UMA PROPOSTA PARA A INTRODUÇÃO DA ÁLGEBRA NA

EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS

Maria José Ferreira Marques1 mjfmarques@hotmail.com Magna Natalia Marin Pires2 magnapires@yahoo.com.br

RESUMO

Este trabalho faz parte das atividades desenvolvidas no Programa de Capacitação – PDE do governo do Paraná. Expõe o desenvolvimento de uma atividade, aplicada numa turma de EJA da cidade de Londrina-Paraná. Tal atividade é trabalhada com a intenção de estimular e promover o pensamento algébrico. No problema apresentado para o estudo, os alunos encontram relações entre duas grandezas. Tem como ponto de partida a análise, observação e organização, de forma gráfica e escrita, uma situação do cotidiano. O Erro como estratégia de ensino, é utilizado durante todo o “desenrolar” da atividade. As discussões travadas entre os alunos são encaminhadas pelo professor com o objetivo de fazer com que os alunos busquem e encontrem as relações existentes entre as grandezas envolvidas no problema apresentado. A finalização acontece quando os alunos encontram e “escrevem matematicamente” as generalizações dos padrões encontrados na situação problema. Palavras-Chave: Álgebra. Erro como estratégia de ensino. EJA. Educação Matemática.

ABSTRACT

This work is part of activities developed in the programme of training – PDE (Program of Development of the Education) of the government of the Paraná. It exposes the development of an activity, applied on a EJA’s (Young people and adults’ Education) classroom of the city of Londrina - Paraná. Such activity is worked with the intention to stimulate and promote algebraic. In the problem submitted for the study, the students find relations between two magnitudes. The analysis, observation and organization, in graphical view and writing a daily is the starting point of the activity. The Error as a strategy of education is used throughout the conduct of the activity. The discussions between pupils are forwarded by teacher with the goal students seek and find the relationship between the magnitudes involved in the

1 Professora da Rede Pública Estadual – Paraná. 2 Professora do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Londrina.

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problem. The completion happens when students are and “write mathematically” the generalizations of the standards that they found in the situation problem. Keywords: Algebra. Error as a strategy of education. EJA. Mathematics Education.

INTRODUÇÃO

O PDE, no estado do Paraná, é um Programa de Desenvolvimento

Educacional, direcionado aos professores da rede pública do estado do Paraná. É

composto por um conjunto de atividades que estão sendo desenvolvidas em parceria

com Instituições de Ensino Superior e implantado pela SEED (Secretaria de Estado

da Educação) do estado do Paraná, em cooperação com a Secretaria de Estado da

Ciência, Tecnologia e Ensino Superior. Participam desse programa professores do

quadro próprio do magistério, aprovados em concurso específico para essa

finalidade.

O Programa prevê avanços na carreira do professor participante, que

durante a participação e desenvolvimento do mesmo, conta com um tempo livre para

estudos, e participa como tutor da Formação Continuada em Rede. Esse trabalho

denominado GTR (Grupo de trabalho em Rede), foi desenvolvido em conjunto, com

outros professores da rede estadual, que participaram maneira virtual, partilharam

conhecimento e experiências, e contribuíram com o desenvolvimento de saberes

durante os estudos do professor PDE.

A parceria com as Instituições Públicas de Ensino Superior do Paraná

tem papel fundamental no desenvolvimento do programa PDE, pois corrobora para

que os professores em capacitação façam reflexões pedagógicas críticas e

sistematizadas.

Enquanto professora participante desse programa, eu tive a

oportunidade de fazer reflexões relacionadas aos conteúdos matemáticos e também

aos conhecimentos pedagógicos. Conheci novas metodologias e estratégias, e apesar

de considerar-me uma professora comprometida e qualificada, fazer parte do PDE,

contribuiu muito para que minha prática profissional fosse modificada, e em

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conseqüência, a receptividade, empenho e compromisso dos alunos foram

claramente maiores, e mais intensos.

Desde o início de minha carreira, trabalhar com Álgebra, salvo em raras

exceções, sempre foi trabalho penoso, os alunos reclamavam muito, e apesar de

procurar trabalhar da melhor forma possível, sempre achava que os resultados não

eram realmente satisfatórios. Ministrar tal conteúdo nem sempre era tarefa fácil, fato

que constantemente muito me angustiou.

Quando iniciei minhas atividades para desenvolver o trabalho exigido

pelo PDE, percebi ser essa, uma grande oportunidade para buscar alternativas que

realmente fossem eficazes para desenvolver tal conteúdo. Decidi então, direcionar

minhas pesquisas tendo o ensino da Álgebra como foco.

DESENVOLVIMENTO

A Álgebra, apesar de ser conteúdo sempre considerado difícil, tem

inquestionável relevância nos currículos de matemática.

Segundo Pesquita,

A Álgebra, entendida como uma linguagem matemática passou, por um lado, a ser um tema considerado como um requisito básico para a formação de um cidadão, e, por outro, converteu-se num meio de exclusão social, dada a dificuldade sentida pela maior parte dos estudantes em trabalhar com o simbolismo algébrico, para quem constitui uma barreira difícil de transpor (2007, p. 5).

