universid - ufbageo trabalho de graduac ao dep ar t amento de geologia e geof sica aplicad a do...

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

INSTITUTO DE GEOCI�ENCIAS

CURSO DE GRADUAC� �AO EM GEOF�ISICA

GEO�� TRABALHO DE GRADUAC��AO

APLICAC� �AO DAS REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

A DADOS GEOF�ISICOS

EMERSON ARA�UJO DO CARMO

SALVADOR � BAHIA

NOVEMBRO � ��

APLICAC� �AO DAS REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

A DADOS GEOF�ISICOS

por

Emerson Ara�ujo do Carmo

GEO�� TRABALHO DE GRADUAC� �AO

Departamento de Geologia e Geof��sica Aplicada

do

Instituto de Geociencias

da

Universidade Federal da Bahia

Comiss�ao Examinadora

Dr� Telesson Neves Teles �Orientador�

Dr� Amin Bassrei

Dr� Antonio Cezar de Castro Lima

Data da aprova�c�ao� �� de novembro de �

Somente em Deus� �o minha alma� es

pera silenciosa� porque dele vem a

minha esperan�ca�

S�o ele �e a minha rocha e a minha sal

va�c�ao� o meu alto ref�ugio� n�ao serei

jamais abalado�

De Deus depende a minha salva�c�ao

e a minha gl�oria� est�ao em Deus a

minha forte rocha e o meu ref�ugio�

Salmo ��

Dedico este trabalho a minha m�ae

D� Norb�elia �biol�ogica�� a minha

segunda m�ae D� Clemira e �a minha

noiva J�oira�

RESUMO

Neste trabalho testamos a aplica�c�ao das redes neurais arti�ciais a tr�es problemas geof��sicos�

o problema inverso de eletrorresistividade� invers�ao dos par�ametros hidr�aulicos T e S de uma

aqu��fero con�nado e cancelamento de ru��do adaptativo em tra�co s��smico� Foram utilizadas as

redes MLP� RBF e Redes Adaptativas para cada problema respectivamente� Os algor��tmos

de treinamento utilizados foram Regra Delta de Widrow e o Retropropaga�c�ao do erro com

momento�

Foram utilizados dados sint�eticos gerados por programas FORTRAN para as fases do

treinamento� da valida�c�ao e dos testes da RNA� As redes foram implementadas� treinadas e

testadas atrav�es dos softwares Neurosolution e MATLAB�

Os resultados obtidos para o problema inverso de eletrorresistividademostraram se aceit�a

veis por�em com limitada acur�acia� A solu�c�ao foi a utiliza�c�ao de um procedimento de invers�ao

combinando redes neurais com invers�ao linearizada� A utiliza�c�ao deste procedimento com

binado resultou na converg�encia segura e r�apida para a solu�c�ao global dos modelos de um

conjunto de teste� Na invers�ao dos par�ametros hidr�aulicos a resposta da rede a um conjunto

de teste revelou uma boa generaliza�c�ao alcan�cada pela mesma� A compara�c�ao entre as curvas

dos modelos calculado e observado mostrou um �otimo ajuste� O problema de cancelamen

to de ru��do constituiu se de tr�es casos� ru��do harm�onico estacion�ario� ru��do harm�onico n�ao

estacion�ario e ru��do colorido� Utilizamos RNAs com duas estruturas adaptativas distintas a

�m de atacar tais situa�c�oes� Ambas mostraram se e�cientes para os testes propostos�

i

ABSTRACT

In this work we tested the aplication of the arti�cial neural networks �ANNs� to three

gophysical problems� the inverse problem of eletroresistivity� inversion of the hydraulic para

meters T and S of a con�ned aquifer and cancellation of adaptive noise in seismic trace� The

ANNs used were multilayer perceptron �MLP�� radial basis function �RBF�� and Adaptive

nets for each problem respectively� The algorithms used for training were Widrow�s Delta

Rule of and Backpropagation with momentum�

Synthetic data generated by FORTRAN programs for the training� validation and testing

of the ANNs were used� The ANNs were implemented� trained and tested by using the

softwares Neurosolution and MATLAB�

The results obtained for the inverse problem of eletroresistivity show be acceptable� even

though with limited accuracy� Then we proposed a inversion procedure combining neural

networks with linearized inversion� The use of this combined procedure resulted in a safe

and fast convergence for the global solution for the models of the test group� In the sec

ond application� the inversion of the hidraulic parameters the by the ANN a test group

revealed a good generalization� The comparison among the observed and calculated curves

reveal a great adjustment� The problem of noise cancellation was constituted of three cases�

stationary and nonstationary harmonic noise and colored noise� We used ANNs with two

di�erent adaptive structures in order to attack such situations� The results obtained for both

structure showed an e�cient improvement for the signal to noise ratio �S�N� of the seismic

trace�

ii

�INDICE

RESUMO � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � i

ABSTRACT � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ii

�INDICE � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � iii

�INDICE DE TABELAS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � v

�INDICE DE FIGURAS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � vi

INTRODUC� �AO � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

CAP�ITULO � Redes Neurais Arti�ciais �RNA� � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Introdu�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Neur�onio Biol�ogico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Modelo Arti�cial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Perceptron � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Adaline e Madaline � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Redes Multicamadas �MLPs� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� RBF Radial Basis Function � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� M�etodos de Aprendizagem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Treinamento Supervisionado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Treinamento N�ao Supervisionado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Treinamento Refor�cado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Modos de Treinamento � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Algor��tmos de Aprendizagem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Regra Delta de Widrow Ho� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� O M�etodo de Retro Propaga�c�ao do Erro �Back Propagation� � � � � � ��

�� Generaliza�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Valida�c�ao cruzada � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Aproximador de fun�c�oes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Hist�orico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

CAP�ITULO Eletroresistividade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Introdu�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� M�etodo de Eletrorresistividade Sondagem El�etrica Vertical �SEV� � � � � � ��

iii

�� Con�gura�c�ao de eletrodos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Modelo de n camadas horizontais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� O problema inverso para dados de SEV � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� RNA para o problema de invers�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� O conjunto de dados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� A topologia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� O treinamento � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Constru�c�ao e treinamento da MLP no Neurosolution � � � � � � � � � ��

�� RNA � invers�ao linearizada � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Discuss�ao dos resultados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

CAP�ITULO Par�ametros de Aq�u� feros � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Introdu�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Fundamenta�c�ao Te�orica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Aq�u��fero con�nado com po�co totalmente penetrante submetido a regi

me de �uxo n�ao estacion�ario � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� RNA para o problema de aq�u��fero � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� O treinamento � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Resultados obtidos no treinamento da RBF � � � � � � � � � � � � � � ��


CAP�ITULO � Cancelamento de ruido em tra�co s� smico � � � � � � � � � � ��

�� Introdu�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Fundamenta�c�ao Te�orica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� O modelo s��smico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� RNA aplicada ao tratamento de ru��do � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Cancelamento de ruido harm�onico estacion�ario no tra�co s��smico � � � �

�� Cancelamento de ruido harm�onico n�ao estacion�ario no tra�co s��smico � ��

�� Cancelamento de ruido colorido no tra�co s��smico � � � � � � � � � � � � ��


CAP�ITULO � CONCLUS�OES � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Aplica�c�oes Futuras � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

AGRADECIMENTOS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

AP�ENDICE A Algor� timos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

A�� Modelo de um semi espa�co com a fonte na superf��cie � � � � � � � � � � � � � ��

A�� Algor��timo de converg�encia do Perceptron � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

REFER�ENCIAS BIBLIOGR�AFICAS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

iv

�INDICE DE TABELAS

�� Par�ametros utilizados no treinamento� referentes ao algor��timo de retropropa

ga�c�ao do erro com momentum e �a fun�c�ao de ativa�c�ao �fun�c�ao sigm�oide� � � � ��

�� Tabela referente aos par�ametros observados e calculados do modelo� � � � � � ��




�� Valores dos par�ametros de treinamento da RBF no MATLAB � � � � � � � � ��

�� Valores do erro calculado para o modelo��

�� Valores do erro calculado para o modelo��

v

�INDICE DE FIGURAS

�� Figura esquem�atica do neur�onio biol�ogico� �a� estrutura esquem�atica do neur�onio�

�b� amplia�c�ao das sinapses simpli�cadas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Neur�onio Arti�cial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Rede MLP com duas camadas escondidas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Rede de fun�c�oes de bases radiais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Bloco diagrama do treinamento supervisionado� � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Bloco diagrama do treinamento n�ao supervisionado� � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Bloco diagrama do treinamento refor�cado� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Modelo Adaline� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Modelo de um neur�onio na camada de sa��da j de uma rede MLP� � � � � � � � ��

�� a� Os dados sofreram um over�tt� com isso apresenta uma pobre genera

liza�c�ao� �b� Os dados foram �tados adequadamente resultando numa boa

generaliza�c�ao� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Valida�c�ao Cruzada curva do erro quadr�atico m�edio para o conjunto de trei

namento e para o conjunto de teste� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Arranjo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Arranjo Wenner� Schlumberger e Dipolo dipolo com suas respectivas expres

s�oes de �a� A e B corresponde aos eletrodos de corrente� M e N aos de potencial �

�� Rede MLP com a topologia �otima alcan�cada mostrando a camada de entrada

com �� resistividades aparentes� a camada escondida com �� neur�onios� e a

camada de sa��da com os � par�ametros do modelo de � camadas� � � � � � � � ��

�� Plot contendo os dados observados e o modelo calculado pela rede � � � � � � ��

�� Plot contendo os dados observados e o modelo calculado pela rede � � � � � � ��

�� Plot do modelo � contendo� �a� curva dos dados observados� modelo inicial

dado pela rede� modelo calculados pela invers�ao linearizada� �b� curva dos

dados observados� modelo incial qualquer� modelo calculado pela invers�ao� � ��

�� Plot do modelo � contendo� �a� curva dos dados observados� modelo inicial

dado pela rede� modelo calculados pela invers�ao linearizada� �b� curva dos

dados observados� modelo incial qualquer� modelo calculado pela invers�ao� � ��

�� Aq�u��fero totalmente con�nado �a�� e semi con�nado �b��

�� Aq�u��fero artesiano com po�co totalmente penetrante� � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Curva dos dados observados e modelo gerado com os dados da rede� O ��ndice

de ajuste foi de ��

vi

�� Curva dos dados observados e modelo gerado com os dados da rede� O ��ndice

de ajuste foi de ��

�� Teoria do cancelamento adaptativo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Modelo s��smico mostrando a interfer�encia do ru��do no tra�co s��smico � � � � � ��

�� Componentes do �ltro da terra� Estas componentes ilustram os v�arios efeitos

que ocorre dentro da terra para mudar o sinal de entrada� Primeiro� a terra

transforma o pulso de entrada numa wavelet� Ent�ao� ela divide essa wavelet

em v�arias outras atrav�es de re�ex�oes e refra�c�oes� e altera estas wavelets por

absor�c�ao e espalhamento geom�etrico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Gera�c�ao dos ru��dos interferente e de refer�encia� soma ao tra�co s��smico do ru��do

interferente e alimenta�c�ao da rede adaptativa � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Tra�co s��smico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Ruido interfer�ente harm�onico estacion�ario � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Tra�co � Ruido interfer�ente harm�onico estacion�ario � � � � � � � � � � � � � � �

�� Sinal de erro da rede adaptativa � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Sinal de sa��da da rede adaptativa� caso estacion�ario� � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Ruido interferente harm�onico n�ao estacion�ario � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Rede adaptativa com entrada de senos e cossenos � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Rede adaptativa com estrutura de �ltro transversal � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Tra�co � Ruido interferente harm�onico n�ao estacion�ario � � � � � � � � � � � � ��

�� Sinal de erro da rede adaptativa para o teste � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Sinal de erro da rede adaptativa para o teste � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Ruido Colorido � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Tra�co � Ruido Colorido � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Sinal de erro da rede adaptativa � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Sinal de sa��da da rede adaptativa � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

A�� Interface meio��meio� mostrando as componentes normal� tangencial para o

vetor densidade de corrente �J � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

vii

INTRODUC� �AO

O processamento de dados em geof��sica �e de fundamental import�ancia� para que se possa

interpretar o modelo de subsuperf��cie com base nas medidas de suas propriedades �problema

inverso�� Convencionalmente m�etodos de otimiza�c�ao baseados em algor��tmos de busca local

ou global s�ao utilizados na solu�c�ao do problema inverso� por�em os m�etodos de busca local

s�ao fortemente dependentes de um bom modelo inicial para convergirem para a solu�c�ao

global enquanto que os m�etodos de busca global s�ao onerosos computacionalmente� Contudo

a aplica�c�ao de redes neurais arti�ciais vem sendo estudada como ferramenta opcional no

processamento de dados geof��sicos� Macias e Sen �� investigaram a aplicabilidade de

redes neurais arti�ciais ao problema inverso de eletrorresistividade� este trabalho motivou

a pesquisa em torno deste assunto proporcionando o surgimento de outros trabalhos tanto

no problema da invers�ao como em outros problemas geof��sicos� Trabalhos como os de Teles

e Ferreira �� Teles �� Lopes et al� �� e Pimentel e Teles �� mostraram o

bom desempenho das redes em problemas geof��sicos�

A aplica�c�ao de um rede neural a um problema envolve tr�es fases� A elabora�c�ao do proble

ma� onde �e �xado o objetivo da rede� escolhido a topologia mais adaquada e confeccionados

os conjuntos de treinamento com dados representativos do problema� A segunda fase �e o

treinamento da rede e �e onde se gasta mais tempo at�e que a rede possa aprender o problema

e responder a qualquer conjunto de dados diferente do conjunto de treinamento� Ap�os a rede

treinada� vem a aplica�c�ao ao problema propriamente dito� Nesta fase a rede pode ser imple

mentada em software ou em hardware e o tempo de processamento dos dados �e m��nimo pois

n�ao envolve itera�c�oes� apresenta se os dados �a rede e ela retorna imediatamente o resultado�

Uma difer�en�ca entre o m�etodos convencionais de processamento e as redes neurais arti�ciais�

�e que a rede n�ao necessita saber qual a fun�c�ao que relaciona os dados de entrada com os de

sa��da� Esta informa�c�ao �e extra��da do conjunto de treinamento pelos pesos da rede� ou seja�

o objetivo da rede �e aprender no sentido do m��nimo erro a fun�c�ao que relaciona os dados de

entrada com os dados de sa��da�

Neste trabalho testamos a aplicabilidade das redes neurais arti�ciais na solu�c�ao de tr�es

poblemas�

�� No problema inverso de eletrorresistividade para um modelo de tr�es camadas� onde

treinamos uma rede MLP com uma camada escondida utilizando dados sint�eticos�

Os modelos gerados pela rede ap�os o treinamento foram utilizados como modelos de

partida para o algor��tmo da invers�ao linearizada com o int�uito de re�nar a solu�c�ao da

