uma fundamentação para sinais e sistemas intervalares · uma fundamentação para sinais e...

UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E

COMPUTAÇÃO

Uma Fundamentação para Sinais e SistemasIntervalares

Fabiana T. Santana

Orientador: Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago

Co-orientador: Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto

Tese de Doutorado apresentada ao Pro-grama de Pós-Graduação em EngenhariaElétrica e Computação da UFRN (área deconcentração: Engenharia de Computação)como parte dos requisitos para obtenção dotítulo de Doutor em Ciências.

Natal, RN, dezembro de 2011

Uma Fundamentação para Sinais e SistemasIntervalares

Fabiana T. Santana

Tese de Doutorado aprovada em 02 de dezembro de 2011 pela banca examinadora com-posta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago (Orientador) . . . . . . . . DIMAP/UFRN

Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto (Co-Orientador) . . . . . . . . . . . . DCA/UFRN

Prof. Dr. Aarão Lyra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNP

Profa. Dra. Ana Maria Guimarães Guerreiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DEB/UFRN

Profa. Dra. Renata Hax Sander Reiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UCPEL

Agradecimentos

A Deus por ter me possibilitado boas inspirações e saúde para realização deste trabalho.

Ao meu orientador e ao meu co-orientador, professores Regivan e Adrião, pela confi-ança depositada em meu trabalho, pelo incentivo, pela disponibilidade, acessibilidade eacolhimento, além da valiosa orientação para o andamento e conclusão desse trabalho.

Aos professores da banca, Renata Reiser, Aarão Lyra e Ana Maria, pelas valiosas contri-buições e correções.

Aos professores Benjamín, Ana Maria e Fágner, pelo auxilio e discussões valiosas quecontribuiram para a realização desse trabalho.

Aos meus amigos do Laboratório de Sistemas Inteligentes, Claudilene, Nátali, Cicília,Gláucia, Keylly, Daniel, André Freitas, Antony, Naian, João Paulo, Luis Paulo, Robinson,Mademerson, Carlos, pela troca de conhecimentos, ajuda e amizade.

Aos meus amigos do IFRN pelo incentivo e apoio.

Agradecimento especial a Claudilene por toda paciência e amizade ao assistir minhasapresentações das prévias da qualificação e da defesa.

A Leonardo, professor do IFRN e aluno do PPGEEC, por sua valiosa ajuda nas imple-mentação dos resultados da tese.

Aos meus pais Angela e Artur, e aos meus irmãos Fernanda e Alex pelo incentivo e apoioem minhas decisões. Ao meu esposo Fágner pelo amor, carinho e paciência nos momentosdifíceis.

Aos professores e funcionários do DCA, em especial a Ana Maria, Heliana, Jorge, LuisMarcos, Ortiz, Viviane e Paulo Yvens pela disponibilidade.

A Capes pelo auxilio financeiro.

Resumo

Neste trabalho utiliza-se a matemática intervalar para estabelecer os conceitos inter-valares das principais ferramentas utilizadas em processamento digital de sinais. Maisespecificamente, foram desenvolvidos aqui as abordagens intervalares para sinais, siste-mas, amostragem, quantização, codificação, transformada Z e transformada de Fourier.É feito um estudo de algumas aritméticas que lidam com números complexos sujeitos àimprecisões, tais como: aritmética complexa intervalar (ou retangular), aritmética com-plexa circular, aritmética setorial e aritmética intervalar polar. A partir daí, investiga-sealgumas propriedades que serão relevantes para o desenvolvimento e aplicação no pro-cessamento de sinais discretos intervalares. Mostra-se que nos conjuntos IR e R(C), sejaqual for a aritmética correta adotada, não se tem um corpo, isto é, os elementos dessesconjuntos não se comportam como os números reais ou complexos com suas aritméticasclássicas e que isso irá requerer uma avaliação matemática dos conceitos necessários àteoria de sinais e a relação desses com as aritméticas intervalares. Também tanto é intro-duzido o conceito de amplitude intervalar complexa, como alternativa à definição clássicaquanto utiliza-se a ordem de Kulisch-Miranker para números complexos afim de que seescreva números complexos intervalares na forma de intervalos, o que torna possível asoperações através dos extremos. Essa relação é utilizada em propriedades de somas deintervalos de números complexos. O uso de sinais e sistemas intervalares foi motivadopela representação intervalar num sistema de ponto flutuante abstrato. Isto é, se um nú-mero x ∈ R não é representável em um sistema de ponto flutuante F , ele é mapeado paraum intervalo [x,x], tal que x é o maior dos números menores que x representável em F

