Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 13UNIDADE 2 - VIBRAES LIVRES DE SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE 2.1 - Introduo A noo de vibrao comea com a idia do equilbrio. Um sistema est em equilbrio quando a resultante de todasasforasatuantessobreomesmonula.Qualquersistemaqueestejasobestacondiosomentesairdela quandoocorreralgumaperturbaoexterna.Aoscilaoirocorrerquando,apsaperturbaoatuar,osistema apresentaratendnciaaretornarsuaposiodeequilbrio.Aoseconcederaopnduloumnguloinicialomesmo entraremmovimentotendendoaretornarsuaposiodeequilbrioinicial.Aopassar porelaomovimentonose interrompe porque a massa do pndulo adquiriu energia cintica. Enquanto esta energia permanecer presente no sistema o movimento oscilatrio continuar. Se, entretanto, a energia inicial concedida for muito elevada, o pndulo entrar em movimento rotativo. Situao semelhante ocorre com uma bola rolando dentro de uma superfcie circular. Uma balana, com dois pesos iguais, apresentar comportamento equivalente (Fig. 2.1). Figura 2.1 Equilbrio nos sistemas fsicos. Oestudodesistemasvibratriosdevecomearporsistemassimplesqueapresentamcaractersticasbsicas capazes de permitir a anlise de uma srie de fenmenos presentes em sistemas mais complexos. Sistemas de um grau deliberdadesosistemasideais,capazesderepresentarumareduzidapartedossistemasreaispresentesnomundo fsico,assimmesmocomgrandesimplificao.Poroutrolado,estesmesmossistemasapresentamcaractersticasque fundamentamoentendimentodamaioriadosaspectosbsicosqueestopresentesemsistemasmaiscomplexos. Problemascomoressonncia,transmissibilidade,balanceamentoeisolamentopodemserdevidamenteestudadosem sistemas de um grau de liberdade com posterior extenso dos conceitos para problemas de ordem maior. Por outro lado estimativasdecomportamentopodemserestabelecidascomrelativafacilidadeesimplicidadematemticaquandose cria um modelo simples para um sistema complexo. Razes como estas justificam a introduo do estudo de sistemas de um grau de liberdade em cursos de vibraes em engenharia.Avibraolivre,comojfoiconceituadanoCaptulo1,ocorrequandoomovimentoresultaapenasde condies iniciais, no havendo nenhuma causa externa atuando durante o mesmo. O movimento de um pndulo um exemplo de vibrao livre. Ao ser abandonado, com uma determinada condio inicial (ngulo inicial, por exemplo), o mesmo oscilar livremente.2.2 Modelos de Anlise de Vibraes Umsistemavibratrioumsistemadinmicoparaoqualasvariveistaiscomoasexcitaes(causas, entradas,inputs)e respostas (efeitos, sadas, outputs) so dependentes do tempo. A resposta de um sistema vibratrio depende,geralmente,dascondiesiniciaisedasaesexternas.Istofazcomquesejanecessrioestabelecerum procedimento de anlise que permita o entendimento das influncias de cada um dos fatores. O procedimento geral o quecomeacomoestabelecimentodeummodelofsico,determinaodasequaesdiferenciaisquegovernamo movimento (modelo matemtico), soluo destas equaes e interpretao dos resultados. Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 142.2.1 - Modelo FsicoOpropsitodamodelagemfsicarepresentartodososaspectosimportantesexistentesnosistemaparaa determinaodasequaesmatemticasquegovernamomovimentodosistema.Omodelodeveentotraduziras caractersticas fsicas do sistema nos elementos vibratrios bsicos, como ilustra a Fig. 2.2. O modelo pode ser mais ou menos complexo, de acordo com as necessidades e com a capacidade de soluo das equaes do movimento: modelos maiscomplexos(commaiselementos)produzemummaiornmerodeequaes,cujasoluonecessitadoauxlio computacional.Outrofatorquemuitasvezesaanliseaserealizarnoexigeumrefinamentomuitoelevadosendo possvel conseguir boas interpretaes em sistemas razoavelmente simples.FundaoPunoMatrizEstruturaSoloSoloMassa da FundaoMassa da Matriz(a)(b)Amortecimentodo SoloRigidezdo SoloRigidez doElementoElsticoAmortecimentodo ElementoElsticoFora doPunoElementoElstico Figura 2.2 - Modelo de uma prensa. Os elementos que compem um sistema vibratrio so de trs tipos, relacionando foras com deslocamentos, velocidades e aceleraes, respectivamente. 2.2.1.1 - Elemento Mola Oelementoresponsvelporrelacionarforascomdeslocamentosrepresentado,nossistemasvibratrios, pela mola, como mostra a Fig. 2.3a. Assume-se que a mola no possui massa, de forma que uma fora Fm atuando em umaextremidadedeveserequilibradaporoutraforadeigualmagnitudemasdesentidocontrrio,atuandonaoutra extremidade. Pela atuao da fora Fm, a mola se alonga (ou se contrai, se as foras atuarem com sentidos contrrios). Estadeformaoigualdiferenaentreosdeslocamentosx2ex1.AFig.2.3bmostraumacurvafora/deformao tpicadeumamolacomum.Estacurvanolinear.Entretanto,parapequenasdeformaes,pode-seconsiderarque existe uma proporcionalidade entre a fora e a deformao, sendo k a constante de proporcionalidade, conhecida como constante de mola ou rigidez. As unidades de k no Sistema Internacional (SI), so newton por metro (N/m). Fm uma fora elstica, conhecida como fora de restaurao, porque uma mola alongada ou comprimida tende sempre retornar sua posio no deformada.Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 15Faixa linearFmx2 - x1(b)FmFmx2(a)x1

