universdade agostinho neto faculdade de...

Programa de Mestrado em MercadosFinanceiros

EconometriaMaio 2018

Armando Manuel 1

UNIVERSDADE AGOSTINHO NETOFACULDADE DE ECONOMIA

Programa DO DIA

RECAPITULAÇÃO1.Enquadramento Conceitual1.O Modelo Clássico de Analise de Regressão Simples2.O Cálculo dos Es>madores e o teste de Hipóteses 3.

MODELO DE REGRESS2. ÃO MÚLTIPLA ABORDAGEM MATRICIAL Pressupostos; 1.Infer2. ência a versão Matricial; Infer3. ência ao Método de Crammer; Testes Essenciais; 4.

VIOLA3. ÇÃO DAS HIPÓTESES BÁSICAS DO MODELO Mul>colinearidade1. e MicronumerosidadeHeteroskedas>cidade2.Autocorrela3. ção

PAINEL PRATICO4.Acesso1. e Manipulação de Dados;U>lização2. do Excel para Analise de Regressão;Testes 3. Esta>s>cos do Gretl

Armando Manuel 2

Recapitulação

1. Enquadramento Conceitual2. O Modelo Clássico de Analise de Regressão Simples3. O Cálculo dos Estimadores e o Teste de Hipóteses

Armando Manuel 3

( ) estimadordoestimadopadrãoerroparâmetroestimador

ˆep

ˆt

i

ii -º

b

b-b=

0:H0:H 2A20 ¹b=b

ååå += 222 dyy1dy

dy

F 2

2

2

2

-==åå

åå

ååb

== 2i

ii22

y

xyˆ

SQTSQE

R

MODELO DE REGRESSÃO MÚLTIPLA

Um modelo de regressão linear múl/pla é expresso da seguinteforma:

ondeY é a variável dependente,Xk são as k variáveis explica/vas,µ é o termo de perturbação estocás/co e i é a i-ésima observação;nos casos de dados de séries temporais, o subscrito t indicará a t-ésima observação.

ikikiii uXXXY +++++= bbbb ...33221nionde ...,,3,2,1=

PRESSUPOSTOS BÁSICOS

Notação Escalar Notação Matricial

1. para cada i 1. em que u e 0 são vectores coluna nx1, sendo 0 um vectornulo.

2. onde 2. em que I é uma matriz identidade nxn

3. são não estocásticos e fixos. 3. A matriz nxk X não é estocástica, ou seja é formada por um número de conjuntos fixos

4. Não há nenhuma relação linear exacta entre as variáveis X, ou seja nenhuma multicolinearidade

4. O posto(rank) de X é em que k é o número de colunas em X e k é menor que o número de observações n.

5. Para testar hipóteses assumimos que: 5. O vector u é distribuído normalmente multivariedade isto é

0)(E i =µ 0)(E =µ

2

ji 0)(E

s=

=µµ

ji ¹

I)(E 2s=µ¢µ

kXXX ...., ,32

k)X( =r

),0(N~ 2i sµ )I,0(N~ 2

i sµ

ji =

INFERÊNCIA A VERSÃO MATRICIAL DA REGRESSÃOMÚLTIPLA

Uma abordagem mais realista do modelo de regressão múl1pla, sugere• -nos o uso de matrizes devido ao facto de maior parte dos modelos implicarem a inclusão de k variáveis. Seja:•onde beta um é o intercepto, e os demais betas são os coeficientes parciais. u é o erro •tomando um comportamento aleatório. Adicionalmente , a equação pode ser apresentada sob forma de um sistema de equações e •posterior sob forma de um sistema de equações.

nknkn33n22nn

22kk32322222

11kk31321211

uX...XXY................................................................uX...XXYuX...XXY

+b++b+b+b=

+b++b+b+b=+b++b+b+b=

n...,,3,2,1iondeuX...XXY ikiki33i221i =+b++b+b+b=

A VERSÃO MATRICIAL

1nXn

2

1

1kXk

2

1

nXkkn

2k

1k

n3

32

13

n2

22

21

1nXn

2

1

u..uu

.

