uma proposta de ensino aprendizagem de trigonometria em...

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁLICENCIATURA EM MATEMÁTICA

HENRIQUE MARQUES PESCAROLO

UMA PROPOSTA DE ENSINO APRENDIZAGEM DETRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS POR MEIO DO SOFTWARE

GEOGEBRA

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

CORNÉLIO PROCÓPIO2018

HENRIQUE MARQUES PESCAROLO

UMA PROPOSTA DE ENSINO APRENDIZAGEM DETRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS POR MEIO DO SOFTWARE

GEOGEBRA

Trabalho de Conclusão de Curso deGraduação, apresentado à disciplinaTrabalho de Conclusão de Curso 2, docurso de Licenciatura em Matemáticada Universidade Tecnológica Federaldo Paraná — UTFPR, como requisitoparcial para a obtenção do título deLicenciado em Matemática.

Orientador: Prof. Dra. Elenice WeberStiegelmeier

CORNÉLIO PROCÓPIO2018

Ministério da EducaçãoUniversidade Tecnológica Federal do Paraná

Câmpus Cornélio ProcópioDiretoria de Graduação

Departamento de MatemáticaCurso de Licenciatura em Matemática

FOLHA DE APROVAÇÃO

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dra. Elenice Weber Stiegelmeier(Orientador)

Prof. André Luis Machado Martinez

Prof. Roberto Molina de Souza

“A Folha de Aprovação assinada encontra-se na Coordenação do Curso”

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Agradeço primeiramente a Deus, por ter me guiado dando força e persis-tência para que eu pudesse chegar hoje onde estou.

Agradeço em especial minha avó América Silva Pescarolo e em memóriade meu avô José Mario Pescarolo, pois sem eles minha jornada até essaetapa de vida não seria possível.

AGRADECIMENTOS

A Deus que me deu ânimo, força e paciência para continuar o curso.Agradeço a minha orientadora Prof. Dra. Elenice Weber Stiegelmeier, pela sabedoria,

simpatia e aconselhamentos com que me guiou nesta trajetória, e aos demais professores reco-nheço o esforço, paciência e sabedoria pois através deles a cada dia que se passou, me deramferramentas e oportunidades para evoluir.

A minha família e amigos que me incentivaram e insipiraram em todas as dificuldade,me dando forças para não desistir.

Enfim, a todos os que por algum motivo contribuíram para a realização desta pesquisa.

O êxito da vida não se mede pelo caminho que você conquistou, massim pelas dificuldades que superou no caminho. Abrahan Lincoln

RESUMO

PESCAROLO, Henrique Marques. Uma Proposta de Ensino Aprendizagem de Trigonome-tria em Triângulos por meio do Software Geogebra. 2018. 64 f. Trabalho de Conclusão deCurso (Graduação) – Licenciatura em Matemática. Universidade Tecnológica Federal do Paraná.Cornélio Procópio, 2018

Com a intensificação do uso de tecnologias e ao acesso à informação, as novas gerações deestudantes requerem que os professores se adaptem a esta nova realizada e incorporem em suaprática pedagógica novas estratégias de ensino baseadas nas tecnologias educacionais. Assim, opresente trabalho tem como objetivo apresentar uma possibilidade de construção de um ambientede aprendizagem, que propicie o aprendizado de Trigonometria em triângulos, por meio de umcenário para investigação, com a utilização do software Geogebra. Nesse processo, analisamosas implicações das tecnologias no ensino da trigonometria e suas contribuições no processode ensino aprendizagem. As atividades didáticas apresentadas mostram que o uso adequadoda tecnologia contribui significativamente para a aprendizagem dos estudantes, tornando-osprotagonistas nesse processo.

Palavras-chave: Trigonometria. Tecnologias no ensino. Geogebra. Atividades didáticas.

ABSTRACT

PESCAROLO, Henrique Marques. A Proposal for Teaching Trigonometry Learning in Tri-angles through Geogebra Software. 2018. 64 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação)– Licenciatura em Matemática. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Cornélio Procópio,2018

With the intensification of the use of technologies and the access to information, the newgenerations of students require that teachers adapt to this new achievement and incorporate intotheir pedagogical practice new teaching strategies based on educational technologies. Thus,the The present work aims to present a possibility of constructing a learning of Trigonometryin triangles, by means of a scenario using the Geogebra software. In this process, we theimplications of the technologies in the teaching of trigonometry and their contributions in theprocess of teaching learning. The teaching activities presented show that adequate use of oftechnology contributes significantly to the learning of students, making them protagonists in thisprocess.

Keywords: Trigonometry. Technologies in education. Geogebra. Didactic activities.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 – Classificação quanto aos ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27FIGURA 2 – Ilustração de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28FIGURA 3 – Classificação dos triângulos quanto a medida dos lados . . . . . . . . . . 28FIGURA 4 – Exemplo de uma figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29FIGURA 5 – Ângulos internos de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29FIGURA 6 – Ilustração do triângulo ABC e da reta paralela P . . . . . . . . . . . . . . 30FIGURA 7 – Ângulos alternos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30FIGURA 8 – Desigualdade Triangular (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31FIGURA 9 – Desigualdade Triangular (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31FIGURA 10 – Triângulo Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32FIGURA 11 – Lei dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33FIGURA 12 – Lei dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34FIGURA 13 – Lei dos cossenos (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36FIGURA 14 – Altura, Mediana e Bissetriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38FIGURA 15 – Projeção dos triângulo retângulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39FIGURA 16 – Reta perpendicular a base do triângulo acutângulo . . . . . . . . . . . . 39FIGURA 17 – Área do triângulo obtusângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40FIGURA 18 – Projeção do triângulo obtusângulo transformando-o em triângulo retângulo 40FIGURA 19 – Área do triângulo pela fórmula de Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . 43FIGURA 20 – Exemplo de Semelhança de Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43FIGURA 21 – Triângulos da Proposição 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44FIGURA 22 – Proposição 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45FIGURA 23 – Proposição 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46FIGURA 24 – Ângulos internos dos triângulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48FIGURA 25 – Ilustração da interface do Geogebra com o uso do ícone ”segment”. . . . 52FIGURA 26 – Ilustração da construção do primeiro ponto . . . . . . . . . . . . . . . . 52FIGURA 27 – Primeiro segmento construído. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53FIGURA 28 – Ilustração do ângulo construído com o Geogebra. . . . . . . . . . . . . . 53FIGURA 29 – Ilustração do uso do ícone ”medida” no Geogebra. . . . . . . . . . . . . 54FIGURA 30 – Ilustração do uso do ícone ”angle” no Geogebra. . . . . . . . . . . . . . 54FIGURA 31 – Ilustração da figura que será construída para a formação do Ângulo Agudo. 55FIGURA 32 – Ilustração da construção do ângulo reto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55FIGURA 33 – Ilustração da construção do ângulo obtuso. . . . . . . . . . . . . . . . . 56FIGURA 34 – Visualização do ícone "point"do Geogebra. . . . . . . . . . . . . . . . . 57FIGURA 35 – Ilustração de três pontos não colineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57FIGURA 36 – Triângulo formado a partir dos pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58FIGURA 37 – Ilustração do segmento AB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59FIGURA 38 – Triângulo formado a partir do segmento dado AB. . . . . . . . . . . . . 59FIGURA 39 – Figura formada com a medida dos segmentos dados. . . . . . . . . . . . 60

