que fundamenta a
técnica 12 é baseado na teoria de que todo polígono regular inscrito em uma circunferência de
raio r conhecido, pode ter sua área An calculada em função do lado ln e do apótema an desse
polígono, ou seja, usando as áreas das regiões triangulares multiplicado pelo número n de
lados é possível demonstrar uma fórmula que permite calcular a área de um polígono regular
inscrito em função do apótema an. O cálculo da área A correspondente à área do triângulo
isósceles ΔAÔB ilustrado na figura 08 representa o discurso racional a respeito da técnica
empregada, ou seja, cumpre a função de justificar a técnica 12 ao realizar a tarefa do tipo T7.
5.5.26 – Descrição e análise da organização matemática da tarefa T7 no LD1, LD2, LD4 e LD5
quanto ao emprego da técnica 13
Ao analisar como foi conduzida a organização matemática na resolução da T7
identificamos que os autores desses livros empegam conceitos e propriedades da geometria
estudados em momentos anteriores, os quais são articulados com a aplicação de objetos
ostensivos na elaboração da técnica 13 a qual permite resolver a tarefa T7.
O discurso prático-técnico [T7/13]: considerando o polígono ilustrado na figura 08, os
autores decompõem esse polígono em n regiões triangulares com lado medindo ln e altura
medindo an (apótema do polígono), em seguida calculam o perímetro 2p desse polígono.
Realizado o cálculo do perímetro 2p desse polígono os autores demonstram a fórmula que
permite calcular a área An da região poligonal em função desse perímetro 2p e do apótema an.
Quanto ao discurso tecnológico-teórico [Ɵ7/]: o discurso racional aplicado na
elaboração da técnica 13 fundamenta-se no fato de que todo polígono regular inscrito em uma
circunferência de raio r conhecido, pode ter sua área calculada em função do perímetro 2p e
do apótema an desse polígono. A dedução dessa fórmula que permite calcular a área An
limitada por um polígono regular de n lados, em que an é a medida do apótema e 2p a medida
do perímetro. O discurso racional se justifica com o emprego da técnica 13, ou seja,
representam a tecnologia que garante essa técnica a realizar a tarefa T7.
5.5.27 - Descrição e análise da organização didática da praxeologia [T7/12,13/Ɵ6,7/]
A resolução da tarefa T7 com a aplicação das técnicas 12 e 13 representam os
diferentes momentos de exploração dessa tarefa com a elaboração de diferentes discursos que
se justificam com a aplicação de conceitos e propriedades da geometria aplicados no cálculo
da área de triângulos isósceles, no cálculo do apótema an e do perímetro 2p de um polígono
regular inscrito de n lados.
A análise mostra que na resolução da tarefa T7 foram mobilizados mais de uma técnica
e mais de um discurso interpretativo e justificativo dessas técnicas, as quais foram aplicadas
no calcular da área An do polígono regular inscrito ilustrado na figura 08.
No cálculo da área desse polígono, os autores valorizam diferentes registros de
linguagem usados para conduzir a resolução da tarefa T7. Os registros aplicados são: figura
geométrica (linguagem da figura), linguagem matemática (linguagem algébrica) e linguagem
natural. A aplicação desses registros, representados por objetos ostensivos facilita a
visualização e interpretação dos dados e os momentos de estudo.
O primeiro momento de estudo, está representado pela linguagem natural com o
enunciado da tarefa T7 e pela linguagem da figura (figura do polígono regular inscrito na
circunferência) as quais representam os objetos ostensivos utilizados na apresentação da tarefa
T7 nos LDs.
O segundo momento, ou, seja, momento de estudo da exploração da tarefa T7 com a
elaboração das técnicas 12 e 13. Esse momento está representado no estudo conforme a
descrição e elaboração dessas técnicas apresentadas no quadro 10. Neste momento de estudo
os autores aplicam conceitos e propriedades da geometria os quais são articulados por objetos
ostensivos aplicados na elaboração dessas técnicas.
O terceiro momento, diz respeito à construção do ambiente tecnológico/teórico
[Ɵ6,7/] que começa a ser construído a partir do momento em que é apresentada a tarefa T7, e
se justifica no momento em que se demonstra a fórmula que permite calcular a área An do
polígono regular inscrito na circunferência.
