planejamento de trajetórias de soldagem para robôs ...† redundantes henrique simas - setembro...

RobosRedundantes

HenriqueSimas -

Setembro2005

Planejamento de Trajetorias de Soldagempara Robos Redundantes Operando em

Ambientes Confinados

Henrique Simas

Laborat orio de Rob otica

Departamento de Automacao e Sistemas - DASDepartamento de Engenharia Mecanica - EMC

Universidade Federal de Santa Catarina

Exame de Qualificacao - Setembro de 2005

RobosRedundantes

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Sumario

1 Soldagem robotizada

2 Geracao de trajetorias paralelas

3 Cinematica inversa de robos redundantes

4 Cinematica inversa diferencial utilizando restricoes cinematicas

5 O Jacobiano estendido a partir das restricoes cinematicas

6 Proposta de tese

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Soldagemrobotizada

Gerac ao detrajet orias

Robosredundantes

Restric oescinem aticas

O novoJacobiano

Proposta detese

A robotizacao esta vinculadaaos seguintes fatores:

1 Confiabilidade;2 Flexibilizacao da producao;3 Qualidade do produto desejada;4 Produtividade;5 Mao de obra tecnica especializada para operacao

do robo;6 Custos de investimento e instalacao.

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Soldagemrobotizada


Robosredundantes


O novoJacobiano

Proposta detese

Elementos para especificacoesde robos de soldagem:

1 A concepcao cinematica;2 O numero de juntas;3 O volume de trabalho;4 A repetitividade;5 A exatidao de movimentos;6 A velocidade de deslocamento.

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Soldagemrobotizada


Robosredundantes


O novoJacobiano

Proposta detese

Elementos para especificacoesde robos de soldagem:

• Os robos para soldagem precisam um sistema degeracao de trajetorias

• → Um exemplo e o sistema de geracao detrajetorias de preenchimento de cavidades doprojeto ROBOTURB

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O novoJacobiano

Proposta detese

As trajetorias

Uma tarefa pode ser realizada ponto a ponto ou demaneira contınua atraves de um caminho.

A trajetoria e descrita por um conjunto de dados de:

1 Posicao;2 Velocidade;3 Aceleracao.

Dados estes definidos no espaco cartesiano.

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O novoJacobiano

Proposta detese

Geracao de trajetorias e ageometria diferencial

• A geracao de trajetorias e feita atraves damodelagem de curvas e superfıcies;

• A geometria diferencial e uma ferramentamatematica que auxilia no calculo de trajetoriassobre curvas ou superfıcies

• Os algoritmos de modelagem de curvas esuperfıcies parametrizadas possuem propriedadesque auxiliam no tratamento da geometriadiferencial e portanto na geracao de trajetorias

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O novoJacobiano

Proposta detese

Geometria diferencial de curvas

• Para descricao das propriedades locais de umacurva parametrizada podem ser utilizados:• Sistema de coordenadas de Frenet;• Formulas de Frenet-Serret.

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O novoJacobiano

Proposta detese

Sistema de Frenet

B.

.N

T

N

r(s)

N

B

T

−τ

−k

N.

kT

Bτ

Vetores:• T → Tangente• N → Normal• B → Binormal

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O novoJacobiano

Proposta detese

Formulas de Frenet-Serret

r(s) = T(s)

T(s) = k(s)N(s)

N(s) = τ(s)B(s)− k(s)T(s)

B(s) = −τ(s)N(s)

Formulas de Frenet-Serret

• k → e a curvatura

• τ → e a torcao da curva

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O novoJacobiano

Proposta detese

Geometria diferencial desuperfıcies

• Duas propriedades sao essenciais para descricao decaminhos sobre as superfıcies:

1 A primeira forma fundamental → Descreve ocomprimento da tangente de uma curva parametrizadasobre a superfıcie.

2 A segunda forma fundamental → Descreve o raio decurvatura local de uma superfıcie.

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Proposta detese

1a forma fundamental

.r(u,v)

uv

u(t)

v(t)

x

yz

r(u,v)

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Proposta detese

2a forma fundamental

k

T

uv

x

yz

curvatura

n

Centro de

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Proposta detese

Calculo de trajetorias paralelas

• Com esta metodologia e possıvel desenvolver umalgoritmo de geracao de trajetorias paralelas para orecobrimento de superfıcies pelo processo desoldagem.

• Baseado em algoritmos de geracao de caminhosparalelos para maquinas ferramenta (5 GDL) umaadaptacao foi realizada para aplicacao em robos desoldagem (6 GDL) → ROBOTURB

• Seja uma superfıcie parametrizada r(u, v) onde, sobreesta superfıcie, existe uma trajetoria r(u(t), v(t))definida pela parametrizacao de u e v por t .