Figura 2.3 - Elemento mola. A relao entre fora e deslocamento expressa por ( ) F k x xm = 2 1(2.1) O elemento mola representa a capacidade que o sistema fsico tem em armazenar energia. Esta capacidade , muitas vezes, expressa pela elasticidade presente. Em analogia com um sistema eltrico, a mola pode ser comparada a umcapacitorsendooelementoquearmazenaenergianaformadeenergiapotencialemumdeterminadoinstantedo movimento e depois a devolve para que o sistema vibratrio a transforme em energia cintica ou a dissipe. A energia potencial armazenada pela mola dada por U kx =122(2.2) Associao de molas em paralelo Asmolaspodemserassociadasdevriasformas.Asassociaesemparaleloeemsrie,mostradasnaFig. 2.4a e 2.4b, respectivamente, so as mais comuns.FmFmx1x2k2k1(a)FmFmx1x2k2k1x0(b) Figura 2.4 - Associao de molas Para as molas em paralelo (Fig. 2.4a) a fora atuante na mola se divide em duas, de forma que F F Fm m m= +1 2 (2.3) Cada uma das molas est submetida relao ( )( )F k x xF k x xmm121 2 12 2 1= = (2.4) Uma mola equivalente ao conjunto das duas molas deve possuir uma constante de forma que ( ) F k x xm eq= 2 1 (2.5) Introduzindo (2.4) em (2.3) e considerando (2.5) chega-se aUnidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 16k k keq= +1 2(2.6) Generalizando, para um conjunto de n molas associadas em paralelo k keq iin==1(2.7)Associao de molas em srie Observando a Fig. 2.4b, as seguintes relaes podem ser escritas para molas em srie: ( ) ( ) F k x x k x xm = = 1 0 1 2 2 0(2.8) que podem ser escritas na forma x xFkx xFkm m0 112 02 = = e(2.9) Como para uma mola nica vale a expresso (2.5), tem-se que ( ) ( )Fkx x x x x xFkFkmeqm m= = + = +2 1 2 0 0 12 1 o que conduz akk keq=+11 11 2 (2.10) Para um conjunto de n molas associadas em sriekkeqi in==111(2.11) Sistemas elsticos Um elemento elstico pode ser deformado em vrias direes. Cada relao entre uma fora em uma direo e umadeformaonamesmaouemoutradireoproduzumadiferenteconstantedemola.Aequao(2.12)pode, portanto se apresentar na forma mais geral j ij ix k F=(2.12) ondeiejpodemindicar,porexemplo,translaeserotaesaolongoouemtornodetrseixosdeumsistemade coordenadas cartesianas. Portanto, i e j podem assumir seis valores diferentes. Genericamente existiro 6x6 coeficientes independenteskij,relacionadoscomumapossvelaplicaodoesforo(foraoumomento)eadireodo deslocamento produzido. Figura 2.5 Definio de constantes de mola para a viga engastada. Considere-se,porexemplo,avigaengastadadaFig.2.5,comosistema de coordenadasxyz, como indicado. Se a viga possui uma seo transversal circular de dimetro d, rea A e momentos de inrcia Ix, Iy, Iz, comprimento L, mdulo de elasticidade E, mdulo de elasticidade transversal G, e se u, v, w, so as deflexes e , , as rotaes da sua extremidade livre com relao ao sistema de coordenadas xyz, da Resistncia dos Materiais, se tem Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 17 3 33 33,33,3,LEIkLw EIFLEIkLu EIFLEAkLEAvFxwwxwzvvzuvv v= == == =(2.13a) LEIkLEIMLEIkLEIMLGIkLGIMx xz zy y= == == = ,,,(2.13b) ondeIx = Iz = d4/64 e Iy = d4/32, para uma seo circular. Sistemas com um grau de liberdade possuem i = j = 1 e o sufixo da constante k omitido.Exemplo2.1 - Um tambor, com um cabo de ao, montado na extremidade de uma viga em balano como mostra a Fig. 2.6(a). Determinar a constante de mola equivalente do sistema quando o comprimento suspenso do cabo l. So conhecidos o comprimento da viga b, sua largura a e sua espessura t. Assumir que o dimetro do cabo d e os mdulos de elasticidade da viga e do cabo so iguais a E.Soluo: A constante de mola da viga em balano dada por (2.13a) kEIbEatbEatbb = =|\

|.|=3312433333(a) A rigidez do cabo submetido a carregamento axial kEAlEdlE dlr= =|\

|.|=2244(b) A viga em balano e o cabo podem ser considerados como molas combinadas em srie, cuja constante de mola equivalente dada pela equao (2.10) kk kbEatlE dE d atd b lateqb r=+=+=+|\