�

�

rede�

�� Na invers�ao dos par�ametros hidr�aulicos S e T de um aqu��fero con�nado com poco

totalmente penetrante em regime de �uxo estacion�ario� A resposta da rede foi utilizada

para a confec�c�ao de curvas de rebaixamento com o tempo atrav�es de modelamento

direto�

�� No cancelamento de ru��do colorido e ru��do harm�onico no tra�co s��smico utilizando uma

rede adaptativa�

O texto est�a organizado de modo que no primeiro cap��tulo apresentamos a teoria das

redes neurais arti�ciais� destacando o seu hist�orico� os modelos de redes utilizados neste

trabalho� os m�etodos e algor��tmos de treinamento mais utilizados� No segundo cap��tulo

mostramos a teoria do m�etodo de eletrorresistividade particularizando para as sondagens

el�etricas verticais� a aplica�c�ao de redes neurais arti�ciais ao problema inverso� e a discuss�ao

dos resultados obtidos� No terceiro cap��tulo abordamos o problema inverso dos par�ametros

hidr�aulicos S e T� com a fundamenta�c�ao te�orica do problema� a aplica�c�ao das redes neurais�

resultados e discuss�ao� No quarto cap��tulo apresentamos o uso de redes adaptativas no

cancelamento de ru��do no tra�co s��smico� Neste cap��tulo abordamos tr�es formas de ru��dos� o

ru��do colorido� ru��do harm�onico estacion�ario� e ru��do harm�onico n�ao estacion�ario�

CAP�ITULO �

Redes Neurais Arti�ciais �RNA�

�� Introdu�c�ao

Com o desenvolvimento tecnol�ogico� computadores cada vez mais poderosos foram criados e

postos a prova pelos cientistas a realizarem tarefas que s�ao simples para os humanos� Baseado

em exemplos e com a ajuda de um professor! n�os podemos reconhecer as letras do alfabeto�

separar objetos pela sua forma� etc� Mesmo sem o professor! n�os temos a capacidade de

agrupar padr�oes similares� O �org�ao respons�avel pelo armazenamento e processamento de

informa�c�oes �e o c�erebro�

O desenvolvimento de redes neurais arti�ciais iniciou se na d�ecada de �� motivado pelo

desejo de entender e reproduzir computacionalmente as fun�c�oes do c�erebro� Limita�c�oes no

m�etodo de aprendizagem e o suporte computacional da �epoca �zeram com que a t�ecnica

fosse pouco explorada�

Recentemente as pesquisas na �area de redes neurais foram retomadas� Este fato ocorreu

devido ao surgimento de novas t�ecnicas de treinamento para redes com arquiteturas mais

so�sticadas� computadores mais r�apidos para o processamento de dados� e tecnologia dis

pon��vel para a produ�c�ao de hardware para redes neurais� Hoje as redes neurais s�ao aplicadas

a v�arios campos de pesquisa� Na engenharia el�etrica elas s�ao aplicadas em processamento

de sinais e teoria de controle� Na ci�encia da computa�c�ao se �rmou como uma ferramenta

poderosa nas �areas de intelig�encia arti�cial e reconhecimento de padr�oes� Para a matem�atica

aplicada� as redes neurais s�ao utilizadas para resolver problemas de modelamento que n�ao

possuam de forma expl��cita a fun�c�ao que relaciona as vari�aveis envolvidas�

Como vimos anteriormente as redes neurais possuem um vasto campo de aplica�c�ao nas

diversas �areas do conhecimento� mas a quest�ao at�e agora n�ao respondida �e� O que �e uma

Rede Neural"

Se entende por Rede Neural Arti�cial um sistema de processamento de informa�c�oes que

possui certas caracter��sticas em comum com as redes neurais biol�ogicas �Fausett� �� Ela

�e caracterizada por� seu padr�ao de conec�c�ao entre os neur�onios �chamado de arquitetura��

�

�

seu m�etodo de determina�c�ao dos pesos das conex�oes �chamado de treinamento� ou aprendi�

zagem�� e sua fun�c�ao de ativa�c�ao� Vejamos um pouco mais nas se�c�oes seguintes�

�� Neur�onio Biol�ogico

O funcionamento do c�erebro humano constitui um fen�omeno de alta complexidade� que mes

mo com toda a tecnologia alcan�cada at�e este mil�enio� ainda falta muito a ser desvendado�

O ponto de partida para o entendimento do c�erebro humano foi dado por Ram�on Y Caj�al

�� que introduziu a id�eia do neur�onio como estrutura elementar constituinte do c�erebro��E sabido da neuro�siologia que o c�erebro humano cont�em de �� at�e �� neur�onios inter

conectados massivamente formando uma grande rede� Na �g�� apresentamos uma vis�ao

esquem�atica de um neur�onio biol�ogico�

Figura �� Figura esquem�atica do neur�onio biol�ogico� �a� estrutura esquem�atica

do neur�onio� �b� amplia�c�ao das sinapses simpli�cadas

� O soma �e o corpo da c�elula nervosa elementar ou neur�onio� nele ocorre a s��ntese de

prote��nas necess�aria �a sobreviv�encia da mesma� ai ocorre a soma das excita�c�oes�

� O ax�onio �e o canal de sa��da�

� Os dendritos s�ao respons�aveis por ligar o neur�onio a outros neur�onios� Existe cerca

de �� a �� dendritos por neur�onio� Os dendritos servem como acessos de entrada de

outros neur�onios atrav�es de contatos especiais chamados de sinapses�

�

� As sinapses funcionam como interface de liga�c�ao entre dois neur�onios e tem a capaci

dade de mudar o potencial do dendrito em positivo ou negativo� Quanto a natureza as

sinapses podem ser de a�c�ao excitat�oria ou inibit�oria�

Vamos analisar o comportamento de um �unico neur�onio� O neur�onio recebe sinais

el�etricos de v�arios outros neur�onios atrav�es dos dendritos� Estes sinais el�etricos tamb�em

conhecidos como impulsos nervosos ou potencial de a�c�ao s�ao combinados no soma atrav�es

de uma fun�c�ao resposta n�ao linear� e se a amplitude do sinal combinado resultante atingir

um limiar de disparo� o neur�onio produz um sinal de sa��da �sinais na forma de um trem de

pulsos� que seguir�a ent�ao pelo ax�onio at�e uma conex�ao sin�aptica� onde ocorre uma transfor

ma�c�ao do sinal el�etrico num sinal qu��mico e que ao chegar no dendrito de outro neur�onio �e

convertido novamente para um sinal el�etrico� reiniciando o processo� O sinal de entrada em

uma sinapse excitat�oria aumenta a raz�ao de pulsos� enquanto que numa sinapse inibit�oria

diminui a raz�ao de pulsos�

�� Modelo Articial

Os neur�onios arti�ciais s�ao unidades de processamento que tentam simular a estrutura e a

fun�c�ao dos neur�onios biol�ogicos� Na �g�� apresentamos o modelo de um neur�onio arti�cial�

yk

x�

�

x�

xp wkp�k

wk�

wk�

uk��

��

��

Figura �� Neur�onio Arti�cial

Podemos identi�car neste modelo� os seguintes elementos�

� Os v�arios sinais de entrada xi�

�

� Um conjunto de sinapses que s�ao caracterizadas� cada uma� por um peso wk�

� Um somador que realiza o somat�orio do produto do sinal de entrada pelo peso da

sinapse correspondente�

� Uma fun�c�ao de ativa�c�ao ��em geral n�ao linear� que limita a amplitude do sinal de

saida do neur�onio� Normalmente as amplitudes de sa��da s�ao normalizadas de #��$ ou

de # ��$�

� Liminar de ativa�c�ao ou disparo� representado atrav�es do Threshold �� tamb�em chamado

de o�set ou bias� que tem a fun�c�ao de deslocar a origem da fun�c�ao de ativa�c�ao�

� O sinal de sa��da yk�

Um sinal de entrada xj ao chegar na respectiva sinapse j do neur�onio k� recebe um peso

wkj e ent�ao segue para o somador� onde ocorrer�a uma combina�c�ao linear dos valores de todas

as entradas pelos seus respectivos pesos� tendo como valor de saida�

uk %pX

j��

wkjxj ��

Esse novo sinal combinado passa ent�ao pela fun�c�ao de ativa�c�ao tendo como resposta a

sa��da yk�

yk % ��uk � �k� ��

O primeiro neur�onio arti�cial foi criado por McCulloch e Pitts �� e �e conhecido na

literatura como o modelo de McCulloch Pitts�

Neste modelo uma soma ponderada de todas as entradas �e comparado com �j� se o

resultado do somat�orio for maior que �j� ent�ao a fun�c�ao de ativa�c�ao retorna como sa��da

o valor �� caso contr�ario o valor ser�a �� Associa�c�ao simples destes neur�onios n�ao possui

capacidade de aprendizagem e generaliza�c�ao�

�� Perceptron

O Perceptron foi criado por Rosenblatt �� baseado no modelo de McCulloch Pitts� A

inova�c�ao nesse modelo �e a capacidade de aprendizagem� A sa��da do neur�onio �e comparada

com a sa��da desejada correspondente �a entrada� gerando um sinal de erro ej� Este sinal de

erro �e ent�ao utilizado para ajustar os pesos sin�apticos atrav�es da seguinte regra�

�

w�n� �� % w�n� � �#d�n�� y�n�$x�n� ��

onde�

n identi�ca a itera�c�ao� n%��

w �e o vetor de pesos

x �e o vetor com os valores de entrada

y �e o vetor com os valores de sa��da

d �e o vetor com os valores desejados

� �e uma constante positiva denominada taxa de aprendizagem�

O prop�osito do modelo perceptron �e classi�car padr�oes linearmente separ�aveis� O al

gor��tmo de treinamento do perceptron se encontra no ap�endice A�

�� Adaline e Madaline

O Adaline �adaptive linear neuron� foi criado por Widrow e Ho� na mesma �epoca em

que Rosenblatt criou o Perceptron� Mais adiante criou se uma rede de estrutura complexa

constando de v�arios Adalines� esta rede foi denominada MADALINE �Many Adaline��

O modelo Adaline consiste de um combinador linear para os valores de entrada� utiliza

como fun�c�ao de ativa�c�ao a fun�c�ao degrau� Os pesos e o threshold s�ao ajustados utilizando o

algor��tmo adaptativo que �cou conhecido como regra Delta de Widrow Ho�� Este algor��tmo

foi respons�avel pelo grande avan�co no estudos de redes a partir da d�ecada de ��

�� Redes Multicamadas MLPs�

A rede MLP �Multilayer Perceptron� constitue uma generaliza�c�ao do modelo perceptron de

uma �unica camada� A MLP �e formada por uma camada de entrada� uma ou mais camadas

escondidas e a camada de sa��da �g�� A MLP difere do modelo perceptron n�ao s�o pela

estrutura de mais de uma camada� mas pelo tipo de fun�c�ao de ativa�c�ao� que para este caso

n�ao se restringe s�o a fun�c�ao degrau� e em rela�c�ao ao algor��tmo de aprendizagem a MLP utliza

o m�etodo de retro propaga�c�ao do erro�

A MLP possui tr�es caracter��sticas distintas�

� Cada neur�onio na rede tem como fun�c�ao de ativa�c�ao� uma fun�c�ao n�ao linear diferen

ci�avel� A fun�c�ao utilizada mais comum �e a fun�c�ao sigm�oide�

sa��da

��

��

Camada de Camada dePrimeiracamadaescondida

Segunda

escondidacamadaentrada

Figura �� Rede MLP com duas camadas escondidas

yj %�

� � e�uj

onde uj �e chamado de n��vel de atividade interna e yj �e a sa��da do neur�onio�

� A rede cont�em uma ou mais camadas escondidas de neur�onios� Estes neur�onios es

condidos capacitam a rede a aprender problemas de maior complexidade extraindo

progressivamente mais caracter��sticas dos vetores de entrada�

� A rede exibe um alto grau de conectividade� determinado pela quantidade de pesos

sin�apticos�

Tanto os neur�onios da camada escondida como os neur�onios da camada de sa��da na MLP�

realizam duas opera�coes� A primeira diz respeito ao c�alculo do est��mulo de sa��da para cada

neur�onio� a segunda opera�c�ao �e o c�alculo do gradiente do erro local com respeito aos pesos

para cada neur�onio� Um fato a ser destacado �e que o est��mulo de sa��da de um neur�onio que

n�ao esteja na camada de sa��da ser�a o sinal de entrada para o neur�onio na camada seguinte�

Desta forma o sinal se propaga no sentido entrada sa��da da rede� por isso s�ao conhecidas

como redes n�ao recorrentes ou feedforward� Enquanto que o sinal do erro� no algor��tmo de

retro propaga�c�ao do erro� se propaga na dire�c�ao contr�aria�

�� RBF � Radial Basis Function

As redes de fun�c�oes de base radial recebem este nome devido ao fato que as mesmas possuem

fun�c�oes gaussianas na camada escondida� Estas redes apresentam a camada de entrada�

uma �unica camada escondida com fun�c�ao de ativa�c�ao n�ao linear� e a camada de sa��da com

um combinador linear� A �loso�a do treinamento das RBFs �g�� pode ser comparado

com um problema de ajuste de dados no espa�co multidimensional� como consequ�encia o

aprendizado �e equivalente a encontrar a superf��cie no espa�co multidimensional que produz o

ajuste �otimo aos dados de treinamento� A generaliza�c�ao �e equivalente a usar esta superf��cie

multidimensional para interpolar os dados de teste �Haykin� ��

Camada de

y

entradaCamada desa��da

��

��

��

��

Camadaescondidacom as fun�c�oesde base raidial

x�

xp

xp��

x�w�

��

wj

wN

� % �

w� % b�

�

�

Figura �� Rede de fun�c�oes de bases radiais

Uma RBF �e uma fun�c�ao multidimensional que depende da dist�ancia r % jjx� cjj �onde

jj � jj� �e a norma do vetor� entre o vetor de entrada x e o centro da fun�c�ao c �Cichocki

e Unbehauen� �� As fun�c�oes de base na camada escondida s�ao as fun�c�oes gaussianas

que geram respostas n�ao nulas somente quando o sinal de entrada se encontra em uma

pequena regi�ao em volta do centro da fun�c�ao� Esta regi�ao de atra�c�ao �e conhecida como

campo receptivo�

A equa�c�ao do sinal de sa��da numa RBF �e dado por�

y %hXi��

wi��jjx�k�� cijj� ��

onde ci � � �i % �� h� s�ao os centros do espa�co de entrada� e x�k�%#x�� x�� xn$ �e

o vetor de entrada�

As fun�c�oes de base radial mais comuns s�ao�

��

��r� % e�r�

��

��r� % r� log�r� ��

��r� % ��q�r� � ��

��r� %�q

�r� � ��

onde r �e a dist�ancia ao centro receptivo e � �e vari�ancia do campo receptivo�

O desempenho das redes RBFs dependem de tr�es par�ametros� a vari�ancia� os pesos

e os centros� A depend�encia �e maior em rela�c�ao aos centros� O m�etodo mais utilizado

na determina�c�ao dos centros e da vari�ancia �e a t�ecnica de treinamento n�ao supervisionado

chamada K nearest neighbor rule� Esta consiste em discretizar o espa�co de entrada em

grupos e o tamanho de cada grupo �e obtido a partir da estrutura dos dados de entrada� Os

centros dos grupos s�ao os centros das RBFs e a dist�ancia entre os grupos �e a vari�ancia da

gaussiana �Principe� Lefebvre e Lynn� ��

�� M�etodos de Aprendizagem

As redes neurais arti�ciais s�ao modelos criados com base nos neur�onios naturais a�m de

simular� pelo menos parcialmente� a estrutura e fun�c�oes do c�erebro e sistemas nervosos

das criaturas vivas� Entre as propriedades de uma rede arti�cial a mais importante �e a

capacidade de aprendizado� na qual ela aprende a respeito de seu ambiente atrav�es de um

processo iterativo de ajuste aplicado a seus pesos sin�apticos e threshold�

Segundo Mendel e McLaren �� a aprendizagem �e um processo pelo qual os par�ame

tros livres de uma rede neural s�ao adaptados atrav�es de um processo cont��nuo de simula�c�ao

do ambiente no qual a rede est�a inserida� O tipo de aprendizagem �e determinado pela

maneira que os par�ametros livres s�ao mudados�

Assim como para o ser humano existe v�arios meios de se fazer aprender sobre um deter

minado assunto ou tarefa� tamb�em para as redes arti�ciais existe os m�etodos de treinamento�

que visam o aprendizado da rede para uma certa tarefa!� A seguir descreveremos sobre os

m�etodos de treinamento e abordaremos alguns dos algor��tmos de treinamento mais comuns

utilizados em redes neurais�

�� Treinamento Supervisionado

O treinamento supervisionado tem como caracter��stica um professor� conhecedor do ambien

te� representado por um conjunto de treinamento consistindo de dados de entrada e suas