Na exploração da tarefa T7 os autores mobilizam propriedades, definições e conceitos
matemáticos já estudados em momentos anteriores, tais como: lado do triângulo isósceles;
raio da circunferência; altura do triângulo isósceles, apótema de polígono regular inscrito,
área do triângulo isósceles; os quais representam saberes aplicados no estudo do cálculo da
área de polígonos regulares inscritos na circunferência.
A teoria que garante a construção do bloco tecnológico-teórico [Ɵ6,7/] é representada
pelo discurso interpretativo e justificativo das tecnologias aplicados na construção desse
bloco, conforme a descrição no quadro 10.
Na construção desse bloco foram mobilizados conceitos e propriedades da geometria,
os quais foram articulados, com o emprego de objetos ostensivos, na resolução da tarefa T7
relativa ao cálculo do da área do polígono regular inscrito. A teoria que justifica a construção
do bloco tecnológico-teórico [Ɵ6,7/] entendido como a teoria do discurso é representada no
estudo pela praxeologia [T7/12,13/Ɵ6,7/].
5.5.28 - Descrição dos diferentes tipos de tarefas Ti, técnicas i, tecnologias Ɵj e praxeologias
[T//Ɵ/] analisadas no estudo
No quadro 11 apresentamos os diferentes tipos de tarefas Ti, tipos de te cnicas i,
de tecnologias Ɵj e teorias , as quais se articulam de acordo com as organizaço es
matema tica e dida tica para formar as praxeologias pontuais [T//Ɵ/] aplicadas no
estudo do objeto de pesquisa, pois, o postulado ba sico da TAD e permitir que qualquer
atividade humana seja descrita por um modelo u nico, que se resume pela palavra
praxeologia.
Quadro 11 - Tarefas, técnicas, tecnologias, teorias e as praxeologias analisadas nos LDs
Tipo de
tarefas Ti
Tipos de
técnicas i
Tipos de
tecnologias Ɵj
Praxeologia
pontual
LDs analisados As praxeologia pontuais se
agregam e formam a
praxeologia local
T1
1 Ɵ1 [T1/1/Ɵ1/ LD1
[T1/1,2/Ɵ1,2/ 2 Ɵ2 [T1/2/Ɵ2/ LD2, LD4 e LD5
T2
3 Ɵ1 [T2/3/Ɵ1/ LD1
[T2/3,4/Ɵ1,3/ 4 Ɵ3 [T2/4/Ɵ3/ LD2, LD4 e LD5
T3
5 Ɵ2 [T3/5/Ɵ2/ LD2, LD4 e LD5
[T3/5,6/Ɵ2,3/ 6 Ɵ3 [T3/6/Ɵ3/ LD1, LD4 e LD6
T4
7 Ɵ2 [T4/7/Ɵ3/ LD1, LD4 e LD6
[T4/7,8/Ɵ3,5/ 8 Ɵ4 [T4/8/Ɵ5/ LD2, LD4 e LD5
T5
9 Ɵ1 [T5/9/Ɵ1/ LD1 e LD4
[T5/9,10/Ɵ1,2/
10 Ɵ2 [T5/10/Ɵ2/ LD2, LD3, LD4 e
LD5
T6 11 Ɵ2 [T6/11/Ɵ3/ LD1, LD2, LD4,
LD4, LD5 e LD6 [T6/11/Ɵ3/
T7 12 Ɵ5 [T7/12/Ɵ6/ LD1, LD2, LD4 e
LD5
[T7/12,13/Ɵ6,7/ 13 Ɵ6 [T7/13/Ɵ7/
T1…7 13 Ɵ1...7 [T1...7/1...13/Ɵ1...7/
LD1, LD2, LD3,
LD4, LD5 e LD6 [T1...7/1...13/Ɵ1...7/
A praxeologia local
- De acordo com a TAD, uma praxeologia é caracterizada por um quatérnio que pode ser denotado por
uma tarefa T, uma técnica , uma tecnologia Ɵ e por uma teoria , as quais se articulam com a aplicação
de objetos ostensivos a fim de constituir uma praxeologia pontual [T/Ɵ/]. Pontual segundo a TAD
significa que se trata de uma praxeologia aplicada a um único tipo de tarefa T.
