uma introdução à otimização sob incertezaintroduçaõ o problema do fazendeiro o problema...

Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias

Uma Introducao a Otimizacao sob Incerteza

Bernardo Kulnig Pagnoncelli1 e Humberto Jose Bortolossi2

1 Departamento de Matematica

Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro

2 Departamento de Matematica Aplicada

Universidade Federal Fluminense

III Bienal da SBM

Universidade Federal de Goiania

6 a 11 de novembro de 2006

Sumario

1 Introducao

2 O problema do fazendeiroIntroduzindo cenariosEVPI e VSS

3 O problema do jornaleiroEnunciado e formulacaoSolucaoExemploOutras interpretacoes para o problema

4 Referencias

Sumario

1 Introducao

4 Referencias

O que e otimizacao?

Segundo J.L. Nazareth, “Optimization is the art, science, andmathematics of finding the “best” member of a finite orinfinite set of possible choices, based on some objectivemeasure of the merit of each choice in the set”.

A area de otimizacao tem uma longa historia de sucesso,tanto no plano teorico quanto nas aplicacoes.

O que e otimizacao?

Selecao de portfolio

O modelo de Markowitz (1952):

minimizar σ2p = x

sujeito a xtµ = Rp,xT1 = 1.

As incertezas µ e V sao definidas a priori, usando por exemploseries historicas dos ativos. E possıvel incorpora-las ao modelode alguma forma?

minimizar σ2p = x

A resposta e dada por otimizacao estocastica. E uma areavoltada para a modelagem e resolucao de problemas queenvolvem incertezas.

Diferentemente de otimizacao determinıstica, as incertezasestao explicitamente descritas nos modelos atraves devariaveis aleatorias.

Ao inves de definicoes formais, vamos comecar com umaaplicacao de otimizacao estocastica.

Sumario

1 Introducao

4 Referencias

O problema do fazendeiro

Joao e um fazendeiro especializado em tres culturas: trigo,milho e cana-de-acucar.

Ele precisa decidir durante o inverno o que plantar em seus500 ha de terras.

Cada um dos cultivos possui um custo associado, em R$/ha.

Duas divisoes possıveis de terra

milho cana-de-açúcar

trigo milho

cana-de-açúcar

Restricoes

O gado precisa de pelo menos 240 T de trigo e 200 T demilho.

Joao pode comprar milho e trigo no mercado local, a precoselevados. Seu excedente tambem pode vendido paraatacadistas.

A cana-de-acucar pode ser vendida por 36 reais por tonelada(R$/T). O governo impoe uma cota em 6000 T. A partirdesse valor a cana-de-acucar e vendida por 10R$/T.

Baseado em experiencia pessoal, Joao sabe que osrendimentos medios de trigo, milho e cana-de-acucar sao 2.5,3.0 e 20 T/ha respectivamente.

Restricoes

Dados para o problema do fazendeiro

Trigo Milho Cana-de-acucar

Rendimento (T/ha) 2.5 3.0 20Custo de producao (R$/ha) 150 230 260

Preco de venda (R$/T) 170 150 36(≤ 6000 T)10(> 6000 T)

Preco de compra (R$/T) 238 210 –Mınimo para o gado (T) 200 240 –

Total de terra disponıvel: 500 ha

Enunciado

O Problema do fazendeiro

Encontrar uma divisao de terras que maximize o lucro dofazendeiro sujeito as restricoes relativas ao gado, a cotagovernamental e a dimensao da propriedade.

Formulacao determinıstica

minimizar 150 x1 + 230 x2 + 260 x3+238 y1 − 170w1 + 210 y2 − 150w2 − 36w3 − 10w4

sujeito a x1 + x2 + x3 ≤ 500,2.5 x1 + y1 − w1 ≥ 200,

3 x2 + y2 − w2 ≥ 240,w3 + w4 ≤ 20 x3,

w3 ≤ 6000,x1, x2, x3, y1, y2,w1,w2,w3,w4 ≥ 0.

Esse e um problema de otimizacao linear! Podemos escreve-loem AMPL, uma linguagem apropriada para otimizacao e facilde aprender (http://www.ampl.com/).

Existem resolvedores eficientes disponıveis gratuitamente(http://www.ampl.com/DOWNLOADS/cplex80.html).

A solucao completa do problema foi obtida atraves doresolvedor CPLEX.

Solucao do problema

Area (ha) 120 80 300

Total produzido 300 240 6000

Total vendido 100 – 6000

Total comprado – – –

Lucro total: R$118 600

Introduzindo cenarios

Pronto, o problema esta resolvido!

Mas...

Joao nao tem tanta certeza sobre os valores dos rendimentosmedios, afinal mudancas climaticas podem alterar bastantesuas estimativas e, consequentemente, seus lucros.