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Proposta detese

Calculo de trajetorias paralelas

u(t),v(t)v

u

v u

r(u(t),v(t))r(u,v)

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Proposta detese

Descricao do procedimento

• Para obtencao de um caminho paralelo, sao calculadospontos sobre o caminho inicial;

• Obtem-se as propriedades locais do ponto sobre o caminho;

ur dudt

vr dvdt

+

v u

centro de curvatura

Distancia g

Caminho paralelo

k*

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Proposta detese


• Dependendo da curvatura e obtidaa distancia geodesica → g

O

k

Bocal

CiC i+1

dc

θ

w

w g

Superficie

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Proposta detese


• Calcula-se passo ∆u e ∆v de maneira a encontraro ponto pertencente ao caminho paralelo referenteao ponto r(u, v)

• Definidos os passos um experimento foi realizado.

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Proposta detese

Execucao do algoritmo e oefeito de laco

• Ao ser realizado os experimentos foi observado oaparecimento de um ”laco” nas trajetoriasparalelas.

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Proposta detese


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Proposta detese


• Duas propostas foram analisadas e uma foiimplementada → O teste de paralelismo;

• Os resultados obtidos foram satisfatorios.

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Proposta detese

Trajetorias paralelas sem apresenca do laco

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Proposta detese

Trajetorias paralelas →Espaco de juntas

• Concluida a analise do problema de geracao detrajetorias no espaco cartesiano, e preciso tratar oproblema da cinematica inversa para analisar astrajetorias no espaco de juntas.

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Proposta detese

Robos redundantes

• Um robo e dito redundante se o seu numero dejuntas n e maior do que o numero de coordenadasdo espaco operacional r → o grau de redundanciae medido por n − r

• A solucao da cinematica inversa pode ser:

1 Analıtica - solucao precisa e obtida de numa unicasequencia de operacoes;

2 Integracao da cinematica diferencial - requer algoritmosnumericos - pode ser sistematizada - a imprecisaonumerica depende basicamente do numero deiteracoes e do metodo de integracao.

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Proposta detese

A cinematica inversa diferenciale o Jacobiano

• Na cinematica diferencial o Jacobiano mapeia o espacodiferencial de juntas no espaco diferencial cartesiano.

v = J(q)q

• A cinematica inversa e obtida pela inversao doJacobiano:

q = J−1(q)v

• Robos redundantes nao possuem o Jacobianoquadrado, portanto a cinematica inversa possuiinfinitas solucoes

• A questao e determinar um metodo adequado parasolucao da cinematica inversa.

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Proposta detese

Metodos baseados nacinematica diferencial

• A seguir sao apresentados os metodos mais utilizadospara resolucao da cinematica inversa para robosredundantes.

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Proposta detese


• A pseudo-inversa

q = W−1JT (JW−1JT )−1vq = J†v

• Pode ser obtida por funcionais do tipo energia• A estabilidade numerica depende da trajetoria• No caso de W ser diferente da identidade, sao

necessarias ajustar n variaveis pertencentes a diagonalprincipal de W

• Possui problemas dimensionais para robos com juntasrotativas e prismaticas

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Proposta detese


• Task priority

q = J†pvp,d + (Js(In − J†pJp))†(vs,d − JsJ†p)

• Neste metodo sao definidas tarefas primarias esecundarias;

• Metodo baseado na pseudo-inversa - sensıvel asmesmas limitacoes;

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Proposta detese


• O Jacobiano estendido[p(t)

0

]=

[J(q)∂h(q)

∂q

]q

• O metodo apresenta o problema das singularidadesalgorıtmicas;

• Inconsistencia dimensional para o caso de diferentestipos de juntas

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Proposta detese

Representacao helicoidal de ummovimento

• Um deslocamento helicoidal e a combinacao de umdeslocamento rotativo com um de translacao

helicoidal

translacional

Deslocamento rotacional

Deslocamento

s

soi

iosi

t

Deslocamento

$

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Proposta detese


• Um helicoide e decomposto em:

• $ = (ω; Vp)T =(L,M,N ;P∗,Q∗,R∗)T ,

• De maneira normalizada. $ = $Ψ, ou seja$ = (L, M, N, P∗, Q∗, R∗)T e magnitude Ψ:

• Para uma cadeia composta por n juntas, o helicoideresultante pode ser obtido pela soma linear doshelicoides de cada junta:

B$E =n∑

i=1

B $iΨi

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Proposta detese


• Matricialmente tem-se

B$E =[

B $1B $2 · · · B $n

] Ψ1

Ψ2...

Ψn

(1)

• A representacao helicoidal de um movimento permite odesenvolvimento de um metodo de obtencao dacinematica inversa baseado em restricoes cinematicas.