Escolhi Álgebra como foco deste trabalhado, pois é conteúdo

considerado difícil, quer seja pela forma como é ensinado, quer seja pela dificuldade

de linguagem específica que ele exige, ou pelo raciocínio automático que hoje o

mundo nos impõe. Enfim, Álgebra é considerada conteúdo difícil e várias podem ser

a razões. Mesmo assim, sua necessidade e relevância nos currículos de matemática

são inquestionáveis. Em certas épocas da história sua ênfase foi maior, como ocorreu

com o “Movimento da Matemática Moderna”, em outras, sua relevância foi

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considerada menos importante, como ocorreu no movimento “back to basic”. No

entanto, sempre esteve nos currículos, como etapa fundamental para a formação do

conhecimento matemático.

A linguagem simbólica tem papel muito importante no raciocínio

algébrico, porém se for trabalhada privilegiando apenas o transformismo algébrico,

de maneira puramente abstrata, como algo já definido, sem significado “real” para o

aluno, seu estudo é penoso e pouco significativo. Hoje, a Álgebra é considerada

como uma forma específica de pensamento para se estabelecer padrões e expressar

relações, ou seja, devemos compreendê-la como uma linguagem, cuja principal

função é comunicar idéias gerais, e expressar o que é genérico.

A relação existente entre o pensamento algébrico e a linguagem,

precisa ser “cuidadosamente” desenvolvida para que o aluno se torne capaz de

expressar o pensamento algébrico, utilizando uma linguagem simbólica com

significado “real”.

Entre o pensamento algébrico e a linguagem, existe uma relação, que

apenas será compreendida quando forem “internalizados” pelos alunos, os elementos

que caracterizam o pensamento algébrico.

Segundo Consalter, tais elementos são, não necessariamente nessa

ordem:

percepção de regularidades:

observar um padrão e fazer a generalização.

tentativas de explicitar a estrutura de uma situação problema:

escrever simbolicamente uma situação de um problema (equação).

percepções de aspectos invariantes em contraste com outros que

variam:

relacionar quantidades (função).

a presença de processo de generalização:

manipular expressões, e justificar essa ação.

Atividades que levem os alunos a perceberem e explorarem

regularidades e a pensarem genericamente, contribuem significativamente para a

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construção do pensamento e da linguagem algébrica. Outra questão de grande

importância é fazer com que os alunos se expressem matematicamente, na forma

oral e escrita, estabelecendo sempre relações entre grandezas variáveis, esta é uma

boa alternativa para o desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébrica do

aluno, e quando verdadeiramente acontece a apropriação dessa linguagem, o

pensamento flui melhor e o aluno consegue expressar relações mais complexas e

abstratas.

Atualmente várias são as formas de se tratar e reconhecer a Álgebra, e

desenvolver um trabalho que faça com que os alunos, em diversas situações

encontrem padrões e busquem generalizações, faz com que eles desenvolvam o

raciocínio algébrico.

Segundo Abrantes, Cerrazina, Oliveira (1999, p. 99),

O reconhecimento de regularidades em matemática, a investigação de padrões em seqüências numéricas e a generalização através de regras que os próprios alunos podem formular permitem que a aprendizagem da álgebra se processe de um modo gradual e ajudam a desenvolver a capacidade de abstracção. Esta capacidade é essencial no desenvolvimento da competência matemática. Antes de se entrar na manipulação algébrica formal (usando expressões literais, resolvendo equações, etc.), é importante todo um percurso que inclua um grande número de experiências algébricas informais. Para destacar este facto, alguns autores falam do desenvolvimento do pensamento pré-algébrico. Esta noção envolve pensar nas relações numéricas de uma situação, explicitá-las em linguagem corrente, representá-las através de diferentes processos, incluindo o uso de símbolos.

A Álgebra é uma forma específica de pensamento para se estabelecer

padrões, expressar relações e é também uma linguagem para realizar leitura do

mundo.

Segundo Ponte,

[...] no pensamento algébrico dá-se atenção não só a objectos concretos mas também às relações existentes entre eles, representando e raciocinando sobre essas relações tanto quanto possível de modo geral e abstracto. Por isso, uma das vias privilegiadas para promover este pensamento é o estudo de padrões e regularidades. Nesta perspectiva, a Álgebra é muito mais do que o simbolismo (2007, p.16).

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De acordo com os estudos que desenvolvi, e mediante orientação,

entendi que deveria trabalhar com atividades que estimulassem o desenvolvimento

do pensamento algébrico por meio de análise e descoberta de diferentes padrões

(sonoros, numéricos, alfabéticos, e com desenhos), atividades que exigem análise de

regularidades e padrões, e estabelecem relações, podendo levar os alunos a

expressarem o que é genérico.

