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Introdução à Álgebra Linear Espaço R n Definição Operações Espaços Gerados Bases Introdução à Álgebra Linear Paulo Goldfeld Marco Cabral Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Introdução à Álgebra Linear

Paulo Goldfeld Marco Cabral

Departamento de Matemática AplicadaUniversidade Federal do Rio de Janeiro

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Espaço Rn

Definição (Rn)

Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.

(1, 2) ∈ R2

(−1, 2,√

3) ∈ R3

(1, 2, 3, 4) 6= (2, 1, 3, 4) ∈ R4

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Espaço Rn

Definição (Rn)

Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.

(1, 2) ∈ R2

(−1, 2,√

3) ∈ R3

(1, 2, 3, 4) 6= (2, 1, 3, 4) ∈ R4

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Espaço Rn

Definição (Rn)

Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.

(1, 2) ∈ R2

(−1, 2,√

3) ∈ R3

(1, 2, 3, 4) 6= (2, 1, 3, 4) ∈ R4

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Espaço Rn

Definição (Rn)

Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.

(1, 2) ∈ R2

(−1, 2,√

3) ∈ R3

(1, 2, 3, 4) 6= (2, 1, 3, 4) ∈ R4

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Soma em Rn

Definição (Soma em Rn)

u + v = (u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn)= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)

Propriedades da Soma em Rn

comutativ.: u + v = v + u,associativ.: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, welemento neutro: ∃ 0 t.q. u + 0 = u ∀ uinverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u + (−u) = 0

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Soma em Rn

Definição (Soma em Rn)

u + v = (u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn)= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)

Propriedades da Soma em Rn

comutativ.: u + v = v + u,associativ.: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, welemento neutro: ∃ 0 t.q. u + 0 = u ∀ uinverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u + (−u) = 0

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Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Soma em Rn

Definição (Soma em Rn)

u + v = (u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn)= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)

Propriedades da Soma em Rn

comutativ.: u + v = v + u,associativ.: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, welemento neutro: ∃ 0 t.q. u + 0 = u ∀ uinverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u + (−u) = 0

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Soma em Rn

Definição (Soma em Rn)

u + v = (u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn)= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)

Propriedades da Soma em Rn

comutativ.: u + v = v + u,associativ.: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, welemento neutro: ∃ 0 t.q. u + 0 = u ∀ uinverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u + (−u) = 0

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Soma em Rn

Definição (Soma em Rn)

u + v = (u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn)= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)

Propriedades da Soma em Rn

comutativ.: u + v = v + u,associativ.: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, welemento neutro: ∃ 0 t.q. u + 0 = u ∀ uinverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u + (−u) = 0

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Soma em Rn

Definição (Soma em Rn)

u + v = (u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn)= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)

Propriedades da Soma em Rn

comutativ.: u + v = v + u,associativ.: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, welemento neutro: ∃ 0 t.q. u + 0 = u ∀ uinverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u + (−u) = 0

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Multiplicação por Escalar em Rn

Definição (multiplicação por escalar)

αu = α(u1, u2, . . . , un) = (αu1, αu2, . . . , αun)

Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn

(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ uelemento neutro: 1u = u, ∀u

Propriedades Distributivas de Rn

α(u + v) = αu + αv, ∀ α, u, v(α + β)u = αu + βu, ∀ α, β, u

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Multiplicação por Escalar em Rn

Definição (multiplicação por escalar)

αu = α(u1, u2, . . . , un) = (αu1, αu2, . . . , αun)

Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn

(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ uelemento neutro: 1u = u, ∀u

Propriedades Distributivas de Rn

α(u + v) = αu + αv, ∀ α, u, v(α + β)u = αu + βu, ∀ α, β, u

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Multiplicação por Escalar em Rn

Definição (multiplicação por escalar)

αu = α(u1, u2, . . . , un) = (αu1, αu2, . . . , αun)

Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn

(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ uelemento neutro: 1u = u, ∀u

Propriedades Distributivas de Rn

α(u + v) = αu + αv, ∀ α, u, v(α + β)u = αu + βu, ∀ α, β, u

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Multiplicação por Escalar em Rn

Definição (multiplicação por escalar)

αu = α(u1, u2, . . . , un) = (αu1, αu2, . . . , αun)

Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn

(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ uelemento neutro: 1u = u, ∀u