e x é o menor dos números maiores que x representável em F . A representação interva-lar é importante em processamento digital de sinais, pois a imprecisão em dados ocorretanto no momento da medição de determinado sinal, quanto no momento de processá-loscomputacionalmente. A partir daí, define-se sinais e sistemas intervalares que assumemtanto valores reais quanto complexos. Para isso, utiliza-se o estudo feito a respeito dasaritméticas complexas intervalares e mostram-se algumas propriedades dos sistemas in-tervalares, tais como: causalidade, estabilidade, invariância no tempo, homogeneidade,aditividade e linearidade. Além disso, foi definida a representação intervalar de funções

complexas. Tal função estende sistemas clássicos a sistemas intervalares preservando asprincipais propriedades. Um conceito muito importante no processamento digital de si-nais é a quantização, uma vez que a maioria dos sinais é de natureza contínua e paraprocessá-los é necessário convertê-los em sinais discretos. Aqui, este processo é descritodetalhadamente com o uso da matemática intervalar, onde se propõem, inicialmente, umaamostragem intervalar utilizando as idéias de representação no sistema de ponto flutu-ante. Posteriormente, são definidos níveis de quantização intervalares e, a partir daí, édescrito o processo para se obter o sinal quantizado intervalar e são definidos o erro dequantização intervalar e o sinal codificado intervalar. É mostrado que os níveis de quanti-zação intervalares representam os níveis de quantização clássicos e o erro de quantizaçãointervalar representa o e erro de quantização clássico. Uma estimativa para o erro dequantização intervalar é apresentada. Utilizando a aritmética retangular e as definições epropriedades de sinais e sistemas intervalares, é introduzida a transformada Z intervalar esão analisadas as condições de convergência e as principais propriedades. Em particular,quando a variável complexa z é unitária, define-se a transformada de Fourier intervalarpara sinais discretos no tempo, além de suas propriedades. Por fim, foram apresentadasas implementações dos resultados que foram feitas no software Matlab.

Palavras-chave: Matemática intervalar, Sinais e sistemas intervalares, amostragemintervalar, quantização intervalar, codificação intervalar , transformada Z intervalar, trans-formada de Fourier intervalar.

Abstract

In this work we use Interval Mathematics to establish interval counterparts for themain tools used in digital signal processing. More specifically, the approach developedhere is oriented to signals, systems, sampling, quantization, coding and Fourier trans-forms. A detailed study for some interval arithmetics which handle with complex num-bers is provided; they are: complex interval arithmetic (or rectangular), circular complexarithmetic, and interval arithmetic for polar sectors. This lead us to investigate someproperties that are relevant for the development of a theory of interval digital signal pro-cessing. It is shown that the sets IR and R(C) endowed with any correct arithmetic is notan algebraic field, meaning that those sets do not behave like real and complex numbers.An alternative to the notion of interval complex width is also provided and the Kulisch-Miranker order is used in order to write complex numbers in the interval form enablingoperations on endpoints. The use of interval signals and systems is possible thanks to therepresentation of complex values into floating point systems. That is, if a number x ∈R isnot representable in a floating point system F then it is mapped to an interval [x,x], suchthat x is the largest number in F which is smaller than x and x is the smallest one in F

which is greater than x. This interval representation is the starting point for definitions likeinterval signals and systems which take real or complex values. It provides the extensionfor notions like: causality, stability, time invariance, homogeneity, additivity and linearityto interval systems. The process of quantization is extended to its interval counterpart.Thereafter the interval versions for: quantization levels, quantization error and encodedsignal are provided. It is shown that the interval levels of quantization represent complexquantization levels and the classical quantization error ranges over the interval quantiza-tion error. An estimation for the interval quantization error and an interval version forZ-transform (and hence Fourier transform) is provided. Finally, the results of an Matlabimplementation is given.

