UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE GEOCI�ENCIAS
CURSO DE GRADUAC� �AO EM GEOF�ISICA
GEO��� � TRABALHO DE GRADUAC��AO
APLICAC� �AO DAS REDES NEURAIS ARTIFICIAIS
A DADOS GEOF�ISICOS
EMERSON ARA�UJO DO CARMO
SALVADOR � BAHIA
NOVEMBRO � ����
APLICAC� �AO DAS REDES NEURAIS ARTIFICIAIS
A DADOS GEOF�ISICOS
por
Emerson Ara�ujo do Carmo
GEO��� � TRABALHO DE GRADUAC� �AO
Departamento de Geologia e Geof��sica Aplicada
do
Instituto de Geociencias
da
Universidade Federal da Bahia
Comiss�ao Examinadora
Dr� Telesson Neves Teles �Orientador�
Dr� Amin Bassrei
Dr� Antonio Cezar de Castro Lima
Data da aprova�c�ao� �� de novembro de �
Somente em Deus� �o minha alma� es
pera silenciosa� porque dele vem a
minha esperan�ca�
S�o ele �e a minha rocha e a minha sal
va�c�ao� o meu alto ref�ugio� n�ao serei
jamais abalado�
De Deus depende a minha salva�c�ao
e a minha gl�oria� est�ao em Deus a
minha forte rocha e o meu ref�ugio�
Salmo ���
Dedico este trabalho a minha m�ae
D� Norb�elia �biol�ogica�� a minha
segunda m�ae D� Clemira e �a minha
noiva J�oira�
RESUMO
Neste trabalho testamos a aplica�c�ao das redes neurais arti�ciais a tr�es problemas geof��sicos�
o problema inverso de eletrorresistividade� invers�ao dos par�ametros hidr�aulicos T e S de uma
aqu��fero con�nado e cancelamento de ru��do adaptativo em tra�co s��smico� Foram utilizadas as
redes MLP� RBF e Redes Adaptativas para cada problema respectivamente� Os algor��tmos
de treinamento utilizados foram Regra Delta de Widrow e o Retropropaga�c�ao do erro com
momento�
Foram utilizados dados sint�eticos gerados por programas FORTRAN para as fases do
treinamento� da valida�c�ao e dos testes da RNA� As redes foram implementadas� treinadas e
testadas atrav�es dos softwares Neurosolution e MATLAB�
Os resultados obtidos para o problema inverso de eletrorresistividademostraram se aceit�a
veis por�em com limitada acur�acia� A solu�c�ao foi a utiliza�c�ao de um procedimento de invers�ao
combinando redes neurais com invers�ao linearizada� A utiliza�c�ao deste procedimento com
binado resultou na converg�encia segura e r�apida para a solu�c�ao global dos modelos de um
conjunto de teste� Na invers�ao dos par�ametros hidr�aulicos a resposta da rede a um conjunto
de teste revelou uma boa generaliza�c�ao alcan�cada pela mesma� A compara�c�ao entre as curvas
dos modelos calculado e observado mostrou um �otimo ajuste� O problema de cancelamen
to de ru��do constituiu se de tr�es casos� ru��do harm�onico estacion�ario� ru��do harm�onico n�ao
estacion�ario e ru��do colorido� Utilizamos RNAs com duas estruturas adaptativas distintas a
�m de atacar tais situa�c�oes� Ambas mostraram se e�cientes para os testes propostos�
i
ABSTRACT
In this work we tested the aplication of the arti�cial neural networks �ANNs� to three
gophysical problems� the inverse problem of eletroresistivity� inversion of the hydraulic para
meters T and S of a con�ned aquifer and cancellation of adaptive noise in seismic trace� The
ANNs used were multilayer perceptron �MLP�� radial basis function �RBF�� and Adaptive
nets for each problem respectively� The algorithms used for training were Widrow�s Delta
Rule of and Backpropagation with momentum�
Synthetic data generated by FORTRAN programs for the training� validation and testing
of the ANNs were used� The ANNs were implemented� trained and tested by using the
softwares Neurosolution and MATLAB�
The results obtained for the inverse problem of eletroresistivity show be acceptable� even
though with limited accuracy� Then we proposed a inversion procedure combining neural
networks with linearized inversion� The use of this combined procedure resulted in a safe
and fast convergence for the global solution for the models of the test group� In the sec
ond application� the inversion of the hidraulic parameters the by the ANN a test group
revealed a good generalization� The comparison among the observed and calculated curves
reveal a great adjustment� The problem of noise cancellation was constituted of three cases�
stationary and nonstationary harmonic noise and colored noise� We used ANNs with two
di�erent adaptive structures in order to attack such situations� The results obtained for both
structure showed an e�cient improvement for the signal to noise ratio �S�N� of the seismic
trace�
ii
�INDICE
RESUMO � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � i
ABSTRACT � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ii
�INDICE � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � iii
�INDICE DE TABELAS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � v
�INDICE DE FIGURAS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � vi
INTRODUC� �AO � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
CAP�ITULO � Redes Neurais Arti�ciais �RNA� � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Introdu�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Neur�onio Biol�ogico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Modelo Arti�cial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Perceptron � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Adaline e Madaline � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Redes Multicamadas �MLPs� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� RBF Radial Basis Function � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� M�etodos de Aprendizagem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Treinamento Supervisionado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Treinamento N�ao Supervisionado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Treinamento Refor�cado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Modos de Treinamento � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Algor��tmos de Aprendizagem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Regra Delta de Widrow Ho� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� O M�etodo de Retro Propaga�c�ao do Erro �Back Propagation� � � � � � ��
���� Generaliza�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Valida�c�ao cruzada � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Aproximador de fun�c�oes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Hist�orico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
CAP�ITULO Eletroresistividade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Introdu�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� M�etodo de Eletrorresistividade Sondagem El�etrica Vertical �SEV� � � � � � ��
iii
����� Con�gura�c�ao de eletrodos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Modelo de n camadas horizontais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� O problema inverso para dados de SEV � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� RNA para o problema de invers�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� O conjunto de dados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� A topologia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� O treinamento � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Constru�c�ao e treinamento da MLP no Neurosolution � � � � � � � � � ��
��� RNA � invers�ao linearizada � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Discuss�ao dos resultados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
CAP�ITULO Par�ametros de Aq�u� feros � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Introdu�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Fundamenta�c�ao Te�orica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Aq�u��fero con�nado com po�co totalmente penetrante submetido a regi
me de �uxo n�ao estacion�ario � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� RNA para o problema de aq�u��fero � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� O treinamento � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Resultados obtidos no treinamento da RBF � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Discuss�ao dos resultados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
CAP�ITULO � Cancelamento de ruido em tra�co s� smico � � � � � � � � � � ��
��� Introdu�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Fundamenta�c�ao Te�orica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� O modelo s��smico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� RNA aplicada ao tratamento de ru��do � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Cancelamento de ruido harm�onico estacion�ario no tra�co s��smico � � � �
����� Cancelamento de ruido harm�onico n�ao estacion�ario no tra�co s��smico � ��
����� Cancelamento de ruido colorido no tra�co s��smico � � � � � � � � � � � � ��
��� Discuss�ao dos resultados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
CAP�ITULO � CONCLUS�OES � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Aplica�c�oes Futuras � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
AGRADECIMENTOS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
AP�ENDICE A Algor� timos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
A�� Modelo de um semi espa�co com a fonte na superf��cie � � � � � � � � � � � � � ��
A�� Algor��timo de converg�encia do Perceptron � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
REFER�ENCIAS BIBLIOGR�AFICAS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
iv
�INDICE DE TABELAS
��� Par�ametros utilizados no treinamento� referentes ao algor��timo de retropropa
ga�c�ao do erro com momentum e �a fun�c�ao de ativa�c�ao �fun�c�ao sigm�oide� � � � ��
��� Tabela referente aos par�ametros observados e calculados do modelo� � � � � � ��
��� Tabela referente aos par�ametros observados e calculados do modelo� � � � � � ��
��� Tabela referente aos par�ametros observados e calculados do modelo� � � � � � ��
��� Tabela referente aos par�ametros observados e calculados do modelo� � � � � � ��
��� Valores dos par�ametros de treinamento da RBF no MATLAB � � � � � � � � ��
��� Valores do erro calculado para o modelo�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Valores do erro calculado para o modelo�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
v
�INDICE DE FIGURAS
��� Figura esquem�atica do neur�onio biol�ogico� �a� estrutura esquem�atica do neur�onio�
�b� amplia�c�ao das sinapses simpli�cadas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Neur�onio Arti�cial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Rede MLP com duas camadas escondidas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Rede de fun�c�oes de bases radiais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Bloco diagrama do treinamento supervisionado� � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Bloco diagrama do treinamento n�ao supervisionado� � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Bloco diagrama do treinamento refor�cado� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Modelo Adaline� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Modelo de um neur�onio na camada de sa��da j de uma rede MLP� � � � � � � � ��
���� �a� Os dados sofreram um over�tt� com isso apresenta uma pobre genera
liza�c�ao� �b� Os dados foram �tados adequadamente resultando numa boa
generaliza�c�ao� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Valida�c�ao Cruzada curva do erro quadr�atico m�edio para o conjunto de trei
namento e para o conjunto de teste� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Arranjo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Arranjo Wenner� Schlumberger e Dipolo dipolo com suas respectivas expres
s�oes de �a� A e B corresponde aos eletrodos de corrente� M e N aos de potencial �
��� Rede MLP com a topologia �otima alcan�cada mostrando a camada de entrada
com �� resistividades aparentes� a camada escondida com �� neur�onios� e a
camada de sa��da com os � par�ametros do modelo de � camadas� � � � � � � � ��
��� Plot contendo os dados observados e o modelo calculado pela rede � � � � � � ��
��� Plot contendo os dados observados e o modelo calculado pela rede � � � � � � ��
��� Plot do modelo � contendo� �a� curva dos dados observados� modelo inicial
dado pela rede� modelo calculados pela invers�ao linearizada� �b� curva dos
dados observados� modelo incial qualquer� modelo calculado pela invers�ao� � ��
��� Plot do modelo � contendo� �a� curva dos dados observados� modelo inicial
dado pela rede� modelo calculados pela invers�ao linearizada� �b� curva dos
dados observados� modelo incial qualquer� modelo calculado pela invers�ao� � ��
��� Aq�u��fero totalmente con�nado �a�� e semi con�nado �b�� � � � � � � � � � � � ��
��� Aq�u��fero artesiano com po�co totalmente penetrante� � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Curva dos dados observados e modelo gerado com os dados da rede� O ��ndice
de ajuste foi de ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
vi
��� Curva dos dados observados e modelo gerado com os dados da rede� O ��ndice
de ajuste foi de �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Teoria do cancelamento adaptativo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Modelo s��smico mostrando a interfer�encia do ru��do no tra�co s��smico � � � � � ��
��� Componentes do �ltro da terra� Estas componentes ilustram os v�arios efeitos
que ocorre dentro da terra para mudar o sinal de entrada� Primeiro� a terra
transforma o pulso de entrada numa wavelet� Ent�ao� ela divide essa wavelet
em v�arias outras atrav�es de re�ex�oes e refra�c�oes� e altera estas wavelets por
absor�c�ao e espalhamento geom�etrico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Gera�c�ao dos ru��dos interferente e de refer�encia� soma ao tra�co s��smico do ru��do
interferente e alimenta�c�ao da rede adaptativa � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Tra�co s��smico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Ruido interfer�ente harm�onico estacion�ario � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Tra�co � Ruido interfer�ente harm�onico estacion�ario � � � � � � � � � � � � � � �
�� Sinal de erro da rede adaptativa � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Sinal de sa��da da rede adaptativa� caso estacion�ario� � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Ruido interferente harm�onico n�ao estacion�ario � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Rede adaptativa com entrada de senos e cossenos � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Rede adaptativa com estrutura de �ltro transversal � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Tra�co � Ruido interferente harm�onico n�ao estacion�ario � � � � � � � � � � � � ��
���� Sinal de erro da rede adaptativa para o teste � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Sinal de erro da rede adaptativa para o teste � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Ruido Colorido � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Tra�co � Ruido Colorido � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Sinal de erro da rede adaptativa � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Sinal de sa��da da rede adaptativa � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
A�� Interface meio��meio� mostrando as componentes normal� tangencial para o
vetor densidade de corrente �J � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
vii
INTRODUC� �AO
O processamento de dados em geof��sica �e de fundamental import�ancia� para que se possa
interpretar o modelo de subsuperf��cie com base nas medidas de suas propriedades �problema
inverso�� Convencionalmente m�etodos de otimiza�c�ao baseados em algor��tmos de busca local
ou global s�ao utilizados na solu�c�ao do problema inverso� por�em os m�etodos de busca local
s�ao fortemente dependentes de um bom modelo inicial para convergirem para a solu�c�ao
global enquanto que os m�etodos de busca global s�ao onerosos computacionalmente� Contudo
a aplica�c�ao de redes neurais arti�ciais vem sendo estudada como ferramenta opcional no
processamento de dados geof��sicos� Macias e Sen ���� investigaram a aplicabilidade de
redes neurais arti�ciais ao problema inverso de eletrorresistividade� este trabalho motivou
a pesquisa em torno deste assunto proporcionando o surgimento de outros trabalhos tanto
no problema da invers�ao como em outros problemas geof��sicos� Trabalhos como os de Teles
e Ferreira ����� Teles ����� Lopes et al� ���� e Pimentel e Teles ���� mostraram o
bom desempenho das redes em problemas geof��sicos�
A aplica�c�ao de um rede neural a um problema envolve tr�es fases� A elabora�c�ao do proble
ma� onde �e �xado o objetivo da rede� escolhido a topologia mais adaquada e confeccionados
os conjuntos de treinamento com dados representativos do problema� A segunda fase �e o
treinamento da rede e �e onde se gasta mais tempo at�e que a rede possa aprender o problema
e responder a qualquer conjunto de dados diferente do conjunto de treinamento� Ap�os a rede
treinada� vem a aplica�c�ao ao problema propriamente dito� Nesta fase a rede pode ser imple
mentada em software ou em hardware e o tempo de processamento dos dados �e m��nimo pois
n�ao envolve itera�c�oes� apresenta se os dados �a rede e ela retorna imediatamente o resultado�
Uma difer�en�ca entre o m�etodos convencionais de processamento e as redes neurais arti�ciais�
�e que a rede n�ao necessita saber qual a fun�c�ao que relaciona os dados de entrada com os de
sa��da� Esta informa�c�ao �e extra��da do conjunto de treinamento pelos pesos da rede� ou seja�
o objetivo da rede �e aprender no sentido do m��nimo erro a fun�c�ao que relaciona os dados de
entrada com os dados de sa��da�
Neste trabalho testamos a aplicabilidade das redes neurais arti�ciais na solu�c�ao de tr�es
poblemas�
�� No problema inverso de eletrorresistividade para um modelo de tr�es camadas� onde
treinamos uma rede MLP com uma camada escondida utilizando dados sint�eticos�
Os modelos gerados pela rede ap�os o treinamento foram utilizados como modelos de
partida para o algor��tmo da invers�ao linearizada com o int�uito de re�nar a solu�c�ao da
�
�
rede�
�� Na invers�ao dos par�ametros hidr�aulicos S e T de um aqu��fero con�nado com poco
totalmente penetrante em regime de �uxo estacion�ario� A resposta da rede foi utilizada
para a confec�c�ao de curvas de rebaixamento com o tempo atrav�es de modelamento
direto�
�� No cancelamento de ru��do colorido e ru��do harm�onico no tra�co s��smico utilizando uma
rede adaptativa�
O texto est�a organizado de modo que no primeiro cap��tulo apresentamos a teoria das
redes neurais arti�ciais� destacando o seu hist�orico� os modelos de redes utilizados neste
trabalho� os m�etodos e algor��tmos de treinamento mais utilizados� No segundo cap��tulo
mostramos a teoria do m�etodo de eletrorresistividade particularizando para as sondagens
el�etricas verticais� a aplica�c�ao de redes neurais arti�ciais ao problema inverso� e a discuss�ao
dos resultados obtidos� No terceiro cap��tulo abordamos o problema inverso dos par�ametros
hidr�aulicos S e T� com a fundamenta�c�ao te�orica do problema� a aplica�c�ao das redes neurais�
resultados e discuss�ao� No quarto cap��tulo apresentamos o uso de redes adaptativas no
cancelamento de ru��do no tra�co s��smico� Neste cap��tulo abordamos tr�es formas de ru��dos� o
ru��do colorido� ru��do harm�onico estacion�ario� e ru��do harm�onico n�ao estacion�ario�
CAP�ITULO �
Redes Neurais Arti�ciais �RNA�
��� Introdu�c�ao
Com o desenvolvimento tecnol�ogico� computadores cada vez mais poderosos foram criados e
postos a prova pelos cientistas a realizarem tarefas que s�ao simples para os humanos� Baseado
em exemplos e com a ajuda de um professor! n�os podemos reconhecer as letras do alfabeto�
separar objetos pela sua forma� etc� Mesmo sem o professor! n�os temos a capacidade de
agrupar padr�oes similares� O �org�ao respons�avel pelo armazenamento e processamento de
informa�c�oes �e o c�erebro�
O desenvolvimento de redes neurais arti�ciais iniciou se na d�ecada de ��� motivado pelo
desejo de entender e reproduzir computacionalmente as fun�c�oes do c�erebro� Limita�c�oes no
m�etodo de aprendizagem e o suporte computacional da �epoca �zeram com que a t�ecnica
fosse pouco explorada�
Recentemente as pesquisas na �area de redes neurais foram retomadas� Este fato ocorreu
devido ao surgimento de novas t�ecnicas de treinamento para redes com arquiteturas mais
so�sticadas� computadores mais r�apidos para o processamento de dados� e tecnologia dis
pon��vel para a produ�c�ao de hardware para redes neurais� Hoje as redes neurais s�ao aplicadas
a v�arios campos de pesquisa� Na engenharia el�etrica elas s�ao aplicadas em processamento
de sinais e teoria de controle� Na ci�encia da computa�c�ao se �rmou como uma ferramenta
poderosa nas �areas de intelig�encia arti�cial e reconhecimento de padr�oes� Para a matem�atica
aplicada� as redes neurais s�ao utilizadas para resolver problemas de modelamento que n�ao
possuam de forma expl��cita a fun�c�ao que relaciona as vari�aveis envolvidas�
Como vimos anteriormente as redes neurais possuem um vasto campo de aplica�c�ao nas
diversas �areas do conhecimento� mas a quest�ao at�e agora n�ao respondida �e� O que �e uma
Rede Neural"
Se entende por Rede Neural Arti�cial um sistema de processamento de informa�c�oes que
possui certas caracter��sticas em comum com as redes neurais biol�ogicas �Fausett� ���� Ela
�e caracterizada por� seu padr�ao de conec�c�ao entre os neur�onios �chamado de arquitetura��
�
�
seu m�etodo de determina�c�ao dos pesos das conex�oes �chamado de treinamento� ou aprendi�
zagem�� e sua fun�c�ao de ativa�c�ao� Vejamos um pouco mais nas se�c�oes seguintes�
��� Neur�onio Biol�ogico
O funcionamento do c�erebro humano constitui um fen�omeno de alta complexidade� que mes
mo com toda a tecnologia alcan�cada at�e este mil�enio� ainda falta muito a ser desvendado�
O ponto de partida para o entendimento do c�erebro humano foi dado por Ram�on Y Caj�al
����� que introduziu a id�eia do neur�onio como estrutura elementar constituinte do c�erebro��E sabido da neuro�siologia que o c�erebro humano cont�em de ���� at�e ���� neur�onios inter
conectados massivamente formando uma grande rede� Na �g����� apresentamos uma vis�ao
esquem�atica de um neur�onio biol�ogico�
Figura ���� Figura esquem�atica do neur�onio biol�ogico� �a� estrutura esquem�atica
do neur�onio� �b� amplia�c�ao das sinapses simpli�cadas
� O soma �e o corpo da c�elula nervosa elementar ou neur�onio� nele ocorre a s��ntese de
prote��nas necess�aria �a sobreviv�encia da mesma� ai ocorre a soma das excita�c�oes�
� O ax�onio �e o canal de sa��da�
� Os dendritos s�ao respons�aveis por ligar o neur�onio a outros neur�onios� Existe cerca
de ��� a ��� dendritos por neur�onio� Os dendritos servem como acessos de entrada de
outros neur�onios atrav�es de contatos especiais chamados de sinapses�
�
� As sinapses funcionam como interface de liga�c�ao entre dois neur�onios e tem a capaci
dade de mudar o potencial do dendrito em positivo ou negativo� Quanto a natureza as
sinapses podem ser de a�c�ao excitat�oria ou inibit�oria�
Vamos analisar o comportamento de um �unico neur�onio� O neur�onio recebe sinais
el�etricos de v�arios outros neur�onios atrav�es dos dendritos� Estes sinais el�etricos tamb�em
conhecidos como impulsos nervosos ou potencial de a�c�ao s�ao combinados no soma atrav�es
de uma fun�c�ao resposta n�ao linear� e se a amplitude do sinal combinado resultante atingir
um limiar de disparo� o neur�onio produz um sinal de sa��da �sinais na forma de um trem de
pulsos� que seguir�a ent�ao pelo ax�onio at�e uma conex�ao sin�aptica� onde ocorre uma transfor
ma�c�ao do sinal el�etrico num sinal qu��mico e que ao chegar no dendrito de outro neur�onio �e
convertido novamente para um sinal el�etrico� reiniciando o processo� O sinal de entrada em
uma sinapse excitat�oria aumenta a raz�ao de pulsos� enquanto que numa sinapse inibit�oria
diminui a raz�ao de pulsos�
��� Modelo Articial
Os neur�onios arti�ciais s�ao unidades de processamento que tentam simular a estrutura e a
fun�c�ao dos neur�onios biol�ogicos� Na �g����� apresentamos o modelo de um neur�onio arti�cial�
yk
x�
�
x�
xp wkp�k
wk�
wk�
uk�����
��
���
Figura ���� Neur�onio Arti�cial
Podemos identi�car neste modelo� os seguintes elementos�
� Os v�arios sinais de entrada xi�
�
� Um conjunto de sinapses que s�ao caracterizadas� cada uma� por um peso wk�
� Um somador que realiza o somat�orio do produto do sinal de entrada pelo peso da
sinapse correspondente�
� Uma fun�c�ao de ativa�c�ao �����em geral n�ao linear� que limita a amplitude do sinal de
saida do neur�onio� Normalmente as amplitudes de sa��da s�ao normalizadas de #���$ ou
de # ���$�
� Liminar de ativa�c�ao ou disparo� representado atrav�es do Threshold �� tamb�em chamado
de o�set ou bias� que tem a fun�c�ao de deslocar a origem da fun�c�ao de ativa�c�ao�
� O sinal de sa��da yk�
Um sinal de entrada xj ao chegar na respectiva sinapse j do neur�onio k� recebe um peso
wkj e ent�ao segue para o somador� onde ocorrer�a uma combina�c�ao linear dos valores de todas
as entradas pelos seus respectivos pesos� tendo como valor de saida�
uk %pX
j��
wkjxj �����
Esse novo sinal combinado passa ent�ao pela fun�c�ao de ativa�c�ao tendo como resposta a
sa��da yk�
yk % ��uk � �k� �����
O primeiro neur�onio arti�cial foi criado por McCulloch e Pitts ������ e �e conhecido na
literatura como o modelo de McCulloch Pitts�
Neste modelo uma soma ponderada de todas as entradas �e comparado com �j� se o
resultado do somat�orio for maior que �j� ent�ao a fun�c�ao de ativa�c�ao retorna como sa��da
o valor �� caso contr�ario o valor ser�a �� Associa�c�ao simples destes neur�onios n�ao possui
capacidade de aprendizagem e generaliza�c�ao�
�� Perceptron
O Perceptron foi criado por Rosenblatt ���� baseado no modelo de McCulloch Pitts� A
inova�c�ao nesse modelo �e a capacidade de aprendizagem� A sa��da do neur�onio �e comparada
com a sa��da desejada correspondente �a entrada� gerando um sinal de erro ej� Este sinal de
erro �e ent�ao utilizado para ajustar os pesos sin�apticos atrav�es da seguinte regra�
�
w�n� �� % w�n� � �#d�n�� y�n�$x�n� �����
onde�
n identi�ca a itera�c�ao� n%���������
w �e o vetor de pesos
x �e o vetor com os valores de entrada
y �e o vetor com os valores de sa��da
d �e o vetor com os valores desejados
� �e uma constante positiva denominada taxa de aprendizagem�
O prop�osito do modelo perceptron �e classi�car padr�oes linearmente separ�aveis� O al
gor��tmo de treinamento do perceptron se encontra no ap�endice A�
��� Adaline e Madaline
O Adaline �adaptive linear neuron� foi criado por Widrow e Ho� na mesma �epoca em
que Rosenblatt criou o Perceptron� Mais adiante criou se uma rede de estrutura complexa
constando de v�arios Adalines� esta rede foi denominada MADALINE �Many Adaline��
O modelo Adaline consiste de um combinador linear para os valores de entrada� utiliza
como fun�c�ao de ativa�c�ao a fun�c�ao degrau� Os pesos e o threshold s�ao ajustados utilizando o
algor��tmo adaptativo que �cou conhecido como regra Delta de Widrow Ho�� Este algor��tmo
foi respons�avel pelo grande avan�co no estudos de redes a partir da d�ecada de ���
��� Redes Multicamadas MLPs�
A rede MLP �Multilayer Perceptron� constitue uma generaliza�c�ao do modelo perceptron de
uma �unica camada� A MLP �e formada por uma camada de entrada� uma ou mais camadas
escondidas e a camada de sa��da �g������ A MLP difere do modelo perceptron n�ao s�o pela
estrutura de mais de uma camada� mas pelo tipo de fun�c�ao de ativa�c�ao� que para este caso
n�ao se restringe s�o a fun�c�ao degrau� e em rela�c�ao ao algor��tmo de aprendizagem a MLP utliza
o m�etodo de retro propaga�c�ao do erro�
A MLP possui tr�es caracter��sticas distintas�
� Cada neur�onio na rede tem como fun�c�ao de ativa�c�ao� uma fun�c�ao n�ao linear diferen
ci�avel� A fun�c�ao utilizada mais comum �e a fun�c�ao sigm�oide�
sa��da
������
���
Camada de Camada dePrimeiracamadaescondida
Segunda
escondidacamadaentrada
Figura ���� Rede MLP com duas camadas escondidas
yj %�
� � e�uj
onde uj �e chamado de n��vel de atividade interna e yj �e a sa��da do neur�onio�
� A rede cont�em uma ou mais camadas escondidas de neur�onios� Estes neur�onios es
condidos capacitam a rede a aprender problemas de maior complexidade extraindo
progressivamente mais caracter��sticas dos vetores de entrada�
� A rede exibe um alto grau de conectividade� determinado pela quantidade de pesos
sin�apticos�
Tanto os neur�onios da camada escondida como os neur�onios da camada de sa��da na MLP�
realizam duas opera�coes� A primeira diz respeito ao c�alculo do est��mulo de sa��da para cada
neur�onio� a segunda opera�c�ao �e o c�alculo do gradiente do erro local com respeito aos pesos