- Segundo a TAD, geralmente em uma instituição I dada, uma teoria responde as várias tecnologias Ɵi,
onde cada uma por sua vez justifica e torna inteligível várias técnicas ij correspondente aos tipos de
tarefas Tij. As organizações praxeológicas pontuais vão assim se agregar, primeiramente em organizações
locais, [Ti/ijƟj/], centradas sobre uma tecnologia Ɵ determinada, em seguida em organizações
praxeológicas regionais, [Tij/ ijƟj/], formadas em torno de uma teoria .
- Segundo a TAD, a passagem de uma praxeologia pontual [T/Ɵ/], a uma praxeologia local [Ti/ijƟj/]
destaca a tecnologia, da mesma maneira que a passagem da praxeologia local para a praxeologia regional
[Tij/ ijƟj/ ], dá lugar no primeiro plano para a teoria .
- No nosso estudo, analisamos as praxeologias pontuais [T/Ɵ/] as quais se agregam e passam a formar
uma praxeologia local, a qual representa como estudar o conteúdo de polígonos regulares inscritos na
circunferência, conforme a praxeologia local descrita neste quadro.
Fonte: Dados do pesquisador
5.5.29 - As praxeologias que se articulam na abordagem do objeto de estudo
A seguir apresentamos os diferentes tipos de praxeologias pontuais que identificamos
no estudo do objeto de pesquisa. Essas praxeologias representam os blocos: saber-fazer
(técnico/prático) e saber (tecnológico/teórico), os quais são articulados por objetos ostensivos.
Essas praxeologias mostram como foi estudado as diferentes tarefas relativas à
abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência contido em livros
didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamentam selecionados pelo PNLD/2011.
De acordo com a TAD quando se trata de um objeto relativo às práticas de ensino,
deve-se em primeiro lugar observar o objeto, depois descrevê-lo, analisá-lo e avaliá-lo para,
finalmente, desenvolver atividades que têm por objetivo o ensino e a aprendizagem desse
objeto.
As praxeologias pontuais analisadas no estudo e descritas no quadro 12 mostram como
foi organizado o ensino do objeto de pesquisa nesses LDs, ou seja, como os autores desses
livros articularam os diferentes tipos de organizações didáticas e organizações matemáticas,
as quais modelam o estudo do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência,
pois, de acordo com a TAD estudar ou ensinar Matemática podem ser descritas segundo um
modelo praxeológico.
No quadro a seguir, representado pelos diferentes tipos de praxeologias pontuais,
mostra como foi organizado o estudo do objeto de pesquisa.
Quadro 12: As praxeologias que modelam o estudo do objeto de pesquisa contido nos LDs
LDs Sequência das praxeologias aplicadas no estudo do objeto de pesquisa
LD1 [T1/1/Ɵ1/]→[T2/3/Ɵ1/]→[T3/6/Ɵ4/]→[T4/7/Ɵ3/]→[T5/9/Ɵ1/]→[T6/11/Ɵ2/]→[T7/12,13/Ɵ5,6/]
LD2 [T1/2/Ɵ2/]→[T2/4/Ɵ3/]→[T3/5/Ɵ2/]→[T4/8/Ɵ5/]→[T5/10/Ɵ2/]→[T6/11/Ɵ2/]→[T7/12,13/Ɵ5,6/]
LD3 [T5/10/Ɵ2/]
LD4 [T3/5,6/Ɵ2,4/]→[T4/7,8/Ɵ3,5/]→[T1/2/Ɵ2/]→[T2/4/Ɵ3/]→[T5/9/Ɵ1,2/]→[T6/11/Ɵ2/]→
[T7/12,13/Ɵ5,6/]
LD5 [T1/2/Ɵ2/]→[T2/4/Ɵ3/]→[T3/5/Ɵ2/]→[T4/8/Ɵ5/]→[T5/10/Ɵ2/]→[T6/11/Ɵ2/]→[T7/12,13/Ɵ5,6/]
LD6 [T3/6/Ɵ4/]
- Este quadro representa as praxeologias pontuais aplicadas no estudo do objeto de pesquisa nos livros didáticos
analisados, pois, de acordo com a TAD, o estudo completo de um objeto matemático pode ser descrito assim: seja a
sequência T1,...,Tn a série de tipos de tarefas, supostamente estudada nessa ordem, as quais são respondidas por um
tipo de técnica respaldada em torno de um discurso racional representado por uma tecnologia Ɵ, onde, para todo i,
1≤ i ≤ n, as praxeologias pontuais [Ti/i/Ɵ/], constituídas pelo bloco prático-técnico [T/] e pelo bloco tecnológico-
teórico [Ɵ/], se agregam e passam a constituir uma organização local.