��

respectivas sa��das desejadas ou alvo� Desta forma os pesos s�ao ajustados em fun�c�ao do vetor

de treinamento e do sinal de erro� Este sinal de erro �e representado pela diferen�ca entre a

resposta desejada e a resposta da rede correspondente a uma dada entrada� Este processo de

apresentar �a rede o conjunto de entrada e as respectivas sa��das desejadas �e repetido at�e que

a rede adquira o conhecimento do ambiente� Na �g�� apresentamos um bloco diagrama

mostrando o treinamento supervisionado�

Sinal de erro

Professor

desejadaReposta

&

�

da redeResposta

aprendizagemSistema de

Ambiente

Figura �� Bloco diagrama do treinamento supervisionado�

�� Treinamento N�ao Supervisionado

No treinamento n�ao supervisionado � n�ao existe um professor que apresente �a rede a sa��da

desejada� conforme �g�� Somente os padr�oes de entrada s�ao apresentados �a rede durante

o treinamento� Os pesos s�ao ajustados automaticamente de forma a agrupar os padr�oes de

entrada em grupos com caracter��sticas similares� Depois� um est��mulo �e aplicado �a rede que

fornece como resposta um novo sinal que indica a que grupo o est��mulo pertence� Se n�ao

existir um grupo correspondente� ent�ao um novo grupo �e gerado�

Ambiente aprendizagemSistema de

Figura �� Bloco diagrama do treinamento n�ao supervisionado�

��

�� Treinamento Refor�cado

�E um caso especial do treinamento supervisionado� Al�em de ter o professor! para apre

sentar a sa��da desejada� ele possui um cr��tico! para avaliar a qualidade da sa��da da rede

correspondente a uma determinada entrada� Como exemplo temos o Algor��tmo Gen�etico�

Na �g�� apresentamos o bloco diagrama do treinamento refor�cado�

aprendizagem

conhecimento

Ambiente

Elemento da

Cr��tico

aprendizagem

Sistema de

desempenhodo elemento

refor�coprim�erio

heur�sticorefor�co

A�coesbase do

Figura �� Bloco diagrama do treinamento refor�cado�

�� Modos de Treinamento

No treinamento de um rede existe duas formas de se apresentar o conjunto de treinamen

to� A primeira �e apresentar cada exemplo de treinamento por vez durante o processo de

aprendizagem� a segunda �e chamada de epoca e consiste numa apresenta�c�ao completa de

todo o conjunto de treinamento durante o processo de aprendizagem� Estas duas formas de

apresenta�c�ao s�ao classi�cadas em dois modos de treinamento� a saber�

� Modo On�line neste modo� o algor��tmo de treinamento ir�a atualizar os pesos ap�os

a apresenta�c�ao de cada modelo� Considerando uma �epoca constituida de N modelos

de treinamento arrumados em ordem #x�� d�� x�N�� d�N�$� o primeiro modelo

que ser�a apresentado �a rede ser�a o par #x�� d��$� Ent�ao conforme o processo de

aprendizagem� o erro ser�a calculado para este modelo e em seguida os pesos ser�ao

��

ajustados� O treinamento continua com a apresenta�c�ao do par #x�� d��$ at�e o �ultimo

modelo #x�N�� d�N�$�

� Modo em Batch neste modo� o algor��tmo de treinamento ir�a atualizar os pesos ap�os a

apresenta�c�ao de todos os modelos� ou seja� de cada �epoca� Neste modo de treinamento

o erro calculado pela rede a cada �epoca� �e o erro m�edio do conjunto�

Do ponto de vista operacional o modo on line �e mais vantajoso do que o modo em batch�

isto porque ele requer menor espa�co para a armazenagem das conec�c�oes sin�apticas �Haykin�

�� al�em de evitar a converg�encia para poss��veis m��nimos locais durante o treinamento

da rede� Contudo a escolha do modo para um bom desempenho do treinamento depender�a

do tipo do problema estudado�

�� Algor��tmos de Aprendizagem

�� Regra Delta de Widrow�Ho�

O algor��tmo Regra Delta de Widrow Ho�� tamb�em denominado de algor��tmo LMS �Least

Mean Square�� foi desenvolvido primeiramente para o treinamento do modelo Adaline e �e

descrito a seguir� Para um neur�onio qualquer da rede� temos que�

u %pX

k��

wkxk ��

e

y % ��u� ��

O sinal de erro �e dado pela express�ao�

e % d � u ��

a fun�c�ao custo que de�ne o erro quadr�atico m�edio �e

J %�

�E#e�$ ��

onde E �e o operador esperan�ca matem�atica� Substituindo a eq�� e eq�� na eq��

e expandindo temos�

��

J %�

�E#d�$�E

�pX

k��

wkxkd

��

�

�E

�� pXj��

pXk��

wjwkxjxk

��

Como o operador E �e linear e assumindo os pesos como constantes podemos reescrever a

express�ao �� de modo que�

J %�

�E#d�$�

pXk��

wkE#xkd$ ��

�

pXj��

pXk��

wjwkE#xjxk$ ��

renomeando�

a esperan�ca do valor quadr�atico m�edio da resposta desejada d para�

rd % E#d�$

A fun�c�ao correla�c�ao cruzada entre a resposta desejada d e o sinal de entrada xk para�

rdx�k� % E#dxk $ k % �� p

e a fun�c�ao de autocorrela�c�ao dos sinais de entrada para�

rx�j� k� % E#xjxk$ j� k % �� p

Podemos reescrever de forma mais simpli�cada a eq��

J %�

�rd �

pXk��

wkrdx�k� ��

�

pXj��

pXk��

wjwkrx�j� k� ��

O plot da fun�c�ao custo �J� em fun�c�ao dos pesos� fornece a superf��cie de erro� O objetivo

do treinamento �e encontrar o conjunto de pesos �otimos de forma que o valor de J seja m��nimo�

para isso calcularemos o gradiente da fun�c�ao J com rela�c�ao ao peso wk e igualaremos a zero�

rwkJ % � k % �� p ��

��

rwkJ % �rdx�k� �pX

j��

wjrx�j� k� k % �� p ��

pXj��

wojrx�j� k� % rdx�k� k % �� p ��

A equa�c�ao a cima �e chamada de equa�c�ao de Wiener Hopf� onde woj representa o conjunto

�otimo de pesos wj� O sistema de equa�c�oes de Wiener Hopf pode ser resolvido utilizando o

m�etodo do gradiente� que consiste em ajustar os pesos de forma iterativa com o objetivo de

se chegar �a solu�c�ao �otima�

Pelo m�etodo do gradiente o ajuste aplicado aos pesos na en�esima itera�c�ao �e feito utilizando

um fator de corre�c�ao dado por�

'wk�n� % ��rwkj�n� k % �� p ��

onde � �e uma constante positiva chamada de taxa de aprendizagem� Os valores dos pesos

s�ao atualizados levando em considera�c�ao os valores antigos e o fator de corre�c�ao� ou seja�

wk�n� �� % wk�n� � 'wk�n� ��

wk�n� �� % wk�n�� rwkJ�n� ��

tendo como resultado �nal�

wk�n� �� % wk�n� � �

��rdx�k��

pXj��

wj�n�rx�j� k�

�� k % �� p ��

O Algor� tmo Regra Delta de Widrow�Ho�� utliza as estimativas instant�aneas das

fun�c�oes de autocorrela�c�ao rx�j� k� e da fun�c�ao de correla�c�ao cruzada rxd�k�� sendo que�

�rx�j� k�n� % xj�n�xk�n� ��

�rdx�k�n� % xk�n�d�n� ��

��

Substituindo as express�oes �� e �� na eq�� temos�

�wk�n� �� % �wk�n� � �

��xk�n�d�n� �

pXj��

�wj�n�xj�n�xk�n�

��

% �wk�n� � �

��d�n� � pX

j��

�wj�n�xj�n�

��xk�n�

% �wk�n� � � #d�n� � u�n�$xk�n� k % �� p ��

Apesar de a primeira vista� o m�etodo do gradiente seja muito parecido com o LMS� existe

certas diferen�cas que precisam ser destacadas� como� o m�etodo gradiente os pesos partem de

um valor inicial e ent�ao s�ao atualizados de forma que seguem uma trajet�oria pr�e de�nida ao

longo da superf��cie de erro no sentido de alcan�car o valor wo �otimo� J�a no LMS o vetor �w�n�

�e uma estimativa do vetor w�n� e que segue uma trajet�oria rand�omica� Por esta raz�ao o

LMS �e algumas vezes referido como gradiente estoc�astico� A seguir apresentamos na �g��

um esbo�co do modelo Adaline treinado com o algor��tmo LMS�

�

��

uy

Threshold �

x�

x�

xp

Resposta Desejadad

eErro

Sa�daw�

w�

wp

�

�

Fun�c�aosinal

Figura �� Modelo Adaline�

�� O M�etodo de Retro�Propaga�c�ao do Erro �Back�Propagation�

O m�etodo de retro propaga�c�ao� tamb�em chamado de regra delta generalizada� foi desenvol

vido por Werbos �� redescoberto por Rumelhart et al� ��b� e se popularizou atrav�es

da publica�c�ao de Rumelhart e McClelland �� O m�etodo de retro propaga�c�ao �e utilizado

para o treinamento da rede perceptron multicamada �MLPs Multilayer Perceptrons��

��

Apresentaremos a seguir o m�etodo aplicado a um �unico neur�onio na camada de sa��da j

de uma MLP �g��

yj�n

y� � ��

yi�n

wj��n � �j�n

wji�n

Figura �� Modelo de um neur�onio na camada de sa��da j de uma rede MLP�

O sinal de erro na sa��da do neur�onio j na en�esima itera�c�ao �e dado por

ej�n� % dj�n�� yj�n� ��

o somat�orio do erro quadr�atico para todos os neur�onios da camada de sa��da �e

E�n� %�

�

Xj�C

e�j �n� ��

onde C inclui todos os neur�onios na camada de sa��da� Sendo N o n�umero total de exemplos

no conjunto de treinamento� temos que a fun�c�ao custo �e dada pela express�ao�

Em %�

N

NXn��

E�n� ��

onde Em �e o erro quadr�atico m�edio� O n��vel de atividade interna do neur�onio j represen

tado por uj �e

uj�n� %pXi��

wji�n�yi�n� ��

sendo wj� % � �threshold�� yi s�ao sinais de entrada do neur�onio j referente aos sinais de

sa��da dos neur�onios da camada escondida� onde y� % �� O sinal de sa��da do neur�onio j na

en�esima itera�c�ao �e

�

yj�n� % �j�uj�n��

O m�etodo de retro propaga�c�ao utiliza um fator de corre�c�ao para ajustar os pesos similar

ao gradiente�

'wji % ��E�n�

wji�n��

Utilizando a regra da cadeia podemos escrever�

E�n�

wji�n�%

E�n�

ej�n�

ej�n�

yj�n�

yj�n�

uj�n�

uj�n�

wji�n��

calculando as derivadas temos

E�n�

ej�n�% ej�n� ��

ej�n�

yj�n�% ��

yj�n�

uj�n�% ��j�uj�n��

uj�n�

wji�n�% yi�n� ��

Substituindo os resultados encontrados acima na eq��

E�n�

wji�n�% �ej�n��

�

j�uj�n��yi�n� ��

o fator de corre�c�ao 'wji pode agora ser reescrito como�

'wji % �j�n�yi�n� ��

onde j�n� % ej�n��j�uj�n�� e chamado de gradiente local�

�

Agora vamos estender o conhecimento adquirido para um neur�onio i da camada escondi

da� A atualiza�c�ao dos pesos na camada escondida n�ao pode ser feita utilizando a express�ao

acima� pois o sinal de erro n�ao pode ser calculado diretamente� j�a que n�ao existe resposta

desejada espec��ca para esses neur�onios� Portanto o sinal de erro ser�a calculado a partir

do sinais de erro de todos os neur�onios aos quais o neur�onio i da camada escondida esta

conectado� O gradiente local nesta situa�c�ao �e�

i�n� % �E�n�

yi�n�

yi�n�

ui�n��

% �E�n�

yi�n��k�ui�n��

e

E�n�

yi%Xj

ej�n�

yi�n��

usando a regra da cadeia temos que�

E�n�

yi%Xj

ej�n�ej�n�

uj�n�

uj�n�

yi��

onde

ej�n�

uj�n�% ��j�uj�n��

e

uj�n�

yi% wji ��

Substituindo as eq�� e eq�� na eq��

E�n�

yi% �

Xj

ej�n��

j�uj�n��wji�n� ��

% �Xj

j�n�wji�n� ��

��

O gradiente local para a camada escondida �e dado por�

i�n� % ��i�ui�n��Xj

j�n�wji�n� ��

Por tanto a express�ao para a corre�c�ao dos pesos da camada escondida �e�

'wih�n % �i�n�yh�n� ��

onde o ��ndice h se refere a uma camada �a esquerda da camada i� Esta express�ao pode

ser generalizada para todas as camadas escondidas e para a camada de entrada�

'�s�wkj�n % ��s�k �n�y�s�i �n� ��

para

�s�k �n� % �

�s��

k �uk�n��Xj

�s��j �n�wjk�n� ��

onde s se refere �a camada onde se deseja aplicar a corre�c�ao� No caso de s ser igual a ��

ou seja� a primeira camada� yi % xi que s�ao os vetores de entrada� Desta forma o m�etodo de

retro propaga�c�ao faz a atualiza�c�ao dos pesos partindo da �ultima at�e a primeira camada�

O M�etodo de Retro�Propaga�c�ao do Erro com Momentum

Um grande problema no treinamento de redes �e o fato da superf��cie de erro conter muitos

m��nimos locais e grandes regi�oes planas� O uso de um valor da taxa de aprendizagem �

muito pequeno� causar�a pequenas mudan�cas nos pesos sin�apticos e assegurar�a a converg�encia�

por�em o treinamento se tornar�a lento principalmente em regi�oes planas da superf��cie de erro

e o risco do treinamento convergir para um m��nimo local �e grande� J�a o aumento de �

tornar�a o treinamento mais r�apido� por�em grandes mudan�cas nos pesos sin�apticos tornar�a a

rede inst�avel di�cultando assim a converg�encia� Para se aumentar � e evitar a instabilidade

