Uma introducao a FenomenosCrıticos via Teoria de Perturbacao1

Pedro Rogerio Sergi Gomes

Instituto de Fısica da Universidade de Sao Paulo

Departamento de Fısica Matematica

1Esse trabalho foi desenvolvido sob a orientacao do Professor Renio dos Santos Mendes do Departa-mento de Fısica da Universidade Estadual de Maringa-PR.

1

Sumario

Introducao 4

1 Modelo de Landau-Ginzburg 61.1 Construcao do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Teoria de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Modelo Gaussiano 122.1 A Funcao de Particao Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Integral Funcional Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 A Transformacao ZG[J ]→ ZG[J ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Funcoes de Correlacao no Modelo Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Teoria de Perturbacao 283.1 A Funcao de Particao de Landau-Ginzburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.1 Tratamento Perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Regras de Feynamn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1 Fator de Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Energia Livre de Helmholtz do Modelo de Landau-Ginzburg . . . . . . . . 38

3.3.1 Regras de Feynman no Espaco dos Momentos (k) . . . . . . . . . . 393.3.2 Funcoes de Vertice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Energia Livre de Gibbs do Modelo de Landau-Ginzburg . . . . . . . . . . 493.4.1 Regras para encontrar Γ[ϕ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Renormalizacao 544.1 Renormalizacao de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2 Renormalizacao de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Renormalizacao da Constante de Acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Renormalizacao em altas ordens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5 Criterio de Ginzburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2

5 Calculo dos expoentes γ e η 685.1 Potencia efetiva de m na expansao para Γ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2 Calculo de γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2.1 Caso d ≥ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.2 Caso d < 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 Calculo de η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3.1 Caso d ≥ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3.2 Caso d < 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.3.3 Regularizacao Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3.4 Expansao ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Consideracoes Finais 99

Referencias Bibliograficas 100

3

Introducao

Transicoes de fase e fenomenos crıticos sao assuntos de grande interesse cientıfico,visto que ocorrem em uma enorme variedade de sistemas. Podemos selecionar algunsexemplos: fluidos, materiais magneticos, ligas metalicas, materiais ferroeleticos, cristaislıquidos e supercondutores. Esses fenomenos estao relacionados a mudancas nas pro-priedades fısicas, ocorrendo, em geral, quando o sistema passa por uma determinada tem-peratura (crıtica). Imediatamente nas vizinhancas dessa regiao crıtica, certas grandezastermodinamicas, como calor especıfico, compressibilidade, suscetibilidade magnetica, ap-resentam um comportamento peculiar, com divergencias assintoticas que sao caracteri-zadas por um conjunto de expoentes. Nesse sentido, os expoentes crıticos descrevem anatureza da singularidade de quantidades mensuraveis no ponto crıtico. Usualmente, seisexpoentes sao definidos. Entretando, eles sao conectados por meio de relacoes que saoconhecidas como leis de escala, de modo que apenas dois deles sao independentes (VerHuang, paginas 396 e 397).

Sob esse aspecto, o principal objetivo deste trabalho e fazer uma introducao aosfenomenos crıticos do ponto de vista do calculo de expoentes, especificamente, dois ex-poentes. Dito de outra forma, dentre as varias questoes ligadas aos fenomenos crıticos,esta monografia trata basicamente de tecnicas empregadas para o calculo de dois ex-poentes. O trabalho segue a estrutura dos capıtulos 7, 8, 9 e 10 do livro The Theoryof Critical Critical Phenomena de J. J. Binney, N. J. Dowrick, A. J. Fisher e M. E. J.Newman. Trechos de outros livros foram utilizados como inspiracao, sendo o caso de FieldTheory, the Renormalization Group, and Critical phenomena de D. J. Amit e StatisticalPhysics de L. D. Landau e E. M. Lifshitz.

As ideias centrais de cada um dos capıtulos presentes em nosso estudo sao delineadasabaixo. O primeiro capıtulo refere-se, essencialmente, a construcao do modelo de Landau-Ginzburg, que e o modelo discutido ao longo do trabalho. Em seguida, capıtulo 2, con-sideramos aspectos ligados ao modelo Gaussiano, que e obtido a partir do modelo deLandau-Ginzburg. No capıtulo 3, introduzimos o tratamento perturbativo da funcao departicao de Landau-Ginzburg. Alem disso, apresentamos as regras de Feynamn para arepresentacao diagramatica das series perturbativas. O quarto capıtulo e dedicado aoprocesso de renormalizacao dos parametros do modelo de Landau-Ginzburg. Por fim, ocapıtulo 5 destina-se ao calculo dos expoentes crıticos γ e η, baseado nas tecnicas apre-

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sentadas nos capıtulos anteriores.Em relacao ao formato da monografia, devemos fazer um comentario. Na sequencia

do texto, existem os denominados Topicos Auxiliares. Eles trazem, em geral, calculospertinentes ao raciocınio que esta sendo desenvolvido. Visando ilustrar a nossa intencao,imagine que no decorrer do trabalho nos deparamos com uma integral que necessita seravaliada. O resultado assim como o procedimento de resolucao sao mostrados no topicoauxiliar logo na sequencia, sem a necessidade de recorrer a um apendice. Pensamosque isto evita interromper a leitura, tornando-a contınua. Esses topicos tambem podemser parcialmente omitidos numa leitura mais rapida, necessitando apenas observar osresultados neles apresentados.

5

Capıtulo 1

Modelo de Landau-Ginzburg

Neste capıtulo, vamos construir o modelo que sera usado como prototipo para nossoestudo sobre fenomenos crıticos. Tal modelo e o de Landau-Ginzburg. Na secao (1.2)estudaremos de maneira breve a aproximacao de Landau.

1.1 Construcao do Modelo

Quando um sistema passa por uma transicao de fase, ele muda de propriedades fısicas,ou seja, ele muda de ordem. Para caracterizar essa mudanca, introduzimos uma grandezaconhecida como parametro de ordem, que chamaremos de φ. Numa transicao de segundaordem, esse parametro vale zero acima da temperatura crıtica (Tc) e tem um valor nao nuloabaixo de Tc, sendo que essa mudanca se da continuamente. Cada sistema fısico possuium parametro de ordem que e escolhido adequadamente. Por exemplo, num sistemaferromagnetico esse parametro e o vetor magnetizacao M. Para uma transicao gas-lıquido,e a diferenca entre os volumes das fases coexistentes VG−VL. Em nosso estudo, nao vamostrabalhar com um parametro de ordem especıfico. Vale dizer, que o parametro de ordempode ser uma funcao real, uma funcao complexa, um vetor de varias componentes e ateum tensor.

Nosso primeiro passo e escrever a Hamiltoniana de um sistema qualquer em termos doparametro de ordem. Em primeira aproximacao, vamos assumir que ele seja uma funcaocom uma componente, que nao varie com a posicao. Ressaltando o fato que o parametrode ordem na regiao crıtica e muito pequeno, podemos escrever a Hamiltoniana do sistemacomo uma serie de potencias desse parametro. Visto que a Hamiltoniana representa aenergia do sistema, ela deve ser proporcional ao volume V , de modo que explicitaremosessa depencia em nossa serie, isto e,

H = V (a+ b φ+ c φ2 + d φ3 + e φ4 + · · · ), (1.1)

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em que a, b, c, ... sao os coeficientes da serie, podendo eventualmente dependerem da tem-peratura, pressao ou outras grandezas termodinamicas. Na ausencia de um campo ex-terno, o sistema nao deve ter uma direcao preferencial, implicando na simetria H(φ) =H(−φ). Assim, apenas a potencias pares de φ sobrevivem e a equacao (1.1) torna-se

H = V (a+ c φ2 + e φ4). (1.2)

Em (1.2) truncamos a serie, pois, neste estudo, consideraremos a expansao ate o termoφ4. Agora, numa situacao mais geral, podemos assumir que φ dependa da posicao dentrodo sistema. Deste modo, passamos a usar φ→ φ(x) e V →

∫ddx em (1.2). Entao,

H =

∫ddx(a+ c φ2(x) + e φ4(x)). (1.3)

Num sistema fısico real, as diferentes regioes dentro do sistema podem estar correla-cionadas. Inclusive, nas proximidades da temperatura crıtica, uma das principais caracte-rıstica do sistema e que ele fica fortemente correlacionado. Para levar em conta os efeitosde interacao entre vizinhancas, incluiremos na Hamiltoniana o termo |∇φ(x)|2. Com isto,reescrevemos (1.3) como

H =

∫ddx(a+ f |∇φ(x)|2 + c φ2(x) + e φ4(x)). (1.4)

Por questao de conveniencia, vamos renomear os coeficientes da serie. Faremos a = 0, poisele nao interfere nos valores medios das grandezas que desejaremos calcular. Os demaiscoeficientes serao renomeados como segue, f → 1

2α2, c→ 1

2µ2 e e→ 1

4!λ. Sendo assim,

H =

∫ddx

(1

2α2|∇φ(x)|2 +

1

2µ2φ2(x) +

1

4!λφ4(x)

). (1.5)

Por fim, quando ha um campo externo atuando sobre o sistema, devemos incluir naHamiltoniana um termo que represente a interacao com esse campo. Essa interacao podeser escrita como −Bφ. Desta maneira, (1.5) fica

HLG =

∫ddx

(1

2α2|∇φ(x)|2 +

1

2µ2φ2(x) +

1

4!λφ4(x)− βBφ(x)

)=

∫ddx

(1

2α2|∇φ(x)|2 +

1

2µ2φ2(x) +

1

4!λφ4(x)− Jφ(x)

), (1.6)

em que J = βB, com β ≡ 1/kBT e sendo kB a constante de Boltzmann. J e chamado defonte de campo. Escrevemos HLG (com o subescrito LG), pois esta e a Hamiltoniana domodelo de Landau-Ginzburg.

Em geral, o parametro µ2 e escolhido para ter a seguinte forma,

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µ2 = AT − T0

T, (1.7)

em que A e T0 sao constantes positivas. Esta escolha e conveniente pois permite a loca-lizacao do ponto crıtico. Desse modo, µ2 e capaz de mudar de sinal quando passa de umatemperatura baixa (T < T0) para uma temperatura alta (T > T0).

1.2 Teoria de Landau

A funcao de particao do modelo de Landau-Ginzburg e

ZLG =

∫Dφ e−

∫ddxHLG(φ), (1.8)

onde o sımbolo∫Dφ denota uma integral funcional, ou seja, significa que o integrando e

somado sobre todas as configuracoes de φ. A teoria de Landau consiste em admitir quea integral sobre φ em (1.8) e dominada por seu termo maximo, correspondendo a umdeterminado φ0. Assim, vamos repassar a soma por este termo, quer dizer,∫

Dφ e−∫ddxHLG(φ) −→ e−

∫ddxHLG(φ0). (1.9)

Com isto, a funcao de particao (1.8) torna-se

ZLG ' AZL, (1.10)

em que A e uma constante eZL = e−

∫ddxHLG(φ0). (1.11)

Notemos que correspondente ao termo maximo, φ0 e tal que minimiza HLG. De acordocom a (1.6), isto acontece quando φ0 e constante, pois |∇φ|2 = 0. Levando em conta estasimplificacao, a integral em (1.11) fica∫

ddxHLG(φ0) = V

(1

2µ2φ0

2 +1

4!λφ0

4 − βBφ0

), (1.12)

lembrando que V e o volume do sistema. Entao, de acordo com (1.10), (1.11) e (1.12),encontramos

ZLG ' A exp

[−V

(1

2µ2φ0

2 +1

4!λφ0

4 − βBφ0

)]. (1.13)

Com a funcao de particao calculada, podemos fazer a conexao com a termodinamicapor meio da energia livre de Helmholtz, que e dada por F = − 1

βlnZ. Para a funcao de

particao (1.13), teremos

8

F = − 1

β

[lnA− V

(1

2µ2φ0

2 +1

4!λφ0

4 − βBφ0

)]. (1.14)

Escrevendo a energia por unidade de volume, segue que

f ≡ F

V=

cte

β+µ2

2βφ0

2 +λ

4!βφ0

4 −Bφ0, (1.15)

onde cte = − lnA/V .Considerando o sistema na ausencia de um campo externo, devemos tomar B → 0 em

(1.15). Neste caso, vamos encontrar φ0 tal que minimiza a energia livre, ou seja,

df

dφ0

= µ2φ0 +1

6λφ0

3 = 0, (1.16)

conduzindo a φ0 = 0 se µ2 ≥ 0φ0

2 = −6µ2/λ se µ2 < 0, (1.17)

onde consideramos λ > 0. Nesta aproximacao, a transicao de fase ocorre quando µ2 passapelo zero. Entao, acima da temperatura crıtica (Tc), µ

2 ≥ 0 e o parametro de ordem φ0

se anula, ao passo que abaixo de Tc, φ0 e nao nulo. Em Tc, µ2(Tc) = 0. Apenas abaixo

do ponto crıtico φ0 ∝ |µ2|1/2. Da (1.7) sabemos que µ2 ∝ (T − Tc) nas proximidades deTc, de forma que

φ0 ∝ (Tc − T )1/2 abaixo de Tc. (1.18)

Desta equacao podemos encontrar o expoente crıtico β (que nao deve ser confundido comβ = 1/kBT ), que e definido pela relacao φ0 ∝ (Tc − T )β, logo β = 1/2.

Inserindo (1.17) em (1.15) com B = 0, obtemos

βf = cte +

0 se T > Tc

−3µ4/2λ se T < Tc. (1.19)

A energia interna por volume pode ser obtida a partir de uma transformada inversa deLegendre da energia livre de Helmholtz, isto e,

9

u = f −(d f

dT

)T

= f −(d f

dβ

)(dβ

dT

)T

= f + βd f

dβ

=d

dβ(βf). (1.20)

Sendo assim, a energia interna fica

u =

0 se T > Tc

−3µ2

λdµ2

dβ+ 3µ4

2λ2dλdβ

se T < Tc, (1.21)

que e contınua em T = Tc (µ2 = 0). Desse modo, nao ha calor latente associado a estatransicao de fase. Por outro lado, existe uma descontinuidade no calor especıfico,

kBcV |µ2=0 = −β2 du

dβ

∣∣∣∣µ2=0

=

0 se T = T+

c

3β2

λ

(dµ2

dβ

)2

se T = T−c. (1.22)

Deste resultado, conseguimos encontrar o expoente crıtico α, definido por cV ∝ |T−Tc|−α.Ja que nao ha um comportamento divergente em (1.22), α = 0 ambos os lados do pontocrıtico.

Para obter os expoentes crıticos γ e δ, devemos considerar o sistema na presenca deum campo externo. Minimizando a energia com respeito a φ0, temos

df

dφ0

= µ2φ0 +1

6λφ3

0 − βB = 0. (1.23)

Em T = Tc, µ2 = 0, seguindo que

φ30 =

6β

λB. (1.24)

O expoente δ e difinido sobre a isoterma crıtica (T = Tc) via a relacao φ0 ∝ B1/δ.Portanto, de acordo com a (1.24), temos δ = 3. Agora, diferenciando (1.23) em relacao aB e identificando χ = ∂φ0/∂B, chegamos a(

µ2 +1

2λφ2

0

)χ = β. (1.25)

Tomando o limite B → 0 e inserindo φ0 = 0 e φ20 = −6µ2/λ respectivamente acima e

abaixo de Tc em (1.25), encontramos

10

χ|B=0 =

βµ2 se T > Tcβ

2|µ2| se T < Tc. (1.26)

Vemos que a susceptibilidade a campo zero χ, diverge com |T − Tc|−1 dos dois lados datransicao. Entao, o expoente crıtico γ, definido por χ ∝ |T − Tc|−γ vale γ = 1.

Os expoentes crıticos remanescentes η e ν, nao podem ser calculados usando a teoriade Landau. Eles envolvem correlacoes 〈φ(x)φ(x′)〉 e a aproximacao de Landau justamentenegligencia tais correlacoes. Esses expoentes podem ser encontrados, por exemplo, em-pregando outras aproximacoes de campo medio, mas nao as trataremos aqui. (Ver Binneyet al., paginas 173 a 176). Seus valores sao η = 0 e ν = 1/2. Os expoentes mostradosnesta secao sao conhecidos como expoentes classicos ou expoentes de campo medio.

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Capıtulo 2

Modelo Gaussiano

Neste capıtulo, vamos estudar alguns aspectos relacionados a funcao de particao Gaus-siana. A partir da funcao Gaussiana, definiremos as funcoes de correlacao, que per-manecem validas para o modelo de Landau-Ginzburg. Tambem, veremos que a introducaoda quantidade φ(k), que e a transformada de Fourier de φ(x), nos permite restringir aescala de distancias que e conveniente para nosso estudo.

2.1 A Funcao de Particao Gaussiana

A funcao de particao de Landau-Ginzburg sem o termo λφ4 conduz ao modelo Gaus-siano. Assim, a funcao de particao Gaussiana e obtida tomando λ = 0 em (1.6), istoe,

ZG[J ] ≡∫Dφ e−HG[J ]

=

∫Dφ exp

[−∫ddx

(1

2α2|∇φ|2 +

1

2µ2φ2 − Jφ

)]. (2.1)

Vale lembrar que, neste estudo, estamos considerando o caso em que o parametro deordem tenha apenas uma componente, quer dizer, φ(x) e uma funcao real da posicao x.Ressaltando o que foi dito na secao (1.2), o sımbolo

∫Dφ denota uma integral funcional

sobre o parametro de ordem, significando uma soma sobre as inumeraveis formas que afuncao φ(x) pode assumir.

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 2.1: Derivada Funcional

Vamos mostrar brevemente a definicao de derivada funcional juntamente com um exemplo e algumaspropriedades. A derivada funcional de F com respeito a f(x0) e definida da seguinte forma,

δF [f ]δf(x0)

= limε→0

F [f(x) + εδ(x− x0)]− F [f(x)]ε

. (2.2)

Como exemplo, uma derivada funcional de grande importancia para nos e

δ

δJ(x)e∫ddzJ(z)φ(z) = e

∫ddzJ(z)φ(z)

∫ddz δ(z− x)φ(z)

= φ(x) e∫ddzJ(z)φ(z). (2.3)

A expansao em serie de Taylor de um funcional e escrita como

F [f + η] = F [f ] +∫dx0

δF

δf(x0)η(x0) +

12!

∫dx0dx1

δ2F

δf(x0)δf(x1)η(x0)η(x1) + · · · . (2.4)

Com a ajuda de (2.4) podemos definir a variacao de um funcional δF . Supondo que f(x) varia paraf(x) + η(x), a variacao de F sera,

δF [f(x)] = F [f(x) + η(x0)]− F [f(x)]

= F [f(x)] +∫d x

δF

δf(x)η(x) +O(η2)− F [f(x)]

=∫d x

δF

δf(x)η(x) +O(η2). (2.5)

Tambem podemos definir a regra da cadeia funcional. Assumimos que F e um funcional de uma funcaog, que por sua vez, e um funcional de uma funcao f . Supondo que f(x) varia para f(x) + η(x), conse-quentemente, g(y) tambem sofre uma variacao, dizemos, g(y) + χ(y). De acordo com (2.5), temos

δF =∫dy

δF

δg(y)χ(y) (2.6)

e

χ(y) =∫d z

δg(y)δf(z)

η(z). (2.7)

Substituindo (2.7) em (2.6), ficamos com

δF =∫d z

[∫d y

δF

δg(y)δg(y)δf(z)

]η(z). (2.8)

Comparando (2.8) com (2.5), vemos que

δF

δf(z)=∫d y

δF

δg(y)δg(y)δf(z)

. (2.9)

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Esta e a regra da cadeia funcional. A integracao funcional sera tratada diretamente no caso da integralGaussiana.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O termo de fonte de campo J(x), que representa um agente externo agindo sobre osistema, tambem nos permite calcular as funcoes de correlacao do parametro de ordem φpor meio de diferenciacao, como veremos a seguir. Para obter tais funcoes, vamos tomara derivada funcional da (2.1) com respeito a J(y), assim

δ

δJ(y)ZG[J ] =

∫Dφ

exp

[−∫ddx

(1

2α2|∇φ|2 +

1

2µ2φ2 − Jφ

)]×

[−∫ddx(−φ(x))δ(x− y)

]=

∫Dφ[φ(y)] exp

[−∫ddx

(1

2α2|∇φ|2 +

1

2µ2φ2 − Jφ

)]. (2.10)

Tomando a derivada de (2.10), porem, em relacao a J(z), ficamos com

δ

δJ(z)

δ

δJ(y)ZG[J ] =

∫Dφ[φ(z)φ(y)] exp

[−∫ddx

(1

2α2|∇φ|2 +

1

2µ2φ2 − Jφ

)].

(2.11)Se dividirmos ambos os lados de (2.11) por ZG[J ], obtemos o valor medio da quantidadeφ(z)φ(y), ou seja,

1

ZG[J ]

δ

δJ(z)

δ

δJ(y)ZG[J ] = 〈φ(z)φ(y)〉. (2.12)

Repetindo esse processo de derivacao n vezes, definimos a funcao de correlacao de npontos, G(n)(x1,x2, ...,xn; J), como

G(n)(x1,x2, ...,xn; J) ≡ 〈φ(x1) · · ·φ(xn)〉

=1

ZG[J ]

δ

δJ(x1)

δ

δJ(x2)· · · δ

δJ(xn)ZG[J ]. (2.13)

Notemos que (2.12) e a funcao de correlacao de dois pontos G(2)(z,y) = 〈φ(z)φ(y)〉. Porconveniencia, vamos definir a funcao

G(2)c (z,y) = 〈[φ(z)− 〈φ(z)〉][φ(y)− 〈φ(y)〉]〉

= 〈φ(z)φ(y)〉 − 〈φ(z)〉〈φ(y)〉, (2.14)

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que pode ser escrita da seguinte maneira,

G(2)c (z,y) =

1

ZG[J ]

δ

δJ(z)

δ

δJ(y)ZG[J ]−

(1

ZG[J ]

δ

δJ(z)ZG[J ]

)(1

ZG[J ]

δ

δJ(y)ZG[J ]

)=

1

ZG[J ]

δ

δJ(z)

(ZG[J ]

δ

δJ(y)lnZG[J ]

)−

(1

ZG[J ]

δ

δJ(z)ZG[J ]

)(1

ZG[J ]

δ

δJ(y)ZG[J ]

)=

δ

δJ(z)

δ

δJ(y)lnZG[J ]. (2.15)

Um processo analogo, porem, com n variaveis, conduz a definicao da funcao de correlacaoconectada de n pontos, dada por

G(n)c (x1,x2, ...,xn; J) ≡ 〈φ(x1) · · ·φ(xn)〉conectada

=δ

δJ(x1)

δ

δJ(x2)· · · δ

δJ(xn)lnZG[J ]. (2.16)

Devemos notar que, apesar das funcoes (2.13) e (2.16) terem sido definidas em termosda funcao de particao Gaussiana, elas sao gerais, portanto, validas para o modelo deLandau-Ginzburg.

Antes de comecar a trabalhar com o funcional (2.1), temos que determinar qual odomınio de φ(x). Ja que estamos estudando sistemas sem levar em conta a estruturaatomica, certamente φ(x) nao estara definido em escalas menores do que esta. Entao,esses campos φ(x) devem ser excluıdos da funcao de particao (2.1). Uma maneira de

fazer isso e introduzindo a quantidade φ(k), que e a transformada de Fourier de φ(x), istoe,

φ(x) =

∫ddk

(2π)deik·xφ(k) ≡

∫ddk eik·xφ(k), (2.17)

em que escrevemos ddk/(2π)d ≡ ddk por simplicidade de notacao. Como φ(x) e real,

φ(k) satisfaz a propriedade φ(−k) = φ∗(k). Ver topico auxiliar (2.2). O vetor de onda ktem dimensao de inverso de comprimento. Podemos escolher a dimensao de φ(x) sendo

L−d/2. Desse modo, φ(k) tera dimensao Ld/2. Segue que, na integral funcional (2.1),vamos somar apenas sobre aquelas funcoes φ(x), tais que

φ(x) =

∫ Λ

k=0

ddk eik·xφ(k), (2.18)

onde Λ e chamado de parametro de corte. Uma funcao que pode ser expressa como (2.18)e suave sobre a escala de distancias superiores a Λ−1. Com isto, a soma fica restrita ao

15

domınio de φ(x) que foi estabelecido acima. O campo J(k), que e a transformada deFourier de J(x), e definido de maneira similar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 2.2: Demonstracao da propriedade φ(−k) = φ∗(k) se φ(x) e real

Temos

φ(k) =∫ddk e−ik·xφ(x). (2.19)

Trocando k→ −k, segue que

φ(−k) =∫ddk eik·xφ(x). (2.20)

Por outro lado,

φ∗(k) =∫ddk eik·xφ∗(x). (2.21)

Logo, se φ(x) e real, φ∗(x) = φ(x). Comparando (2.20) com (2.21), verificamos que

φ(−k) = φ∗(k). (2.22)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A transformacao para φ(k), alem de fazer a (2.1) ser bem definida, faz com que seucalculo seja facilitado, pois a integral se fatora em um produto de integrais ordinariassobre as diferentes componentes de φ(k). Sendo assim, precisamos obter ZG[J ]. Antes departir para esse calculo, e util fazer uma analise sobre integral funcional Gaussiana, quesera apresentada a seguir.