- De acordo com a TAD as praxeologias didáticas ou organizações didáticas são respostas às questões do tipo: Como
estudar um objeto matemático? Ou que resposta dar a questão: Como organizar o ensino de um objeto matemático?
Fonte: Dados do pesquisador
O estudo mostrou que a abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na
circunferência nos livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental
analisados é representada por diferentes (tipos de) tarefas Ti bem delineadas. Para o
cumprimento de cada uma dessas tarefas, os autores desses LDs aplicaram técnicas i,
tecnologias Ɵj e teorias , as quais se articulam por meio de objetos ostensivos e passam a
constituir as praxeologias pontuais, as quais modelam como resolver as tarefa Ti. Essas
praxeologias pontuais se agregam e passam a constituir a praxeologia local, a qual representa
como foi organizado o estudo do objeto de pesquisa nos LDs analisados.
A análise mostra que a resolução de um determinado tipo de tarefa Ti leva à
constituição de uma praxeologia pontual [Ti/i/Ɵj/] apresentada de forma clara, bem definida
e pertinente à exploração do objeto de estudo. Essa praxeologia é constituída pelo bloco
prático-técnico [Ti/i] e pelo bloco tecnológico-teórico [/Ɵj/], de modo a levar a um saber-
fazer preciso e confiável e que favoreça a elaboração de novas técnicas para resolver novas
tarefas que possam surgir durante o estudo do objeto matemático.
A análise do objeto de estudo no LD1 mostrou a sequência das praxeologias pontuais:
[T1/1/Ɵ1/] → [T2/3/Ɵ1/] → [T3/6/Ɵ4/] → [T4/7/Ɵ3/] → [T5/9/Ɵ1/] →
[T6/11/Ɵ2/] → [T7/12/Ɵ5,6/] que foram aplicadas na abordagem do conteúdo de polígonos
regulares inscritos na circunferência. Identificamos que os autores desse livro didático não
privilegiam diferentes técnicas na constituição das praxeologias pontuais no estudo do objeto
de pesquisa.
Quanto ao estudo no LD2, a sequência das praxeologias pontuais: [T1/2/Ɵ2/] →
[T2/4/Ɵ3/] → [T3/6/Ɵ2/] → [T4/8/Ɵ5/] → [T5/10/Ɵ2/] → [T6/11/Ɵ2/] →
[T7/12/Ɵ5,6/] representam como se deu a abordagem do conteúdo de polígonos regulares
inscritos na circunferência. Identificamos que os autores desse livro didático não privilegiam
diferentes técnicas na constituição das praxeologias pontuais no estudo do objeto de pesquisa.
O livro LD4 se destaca dentre esses LDs por apresentar o estudo do conteúdo de
polígonos regulares inscritos na circunferência com a seguinte sequência de tarefas
[T3/5,6/Ɵ2,4/] → [T4/7,8/Ɵ3,5/] → [T1/2/Ɵ2/] → [T2/4/Ɵ3/] → [T5/9/Ɵ1,2/] →
[T6/11/Ɵ2/] → [T7/12/Ɵ5,6/]. Ao aplicar diferentes técnicas na resolução de uma
determinada tarefa Ti, o autor desse livro didático privilegia diferentes métodos de resoluções
dessas tarefas, as quais constituem as praxeologias pontuais aplicadas no estudo do objeto de
pesquisa.
O estudo no LD5 mostrou a sequência das praxeologias pontuais: [T1/2/Ɵ2/] →
[T2/4/Ɵ3/] → [T3/6/Ɵ2/] → [T4/8/Ɵ5/] → [T5/10/Ɵ2/] → [T6/11/Ɵ2/] →
[T7/12,13/Ɵ5,6/] as quais foram aplicadas na abordagem do conteúdo dos polígonos regulares
inscritos na circunferência. Identificamos que os autores desse livro didático não privilegiam
diferentes técnicas na resolução das tarefas, as quais constituem as praxeologias pontuais no
estudo do objeto de pesquisa.