Rumelhart et al� ��a� inseriu no algor��timo de retro propaga�c�ao um fator chamado de

momentum� A express�ao para a corre�c�ao dos pesos sin�apticos foi modi�cada da seguinte

forma�

��

'wji�n� % �'wji�n� �� j�n�yi�n� ��

onde � �e a constante de momentum�

Quando o gradiente do erro possui o mesmo sinal em passos consecutivos� o fator de

corre�c�ao 'wji tende a crescer em magnitude� assim como os pesos� Logo o momentum tende

a acelerar a converg�encia na mesma dire�c�ao� sem provocar oscila�c�ao�

Quando o gradiente do erro apresenta mudan�ca de sinal em passos consecutivos o fator

de corre�c�ao 'wji tende a diminuir sua magnitude� Logo� o momentum causa um efeito

estabilizador nas dire�c�oes de oscila�c�ao do sinal�

�� Generaliza�c�ao

Quando desejamos treinar uma rede neural para resolver um determinado problema� o pri

meiro passo �e construir um conjunto de treinamento que seja o mais representativo poss��vel

do problema� A conseq�u�encia de n�ao faze lo �e que ap�os o treinamento a rede n�ao estar�a pre

parada para cobrir todas as possibilidades de situa�c�oes existentes no problema� Uma outra

quest�ao a ser discutida� �e quando a rede foi treinada utilizando um conjunto representativo

do problema� por�em� ap�os o treinamento a rede s�o consegiu realizar o mapeamento entra

da�sa��da para o conjunto de treinamento� Neste caso dizemos que a rede n�ao generalizou�

O processo de generaliza�c�ao pode ser entendido melhor atrav�es de um problema de ajuste

de curva �g��

�b�

Dados de treinamento

Mapeamenton�ao linear

Generaliza�c�ao

Entrada

Sa��da

Sa��da

Entrada

Dados de treinamento

Generaliza�c�ao

Mapeamenton�ao linear

�a�

Figura �� a� Os dados sofreram um over�tt� com isso apresenta uma pobre

generaliza�c�ao� �b� Os dados foram �tados adequadamente resultando

numa boa generaliza�c�ao�

��

Portanto uma rede generaliza quando ela �e capaz de realizar o mapeamento entrada�sa��da

para qualquer conjunto de modelos que n�ao tenham sido utilizados em nenhuma fase do

treinamento da rede�

�� Valida�c�ao cruzada

A valida�c�ao cruzada �e um poderoso crit�erio de parada do treinamento� Na valida�c�ao cruzada

�e necess�ario utilizar um conjunto de teste que pode ser formado tanto por um subconjunto

do arquivo de treinamento ��e comum se utilizar de �� a ��(�� ou um arquivo separado�

No treinamento com a valida�c�ao cruzada� o erro quadr�atico m�edio �e calculado tanto para

os modelos de treinamento como para os de teste� A melhor generaliza�c�ao alcan�cada ser�a

quando o erro quadr�atico m�edio para os modelos do conjunto de teste come�car a aumentar�

Treinamento

Epoch

ErroQuadr�aticoM�edio

Teste

P

Figura �� Valida�c�ao Cruzada curva do erro quadr�atico m�edio para o conjunto

de treinamento e para o conjunto de teste�

Na �g�� P representa o ponto �otimo de generaliza�c�ao� ou seja� se o treinamento

continuar a partir deste ponto a rede tender�a a decorar! o conjunto de treinamento�

�� Aproximador de fun�c�oes

Em �� o matem�atico russo Kolmogorov publicou um teorema relativo a representa�c�ao de

fun�c�oes cont��nuas que pode ser diretamente adaptado �a redes neurais multicamadas�

Teorema�

Dada a fun�c�ao cont��nua arbitr�aria f � #�� $n � �m� f�x� % y� existe sempre para f � uma

implementa�c�ao exata com uma rede neural de tr�es camadas� sendo a camada de entrada um

��

vetor de dimens�ao n� a camada oculta composta por ��n�� neur�onios� e a camada de sa��da

com m neur�onios representando as m componentes do vetor y�

Por este teorema� o vetor de sa��da ser�a o resultado de�

y %�n��Xj��

gj�zj� ��

e

zj %nXi��

�j)�xi � j � � j ��

onde as fun�c�oes de ativa�c�ao gj�z� e )�x� dependem da natureza das fun�c�oes a serem

implementadas�

�� Hist�orico

O modelo de Warren McCulloch e Walter Pitts apresentado �a comunidade cient��ca em

�� e considerado como a primeria rede neural arti�cial� Eles reconheceram que combi

nando v�arios neur�onios dentro de um sistema neural aumentava o poder computacional� A

caracter��stica da rede de McCulloch Pitts �e a ideia de um threshold� sempre que a entrada

da rede for maior do que o threshold o neur�onio dispara um sinal de ativa�c�ao� Donald Hebb�

f��sico da McGill University� foi o primeiro a desenvolver uma regra de aprendizagem para

as redes neurais arti�ciais� no ano de �� Ele partiu da suposi�c�ao que� se dois neur�onios

fossem ativados simult�aneamente� ent�ao o peso da conex�ao entre eles deveria aumentar�

As d�ecadas de �� e �� s�ao tidas como as d�ecadas de ouro das redes neurais� No per��odo

de �� a �� Frank Rosenblat apresentou e desenvolveu uma grande classe de redes neurais

arti�ciais chamada Perceptrons� A regra de aprendizagem dos perceptrons usa um processo

iterativo para ajustar os pesos mais poderoso do que a regra de Hebb� Bernard Widrow e

seu estudante Marcian Ho�� em �� desenvolveram a Regra Delta� A regra delta foi um dos

maiores avan�cos para o desenvolvimento das redes neura��s arti�ciais� A rede desenvolvida

por Widrow Ho� �e conhecida como ADALINE� que �e interpretado como Adaptive Linear

Neuron ou Adaptive Linear System�

A d�ecada de �� representou o per��odo de calmaria para as redes� Teuvo Kohonen ��

introduziu as Redes Neurais Arti�ciais como Mem�oria Associativa� James Anderson tamb�em

em �� desenvolveu estudos sobre as redes como mem�oria associativa� Estas redes tem co

mo �area de aplica�c�ao o diagn�ostico m�edico� Nesta d�ecada tamb�em� Stephen Grossberg e

��

Gail Carpenter desenvolveram a teoria sobre Redes Neurais de Auto�Organiza�c�ao tamb�em

chamada Teoria da Ressonancia Adaptativa�

Na d�ecada de � volta o est��mulo ao estudo e aplica�c�oes das RNAs� O M�etodo de Retro

Propaga�c�ao do Erro desenvolvido por Werbos em �� por�em n�ao muito divulgado� foi

redescoberto independentemente por Parker�� e por LeCun �� Contudo o m�etodo

ganhou fama a partir dos trabalhos publicados por Rumelhart e seus colegas Williams e

McClelland� John Hop�eld �Pr�emio Nobel de F��sica� junto com David Tank desenvolveram

diversas redes baseadas em pesos �xos e ativa�c�oes adaptativas� Kunihiko Fukushima e seus

colegas do NHK Laboratories em Tokyo tem desenvolvido uma s�erie de redes especializadas

no reconhecimento de padr�oes� Uma das redes �e chamada de neocognitron� Atualmente

um n�umero consider�avel de pesquisadores tem sido envolvidos no desenvolvimento de redes

neurais n�ao determin��sticas� que s�ao redes nas quais os pesos e a ativa�c�ao mudam com base na

fun�c�ao probabilidade de densidade #Kiekpatrick� Gelatt� * Vecchi� �� Geman * Geman�

�� Ackley� Hinton� * Sejnowski� �� Szu * Hartley� ��$� Estas redes incorporam

id�eias cl�assicas como simulated annealing e teoria da decis�ao de Bayesian� Outro grande

desenvolvimento para redes �e a sua implementa�c�ao em hardware�

CAP�ITULO �

Eletroresistividade


A resist�encia oferecida por um material �a passagem de um �uxo de corrente atrav�es do

mesmo �e conhecido como resistividade� o fen�omeno contr�ario �e chamado de condutividade�

Na prospec�c�ao geof��sica essas propriedades dos materiais s�ao a base dos m�etodos el�etricos e

eletro magn�eticos�

A condu�c�ao de corrente el�etrica nos minerais se d�a por dois processos� eletr�onico ou

i�onico� Com base nestes processos os s�olidos podem ser subdivididos em metais �Ex� cobre�

ouro�� semi condutores �Ex� sulfetos� e s�olidos eletrol��ticos �Ex� silicatos� �Keller e Fris

chknecht� �� Em uma rocha a passagem de um �uxo de corrente n�ao depende apenas

das propriedades dos minerais que a constitui� em virtude de nos minerais encontramos os

vazios ou poros� e estes poros podem se apresentar parcialmente ou totalmente preenchidos

por uma solu�c�ao de �agua e sais dissolvidos� Para o caso em que n�ao ocorra uma grande con

centra�c�ao de minerais met�alicos na rocha� a passagem da corrente se dar�a prefer�encialmente

pela solu�c�ao�

Conrad Schlumberger foi o primeiro a introduzir correntes el�etricas na terra� atrav�es da

distribui�c�ao de potencial medida na superf��cie a �m de estudar a subsuperf��cie� Sua id�eia

foi comparar a distribui�c�ao de potencial conseguida por uma corrente aplicada �a terra real�

com a distribui�c�ao que existiria se a terra fosse homog�enea �Kunetz� �� Com base nestes

estudos surgiu o m�etodo de eletroresistividade que foi aplicado pela primeira vez em ��

para o prospec�c�ao de ferro na Normandia�

�� M�etodo de Eletrorresistividade � Sondagem El�etrica Vertical

SEV�

O m�etodo de eletrorresistividade utiliza fontes arti�ciais que geram correntes �cont��nua ou

alternada de baixa frequ�encia�� as quais s�ao introduzidas na terra atrav�es de eletrodos� O

m�etodo se prop�oe� utilizando as medidas da distribui�c�ao de potencial causado pelas correntes

��

��

induzidas� extrair informa�c�oes a respeito da distribui�c�ao de resistividade em subsuperf��cie�

A express�ao que relaciona a resistividade com o potencial el�etrico� �e deduzida assumindo

um modelo de um semi espa�co condutor com a fonte na superf��cie �ver ap�endice A��

V %I�

��

r��

Para a medida de difer�en�ca de potencial entre dois pontos M e N causado por um �uxo

de corrente I transmitida �a terra por uma fonte atrav�es de dois eletrodos de corrente A e

B� sendo adotado para A �entrada� um sinal positivo e para B �sa��da� um sinal negativo

Fig��

r4=BN

A B

M N

I

V

r1r2

r3r4

r1=AM

r2=BM

r3=AN

Figura �� Arranjo

temos que

VM %�I

��

�

r��

�I

��

�

r�%

�I

��

��

r��

�

r�

��

VN %�I

��

�

r��

�I

��

�

r�%

�I

��

��

r��

�

r�

��

ent�ao

VMN % VM � VN ��

%�I

��

��

r��

�

r��

�

r��

�

r�

��

%�I

��

��

AM�

�

BM�

�

AN�

�

BN

��

��

Esta express�ao pode ser rearrumada para termos o valor da resistividade em fun�c�ao dos

demais par�ametros�

� %��VMN

I

�

�AM

� �BM

� �AN

� �BN

��

ou

� %��VMN

I

�

�AM

� �BM

� �AN

� �BN

��

K %��

�AM

� �BM

� �AN

� �BN

��

onde K �e chamado de fator geom�etrico�

A resistividade acima medida �e aquela para ummeio homog�eneo e isotr�opico� logo ela ser�a

constante em todo o meio estudado para qualquer corrente e arranjo de eletrodos utilizado�

isto �e� para qualquer ponto do meio a raz�ao VMNK

Ipermanecer�a a mesma� No caso de ummeio

heterog�eneo �a terra real�� se mudarmos os espa�camentos dos eletrodos� ou se �xarmos os

espa�camentos e andarmos com o arranjo ao longo da superf��cie do terreno� a raz�ao VMNKI

ir�a

mudar� Obteremos para cada medida um valor diferente para a resistividade� se existirem

varia�c�oes laterais da mesma dentro do meio� Esta quantidade medida �e conhecida como

resistividade aparente �a�

�� Con�gura�c�ao de eletrodos

Como vimos acima a disposi�c�ao dos eletrodos no terreno possui papel fundamental na medida

da resistividade aparente� Diversos arranjos de eletrodos foram pesquisados� apresentamos

na Fig�� os tr�es arranjos mais conhecidos e suas respectivas express�oes de �a�

�� Modelo de n�camadas horizontais

At�e este ponto� calculamos a resistividade da terra utilizando um modelo de um semi espa�co

homog�eneo e condutivo com a fonte na superf��cie� Por�em� sabemos atrav�es de estudos

geol�ogicos� que as rochas no substrato apresentam diversas varia�c�oes de forma quando em

conjunto� formando estruturas complexas� Dentre as v�arias estruturas poss��veis� adotou se

para o modelamento da terra atrav�es da resistividade� o modelo de camadas estrati�cadas

plano horizontais� por motivos de simpli�ca�c�ao matem�atica� A express�ao do potencial para

�

A B

�a �VMNI��a�

b�

b�

�

N

a a a

A BM N

a a

b

Schlumberger

A B M N

a ana

Dipolo�dipolo

�a �VMNI�an�n� ��n� ��

�a �VMNI��a

Wenner

M

Figura �� Arranjo Wenner� Schlumberger e Dipolo dipolo com suas respectivas

express�oes de �a� A e B corresponde aos eletrodos de corrente� M e N

aos de potencial

�

um meio estrati�cado plano horizontal com uma fonte na superf��cie �e encontrada em Sato

�� sendo�

V� %��I

��

��

r�Z�

�

�� G�e

��z�

� �G�e��z��

�J��r�d�

��

onde o ��ndice � corresponde �a primeira camada e G� pode ser obtido recursivamente por�

Gi %�� i��i�Fi� � ��i��i�Fi

Fi %��Gi��e

��hi��

� �Gi��e��hi��

Gi�� % ��

Fn�� % �

Gn % �

Podemos mostrar� a partir destas express�oes� que a express�ao da resistividade aparente

�a para o arranjo Schlumberger considerando o modelo de n camadas plano horizontais �e�

�a�S % ��

��

a

b�

�

�

��a� b��

Z�

�

��G�e

��z�

� �G�e��z��

�J��a� b��d�

� a

b�

�

�

��a� b��

Z�

�

�� G�e

��z�

� �G�e��z��

�J��a� b��d�

��

T�ecnicas de levantamento

No campo o dados de eletroresistividade podem ser coletados utilizando duas t�ecnicas de

levantamento� per�lagem ou sondagem el�etrica vertical�

A per�lagem el�etrica consiste em efetuar as medidas com o objetivo de determinar a

varia�c�ao de resistividade ao longo do terreno� Ela ser�a horizontal quando as medidas forem

tomadas na superf��cie do terreno� e vertical ou inclinada quando as medidas forem tomadas

ao longo de po�cos ou galerias respectivamente�

A sondagem el�etrica vertical tamb�em conhecida como SEV� consiste em efetuar as medi

das na superf��cie com o objetivo de determinar a varia�c�ao da resitividade com a profundidade�

Neste trabalho utilizou se apenas dados de SEV�

��

�� O problema inverso para dados de SEV

O problema inverso em eletroresistividade consiste em atrav�es dos dados de resistividade

aparente ��a� e afastamento de eletrodos �AB�� coletados em campo� se obter os par�ametros

resistividade �i e espessura hj das camadas em subsuperf��cie� onde i e j variam da seguinte

forma� i%��N e j%��N �� sendo N o n�umero de camadas�

Para se conseguir chegar ao vetor �otimo de par�ametros estimados que reproduza os dados

de campo� �e feita uma pesquisa no dom��nio ou espa�co de par�ametros a �m de obter aqueles

que forne�cam o menor erro quadr�atico m�edio entre os dados observados e os dados calculados

para o conjunto de par�ametros estimado�

Tradicionalmente o ajuste dos dados calculados e observados �e feito atrav�es da Invers�ao

Linearizada� Este m�etodo procura� a partir de um ponto de partida no espa�co de modelos�

encontrar o melhor vetor de par�ametros que minimize a fun�c�ao do erro quadr�atico entre os

dados observados e calculados� A desvantagem deste m�etodo� est�a na depend�encia de um

modelo de partida que esteja o mais pr�oximo poss��vel da solu�c�ao global� em caso contr�ario

o m�etodo poder�a divergir ou convergir para um m��nimo local�

A express�ao iterativa utilizada na invers�ao linearizada para a atualiza�c�ao do vetor de

par�ametros no sentido dos m��nimos quadrados �e�

mk�� % mk � �GtkGk�

��Gtk�dobs � f�mk��

onde�

mk�� e o vetor de par�ametros da itera�c�ao k�� atualizado�

mk �e o vetor de par�ametros da itera�c�ao k �corrente�

G �e a matriz sensitividade

dobs �e o vetor de dados observados

f�mk� �e o vetor de dados calculados com os par�ametros da itera�c�ao k

O fato de se encontrar o modelo �otimo� n�ao quer dizer que este corresponda ao modelo

real da subsuperf��cie� pois o m�etodo de eletroresistividade apresenta ambiguidade em sua

interpreta�c�ao� Isto quer dizer que n�ao existe solu�c�ao �unica para o problema� ou seja� a

superf��cie de erro na invers�ao poder�a conter dois ou mais m��nimos globais�

�� RNA para o problema de invers�ao

O objetivo deste cap��tulo �e utilizar as RNAs para o problema de invers�ao de dados de SEVs�

Foram adotados� para o treinamento de uma rede multicamada �MLP�� dados sint�eticos de

��

SEV com arranjo Schlumberger de eletrodos para modelos de tr�es camadas�

�� O conjunto de dados

Uma primeira quest�ao a ser abordada no treinamento de redes �e a escolha de um conjunto de

exemplos para treinamento que seja representativo do problema que se deseja abordar� Por

isso os dados sint�eticos de resistividade aparente foram gerados aleatoriamente utilizando

par�ametros que variaram na seguinte faixa de valores� �� i � �� + e � � hj � ��m�

Foram gerados conjuntos de treinamento com �� e �� modelos�

�� A topologia

A escolha da topologia �e fator decisivo no treinamento� pois a capacidade das RNAs em

solucionar um problema �e determinada pela topologia e pelos pesos das conex�oes sin�apticas�

Utilizamos uma MLP com � camada escondida� A�m de encontrarmos o n�umero �otimo de

neur�onios na camada escondida� realizamos testes variando este n�umero de �� a �� neur�onios�

�� O treinamento

O treinamento foi feito utilizando o software Neurosolution� Nele diversos testes foram

realizados com a rede MLP� tendo como algor��timo de treinamento o retro propaga�c�ao do

erro com momentum� Foi adotada como fun�c�ao de ativa�c�ao� para todos os neur�onios� a

fun�c�ao sigm�oide� Este software apresenta a vantagem de se poder alterar os par�ametros do

treinamento� mesmo depois deste j�a iniciado� Os referidos par�ametros podem ser divididos

em duas classes�

� Par�ametros do algor��tmo de retro propaga�c�ao do erro com momentum

�� Taxa de aprendizado Controla a velocidade de aprendizado da rede� Se este

valor for muito pequeno o aprendizado da rede ser�a lento� por�em se for muito

grande pode ocorrer ocscila�c�oes ou at�e diverg�encia no treinamento�

�� Constante de momentum adiciona ao gradiente certa quantidade de in�ercia�

Sua maior contribui�c�ao esta em dar ao gradiente a abilidade de escapar de m��nimos

locais

� Par�ametros da fun�c�ao de ativa�c�ao�

��

�� Beta Especi�ca a inclina�c�ao da fun�c�ao de ativa�c�ao

�� Bias mean Quando a rede �e randomizada� os bias s�ao randomizados em torno

de um valor m�edio e dentro de uma faixa de varia�c�ao� Este par�ametro especi�ca

o valor m�edio em torno do qual os valores ser�ao randomizados�

�� Bias variance Este par�ametro especi�ca a faixa de varia�c�ao em que os valores

do bias ser�ao randomizados�

A randomiza�c�ao dos valores� ocorre na inicializa�c�ao da rede ou ap�os cada reini

cializa�c�ao�

A rede foi treinada utilizando conjuntos de treinamento de �� e �� modelos� o modo

de treinamento adotado foi o modo em batch� Os dados antes de entrarem na rede sofreram

um pr�e processamento� onde lhes foram aplicados a fun�c�ao Ln �logar��timo neperiano� a�m de

reduzir o teor de n�ao linearidade inerente ao problema de resistividade� Tamb�em os dados

de treinamento e valida�c�ao foram normalizados automaticamente pelo programa antes do

treinamento�

Foram testadas v�arias topologias para os dois conjuntos de treinamento� A rede que

alcan�cou melhor generaliza�c�ao no treinamento foi uma rede MLP com uma camada escondida

contendo �� neur�onios treinada com um conjunto de �� modelos� Apresentamos na �g��

uma vis�ao esquem�atica da topologia escolhida�

�a��

��

��

��

h�

h�

�a�

�a�

��

��

Camada escondida

com �� neur�onios

Camada

de sa��da

�a�

Camada

de entrada

Figura �� Rede MLP com a topologia �otima alcan�cada mostrando a camada de

entrada com �� resistividades aparentes� a camada escondida com ��

neur�onios� e a camada de sa��da com os � par�ametros do modelo de �

camadas�

��

�� Constru�c�ao e treinamento da MLP no Neurosolution

A constru�c�ao da rede MLP obedeceu as seguintes etapas�

� Arquivo de dados Pelo fato do treinamento da MLP ser supervisionado� deve ser

apresentado �a rede os dados de entrada e suas respectivas sa��das�

� An�alise da rede a forma escolhida para analisar o desempenho da rede foi a valida�c�ao

cruzada� Utilizamos ��( do arquivo de entrada para realizar o teste de valida�c�ao� neste

a rede alcan�car�a o ponto �otimo de generaliza�c�ao quando o erro da valida�c�ao cruzada

aumentar �ver sec�c�ao ��

� Topologia da rede nesta etapa informamos ao programa o n�umero de camadas escon

didas �op�c�ao uma camada escondida��

� Con�gura�c�ao das camadas esta etapa trata do n�umero de neur�onios na camada escon

dida� da fun�c�ao de ativa�c�ao que ser�a usada em uma ou todas as camadas da rede� e da

regra de aprendizado e seus par�ametros� A rede em quest�ao foi constru��da para ter ��

neur�onios na camada escondida� utilizar como fun�c�ao de ativa�c�ao a fun�c�ao sigm�oide� e

treinada pelo algor��timo de retro propaga�c�ao do erro com momentum�

� Controle da simula�c�ao trata do crit�erio utilizado para parar o treinamento� neste ponto

o programa apresenta tr�es op�c�oes� n�umero m�aximo de epochs� ou seja� o n�umero de

vezes que o conjunto de treinamento ser�a apresentado �a rede �valor escolhido ��

epochs�� mudan�ca do erro que pode ser por um aumento no erro ou quando o

mesmo alcan�car um valor m��nimo estipulado �op�c�ao escolhida aumento do erro��

Nesta etapa �e mostrada a op�c�ao de atualiza�c�ao dos pesos� online onde os pesos s�ao

atualizados ap�os a apresenta�c�ao de cada modelo ou batch onde os pesos s�ao atualizados

ap�os a apresenta�c�ao de todo o conjunto de treinamento �op�c�ao escolhida batch��

� Ferramentas gr�a�cas para o acompanhamento do treinamento o Neurosolution dis

ponibiliza cinco pontos na rede nos quais podemos conectar editor de dados� gr�a�cos

de barra� e outros para acopanhar o treinamento �op�c�ao padr�ao��

� Simula�c�ao nesta etapa con�rmamos a constru�c�ao da rede e partimos para o treina

mento propriamente dito�

O treinamento �e a fase onde se gasta tempo e recurso computacional� Como j�a mencio

nado na se�c�ao �� no Neurosolution os par�ametros do treinamento podem ser alterados

durante o mesmo de forma a se buscar o menor erro entre a sa��da da rede e a sa��da desejada�

e isto j�a se constitui uma economia de tempo para o treinamento� Na tabela�� apresenta

mos os par�ametros utilizados no treinamento da MLP visando um menor erro e uma melhor

generaliza�c�ao para o problema�

��

Camada de entrada Camada escondida Camada de sa��da

Taxa de aprendizado ��

Constante de momentum ��

Beta ��

Bias Mean ��

Bias Variance ��

Tabela �� Par�ametros utilizados no treinamento� referentes ao algor��timo de re�

tropropaga�c�ao do erro com momentum e �a fun�c�ao de ativa�c�ao �fun�c�ao

sigm�oide�

Ap�os o treinamento� a rede foi submetida a um conjunto de teste de �� modelos� A sa��da

da rede foi utilizado num programa de modelamento direto para a constru�c�ao de curvas de

resistividade aparente as quais foram plotadas juntamente com as curvas de resistividades

aparentes observadas� Analisaremos agora alguns resultados obtidos�

1

10

100

1000

1 10 100 1000

Res

istiv

idad

e (o

hm.m

)

Afastamento (m)

Modelo 1

"Dados_observados""Modelo_da_rede"

Figura �� Plot contendo os dados observados e o modelo calculado pela rede

Na �g� �� apresentamos o gr�a�co com as curvas do modelo observado e do modelo

calculado a partir da rede� Para estas duas curvas foi calculado o ��ndice de ajuste f atrav�es

da express�ao�

f � P

n

i��aobs�acalc

Pn

i��aobs

�P

n

i��acalc

� ��

Na eq� �� o m�aximo ��ndice de ajuste alcan�cado �e �� As curvas da �g� �� apresen�

taram um ��ndice de ajuste de �� os dados referentes aos dois modelos se encontram

��

na tabela� � �� Nesta tabela apresentamos al�em do valor de cada par�ametro os modelos ob�

servado e calculado� e o erro entre os par�ametros observados e calculados� Dois par�ametro�

�� e h�� apresentaram os maiores erros�

Fonte �� h� h�

Modelo real � ��

Modelo calculado pela rede ��

e � jParobs � Parcalcj ��

Tabela � � Tabela referente aos par�ametros observados e calculados do modelo�

Na �g� �� apresentamos um segundo exemplo contendo a curva de dados observados e

a curvas de dados calculados pelo modelamento direto utilizando a sa��da da rede� O ��ndice

de ajuste entre as curvas para este segundo modelo foi de ��

1

10

100

1000

1 10 100 1000

Res

istiv

idad

e (o

hm.m

)

Afastamento (m)

Modelo 2


Figura �� Plot contendo os dados observados e o modelo calculado pela rede

Os dados referente a este modelo se encontram na tab� �� Dentre os erros calculados

para os par�ametros� o maior corresponde ao da segunda resistividade�


Modelo real ��


e � jParobs � Parcalcj ��

Tabela �� Tabela referente aos par�ametros observados e calculados do modelo

��

�� RNA � invers�ao linearizada

Apesar da rede ter apresentado resultados aceit�aveis� �e notado que o ajuste das curvas n�ao

�e �otimo� Para solucionar este problema adotamos um procedimento combinando a rede

treinada com a invers�ao linearizada� Como a invers�ao depende fortemente de um modelo

inicial� a nossa proposta �e utilizar a sa��da da rede como tal modelo� mostraremos que estes

modelos inicias garantem a converg�encia para o m��nimo global em todos os casos� fornecendo

como resultado os par�ametros reais utilizados na gera�c�ao dos dados sint�eticos�

Primeiramente apresentaremos uma compara�c�ao entre resultados obtidos com a invers�ao

linearizada utilizando o modelo inicial da rede e um modelo inicial qualquer para os modelos

� e �

1

10

100

1000

1 10 100 1000

Res

istiv

idad

e (o

hm.m

)

Afastamento (m)

Modelo 1


"Modelo_da_inversao"

1

10

100

1000

1 10 100 1000

Res

istiv

idad

e (o

hm.m

)

Afastamento (m)

Modelo 1

"Dados_observados""Modelo_inicial"


�a� �b�

Figura �� Plot do modelo � contendo� �a� curva dos dados observados� modelo

inicial dado pela rede� modelo calculados pela invers�ao linearizada� �b�

curva dos dados observados� modelo incial qualquer� modelo calculado

pela invers�ao�

Na �g� �� o modelo invertido partindo do modelo inicial da rede� convergiu com apenas

� itera�c�oes� enquanto que partindo de uma modelo inicial no qual todos os par�ametros apre�

sentavam o dobro do valor real o resultado diverge a partir de � � itera�c�oes� Na tabela� ��

apresentamos o resultado do teste acima� sendo que para o modelo inicial que divergiu os

dados correspondem a invers�ao at�e �� itera�c�oes�

Para o modelo repetimos o mesmo experimento� partindo de um modelo inicial com os

par�amtros sendo o dobro do valor real e partindo do modelo da rede� Para o modelo inicial

da rede a invers�ao linearizada convergiu com apenas quatro itera�c�oes� j�a para o modelo

inicial qualquer a invers�ao divergiu a partir de �� itera�c�oes� Apresentamos na tabela� ��

os resultados do segundo teste� O modelo invertido apresentado na tabela partiu do modelo

inicial qualquer�

��


Modelo real � ��


Modelo inicial qualquer ��

Modelo invertido �sem o uso da RNA� ��

Tabela �� Tabela referente aos par�ametros observados e calculados do modelo�

1

10

100

1000

1 10 100 1000

Res

istiv

idad

e (o

hm.m

)

Afastamento (m)

Modelo 2



1

10

100

1000

1 10 100 1000

Res

istiv

idad

e (o

hm.m

)

Afastamento (m)

Modelo 2

"Dados_observados""Modelo_inicial"


�a� �b�

Figura �� Plot do modelo � contendo� �a� curva dos dados observados� modelo

inicial dado pela rede� modelo calculados pela invers�ao linearizada� �b�

curva dos dados observados� modelo incial qualquer� modelo calculado

pela invers�ao�


Modelo real ��


Modelo inicial qualquer ��

Modelo invertido �sem o uso da RNA� ��

Tabela �� Tabela referente aos par�ametros observados e calculados do modelo

�

Abaixo apresentamos outros modelos invertidos utilizando a resposta da rede como mo�

delo incial�

1

10

100

1000

1 10 100 1000

Res

istiv

idad

e (o

hm.m

)

Afastamento (m)