.

X..XX

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

X..XX

X..XX

1..11

Y..YY

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

+

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

b

bb

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

=

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

Podendo ainda assumir a forma matricial reduzida:

1nx1kxnxk1nxuXy +b=

Ondey=n X 1 é um vector coluna da variável dependenteX=n X k é a matriz das variáveis independentes, B=k X 1 vector coluna dos parâmetros por estimar.u=n X 1 vector coluna nos n erros(distúrbios).

Determinação dos Es0madores

ikiki33i221i uXˆ...XˆXˆˆY +b++b+b+b=

( )2kiki33i221ii2 Xˆ...XˆXˆˆYu åå b--b-b-b-=

Matricialmente teríamos a equação representada do seguinte modo:

b¢b¢+¢b¢-¢=b-¢b-=¢ ˆXXˆyXˆ2yy)ˆXy()ˆXy(uu

( )b¢+¢-=

b¶

¢¶ ˆXX2yX2ˆuu

( ) yXXXˆ 1 ¢¢=b -

INFERÊNCIA AO MÉTODO DE CRAMMER PARA AMATRIZ INVERSA

O método de crammer é recorrido apenas com o interesse dedeterminar-se quer os parâmetros assim como a matriz inversa damatriz produto das variáveis exógenas considerandoser elemento determinante para o calculo do vector dos estimadores

( ) yXXXˆ 1 ¢¢=b -

)x,......,x(X n1= nxn bAx =

A regra de Crammer requer que a Matriz A tenha uma solução única, tal que

de um sistema de ordem

Tal que i

ii Adet

Bdetx = onde B é a matriz A com o membro direito igual a b

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

=++=++=++

MÉTODO DE CRAMMERPARA COM PUTAR A MATR IZ IN VERSA

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

bbb

xxx

aaaaaaaaa

Note que embora a simbologia não seja proporcional ao modelo de regressão,quando no modelo de regressão precisamos calcular o vector beta, aqui o vectorbete corresponde a ao vector x quando a matriz dos “a” corresponde a matriz de“x” no modelo de regressão.Assim sendo, a regra de Crammer pressupõe que:

1

333231

232221

131211

33323

23222

13121

1

aaaaaaaaa

aabaabaab

x

-

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

1

333231

232221

131211

33331

23221

13111

2

aaaaaaaaa

abaabaaba

x

-

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

1

333231

232221

131211

33231

22221

11211

2

aaaaaaaaa

baabaabaa

x

-

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

Logo, conhecendo a matriz inversa, o resto reduz-se numa multiplicação.

MÉTODO DE CRAMMERPARA COMPUTAR A MATRIZ INVERSA

AAdjuntaMatrixAdet1

A 1 =-

Poderá recorrer a esta opção, calculando a matriz inversa e depois fazer o uso da formula obtida no desdobramento dos MQO na versão matricial.

A formula para o cálculo é:

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

101030542

A

Do calculo ficamos a saber que

9A -=

31003

c11 =+= 01100

c12 =-= 30130

c11 -=+=

41054

c21 -=-= 31152

c22 -=+= 40142

c11 =-=

150354

c31 -=+= 00052

c32 =-= 63042

c11 =+=

Matriz Adjunta A seria igual a:

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

332313

322212

312111

CCCCCCCCC

Aadj

IN FERÊNC IA AO MÉTODO DE MONTE CARLO

( ) 11ˆE b=b

( ) 22ˆE b=b

•O método de Monte Carlo é o mecanismo prático paratestar as hipóteses:

Heteroskedas*cidade

1. Uma das mais relevantes hipóteses do

modelo clássico, consiste no

comportamento homoscedastico da

variância do resíduo ao longo do tempo

característica básica das series temporais

estacionarias;

2. Ao longo do tempo, os erros de distintos

períodos possuem correlação nula;

3. Exemplo do modelo das expectativas

racionais;

4. O que ocorre no modelo se esta hipótese

for violada?