A análise mostra que o LD3 apresenta apenas a praxeologia pontual [T5/10/Ɵ2/] e o
LD6 a apresenta apenas a praxeologia pontual [T3/6/Ɵ4/] na abordagem do objeto de
pesquisa. O estudo mostra que os autores dos LD3 e LD6 não contemplam as demais
praxeologias pontuais aplicadas no estudo do objeto de pesquisa apresentadas nos LD1, LD2,
LD4 e LD5.
A análise do objeto de estudo mostrou que a sequência das praxeologias pontuais
[T1/1/Ɵ1,2/] → [T2/3/Ɵ1,3/] → [T3/5/Ɵ2,4/] → [T4/7/Ɵ3,5/] → [T5/9/Ɵ1,2/] →
[T6/11/Ɵ2/] → [T7/12/Ɵ5,6/] foram as mais utilizadas pelos autores dos LDs, e são
apresentadas na mesma sequência nos LD1, LD2, e LD5.
A análise mostra que nem todos os livros didáticos apresentam o estudo de todas as
tarefas e nem apresentam a mesma sequência de praxeologias pontuais, o que mostra as
diferentes possibilidades de abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na
circunferência em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental.
O estudo mostra que todos os livros didáticos analisados apresentam diferentes tipos
de tarefas como atividades propostas para os alunos. Destacamos que essas tarefas não foram
analisadas nesta pesquisa, pois, as tarefas propostas como atividade para os alunos não faz
parte dos objetivos de estudo da pesquisa.
Entendemos que as praxeologias pontuais apresentadas nos LD1, LD2, LD4 e LD5
podem representar modelos de abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na
circunferência contido em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental o
que pode favorecer a uma melhor apresentação do estudo do objeto de pesquisa nesses LDs.
CONSIDERAÇÕES
A investigação proposta por nossa pesquisa em analisar como se articulam as
organizações matemáticas e as organizações didáticas na abordagem do objeto de pesquisa
nos levou a um estudo preliminar de como os autores de livros didáticos aplicam a história
desse conteúdo como recurso didático e ainda, como se dá a abordagem desse saber no ensino
da geometria e no estudo de outros conceitos da Matemática.
Quanto à utilização da História da Matemática como recurso didático na abordagem
do objeto de pesquisa, verificamos que apenas os livros didáticos LD1, LD3 e LD6 apresentam
a história dos polígonos regulares inscritos na circunferência de maneira a situar o objeto de
estudo no contexto histórico.
Os autores desses livros aplicam a história dos polígonos regulares inscritos na
circunferência no estudo do objeto de pesquisa e de outros conceitos matemáticos, pois, de
acordo com as propostas dos PCN’s, a importância da História da Matemática tem uma
relevância para o aprendizado que transcende a relação social, e ainda, ilustra também, o
desenvolvimento e a evolução dos conceitos a serem apreendidos. A história do objeto de
pesquisa mostra a importância da aplicação desse conteúdo nas descobertas de grandes
matemáticos ao longo do tempo, o que reflete o aspecto da evolução desse saber como criação
do homem em diferentes culturas e momentos históricos.
Neste sentido, destacamos a importância da história dos polígonos regulares inscritos
na circunferência na análise do objeto de pesquisa, tanto do ponto de vista da teoria, quanto
como recurso didático utilizado pelos autores desses LDs, pois, a Teoria Antropológica do
Didático estuda o homem perante o saber matemático, ou seja, entende o estudo da
Matemática dentro do conjunto de atividades humanas e de instituições sociais por meio de
interações entre os sujeitos, as instituições e os saberes.
Quanto à abordagem do objeto de pesquisa nos livros didáticos analisados, o estudo
mostra a importância desse conteúdo no ensino da geometria e da aplicação desse saber no
estudo de outros tópicos da Matemática como: comprimento da circunferência, área da
circunferência, cálculo do número π, o estudo da ideia de infinito. O estudo aponta que os seis
livros didáticos analisados abordam o objeto de pesquisa, mas, se diferenciam quanto ao
emprego desse conteúdo no estudo de outros conceitos da geometria.
Quanto à análise das organizações matemática e das organizações didática nos
permitiu identificar que no estudo do objeto de pesquisa os autores desses livros didáticos
apresentam esse conteúdo com diferentes abordagens, pois, as escolhas didáticas aplicadas na
resolução das tarefas contidas nesses livros didáticos se diferenciam quanto aos tipos de
técnicas (), tecnologias (Ɵ) e teorias (), o que privilegia o estudo desse objeto de pesquisa
com a aplicação de diferentes tipos de praxeologias pontuais [T//Ɵ/].
