CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS

CODIGOS BCH

Evelio M. G. Fernández - 2007

BCH bound

Se um código cíclico linear é construído de forma que:

• Cada palavra-código tem n bits; é um elemento de ordem n em GF(2m);

• O polinômio gerador do código, g(x), inclui, entre suas raízes, ( - 1) potências consecutivas de .

Então,

• É garantido que o código tem distância mínima igual a ou maior.

Construção de Códigos BCH

• Para cada raiz r incluída em g(x), existe um polinômio minimal f(r)(x) que tem r como raiz [i.e., f(r)(r) = 0] e com coeficientes em GF(2).

• O polinômio gerador, com coeficientes binários, que contém todas as raízes necessárias pode ser obtido como sendo o mínimo comum múltiplo (LCM) de todos os polinômios minimais correspondentes às raízes utilizadas:

g(x) = LCM{f(b+1)(x), f(b+2)(x), ..., f(b+-1)(x)}

Tipos de Códigos BCH

• Se é um elemento primitivo de GF(2m), o código BCH resultante é chamado de código BCH primitivo e as suas palavras-código têm comprimento 2m – 1 bits.

• Se não é um elemento primitivo de GF(2m), o código BCH resultante é chamado de código BCH não primitivo e as suas palavras-código têm comprimento igual à ordem de .

• Se b = 0, a primeira das ( - 1) potências de será 1 = , código BCH no sentido estrito.

• Se b 0, código BCH no sentido amplo.

Códigos BCH Binários Primitivos

Para qualquer m 3 e t 2m 1, existe um código BCH com os seguinte parâmetros:

n = 2m 1, n k mt,dmin 2t + 1

O polinômio gerador do código, g(x), é o polinômio de menor grau sobre GF(2) contendo

como raízes, onde α é um elemento primitivo de GF(2m)

t232 ,,,,

Decodificação de Códigos BCH

1. Computar as síndromes S = (S1, S2, ..., S2t) a partir de r(x)

2. Determinar σ(x) a partir de S1, S2, ..., S2t

3. Determinar as localizações dos erros, 1, 2, ..., υ

encontrando as raízes de σ(x) e corrigir os erros em r(x)

Códigos BCH Primitivos sobre GF(q)

Seja α um elemento primitivo em GF(qm ).

O polinômio gerador, g(x), de um código BCH q-ário primitivo corretor de t erros é o polinômio de menor grau sobre GF(q) contendo

como raízes. Seja i(x) o polinômio minimal de αi, 1 i 2t. Então,

g(x) = LCM{1(x), 2(x), ..., 2t(x)}

t232 ,,,,

Códigos de Reed-Solomon

Um código de Reed-Solomon (ou código RS) é um código BCH primitivo (não binário) de comprimento n = q – 1 sobre GF(q). O polinômio gerador desse código tem a forma

onde é um elemento primitivo de GF(q), d é a distância mínima do código e gi GF(q)

tt

t

t

xxgxgxggxxxxg

21212

2210

22

Desempenho de Códigos RS sobre GF(26) comn = 31, considerando modulação 32-FSK

Desempenho de Códigos RS sobre GF(26) comn = 31, considerando modulação 32-FSK

Desempenho de Códigos RS com R = 7/8

Desempenho de Códigos RS com n = 64

Desempenho de Códigos RS com n = 31 e Modulação BPSK

Decodificador de Códigos BCH q-ários

Desempenho de Códigos de Reed-Solomon

Especificações para o CIRC

Comprimento máximo de surto corrigível

4000 bits (2.5 mm no disco)

Comprimento máximo de surto interpolável

12000 bits (8 mm)

Taxa de ocorrência de amostras interpoladas

Uma amostra a cada 10 horas para PB = 104. 1000 amostras por minuto para PB = 103

Amostras com erros não detectáveis (clicks)

Menor que uma a cada 750 amostras para PB = 103. Desprezível para PB ≤ 104.

Cross-Interleave Reed-Solomon Code

Codificador para Disco Compacto (CD)

6 pares de amostras (24 símbolos ou bytes)

Embaralha erros de byte detectáveis (mas não corrigíveis) para facilitar a interpolação

Para correção de surtos e padrões de erros que C1 não pode corrigir

Para correção da maior parte dos erros simples de byte aleatórios e a detecção dos surtos de erro mais longos

Decodificador para Disco Compacto (CD)

Efeito do Entrelaçamento

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