2.1.1 Integral Funcional Gaussiana

Vamos estudar aqui, uma integral funcional da seguinte forma

G[J ] =

∫S

Dφ exp

[−∫ddx ddyφ(x)M(x,y)φ(y) +

∫ddxφ(x)J(x)

], (2.23)

que e uma integral funcional Gaussiana. O conjunto de funcoes S que a integral (2.23)cobre ainda nao e especificado. Podemos tratar M como um operador e escolher umconjunto completo de autofuncoes ψn ortonormais, tal que∫

ddyM(x,y)ψn(y) = λnψn(x), (2.24)

ou simplesmente

16

Mψn = λnψn. (2.25)

Vamos assumir que essas autofuncoes formem um conjunto discreto, o que e verdadese as integrais no expoente de (2.23) forem somente sobre um volume finito do espaco.Desenvolvendo φ(x) em termos de ψn(x), temos

φ(x) =∑n

φn ψn(x). (2.26)

Para encontrar o coeficiente generico φn, multiplicamos a (2.26) por ψ∗n′(x) e integramossobre x ambos os lados. Com isto,

φn =

∫ddxψ∗n(x)φ(x). (2.27)

A funcao J(x) pode ser expandida da mesma forma,

J(x) =∑n

Jn ψn(x). (2.28)

Substituindo (2.26) e (2.28) em (2.23), o seu expoente pode ser escrito como∫ddx ddyφ(x)M(x,y)φ(y) −

∫ddxφ(x)J(x)

=∑n

∑m

φnφm

∫ddx ddyψn(x)M(x,y)ψm(y)

−∑n

∑m

φnJm

∫ddxψn(x)ψm(x)

=∑n

(λnφ2n − Jnφn), (2.29)

onde usamos a (2.24). A integral (2.23) torna-se entao

G[J ] =

∫S

Dφ exp

[−∑n

(λnφ2n − Jnφn)

]. (2.30)

Agora especificaremos o conjunto S de funcoes que vamos integrar sobre. Definimos aintegral funcional GN [J ], sendo a integral funcional sobre o conjunto de funcoes que podemser expandidas como

φ(x) =N∑n=1

φn ψn(x), (2.31)

17

justamente como a (2.26), com φn nulo para n > N . Entao, integraremos sobre esteconjunto por meio da integracao sobre φn, ou seja,

GN [J ] =

∫ddφ1 · · · ddφN exp

[−

N∑n=1

(λnφ2n − Jnφn)

]. (2.32)

O expoente da (2.32) se fatora, permitindo escrever

GN [J ] =N∏n=1

∫ddφn exp

[−(λnφ

2n − Jnφn)

], (2.33)

em que este e um produto de integrais Gaussianas. Uma breve discussao sobre integraisGaussianas elementares e mostrada abaixo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 2.3: Integrais Gaussianas

Primeiramente, vamos calcular a integral Gaussiana da forma∫dx exp(−ax2). Esta integral pode

ser escrita como

∫ ∞−∞

dx e−ax2

=[(∫ ∞

−∞dx e−ax

2)(∫ ∞

−∞dy e−ay

2)]1/2

=[∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

dx dy e−a(x2+y2)

]1/2

. (2.34)

Parametrizando (2.34) em coordenadas polares, quer dizer, x2 + y2 = r2 e dx dy = r dr dθ, obtemos

[∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

dx dy e−a(x2+y2)

]1/2

=[∫ 2π

0

dθ

∫ ∞0

dr re−ar2]1/2

. (2.35)

A integral em θ e resolvida diretamente. Para avaliar a integral em r, fazemos a mudanca de variavelξ = r2, que conduz a integral [

π

∫ ∞0

dξ e−aξ]1/2

=√π

a. (2.36)

Assim, ∫ ∞−∞

dx e−ax2

=√π

a. (2.37)

Agora, vamos calcular uma integral da forma∫∞−∞ dx exp(−ax2 + bx). Inicialmente, notemos que

∫ ∞−∞

dx e−ax2+bx =

∫ ∞−∞

dx exp[−a(x2 − b

ax

)]. (2.38)

18

De modo a formar um quadrado perfeito no expoente de (2.38), escrevemos o termo entre parentesescomo segue:

x2 − b

ax = x2 − b

ax+

(b

2a

)2

−(b

2a

)2

=(x− b

2a

)2

− b2

4a2. (2.39)

Com isto, a integral (2.38) torna-se

exp(b2

4a

)∫ ∞−∞

dx exp

[−a(x− b

2a

)2]. (2.40)

Fazendo a mudanca de variavel y = x− b/2a em (2.40), recaımos na integral Gaussiana (2.37). Entao,

∫ ∞−∞

dx e−ax2+bx = exp

(b2

4a

)√π

a. (2.41)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

As integrais em (2.33) sao do tipo (2.41). Identificando λn = a e Jn = b, chegamos a

GN [J ] =N∏n=1

exp

[Jn

2

4λn

](π

λn

)1/2

=πN/2(

N∏n=1

λn

)1/2

︸ ︷︷ ︸GN [0]

exp

[N∑n=1

Jn2

4λn

]

= GN [0] exp

[N∑n=1

Jn2

4λn

]. (2.42)

Este e o resultado da integral funcional Gaussiana que procuravamos.

2.1.2 A Transformacao ZG[J ]→ ZG[J ]

Aqui, vamos calcular ZG[J ] usando a tecnica da integral Gaussiana, pois conseguimostransformar a integral funcional ZG[J ] em uma sequencia de integrais ordinarias multiplasZG[J ;N ]. Primeiramente, identificamos HG[J ] em (2.1),

HG[J ] =

∫ddx

(1

2α2|∇φ|2 +

1

2µ2φ2 − Jφ

). (2.43)

19

Temos que escrever a (2.43) na forma de (2.23). Para isto, usaremos a identidade∇(φ∇ψ) = ∇ψ∇φ + φ∇2ψ no caso em que ψ = φ. Assim, a equacao (2.43) assumea forma

HG[J ] =

∫ddx

[1

2α2(∇(φ∇φ)− φ∇2φ

)+

1

2µ2φ2

]−∫ddxJ φ. (2.44)

A integral do primeiro termo e nula, pois, pelo teorema da divergencia,∫

(∇ ·A)ddx =∮A · dS, onde A e um campo vetorial qualquer, a transformamos em uma integral de

superfıcie e admitimos que o campo sobre a superfıcie vai a zero suficientemente rapido.Entao, ficamos com

HG[J ] =

∫ddx

[1

2α2(−φ∇2φ

)+

1

2µ2φ2

]−∫ddxJ φ. (2.45)

A (2.45) pode ser escrita como

HG[J ] = −∫ddx ddy φ(y)

[δ(x− y)

2(α2∇x

2 − µ2)

]φ(x)−

∫ddxJ(x)φ(x), (2.46)

em que explicitamos propositalmente a dependencia espacial em φ e J . Conseguimos,portanto, deixar essa equacao na forma de (2.23) ao usarmos

M(x,y) = δ(x− y)(α2∇x2 − µ2). (2.47)

Precisamos encontrar as autofuncoes e os autovalores desse operador. Isto e feito no topicoauxiliar (2.4), mostrado abaixo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 2.4: Autovalores e autofuncoes de (2.47)

Primeiramente, vamos encontrar os autovalores. Substituindo (2.47) em (2.24) e calculando a integralcom a delta, encontramos

(α2∇2x − µ2)ψk(x) = λkψk(x). (2.48)

Empregando uma transformada de Fourier em (2.48), vem∫ddx eik·x(α2∇2

x − µ2)ψk(x) =∫ddx eik·xλkψk(x). (2.49)

Identificando ψk(k) ≡∫ddx eik·xψk(x) e tendo em vista que

∫ddx eik·x∇2

x ψk(x) = −k2 ψk(k), podemosescrever

−(α2k2 + µ2)ψk(k) = λkψk(k). (2.50)

Logo, os autovalores sao

20

λk = −(α2k2 + µ2). (2.51)

Para encontrar as autofuncoes, devemos encontrar a solucao da equacao diferencial (2.48). Substituindo(2.51) em (2.48), obtemos

∇2x ψk(x) = −k2 ψk(x). (2.52)

Seja,

ψk(x) =∏i

ϕi(xi). (2.53)

Levando (2.53) em (2.52), ficamos com

∑i

d2

dx2i

∏i

ϕi(xi) = −

(∑i

k2i

)∏i

ϕi(xi). (2.54)

Dividindo ambos os lados de (2.54) por∏i ϕi(xi), segue que

1ϕ1(x1)

d2ϕ1(x1)dx2

1

+1

ϕ2(x2)d2ϕ2(x2)dx2

2

+ · · · = −(k21 + k2

2 + · · · ). (2.55)

Para a componente i teremos,

1ϕ1(xi)

d2ϕi(xi)dx2

i

= −k2i , (2.56)

cujas solucoes sao

ϕi(xi) ∝ eikixi e e−ikixi . (2.57)

Se for feita a suposicao de ki real, podemos restringir a apenas a primeira delas, que substituıda em(2.53), fornece

ψk(x) = ei(k1x1+k2x2+··· ) = eik·x, (2.58)

que sao as autofuncoes procuradas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Entao, as autofuncoes sao

ψk(x) = eik·x, (2.59)

com os correspondentes autovalores

λk = −(α2k2 + µ2). (2.60)

Para assegurar que as autofuncoes formem um conjunto discreto, consideramos o sistemaem um cubo de volume V = Ld, com condicoes periodicas de contorno. Com isto, oscomponentes de k ficam restritos a multiplos inteiros de 2π/L. Com as autofuncoesconhecidas, a expansao (2.31) torna-se

21

φ(x) =1

Ld

∑k; k<Λ

φ(k)eik·x, (2.61)

onde a constante de normalizacao em frente a soma garante que φ(k) e a transformadade Fourier de φ(x) no limite L→∞. A expansao de J e similar,

J(x) =1

Ld

∑k; k<Λ

J(k)eik·x. (2.62)

Substituindo (2.61) e (2.62) em (2.46), ficamos com

HG[J ] =

∫ddx ddy

(1

Ld

∑k; k<Λ

φ(k)eik·y

)[δ(x− y)

2(−α2∇x

2 + µ2)

](1

Ld

∑k′; k′<Λ

φ(k′)eik′·x

)

−∫ddx

(1

Ld

∑k′; k′<Λ

J(k′)eik′·x

)(1

Ld

∑k; k<Λ

φ(k)eik·x

). (2.63)

Vamos analisar separadamente os dois termos desta equacao, comecando pelo primeirotermo do lado direito da igualdade, que chamaremos de I,

I =∑

k; k<Λ

∑k′; k′<Λ

∫ddx ddy

1

Ldφ(k)eik·y

[δ(x− y)

2(−α2∇x

2 + µ2)

]1

Ldφ(k′)eik

′·x

=∑

k; k<Λ

∑k′; k′<Λ

∫ddx ddy

1

Ldφ(k)eik·y

[δ(x− y)

2(α2k′

2+ µ2)

]1

Ldφ(k′)eik

′·x

=∑

k; k<Λ

∑k′; k′<Λ

∫ddx

1

Ldei(k

′+k)·x[

1

2(α2k′

2+ µ2)

]1

Ldφ(k′)φ(k). (2.64)

Notando que

δk′,−k =

∫ddx

1

Ldei(k

′+k)·x, (2.65)

segue que

I =1

Ld

∑k; k<Λ

1

2(α2k2 + µ2)φ(k)φ(−k). (2.66)

O segundo termo fica,

22

II =∑

k; k<Λ

∑k′; k′<Λ

∫ddx

1

Ldei(k

′+k)·x︸ ︷︷ ︸δk′,−k

J(k′)φ(k)

=1

Ld

∑k; k<Λ

J(−k)φ(k). (2.67)

Substituindo (2.66) e (2.67) em (2.63), chegamos a

HG[J ] =1

Ld

∑k; k<Λ

[1

2(α2k2 + µ2)φ(k)φ(−k)− J(−k)φ(k)

]. (2.68)

As quantidades φ(k) e J(k) nao sao totalmente independentes. Se φ(x) e J(x) saoreais, suas transformadas de Fourier satisfazem

φ(−k) = φ∗(k) (2.69)

eJ(−k) = J∗(k). (2.70)

Assim, apenas metade das variaveis que a (2.68) sugere sao independentes. Podemosescrever (2.68) da seguinte maneira,

HG[J ] =1

Ld

∑k; k<Λ

′

1

2(α2k2 + µ2)φ(k)φ(−k) +

1

2(α2k2 + µ2)φ(−k)φ(k)

−[J(−k)φ(k) + J(k)φ(−k)

]=

1

Ld

∑k; k<Λ

′ (α2k2 + µ2)φ(k)φ(−k)−

[J(−k)φ(k) + J(k)φ(−k)

],

(2.71)

onde∑′ indica que a soma e feita sobre metade dos valores possıveis de k, no caso, aqueles

em que k ≥ 0. A outra metade da soma e coberta pelos termos extras que adicionamos.Para tratar a (2.71), vamos escrever φ e J em termos de suas partes real e imaginaria,que denotaremos pelos subscritos R e I, quer dizer,

φ(k) = φR(k) + i φI(k) (2.72)

eJ(k) = JR(k) + i JI(k). (2.73)

Com isto,

23

φ(k)φ(−k) = φ(k)φ∗(k) = φ2R(k) + φ2

I(k) (2.74)

e

J(−k)φ(k) + J(k)φ(−k) = J∗(k)φ(k) + J(k)φ∗(k) = 2[JR(k)φR(k) + JI(k)φI(k)

].

(2.75)Levando (2.75) e (2.74) em (2.71), segue que

HG[J ] =1

Ld

∑k; k<Λ

′ (α2k2 + µ2)

[φ2R(k) + φ2

I(k)]− 2

[JR(k)φR(k) + JI(k)φI(k)

].

(2.76)

Isto permite que os φ(k), para diferentes k, sejam desacoplados de cada outro. Conse-quentemente,

ZG[J ; Λ] =

∫dφR(k)dφI(k) e−HG

=

∫dφR(k)dφI(k) exp

− 1

Ld

∑k; k<Λ

′ ((α2k2 + µ2)

[φ2R(k) + φ2

I(k)]

+ 2[JR(k)φR(k) + JI(k)φI(k)

])=

∏k; k<Λ

′∫dφR(k)dφI(k) exp

− 1

Ld

((α2k2 + µ2)

[φ2R(k) + φ2

I(k)]

+ 2[JR(k)φR(k) + JI(k)φI(k)

])=

∏k; k<Λ

′(∫

dφR(k) exp

− 1

Ld(α2k2 + µ2)φ2

R(k) +2

LdJR(k)φR(k)

)×

(∫dφI(k) exp

− 1

Ld(α2k2 + µ2)φ2

I(k) +2

LdJI(k)φI(k)

), (2.77)

que e um produto de integrais Gaussianas. Lembramos que a linha sobre o sinal deprodutorio significa que apenas metade dos valores de k sao usados. As integrais entreparenteses sao do tipo (2.41). Em ambas, identificamos a = (α2k2 + µ2)/Ld e b =

2JR/I(k)/Ld, onde o subscrito R/I em JR/I significa que ora usamos JR e ora JI . Dessemodo,

24

ZG[J ; Λ] =∏

k; k<Λ

′exp

[J2R(k)

Ld(α2k2 + µ2)

](πLd

α2k2+µ2

)1/2

×∏

k; k<Λ

′exp

[J2I (k)

Ld(α2k2 + µ2)

](πLd

α2k2+µ2

)1/2

=∏

k; k<Λ

′ πLd

α2k2+µ2exp

[1

LdJ2R(k) + J2

I (k)

(α2k2 + µ2)

]. (2.78)

Como o fator πLd fora da exponencial e apenas um fator de normalizacao, por simplici-dade, vamos desconsidera-lo. Entao, a (2.78) pode ser reescrita como

ZG[J ; Λ] = exp

[−∑

k; k<Λ

′ln(α2k2 + µ2)

]exp

[1

Ld

∑k; k<Λ

′ J2R(k) + J2

I (k)

α2k2 + µ2

]. (2.79)

Agora, voltaremos a considerar todos os valores de k tais que k < Λ. Sendo assim, a(2.79) torna-se

ZG[J ; Λ] = exp

[−1

2

∑k; k<Λ

ln(α2k2 + µ2)

]exp

[1

2Ld

∑k; k<Λ

J2R(k) + J2

I (k)

α2k2 + µ2

]. (2.80)

Sabendo que J2R(k) + J2

I (k) = J(k)J∗(k) = J(k)J(−k) e tomando o limite L → ∞,podemos repassar a soma por uma integral, isto e,

∑k; k<Λ

(2π

L

)d−→

∫ddk. (2.81)

Fazendo estas modificacoes, encontramos finalmente

ZG[J ; Λ] = exp

[−1

2Ld∫ Λ

k=0

ddk ln(α2k2 + µ2)

]exp

[1

2

∫ Λ

k=0

ddkJ(k)J(−k)

α2k2 + µ2

]. (2.82)

Por simplicidade de notacao, escreveremos a (2.82) como segue

ZG[J ] = ZG[0]× exp

[1

2

∫ Λ

ddkJ(k)J(−k)

α2k2 + µ2

], (2.83)

25

em que ZG[0] = exp[−1

2Ld∫ Λ

ddk ln(α2k2 + µ2)]. Este resultado e a transformacao

ZG[J ]→ ZG[J ] que procuravamos.

Notemos que, ZG[J ] se fatora em duas partes. A que contem a dependencia em J ,permite-nos encontrar as funcoes de correlacao por meio de diferenciacao, tal como em(2.13) e (2.16). A outra parte nao contribui para as funcoes de correlacao. Vamos traba-

lhar com integral dependente de J , escrevendo-a em termos das transformadas inversasde J(k) e J(−k), ou seja,

∫ Λ

ddkJ(k)J(−k)

α2k2 + µ2=

∫ Λ ddk

α2k2 + µ2

∫ddy e−ik·yJ(y)

∫ddx e−i(−k)·xJ(x)

=

∫ddx ddyJ(x)

∫ Λ

ddkeik(x−y)

α2k2 + µ2J(y)

=

∫ddx ddyJ(x)∆(x− y)J(y), (2.84)

onde

∆(x− y) ≡∫ Λ

ddkeik(x−y)

α2k2 + µ2, (2.85)

que e chamado de propagador. Esta expressao para ∆ e definida apenas para µ2 > 0, poisse µ2 fosse negativo, o expoente em (2.1) conduziria a uma divergencia incontornavel enao terıamos o modelo Gaussiano. Veremos a frente que ∆(x− y) e justamente a funcaode correlacao conectada de dois pontos.

A funcao de particao (2.83) juntamente com a (2.84), nos possibilita calcular a energialivre de Helmholtz,

FG[J ] = − 1

βlnZG[J ]

=1

β

[1

2Ld∫ Λ

ddk ln(α2k2 + µ2)− 1

2

∫ddx ddyJ(x)∆(x− y)J(y)

].(2.86)

O primeiro termo depende fortemente de Λ, pois ele cresce logaritmicamente a medidaque Λ cresce. O segundo termo nao depende fortemente de Λ se J(x) for suave (bemcomportado) em escalas superiores a Λ−1, visto que ∆ vai a zero com k−2.

26

2.2 Funcoes de Correlacao no Modelo Gaussiano

A seguir, vamos calcular funcoes de correlacao em termos do propagador, equacao(2.85), e da fonte de campo J(x). Faremos isto para as funcoes de correlacao conectadasde 1 e 2 pontos para o modelo Gaussiano. A equacao (2.86), exceto por um fator −1/β,nos fornece lnZG[J ], que e necessario para encontrar tais funcoes. De acordo com a (2.16),temos

G(1)c (x) ≡ 〈φ(x)〉

=δ

δJ(x)lnZG[J ]

=δ

δJ(x)

[−1

2Ld∫ Λ

ddk ln(α2k2 + µ2) +1

2

∫ddw ddzJ(w)∆(w − z)J(z)

]=

1

2

[∫ddw ddz δ(w − x)∆(w − z)J(z) +

∫ddw ddzJ(w)∆(w − z)δ(z− x)

]=

1

2

[∫ddz ∆(x− z)J(z) +

∫ddw J(w)∆(w − x)

]=

∫ddz ∆(x− z)J(z), (2.87)

visto que ∆(w−x) = ∆(x−w) e assim notando que as duas integrais na penultima linha

sao iguais. Para o calculo de G(2)c (x,y) partiremos do resultado (2.87), isto e,

G(2)c (x,y) ≡ 〈φ(x)φ(y)〉

=δ

δJ(x)

δ

δJ(y)lnZG[J ]

=δ

δJ(x)

∫ddz ∆(y − z)J(z)

=

∫ddz ∆(y − z)δ(z− x)

= ∆(x− y). (2.88)

Todas as funcoes de ordem mais alta que G(2)c sao nulas. A funcao G

(1)c , que e a media

termica de φ, e nula se J = 0. Isto era esperado devido a simetria φ→ −φ de HG quandoJ = 0. Por outro lado, G

(2)c , que mede a correlacao entre as flutuacoes do parametro de

ordem nos pontos x e y, e o proprio propagador ∆(x−y), definido em (2.85). Note aindaque ∆(x− y) depende somente do modulo de seu argumento.

27

Capıtulo 3

Teoria de Perturbacao

Atualmente, a funcao de particao de Landau-Ginzburg nao pode ser calculada exata-mente. Por este motivo, vamos escreve-la como uma serie, tratando o termo λφ4 comouma perturbacao. Logo, as quantidades que sao calculadas a partir da funcao de particaotambem serao escritas como series. Para calcular os termos de tais series, apresentaremosas regras de Feynamn, que nos permitem obter uma representacao diagramatica para asmesmas. Assim, a ideia e expressar as quantidades desejadas por meio de diagramas eentao obter, a partir desses diagramas, as informacoes relevantes para os nossos estudos.

3.1 A Funcao de Particao de Landau-Ginzburg

A funcao de particao completa, Z[J ], e escrita como

Z[J ] =

∫Dφ exp

[−∫ddx

(1

2α2|∇φ|2 +

1

2µ2φ2 +

1

4!λφ4 − Jφ

)], (3.1)

onde a integracao funcional e feita sobre aquelas funcoes φ(x) que sao suficientementesuaves, no mesmo senso que discutido anteriormente. Essa integral funcional nao podeser tratada da mesma maneira que a (2.1). No modelo Gaussiano era possıvel separar a

Hamiltoniana, tal que cada parte dependia somente de uma componente de Fourier φ(k).O termo φ4 nos impede de fazer isso. Para ver o que acontece, vamos fazer a transformadade Fourier desse termo, ou seja,

28

∫ddxφ4(x) =

∫ddx

(∫ddk1 e

ik1·xφ(k1)

)(∫ddk2 e

ik2·xφ(k2)

)×

(∫ddk3 e

ik3·xφ(k3)

)(∫ddk4 e

ik4·xφ(k4)

)=

∫ddk1d

dk2ddk3d

dk4 φ(k1)φ(k2)φ(k3)φ(k4)

×∫ddx ei(k1+k2+k3+k4)·x

=

∫ddk1d

dk2ddk3d

dk4 φ(k1)φ(k2)φ(k3)φ(k4)

× (2π)dδ(k1 + k2 + k3 + k4). (3.2)

A funcao delta entrelaca diferentes componentes de φ, assim, a integral funcional nao sefatora em um produto de integrais. Veremos a seguir um metodo para contornar partedesta dificuldade. Dizemos parte, pois o metodo a ser estudado fornece uma aproximacaopara a funcao de particao, nao a solucao exata.

3.1.1 Tratamento Perturbativo

Como a (3.1) e de difıcil trato, uma tentativa seria expressar Z[J ] em termos de ZG[J ].De fato, isto pode ser feito desenvolvendo a exponencial do termo λφ4 como uma serie depotencias em λ e trocando a ordem entre a soma e a integral funcional. Sabendo que

ex =∞∑n=0

1

n!xn, (3.3)

temos

Z[J ] =

∫Dφ exp

[−∫ddx

(1

2α2|∇φ|2 +

1

2µ2φ2 − Jφ

)]exp

[−∫ddx

1

4!λφ4

]=

∫Dφ e−HG

∞∑n=0

1

n!

(− λ

4!

∫ddxφ4

)n=

∞∑n=0

1

n!

∫Dφ e−HG

[(− λ

4!

∫ddxφ4

)n]. (3.4)

Multiplicando e dividindo (3.4) por ZG[J ], identificamos uma media Gaussiana do termoentre colchetes, isto e,

29

Z[J ] = ZG[J ]×∞∑n=0

1

n!