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 REFERENCIAL TEÓRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1 O ENSINO DE TRIGONOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 RECURSOS TECNOLÓGICOS NO ENSINO DE TRIGONOMETRIA . . . . . . . . . . 243 TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1 CONCEITOS PRELIMINARES DE GEOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.1 Lei dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.2 Lei dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.3 Propriedades geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.1 Demonstração do Teorema de Pitágoras por Relações Trigonométricas . . . . . . . 473.5.2 Demonstração por Semelhança de Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 ATIVIDADES DIDÁTICAS COM O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA . . 514.1 ATIVIDADES PROPOSTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

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1 INTRODUÇÃO

Atualmente, escola está sofrendo constantes alterações devido as tecnologias queestão presentes no nosso dia a dia, como celulares, computadores, etc através do acesso àinformação pela internet, praticamente disponível a todos. Assim, a escola deve buscar se adaptare criar formas diferenciadas a fim de fomentar novas ações pedagógicas que priorizem o uso detecnologias visando melhorar a qualidade da educação e mudar o cenário educacional, tanto dosprofessores quanto no desempenho dos alunos. Segundo Strasburg (2018):

[...] é necessária a adaptação da escola às mudanças da sociedade, inclusive na formade se construir conhecimento. Fica evidente que uma das formas de se adaptar, éusar novas agências de transmissão do saber não como concorrentes, mas em prolde uma educação de qualidade. Quanto à trigonometria, o professor pode fazer usodos recursos tecnológicos que podem servir de facilitador da aprendizagem dessaimportante área do conhecimento, que já contribuiu muito com o desenvolvimentocientifico (STRASBURG, 2014, p. 24).

Diante deste cenário, a tecnologia está cada vez mais presente no cotidiano das pessoase muito se tem falado na utilização da mesma no ensino, fazendo com que os professoresreformulem suas práticas e busquem redefinir suas estratégias, com o objetivo de incluir novastecnologias a fim de facilitar o processo de ensino e aprendizagem. Logo, o professor deve estarem constante formação e buscar metodologias e tecnologias que visem o desenvolvimento daaprendizagem através da iteração com o meio em que vivem. Para isso, existem disponíveisalguns recursos educativos através da Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC’s), ondeos professores têm disponíveis softwares livre que podem colaborar para a elaboração de umaaula mais dinâmica e proveitosa aos alunos.

Dessa forma a matemática, bem como o ensino da trigonometria, é de grande importân-cia, uma vez que auxilia no desenvolvimento do raciocínio lógico, na resolução de problemas,etc. Assim, ao trabalhar a trigonometria em suas aulas, o professor deve despertar o interesse doaluno para facilitar o processo de ensino e aprendizagem. Para tanto, está disponível uma vastatecnologia que pode contribuir para motivar seus alunos, através da utilização de tecnologias noestudo de situações-problemas concretas.

Moraes (1997) já enfatizava em seu trabalho que, no ensino da matemática, a contribui-ção mais importante que o computador pode trazer está no fato de facilitar atividades que seriamdifíceis de serem realizadas sem o seu uso. Assim, por meio de ambientes de aprendizageminformatizados os alunos são capazes de levantar e testar hipóteses, desafiando sua criatividadeno desenvolvimento do raciocínio, despertando seu interesse pela disciplina.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais PCN (1998), a informática contribuide maneira significativa para a prática educacional estimulando o desenvolvimento de açõesalternativas no processo de ensino e aprendizagem. Logo,

O professor não deve mais ser mero transmissor de conteúdo, mas sim, um orientadorda aprendizagem, fazendo com que o aluno pense e estimule suas capacidades, crieoportunidades de utilizar os seus talentos, respeitando os diversos modos de aprender,[...]. É importante lembrar que o computador é somente uma máquina e para quese torne uma ferramenta didática necessita de um profissional que saiba manuseare tenha uma intenção, pois somente assim o computador deixará de ser um simplesobjeto, passando a ser uma ferramenta de trabalho, tal modernização já faz parte docotidiano de muitos alunos e por fazer parte deve ser explorado, principalmente paraque o aluno saiba que pode encontrar na informatização não só divertimentos comjogos, mas conhecimento (ABREU, 2011, p. 10).

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Assim, tanto a escola como seu corpo docente precisam estar preparados e capacitadosquanto ao uso das novas tecnologias pensando nos avanços pedagógicos que a mesma traz,estimulando os alunos no desenvolvimento da aprendizagem e permitindo ainda uma maiorinteração do conteúdo apresentado pelo professor.

O ensino da matemática tem como aliado diversos softwares educativos, alguns commuitos recursos e que podem ser utilizados na sala de aula a fim de contribuir no processo deconstrução do conhecimento do aluno. Os mais utilizados são: os softwares trigonométricos,que possibilitam o estudo da trigonometria, exemplo o Thales; Softwares gráficos, utilizadosno estudo de equações e funções, exemplo o Winplot; Softwares recreativos, que estimulama atenção, concentração e raciocínio lógico, exemplo o Winarc; Softwares algébricos, quepermitem o estudo de matrizes e sistemas de equações exemplo o WinMatrix; Softwares denotação matemática, possibilitam a editoração de expressões matemáticas, exemplo o Math Type;Softwares estatísticos, utilizados para trabalhar com tópicos da estatística, capaz de classificare interpretar conjunto de dados, exemplo o BioStat; Softwares multidisciplinares, permitem oestudo de mais de uma especificidade e manipulação de imagens 2D e 3D, exemplo o MatLab;Softwares geométricos, utilizados no estudo da geometria espacial e ou analítica, exemplo oGeoGebra (KLEE, 2011).

No presente trabalho, utilizaremos como ferramenta de ensino o software Geogebra.O software GeoGebra (aglutinação das palavras Geometria e Álgebra) é um aplicativo dematemática dinâmica que combina conceitos de geometria e álgebra.

Criado por Markus Hohenwarter, o GeoGebra é um software gratuito de matemáticadinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveisde ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria,álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um únicoambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo,representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si (NASCIMENTO,2012, p. 128)

Para Lopes (2013, p. 635) "[...] uma das principais características de um softwarede Geometria Dinâmica é a possibilidade de movimentar os objetos na tela sem alterar aspropriedades da construção inicial."Sendo assim, a utilização do GeoGebra nas aulas podecontribuir com o aprendizado por meio de questionamentos e da investigação, despertando ointeresse do aluno pela busca do conhecimento.

Portanto, esta proposta surge, como uma possibilidade de promover o envolvimentodos alunos no processo de construção do conhecimento, visando investigar situações contextuali-zadas para a resolução de problemas e desafios em atividades potencialmente significativas deTrigonometria, despertando nos alunos a curiosidade e a criatividade. Nas atividades propostas,buscamos enfatizar opções construtivistas, sugerindo estratégias nas quais o aluno seja ativo noprocesso de aprendizagem.

O público alvo são alunos do 9o ano do Ensino Fundamental e temos como propósitomostrar aos alunos a importância do estudo da trigonometria; apresentar noções bem funda-mentadas da trigonometria; entender significado das fórmulas; e capacitá-los para utilizar osconhecimentos trigonométricos no dia-a-dia. Além disso, sugerimos trabalhar com as proprieda-des de triângulos retângulos e de triângulos quaisquer.

Diante do exposto, o presente trabalho tem como objetivo principal discutir o ensino detrigonometria praticado nas escolas e as implicações do uso das TIC’s no processo de ensino. Aindagação-mestra orientadora do presente estudo tem a seguinte formulação: "Como nas aulas

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de matemática a tecnologia pode ser utilizada a fim de contribuir para o processo de ensino eaprendizagem da Trigonometria."