|.|11 114 4 433 22 32 3 3(c) Exemplo 2.2 - A lana AB do guindaste mostrado na Fig. 2.7 uma barra de ao uniforme de comprimento 10 m e rea da seo transversal 2,5 x 10-3 m2. A massa de 1000 kg, suspensa pelo guindaste est parada. O cabo CDEBF de ao e temreadaseotransversalde0,1x10-3m2.DesprezandooefeitodosegmentodocaboCDEB,determinara constante de mola equivalente do sistema na direo vertical. O mdulo de elasticidade do ao 2,07 x 1011 N/m2. Soluo:AFig.2.7bmostraacombinaodemolas,assumindoquetantoalanaquantoocaboestosubmetidos exclusivamenteacarregamentoaxial,oquevlidoumavezquealanaarticuladanabasedoguindasteeocabo trabalhasobtrao.Comonoestevidenteaassociaodasmolasemsrieouemparalelo,deve-seusara equivalncia de energia potencial para determinar a constante de mola equivalente.UmdeslocamentoverticalxdopontoBcausarumadeformaox2=xcos45onalana(constantek2).O cabo se deformar x1 = x cos(90o-). Pela Lei dos Cossenos, o comprimento do cabo FB, l1 obtido por ( )2 2 22 222221m 151 135 cos 10 3 2 10 3 angulo cos 2 = + = + = l FA l FA l FA l(a) A mesma Lei dos Cossenos, aplicada para determinar o ngulo resultar em 819 , 03 306 , 12 23 10 306 , 122coscos 22 2 2121221122122= + =+ = + =FA lFA l lFA l FA l l(b) Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 18tbdWlaW(a)(b)WkeqWkbkr(c) Figura 2.6 - Sistema de elevao. = 35.061 l1 = 12,306 m A energia potencial total U armazenada nas molas obtida por ( )| |( )( ) ( )U k x k x k x k xU k k x= + = + = +|\

|.||

1212129012451290221 122 22122212222cos coscos (c) onde kE Al11 1111 362 07 10 0 1 1012 3061 682 10 = = = , ,,,Nm (d) e kE Al22 2211 362 07 10 2 5 101051 750 10 = = = , ,,Nm(e) Comoamolaequivalentenadireoverticalsofreumadeformaox,aenergiapotencialdestamola equivalente dada por U k xeq eq=122(f) Fazendo U = Ueq, das expresses (c) e (f), utilizando os resultados de (d) e (e), obtm-se a constante de mola equivalente como ( ) ( ) ( ) ( )k k kkeqeq= + |\

|.| = + = cos cos , , ,,902290 35 061 1 682 101251 750 1026 430 10212226 66Nm Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 191000 kg1,5 m 1,5 m45o10 mAFBE DC1000 kg45ol2 = 10 m, k2A FBl2, k1x3 m(a) (b)keq1000 kg(c) Figura 2.7 - Guindaste com carga. 2.2.1.2 - Elemento amortecedor Oelementoquerelacionaforascomvelocidadesconhecidogenericamentecomoamortecedor.O amortecedor constitudo por um pisto montado com folga dentro de um cilindro cheio de um lquido viscoso (leo, gua,etc.),deformaqueofluidopossapassaratravsdopisto.AFig.2.8aapresentaumesquemadesteelemento. Assume-setambmqueoamortecedornopossuimassa,deformaqueaforaFd,aplicadaemumadesuas extremidadespossaserbalanceadaporumaoutraforademesmamagnitudeesentidocontrrio,aplicadanaoutra extremidade.SeestasforasFd,causamumcisalhamentosuavenofluidoviscoso,acurvaFdversus& & x x2 1 ser aproximadamente linear, como mostra a Fig. 2.8b. A constante de proporcionalidade c, que a inclinao da curva, chamada de coeficiente de amortecimento viscoso. As unidades de c no SI so newton-segundo por metro (N.s/m). Fdv2 - v1(b)FdFdv1v2(a) Figura 2.8 - Elemento amortecedor. A relao entre fora e velocidade ento, expressa por ( ) F c v vd= 2 1(2.14) Oamortecedortemcomofunofsicaemumsistemavibratrio,representaracapacidadequeosistema possui de dissipar energia. 2.2.1.3 - Elemento massa Oelementoquerelacionaforascomaceleraesoquerepresentaainrciadosistema,sendoconhecido comomassa.DeacordocomoqueestabeleceaSegundaLeidoMovimentodeNewton,aforaFi proporcional aceleraoaquandomedidosnomesmoreferencialeaconstantedeproporcionalidadem(Fig.2.9).Aunidadede massa bsica no SI: kilograma (kg).Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 20Fia(b)Fi(a)ma

Figura 2.9 - Elemento massa. Oelementomassaaquelequerepresentaacapacidadefsicadosistemaemarmazenarenergiacintica.A vibrao o fenmeno fsico que ocorre com a troca sistemtica de energias cintica e potencial entre a massa e mola. Neste processo o amortecimento responde pela energia que dissipada. Exemplo 2.3 - Um mecanismo came-seguidor, mostrado na Fig. 2.10, utilizado para converter movimento de rotao de um eixo no movimento alternativo de uma vlvula. O sistema consiste de uma haste de massa mp, um balancim de massa mr e momento de inrcia Jr em relao ao seu centro de gravidade C.G., uma vlvula de massa mv, e uma mola de massadesprezvel.Determinaramassaequivalentemeqdestesistemacame-seguidorassumindoalocalizaodemeq como (a) ponto A, (b) ponto B. O deslocamento linear da haste xp e da vlvula xv.Soluo: Devido ao deslocamento vertical da haste, xp, o balancim gira um ngulorpxl=1em relao ao ponto de pivotamento,avlvulasemoveparabaixox lx llv rp= = 221eoC.G.dobalancimsemoveparabaixox lx llr rp= = 331. A energia cintica do sistema igual soma das energias cinticas de cada elemento T m x m x m x Jp p v v r r r r= + + +121212122 2 2 2& & && (a) onde& xp, & xre& xvsoasvelocidadeslinearesdahaste,C.G.dobalancimedavlvula,respectivamente,e &ra velocidade angular do balancim. (a) Se meq a massa equivalente do sistema, localizada no ponto A, com& & x xeq p= , a energia cintica total do sistema equivalente Teq dada por 2 22121p eq eq eq eqx m x m T & & = =(b) Como & & , &&, &&,&&x x xx llxx llxlp eq veqreqreq= = = =2131 1e (c) igualando as expresses (a) e (b) resultam mJlmllmlleq prv r= + + +1222123212 (d) (b) Da mesma forma, se a massa equivalente est localizada no ponto B,& & x xeq v= , e a expresso (b) se transforma emT m xeq eq v=122& (e) e igualando (a) com (e) resulta Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 21m mJlmllmlleq vrp r= + + +2212223222 (f) CameEixoSeguidor derolamentoHasteBalancimMola daVlvulaVlvulal3l1l2G OABxpxrxvr Figura 2.10 - Sistema came-seguidor Exemplo 2.4 - Determinar a massa efetiva de uma mola de massa total ms. kdyylxm Figura 2.11 - Massa efetiva da mola. Soluo:Sendo& x avelocidadedamassaconcentradam,avelocidadedeumelementodamola,localizadoauma distnciaydesuaextremidadefixa,variacomy.Supondoqueestavariaolinear,amesmapodeserexpressana forma & & y xyl= (a) Se a massa de um elemento de comprimento dy dmmldyx= , a energia cintica total da mola pode ser obtida por integrao Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 22T xylmldymxmolas sl=|\

