abrindo os brackets: mecânica quântica formal de maneira...

EvolucaoFormalismo

Problemas Remanescentes e Novos ModelosReferencias

Abrindo os Brackets:mecanica quantica formal de maneira informal.

Ricardo Correa da Silva

Departamento de Fısica Matematica - USP

Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.

EvolucaoFormalismo

Resumo

O objetivo desse seminario e apresentar a evolucao matematica

que levou a mecanica quantica como aprendemos hoje. A

proposta e dar enfase a formulacao matematica, assim,

tentaremos esclarecer quais sao as razoes fısicas, por vezes

esquecidas, os problemas e as sutilezas das estruturas

matematicas usadas, alem de discutir varios problemas tanto

fısicos como matematicos encontrados nesse processo e que

perduram ate hoje.

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A transicao entre a fısica classica e a fısica quantica nao se da

diretamente, ha varios passos intermediarios. Isso de deve a

contraintuitividade das hipoteses fısicas a serem tomadas e a

dificuldade de encontrar um formalismo matematico adequado para

codificar tais informacoes.

Tais problemas ainda persistem e voltaremos a essa discussao mais

para frente.

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Alguns dos mais importantes acontecimentos para o

desenvolvimento da dinamica de sistemas quanticos foram os

seguintes:

Hipotese de Quantizacao de Planck (1900) e Einstein (1905)

Princıpio de Dualidade de Broglie (1924)

Mecanica das Matrizes de Heisenberg, Bohr e Jordan (1925)

Equacao de Schrodinger (1926-1927)

Formalismo de von Neumann (1927) e Dirac (1930)

Rigged Hilbert Space de Gelfand (1964)

Teorema de Bell (1964)Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.

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A Mecanica das Matrizes foi a primeira tentativa de descrever a

dinamica de sistemas com quantidades quanticas. Nesse formalismo

duas coisas de tornam evidentes:

A dinamica se da em um espaco nao-comutativo

A dinamica se da em um espaco vetorial de dimensao

arbitraria, possivelmente infinita.

Antes de discutir esses pontos, lembremos que entendemos

usualmente por matrizes nao inclui matrizes infinitas. Mais que

uma mera questao de definicao, “matrizes infinitas” dao origem a

um “formalismo” matematicamente problematico.Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.

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A Mecanica das Matrizes foi a primeira tentativa de descrever a

dinamica de sistemas com quantidades quanticas. Nesse formalismo

duas coisas de tornam evidentes:

A dinamica se da em um espaco nao-comutativo

A dinamica se da em um espaco vetorial de dimensao

arbitraria, possivelmente infinita.

Antes de discutir esses pontos, lembremos que entendemos

usualmente por matrizes nao inclui matrizes infinitas. Mais que

uma mera questao de definicao, “matrizes infinitas” dao origem a

um “formalismo” matematicamente problematico.Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.

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O proximo passo foi dado por Schrodinger, criando uma “equacao

de onda”(a equacao de onda e da forma ∂2Ψ(x , t)

∂x2 =1

v2∂2Ψ(x , t)

i~∂Ψ(x , t)

∂t =

[− ~2

2m∂2

∂x2 + V (x)

]Ψ(x , t), (1)

Tal equacao foi criada baseando-se no princıpio de dualidade e na

teoria de Hamilton-Jacobi, inclusive utilizando a analogia entre

mecanica e otica feita por Hamilton.

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∂x2 =1

v2∂2Ψ(x , t)

i~∂Ψ(x , t)

∂t =

[− ~2

2m∂2

∂x2 + V (x)

]Ψ(x , t), (1)

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∂x2 =1

v2∂2Ψ(x , t)

i~∂Ψ(x , t)

∂t =

[− ~2

2m∂2

∂x2 + V (x)

]Ψ(x , t), (1)

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Essa abordagem tambem permitiu identificar os operadores

correspondentes as variaveis dinamicas, e.g.

p = −i~ ∂∂x .

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Nesse ponto ja e possivel perceber como estamos codificando os

espacos de dimensao na nossa descricao matematica. Enquanto na

mecanica classica, o espaco de fase e um subconjunto de (q, q), ou

seja tem dimensao de 2 dim (q). Isso e justamente o que se passa

na Mecanica Lagrangiana ou Hamiltonina: dado um par de

variaveis conjugadas indepentendes (q, q) encontramos qual e a

curva nesse espaco que representa a evolucao do sistema. Bastante

diferrente disso, na mecanica quantica, a evolucao do sistema de da

em um espaco de funcoes que tem dimencao infinita em geral,

independente da dimensao de q.