⟨(− λ

4!

∫ddxφ4

)n⟩Gaussiana

. (3.5)

Desse modo, conseguimos expressar o modelo completo de Landau-Ginzburg em termosde uma serie infinita de medias termicas de potencias do parametro de ordem avaliadasno modelo Gaussiano.

Aqui, cabe algum comentario sobre o procedimento feito em (3.4). Devemos notarque, a troca de ordem entre a somatoria e a integral nao e valida, pois nem sabemosse a serie converge. Na verdade, verifica-se que ela e divergente. Nossa estrategia paraenfrentar esta dificuldade e a seguinte. Temos uma soma infinita de potencias de λ. Estasoma e divergente, porem, admitimos que antes de divergir, a serie se aproxima do valorverdadeiro da funcao. Dito de outra forma, para um numero finito de termos a serietende a convergir, mas, quando mais termos sao somados ela diverge. Assim, podemosconsiderar apenas um numero finito de termos, pois esperamos que a serie possa fornecerum resultado proximo ao valor da funcao.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 3.1: Manipulacao de Integrais

Vamos considerar uma integral da forma

I =∫ ∞−∞

dx e−ax2−λx4+bx. (3.6)

Com a ajuda de (3.3), podemos escrever (3.6) do seguinte modo,

I =∫ ∞−∞

dx e−ax2+bx

( ∞∑n=0

1n!

(−λx4)n)

=∞∑n=0

(−λ)n

n!

∫ ∞−∞

dxx4ne−ax2+bx

=∞∑n=0

(−λ)n

n!

∫ ∞−∞

dx∂4n

∂b4ne−ax

2+bx

=∞∑n=0

(−λ)n

n!∂4n

∂b4n

∫ ∞−∞

dx e−ax2+bx. (3.7)

Entao, usando a serie da funcao exponencial, conseguimos expressar a integral (3.6), em termos dederivadas de uma integral Gaussiana, que pode ser calculada exatamente. Consideremos agora, a integralmultidimensional,

II =∫ ∞−∞

dNx exp

−∑ij

xi aij xj − λ∑i

x4i +

∑i

bi xi

. (3.8)

Seguindo a mesma ideia do caso anterior, usamos (3.3) para reescrever (3.8) como

30

II =∫ ∞−∞

dNx exp

−∑ij

xi aij xj +∑i

bi xi

[ ∞∑n=0

1n!

(−λ∑i

x4i

)n]

=∞∑n=0

(−λ)n

n!

∫ ∞−∞

dNx

(∑i

x4i

)nexp

−∑ij

xi aij xj +∑i

bi xi

=

∞∑n=0

(−λ)n

n!

∫ ∞−∞

dNx

(∑i

∂4

∂b4i

)nexp

−∑ij

xi aij xj +∑i

bi xi

=

∞∑n=0

(−λ)n

n!

(∑i

∂4

∂b4i

)n ∫ ∞−∞

dNx exp

−∑ij

xi aij xj +∑i

bi xi

. (3.9)

Neste caso, tambem conseguimos deixar a integral da forma (3.8) em termos de derivadas de uma integralGaussiana (multidimensional), que pode ser calculada exatamente. Empregaremos esse raciocınio para o

caso da integral funcional de Landau-Ginzburg, contanto que(∑

i∂4

∂b4i

)n→(∫

ddx δ4

δJ4(x)

)n.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vamos trabalhar agora com Z[J ]. Manipulando a equacao (3.4) de uma forma con-veniente, conseguimos deixa-la em termos de derivadas funcionais de ZG[J ]. Iniciaremoseste processo reescrevendo (3.4) passando o termo −λ/4! para fora da integral funcional,isto e,

Z[J ] =∞∑n=0

1

n!

(− λ

4!

)n ∫Dφ e−HG

(∫ddxφ4

)n. (3.10)

Seguindo a mesma ideia da manipulacao de (3.8), mostrada no topico auxiliar (3.1), aequacao (3.10) pode ser escrita da seguinte forma,

Z[J ] =∞∑n=0

1

n!

(− λ

4!

)n ∫Dφ(∫

ddxδ4

δJ4(x)

)ne−HG . (3.11)

Como o termo envolvendo a derivada funcional nao depende de φ, podemos retira-lo daintegral. Sendo assim,

Z[J ] =∞∑n=0

1

n!

(− λ

4!

∫ddx

δ4

δJ4(x)

)n ∫Dφ e−HG︸ ︷︷ ︸ZG[J ]

=∞∑n=0

1

n!

(− λ

4!

∫ddx

δ4

δJ4(x)

)nZG[J ]

= exp

[− λ

4!

∫ddx

δ4

δJ4(x)

]ZG[J ]. (3.12)

31

Com as equacoes (2.83) e (2.84), podemos escrever ZG[J ] como segue,

ZG[J ] = ZG[0]× exp

[1

2

∫ddx ddyJ(x)∆(x− y)J(y)

]. (3.13)

Escrevendo Z[J ] tal como na linha intermediaria de (3.12) e possıvel, em princıpio, calcularas contribuicoes para esta de qualquer ordem em λ, atuando com as derivadas funcionaisde ordem 4n sobre (3.13). Este e um procedimento trabalhoso. Podemos ter uma nocaodisto calculando a contribuicao de ordem λ. Este calculo e mostrado no topico auxiliar(3.2).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 3.2: Calculo da contribuicao de ordem λ

Tomando apenas o termo correspondente a n = 1 na linha intermediaria de (3.12) e escrevendo ZGcomo em (3.13), temos a seguinte expressao

− λ4!

∫ddz1

δ4

δJ4(z1)

ZG[0]× exp

[12

∫ddz2 d

dz3J(z2)∆(z2 − z3)J(z3)]

, (3.14)

onde apenas renomeamos as variaveis. Primeiramente, vamos avaliar a derivada funcional de quartaordem atuando sobre a exponencial (ela nao atua sobre ZG[0] ) calculando uma a uma, isto e,

δ

δJ(z1)exp

[12

∫ddz2 d

dz3J(z2)∆(z2 − z3)J(z3)]

= exp[

12

∫ddz2 d

dz3J(z2)∆(z2 − z3)J(z3)] [

12

∫ddz3∆(z1 − z3)J(z3)

+12

∫ddz2J(z2)∆(z2 − z1)

]= exp

[12

∫ddz2 d

dz3J(z2)∆(z2 − z3)J(z3)] [∫

ddz2J(z2)∆(z2 − z1)], (3.15)

onde usamos o fato de que as duas integrais envolvendo z1 na penultima linha sao numericamente iguais,pois ∆(z1 − z3) = ∆(z3 − z1). Agora vamos introduzir uma notacao de modo a compactar o calculo,quer dizer, vamos nomear cada termo que surge no processo de derivacao. A derivada seguinte e

δ

δJ(z1)exp

[12

∫ddz2 d

dz3J(z2)∆(z2 − z3)J(z3)]

︸ ︷︷ ︸A

[∫ddz2J(z2)∆(z2 − z1)

]︸ ︷︷ ︸

I

= expA×[∫

ddz3J(z3)∆(z3 − z1)]

︸ ︷︷ ︸II

×I + expA×[∫

ddz2 δ(z2 − z1)∆(z2 − z1)]

= expA× I × II + expA×∆(0). (3.16)

A terceira derivada e

32

δ

δJ(z1)expA× I × II + expA×∆(0)

= expA×[∫

ddz4J(z4)∆(z4 − z1)]

︸ ︷︷ ︸III

×I × II + expA×∆(0)× II

+ expA× I ×∆(0) + expA× III ×∆(0). (3.17)

Finalmente, partimos para a quarta derivada,

δ

δJ(z1)expA× III × I × II + expA×∆(0)× II + expA× I ×∆(0)

+ expA× III ×∆(0)

= expA×[∫

ddz5J(z5)∆(z5 − z1)]

︸ ︷︷ ︸IV

×I × II × III + expA×∆(0)× II × III

+ expA× I ×∆(0)× III + expA× I × II ×∆(0) + expA× IV ×∆(0)× II+ expA×∆(0)×∆(0) + expA× IV × I ×∆(0) + expA×∆(0)×∆(0)+ expA× IV × III ×∆(0) + expA×∆(0)×∆(0)= expA× I × II × III × IV + 6× expA× I × II ×∆(0)+ 3× expA×∆(0)×∆(0)= I × II × III × IV + 6× I × II ×∆(0) + 3×∆(0)×∆(0) expA. (3.18)

Na equacao acima, identificamos aquelas integrais que sao numericamente iguais e as somamos. Substi-tuindo (3.18) em (3.14) ficamos com

−λ

14!

∫ddz1d

dz2 ddz3 d

dz4 ddz5J(z2)∆(z2 − z1)J(z3)∆(z3 − z1)

× J(z4)∆(z4 − z1)J(z5)∆(z5 − z1) +14

∫ddz1d

dz2 ddz3J(z2)∆(z2 − z1)

× J(z3)∆(z3 − z1)∆(0) +18

∫ddz1 ∆2(0)

ZG[J ], (3.19)

que e a contribuicao proporcional a λ. Aqui usamos tambem a (3.13) para reagrupar ZG[0] com aexponencial. Por fim, vemos que o calculo acima e um tanto trabalhoso e se torna ainda mais a medidaque aumentamos a ordem em λ. Entretanto, existe uma maneira mais apropriada para obter os termosda expansao da funcao de particao. Esta tecnica, e conhecida como representacao diagramatica e seradiscutida a seguir.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2 Regras de Feynamn

As regras de Feynman fornecem um esquema de aproximacao para calcular Z[J ]. Elasconduzem a uma representacao de integrais funcionais, tal como (3.1), em termos de umconjunto de diagramas, conhecidos como diagramas de Feynman. Essas regras mostramcomo construir tais diagramas e como associar a eles expressoes algebricas.

A primeira parte das regras diz o que cada termo numa expressao algebrica correspondeem um diagrama. Assim, vamos representar cada coordenada que aparece na integral porum ponto, cada ∆(x−y) por uma linha entre os pontos x e y, que chamaremos de link, ecada ocorrencia de J(z) por um ponto tendo ao seu lado o sımbolo J(z), que designaremospor blob. A segunda parte diz respeito aos fatores de simetria e sera apresentada na secaoseguinte.

Como exemplo, veremos como e a forma do diagrama que representa a equacao(3.19). Comecaremos pelo termo

∫ddz1 ∆2(0). Ele sera representado por dois links

que saem e retornam ao mesmo ponto (designados por loops), na posicao z1. O termo∫ddz1d

dz2 ddz3J(z2)∆(z2 − z1)J(z3)∆(z3 − z1)∆(0) tera dois blobs nas posicoes z2 e z3.

Alem disso, tera tres links, sendo que um deles sai e retorna ao mesmo ponto, formandoum loop. Por fim, o termo

∫ddz1d

dz2 ddz3 d

dz4 ddz5J(z2)∆(z2 − z1)J(z3)∆(z3 − z1)

J(z4)∆(z4− z1)J(z5)∆(z5− z1) tera quatro blobs e quatro links. O diagrama de cada umdesses termos e mostrado na figura (3.1), respectivamente.

Figura 3.1: Contribuicao de ordem λ para Z[J].

Poderıamos pensar se o processo pode ser reverso, ou seja, se conseguimos escreveros termos da expansao de Z[J ] diretamente por meio de diagramas e entao desses di-agramas tirar as expressoes algebricas correspondentes. Isto e possıvel e sera discutidoa seguir. Visto que em (3.12) temos uma expressao para Z[J ] em termos de ZG[J ], econveniente, primeiro, representar ZG[J ] diagramaticamente. Vamos considerar, comoexemplo, o termo O(J6) na expansao de ZG[J ],

34

ZG[J ] =

[· · ·+ 1

3!

(1

2

∫ddz1 d

dz2J(z1)∆(z2 − z1)J(z2)

)3

+ · · ·

]ZG[0], (3.20)

onde escrevemos a exponencial em (3.13) tal como em (3.3) e mostramos apenas o termopara n = 3. Nao representaremos ZG[0] diagramaticamente, pois ele e independentede J e nao contribui para qualquer funcao de correlacao. O diagrama que representa(3.20) contem tres pares de blobs ligados por um link, um para cada integral. Este e umexemplo de diagrama desconectado. Tais diagramas sao constituıdos de duas ou maispartes separadas. A expressao algebrica correspondente a diagramas desconectados e oproduto das expressoes de cada parte separadamente. O diagrama associado a (3.20) emostrado na figura (3.2(a)).

Figura 3.2: (a) Terceiro termo na expansao da funcao de particao Gaussiana. (b) A acaode δ4/δJ4(z) sobre (a). (c) Acao do termo δ2/δJ(x)δJ(y) sobre (b).

Diagramas que sao constituıdos de apenas uma parte, sao chamados de conectados.Notemos que ZG[J ] e uma soma infinita de diagramas tais como aqueles da figura (3.2(a))(desconectados), cada um com um numero diferentes de pares de blobs.

A partir da representacao diagramatica para ZG[J ], podemos obter uma representacaopara Z[J ]. Consideremos o resultado da acao de δ4/δJ4(z) sobre a parte destacada em(3.20),

1

4

[∫ddz1J(z1)∆(z1 − z)

]2

×∆(0)+1

16

∫ddz1d

dz2J(z1)∆(z2−z1)J(z2)×∆2(0). (3.21)

A diferenciacao remove quatro J(z)′s, conduzindo a quatro links que partem do mesmo

ponto, z. O grafico e mostrado na figura (3.2(b)). Entao, o efeito da derivada de quartaordem sobre um diagrama e remover quatro blobs e criar um vertice (ponto de encontro)

35

de quatro links. Da equacao (3.12), vemos que ha um fator −λ associado a cada verticee que devemos integrar sobre a posicao z de cada tal vertice. Em geral, para encontrar acontribuicao de ordem λn para Z[J ], desenhamos todos os possıveis diagramas contendon vertice de quatro links e atribuımos a todas as pontas dos links um blob, ou seja, umJ(z). Em seguida, traduzimos cada diagrama em uma integral, colocando um J(z) paracada blob na posicao z, um ∆(x−y) para cada link entre os pontos x e y, e um fator −λpara cada vertice. Devemos integrar sobre todas as variaveis de posicao.

As derivadas funcionais de Z[J ] com respeito a J , que estao relacionadas com asfuncoes de correlacao G(n) (equacao (2.13)), tambem podem ser representadas diagra-maticamente. Por exemplo, derivando (3.21), que esta associada aos diagramas da figura(3.2(b)), com respeito a J(x) e J(y), resulta

1

2∆(y − z)∆(x− z) ∆(0) +

1

8∆(y − x) ∆2(0), (3.22)

cujo diagrama correspondente e dado na figura (3.2(c)). Entao, o efeito de uma derivadafuncional atuando sobre um diagrama, e fixar um blob que esteja na ponta de um link.Observemos que, em (3.22) nao ha integracao sobre os pontos x e y. Variaveis de posicaoque nao integramos sobre elas, sao chamadas de pontos externos, ao passo que aquelasque sao integradas sobre sao chamadas de pontos internos. O unico ponto que falta, esaber como associar o fator numerico que multiplica as expressoes algebricas, tais fatoressao conhecidos como fatores de simetria e vamos discutı-los a seguir.

3.2.1 Fator de Simetria

Nesta secao, nao nos preocuparemos em detalhar quais sao as origens combinatoriaisdos fatores de simetria, vamos apenas enunciar as regras que regem tais fatores e usa-lascorretamente. Em seguida, veremos alguns exemplos para nos familiarizarmos com essasregras. Sendo assim, temos as seguintes regras:

Regra 1: Para todo link com suas duas pontas no mesmo ponto interno, ou seja,formando um loop, ha um fator 1/2.

Regra 2: Para todo par de pontos que estao diretamente ligados por n links, ha umfator 1/n!.

Regra 3: Se ha n diferentes maneiras de arranjar os pontos internos (vertices e blobs)e links de um diagrama, mantendo os pontos externos fixos na posicao e sem cortarqualquer link, enquanto mantem a aparencia do diagrama imutavel, entao o diagramadeve ser multiplicado por um fator 1/n.

36

Figura 3.3: (a) Diagrama que contribui para G(4)(x1, ...,x4). (b) Diagrama em que os treslinks sao ligados aos mesmos dois pontos. (c) Diagrama que tem dois arranjos diferentesque nao alteram sua aparencia.

Como exemplo, consideremos os diagramas da figura (3.3). Vamos primeiramenteanalisar o diagrama (a). Nao e possıvel encaixa-lo em nenhuma das regras, logo, ele naotem fator devido as regras e o numero resultante que multiplica esse diagrama e 1. Odiagrama (b) possui tres links ligados ao mesmo par de pontos internos. De acordo coma regra 2, o fator associado a esse diagrama e 1/3!. Por ultimo, o diagrama (c) tem doislinks cujas pontas saem e retornam ao mesmo ponto interno, pela regra 1, ha um fator1/2×1/2. Alem disso, por meio de uma rotacao em torno do eixo central, e possıvel obteroutro arranjo sem alterar a forma do diagrama. Pela regra 3, isso corresponde a um fator1/2. Assim, o fator resultante sera 1/8.

Podemos usar como outro exemplo, os diagramas da figura (3.1), cujos fatores desimetria sao dados na equacao (3.19). O diagrama (a) tem dois links cujas pontas saeme retornam ao mesmo ponto, assim, pela regra 1, ha um fator 1/2 ×1/2. Podemos giraresses dois links em torno do ponto z1, dando origem a outro arranjo do diagrama, quemantem sua aparencia imutavel. Pela regra 3, ha um fator 1/2 e o fator de simetriaresultante e 1/8 (ver equacao (3.19). O diagrama (b) tem um link com suas duas pontasno mesmo ponto interno, assim, de acordo com a regra 1, ha um fator 1/2. Os dois blobspodem ser alternados sem que mude a aparencia do diagrama e a regra 3 diz que ha umfator 1/2. O fator resultante e 1/4. No diagrama (c), os blobs podem ser rearranjadosde 24 maneiras diferentes sem mudar a aparencia desse diagrama, pela regra 3, o fatorassociado sera 1/24.

37

3.3 Energia Livre de Helmholtz do Modelo de Landau-

Ginzburg

Sabemos que a energia livre de Helmholtz e dada por −1/β lnZ. Assim, o conhe-

cimento das funcoes de correlacao passa por conhecer a energia livre, visto que G(n)c sao

as derivadas de lnZ, equacao (2.16). Seguindo este raciocınio, portanto, gostarıamos deobter uma serie para a energia livre do modelo de Landau-Ginzburg.

Vamos comecar lembrando que os diagramas podem ser classificados em conectadosou desconectados. E certo que ha muito menos diagramas conectados que desconectados.Sendo assim, seria uma grande simplificacao se a energia livre de Helmholtz fosse repre-sentada apenas por diagramas conectados. De fato, e o que acontece. Para verificar isso,vamos considerar lnZ[J ], visto que a energia livre e dada por −1/β lnZ[J ].

Seja i o ındice que designa os membros de um conjunto de diagramas conectados e sejaCi a expressao algebrica associada ao i-esimo diagrama. Qualquer diagrama desconectadopode ser completamente descrito pelo numero de vezes ni que cada diagrama conectadoi aparece nele. Lembremos que a expressao algebrica correspondente a um diagramadesconectado e dada pelo produto das expressoes associadas as suas partes separadas.Agora, vamos supor que o primeiro diagrama conectado apareca tres vezes. A regra 3 dofator de simetria nos diz que havera um fator 1/3! multiplicando o diagrama desconectadodevido a 3! maneiras de arranjar tres copias do primeiro diagrama mantendo o diagramacompleto invariante. Do mesmo modo, se o segundo aparecer quatro vezes, havera umfator 1/4!. Entao, para um diagrama qualquer, constituıdo de i diagramas conectados,cada um repetido ni vezes, a expressao algebrica D(ni), pode ser escrita como

D(ni) =(C1)n1

n1!

(C2)n2

n2!· · · =

∏i

(Ci)ni

ni!. (3.23)

A funcao de particao Z e a soma sobre todas possıveis expressoes D(ni),

Z =∞∑

n1=0

∞∑n2=0

· · · (C1)n1

n1!

(C2)n2

n2!· · ·

=

(∞∑

n1=0

(C1)n1

n1!

)(∞∑

n2=0

(C2)n2

n2!

)· · ·

= expC1 expC2 · · ·= exp

∑i

Ci. (3.24)

Logo, verificamos que

38

lnZ =∑i

Ci. (3.25)

Notemos que somente os diagramas conectados irao contribuir para as funcoes de cor-relacao, pois elas sao as derivadas de lnZ.

3.3.1 Regras de Feynman no Espaco dos Momentos (k)

De acordo com a equacao (2.85), vemos que (α2k2 +µ2)−1 e a transformada de Fourierdo propagador, que e mais simples que o proprio propagador. Por este motivo, funcoes decorrelacao no espaco de posicao sao raramente calculadas. E conveniente trabalhar comas funcoes de correlacao calculadas a partir de φ(k), dada em (2.18). Tais funcoes saoconhecidas como funcoes de correlacao no espaco do momentos ou no espaco k.

Nosso primeiro passo e escrever o termo de fonte da Hamiltoniana de Landau-Ginzburgcomo

−∫ddx J(x)φ(x) = −

∫ddx

(∫ddk′ eik

′·xJ(k′)

)(∫ddk eik·xφ(k)

)= −

∫ddk′

(2π)dddk

(2π)dJ(k′)φ(k)

∫ddx ei(k

′+k)·x︸ ︷︷ ︸(2π)dδ(k′+k)

= −∫

ddk

(2π)dJ(−k)φ(k). (3.26)

Quando diferenciamos a (3.1) com respeito a J(x), desce um fator φ(x). Pela (3.26),

quando diferenciamos a funcao de particao com respeito a J(−k), desce um fator (2π)−dφ(k).

Com isto, as funcoes de correlacao de φ(k) sao dadas por

G(n)c (k1,k2, ...,kn; J) ≡ 〈φ(k1) · · · φ(kn)〉conectada

= (2π)ndδ

δJ(−k1)· · · δ

δJ(−kn)lnZ[J ]. (3.27)

Note que o fator (2π)nd justamente cancela aquele que surge devido as n diferenciacoes.A relacao entre as funcoes de correlacao no espaco de posicao e no espaco dos momentossegue diretamente de (2.16), (2.17) e (3.27):

39

G(n)c (x1, ...,xn; J) = 〈φ(x1) · · ·φ(xn)〉conectada

= 〈(∫

ddk1 eik1·x1φ(k1)

)· · ·(∫

ddkn eikn·xnφ(kn)

)〉conectada

=

∫ddk1 e

ik1·x1 · · · ddkn eikn·xn〈φ(k1) · · · φ(kn)〉conectada

=

∫ddk1 e

ik1·x1 · · · ddkn eikn·xnG(n)c (k1, ...,kn; J). (3.28)

As G(n)c sao as transformadas de Fourier das funcoes de correlacao no espaco de posicao.

Para calcular G(n)c , nao e necessario calcular primeiro G

(n)c e depois transforma-la. Pode-

mos estabelecer regras que permitem escrever G(n)c diretamente. Para este fim, vamos

considerar o exemplo do diagrama que contribui para G(1)c , mostrado na figura (3.4).

Figura 3.4: (a) Diagrama que contribui para G(1)c . (b) Diagrama correspondente no espaco

dos momentos, que contribui para G(1)c .