• O metodo das restricoes cinematicas utiliza-se decadeias virtuais para seu desenvolvimento

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Proposta detese

As cadeias virtuais

A cadeia virtual, e uma ferramenta para obter informacoesou restringir movimentos de uma cadeia cinematica.Satisfaz as seguintes propriedades:

• A cadeia virtual e aberta

• Possui juntas as quais os helicoides normalizadossejam linearmente independentes

• Nao interfere na mobilidade da cadeia cinematica real

A seguir sao apresentadas as cadeias virtuais maisutilizadas obter e impor movimetos sobre um plano:

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Proposta detese

Cadeia PPR

x

$

py$

rz$y

px

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Proposta detese

Cadeia RPR

2

rz

$pr

y

x

$ rz

1$

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Proposta detese

Lei da Circulacao de Davies

• Davies adaptou a lei de Kirchhoff para resolver acinematica diferencial de mecanismos de cadeiafechada.

• A lei de circulacao de Kirchhoff-Davies estabelece que”A soma algebrica das velocidades relativas de parescinematicos ao longo de alguma cadeia cinematicafechada e zero.”

• Usando esta lei, a relacao entre as velocidades de umcadeia cinematica fechada pode ser obtida pelaresolucao da cinematica diferencial.

• Para o fechamento de cadeias cinematicas abertas saoutilizadas as cadeias virtuais.

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Proposta detese


• Em geral, a equacao de restricao de um mecanismorepresentado por um sistema helicoidal de movimentosde ordem d e dada por:

N(d×Fb)Ψ(Fb×1) = 0(d×1)

• Rearranjando Ψ em duas partes• Magnitudes conhecidas pertencentes a juntas definidas

como primarias → Ψp• Magnitudes desconhecidas pertencentes a juntas

definidas como secundarias → Ψs

• O objetivo e obter as magnitudes desconhecidas (Ψs).

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Proposta detese


• Rearranjando a matriz N de helicoides normalizadosobtem-se Ψs por:

Ψs = −Ns−1NpΨp

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Proposta detese

A solucao da cinematicadiferencial

Um exemplo foi desenvolvido considerando a seguintesituacao:

$ rz D$

$C

B$$A

rz$2

Obstáculo

y

x

6Rob ô

Base

5

4

3

21

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Proposta detese


Para a solucao da trajetoria uma cadeia PPR e acoplada aorobo

y

$

py$

$px

A$$B

C$

$D

Cadeia virtual PPR C1

12

3

4

5

Base

ôRob6

Circuito 1

x

rz

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Proposta detese


A mudanca da cadeia virtual PPR nao altera o resultado etorna menos complexo o dsenvolvimento

y

rz’$

px’$

py’$

$ rz

$py

$px

A$$B

C$

$D



12

3

4

5

Base

ôRob6

7

Circuito 1

x

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Proposta detese


Assim a trajetoria e definida por uma cadeia virtual PPRcomo segue:

D$

$C

B$$A

px$

py$

rz$

y

x

Circuito 1

7

6Rob ô

Base

5

4

3

21


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Proposta detese


Para evitar a colisao da junta C uma cadeia RPR eacoplada ao robo

$ rz

$ rz

$prD$

$C

B$$A

px$

py$

rz$2

1

o

o

x

y

1

9

8

Cadeia virtual RPR

y

x

Circuito 1

Circuito 2

7

6Rob ô

Base

5

4

3

21


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Proposta detese


Para este exemplo e obtida a equacao de restricao pelometodo de Kirchhoff-Davies

[$A $B $C $D 0 0 0 −$rz −$px −$py$A $B 0 0 −$rz1 −$pr −$rz2 0 0 0

]

ΨAΨBΨCΨDΨrz1ΨprΨrz2ΨrzΨpxΨpy

= NΨ = 0 (2)

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Proposta detese


Selecionando as magnitudes da matriz primaria esecundaria tem-se:

NΨ =

[$A $B $C $D 0 0$A $B 0 0 −$rz1 −$rz2

]

ΨA

ΨB

ΨC

ΨD

Ψrz1

Ψrz2

+

[0 −$rz −$px −$py

−$pr 0 0 0

] Ψpr

Ψrz

Ψpx

Ψpy

= NsΨs + NpΨp = 0

• E possıvel notar que as velocidades das juntas rz1 e rz2 seraocalculadas mas nao serao utilizadas no calculo das posicoes dejunta → e interessante elimina-las...

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Proposta detese

A metodologia de eliminacaodas juntas passivas

• A discussao inicial mostrou que o Jacobiano estendidopossibilita a solucao da cinematica inversa mediante oacrescimo de restricoes adicionais ao Jacobiano -Ocorrem problemas de singularidadesalgorıtmicas ;

• O metodo de introducao das restricoes impoe o calculode velocidades das juntas passivas da cadeia virtual,que nao sao utilizadas no calculo da posicao do robo;

• Uma nova metodologia e proposta e esta baseada noconceito da matriz aniquiladora.