As questões de pesquisa que desdobram essa indagação-mestra, correspondem aosseguintes objetivos específicos que norteiam o presente trabalho. Cabe, então, analisar o ensinode trigonometria na Educação Básica, as implicações das tecnologias no ensino de matemática eapresentar os principais conceitos de Trigonometria em triângulos.

O presente trabalho está dividido em 5 capítulos. O capítulo 2 seguinte, a esta introdução,traz o referencial teórico para o desenvolvimento da pesquisa, onde abordamos o ensino detrigonometria e o uso de tecnologias na educação. No capítulo 3 apresentamos os conceitosmatemáticos sobre a trigonometria, mais especificamente, em triângulos. No capítulo 4, sãopropostas atividades didáticas envolvendo os conceitos de triângulos para serem trabalhadas comalunos do Ensino Fundamental II utilizando como ferramenta de ensino o software Geogebra.Por fim, no capítulo 5 são apresentadas as considerações finais sobre o presente estudo.

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2 REFERENCIAL TEÓRICO

No presente capítulo será apresentado uma discussão sobre o ensino de trigonome-tria, bem como, o uso de tecnologias no ensino e sua importância no processo de ensino eaprendizagem da matemática, mais especificamente de trigonometria.

2.1 O ENSINO DE TRIGONOMETRIA

A trigonometria é considerada um ramo da matemática e esta presente também nocotidiano das pessoas, sendo utilizada como ferramenta para resolução de questões lógicas equantitativas. Contudo, o ensino da trigonometria nas escolas tem se mostrado, muitas vezes,desinteressantes para os alunos.

Diante da importância que esse assunto possui para diversas áreas, o professor deve esta-belecer formas diversificadas de ensinar para que a aprendizagem seja significativa, despertandoa criatividade e o interesse do aluno. As aplicações da trigonometria surgiram na Antiguidade einicialmente desenvolveu-se com a finalidade de auxiliar na astronomia e na navegação. E, ainda,conforme destaca Boyer (1996),

As propriedades das cordas, como medidas de ângulos centrais ou inscritos em círculos,eram conhecidas dos gregos dos tempos de Hipócrates, e é provável que Eudoxo tenhausado razões e medidas de ângulos para determinar o tamanho da terra e as distânciasrelativas do sol e da lua (BOYER, 1996, p. 108).

Dessa forma, atualmente, o estudo da trigonometria continua sendo importante, jáque influencia significativamente a astronomia, na trigonometria plana, e, também, é umaferramenta utilizada na mensuração de distâncias, entre outras situações cotidianas. Podemosdestacar também, a importância do estudo da trigonometria na compreensão de tópicos de física,arquitetura e engenharia (FEIJÓ, 2018).

Além disso, como a trigonometria é um dos primeiros tópicos de matemática que rela-ciona o raciocínio algébrico, geométrico e gráfico, ela pode servir como um precursorimportante para a compreensão do pré-cálculo e do cálculo (WEBER, 2005, apudFEIJÓ, 2018 p. 17).

No entanto, de acordo com os PCN’s Brasil (2002):

Tradicionalmente, a trigonometria é apresentada desconectada das aplicações, poisprioriza-se o cálculo algébrico das identidades e equações em detrimento dos aspectosimportantes das funções trigonométricas e da análise de seus gráficos. O que deveser assegurado são as aplicações da trigonometria na resolução de problemas queenvolvem medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis e para construirmodelos que correspondem a fenômenos periódicos. Dessa forma, o estudo detém-se àsfunções seno, cosseno e tangente, com ênfase ao seu estudo na primeira volta do círculotrigonométrico e à perspectiva histórica das aplicações das relações trigonométricas.(BRASIL, 2002, p. 122).

Desse modo, observa-se que a trigonometria também pode ser trabalhada de formamenos técnica e mais contextualizada, buscando priorizar suas aplicações práticas no cotidianodos alunos, dando significado a sua aprendizagem.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM), o conteúdode trigonometria "exemplifica a relação da aprendizagem de matemática como o desenvolvimento

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de habilidades e competências [...] desde que seu estudo esteja ligado ás aplicações "(BRASIL,2000, p. 44). Nesse mesmo documento, destaca-se:

[...] o que deve ser assegurado são as aplicações da Trigonometria na resolução de pro-blemas que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e naconstrução de modelos que correspondam a fenômenos periódicos. Nesse sentido, umprojeto envolvendo também a Física pode ser de grande oportunidade de aprendizagemsignificativa (BRASIL, 2000, p. 44).

Neste contexto, é importante que os educadores tenham compreensão de que é necessáriaa adaptação da escola às mudanças tecnológicas, principalmente na forma de se ensinar. Paraisso, o uso de recursos tecnológicos pode ser aliado ao ensino da trigonometria, contribuindopara a aprendizagem dessa área do conhecimento.

2.2 RECURSOS TECNOLÓGICOS NO ENSINO DE TRIGONOMETRIA

Com a intensificação do uso de tecnologias e acesso à informação, as novas geraçõesde estudantes requerem que os professores se adaptem a esta nova realidade e incorporem em aprática pedagógica novas estratégias de ensino baseadas nas tecnologias educacionais, visandoobter um processo de ensino-aprendizagem mais amplo e não apenas limitado aos espaçosescolares. Assim, o computador ou, até mesmo o celular, devem ser vistos como uma ferramentade auxílio para a construção do conhecimento por proporcionar um ambiente virtual para oensino de matemática. Portanto, como nas demais áreas da matemática, na trigonometria o usodas tecnologias passa a desempenhar um papel fundamental no processo de ensino.

Diversos autores já vem destacando o uso de softwares educacionais para o ensino datrigonometria. Podemos citar Lopes (2011), Pedroso (2012), Silva e Ferreira (2016) e Dias(2015).

Pedroso (2012) cita a dificuldade que os alunos têm em entender o conteúdo de tri-gonometria e a dificuldade do docente em ensinar. Com isso o autor propõe uma sequênciade atividades com caráter investigativo sobre conceitos básicos de trigonometria aplicado nosoftware Geogebra e chegou a conclusão que o uso do software contribuiu para a compreensãodos conceitos trigonométricos.

No trabalho de Lopes (2011) é avaliada a aprendizagem da Trigonometria propiciadapor uma sequência de ensino desenvolvida em um ambiente informatizado e dinâmico, atravésdo software Geogebra e de um cronograma de atividades. Concluindo através das atividades pro-postas a compreensão de relações entre elementos de uma construção, permitiu a experimentaçãode hipóteses e elaboração de conclusões, instigou discussões e tornou as aulas mais dinâmicas.

Em Silva e Ferreira (2016) são apresentadas situações didáticas envolvendo o conteúdode semelhança de triângulos com o uso do software Régua e Compasso. Dias (2015) analisouuma proposta didática para o ensino do Teorema de Pitágoras com o uso de Tecnologia Digitale concluiu que os alunos compreenderam os conceitos envolvendo triângulos retângulos e oTeorema de Pitágoras.