Propriedades Distributivas de Rn

α(u + v) = αu + αv, ∀ α, u, v(α + β)u = αu + βu, ∀ α, β, u

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Multiplicação por Escalar em Rn

Definição (multiplicação por escalar)

αu = α(u1, u2, . . . , un) = (αu1, αu2, . . . , αun)

Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn

(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ uelemento neutro: 1u = u, ∀u

Propriedades Distributivas de Rn

α(u + v) = αu + αv, ∀ α, u, v(α + β)u = αu + βu, ∀ α, β, u

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Multiplicação por Escalar em Rn

Definição (multiplicação por escalar)

αu = α(u1, u2, . . . , un) = (αu1, αu2, . . . , αun)

Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn

(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ uelemento neutro: 1u = u, ∀u

Propriedades Distributivas de Rn

α(u + v) = αu + αv, ∀ α, u, v(α + β)u = αu + βu, ∀ α, β, u

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Exemplo

(2,−1, 0, 3)− 3(0,−2, 2, 1)

= (2,−1, 0, 3) + ((−3)(0,−2, 2, 1))

= (2,−1, 0, 3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)

= (2,−1, 0, 3) + (0, 6,−6,−3)

= (2 + 0,−1 + 6, 0− 6, 3− 3)

= (2, 5,−6, 0)

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Exemplo

(2,−1, 0, 3)− 3(0,−2, 2, 1)

= (2,−1, 0, 3) + ((−3)(0,−2, 2, 1))

= (2,−1, 0, 3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)

= (2,−1, 0, 3) + (0, 6,−6,−3)

= (2 + 0,−1 + 6, 0− 6, 3− 3)

= (2, 5,−6, 0)

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Exemplo

(2,−1, 0, 3)− 3(0,−2, 2, 1)

= (2,−1, 0, 3) + ((−3)(0,−2, 2, 1))

= (2,−1, 0, 3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)

= (2,−1, 0, 3) + (0, 6,−6,−3)

= (2 + 0,−1 + 6, 0− 6, 3− 3)

= (2, 5,−6, 0)

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Exemplo

(2,−1, 0, 3)− 3(0,−2, 2, 1)

= (2,−1, 0, 3) + ((−3)(0,−2, 2, 1))

= (2,−1, 0, 3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)

= (2,−1, 0, 3) + (0, 6,−6,−3)

= (2 + 0,−1 + 6, 0− 6, 3− 3)

= (2, 5,−6, 0)

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Exemplo

(2,−1, 0, 3)− 3(0,−2, 2, 1)

= (2,−1, 0, 3) + ((−3)(0,−2, 2, 1))

= (2,−1, 0, 3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)

= (2,−1, 0, 3) + (0, 6,−6,−3)

= (2 + 0,−1 + 6, 0− 6, 3− 3)

= (2, 5,−6, 0)

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Exemplo

(2,−1, 0, 3)− 3(0,−2, 2, 1)

= (2,−1, 0, 3) + ((−3)(0,−2, 2, 1))

= (2,−1, 0, 3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)

= (2,−1, 0, 3) + (0, 6,−6,−3)

= (2 + 0,−1 + 6, 0− 6, 3− 3)

= (2, 5,−6, 0)

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Representações Gráficas

(3, 2)

3

2

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Representações Gráficas

(3, 2)

3

2

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Representações Gráficas

3

2 (3, 2)

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Representações Gráficas

3

2 (1, 3, 2)

1

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Soma de Vetores

u = (u1, u2)

v = (v1, v2)

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Soma de Vetores

u = (u1, u2)

v = (v1, v2)

w = u + v = (u1 + v1, u2 + v2)

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Soma de Vetores

u = (u1, u2)

v = (v1, v2)

w = u + v = (u1 + v1, u2 + v2)

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

Page 31: Introdução à Álgebra Linear - labma.ufrj.brmcabral/livros/livro-alglin/alglin-material/... · Introdução à Álgebra Linear Espaço Rn Definição Operações Espaços Gerados

Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Soma de Vetores

u = (u1, u2)

v = (v1, v2)

w = u + v = (u1 + v1, u2 + v2)

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Soma de Vetores

u = (u1, u2)

v = (v1, v2)

w = u + v = (u1 + v1, u2 + v2)

Regra do Triângulo

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Soma de Vetores

u = (u1, u2)

v = (v1, v2)

w = u + v = (v1 + u1, v2 + u2)