para cada neur�onio� Um fato a ser destacado �e que o est��mulo de sa��da de um neur�onio que
n�ao esteja na camada de sa��da ser�a o sinal de entrada para o neur�onio na camada seguinte�
Desta forma o sinal se propaga no sentido entrada sa��da da rede� por isso s�ao conhecidas
como redes n�ao recorrentes ou feedforward� Enquanto que o sinal do erro� no algor��tmo de
retro propaga�c�ao do erro� se propaga na dire�c�ao contr�aria�
��� RBF � Radial Basis Function
As redes de fun�c�oes de base radial recebem este nome devido ao fato que as mesmas possuem
fun�c�oes gaussianas na camada escondida� Estas redes apresentam a camada de entrada�
uma �unica camada escondida com fun�c�ao de ativa�c�ao n�ao linear� e a camada de sa��da com
um combinador linear� A �loso�a do treinamento das RBFs �g����� pode ser comparado
com um problema de ajuste de dados no espa�co multidimensional� como consequ�encia o
aprendizado �e equivalente a encontrar a superf��cie no espa�co multidimensional que produz o
ajuste �otimo aos dados de treinamento� A generaliza�c�ao �e equivalente a usar esta superf��cie
multidimensional para interpolar os dados de teste �Haykin� ����
Camada de
y
entradaCamada desa��da
���
���
���
���
Camadaescondidacom as fun�c�oesde base raidial
x�
xp
xp��
x�w�
���
wj
wN
� % �
w� % b�
�
�
Figura ���� Rede de fun�c�oes de bases radiais
Uma RBF �e uma fun�c�ao multidimensional que depende da dist�ancia r % jjx� cjj �onde
jj � jj� �e a norma do vetor� entre o vetor de entrada x e o centro da fun�c�ao c �Cichocki
e Unbehauen� ���� As fun�c�oes de base na camada escondida s�ao as fun�c�oes gaussianas
que geram respostas n�ao nulas somente quando o sinal de entrada se encontra em uma
pequena regi�ao em volta do centro da fun�c�ao� Esta regi�ao de atra�c�ao �e conhecida como
campo receptivo�
A equa�c�ao do sinal de sa��da numa RBF �e dado por�
y %hXi��
wi��jjx�k�� cijj� �����
onde ci � � �i % �� �� ���� h� s�ao os centros do espa�co de entrada� e x�k�%#x�� x�� ���� xn$ �e
o vetor de entrada�
As fun�c�oes de base radial mais comuns s�ao�
��
��r� % e�r�
�� �����
��r� % r� log�r� �����
��r� % ��q�r� � ��� �����
��r� %�q
�r� � �������
onde r �e a dist�ancia ao centro receptivo e � �e vari�ancia do campo receptivo�
O desempenho das redes RBFs dependem de tr�es par�ametros� a vari�ancia� os pesos
e os centros� A depend�encia �e maior em rela�c�ao aos centros� O m�etodo mais utilizado
na determina�c�ao dos centros e da vari�ancia �e a t�ecnica de treinamento n�ao supervisionado
chamada K nearest neighbor rule� Esta consiste em discretizar o espa�co de entrada em
grupos e o tamanho de cada grupo �e obtido a partir da estrutura dos dados de entrada� Os
centros dos grupos s�ao os centros das RBFs e a dist�ancia entre os grupos �e a vari�ancia da
gaussiana �Principe� Lefebvre e Lynn� ����
��� M�etodos de Aprendizagem
As redes neurais arti�ciais s�ao modelos criados com base nos neur�onios naturais a�m de
simular� pelo menos parcialmente� a estrutura e fun�c�oes do c�erebro e sistemas nervosos
das criaturas vivas� Entre as propriedades de uma rede arti�cial a mais importante �e a
capacidade de aprendizado� na qual ela aprende a respeito de seu ambiente atrav�es de um
processo iterativo de ajuste aplicado a seus pesos sin�apticos e threshold�
Segundo Mendel e McLaren ����� a aprendizagem �e um processo pelo qual os par�ame
tros livres de uma rede neural s�ao adaptados atrav�es de um processo cont��nuo de simula�c�ao
do ambiente no qual a rede est�a inserida� O tipo de aprendizagem �e determinado pela
maneira que os par�ametros livres s�ao mudados�
Assim como para o ser humano existe v�arios meios de se fazer aprender sobre um deter
minado assunto ou tarefa� tamb�em para as redes arti�ciais existe os m�etodos de treinamento�
que visam o aprendizado da rede para uma certa tarefa!� A seguir descreveremos sobre os
m�etodos de treinamento e abordaremos alguns dos algor��tmos de treinamento mais comuns
utilizados em redes neurais�
����� Treinamento Supervisionado
O treinamento supervisionado tem como caracter��stica um professor� conhecedor do ambien
te� representado por um conjunto de treinamento consistindo de dados de entrada e suas
��
respectivas sa��das desejadas ou alvo� Desta forma os pesos s�ao ajustados em fun�c�ao do vetor
de treinamento e do sinal de erro� Este sinal de erro �e representado pela diferen�ca entre a
resposta desejada e a resposta da rede correspondente a uma dada entrada� Este processo de
apresentar �a rede o conjunto de entrada e as respectivas sa��das desejadas �e repetido at�e que
a rede adquira o conhecimento do ambiente� Na �g����� apresentamos um bloco diagrama
mostrando o treinamento supervisionado�
Sinal de erro
Professor
desejadaReposta
&
�
da redeResposta
aprendizagemSistema de
Ambiente
Figura ���� Bloco diagrama do treinamento supervisionado�
���� Treinamento N�ao Supervisionado
No treinamento n�ao supervisionado � n�ao existe um professor que apresente �a rede a sa��da
desejada� conforme �g������ Somente os padr�oes de entrada s�ao apresentados �a rede durante
o treinamento� Os pesos s�ao ajustados automaticamente de forma a agrupar os padr�oes de
entrada em grupos com caracter��sticas similares� Depois� um est��mulo �e aplicado �a rede que
fornece como resposta um novo sinal que indica a que grupo o est��mulo pertence� Se n�ao
existir um grupo correspondente� ent�ao um novo grupo �e gerado�
Ambiente aprendizagemSistema de
Figura ���� Bloco diagrama do treinamento n�ao supervisionado�
��
���� Treinamento Refor�cado
�E um caso especial do treinamento supervisionado� Al�em de ter o professor! para apre
sentar a sa��da desejada� ele possui um cr��tico! para avaliar a qualidade da sa��da da rede
correspondente a uma determinada entrada� Como exemplo temos o Algor��tmo Gen�etico�
Na �g����� apresentamos o bloco diagrama do treinamento refor�cado�
aprendizagem
conhecimento
Ambiente
Elemento da
Cr��tico
aprendizagem
Sistema de
desempenhodo elemento
refor�coprim�erio
heur�sticorefor�co
A�coesbase do
Figura ���� Bloco diagrama do treinamento refor�cado�
����� Modos de Treinamento
No treinamento de um rede existe duas formas de se apresentar o conjunto de treinamen
to� A primeira �e apresentar cada exemplo de treinamento por vez durante o processo de
aprendizagem� a segunda �e chamada de epoca e consiste numa apresenta�c�ao completa de
todo o conjunto de treinamento durante o processo de aprendizagem� Estas duas formas de
apresenta�c�ao s�ao classi�cadas em dois modos de treinamento� a saber�
� Modo On�line neste modo� o algor��tmo de treinamento ir�a atualizar os pesos ap�os
a apresenta�c�ao de cada modelo� Considerando uma �epoca constituida de N modelos
de treinamento arrumados em ordem #x���� d���� ����� x�N�� d�N�$� o primeiro modelo
que ser�a apresentado �a rede ser�a o par #x���� d���$� Ent�ao conforme o processo de
aprendizagem� o erro ser�a calculado para este modelo e em seguida os pesos ser�ao
��
ajustados� O treinamento continua com a apresenta�c�ao do par #x���� d���$ at�e o �ultimo
modelo #x�N�� d�N�$�
� Modo em Batch neste modo� o algor��tmo de treinamento ir�a atualizar os pesos ap�os a
apresenta�c�ao de todos os modelos� ou seja� de cada �epoca� Neste modo de treinamento
o erro calculado pela rede a cada �epoca� �e o erro m�edio do conjunto�
Do ponto de vista operacional o modo on line �e mais vantajoso do que o modo em batch�
isto porque ele requer menor espa�co para a armazenagem das conec�c�oes sin�apticas �Haykin�
���� al�em de evitar a converg�encia para poss��veis m��nimos locais durante o treinamento
da rede� Contudo a escolha do modo para um bom desempenho do treinamento depender�a
do tipo do problema estudado�
��� Algor��tmos de Aprendizagem
����� Regra Delta de Widrow�Ho�
O algor��tmo Regra Delta de Widrow Ho�� tamb�em denominado de algor��tmo LMS �Least
Mean Square�� foi desenvolvido primeiramente para o treinamento do modelo Adaline e �e
descrito a seguir� Para um neur�onio qualquer da rede� temos que�
u %pX
k��
wkxk ����
e
y % ��u� ������
O sinal de erro �e dado pela express�ao�
e % d � u ������
a fun�c�ao custo que de�ne o erro quadr�atico m�edio �e
J %�
�E#e�$ ������
onde E �e o operador esperan�ca matem�atica� Substituindo a eq���� e eq������ na eq������
e expandindo temos�
��
J %�
�E#d�$�E
�pX
k��
wkxkd
��
�
�E
�� pXj��
pXk��
wjwkxjxk
�� ������
Como o operador E �e linear e assumindo os pesos como constantes podemos reescrever a
express�ao ������ de modo que�
J %�
�E#d�$�
pXk��
wkE#xkd$ ��
�
pXj��
pXk��
wjwkE#xjxk$ ������
renomeando�
a esperan�ca do valor quadr�atico m�edio da resposta desejada d para�
rd % E#d�$
A fun�c�ao correla�c�ao cruzada entre a resposta desejada d e o sinal de entrada xk para�
rdx�k� % E#dxk $ k % �� �� ����� p
e a fun�c�ao de autocorrela�c�ao dos sinais de entrada para�
rx�j� k� % E#xjxk$ j� k % �� �� ����� p
Podemos reescrever de forma mais simpli�cada a eq�������
J %�
�rd �
pXk��
wkrdx�k� ��
�
pXj��
pXk��
wjwkrx�j� k� ������
O plot da fun�c�ao custo �J� em fun�c�ao dos pesos� fornece a superf��cie de erro� O objetivo
do treinamento �e encontrar o conjunto de pesos �otimos de forma que o valor de J seja m��nimo�
para isso calcularemos o gradiente da fun�c�ao J com rela�c�ao ao peso wk e igualaremos a zero�
rwkJ % � k % �� �� ���� p ������
��
rwkJ % �rdx�k� �pX
j��
wjrx�j� k� k % �� �� ���� p ������
pXj��
wojrx�j� k� % rdx�k� k % �� �� ���� p �����
A equa�c�ao a cima �e chamada de equa�c�ao de Wiener Hopf� onde woj representa o conjunto
�otimo de pesos wj� O sistema de equa�c�oes de Wiener Hopf pode ser resolvido utilizando o
m�etodo do gradiente� que consiste em ajustar os pesos de forma iterativa com o objetivo de
se chegar �a solu�c�ao �otima�
Pelo m�etodo do gradiente o ajuste aplicado aos pesos na en�esima itera�c�ao �e feito utilizando
um fator de corre�c�ao dado por�
'wk�n� % ��rwkj�n� k % �� �� ���� p �����
onde � �e uma constante positiva chamada de taxa de aprendizagem� Os valores dos pesos
s�ao atualizados levando em considera�c�ao os valores antigos e o fator de corre�c�ao� ou seja�
wk�n� �� % wk�n� � 'wk�n� ������
wk�n� �� % wk�n�� �rwkJ�n� ������
tendo como resultado �nal�
wk�n� �� % wk�n� � �
��rdx�k��
pXj��
wj�n�rx�j� k�
�� k % �� �� ���� p ������
O Algor� tmo Regra Delta de Widrow�Ho�� utliza as estimativas instant�aneas das
fun�c�oes de autocorrela�c�ao rx�j� k� e da fun�c�ao de correla�c�ao cruzada rxd�k�� sendo que�
�rx�j� k�n� % xj�n�xk�n� ������
�rdx�k�n� % xk�n�d�n� ������
��
Substituindo as express�oes ������ e ������ na eq������� temos�
�wk�n� �� % �wk�n� � �
��xk�n�d�n� �
pXj��
�wj�n�xj�n�xk�n�
��
% �wk�n� � �
��d�n� � pX
j��
�wj�n�xj�n�
��xk�n�
% �wk�n� � � #d�n� � u�n�$xk�n� k % �� �� ���� p ������
Apesar de a primeira vista� o m�etodo do gradiente seja muito parecido com o LMS� existe
certas diferen�cas que precisam ser destacadas� como� o m�etodo gradiente os pesos partem de
um valor inicial e ent�ao s�ao atualizados de forma que seguem uma trajet�oria pr�e de�nida ao
longo da superf��cie de erro no sentido de alcan�car o valor wo �otimo� J�a no LMS o vetor �w�n�
�e uma estimativa do vetor w�n� e que segue uma trajet�oria rand�omica� Por esta raz�ao o
LMS �e algumas vezes referido como gradiente estoc�astico� A seguir apresentamos na �g����
um esbo�co do modelo Adaline treinado com o algor��tmo LMS�
�
���
uy
Threshold �
x�
x�
xp
Resposta Desejadad
eErro
Sa�daw�
w�
wp
�
�
Fun�c�aosinal
Figura ��� Modelo Adaline�
���� O M�etodo de Retro�Propaga�c�ao do Erro �Back�Propagation�
O m�etodo de retro propaga�c�ao� tamb�em chamado de regra delta generalizada� foi desenvol
vido por Werbos ������ redescoberto por Rumelhart et al� ���b� e se popularizou atrav�es
da publica�c�ao de Rumelhart e McClelland ����� O m�etodo de retro propaga�c�ao �e utilizado
para o treinamento da rede perceptron multicamada �MLPs Multilayer Perceptrons��
��
Apresentaremos a seguir o m�etodo aplicado a um �unico neur�onio na camada de sa��da j
de uma MLP �g�����
yj�n
y� � ��
yi�n
wj��n � �j�n
wji�n
Figura ��� Modelo de um neur�onio na camada de sa��da j de uma rede MLP�
O sinal de erro na sa��da do neur�onio j na en�esima itera�c�ao �e dado por
ej�n� % dj�n�� yj�n� ������
o somat�orio do erro quadr�atico para todos os neur�onios da camada de sa��da �e
E�n� %�
�
Xj�C
e�j �n� ������
onde C inclui todos os neur�onios na camada de sa��da� Sendo N o n�umero total de exemplos
no conjunto de treinamento� temos que a fun�c�ao custo �e dada pela express�ao�
Em %�
N
NXn��
E�n� �����
onde Em �e o erro quadr�atico m�edio� O n��vel de atividade interna do neur�onio j represen
tado por uj �e
uj�n� %pXi��
wji�n�yi�n� �����
sendo wj� % � �threshold�� yi s�ao sinais de entrada do neur�onio j referente aos sinais de
sa��da dos neur�onios da camada escondida� onde y� % �� O sinal de sa��da do neur�onio j na
en�esima itera�c�ao �e
�
yj�n� % �j�uj�n�� ������
O m�etodo de retro propaga�c�ao utiliza um fator de corre�c�ao para ajustar os pesos similar
ao gradiente�
'wji % ��E�n�
wji�n�������
Utilizando a regra da cadeia podemos escrever�
E�n�
wji�n�%
E�n�
ej�n�
ej�n�
yj�n�
yj�n�
uj�n�
uj�n�
wji�n�������
calculando as derivadas temos
E�n�
ej�n�% ej�n� ������
ej�n�
yj�n�% �� ������
yj�n�
uj�n�% ��j�uj�n�� ������
uj�n�
wji�n�% yi�n� ������
Substituindo os resultados encontrados acima na eq������
E�n�
wji�n�% �ej�n��
�
j�uj�n��yi�n� ������
o fator de corre�c�ao 'wji pode agora ser reescrito como�
'wji % �j�n�yi�n� �����
onde j�n� % ej�n���j�uj�n�� �e chamado de gradiente local�
�
Agora vamos estender o conhecimento adquirido para um neur�onio i da camada escondi
da� A atualiza�c�ao dos pesos na camada escondida n�ao pode ser feita utilizando a express�ao
acima� pois o sinal de erro n�ao pode ser calculado diretamente� j�a que n�ao existe resposta
desejada espec���ca para esses neur�onios� Portanto o sinal de erro ser�a calculado a partir
do sinais de erro de todos os neur�onios aos quais o neur�onio i da camada escondida esta
conectado� O gradiente local nesta situa�c�ao �e�
i�n� % �E�n�
yi�n�
yi�n�
ui�n������
% �E�n�
yi�n���k�ui�n�� ������
e
E�n�
yi%Xj
ej�n�
yi�n�������
usando a regra da cadeia temos que�
E�n�
yi%Xj
ej�n�ej�n�
uj�n�
uj�n�
yi������
onde
ej�n�
uj�n�% ���j�uj�n�� ������
e
uj�n�
yi% wji ������
Substituindo as eq������ e eq������ na eq������
E�n�
yi% �
Xj
ej�n���
j�uj�n��wji�n� ������
% �Xj
j�n�wji�n� ������
��
O gradiente local para a camada escondida �e dado por�
i�n� % ��i�ui�n��Xj
j�n�wji�n� ������
Por tanto a express�ao para a corre�c�ao dos pesos da camada escondida �e�
'wih�n % �i�n�yh�n� �����
onde o ��ndice h se refere a uma camada �a esquerda da camada i� Esta express�ao pode
ser generalizada para todas as camadas escondidas e para a camada de entrada�
'�s�wkj�n % ��s�k �n�y�s�i �n� �����
para
�s�k �n� % �
�s��
k �uk�n��Xj
�s���j �n�wjk�n� ������
onde s se refere �a camada onde se deseja aplicar a corre�c�ao� No caso de s ser igual a ��
ou seja� a primeira camada� yi % xi que s�ao os vetores de entrada� Desta forma o m�etodo de
retro propaga�c�ao faz a atualiza�c�ao dos pesos partindo da �ultima at�e a primeira camada�
O M�etodo de Retro�Propaga�c�ao do Erro com Momentum
Um grande problema no treinamento de redes �e o fato da superf��cie de erro conter muitos
m��nimos locais e grandes regi�oes planas� O uso de um valor da taxa de aprendizagem �
muito pequeno� causar�a pequenas mudan�cas nos pesos sin�apticos e assegurar�a a converg�encia�
por�em o treinamento se tornar�a lento principalmente em regi�oes planas da superf��cie de erro
e o risco do treinamento convergir para um m��nimo local �e grande� J�a o aumento de �
tornar�a o treinamento mais r�apido� por�em grandes mudan�cas nos pesos sin�apticos tornar�a a
rede inst�avel di�cultando assim a converg�encia� Para se aumentar � e evitar a instabilidade
Rumelhart et al� ���a� inseriu no algor��timo de retro propaga�c�ao um fator chamado de
momentum� A express�ao para a corre�c�ao dos pesos sin�apticos foi modi�cada da seguinte
forma�
��
'wji�n� % �'wji�n� �� � �j�n�yi�n� ������
onde � �e a constante de momentum�
Quando o gradiente do erro possui o mesmo sinal em passos consecutivos� o fator de
corre�c�ao 'wji tende a crescer em magnitude� assim como os pesos� Logo o momentum tende
a acelerar a converg�encia na mesma dire�c�ao� sem provocar oscila�c�ao�
Quando o gradiente do erro apresenta mudan�ca de sinal em passos consecutivos o fator
de corre�c�ao 'wji tende a diminuir sua magnitude� Logo� o momentum causa um efeito
estabilizador nas dire�c�oes de oscila�c�ao do sinal�
���� Generaliza�c�ao
Quando desejamos treinar uma rede neural para resolver um determinado problema� o pri
meiro passo �e construir um conjunto de treinamento que seja o mais representativo poss��vel
do problema� A conseq�u�encia de n�ao faze lo �e que ap�os o treinamento a rede n�ao estar�a pre
parada para cobrir todas as possibilidades de situa�c�oes existentes no problema� Uma outra
quest�ao a ser discutida� �e quando a rede foi treinada utilizando um conjunto representativo
do problema� por�em� ap�os o treinamento a rede s�o consegiu realizar o mapeamento entra
da�sa��da para o conjunto de treinamento� Neste caso dizemos que a rede n�ao generalizou�
O processo de generaliza�c�ao pode ser entendido melhor atrav�es de um problema de ajuste
de curva �g������
�b�
Dados de treinamento
Mapeamenton�ao linear
Generaliza�c�ao
Entrada
Sa��da
Sa��da
Entrada
Dados de treinamento
Generaliza�c�ao
Mapeamenton�ao linear
�a�
Figura ����� �a� Os dados sofreram um over�tt� com isso apresenta uma pobre
generaliza�c�ao� �b� Os dados foram �tados adequadamente resultando
numa boa generaliza�c�ao�
��
Portanto uma rede generaliza quando ela �e capaz de realizar o mapeamento entrada�sa��da
para qualquer conjunto de modelos que n�ao tenham sido utilizados em nenhuma fase do
treinamento da rede�
����� Valida�c�ao cruzada
A valida�c�ao cruzada �e um poderoso crit�erio de parada do treinamento� Na valida�c�ao cruzada
�e necess�ario utilizar um conjunto de teste que pode ser formado tanto por um subconjunto
do arquivo de treinamento ��e comum se utilizar de �� a ��(�� ou um arquivo separado�
No treinamento com a valida�c�ao cruzada� o erro quadr�atico m�edio �e calculado tanto para
os modelos de treinamento como para os de teste� A melhor generaliza�c�ao alcan�cada ser�a
quando o erro quadr�atico m�edio para os modelos do conjunto de teste come�car a aumentar�
Treinamento
Epoch
ErroQuadr�aticoM�edio
Teste
P
Figura ����� Valida�c�ao Cruzada curva do erro quadr�atico m�edio para o conjunto
de treinamento e para o conjunto de teste�
Na �g������ P representa o ponto �otimo de generaliza�c�ao� ou seja� se o treinamento
continuar a partir deste ponto a rede tender�a a decorar! o conjunto de treinamento�
���� Aproximador de fun�c�oes
Em ��� o matem�atico russo Kolmogorov publicou um teorema relativo a representa�c�ao de
fun�c�oes cont��nuas que pode ser diretamente adaptado �a redes neurais multicamadas�
Teorema�
Dada a fun�c�ao cont��nua arbitr�aria f � #�� �$n � �m� f�x� % y� existe sempre para f � uma
implementa�c�ao exata com uma rede neural de tr�es camadas� sendo a camada de entrada um
��
vetor de dimens�ao n� a camada oculta composta por ��n��� neur�onios� e a camada de sa��da
com m neur�onios representando as m componentes do vetor y�
Por este teorema� o vetor de sa��da ser�a o resultado de�
y %�n��Xj��
gj�zj� ������
e
zj %nXi��
�j)�xi � j � � j ������
onde as fun�c�oes de ativa�c�ao gj�z� e )�x� dependem da natureza das fun�c�oes a serem
implementadas�
���� Hist�orico
O modelo de Warren McCulloch e Walter Pitts apresentado �a comunidade cient���ca em
���� �e considerado como a primeria rede neural arti�cial� Eles reconheceram que combi
nando v�arios neur�onios dentro de um sistema neural aumentava o poder computacional� A
caracter��stica da rede de McCulloch Pitts �e a ideia de um threshold� sempre que a entrada
da rede for maior do que o threshold o neur�onio dispara um sinal de ativa�c�ao� Donald Hebb�
f��sico da McGill University� foi o primeiro a desenvolver uma regra de aprendizagem para
as redes neurais arti�ciais� no ano de ��� Ele partiu da suposi�c�ao que� se dois neur�onios
fossem ativados simult�aneamente� ent�ao o peso da conex�ao entre eles deveria aumentar�
As d�ecadas de �� e �� s�ao tidas como as d�ecadas de ouro das redes neurais� No per��odo
de �� a ��� Frank Rosenblat apresentou e desenvolveu uma grande classe de redes neurais
arti�ciais chamada Perceptrons� A regra de aprendizagem dos perceptrons usa um processo
iterativo para ajustar os pesos mais poderoso do que a regra de Hebb� Bernard Widrow e
seu estudante Marcian Ho�� em ���� desenvolveram a Regra Delta� A regra delta foi um dos
maiores avan�cos para o desenvolvimento das redes neura��s arti�ciais� A rede desenvolvida
por Widrow Ho� �e conhecida como ADALINE� que �e interpretado como Adaptive Linear
Neuron ou Adaptive Linear System�
A d�ecada de �� representou o per��odo de calmaria para as redes� Teuvo Kohonen �����
introduziu as Redes Neurais Arti�ciais como Mem�oria Associativa� James Anderson tamb�em
em �� desenvolveu estudos sobre as redes como mem�oria associativa� Estas redes tem co
mo �area de aplica�c�ao o diagn�ostico m�edico� Nesta d�ecada tamb�em� Stephen Grossberg e
��
Gail Carpenter desenvolveram a teoria sobre Redes Neurais de Auto�Organiza�c�ao tamb�em
chamada Teoria da Ressonancia Adaptativa�
Na d�ecada de � volta o est��mulo ao estudo e aplica�c�oes das RNAs� O M�etodo de Retro
Propaga�c�ao do Erro desenvolvido por Werbos em ���� por�em n�ao muito divulgado� foi
redescoberto independentemente por Parker���� e por LeCun ����� Contudo o m�etodo
ganhou fama a partir dos trabalhos publicados por Rumelhart e seus colegas Williams e
McClelland� John Hop�eld �Pr�emio Nobel de F��sica� junto com David Tank desenvolveram
diversas redes baseadas em pesos �xos e ativa�c�oes adaptativas� Kunihiko Fukushima e seus
colegas do NHK Laboratories em Tokyo tem desenvolvido uma s�erie de redes especializadas
no reconhecimento de padr�oes� Uma das redes �e chamada de neocognitron� Atualmente
um n�umero consider�avel de pesquisadores tem sido envolvidos no desenvolvimento de redes
neurais n�ao determin��sticas� que s�ao redes nas quais os pesos e a ativa�c�ao mudam com base na
fun�c�ao probabilidade de densidade #Kiekpatrick� Gelatt� * Vecchi� ��� Geman * Geman�
��� Ackley� Hinton� * Sejnowski� ��� Szu * Hartley� ��$� Estas redes incorporam
id�eias cl�assicas como simulated annealing e teoria da decis�ao de Bayesian� Outro grande
desenvolvimento para redes �e a sua implementa�c�ao em hardware�
CAP�ITULO �
Eletroresistividade
��� Introdu�c�ao
A resist�encia oferecida por um material �a passagem de um �uxo de corrente atrav�es do
mesmo �e conhecido como resistividade� o fen�omeno contr�ario �e chamado de condutividade�
Na prospec�c�ao geof��sica essas propriedades dos materiais s�ao a base dos m�etodos el�etricos e
eletro magn�eticos�
A condu�c�ao de corrente el�etrica nos minerais se d�a por dois processos� eletr�onico ou
i�onico� Com base nestes processos os s�olidos podem ser subdivididos em metais �Ex� cobre�
ouro�� semi condutores �Ex� sulfetos� e s�olidos eletrol��ticos �Ex� silicatos� �Keller e Fris
chknecht� ����� Em uma rocha a passagem de um �uxo de corrente n�ao depende apenas
das propriedades dos minerais que a constitui� em virtude de nos minerais encontramos os
vazios ou poros� e estes poros podem se apresentar parcialmente ou totalmente preenchidos
por uma solu�c�ao de �agua e sais dissolvidos� Para o caso em que n�ao ocorra uma grande con
centra�c�ao de minerais met�alicos na rocha� a passagem da corrente se dar�a prefer�encialmente
pela solu�c�ao�
Conrad Schlumberger foi o primeiro a introduzir correntes el�etricas na terra� atrav�es da
distribui�c�ao de potencial medida na superf��cie a �m de estudar a subsuperf��cie� Sua id�eia
foi comparar a distribui�c�ao de potencial conseguida por uma corrente aplicada �a terra real�
com a distribui�c�ao que existiria se a terra fosse homog�enea �Kunetz� ����� Com base nestes
estudos surgiu o m�etodo de eletroresistividade que foi aplicado pela primeira vez em ���
para o prospec�c�ao de ferro na Normandia�
��� M�etodo de Eletrorresistividade � Sondagem El�etrica Vertical
SEV�
O m�etodo de eletrorresistividade utiliza fontes arti�ciais que geram correntes �cont��nua ou
alternada de baixa frequ�encia�� as quais s�ao introduzidas na terra atrav�es de eletrodos� O
m�etodo se prop�oe� utilizando as medidas da distribui�c�ao de potencial causado pelas correntes
��
��
induzidas� extrair informa�c�oes a respeito da distribui�c�ao de resistividade em subsuperf��cie�
A express�ao que relaciona a resistividade com o potencial el�etrico� �e deduzida assumindo
um modelo de um semi espa�co condutor com a fonte na superf��cie �ver ap�endice A��
V %I�
����
r�����
Para a medida de difer�en�ca de potencial entre dois pontos M e N causado por um �uxo
de corrente I transmitida �a terra por uma fonte atrav�es de dois eletrodos de corrente A e
B� sendo adotado para A �entrada� um sinal positivo e para B �sa��da� um sinal negativo
Fig�����
r4=BN
A B
M N
I
V
r1r2
r3r4
r1=AM
r2=BM
r3=AN
Figura ���� Arranjo
temos que
VM %�I
��
�
r��
�I
��
�
r�%
�I
��
��
r��
�
r�
������
VN %�I
��
�
r��
�I
��
�
r�%
�I
��
��
r��
�
r�
������
ent�ao
VMN % VM � VN �����
%�I
��
��
r��
�
r��
�
r��
�
r�
������
%�I
��
��
AM�
�
BM�
�
AN�
�
BN
������
��
Esta express�ao pode ser rearrumada para termos o valor da resistividade em fun�c�ao dos
demais par�ametros�
� %��VMN
I
�
�AM
� �BM
� �AN
� �BN
�����
ou
� %��VMN
I
�
�AM
� �BM
� �AN
� �BN
����
K %��
�AM
� �BM
� �AN
� �BN
����
onde K �e chamado de fator geom�etrico�
A resistividade acima medida �e aquela para ummeio homog�eneo e isotr�opico� logo ela ser�a
constante em todo o meio estudado para qualquer corrente e arranjo de eletrodos utilizado�
isto �e� para qualquer ponto do meio a raz�ao VMNK
Ipermanecer�a a mesma� No caso de ummeio
heterog�eneo �a terra real�� se mudarmos os espa�camentos dos eletrodos� ou se �xarmos os
espa�camentos e andarmos com o arranjo ao longo da superf��cie do terreno� a raz�ao VMNKI
ir�a
mudar� Obteremos para cada medida um valor diferente para a resistividade� se existirem
varia�c�oes laterais da mesma dentro do meio� Esta quantidade medida �e conhecida como
resistividade aparente �a�
��� Con�gura�c�ao de eletrodos
Como vimos acima a disposi�c�ao dos eletrodos no terreno possui papel fundamental na medida
da resistividade aparente� Diversos arranjos de eletrodos foram pesquisados� apresentamos
na Fig����� os tr�es arranjos mais conhecidos e suas respectivas express�oes de �a�
�� Modelo de n�camadas horizontais
At�e este ponto� calculamos a resistividade da terra utilizando um modelo de um semi espa�co
homog�eneo e condutivo com a fonte na superf��cie� Por�em� sabemos atrav�es de estudos
geol�ogicos� que as rochas no substrato apresentam diversas varia�c�oes de forma quando em
conjunto� formando estruturas complexas� Dentre as v�arias estruturas poss��veis� adotou se
para o modelamento da terra atrav�es da resistividade� o modelo de camadas estrati�cadas
plano horizontais� por motivos de simpli�ca�c�ao matem�atica� A express�ao do potencial para
�
A B
�a �VMNI��a�
b�
b�
�
N
a a a
A BM N
a a
b
Schlumberger
A B M N
a ana
Dipolo�dipolo
�a �VMNI�an�n� ���n� ��
�a �VMNI��a
Wenner
M
Figura ���� Arranjo Wenner� Schlumberger e Dipolo dipolo com suas respectivas
express�oes de �a� A e B corresponde aos eletrodos de corrente� M e N
aos de potencial
�
um meio estrati�cado plano horizontal com uma fonte na superf��cie �e encontrada em Sato
��� sendo�
V� %��I
��
��
r�Z�
�
�� �G�e
���z�
� �G�e���z�� �
�J���r�d�
�������
onde o ��ndice � corresponde �a primeira camada e G� pode ser obtido recursivamente por�
Gi %�� ��i����i�Fi� � ��i����i�Fi
Fi %��Gi��e
���hi��
� �Gi��e���hi��
Gi�� % ������
Fn�� % �
Gn % �
Podemos mostrar� a partir destas express�oes� que a express�ao da resistividade aparente
�a para o arranjo Schlumberger considerando o modelo de n camadas plano horizontais �e�
�a�S % ��
�� �
a
b�
�
�
��a� b���
Z�
�
���G�e
���z�
� �G�e���z�� �
�J����a� b����d�
� a
b�
�
�
��a� b���
Z�
�
�� �G�e
���z�
� �G�e���z�� �
�J����a� b����d�
�������
T�ecnicas de levantamento
No campo o dados de eletroresistividade podem ser coletados utilizando duas t�ecnicas de
levantamento� per�lagem ou sondagem el�etrica vertical�
A per�lagem el�etrica consiste em efetuar as medidas com o objetivo de determinar a
varia�c�ao de resistividade ao longo do terreno� Ela ser�a horizontal quando as medidas forem