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Nesse ponto ja e possivel perceber como estamos codificando os

espacos de dimensao na nossa descricao matematica. Enquanto na

mecanica classica, o espaco de fase e um subconjunto de (q, q), ou

seja tem dimensao de 2 dim (q). Isso e justamente o que se passa

na Mecanica Lagrangiana ou Hamiltonina: dado um par de

variaveis conjugadas indepentendes (q, q) encontramos qual e a

curva nesse espaco que representa a evolucao do sistema. Bastante

diferrente disso, na mecanica quantica, a evolucao do sistema de da

em um espaco de funcoes que tem dimencao infinita em geral,

independente da dimensao de q.

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Para terminar essa secao, chamo a atencao para uma confusao

comum e polemica. Nao e raro escutarmos frases como “mecanica

quantica e aleatoria” ou, um pouco menos errada, “mecanica

quantica e nao-determinıstica”.

Veja que ate agora a dinamica foi descrita de forma totalmente

determinıstica, entao, ate esse momento meu posicionamento e que

mecanica quantica e determinıstica.

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No entanto, dada uma equacao de onda, nada mais natural do que

perguntarmos o que ela representa, ou pelo menos como tiramos

informacoes relevantes dela. A interpretacao de Copenhagen diz

que o modulo quadrado da funcao de onda e uma funcao densidade

de probabilidade, ou seja, todas as quantidades relacionadas a ela

ganham um carater probabilıstico e portanto as medidas que

fazemos em um sistema quantico nao sao determinısticas.

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Nesse ponto ja podemos dar mais atencao a matematica, afinal ja

discutimos bastante as inspiracoes fısicas. Perguntas como:

Em qual espaco se da a dinamica?

Quais sao as propriedades relevantes de tal espaco?

Quais sao as quantidades fısicas (observaveis)?

Nao podemos perder de vista que a fısica e a matematica devem

ser uma via de duas maos, e extremamente interessante como

certas escolhas na matematica nos trazem drasticas consequencias

para a fısica.

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para a fısica.

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para a fısica.

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para a fısica.

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Voltamos agora a ponta solta deixada na primeira secao. von

Neumann logo se deu conta que o “ambiente” correto para

descrever os sistemas quanticos eram os espacos de Hilbert.

“Hilbert space is a big place!” Carlton Caves

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Voltamos agora a ponta solta deixada na primeira secao. von

Neumann logo se deu conta que o “ambiente” correto para

descrever os sistemas quanticos eram os espacos de Hilbert.

“Hilbert space is a big place!” Carlton Caves

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Mas por que? Nao faltam motivos!

O primeiro e que esses espacos sao naturalmente munidos de uma

norma, de forma que podemos dar sentido a Interpretacao de

Copenhagen, afinal, funcoes densidade de probabilidade devem ser

normalizadas.

Claro que se olharmos para a Equacao de Schrodinger e para a

Interpretacao de Copenhagen fica claro que o espaco de Hilbert

nesse caso seria o espaco L2(C).

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normalizadas.

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normalizadas.

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normalizadas.

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Mais ainda, usamos a hipotese de separacao de variaveis para

chegar a Equacao de Schrodinger, entao precisaremos falar em

convergencia.

Mas como obter o valor esperado de uma quantidade fısica?

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Mais ainda, usamos a hipotese de separacao de variaveis para

chegar a Equacao de Schrodinger, entao precisaremos falar em

convergencia.

Mas como obter o valor esperado de uma quantidade fısica?

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Teorema 2.1 (Teorema da Projecao de Hilbert)Seja H um espaco de Hilbert, x ∈ H e C ⊂ H um conjunto

convexo e fechado, entao existe um unico y ∈ C tal que

||x − y || = infz∈C||x − z ||

Alem disso, se M ⊂ C e um subespaco de H temos que

〈x − y , z〉 = 0 ∀z ∈ M.