Keywords: Interval mathematics, interval signals and systems, interval sampling, in-terval quantization, interval coding, interval Z-transform, interval Fourier transform.

Sumário

Sumário i

Lista de Fíguras iii

Lista de Símbolos e Abreviaturas v

1 Introdução 11.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares 10

3 Matemática Intervalar 233.1 Intervalos de Extremos Reais e Aritmética de Moore . . . . . . . . . . . 243.2 Aritmética Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Propriedades Imediatas da Aritmética Retangular . . . . . . . . . 293.2.2 Relação entre Intervalos e Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.3 Investigação de Algumas Propriedades da Aritmética Retangular . 34

3.3 Números Complexos Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Números Polares Intervalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.1 Intervalo Complexo Polar ou Setor . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.2 Correspondência entre a Representação Retangular e Setor . . . . 433.4.3 Representação Polar dos Números Complexos Intervalares . . . . 45

3.5 Ordem de Kulisch-Miranker e Intervalo de Complexos . . . . . . . . . . 493.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Fundamentação Intervalar para Sinais e Sistemas 554.1 Representação Intervalar no Sistema de Ponto Flutuante . . . . . . . . . . 564.2 Sinais Intervalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

i

4.3 Sistemas Intervalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Representação e Extensão de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Princípios de Quantização Intervalar 725.1 Quantização Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6 Uma Abordagem Intervalar para a Transformada Z e Transformada de Fou-rier para Sinais Discretos no Tempo 1006.1 Transformada Z Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2 Convergência da Transformada Z Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.3 Casos Particulares da Transformada Z Intervalar . . . . . . . . . . . . . 106

6.3.1 Inversa da Transformada Z Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . 1106.3.2 Propriedades da Transformada Z Intervalar . . . . . . . . . . . . 111

6.4 Transformada de Fourier para Sinais Intervalares Discretos no Tempo . . 1156.4.1 Propriedades da Transformada de Fourier para Sinais Intervalares

Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7 Validação dos Resultados 1227.1 Amostragem Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.2 Amostragem Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.3 Quantização Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.4 Quantização Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.5 Transformada Z Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8 Conclusão 130

9 Apêndice 134

Referências bibliográficas 142

Lista de Figuras

2.1 Sinal contínuo no tempo dado por x(t)= (0.9)t{(1/2)cos(0.2πt)−(√

3/2)sen(0.2πt)}. 112.2 Sinal discreto no tempo dado por x[n] = (0.9)n{(1/2)cos[0.2πn]−(

√3/2)sen[0.2πn]}. 11

2.3 Sinal digital oriundo de um sinal discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Figura extraída de [Smith 1999]. Diagrama que representa sistemas dis-

cretos e contínuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Conversor analógico para digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Conversor digital para analógico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7 Extraída de [Diniz, Silva e Netto 2004]. Etapas pelas quais o sinal ana-

lógico xa(t) passa para que se obtenha sua saída ya(t) de um sistema noprocessamento digital de sinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.8 Extraída de [Trindade 2009]. Sinais intervalares discreto no tempo. . . . . 162.9 Extraída de [Trindade 2009]. Sinal intervalar discreto no tempo repre-

sentados por X [n] = en e intervalar contínuo representado por X(t) =

[0.5,1]sen(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.10 Imagem intervalar em tons de cinza da Lena. . . . . . . . . . . . . . . . 172.11 Matriz intervalar com as informações dos pixels do olho esquerdo da Lena. 172.12 Sinal sen(0.075πn) sujeito a ruído. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.13 Extraída de [Lyra 2003]. Sinal contínuo intervalar de duas variáveis:

[1,3]Ye(X/[1,3])2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.14 Extraída de [Lyra 2003]. Sinal contínuo intervalar dado por [π1/2×e−ω2/4,3π1/2×e−ω2/4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.15 Extraída de [Lyra 2003]. Imagem digital intervalar Zelda.itv apresentandoa imagem ínfima e suprema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Representação cartesiana do conjunto IR. . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Número Complexo Intervalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Números complexos intervalares X e Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Número complexo circular ou disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Intervalo complexo polar ou setor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

iii

3.6 Transformação de número complexo intervalar em setor. . . . . . . . . . 443.7 Representação polar para número complexo intervalar. . . . . . . . . . . 45

