ma13 - unidade 2moodle.profmat-sbm.org.br/ma13/2014/unidade2-2.pdf · profmat - sbm ma13 - unidade...
TRANSCRIPT
MA13 - Unidade 2Congruencia de triangulos- II
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
1 de julho de 2013
Triangulo isosceles
Os angulos da base de um triangulo isosceles sao congruentes.
b
BbC
bA
Seja ABC um triangulo com AB = AC . Considere o pontoM, medio de BC e mostre que os triangulos AMB e AMC saocongruentes.
ConsequenciaEm um triangulo isosceles, a mediana relativa ao lado desiguale tambem altura e bissetriz.
RecıprocaA recıproca e verdadeira. Se, no triangulo ABC tivermos∠B = ∠C entao AB = AC .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 2/1
Triangulo isosceles
Os angulos da base de um triangulo isosceles sao congruentes.
b
BbC
bA
Seja ABC um triangulo com AB = AC . Considere o pontoM, medio de BC e mostre que os triangulos AMB e AMC saocongruentes.
ConsequenciaEm um triangulo isosceles, a mediana relativa ao lado desiguale tambem altura e bissetriz.
RecıprocaA recıproca e verdadeira. Se, no triangulo ABC tivermos∠B = ∠C entao AB = AC .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 2/1
Triangulo isosceles
Os angulos da base de um triangulo isosceles sao congruentes.
b
BbC
bA
Seja ABC um triangulo com AB = AC . Considere o pontoM, medio de BC e mostre que os triangulos AMB e AMC saocongruentes.
ConsequenciaEm um triangulo isosceles, a mediana relativa ao lado desiguale tambem altura e bissetriz.
RecıprocaA recıproca e verdadeira. Se, no triangulo ABC tivermos∠B = ∠C entao AB = AC .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 2/1
Triangulo isosceles
Os angulos da base de um triangulo isosceles sao congruentes.
b
BbC
bA
Seja ABC um triangulo com AB = AC . Considere o pontoM, medio de BC e mostre que os triangulos AMB e AMC saocongruentes.
ConsequenciaEm um triangulo isosceles, a mediana relativa ao lado desiguale tambem altura e bissetriz.
RecıprocaA recıproca e verdadeira. Se, no triangulo ABC tivermos∠B = ∠C entao AB = AC .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 2/1
Mediatriz de um segmento
A mediatriz de um segmento e a reta perpendicular a essesegmento que passa pelo seu ponto medio.
Todo ponto da mediatriz de um segmento equidista dosextremos desse segmento.
b
Ab
B
r
bP
b
M
Seja M o ponto medio do segmento AB. Seja r a mediatrizdo segmento AB e seja P um ponto qualquer de r .Os triangulos PMA e PMB sao congruentes.Logo, PA = PB.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 3/1
Mediatriz de um segmento
A mediatriz de um segmento e a reta perpendicular a essesegmento que passa pelo seu ponto medio.
Todo ponto da mediatriz de um segmento equidista dosextremos desse segmento.
b
Ab
B
r
bP
b
M
Seja M o ponto medio do segmento AB. Seja r a mediatrizdo segmento AB e seja P um ponto qualquer de r .Os triangulos PMA e PMB sao congruentes.Logo, PA = PB.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 3/1
Mediatriz de um segmento
A mediatriz de um segmento e a reta perpendicular a essesegmento que passa pelo seu ponto medio.
Todo ponto da mediatriz de um segmento equidista dosextremos desse segmento.
b
Ab
B
r
bP
b
M
Seja M o ponto medio do segmento AB. Seja r a mediatrizdo segmento AB e seja P um ponto qualquer de r .Os triangulos PMA e PMB sao congruentes.Logo, PA = PB.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 3/1
Bissetriz de um anguloA bissetriz de um angulo e a semirreta que divide um anguloem dois outros congruentes.
Todo ponto da bissetriz de um angulo equidista dos ladosdesse angulo.
b
O
b
P
bD
b
C
bc M
bc B
bc
A
A distancia de um ponto a uma reta e o comprimento daperpendicular baixada do ponto a reta.OM e bissetriz do angulo AOB. Seja P um ponto de OM.MC e MD sao perpendiculares aos lados OA e OB,respectivamente.Continue...
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 4/1
Bissetriz de um anguloA bissetriz de um angulo e a semirreta que divide um anguloem dois outros congruentes.
Todo ponto da bissetriz de um angulo equidista dos ladosdesse angulo.
b
O
b
P
bD
b
C
bc M
bc B
bc
A
A distancia de um ponto a uma reta e o comprimento daperpendicular baixada do ponto a reta.OM e bissetriz do angulo AOB. Seja P um ponto de OM.MC e MD sao perpendiculares aos lados OA e OB,respectivamente.Continue...
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 4/1
Bissetriz de um anguloA bissetriz de um angulo e a semirreta que divide um anguloem dois outros congruentes.