Regra do Triângulo

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Soma de Vetores

u = (u1, u2)

v = (v1, v2)

w = u + v = (u1 + v1, u2 + v2)

Regra do Paralelogramo

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Somando Vários Vetores

uv

w

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Somando Vários Vetores

uv

vw

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Somando Vários Vetores

u

vw

w

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Somando Vários Vetores

u

vu + v

w

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Somando Vários Vetores

u + v

wu + v + w

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Somando Vários Vetores

u + v + w w

v

u

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Multiplicação por Escalar

v = (v1, v2)

w = αv = (αv1, αv2)

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Multiplicação por Escalar

v = (v1, v2)

w = αv = (αv1, αv2)

α > 1

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Multiplicação por Escalar

v = (v1, v2)

w = αv = (αv1, αv2)

0 < α < 1

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Multiplicação por Escalar

v = (v1, v2)

w = αv = (αv1, αv2)

α < 0

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Combinações Lineares

Definição (combinação linear)

v é combinação linear de v1, v2, . . . , vp se pode serexpresso como

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =

p∑i=1

αivi ,

onde αi ’s são escalares.

(3, 3) = 3(1, 1) + 0(−1,−1) = 1(1, 1)− 2(−1,−1) X

(3, 4) 6= α(1, 1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Combinações Lineares

Definição (combinação linear)

v é combinação linear de v1, v2, . . . , vp se pode serexpresso como

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =

p∑i=1

αivi ,

onde αi ’s são escalares.

(3, 3) = 3(1, 1) + 0(−1,−1) = 1(1, 1)− 2(−1,−1) X

(3, 4) 6= α(1, 1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Combinações Lineares

Definição (combinação linear)

v é combinação linear de v1, v2, . . . , vp se pode serexpresso como

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =

p∑i=1

αivi ,

onde αi ’s são escalares.

(3, 3) = 3(1, 1) + 0(−1,−1) = 1(1, 1)− 2(−1,−1) X

(3, 4) 6= α(1, 1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Combinações Lineares

Definição (combinação linear)

v é combinação linear de v1, v2, . . . , vp se pode serexpresso como

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =

p∑i=1

αivi ,

onde αi ’s são escalares.

(3, 3) = 3(1, 1) + 0(−1,−1) = 1(1, 1)− 2(−1,−1) X

(3, 4) 6= α(1, 1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Combinações Lineares

Definição (combinação linear)

v é combinação linear de v1, v2, . . . , vp se pode serexpresso como

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =

p∑i=1

αivi ,

onde αi ’s são escalares.

(3, 3) = 3(1, 1) + 0(−1,−1) = 1(1, 1)− 2(−1,−1) X

(3, 4) 6= α(1, 1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado

Definição (conjunto gerado)

O conjunto gerado por v1, v2, . . . , vp é o conjunto detodas as combinações lineares de v1, v2, . . . , vp.

〈v1, v2, . . . , vp〉 =

{ p∑i=1

αivi

∣∣∣∣∣ αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , p

}

Definição (conjunto gerador)

{v1, . . . , vp} gera o conjunto S se 〈v1, . . . , vp〉 = S.Diz-se também que {v1, . . . , vp} é gerador de S.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado

Definição (conjunto gerado)

O conjunto gerado por v1, v2, . . . , vp é o conjunto detodas as combinações lineares de v1, v2, . . . , vp.

〈v1, v2, . . . , vp〉 =

{ p∑i=1

αivi

∣∣∣∣∣ αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , p

}

Definição (conjunto gerador)

{v1, . . . , vp} gera o conjunto S se 〈v1, . . . , vp〉 = S.Diz-se também que {v1, . . . , vp} é gerador de S.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado

Definição (conjunto gerado)

O conjunto gerado por v1, v2, . . . , vp é o conjunto detodas as combinações lineares de v1, v2, . . . , vp.

〈v1, v2, . . . , vp〉 =

{ p∑i=1

αivi

∣∣∣∣∣ αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , p

}

Definição (conjunto gerador)

{v1, . . . , vp} gera o conjunto S se 〈v1, . . . , vp〉 = S.Diz-se também que {v1, . . . , vp} é gerador de S.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado

Definição (conjunto gerado)

O conjunto gerado por v1, v2, . . . , vp é o conjunto detodas as combinações lineares de v1, v2, . . . , vp.