De acordo com as regras da secao (3.2), a expressao C correspondente ao diagrama(a) da figura (3.4) sera,

C =1

6λ2

∫ddz1d

dz2 ddz3 ∆(x− z1)[∆(z1 − z2)]3∆(z2 − z3)J(z3). (3.29)

Agora, vamos substituir toda ocorrencia de ∆(v −w), pela expressao equivalente

∆(v −w) =

∫ Λ

ddkeik(v−w)

α2k2 + µ2. (3.30)

Desse modo, C torna-se

40

C =1

6λ2

∫ddz1d

dz2 ddz3

(∫ Λ

ddk1eik1(x−z1)

α2k21 + µ2

)(∫ Λ

ddk2eik2(z1−z2)

α2k22 + µ2

)×

(∫ Λ

ddk3eik3(z1−z2)

α2k23 + µ2

)(∫ Λ

ddk4eik4(z1−z2)

α2k24 + µ2

)(∫ Λ

ddk5eik5(z2−z3)

α2k25 + µ2

)J(z3)

=1

6λ2

∫ Λ ddk1

α2k21 + µ2

· · · ddk5

α2k25 + µ2

eik1x

∫ddz1d

dz2 ei(k2+k3+k4−k1)·z1

× ei(k5−k2−k3−k4)·z2

∫ddz3 e

−ik5·z3J(z3). (3.31)

Para cada link no diagrama, havera entao, um vetor de onda ki, que integramos sobre elee um fator (α2k2

i +µ2)−1. Vamos considerar os vertices de quatro pontos, em z1 e z2, queaparecem na (3.31). Uma integracao sobre esses pontos conduz a funcao delta, isto e,∫

ddz1 ei(k2+k3+k4−k1)·z1 = (2π)dδ(k2 + k3 + k4 − k1) (3.32)

e ∫ddz2 e

i(k5−k2−k3−k4)·z2 = (2π)dδ(k5 − k2 − k3 − k4). (3.33)

A soma dos vetores de onda que entram e saem em cada vertice e zero. Referimos a issocomo conservacao do vetor de onda. Identificamos a integral sobre z3 em (3.31) como

a transformada de Fourier de J , assim ela pode ser substituıda por J . Com a ajuda de(3.32) e (3.33), conseguimos fazer duas integrais de (3.31), ou seja,

C =1

6λ2

∫ Λ ddk1

α2k21 + µ2

· · · ddk5

α2k25 + µ2

eik1x(2π)dδ(k2 + k3 + k4 − k1)

× (2π)dδ(k5 − k2 − k3 − k4) J(k5)

=1

6λ2

∫ Λ ddk1

α2k21 + µ2

ddk2

α2k22 + µ2

ddk3

α2k23 + µ2

ddk5

α2k25 + µ2

eik1x(2π)d

× 1

(2π)d1

[α2(k1 − k2 − k3)2 + µ2](2π)dδ(k5 − k1)J(k5)

=1

6λ2

∫ Λ ddk1

α2k21 + µ2

ddk2

α2k22 + µ2

ddk3

α2k23 + µ2

eik1x(2π)d

× 1

(2π)d1

[α2(k1 − k2 − k3)2 + µ2](2π)d

1

(2π)d1

α2k21 + µ2

J(k1)

=1

6λ2

∫ Λ

eik1xddk1

α2k21 + µ2

ddk2

α2k22 + µ2

ddk3

α2k23 + µ2

× Θ(Λ2 − (k1 − k2 − k3)2)

[α2(k1 − k2 − k3)2 + µ2]

J(k1)

α2k21 + µ2

, (3.34)

41

onde integramos primeiro sobre k4 e em seguida sobre k5. Introduzimos em (3.34) afuncao degrau (Θ(x) = 1 se x > 0 e Θ(x) = 0 se x < 0) para garantir que a magnitudedo vetor de onda (k1 − k2 − k3) fique entre 0 e Λ. No entanto, as quantidades queestamos interessados em calcular nao dependem da estrutura das integrais de Feynmanpara grandes vetores de onda e assim os resultados a serem obtidos nao serao afetadospela omissao da funcao degrau. Devido a este fato, nao vamos escreve-la.

A equacao (3.34) tem a mesma forma que (3.28). Comparando essas duas equacoes,

vemos que a parte C que contribui para a funcao de correlacao de um ponto, G(1)c (k1), e

C =1

α2k21 + µ2

∫ddk2

α2k22 + µ2

ddk3

α2k23 + µ2

1

[α2(k1 − k2 − k3)2 + µ2]

J(k1)

α2k21 + µ2

, (3.35)

onde omitimos o fator λ2/6 de (3.34) ao definirmos C. O procedimento feito anterior-

mente, nos fornece um esquema geral para encontrar G(n)c . Os diagramas desenhados no

espaco dos momentos sao os mesmos que os diagramas no espaco de posicao, porem, aexpressao assumida a cada parte do diagrama e diferente. Notemos que o diagrama (b) da

figura (3.4) tem a mesma forma que o da (a). As regras para encontrar G(n)c , juntamente

com as regras no espaco de posicao para G(n)c , sao sumarizadas nos topicos auxiliares (3.3)

e (3.4).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 3.3: Regras de Feynman no espaco dos momentos

Para encontrar a contribuicao proporcional a λn para G(m)c (k1, ...,km; J):

∗ Desenhe todos diagramas conectados distintos contendo n vertices de quatro pontas, zero ou maisblobs e m pontos externos k1, ...,km. Junte todos esses pontos por meio de links (quatro links para cadavertice e um para cada blob). Se m = 0, o diagrama contribui somente para lnZ[J ]. Dois diagramas saodistintos se eles nao podem ser transformados um no outro movendo vertices, blobs e pontos, sem cortarqualquer link. Para cada um desses diagramas: Associe ao diagrama o fator (−λ)n. Assuma um vetor de onda qi fluindo em cada link e associe a este um fator (α2q2

i +µ2)−1 sujeito aconservacao do momento em cada vertice. Vetores de onda que percorrem um link conectado a um pontoexterno ki sao designados por ki. Associe um fator J(q) a um blob na ponta de um link com vetor de onda q fluindo por ele. Integre sobre todos os vetores de onda livres, incluindo o fator (2π)−d para cada integral. Multiplique por 1/2 cada link cujas duas pontas estao ligadas ao mesmo vertice. Multiplique por (l!)−1 cada conjunto de l links conectados a dois mesmos vertices. Se houver pontos internos de um diagrama que podem ser rearranjados de r maneiras distintas tal

que nao mude a aparencia do diagrama, divida por r.∗ Some as expressoes resultantes de todos diagramas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 3.4: Regras de Feynman no espaco de posicao

Para encontrar a contribuicao proporcional a λn para G(m)c (x1, ...,xm; J):

∗ Desenhe todos diagramas conectados distintos contendo n vertices de quatro pontas, zero ou maisblobs e m pontos externos x1, ...,xm. Junte todos esses pontos por meio de links (quatro links para cadavertice e um para cada blob). Se m = 0, o diagrama contribui somente para lnZ[J ]. Dois diagramas saodistintos se eles nao podem ser transformados um no outro movendo vertices, blobs e pontos, sem cortarqualquer link. Para cada um desses diagramas: Associe ao diagrama o fator (−λ)n. Nomeie cada um dos pontos internos, vertices e blobs, com uma variavel de posicao zi. Para cada link, associe um fator ∆(z2 − z1), onde z1 e z2 sao os pontos conectados pelo link. Associe um fator J(z) a cada blob, onde z e a posicao do blob. Integre sobre as posicoes de todos os pontos internos. Multiplique por 1/2 cada link cujas duas pontas estao ligadas ao mesmo vertice. Multiplique por (l!)−1 cada conjunto de l links conectados aos dois mesmos vertices. Se houver pontos internos de um diagrama que podem ser rearranjados de r maneiras distintas tal

que nao mude a aparencia do diagrama, divida por r.∗ Some as expressoes resultantes de todos diagramas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uma consequencia da conservacao do vetor de onda em cada vertice e que, se a fonteJ for nula, entao, nao poderemos integrar sobre todas as deltas e a funcao de correlacaoe nula a menos que a soma total dos vetores de onda fluindo ao longo de suas pernasexternas seja nula. Como exemplo, vamos calcular G

(2)c (k1,k2) no modelo Gaussiano.

Temos,

G(2)c (x,y) = 〈φ(x)φ(y)〉 =

(∫ddk1 e

ik1·xφ(k1)

)(∫ddk2 e

ik2·yφ(k2)

)=

∫ddk1 e

ik1·x ddk2 eik2·y 〈φ(k1)φ(k2)〉︸ ︷︷ ︸

G(2)c (k1,k2)

. (3.36)

Visto que G(2)c (x,y) = ∆(x− y), de acordo com (2.85) e (3.36) podemos escrever∫

ddk1 eik1·x ddk2 e

ik2·y G(2)c (k1,k2) =

∫ddk1

eik1(x−y)

α2k21 + µ2

. (3.37)

O lado direto de (3.37) pode ser deixado da mesma forma que o lado esquerdo, isto e,

∫ddk1 e

ik1·x ddk2 eik2·y G(2)

c (k1,k2) =

∫ddk1e

ik1·xddk2 eik2·y (2π)dδ(k1 + k2)

α2k21 + µ2

. (3.38)

Comparando os dois lados, verificamos que

43

G(2)c (k1,k2) =

(2π)dδ(k1 + k2)

α2k21 + µ2

. (3.39)

A presenca da funcao delta reflete a invariancia translacional da teoria. Se J = 0, a funcaode correlacao no espaco de posicao nao depende da posicao absoluta. Como as funcoesde correlacao sao mais frequentemente calculadas com J = 0, e conveniente escrever

G(n)c (k1, ...,kn) = (2π)dδ(k1 + · · ·+ kn) G(n)

c (k1, ...,kn−1). (3.40)

G(n)c (k1, ...,kn−1) e chamada de funcao de correlacao reduzida. Notemos que ela e uma

funcao de n − 1 vetores. Para o caso de G(2)c (k1,k2), vamos escreve-la sob o ponto de

vista de (3.40). Desse modo,

G(2)c (k1,k2) = (2π)dδ(k1 + k2) G(2)

c (k1). (3.41)

De (3.41) e (3.39) encontramos que

G(2)c (k1) =

1

α2k21 + µ2

. (3.42)

Funcoes de correlacao reduzidas podem ser definidas somente quando J e espacialmenteuniforme. A presenca da delta, como citado anteriormente, indica que ha invarianciatranslacional no sistema, o que nao aconteceria se o J variasse espacialmente, pois nestecaso, certas regioes poderiam ser privilegiadas.

Podemos pensar em fazer uma conexao entre funcao de correlacao e alguma quantidadeque pode ser medida facilmente. Veremos a seguir que G

(2)c (0) esta relacionada com a

suscetibilidade χ. Para o caso magnetico, como citado na secao (1.2), a suscetibilidadee a taxa de variacao da magnetizacao media local 〈φ(x)〉 quando um campo magneticouniforme (e infinitesimal) e aplicado. Um pequeno campo magnetico δB(y) correspondea uma pequena fonte de campo δJ(y) = βδB(y). A variacao em 〈φ(x)〉 produzida poresse campo pode ser representada por

δ〈φ(x)〉 =

∫ddy δJ(y)

δ〈φ(x)〉δJ(y)

∣∣∣J=0

, (3.43)

onde empregamos a regra da cadeia funcional, dada em (2.9). Como estamos considerandoδJ(y) espacialmente uniforme, dizemos δJ(y) = J , a (3.43) torna-se

δ〈φ(x)〉 = J∫ddy

δ〈φ(x)〉δJ(y)

. (3.44)

Tendo em vista (2.16), a equacao (3.44) pode ser escrita como

44

δ〈φ(x)〉 = J∫ddy

δ

δJ(x)

δ

δJ(y)lnZ[J ]

= J∫ddyG(2)

c (x,y). (3.45)

Substituindo (3.41) em (3.36), ficamos com

G(2)c (x,y) =

∫ddk1 e

ik1·x ddk2 eik2·y(2π)dδ(k1 + k2) G(2)

c (k1), (3.46)

que, quando integrada sobre a variavel k2, resulta em

G(2)c (x,y) =

∫ddk1 e

ik1·x e−ik1·yG(2)c (k1). (3.47)

Levando (3.47) em (3.45), chegamos a

δ〈φ(x)〉 = J∫ddk1 e

ik1·x G(2)c (k1)

∫ddy e−ik1·y︸ ︷︷ ︸

(2π)dδ(−k1)

= J G(2)c (0). (3.48)

Lembrando que J = δJ = β δB, finalmente encontramos

χ =δ〈φ〉δB

= βG(2)c (0), (3.49)

que e a suscetibilidade magnetica. Ela pode ser entendida como a resposta do sistemaquando um pequeno campo e aplicado.

Nesta secao, passamos a trabalhar no espaco dos momentos. Vimos que as funcoes decorrelacao neste espaco sao mais faceis de serem calculadas do que no espaco de posicao.Por esta razao, no estudo subsequente vamos trabalhar exclusivamente com as funcoes noespaco dos momentos.

3.3.2 Funcoes de Vertice

Vimos anteriormente que, para encontrar lnZ ou as funcoes de correlacao devemoscalcular e somar todos os diagramas conectados de acordo com as regras apresentadas.O numero de diagramas que precisamos calcular pode ser ainda reduzido. Isto e possıvelporque alguns diagramas conectados sao consituıdos de dois ou mais diagramas conectados

45

Figura 3.5: (a) Contribuicao para G(2)c . (b) Contribuicao mais complicada para G

(2)c . (c)

Diagramas fundamentais que constituem os diagramas (a) e (b).

ligados de uma maneira simples. Entao, conhecendo os diagramas fundamentais, ou seja,aqueles que atuam como blocos de construcao, podemos encontrar a expressao completapara o diagrama. Para ilustrar isto, consideremos os diagramas mostrados na figura (3.5).

A expressao correspondente ao diagrama (a) da figura (3.5) e

D1 =1

α2k2 + µ2

(1

6λ2

∫ddq1

α2q21 + µ2

ddq2

α2q22 + µ2

1

α2(k− q1 − q2)2 + µ2

)× 1

α2k2 + µ2

(−1

2λ

∫ddq3

α2q23 + µ2

)1

α2k2 + µ2. (3.50)

A expressao correspondente ao diagrama (b) da figura (3.5) tem uma estrutura similar a(3.50), sendo dada por

D2 =1

α2k2 + µ2

(1

6λ2

∫ddq1

α2q21 + µ2

ddq2

α2q22 + µ2

1

α2(k− q1 − q2)2 + µ2

)× 1

α2k2 + µ2

(1

6λ2

∫ddq3

α2q23 + µ2

ddq4

α2q24 + µ2

1

α2(k− q3 − q4)2 + µ2

)× 1

α2k2 + µ2

(−1

2λ

∫ddq5

α2q25 + µ2

)1

α2k2 + µ2

×(

1

6λ2

∫ddq6

α2q26 + µ2

ddq7

α2q27 + µ2

1

α2(k− q6 − q7)2 + µ2

)1

α2k2 + µ2. (3.51)

Os diagramas mostrados em (c) da figura (3.5) atuam como os blocos de construcao desteconjunto de diagramas. As expressoes correspondentes a eles sao

Ia =1

6λ2

∫ddq1

α2q21 + µ2

ddq2

α2q22 + µ2

1

α2(k− q1 − q2)2 + µ2(3.52)

46

e

Ib = −1

2λ

∫ddq1

α2q21 + µ2

, (3.53)

respectivamente. Notemos que as equacoes (3.50) e (3.51) sao constituıdas de termos dotipo Ia e Ib e de propagadores ∆(k) = (α2k2 + µ2)−1.

Vamos agora a algumas definicoes sobre diagramas. Um diagrama conectado e chamadode 1PR, do ingles, one-particle reducible, se, cortanto um propagador que nao estiver lig-ado a um ponto externo, o diagrama e separado em outros dois diagramas conectados.Por outro lado, um diagrama e dito 1PI, tambem do ingles, one-particle irreducible, seele nao pode ser separado em dois diagramas por meio de um corte. Os diagramas (a) e(b) da figura (3.5) sao 1PR, ao passo que os diagramas em (c) sao 1PI. Os diagramas (a)e (b) podem ser separados nas pecas mostradas em (c). Essas separacoes sao assinaladaspor meio de cortes indicados pelas setas na figura (3.5) em (a) e (b). Com isto, ilustramosque todos diagramas 1PR podem ser escritos como dois ou mais diagramas 1PI unidos.Os diagramas 1PI sao os blocos de construcao para diagramas conectados. As expressoesIa e Ib, equacoes (3.52) e (3.53), sao ditas amputadas, pois elas nao contem propagadoresem suas pernas externas. Assim, os diagramas de n pontos 1PI amputados sao os blocosde construcao para diagramas conectados.

Agora, vamos a definicao de funcoes de vertice. Para n > 2, a funcao de vertice de npontos e definida como o negativo da soma de todos diagramas de n pontos 1PI amputa-dos, sendo escrita como Γ(n)(k1, ...,kn). Γ(2) e o negativo da soma de todos diagramas dedois pontos 1PI amputados mais o inverso (∆−1) do propagador. As funcoes de verticetambem podem ser escritas na forma reduzida, tal como no caso das funcoes de correlacao,equacao (3.40), quer dizer,

Γ(n)(k1, ...,kn) = (2π)dδ(k1 + · · ·+ kn) Γ(n)(k1, ...,kn−1). (3.54)

Vamos considerar um exemplo de como diagramas conectados podem ser contruıdos apartir de diagramas 1PI. Consideremos a funcao de correlacao de dois pontos conectadaG

(2)c (k) para o caso J = 0. Todos os diagramas que contribuem para G

(2)c tomam a forma

de um ou mais diagramas 1PI ao longo de uma linha, pois como J = 0 nao ha ramos nodiagrama. Este grafico e mostrado na figura (3.6). O mesmo vetor de onda k flui portodos diagramas.

Algebricamente podemos escrever

G(2)c (k) = ∆(k) + ∆(k)X(k)∆(k) + ∆(k)X(k)∆(k)X(k)∆(k) + · · · , (3.55)

onde X(k) e a soma de todas contribuicoes 1PI amputadas para G(2)c (k) excluindo o

propagador ∆(k). De acordo com a definicao de Γ(2) dada acima, segue que

47

Figura 3.6: Funcao de correlacao de dois pontos expressa em termos de uma serie infinitaenvolvendo diagramas de dois pontos amputados. A linha de cima mostra os primeirostermos dessa serie infinta. A linha de baixo mostra como esta serie pode ser somadadiagramaticamente

Γ(2)(k) = ∆−1(k)−X(k). (3.56)

A serie da equacao (3.55) pode ser somada do seguinte modo,

G(2)c (k) = ∆(k) + ∆(k)X(k)∆(k) + ∆(k)X(k)∆(k)X(k)∆(k) + · · ·

= ∆(k) + ∆(k)X(k)(

∆(k) + ∆(k)X(k)∆(k) + · · ·)

= ∆(k) + ∆(k)X(k)G(2)c (k), (3.57)

que e mostrada no diagrama de baixo da figura (3.6). Resolvendo (3.57) para G(2)c (k),

ficamos com

G(2)c (k) =

1

∆−1(k)−X(k). (3.58)

Usando a (3.56), podemos escrever

G(2)c (k) =

1

Γ(2)(k). (3.59)

A partir de agora, vamos trabalhar principalmente com as funcoes de vertice, vistoque as funcoes de correlacao podem ser construıdas a partir delas.

As funcoes de correlacao sao as derivadas da energia livre de Helmholtz com respeito aJ . E natural perguntar se ha uma situacao analoga para as funcoes de vertice. Na proximasecao, veremos que as funcoes de vertice sao as derivadas da energia livre de Gibbs comrespeito a media termica do parametro de ordem φ. As regras de Feynman para calcularas funcoes de vertice no espaco dos momentos sao mostradas no topico auxiliar (3.5).

48

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 3.5: Regras de Feynamn para funcoes de vertice no espaco dos momentos

Sendo ZG[J ] a funcao de particao Gaussiana dada em (2.83). Entao, Γ(0) e − lnZG[0] menos a somade todos os diagramas 1PI sem pernas externas construıdos de acordo com as regras de Feynam no espacodos momentos mostrados anteriormente. Γ(1) e o negativo da soma de todos diagramas 1PI amputadosque contribuem para G(1)

c , excluindo os diagramas que envolvem J . Para o modelo de Landau-Ginzburg,Γ(1) e nulo. A unica funcao entre todas as Γ(n) que tem uma contribuicao de ordem zero em λ e Γ(2).Esta contribuicao e

Γ(2)(k) = α2k2 + µ2 +O(λ). (3.60)

As contribuicoes remanescentes para Γ(2) e todas as contribuicoes para Γ(m), com m > 3, sao dadas pelasregras abaixo. Elas diferem das regras para G(n)

c nos seguintes aspectos:∗ Apenas diagramas 1PI sao considerados.∗ Nao ha propagadores para links conectados a pontos externos (os diagramas sao amputados).∗ Ha um sinal de menos global.Para encontrar a contribuicao de O(λn) para Γ(m)(k1, ...,km):∗ Desenhe todos diagramas conectados distintos contendo n vertices de quatro pontas e m pontos

externos designados por k1, ...,km, ligando todos esses pontos por meio de links (quatro links para cadavertice e um para cada ponto). Dois diagramas sao distintos se eles nao podem ser transformados um nooutro movendo vertices e pontos, sem cortar qualquer link. Para cada um desses diagramas: Associe ao diagrama o fator (−1)(−λ)n. Assuma um vetor de onda qi fluindo em cada link e associe a este um fator (α2q2

i + µ2)−1 sujeitoa conservacao do momento em cada vertice. Vetores de onda que percorrem um link conectado a umponto externo ki sao designados por ki. Nao associe o fator (α2k2

i + µ2)−1 a links conectados a pontosexternos. Integre sobre todos os vetores de onda livres, incluindo o fator (2π)−d para cada integral e trunque

as integrais com o limite superior Λ. Multiplique por 1/2 cada link cujas duas pontas estao ligadas ao mesmo vertice. Multiplique por (l!)−1 cada conjunto de l links conectados aos dois mesmos vertices. Se houver pontos internos de um diagrama que podem ser rearranjados de r maneiras distintas tal

que nao mude a aparencia do diagrama, divida por r.∗ Some todas as expressoes resultantes de todos diagramas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Energia Livre de Gibbs do Modelo de Landau-

Ginzburg

A energia livre de Gibbs G e obtida por meio de uma transformada de Legendre daenergia livre de Helmholtz, sendo assim

G = − 1

βlnZ[J ]−

[∫ddx

δ

δJ(x)

(− 1

βlnZ[J ]

)J(x)

]. (3.61)

49

Agora, definimos a energia livre de Gibbs adimensional Γ[φ] como

βG[φ] =

[∫ddxφ(x)J(x)

]− lnZ[J ] ≡ Γ[φ], (3.62)

em que

φ(x) ≡ δ lnZ[J ]

δJ(x)= 〈φ(x)〉. (3.63)

O calculo de Γ[φ] envolve os diagramas de Feynamn. Na ultima secao, vimos que e maissimples trabalhar no espaco dos momentos. Por esse motivo, introduzimos a variavel ϕ,tal que

φ(x) =

∫ddk eik·xϕ(k). (3.64)

Lembrando da equacao (2.17), podemos escrever (3.63) como

φ(x) = 〈φ(x)〉 = 〈∫ddk eik·xφ(k)〉 =

∫ddk eik·x〈φ(k)〉. (3.65)

De acordo com a (3.27), a equacao (3.65) torna-se

φ(x) =

∫ddk eik·x(2π)d

δ lnZ[J ]

δJ(−k). (3.66)

Comparando (3.66) com (3.64), vemos que

ϕ(k) = (2π)dδ lnZ[J ]

δJ(−k)= 〈φ(k)〉. (3.67)

Agora, devemos escrever Γ em termos de ϕ e J . Para isto, escrevemos o termo∫ddxφ(x)J(x)

de Γ, equacao (3.62), como funcao dessas quantidades. Assim,∫ddxφ(x)J(x) =

∫ddx

(∫ddk eik·xϕ(k)

)(∫ddk′ eik

′·xJ(k′)

)=

∫ddk ddk′ ϕ(k)J(k′)

∫ddx ei(k

′+k)·x︸ ︷︷ ︸(2π)dδ(k′+k)

=

∫ddkϕ(k)J(−k). (3.68)

Subtituindo (3.68) em (3.62) e trocando lnZ[J ]→ lnZ[J ], obtemos

Γ[ϕ] =

∫ddkϕ(k)J(−k)− lnZ[J ]. (3.69)

50

3.4.1 Regras para encontrar Γ[ϕ]

Acima de Tc, as funcoes de vertice Γ(n) sao definidas como sendo os coeficientes daexpansao funcional da serie de Taylor de Γ[ϕ] em torno de ϕ = 0, isto e,

Γ[ϕ] = Γ[ϕ]∣∣∣ϕ=0

+

∫ddk1(2π)d

δΓ[ϕ]

δϕ(−k1)

∣∣∣ϕ=0

ϕ(−k1)

+1

2!

∫ddk1d

dk2(2π)2d δ2Γ[ϕ]

δϕ(−k1)δϕ(−k2)

∣∣∣ϕ=0

ϕ(−k1)ϕ(−k2) + · · ·

=∞∑n=0

1

n!

∫ddk1 · · · ddkn ϕ(−k1) · · · ϕ(−kn)(2π)nd

δ

δϕ(−k1)· · · δ

δϕ(−kn)Γ[ϕ]

∣∣∣ϕ=0

.

(3.70)

Identificamos entao

Γ(n)(k1, ...,kn) ≡ (2π)ndδ

δϕ(−k1)· · · δ

δϕ(−kn)Γ[ϕ]

∣∣∣ϕ=0

. (3.71)

Notemos a analogia entre as equacoes (3.27) e (3.71), ou seja, as funcoes de vertice saoas derivadas da energia livre de Gibbs adimensional tal como as funcoes de correlacaoconectadas sao as derivadas da energia livre de Helmholtz adimensional.