Nossa análise foi realizada em torno dessas praxeologias pontuais, as quais modelam o
estudo do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência contido nos livros
didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental selecionados pelo PNLD/2011 os
quais denominamos por LD1, LD2, LD3, LD4, LD5 e LD6. A análise se deu em torno desses
livros didáticos, uma vez que foram esses os livros disponibilizados pelas distribuidoras
representantes das editoras na cidade de Cuiabá-MT.
No capítulo 20 do LD1, verificamos que os autores abordam o objeto de pesquisa e
iniciam essa abordagem com uma revisão dos conceitos de polígonos e se apoiam na
sequência de praxeologias pontuais a seguir apresentadas, as quais mostram como se deu o
estudo do objeto de pesquisa no LD1: [T1/1/Ɵ1/] → [T2/3/Ɵ1/] → [T3/6/Ɵ3/] →
[T4/7/Ɵ3/] → [T5/9/Ɵ2/] → [T6/11/Ɵ2/] → [T7/12/Ɵ6,7/]. Observamos que os autores
propõem todos os tipos de tarefas analisadas na pesquisa, e para resolvê-las aplicaram
diferentes técnicas, tecnologias e teorias. Percebemos que os autores utilizam mais de um tipo
de técnica apenas para resolver a tarefa T7, o que mostra que esses autores não privilegiam a
aplicação de diferentes técnicas e tecnologias na resolução das demais tarefas na abordagem
do objeto de pesquisa.
Quanto às organizações matemáticas e didáticas entendemos que são apresentadas de
forma clara e bem definidas e são pertinentes na constituição das praxeologias pontuais
aplicadas no estudo do objeto de pesquisa no LD1. Quanto às técnicas ( aplicadas são bem
elaboradas, fidedignas e confiáveis no cumprimento das tarefas (T) estudas. Quanto às
tecnologias (Ɵ) utilizadas nas justificativas dessas técnicas (tem seus argumentos
matematicamente válidos, e podem conduzir à elaboração de novas técnicas para resolver
essas tarefas, pois, de acordo com a TAD toda organização praxeológica é formada por um
conjunto de técnicas, de tecnologias e de teorias articuladas por objetos ostensivos na
resolução de um tipo de tarefa.
A análise do nosso objeto de estudo no LD2, mostra que os autores iniciam a
abordagem desse conteúdo com a seguinte sequência de praxeologias: [T1/2/Ɵ2/] →
[T2/4/Ɵ2/] → [T3/6/Ɵ2/] → [T4/8/Ɵ5/] → [T5/10/Ɵ2/] → [T6/11/Ɵ2/] →
[T7/12,13/Ɵ5,6/]. Observamos que os autores trabalham todos os tipos de tarefas analisadas
no estudo, e para resolvê-las, utilizam técnicas, tecnologias e teorias. Percebemos que os
autores utilizam mais de um tipo de técnica apenas para resolver a tarefa T7, mostrando assim,
que não privilegiam a aplicação de diferentes técnicas e tecnologias na resolução das demais
tarefas na abordagem do objeto de estudo.
Verificamos que os autores do LD2 dão ênfase à abordagem do conteúdo de polígonos
regulares inscritos na circunferência, o que mostra a importância desse estudo no ensino da
geometria. Ao analisar como se deu a abordagem desse conteúdo no LD2 entendemos que a
sequência de tarefas trabalhadas pelos autores apresentam as principais praxeologias
analisadas no estudo do objeto de pesquisa.
Quanto às organizações matemática e didática, entendemos que no LD2 são
apresentadas de forma clara e bem definidas e são pertinentes na exploração do objeto de
estudo as quais constituem os diferentes tipos de praxeologias pontuais analisadas nesse livro
didático. Quanto às técnicas empregadas são efetivamente elaboradas, fidedignas e confiáveis
no cumprimento das tarefas. Quanto às tecnologias ou bloco tecnológico-teórico utilizados
nas justificativas das técnicas empregadas tem seus argumentos matematicamente válidos, e
podem conduzir a novas técnicas para resolver novas tarefas.