As aplicações da trigonometria também se fazem presentes em trabalhos envolvendoferramentas para solução de problemas da Olímpiada de Matemática (GONÇALVES, 2014), ouso de material concreto nas aulas de trigonometria (LAMAS, 2007), a construção de polígonosregulares e relações trigonométricas no triangulo retângulo utilizando os softwares Geogebra eSuperLogo (OLIVEIRA, 2013), o uso do softwares educativo Régua e Compasso para ensinaras leis dos senos e dos cossenos (XAVIER; TENÓRIO; TENÓRIO, 2015). Estes trabalhos

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mostram que é possível estabelecer uma importante relação entre o conhecimento matemáticodo professor e a fluência nas tecnologias empregadas em suas propostas didáticas.

O trabalho de Lopes (2013) analisa algumas das potencialidades e limitações do soft-ware GeoGebra no ensino e na aprendizagem de Trigonometria. Com base nos resultados destapesquisa, o autor destaca que, "dentre as potencialidades apresentadas pelo software GeoGebrano ensino e na aprendizagem de trigonometria por meio de atividades investigativas estão, prin-cipalmente, a construção, o dinamismo, a investigação, visualização e argumentação"(LOPES,2013, p. 10).

Portanto, o uso de recursos tecnológicos para o ensino da matemática é vista como ummeio de facilitar o entendimentos dos conteúdos por parte dos alunos (STRASBURG, 2014),evidenciando a necessidade de adaptação das escolas e professores para podermos atender asdemandas da sociedade, formando cidadãos críticos e com responsabilidades sociais.

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3 TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS

No presente capítulo são apresentados os conceitos fundamentais que envolvem o estudoda trigonometria em triângulo. Primeiramente são apresentados os conceitos fundamentais degeometria, seguida da trigonometria do triângulo retângulo e suas propriedades a trigonometriade triângulos quaisquer. Os conceitos e as definições utilizadas foram baseadas em Barbosa(2004) e Iezzi (2013).

3.1 CONCEITOS PRELIMINARES DE GEOMETRIA

O estudo de trigonometria em triângulos requer que o aluno tenha alguns conhecimentospreliminares de geometria. Assim, a seguir faremos uma revisão inicial dos conceitos degeometria.

Definição 1. Reta é o esboço geométrico constituído por um segmento contido em um espaço,cujo a dimensão é dado através do comprimento.

Definição 2. A origem de um ponto é dado através da intersecção de duas retas.

Definição 3. Semirreta é o comprimento de uma parte da reta limitado por um ponto.

Definição 4. Segmento de reta é a parte da reta limitada por dois pontos.

Definição 5. Ângulo é a reunião de duas semirretas de mesma origem, mas não contidas namesma reta.

Os ângulos são classificados como reto, agudo ou obtuso. O ângulo reto é o ânguloformado pela intersecção de duas retas perpendiculares, logo sua medida é α = 90◦. Já o ânguloagudo é formado pela intersecção de duas retas, porém, a medida dele é menor que 90◦, ou seja,α < 90◦. E, ainda, temos o ângulo chamado de obtuso, o qual é formado pela intersecção deduas retas, mas, a medida do ângulo está entre 90◦ e 180◦, ou seja, 90◦ < α < 180◦. A Figura 1ilustra a classificação quanto aos ângulos.

Figura 1 – Classificação quanto aos ângulos

Fonte: Elaborada pelo autor

Os polígonos são figuras geométricas formadas por segmentos de reta que, dois a dois,tocam-se em seus pontos extremos, mas não se cruzam em outro ponto qualquer. Já os triângulopodem ser classificados como um polígono formado por três lados.

Considere três pontos A, B e C, não colineares, os quais determinam três segmentos dereta: AB, BC e AC. A reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC é chamada triângulo ABC(veja Figura 2).

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Figura 2 – Ilustração de um triângulo


O triângulo ABC é formado pelos vértices, A, B e C, os lados do triângulo são ossegmentos de reta AB, BC e AC, as medidas dos lados são AB = c, BC = a e AC = b e,ainda, a medida dos ângulos internos são denotados por A, B e C.

Ao comparar os lados de um triângulo é possível verificar que independente de suasmedidas serem ou não iguais, o triângulo pode ser classificado como escaleno, isósceles ouequilátero. Denominamos de triângulo escaleno o triângulo que possui os três lados com medidasdiferentes. O triângulo Isósceles é um triângulo que possui dois lados iguais, sendo um dos ladosdenominado de base. E, por fim, o triângulo equilátero possui a medida de todos os lados iguais.A Figura 3 ilustra cada um dos casos acima citados.

Figura 3 – Classificação dos triângulos quanto a medida dos lados


Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser classificados como retângulo, acutânguloou obtusângulo. O Triângulo Retângulo é um triângulo que possui um angulo de 90◦, ou seja,possui um ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os outros doislados são chamados de catetos. O triângulo acutângulo é um triângulo que possui todos osângulos internos menores que 90◦ e o triângulo obtusângulo é um triângulo que possui um ângulomaior que 90◦, ou seja, um ângulo obtuso. A Figura 4 ilustra a classificação dos triângulos emrelação a medida dos ângulos.

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Figura 4 – Classificação quanto a medida dos ângulos.


Note que ao nos depararmos com problemas que envolvem triângulos estaremos direta-mente trabalhando com a medida de seus ângulos.

Teorema 1. A soma dos ângulos internos de um triângulo mede 180◦.

Demonstração. Dado um triângulo qualquer ABC, denotemos por α, β e θ os ângulos internosconforme ilustrado na Figura 5. Fazendo os prolongamentos determinados pelos lados AB, BC eAC e traçando uma reta paralela a base do triângulo AB e passando pelo vértice de β formamosa reta P (veja Figura 6).

Figura 5 – Ângulos internos de um triângulo


30

Figura 6 – Ilustração do triângulo ABC e da reta paralela P


A partir da Figura 6 observamos que os ângulos formados pelos prolongamentos,incidem formando o ângulo α e o ângulo θ, naturalmente ela incidirá na reta P formando osmesmos ângulos, pois ambos são alternos internos. Conforme ilustrado na Figura 7 os ângulosα, β e θ somados irão totalizar 180◦. Portanto, a soma dos ângulos internos de um triângulo édefinida por:

α + β + θ = 180◦

Figura 7 – Ângulos alternos internos


Outra condição importante é a desigualdade triangular. A desigualdade triangular é acondição de existência de um triângulo, ou seja, se esta condição não for satisfeita, não serápossível formar um triângulo.

Teorema 2 (Teorema da Existência). Sejam a, b e c números reais positivos. Existe um triângulocom lados medindo a, b e c se, e somente se,

a < b+ cb < a+ cc < a+ b

(3.1)

31

Demonstração. Seja ABC um triângulo com lados medindo a, b e c, ilustrado na Figura 2.Suponhamos que o triângulo ABC não satisfaz a desigualdade (3.1). Seja BC = a,

então, sem perda de generalidade a ≥ b+ c . Considere o segmento que representa a aresta dotriângulo triângulo ABC de comprimento BC = a (veja Figura 8), cujas extremidades B e Csão centros de círculos de raios b e c, respectivamente. O vértice A do triângulo ABC que nãopossui extremidade na aresta BC claramente seria o ponto de interseção destes dois círculos.

Figura 8 – Desigualdade Triangular (1)


Agora, se a ≥ b+ c, a interseção dos círculos centrados nos vértices B e C, de raios be c, respectivamente, ou não se interceptam ou se interceptam num ponto sobre a aresta BC, oque contradiz o fato de A, B e C serem vértices de um triângulo.

Logo a < b+ c. A Figura 9 ilustra este caso.