Vamos agora, verificar para Γ(0), Γ(1) e Γ(2) que as funcoes de vertice definidas acima,sao dadas pelas regras de Feynamn no espaco dos momentos mostradas na secao (3.3.2).Iniciaremos por Γ(0). A equacao (3.71) fornece

Γ(0) = Γ[ϕ]∣∣∣ϕ=0

. (3.72)

Tomando ϕ = 0 em (3.69), obtemos

Γ(0) = − lnZ[J [0]], (3.73)

onde J [0] correponde a fonte de campo com ϕ = 0. A relacao entre J e ϕ e dada pelaequacao (3.67). Para o modelo de Landau-Ginzburg, sabemos que o termo da funcao

de particao dependente de J e −∫

ddk(2π)d J(−k)φ(k) (equacao (3.26)). Mas se ϕ = 0, a

equacao (3.67) implica

δ lnZ[J ]

δJ(−k)= 0, (3.74)

ou seja, lnZ[J ] deve ser independente de J . Para isto ser verdade, J [0] = 0. Assim, aequacao (3.73) fica

51

Γ(0) = − lnZ[0] = − lnZG[0]. (3.75)

Para n = 1 em (3.71), temos

Γ(1)(k1) = (2π)dδΓ[ϕ]

δϕ(−k1)

∣∣∣ϕ=0

. (3.76)

Vamos calcular a derivada funcional de Γ[ϕ] em relacao a ϕ(−k1), quer dizer,

δΓ[ϕ]

δϕ(−k1)=

δ

δϕ(−k1)

[∫ddkϕ(k)J(−k)− lnZ[J ]

]=

∫ddk δ(k + k1)J(−k)

=J(k1)

(2π)d. (3.77)

Levando (3.77) em (3.76), chegamos a

Γ(1)(k1) = (2π)dJ(k1)∣∣∣ϕ=0

= 0, (3.78)

pois vimos anteriormente que J [0] = 0. Por ultimo, vamos ao calculo de Γ(2). De acordocom (3.71), segue que

Γ(2)(k1,k2) = (2π)2d δ2Γ[ϕ]

δϕ(−k1)δϕ(−k2)

∣∣∣ϕ=0

. (3.79)

Usando o resultado (3.77), escrevemos

Γ(2)(k1,k2) = (2π)2d δ

δϕ(−k2)

J(k1)

(2π)d

∣∣∣ϕ=0

= (2π)dδJ(k1)

δϕ(−k2)

∣∣∣ϕ=0

. (3.80)

Por outro lado, a equacao (3.54) permite-nos escrever Γ(2) na forma reduzida, ou seja,

Γ(2)(k1,k2) = (2π)dδ(k1 + k2) Γ(2)(k1). (3.81)

Comparando (3.81) com (3.80), temos a seguinte igualdade,

δJ(k1)

δϕ(−k2)

∣∣∣ϕ=0

= δ(k1 + k2) Γ(2)(k1). (3.82)

52

Um modo de calcular a derivada do lado esquerdo de (3.82) e o seguinte. Notemos que

δϕ(k1)

δϕ(−k2)

∣∣∣ϕ=0

= δ(k1 + k2). (3.83)

Mas, com a ajuda de (3.67), essa derivada tambem pode ser escrita como

δϕ(k1)

δϕ(−k2)= (2π)d

δ2 lnZ[J ]

δϕ(−k2)δJ(−k1). (3.84)

Empregando a regra da cadeia funcional, (3.84) fica

δϕ(k1)

δϕ(−k2)

∣∣∣ϕ=0

= (2π)d∫ddq

δ2 lnZ[J ]

δJ(q)δJ(−k1)︸ ︷︷ ︸G

(2)c (q,−k1)/(2π)2d

δJ(q)

δϕ(−k2)

∣∣∣ϕ=0

= (2π)d∫ddq

G(2)c (q,−k1)

(2π)2d

δJ(q)

δϕ(−k2)

∣∣∣ϕ=0

, (3.85)

onde usamos (3.27). De acordo com (3.40), podemos escrever G(2)c (q,−k1) na forma

reduzida, isto e,

G(2)c (q,−k1) = (2π)dδ(q− k1) G(2)

c (q). (3.86)

Substituindo (3.86) em (3.85), somos levados a

δϕ(k1)

δϕ(−k2)

∣∣∣ϕ=0

=

∫ddq δ(q− k1) G(2)

c (q)δJ(q)

δϕ(−k2)

∣∣∣ϕ=0

= G(2)c (k1)

δJ(k1)

δϕ(−k2)

∣∣∣ϕ=0

. (3.87)

Comparando (3.83) com (3.87), vemos que

δJ(k1)

δϕ(−k2)

∣∣∣ϕ=0

=δ(k1 + k2)

G(2)c (k1)

. (3.88)

Finalmente, substituindo (3.88) em (3.82), obtemos

Γ(2)(k1) =1

G(2)c (k1)

, (3.89)

que e o mesmo resultado encontrado em (3.59).

53

Capıtulo 4

Renormalizacao

Os parametros da funcao de particao de Landau-Ginzburg α2, µ2 e λ nao tem umsignificado fısico direto. Para expressar as predicoes da teria em termos de quantidadesque podem ser obtidas experimentalmente, vamos empregar a tecnica conhecida comorenormalizacao. Alem disso, veremos que este processo apresenta uma conveniencia doponto de vista das integrais a serem avaliadas.

4.1 Renormalizacao de Massa

Iniciaremos o processo de renormalizacao pelo parametro µ2. A nomenclatura usadaaqui vem da teoria de campos e nao faz sentido direto no nosso caso, mas por tradicaoem estudos de fenomenos crıticos vamos mante-la. Uma quantidade de interesse fısicoe a funcao de vertice Γ(2)(k), pois ela esta relacionada com a funcao de correlacao dedois pontos quando escrita no espaco dos momentos, equacao (3.59). A representacaodiagramatica para Γ(2)(k) de ordem λ e mostrada na figura (4.1).

Figura 4.1: Diagrama de Γ(2)(k) ate ordem λ

A expressao algebrica que tiramos deste diagrama e a que segue:

Γ(2)(k) = µ2 + α2k2 +λ

2

∫ Λ

0

ddq

α2q2 + µ2+O(λ2). (4.1)

54

Apesar de µ2 estar relacionado com a temperatura (equacao (1.7)), ele nao tem um sig-nificado fısico direto. No entanto, Γ(2) com k = 0, esta relacionada com a suscetibilidadeχ, que e uma quantidade de interesse fısico. Esta relacao pode ser obtida das equacoes(3.49) e (3.59),

Γ(2)(0) =β

χ. (4.2)

Agora, definimos o parametro m2 tal que

m2 ≡ Γ(2)(0) = µ2 +λ

2

∫ Λ

0

ddq

α2q2 + µ2+O(λ2). (4.3)

O comportamento da suscetibilidade na regiao crıtica e governado por χ ∼ |T − Tc|−γ.Desta definicao e das equacoes (4.2) e (4.3), vemos que m2 ∼ |T−Tc|γ, ou seja, o expoenteγ, agora, esta relacionado com o parametro m2 que introduzimos.

O diagrama de Feynamn para Γ(2) de ordem λ2 e mostrado na figura (4.2).

Figura 4.2: Diagrama de Γ(2)(k) de ordem λ2

A expressao algebrica associada a este diagrama e dada por

Γ(2)(k) = µ2 + α2k2 +λ

2

∫ Λ

0

ddq

α2q2 + µ2

− λ2

(1

4

∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 + µ2)2(α2q2

1 + µ2)+

1

6A(k)

)+O(λ3), (4.4)

onde

A(k) ≡∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 + µ2)(α2q2

1 + µ2)[α2(k−Q)2 + µ2](Q ≡ q1 + q2). (4.5)

A ideia para expressarmos Γ(2) em termos de m2 e escrever Γ(2)(k) = Γ(2)(k)−Γ(2)(0)+m2,isto e, somamos e subtraımos o mesmo termo (definicao (4.3)). Fazendo esse procedimentousando (4.4), temos

55

Γ(2)(k) = Γ(2)(k)− Γ(2)(0) +m2

= µ2 + α2k2 +λ

2

∫ Λ

0

ddq

α2q2 + µ2

− λ2

(1

4

∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 + µ2)2(α2q2

1 + µ2)+

1

6A(k)

)−

[µ2 +

λ

2

∫ Λ

0

ddq

α2q2 + µ2− λ2

(1

4

∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 + µ2)2(α2q2

1 + µ2)+

1

6A(0)

)]+m2

= m2 + α2k2 − 1

6λ2∆A(k) +O(λ3), (4.6)

onde ∆A(k) ≡ A(k) − A(0). A equacao (4.5) para A(k), tem 2d potencias de q no nu-merador e 6 potencias de q no denominador. Para d = 3, a integral torna-se efetivamenteda forma

∫dq/q, resultando que A(k) depende logaritmicamente de Λ para Λ grande.

Se Q k o integrando de A(k) depende apenas fracamente de k. Entao, e plausıvelque a parte de A que cresce com ln Λ e essecialmente independente de k, resultando quea diferenca ∆A(k) ≡ A(k) − A(0) e com boa aproximacao independente de Λ quandoΛ k. Baseado nesse argumento, nao cometemos um erro muito grande quando sub-stituımos Λ por∞ na equacao para ∆A(k). Essa mudanca faz com que a integral torne-semais simples de ser avaliada. Esse argumento, do ponto de vista quantitativo, encontra-sea frente, no topico auxiliar (4.1).

Vimos na equacao (4.3) que m2 difere de µ2 por uma potencia de ordem λ. Podemossupor que quando trocamos µ2 por m2 em um termo de ordem λn induzimos um erro deordem λn+1. Visto que λ e o parametro de expansao, estamos considerado-o pequeno,sendo que na realidade a troca µ2 → m2 aumenta a precisao de nossas expressoes.

Em resumo, o efeito final da substituicao µ2 → m2 em nossas expressoes e o que segue,

Γ(2)(k) = m2 + α2k2 − 1

6λ2∆A(k) +O(λ3), (4.7)

∆A(k) =

∫ ∞0

ddq1ddq2

(α2q21 +m2)(α2q2

2 +m2)(α2Q2 +m2)

−α2k2 + 2α2k ·Q[α2(k−Q)2 +m2]

(4.8)

e

µ2 = m2 − λ

2

∫ Λ

0

ddq

α2q2 +m2+

1

6λ2A(0) +O(λ3). (4.9)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 4.1: Dependencia de ∆A(k) com o parametro de corte Λ

Apresentaremos aqui, um argumento quantitativo a respeito da dependencia de ∆A com Λ. Consid-eremos a expressao para ∆A(k),

56

∆A(k) ≡ A(k)−A(0)

=∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 + µ2)(α2q2

1 + µ2)[α2(k−Q)2 + µ2]

−∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 + µ2)(α2q2

1 + µ2)(α2Q2 + µ2)

=∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 + µ2)(α2q2

1 + µ2)(α2Q2 + µ2)−α2k2 + 2α2k ·Q[α2(k−Q)2 + µ2]

. (4.10)

Nossa estrategia para entender como essa integral depende de Λ e a seguinte. Vamos trabalhar apenascom o termo

−α2k2 + 2α2k ·Qα2(k−Q)2 + µ2

=−α2k2 + 2α2k ·Q

α2(k2 +Q2 − 2k ·Q + µ2/α2)

=−k2 + 2k ·QQ2k − 2k ·Q

, (4.11)

em que Q2k ≡ Q2 +k2 +µ2/α2. Quando Q e grande comparado com k, podemos aproximar (4.11) usando

a expansao binomial (1 + x)n = 1 + nx+ · · · , isto e,

−k2 + 2k ·QQ2k(1− 2k ·Q/Q2

k)=−k2 + 2k ·Q

Q2k

(1 + 2

k ·QQ2k

+ · · ·)

=−k2

Q2k

+ 2k ·QQ2k

− 2k2 k ·QQ4k

+ 4(k ·Q)2

Q4k

+ · · · . (4.12)

Agora, vamos pensar em uma media angular da equacao (4.12) que nao afete o valor de ∆A(k) como umtodo. Em geral, essa media pode ser tomada integrando a grandeza desejada, dizemos H, da seguinteforma,

〈H〉 =∫

(H)dΩ∫dΩ

, (4.13)

onde dΩ e o elemento de angulo solido, quer dizer, dΩ = senθdθdφ. Portanto, tomando a media daequacao (4.12), ficamos com

⟨−k2 + 2k ·Q

Q2k(1− 2k ·Q/Q2

k)

⟩= −

⟨k2

Q2k

⟩+ 2

⟨k ·QQ2k

⟩− 2

⟨k2 k ·Q

Q4k

⟩+ 4

⟨(k ·Q)2

Q4k

⟩+ · · · . (4.14)

Vamos ao calculo das medias envolvidas em (4.14). Para esses calculos, assumiremos que k·Q = k Q cos θ.De acordo com (4.13), segue que a primeira media e

⟨k2

Q2k

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

k2

Q2k

senθdθ =k2

Q2k

, (4.15)

visto que∫dΩ = 4π. A segunda media e,

57

⟨k ·QQ2k

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

k Q cos θQ2k

senθdθ = 0. (4.16)

A terceira media e dada por⟨k2 k ·Q

Q4k

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

k2 k Q cos θQ4k

senθdθ = 0. (4.17)

Por fim, a quarta media e⟨(k ·Q)2

Q4k

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

k2Q2 cos2 θ

Q4k

senθdθ =13k2Q2

Q4k

. (4.18)

Substituindo (4.15), (4.16), (4.17) e (4.18) em (4.14) chegamos a

⟨−k2 + 2k ·Q

Q2k(1− 2k ·Q/Q2

k)

⟩= − k

2

Q2k

+43k2Q2

Q4k

+ · · ·

=k2

Q2k

(43Q2

Q2k

− 1)

+ · · · . (4.19)

Entao, a contribuicao efetiva de (4.19) para a potencia de q e q−2 e a potencia global da integral (4.10)e q2d−8. Consequentemente, para d < 4, ∆A(k) converge quando Λ → ∞. Se d = 4, ∆A(k) cresce comln Λ para Λ grande.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Renormalizacao de Campo

Iniciaremos o processo de renormalizacao de campo, definindo o parametro a2 como ataxa de variacao de Γ(2) com k2 em um vetor de onda arbitrario κ, quer dizer,

a2 ≡ dΓ(2)

dk2

∣∣∣κ. (4.20)

a e uma quantidade que pode ser obtida experimentalmente e e finita no ponto crıtico.Seguindo a mesma ideia usada na renormalizacao de massa, podemos escrever

Γ(2)(k) = Γ(2)(k)− k2dΓ(2)

dk2

∣∣∣κ

+ a2k2. (4.21)

Substituindo (4.7) do lado direito de (4.21), encontramos

Γ(2)(k) = m2 + α2k2 − 1

6λ2∆A(k)− k2dΓ(2)

dk2

∣∣∣κ

+ a2k2

= m2 + k2

(a2 − 1

6λ2B(k, κ)

)+O(λ3), (4.22)

58

onde

B(k, κ) ≡ 1

k2∆A(k) +

6

λ2

(dΓ(2)

dk2

∣∣∣κ− α2

). (4.23)

O calculo explıcito de B(k, κ) e mostrado no topico auxiliar (4.2).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 4.2: Calculo de B(k, κ)

A equacao (4.23) nos mostra que para obter a forma explıcita deB(k, κ), devemos calcular dΓ(2)/dk2|κ.Tomando a derivada de (4.7), resulta

dΓ(2)

dk2

∣∣∣κ

= α2 − 16λ2 d∆A(k)

dk2

∣∣∣κ. (4.24)

Entao, o que realmente devemos calcular e

d∆A(k)dk2

=d

dk2[A(k)−A(0)] =

dA(k)dk2

. (4.25)

Substituindo (4.5) em (4.25), segue que

dA(k)dk2

=d

dk2

∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 +m2)(α2q2

1 +m2)[α2(k−Q)2 +m2]. (4.26)

O termo no denominador de (4.26) que possui dependencia em k, pode ser reescrito como

[α2(k−Q)2 +m2] = [α2(k2 +Q2 − 2(k2)1/2k ·Q) +m2], (4.27)

onde k e um vetor unitario na direcao de k. Dessa maneira,

dA(k)dk2

=d

dk2

∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 +m2)(α2q2

1 +m2)[α2(k2 +Q2 − 2(k2)1/2k ·Q) +m2]−1

=∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 +m2)(α2q2

1 +m2)k2

α2k ·Q− α2k2

[α2(k−Q)2 +m2]2. (4.28)

Substituindo (4.28) em (4.24) e tomando a derivada no ponto κ, chegamos a

dΓ(2)

dk2

∣∣∣κ

= α2 − 16λ2

∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 +m2)(α2q2

1 +m2)κ2

α2κ ·Q− α2κ2

[α2(κ−Q)2 +m2]2. (4.29)

Finalmente, substituindo (4.10) e (4.29) na expressao para B, dada em (4.23), resulta

B(k, κ) =∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 +m2)(α2q2

1 +m2)(α2Q2 +m2)k2

−α2k2 + 2α2k ·Q[α2(k−Q)2 +m2]

−∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 +m2)(α2q2

1 +m2)κ2

α2κ ·Q− α2κ2

[α2(κ−Q)2 +m2]2(4.30)

59

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De acordo com o resultado (4.30) do topico auxiliar (4.2), B(k, κ) e dado por

B(k, κ) =

∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 +m2)(α2q2

2 +m2)

×(

−α2k2 + 2α2k ·Q[α2(k−Q)2 +m2](α2Q2 +m2)k2

+α2κ2 − α2κ ·Q

[α2(κ−Q)2 +m2]2κ2

). (4.31)

Tal como na equacao (4.8) em que trocamos o limite de integracao superior por infinito,aqui tambem podemos fazer isso. De fato, quando d < 5, B e insensitivo a Λ e entao pode-mos repassar o limite de integracao para infinito em (4.31). Esta afirmativa e verificadano topico auxiliar (4.3), mostrado abaixo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 4.3: Dependencia de B(k, κ) com Λ

Aqui, empregaremos a mesma ideia usada para analisar o comportamento de ∆A(k), ou seja, tomare-mos medias angulares de termos de B(k, κ). Primeiramente, consideremos o termo

α2κ2 − α2κ ·Q[α2(κ−Q)2 +m2]2

=α2κ2 − α2κ ·Q

(α2Q2κ)2

(1− 2

κ ·QQ2κ

)−2

, (4.32)

onde Q2κ ≡ Q2 + κ2 +m2/α2. Usando a expansao binomial (1 + x)n = 1 + nx+ · · · , (4.32) torna-se

α2κ2 − α2κ ·Q(α2Q2

κ)2

(1− 2

κ ·QQ2κ

)−2

=α2κ2 − α2κ ·Q

(α2Q2κ)2

(1 + 4

κ ·QQ2κ

+ · · ·)

=κ2

α2Q4κ

− κ ·Qα2Q4

κ

+ 4κ2 κ ·Qα2Q6

κ

− 4(κ ·Q)2

α2Q6κ

+ · · · . (4.33)

As medias angulares dos quatro termo do lado direito de (4.23), tal como (4.13), sao⟨κ2

α2Q4κ

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

κ2

α2Q4κ

senθdθ =κ2

α2Q4κ

, (4.34)⟨κ ·Qα2Q4

κ

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

κQ cos θα2Q4

κ

senθdθ = 0, (4.35)⟨κ2 κ ·Qα2Q6

κ

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

κ2κQ cos θα2Q6

κ

senθdθ = 0 (4.36)

e ⟨(κ ·Q)2

α2Q6κ

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

κ2Q2 cos2 θ

α2Q6κ

senθdθ =13κ2Q2

α2Q6κ

. (4.37)

Desta forma,

60

⟨α2κ2 − α2κ ·Q

[α2(κ−Q)2 +m2]2

⟩=

κ2

α2Q4κ

− 43κ2Q2

α2Q6κ

+ · · ·

=κ2

α2Q4κ

(1− 4

3Q2

Q2κ

)+ · · · . (4.38)

A potencia efetiva de q em (4.38) e q−4. De acordo com (4.19) e (4.38), reescrevemos o termo entreparenteses (grandes) em (4.31), como segue

k2

Q2k

(43Q2

Q2k

− 1)

1(α2Q2 +m2)k2

+κ2

α2Q4κ

(1− 4

3Q2

Q2κ

)1κ2. (4.39)

Para grandes valores de Q, podemos aproximar Q2k ' Q2

κ ' Q2. Desta forma,

1α2Q4

(43− 1)

+1

α2Q4

(1− 4

3

)= 0. (4.40)

Nao conseguimos saber qual e a contribuicao efetiva desse termo para a potencia de q em (4.31). Entao,devemos considerar mais um termo em cada uma das expansoes binomiais feitas em (4.12) e em (4.33).Fazendo isto, (4.12) torna-se

−k2 + 2k ·QQ2k(1− 2k ·Q/Q2

k)=−k2 + 2k ·Q

Q2k

(1 + 2

k ·QQ2k

+ 4(k ·Q)2

Q4k

+ · · ·)

=−k2

Q2k

+ 2k ·QQ2k

− 2k2 k ·QQ4k

+ 4(k ·Q)2

Q4k

− 4k2 (k ·Q)2

Q6k

+ 8(k ·Q)3

Q6k

+ · · · .

(4.41)

Alem das medias (4.15), (4.16), (4.17) e (4.18) ja calculadas, precisamos calcular as medias dos termosextras, isto e, ⟨

k2 (k ·Q)2

Q6k

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

k2 k2Q2 cos2 θ

Q6k

senθdθ =13k4Q2

Q6k

(4.42)

e ⟨(k ·Q)3

Q6k

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

k3Q3 cos3 θ

Q6k

senθdθ = 0. (4.43)

Devemos fazer este mesmo processo em (4.33). Sendo assim,

α2κ2 − α2κ ·Q(α2Q2

κ)2

(1− 2

κ ·QQ2κ

)−2

=α2κ2 − α2κ ·Q

(α2Q2κ)2

(1 + 4

κ ·QQ2κ

+ 12(κ ·Q)2

Q4κ

+ · · ·)

=κ2

α2Q4κ

− κ ·Qα2Q4

κ

+ 4κ2 κ ·Qα2Q6

κ

− 4(κ ·Q)2

α2Q6κ

+ 12κ2 (κ ·Q)2

α2Q8κ

− 12(κ ·Q)3

α2Q8κ

+ · · · . (4.44)

As medias dos termos extras sao

61

⟨κ2 (κ ·Q)2

α2Q8κ

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

κ2Q2 cos2 θ

α2Q8κ

senθdθ =13κ4Q2

Q8κ

(4.45)

e ⟨(κ ·Q)3

α2Q8κ

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

κ3Q3 cos3 θ

α2Q8κ

senθdθ = 0. (4.46)

Agora, vamos considerar para o termo entre parenteses (grandes) em (4.31) apenas os termos extras,equacoes (4.42) e (4.45), visto que os outros termos se anulam para grandes valores de Q e ja foram vistosna equacao (4.39). Deste modo, chegamos a

· · ·+(−43k4Q2

Q6k

)1

(α2Q2 +m2)k2+ · · ·+

(4κ4Q2

Q8κ

)1κ2. (4.47)

Para Q grande, Q2k ' Q2

κ ' Q2 tal que (4.47) nos leva a

1Q6

(−4

3k2 + 4κ2

). (4.48)

Finalmente, vemos que a contribuicao efetiva para a potencia de q deste termo e q−6. Com isto, apotencia global de B(k, κ), equacao (4.31), e q2d−10. Entao, quando d < 5, B e insensitivo a Λ e nestecaso podemos trocar o limite de integracao para infinito em (4.31).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A expressao explicita da derivada (4.20), usando a equacao (4.29), e

a2 = α2 +λ2

6

∫ Λ

0

ddq1ddq2

(α2q21 +m2)(α2q2

2 +m2)κ2

α2κ2 − α2κ ·Q[α2(κ−Q)2 +m2]2

. (4.49)

Podemos considerar (4.49) para definir a2 como funcao de α2 e Λ, no mesmo sentido queem (4.3). Esta expressao pode ser invertida deixando α2 como funcao de a2 e Λ. Deacordo com (4.49), esta relacao e da forma

α2 = a2 +O(λ2). (4.50)

Entao, para as ordens das expansoes que sao consideradas neste trabalho, a mudancanos termos que dependem de α2 introduzida pelo processo de renormalizacao pode serefetuada simplesmente trocando α2 por a2.

4.3 Renormalizacao da Constante de Acoplamento

Por fim, vamos eliminar o parametro λ em favor de g ≡ Γ(4)(0, 0, 0) (funcao de verticede quatro pontos). O diagrama de Γ(4) e mostrado na figura (4.3). A expressao queobtemos do diagrama e

62

Figura 4.3: Funcao de vertice de quatro pontos Γ(4)

Γ(4)(k1,k2,k3) = λ

[1− λ

2

∫ Λ

0

ddq

(a2q2 +m2)

(1

a2(k1 + k2 − q)2 +m2

+1

a2(k1 + k3 − q)2 +m2+

1

a2(k2 + k3 − q)2 +m2

)]+O(λ3).