|.|=1212 3220& &(b) Seaenergiacinticaequivalentedadapelaexpresso(b)doexemplo2.3,e& & x xeq= ,comparandocoma expresso (b) deste exemplo, a massa efetiva (ou equivalente) da mola mmeffs=3 (c) Muitasvezes,quandoexistemmolasdemassaconsidervelnosistemamecnicoestudado,utiliza-sea expresso (c) para incluir o efeito da massa da mola. 2.2.2 - Modelo Matemtico Apartirdoestabelecimentodomodelofsico,soutilizadososprincpiosdadinmicaparadeterminaras equaesdiferenciaisdomovimento.Estassogeralmentenaformadeumconjuntodeequaesdiferenciais ordinriasparasistemasdiscretoseequaesdiferenciaisparciaisparasistemascontnuos.Asequaespodemser lineares ou no lineares, dependendo do comportamento dos componentes do sistema. Entre os mtodos utilizados para determinarasequaesdomovimento,osmaisfreqentementeencontradossoa2aLeideNewton,oPrincpiode dAlembert e as Equaes de Lagrange (Princpio da Conservao da Energia).Dependendo da natureza do problema, uma determinada tcnica dever ser usada para resolver as equaes do movimento. As tcnicas mais freqentemente utilizadas so as seguintes: mtodos de soluo de equaes diferenciais, mtodo da Transformada de Laplace, mtodos matriciais e mtodos numricos.Asoluodasequaesdomovimentoapresentaosdeslocamentos,velocidadeseaceleraesdasvrias massas do sistema. Estes resultados devem ser interpretados segundo o propsito da anlise que est sendo realizada e aspossveisimplicaesdosresultados.nestaetapaqueseinclui,porexemplo,odiagnsticodevibraesem mquinasouequipamentosindustriais.Acomparaoentreascaractersticasdasvibraesmedidascomassolues dasequaesdiferenciaispermiteimportantesconclusessobreascausasdasvibraes.Nestaetapaautilizaodas Transformadas de Fourier fundamental para a identificao de caractersticas nas vibraes medidas. 2.3 - Vibraes livres de sistemas no amortecidos 2.3.1 Equaes de movimento AFig.2.12amostraummodelosimplesdeumsistemadeumgraudeliberdadesemamortecimento,o conhecido sistema massa-mola.AplicandoaSegundaLeideNewton,pode-seconstruirodiagramadecorpolivredamassam,mostradona Fig. 2.12b. A equao do movimento ento ( ) mx k x mgest&& = + + pelacondiodeequilbrioestticoquandoomovimentonoexiste,sabe-sequemg kest= ,podendo-seescrevera equao diferencial do movimento em sua forma conhecida mx kx && + = 0(2.15) AmesmaequaopodeserobtidautilizandooPrincpiodaConservaodaEnergia.Comoosistemano possui amortecimento, toda a energia concedida inicialmente permanece invarivel durante o tempo em que acontece o movimento.IstoexpressoporT+U=E=constanteondeTaenergiacinticaeUaenergiapotencial associadas ao movimento. A conseqncia matemtica da conservao da energia ( )dEdtddtT U = + = 0(2.16) A energia cintica armazenada pela massa, dependendo da velocidade, sendo dada porT mx =122& , enquanto que a energia potencial armazenada pela mola, na forma de deformao, sendoU kx =122. Introduzindo estes termos na equao 2.16 tem-se ( )ddtT Uddtmx kx mxx kxx + = +|\