Figura 9 – Desigualdade Triangular (2)


Reciprocamente, se BC é um segmento de comprimento a com extremidades emcírculos centrados nos vértices B e C de raios b e c, respectivamente, satisfazendo a < b + c,então estes círculos se interceptam num vértice A que não está sobre a aresta BC, de tal formaque A, B e C são não colineares. Portanto, existe um triângulo ABC.

Da forma análoga podemos provar para b e c.

3.2 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Chamamos de triângulo retângulo o triângulo cujo um de seus ângulos internos é reto.Para facilitar a notação denominados que o triângulo ABC retângulo possui um ângulo interno

32

medindo 90◦. O lado BC de medida a, oposto ao ângulo reto, é denominado de hipotenusa e oslados AB e AC de medidas, c e b, respectivamente, são chamados de catetos do triângulo ABC.A Figura 10 ilustra um triangulo retângulo ABC.

Figura 10 – Triângulo Retângulo


Um resultado importante da trigonometria é o Teorema de Pitágoras enunciado a seguir.

Teorema 3 (Teorema de Pitágoras). O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadradosdos catetos.

a2 = b2 + c2 (3.2)

A partir do Teorema de Pitágoras podemos definir as seguintes relações. Fixando umângulo agudo B = θ, temos:

1. Seno de um ângulo agudo é dado pela razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.

sen θ =cateto oposto

hipotenusa=AB

BC

2. Cosseno de um ângulo agudo é dado pela razão entre o cateto adjacente ao ângulo e ahipotenusa.

cos θ =cateto adjacente

hipotenusa=AC

BC

3. Tangente de um ângulo agudo é dado pela razão entre o cateto oposto ao ângulo e o catetoadjacente ao ângulo.

tg θ =cateto oposto

cateto adjacente=AB

AC

4. Cotangente de um ângulo agudo é dado pela razão entre o cateto adjacente ao ângulo e ocateto oposto ao ângulo.

cotg θ =cateto adjacente

cateto oposto=AC

AB

A partir do Teorema de Pitágoras e das relações entre seno, cosseno, tangente e cotan-gente podemos definir novas relações no triângulo retângulo.

33

3.3 TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER

3.3.1 Lei dos Senos

A Lei dos Senos estabelece uma relação entre os lados dos triângulos e os senos deseus ângulos opostos. Este resultado será utilizado posteriormente na demonstração de casos desemelhança de triângulos e na obtenção da Lei dos Cossenos.

Teorema 4 (Lei dos Senos). Dado um triângulo qualquer ABC, a relação do seno do ângulo ésempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo, ou seja, para um triângulo ABCcujos lados medem BC = a,AC = b e AB = c, temos as seguintes identidades:

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C.

Demonstração. Dividiremos a demonstração em dois casos:

Caso 1 : Triângulo acutângulo

Seja ABC um triângulo acutângulo. Se h1 é a altura do triângulo ABC relativa aovértice A e h2 é a altura do triângulo ABC relativa ao vértice B, conforme a Figura 11, obtemos:

sen A =h2c

sen B =h1c

sen C =h1b

sen C =h2a

(3.3)

Figura 11 – Lei dos Senos


34

Assim, temos: h2 = c sen A

h1 = c sen B

h1 = b sen C

h2 = a sen C

(3.4)

Por (3.4), obtemos: {c sen A = a sen C

c sen B = b sen C(3.5)

O que implica em, a

sen A=

c

sen C

b

sen B=

c

sen C

(3.6)

Logo,

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C.

Caso 2: Triângulo obtusângulo

Seja ABC um triângulo obtusângulo com A > 90, sejam h1 e h2 alturas do triânguloABC relativas aos vértices A e C, respectivamente, conforme a Figura 12.

Figura 12 – Lei dos Senos


Utilizando a relações trigonométricas envolvendo a função seno nos triângulos retângu-

35

los obtidos, conforme a Figura 12, obtemos

sen(180o − A) = h2b

sen B =h1c

sen C =h1b

sen B =h2a

(3.7)

Assim, utilizando sen(180o − A) = senA em (3.7),h2 = b sen A

h1 = c sen B

h1 = b sen C

h2 = a sen B

(3.8)

Por (3.8), temos: {b sen A = a sen B

c sen B = b sen C, (3.9)

o que implica em a

sen A=

b

sen B

b

sen B=

c

sen C

(3.10)

Logo,

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C.

3.3.2 Lei dos Cossenos

Chamada Lei dos Cossenos para triângulos planos, logo após terem sido reconhecidascomo formulações geométricas para ângulo obtuso e depois para ângulos agudos. Em particularé uma generalização do Teorema de Pitágoras utilizada para encontrar a medida dos lados dequalquer triângulo, não sendo apenas para triângulos retângulos, ou seja, é um composto deexpressões que relacionam ângulos e arestas de triângulos obtusângulo e acutângulo.

Teorema 5 (Lei dos Cossenos). Em qualquer triângulo, o quadrado de uma lado é igual a somados quadrados dos outros dois lados, menos o duplo produto desses dois lados pelo cosseno doângulo formado por eles.

36

a2 = b2 + c2 − 2 b c cos βb2 = a2 + c2 − 2 a c cos θc2 = a2 + b2 − 2 a b cos α

Demonstração. Considere o triângulo ABC ilustrado na Figura 13. A partir desse, valem asseguintes relações:

Figura 13 – Lei dos cossenos (2)


cos α =x

a

senα =h′

a

cos β =b− xc

sen β =h′

c

ou seja,

x = a cos C (3.11)

h′ = a senα (3.12)

b− x = c cos β (3.13)

h′ = c sen β (3.14)

Por (3.11) e (3.13), (b− a cos α

c

)= cos β (3.15)

37

Elevando ambos os lados de (3.15) ao quadrados, temos:(b − a cos α

c

)2

= (cos β)2 (3.16)

Pela relação fundamental trigonométrica sen2 β + cos2 β = 1, temos:

cos2 β = 1− sen2 β (3.17)

Substituindo (3.16) em (3.17) obtemos:(b − a cos α

c

)2

= 1− sen2 β (3.18)

Dê (3.12) e (3.14), temos:

sen β =(a senα

c

)(3.19)

Elevando (3.19) ao quadrado:

sen2 β =(a senα

c

)2(3.20)

Substituindo (3.20) em (3.18), temos:(b − a cos α

c

)2

= 1−(a senα

c

)2(3.21)

Desenvolvendo os quadrados em (3.21):

(b2 + 2 b a cos α + a2 cos2 α)

c2= 1−

(a2 sen2 α

c2

)(3.22)

Multiplicando ambos os membros de (3.22) por c2, obtemos:

b2 + 2 b a cos α + a2 cos2 α = c2 − a2 sen2 α (3.23)

Isolando c2 e ponto a2 em evidência em (3.23),

c2 = a2 · (sen2 α + cos2 α) + b2 + 2 a b cos α (3.24)

Portanto, pela Identidade Fundamental Trigonométrica,

c2 = a2 + b2 + 2 a b cos α (3.25)

De forma análoga, obtemos as outras equações correspondentes a Lei dos Cossenos.

3.3.3 Propriedades geométricas

Em trigonometria existem alguns elementos notáveis em um triângulo, tais como, altura,mediana, bissetriz, entre outros. A seguir apresentaremos algumas relações importantes quepermitem o cálculo de segmentos tendo apenas as medidas dos lados e dos ângulos internos deum triângulo.