Modelo 3



1

10

100

1000

1 10 100 1000

Res

istiv

idad

e (o

hm.m

)

Afastamento (m)

Modelo 4



1

10

100

1000

1 10 100 1000

Res

istiv

idad

e (o

hm.m

)

Afastamento (m)

Modelo 5



1

10

100

1000

1 10 100 1000

Res

istiv

idad

e (o

hm.m

)

Afastamento (m)

Modelo 6



1

10

100

1000

1 10 100 1000

Res

istiv

idad

e (o

hm.m

)

Afastamento (m)

Modelo 7



1

10

100

1000

1 10 100 1000

Res

istiv

idad

e (o

hm.m

)

Afastamento (m)

Modelo 8



�

1

10

100

1000

1 10 100 1000

Res

istiv

idad

e (o

hm.m

)

Afastamento (m)

Modelo 9



1

10

100

1000

1 10 100 1000

Res

istiv

idad

e (o

hm.m

)

Afastamento (m)

Modelo 10



��

�� Discuss�ao dos resultados

Nos testes realizados para a invers�ao inicializando�a com um modelo qualquer� veri�cou�

se a depend�encia do m�etodo com os modelos iniciais Em alguns casos n�ao ocorreu a di�

verg�encia� como nos exemplos mostrados acima� mas houve converg�encia para m�nimos locais

�par�ametros estimados diferente dos par�ametros verdadeiros�

Os dados das resistividades aparentes� calculados pelo modelamento direto utilizando os

resultados obtidos pela rede apresentaram um�ndice de ajuste aceit�avel quando comparados

com os respectivos dados das resistividades aparentes observadas� por�em n�ao alcan caram o

�ndice m�aximo Desta forma o modelo gerado pela rede� apesar de pr�oximo� n�ao corresponde

ao m�nimo global da superf�cie de erro quadr�atico� necessitando assim de um agor�timo de

busca local no espa co dos modelos para re�nar a solu c�ao dada pela rede

A utiliza c�ao da resposta da rede como modelo incial para a invers�ao linearizada garantiu

uma converg�encia segura e r�apida para a solu c�ao global

CAP�ITULO �

Par�ametros de Aq�u��feros


A determina c�ao das propriedades hidr�aulicas �porosidade� coe�ciente de armazenamento�

transmissividade� condutividade hidr�aulica� s�ao de grande inport�ancia no dimensionamento

de po cos para a extra c�ao de �agua subterr�anea A t�ecnica utilizada para se deteminar as

propriedades hidr�aulicas �e conhecida como ensaio de bombeamento Nele um po co produtor

�e bombeado a uma taxa constante enquanto se observa o rebaixamento do n�vel piezom�etrico

em um ou mais po cos de observa c�ao �Piez�ometro� A interpreta c�ao �e feita comparando�se a

curva constru�da com os dados do teste �rebaixamento � tempo� com uma curva chamada

curva padr�ao� a qual �e obtida atrav�es das solu c�oes anal�ticas de uma express�ao difer�encial

de segunda ordem� denominada equa c�ao difer�encial do movimento das �aguas

Neste cap�tulo testaremos a aplicabilidade das RNAs para se obter o coe�ciente de ar�

mazenamento e a transmissividade a partir dos dados coletados no ensaio de bombeamento�

para o modelo de um aq�u�fero con�nado submetido a um regime de �uxo n�ao estacion�ario

�� Fundamenta�c�ao Te�orica

Antes de abordarmos o problema propriamente dito� vamos apresentar� de forma resumida�

alguns conceitos importantes para o desenvolvimento do cap�tulo

Um aq�u��fero �e uma camada saturada� forma c�ao� ou grupo de forma c�oes que produz

signi�cativa quantidade de �agua Al�em de aq�u�fero� duas outras denomina c�oes s�ao dadas �as

forma c�oes quanto a sua capacidade de produzir �agua� s�ao elas� aquitarde � camada saturada�

forma c�ao� ou grupo de forma c�oes que produz inapreci�avel quantidade de �agua comparada

ao aq�u�fero� mas que apresenta uma permeabilidade razo�avel� aquiclude � camada saturada�

forma c�ao� ou grupo de forma c�oes que produz inapreci�avel quantidade de �agua e n�ao apresenta

uma permeabilidade razo�avel

Os aq�u�feros podem ser livres ou con�nados Dentre estes dois tipos� iremos concentrar

nossa aten c�ao na descri c�ao dos aq�u�feros con�nados� que s�ao alvo de nosso estudo para este

��

��

cap�tulo

Os aq�u�feros con�nados tamb�em conhecidos como artesianos� s�ao aqueles no qual a �agua

subterr�anea se encontra sobre press�ao Neste tipo de aq�u�fero a camada saturada se encontra

limitada na base e no topo por aquitardes e�ou aquicludes A depender do tipo de camada

limitante� os aq�u�feros con�nados podem ser subdivididos em aq�u�feros semi e totalmente

con�nados �g��

Aq�u��fero

N��vel Piezom�etrico

Aquiclude

Aquiclude

Po�co Artesiano

�a�

Aquitarde

Po�co Artesiano

Superf��cieSuperf��cie


Aquiclude

�b�

Aq�u��fero

Figura �� Aq�u�fero totalmente con�nado �a�� e semi�con�nado �b�

A capacidade que um aq�u�fero tem de armazenar �agua est�a intimamente ligado ao seu

conte�udo de vazios� quanto maior for o conte�udo de vazios� tamb�em chamado poros� maior

ser�a a quantidade de �agua armazenada Uma medida percentual da quantidade de vazios

num aq�u�fero �e dado pela porosidade �� e �e expressa como a raz�ao entre o volume total de

vazios e o volume total da rocha�

� �Vv

Vtot

��

onde Vv �e o volume de vazios e Vtot �e o volume total da rocha Os vazios podem se

apresentar numa rocha com diferentes tamanhos e formas� interconectados ou n�ao Esta va�

riedade est�a ligada aos processos de forma c�ao da rocha� bem como altera c�oes sofridas em sua

estrutura por eventos intemp�ericos ou metam�or�cos que tenham corrido ap�os sua forma c�ao

Estruturalmente� rochas sedimentares� �gneas e metam�or�cas apresentam caracter�sticas dis�

tintas� logo �e de se esperar que a porosidade varie entre estes tipos de rocha Nas rochas

sedimentares a porosidade �e de origem inter�granular� j�a nas rochas metam�or�cas e �gneas

ela est�a relacionada �a presen ca de fraturas Por�em o fato de uma rocha apresentar vazios e

estes vazios estarem preenchidos por �agua� n�ao signi�ca dizer que toda a �agua presente po�

der�a ser retirada Isto porque uma parte da �agua �ca retida nos vazios por for cas de atra c�ao

��

molecular como coes�ao �atra c�ao entre mol�eculas adjacentes de �agua� e ades�ao �atra c�ao entre

as paredes do poro e as mol�eculas de �agua adjacentes�

Como as propriedades gerais dos aq�u�feros s�ao de transmitir� armazenar e produzir �agua�

se faz necess�ario a de�ni c�ao de alguns par�ametros importantes para a de�ni c�ao dessas pro�

priedades�

� Condutividade hidr�aulica�k� � indica a habilidade da �agua �uir atrav�es do aq�u�fero

sobre um gradiente hidr�aulico

� Transmissividade�T� � indica a capacidade do aq�u�fero de transmitir �agua atrav�es de

um faixa vertical de largura unit�aria e espessura igual a espessura da camada saturada

� Coe�ciente de armazenamento�S� � num aq�u�fero con�nado� �e o volume de �agua que

�e adicionado ou retirado de um prisma de base unit�aria� com altura igual a altura da

camada saturada� para se variar a press�ao piezom�etrica de uma unidade Nos aq�u�feros

con�nados S varia de �� at�e ��

Este dois �ultimos par�ametros s�ao muito importantes na hidr�aulica de po cos� pois a trans�

missividade indica quanta �agua poder�a mover�se atrav�es da forma c�ao e o coe�ciente de

armazenamento� indica quanta �agua poder�a ser removida por drenagem ou bombeamento

Um po co �e uma estrutura hidr�aulica que� bem projetado e constru�do� permite a extra c�ao

econ�omica de �agua de uma forma c�ao saturada Essa extra c�ao de �agua n�ao deve ser feita de

forma indiscriminada� pois a quantidade de �agua armazenada num aq�u�fero depende do

volume do mesmo e da condi c�ao de recarga�reposi c�ao do volume extra�do� Quando um

po co �e bombeado ocorre na vizinhan ca do mesmo uma queda no n�vel de �agua� esta queda �e

denominado de rebaixamento �s� O maior rebaixamento acontece no po co e decresce quando

se afasta do mesmo� conforme �g��

Aq�u��fero

s

r �

Q

�

h h�

Aquiclude

Po�co de

Po�co

Produtor

�uxo radial

Aquiclude

cone de

depress�ao

Superf��cie Observa�c�ao


Figura �� Aq�u�fero artesiano com po co totalmente penetrante

��

Matematicamente o movimento das �aguas subterr�aneas num aq�u�fero homog�eneo e iso�

tr�opico de espessura constante� obedece �a seguinte express�ao�Jacob� ��

�h

�x�

�h

�y�

�h

�z�

S

T

�h

�t��

onde h �e o n�vel piezom�etrico� S �e o coe�ciente de armazenamento e T �e a transmissivi�

dade A partir desta express�ao podemos analisar o comportamento da �agua subterr�anea nos

aq�u�feros con�nados explorados atrav�es dos po cos de produ c�ao

�� Aq�u��fero con�nado com poco totalmente penetrante submetido a regime

de uxo n�ao estacion�ario

Como j�a foi mencionado anteriormente� quando um po co �e bombeado o n�vel de �agua nele

�e mais baixo do que na sua vizinhan ca Em torno do po co cria�se� ent�ao� uma superf�cie

rebaixada de �agua que apresenta inclina c�ao crescente em dire c�ao ao po co� essa superf�cie �e

conhecida como cone de depress�ao� ver �g�� Quando o bombeamento no po co �e realizado

por uma grande quantidade de horas� �e observado que a expans�ao do cone e sua profundidade

apresentam varia c�oes decrescentes com o tempo at�e alcan car varia c�oes quase impercept�veis

Neste est�agio diz�se que o po co se encontra em regime de �uxo estacion�ario Apesar das

varia c�oes no cone de depress�ao serem impercept�veis� as mudan cas na profundidade e no

raio de alcance continuam a ocorrer� por isso o regime do �uxo estacion�ario n�ao representa

as condi c�oes reais��uxo n�ao estacion�ario� Em �� Theis desenvolveu uma f�ormula para o

c�alculo do rebaixamento levando em conta o tempo de bombeamento na produ c�ao do po co

A express�ao desenvolvida �e conhecida como a f�ormula do regime n�ao estacion�ario

Para a dedu c�ao da f�ormula� Theis assumiu as seguintes hip�oteses�

� Aq�u�fero homog�eneo e isotr�opico

� Espessura uniforme

� �Area in�nita

� O aq�u�fero n�ao recebe recarga

� O po co recebe �agua em toda a espessura da forma c�ao aqu�fera

� A �agua proviniente do armazenamento �e descarregada instant�aneamente� com redu c�ao

da carga

��

Partindo de equa c�ao�� em coordenadas polares

�h

�r�

�

r

�h

�r�

S

T

�h

�t��

onde r �e a dist�ancia do po co produtor a um ponto de observa c�ao� conforme �g��

aplicamos a condi c�ao de contorno� h� h quando r �� para t � ��

limr�

�r�h

�r

��

Q

��T��

utilizando a condi c�ao inicial h�r� �� h para t � �� chegamos �a solu c�ao da eq�� para

o modelo de um aq�u�fero con�nado �Hantush� ��

h � h �Q

��T

Z�

r�S

�Tt

e�u

udu ��

u �rS

�Tt��

onde

s � rebaixamento �m�

r � dist�ancia do po co at�e um ponto de observa c�ao �m�

Q � vaz�ao �m��h�

t � tempo de bombeamento �h�

T � transmissividade�m�h�

S � coe�ciente de armazenamento

Na eq�� podemos substituir a difer�en ca entre os n�veis piezom�etricos h e h pelo re�

baixamento s� de forma que�

s � h � h

s �Q

��T

Z�

r�S

�Tt

e�u

udu ��

Na literatura o termo da integral �e conhecido como fun�c�ao po�co para aq�u��feros con�nados

e representado simbolicamente por W�u� �Hantush� ��

W �u� �Z�

u

e�u

udu ��

��

Expandindo em s�eries a integral W�u�� temos que�

W �u� � �� lnu��Xn��

��nun

n � n��

Classicamente os par�ametros S e T s�ao obtidos atrav�es de compara c�ao gr�a�co�visual

Neste m�etodo contr�oi�se uma curva �s� t� com os dados obtidos no teste de bombeamento

em papel log�log� e uma outra com valores de W�u��u tamb�em em papel log�log Esta

�ultima curva �e conhecida como Curva Padr�ao de Theis O gr�a�co dos dados de campo �e

ent�ao sobreposto �a curva padr�ao� fazendo�se com que os pontos coincidam ou se ajustem sobre

algum trecho da curva pandr�ao Ap�os o ajuste das curvas� escolhe�se um ponto coincidente

em que essas apresentem maior superposi c�ao As coordenadas do ponto coincidente s�ao

ent�ao substituidas nas eq�� e eq�� de forma a se obter o coe�ciente de armazenamento

e a transmissividade

Neste cap�tulo propomos a aplica c�ao de RNAs para a obten c�ao dos par�ametros S e T�

atrav�es dos dados de rebaixamento s

�� RNA para o problema de aqu�fero

Utilizamos um conjunto de �� modelos para o treinamento da rede� e um conjunto de ��

modelos para testar a rede ap�os o treinamento Todos os dados foram gerados sinteticamente

utilizando a eq�� Os par�ametros S e T variaram no seguinte intervalo� �� S �

�� e �� T � �� m�h O modelo proposto para o treinamento da rede �e de

um aq�u�fero con�nado com po co totalmente penetrante� bombeado a uma vaz�ao constante

de Q�� m��h e a dist�ancia po co�piez�ometro �e de r � ��m

Todo o treinamento foi realizado no software MATLAB Neste testamos duas topologias�

redes multicamadas �MLPs�� e redes de fun c�oes radiais de bases �RBFs� Depois da rede

treinada submetemos �a mesma o conjunto de teste com �� modelos� os resultados obtidos

pela rede �S e T� foram utilizados num programa de modelamento direto para se obter os

dados de rebaixamento com tempo� para cada modelo Para avaliar o desempenho da rede�

calculamos o �ndice de ajuste entre as curvas dos dados observados e calculados atrav�es da

express�ao�

fs ��P

n

i�� sobsscalcPn

i�� sobs

�P

n

i�� scalc

��

��

Valores

Disp freq ��

Max neuron ��

Err goal ��

spread ��

Tabela �� Valores dos par�ametros de treinamento da RBF no MATLAB

onde� n � �e o n�umero de rebaixamentos medidos

sobs � s�ao os rebaixamentos observados

scalc � s�ao os rebaixamento calculados a partir do resultado da rede

�� O treinamento

No MATLAB os par�ametros de treinamento s�o podem ser ajustados antes de iniciar o trei�

namento� caso que n�ao ocorre no Neuro Solution� conforme se c�ao��

Para a RBF os par�ametros de treinamento mais importante s�ao max neuron� que �e o

n�umero m�aximo de neur�onios que a rede deve ter� e pelo spread� que �e um par�ametro de

vari�ancia que regula a abertura do cone da fun c�ao gaussiana No treinamento da RBF os

neur�onios s�ao adicionados �a rede um de cada vez� at�e que se alcance ou ultrapasse o err goal�

ou que se chegue ao n�umero m�aximo de neur�onios Os par�ametros utilizados no treinamento

est�ao na tabela��

�� Resultados obtidos no treinamento da RBF

Como j�a foi dito anteriormente� a sa�da da rede foi utilizada para que� atrav�es do modela�

mento direto� pud�essemos criar curvas de rebaixamento com o tempo para comparar com os

dados observados Na �g�� apresentamos um dos melhores modelos obtidos pela rede Os

par�ametros S e T correspondente a este modelo se encontra na tabela�� Nela podemos

observar que o pequeno erro entre os dois modelos �e devido ao par�ametro T O �ndice de

ajuste entre as curvas alcan cou o valor m�aximo de �� conforme �g�� Estes resultados

evidenciam uma �otima generaliza c�ao da rede para o problema proposto

Agora apresentamos na �g�� o pior modelo da rede referente aos vinte modelos uti�

lizados para testar a generaliza c�ao da mesma Novamente o maior erro entre os modelos

observado e calculado� esta associado ao par�ametro T� conforme tabela�� O �ndice de

ajuste entre as curvas� neste modelo� n�ao alcan cou o valor m�aximo� por�em �e bastante ra�

zo�avel� o que con�rma a boa generaliza c�ao

��

0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 10

"Modelo_observado""Modelo_da_rede"