ECONOMETRIA -MESTRADO 13

22 )( sµ =Var

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

s

ss

=µ¢µ=µ

2n

22

21

...00............0...00...0

)(E)var(

HeteroskedasticidadeDetenção

1. Os estimadores dos mínimos

quadrados ordinários

continuam sendo melhores e

não viesados porém não mais

são eficientes ou seja, não

possuem variância mínima


Heteroskedas*cidadeTeste de Hipóteses

Método Gráfico1. Quando não dispomos de informação a

priori da presença de heteroskedaticidade, computamos a analise de regressão e em seguida estudamos o comportamento do quadrados do erro, para identificar algum comportamento padronizado da media e Y com os erros;

2. Plot do quadrado do erro estimado em relação a variável dependente estimada;

3. Na generalidade a relação do erro com a media de Y, poder assumir varias formas, linear, quadrática, exponencial etc…


!"!

#$

!"!

#$

!"!

#$

∄

Heteroskedas*cidadeTeste de Hipóteses

Teste de Park

1. Trata se de um texte no qual regredimos o

erro da regressão primaria, com função do

logaritmo da variável independente

2. Sempre beta for estatisticamente

significante, sugere que estamos em

presença de Heteroskedasticidade;

3. Quando beta for estatisticamente

insignificante, então a variância é

homoskedastica;

4. Trata-se de um teste de segunda ordem,

pode ser executado numa segunda ordem,

sempre que a heteroskedasticidade não for

encontrada em primeira ordem.


!!" = !" ##$$%!

%&!!" = %&!" + (%&#! + )!

= * + (%&#! + )!

Considerando que a variância é

desconhecida, Park sugere o uso de

como proxy para a regressão seguinte:

!!"+,!"

HeteroskedasticidadeTeste de Hipóteses

Teste Goldfeld QuandtCons%tui passos para o emprego do 1.presente teste:

Organizar a amostra em ordem crescente a Xa)Omi%r m observações centrais tal que (nb) -m) seja num número parDividir a amostra em duas regressões (nc) -m)/2 Obter a soma dos resíduos quadrados de d)ambas regressões

Se lambda for superior ao valor tabelado 2.de F para os graus de liberdade escolhidos, rejeitamos a hipótese de homoskedas%cidade, quer dizer que a variância é heteroskedas%ca.


( )( ) knu

knuglSRQglSRQ

22

2elomod

12

1elomod

1

2

--

==låå

onde: SRQ= Soma do resíduo quadrado

gl = graus de liberdade

HeteroskedasticidadeTeste de Hipóteses

Teste White´s general heteroskedas2city

Inicialmente computamos a regressão auxiliar do 1.quadrado do erro nos valores de X, no quadrado de X e nos produtos cruzados;

seguida computamos o coeficiente de determinação 2.efectuamos o teste de hipóteses

Se o valor computado da estaCsDca for superior ao 3.valor criDco chi-square segundo os graus de liberdade(sem o intercepto) Conclui-se que existe HeteroscedasDcidade

Se não exceder: então 4.

o que significa estar-se em presença de homoskedaDcidade.ECONOMETRIA -MESTRADO 18

iiiiiii vXXXXXXu ++++++= 326235

221433221

2ˆ aaaaaa

2df

2 ~Rn c

!" = $% + $'('" + $)()" + *"

0654321 =a=a=a=a=a=a

Heteroskedas*cidadeRemédios - Os Mínimos Quadrados Generalizados

Conhecendo as variâncias 1.heteroskedas3ca, transformamos o modelo e dividimos todos os parâmetros pela variância heteroskedas3ca compreendente a cada período.