38

O perímetro de um triângulo ABC é

2P = AB +BC + CA (3.26)

O semi-perímetro de um triângulo ABC é a metade do perímetro deste triângulo, ouseja,

P =AB +BC + CA

2. (3.27)

A altura de um triângulo é o segmento de reta que parte de um vértice interceptando olado oposto a este vértice formando um ângulo de 90◦.

hc =2

c

√p(p− a)(p− b)(p− c)

A mediana de um triângulo é o segmente de reta de origem em um vértice e divide osegmento oposto a este vértice em partes iguais.

ma =1

2

√2(b2 + c2) + a2

A bissetriz de um triângulo é o segmento de reta com origem em um dos vértices dotriângulo, que divide este vértices em duas partes iguais.

Sa =2

b+ c

√bcp(p− a)

Figura 14 – Altura, Mediana e Bissetriz


A Figura 14 ilustra o exemplo de altura, mediana e bissetriz.A área do triângulo é a medida limitada por três segmentos de reta, ou seja, é a medida

de um espaço delimitado por três segmentos contidos em um plano.

Proposição 1. Dado um triânguloABC, sua área corresponde à metade do produto de qualquerum de seus lados pela altura relativa a este lado.

Demonstração. Para demostrar a Proposição 1, separamos em três possíveis casos, onde ostriângulos poderão ser Retângulo, Acutângulo e Obtusângulo.

Caso 1: Triângulo Retângulo

Fazendo uma projeção de um triângulo retângulo ABC (veja Figura 15) e verificandoos ângulos, obtemos um retângulo ABDC, onde D é a projeção do vértice A sobre a aresta BC.

39

Figura 15 – Projeção dos triângulo retângulo.


Sabendo que a área do retângulo é calculada através da multiplicação da medida dabase AC pela altura AB, então, podemos afirmar que a área AABC do triângulo ABC é

AABC =1

2AABDC (3.28)

onde AABDC é a área do retângulo ABDC.Portanto, a área do triângulo retângulo ABC é dado por:

AABC =1

2AC · AB

com AC comprimento da base e AB comprimento da altura.

Caso 2: Triângulo acutânguloSeja ABC um triângulo acutângulo, escolhendo um ponto D sobre o segmento AC de

tal forma que BD seja perpendicular a AC obtemos dois triângulos retângulos com bases me-dindo AD e DC, respectivamente, e com alturas BD, (veja Figura 16). Assim, se considerarmosdois triângulos retângulos em D, temos:

Figura 16 – Reta perpendicular a base do triângulo acutângulo


40

AABC = AABD + ABCD

=1

2AD ·BD +

1

2DC ·BD

=1

2BD · (AD +DC)

=1

2BD · AC

Caso 3 : Triângulo Obtusângulo

Seja ABC um triângulo obtusângulo onde C > 90o (veja Figura 17).

Figura 17 – Área do triângulo obtusângulo


Escolha um ponto D de tal forma que o segmento DC seja paralelo ao segmento CB eque o segmento AD seja perpendicular ao segmento DC como ilustra a Figura 18.

Figura 18 – Projeção do triângulo obtusângulo transformando-o em triângulo retângulo


Considerando o o triângulo DAB retângulo em D, então, temos que a área é dada por:

ADBC =1

2

(DB · AD

)Da mesma forma, o triângulo retângulo DAC tem área dada por:

ADAC =1

2

(DC · AD

)Logo, podemos obter a área do triângulo ABC pela diferença entre as áreas dos

triângulos DAC e DBC, ou seja,

41

AABC = ADBC − ADAC

=1

2·DB · AD − 1

2·DC · AD

=1

2· AD · (DB −DC)

=1

2· CB · AD

O responsável por essa fórmula foi o geômetra Heron de Alexandria, esse é um impor-tante resultado na área da geometria pois através dele o cálculo da área do triângulo dependeapenas das medidas dos lados, descartando a necessidade de possuir a altura do triângulo paraefetuar o cálculo da área.

Teorema 6. (Teorema de Heron): Dado um triângulo ABC cujos lados possuem medidas a, b ec, a área desse triângulo é dado por:

A =√p(p− a)(p− b)(p− c) (3.29)

ondep =

a+ b+ c

2(3.30)

Demonstração. Dado um triângulo ABC, traçando uma reta perpendicular ao lado b, um novosegmento BD é formado, onde D é o ponto sobre o segmento AC, observa-se que através deBD foram gerados dois triângulos retângulos.

Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

c2 = h2 + AD2

ou seja,

AD =√c2 − h2

Através da relação cosseno, temos:

cosα =

√c2 − h2c

(3.31)

Utilizando a Lei dos cossenos, temos:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A (3.32)

Por (3.31) e (3.32),

a2 = b2 + c2 − 2b√c2 + h2 (3.33)

42

Isolando a expressão√c2 − h2 em (3.33), obtemos:

√c2 − h2 = b2 + c2 − a2

2b(3.34)

Elevando ao quadrado ambos os membros de (3.34) e Isolando h2, temos:

c2 − h2 =(b2 + c2 − a2

2b

)2

(3.35)

e

h2 =

(−b

2 + c2 − a2

2b

)2

+ c2 (3.36)

Elevando o quadrado da área A do triângulo ABC, obtemos:

A2 =b2h2

4(3.37)

Aplicando (3.36) em (3.37) temos:

A2 =

b2[(− b2+c2−a2

2b

)2+ c2

]4

=b2c2 − b2 (b

2+c2−a2)24b2

4

=(2bc)2 − (b2 + c2 − a2)2

16

=[(2bc)− (b2 + c2 − a2)] · [(2bc) + (b2 + c2 − a2)]

16

=[a2 − (b2 − 2bc+ c2)] · [(b2 + 2bc+ c2)− a2]

16

=[a2 − (b− c)2] · [(b+ c)2 − a2]

16

=

(a− b+ c

2

)·(a+ b− c

2

)·(b+ c− a

2

)·(a+ b+ c

2

)

=

(a+ b+ c

2− b)·(a+ b+ c

2− c)·(a+ b+ c

2− a)·(a+ b+ c

2

)

Portanto,

43

A =

√(a+ b+ c

2

)·(a+ b+ c

2− a)·(a+ b+ c

2− b)·(a+ b+ c

2− c)

A =√p · (p− a) · (p− b) · (p− c)

A Figura 19 ilustra o triângulo ABC usado para a demostração do Teorema.

Figura 19 – Área do triângulo pela fórmula de Heron


3.4 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Dizemos que dois triângulos são semelhantes se seus lados são proporcionais e seusângulos correspondentes são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. O Exemplo 1ilustra um caso de semelhança.

Exemplo 1. Dados os triângulos ABC e LMH descritos na Figura 20.

Figura 20 – Exemplo de Semelhança de Triângulos


44

A partir dos triângulos ABC e LMH temos:

AB

LM=

20

10= 2

BC

MH=

10

5= 2

CA

HL=

8

4= 2

(3.38)

A = L

B = M

C = H

(3.39)

Note que as medidas dos lados e ângulos são iguais, portanto, os triângulos ABC eLMH são semelhantes.

Para realizar a verificação de semelhança entre dois triângulos, não é necessário verificarse os lados são proporcionais e nem se todos os ângulos são congruentes. Existem três casosem que essa semelhança é vista de uma maneira facilitada conforme descrito nas Proposições aseguir.