|.| = + =121202 2& &&& &resultando na mesma equao 2.15.Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 23posio deequilbrio estticoposio finalxmg + kx(b)mk(st + x)mg(c)stxkxEnergiaPotencialPosio de equilbrioestticoFora demolaO(d)mkL0 + st(a)mkstmg Figura 2.12 - Sistema massa-mola em posio vertical Aequao2.15umaequaodiferencialordinria,desegundaordem(derivadademaiorordem),linear (todos os termos esto linearmente relacionados com x e suas derivadas), de coeficientes constantes (m e k no variam com o tempo) e homognea ( o termo independente igual a 0). A soluo desta equao dada por ( ) x t A t A tn n= +1 2sen cos (2.17) onde A1 e A2 so constantes de integrao. Derivando duas vezes (2.17) e substituindo em (2.15) encontra-se ( ) 0 ) cos sen (2 12= + t A t A m kn n n (2.18) Para que a equao (2.18) seja satisfeita, necessrio que( )k mkmn n = = 2 20 ou(2.19) Asoluo(2.17)temasmesmascaractersticas daquela obtida em Resistncia dos Materiais, para a equao da linha elstica. L o problema espacial (varivel independente a posio) conhecido como problema do contorno,easconstantesA1eA2soobtidasatravsdeequaesauxiliaresgeradaspelascondiesdecontornoassociadas ao problema em estudo. No caso presente o problema se apresenta no domnio do tempo e conhecido como problema do valorinicialeasconstantesA1eA2dependemdascondiesiniciaisdomovimento.Seosvaloresiniciaisdo deslocamentoedavelocidade(querepresentamaenergiatotalintroduzidaparageraromovimentolivre),so conhecidos e dados por x0 e v0 tem-se( )( )x t x Ax t v An= = == = =000 10 2& de forma que a soluo da equao diferencial do movimento se torna ( ) x t x tvtnnn= +00cos sen (2.20) Omovimentorepresentadoem(2.20)ummovimentoharmnicodefreqnciaigualan.Estaa freqnciacomqueosistemaoscilaquandoestlivresemamortecimento.Porestemotivochamadadefreqncia naturaldeoscilao.Estafreqncianaturaltermuitaimportnciaquandoseestudaravibraoforadasendoela uma das caractersticas mais importantes de um sistema do ponto de vista dinmico. Tratando-sedeumaoscilaoharmnica,importanterepresentaraexpresso(2.20)emumaformamais simples, contendo um seno ou coseno apenas. Com o auxlio de relaes trigonomtricas (2.20) pode ser escrita como Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 24()( ) x t X tn= +0cos (2.21) ondeX xvvxnn0 020200= +|\

|.||\

|.|e=tan-1 XOT t Figura 2.13 - Vibrao livre sem amortecimento (movimento harmnico) Exemplo 2.5 - Encontrar a freqncia natural de vibrao na direo vertical do sistema de elevao mostrado na Fig. 2.6a Soluo:Osistemadeelevaopodeseridealizadocomoumsistemadeumgraudeliberdadecomduasmolas associadas em srie (viga em balano e corda, so os elementos elsticos), cuja rigidez equivalente dada por kk kk keqb rb r=+(a) onde kb a rigidez da viga em balano sob flexo e kr a rigidez do cabo de ao sob trao. kEIbEbat EatbkEAlEld E dlbr= =|\

|.| == =|\

|.| =3 312 44 43 33 332 2 e resultando em uma rigidez equivalente kE d atd b lateq =+|\

|.|42 32 3 3 e a freqncia natural dada por neq eqkmk gPEgPd atd b lat= = =+|\

|.|42 32 3 3(b) Exemplo 2.6 - Determinar a freqncia natural do sistema de polias mostrado na Fig. 2.14. Assumir que no h atrito entre cabo e polias e as massas das polias e do cabo so desprezveis. Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 25Polia 1Polia 2mxk1k2 Figura 2.14 - Sistema de elevao com polias. Soluo:Idealizandonovamenteosistemacomoumsistemadeumgraudeliberdade,afreqncianaturaltambm podeserobtidausandooconceitoderigidezequivalente.Comonohatritoentrepoliasecaboeaspoliasno possuemmassa,atensonacordaconstanteeigualaopesoPdamassam.Entoaforaqueatuanapolia1, puxando-aparacima2P,eaforaqueatuanapolia2,puxando-aparabaixotambm2P.Ocentrodapolia1se desloca 2P/k1para cima, e o centro da polia 2 se desloca 2P/k2, para baixo. O deslocamento total da massa m 22 21 2PkPk+|\

|.| Aconstantedemolaequivalentedosistemaobtidaconsiderando e equivalent mola de constantemassa da peso= deslocamento da massa, portanto ( )( )PkPk kP k kk kk kk keq= +|\

