tÉcnicas de codificaÇÃo de sinais introduÇÃo À Álgebra evelio m. g. fernández - 2010
TRANSCRIPT
TÉCNICAS DE CODIFICAÇÃO DE SINAIS
INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA
Evelio M. G. Fernández - 2010
Sistema algébrico com uma operação e seu inverso.
conjunto de elementos e axiomas G1 à G4.
G1) Fechamento, GbaGba , .
G2) Associativa, cbacbaGcba ,, .
G3) Elemento identidade (neutro): 0 ou 1 (depende da operação).
Se operação = “soma”, aaaGa 00
Se operação = “produto”, aaaGa 11 .
G4) Inverso.
Se operação = “soma”,
0/ aaaaGaGa elemento neutro na adição
Se operação = “produto”,
1/ 11 aaaaGaGa elemento neutro na multiplicação
Grupo abeliano (conmutativo)
Para grupo sob adição (soma), abbaGba ,
Para grupo sob multiplicação (produto), abbaGba ,
Grupo (Group), G
Especifique se são grupos os seguintes conjuntos (operação soma e produto).
a) Conj. No reais
b) Conj. No reais exceto zero
c) Conj. No inteiros (positivos e zero)
d) Conj. No inteiros (negativos e zero)
e) Conj. No inteiros (neg., pos. e zero)
Exemplos e Contra-exemplos
Exemplos e Contra-exemplos
Verifique se é “grupo” a álgebra binária (Booleana) sob as seguintes
operações booleanas:
a) Operação “OR”
b) Operação “AND”
c) Operação “OR-EXCLUSIVO ou Módulo 2”
Exemplos e Contra-exemplos
Verifique se constituem grupos os seguintes conjuntos sob operação
soma módulo 2:
a) S1 = {0000, 1111}
b) S2 = {000, 011, 101, 110}
c) S3 = {000, 011, 101, 110, 111}
d) S4 = {000, 001, 100, 101}
Anel (Ring), RSistema algébrico com 2 operações e operação inversa da adição.
Conjunto de elementos e axiomas R1 a R4.
R1) R = Grupo abeliano sob adição ( inverso na adição).
R2) Fechamento, RbaRba ,
R3) Associativa, cabbcaRcba ,,
R4) Distributiva,
cabaacbacabcba
Anel comutativo (abeliano), baabRba ,
Propriedade de anel:
000, aaRba
abbaba
Exemplos e Contra-exemplos
Verifique se são anéis os seguintes conjuntos:
- {No reais}
- {inteiros}
- {Polinômios em uma variável com coeficientes inteiros}
Corpo (Field), F
Sistema algébrico com 2 operações e seus inversos.
Axiomas:
F1) Anel comutativo (A, +, .)
F2) Elemento identidade “1” para operação “.” (produto).
F3) Inverso multiplicativo,
1/;0, 11 aaaaAa
0 = elemento neutro na operação “+”.
1 = elemento neutro na operação “.”
Exemplos e Contra-exemplos
Verifique se são corpos os seguintes conjuntos:
a) {No reais}
b) {No inteiros}
c) S1 = {0, 1} e operações módulo 2
d) S2 = {0, 1, 2} e operações módulo 3
DEF: n-upla sobre F.
conjunto ordenado de elementos de F.
EX: niFaaaa in ,,2,1,,,, 21
DEF: Adição de n-uplas:
nnnn babababbbaaa ,,,,,,,,, 22112121
Adição sobre F
DEF: Multiplicação de uma escalar ( F) por uma n-upla:
nn acacacaaacFc ,,,,,, 2121
Produto sobre F
DEF: Multiplicação de n-uplas:
nnnn babababbbaaa ,,,,,,,,, 22112121
Produto sobre F
Operações com n-uplas
Um conjunto V de elementos é um espaço vetorial sobre um corpo F se satisfazer
axiomas V1-V5 (elemento de V: Vvvvv n ,,, 21 ).
V1) Grupo abeliano sob adição (elemento identidade na adição vetor todo zero 0).
V2) Fechamento:
VvcFcVv e (produto por um escalar).
V3) Distributiva 1:
vcucvucFcVvu escalar e ,
V4) Distributiva 2:
vdvcvdcFdcVv , e
V5) Associativa:
vdcvcdFdcVv , e .
Espaços Vetoriais
Álgebra Linear Associativa
Um conjunto A de elementos é uma álgebra linear associativa sobre um
corpo F se satisfazer axiomas A1 à A4:
A1) Espaço vetorial sobre F.
A2) AvuAvu ,
A3) Associativa,
wvuwvuAwvu ,,
A4) Bilinear,
wudvucwdvcuAwvuFdc ,, e,
OBS: uwduvcuwdvc
Subespaços Vetoriais
DEF: S subespaço de V.
Todo subconjunto de um espaço vetorial que satisfazer os axiomas de
espaço vetorial.
OBS: Para verificação de subespaço vetorial:
Verificar propriedades de fechamento na adição e na multiplicação
por escalar.
Subespaços Vetoriais: Exemplos
EX1: Seja V: conjunto das n-uplas sobre GF(2), n = 3.