tomadas na superf��cie do terreno� e vertical ou inclinada quando as medidas forem tomadas
ao longo de po�cos ou galerias respectivamente�
A sondagem el�etrica vertical tamb�em conhecida como SEV� consiste em efetuar as medi
das na superf��cie com o objetivo de determinar a varia�c�ao da resitividade com a profundidade�
Neste trabalho utilizou se apenas dados de SEV�
��
��� O problema inverso para dados de SEV
O problema inverso em eletroresistividade consiste em atrav�es dos dados de resistividade
aparente ��a� e afastamento de eletrodos �AB��� coletados em campo� se obter os par�ametros
resistividade �i e espessura hj das camadas em subsuperf��cie� onde i e j variam da seguinte
forma� i%��������N e j%���������N ��� sendo N o n�umero de camadas�
Para se conseguir chegar ao vetor �otimo de par�ametros estimados que reproduza os dados
de campo� �e feita uma pesquisa no dom��nio ou espa�co de par�ametros a �m de obter aqueles
que forne�cam o menor erro quadr�atico m�edio entre os dados observados e os dados calculados
para o conjunto de par�ametros estimado�
Tradicionalmente o ajuste dos dados calculados e observados �e feito atrav�es da Invers�ao
Linearizada� Este m�etodo procura� a partir de um ponto de partida no espa�co de modelos�
encontrar o melhor vetor de par�ametros que minimize a fun�c�ao do erro quadr�atico entre os
dados observados e calculados� A desvantagem deste m�etodo� est�a na depend�encia de um
modelo de partida que esteja o mais pr�oximo poss��vel da solu�c�ao global� em caso contr�ario
o m�etodo poder�a divergir ou convergir para um m��nimo local�
A express�ao iterativa utilizada na invers�ao linearizada para a atualiza�c�ao do vetor de
par�ametros no sentido dos m��nimos quadrados �e�
mk�� % mk � �GtkGk�
��Gtk�dobs � f�mk�� ������
onde�
mk�� �e o vetor de par�ametros da itera�c�ao k�� �atualizado�
mk �e o vetor de par�ametros da itera�c�ao k �corrente�
G �e a matriz sensitividade
dobs �e o vetor de dados observados
f�mk� �e o vetor de dados calculados com os par�ametros da itera�c�ao k
O fato de se encontrar o modelo �otimo� n�ao quer dizer que este corresponda ao modelo
real da subsuperf��cie� pois o m�etodo de eletroresistividade apresenta ambiguidade em sua
interpreta�c�ao� Isto quer dizer que n�ao existe solu�c�ao �unica para o problema� ou seja� a
superf��cie de erro na invers�ao poder�a conter dois ou mais m��nimos globais�
�� RNA para o problema de invers�ao
O objetivo deste cap��tulo �e utilizar as RNAs para o problema de invers�ao de dados de SEVs�
Foram adotados� para o treinamento de uma rede multicamada �MLP�� dados sint�eticos de
��
SEV com arranjo Schlumberger de eletrodos para modelos de tr�es camadas�
���� O conjunto de dados
Uma primeira quest�ao a ser abordada no treinamento de redes �e a escolha de um conjunto de
exemplos para treinamento que seja representativo do problema que se deseja abordar� Por
isso os dados sint�eticos de resistividade aparente foram gerados aleatoriamente utilizando
par�ametros que variaram na seguinte faixa de valores� ��� � �i � ��� + e � � hj � ���m�
Foram gerados conjuntos de treinamento com ��� e ���� modelos�
��� A topologia
A escolha da topologia �e fator decisivo no treinamento� pois a capacidade das RNAs em
solucionar um problema �e determinada pela topologia e pelos pesos das conex�oes sin�apticas�
Utilizamos uma MLP com � camada escondida� A�m de encontrarmos o n�umero �otimo de
neur�onios na camada escondida� realizamos testes variando este n�umero de �� a �� neur�onios�
��� O treinamento
O treinamento foi feito utilizando o software Neurosolution� Nele diversos testes foram
realizados com a rede MLP� tendo como algor��timo de treinamento o retro propaga�c�ao do
erro com momentum� Foi adotada como fun�c�ao de ativa�c�ao� para todos os neur�onios� a
fun�c�ao sigm�oide� Este software apresenta a vantagem de se poder alterar os par�ametros do
treinamento� mesmo depois deste j�a iniciado� Os referidos par�ametros podem ser divididos
em duas classes�
� Par�ametros do algor��tmo de retro propaga�c�ao do erro com momentum
�� Taxa de aprendizado Controla a velocidade de aprendizado da rede� Se este
valor for muito pequeno o aprendizado da rede ser�a lento� por�em se for muito
grande pode ocorrer ocscila�c�oes ou at�e diverg�encia no treinamento�
�� Constante de momentum adiciona ao gradiente certa quantidade de in�ercia�
Sua maior contribui�c�ao esta em dar ao gradiente a abilidade de escapar de m��nimos
locais
� Par�ametros da fun�c�ao de ativa�c�ao�
��
�� Beta Especi�ca a inclina�c�ao da fun�c�ao de ativa�c�ao
�� Bias mean Quando a rede �e randomizada� os bias s�ao randomizados em torno
de um valor m�edio e dentro de uma faixa de varia�c�ao� Este par�ametro especi�ca
o valor m�edio em torno do qual os valores ser�ao randomizados�
�� Bias variance Este par�ametro especi�ca a faixa de varia�c�ao em que os valores
do bias ser�ao randomizados�
A randomiza�c�ao dos valores� ocorre na inicializa�c�ao da rede ou ap�os cada reini
cializa�c�ao�
A rede foi treinada utilizando conjuntos de treinamento de ��� e ���� modelos� o modo
de treinamento adotado foi o modo em batch� Os dados antes de entrarem na rede sofreram
um pr�e processamento� onde lhes foram aplicados a fun�c�ao Ln �logar��timo neperiano� a�m de
reduzir o teor de n�ao linearidade inerente ao problema de resistividade� Tamb�em os dados
de treinamento e valida�c�ao foram normalizados automaticamente pelo programa antes do
treinamento�
Foram testadas v�arias topologias para os dois conjuntos de treinamento� A rede que
alcan�cou melhor generaliza�c�ao no treinamento foi uma rede MLP com uma camada escondida
contendo �� neur�onios treinada com um conjunto de ���� modelos� Apresentamos na �g�����
uma vis�ao esquem�atica da topologia escolhida�
�a��
��
��
��
h�
h�
�a�
�a�
���
���
Camada escondida
com �� neur�onios
Camada
de sa��da
�a�
Camada
de entrada
Figura ���� Rede MLP com a topologia �otima alcan�cada mostrando a camada de
entrada com �� resistividades aparentes� a camada escondida com ��
neur�onios� e a camada de sa��da com os � par�ametros do modelo de �
camadas�
��
���� Constru�c�ao e treinamento da MLP no Neurosolution
A constru�c�ao da rede MLP obedeceu as seguintes etapas�
� Arquivo de dados Pelo fato do treinamento da MLP ser supervisionado� deve ser
apresentado �a rede os dados de entrada e suas respectivas sa��das�
� An�alise da rede a forma escolhida para analisar o desempenho da rede foi a valida�c�ao
cruzada� Utilizamos ��( do arquivo de entrada para realizar o teste de valida�c�ao� neste
a rede alcan�car�a o ponto �otimo de generaliza�c�ao quando o erro da valida�c�ao cruzada
aumentar �ver sec�c�ao ������
� Topologia da rede nesta etapa informamos ao programa o n�umero de camadas escon
didas �op�c�ao uma camada escondida��
� Con�gura�c�ao das camadas esta etapa trata do n�umero de neur�onios na camada escon
dida� da fun�c�ao de ativa�c�ao que ser�a usada em uma ou todas as camadas da rede� e da
regra de aprendizado e seus par�ametros� A rede em quest�ao foi constru��da para ter ��
neur�onios na camada escondida� utilizar como fun�c�ao de ativa�c�ao a fun�c�ao sigm�oide� e
treinada pelo algor��timo de retro propaga�c�ao do erro com momentum�
� Controle da simula�c�ao trata do crit�erio utilizado para parar o treinamento� neste ponto
o programa apresenta tr�es op�c�oes� n�umero m�aximo de epochs� ou seja� o n�umero de
vezes que o conjunto de treinamento ser�a apresentado �a rede �valor escolhido ������
epochs�� mudan�ca do erro que pode ser por um aumento no erro ou quando o
mesmo alcan�car um valor m��nimo estipulado �op�c�ao escolhida aumento do erro��
Nesta etapa �e mostrada a op�c�ao de atualiza�c�ao dos pesos� online onde os pesos s�ao
atualizados ap�os a apresenta�c�ao de cada modelo ou batch onde os pesos s�ao atualizados
ap�os a apresenta�c�ao de todo o conjunto de treinamento �op�c�ao escolhida batch��
� Ferramentas gr�a�cas para o acompanhamento do treinamento o Neurosolution dis
ponibiliza cinco pontos na rede nos quais podemos conectar editor de dados� gr�a�cos
de barra� e outros para acopanhar o treinamento �op�c�ao padr�ao��
� Simula�c�ao nesta etapa con�rmamos a constru�c�ao da rede e partimos para o treina
mento propriamente dito�
O treinamento �e a fase onde se gasta tempo e recurso computacional� Como j�a mencio
nado na se�c�ao ������� no Neurosolution os par�ametros do treinamento podem ser alterados
durante o mesmo de forma a se buscar o menor erro entre a sa��da da rede e a sa��da desejada�
e isto j�a se constitui uma economia de tempo para o treinamento� Na tabela����� apresenta
mos os par�ametros utilizados no treinamento da MLP visando um menor erro e uma melhor
generaliza�c�ao para o problema�
��
Camada de entrada Camada escondida Camada de sa��da
Taxa de aprendizado ��� ��� ���
Constante de momentum ��� ��� ���
Beta �� ��
Bias Mean ���� ����
Bias Variance ��� ���
Tabela ��� Par�ametros utilizados no treinamento� referentes ao algor��timo de re�
tropropaga�c�ao do erro com momentum e �a fun�c�ao de ativa�c�ao �fun�c�ao
sigm�oide�
Ap�os o treinamento� a rede foi submetida a um conjunto de teste de ��� modelos� A sa��da
da rede foi utilizado num programa de modelamento direto para a constru�c�ao de curvas de
resistividade aparente as quais foram plotadas juntamente com as curvas de resistividades
aparentes observadas� Analisaremos agora alguns resultados obtidos�
1
10
100
1000
1 10 100 1000
Res
istiv
idad
e (o
hm.m
)
Afastamento (m)
Modelo 1
"Dados_observados""Modelo_da_rede"
Figura ��� Plot contendo os dados observados e o modelo calculado pela rede
Na �g� ��� apresentamos o gr�a�co com as curvas do modelo observado e do modelo
calculado a partir da rede� Para estas duas curvas foi calculado o ��ndice de ajuste f atrav�es
da express�ao�
f � P
n
i���aobs�acalc
Pn
i����aobs
�P
n
i����acalc
� ����
Na eq� ���� o m�aximo ��ndice de ajuste alcan�cado �e ����� As curvas da �g� ��� apresen�
taram um ��ndice de ajuste de ���� os dados referentes aos dois modelos se encontram
��
na tabela� � �� Nesta tabela apresentamos al�em do valor de cada par�ametro os modelos ob�
servado e calculado� e o erro entre os par�ametros observados e calculados� Dois par�ametro�
�� e h�� apresentaram os maiores erros�
Fonte �� �� �� h� h�
Modelo real � ��� ���� ����� ��� � �
Modelo calculado pela rede ����� ������ � ��� �����
e � jParobs � Parcalcj ��� ���� ��� ��� ���
Tabela � � Tabela referente aos par�ametros observados e calculados do modelo�
Na �g� ��� apresentamos um segundo exemplo contendo a curva de dados observados e
a curvas de dados calculados pelo modelamento direto utilizando a sa��da da rede� O ��ndice
de ajuste entre as curvas para este segundo modelo foi de ��� �
1
10
100
1000
1 10 100 1000
Res
istiv
idad
e (o
hm.m
)
Afastamento (m)
Modelo 2
"Dados_observados""Modelo_da_rede"
Figura ��� Plot contendo os dados observados e o modelo calculado pela rede
Os dados referente a este modelo se encontram na tab� ���� Dentre os erros calculados
para os par�ametros� o maior corresponde ao da segunda resistividade�
Fonte �� �� �� h� h�
Modelo real ��� ������ �� � ��� �����
Modelo calculado pela rede �� ������ �� ���� �����
e � jParobs � Parcalcj �� ���� �� � �� � ��
Tabela ��� Tabela referente aos par�ametros observados e calculados do modelo
��
��� RNA � invers�ao linearizada
Apesar da rede ter apresentado resultados aceit�aveis� �e notado que o ajuste das curvas n�ao
�e �otimo� Para solucionar este problema adotamos um procedimento combinando a rede
treinada com a invers�ao linearizada� Como a invers�ao depende fortemente de um modelo
inicial� a nossa proposta �e utilizar a sa��da da rede como tal modelo� mostraremos que estes
modelos inicias garantem a converg�encia para o m��nimo global em todos os casos� fornecendo
como resultado os par�ametros reais utilizados na gera�c�ao dos dados sint�eticos�
Primeiramente apresentaremos uma compara�c�ao entre resultados obtidos com a invers�ao
linearizada utilizando o modelo inicial da rede e um modelo inicial qualquer para os modelos
� e �
1
10
100
1000
1 10 100 1000
Res
istiv
idad
e (o
hm.m
)
Afastamento (m)
Modelo 1
"Dados_observados""Modelo_da_rede"
"Modelo_da_inversao"
1
10
100
1000
1 10 100 1000
Res
istiv
idad
e (o
hm.m
)
Afastamento (m)
Modelo 1
"Dados_observados""Modelo_inicial"
"Modelo_da_inversao"
�a� �b�
Figura ��� Plot do modelo � contendo� �a� curva dos dados observados� modelo
inicial dado pela rede� modelo calculados pela invers�ao linearizada� �b�
curva dos dados observados� modelo incial qualquer� modelo calculado
pela invers�ao�
Na �g� ��� o modelo invertido partindo do modelo inicial da rede� convergiu com apenas
� itera�c�oes� enquanto que partindo de uma modelo inicial no qual todos os par�ametros apre�
sentavam o dobro do valor real o resultado diverge a partir de � � itera�c�oes� Na tabela� ���
apresentamos o resultado do teste acima� sendo que para o modelo inicial que divergiu os
dados correspondem a invers�ao at�e ��� itera�c�oes�
Para o modelo repetimos o mesmo experimento� partindo de um modelo inicial com os
par�amtros sendo o dobro do valor real e partindo do modelo da rede� Para o modelo inicial
da rede a invers�ao linearizada convergiu com apenas quatro itera�c�oes� j�a para o modelo
inicial qualquer a invers�ao divergiu a partir de ��� itera�c�oes� Apresentamos na tabela� ���
os resultados do segundo teste� O modelo invertido apresentado na tabela partiu do modelo
inicial qualquer�
��
Fonte �� �� �� h� h�
Modelo real � ��� ���� ����� ��� � �
Modelo calculado pela rede ����� ������ � ��� �����
Modelo inicial qualquer ����� ������ ����� ����� � ����
Modelo invertido �sem o uso da RNA� ����� �� ������ � ���� � ���� ��� ��
Tabela ��� Tabela referente aos par�ametros observados e calculados do modelo�
1
10
100
1000
1 10 100 1000
Res
istiv
idad
e (o
hm.m
)
Afastamento (m)
Modelo 2
"Dados_observados""Modelo_da_rede"
"Modelo_da_inversao"
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1 10 100 1000
Res
istiv
idad
e (o
hm.m
)
Afastamento (m)
Modelo 2
"Dados_observados""Modelo_inicial"
"Modelo_da_inversao"
�a� �b�
Figura ��� Plot do modelo � contendo� �a� curva dos dados observados� modelo
inicial dado pela rede� modelo calculados pela invers�ao linearizada� �b�
curva dos dados observados� modelo incial qualquer� modelo calculado
pela invers�ao�
Fonte �� �� �� h� h�
Modelo real ��� ������ �� � ��� �����
Modelo calculado pela rede �� ������ �� ���� �����
Modelo inicial qualquer ������ ������ ����� ����� ������
Modelo invertido �sem o uso da RNA� ��� ������ ����� ��� ��� ��� ���
Tabela ��� Tabela referente aos par�ametros observados e calculados do modelo
�
Abaixo apresentamos outros modelos invertidos utilizando a resposta da rede como mo�
delo incial�
1
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Res
istiv
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Modelo 3
"Dados_observados""Modelo_da_rede"
"Modelo_da_inversao"
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Modelo 4
"Dados_observados""Modelo_da_rede"
"Modelo_da_inversao"
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Modelo 5
"Dados_observados""Modelo_da_rede"
"Modelo_da_inversao"
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Modelo 6
"Dados_observados""Modelo_da_rede"
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"Dados_observados""Modelo_da_rede"
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"Dados_observados""Modelo_da_rede"
"Modelo_da_inversao"
�
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Modelo 9
"Dados_observados""Modelo_da_rede"
"Modelo_da_inversao"
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istiv
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e (o
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Modelo 10
"Dados_observados""Modelo_da_rede"
"Modelo_da_inversao"
��
��� Discuss�ao dos resultados
Nos testes realizados para a invers�ao inicializando�a com um modelo qualquer� veri�cou�
se a depend�encia do m�etodo com os modelos iniciais Em alguns casos n�ao ocorreu a di�
verg�encia� como nos exemplos mostrados acima� mas houve converg�encia para m�nimos locais
�par�ametros estimados diferente dos par�ametros verdadeiros�
Os dados das resistividades aparentes� calculados pelo modelamento direto utilizando os
resultados obtidos pela rede apresentaram um�ndice de ajuste aceit�avel quando comparados
com os respectivos dados das resistividades aparentes observadas� por�em n�ao alcan caram o
�ndice m�aximo Desta forma o modelo gerado pela rede� apesar de pr�oximo� n�ao corresponde
ao m�nimo global da superf�cie de erro quadr�atico� necessitando assim de um agor�timo de
busca local no espa co dos modelos para re�nar a solu c�ao dada pela rede
A utiliza c�ao da resposta da rede como modelo incial para a invers�ao linearizada garantiu
uma converg�encia segura e r�apida para a solu c�ao global
CAP�ITULO �
Par�ametros de Aq�u��feros
��� Introdu�c�ao
A determina c�ao das propriedades hidr�aulicas �porosidade� coe�ciente de armazenamento�
transmissividade� condutividade hidr�aulica� s�ao de grande inport�ancia no dimensionamento
de po cos para a extra c�ao de �agua subterr�anea A t�ecnica utilizada para se deteminar as
propriedades hidr�aulicas �e conhecida como ensaio de bombeamento Nele um po co produtor
�e bombeado a uma taxa constante enquanto se observa o rebaixamento do n�vel piezom�etrico
em um ou mais po cos de observa c�ao �Piez�ometro� A interpreta c�ao �e feita comparando�se a
curva constru�da com os dados do teste �rebaixamento � tempo� com uma curva chamada
curva padr�ao� a qual �e obtida atrav�es das solu c�oes anal�ticas de uma express�ao difer�encial
de segunda ordem� denominada equa c�ao difer�encial do movimento das �aguas
Neste cap�tulo testaremos a aplicabilidade das RNAs para se obter o coe�ciente de ar�
mazenamento e a transmissividade a partir dos dados coletados no ensaio de bombeamento�
para o modelo de um aq�u�fero con�nado submetido a um regime de �uxo n�ao estacion�ario
��� Fundamenta�c�ao Te�orica
Antes de abordarmos o problema propriamente dito� vamos apresentar� de forma resumida�
alguns conceitos importantes para o desenvolvimento do cap�tulo
Um aq�u��fero �e uma camada saturada� forma c�ao� ou grupo de forma c�oes que produz
signi�cativa quantidade de �agua Al�em de aq�u�fero� duas outras denomina c�oes s�ao dadas �as
forma c�oes quanto a sua capacidade de produzir �agua� s�ao elas� aquitarde � camada saturada�
forma c�ao� ou grupo de forma c�oes que produz inapreci�avel quantidade de �agua comparada
ao aq�u�fero� mas que apresenta uma permeabilidade razo�avel� aquiclude � camada saturada�
forma c�ao� ou grupo de forma c�oes que produz inapreci�avel quantidade de �agua e n�ao apresenta
uma permeabilidade razo�avel
Os aq�u�feros podem ser livres ou con�nados Dentre estes dois tipos� iremos concentrar
nossa aten c�ao na descri c�ao dos aq�u�feros con�nados� que s�ao alvo de nosso estudo para este
��
��
cap�tulo
Os aq�u�feros con�nados tamb�em conhecidos como artesianos� s�ao aqueles no qual a �agua
subterr�anea se encontra sobre press�ao Neste tipo de aq�u�fero a camada saturada se encontra
limitada na base e no topo por aquitardes e�ou aquicludes A depender do tipo de camada
limitante� os aq�u�feros con�nados podem ser subdivididos em aq�u�feros semi e totalmente
con�nados �g����
Aq�u��fero
N��vel Piezom�etrico
Aquiclude
Aquiclude
Po�co Artesiano
�a�
Aquitarde
Po�co Artesiano
Superf��cieSuperf��cie
N��vel Piezom�etrico
Aquiclude
�b�
Aq�u��fero
Figura ��� Aq�u�fero totalmente con�nado �a�� e semi�con�nado �b�
A capacidade que um aq�u�fero tem de armazenar �agua est�a intimamente ligado ao seu
conte�udo de vazios� quanto maior for o conte�udo de vazios� tamb�em chamado poros� maior
ser�a a quantidade de �agua armazenada Uma medida percentual da quantidade de vazios
num aq�u�fero �e dado pela porosidade ���� e �e expressa como a raz�ao entre o volume total de
vazios e o volume total da rocha�
� �Vv
Vtot
����
onde Vv �e o volume de vazios e Vtot �e o volume total da rocha Os vazios podem se
apresentar numa rocha com diferentes tamanhos e formas� interconectados ou n�ao Esta va�
riedade est�a ligada aos processos de forma c�ao da rocha� bem como altera c�oes sofridas em sua
estrutura por eventos intemp�ericos ou metam�or�cos que tenham corrido ap�os sua forma c�ao
Estruturalmente� rochas sedimentares� �gneas e metam�or�cas apresentam caracter�sticas dis�
tintas� logo �e de se esperar que a porosidade varie entre estes tipos de rocha Nas rochas
sedimentares a porosidade �e de origem inter�granular� j�a nas rochas metam�or�cas e �gneas
ela est�a relacionada �a presen ca de fraturas Por�em o fato de uma rocha apresentar vazios e
estes vazios estarem preenchidos por �agua� n�ao signi�ca dizer que toda a �agua presente po�
der�a ser retirada Isto porque uma parte da �agua �ca retida nos vazios por for cas de atra c�ao
��
molecular como coes�ao �atra c�ao entre mol�eculas adjacentes de �agua� e ades�ao �atra c�ao entre
as paredes do poro e as mol�eculas de �agua adjacentes�
Como as propriedades gerais dos aq�u�feros s�ao de transmitir� armazenar e produzir �agua�
se faz necess�ario a de�ni c�ao de alguns par�ametros importantes para a de�ni c�ao dessas pro�
priedades�
� Condutividade hidr�aulica�k� � indica a habilidade da �agua �uir atrav�es do aq�u�fero
sobre um gradiente hidr�aulico
� Transmissividade�T� � indica a capacidade do aq�u�fero de transmitir �agua atrav�es de
um faixa vertical de largura unit�aria e espessura igual a espessura da camada saturada
� Coe�ciente de armazenamento�S� � num aq�u�fero con�nado� �e o volume de �agua que
�e adicionado ou retirado de um prisma de base unit�aria� com altura igual a altura da
camada saturada� para se variar a press�ao piezom�etrica de uma unidade Nos aq�u�feros
con�nados S varia de ���� at�e ����
Este dois �ultimos par�ametros s�ao muito importantes na hidr�aulica de po cos� pois a trans�
missividade indica quanta �agua poder�a mover�se atrav�es da forma c�ao e o coe�ciente de
armazenamento� indica quanta �agua poder�a ser removida por drenagem ou bombeamento
Um po co �e uma estrutura hidr�aulica que� bem projetado e constru�do� permite a extra c�ao
econ�omica de �agua de uma forma c�ao saturada Essa extra c�ao de �agua n�ao deve ser feita de
forma indiscriminada� pois a quantidade de �agua armazenada num aq�u�fero depende do
volume do mesmo e da condi c�ao de recarga�reposi c�ao do volume extra�do� Quando um
po co �e bombeado ocorre na vizinhan ca do mesmo uma queda no n�vel de �agua� esta queda �e
denominado de rebaixamento �s� O maior rebaixamento acontece no po co e decresce quando
se afasta do mesmo� conforme �g����
Aq�u��fero
s
r �
Q
�
h h�
Aquiclude
Po�co de
Po�co
Produtor
�uxo radial
Aquiclude
cone de
depress�ao
Superf��cie Observa�c�ao
N��vel Piezom�etrico
Figura ��� Aq�u�fero artesiano com po co totalmente penetrante
��
Matematicamente o movimento das �aguas subterr�aneas num aq�u�fero homog�eneo e iso�
tr�opico de espessura constante� obedece �a seguinte express�ao�Jacob� ������
�h
�x�
�h
�y�
�h
�z�
S
T
�h
�t����
onde h �e o n�vel piezom�etrico� S �e o coe�ciente de armazenamento e T �e a transmissivi�
dade A partir desta express�ao podemos analisar o comportamento da �agua subterr�anea nos
aq�u�feros con�nados explorados atrav�es dos po cos de produ c�ao
����� Aq�u��fero con�nado com poco totalmente penetrante submetido a regime
de uxo n�ao estacion�ario
Como j�a foi mencionado anteriormente� quando um po co �e bombeado o n�vel de �agua nele
�e mais baixo do que na sua vizinhan ca Em torno do po co cria�se� ent�ao� uma superf�cie
rebaixada de �agua que apresenta inclina c�ao crescente em dire c�ao ao po co� essa superf�cie �e
conhecida como cone de depress�ao� ver �g���� Quando o bombeamento no po co �e realizado
por uma grande quantidade de horas� �e observado que a expans�ao do cone e sua profundidade
apresentam varia c�oes decrescentes com o tempo at�e alcan car varia c�oes quase impercept�veis
Neste est�agio diz�se que o po co se encontra em regime de �uxo estacion�ario Apesar das
varia c�oes no cone de depress�ao serem impercept�veis� as mudan cas na profundidade e no
raio de alcance continuam a ocorrer� por isso o regime do �uxo estacion�ario n�ao representa
as condi c�oes reais��uxo n�ao estacion�ario� Em ���� Theis desenvolveu uma f�ormula para o
c�alculo do rebaixamento levando em conta o tempo de bombeamento na produ c�ao do po co
A express�ao desenvolvida �e conhecida como a f�ormula do regime n�ao estacion�ario
Para a dedu c�ao da f�ormula� Theis assumiu as seguintes hip�oteses�
� Aq�u�fero homog�eneo e isotr�opico
� Espessura uniforme
� �Area in�nita
� O aq�u�fero n�ao recebe recarga
� O po co recebe �agua em toda a espessura da forma c�ao aqu�fera
� A �agua proviniente do armazenamento �e descarregada instant�aneamente� com redu c�ao
da carga
��
Partindo de equa c�ao���� em coordenadas polares
�h
�r�
�
r
�h
�r�
S
T
�h
�t����
onde r �e a dist�ancia do po co produtor a um ponto de observa c�ao� conforme �g�����
aplicamos a condi c�ao de contorno� h� h quando r �� para t � ��
limr�
�r�h
�r
��
Q
��T����
utilizando a condi c�ao inicial h�r� �� � h para t � �� chegamos �a solu c�ao da eq���� para
o modelo de um aq�u�fero con�nado �Hantush� ������
h � h �Q
��T
Z�
r�S
�Tt
e�u
udu ����
u �rS
�Tt����
onde
s � rebaixamento �m�
r � dist�ancia do po co at�e um ponto de observa c�ao �m�
Q � vaz�ao �m��h�
t � tempo de bombeamento �h�
T � transmissividade�m�h�
S � coe�ciente de armazenamento
Na eq���� podemos substituir a difer�en ca entre os n�veis piezom�etricos h e h pelo re�
baixamento s� de forma que�
s � h � h
s �Q
��T
Z�
r�S
�Tt
e�u
udu ����
Na literatura o termo da integral �e conhecido como fun�c�ao po�co para aq�u��feros con�nados
e representado simbolicamente por W�u� �Hantush� �����
W �u� �Z�
u
e�u
udu ����
��
Expandindo em s�eries a integral W�u�� temos que�
W �u� � ������� � lnu��Xn��
����nun
n � n�����
Classicamente os par�ametros S e T s�ao obtidos atrav�es de compara c�ao gr�a�co�visual
Neste m�etodo contr�oi�se uma curva �s� t� com os dados obtidos no teste de bombeamento
em papel log�log� e uma outra com valores de W�u����u tamb�em em papel log�log Esta
�ultima curva �e conhecida como Curva Padr�ao de Theis O gr�a�co dos dados de campo �e
ent�ao sobreposto �a curva padr�ao� fazendo�se com que os pontos coincidam ou se ajustem sobre
algum trecho da curva pandr�ao Ap�os o ajuste das curvas� escolhe�se um ponto coincidente
em que essas apresentem maior superposi c�ao As coordenadas do ponto coincidente s�ao
ent�ao substituidas nas eq���� e eq����� de forma a se obter o coe�ciente de armazenamento
e a transmissividade
Neste cap�tulo propomos a aplica c�ao de RNAs para a obten c�ao dos par�ametros S e T�
atrav�es dos dados de rebaixamento s
��� RNA para o problema de aqu�fero
Utilizamos um conjunto de ��� modelos para o treinamento da rede� e um conjunto de ��
modelos para testar a rede ap�os o treinamento Todos os dados foram gerados sinteticamente
utilizando a eq���� Os par�ametros S e T variaram no seguinte intervalo� ��������� � S �
���� � ����� e ���� � T � ���� m�h O modelo proposto para o treinamento da rede �e de
um aq�u�fero con�nado com po co totalmente penetrante� bombeado a uma vaz�ao constante
de Q���� m��h e a dist�ancia po co�piez�ometro �e de r � ��m
Todo o treinamento foi realizado no software MATLAB Neste testamos duas topologias�
redes multicamadas �MLPs�� e redes de fun c�oes radiais de bases �RBFs� Depois da rede
treinada submetemos �a mesma o conjunto de teste com �� modelos� os resultados obtidos
pela rede �S e T� foram utilizados num programa de modelamento direto para se obter os
dados de rebaixamento com tempo� para cada modelo Para avaliar o desempenho da rede�
calculamos o �ndice de ajuste entre as curvas dos dados observados e calculados atrav�es da
express�ao�
fs ��P
n
i�� sobsscalcPn
i�� sobs
�P
n
i�� scalc
�����
��
Valores
Disp freq ��
Max neuron ����
Err goal ����
spread ����
Tabela ��� Valores dos par�ametros de treinamento da RBF no MATLAB
onde� n � �e o n�umero de rebaixamentos medidos
sobs � s�ao os rebaixamentos observados
scalc � s�ao os rebaixamento calculados a partir do resultado da rede
����� O treinamento
No MATLAB os par�ametros de treinamento s�o podem ser ajustados antes de iniciar o trei�
namento� caso que n�ao ocorre no Neuro Solution� conforme se c�ao�����
Para a RBF os par�ametros de treinamento mais importante s�ao max neuron� que �e o
n�umero m�aximo de neur�onios que a rede deve ter� e pelo spread� que �e um par�ametro de
vari�ancia que regula a abertura do cone da fun c�ao gaussiana No treinamento da RBF os