|.| =+=+41 1441 21 21 21 21 2ekeq Se a equao do movimento da massa escrita como mx k xeq&& + = 0 ento a freqncia natural dada por ( ) ( ) neqnnkmk km k kfk km k k= =+= =+1 21 21 21 24 214 rad / segou Hz (ciclos / seg)Exemplo2.7Umrolocompactadordesoloconsistedeumcilindrodemassameraior,queestconectadoaum trator por uma mola de constante k como mostra a Fig. 2.15. Encontrar a equao diferencial do movimento. Assumir que o rolo est livre para rolar sobre a superfcie horizontal, sem deslizamento. Soluo: Aplicando a 2 Lei de Newton ao movimento do cilindro, usando como coordenada o movimento do centro de massa do mesmo, F mx =&&(a) Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 26ou fmx kx F = + && (b) onde Ff a fora de atrito, ainda desconhecida. Figura 2.15 Rolo compactador de solo.Usando a equao, OM J = O fJ F r = && (c) ou 212fxmr F rr| || | = | |\ .\ .&& (d) e, portando, 12fF mx = && . Substitui-se esta expresso para Ff na equao das foras para obter 12mx kx mx = && &&(e) ou302mx kx + = && (f) 2.3.2 - Mtodo da energia de Rayleigh Conformefoiditonocaptulointrodutrio,umadasmaisimportantescontribuiesdeLordRayleighno campodasvibraesfoiomtodoapresentadoparadeterminaodafreqncianaturaldosistemadeumgraude liberdade. Mais tarde Ritz estendeu o mtodo para determinao da primeira freqncia natural de um sistema de mais de um grau de liberdade. O Mtodo de Rayleigh se fundamenta no Princpio da Conservao da Energia, se aplicando, portanto,apenasasistemasconservativos(semamortecimento).ComoaenergiatotalEconstante,asomadas energias cintica e potencial em dois instantes de tempo quaisquer so iguais T1 + U1 = T2 + U2 = E(2.22) onde T1 e U1 so as energias cintica e potencial no tempo 1 e T2 e U2 so as energias cintica e potencial no tempo 2.Estabelecendo-seaposiodeequilbrioestticocomoaposioreferencialdeenergiapotencial(aenergia potencialdependedoreferencial,quepodeserescolhidoarbitrariamente)eotempo1forotempoemqueosistema passaporestaposio,entoU1=0e,comoaenergiatotalconstanteeigualsomadasenergiascinticae potencial,aenergiacinticanestetempodevesermxima,ouT1=Tmax.Poroutrolado,aoseescolherotempo2 comootempoemqueosistemaatingeseumximodeslocamento,istoproduzumaenergiapotencialmximaU2= Umaxe,comoomovimentooscilatrio,avelocidadenestemesmotemponulaeT2=0.Utilizandoaexpresso (2.22), isto se traduz em Tmax = Umax(2.23) que a expresso fundamental do Mtodo de Rayleigh. Exemplo 2.8 Resolver o problema do exemplo 2.7 utilizando o Mtodo de Energia.Soluo: Energia cintica do movimento de translao do centro de massa do rolo 212tT mx = &(a) Energia cinetica do movimento de rotao do rolo Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 27212r OT J =&(b) onde o momento de inrcia do rolo 212OJ mr =(c) Pela condio de rolamento sem deslizamentoou r x r x = =&& (d) de forma que a energia cintica total 22 2 21 1 1 32 2 2 4xT mx mr mxr| || | | |= + = | ||\ .\ . \ .&& & (e) A energia potencial se concentra na mola, sendo 212U kx = (f) Aplicando o Princpio da Conservao da Energia ( ) 023= |.|

\|+ = + kx x m U Tdtd& & (g) Simplificando, chega-se equao 302mx kx + = &&(h)que idntica eq. (f) do Exemplo 2.7. Exemplo 2.9 Estruturas compostas. Determinar a freqncia natural da vibrao vertical de uma massa ligada a uma estrutura flexvel como mostrado na Fig. 2.16.Soluo:AestruturadaFig.2.16consideradacomoduasmolasassociadasemsrie.OmodelomostradonaFig. 2.16a. Para uma viba bi-apoiadaa constante de mola para a deflexo lateral no meio 348EIkL= (a) Passo 1: O sistema possui um grau de liberdade. Seleciona-se a coordenada x. Passo2:Assume-sequeamassadeslocadax.AsforasaplicadassomostradasnaFig.2.16d.Fainda desconhecida. A compatibilidade dos deslocamentos exige que 1 212 1 2 31 2 31 212 3 31 2 3 1 2 32 2, , ,21 1 12 4 4 4 4F FFk k kF F Fx Fk k k k k k += = = =| | += + = + = + + = + + |\ .(b) Ento 1 2 31 4 1 4 1xFk k k=+ +(c) Passo 3: A 2 Lei de Newton estabelece 1 2 31 2 31 4 1 4 1101 4 1 4 1xmx Fk k kmx xk k k= =+ ++ =+ +&&&&(d) Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 28 Figura 2.16 Estrutura composta. Passo 4: A freqncia natural 1 2 311 4 1 4 1nk k km+ += (e) Exemplo 2.10 Uma viga engastada, de ao, com comprimento igual a 1 m possui uma seo transversal retangular de 0,01x0,12m2.Umamassade100kganexadasuaextremidadelivrecomomostraaFig.2.17.Determinara freqncia natural do sistema para vibrao vertical. Figura 2.17 Viga engastada. Soluo: Assume-se que a massa da viga pequena. mviga = 7800 x 1 x 0,01 x 0,12 = 9,36 kg, mas se sabe que a sua massaefetivacercade1/3destevalor,3,12kg,oquerepresenta3,12%damassacolocadanaextremidade.A deflexo na extremidade livre da viga engastada, devida a uma fora lateral P ali aplicada = PL3/3EI. Portanto, para pequenas oscilaes, a constante de mola k = P/ = 3EI/L3. O momento de inrcia da viga I = bh3/12 = 0,12 x 0,013/12 =10-8 m4, e o mdulo de elasticidade do ao E = 2,1 x 1011 N/m2. Portanto, k = 3 x 2,1 x 1011 x 10-8/13 = 6300 N/m. A equao do movimento livre no amortecido 0 mx kx + = &&(a) Se a massa da viga no for considerada a freqncia natural ser 63007, 94 rad/s100nkm = = = (b) Se a massa efetiva da viga (1/3) for acrescida, a freqncia natural torna-se rad/s 82 , 712 , 3 1006300=+= =eqnmk (c) A diferena de 0,12 rad/s equivale a 1,51 % da freqncia natural, correspondendo a uma diferena de 9,36 % na massa total. Isto demonstra a importncia em se considerar a massa efetiva da mola.Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 29Exemplo2.11AcordamostradanaFigura2.18estsobumatensoT,quepermanececonstanteparapequenos deslocamentos.Determinarafreqncianaturaldavibraoverticaldamassamconsiderandopequenasoscilaes. Despreze os efeitos da gravidade e a massa da mola. Figura 2.18 Massa suportada por uma corda tensionada. Soluo: Assumir que a massa est deslocada x na direo vertical. A tenso na corda a fora de restaurao. Como a tenso constante, as componentes verticais da tenso sobre a massa resultam em ( ) | | a L x a x T + . Aplicando a 2 Lei de Newton, a equao do movimento 0 = |.|