4.1 Representação do armazenamento do ponto flutuante. . . . . . . . . . . . 574.2 Sistema complexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3 Sistema complexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1 Figura extraída de [Proakis & Manolakis 1996]. Quantização do sinalx(n) = (0.9)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.1 Retirada de [Smith 1999]. As diversas transformadas de Fourier para di-ferentes tipos de sinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.1 Amostras do sinal x[n] = (0.9)n{0.5cos(0.2πn)−√

32 sen(0.2πn)} para qtd=10.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.2 Amostras intervalares do sinal x[n] = (0.9)n{0.5cos(0.2πn)−

√3

2 sen(0.2πn)}para e = 0.01 e qtd=10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.3 ampliação das amostras, para n= 8,9,10, do sinal x[n] = (0.9)n{0.5cos(0.2πn)−√3

2 sen(0.2πn)} para e = 0.01 e qtd=10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.4 Representação da amostragem, da quantização e do erro de quantização

para o caso pontual do sinal x[n] = (0.9)n, para n ≥ 0 e x[n] = 0, paran < 0, para e = 0.01 e qtd=10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.5 Representação dos extremos das amostras, da quantização das amostras edo erro de quantização do sinal x[n] = (0.9)n, para n≥ 0 e x[n] = 0, paran < 0, considerando e = 0.01 e qtd=10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Lista de Simbolos e Abreviaturas

R: Conjunto dos números reais.N: Conjunto dos números naturais.Z: Conjunto dos números inteiros.C: Conjunto dos números complexos.IR: Conjunto dos intervalos reais.IR+: Conjunto dos intervalos reais extremidades positivas.IR: Conjunto dos intervalos reais do tipo [a,b], com a ≤ b, a ≤ b, [a,+∞) ,(−∞,b] e

(−∞,+∞).R(C): Conjunto dos números complexos intervalares.I(C): Conjunto dos intervalos de números complexos.Z = 〈x,r〉: Disco complexo com centro x e raio r.K(C): Conjunto dos Z = 〈x,r〉.{[ρ], [θ]}= {z ∈ C : z = ρeiθ,ρ ∈ [ρ],θ ∈ [θ]}: Intervalo polar ou setor intervalar.S(C): Conjunto dos {[ρ], [θ]}.Xp = {(ρ,θ)|ρ =

√a2 +b2 e tgθ = b/a,∀a+ ib ∈ X}: representação polar do número

X = A+ iB ∈ R(C).Xp = ((ρ1,θ1),(ρ2,θ2)): Número polar intervalar. Se X = A+ iB = [a,a]+ i[b,b], então

ρ1 =√

a2 +b2, ρ2 =

√a2 +b

2 e tgθ1 = b/a, tgθ2 = b/a.R(C)p: Conjunto dos Xp.⊕R,⊗R,R,�R: Operações da aritmética retangular.⊕C,⊗C,C,�C: Operações da aritmética circular.⊕S,⊗S,S,�S: Operações da aritmética setorial.⊕P,⊗P,P,�: Operações da aritmética polar.[θ]: Intervalo [θ, θ].dc: Distância entre números complexos.dM: Distância de Moore para intervalos reais.DM: Distância de Moore para números complexos intervalares.X∗ = A− iB: Conjugado do número complexo intervalar A = A1 + iA2.|x|: Norma clássica em C.

v

|A|I: Norma em IR.|A|C: Norma em R(C).DSP: processamento digital de sinais.(X1 ∗X2)[n]: Soma de convolução dos sinais X1 e X2, definida por ∑