Segundo Libec, Libec, Cabrita, Borralho (2007, p. 5),

Quando apelamos aos padrões no ensino da matemática é normalmente porque queremos ajudar os alunos a aprender uma matemática significativa e/ou a envolver-se na sua aprendizagem facultando-lhes um ambiente de aprendizagem que tenha algo a ver com a sua realidade e experiências. O estudo de padrões vai ao encontro deste aspecto, apoiando a aprendizagem dos estudantes para descobrirem relações, encontrarem conexões, fazerem generalizações e também previsões

À medida que se descobrem relações, encontram conexões, escrevem

as generalizações e fazem previsões, oportunizando compreensão, isso contribui para

o desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébrica dos alunos.

Fazer com que os alunos trabalhem com padrões é utilizar a realidade e

as experiências do dia-a-dia do aluno. Muitas situações naturais ou não, são

explicadas por meio de padrões matemáticos. Explorar padrões é descobrir e

interpretar regularidades. Reconhecer um padrão em um fato, ou em uma situação,

possibilita a previsão da continuidade do mesmo, ou seja, pode-se prever seu

comportamento.

Para desenvolver as atividades, escolhi o Erro com estratégia didática.

Acredito que para os alunos de EJA (Educação de Jovens e Adultos), modalidade de

ensino em que trabalho, essa estratégia faz com que eles entendam que errar não é

“vergonhoso” e sim, uma etapa a ser vencida no desenvolvimento da aprendizagem.

Acredito também, que além de auxiliar no desenvolvimento das atividades de

maneira efetiva, trabalhar o Erro como recurso metodológico também auxilia os

alunos, no resgate de sua auto-estima, pois “suas idéias e opiniões tem voz”, e toda

a bagagem que eles trazem de suas vivências, é reconhecida como “matéria prima” e

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ponto de partida para um trabalho de construção do conhecimento. Trabalhar a

Matemática associada ao cotidiano é um referencial que dá condições para que o

aluno se sinta inserido no seu contexto, e reconheça essa ciência como um saber

vivo e real, e como uma ferramenta para justificar escolhas, decisões, resolver os

problemas da sociedade e até os seus próprios problemas.

Para alcançar os objetivos propostos foi elaborado um Caderno

Pedagógico, composto por 10 atividades que exploram o pensamento lógico-

matemático, exigem observação de regularidades, seqüências e padrões. O objetivo

principal é desenvolver o raciocínio algébrico, e facilitar a aprendizagem do conteúdo

de Álgebra.

Para que os alunos pudessem observar, explorar, discutir, descobrir,

compreender e internalizarem de maneira bem consistente a idéia de regularidade,

eles realizaram atividades com várias seqüências numéricas e não numéricas.

Trabalharam organizados algumas vezes em duplas, algumas vezes em grupos,

participaram de discussões com os colegas, resolveram as tarefas propostas,

debateram, confrontaram suas idéias e defenderam as conclusões obtidas. Tendo em

vista que foi escolhido o Erro como estratégia pedagógica para o desenvolvimento

desse trabalho, eu, como professora da turma, trabalhei o tempo todo exercendo

papel de mediadora, nunca interferindo nas conclusões, e sim “direcionando”, por

meio de perguntas e questionamentos, o trabalho dos alunos. Cada uma das idéias

obtidas, depois de discutida, foi apresentada para toda a turma. Ao final das

atividades os alunos (com certa dificuldade) fizeram os registros escritos das

generalizações das situações trabalhadas.

Escolhi para a apresentação desse artigo a Atividade 8 do Caderno de

Atividades que elaborei. A discussão nos grupos dessa atividade foi bastante rica, os

alunos debateram, refletiram, e testaram soluções, a turma praticamente dividiu-se

em dois grupos, e ambos ficaram procurando convencer o “outro” grupo, de que a

resposta encontrada por eles era a resposta verdadeiramente correta. Tal processo

fez os alunos argumentarem e defenderem a resposta encontrada e as idéias do

grupo, tornando assim a atividade, uma oportunidade de mostrar a matemática por

um ângulo diferenciado daquele conhecimento pronto e acabado.

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Atividade – As mesas da festa

No final da semana passada foi o casamento de um amigo. Junto com

minha família, que é formada por 3 pessoas, levei mais 5 amigos. Na festa,

as mesas eram quadradas e tinham lugares para quatro pessoas. Para que

ficássemos sentados todos juntos o garçom juntou as mesas.

Responda:

a) Caso o garçom colocasse 2 mesas juntas, haveria lugar suficiente para que eu,

minha família e meus amigos ficássemos todos juntos? Faça o desenho, e

justifique sua resposta.

b) Quantas mesas foram colocadas juntas linearmente, para que eu, minha família e

meus amigos ficássemos sentados todos juntos? Faça o desenho e justifique sua

resposta.

c) Quantos lugares teriam se o garçom colocasse junto 4 mesas?

d) Construa uma tabela e complete escrevendo quantos lugares existirão para 3, 4,

5, 6 e 10 mesas. Explique como encontrou esses valores.

e) Suponha ser você um garçom que precise juntar mesas nesta seqüência para

acomodar 20 pessoas, quantas mesas seriam necessárias?

f) Caso houvesse 100 mesas juntas quantos seriam os lugares?

g) Observe a tabela organizada por você e escreva matematicamente a quantidade

de lugares para qualquer número n de mesas enfileiradas seqüencialmente.