Figura �� Curva dos dados observados e modelo gerado com os dados da rede� O

��ndice de ajuste foi de ��

Modelo� S T

Modelo Observado ��

Modelo da Rede ��

e�j�dobs � drede�j ��

Tabela �� Valores do erro calculado para o modelo�

0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 11


Figura �� Curva dos dados observados e modelo gerado com os dados da rede� O

��ndice de ajuste foi de ��

Modelo� S T

Modelo Observado ��

Modelo da Rede ��

e�j�dobs � drede�j ��

Tabela �� Valores do erro calculado para o modelo��

��

A seguir mostramos outros resultados obtidos com a RBF para o conjunto de teste�

0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 1


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 2


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 3


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 4


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 5


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 6


�

0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 7


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 8


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 9


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 10


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 11


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 12


��

0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 13


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 14


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 15


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 16


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 17


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 18


��

0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 19


0.01

0.1

1

1 10 100 1000

Reb

aixa

men

to (

m)

Tempo (min)

Modelo 20


��


Os resultados obtidos com a rede de fun�c�oes de base radial� mostraram�se bastante ex�

pressivos� revelando uma boa generaliza�c�ao da rede� As curvas geradas a partir deles em

compara�c�ao com a dos dados observados� obtiveram �ndices de ajuste aceit�aveis�

Entre os parametros treinados� o coe�ciente de armazenamento S mostrou um melhor

resultado em rela�c�ao a transmissividade T� A explica�c�ao para este fato� est�a ligado ao grau

de n�ao linearidade� que um parametro pode apresentar mais que o outro� Se voltarmos �a

eq �� podemos notar que o rebaixamento s possui uma rela�c�ao direta com o parametro S

e inversa com o parametro T j�a que este se encontra no denominador da express�ao� conforme

tamb�em eq �� Como o parametro T apresenta um grau de n�ao linearidade maior do que

o parametro S� a rede necessitaria de mais informa�c�oes para poder mapea�lo melhor�

CAP�ITULO �

Cancelamento de ruido em tra�co s��smico


Para que possamos realizar uma boa interpreta�c�ao num problema geof�sico� os dados uti�

lizados devem re�etir tanto quanto poss�vel as propriedades do meio investigado� para os

dados s�smicos isso n�ao �e diferente� Os dados s�smicos s�ao compostos de duas informa�c�oes�

o sinal que �e a parte dos dados relacionada com o objeto investigado� e o ru��do representado

pela parte restante� Os ru�dos podem ser classi�cados em� coerentes ou peri�odicos�� quan�

do mostram um padr�ao regular no sismograma e os incoerentes ou rand�omicos�� que n�ao

apresentam um padr�ao sistem�atico� Como exemplo temos�

� Ru�dos coerentes � interferencia de �� Hz e harmonicas provenientes de linhas de for�ca�

m�aquinas rotativas em aquisi�c�oes terrestres� ondas de superf�cie� re�ex�oes e refra�c�oes

originadas em estruturas pr�oximas �a superf�cie como plano de falha� m�ultiplas�

� Ru�dos incoerentes � pode chegar simultaneamente de v�arias fontes� vento no geofone

fazendo�o mexer� movimento das ra�zes das �arvores gerando ondas s�smicas� fragmentos

do solo ejetadados devido a detona�c�ao da fonte de tiro e que cai pr�oximo a um geofone�

A presen�ca destas formas de ru�do nos dados s�smicos pode degradar os resultados dos

precedimentos convencionais do processamento s�smico� V�arios procedimentos s�ao utilizados

a�m de se controlar a in�uencia do ru�do nos dados coletados� Algumas ferramentas b�asicas

podem ser manipuladas ainda em campo de forma a minimizar o conte�udo de ru�do� s�ao elas�

O tamanho e a profundidade da fonte� arranjo dos receptores� arranjo das fontes e �ltragem

eletronica� Se o ru�do tiver uma alta energia� por�em fora da faixa principal de freq�uencia do

sinal� ent�ao pode ser feito um pr�e�processamento com um �ltro passsa�banda de forma a se

eliminar esse ru�do�

Neste cap�tulo a nossa proposta �e a utiliza�c�ao de uma rede adaptativa ao problema de

cancelamento de ru�do coerente e incoerente em tra�co s�smico�

��

��

�� Fundamenta�c�ao Te�orica

Para se entender o cancelamento do ru�do atrav�es de uma rede adaptativa� vamos analisar o

seguinte exemplo� Vamos supor que uma pessoa esteja falando ao microfone� e que pr�oximo

a ela exista uma fonte de ru�do ac�ustico �g �� Nesta situa�c�ao o microfone sensor� captar�a

tanto a voz s como o ru�do ac�ustico n� de forma que teremos um sinal combinado y � s �

n��

O sinal combinado y forma a entrada para o cancelador� Um segundo sensor recebe um

ru�do nr que n�ao �e correlacionado com o sinal s� por�em �e correlacionado de alguma forma

com o ru�do n�� Este sensor �e a entrada de referencia para o cancelador� O ru�do nr �e ent�ao

�ltrado para produzir uma sa�da u pr�oxima de n�� Esta sa�da �e subtraida de y para produzir

a resposta do sistema� y � u�

Erro

Sa��dado �ltro

do sistema

y�u

Sa��da

��

�

Fonte

Fontedo sinal

Entrada

prim�aria

Entrada

de refer�encia

Cancelamento adaptativo de ru��do

de ru��doFiltro

Adaptativo

y�s��

�r

u

Figura �� Teoria do cancelamento adaptativo

O objetivo pr�atico dos sistemas de cancelamento de ru�do� �e produzir uma sa�da do

sistema� y � u� que apresente o melhor ajuste� no sentido dos m�nimos quadrados� para o

sinal s� Isto �e feito alimentando uma rede adaptativa cuja sa�da volta ao sistema para ajuste

de seus pesos atrav�es de um algor�timo adaptativo� Em outras palavras a sa�da da rede serve

como sinal de erro para o processo adaptativo�

�� O modelo s��smico

Como j�a foi citado anteriormente o ru�do em dados s�smicos� consiste num elemento nocivo

ao processamento convencional� Abordaremos neste cap�tulo a utiliza�c�ao de redes adapta�

tivas para o cancelamento de ru�do� A �g �� representa um modelo esquem�atico de um

levantamento s�smico no qual o ru�do de referencia �e coletado pelo geofone zero que se en�

contra em cima da fonte de ru�do� e o geofone � coleta o sinal combinado� ru�do interferente

� tra�co s�smico� onde o ru�do interferente sofre modi�ca�c�oes em sua estrutura no caminho

��

percorrido desde a fonte de ru��do at�e o geofone � �

0

fontede ruido fonte Geofones

1 2 3 4

Figura �� Modelo s��smico mostrando a interferencia do ru��do no tra�co s��smico

As modi�ca�c oes citadas anteriormente ocorrem para todos os sinais que viajam na sub�

superf��cie� isto porque a terra se comporta como um �ltro que converte um impulso de

entrada numa s�erie de vibra�c oes �Robinson e C�oruh� �� Estas vibra�c oes s ao registradas

no sismograma� Na �g�� podemos ver as principais componentes do �ltro terra�

H � H�e��r

entrada receptorabsor�c�ao

de re�ex�aoe refra�c�ao

espalhamento

coe�cientes

geom�etrico

fonte

zona da

Superf�icie da Terra

R� �H�

H�

H �

H�

r

R� �H�

H�

Figura �� Componentes do �ltro da terra� Estas componentes ilustram os v�arios

efeitos que ocorre dentro da terra para mudar o sinal de entrada� Pri�

meiro� a terra transforma o pulso de entrada numa wavelet� Ent ao� ela

divide essa wavelet em v�arias outras atrav�es de re�ex oes e refra�c oes� e

altera estas wavelets por absor�c ao e espalhamento geom�etrico

Os ru��dos utilizados na simula�c ao s ao ru��do harmonico estacion�ario� harmonico n ao

estacion�ario e ru��do colorido�

��

�� RNA aplicada ao tratamento de ru��do

O objetivo proposto neste experimento foi testar a aplicabilidade de redes adaptativas no

cancelamento de ru��do no tra�co s��smico� Na �g�� apresentamos de forma esquem�atica a

origem dos sinais que ir�ao alimentar a rede� bem como a pr�opria rede adaptativa�

y

H�

Rede Adaptativa

Fonte de ru��do

H�

�

tra�cos��smico

Rede linear

��

erro

Interior da terra

�

Figura � Gera�c�ao dos ru��dos interferente e de refer�encia� soma ao tra�co s��smico

do ru��do interferente e alimenta�c�ao da rede adaptativa

Onde H� e H� s�ao �ltros de caracter��sticas diferentes que simulam tipos de �ltragens

distintas que sofrer�ao o ru��do de refer�encia e o ru��do interferente �que ser�a somado ao tra�co

s��smico� A �gura ainda mostra a alimenta�c�ao da rede pelos dois sinais tra�co�ru��do inter�

ferente e ru��do de refer�encia�

O experimento foi diviido em tr�es fases

� Cancelamento de ru��do harm�onico estacion�ario�

� Cancelamento de ru��do harm�onico n�ao estacion�ario� e

� Cancelamento de ru��do colorido�

Todos os dados foram gerados sint�eticamente� O tra�co s��smico utilizado �g�� possui

�� amostras com o intervalo de amostragem de � milisegundos e foi gerado atrav�es de

programa fortran� Os ru��dos foram gerados no software MATLAB� onde utilizamos de �ltros

FIR�Finite Impulse Response� passa banda� para simular o efeito de �ltragem da terra no

ru��do interferente e no ru��do de refer�encia�

Os par�ametros de entrada requeridos no treinamento de uma rede adaptativa no MA�

TLAB� s�ao vetor de entrada� vetor de sa��da� pesos e bias inicias que s�ao gerados rand�omicamente

pelo programa� e a taxa de aprendizagem� Durante o treinamento o programa fornece como

��

sa��da novos pesos e bias� o erro� e o sinal de sa��da� Dentre as informa�c�oes que a rede nos

d�a como sa��da� a mais importante para n�os �e o erro� Isto porque como estamos dando para

ela o ru��do de referencia e o tra�co com ru��do� ela tentar�a reproduzir na sua sa��da o sinal de

ru��do que �e o sinal comum nos vetores de entrada� Portanto ela interpretar�a como sinal de

erro o tra�co s��smico que �e n�ao correlacion�avel com ru��do� e que �e o nosso objetivo�

Apresentaremos a seguir os resultados obtidos nos experimentos propostos�

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

de

Tempo (s)

Traco sismico

Figura �� Tra�co s��smico

�� Cancelamento de ruido harm�onico estacion�ario no tra�co s��smico

O sinal da fonte de ru��do foi gerado a partir da express�ao

fonte � �� cos��f��t� �� cos��f��t� ��

onde f��Hz � f�� Hz� ��rd� e ��rd�

O ru��do interferente �g�� representa o sinal que �e gerado pela fonte de ru��do� sofre

mudan�cas em seu conte�udo de freq�uencia e em sua amplitude devido �as propriedades de

absor�c�ao do meio e �e captado pelo geofone juntamente com o sinal desejado �tra�co s��smico��

Este sinal apresenta o dobro da amplitude do tra�co s��smico�

O procedimento seguinte foi somar o ru��do interferente com o tra�co s��smico �g��

��

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

de

Tempo (s)

Ruido Harmonico

Figura �� Ruido interferente harmonico estacion�ario

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

de

Tempo (s)

Traco+Ruido Harmonico

Figura �� Tra�co � Ruido interferente harmonico estacion�ario

No treinamento o melhor valor para a raz�ao de aprendizagem foi de �� O sinal de erro

fornecido pela rede na �g�� mostra o seu aprendizado com o tempo� Para os primeiros

dados de entrada correspondente aos primeiros tempos� notamos que o sinal de erro n�ao

reproduz o tra�co� Por�em pr�oximo a ��s� o sinal de erro reproduz o tra�co� mostrando o

aprendizado da rede�

Ap�os o treinamento da rede submetemos �a mesma� o vetor tra�co com ru��do� O resultado

pode ser visto na �g��

��

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

de

Tempo (s)

Erro da Rede

Figura �� Sinal de erro da rede adaptativa

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

de

Tempo (s)

Saida da Rede

Figura �� Sinal de sa��da da rede adaptativa� caso estacion�ario�

�� Cancelamento de ruido harm�onico nao estacion�ario no tra�co s��smico

O sinal da fonte de ru��do foi gerado pela seguinte express�ao�

S� � �� cos��f��t� �� cos��f��t� �� para � � t � t� ��

S� � �� sin��f��t� �� sin��f��t� �� para t� � t � �� seg ��

onde S� e S� correspondem respectivamente �a primeira e segunda parte do sinal ru��do

interferente �g�� os valore f e � s�ao� f� � f��Hz � f� � f�� Hz� �� rd�

��rd� �� e �� rd�

�

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

de

Tempo (s)

Ruido

Figura � �� Ruido interferente harmonico n�ao estacion�ario

O vetor de entrada da rede foi constru��do de duas formas distintas� a�m de realizarmos

dois testes�

� Como o sinal de ru��do possui duas freq�uencias que podem ser conhecidas atrav�es da

an�alise do espectro de freq�uencia� utilizamos uma matriz de senos e cossenos como sinal

de entrada� O princ��pio utilizado foi que todo sinal peri�odico pode ser reproduzido

atrav�es de uma s�erie de senos e cossenos�

f�t� ��X

n��

�An cos�t�Bn sin�t� ��

Desta forma alimentamos a rede com uma matriz de senos e cossenos com freq�uencias

pr�e�de�nidas� e os pesos wij equivaler�ao aos coe�cientes An e Bn da eq�� Na

�g�� encontramos um desenho esqum�atico deste teste�

y� �

Sinal � ru��do

w�

w�

w�

w�

�

�

cos��ti

sin��ti

cos��ti

sin��ti

Sinal de erro

Figura � � Rede adaptativa com entrada de senos e cossenos

��

�� A segunda forma� foi transformar o vetor com o sinal ru��do de referencia� em uma

matriz na qual os componentes est�ao atrazados de uma amostra� A rede neste caso�

possui a estrutura de um �ltro transversal conforme �g��

Sinal de erro

w�kw�k

xk z��

xk��z��

xk��z��

w�k w�k

z��

xk��xk�L

wLk

Sinal � ru��do

yk��

�

�

Figura � �� Rede adaptativa com estrutura de �ltro transversal

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

de

Tempo (s)