∞k=−∞

X1[n− k]X2[k].δ[n]: sinal impulso unitário que é igual a 1, se n = 0, e 0, caso contrário.Z ou X (z): transformada Z do sinal x[n] ∈ C.ZI ou XI(z): transformada Z intervalar do sinal X [n] ∈ R(C).ROC: região do plano-z para a qual a transformada Z tem solução.F : sistema de ponto flutuante.F: intervalos cujos extremos pertence a um sistema de ponto flutuante F .R : R → F função arredondamento que mapeia x ∈ R ao menor intervalo x,x que o

contém e cujos extremos pertencem a F .R : R→ F é definida por R(x) = x, onde x é o maior dos números representáveis em F

menores que x.R : R→ F é definida por R(x) = x, onde x é o menor dos números representáveis em F

maiores que x.ε: menor número representável em um sistema de ponto flutuante F .bxc : R→ Z: função piso definida por bxc= sup{z ∈ Z|z≤ x}.dxe : R→ Z: função topo definida por dxe= in f{z ∈ Z|z≥ x}.RC :R×R→F×F: função arredondamento para o caso complexo, definida por RC(x,y)=

(X ,Y ), em que X = R(x) e Y = R(y).δ: precisão de algum instrumento de medição de sinais.f (A+iB)= [u,u]+i[v,v]: função representação intervalar da função f , onde u=min{Re◦

f (a+ ib)|a ∈ A e b ∈ B}, u = max{Re ◦ f (a+ ib)|a ∈ A e b ∈ B}, v = min{Im ◦f (a+ ib)|a ∈ A e b ∈ B} e v = max{Im◦ f (a+ ib)|a ∈ A e b ∈ B}.

I-ALU: unidade lógica de aritmética intervalar.L número de níveis de quantização.xmin: valor minimo que o sinal x pode assumir.xmax: valor máximo que o sinal x pode assumir.∆: passo de quantização definido por ∆ =

xmax− xmin

L−1.

n j: níveis de quantização clássicos.N j: níveis de quantização intervalares.n′1: extremo inferior de R(xmin).

n′2: extremo superior de R(xmin).

d1: extremo inferior de R(∆).d2: extremo superior de R(∆).

N1: conjunto dos níveis de quantização clássicos (ou pontuais).N2: conjunto dos níveis de quantização intervalares.Z{X [n]} ou X (z): transformada Z clássica de x[n].ZI{X [n]} ou XI(z): transformada Z intervalar X [n].XI(eiω): transformada de Fourier para o sinal discreto intervalar X [n].qtd: quantidade de amostras.e: menor número decimal representável para uma precisão adotada no Matlab.

Capítulo 1

Introdução

Alguns registros mostram que a partir de 1914 pesquisadores começaram a utilizarintervalos numéricos para representar medidas de distância e tempo. Mas foi na década de50, através dos trabalhos de R.E. Moore, que essa teoria se consolidou. Moore contribuiusignificativamente para a fundamentação da teoria intervalar, propondo uma aritmética euma topologia para intervalos, dando origem a uma alternativa à computação pontual.

A teoria intervalar consiste em trabalhar com dados numéricos na forma de interva-los com o objetivo de codificar os erros computacionais no próprio intervalo. Em outraspalavras, um intervalo é uma representação de um número real dotado do erro dessa re-presentação [Santiago 2006].

A matemática intervalar não faz nada diretamente para melhorar a precisão dos cál-culos, mas para cada número, ela fornece um certificado de precisão ou de falta dela. Oresultado de uma computação não intervalar é um simples número, um ponto sobre a retareal, que se encontra a alguma distância da resposta verdadeira. Por outro lado, a com-putação intervalar produz um par de números, um limite superior e limite inferior, quegarantem conter a resposta exata [Hayes 2003].

Uma importante contribuição para a comunidade científica é a extensão intervalar pro-posta por Moore como um caminho para generalizar funções reais em termos de interva-los. Em [Santiago, Bedregal & Acióly 2006] temos um conceito alternativo, chamado “re-presentação canônica intervalar”, que estabelece a melhor representação intervalar parauma função real, de tal maneira que a propriedade de corretude seja válida. Esse conceitoformaliza a noção de corretude de funções intervalares e não está presente em todas asextensões intervalares, entretanto estabelece uma forma canônica de generalizar funçõesreais para funções intervalares, de tal maneira que a noção de continuidade nos númerosreais é preservada nos intervalos.