Proposição 2. Se os triângulos A1B1C1 e A2B2C2 possuem seus ângulos congruentes, entãoA1B1C1 e A2B2C2 serão semelhantes (veja Figura 21).

Figura 21 – Triângulos da Proposição 2


Demonstração. Sejam A1B1C1 e A2B2C2 triângulos como ilustra a Figura 21. Pela Lei dossenos temos:

b1

sen B1

=c1

sen C1

=a1

sen A1

= k (3.40)

b2

sen B2

=c2

sen C2

=a2

sen A2

= t (3.41)

45

Por (3.40) e (3.41) obtemos as seguintes relações:a1 = k sen A1

b1 = k sen B1

c1 = k sen C1

(3.42)

a2 = t sen A2

b2 = t sen B2

c2 = t sen C2

(3.43)

Multiplicando (3.42) por (t) e (3.43) por (k), temos:ta1 = t k sen A1 = tksenA2 = k a2

tb1 = t k sen B1 = t k sen B2 = k b2

tc1 = t k sen C1 = t k sen C2 = k c2

Logo,

a1a2

=b1b2

=c1c2

=k

t

Proposição 3. Se os triângulos A1B1C1 e A2B2C2 possuem seus lados proporcionais, entãoA1B1C1 e A2B2C2 serão semelhantes.

Figura 22 – Proposição 3


Demonstração. Sejam A1B1C1 e A2B2C2 os triângulos descritos na Figura 22, tais que:a1 = k a2

c1 = k c2

b1 = k b2

(3.44)

Pela Lei dos Cossenos, temos:

a21 = c21 + b21 − 2 c1b1 cos A1 (3.45)

a22 = c22 + b22 − 2 c2 b2 cos A2 (3.46)

46

Assim,

cos A1 =−a21 + c21 + b21

2c1b1(3.47)

e

cos A2 =−a22 + c22 + b21

2c2b2(3.48)

Portanto, por (3.44), (3.45) e (3.46), obtemos:

cos A1 =−a21 + c21 + b21

2c1b1=−k2a22 + k2c22 + k2 b22

2 k c2 k b2=−a22 + c22 + b21

2c2b2= cos A2 (3.49)

Logo, por (3.49),

A1 = A2.

Utilizando o mesmo raciocínio podemos mostrar:

B1 = B2

eC1 = C2

Logo, os triângulos A1B1C1 e A2B2C2 são semelhantes.

Proposição 4. Se os triângulos A1B1C1 e A2B2C2 tiverem dois lados proporcionais e o ânguloformado por estes lados congruentes, então A1B1C1 e A2B2C2 são semelhantes.

Figura 23 – Proposição 4


Demonstração. Sejam A1B1C1 e A2B2C2 triângulos (veja Figura 23), que satisfazem as seguin-tes condições:

c1 = kc2

b1 = kb2

A1 = A2

(3.50)

47

Utilizando a Lei dos cossenos obtemos:

a21 = c21 + b21 − 2c1b1 cos A1 (3.51)

e

a22 = c22 + b22 − 2c2b2 cos A2 (3.52)

Substituindo (3.50) em (3.51), obtemos:

a21 = k2c22 + k2b22 − 2kc2 · kb2 · cos A2 (3.53)

Colocando k2 em evidência em (3.53), temos:

a21 = k2(c22 + b22 − 2c2b2 cos A2

)(3.54)

Assim, por (3.52) e (3.54),

a21 = k2 · a22 (3.55)

Portanto, a1 = ka2.Logo, pela Proposição 3, os triângulos A1B1C1 e A2B2C2 são semelhantes.

3.5 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS

Nesta seção iremos apresentar a demonstração do Teorema de Pitágoras descrito naseção 3.2 utilizando as relações trigonométricas e, em seguida, através da semelhança detriângulos.

3.5.1 Demonstração do Teorema de Pitágoras por Relações Trigonométricas

Seja ABC um triângulo reto em A, considere a Identidade Fundamental Trigonométrica

sen2 θ + cos2 θ = 1 (3.56)

e as Relações trigonométricas no Triângulo Retângulo:sen θ =

AB

BC

cos θ =AC

BC

(3.57)

Por (3.56) e (3.57), temos:(AB

BC

)2

+

(AC

BC

)2

= 1.

Assim,

AB2

BC2 +

AC2

BC2 = 1 (3.58)

48

Multiplicando (3.58) por BC2, obtemos:

AB2+ AB

2= BC

2

Logo, obtemos a expressão correspondente ao Teorema de Pitágoras.

3.5.2 Demonstração por Semelhança de Triângulos

Dado um triângulo retângulo ABC, trace uma reta perpendicular ao segmento BC,dando origem ao um novo ponto D. Assim, AD é a altura do triângulo ABC relativa a base BCe, com isso, obtemos dois triângulos retângulos ABD e ACD.

Note que agora temos dois triângulos, denotando os ângulos formados pelos vértices Be C de α e β, respectivamente, e fazendo m = BD e n = DC, obtemos a Figura 24.

Figura 24 – Ângulos internos dos triângulo.


Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180◦, temos:

α + β + 90◦ = 180◦

ou seja,

α + β = 90◦

.Como os triângulos ABC, ABD e ACD são semelhantes, então, temos:

AB

BD=BC

AB, (3.59)

isto é,

c

m=a

c(3.60)

e

AC

CD=BC

AC(3.61)

49

ou seja,

b

n=a

b. (3.62)

Por (3.60) e (3.62), obtemos:

c2 = am (3.63)

e

b2 = an (3.64)

Assim, agrupando (3.63) e (3.64) e usando a = m+ n, temos:

b2 + c2 = am + an = a(m+ n) = a2

Portanto, chegamos a b2 + c2 = a2.

51

4 ATIVIDADES DIDÁTICAS COM O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA

No cenário atual, o computador, os smartphones e os tablets fazem parte do cotidianodos alunos e professores. No entanto, o uso da tecnologia no ensino de matemática, muitas vezes,não acaba ocorrendo devido a dificuldade do professor em lidar com novas situações em sala deaula. Este capítulo tem por objetivo apresentar atividades que podem ser realizadas em sala deaula, utilizando o software Geogebra como ferramenta de ensino, afim de estimular o interessedos alunos e mostrar que, com apenas alguns cliques, o aluno poderá interagir, manipular demaneira simples e rápida o Geogebra, tornando-se uma ferramenta útil no auxílio do ensino dematemática.

4.1 ATIVIDADES PROPOSTAS

As atividades didáticas aqui apresentadas são destinadas a alunos do Ensino Funda-mental II, mais especificamente, ao 9o ano, nível em que os conteúdos de Trigonometria sãotrabalhados em sala de aula. O objetivo é mostrar o uso do software Geogebra na construçãodo conhecimento matemática, a fim de tornar as aulas de matemática mais atrativas para osalunos. As atividades buscam a construção dos conceitos de triângulos pelos alunos com asupervisão/orientação do professor.

Na Atividade 1 apresentamos, de forma mais detalhada, as ferramentas do Geogebra,para situar o leitor no uso desse software. Para as demais atividades são mostrados os possíveisresultados obtidos pelos alunos.

ATIVIDADE 1

"Construir e identificar os ângulos agudo, reto e obtuso."Objetivo: Fazer com que o aluno possa identificar cada tipo de ângulo através da sua

própria construção através do Geogebra.

1. Construção do ângulo agudo.

Solução:

Após acessar software Geogebra, clique no ícone da ferramenta para inicializar a constru-ção do primeiro segmento. Após selecionar o ícone de construção de segmento, selecionaro ícone "segment"do lado esquerdo da tela, como ilustra a Figura 25.