(4.51)

Agora, tomando ki = 0 em (4.51), chegamos a

g ≡ Γ(4)(0, 0, 0) = λ

(1− 3λ

2

∫ Λ

0

ddq

(a2q2 +m2)2

)+O(λ3). (4.52)

No mesmo espırito que antes, fazemos

Γ(4)(k1,k2,k3) = Γ(4)(k1,k2,k3)− Γ(4)(0, 0, 0) + g. (4.53)

Levando (4.51) e (4.52) em (4.53), segue que

63

Γ(4)(k1,k2,k3) = g − λ2

2

∫ Λ

0

ddq

a2q2 +m2

[(1

a2(k1 + k2 − q)2 +m2− 1

a2q2 +m2

)+

(1

a2(k1 + k3 − q)2 +m2− 1

a2q2 +m2

)+

(1

a2(k2 + k3 − q)2 +m2− 1

a2q2 +m2

)]+O(λ3)

= g − λ2

2

∫ Λ

0

ddq

(a2q2 +m2)2

[2a2K · q− a2K2

a2(K− q)2 +m2

+2a2K′ · q− a2K ′2

a2(K′ − q)2 +m2+

2a2K′′ · q− a2K ′′2

a2(K′′ − q)2 +m2

]+O(λ3), (4.54)

onde K ≡ k1 + k2, K′ ≡ k1 + k3 e K′′ ≡ k2 + k3. Os tres termos na integral (4.54)dao a mesma contribuicao para a potencia de q. Uma analise de (4.54), tal como fizemospara ∆A(k) e B(k, κ), nos mostra que a potencia global de q e d− 6 e assim a integral einsensitiva a Λ para d < 6. Esta analise e mostrada no topico auxiliar (4.4).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 4.4: Potencia efetiva da integral em (4.54)

Os tres termos da integral em (4.54) sao da mesma forma, contribuindo com a mesma potencia de q.Vamos analisar apenas um deles, ou seja,

2a2K · q− a2K2

a2(K− q)2 +m2=

2K · q−K2

(K− q)2 +m2/a2

=2K · q−K2

Q2K − 2K · q

, (4.55)

onde Q2K ≡ K2 + q2 +m2/a2. Podemos escrever (4.55) como

2K · q−K2

Q2K(1− 2K · q/Q2

K)=

2K · q−K2

Q2K

(1 + 2

K · qQ2K

+ · · ·)

= 2K · qQ2K

− K2

Q2K

+ 4(K · q)2

Q4K

− 2K2 K · qQ4K

+ · · · , (4.56)

em que empregamos a expansao binomial (1 + x)n = 1 + nx+ · · · . Como antes, devemos tomar a mediaangular de (4.56). Segue que⟨

K · qQ2K

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

Kq cos θQ2K

senθdθ = 0, (4.57)

⟨K2

Q2K

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

K2

Q2K

senθdθ =K2

Q2K

, (4.58)

64

⟨(K · q)2

Q4K

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

K2q2 cos2 θ

Q4K

senθdθ =13K2q2

Q4K

(4.59)

e ⟨K2 K · q

Q4K

⟩=

14π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

K3q cos θQ4K

senθdθ = 0. (4.60)

Desta forma,

⟨2K · q−K2

Q2K(1− 2K · q/Q2

K)

⟩= −K

2

Q2K

+43K2q2

Q4K

+ · · ·

=K2

Q2K

(43q2

Q2K

− 1)

+ · · · . (4.61)

A contribuicao para a potencia de q deste termo e q−2. Assim, a potencia global de q na integral em(4.54) e d− 6 e a integral e insensitiva a Λ para d < 6.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A equacao (4.52) nos mostra como g depende de λ. Podemos inverter esta relacaopara obter λ em funcao de g, ou seja,

λ = g

(1 +

3g

2

∫ Λ

0

ddq

(a2q2 +m2)2

)+O(g3). (4.62)

O processo de inversao e feito perturbativamente e e mostrado no topico auxiliar (4.5).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 4.5: Inversao de (4.52)

A dependencia de g com λ na equacao (4.52) e da forma

g = λ+ a1λ2 +O(λ3), (4.63)

em que nesse caso a1 e dado por

a1 = −32

∫ Λ

0

ddq(a2q2 +m2)2

. (4.64)

Podemos escrever λ como potencias de g, ou seja,

λ = b1 g + b2 g2 +O(g3). (4.65)

Substituindo (4.65) em (4.63), ficamos com

g = b1 g + (b2 + a1b1)g2 +O(g3). (4.66)

Para satisfazer a igualdade, devemos ter b1 = 1 e b2 = −a1. Desse modo, reescrevemos (4.65) como

λ = g − a1 g2 +O(g3). (4.67)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Substituindo (4.62) em (4.54), obtemos

Γ(4)(k1,k2,k3) = g − g2

2

∫ Λ

0

ddq

(a2q2 +m2)2

[2a2K · q− a2K2

a2(K− q)2 +m2

+2a2K′ · q− a2K ′2

a2(K′ − q)2 +m2+

2a2K′′ · q− a2K ′′2

a2(K′′ − q)2 +m2

]+O(g3), (4.68)

em que eliminamos λ em favor de g de acordo com (4.62).Na definicao (4.52) escolhemos o ponto ki = 0. Essa escolha e conveniente pois

simplifica os calculos. Porem, e uma escolha arbitraria. Isto e, poderıamos ter escolhidooutro ponto, dizemos, (κ1,κ2,κ3) tal que esses tres vetores de onda sejam nao nulos. Oponto referente aos vetores (κ1,κ2,κ3) e chamado de ponto de renormalizacao. Veremosque, para o calculo do expoente η e necessario considerar um ponto de renormalizacaonao nulo.

4.4 Renormalizacao em altas ordens

Agora, vamos investigar a sensitividade em Λ de um grafico de Γ(n) que contem Vvertices. A ideia e determinar a potencia efetiva de q deste grafico. Dos 4V links queemergem dos V vertices, n sao requeridos para conexoes externas e os restantes sao ligadosem pares para formar links internos. Assim, o grafico tera

I =1

2(4V − n) (4.69)

links internos. O fator 1/2 aparece porque sempre unimos dois links (um de cada vertice)para formar um link interno. Assim, devemos multiplicar por esse fator para fazer a con-tagem correta. Os vetores de onda associados a esses links sao acoplados por V equacoes,ou seja, uma equacao de conservacao do momento para cada vertice. O numero total delinks, que corresponde tambem ao numero total de vetores de onda, de um grafico seran+ I = n+ 1

2(4V − n). Dentre estes, n+ 1

2(4V − n)− V = 1

2n+ V podem ser escolhidos

livremente, isto e, em cada vertice, apenas um vetor de onda e necessario ser cravadopara garantir a conservacao. n − 1 dessas escolhas sao associadas a vetores externos,conduzindo a

L =1

2n+ V − (n− 1)

= V − 1

2n+ 1 (4.70)

66

escolhas livres para vetores de onda internos. Logo, o grafico envolve integracao sobreV − 1

2n+ 1 vetores de ondas d dimensionais. O numerador da integral sera

ddq1 · · · ddqV− 12n+1. (4.71)

Alem disso, a integral tera 12(4V − n) propagadores tais como (α2q2

i + m2)−1 (um paracada integracao). A potencia efetiva, portanto, fica

qd(V− 12n+1)

q2[ 12

(4V−n)]= qd+V (4−d)+n(1− 1

2d). (4.72)

Por exemplo, para d = 4 todos os graficos de Γ(n) tem o integrando com a mesma potenciade q, independente do numero de vertices V . Em particular, o integrando de Γ(2), tema potencia 2 (q2), sendo, entao, fortemente dependente de Λ a medida que Λ cresce. Ointegrando de Γ(4) tem a potencia 0 (q0), tal que Γ(4) cresce logaritmo de Λ.

4.5 Criterio de Ginzburg

De acordo com a teoria de Landau, a suscetibilidade na regiao crıtica tem o compor-tamento χ ∝ |T − Tc|−1. Usando as equacoes (3.49) e (3.59) e a definicao de m2, equacao(4.3), vemos que m2 ∝ |T −Tc| ∝ |µ2−µ2

c |, onde µ2c e o valor de µ2 que anula m2. Entao,

a teoria de Landau implica proporcionalidade entre m2 e µ2 − µ2c . Utilizando (4.9) para

calcular µ2 − µ2c , escrevemos

∆µ2 ≡ µ2 − µ2c = m2 − λ

2

∫ Λ

0

ddq

a2q2 +m2−(−λ

2

∫ Λ

0

ddq

a2q2

)+O(λ2)

= m2

(1 +

λ

2

∫ Λ

0

ddq

a2q2(a2q2 +m2)+O(λ2)

). (4.73)

Esta relacao pode ser empregada para estabelecermos um criterio que relaciona a teoriade Landau com a de Landau-Ginzburg. Notemos que, quando a integral em (4.73) forcomparavel com 1/λ, a proporcionalidade entre m2 e µ2 − µ2

c nao vale mais. Vamosanalisar essa integral no limite m2 → 0 (regiao crıtica). A potencia efetiva de q nela ed − 4 (qd−4). Quando d > 4 a potencia resultante e positiva e assim a integral e finita.Visto que λ e muito pequeno, podemos desprezar esse termo. Porem, quando d < 4a potencia resultante e negativa e a integral torna-se arbitrariamente grande (diverge)devido ao limite inferior. Nesse ultimo caso, m2 nao e mais proporcional a µ2 − µ2

c .Baseado nessa analise, portanto, esperamos que os resultados obtidos (no caso, expoentescrıticos) quando d > 4 concordem com aqueles obtidos via teoria de Landau. Entretanto,quando d < 4 esperamos obter resultados diferentes. O caso em que d = 4 e um casocrıtico (dimensao crıtica) e veremos que ele conduz aos expoentes da teoria de Landau.

67

Capıtulo 5

Calculo dos expoentes γ e η

Neste capıtulo, vamos calcular dois expoentes crıticos, γ e η. O expoente γ governa ocomportamento da suscetibilidade na regiao crıtica e o expoente η governa o comporta-mento da funcao de correlacao no ponto crıtico. Nos preocuparemos apenas com estes doisexpoentes, pois existem relacoes que conectam todos eles (α, β, γ, δ, η, ν) e sao conhecidascomo leis de escala. Assumindo que essas leis sao validas e conhecendo dois expoentes epossıvel encontrar os outros, mas nao o faremos aqui.

5.1 Potencia efetiva de m na expansao para Γ(n)

Para ajudar no calculo dos expoentes, sera util estudar a forma geral das integraisque tiramos dos graficos de Feynamn e extrair a suas dependencias com m e k. A ideiae similar aquela da secao (4.4), que diz sobre a sensitividade a Λ dos graficos. Imagineque desejamos calcular a funcao de vertice Γ(n), com todos os vetores de onda, k1,k2, ...nulos. As regras de Feynamn mostradas no topico auxiliar (3.4) nos permitem escrevera funcao de vertice como uma funcao de λ em qualquer ordem que desejarmos. Emseguida, trocamos o parametro µ onde ele aparece nos denominadores das integrais peloparametro renormalizado m. Agora, consideremos um termo geral na serie. Suponha queesse termo venha de um diagrama com I links internos, cada um deles dando origem aofator (α2q2 + m2)−1, e L loops fechados, cada um dando origem a uma integracao ddq.Fazemos a mudanca de variavel x ≡ aq/m, tal que x e adimensional. Com isto, todaintegracao produzira um fator md em frente ao integrando, pois ddq = mdddx/(2πa)d, etodo link interno produzira um fator m−2, pois (α2q2 +m2)−1 = m−2(x2 + 1)−1. Para umdiagrama geral com L loops fechados e I links internos, a potencia P global de m sera

P = dL− 2I. (5.1)

68

Vamos considerar um diagrama de ordem V em λ. Isto significa que o diagrama tem Vvertices. Substituindo as equacoes (4.69) e (4.70) em (5.1), ficamos com

P = (d− 4)V + d+ n− 1

2dn

= −εV + δn, (5.2)

onde identificamos ε ≡ 4 − d e δn ≡ d + n − 12dn. Notemos que a quantidade δn e

independente de V , ou seja, independente da ordem que estamos considerando. Logo,havera um fator mδn em todos os graficos da funcao de vertice considerada, isto e, quemultiplica a expansao toda. Justamente este fator impede de haver certas divergenciasno calculo de expoentes, como veremos no calculo de γ. O fator remanescente e m−εV , ouum fator m−ε para toda potencia de λ. Escreveremos a serie em potencias de λm−ε, aoinves de apenas λ. Se d < 4, ε e positivo e este parametro diverge quando aproxima-se doponto crıtico m = 0. Esta divergencia, entretanto, pode ser removida por renormalizacaoda constante de acoplamento.

5.2 Calculo de γ

Antes de partir para o calculo do expoente devemos notar o seguinte. O parametrode nossas expansoes era λ. Fazendo uma analise dimensional da funcao de particao (3.1)verificamos que λ tem dimensao Ld (comprimento elevado a d). Imagine que usamos umsistema de unidades em que esse parametro fique muito grande, nesse sistema a expansaonao se justifica. Entao, e conveniente trabalhar com um parametro adimensional. Paraeste fim, vamos introduzir a constante de acoplamento adimensional λ, definida por

λ ≡ λm−ε

(2πa)d, (5.3)

onde ε ≡ 4 − d. Deixaremos nossas expansoes em termos desse novo parametro, comoanunciamos na secao anterior.

O expoente crıtico γ e definido como χ ∝ |T −Tc|−γ. E coveniente definir os expoentesque desejamos calcular em termos das quantidades que foram introduzidas no processo derenormalizacao. Para o caso do expoente γ, esta quantidade e m2. Das equacoes (3.49),(3.59) e (4.3), podemos escrever

m2 ∝ χ−1. (5.4)

69

De acordo com a equacao (1.7), resulta

∆µ2 ≡ µ2 − µ2c =

T − T0

T−(Tc − T0

Tc

)=

T − TcTc

, com T → Tc. (5.5)

Com (5.4) e (5.5) escrevemos a definicao de γ em termos de m2 e µ2, quer dizer,

∆µ2 ∼ (m2)1/γ, m→ 0. (5.6)

Tomando o logaritmo natural de (5.6) e entao derivando em relacao a lnm2, somos levadosao expoente γ,

1

γ= lim

m→0

(∂ ln ∆µ2

∂ lnm2

)λ,Λ

. (5.7)

A relacao entre ∆µ2 e m2 e dada pela equacao (4.73). Porem, como anunciado no inıcio

dessa secao, devemos deixa-la em termos de λ. Para este fim, introduzimos a variavelx ≡ aq/m. Assim, (4.73) torna-se

∆µ2 = m2

1 +λ

2

∫ aΛ/m

0

(ma

)d ddx(2π)d

a2(ma

)2x2[a2(ma

)2x2 +m2

] +O(λ2)

= m2

1 +1

2

λm−(4−d)

(2πa)d︸ ︷︷ ︸λ

∫ aΛ/m

0

ddx

x2(x2 + 1)+O(λ2)

= m2

(1 +

λ

2∫ aΛ/m

0ddx

x2(x2+1)+ O(λ2), (5.8)lembrando que ε ≡ 4 − d. Tomando o logaritmo natural

em (5.8), segue que

ln ∆µ2 = lnm2 + ln

(1 +

λ

2

∫ aΛ/m

0

ddx

x2(x2 + 1)+O(λ2)

). (5.9)

Tendo em vista que λ e pequeno, usaremos a aproximacao ln(1+w) ' w para w pequeno.Sendo assim,

ln ∆µ2 = lnm2 +λ

2

∫ aΛ/m

0

ddx

x2(x2 + 1)+O(λ2). (5.10)

70

A dimensao d = 4, divide a integral de (5.10) em dois regimes. Consequentemente,devemos analisar separadamente os casos d ≥ 4 e d < 4.

5.2.1 Caso d ≥ 4

Consideremos apenas a integral em (5.10), que e

I ≡∫ aΛ/m

0

ddx

x2(x2 + 1). (5.11)

Notemos que nesse caso ela depende de seu limite superior tal que nao podemos toma-locomo infinito. Uma maneira para ver como a integral depende de Λ e mostrada no topicoauxiliar (5.1).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 5.1: Dependencia da integral (5.11) com o limite de integracao

A ideia para ver como a integral depende de seu limite superior e a seguinte. Vamos separar ointervalo de integracao em duas partes,

I ≡∫ 1

0

ddxx2(x2 + 1)

+∫ aΛ/m

1

ddxx2(x2 + 1)

. (5.12)

A primeira das integrais em (5.12) e uma integral finita cujo resultado e uma constante. A segundaintegral pode ser reescrita do seguinte modo,

∫ aΛ/m

1

ddxx2(x2 + 1)

=∫ aΛ/m

1

ddxx4(1 + 1

x2

)=

∫ aΛ/m

1

ddxx4

(1 +

1x2

)−1

'∫ aΛ/m

1

ddxx4

(1− 1

x2

), (5.13)

em que usamos a expansao binomial (1+y)n = 1+ny+ · · · . O elemento de hipervolume ddx num espacod dimensional e da forma Ωd xd−1dx, onde Ωd e o angulo solido. Um exemplo e o caso tridimensional,d3x = 4πx2dx. Usando ddx = Ωd xd−1dx, a integral (5.13) fica

∫ aΛ/m

1

ddxx4

(1− 1

x2

)=

∫ aΛ/m

1

Ωd xd−1dx

x4−∫ aΛ/m

1

Ωd xd−1dx

x6

= constante + Ωd

(aΛm

)d−4

+ Ωd

(aΛm

)d−6

. (5.14)

Sob esse aspecto, a integral (5.12) adquire a forma

71

I = A+B

(aΛm

)d−4

+ C

(aΛm

)d−6

, (5.15)

em que A, B e C sao constantes. Supondo que a dimensao nao supere 6, o ultimo termo de (5.15) torna-sedesprezıvel a medida que aΛ/m→∞. Finalmente obtemos,

I = A+B

(aΛm

)−ε, (5.16)

lembrando que ε ≡ 4− d. Essa e a dependencia relevante da integral com seu limite superior.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Entao, a integral (5.11) pode ser escrita como

I = A+B

(aΛ

m

)−ε. (5.17)

Substituindo este resultado em (5.10), encontramos

ln ∆µ2 = lnm2 +λ

2

[A+B

(aΛ

m

)−ε]+O(λ2). (5.18)

Agora, vamos calcular a derivada de (5.18) com respeito a lnm2. Um resultado quetornar mais pratico esse calculo, e mostrado no topico auxiliar (5.2).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 5.2: Derivada com respeito a lnm2

Um resultado que nos ajuda e o calculo da derivada ∂λn/∂ lnm2. Esta derivada pode ser escritacomo

∂λn

∂ lnm2=

dm2

d lnm2

∂λn

∂m2= m2 ∂λ

n

∂m2. (5.19)

Lembrando que λ ≡ λm−ε/(2πa)d, escrevemos (5.19) como segue

m2 ∂λn

∂m2= m2 ∂

∂m2

(λm−ε

(2πa)d

)n= m2

(λ

(2πa)d

)n∂

∂m2(m2)−nε/2

= −12nε

(λm−ε

(2πa)d

)n. (5.20)

Entao,

∂λn

∂ lnm2= m2 ∂λ

n

∂m2= −1

2nελn. (5.21)

72

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Derivando (5.18) em relacao a lnm2, temos

∂ ln ∆µ2

∂ lnm2=

∂

∂ lnm2

lnm2 +

λ

2

[A+B

(aΛ

m

)−ε]

= 1 +1

2

∂λ

∂ lnm2︸ ︷︷ ︸(5.21)

[A+B

(aΛ

m

)−ε]+λ

2

B(aΛ)−ε∂

∂ lnm2︸ ︷︷ ︸m2 ∂

∂m2

(1

m

)−ε= 1 +

1

2

(−1

2ελ

)[A+B

(aΛ

m

)−ε]+λ

2

[B(aΛ)−ε

ε

2

(1

m

)−ε]= 1− 1

4ελA, (5.22)

onde usamos o resultado (5.21) com n = 1. Substituindo (5.22) em (5.7), ficamos com

1

γ= 1− 1

4εA lim

m→0λ. (5.23)

O limite limm→0

λ e nulo, pois λ ≡ λm−ε/(2πa)d com ε ≡ 4 − d e estamos considerando o

caso d ≥ 4. Quando d > 4, entao ε < 0, tal que m−ε → 0 quando m→ 0. Quando d = 4,por outro lado, ε = 0. Com isto, o resultado que obtemos para o expoente γ, quandod ≥ 4, e

γ = 1. (5.24)

Notemos que, de acordo com o criterio de Ginzburg, esse resultado poderia ser esperado,pois e esse o valor obtido para γ quando se usa a aproximacao de Landau (Ver secao(1.2)).

5.2.2 Caso d < 4

Neste caso, a integral I, equacao (5.11), depende apenas fracamente de seu limitesuperior, de tal maneira que podemos toma-lo como infinito. Desse modo, reecrevemos(5.10) como segue:

ln ∆µ2 = lnm2 +λ

2

∫ ∞0

ddx

x2(x2 + 1)+O(λ2). (5.25)

73

Substituindo (5.25) em (5.7), ficamos com

1

γ= 1− 1

4ε limm→0

λ

∫ ∞0

ddx

x2(x2 + 1)+O(λ2). (5.26)

Aparentemente, podemos calcular essa integral, tomar o limite m→ 0 e entao encontrar ovalor de γ. Entretanto, lembrando da definicao (5.3), como ε e positivo, λ diverge quandom → 0. A maneira de contornar essa dificuldade e transformar nossa expansao, que eraem potencias de λ, para potencias de uma quantidade diferente, que e bem comportadaquando m → 0. Essa quantidade e a constante de acoplamento renormalizada g dadapela equacao (4.62). Assim como fizemos a mudanca λ → λ, vamos trabalhar com aquantidade adimensional g, definida por

g ≡ g m−ε

(2πa)d. (5.27)

Vamos deixar (4.62) em termos de g. Para este fim, introduzimos a variavel x ≡ aq/m.Desse modo, (4.62) torna-se

λ = g

1 +3g

2

∫ aΛ/m

0

(ma

)d ddx(2π)d[

a2(ma

)2x2 +m2

]2

+O(g3)

= g

1 +3

2

g m−(4−d)

(2πa)d︸ ︷︷ ︸g

∫ aΛ/m

0

ddx

(x2 + 1)2

+O(g3). (5.28)

Multiplicando ambos os lados de (5.28) por m−ε/(2πa)d e identificando λ e g (equacoes(5.3) e (5.27)), encontramos

λ = g +3g 2

2

∫ aΛ/m

0

ddx

(x2 + 1)2+O(g 3). (5.29)

Considerando apenas O(g) para os calculos, a equacao (5.29) nos diz que basta trocar λpor g. Desse modo, a equacao (5.26) fica

1

γ= 1− 1

4ε limm→0

g

∫ ∞0

ddx

x2(x2 + 1)+O(g2). (5.30)

Aparentemente, g diverge quando m → 0, pois ele depende de m−ε e para d < 4, ε > 0.Entretanto, na definicao de g, equacao (5.27), acompanhando m−ε ha um fator g. Nasecao (5.1), vimos que ha um fator mδn comum a todos os termos da expansao da funcao

74

de vertice Γ(n). Lembremos que g foi definido justamente como a funcao de verice Γ(4)

(equacao (4.52)). Entao, o termo que multiplica a expansao de Γ(4) e mδ4 = mε (δ4 = ε).Este fator cancela aquele m−ε, resultando que g e finito quando m→ 0. Vamos supor queesse valor seja um dado gc. A equacao (5.30) torna-se

1

γ= 1− 1

4εgc

∫ ∞0

ddx

x2(x2 + 1)+O(g2

c ). (5.31)

O valor numerico da integral acima, para d = 3, e 2π2, resultado que e mostrado no topicoauxiliar (5.3).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 5.3: Calculo da integral de (5.31)

A integral que precisamos calcular e ∫ ∞0

ddxx2(x2 + 1)

, (5.32)

que em tres dimensoes torna-se

4π∫ ∞

0

x2dx

x2(x2 + 1). (5.33)

Fazendo a mudanca de variavel x = tanψ e usando a identidade tan2 ψ + 1 = sec2 ψ, (5.33) se reduz a

4π∫ π/2

0

dψ = 2π2. (5.34)

Desta forma, ∫ ∞0

ddxx2(x2 + 1)

= 2π2. (5.35)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Agora, nos resta calcular gc. Um modo de obter gc e introduzindo a funcao

β(g) ≡(

∂ g

∂ lnm2

)λ,Λ

. (5.36)

Como implica a notacao, devemos deixar β como funcao de g. O primeiro passo e invertera equacao (5.29), escrevendo g em termos de λ. O processo de inversao e semelhante aaquele mostrado nas equacoes (4.63) ate (4.67), resultando em

g = λ− 3λ 2

2

∫ aΛ/m

0

ddx

(x2 + 1)2+O(λ 3). (5.37)

A equacao (5.36) pode ser vista sob o seguinte aspecto. Quando m→ 0, g tende para umvalor finito gc e lnm2 → −∞. Entao, β tera uma raiz neste valor de g. O problema para