O cálculo diferencial e integral de funções reais, bem como suas transformadas, é uma

1

Capítulo 1. Introdução

área da matemática com inúmeras aplicações. A abordagem intervalar desses conceitosteria por objetivo proporcionar um maior controle do erro durante os processos computa-cionais que envolvem essa teoria. Dentre esses processos, encontram-se o processamentode sinais discretos que utiliza transformadas e alguns algoritmos recursivos para o es-tudo de sinais, ou seja, a existência de versões intervalares complexas dessas ferramentasdotaria o processamento de sinais discretos intervalares de um maior controle dos erroscomputacionais.

No trabalho [Callander & Cowan 1992], ressalta-se a importância da aritmética in-tervalar em aplicações em processamento de sinais discretos intervalares. Lá é mostradoque os métodos intervalares são apropriados para lidar com os efeitos da precisão finitade erros presentes nas implementações de algoritmos. Os autores apresentam uma so-lução para a instabilidade numérica existente nos algoritmos recursivos, assegurando aprecisão dos intervalos resultantes na computação dos algoritmos. Em comparações comalgoritmos tradicionais, a nova proposta apresentou uma robustez significativa, prevençãode divergências e complexidade computacional equivalentes.

Uma área que está em pleno desenvolvimento em engenharia elétrica, particularmenteem processamento de sinais e controle, é o estudo dos sistemas biológicos, isto é, pes-quisas que tentam entender a dinâmica complexa presente em modelos biológicos. Osautores no trabalho [Edmonson, Ocloo, Williams & Alexander 2007] exploram o uso daanálise intervalar no desenvolvimento de algoritmos numéricos para otimização e vali-dação de sistemas biológicos, mais especificamente algoritmos para filtragem adaptativa,alegando que a convergência para um mínimo global é garantida. Uma vez que as pes-quisas com métodos analíticos tradicionais frequentemente apresentam falhas, devido ànatureza complexa dos sistemas biológicos, surgiu a necessidade de integrar a essas pes-quisas, métodos computacionais como a análise intervalar, a qual pode ser facilmenteinterpretada dentro desse contexto. O uso da análise intervalar nesse estudo contribuipara a estimação e identificação de parâmetros e validação de modelos. Além da habili-dade de localizar todos os conjuntos de soluções para equações não lineares, ela fornecelimites confiáveis sobre eles.

No trabalho citado acima, o intervalo X é definido por X = [a,b] tal que X = {x ∈R|a ≤ x ≤ b} e as operações aritméticas básicas são definidas como X ∗Y = {x ∗ y|x ∈X ,y∈Y} onde ∗ representa operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Noteque, as operações aritméticas consideradas dessa maneira não estão bem definidas, pois,algumas operações podem gerar indeterminações e não retornar um intervalo. Por exem-plo, considere o caso particular em que X = [2,3], Y = [−1,1] e ∗ é a operação divisão.Então, X ÷Y = {x÷ y|x ∈ X ,y ∈ Y} e para x ∈ X qualquer e y = 0 ∈ Y a operação x÷ y

2


nem está definida. Por isso, é importante uma análise detalhada das aritméticas intervala-res que podem ser utilizadas nesses algoritmos, bem como uma investigação apropriadade suas propriedades.

Existem muitas aplicações dentro do processamento digital de sinais (PDS) e controleque requererem do usuário a habilidade de entender como vários erros numéricos afetamo resultado. Para dar mais um exemplo de aplicações da análise intervalar em processa-mento de sinais discreto, destacamos [Edmonson, Gupte, Ocloo, Gianchandani, Alexan-der 2006], onde os autores representam a incerteza pela troca de valores não-intervalarespor intervalos e desenvolvem uma plataforma em que operações aritméticas intervalaressão desempenhadas com a mesma velocidade computacional que os atuais processadoresde sinais. Apesar de sugerir um bom desempenho, a proposta é feita com o uso da arit-mética usada no trabalho [Edmonson, Ocloo, Williams & Alexander 2007] que apresentaalgumas falhas quanto à divisão.

Outro exemplo de aplicação envolvendo a matemática intervalar e o processamento desinais é o uso de métodos intervalares para estimar parâmetros de senóides, [Edmonson,Lee & Anderson 2000]. Os autores apresentaram nesse trabalho algoritmos que integrammétodos intervalares para otimização global decompondo o problema em problemas me-nores. Não há dúvidas quanto à necessidade de desenvolver ferramentas que lidam comdados intervalares, uma vez que eles interpretam com mais confiabilidade dados incertos.