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Proposta detese

Eliminacao das juntas passivas

Considerando o exemplo apresentado tem-se que:

• O robo tem quatro juntas, A, B, C e D

• As velocidades Ψrz1 e Ψrz2 , que fazem parte das juntassecundarias, nao sao necessarias para calcular aposicao do robo

• E util elimina-las

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Proposta detese


Inicialmente a matriz secundaria e particionada:

NsΨs =

[$A $B $C $D

$A $B 0 0

] ΨA

ΨB

ΨCΨD

+

[0 0

−$rz1 −$rz2

] [Ψrz1

Ψrz2

]= NsaΨsa + NspΨsp

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Proposta detese


As juntas passivas sao eliminadas utilizando a matrizaniquiladora K

•

K =

[Id×d 0

0 ref WNsp

]

• ref WNsp e um conjunto de helicoides recıprocos damatriz secundaria passiva

• Assim:

KNsp = 0

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Proposta detese


• Para manter a igualdade e necessario que:

KNpΨp +KNsaΨsa +KNspΨsp︸︷︷︸=0

= 0 (3)

• Tem-se entao que :

KNpΨp +KNsaΨsa = 0 (4)

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Proposta detese


• As matrizes KNp e KNs resultantes possuem umnumero de linhas linearmente dependentes igual aonumero de juntas secundarias passivas. Estas linhaspodem ser eliminadas atraves da pre-multiplicacao poruma matriz G que tem sua estrutura dada pelaequacao:

G =[

Ir×r 0r×sp]

• As velocidades das juntas primarias sao obtidas por:

Ψp = −(GKNp)−1GKNsaΨsa

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Proposta detese


• Empregando a definicao usual do Jacobiano resulta:

J = −(GKNp)−1GKNsa

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Proposta detese

Aplicando a metodologia aoexemplo

Aplicando a metodologia desenvolvida ao exemplo tem-se aseguinte matriz Jacobiana:

J =

0 1 1 1

Pa −L1s2 − L2s23 −L2s23 0Qa L1c2 + L2c23 L2c23 0

Pacrz1 + Qasrz1 L1srz1−2 0 0

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Proposta detese

Estudo das singularidades

Uma questao fundamental e verificar e discutir assingularidades introduzidas por esse procedimento.

• Foram analisadas as condicoes singulares do roboredundante → [Nokleby]

• Foram analisadas as condicoes singulares com arestricao cinematica de colisao → Determinante doJacobiano

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Proposta detese

Singularidade do roboredundante

2 C

B$

$A

$px

$py

$ rz$D

−θ2

aθπ $

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Proposta detese

Singularidade do roboredundante com restricao

y

$ rz1

$pr

$ rz2

$C

B$

$A

$px

$ rz

$D

$py

(θ2+θ )−3

pθ−

x

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Proposta detese

Singularidade do roboredundante com restricao

2θa

$C

rz$2

$D

B$

rz$1

pr$

$A

π2

$py

$ rz

y

x

px$

−θ

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Proposta detese

Discussao dos resultados

• Os resultados mostram que ocorre introducao de duassingularidades adicionais. Assim, o metodo doJacobiano estendido a partir de restricoes cinematicastambem introduz singularidades algorıtmicas.

• As singularidades algorıtmicas ocorrem quandoexistem incompatibilidades entre os movimentosimpostos ao efetuador e as outras restricoes.

• No exemplo, esta incompatibilidade ocorre emsituacoes nas quais a trajetoria imposta ao efetuadornao pode ser realizada sem que haja colisao.

• Cabe ressaltar que as singularidades tem significadofısico claro que pode ser utilizado no desenvolvimentode metodos para evita-las.

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Proposta detese

Objetivo da tese

Sao objetivos do trabalho de tese:

• Concluir a sistematizacao e implementacao dametodologia de obtencao do Jacobiano estendidoobtido pelas restricoes cinematicas

• Validar a solucao do evitamento de colisao no prototipodo projeto ROBOTURB

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Proposta detese

Tarefas a serem executadas

1 Conclusao e validacao da metodologia de geracao detrajetorias paralelas para soldagem

2 Complementacao da revisao bibliografica sobre asestrategias para resolucao da cinematica inversa derobos redundantes;

3 Sistematizacao do metodo para a obtencao da matrizaniquiladora;

4 Sistematizacao do metodo de obtencao do Jacobianoestendido obtido pelas restricoes cinematicas;

5 Aplicacao dos resultados no prototipo do ROBOTURB;

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Proposta detese

Simulacao MatLab

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Proposta detese

Laboratorio de RoboticaDAS-EMC-UFSC

HENRIQUE [email protected]

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