neur�onios s�ao adicionados �a rede um de cada vez� at�e que se alcance ou ultrapasse o err goal�
ou que se chegue ao n�umero m�aximo de neur�onios Os par�ametros utilizados no treinamento
est�ao na tabela����
����� Resultados obtidos no treinamento da RBF
Como j�a foi dito anteriormente� a sa�da da rede foi utilizada para que� atrav�es do modela�
mento direto� pud�essemos criar curvas de rebaixamento com o tempo para comparar com os
dados observados Na �g���� apresentamos um dos melhores modelos obtidos pela rede Os
par�ametros S e T correspondente a este modelo se encontra na tabela���� Nela podemos
observar que o pequeno erro entre os dois modelos �e devido ao par�ametro T O �ndice de
ajuste entre as curvas alcan cou o valor m�aximo de ���� conforme �g���� Estes resultados
evidenciam uma �otima generaliza c�ao da rede para o problema proposto
Agora apresentamos na �g����� o pior modelo da rede referente aos vinte modelos uti�
lizados para testar a generaliza c�ao da mesma Novamente o maior erro entre os modelos
observado e calculado� esta associado ao par�ametro T� conforme tabela���� O �ndice de
ajuste entre as curvas� neste modelo� n�ao alcan cou o valor m�aximo� por�em �e bastante ra�
zo�avel� o que con�rma a boa generaliza c�ao
��
0.01
0.1
1
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Reb
aixa
men
to (
m)
Tempo (min)
Modelo 10
"Modelo_observado""Modelo_da_rede"
Figura ���� Curva dos dados observados e modelo gerado com os dados da rede� O
��ndice de ajuste foi de ��
Modelo� S T
Modelo Observado �� ��� �
Modelo da Rede �� ��� �
e�j�dobs � drede�j ��
Tabela ���� Valores do erro calculado para o modelo�
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Modelo 11
"Modelo_observado""Modelo_da_rede"
Figura ���� Curva dos dados observados e modelo gerado com os dados da rede� O
��ndice de ajuste foi de �������� ��
Modelo� S T
Modelo Observado �� �����
Modelo da Rede �� ������
e�j�dobs � drede�j ����
Tabela ���� Valores do erro calculado para o modelo��
��
A seguir mostramos outros resultados obtidos com a RBF para o conjunto de teste�
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Modelo 1
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Modelo 2
"Modelo_observado""Modelo_da_rede"
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Modelo 3
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Modelo 4
"Modelo_observado""Modelo_da_rede"
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Modelo 5
"Modelo_observado""Modelo_da_rede"
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Modelo 6
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Modelo 7
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Modelo 8
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Modelo 9
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Modelo 11
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Modelo 12
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Modelo 13
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Modelo 14
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Modelo 15
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Modelo 16
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Modelo 17
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Modelo 18
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Modelo 19
"Modelo_observado""Modelo_da_rede"
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Modelo 20
"Modelo_observado""Modelo_da_rede"
��
��� Discuss�ao dos resultados
Os resultados obtidos com a rede de fun�c�oes de base radial� mostraram�se bastante ex�
pressivos� revelando uma boa generaliza�c�ao da rede� As curvas geradas a partir deles em
compara�c�ao com a dos dados observados� obtiveram �ndices de ajuste aceit�aveis�
Entre os parametros treinados� o coe�ciente de armazenamento S mostrou um melhor
resultado em rela�c�ao a transmissividade T� A explica�c�ao para este fato� est�a ligado ao grau
de n�ao linearidade� que um parametro pode apresentar mais que o outro� Se voltarmos �a
eq ����� podemos notar que o rebaixamento s possui uma rela�c�ao direta com o parametro S
e inversa com o parametro T j�a que este se encontra no denominador da express�ao� conforme
tamb�em eq ����� Como o parametro T apresenta um grau de n�ao linearidade maior do que
o parametro S� a rede necessitaria de mais informa�c�oes para poder mapea�lo melhor�
CAP�ITULO �
Cancelamento de ruido em tra�co s��smico
��� Introdu�c�ao
Para que possamos realizar uma boa interpreta�c�ao num problema geof�sico� os dados uti�
lizados devem re�etir tanto quanto poss�vel as propriedades do meio investigado� para os
dados s�smicos isso n�ao �e diferente� Os dados s�smicos s�ao compostos de duas informa�c�oes�
o sinal que �e a parte dos dados relacionada com o objeto investigado� e o ru��do representado
pela parte restante� Os ru�dos podem ser classi�cados em� coerentes ou peri�odicos�� quan�
do mostram um padr�ao regular no sismograma e os incoerentes ou rand�omicos�� que n�ao
apresentam um padr�ao sistem�atico� Como exemplo temos�
� Ru�dos coerentes � interferencia de �� Hz e harmonicas provenientes de linhas de for�ca�
m�aquinas rotativas em aquisi�c�oes terrestres� ondas de superf�cie� re�ex�oes e refra�c�oes
originadas em estruturas pr�oximas �a superf�cie como plano de falha� m�ultiplas�
� Ru�dos incoerentes � pode chegar simultaneamente de v�arias fontes� vento no geofone
fazendo�o mexer� movimento das ra�zes das �arvores gerando ondas s�smicas� fragmentos
do solo ejetadados devido a detona�c�ao da fonte de tiro e que cai pr�oximo a um geofone�
A presen�ca destas formas de ru�do nos dados s�smicos pode degradar os resultados dos
precedimentos convencionais do processamento s�smico� V�arios procedimentos s�ao utilizados
a�m de se controlar a in�uencia do ru�do nos dados coletados� Algumas ferramentas b�asicas
podem ser manipuladas ainda em campo de forma a minimizar o conte�udo de ru�do� s�ao elas�
O tamanho e a profundidade da fonte� arranjo dos receptores� arranjo das fontes e �ltragem
eletronica� Se o ru�do tiver uma alta energia� por�em fora da faixa principal de freq�uencia do
sinal� ent�ao pode ser feito um pr�e�processamento com um �ltro passsa�banda de forma a se
eliminar esse ru�do�
Neste cap�tulo a nossa proposta �e a utiliza�c�ao de uma rede adaptativa ao problema de
cancelamento de ru�do coerente e incoerente em tra�co s�smico�
��
��
��� Fundamenta�c�ao Te�orica
Para se entender o cancelamento do ru�do atrav�es de uma rede adaptativa� vamos analisar o
seguinte exemplo� Vamos supor que uma pessoa esteja falando ao microfone� e que pr�oximo
a ela exista uma fonte de ru�do ac�ustico �g ����� Nesta situa�c�ao o microfone sensor� captar�a
tanto a voz s como o ru�do ac�ustico n� de forma que teremos um sinal combinado y � s �
n��
O sinal combinado y forma a entrada para o cancelador� Um segundo sensor recebe um
ru�do nr que n�ao �e correlacionado com o sinal s� por�em �e correlacionado de alguma forma
com o ru�do n�� Este sensor �e a entrada de referencia para o cancelador� O ru�do nr �e ent�ao
�ltrado para produzir uma sa�da u pr�oxima de n�� Esta sa�da �e subtraida de y para produzir
a resposta do sistema� y � u�
Erro
Sa��dado �ltro
do sistema
y�u
Sa��da
��
�
Fonte
Fontedo sinal
Entrada
prim�aria
Entrada
de refer�encia
Cancelamento adaptativo de ru��do
de ru��doFiltro
Adaptativo
y�s���
�r
u
Figura ���� Teoria do cancelamento adaptativo
O objetivo pr�atico dos sistemas de cancelamento de ru�do� �e produzir uma sa�da do
sistema� y � u� que apresente o melhor ajuste� no sentido dos m�nimos quadrados� para o
sinal s� Isto �e feito alimentando uma rede adaptativa cuja sa�da volta ao sistema para ajuste
de seus pesos atrav�es de um algor�timo adaptativo� Em outras palavras a sa�da da rede serve
como sinal de erro para o processo adaptativo�
����� O modelo s��smico
Como j�a foi citado anteriormente o ru�do em dados s�smicos� consiste num elemento nocivo
ao processamento convencional� Abordaremos neste cap�tulo a utiliza�c�ao de redes adapta�
tivas para o cancelamento de ru�do� A �g ���� representa um modelo esquem�atico de um
levantamento s�smico no qual o ru�do de referencia �e coletado pelo geofone zero que se en�
contra em cima da fonte de ru�do� e o geofone � coleta o sinal combinado� ru�do interferente
� tra�co s�smico� onde o ru�do interferente sofre modi�ca�c�oes em sua estrutura no caminho
��
percorrido desde a fonte de ru��do at�e o geofone � �
0
fontede ruido fonte Geofones
1 2 3 4
Figura ��� Modelo s��smico mostrando a interferencia do ru��do no tra�co s��smico
As modi�ca�c oes citadas anteriormente ocorrem para todos os sinais que viajam na sub�
superf��cie� isto porque a terra se comporta como um �ltro que converte um impulso de
entrada numa s�erie de vibra�c oes �Robinson e C�oruh� ������ Estas vibra�c oes s ao registradas
no sismograma� Na �g����� podemos ver as principais componentes do �ltro terra�
H � H�e��r
entrada receptorabsor�c�ao
de re�ex�aoe refra�c�ao
espalhamento
coe�cientes
geom�etrico
fonte
zona da
Superf�icie da Terra
R� �H�
H�
H �
H�
r
R� �H�
H�
Figura ��� Componentes do �ltro da terra� Estas componentes ilustram os v�arios
efeitos que ocorre dentro da terra para mudar o sinal de entrada� Pri�
meiro� a terra transforma o pulso de entrada numa wavelet� Ent ao� ela
divide essa wavelet em v�arias outras atrav�es de re�ex oes e refra�c oes� e
altera estas wavelets por absor�c ao e espalhamento geom�etrico
Os ru��dos utilizados na simula�c ao s ao ru��do harmonico estacion�ario� harmonico n ao
estacion�ario e ru��do colorido�
��
��� RNA aplicada ao tratamento de ru��do
O objetivo proposto neste experimento foi testar a aplicabilidade de redes adaptativas no
cancelamento de ru��do no tra�co s��smico� Na �g�� apresentamos de forma esquem�atica a
origem dos sinais que ir�ao alimentar a rede� bem como a pr�opria rede adaptativa�
y
H�
Rede Adaptativa
Fonte de ru��do
H�
�
tra�cos��smico
Rede linear
��
erro
Interior da terra
�
Figura � Gera�c�ao dos ru��dos interferente e de refer�encia� soma ao tra�co s��smico
do ru��do interferente e alimenta�c�ao da rede adaptativa
Onde H� e H� s�ao �ltros de caracter��sticas diferentes que simulam tipos de �ltragens
distintas que sofrer�ao o ru��do de refer�encia e o ru��do interferente �que ser�a somado ao tra�co
s��smico� A �gura ainda mostra a alimenta�c�ao da rede pelos dois sinais tra�co�ru��do inter�
ferente e ru��do de refer�encia�
O experimento foi diviido em tr�es fases
� Cancelamento de ru��do harm�onico estacion�ario�
� Cancelamento de ru��do harm�onico n�ao estacion�ario� e
� Cancelamento de ru��do colorido�
Todos os dados foram gerados sint�eticamente� O tra�co s��smico utilizado �g���� possui
��� amostras com o intervalo de amostragem de � milisegundos e foi gerado atrav�es de
programa fortran� Os ru��dos foram gerados no software MATLAB� onde utilizamos de �ltros
FIR�Finite Impulse Response� passa banda� para simular o efeito de �ltragem da terra no
ru��do interferente e no ru��do de refer�encia�
Os par�ametros de entrada requeridos no treinamento de uma rede adaptativa no MA�
TLAB� s�ao vetor de entrada� vetor de sa��da� pesos e bias inicias que s�ao gerados rand�omicamente
pelo programa� e a taxa de aprendizagem� Durante o treinamento o programa fornece como
��
sa��da novos pesos e bias� o erro� e o sinal de sa��da� Dentre as informa�c�oes que a rede nos
d�a como sa��da� a mais importante para n�os �e o erro� Isto porque como estamos dando para
ela o ru��do de referencia e o tra�co com ru��do� ela tentar�a reproduzir na sua sa��da o sinal de
ru��do que �e o sinal comum nos vetores de entrada� Portanto ela interpretar�a como sinal de
erro o tra�co s��smico que �e n�ao correlacion�avel com ru��do� e que �e o nosso objetivo�
Apresentaremos a seguir os resultados obtidos nos experimentos propostos�
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Am
plitu
de
Tempo (s)
Traco sismico
Figura ��� Tra�co s��smico
����� Cancelamento de ruido harm�onico estacion�ario no tra�co s��smico
O sinal da fonte de ru��do foi gerado a partir da express�ao
fonte � �� cos����f��t� ��� � �� cos����f��t� ��� �� �
onde f����Hz � f�� ��Hz� ��������rd� e ��������rd�
O ru��do interferente �g����� representa o sinal que �e gerado pela fonte de ru��do� sofre
mudan�cas em seu conte�udo de freq�uencia e em sua amplitude devido �as propriedades de
absor�c�ao do meio e �e captado pelo geofone juntamente com o sinal desejado �tra�co s��smico��
Este sinal apresenta o dobro da amplitude do tra�co s��smico�
O procedimento seguinte foi somar o ru��do interferente com o tra�co s��smico �g�����
��
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Am
plitu
de
Tempo (s)
Ruido Harmonico
Figura ��� Ruido interferente harmonico estacion�ario
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Am
plitu
de
Tempo (s)
Traco+Ruido Harmonico
Figura ��� Tra�co � Ruido interferente harmonico estacion�ario
No treinamento o melhor valor para a raz�ao de aprendizagem foi de ������ O sinal de erro
fornecido pela rede na �g����� mostra o seu aprendizado com o tempo� Para os primeiros
dados de entrada correspondente aos primeiros tempos� notamos que o sinal de erro n�ao
reproduz o tra�co� Por�em pr�oximo a �����s� o sinal de erro reproduz o tra�co� mostrando o
aprendizado da rede�
Ap�os o treinamento da rede submetemos �a mesma� o vetor tra�co com ru��do� O resultado
pode ser visto na �g�����
��
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Am
plitu
de
Tempo (s)
Erro da Rede
Figura ��� Sinal de erro da rede adaptativa
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Am
plitu
de
Tempo (s)
Saida da Rede
Figura ��� Sinal de sa��da da rede adaptativa� caso estacion�ario�
���� Cancelamento de ruido harm�onico nao estacion�ario no tra�co s��smico
O sinal da fonte de ru��do foi gerado pela seguinte express�ao�
S� � �� cos����f��t� ��� � � cos����f��t� ��� para � � t � t� ����
S� � �� sin����f��t� ��� � �� sin����f��t� ��� para t� � t � �� � seg ����
onde S� e S� correspondem respectivamente �a primeira e segunda parte do sinal ru��do
interferente �g�� �� os valore f e � s�ao� f� � f����Hz � f� � f�� ��Hz� �� � �����rd�
��������rd� �� � �� e ��� ���rd�
�
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Am
plitu
de
Tempo (s)
Ruido