Os objetivos da atividade são: representar geometricamente (com

desenho) a situação apresentada; organizar uma tabela com o número de mesas e o

número de lugares; descobrir a regra da situação apresentada e expressar a situação

matematicamente (nas formas oral e escrita).

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Relato do desenvolvimento da Atividade:

A turma foi organizada em duplas. Entreguei a atividade, pedi que

fizessem, e depois, todos juntos fizemos a discussão. Durante a discussão, logo na

primeira questão já surgiu divergência na resposta. Metade da turma entendeu que

apenas 2 mesas seriam suficientes para acomodar todas as 8 pessoas em questão,

mas a outra metade da turma entendeu que 2 mesas não seriam suficientes.

Perguntei então:

- Por quê?

Edmilson:

- Não caberiam todas as pessoas porque quando colocam juntas 2 mesas, 2

lugares são perdidos.

Lucinéia:

- Não perde! Porque pode-se colocar as cadeiras no encontro de 2 mesas.

Marinete:

- De acordo com o desenho, entendemos que em cada lado da mesa caberia

apenas 1 cadeira, assim temos de entender que se temos 2 mesas juntas, nos lados

caberiam apenas 4 pessoas, 2 de cada lado da mesa, e nas pontas mais 2, dessa

forma, 2 pessoas do seu grupo ficariam sem cadeira para se sentarem.

Tatyana:

- Mas professora, quando eu trabalhava em buffet, eu ajudava a arrumar as

mesas, e em cada encontro de mesas minha ex-patroa pedia para que colocássemos

também 1 cadeira. Por isso que cabe! Ficam 3 cadeiras de cada lado, mais 2 cadeiras

nas pontas, e assim as 8 pessoas podem se sentar.

Marinete:

- Mas quem se senta no encontro das mesas fica desacomodada! O pé da

mesa atrapalha!

Tatyana:

- Não atrapalha não, porque são aquelas mesas de lata, igual de bar. Nós as

colocávamos de forma que a perna da mesa ficassem virada para o lado de dentro, e

assim não atrapalha quem senta.

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Marinete:

- Mas se a atividade tem 1 desenho, devemos usar a regra que o desenho

propõe.

Maria Aparecida:

- Mesmo porque professora, o desenho apresenta apenas 1 mesa. Quem

garante que quem desenhou também não poderia considerar que em cada encontro

de mesas ele também colocaria 1 cadeira?

Edmilson:

- O exercício não fala que tipo de mesa que é, mas olhem o que pede a

segunda pergunta, ela já sugere que 2 mesas não seriam suficientes, porque

pergunta novamente quantas mesas deveriam ser colocadas juntas para que todos

se sentassem juntos.

Perguntei:

- E aí? Como fica? Segundo os argumentos de vocês me parece que as 2

respostas são corretas! Ou alguém não concorda? Se não concorda, tem que

convencer o pessoal da idéia diferente.

Lucinéia:

- Professora, eu nunca trabalhei em buffet, nunca me mandaram arrumar

mesas para muitas pessoas, mas eu imaginei que em cada encontro pode-se colocar

uma cadeira. Do jeito que eu fiz não está errado!

Então questionei:

- E do jeito que o outro grupo fez, está errado?

Ela respondeu:

- Também não. Mas o nosso está certo!

Perguntei novamente:

- Está certo! Mas o pensamento do outro grupo está errado?

Maria Aparecida falou:

- Também não! Eles também estão certos, pensaram diferente da gente,

mas estão certos.

Sugeri então:

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- Podemos considerar as 2 respostas! Já que ninguém conseguiu convencer

o grupo de idéia diferente, e já que as 2 soluções são soluções possíveis, vamos

analisar as respostas da atividade para as 2 soluções encontradas. Pode ser?

Todos confirmaram que sim. E então a partir daí fizemos as discussões,

mediante as 2 soluções encontradas. Dividi o quadro ao meio, e pedi que viessem

até ele para desenhar e explicar para os colegas suas conclusões. Vieram o Wallace e

a Marinete, Wallace fez o desenho que representou a turma que acreditava que 2

mesas seriam suficientes, e Marinete representou a turma que acreditava que 2

mesas não seriam suficientes para acomodar a todos. (Depois, André veio até o

quadro e respondeu as questões b, c, d e e). Marinete fez o desenho e respondeu

as questões. André ficou em dúvida na hora de escrever a tabela, sugeri então que

fizesse uma tabela com os seguintes dados: número de mesas e número de lugares.

Então ele montou a tabela com essas duas grandezas, (expliquei para eles o que é

grandeza), depois André foi escrevendo os valores na tabela e como estava meio

inseguro, fui questionando:

- Para 1 mesa, quantos lugares temos?

André:

- 4 lugares.