Mas...

Solucao otima com rendimentos 20% acima da media.

Suponha que num ano particularmente favoravel, osrendimentos das culturas foram 20% acima da media. Qual ea solucao do problema neste caso?

Area (ha) 183.33 66.67 250

Total vendido 350 - 6000

Total comprado - - -

Suponha que num ano particularmente favoravel, osrendimentos das culturas foram 20% acima da media. Qual ea solucao do problema neste caso?

Area (ha) 183.33 66.67 250

Total vendido 350 - 6000

Total comprado - - -

Em um ano particularmente desfavoravel, os rendimentos dasculturas foram 20% abaixo da media. Qual e a a solucao doproblema neste caso?

Area (ha) 100 25 375

Total vendido - - 6000

Total comprado - 180 -

Em um ano particularmente desfavoravel, os rendimentos dasculturas foram 20% abaixo da media. Qual e a a solucao doproblema neste caso?

Area (ha) 100 25 375

Total vendido - - 6000

Total comprado - 180 -

Sensibilidade da solucao

Mudancas de 20% nos rendimentos das culturas em relacaoao rendimento medio fazem o seu lucro variar de R$59 950 aR$167 667!

Pensando na cana-de-acucar, Joao tem o seguinte dilema: sea area reservada para a cana-de-acucar for muito grande e osrendimentos forem acima da media, entao ele tera que venderparte da producao a um preco desfavoravel.

Por outro lado, se ele reservar uma area muito pequena e osrendimentos foram abaixo da media, entao ele tera perdido aoportunidade de vender cana-de-acucar a um preco favoravel.

Como encontrar uma solucao que seja satisfatoria para todosos cenarios?

Forma extensa de um problema estocastico

minimizar150 x1 + 230 x2 + 260 x3

3(170w11 − 238 y11 + 150w21 − 210 y21 + 36w31 + 10w41)

3(170w12 − 238 y12 + 150w22 − 210 y22 + 36w32 + 10w42)

3(170w13 − 238 y13 + 150w23 − 210 y23 + 36w33 + 10w43)

Restricoes

sujeito ax1 + x2 + x3 ≤ 500

3 x1 + y11 − w11 ≥ 200, 3.6 x2 + y21 − w21 ≥ 240,w31 + w41 ≤ 24 x3, w31 ≤ 6000,

2.5 x1 + y12 − w12 ≥ 200, 3 x2 + y22 − w22 ≥ 240,w32 + w42 ≤ 20 x3, w32 ≤ 6000,

2 x1 + y13 − w13 ≥ 200, 2.4 x2 + y23 − w23 ≥ 240,w33 + w43 ≤ 16 x3, w33 ≤ 6000

x1, x2, x3 ≥ 0,y11, y21, y12, y22, y13, y23 ≥ 0,

w11,w21,w31,w41,w12,w22,w32,w42,w13,w23,w33,w43 ≥ 0

As variaveis xi sao ditas de primeiro estagio: seu valor deveser determinado antes que se conheca a condicao climatica.

As variaveis yis e wis sao de segundo estagio: elas saoescolhidas apos a definicao dos valores de xi e doconhecimento do clima. Elas corrigem possıveis deficits naalimentacao do gado gerados pelas escolhas xi de primeiroestagio.

O problema estocastico na forma extensa e linear e pode serresolvido da mesma forma que fizemos para a formulacaoinicial.

Solucao estocastica

1o estagio Area (ha) 170 80 250

s = 1 Rendimento (T) 510 288 6000(Acima) Venda (T) 310 48 6000

(preco favoravel)Compra(T) – – –

s = 2 Rendimento (T) 425 240 5000(Media) Venda (T) 225 – 5000

(preco favoravel)Compra(T) – – –

s = 3 Rendimento (T) 340 192 4000(Abaixo) Venda (T) 140 – 4000

(preco favoravel)Compra(T) – 48 –

Analise da solucao

A solucao otima do problema estocastico nao e igual anenhuma das solucoes encontradas anteriormente:(x1, x2, x3) = (170, 80, 250).

No caso em que os rendimentos sao 20% abaixo da media,temos a necessidade de se comprar milho no mercado devido abaixa produtividade.

Queremos agora estudar a qualidade da solucao estocastica,isto e, queremos mensurar o ganho em se considerar asvariacoes climaticas bem como o quanto se deixa de ganharpor nao se conhecer com exatidao o futuro.

Analise da solucao

EVPI e VSS

Valor esperado de informacao perfeita (EVPI)

O EVPI mede o quanto perdemos por nao saber com exatidaoo futuro.

Para calcula-lo temos que fazer a media entre os rendimentosobtidos conhecendo-se cada um dos cenarios climaticos esubtrair esse valor do ganho com a solucao estocastica.