Ruido

Figura � �� Tra�co � Ruido interferente harmonico n�ao estacion�ario

O treinamento foi realizado para os dois vetores de entrada� sendo que para o primeiro

teste a raz�ao de aprendizagem �otima foi de lr � �� e para o segundo teste lr � ��

Na �g�� apresentamos o tra�co somado ao ru��do� na �g�� o sinal de erro da rede

referente ao teste e na �g�� o sinal de erro referente ao teste �� Para os teste e � o

erro referido corresponde ao sinal de erro da rede propriamente dito�

��

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

de

Tempo (s)

Sinal de erro para o teste 1

Figura � � Sinal de erro da rede adaptativa para o teste

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

de

Tempo (s)

Sinal de erro para o teste 2

Figura � �� Sinal de erro da rede adaptativa para o teste �

�

�� Cancelamento de ruido colorido no tra�co s��smico

O sinal da fonte de ru��do branco foi obtido atrav�es de fun�c�ao espec��ca do MATLAB para

gerar valores aleat�orios� este sinal de ru��do branco sofreu ent�ao uma �ltragem onde foram

eliminadas algumas freq�uencias do seu espectro� transformando�o num ru��do colorido�

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

de

Tempo (s)

Ruido Colorido

Figura � �� Ruido Colorido

Na �g�� apresentamos o tra�co somado ao ru��do colorido�

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

de

Tempo (s)

Traco + Ruido Colorido

Figura � �� Tra�co � Ruido Colorido

A rede foi alimentada pelo ru��do de referencia e pelo sinal tra�co � ru��do interferente� A

rede neste experimento tem a estrutura de um �ltro transversal conforme �g�� e obteve

��

melhor desempenho no treinamento quando treinada com a taxa de aprendizagem de ��

O sinal de erro mostrando a adapta�c�ao da rede �e mostrado na �g��

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

de

Tempo (s)

Erro da Rede

Figura � �� Sinal de erro da rede adaptativa

Ap�os o treinamento voltamos a apresentar �a rede o sinal tra�co�ru��do interferente� O

resultado do cancelamento do ru��do pode ser visto na �g�� A explica�c�ao para o ru��do

que ainda permanece no tra�co� �e que apesar do ru��do de referencia e do ru��do interferente

serem coloridos eles possuem diferen�cas no seu conte�udo de frequencia pois passaram por

�ltros de caracter��sticas diferentes� Como a rede adaptativa trabalha com a correla�c�ao de

sinais� existe um conte�udo de freq�uencia que n�ao possui correla�c�ao com os dois sinais de

ru��do�

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Am

plitu

de

Tempo (s)

Saida da Rede

Figura � �� Sinal de sa��da da rede adaptativa

��


Para o cancelamento de ru��do estacion�ario� obtemos da rede adaptativa um bom resultado�

O tra�co s��smico foi recuperado na ��ntegra sem haver dano ao mesmo�

No problema de ru��do n�ao estacion�ario o sinal de erro para o teste � mostra uma adapta�c�ao

r�apida da rede para a primeira parte do ru��do� Na segunda parte a rede desestabiliza devido

a mudan�ca do sinal ru��do mas logo ap�os volta a adaptarse ao problema� No teste �� a

adapta�c�ao do sinal �e lenta para a primeira metade do tra�co chegando a n�ao se adaptar ao

sinal de ru��do como no teste �� Na segunda m�etade a rede n�ao sofre uma desestabiliza�c�ao

expressiva como no testes � e segue limpando a segunda metade do tra�co� A explica�c�ao para

este resultado �e que os pesos da rede representam os coe�cientes da s�erie de senos e cosseno

logo� quando ocorre mudan�ca nos coe�cientes os pesos n�ao satisfazem mais a condi�c�ao para

a primeira metade do ru��do e volta ao processo de adapta�c�ao� No segundo teste cada um dos

vetores coluna da matriz �e apresentado a rede com o atraso de uma amostra� �e calculado um

sinal de erro que �e usado para adaptar os pesos da rede� Quando o sinal de erro mudar suas

caracter��sticas� a amostra referente ao ponto de mudan�ca estar�a presente em mais de um

vetor da matriz de entrada� desta forma o processo de adapta�c�ao n�ao sofrer�a uma mudan�ca

brusca�

Para o problema do ru��do colorido a rede apresentou um resultado satisfat�orio� cancelando

a maior parte do ru��do contido nele�

CAP�ITULO �

CONCLUS�OES

Neste trabalho testamos a aplicabilidade das redes nurais arti�ciais na solu�c�ao de tr es

problemas geof��sicos� O problema inverso de eletrorresistividade para um modelo de tr es

camadas� a invers�ao dos par ametros hidr�aulicos T e S para o modelo de um aq�u��fero con�nado

submetido a regime de �uxo n�ao estacion�ario� e o cancelamento de ru��do em tra�co s��smico�

Este �ultimo constando de tr es tipos de ru��do� ru��do harm onico estacion�ario� harm onico n�ao

estacion�ario e ru��do colorido�

Os resultados obtidos pela rede MLP com uma camada escondida contendo quarenta

neur onios� mostraramse satisfat�orios� As curvas de resistividade aparente conseguidas pelo

modelamento direto com dados de sa��da da rede referente ao conjunto de teste� apresentaram

um bom ajuste quando comparadas com a curva observada dos dados sint�eticos� Por�em a

solu�c�ao obtida n�ao correspondeu a solu�c�ao global em nenhum dos modelos testados� nesces

sitando da utiliza�c�ao do m�etodo de invers�ao linearizada para a obten�c�ao da solu�c�ao global�

A utiliza�c�ao dos modelos da rede como modelos iniciais para a invers�ao linearizada ga

rantiu uma converg encia segura e r�apida� em todos os modelos testados� para a solu�c�ao

global�

O teste realizado com a RBF para a invers�ao dos par ametros hidr�aulicos T e S mostraram

se aceit�aveis� Os resultados obtidos com o conjunto de teste mostrou a generaliza�c�ao da rede

para modelos quaisquer�

Em todos os modelos testados obtivemos o mesmo valor de S para o modelo calculado

e observado� J�a o par ametro T apresentou um pequeno erro� devido ao seu grau de n�ao

linearidade no problema� A compara�c�ao das curvas observada e calculada mostraram um

ajuste �otimo na maioria dos modelos�

O cancelamento de ru��do harm onico estacion�ario em tra�co s��smico por meio de uma rede

adaptativa apresentou bons resultados� O ru��do foi retirado do tra�co sem degradalo�

Os resultados obtidos no cancelamento do ru��do n�ao est�acion�ario mostra a capacidade

da rede de se adaptar as condi�c�oes do ambiente com o tempo� Neste teste o sinal de erro da

rede mostra uma boa estimativa do tra�co s��smico mesmo na parte em que o sinal de ru��do

muda de comportamento�

��

��

O resultado �nal da rede adaptativa para o cancelamento de ru��do colorido mostrou

resultados aceit�aveis� conservando as amplitudes do tra�co e aumentando signi�cativamente

a rela�c�ao sinal�ru��do�

�� Aplica�c�oes Futuras

A aplicabilidade de redes neurais arti�ciais a dados geof��sicos mostrouse satisfat�oria� Os

resultados obtidos s�ao animadores e apontam a necessidade de um estudo aprofundado na

aplica�c�ao de MLP ao problema inverso de eletrorresistividade� A aplica�c�ao de redes asso

ciativa poder�a ser testada para o caso em que se trabalhe com modelos de uma ou mais

camadas�

Um preprocessamento dos dados do conjunto de treinamento para o modelo de aqu��fero�

com a fun�c�ao ln poder�a ser �util na melhoria do par ametro T�

A aplica�c�ao de dados reais a todas as redes treinadas neste trabalho inclusive no problema

de cancelamento de ru��do se faz necess�ario para a consolida�c�ao do m�etodo�

AGRADECIMENTOS

Agrade�co primeiramente a Deus pela minha exist encia neste mundo e por todas as gra�cas

concedidas a mim por ele�

Ao CNPQ pela pela oportunidade de desenvolver este trabalho e pela bolsa de inicia�c�ao

cient��ca respons�avel por eu ter terminado o curso de Bacharelado em Geof��sica sem nenhuma

interrup�c�ao�

Ao orientador deste trabalho� Dr� Telesson Neves Teles pelo acompanhamento e incentivo�

Aos professores Dr� Olivar Lima� Dr� Edson Sampaio� e o Ms� Joaqu��m Xavier� dos quais

absorvir experi encia de vida e conhecimento da pro�ss�ao�

Aos colegas Je�erson Pitombo� Atahebson Santos� Gustavo Gomes e Rommel Mendes

pela ajuda em momentos dif��cies de minha vida acad emica e pessoal� Aos demais colegas da

inicia�c�ao pelo companherismo e solidariedade�

Aos funcion�arios do CPGG�UFBA� em especial ao Joaquim e a Lene pelo apoio nas

quest�oes extraclasse�

A todos aqueles que me ajudaram direta ou indiretamente e que o nome n�ao consta neste

texto�

��

AP�ENDICE A

Algor��timos

A�� Modelo de um semi�espa�co com a fonte na superf�cie

Considerando a terra homog enea e isotr�opica� vamos estudar a distribui�c�ao de potenciais

num modelo constituido de um semiespa�co com uma �unica fonte na superf��cie que far�a �uir

uma corrente cont��nua atrav�es do meio�

Analisando um elemento de superf��cie �A e sendo J a densidade de corrente� ent�ao a

corrente que passa por esse elemento de superf��cie �A� �e dado por J � �A�

I � J � �A �A��

A magnitude do campo el�etrico �E neste elemento de superf��cie �e proporcional a densidade

de corrente que passa atrav�es dele� A express�ao que relaciona o campo el�etrico �E e a

densidade de corrente �J �e a Lei de Ohm�

�E � � �J �Lei de Ohm� �A��

Como �E �e um campo conservativo� o que equivale dizer que�

I�E � �dl � � �A��

existe uma fun�c�ao potencial escalar tal que�

�E � �rV �A��

A eq�� pode ser reescrita como�

��

��

�J � ��

�rV �A��

como n�ao existe fontes no interior do meio a densidade de corrente se conserva� ou seja�

tudo que entra sai� portanto�

IA

�J � dA � � �A��

e pelo teorema de Gauss�

ZVr � JdV � � �A��

Analisando a condi�c�ao de diverg encia do vetor densidade de corrente para um ponto

dentro do meio envolto por um volume in�nitesimal� temos que para este ponto�

r � J � �r � r��

�V � � �� A��

desenvolvendo o lado direito da primeira igualdade� chegamos a seguinte express�ao�

r�

�� rV �

�

�r

�V � � �A��

como o meio foi admitido sendo homogeneo e isotr�opico a resistividade �e constante� Isto

leva a anula�c�ao do primeiro termo da express�ao que se reduz a Equa�c�ao de Laplace para o

potencial V�

r�V � � �A��

Em coordenadas polares a Equa�c�ao de Laplace �e escrita como�

�

�r

�r��V

�r

��

�

r� sin �

�

��

�sin �

�V

��

��

�

r� sin� �

��V

�� A��

��

Devido a simetria do �uxo de corrente com rela�c�ao as dire�c�oes � e �� suas respectivas

derivadas tornanse nulas� O potencial agora ser�a fun�c�ao apenas de r � onde r representa a

dist ancia da fonte at�e um ponto qualquer dentro meio�

d

dr

�r�dV

dr

�� A��

Integrando a express�ao acima obtemos�

r�dV

dr� C �A��

V � �C

r� D �A��

onde C e D s�ao constantes a determinar�

Duas condi�c�oes de contorno devem ser levadas em considera�c�ao no limite entre os dois

meios�

�� O potencial deve ser cont��nuo atrav�es da interface� ou seja

V �� V �� A��

onde V �� e o potencial no meio � e V �� e o potencial no meio ��

�� O componente normal do vetor densidade de corrente �J deve ser cont��nua �g�A��

J ��n � J ��

n �A��

Para o campo el�etrico escrevemos essas duas condi�c�oes utilizando as componentes tan

gencia t e normal n�

E��t � E

��t �A��

�

��E��n �

�

��E��n �A��

��

�n

�J

�t Meio �

Meio �

interface

Figura A�� Interface meio��meio� mostrando as componentes normal� tangencial

para o vetor densidade de corrente �J

Retornando a express�ao do potencial� temos que V � � quando r�� desta forma D �

�� Em z � � dV�dz � �� assim�

V � �C

r�A��

�V

�z�

�V

�r��r

�z� �

�

�r

�C

r

��r

�z�

Cz

r�� A��

onde r� � x� � y� � z�� A constante C pode ser encontrada a partir do �uxo de corrente

que passa atrav�es de uma semiesfera de raio a que envolve a fonte� logo a corrente total pode

ser expressa como�

I �Z

�J � ds �A��

resolvendo a integral

I � �J � ��r� �A��

�J �I

��r��A��

substituindo a eq�� na eq�A�� temos�

rV � �I�

��r��A��

reescrevendo a eq�A�� encontramos dV�dr como sendo�

��

dV

dr� �

C

r��A��

onde dVdr � rrV � Combinando a eq�A�� com a eq�A�� encontramos a express�ao

para a constante C �

C

r��

I�

��r��A��

C � �I�

��A��

Portanto substituindo na eq�A�� as constantes C e D pelos respectivos valores encon

trados� temos a express�ao do potencial para o modelo do semiespa�co homog eneo e isotr�opico

com uma fonte na superf��cie�

V �I�

��

�

r�A��

A express�ao da resistividade �e dada por�

� ��rV

I�A��

A� Algor�timo de converg�encia do Perceptron

Vari�aveis e Par�ametros

x�n� � �� x��n�� x��n�� xp�n��T vetor de entrada

w�n� � ��n�� w��n�� w��n�� wp�n��T vetor de pesos

��n� � threshold

y�n� � resposta da rede

d�n� � resposta desejada

� � taxa de aprendizagem

Passo �� Inicializa�c�ao

w��

��

Passo �� Ativa�c�ao do Perceptron

Aplica�c�ao do vetor de entrada x�n� e da resposta desejada d�n� na itera�c�ao n�

Passo � C�alculo da resposta da rede

y�n� � sgn�wT �n�x�n��

Passo � Adapta�c�ao do vetor pesos

w�n � �� w�n� � ��d�n�� y�n��x�n�

Passo �� Incremento

Incremento de n por uma unidade� e retorna ao passo ��

Obs� A fun�c�ao de ativa�c�ao utilizada pelo perceptron �e a fun�c�ao sinal �sgn��

sgn��

�� se � �

�� se � � �

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