〈v1, v2, . . . , vp〉 =

{ p∑i=1

αivi

∣∣∣∣∣ αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , p

}

Definição (conjunto gerador)

{v1, . . . , vp} gera o conjunto S se 〈v1, . . . , vp〉 = S.Diz-se também que {v1, . . . , vp} é gerador de S.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado por 1 Vetor

u

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado por 1 Vetor

u2u

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado por 1 Vetor

u2u

−u

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado por 1 Vetor

u2u

−u0

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado por 1 Vetor

u2u

−u0

{αu, α ∈ R} = 〈u〉

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado por 2 Vetores

u

v

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado por 2 Vetores

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado por 2 Vetores

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado por 2 Vetores

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado por 2 Vetores

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado por 2 Vetores

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado por 2 Vetores

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado por 2 Vetores

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Espaço Vetorial

Definição (espaço vetorial)

O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaçovetorial.

Observação

sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)0 ∈ Vpode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .sempre “reto”, nunca “curvo”

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Espaço Vetorial

Definição (espaço vetorial)

O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaçovetorial.

Observação

sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)0 ∈ Vpode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .sempre “reto”, nunca “curvo”

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Espaço Vetorial

Definição (espaço vetorial)

O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaçovetorial.

Observação

sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)0 ∈ Vpode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .sempre “reto”, nunca “curvo”

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Espaço Vetorial

Definição (espaço vetorial)

O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaçovetorial.

Observação

sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)0 ∈ Vpode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .sempre “reto”, nunca “curvo”

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Espaço Vetorial

Definição (espaço vetorial)

O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaçovetorial.

Observação

sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)0 ∈ Vpode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .sempre “reto”, nunca “curvo”

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado

1 vetor 2 vetores 3 vetores

caso “típico” caso “típico” caso “típico”

“redundância” “redundância”

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado

1 vetor 2 vetores 3 vetores

caso “típico” caso “típico” caso “típico”

“redundância” “redundância”

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado

1 vetor 2 vetores 3 vetores

caso “típico” caso “típico” caso “típico”

“redundância” “redundância”

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado

1 vetor 2 vetores 3 vetores

caso “típico” caso “típico” caso “típico”

“redundância” “redundância”

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado

1 vetor 2 vetores 3 vetores

caso “típico” caso “típico” caso “típico”

“redundância” “redundância”

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado

1 vetor 2 vetores 3 vetores

caso “típico” caso “típico” caso “típico”

“redundância” “redundância”

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Conjunto Gerado

1 vetor 2 vetores 3 vetores

caso “típico” caso “típico” caso “típico”

“redundância” “redundância”

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Dependência Linear

{v1, v2, . . . , vp}

“redundância”: um vetor é c.l. dos demais, vk =

p∑i=1i 6=k

αivi

Neste caso, diz-se que vk depende linearmente dosdemais.

Definição (dependência linear)

Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) seexiste um vetor que é c.l. dos demais.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Dependência Linear

{v1, v2, . . . , vp}

“redundância”: um vetor é c.l. dos demais, vk =

p∑i=1i 6=k

αivi

Neste caso, diz-se que vk depende linearmente dosdemais.

Definição (dependência linear)

Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) seexiste um vetor que é c.l. dos demais.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Dependência Linear

{v1, v2, . . . , vp}

“redundância”: um vetor é c.l. dos demais, vk =

p∑i=1i 6=k

αivi

Neste caso, diz-se que vk depende linearmente dosdemais.

Definição (dependência linear)

Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) seexiste um vetor que é c.l. dos demais.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Exemplos

Exemplo

{(1, 0, 0, 0), (0, 0, 3, 0), (0, 0, 0, 2)} é LI.

Exemplo

{(1, 0, 0, 0), (2, 1, 3, 0), (5, 2, 6, 0)} é LD.De fato, (5, 2, 6, 0) = (1, 0, 0, 0) + 2(2, 1, 3, 0).

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Exemplos

Exemplo

{(1, 0, 0, 0), (0, 0, 3, 0), (0, 0, 0, 2)} é LI.

Exemplo

{(1, 0, 0, 0), (2, 1, 3, 0), (5, 2, 6, 0)} é LD.De fato, (5, 2, 6, 0) = (1, 0, 0, 0) + 2(2, 1, 3, 0).

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Exemplos

Exemplo

{(1, 0, 0, 0), (0, 0, 3, 0), (0, 0, 0, 2)} é LI.