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Isso nos permite respontar a perguntas como “qual a probabilidade

um sistema ser medido no estado com autovalor λ ?” Se pudermos

definir o que sao quantidades fısicas (observaveis), isso tambem nos

dara um modo de saber a probabilidade de obtermos um valor

especıfico em uma medida de tal quantidade fısica.

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Uma hipotese adicional, que ja na mecanica das matrizes, que que

tambem e necessaria devido a separacao de variaveis que usamos e

que o espaco de Hilbert em questao possui uma base enumeravel.

Isso nos vela a outro resultado interessante.

Teorema 2.2Todo espaco de Hilbert separavel e isomorfo a `2

n se dim(H) = n e

isomorfo a `2 (ou L2) se H for de dimensao infinita.

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Ja dito que Schrodinger havia feito uma correspondencia entre

operadores e variaveis dinamicas, assim, nada mais natural que

definir os observaveis como os operadores lineares agindo em H,

mais que isso, tais operadores deverao ser auto-adjuntos. O motivo

para isso ficara claro em breve e esta relacionado a positividade da

funcao densidade de probabilidade.

Note agora que p = −i~ ∂∂x , por exemplo, nao e um operador

limitado (contınuo).

Surge aqui algo completamente novo, ja que todo operador linear

em um espaco vetorial normado de dimensao finita e contınuo.

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Problemas de base e continuidade sao um assunto bastante

interessante, mas nao ha tempo para discutı-lo aqui.

Tambem nao poderei dar muita enfase ao trabalho de Dirac, mas

mostra uma abordagem bastante interessante relacionada a dois

teoremas importantes: Riez-Markov e Krein-Milman.

Mas antes facamos uso da notacao de Bra-ket’s tambem criada por

esse e que tem forte relacao com o Teorema de Riez:

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Problemas de base e continuidade sao um assunto bastante

interessante, mas nao ha tempo para discutı-lo aqui.

Tambem nao poderei dar muita enfase ao trabalho de Dirac, mas

mostra uma abordagem bastante interessante relacionada a dois

teoremas importantes: Riez-Markov e Krein-Milman.

Mas antes facamos uso da notacao de Bra-ket’s tambem criada por

esse e que tem forte relacao com o Teorema de Riez:

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Teorema 2.3Seja H um espaco de Hilbert e f : H → C um funcional linear

contınuo, entao existe um unico z ∈ H tal que

f (x) = 〈x , z〉 (2)

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Como claramente os funcionais da forma da equacao 2 sao lineares

e contınuos, esse teorema estabelece que H ' H∗.

Munito de tal resultado, lembramos que valores esperados sao

justamente da forma da equacao 2 e temos que

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Teorema 2.4 (Riesz-Markov)Seja X um espaco de Hausdorff localmente compacto e

f : CC (X )→ R um funcional linear positivo, entao existe uma unica

medida de Borel regular µ tal que

f (x) =

Esse teorema nos remete novamente a abordagem de Schrodinger

onde a medida escolhida e a medida esta associada a medida de

probabilidade obtida como resultado da equacao e assim

interpretada e esta conectada tambem a construcao de Dirac.

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Teorema 2.4 (Riesz-Markov)Seja X um espaco de Hausdorff localmente compacto e

f : CC (X )→ R um funcional linear positivo, entao existe uma unica

medida de Borel regular µ tal que

f (x) =

Esse teorema nos remete novamente a abordagem de Schrodinger

onde a medida escolhida e a medida esta associada a medida de

probabilidade obtida como resultado da equacao e assim

interpretada e esta conectada tambem a construcao de Dirac.

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“The method of Dirac, mentioned above, [...] in no way satisfies

the requirements of mathematical rigor - not even if these are

reduced in a natural and proper fashion to the extent common

elsewhere in theoretical physics.

[...],this requires the introduction of ‘improper’ functions with

self-contradictory properties. The insertion of such mathematical

’fiction’ is frequently necessary in Dirac’s approach,[...].”

J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum

Mechanics, Princeton University Press, Princeton (1955)

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Um primeiro problema que surge com a

construcao que fizemos e decorrente do uso

da mecanica classica para construir a

mecanica quantica. Em maior detalhe,

falamos da construcao de Schrodinger que

usa metodos classicos.

Isso da origem a problemas como o famoso

Problema da Medida.