A análise do LD3 aponta que os autores abordam o objeto de estudo no capítulo sobre
trigonometria e apresentam apenas uma tarefa resolvida no estudo do objeto de pesquisa,
mostrando assim, que os autores não privilegiam o emprego de diferentes tarefas no estudo do
conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência.
No LD3 o estudo do objeto de pesquisa é apresentado com a seguinte praxeologia
pontual: [T5/10/Ɵ2/]. Observamos que os autores trabalham apenas a tarefa T5 com a
aplicação da técnica 10 e de tecnologia Ɵ2, o que constitui apenas o bloco prático-técnico
[T5/10] e o bloco tecnológico-teórico [Ɵ2/] na abordagem do objeto de pesquisa, ou seja, os
autores ao trabalharem apenas uma praxeologia local não privilegiam um modelo de estudo na
abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência. A análise mostra
que não é possível descrever como se articulam as organizações didáticas e organizações
matemáticas na constituição das demais praxeologias locais no estudo do objeto de pesquisa
nesse livro didático.
A análise do objeto de estudo no LD4, mostra que o autor opta por iniciar o estudo do
objeto de pesquisa com o uso das relações trigonométricas em polígonos regulares inscritos
na circunferência e apresentam esse estudo com a sequência de praxeologias pontuais:
[T3/5,6/Ɵ2,3/] → [T4/7,8/Ɵ3,5/] → [T1/2/Ɵ2/] → [T2/4/Ɵ2/] → [T5/9/Ɵ1,2/] →
[T6/11/Ɵ2/] → [T7/12,13/Ɵ5,6/]. Observamos que o autor trabalha todos os tipos de tarefas
analisadas na pesquisa, e ainda, destacamos a resolução das tarefas T3 e T4, T5 e T7, as quais
são trabalhadas com diferentes técnicas.
Entendemos que o autor ao utilizar mais de um tipo de técnica para resolver as tarefas
T3, T4, T5 e T7 privilegia o emprego de diferentes tecnologias na resolução dessas tarefas.
Quanto às tecnologias ou bloco tecnológico-teórico utilizados nas justificativas das técnicas
aplicadas tem seus argumentos matematicamente válidos, e podem conduzir à elaboração de
novas técnicas para resolver determinadas tarefas. Percebemos que o autor se apoia no
teorema de Pitágoras e nas relações trigonométricas para justificar as diferentes técnicas
aplicadas na resolução de um mesmo tipo de tarefa.
Quanto à articulação das organizações matemáticas e didáticas as quais constituem as
praxeologias pontuais, entendemos que são apresentadas de forma clara e bem definidas e são
pertinentes na exploração do objeto de estudo. A análise do objeto de pesquisa no LD4 mostra
que é possível o emprego de mais de um bloco tecnológico-teórico na elaboração de técnicas
para resolver uma determinada tarefa, ou seja, o autor ao utilizar mais de um tipo de técnica
para resolver a mesma tarefa privilegia o emprego de diferentes praxeologias pontuais,
mostrando que o método de resolução de uma tarefa não é único nem absoluto, mas que
podem ser aplicadas diferentes técnicas dentro do seu campo de validez.
A análise no LD5 mostra que os autores iniciam o estudo dos polígonos com uma
revisão das principais propriedades e conceitos e apresentam o estudo do objeto de pesquisa
com a seguinte sequência de praxeologias pontuais: [T1/2/Ɵ2/] → [T2/4/Ɵ2/] →
[T3/6/Ɵ2/] → [T4/8/Ɵ5/] → [T5/10/Ɵ2/] → [T6/11/Ɵ2/] → [T7/12,13/Ɵ5,6/].
Observamos que os autores trabalham todos os tipos de tarefas analisadas no estudo, e
para resolvê-las, articulam diferentes técnicas, tecnologias e teorias. Percebemos que os
autores utilizam mais de um tipo de técnica apenas na resolução da tarefa T7, o que não
privilegia a aplicação de diferentes técnicas e tecnologias na resolução das demais tarefas na
abordagem do objeto de pesquisa.
No LD5, verificamos que na abordagem do objeto de pesquisa os autores articulam
bem esse conteúdo com a resolução de diferentes tipos de tarefas, e se apoiam nas relações
trigonométricas para justificar as diferentes técnicas, tecnologias aplicadas na resolução
dessas tarefas.