S1 = {000, 010, 100} = subespaço de V?
S2 = {000, 010, 100, 110} = subespaço de V?
EX2: Seja V = {conjunto das n-uplas sobre GF(3), n = 2}
S1 = {02, 00} = sub V?
S2 = {02, 00, 01} = sub V?
Combinações Lineares de k Vetores
Sejam FavavavauVvvv ikkk 221121 ,,,
Teorema 2.5 (Peterson & Weldon, Cap. 2)
O conjunto S de todas as combinações lineares de um conjunto
{v1, v2, ..., vk} V é um subespaço de V, i.e., S V.
EXEMPLO: Seja V = {n-uplas, n = 3}
O conjunto de todas as combinações lineares de {010, 110} é
subespaço de V?
Combinações Lineares de k Vetores
Vetores linearmente dependentes (LD).
O conjunto Vvvv k ,,, 21 é LD kccc ,,, 21 nem todos
iguais a zero tal que 02211 kk vcvcvc .
Conjunto de vetores linearmente independentes (LI):
Todo conjunto de vetores que não for LD.
Gerador de um Espaço Vetorial
Um conjunto de vetores gera um espaço vetorial V se qualquer v V
é uma combinação linear dos vetores deste conjunto.
Teorema 2.6 (Peterson & Weldon).
Se um conjunto de m vetores, (v1, v2, ..., vm), gera o espaço vetorial V
e V contém um conjunto de k vetores LI, (u1, u2, ..., uk) então m k.
Teorema 2.7 (Peterson & Weldon).
Se dois conjuntos de vetores LI geram o mesmo espaço vetorial V,
eles possuem o mesmo número de vetores.
Dimensão de um Espaço Vetorial
Dim(V) = número de vetores LI que geram V. DEF: Base de um espaço vetorial V de dimensão k. É um conjunto de k vetores LI que geram V. Teorema 2.8 (Peterson & Weldon). Se Dim(V) = k qualquer conjunto de k vetores LI em V é uma base para V. EXEMPLOS 1) Liste 4 conjuntos de vetores LI que formam uma base para V3. 2) Liste 4 conjuntos de vetores LD que geram V3. 3) Liste todos os conjuntos de vetores que formam uma base para S1 = {000, 110, 010, 100}
Produto EscalarDEF: Produto escalar (ou interno) de dois vetores (n-uplas). Fcbabababbbaaa nnnn 22112121 ,,,,,, . Propriedades de o produto escalar: uvvu vwuwvuw DEF: Vetores ortogonais: vuvu 0 Teorema 2.13 (Peterson & Weldon). O conjunto de todas as n-uplas ortogonais a um subespaço S1 de n-uplas forma um subespaço S2 de n-uplas. S2 é chamado de espaço nulo de S1 (e vice-versa teorema 2.16). S1 ortogonal a S2: S1 S2 ou S2 ortogonal a S1: S2 S1. Teorema 2.14 (Peterson & Weldon). Se um vetor é ortogonal a todo vetor de um conjunto que gera S1, ele pertence ao espaço nulo de S1.
Matrizes
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
M
21
22221
11211
M = [aij], i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n Linha de M = n-upla ou vetor de n dígitos F, vetor linha. Coluna de M = m-upla ou vetor de m dígitos F, vetor coluna. DEF: Espaço das linhas de M: é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores linhas associados à M. OBS: É um subespaço vetorial do espaço vetorial das n-uplas sobre o corpo F de escalares. RANK (linhas) = Dim[espaço das linhas]. OBS: Idem para espaço das colunas.
Operações sobre as Linhas
Teorema 2.10 (P & W). Operações elementares sobre as linhas de M não alteram seu espaço das linhas. OBS: Operações elementares sobre as linhas:
- Permutação. - Multiplicação por um escalar c F, c 0. - Adição de um múltiplo de uma linha a uma outra.
OBS: Inverso de uma operação elementar é também uma operação linear da mesma espécie.
Forma Canônica Escalonada
DEF: Forma canônica escalonada (echelon canonical form). Características:
1) Líder de linha não zero é o elemento 1. 2) A coluna do líder tem todos os outros elementos iguais a 0. 3) O líder de uma linha está à direita do líder das linhas anteriores. 4) Todas as linhas que têm somente zeros estão abaixo das linhas
não zero. Propriedades das matrizes na forma canônica escalonada
- As linhas não zero são L.I. - Dim(espaço das linhas) = no de linhas não zero da matriz
escalonada. - Um único espaço de linhas uma única matriz escalonada.
Espaço Nulo de uma Matriz
É o espaço nulo do espaço das linhas da matriz. Propriedades do espaço nulo: Um vetor v (n-upla) está no espaço nulo de uma matriz M, se e somente se: ]1[0 m
TMv onde:
MT = matriz mn , transposta de M; nn vvvv ,,, 211 . Teorema 2.15 (P & W): Se V2 V1 e Dim(V1) = k Dim(V2) = n–k onde, n = Dim(V); V = espaço vetorial de n-uplas.