Todo ponto da bissetriz de um angulo equidista dos ladosdesse angulo.
b
O
b
P
bD
b
C
bc M
bc B
bc
A
A distancia de um ponto a uma reta e o comprimento daperpendicular baixada do ponto a reta.
OM e bissetriz do angulo AOB. Seja P um ponto de OM.MC e MD sao perpendiculares aos lados OA e OB,respectivamente.Continue...
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 4/1
Bissetriz de um anguloA bissetriz de um angulo e a semirreta que divide um anguloem dois outros congruentes.
Todo ponto da bissetriz de um angulo equidista dos ladosdesse angulo.
b
O
b
P
bD
b
C
bc M
bc B
bc
A
A distancia de um ponto a uma reta e o comprimento daperpendicular baixada do ponto a reta.OM e bissetriz do angulo AOB. Seja P um ponto de OM.MC e MD sao perpendiculares aos lados OA e OB,respectivamente.Continue...
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 4/1
Teorema do angulo externo de um triangulo
Em um triangulo, um angulo externo e maior que qualquer umdos dois angulos internos nao adjacentes.
b
B
b
X
bA
b
C
θ
α
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 5/1
Teorema do angulo externo de um triangulo - II
No triangulo ABC seja ∠ACX = θ o angulo externo em C eseja ∠BAC = α o angulo interno em A.Seja M o ponto medio de AC .Prolongue BM de um comprimento MD igual a BM.
b
B
b
X
bA
b
C
θ
α
b
M
bD
α′
MA = MC ,MB = MD,∠AMB = ∠DMC ⇒ 4MAB ≡ 4BCD
⇒ ∠MCD = θ .
Como ∠ACD = α esta contido em ∠ACX = θ concluımosque θ > α.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 6/1
Teorema do angulo externo de um triangulo - II
No triangulo ABC seja ∠ACX = θ o angulo externo em C eseja ∠BAC = α o angulo interno em A.Seja M o ponto medio de AC .Prolongue BM de um comprimento MD igual a BM.
b
B
b
X
bA
b
C
θ
α
b
M
bD
α′
MA = MC ,MB = MD,∠AMB = ∠DMC ⇒ 4MAB ≡ 4BCD
⇒ ∠MCD = θ .
Como ∠ACD = α esta contido em ∠ACX = θ concluımosque θ > α.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 6/1
Construcao de triangulos
Construir um triangulo significa explicitar os procedimentos deutilizacao da regua e do compasso para desenhar um trianguloquando tres dos seus elementos sao dados.
Exemplo Construir o triangulo ABC dados os segmentosBC = a, AC = b e AB = c
b b
a
b b
bb b
c
b
C
b
B
bA
SolucaoDesenhe o segmento BC = a.Desenhe uma circunferencia de centro B e raio c.Desenhe uma circunferencia de centro C e raio b.Seja A um dos pontos de intersecao dessas circunferencias,O triangulo ABC esta construıdo.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 7/1
Construcao de triangulos
Construir um triangulo significa explicitar os procedimentos deutilizacao da regua e do compasso para desenhar um trianguloquando tres dos seus elementos sao dados.
Exemplo Construir o triangulo ABC dados os segmentosBC = a, AC = b e AB = c
b b
a
b b
bb b
c
b
C
b
B
bA
SolucaoDesenhe o segmento BC = a.Desenhe uma circunferencia de centro B e raio c.Desenhe uma circunferencia de centro C e raio b.Seja A um dos pontos de intersecao dessas circunferencias,O triangulo ABC esta construıdo.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 7/1
Construcao de triangulos
Construir um triangulo significa explicitar os procedimentos deutilizacao da regua e do compasso para desenhar um trianguloquando tres dos seus elementos sao dados.
Exemplo Construir o triangulo ABC dados os segmentosBC = a, AC = b e AB = c
b b
a
b b
bb b
c
b
C
b
B
bA
SolucaoDesenhe o segmento BC = a.Desenhe uma circunferencia de centro B e raio c.Desenhe uma circunferencia de centro C e raio b.Seja A um dos pontos de intersecao dessas circunferencias,O triangulo ABC esta construıdo.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 7/1
Caso ALL
Considere o problema de construir o triangulo ABC dados oangulo B o lado BC e o lado CA.
Se B < 90o o problema pode ter duas solucoes como mostra afigura a seguir.
b
B
b
C
bA
bA′
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 8/1
Caso ALL
Considere o problema de construir o triangulo ABC dados oangulo B o lado BC e o lado CA.
Se B < 90o o problema pode ter duas solucoes como mostra afigura a seguir.
b
B
b
C
bA
bA′
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 8/1
Porem, se B ≥ 90o o problema, se tiver solucao, tera apenas uma.
b
B
b
C
bA
Assim, o caso de congruencia ALL vale se o angulo for maior queou igual a 90o .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 9/1