EVPI = RP − WS =

− 108 390 +R$ 59 950 + R$ 167 667 + R$ 118 600

3= R$ 7 016.

EVPI e VSS

EVPI = RP − WS =

− 108 390 +R$ 59 950 + R$ 167 667 + R$ 118 600

3= R$ 7 016.

EVPI e VSS

EVPI = RP − WS =

− 108 390 +R$ 59 950 + R$ 167 667 + R$ 118 600

3= R$ 7 016.

Valor da solucao estocastica (VSS)

O VSS mede o ganho em se considerar o modelo estocasticoao inves de assumir rendimentos medios.

Para calcula-lo, pense que Joao e um fazendeiro teimoso: eledivide suas terras supondo que os rendimentos sao os medios.Resolve-se o problema inicial para cada cenario, fixando(x1, x2, x3) = (120, 80, 300).

Dessa forma o VSS e dado por

VSS = EEV − RP

−R$ 55 120 + R$ 118 600 + R$ 148 000

3+ R$108 390 = R$ 1 150.

VSS = EEV − RP

−R$ 55 120 + R$ 118 600 + R$ 148 000

3+ R$108 390 = R$ 1 150.

VSS = EEV − RP

−R$ 55 120 + R$ 118 600 + R$ 148 000

3+ R$108 390 = R$ 1 150.

Sumario

1 Introducao

4 Referencias

Enunciado e formulacao

O problema do jornaleiro

Joao tem um irmao na cidade chamado Jose, que e jornaleiro.

Toda manha ele vai ao editor do jornal e tem que decidirquantos jornais comprar sem saber a demanda daquele dia.

Seu poder de compra e limitado, ou seja, ele pode comprarate uma quantidade fixa u. Alem disso, os jornais naovendidos podem ser devolvidos ao editor, a um preco menordo que o valor pago no inıcio do dia.

Formulacao

min0≤x≤u

{cx + Q(x)}

Q(x) = Eξ[Q(x , ξ)]

eQ(x , ξ) = min −qy(ξ) − rw(ξ)

sujeito a y(ξ) ≤ ξ,y(ξ) + w(ξ) ≤ x ,

y(ξ),w(ξ) ≥ 0.

Assim como no problema do fazendeiro, o problema dojornaleiro e estruturado em dois estagios: no primeiro estagioJose decide quantos jornais vai comprar atraves da variavel x .

As variaveis de segundo estagio representam quanto eleconseguiu vender (y(ξ)) e quanto ele devolveu ao editor(w(ξ)).

Jose procura a quantidade otima de jornais a comprar deforma a maximizar seu lucro esperado sob incerteza dedemanda.

Solucao

O primeiro passo para encontrar uma solucao explıcita doproblema do jornaleiro e resolver o problema de segundoestagio.

A solucao e imediata: y∗(ξ) = min{ξ, x} ew∗(ξ) = max{x − ξ, 0}.

Com isso temos Q(x) = Eξ [−q min{ξ, x} − r max{x − ξ, 0}].

Solucao

Vamos aprender mais a frente que a funcao Q e convexa,contınua e, se ξ e v.a. contınua, derivavel.

Como estamos no intervalo [0, u], se cx + Q′(0) > 0, entao aderivada nao troca de sinal no intervalo e solucao otima ex∗ = 0.

Se cx + Q′(u) < 0, entao a solucao otima e x∗ = u.

Vamos procurar por solucoes de cx + Q′(x) = 0.

A expressao para Q e

Q(x) =

−∞

(−qt − r(x − t))f (t) dt +

∫ ∞

−qx f (t) dt.

Rearrumando, temos

Q(x) = −(q − r)

−∞

t f (t)dt − rxF (x) − qx(1 − F (x)).

Usando integracao por partes obtem-se

Q(x) = −qx + (q − r)

−∞

F (t)dt.

Q(x) =

−∞

(−qt − r(x − t))f (t) dt +

∫ ∞

−qx f (t) dt.

Rearrumando, temos

Q(x) = −(q − r)

−∞

t f (t)dt − rxF (x) − qx(1 − F (x)).

Q(x) = −qx + (q − r)

−∞

F (t)dt.

Q(x) =

−∞

(−qt − r(x − t))f (t) dt +

∫ ∞

−qx f (t) dt.

Rearrumando, temos

Q(x) = −(q − r)

−∞

t f (t)dt − rxF (x) − qx(1 − F (x)).

Q(x) = −qx + (q − r)

−∞

F (t)dt.

Derivando, chegamos a Q′(x) = −q + (q − r)F (x).

Finalmente, a solucao do problema e

x∗ = 0, se q−cq−r

< F (0),

x∗ = u, se q−cq−r

> F (u),

x∗ = F−1(

q−cq−r

, caso contrario.