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Outro problema e que na formulacao usual de Schrodinger a funcao

de onda de uma partıcula livre nao e normalizavel.

Esse problema foi resolvido com a construcao, devida a Gelfand,

como Rigged Hilbert Space que faz uso de teoria de distribuicoes

para incluir funcoes singulares como a mencionada acima.

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Outro problema e que na formulacao usual de Schrodinger a funcao

de onda de uma partıcula livre nao e normalizavel.

Esse problema foi resolvido com a construcao, devida a Gelfand,

como Rigged Hilbert Space que faz uso de teoria de distribuicoes

para incluir funcoes singulares como a mencionada acima.

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Mas ja que falaremos de J. S. Bell, vale a pena darmos uma olhada

na cor das meias.

“The philosopher in the street, who has not suffered a course in

quantum mechanics, is quite unimpressed by

Einstein-Podolsky-Rosen correlations. He can point to many

examples of similar correlations in everyday life. The case of

Bertlmann’s socks is often cited. Dr. Bertlmann likes to wear two

socks of different colours. Which colour he will have on a given

foot on a given day is quite unpredictable.

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Mas ja que falaremos de J. S. Bell, vale a pena darmos uma olhada

na cor das meias.

“The philosopher in the street, who has not suffered a course in

quantum mechanics, is quite unimpressed by

Einstein-Podolsky-Rosen correlations. He can point to many

examples of similar correlations in everyday life. The case of

Bertlmann’s socks is often cited. Dr. Bertlmann likes to wear two

socks of different colours. Which colour he will have on a given

foot on a given day is quite unpredictable.

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But when you see that the first sock is pink

you can be already sure that the second

sock will not be pink. Observation of the

first, and experience of Bertlmann, gives

immediate information about the second.

There is no accounting for tastes, but apart

from that there is no mystery here. And is

not the EPR business just the same?”

E no mesmo artigo de Bell, vemos uma interessante transcricao

sobre o problema da medida.Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.

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But when you see that the first sock is pink

you can be already sure that the second

sock will not be pink. Observation of the

first, and experience of Bertlmann, gives

immediate information about the second.

There is no accounting for tastes, but apart

from that there is no mystery here. And is

not the EPR business just the same?”

E no mesmo artigo de Bell, vemos uma interessante transcricao

sobre o problema da medida.Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.

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Jordan declared, with emphasis, that observations not only disturb

what has to be measured, they produce it! In a measurement of

position, for example, as performed with the gamma-ray

microscope, “the electron is forced to a decision. We compel it to

assume a definite position; previously it was, in general, neither here

nor there; it had not yet made its decision for a definite position....

If by another experiment the velocity of the electron is being

measured, this means: the electron is compelled to decide itself for

some exactly defined value of the velocity; and we observe which

value it has chosen. In such a decision the decision made in the

preceding experiment concerning position is completely obliterated.”Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.

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According to Jordan, every observation is

not only a disturbance, it is an incisive

encroachment into the field of observation:

“we ourselves produce the results of

measurement” - J. S. Bell, Bertlmann’s

socks and the nature of reality.

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Finalmente o Teorema de Bell nos traz alguma luz sobre as

discussoes quanto a interpretacao da Macanica Quantica

“Bell’s theorem is the most profound discovery of science.” Henry

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Finalmente o Teorema de Bell nos traz alguma luz sobre as

discussoes quanto a interpretacao da Macanica Quantica

“Bell’s theorem is the most profound discovery of science.” Henry

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As relacoes mostradas nesses teoremas sao usualmente usadas

como justificativa para molelos mais modernos para a mecanica

quantica como Algebras C∗ e Inetegracao Nao-Comutativa.

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[1] Masoliver, J. and Ros, A. (2010). From Classical to Quantum

Mechanics through Optics. Eur. J. Phys. 31 171.

[2] R. de la Madrid (2005). The role of the rigged Hilbert space in

Quantum Mechanics. Eur. J. Phys. 26 287.

[3] Dirac, P. A. M. (1930). The principles of quantum mechanics.

Oxford, Clarendon Press.

[4] von Neumann, J. (1932). Mathematical Foundations of

Quantum Mechanics. Princeton University Press.

[5] Bell, J. S. (1981). Bertlmann’s Socks and the Nature of Reality.

Phys. Colloques. Volume 42, Number C2.Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.

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