Onde a variância dos mínimos 2.quadrados ordinários generalizados possuem variância semelhante a observada pelos MQO ou OLS, que é de facto uma constante.


ii33i22ii XXY µ+b+b+b=

ii33i22i0ii XXXY µ+b+b+b=

÷÷ø

öççè

æsµ

+÷÷ø

öççè

æs

b+÷÷ø

öççè

æs

b+÷÷ø

öççè

æs

b=s i

i

i

i33

i

i22

i

i0i

i

i XXXY

*i

*i3

*3

*i2

*2

*i0

*1

*i XXXY µ+b+b+b=

( )2

i

i2*i

*i E)(Evar ÷÷

ø

öççè

æsµ

=µ=µ

( ) ( ) 2i2

i

2i2

i

2*i

*i

1E1)(Evar ss

=µs

=µ=µ

( ) 1)(var 2** == ii E µµ

Autocorrelação

1. A autocorrelação é a serie defasada consigo mesma segundo um número de unidades de tempo. Quando o termo correlação serial diz respeito a desfazagem de series diferentes.

2. A semelhança da heteroskedasticidade, na presença da autocorrelação os estimadores dos MQO continuam sendo os melhores estimadores lineares não viesados mas não mais possuem a variância mínima entre todos os estimadores não viesados

3. O termo Auto-correlação significa correlação entre elementos da mesma serie ao longo do tempo, todavia, o pressuposto do modelo clássico é de que não deve existir este tipo de perturbações.


0)(E ji =µµ

0)(E ji ¹µµ

ji ¹

ji ¹

AutocorrelaçãoCausas

Inercia ou rigidez de variáveis 1.

económicas;

Especificação errónea do modelo 2.

(omissão de importantes variáveis);

Fenómeno 3. cobb-web (teia de aranha);

A manipulação de dados, sobretudo 4.

quando se tem dados brutos ao invés

de dados regulares. (transformação de

dados trimestrais em mensais)


0)(E ji =µµ

0)(E ji ¹µµ

ji ¹

ji ¹

AutocorrelaçãoTipologias

1. Os modelos com auto-correlação na

variável dependente denominam-

se modelos auto-regressivos

2. Quando estivermos em presença de

uma função do erro dependendo

de componentes com desfazagem,

porém sendo estas perturbações

aleatórias com média zero, dizemos

que estamos em presença de um

esquema de média móvel-MA(1)ECONOMETRIA -MESTRADO 22

ti3i21t10i ICRNRN e+a+a+a+a= -

tti erµµ += -1

Onde r é o coeficiente de correlação, Neste contexto, o modelo pode ser designado como modelo autorregressivos de ordem um AR(1)

1-+= tti leeµ

11 -- ++= ttti leerµµ ARMA(1,1)

AutocorrelaçãoMedidas Correctivas

1. Em presença de auto-correlação, os estimadores continuam sendo MELNV porém não mais possuem variância mínima, o que quer dizer que deixam de ser eficientes.

2. Se utilizarmos a os intervalos de confiança tendem a ser muito amplos, tornando difícil a rejeição da hipótese nula

3. Considerando que o erro não é conhecido, a questão da auto-correlação muitas vezes é fruto de especulações. O remédio depende em grande parte do conhecimento tido quanto as interdependências entre as distintas variáveis, pois lidaremos com duas situações, uma quando a estrutura da correlação é conhecida, outra, quando ela não é conhecida.


1AR2 )ˆvar(b

AutocorrelaçãoMedidas Correctivas

Quando conhecemos o nível de 1.correlação podemos introduzir ajustamentos no modelo de modo a elimina-la e obter es<madores MELNEE

Sempre que <vermos conhecimento da 2.dimensão da correlação, bastará aplicar diferenças ao modelo, reduzindo-o para operação na qual ao aplicar o operador da primeira diferença (delta) perdemos o intercepto. Nestas condições, semelhantemente, podemos es<mar o modelo fazendo recurso ao método dos MQO


tt2ti XY µ+b+b=1t1t2i1t XY --- µ+b+b=

Multiplicando por r e subtraindo da equação anterior

1t1t2i1t XY --- rµ+rb+rb=r

)(XX)1(YY 1tt1t2t2i1tt --- rµ-µ+rb-b+r-b=r-

t1tt2i1tt )XX()1(YY e+r-b+r-b=r- --

t*t

*2

*1

*t XY e+b+b=

Conhecendo o nível de correlação r entre os dois períodos:

)XX(X);1();YY(Y 1tt*t1

*11tt

*t -- r-=r-b=br-=

tt2t XY e+Db=D

AutocorrelaçãoTeste de Durbin Watson

1. O teste de DW é um dos testes tradicionais para testar a presença de auto-correlação. Ele baseia-se nos resíduos e obedece uma distribuição estatística especifica, na qual são considerados os pontos de significância superior e inferior.

2. Quanto aos graus de liberdade, o parâmetro k não considera o intercepto da função. O teste DW não deve ser aplicado em modelos autorregressivos. O teste tem a seguinte formula de cálculo:


( )

å

å

=

=--

= n

1t

2t

n

2t

21tt

e

eed

AutocorrelaçãoSintese

A autorrelação pode ocorrer por varias razões, pode ser derivada por 1.inércia ou rigidez das series temporais económicas, viés resultante da omissão de variáveis importantes, ou por uso da forma funcional incorrecta, o fenómeno cobb-wed, a da teia de aranha ou ainda a manipulação dos dados.Embora os esCmadores de MQO permaneçam não2. -viesados e consistentes na presença de autocorrelação, eles deixam de ser eficientes. Como resultado, os testes de significancia t e F usuais não podem ser legiCmamente aplicados. Por isso, são necessárias medidas correcCvas.o remédio depende da natureza da interdependência entre as 3.perturbações Ut Mas como Ut não são observáveis, a práCca comum é supor que sejam geradas por algum mecanismo.



4. o mecanismo comumente suposto é o esquema auto-regressivo de primeira ordem de Markov, que supõe que a perturbação no período corrente se relaciona linearmente com o termo de perturbação no período anterior, sendo que o coeficiente de autocorrelação fornece o grau da interdependência. Este me¬canismo é conhecido como esquema AR(1).

5. Se o esquema AR(1) for válido e o coeficiente de autocorrelação for conhecido, o problema da correlação serial pode ser facilmente atacado por meio da trans¬formação dos dados seguindo o método da diferença generalizada. O esquema AR(1) pode ser facilmente generalizado para um esquema AR(p). Podemos também supor um mecanismo de média móvel (MA) ou uma mescla dos es¬quemas AR e MA, conhecida como ARMA.



Mesmo que usemos um esquema AR(1), o coeficiente de 5. autocorrelação p não é conhecido a priori. Examinamos vários métodos para esCmar p, tais como d de Durbin-Watson, d modificado de Theil-Nagar, método de Cochrane-OrcuM (C-O) em duas etapas, método C-O iteraCvo e o método de Durbin em duas etapas. Em grandes amostras, estes métodos geralmente produzem esCmaCvas similares, mas não em pequenas amostras. Na práCca, o método C-O iteraCvo se tornou bastante popular.

Naturalmente, antes de corrigir a 6. autocorrelação, é preciso detectá-la. Há diversos métodos de detecção, dos quais o mais célebre é a estaQsCca d de Durbin-Watson. Embora comumente usada e roCneiramente produzida pela maioria dos pacotes de soRware, a estaQsCca d apresenta várias limitações. Muitas vezes, a estaQsCca d indica não uma autocorrelação pura, mas sim um viés de especificação ou o efeito ARCH.



7. Um modelo especial que merecerá alguma atenção é modelo ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedatic Model) , no qual a variância condicional do termo de erro se correlaciona serialmente com os valores passados do termo de erro elevados ao quadrado. Este modelo provou ser muito útil na modelagem e previsão de muitas variáveis financeiras, tais como taxas de câmbio, taxas de inflação etc.


universdade agostinho neto faculdade de...

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