Exemplo

{(1, 0, 0, 0), (2, 1, 3, 0), (5, 2, 6, 0)} é LD.De fato, (5, 2, 6, 0) = (1, 0, 0, 0) + 2(2, 1, 3, 0).

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Equação Paramétrica da Reta em R2 ou R3

Em geral, 〈v〉 = {u = tv, t ∈ R} representa uma retapassando pela origem.

Em geral, w + 〈v〉 = {u = w + tv, t ∈ R} representa umareta que não passa pela origem.

Equação Paramétrica da Reta

Toda reta pode ser expressa na forma

w + tv

(Esta representação não é única.)

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Equação Paramétrica da Reta em R2 ou R3

Em geral, 〈v〉 = {u = tv, t ∈ R} representa uma retapassando pela origem.

Em geral, w + 〈v〉 = {u = w + tv, t ∈ R} representa umareta que não passa pela origem.

Equação Paramétrica da Reta

Toda reta pode ser expressa na forma

w + tv

(Esta representação não é única.)

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Equação Paramétrica da Reta em R2 ou R3

Em geral, 〈v〉 = {u = tv, t ∈ R} representa uma retapassando pela origem.

Em geral, w + 〈v〉 = {u = w + tv, t ∈ R} representa umareta que não passa pela origem.

Equação Paramétrica da Reta

Toda reta pode ser expressa na forma

w + tv

(Esta representação não é única.)

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Equação Paramétrica da Reta em R2 ou R3

Em geral, 〈v〉 = {u = tv, t ∈ R} representa uma retapassando pela origem.

Em geral, w + 〈v〉 = {u = w + tv, t ∈ R} representa umareta que não passa pela origem.

Equação Paramétrica da Reta

Toda reta pode ser expressa na forma

w + tv

(Esta representação não é única.)

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Equação Paramétrica do Plano em R3

Em geral, 〈v1, v2〉 = {u = tv1 + sv2, s, t ∈ R} representaum plano passando pela origem.

Em geral, w + 〈v1, v2〉 = {u = w + tv1 + sv2, s, t ∈ R}representa um plano que não passa pela origem.

Equação Paramétrica do Plano

Todo plano pode ser expresso na forma

w + tv1 + sv2

(Esta representação não é única.)

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Equação Paramétrica do Plano em R3

Em geral, 〈v1, v2〉 = {u = tv1 + sv2, s, t ∈ R} representaum plano passando pela origem.

Em geral, w + 〈v1, v2〉 = {u = w + tv1 + sv2, s, t ∈ R}representa um plano que não passa pela origem.

Equação Paramétrica do Plano

Todo plano pode ser expresso na forma

w + tv1 + sv2

(Esta representação não é única.)

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Equação Paramétrica do Plano em R3

Em geral, 〈v1, v2〉 = {u = tv1 + sv2, s, t ∈ R} representaum plano passando pela origem.

Em geral, w + 〈v1, v2〉 = {u = w + tv1 + sv2, s, t ∈ R}representa um plano que não passa pela origem.

Equação Paramétrica do Plano

Todo plano pode ser expresso na forma

w + tv1 + sv2

(Esta representação não é única.)

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Equação Paramétrica do Plano em R3

Em geral, 〈v1, v2〉 = {u = tv1 + sv2, s, t ∈ R} representaum plano passando pela origem.

Em geral, w + 〈v1, v2〉 = {u = w + tv1 + sv2, s, t ∈ R}representa um plano que não passa pela origem.

Equação Paramétrica do Plano

Todo plano pode ser expresso na forma

w + tv1 + sv2

(Esta representação não é única.)

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Equação Paramétrica da Reta em Rn

Definição (reta)

Em Rn, define-se uma reta como um conjunto da forma

w + 〈v〉 , com v 6= 0.

Uma reta passando pela origem é um subespaço vetorialde dimensão 1.

Uma reta qualquer é um subespaço afim de dimensão 1.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Equação Paramétrica da Reta em Rn

Definição (reta)

Em Rn, define-se uma reta como um conjunto da forma

w + 〈v〉 , com v 6= 0.

Uma reta passando pela origem é um subespaço vetorialde dimensão 1.

Uma reta qualquer é um subespaço afim de dimensão 1.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Equação Paramétrica da Reta em Rn

Definição (reta)

Em Rn, define-se uma reta como um conjunto da forma

w + 〈v〉 , com v 6= 0.