As abordagens intervalares para números complexos foram motivadas pela análisede vários problemas no plano complexo que envolvia dados inexatos ou que requeriamalguma informação a respeito dos arredondamentos executados em sua resolução.

Alefeld (1968) introduziu a representação retangular para números complexos sujei-tos as imprecisões e uma aritmética que, sob certas condições, reduz-se a aritmética deMoore para intervalos reais. Em [Rokne & Lancaster 1971], os autores investigaram aspropriedades relevantes da aritmética retangular observando que as operações de multi-plicação e divisão introduzem certo grau de incerteza, isto é, não são operações ótimas.Isso acontece, pois a operação de multiplicação entre números complexos está sujeita auma rotação, então, a operação definida aproxima um conjunto complicado de númeroscomplexos por um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados.

Já a aritmética complexa circular aproxima um conjunto de números complexos porum disco. Seu uso se deu a partir da década de 70 nos trabalhos [Gargantini & Henrici1971,1972] onde essa teoria é aplicada para determinação de raízes de polinômios. Estaaritmética satisfaz a propriedade da inclusão monotônica, isto é, para ∗ ∈ {+,−,×,÷} seAk ⊆ Bk, para k = 1,2, então, A1 ∗A2 ⊆ B1 ∗B2.

Em muitos problemas de engenharia, onde trabalha-se com modelos não lineares de

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valores complexos, a representação polar pode ser mais adequada. Para esses casos,encontra-se em [Candau, Raissi, Ramdani & Ibos 2005] a extensão da representação polarde números complexos para o caso intervalar e, mostra-se que ao multiplicar ou dividirdois intervalos complexos polares ainda teremos um intervalo polar. O mesmo não acon-tece com a adição ou subtração. Para esses casos, a operação de adição é definida a partirda soma de Minkowski e o conjunto resultante de números complexos é aproximado porum setor através de um algoritmo.

Trabalhos mais recentes como [Lyra 2003] e [Trindade 2009] abordam a importânciado uso de métodos intervalares em processamento de sinais discretos e processamento deimagens. Por exemplo, em [Lyra 2003] tem-se contribuições de abordagens matemáticasob a ótica de intervalos reais, como: transformadas direta, inversa, contínua e discretade Fourier, imagens digitais intervalares e seu processamento. Todos esses conceitos fo-ram motivados pela necessidade de ferramentas mais adequadas para enriquecer a própriateoria e as aplicações.

Em [Trindade 2009] utiliza-se sinais (X [n]) e sistemas (F(X [n]) = Y [n]) intervalaresreais baseados na representação canônica intervalar, [Santiago, Bedregal & Acióly 2006],e mostra-se que ao estender sistemas usuais ao caso intervalar com o uso da função canô-nica intervalar algumas propriedades são preservadas.

1.1 Motivação

A proposta de Moore motivou o desenvolvimento da análise intervalar, aritméticasalternativas, diferentes métricas, topologias e até diferentes noções de intervalos.

As diferentes aritméticas intervalares bem como a extensão da noção de intervalos,como em [Kaucher 1980], visam resolver problemas existentes na utilização de intervaloscomo representação de números reais; seja buscando uma representação mais eficiente,como na análise intervalar modal [Prado 2006], seja para diminuir a incompatibilidadealgébrica entre os números racionais e os intervalos racionais [Markov 1977, 1978]. Atéaqui, não se tem uma taxonomia dessas propostas e a suas relações com a área de proces-samento de sinais discretos.