\|+ +a LxaxT x m& &ou ( )0 =

+ xa L aTLx m& &(a) e ( ) a L maTLn= (b) Exemplo2.12UmcilindroslidoderaiorestimersoparcialmenteemguadestiladacomoilustraaFig.2.19. Determinarafreqncianaturaldeoscilaodocilindronadireovertical,assumindoquepermanecenaposio vertical. As densidades do cilindro e da gua so c e w. Figura 2.19 Vibrao de corpos flutuantes. Soluo:Odeslocamentoverticaldocilindromedidoapartirdesuaposiodeequilbriox.Opesodagua deslocada (empuxo) Agwx. Esta fora restauradora, de acordo com o Princpio de Arquimedes. A massa do cilindro Ahc. Da 2 Lei de Newton, a equao do movimento 0c wAhx Ag x + = &&(a) ou 0wcgx xh+ = &&(b) portanto wncgh= (c) Como parte da gua se move junto com o cilindro, a freqncia natural real ser um pouco menor. A massa de gua acrescida : Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 30 al longitudin eixo seuao larmente perpendicu se - movendo cilindro4plana superfcie larmente perpendicu se - movendoretangular forma com placa4disco3esfera122233)`L dwLL wdd Exemplo2.13 Um corpo de massa m1 est suportado por uma mola de rigidez k (Fig. 2.20). Uma massa m cai de um altura h sobre o corpo ocorrendo um impacto perfeitamente plstico. Determinar a expresso da vibrao resultante e a freqncia natural do sistema aps o impacto. equilbriomm1kx0m1hm mxgh u 2 =u0 Figura 2.20 Vibrao devida ao impacto. Soluo:Emprimeirolugardetermina-seavelocidadedamassamnomomentodoimpacto.Aseguir,utilizandoo princpiodaconservaodaquantidadedemovimento,calcula-seavelocidadedoconjuntoapsoimpacto,quea velocidade inicial do movimento das duas massas se vibrando como um corpo rgido.Quando a massa m atinge o corpo m1, possui velocidade2 u gh = . O princpio da conservao da quantidade de movimento estabelece que( )1 0mu m m u = +onde u0 a velocidade das duas massas aps o impacto. Neste instante o sistema no estar na sua posio de equilbrio esttico. Se a massa m1 for carregada com uma carga adicional mg, a posio de equilbrio esttico estaria 0mg k =abaixo da posio do impacto. Se o movimento medido a partir desta posio (impacto), as condies iniciais so 0 01, 2mg mx u ghk m m| | = = |+\ . (a) A equao do movimento similar Eq. (2.15) ( )10 m m x kx + + = && (b) com 1nkm m =+ (c) A soluo, em funo das condies iniciais, dada pela Eq. (2.20), resultando em ( )( )tkmgtm m kghm tut x t xn n nnn cos sin2sin cos100+= + =2.4 - Vibrao Livre de Sistemas com Amortecimento Viscoso Oamortecimentorepresentaacapacidadedosistemaemdissiparenergia.Comomodelomaissimplesde amortecimento se apresenta o amortecimento viscoso, assim chamado por representar a fora dissipativa proporcionada porumfluidoviscoso.Estaforatemcomocaractersticaprincipalserproporcionalvelocidaderelativaentreas superfciesemmovimentoquandoexisteumfluidoseparando-as.Estaproporcionalidadegarantequeaequao Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 31diferencialdomovimentonoperdernenhumadesuascaractersticasenunciadasnaseo2.3.1.Aforade amortecimento viscoso Fa tem como expresso F cxa= &(2.24) onde c a chamada constante de amortecimento. 2.4.1 - Equao do movimento k(a)kxm m.cxcxSistema Diagrama de corpo livre(b) Figura 2.21 - Sistema de um grau de liberdade com amortecedor viscoso AFig.2.21amostraoesquemadeumsistemadeumgraudeliberdadecomamortecimento.Seaforade amortecimento for de natureza viscosa, igual expresso (2.24), o diagrama de corpo livre da Fig. 2.21b, ao se aplicar a 2 Lei de Newton,permite que se escreva a equao mx cx kx && & = que pode ser escrita na forma mx cx kx && & + + = 0(2.25) A soluo da equao (2.25) tem forma( ) x t Cest= que, introduzida na equao, resulta em ( )ms cs k Cest 20 + + =que tem soluo no trivial quando a equao caracterstica ms cs k20 + + =(2.26) for satisfeita. Isto s possvel se as razes forem sc c mkmcmcmkm1,22242 2 2= = |\

|.| (2.27) Como as duas razes satisfazem a equao diferencial (2.25), a soluo resultante ser uma combinao linear das mesmas na forma ( ) x t C e C es t s t= +1 21 2(2.28)2.4.2 - Sistemas sub-amortecido, criticamente amortecido e super-amortecido. Aformafuncionalde(2.28)dependefundamentalmentedanaturezadasrazes(2.27):complexasoureais. Para facilitar a notao, antes de estudar a influncia da natureza das razes na forma funcional, deve-se definir alguns parmetros auxiliares. Constante de Amortecimento Crtico Aconstantedeamortecimentocrticoccdefinidacomoovalordecquefazcomqueodiscriminante da expresso (2.27) se anule. Isto porque, do sinal deste discriminante que depende a natureza das razes: > 0implica em razes reais enquanto que para < 0 as razes formaro um par complexo. = 0, se apresenta como o limite entre estas duas situaes distintas. Tem-se ento Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 32cmkmc202|\