Uma reta passando pela origem é um subespaço vetorialde dimensão 1.

Uma reta qualquer é um subespaço afim de dimensão 1.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Espaço Vetorial × Espaço Afim

Se {v1, . . . , vp} é LI, então 〈v1, . . . , vp〉 éum espaço vetorial de dimensão p.

Se {v1, . . . , vp} é LI, então w + 〈v1, . . . , vp〉 éum espaço afim de dimensão p.

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Espaço Vetorial × Espaço Afim

Se {v1, . . . , vp} é LI, então 〈v1, . . . , vp〉 éum espaço vetorial de dimensão p.

Se {v1, . . . , vp} é LI, então w + 〈v1, . . . , vp〉 éum espaço afim de dimensão p.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn

... =...

en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn

∑αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v

mαi = vi ∀i

Definição (base)

Um conjunto ordenado S é base de V setodo vetor de V é expressível de forma únicacomo combinação linear dos vetores deste conjunto.

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn

... =...

en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn

∑αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v

mαi = vi ∀i

Definição (base)

Um conjunto ordenado S é base de V setodo vetor de V é expressível de forma únicacomo combinação linear dos vetores deste conjunto.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn

... =...

en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn

∑αiei = (α1, α2, . . . , αn)

?= (v1, v2, . . . , vn) = v

mαi = vi ∀i

Definição (base)

Um conjunto ordenado S é base de V setodo vetor de V é expressível de forma únicacomo combinação linear dos vetores deste conjunto.

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn

... =...

en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn

∑αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v

mαi = vi ∀i

Definição (base)

Um conjunto ordenado S é base de V setodo vetor de V é expressível de forma únicacomo combinação linear dos vetores deste conjunto.

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn

... =...

en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn

∑αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v

mαi = vi ∀i

Definição (base)

Um conjunto ordenado S é base de V setodo vetor de V é expressível de forma únicacomo combinação linear dos vetores deste conjunto.

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

Exemplo 1

{e1, e2} é base de R2.

Dado (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ae1 + be2.

Exemplo 2

S = {(1, 0), (2, 2), (0, 1)} não é base de R2.

(4, 4) = 2(2, 2) = 4(1, 0) + 4(0, 1).

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

Exemplo 1

{e1, e2} é base de R2.

Dado (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ae1 + be2.

Exemplo 2

S = {(1, 0), (2, 2), (0, 1)} não é base de R2.

(4, 4) = 2(2, 2) = 4(1, 0) + 4(0, 1).

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

Exemplo 1

{e1, e2} é base de R2.

Dado (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ae1 + be2.

Exemplo 2

S = {(1, 0), (2, 2), (0, 1)} não é base de R2.

(4, 4) = 2(2, 2) = 4(1, 0) + 4(0, 1).

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

Exemplo 1

{e1, e2} é base de R2.

Dado (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ae1 + be2.

Exemplo 2

S = {(1, 0), (2, 2), (0, 1)} não é base de R2.

(4, 4) = 2(2, 2) = 4(1, 0) + 4(0, 1).

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

Exemplo 1

{e1, e2} é base de R2.

Dado (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ae1 + be2.

Exemplo 2

S = {(1, 0), (2, 2), (0, 1)} não é base de R2.

(4, 4) = 2(2, 2) = 4(1, 0) + 4(0, 1).

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

Exemplo 3

β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3

3∑i=1

αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3

= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)

= (v1, v2, v3) = vm

α1 = v1α1 + α2 = v2α1 + α2 + α3 = v3

⇐⇒

α1 = v1α2 = v2 − α1 = v2 − v1α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

Exemplo 3

β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3

3∑i=1

αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3

= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)

= (v1, v2, v3) = vm

α1 = v1α1 + α2 = v2α1 + α2 + α3 = v3

⇐⇒

α1 = v1α2 = v2 − α1 = v2 − v1α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

Exemplo 3

β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3

3∑i=1

αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3

= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)

= (v1, v2, v3) = vm

α1 = v1α1 + α2 = v2α1 + α2 + α3 = v3

⇐⇒

α1 = v1α2 = v2 − α1 = v2 − v1α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

Exemplo 3

β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3

3∑i=1

αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3

= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)?= (v1, v2, v3) = v

mα1 = v1α1 + α2 = v2α1 + α2 + α3 = v3

⇐⇒

α1 = v1α2 = v2 − α1 = v2 − v1α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2