Perguntei:

- E para 2 mesas juntas?

Ele olhou para a turma, esperou que confirmassem e então respondeu:

- 8 lugares.

Continuei perguntando:

- E para 3 mesas?

Ele conferiu o desenho e respondeu:

- 12 lugares.

Falei então:

- Pensando dessa mesma forma, como vai continuar a tabela?

Ele escreveu na tabela e eu fiz a leitura dela para toda a turma:

- Para 5 mesas, serão 20 lugares, para 6 mesas serão 24 lugares, para 10

mesas serão 40 lugares, e para n, 1 vezes 4? Por que 1 vezes 4?

Wallace respondeu:

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- É 1 por 4.

Perguntei:

- 1 por 4? Mas o que é n?

Lucinéia:

- n é número de mesas.

Insisti na pergunta:

- Se n é número de mesas, então é o número de mesas...

Wallace:

- Por 4.

Perguntei:

- Então? É 1? O número de mesas é 1?

Wallace:

- É!

Corrigi:

- Não, o número de mesas é n. Tem que arrumar lá na tabela então. Tudo

bem! A idéia está certa. Só falta escrever melhor.

Lucinéia pergunta:

- Então dá n por 4?

Wallace:

- É! n é o número de mesas, que é 1, pelo número de lugares que é 4, não

é?

Ficaram todos me olhando. Então falei:

- Em cada mesa cabem 4 cadeiras, mas se você fala que n é 6, o que é 24?

É o número de lugares para 6 mesas. Se você fala que é 40, esse é o número de

lugares para 10 mesas, pensando dessa forma, qual é a regra?

Wallace:

- Que vai aumentando sempre 4 lugares. A cada 1 mesa aumentam 4

lugares.

Questiono a turma:

- Então como é que fica a regra? Na regra tem que aparecer o n!

O tempo todo eles discutiam entre eles, alguns reclamavam que era muito

difícil, e eu procurava estimulá-los dizendo que chegaríamos lá.

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- Prestem atenção aqui, junto comigo, 3 mesas, 12 lugares.

Marinete me corrigiu:

- 12 cadeiras.

Eu disse:

- Cadeiras ou lugares, a idéia é a mesma. Cadeira implica lugar para sentar.

De acordo com a regra estabelecida para cada mesa, existirão 4 cadeiras.

Marinete:

- Isso porque não se perdeu nenhuma cadeira na regra deles.

Confirmei:

- Isso! E 20 lugares...

Lucinéia:

- Para 4 mesas.

Perguntei:

- Teremos 24 lugares para 6 mesas. Mas o que é 40 então? Mas o que é 40

em relação a 10? O que é que estamos fazendo com esse 10 que ele está

relacionado com 40? O que fizemos com o 24? Que conta foi feita para chegarmos

em 24? Como conseguimos o 20 partindo do 5?

A turma responde: “Multiplicou!”

Perguntei:

- Por quanto? Como obtemos o 16 partindo do 4? Como obtivemos o 12

partindo...

Wallace:

- Do 3?

Marinete:

- Ah! É 3 vezes 4!

Perguntei:

- Então o que é 40?

Wallace:

- 10 mesas por 10 lugares, não, quarenta mesas por 4.

Maria Aparecida tentou corrigir:

- É 10 vezes 4.

Falei para Wallace:

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- Você está pensando certo, mas precisa melhorar a forma de falar. Maria

Aparecida já chegou! Pense! O que é 40?

Wallace:

- Quarenta lugares.

Perguntei:

- Mas o que é 40 em relação a 10?

Edmilson:

- 10 vezes 4!

Questionei novamente:

- O que é então 24 em ralação a 6?

Wallace:

- 6 vezes 4.

Questionei:

- O que é então 20 em ralação a 5?

Wallace:

- 5 vezes 4.

Questionei:

- O que é então 16 em relação a 4?

Wallace:

- 4 vezes 4.

- O que é então 12 em relação a 3?

Wallace respondeu:

- 3 vezes 4.

Perguntei:

- Então o que é número de lugares?

André:

- Vezes 4.

Perguntei:

- O que vezes 4?

Wallace:

- O número de mesas?

Perguntei:

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- Mas, o número de mesas, estamos chamando de quê3?

Wallace:

- De n.

Perguntei:

- Então como é que vai ficar aqui, na linha do n da tabela?

Wallace:

- n vezes 4.

Falei:

- Então precisa arrumar! E não tem problema ter errado! Eu acredito que ele

esteja pensando certo, de maneira correta. O que precisa melhorar é a escrita. É

escrever melhor! E na verdade, imagino que não seja só ele! Isso é comum, e por

isso estou insistindo tanto! Para que todos consigam escrever corretamente o

raciocínio desenvolvido, e para isso, falar é muito importante! Falar ajuda a organizar

o raciocínio, e depois a escrever o que exatamente estamos pensando! Mas voltando

na tabela, olhem lá! Pensem! Está correto? É isso mesmo? Todos concordam? É

multiplicação mesmo? Todos entenderam? Vamos então analisar a solução

encontrada pelo outro grupo. Eles entenderam que, quando se juntam 2 mesas

perdem-se 2 lugares. Vejam o desenho.