52

Figura 25 – Ilustração da interface do Geogebra com o uso do ícone ”segment”.


Após selecionar o ícone ”segment”, mover o mouse até a área quadriculada onde serárealizado a construção dos ângulos. Note que ao clicar na tela central será gerado umponto, esse será nosso ponto de partida para a construção do primeiro segmento de reta(veja Figura 26).

Figura 26 – Ilustração da construção do primeiro ponto


Após gerar no primeiro ponto, movimente o mouse para uma direção, a qual desejar, eclique na tela para gerar o novo ponto e, assim, consequentemente, concluir a construçãodo primeiro segmento (AB). A Figura 27 mostra o primeiro segmento construído.

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Figura 27 – Primeiro segmento construído.


Após a construção do primeiro segmento, novamente clique no ícone ”segment’ paraconstrução do segundo segmento. Selecione o ponto de partida, nesse caso, o ponto A eoriente o mouse de modo a realizar a construção do segundo segmento, denominado AC(veja Figura 28).

Figura 28 – Ilustração do ângulo construído com o Geogebra.


Após o termino da construção do ângulo, para saber o tamanho do ângulo construído,clique no ícone de medidas na barra de ferramentas e, em seguida, selecione o ícone”angle”, conforme ilustram as Figuras 29 e 30, respectivamente.

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Figura 29 – Ilustração do uso do ícone ”medida” no Geogebra.


Figura 30 – Ilustração do uso do ícone ”angle” no Geogebra.


Após selecionado direcione o mouse até os segmentos construídos, na tela principal, eclique sobre os mesmos. Na sequência aparecerá a medida do ângulo formado entre ossegmentos de retas e, será possível visualizar, a medida do ângulo formado, para então,podermos classificá-lo, nesse caso, como ângulo agudo.

A Figura 31 ilustra uma das possibilidades de construção que pode ser realizada pelosalunos. O objetivo é que o professor, através dos diferentes ângulos formados, faça adiscussão de cada tipo de ângulo e com isso, os alunos consigam, através da visualização,construir e identificar cada um dos ângulos possíveis.

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Figura 31 – Ilustração da figura que será construída para a formação do Ângulo Agudo.


2. Construção do Ângulo Reto.

Para realizar esta atividade deve-se seguir os passos descritos no item anterior. A Figura32 ilustra o resultado obtido para a construção do ângulo reto.

Figura 32 – Ilustração da construção do ângulo reto.


3. Construção do Ângulo Obtuso.

Para a construção do ângulo obtuso, são realizados os passos descritos no item inicial. AFigura 33 ilustra o resultado obtido para a construção do ângulo obtuso.

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Figura 33 – Ilustração da construção do ângulo obtuso.


Após o termino da Atividade 1, esperamos que o aluno seja capaz de fazer a construção eidentificação de cada um dos tipos de ângulos. O professor deve fazer o papel de orientadorna construção de cada uma das atividades.

ATIVIDADE 2

"Dado três pontos não colineares, trace segmentos de retas ligando os pontos e identifi-que qual a classificação do triângulo formado."

Objetivo: identificar os tipos de triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos.Para a construção de um triângulo o professor deve solicitar aos alunos que escolham três

pontos aleatoriamente na tela (plano) principal, para isso, usaremos o ícone "point"do Geogebra.Selecionada a ferramenta "point", o aluno irá clicar na área de trabalho e marcar 3 pontos nãocolineares de forma aleatória, conforme ilustra a Figura 34 e Figura 35, respectivamente.

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Figura 34 – Visualização do ícone "point"do Geogebra.


Figura 35 – Ilustração de três pontos não colineares.


Após marcas os 3 pontos, através dos procedimentos desenvolvidos na Atividade 1, oaluno irá traçar os segmentos de retas ligando esses pontos para, com isso, formar os vértices dotriângulo (veja Figura 36).

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Figura 36 – Triângulo formado a partir dos pontos


Note que o triângulo formado possui todos os lados com medidas diferentes e, ainda,um ângulo maior que 90◦. Portanto, as respostas obtidas devem ser: triângulo escaleno, pois,todos os lados possuem medidas diferentes e triângulo obtusângulo, pois, possui um ângulomaior que 90◦.

Ao final da realização da atividade esperamos que o aluno possa identificar o tipo deum triângulo através de seus lados e ângulos. Sugerimos que o professor faça a construção dosdemais tipos de triângulos juntamente com os alunos para que possa diferenciar cada um dostriângulos formados.

ATIVIDADE 3

"Construa, a partir do segmento AB dado, um triângulo que satisfaça o teorema dePitágoras."

Objetivo: Construção do teorema de Pitágoras e suas propriedades.De acordo com a equação 3.2 o segmento dado, veja Figura 37, representa a hipotenusa

do triângulo, então, o aluno deve construir os segmentos relacionados aos catetos. A Figura 38ilustra um triângulo retângulo formado.

Nessa atividade, o professor deve orientar na construção do triângulo retângulo e, aofinal, fazer a demostração do Teorema de Pitágoras a partir das construção dos alunos. E, ainda,sugerimos ao professor, utilizar essa construção para trabalhar as relações trigonométricas doseno, cosseno e tangente de um ângulo. Ao final da realização dessa atividade, esperamos que osalunos possam identificar um triangulo retângulo e suas relações trigonométricas.

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Figura 37 – Ilustração do segmento AB.


Figura 38 – Triângulo formado a partir do segmento dado AB.


ATIVIDADE 4

"É possível formar um triângulo dados 3 segmentos com medidas iguais a AB = 15,AC = 9 e BD = 5?"

Objetivo: mostrar O teorema da existência.Nessa atividade o professor irá orientar os alunos na construção de cada um dos seg-

mentos dados utilizando as ferramentas do Geogebra descritas anteriormente. Após a construçãoesperamos que os alunos obtenham a Figura 39.

A discussão que se propõe é que através da Figura 39 não é possível formar um triângulocom os segmentos dados. Sugerimos que o professor deixe os alunos livres para a construção deoutros triângulos, com medidas diferentes, com o objetivo de validar o Teorema da Existência detriângulos.

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Figura 39 – Figura formada com a medida dos segmentos dados.


As atividades propostas são exemplos que podem contribuir para a construção doconhecimento matemático da trigonometria em triângulos. Com a utilização do aplicativoGeogebra os alunos podem manipular objetos geométricos e, com isso, observar as característicasde ângulos e triângulos e estabelecer relações. Assim, o aluno passa a ter um papel fundamentalno processo de ensino-aprendizagem uma vez que a construção do componente conceitual éinfluenciado pelo objeto geométrico favorecendo a construção do conhecimento.

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5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

No presente trabalho foi discutido o ensino de trigonometria, bem como, o uso dastecnologias no ensino de matemática. Nesse processo destacamos que as tecnologias podemcontribuir de forma significativa para o aprendizado dos alunos desde que se faça uso deferramentas adequadas para o ensino.

O software Geogebra pode contribuir para a formação do pensamento matemático, umavez que o aluno tem a possibilidade de interagir com o software de forma dinâmica, o que tornao aluno pela construção do seu conhecimento.

As atividades didáticas apresentadas mostram que o uso adequado da tecnologia podecontribuir significativamente para a aprendizagem dos estudantes, tornando-os protagonistasnesse processo

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