Quanto às técnicas empregadas são efetivamente elaboradas, fidedignas e confiáveis
no cumprimento das tarefas. Quanto às tecnologias ou bloco tecnológico-teórico utilizados
nas justificativas das técnicas empregadas tem seus argumentos matematicamente válidos, e
podem conduzir a novas técnicas para resolver novas tarefas. Quanto às organizações
matemáticas e didáticas entendemos que se articulam de forma clara e bem definidas e
constituem as diferentes praxeologias pontuais apresentadas no estudo do objeto de pesquisa
nesse livro didático.
Quanto à análise no LD6, o autor aborda o objeto de estudo no capítulo sobre
trigonometria e trabalha apenas um tipo de tarefa com a aplicação de um tipo de técnica, o
que constitui apenas um bloco prático-técnico e um bloco tecnológico-teórico na abordagem
do objeto de pesquisa, ou seja, o autor ao trabalhar apenas a praxeologia local [T3/5/Ɵ3/]
não privilegia um modelo de estudo na abordagem do conteúdo de polígonos regulares
inscritos na circunferência. A análise mostra que não é possível descrever como se articulam
as organizações didáticas e as organizações matemáticas na constituição das demais
praxeologias locais no estudo do objeto de pesquisa nesse livro didático.
O estudo mostra que todos os LDs analisados abordam o objeto de pesquisa com a
apresentação de tarefas claras e com os discursos, prático-técnico e tecnológico-teórico,
disponíveis o que privilegia as praxeologias pontuais associadas ao objeto de pesquisa, ou
seja, a análise mostra que há uma articulação entre as organizações didáticas e as
organizações matemáticas na constituição dos diferentes tipos de praxeologias pontuais
aplicadas no estudo do objeto de pesquisa.
O estudo mostra que a análise das organizações matemáticas e das organizações
didáticas leva a modelos de praxeologias pontuais bem definidas, pois, as tarefas são
apresentadas de maneira bem delineada e o seu cumprimento decorre do emprego de técnicas
que formam o bloco prático-técnico, o qual conduz o saber-fazer de maneira justificada por
um discurso lógico representado pelo bloco tecnológico-teórico.
Neste sentido, entendemos que o estudo dos polígonos regulares inscritos na
circunferência contido em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental
pode ser abordado por diferentes tarefas (T), técnicas (), tecnologias (Ɵ) e teorias () as
quais constituem os diferentes tipos de praxeologias pontuais [T//Ɵ/].
Entendemos que a sequência de praxeologias pontuais aplicadas nos LD1, LD2 e LD5 e
representada a seguir, [T1/1/Ɵ1,2/] → [T2/3/Ɵ1,2/] → [T3/5/Ɵ2,3/] → [T4/7/Ɵ2,4/] →
[T5/9/Ɵ1,2/] → [T6/11/Ɵ2/] → [T7/12/Ɵ5,6/] pode representar um modelo de estudo do
objeto de pesquisa em livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental.
A nosso ver, a pesquisa contribui para mostrar como os livros didáticos de matemática
do 9º ano do Ensino Fundamental avaliados e selecionados pelo PNLD/2011 abordam o
conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência, e ainda, que os dados e análise
obtidos na pesquisa são parciais e nos levam a outros questionamentos, como:
- As organizações praxeológicas analisadas no estudo se fazem presentes nos demais
livros didáticos de matemática do 9º ano do Ensino Fundamental aprovados pelo PNLD/2011
não analisados nesta pesquisa?
- As praxeologias analisadas na pesquisa podem favorecer aos professores a realizar
um trabalho significativo quanto à abordagem do conteúdo de polígonos regulares inscritos na
circunferência em sala de aula?
- Ao se trabalhar em sala de aula as articulações entre as organizações matemáticas e
didáticas do conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência contido em livros
didáticos de matemática pode favorecer aos alunos do 9º ano Ensino Fundamental uma
aprendizagem significativa?
Esperamos que esse trabalho possa contribuir para outras pesquisas no campo da
Educação Matemática, e, acreditamos também, que outros trabalhos possam agregar novos
elementos a esta pesquisa de modo a favorecer uma melhor análise da abordagem do
conteúdo de polígonos regulares inscritos na circunferência em livros didáticos de matemática
do 9º ano do Ensino Fundamental.
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