Junto com a turma fui lendo os valores da tabela:

- Para 3 mesas tem-se 8 lugares, para 4 mesas ...

A turma respondeu em coro:

- 10 lugares.

Eu continuei:

- 5 mesas...

A turma respondeu:

-12 lugares.

Eu continuei:

- 6 mesas...

A turma:

3 Lembramos que em atividades anteriores já havíamos trabalhado esse tipo de situação (substituição por uma letra).

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-14 lugares.

Eu continuei:

- 10 mesas...

A turma:

-24 lugares.

Eu continuei

- N mesas ...

A Marinete e quase todos que solucionaram o problema dessa mesma forma

responderam em coro:

- n vezes 2 mais 2 é igual a L lugares.

(Na tabela estava escrito: n.2+2= L)

Concordei:

- Isso mesmo, e dessa forma já está até escrito matematicamente. Na tabela

do outro grupo ainda falta escrever matematicamente. Aqui já está escrito quem é

igual a n.2+2. É isso mesmo? Isso está claro para todos? Vamos retomar. Vamos

discutir esses valores dessa tabela, assim como discutimos os valores da tabela do

outro grupo? O que é 8?

Marinete:

- 8 lugares.

Confirmei:

- Sim, mas como vocês conseguiram esse 8? Que conta vocês fizeram para a

partir do 3 chegar em 8?

Marinete:

- É 3 vezes 2 mais 2. Que é 3 vezes 2 porque é 3 de cada lado da mesa,

então 3 mesas vezes 2, 1 de cada lado de cada mesa, mais 2, por causa de cada

ponta da mesa, 2 pontas.

Perguntei para a turma:

- Todos entenderam? Isso ficou claro para todos? Vocês do outro grupo

entenderam? Está claro?

A Marinete ainda acrescentou:

- E aí funcionaria para qualquer quantidade de mesa, até para 1 mesa, 1

mesa vezes 2, que dá 2, mais as 2 pontas, 4.

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Falei então:

- Vamos então escrever a regra dessa situação.

Fui para o quadro escrever, e eles falaram:

- L = 2. n + 2.

Perguntei:

- Quem é L?

Responderam:

- Número de lugares.

Perguntei:

- E n?

Responderam:

- Número de mesas.

Marinete:

- O L e o n, estão escritos lá em cima na tabela.

Confirmei:

- Isso mesmo, L = 2. n + 2, em que o L é o número de lugares e n é

número de cadeiras. Mas e a situação do outro grupo? Ainda falta escrever a regra,

falta escrever matematicamente. Ainda falta escrever a “fórmula matemática que

rege aquela situação”, que “define aquela situação”. Qual é a fórmula, qual é a

regra matemática, para aquela situação?

Denis:

- “n vezes quatro”.

Marinete:

- Ali eles vão ter que achar uma letra para um lugar...

Wallace:

- n é igual a n vezes dois mais 2.

Marinete:

- Não Wallace, n vezes 4 é igual a letra que vocês vão ter que achar para pôr

lá do outro lado, pode usar o L aí, também nesse caso.

Ficam todos olhando em silêncio para o quadro, pensando...

Perguntei:

- Como é que fica então?

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Tatyana, meio insegura responde:

- n vezes 4 é igual a L.

Escrevo no quadro: n.4 = L, e pergunto:

- E aí gente? Está certo?

Marinete:

- É porque é o número de mesas n, vezes quatro, é igual a L, que é o

número total de pessoas.

Pergunto se está certo. Todos balançam a cabeça confirmando que sim, e

Tatyana, agora mais segura, confirma:

- Está sim, professora!

Falei:

- Então essa questão fechou? Acabou?

Confirmaram que sim.

Falei:

- Vocês perceberam que ficamos com 2 fórmulas que não são exatamente

iguais? Isso aconteceu porque vocês fizeram 2 interpretações diferentes, e que

apesar de não serem iguais estão certas, as 2 estão corretas. São diferentes, porque

vocês partiram de raciocínios diferentes, vocês pensaram diferente, apesar da

situação inicial apresentada ser a mesma. E a letra e? Ainda falta a letra e, que

pergunta: quantas mesas serão necessárias para acomodar 20 pessoas?

Uns responderam 9 mesas, outros responderam 8!

Questionei:

- Temos 2 situações diferentes, não se esqueçam disso! Na primeira

situação. Quantas mesas?

Marinete:

- Na situação de vocês Taty, quantas mesas?

Tatyana:

- 5!

Pergunto:

- Por quê? Olhem a regra! Já sabemos a resposta, tem que dar 20 lugares.

Mas, que número vezes 4 resulta 20?

Wallace:

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- 5 vezes 4 dá 20. 5 mesas então.

Pergunto:

- E na outra situação?

Edmilson:

- 9 mesas, porque 9 vezes 2 mais 2 é igual a 20.