|.| =de forma que c mkmmc n= = 2 2 (2.29) Fator de Amortecimento Aconstantedeamortecimentocdumaindicaodarelaoentreaforadeamortecimentoeavelocidade relativaentreaspartesemmovimento.Ela,pormnoproporcionaumavisodaquantidadedeamortecimentoque atua sobre o sistema real, uma vez que uma fora de amortecimento pode ser grande para um sistema e pequena para outro,dependendo,fundamentalmentedasmassasenvolvidaseda rigidez. Define-se, ento o fator de amortecimento queumaquantidadeadimensionalenodependedaordemdegrandezadosparmetrosdosistema,indicando expressamente o quanto o sistema est sendo amortecido. O fator de amortecimento definido como a relao entre a constante de amortecimento do sistema e a constante de amortecimento crtica =ccc(2.30) Com o valor de cc dado na expresso (2.29) tem-se que=cmn2(2.31) Considerando quem kn=2 , com a expresso (2.31), as razes (2.27) podem ser escritas na forma ( ) ( ) sn n n n 1,222 21 = = (2.32) Introduzindo (2.32) em (2.28), chega-se a()x t C e C en nt t= + + |\

|.| |\

|.|11212 2 (2.33) A expresso (2.33) pode ser considerada como a expresso geral para o movimento vibratrio de um sistema deumgraudeliberdade.Pode-sesemostrarfacilmenteque,para =0estaexpressosetransformaem(2.17),que representa o movimento de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento.Aformadomovimentorepresentadopor(2.33)dependeexpressamentedosexpoentespresentes(ouda naturezadasrazes(2.32)comojfoiditoantes).Aseguirseroapresentadasaspossibilidadesdemovimentoem funo da natureza destes expoentes (reais, complexos ou nulos). E, como pode ser facilmente averiguado em (2.33), a natureza dos expoentes depende do fator de amortecimento . Caso 1: Sistema sub-amortecido - 1 Quando > 1 a constante de amortecimento c maior que a constante de amortecimento crtico cc, implicando que as razes dadas em (2.32) so reais e diferentes, a saber ( ) sn 1,221 0 = < (2.42) e a soluo da equao diferencial retorna forma dada em (2.33). Introduzindo-se as condies iniciais ( ) ( ) x t x x t v = = = = 0 00 0e& , em (2.33), determinam-se as constantes de integrao, que se tornam ( )( )Cx vCx vnnnn102022020212 112 1=+ += Omovimentosuper-amortecidotambmestmostradonaFig.2.24esepodeverquenooscilatrio.Se podecompararostrscasosdescritosacimaeconcluirquemovimentooscilatriosaconteceemsistemassub-amortecidos ( < 1). Sistemas criticamente amortecidos e super-amortecidos apresentam como caracterstica principal, ofatodequetodaaenergiavibratriainicialsedissipaantesqueocorraumciclovibratrio.Conseqncia:noh vibrao. Uma concluso que se tira da observao da Fig. 2.24 que o sistema retorna mais rapidamente posio de equilbrio quando est criticamente amortecido do que quando est super-amortecido. Portanto, quando se desejar fazer com que um sistema retorne rapidamente, sem vibrar, sua posio inicial depois de deslocado dela, se deve escolher umaquantidadedeamortecimentoquetorneosistemacriticamenteamortecido.Naprtica,comovaiservistomais adiante,valoresmenoresdoqueoamortecimentocrtico(=0.7)permitemoretornoposiodeequilbriomais rapidamente ainda, permitindo-se que ocorra apenas uma oscilao. Este valor usado em amortecedores de veculos, poisosmesmos,quandosubmetidossirregularidadesderuaseestradas,devemretornaromaisrapidamentesua posio original. Odd=2x(t)d tSuperamortecido> 1Subamortecido< 1No amortecido= 0Criticamenteamortecido= 1nn=2x0 Figura 2.24 - Comparao entre movimentos com diferentes tipos de amortecimento. Unidade 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 352.4.3 - Decremento Logartmico Umproblemaqueseapresentanormalmenteparaquemestudasistemasvibratriosestimarofatorde amortecimento.Quandosepossuiumregistro,resultadodeumamedio,deummovimentovibratrio,possvel observaraquedaexponencialdaamplitudedevibraocomotempo.Omtodododecrementologartmicose fundamentanacomparaoentreduasamplitudes,consecutivasouno,medidasdeummovimentovibratriolivre amortecido.AFig.2.22mostraoregistrodeummovimentovibratriolivre,medidodeumsistemadeumgraude liberdade.Emsetratandodemovimentooscilatrio,entoosistemasub-amortecido,eaexpressoquedescreveo movimento a (2.36). Se x1 o deslocamento medido no tempo t1 e x2 o deslocamento medido no tempo t2, a relao entre x1 e x2 ( )( )xxXe tXe tnntdtd121212= coscos(2.43) Seosdoisdeslocamentossomedidosemtemposseparadosporumperodointeiro,entot2=t1+dcom dd=2 , de forma que( ) ( ) ( ) cos cos cos d d dt t t2 1 12 = + = o que torna (2.43) ( )xxeeee e enn dn dn dnntt12211122121= = = = = +

e o decremento logartmico definido ento como = =lnxx12221 (2.44) Para sistemas com amortecimento muito baixo (