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Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

Exemplo 3

β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3

3∑i=1

αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3

= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)

= (v1, v2, v3) = vm

α1 = v1α1 + α2 = v2α1 + α2 + α3 = v3

⇐⇒

α1 = v1α2 = v2 − α1 = v2 − v1α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

Exemplo 3

β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3

3∑i=1

αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3

= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)

= (v1, v2, v3) = vm

α1 = v1α1 + α2 = v2α1 + α2 + α3 = v3

⇐⇒

α1 = v1α2 = v2 − α1 = v2 − v1α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2

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Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Base

Exemplo 3

β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3 é base.

3∑i=1

αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3

= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)

= (v1, v2, v3) = vm

α1 = v1α1 + α2 = v2α1 + α2 + α3 = v3

⇐⇒

α1 = v1α2 = v2 − α1 = v2 − v1α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Coordenadas

Definição (coordenadas)

As coordenadas do vetor v na base β = {b1, b2, . . . , bn},são os coeficientes αi ’s usados para combinar linearmenteos vetores bi ’s de forma a gerar v.

[v]β =

α1α2...

αn

⇐⇒ v =n∑

i=1

αibi

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Coordenadas

Exemplo 1

ε = {e1, e2, . . . , en}

v = (v1, v2, . . . , vn) = v1e1 + v2e2 + · · ·+ vnen

[v]ε =[(v1, v2, . . . , vn)

=

v1v2...

vn

coordenadas de vcom relação

à base ε

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Coordenadas

Exemplo 1

ε = {e1, e2, . . . , en}

v = (v1, v2, . . . , vn) = v1e1 + v2e2 + · · ·+ vnen

[v]ε =[(v1, v2, . . . , vn)

=

v1v2...

vn

coordenadas de vcom relação

à base ε

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Coordenadas

Exemplo 2

β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3

v = (v1, v2, v3) = v1b1 + (v2 − v1)b2 + (v3 − v2)b3

[v]β =[(v1, v2, v3)

=

v1v2 − v1v3 − v2

coordenadas de vcom relação

à base β

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Coordenadas

Exemplo 2

β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3

v = (v1, v2, v3) = v1b1 + (v2 − v1)b2 + (v3 − v2)b3

[v]β =[(v1, v2, v3)

=

v1v2 − v1v3 − v2

coordenadas de vcom relação

à base β

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Coordenadas

Observação

v = (v1, v2, v3)

[v]ε =

v1v2v3

[v]β =

v1v2 − v1v3 − v2

Não confundir coordenadas e entradas.

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Coordenadas

Observação

v = (v1, v2, v3)

[v]ε =

v1v2v3

[v]β =

v1v2 − v1v3 − v2

Não confundir coordenadas e entradas.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Coordenadas

v = (2, 4)

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Coordenadas

v = (2, 4)

ε = { (1, 0), (0, 1) }

[v]ε =

[24

]

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Coordenadas

v = (2, 4)

β = { (1, 1), (0, 1) }

[v]β =

[22

]

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Coordenadas

Observação

Determinam mesmo vetor v ∈ Rn:v = (α1, . . . , αn) (uso correto);

[v]ε =

α1...

αn

(uso correto);

v =

α1...

αn

(abuso de notação);

vt =[

α1 · · · αn]

(abuso de notação).

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Coordenadas

Observação

Determinam mesmo vetor v ∈ Rn:v = (α1, . . . , αn) (uso correto);

[v]ε =

α1...

αn

(uso correto);

v =

α1...

αn

(abuso de notação);

vt =[

α1 · · · αn]

(abuso de notação).

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Coordenadas

Observação

Determinam mesmo vetor v ∈ Rn:v = (α1, . . . , αn) (uso correto);

[v]ε =

α1...

αn

(uso correto);

v =

α1...

αn

(abuso de notação);

vt =[

α1 · · · αn]

(abuso de notação).

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Introdução àÁlgebra Linear

Espaço Rn

Definição

Operações

EspaçosGerados

Bases

Coordenadas

Observação

Determinam mesmo vetor v ∈ Rn:v = (α1, . . . , αn) (uso correto);

[v]ε =

α1...

αn

(uso correto);

v =

α1...

αn

(abuso de notação);

vt =[

α1 · · · αn]

(abuso de notação).

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