Muitos ficaram parados me olhando, pareciam não muito seguros...

Escrevi então a regra no quadro e falei:

- Se n.2 + 2 = L, e L tem que ser 20! Quanto tem que ser o n para L ser

20?

Wallace:

- 9!

Marinete fala:

- É porque 9 vezes 2 é 18, mais 2, dá 20?

Pergunto:

- É isso? Está certo? Todos concordam? Todos entenderam?

A turma afirmou que sim. E passamos então para a questão f.

Li para a turma a questão e perguntei:

- E se tivessem 6 mesas juntas?

Wallace ainda estava com dúvida na questão anterior. Ele disse:

- Professora, aí também deu 20.

Respondi:

- Sim, tem que dar 20, essa é a questão! Mas tem que resultar 20 de um

jeito diferente, que jeito? O que é diferente nas duas situações?

Ele respondeu:

- A fórmula matemática?

Questionei:

- Na primeira situação, n tinha que ser 5 para resultar 20, você se lembra?

Será que n igual a 5 na segunda situação resulta 20 também?

Tatyana respondeu que não.

Questionei:

- Por quê? Vamos pensar! Substitua 5 no lugar de n e faça a conta. Qual

será o resultado?

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Wallace:

- Doze!

Falei:

- Então, mas o problema propõe que dê 20! E aí? O que é diferente?

Wallace:

- A fórmula!

Questiono:

- E para resultar 100? E se eu tivesse 100 mesas? Quantos lugares teriam na

primeira situação? E na segunda? Vai ser a mesma quantidade de lugares?

André:

- Na nossa vai ficar 400.

Questionei:

- Por quê?

André:

- Porque se n vale 100, vai ser 100 vezes 4 que dá 400.

Questionei novamente:

- O que dá 400?

André:

- 400 lugares, que é o L!

Questionei:

- E na outra situação?

Edmilson:

- O resultado vai ser 202, por que é 100 vezes 2, mais 2.

Questionei:

- E aí? Está correto? É isso mesmo?

Concordaram que sim. Fechamos então essa atividade!

CONCLUSÕES

Nessa atividade os alunos encontraram duas soluções:

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n.2 + 2 = L e L = 4.n

Acredito que tal fato aconteceu por três motivos:

o enunciado do exercício apresentava o desenho de apenas uma

mesa com quatro cadeiras, o que possibilita ao aluno, continuar a

seqüência, para duas, três, quatro mesas ou mais, de maneiras

diferentes;

uma aluna já tinha vivenciado aquela situação, pois já havia (a

Tatyana) trabalhado em buffet, o que acabou influenciando a idéia

de alguns colegas;

alguns alunos continuaram o desenvolvimento do problema

extremamente “fiéis” ao desenho de uma mesa.

Quando os alunos começaram a apresentar oralmente as respostas

encontradas, logo no início, a discussão entre eles foi acirrada. De maneira geral, foi

difícil aceitarem uma resposta diferente daquela que entenderam como correta. Por

isso, comecei então a questioná-los para que pudessem defender “suas idéias” e

também refletir sobre a outra (diferente) solução encontrada, e assim eles foram

percebendo que a solução diferente também poderia estar correta. Mas sempre

afirmavam: “mas a nossa regra também está certa”.

Outra questão também chamou muito a atenção: a formação da tabela.

Quando solicitei na atividade que construíssem uma tabela, foi porque imaginei ser

esta uma forma sistematizada que facilitaria a compreensão da situação para que

encontrassem a regra matemática. Imaginei que ao observarem os valores na tabela,

eles encontrariam mais facilmente a regra (lei de formação). Durante a discussão

percebi exatamente o contrário, para escrever a tabela, eles inicialmente precisaram

definir a regra matemática da situação apresentada, para depois fazer o desenho

solicitado e calcular os números que fariam parte da tabela. Tal fato fez com que o

auge da discussão acontecesse logo no início do desenvolvimento da atividade. Até

então eu havia pensado em uma única regra (L = 2.n + 2), não imaginei uma

segunda possibilidade para a mesma situação apresentada, mas não mencionei

nada. Apenas fui questionando para que eles pensassem a respeito (assim como eu).

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De forma geral, não só nessa atividade, percebi que a parte mais difícil

dessa atividade (e também das atividades anteriores) era fazer a conclusão escrita

da atividade (escrever matematicamente a regra da situação proposta). Nesse

momento eu sempre precisava fazer mais questionamentos, “sugerir” algumas

substituições, para que eles conseguissem “pensar melhor” e escrever a lei da

formação da situação.

A Atividade descrita neste artigo poderia proporcionar outras

discussões, se levantados outros questionamentos, como por exemplo:

Por que a dona do Buffet onde Tatyana trabalhou pedia para colocar

uma cadeira entre duas mesas?

Se você fosse garçom, de que maneira arrumaria as mesas? Por

quê?