75

encontrar gc e, portanto, resolver a equacao β(gc) = 0. Substituindo (5.37) em (5.36) e jaaproximando o limite superior de integracao por infinito em (5.37), vemos que

β(g) =∂

∂ lnm2

[λ− 3λ 2

2

∫ ∞0

ddx

(x2 + 1)2+O(λ 3)

]λ,Λ

= −1

2ελ+

3

2ελ 2

∫ ∞0

ddx

(x2 + 1)2+O(λ 3), (5.38)

onde usamos o resultado (5.21) para calcular as derivadas. Agora, eliminaremos λ emfavor de g. Isto e feito substituindo (5.29) em (5.38) e ja tomando o limite superior deintegracao em (5.29) como infinito, quer dizer,

β(g) = −1

2ε

(g +

3g 2

2

∫ ∞0

ddx

(x2 + 1)2

)+

3

2ε

(g +

3g 2

2

∫ ∞0

ddx

(x2 + 1)2

)2 ∫ ∞0

ddx

(x2 + 1)2+O(g 3)

= −1

2ε g +

3

4ε g 2

∫ ∞0

ddx

(x2 + 1)2+O(g 3). (5.39)

Finalmente, deixamos β como funcao de g. O valor g = gc em (5.39), conduz a β(gc) = 0.Esta equacao possui duas raızes, mas visto que uma delas e a raiz trivial gc = 0, vamosdesconsidera-la. O valor nao nulo de gc e

gc =2

3

[∫ ∞0

ddx

(x2 + 1)2

]−1

=2

3π2. (5.40)

A integral em (5.40) e calculada no topico auxiliar (5.4).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 5.4: Calculo da integral em (5.40)

A integral que vamos calcular e ∫ ∞0

ddx(x2 + 1)2

. (5.41)

Em tres dimensoes, (5.41) torna-se

4π∫ ∞

0

x2dx

(x2 + 1)2. (5.42)

Fazendo a mudanca de variavel x = tanψ e usando a identidade tan2 ψ + 1 = sec2 ψ, chegamos a

76

4π∫ π/2

0

sin2ψ dψ. (5.43)

Conhecendo a relacao do arco duplo, sin2ψ = 12 (1− cos 2ψ), essa integral fica simplesmente

2π∫ π/2

0

(1− cos 2ψ)dψ = π2, (5.44)

ou seja, ∫ ∞0

ddx(x2 + 1)2

= π2. (5.45)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Finalmente, substituindo (5.35), (5.40) em (5.31) e lembrando que ε = 1 em tresdimensoes, encontramos o valor de γ, dado por

γ =3

2. (5.46)

Este e o valor obtido para d = 3 e O(λ) usando o modelo de Landau-Ginzburg. A faixade valores observados experimentalmente de γ e γ ' 1, 3− 1, 4. (Ver Huang, pagina 398)

5.3 Calculo de η

Nesta secao, vamos ao calculo do expoente que governa o comportamento da funcaode correlacao na regiao crıtica. O expoente η e definido como

G(2)c (r) ∼ 1

rd−2+η, r →∞, T = Tc. (5.47)

Para obter a representacao de G(2)(r) no espaco dos momentos, devemos tomar a trans-formada de Fourier de (5.47), que e dada por

G(2)c (k) ∼

∫ddr

eik·r

rd−2+η. (5.48)

Em vez de calcular esta integral explicitamente, podemos usar alguns argumentos paraobter a forma de G

(2)c (k). Primeiramente, notemos que ik ·r deve ser adimensional. Logo,

k tem dimensao [1/r]. Como a integral e feita sobre r, o seu resultado e uma funcaoapenas de k. A dimensao da integral e [rd/rd−2+η ∼ r2−η]. Entao, a dependencia daintegral com k sera, 1/k2−η. Com isto, temos

G2c(k) ∼ k−2+η, k → 0, T = Tc. (5.49)

77

Ao inves da funcao de correlacao, e mais conveniente trabalhar com a funcao de vertice.De acordo com (3.59),

Γ(2)(k) ∼ k2−η, k → 0, T = Tc. (5.50)

Tomando o logaritmo natural de (5.50) e entao derivando com respeito a ln k, segue que

2− η = limk→0

∂ ln Γ(2)

∂ ln k. (5.51)

Da equacao (4.7), Γ(2)(k) e dado por

Γ(2)(k) = m2 + a2k2 − 1

6λ2∆A(k,m) +O(λ3), (5.52)

onde

∆A(k,m) =

∫ Λ

0

ddq1ddq2

(a2q21 +m2)(a2q2

2 +m2)

[1

a2(Q− k)2 +m2− 1

a2Q2 +m2

], (5.53)

lembrando que Q ≡ q1 + q2. Para obter Γ(2)(k) no ponto crıtico, devemos tomar m = 0,assim,

Γ(2)(k) = a2k2

[1− λ2

6a2k2∆A(k, 0)

]+O(λ3). (5.54)

Tomando o logaritmo natural de (5.54), temos

ln Γ(2)(k) = 2 ln(ak) + ln

[1− λ2

6a2k2∆A(k, 0)

]+O(λ3). (5.55)

Tendo em vista que λ e pequeno, podemos usar a aproximacao ln(1 + w) ' w. Dessemodo,

ln Γ(2)(k) = 2 ln(ak)− λ2

6a2k2∆A(k, 0) +O(λ3). (5.56)

No mesmo sentido que antes, introduzimos a constante de acoplamento adimensional,definida agora por

λ ≡ λ (ak)−ε

(2πa)d. (5.57)

Devemos, portanto, escrever (5.56) em termos de λ. Para este fim, fazemos a mudancade variaveis

x1 ≡q1

k, x2 ≡

q2

ke X ≡ Q

k. (5.58)

78

Subtituindo (5.58) em (5.56), com ∆A dado em (5.53), segue que

ln Γ(2)(k) = 2 ln(ak)− λ2

6a2k2

∫ Λ/k

0

kdddx1

(2π)dkdddx2

(2π)d

a2(k2x21)a2(k2x2

2)

[1

a2(kX− k)2− 1

a2k2X2

]+O(λ3)

= 2 ln(ak)− 1

6

λ2k2d

(2π)2dk8a8

a2d

a2d

∫ Λ/k

0

ddx1ddx2

x21x

22

[1

(X− k)2− 1

X2

]+O(λ3)

= 2 ln(ak)− 1

6

λ (ak)−(4−d)

(2πa)d︸ ︷︷ ︸λ

2 ∫ Λ/k

0

ddx1ddx2

x21x

22

[1

(X− k)2− 1

X2

]+O(λ3)

= 2 ln(ak)− λ 2

6

∫ Λ/k

0

ddx1ddx2

x21x

22

[1

(X− k)2− 1

X2

]+O(λ3), (5.59)

onde k e um vetor unitario na direcao k. Vimos no final da secao (4.1) que a dimensaoque divide ∆A em dois regimes e d = 4. Tal como no calculo de γ, devemos analisar oscasos d ≥ 4 e d < 4 separadamente.

5.3.1 Caso d ≥ 4

A integral em (5.59), que chamaremos de I, para o caso d ≥ 4, depende de seu limitesuperior de tal modo que podemos escreve-la como

I = A+B

(Λ

k

)2d−8

. (5.60)

Essa dependencia e mostrada no topico auxiliar (5.5).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 5.5: Integral de (5.59)

A ideia para mostrar que a integral que aparece em (5.59) pode ser esrita na forma (5.60) e semelhanteaquela da equacao (5.11). Dividimos o intervalo de integracao em duas partes,

I ≡∫ b

0

ddx1ddx2

x21x

22

[1

(X− k)2− 1X2

]+∫ Λ/k

b

ddx1ddx2

x21x

22

[1

(X− k)2− 1X2

], (5.61)

em que b e um valor pertencente ao intervalo. A primeira das integrais e finita e seu resultado e umaconstante. A segunda integral, por sua vez, depende de Λ/k. O resultado do final da secao (4.1), quemostra a dependencia de ∆A com o limite de integracao, nos diz que a potencia efetiva do integrando de∆A e 2d− 8. Entao, para d ≥ 4, ∆A cresce com (Λ/k)2d−8. Com isto, escrevemos I do seguinte modo,

79

I = A+B

(Λk

)2d−8

, (5.62)

onde A e B sao constantes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Substituindo (5.60) em (5.59), ficamos com

ln Γ(2)(k) = 2 ln(ak)− λ 2

6

[A+B

(Λ

k

)−2ε]

+O(λ3). (5.63)

Em (5.63) usamos ε ≡ 4 − d. Devemos tomar a derivada de ln Γ(2)(k) em relacao a ln k,porem, antes, mostraremos no topico auxilar (5.6) um resultado que torna mais pratico aderivacao.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 5.6: Derivada de λn em relacao a ln k

Vamos calcular a seguinte derivada

∂λn

∂ ln k=

∂k

∂ ln k∂λn

∂k= k

∂λn

∂k. (5.64)

Usando (5.57), escrevemos

k∂λn

∂k= k

∂

∂k

(λ (ak)−ε

(2πa)d

)n= k

λ a−ε

(2πa)d(−nε)k−nε−1

= −nε(λ (ak)−ε

(2πa)d

)n. (5.65)

Portanto,

∂λn

∂ ln k= k

∂λn

∂k= −nελn. (5.66)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A derivada de (5.63) em relacao a ln k e

80

∂ ln Γ(2)(k)

∂ ln k=

∂

∂ ln k

2 ln(ak)− λ 2

6

[A+B

(Λ

k

)−2ε]

= 2− 1

6

∂λ 2

∂ ln k︸ ︷︷ ︸(5.66)

[A+B

(Λ

k

)−2ε]− λ 2

6

BΛ−2ε ∂

∂ ln k︸ ︷︷ ︸k ∂

∂k

(1

k

)−2ε

= 2− 1

6(−2ελ 2)

[A+B

(Λ

k

)−2ε]− λ 2

6

[BΛ−2ε(2ε)

(1

k

)−2ε]

= 2 +1

3ελ 2A. (5.67)

Levando (5.67) em (5.51), encontramos

η = −1

3εA lim

k→0λ 2, (5.68)

De acordo com a definicao de λ, equacao (5.57), para d > 4, λ→ 0 quando k → 0. Parad = 4, ε = 0 e assim o resultado que obtemos para η e

η = 0. (5.69)

Este resultado tambem esta de acordo com o criterio de Ginzburg. Apesar de nao serpossıvel calcular o expoente η usando teoria de Landau, outras aproximacoes de campomedio fornecem η = 0 (Ver Binney et al., paginas 175 e 176).

5.3.2 Caso d < 4

Abaixo de quatro dimensoes, a integral I de (5.59) nao depende fortemente de seulimite superior tal que podemos toma-lo como infinito. Dessa forma, reescrevemos (5.59)como

ln Γ(2)(k) = 2 ln(ak)− λ 2

6

∫ ∞0

ddx1ddx2

x21x

22

[1

(X− k)2− 1

X2

]+O(λ3). (5.70)

Tomando a derivada de (5.70) em relacao a ln k, resulta em

∂ ln Γ(2)(k)

∂ ln k= 2 +

1

3ελ 2

∫ ∞0

ddx1ddx2

x21x

22

[1

(X− k)2− 1

X2

]+O(λ3), (5.71)

81

onde empregamos (5.66) para calcular a derivada de λ 2. Substituindo (5.71) em (5.51),somos levados a

η =1

3ε limk→0

λ 2

∫ ∞0

ddx1ddx2

x21x

22

[1

X2− 1

(X− k)2

]+O(λ3). (5.72)

Notemos que λ diverge quando k → 0. Nossa expressao para η esta em termos de λ. Paraenfrentar o problema da divergencia, vamos comecar com a troca de λ pela constante deacoplamento renormalizada g. A definicao de g, dada em (4.52), diz que g ≡ Γ(4)(0, 0, 0),porem, precisamos mudar o ponto de renormalizacao. Definindo g em um ponto nao nulo,temos

g ≡ Γ(4)(κ1,κ2,κ3)|SP, (5.73)

em que a notacao SP significa que os vetores κi sao escolhidos tal que satisfacam a seguinterelacao

κi · κj = (4δij − 1)κ2

4, (5.74)

implicando

(κi + κj)2 = κ2. (5.75)

Um ponto que satisfaz (5.74) e chamado de ponto de simetria. Aqui, estamos livrespara escolher qualquer valor para a quantidade escalar κ. No entanto, para nao haverproblemas relacionados com o comportamento das series que relacionam os parametrosλ, µ2 e α2 com os respectivos parametros renormalizados, devemos escolher κ proporcionala k. A escolha mais simples e κ = k.

A razao para a mudanca do ponto de renormalizacao, e que em nossos calculos quandoestamos na regiao crıtica tomamos m = 0 e se κi = 0 surge uma divergencia no calculode g (equacao (4.52)). A escolha de vetores de onda que satisfazem a relacao (5.74) e feitapara simplificar as integrais.

De acordo com (4.51), g sera dado por

g = λ− 3λ2

2

∫ Λ

0

ddq

a4q2(κ1 + κ2 − q)2+O(λ3), (5.76)

pois, como os vetores de onda satisfazem a (5.74), os tres termos da integral em (4.51)dao a mesma contribuicao. Um procedimento semelhante aquele feito no topico auxiliar(4.5), permite-nos inverter a relacao (5.76), quer dizer,

λ = g +3g2

2

∫ Λ

0

ddq

a4q2(κ1 + κ2 − q)2+O(g3). (5.77)

82

Agora, vamos introduzir a constante de acoplamento renormalizada adimensional g, definidapor

g ≡ g (aκ)−ε

(2πa)d. (5.78)

Devemos deixar a equacao (5.77) em termos de g. Para isto, fazemos a seguinte mudancade variaveis,

x ≡ q

κ, κ1 ≡

κ1

κe κ2 ≡

κ2

κ. (5.79)

Levando (5.79) em (5.77), somos conduzidos a

λ = g

(1 +

3g

2

∫ Λ/κ

0

κdddx(2π)d

a4κ2x2(κκ1 + κκ2 − κx)2

)+O(g3)

= g

(1 +

3g

2

κd

a4κ4(2π)dad

ad

∫ Λ/κ

0

ddx

x2(κ1 + κ2 − x)2

)+O(g3)

= g

1 +3

2

g(aκ)−(4−d)

(2πa)d︸ ︷︷ ︸g

∫ Λ/κ

0

ddx

x2(κ1 + κ2 − x)2

+O(g3). (5.80)

Multiplicando ambos os lados de (5.80) por (aκ)−ε/(2πa)d e identificando λ e g, equacoes(5.57) e (5.78), obtemos

λ = g +3g 2

2

∫ Λ/κ

0

ddx

x2(κ1 + κ2 − x)2+O(g 3). (5.81)

Substituindo (5.81) em (5.72), resulta

η =1

3ε limκ→0

g 2

∫ ∞0

ddx1ddx2

x21x

22

[1

X2− 1

(X− k)2

]+O(g 3). (5.82)

O limite de g quando κ→ 0 tem um valor finito, que se deve ao mesmo motivo que aquelepara g, na equacao (5.30). Seja gc o valor do limite de g quando κ→ 0. A expressao queobtemos e

η =1

3εgc

2

∫ ∞0

ddx1ddx2

x21x

22

[1

X2− 1

(X− k)2

]+O(gc

3). (5.83)

O metodo para encontrar gc e similar aquele empregado no calculo de γ quando d < 4.Introduzimos a funcao

83

σ(g) ≡ ∂g

∂ lnκ. (5.84)

Uma analise semelhante a aquela da equacao (5.36), nos mostra que essa funcao tem umaraiz no valor crıtico gc. Devemos escrever g em termos de κ. O primeiro passo e invertera equacao (5.81). O processo de inversao e mostrado no topico auxiliar (4.5). Com isto,

g = λ− 3λ 2

2

∫ ∞0

ddx

x2(κ1 + κ2 − x)2+O(λ 3), (5.85)

onde ja tomamos o limite de integracao como infinito, pois quando d < 4, a integral naodepende fortemente desse limite. Substituindo (5.85) em (5.84), temos

σ(g) =∂λ

∂ lnκ− 3

2

∂λ 2

∂ lnκ

∫ ∞0

ddx

x2(κ1 + κ2 − x)2+O(λ 3)

= −ε λ+ 3 ελ 2

∫ ∞0

ddx

x2(κ1 + κ2 − x)2+O(λ 3), (5.86)

em que empregamos (5.66) para calcular as derivadas. Com a ajuda de (5.81), eliminamos

λ em favor de g em (5.86), isto e,

σ(g) = −ε(g +

3g 2

2

∫ ∞0

ddx

x2(κ1 + κ2 − x)2

)+ 3 ε

(g +

3g 2

2

∫ ∞0

ddx

x2(κ1 + κ2 − x)2

)2 ∫ ∞0

ddx

x2(κ1 + κ2 − x)2+O(g 3)

= −ε g +3

2εg 2

∫ ∞0

ddx

x2(κ1 + κ2 − x)2+O(g 3). (5.87)

Devemos resolver σ(gc) = 0. Como antes, essa equacao tem duas raızes, mas a unica quenos interessa e a nao nula. Assim,

gc =2

3

[∫ ∞0

ddx

x2(κ1 + κ2 − x)2

]−1

. (5.88)

Esta integral, em 3 dimensoes, vale π3. Com isto, o valor de gc e

gc =2

3π3. (5.89)

O calculo da integral em (5.88) e mostrado no topico auxiliar (5.7).

84

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 5.7: Caculo da integral em (5.88)

A integral que devemos calcular e a seguinte,

I ≡∫ ∞

0

ddxx2(κ1 + κ2 − x)2

, (5.90)

considerando d = 3. O termo entre parenteses no denominador pode ser escrito como

(κ1 + κ2 − x)2 = (κ1 + κ2)2 − 2(κ1 + κ2) · x + x2. (5.91)

A equacao (5.75) e a mudanca de variaveis em (5.79), implicam |κ1 + κ2| = 1. Trabalhando em coorde-nadas esfericas, podemos considerar que o vetor κ1 + κ2 fique sobre o eixo z, de modo que

(κ1 + κ2 − x)2 = 1− 2x cos θ + x2. (5.92)

O elemento de volume e d3x = x2 dx sen θ dθ dφ. Sob essas consideracoes, a integral I torna-se

I = 2π∫ ∞

0

dx

∫ π

0

sinθdθ1− 2x cos θ + x2

. (5.93)

A integral em θ e resolvida fazendo-se a mudanca de variavel u = 1− 2x cos θ + x2, resultando∫ π

0

sinθdθ1− 2x cos θ + x2

=1

2x

∫ (1+x)2

(1−x)2

du

u=

1x

ln(

1 + x

|1− x|

). (5.94)

Levando este resultado em (5.93), segue que

I = 2π∫ ∞

0

dx

xln(

1 + x

|1− x|

)= 2π

∫ 1

0

dx

xln(

1 + x

1− x

)+ 2π

∫ ∞1

dx

xln(x+ 1x− 1

). (5.95)

Vamos ao calculo da primeira delas. Para isto, consideremos as expansoes

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− x4

4+ · · · (5.96)

e

ln(1− x) = −x− x2

2− x3

3− x4

4− · · · . (5.97)

Assim,

∫ 1

0

dx

xln(

1 + x

1− x

)=

∫ 1

0

dx

x

[(x− x2

2+x3

3− x4

4+ · · ·

)−(−x− x2

2− x3

3− x4

4− · · ·

)]= 2

∫ 1

0

dx

(1 +

x3

9+x5

25+ · · ·

)= 2

∞∑n=1,3...

1n2

∫ 1

0

dxxn

= 2∞∑

n=1,3...

1n2. (5.98)

85

Esta serie pode ser somada conhecendo a funcao ζ(2) de Riemann, dada por

ζ(2) =∞∑n=1

1n2

=π2

6. (5.99)

Notemos (5.99) pode ser escrita como

ζ(2) =∞∑n=1

1n2

=(

1 +19

+125

+ · · ·)

+(

14

+116

+136

+ · · ·)

=(

1 +19

+125

+ · · ·)

+14

(1 +

14

+19

+ · · ·)

︸ ︷︷ ︸ζ(2)

, (5.100)

de modo que

∞∑n=1,3...

1n2

=34ζ(2) =

π2

8. (5.101)

Substituindo (5.101) em (5.98), temos que

∫ 1

0

dx

xln(

1 + x

1− x

)=π2

4. (5.102)

Para calcular a segunda integral, fazemos a mudanca de variavel x = 1/v, resultando que∫ ∞1

dx

xln(x+ 1x− 1

)=∫ 1

0

dv

vln(

1 + v

1− v

)=π2

4. (5.103)

Substituindo (5.102) e (5.103) em (5.95), obtemos

I ≡∫ ∞

0

d3xx2(κ1 + κ2 − x)2

= π3. (5.104)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Agora que sabemos quanto vale gc, para encontrarmos η, basta calcular a integral daequacao (5.83). Reescrevendo apenas a integral, segue que

J ≡∫ ∞

0

ddx1ddx2

x21x

22

[1

X2− 1

(X− k)2

]. (5.105)

Quando tentamos calcular esta integral em tres dimensoes, o que encontramos e que elaapresenta uma divergencia devida ao limite inferior. Essa divergencia e mostrada notopico auxiliar (5.8). Por este motivo, e necessario empregar tecnicas para controlar taldivergencia. A primeira delas e conhecida como regularizacao dimensional.

86

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 5.8: Integral em (5.105)

Consideremos a integral J , quando d = 3,

J ≡∫ ∞

0

d3x1d3x2

x21x

22

[1X2− 1

(X− k)2

]

=∫ ∞

0

d3x1d3x2

x21x

22X

2−∫ ∞

0

d3x1d3x2

x21x

22(X− k)2

(5.106)

Lembramos que X = x1 + x2. Vamos analisar a primeira delas, ou seja,

∫ ∞0

d3x1d3x2

x21x

22X

2=∫ ∞

0

d3x1

x21

∫ ∞0

d3x2

x22|x1 + x2|2︸ ︷︷ ︸i

. (5.107)

Escolhendo x1 = x1z, em que z e um vetor unitario na direcao do eixo z, e fazendo a mudanca de variavely = x2/x1, a integral i torna-se

i ≡∫ ∞

0

d3x2

x22|x1 + x2|2

=2πx1

∫ ∞0

dy

∫ π

0

sen θ2dθ2

1 + 2y cos θ2 + y2=π3

x1, (5.108)

pois esta integral e a mesma que (5.93) cujo resultado e dado em (5.104). Levando (5.108) em (5.107),obtemos

∫ ∞0

d3x1d3x2

x21x

22X

2=

∫ ∞0

d3x1

x21

π3

x1

= 4π4

∫ b

a

dx1

x1

= 4π4 lnb

a, (5.109)

onde trocamos os limites de integracao 0 e ∞ por a e b respectivamente. Faremos isto nos casos emque aparecer divergencias e depois que calcularmos a diferenca em (5.106) tomaremos os limites a→ 0 eb→∞. A segunda integral em (5.106) e∫ ∞

0

d3x1d3x2

x21x

22(X− k)2

=∫ ∞

0

d3x1

x21

∫ ∞0

d3x2

x22(x1 + x2 − k)2︸ ︷︷ ︸

j

. (5.110)

A mudanca de variavel x′1 = x1 − k faz com que j adquira a forma de i, dada em (5.108), quer dizer,

j ≡∫ ∞

0

d3x2

x22(x′1 + x2)2

=π3

x′1=

π3

|x1 − k|. (5.111)

Com isto, (5.110 ) fica

87

∫ ∞0

d3x1d3x2

x21x

22(X− k)2

= π3

∫ ∞0

d3x1

x21|x1 − k|

= π3

∫ ∞0

d3x1

x21(1− 2x1 cos θ1 + x2

1)1/2

= 2π4

∫ ∞0

dx1

∫ π

0

senθ1dθ1

(1− 2x1 cos θ1 + x21)1/2

. (5.112)

Para resolver a integral em θ1, fazemos a mudanca de variavel u = 1− 2x1 cos θ1 + x21, que nos conduz a

uma integral do tipo∫duu−1/2 que e resolvida diretamente. Segue que

∫ ∞0

d3x1d3x2

x21x

22(X− k)2

= 2π4

∫ b

a

dx1

x1(1 + x1 − |1− x1|)

= 4π4

∫ 1

a

dx1 + 4π4

∫ b

1

dx1

x1

= 4π4(1− a) + 4π4 lnb

1. (5.113)

Substituindo (5.109) e (5.113) em (5.106), obtemos

J = 4π4 lnb

a− 4π4(1− a)− 4π4 ln

b

1= −4π4 ln a− 4π4(1− a). (5.114)

Entao, quando tomamos o limite a → 0 a integral J diverge com ln a. A parte dependente de b, quetambem apresenta divergencia em cada uma das integrais (5.109) e (5.113) quando b→∞, se cancelamquando subtraıdas uma da outra.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.3 Regularizacao Dimensional

Temos uma integral da forma

I0(d) ≡∫ddk [f1(k)− f2(k)]. (5.115)

A ideia de regularizacao dimensional e a seguinte. Para os valores de d que estamosinteressados (d < 4), a integral e bem comportada para grandes valores de k. Esse bomcomportamento se deve a diferenca [f1(k) − f2(k)] no integrando, pois a parte de f1(k)e de f2(k) correspondente aos grandes vetores de onda efetivamente se cancelam. Sejadp a dimensao que queremos trabalhar. Cada uma das integrais I1(d) ≡

∫ddkf1(k) e

I2(d) ≡∫ddkf2(k) e divergente, pois f1(k) e f2(k) nao vao a zero suficientemente rapido

88

pra k grande. Porem, essa integrais individuais podem ser bem comportadas quando adimensao d e pequena. No processo de regularizacao dimensional, vamos definir a integralIi(d) para uma faixa de valores de d. Assumimos que funcao resultante Ii(d) seja umafuncao analıtica de d (implicando que d pode variar continuamente). Por fim, calculamosa quantidade I ′0(d) ≡ I1(d) − I2(d). I ′0(d) e uma funcao analıtica. Para os valores de dem que as integrais I1 e I2 sao definidas, teremos I ′0(d) = I0(d). Mas se essas funcoes saoiguais e nao nulas para uma certa faixa de valores de d, visto que elas sao analıticas, saoiguais para todos os valores de d. Logo, I ′0(dp) = I0(dp) e assim a integral que apresentavaproblemas pode ser avaliada.