Qualquer modelagem razoavel da demanda ξ admite que elaso assume valores positivos, e portanto nao temos x∗ = 0.

< F (0),

> F (u),

x∗ = F−1(

q−cq−r

, caso contrario.

< F (0),

> F (u),

x∗ = F−1(

q−cq−r

, caso contrario.

Exemplo

Um exemplo numerico

Suponha que o custo do jornal para o jornaleiro seja c = 10,que o preco de venda seja q = 25, que o preco de devolucaoseja r = 5 e que o poder de compra e u = 150.

A demanda ξ e uma variavel aleatoria uniforme no intervalo[50, 150].

A solucao e x∗ = F−1(3/4) = 125.

Exemplo

Um exemplo numerico

A solucao e x∗ = F−1(3/4) = 125.

Exemplo

Um exemplo numerico

A solucao e x∗ = F−1(3/4) = 125.

Inicialmente precisamos calcular a solucao otima paraξ = 100. A solucao e trivial: se a demanda e 100, entaocompre x∗ = 100 jornais!

Precisamos calcular o EEV, que e igual a

Eξ[10 · 100 + Q(100, ξ)] = 1000 − 25 · 100 + 20

∫ 100

ξ − 50

100dξ

= 1000 − 2500 + 20

2− 25

= −1250,

Conclui-se que VSS = 1312.5 − 1250 = 62.5.

Eξ[10 · 100 + Q(100, ξ)] = 1000 − 25 · 100 + 20

∫ 100

ξ − 50

100dξ

= 1000 − 2500 + 20

2− 25

= −1250,

Eξ[10 · 100 + Q(100, ξ)] = 1000 − 25 · 100 + 20

∫ 100

ξ − 50

100dξ

= 1000 − 2500 + 20

2− 25

= −1250,

Se conhecemos o valor da demanda ξ, entao a solucao ex∗ = ξ.

Assim, temos que

WS = Eξ[cξ + −qξ] = −15Eξ(ξ) = −1500.

Logo, EVPI = 1500 − 1312.5 = 187.5.

Assim, temos que

WS = Eξ[cξ + −qξ] = −15Eξ(ξ) = −1500.

Logo, EVPI = 1500 − 1312.5 = 187.5.

Assim, temos que

WS = Eξ[cξ + −qξ] = −15Eξ(ξ) = −1500.

Logo, EVPI = 1500 − 1312.5 = 187.5.

Outras interpretacoes para o problema

Custo marginal

Vamos usar o conceito de ganho marginal para derivar asolucao do problema por uma outra trilha.

A expressao ganho marginal em economia se refere aocrescimento no lucro obtido quando se aumenta em umaunidade a quantidade vendida ou adquirida de umdeterminado bem.

Suponha que jornaleiro comprou k jornais. Qual e o lucroesperado na venda do k-esimo jornal?

A resposta e

lucro esperado = P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c).

Custo marginal

A resposta e

Custo marginal

A resposta e

Custo marginal

A resposta e

Se o lucro esperado for negativo temos jornais encalhados e seo lucro for positivo temos excesso de demanda. A situacaoideal ocorre quando esse lucro e zero.

Nesse caso temos

lucro esperado = 0

= P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c)

= F (k)(r − c) + (1 − F (k))(q − c).

Devemos entao comprar

k = F−1

q − c

q − r

jornais.

Nesse caso temos

lucro esperado = 0

= P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c)

= F (k)(r − c) + (1 − F (k))(q − c).

k = F−1

q − c

q − r

jornais.

Nesse caso temos

lucro esperado = 0

= P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c)

= F (k)(r − c) + (1 − F (k))(q − c).

k = F−1

q − c

q − r

jornais.

Estoque zerado

A probabilidade de se vender todos os jornais e

P({vender tudo}) = P(ξ ≥ x) = 1 − F (x).

Para a escolha x∗ temos

P({vender tudo}) = 1 − F (x∗) = 1 −q − c

q − r=

c − r

q − r.

Conclui-se que se r = 0 entao a quantidade de jornal a sercomprada deve ser escolhida de maneira que a probabilidadede se vender todos os jornais seja igual a razao custo/precounitario.

Estoque zerado

q − r=

c − r

q − r.

Estoque zerado

q − r=

c − r

q − r.

Sumario

1 Introducao

4 Referencias

Internet

Pagina do curso de otimizacao estocastica lecionado naPUC-Rio em 2006.1:http://www.mat.puc-rio.br/∼hjbortol/disciplinas/2006.1/soe/

Pagina da comunidade de otimizacao estocastica:http://www.stoprog.org

Banco de artigos de otimizacao estocastica:http://edoc.hu-berlin.de/browsing/speps/

Internet

uma introdução à otimização sob incertezaintroduçaõ o problema do fazendeiro o problema...

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