A descrição dos fatos ocorridos na aula é um exemplo de como

podemos conduzir o trabalho com álgebra. É importante que o trabalho seja

conduzido para estimular o raciocínio algébrico, sempre ouvindo o aluno, respeitando

seu conhecimento prévio, e oportunizando situações que o faça refletir. Para isso

acredito ser é fundamental proporcionar aos alunos, caminhos que os conduzam às

próprias descobertas.

De forma geral, desenvolver as atividades elaboradas para o Caderno

Pedagógico PDE, perceber a evolução na forma de raciocínio dos alunos foi muito

gratificante para mim. No desenvolvimento da primeira atividade do Caderno PDE,

eles acharam tudo muito estranho. Durante o desenvolvimento encararam a

atividade com uma brincadeira. Conforme fomos desenvolvendo, a segunda, a

terceira, a quarta e as outras atividades foi visível a forma como eles foram

evoluindo, encaravam as atividades com mais seriedade e já sabiam que tinham que

procurar o “padrão”, tinham que procurar a regra da situação apresentada, fato que

ficou bem fácil para eles a partir da sexta atividade. Foi visível a desenvoltura deles

na análise da situação apresentada. Gradualmente, foram tornando-se mais

objetivos, mais questionadores e mais lógicos. Tratavam as situações matemáticas

com mais empenho, e tinham plena clareza ao explicitar as dúvidas, e em levantar

questões e discutir. A finalização era a parte mais trabalhosa, eu tinha que

encaminhar o raciocínio, fazer questionamentos, sugerir algumas idéias para que eles

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conseguissem escrever corretamente a lei matemática, a lei do padrão da situação

problema trabalhada. Mesmo assim, percebi que o crescimento foi visível.

Fiquei muito satisfeita e orgulhosa com o encaminhamento do trabalho,

com o empenho dos alunos, e principalmente com a seriedade e compromisso com

que assumiram o desenvolvimento das atividades. Eu sempre perguntava se eles

gostavam de fazer aquelas atividades “diferentes”, e as respostas deles era quase

sempre:

- Ah professora! Faz a gente queimar a “cabeça”! Mas é legal, põe a

gente pra pensar!

O envolvimento, o interesse e o entusiasmo dos alunos mostraram-me

que a Matemática pode ser interessante e prazerosa. Eles aprenderam a observar e

procurar padrões. Aprenderam questionar, levantar hipóteses, testar resultados, e

principalmente perderam o medo de fazer errado. Acredito que, após o envolvimento

com as atividades do caderno, eles mudaram alguns comportamentos e aprenderam

que errar não é fato negativo, e nem vergonhoso.

Com todas as atividades que desenvolvemos e com as discussões que

tecemos, conheci mais meus alunos. Fui cúmplice das dificuldades que eles muitas

vezes apresentavam e tanto reclamavam, mas também sei que fui o apoio e o

estímulo para que resistissem aos momentos difíceis. Eles me fizeram sentir assim!

Agora entendo e percebo claramente que mais que exigir dos alunos a

Álgebra simbólica e formal, é preciso estimular o pensamento algébrico do aluno,

fazendo com que eles discutam e verbalizem o seu pensamento, usando as próprias

palavras para isso. Essa atitude é antes de qualquer coisa, respeito e valorização da

bagagem de conhecimento que o aluno tem, no caso de EJA, essa bagagem é muito

mais rica, pois as experiências por eles vividas são um vasto campo para o ponto de

partida, para desenvolvermos nosso trabalho, e principalmente para encaminharmos

nosso trabalho de forma significativa e orientá-los na busca, desenvolvimento e

construção do próprio conhecimento.

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REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

ARCAVI, Abraham; GÓMEZ, Bernardo; PONTE, João Pedro da; SILVA, Jorge Nuno. O ensino aprendizagem dos números e da álgebra: que problemas, que desafios? Disponível em http://www.spce.org.pt/sem/23pa.pdf. Acesso em 07 de dezembro de 2008, 19h 55min.

CONSALTER, Olívia Aparecida Soares. Um outro caminho para se trabalhar a álgebra no 1º grau. 1994. Monografia (Especialização em Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina. Londrina.

LIBEC, Isabel Vale; LIBEC, Pedro Palhares; CABRITA, Isabel; BORRALHO, António. Os Padrões no Ensino e Aprendizagem da Álgebra1. Disponível em http://www.spce.org.pt/sem/13iv.pdf. Acesso em 16 de novembro de 2008, 11h 38 min.

PESQUITA, Idália Maria Pereira. Álgebra e pensamento algébrico de alunos do 8º ano. Disponível em http://ia.fc.ul.pt/textos/Idalia%20Pesquita%20(Tese%20mestrado%2007).pdf. Acesso em 07 de dezembro de 2008, 19h27min.

PONTE, João Pedro da. Números e álgebra no currículo escolar. Disponível em http://www.spce.org.pt/sem/2jp.pdf. Acesso em 5 de dezembro de 2008, 00h 35min.

OBRAS CONSULTADAS

PONTE, J. P.; BOAVIDA, A.; GRAÇA, M. & ABRANTES, P. Didáctica da matemática. Lisboa: DES do ME, 1997.