Voltando na integral (5.105), a escrevemos do seguinte modo

J ≡∫ ∞

0

ddx1ddx2

x21x

22

[1

X2− 1

(X− k)2

]= J2(0)− J2(1), (5.116)

onde

J2(k) ≡∫ ∞

0

ddx1ddx2

x21x

22(X− k)2

. (5.117)

Essa integral nao converge para d = 3 quando o limite superior vai para infinito. Aavaliamos considerando d pequeno e entao definimos J2(k) em d = 3. Para avaliar essaintegral, vamos usar uma tecnica conhecida como parametrizacao de Feynman, que seradiscutida agora.

Parametrizacao de Feynman

Para implementar o processo de parametrizacao, e necessario conhecer as funcoes Γ eB de Euler bem como algumas de suas propriedades, que sao mostradas no topico auxiliar(5.9).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 5.9: Funcoes Γ e B de Euler

Comecaremos por definir a funcao Γ, isto e,

Γ(p+ 1) ≡∫ ∞

0

dxxpe−x = p !, p > −1. (5.118)

Para essa funcao, vale a seguintes propriedade,

Γ(p+ 1) = pΓ(p), p > 0 (5.119)

ou, resolvendo para Γ(p),

Γ(p) =1p

Γ(p+ 1), (5.120)

89

que permite-nos definir Γ para p < 0. A funcao B e definida como

B(p, q) ≡∫ 1

0

dxxp−1(1− x)q−1, p > 0, q > 0. (5.121)

Por meio da mudanca de variavel x = y/(y + 1), (5.121) pode ser reescrita como

B(p, q) =∫ ∞

0

dy yp−1

(1 + y)p+q. (5.122)

Uma propriedade que nos interessa e a conexao entre as funcoes Γ e B, dada por

B(p, q) =Γ(p)Γ(q)Γ(p+ q)

. (5.123)

De acordo com (5.118) em (5.123), fazendo as mudancas de variaveis p = u + 1 e q = v + 1, podemosainda escrever a funcao B como

B(u, v) =∫ 1

0

duuµ(1− u)ν =µ! ν!

(µ+ ν + 1)!. (5.124)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uma integral que sera util para nos, e∫ ∞0

ddx

(x2 + 2x · p + c2)α= πd/2

(α− 12d− 1)!

(α− 1)!(c2 − p2)d/2−α. (5.125)

Notemos que nao ha restricao quanto a dimensao d, podendo esta assumir valores naointeiros, como sugerido no processo de regularizacao dimensional. O calculo dessa integrale apresentado no topico auxiliar (5.10).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 5.10: Calculo da integral (5.125)

Primeiramente, devemos observar que o denominador de (5.125) pode ser escrito como

x2 + 2x · p + c2 = (x + p)2 − p2 + c2. (5.126)

A mudanca de variavel x′ = x + p, conduz a∫ ∞0

ddx′

(x′2 + c2 − p2)α= Ωd

∫ ∞0

dx′x′d−1

(x′2 + c2 − p2)α, (5.127)

em que Ωd e o angulo solido. De modo a deixar (5.127) da mesma forma que (5.122), colocamos o termoc2−p2 em evidencia no denominador e fazemos outra mudanca de variavel, sendo y = x′2/(c2−p2). Comisto, (5.127) torna-se

Ωd2

(c2 − p2)d/2−α∫ ∞

0

dy yd/2−1

(1 + y)α. (5.128)

A integral em (5.128) sera igual a funcao B, dada em (5.122), se identificarmos p = d/2 e q = α − d/2.Assim,

90

Ωd2

(c2 − p2)d/2−α∫ ∞

0

dy yd/2−1

(1 + y)α=

Ωd2

(c2 − p2)d/2−αB(d/2, α− d/2). (5.129)

Por outro lado, a (5.123) nos diz que

B(d/2, α− d/2) =Γ(d/2)Γ(α− d/2)

Γ(α). (5.130)

De acordo com (5.118), podemos escrever (5.130) como segue

B(d/2, α− d/2) =

(12d− 1

)!(α− 1

2d− 1)!

(α− 1)!. (5.131)

Substituindo (5.131) em (5.129), encontramos que a integral (5.127) sera∫ ∞0

ddx′

(x′2 + c2 − p2)α=

Ωd2

(c2 − p2)d/2−α(

12d− 1

)!(α− 1

2d− 1)!

(α− 1)!. (5.132)

Agora, falta saber quanto vale Ωd. Podemos calcula-lo do seguinte modo. Seja a integral Gaussiana emd dimensoes

I =∫ ∞−∞

ddx e−(x21+x2

2+···+x2d) = πd/2, (5.133)

em que o resultado πd/2 e tirado de (2.37). Por outro lado, podemos parametrizar essa integral emcoordenadas hiperesfericas, sendo R2 = x2

1 + x22 + · · ·+ x2

d e ddx = ΩdRd−1dR. Desse modo,

I = Ωd∫ ∞

0

dR e−R2Rd−1. (5.134)

Fazendo a mudanca de variavel z = R2, segue que

I =Ωd2

∫ ∞0

dz e−zzd/2−1. (5.135)

Essa integral e justamente a definicao da funcao Γ dada em (5.118) com p = d/2− 1. Sendo assim,

I =Ωd2

(d/2− 1)!. (5.136)

Comparando (5.133) com (5.136), encontramos

Ωd =2πd/2(

12d− 1

)!. (5.137)

Finalmente, escrevemos a integral (5.132) como∫ ∞0

ddx′

(x′2 + c2 − p2)α= πd/2

(α− 12d− 1)!

(α− 1)!(c2 − p2)d/2−α. (5.138)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Agora, iniciaremos a parametrizacao de Feynman. Primeiramente, escrevemos (5.118),porem com p = α− 1, sendo α um numero real. Isto nos fornece

(α− 1)! =

∫ ∞0

dt tα−1e−t. (5.139)

91

Com a troca t→ at, podemos escrever (5.139) como segue

1

aα=

1

(α− 1)!

∫ ∞0

dt tα−1e−at, (5.140)

onde a e outro numero real. Supondo que tenhamos os dois pares (a1, α1) e (a2, α2), valea seguinte igualdade

1

aα11

1

aα22

=

(1

(α1 − 1)!

∫ ∞0

dt1 tα1−11 e−a1t1

)(1

(α2 − 1)!

∫ ∞0

dt2 tα2−12 e−a2t2

)=

1

(α1 − 1)!(α2 − 1)!

∫ ∞0

dt1dt2 tα1−11 tα2−1

2 e−(a1t1+a2t2). (5.141)

Agora, fazemos as seguintes substituicoes

t1 = su1 e t2 = su2. (5.142)

u1 e u2 sao os parametros de Feynman e s e outra variavel que eventualmente sera elimi-nada. Devemos notar que trocamos duas variaveis por outras tres. Entao, ainda podemosimpor algum vınculo sobre elas de modo a restar apenas duas variaveis livres. O vınculoescolhido, por motivo de simplicidade, e

u1 + u2 = 1. (5.143)

Este vınculo permite-nos eliminar, por exemplo, u2 em favor de u1, tal que t2 = s(1−u1).A integral (5.141) abrange apenas os valores positivos de t1 e t2. Podemos, de formaequivalente, cobrir todo esse domınio, integrando apenas sobre os valores positivos de u1,u2 e s. Para satisfazer (5.143), no entanto, os valores de u1 e u2 deverao estar entre 0 e1. Para fazer as mudancas de variaveis na integral (5.141), precisamos do Jacobiano datransformacao, que e dado por

J =

∣∣∣∣∣∣∣∂t1∂u1

∂t1∂s

∂t2∂u1

∂t2∂s

∣∣∣∣∣∣∣ = s, (5.144)

em que consideramos t1 = su1 e t2 = s(1− u1). Com as mudancas, (5.141) torna-se

1

aα11

1

aα22

=1

(α1 − 1)!(α2 − 1)!

∫ 1

0

du1

∫ ∞0

ds s (su1)α1−1(s(1− u1))α2−1 e−[a1su1+a2s(1−u1)].

(5.145)

Para expressar (5.145) em termos de u2, podemos multiplica-la por∫ 1

0du2δ(u2−(1−u1)) =

1, que nao afeta a integral. Com isto, em todo lugar de (5.145) que aparecer 1 − u1,

92

poderemos substituir por u2, pois a integral com a delta garante que o vınculo seramantido. Desse modo,

1

aα11

1

aα22

=1

(α1 − 1)!(α2 − 1)!

∫ 1

0

du1

∫ ∞0

ds s (su1)α1−1(s (1− u1)︸ ︷︷ ︸u2

)α2−1 e

−[a1su1+a2s (1− u1)︸ ︷︷ ︸u2

]

×∫ 1

0

du2δ(u2 − (1− u1))

=1

(α1 − 1)!(α2 − 1)!

∫ 1

0

du1du2 uα1−11 uα2−1

2 δ(u1 + u2 − 1)

×∫ ∞

0

ds sα1+α2−1e−s(a1u1+a2u2). (5.146)

A integral em s pode ser calculada usando (5.140) quando identificamos α = α1 + α2 ea = a1u1 + a2u2, resultando que∫ ∞

0

ds sα1+α2−1e−s(a1u1+a2u2) =(α1 + α2 − 1)!

(a1u1 + a2u2)α1+α2. (5.147)

Dessa maneira, (5.146) fica

1

aα11 a

α22

=(α1 + α2 − 1)!

(α1 − 1)!(α2 − 1)!

×∫ 1

0

du1 du2 δ(u1 + u2 − 1)uα1−1

1 uα2−12

(a1u1 + a2u2)α1+α2. (5.148)

Esta e a equacao de parametrizacao de Feynman que vamos usar.De posse dos resultados mostrados, estamos aptos ao calculo de J2(k) dada em (5.117).

Reescrevemos J2(k) como

J2(k) =

∫ ∞0

ddx1

x21

∫ ∞0

ddx2

x22(X− k)2

. (5.149)

A segunda integral em (5.149), quando fazemos as mudancas de variaveis k′ = k − x1 ex = x2 e lembrando que X = x1 + x2, pode ser escrita do seguinte modo:

J(k′) ≡∫ ∞

0

ddx

x2(x− k′)2, (5.150)

que constitui parte de J2(k). Fazendo a1 = x2, a2 = (x − k′)2 e α1 = α2 = 1, de acordocom (5.148), podemos escrever o denominador de (5.149) como

93

1

x2(x− k)2=

∫ 1

0

du1 du2 δ(u1 + u2 − 1)1

[x2u1 + (x− k′)2u2]2

=

∫ 1

0

du21

[x2(1− u2) + (x− k′)2u2]2

=

∫ 1

0

du21

(x2 − 2x · k′u2 + k′2u2)2. (5.151)

Substituindo (5.151) em (5.150), ficamos com

J(k′) =

∫ 1

0

du2

∫ ∞0

ddx

(x2 − 2x · k′u2 + k′2u2)2. (5.152)

Usando (5.125) com p = −k′u2, c2 = k′2u2 e α = 2, obtemos

J(k′) = πd/2k′d−4

(1− 1

2d

)!

∫ 1

0

du2[u2(1− u2)]d/2−2

= πd/2k′−ε(

1

2ε− 1

)!

∫ 1

0

du2[u2(1− u2)]−ε/2, (5.153)

onde usamos ε ≡ 4 − d. A integral remanescente em (5.153) e calculada empregando(5.124) com µ = ν = −ε/2. O resultado e

J(k′) = πd/2k′−ε(1

2ε− 1)![(−1

2ε)!]2

(1− ε)!. (5.154)

Substituımos entao (5.154) em (5.149), com k′ = |k− x1| = [(k− x1)2]1/2. Assim,

J2(k) = πd/2(1

2ε− 1)![(−1

2ε)!]2

(1− ε)!

∫ ∞0

ddx1

x21[(x1 − k)2]ε/2

. (5.155)

Resta-nos calcular a integral do lado direito de (5.155). O calculo e analogo ao de J(k′)e e mostrado no topico auxiliar (5.11).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 5.11: Calculo da integral em (5.155)

Vamos calcular a integral

I =∫ ∞

0

ddx1

x21[(x1 − k)2]ε/2

(5.156)

94

do mesmo modo que calculamos J(k′). Fazendo a1 = x21, a2 = (x1 − k)2, α1 = 1 e α2 = ε/2, de acordo

com (5.148), podemos escrever o denominador de (5.156) como

1x2

1(x− k)2=

(ε/2)!(ε/2− 1)!

∫ 1

0

du1 du2 δ(u1 + u2 − 1)uε/2−12

[x21u1 + (x1 − k)2u2]1+ε/2

=(ε/2)!

(ε/2− 1)!

∫ 1

0

du2uε/2−12

[x21(1− u2) + (x1 − k)2u2]1+ε/2

=(ε/2)!

(ε/2− 1)!

∫ 1

0

du2uε/2−12

(x21 − 2x1 · ku2 + k2u2)1+ε/2

. (5.157)

Substituindo (5.157) em (5.156), ficamos com

I =(ε/2)!

(ε/2− 1)!

∫ 1

0

du2uε/2−12

∫ ∞0

ddx1

(x21 − 2x1 · ku2 + k2u2)1+ε/2

. (5.158)

Usando (5.125) com p = −ku2, c2 = k2u2 e α = 1 + ε/2, obtemos

I = πd/2(k2)d/2−1−ε/2 (ε/2− d/2)!(ε/2− 1)!

∫ 1

0

du2 ud/2−22 (1− u2)d/2−1−ε/2

= πd/2(k2)1−ε (ε− 2)!(ε/2− 1)!

∫ 1

0

du2 u−ε/22 (1− u2)1−ε, (5.159)

onde usamos ε ≡ 4 − d para eliminar d. A integral remanescente em (5.159) e calculada empregando(5.124) com µ = −ε/2 e ν = 1− ε. O resultado e

I = πd/2(k2)1−ε (ε− 2)!(ε/2− 1)!

(−ε/2)!(1− ε)!(2− 3ε/2)!

. (5.160)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Substituindo (5.160) em (5.155), finalmente encontramos

J2(k) = (k2)1−επd(ε− 2)![(−1

2ε)!]3

(2− 32ε)!

. (5.161)

Notemos que em d = 3, o termo (ε−2)! apresenta uma divergencia, pois (ε = 1). Por outrolado, a dependencia de J2(k) com k e da forma J2(k) ∼ (k2)1−ε, mostrando que quandoε→ 1, J2(k) fica independente de k. Como a quantidade que desejamos e J2(0)−J2(1),no limite ε → 1 essa diferenca vai a zero devido a (k2)1−ε. Logo, devemos analisar qualdesses efeitos dominam (5.161). Antes disso, apresentaremos algumas series que seraouteis para essa analise.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Topico Auxiliar 5.12: Expansoes em serie de Taylor e Laurent de x! em torno de inteiros

Algumas series que serao uteis para nossas aproximacoes sao dadas abaixo,

95

(x− 1)! =1x− γ +

12

[γ2 +

16π2

]x+O(x2), −1 < x < 1, (5.162)

(x+ 1)! = 1 + (1− γ)x+O(x2), −2 < x < 2, (5.163)

x! = 1− γx+O(x2), −1 < x < 1 (5.164)

e

(x− 2)! = − 1x− (1− γ)− 1

2

[(1− γ)2 +

16π2 + 1

]x+O(x2), −1 < x < 1. (5.165)

Aqui, γ e a constante de Euler, dada por

γ ≡ limn→∞

[n∑

m=1

1m− lnn

]= 0, 577... (5.166)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Primeiramente, vamos estudar o comportamento de (k2)1−ε em torno de ε = 1. Pode-mos escrever esse termo como

(k2)1−ε = e(1−ε) ln k2

= 1 + (1− ε) ln k2 +O[(1− ε)2], (5.167)

onde usamos a serie da exponencial dada em (3.3). O termo (ε− 2)!, em torno de ε = 1,pode ser aproximado por

(ε− 2)! =1

ε− 1+O(1), (5.168)

onde usamos a expansao (5.162) com x = ε− 1. Com essas aproximacoes (5.161) torna-se

J2(k) = πd[1 + (1− ε) ln k2]1

(ε− 1)

[(−12ε)!]3

(2− 32ε)!. (5.169)

Em vez de calcular diretamente J2(0) − J2(1), vamos calcular J2(k) − J2(k′) e depoistomamos os limites apropriados. Fazendo isto,

J2(k)− J2(k′) = πd1

(ε− 1)

[(−12ε)!]3

(2− 32ε)![1 + 2(1− ε) ln k]− [1 + 2(1− ε) ln k′]

= −2πd[(−1

2ε)!]3

(2− 32ε)!

[lnk

k′+O(1− ε)

]. (5.170)

Tomando o limite ε→ 1 em (5.170), temos

96

J2(k)− J2(k′) = −2π3 [(−12)!]3

(12)!

lnk

k′. (5.171)

Sabendo que (−1/2)! = Γ(1/2) = π1/2 e (1/2) = Γ(3/2) = π1/2/2, obtemos

J2(k)− J2(k′) = −4π4 lnk

k′, (5.172)

que ainda diverge a medida que k′ → 0 e nosso problema ainda nao foi resolvido. Oproximo passo entao, e considerar a tecnica conhecida como expansao ε.

5.3.4 Expansao ε

A ideia aqui e escrever gc e a integral J (definida em (5.105)), ambos de (5.83), empotencias de ε ≡ 4− d, mas agora considerando ε pequeno, ou seja, ε→ 0. Veremos queisso elimina os problemas com divergencias. No final das contas, ficamos com η expressoem termos de ε. Nesse resultado, tomamos ε = 1 (d = 3) e tiramos um valor para η.

A integral de gc dada na equacao (5.88) pode ser tratada sob o enfoque de regulari-zacao dimensional, ou seja, calculando-a para uma dimensao arbitraria. Essa integral eigual a integral (5.150) desde que k→ κ1 + κ2. Sendo assim, usamos o resultado (5.154)para obter

gc =2(1− ε)!

3πd/2[(−12ε)!]2(1

2ε− 1)!

, (5.173)

lembrando que |κ1 + κ2| = 1. Quando desejamos tomar o limite ε→ 0, o termo que noscausa problema e (1/2ε − 1)!. Entao, vamos usar a expansao (5.162) com x = ε/2, paraescrever (

1

2ε− 1

)! =

2

ε+O(ε). (5.174)

Por outro lado, os termos (1 − ε)! e [(−1/2ε)!]2 → 1 quando ε → 0, pois 1! = 0! = 1.Levando (5.174) em (5.173) e tomando (1− ε)! e [(−1/2ε)!]2 → 1, chegamos a

gc =1

3π2ε+O(ε2). (5.175)

O passo seguinte e expressar a integral J ≡ J2(0) − J2(1), equacao (5.116), em termosde ε. Para isto, expandiremos novamente os termos (k2)1−ε e (ε − 2)! de (5.161), poremem torno de ε = 0. Desta maneira,

(k2)1−ε = k2e−ε ln k2

= k2(1− ε ln k2 +O(ε2)) (5.176)

97

e

(ε− 2)! = −1

ε+O(1), (5.177)

onde em (5.176) usamos a serie da exponencial (3.3) e em (5.177) usamos a expansao(5.165) com x = ε. Substituindo (5.176) e (5.177) em (5.161), resulta

J2(k) = πdk2(1− ε ln k2)

(−1

ε

)[(−1

2ε)!]3

(2− 32ε)!

+O(ε2). (5.178)

Notemos que, no limite ε → 0 e k → 0, (5.176) vai a zero, pois o termo dominate e k2.Sendo assim, J2(0) e nulo. Agora, escrevemos J2(k) tomando o limite ε → 0 (d → 4) eusando (5.176) e (5.177), ou seja,

J2(k) = −1

2π4k2 1

ε+O(1). (5.179)

Fazendo k = 1 em (5.179), escrevemos J como segue

J = −J2(1) =π4

2

1

ε+O(1), (5.180)

lembrando que J = J2(0)−J2(1) (equacao (5.116)). A expressao para η, equacao (5.83),era

η =1

3εgc

2J . (5.181)

Substituindo (5.175) e (5.180) em (5.181) chegamos a

η =ε2

54+O(ε3). (5.182)

Como anunciado anteriormente, nessa expressao vamos tomar ε = 1 (d = 3), pois aqui jaresolvemos as dificuldades com divergencias. Portanto, o valor que obtemos para η e

η =1

54= 0.0185... (5.183)

Experimentalmente, η fica em torno de η ' 0, 05. Nossos resultados, tanto para γ comopara η se aproximam mais dos valores experimentais quando comparados com aquelesobtidos via teoria de Landau.

98

Consideracoes Finais

Nesta monografia, empregamos o modelo de Landau-Ginzburg para um estudo sobrefenomenos crıticos no que diz respeito ao calculo de expoentes crıticos. Esse modelonos permite incorporar flutuacoes ao parametro de ordem, quer dizer, ele pode variarcom a posicao dentro do sistema. Alem disso, deve ser mencionado que tal modelo fazuso apenas de termos quadratico e quartico do parametro de ordem. Os valores dosexpoentes encontrados via o modelo de Landau-Ginzburg mostram-se mais proximos dosvalores experimentais, quando comparados com aqueles obtidos por meio de aproximacoesde campo medio, como e o caso da teoria de Landau. Este resultado e natural, visto queessas ultimas nao levam em conta flutuacoes no parametro de ordem.

O fato de incorporar flutuacoes torna o modelo mais realıstico. Por outro lado, trazdificuldades, nos impossibilitando promover calculos exatos. Devido a estas dificuldades,somos levados a um tratamento perturbativo da funcao de particao de Landau-Ginzburg.Nesse sentido, torna-se conveniente introduzir as regras de Feynman, que fornecem ummetodo sistematico de representacao diagramatica das series perturbativas referentes asquantidades obtidas a partir da funcao de particao. No caso, funcoes de correlacao efuncoes de vertice. Para obter os expoentes crıticos, usamos justamente estas ultimas.Neste contexto, empregamos o processo de renormalizacao. A renormalizacao e impor-tante do ponto de vista dos calculos, alem de relacionar os parametros do modelo deLandau-Ginzburg a quantidades mensuraveis. Quando definimos os expoentes crıticosem termos dos parametros renormalizados, o que obtemos e uma serie para cada ex-poente. Os coeficientes destas series sao integrais dadas pelas regras de Feynamn. Atarefa remanescente e, essencialmente, calcular essas integrais. Daı, surgem novas dificul-dades ligadas a divergencias. Por este motivo, empregamos a regularizacao dimensional,que controla essas divergencias, seguida pela expansao em ε. Estes procedimentos nospermitem obter valores para os expoentes γ e η, que, como ja dissemos, levam a resulta-dos melhores que os conseguidos via aproximacoes de campo medio. Esta melhora podeser entendida naturalmente, se tivermos em mente que em nossa discussao flutuacoes doparametro de ordem sao levadas em conta, em contraste com a nao incorporacao destasflutuacoes em estudos que empregam campo medio.

99

Referencias Bibliograficas

[1] D. J. Amit, Field Theory, the Renormalization Group, and Critical phenomena,World Scientific, Singapore, 1984.

[2] J. J. Binney, N. J. Dowrick, A. J. Fisher, M. E. J. Newman, The Theory of CriticalCritical Phenomena, Oxford Univ. Press, New York, 1992.

[3] M. L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons,Singapore, 1983.

[4] K. Huang, Statistical Mechanics, John Wiley & Sons, New York, 1987.

[5] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Statistical Physics, Pergamon Press, Oxford, 1969.

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