Figura � �� Ruido interferente harmonico n�ao estacion�ario
O vetor de entrada da rede foi constru��do de duas formas distintas� a�m de realizarmos
dois testes�
� Como o sinal de ru��do possui duas freq�uencias que podem ser conhecidas atrav�es da
an�alise do espectro de freq�uencia� utilizamos uma matriz de senos e cossenos como sinal
de entrada� O princ��pio utilizado foi que todo sinal peri�odico pode ser reproduzido
atrav�es de uma s�erie de senos e cossenos�
f�t� ��X
n��
�An cos�t�Bn sin�t� ���
Desta forma alimentamos a rede com uma matriz de senos e cossenos com freq�uencias
pr�e�de�nidas� e os pesos wij equivaler�ao aos coe�cientes An e Bn da eq���� Na
�g�� � encontramos um desenho esqum�atico deste teste�
y� �
Sinal � ru��do
w�
w�
w�
w�
�
�
cos��ti
sin��ti
cos��ti
sin��ti
Sinal de erro
Figura � � Rede adaptativa com entrada de senos e cossenos
��
�� A segunda forma� foi transformar o vetor com o sinal ru��do de referencia� em uma
matriz na qual os componentes est�ao atrazados de uma amostra� A rede neste caso�
possui a estrutura de um �ltro transversal conforme �g�� ���
Sinal de erro
w�kw�k
xk z��
xk��z��
xk��z��
w�k w�k
z��
xk��xk�L
wLk
Sinal � ru��do
yk��
�
�
Figura � �� Rede adaptativa com estrutura de �ltro transversal
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Am
plitu
de
Tempo (s)
Ruido
Figura � �� Tra�co � Ruido interferente harmonico n�ao estacion�ario
O treinamento foi realizado para os dois vetores de entrada� sendo que para o primeiro
teste a raz�ao de aprendizagem �otima foi de lr � ���� e para o segundo teste lr � ����
Na �g�� �� apresentamos o tra�co somado ao ru��do� na �g�� � o sinal de erro da rede
referente ao teste e na �g�� �� o sinal de erro referente ao teste �� Para os teste e � o
erro referido corresponde ao sinal de erro da rede propriamente dito�
��
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Am
plitu
de
Tempo (s)
Sinal de erro para o teste 1
Figura � � Sinal de erro da rede adaptativa para o teste
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Am
plitu
de
Tempo (s)
Sinal de erro para o teste 2
Figura � �� Sinal de erro da rede adaptativa para o teste �
�
����� Cancelamento de ruido colorido no tra�co s��smico
O sinal da fonte de ru��do branco foi obtido atrav�es de fun�c�ao espec���ca do MATLAB para
gerar valores aleat�orios� este sinal de ru��do branco sofreu ent�ao uma �ltragem onde foram
eliminadas algumas freq�uencias do seu espectro� transformando�o num ru��do colorido�
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Am
plitu
de
Tempo (s)
Ruido Colorido
Figura � �� Ruido Colorido
Na �g�� �� apresentamos o tra�co somado ao ru��do colorido�
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Am
plitu
de
Tempo (s)
Traco + Ruido Colorido
Figura � �� Tra�co � Ruido Colorido
A rede foi alimentada pelo ru��do de referencia e pelo sinal tra�co � ru��do interferente� A
rede neste experimento tem a estrutura de um �ltro transversal conforme �g�� ��� e obteve
��
melhor desempenho no treinamento quando treinada com a taxa de aprendizagem de �����
O sinal de erro mostrando a adapta�c�ao da rede �e mostrado na �g�� ���
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Am
plitu
de
Tempo (s)
Erro da Rede
Figura � �� Sinal de erro da rede adaptativa
Ap�os o treinamento voltamos a apresentar �a rede o sinal tra�co�ru��do interferente� O
resultado do cancelamento do ru��do pode ser visto na �g�� ��� A explica�c�ao para o ru��do
que ainda permanece no tra�co� �e que apesar do ru��do de referencia e do ru��do interferente
serem coloridos eles possuem diferen�cas no seu conte�udo de frequencia pois passaram por
�ltros de caracter��sticas diferentes� Como a rede adaptativa trabalha com a correla�c�ao de
sinais� existe um conte�udo de freq�uencia que n�ao possui correla�c�ao com os dois sinais de
ru��do�
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Am
plitu
de
Tempo (s)
Saida da Rede
Figura � �� Sinal de sa��da da rede adaptativa
��
��� Discuss�ao dos resultados
Para o cancelamento de ru��do estacion�ario� obtemos da rede adaptativa um bom resultado�
O tra�co s��smico foi recuperado na ��ntegra sem haver dano ao mesmo�
No problema de ru��do n�ao estacion�ario o sinal de erro para o teste � mostra uma adapta�c�ao
r�apida da rede para a primeira parte do ru��do� Na segunda parte a rede desestabiliza devido
a mudan�ca do sinal ru��do mas logo ap�os volta a adaptarse ao problema� No teste �� a
adapta�c�ao do sinal �e lenta para a primeira metade do tra�co chegando a n�ao se adaptar ao
sinal de ru��do como no teste �� Na segunda m�etade a rede n�ao sofre uma desestabiliza�c�ao
expressiva como no testes � e segue limpando a segunda metade do tra�co� A explica�c�ao para
este resultado �e que os pesos da rede representam os coe�cientes da s�erie de senos e cosseno
logo� quando ocorre mudan�ca nos coe�cientes os pesos n�ao satisfazem mais a condi�c�ao para
a primeira metade do ru��do e volta ao processo de adapta�c�ao� No segundo teste cada um dos
vetores coluna da matriz �e apresentado a rede com o atraso de uma amostra� �e calculado um
sinal de erro que �e usado para adaptar os pesos da rede� Quando o sinal de erro mudar suas
caracter��sticas� a amostra referente ao ponto de mudan�ca estar�a presente em mais de um
vetor da matriz de entrada� desta forma o processo de adapta�c�ao n�ao sofrer�a uma mudan�ca
brusca�
Para o problema do ru��do colorido a rede apresentou um resultado satisfat�orio� cancelando
a maior parte do ru��do contido nele�
CAP�ITULO �
CONCLUS�OES
Neste trabalho testamos a aplicabilidade das redes nurais arti�ciais na solu�c�ao de tr es
problemas geof��sicos� O problema inverso de eletrorresistividade para um modelo de tr es
camadas� a invers�ao dos par ametros hidr�aulicos T e S para o modelo de um aq�u��fero con�nado
submetido a regime de �uxo n�ao estacion�ario� e o cancelamento de ru��do em tra�co s��smico�
Este �ultimo constando de tr es tipos de ru��do� ru��do harm onico estacion�ario� harm onico n�ao
estacion�ario e ru��do colorido�
Os resultados obtidos pela rede MLP com uma camada escondida contendo quarenta
neur onios� mostraramse satisfat�orios� As curvas de resistividade aparente conseguidas pelo
modelamento direto com dados de sa��da da rede referente ao conjunto de teste� apresentaram
um bom ajuste quando comparadas com a curva observada dos dados sint�eticos� Por�em a
solu�c�ao obtida n�ao correspondeu a solu�c�ao global em nenhum dos modelos testados� nesces
sitando da utiliza�c�ao do m�etodo de invers�ao linearizada para a obten�c�ao da solu�c�ao global�
A utiliza�c�ao dos modelos da rede como modelos iniciais para a invers�ao linearizada ga
rantiu uma converg encia segura e r�apida� em todos os modelos testados� para a solu�c�ao
global�
O teste realizado com a RBF para a invers�ao dos par ametros hidr�aulicos T e S mostraram
se aceit�aveis� Os resultados obtidos com o conjunto de teste mostrou a generaliza�c�ao da rede
para modelos quaisquer�
Em todos os modelos testados obtivemos o mesmo valor de S para o modelo calculado
e observado� J�a o par ametro T apresentou um pequeno erro� devido ao seu grau de n�ao
linearidade no problema� A compara�c�ao das curvas observada e calculada mostraram um
ajuste �otimo na maioria dos modelos�
O cancelamento de ru��do harm onico estacion�ario em tra�co s��smico por meio de uma rede
adaptativa apresentou bons resultados� O ru��do foi retirado do tra�co sem degradalo�
Os resultados obtidos no cancelamento do ru��do n�ao est�acion�ario mostra a capacidade
da rede de se adaptar as condi�c�oes do ambiente com o tempo� Neste teste o sinal de erro da
rede mostra uma boa estimativa do tra�co s��smico mesmo na parte em que o sinal de ru��do
muda de comportamento�
��
��
O resultado �nal da rede adaptativa para o cancelamento de ru��do colorido mostrou
resultados aceit�aveis� conservando as amplitudes do tra�co e aumentando signi�cativamente
a rela�c�ao sinal�ru��do�
��� Aplica�c�oes Futuras
A aplicabilidade de redes neurais arti�ciais a dados geof��sicos mostrouse satisfat�oria� Os
resultados obtidos s�ao animadores e apontam a necessidade de um estudo aprofundado na
aplica�c�ao de MLP ao problema inverso de eletrorresistividade� A aplica�c�ao de redes asso
ciativa poder�a ser testada para o caso em que se trabalhe com modelos de uma ou mais
camadas�
Um preprocessamento dos dados do conjunto de treinamento para o modelo de aqu��fero�
com a fun�c�ao ln poder�a ser �util na melhoria do par ametro T�
A aplica�c�ao de dados reais a todas as redes treinadas neste trabalho inclusive no problema
de cancelamento de ru��do se faz necess�ario para a consolida�c�ao do m�etodo�
AGRADECIMENTOS
Agrade�co primeiramente a Deus pela minha exist encia neste mundo e por todas as gra�cas
concedidas a mim por ele�
Ao CNPQ pela pela oportunidade de desenvolver este trabalho e pela bolsa de inicia�c�ao
cient���ca respons�avel por eu ter terminado o curso de Bacharelado em Geof��sica sem nenhuma
interrup�c�ao�
Ao orientador deste trabalho� Dr� Telesson Neves Teles pelo acompanhamento e incentivo�
Aos professores Dr� Olivar Lima� Dr� Edson Sampaio� e o Ms� Joaqu��m Xavier� dos quais
absorvir experi encia de vida e conhecimento da pro�ss�ao�
Aos colegas Je�erson Pitombo� Atahebson Santos� Gustavo Gomes e Rommel Mendes
pela ajuda em momentos dif��cies de minha vida acad emica e pessoal� Aos demais colegas da
inicia�c�ao pelo companherismo e solidariedade�
Aos funcion�arios do CPGG�UFBA� em especial ao Joaquim e a Lene pelo apoio nas
quest�oes extraclasse�
A todos aqueles que me ajudaram direta ou indiretamente e que o nome n�ao consta neste
texto�
��
AP�ENDICE A
Algor��timos
A�� Modelo de um semi�espa�co com a fonte na superf�cie
Considerando a terra homog enea e isotr�opica� vamos estudar a distribui�c�ao de potenciais
num modelo constituido de um semiespa�co com uma �unica fonte na superf��cie que far�a �uir
uma corrente cont��nua atrav�es do meio�
Analisando um elemento de superf��cie �A e sendo J a densidade de corrente� ent�ao a
corrente que passa por esse elemento de superf��cie �A� �e dado por J � �A�
I � J � �A �A���
A magnitude do campo el�etrico �E neste elemento de superf��cie �e proporcional a densidade
de corrente que passa atrav�es dele� A express�ao que relaciona o campo el�etrico �E e a
densidade de corrente �J �e a Lei de Ohm�
�E � � �J �Lei de Ohm� �A���
Como �E �e um campo conservativo� o que equivale dizer que�
I�E � �dl � � �A���
existe uma fun�c�ao potencial escalar tal que�
�E � �rV �A���
A eq����� pode ser reescrita como�
��
��
�J � ��
�rV �A���
como n�ao existe fontes no interior do meio a densidade de corrente se conserva� ou seja�
tudo que entra sai� portanto�
IA
�J � dA � � �A���
e pelo teorema de Gauss�
ZVr � JdV � � �A���
Analisando a condi�c�ao de diverg encia do vetor densidade de corrente para um ponto
dentro do meio envolto por um volume in�nitesimal� temos que para este ponto�
r � J � �r � r��
�V � � �� �A���
desenvolvendo o lado direito da primeira igualdade� chegamos a seguinte express�ao�
r�
�� rV �
�
�r
�V � � �A���
como o meio foi admitido sendo homogeneo e isotr�opico a resistividade �e constante� Isto
leva a anula�c�ao do primeiro termo da express�ao que se reduz a Equa�c�ao de Laplace para o
potencial V�
r�V � � �A����
Em coordenadas polares a Equa�c�ao de Laplace �e escrita como�
�
�r
�r��V
�r
��
�
r� sin �
�
��
�sin �
�V
��
��
�
r� sin� �
��V
���� � �A����
��
Devido a simetria do �uxo de corrente com rela�c�ao as dire�c�oes � e �� suas respectivas
derivadas tornanse nulas� O potencial agora ser�a fun�c�ao apenas de r � onde r representa a
dist ancia da fonte at�e um ponto qualquer dentro meio�
d
dr
�r�dV
dr
�� � �A����
Integrando a express�ao acima obtemos�
r�dV
dr� C �A����
V � �C
r� D �A����
onde C e D s�ao constantes a determinar�
Duas condi�c�oes de contorno devem ser levadas em considera�c�ao no limite entre os dois
meios�
�� O potencial deve ser cont��nuo atrav�es da interface� ou seja
V ��� � V ��� �A����
onde V ��� �e o potencial no meio � e V ��� �e o potencial no meio ��
�� O componente normal do vetor densidade de corrente �J deve ser cont��nua �g�A����
J ���n � J ���
n �A����
Para o campo el�etrico escrevemos essas duas condi�c�oes utilizando as componentes tan
gencia t e normal n�
E���t � E
���t �A����
�
��E���n �
�
��E���n �A����
��
�n
�J
�t Meio �
Meio �
interface
Figura A��� Interface meio��meio� mostrando as componentes normal� tangencial
para o vetor densidade de corrente �J
Retornando a express�ao do potencial� temos que V � � quando r�� desta forma D �
�� Em z � � dV�dz � �� assim�
V � �C
r�A����
�V
�z�
�V
�r��r
�z� �
�
�r
�C
r
��r
�z�
Cz
r�� � �A����
onde r� � x� � y� � z�� A constante C pode ser encontrada a partir do �uxo de corrente
que passa atrav�es de uma semiesfera de raio a que envolve a fonte� logo a corrente total pode
ser expressa como�
I �Z
�J � ds �A����
resolvendo a integral
I � �J � ��r� �A����
�J �I
��r��A����
substituindo a eq���� na eq�A���� temos�
rV � �I�
��r��A����
reescrevendo a eq�A���� encontramos dV�dr como sendo�
��
dV
dr� �
C
r��A����
onde dVdr � rrV � Combinando a eq�A���� com a eq�A���� encontramos a express�ao
para a constante C �
C
r�� �
I�
��r��A����
C � �I�
���A����
Portanto substituindo na eq�A���� as constantes C e D pelos respectivos valores encon
trados� temos a express�ao do potencial para o modelo do semiespa�co homog eneo e isotr�opico
com uma fonte na superf��cie�
V �I�
��
�
r�A����
A express�ao da resistividade �e dada por�
� ���rV
I�A����
A� Algor�timo de converg�encia do Perceptron
Vari�aveis e Par�ametros
x�n� � ���� x��n�� x��n�� � xp�n��T vetor de entrada
w�n� � ���n�� w��n�� w��n�� � wp�n��T vetor de pesos
��n� � threshold
y�n� � resposta da rede
d�n� � resposta desejada
� � taxa de aprendizagem
Passo �� Inicializa�c�ao
w��� � ��
��
Passo �� Ativa�c�ao do Perceptron
Aplica�c�ao do vetor de entrada x�n� e da resposta desejada d�n� na itera�c�ao n�
Passo � C�alculo da resposta da rede
y�n� � sgn�wT �n�x�n��
Passo � Adapta�c�ao do vetor pesos
w�n � �� � w�n� � ��d�n�� y�n��x�n�
Passo �� Incremento
Incremento de n por uma unidade� e retorna ao passo ��
Obs� A fun�c�ao de ativa�c�ao utilizada pelo perceptron �e a fun�c�ao sinal �sgn��
sgn��� �
��� �� se � �
�� se � � �
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