Em [Bedregal & Santiago] os autores trabalham diferentes maneiras de medir dis-tâncias entre intervalos estabelecendo uma relação entre elas. O conceito de distânciapara um conjunto A⊆R, definida pela função d : A×A→R, tal que, (a) d(a,a) = 0 ; (b)d(a,c)≤ d(a,b)+d(b,c) e (c) d(a,b) = d(b,a)⇒ a= b é estendida para o caso intervalare formalizada pela noção de quasi-métrica, isto é, a distância entre os intervalos X = [x,x]

e Y = [y,y] é dada por qi(X ,Y ) =max{y−x,x−y,0} . Essa quasi-métrica e sua conjugada

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qi(a,b) = qi(b,a) são as bases para a construção de topologias, candidatas a fundamentaro processamento de sinais discretos intervalares, isso porque as topologias de Moore eScott, obtidas a partir dessa quasi-métrica, preservam a relação entre a continuidade dareta e a continuidade nessas topologias, via o conceito de representação canônica inter-valar [Santiago, Bedregal & Acióly 1992] e [Santiago & Bedregal 2006]. Entretanto, acapacidade dessas topologias em dar suporte a essa teoria ainda não foi investigada. Valenotar que não se pode descartar as demais abordagens de intervalos que carecem de umtratamento topológico. Por exemplo, intervalos dotados da ordem de Kulisch-Miranker,intervalos modais, intervalos de Kaucher. Em resumo, é necessária uma investigação daspropostas existentes para intervalos a fim de se encontrar uma topologia adequada para aconstrução de algoritmos intervalares eficientes e uma sólida conceituação para o proces-samento de sinais discretos intervalares.

Para a fundamentação teórica do processamento de sinais discretos intervalares fare-mos uso dos conceitos introduzidos nos trabalhos [Lyra 2003] e [Trindade 2009], sob umaabordagem intervalar complexa, como os elementos básicos da teoria de números com-plexos, a identidade de Euler, a representação polar e suas implicações no processamentodigital de sinais.

Apesar do estudo já ter sido iniciado, ainda falta muito a ser investigado e definido.Daremos ênfase a este assunto uma vez que o processamento de sinais discretos, por lidarcom variáveis complexas e envolver importantes aspectos de decomposição de funções emséries, também necessita de análise de convergências, as quais devem ser verificadas den-tro da matemática intervalar levando em consideração as topologias investigadas. Alémdisso, os algoritmos de convergência para serem eficientes precisam apresentar complexi-dade computacional equivalentes aos usuais e não apresentar instabilidade. Iremos buscaresses atributos em uma sólida fundamentação teórica das aritméticas intervalares comple-xas.

1.2 Justificativa

Os métodos intervalares vêem ganhando espaço e importância em diversas áreasda engenharia e computação, pois conseguem codificar os erros computacionais no pró-prio intervalo [Santiago 2006]. Existem muitas aplicações em processamento de sinaise controle que exigem do usuário certa experiência para analisar a influência dos errosnuméricos nos resultados obtidos. Como a maior parte dos processadores digitais de si-nais operam em tempo real são necessários processadores rápidos, porém isso pode viracompanhado de instabilidade. Uma alternativa apontada nos trabalhos [Sunaga 1958],

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[Moore 1959, 1962, 1966, 1979] é o uso de intervalos na análise e processamento de da-dos discretos, isto é, a incerteza é representada pela troca de valores não-intervalares porintervalos. Além de codificar erros, a aritmética intervalar tem vários atributos atrativos,como a habilidade de localizar todos os conjuntos de soluções para equações não-linearese oferecer limites confiáveis sobre essas soluções.

Diversos autores têem desenvolvido trabalhos que aplicam a matemática intervalar emproblemas de engenharia e computação, como [Callander & Cowan 1992], [Edmonson& Willian 2001], [Edmonson, Ocloo, Williams & Alexander 2007], [Edmonson, Lee &Anderson 2000], [Kahan 1968], [Kaucher 1980], [Lordelo 2004], [Lyra 2003], [Markov1977, 1978], [Trindade 2008, 2009] e [Vaccaro 2001]. Todos esses trabalhos trazemcontribuições para a comunidade acadêmica na linha de matemática intervalar e sugeremuma alternativa para a manipulação de dados numéricos e interpretação de resultados,como o uso de algoritmos intervalares.

Em muitas aplicações em processamento de sinais discretos é comum o uso de dadosnuméricos complexos. Com isso, algumas teorias na área de matemática intervalar foramdesenvolvidas para dar suporte a esses casos. Podemos citar os trabalhos [Alefeld &Herzberger 1983], [Boche 1966], [Candau, Raissi, Ramdani & Ibos 2005], [Gargantini &Henrici 1972], [Petkovic & Petkovic 1998] e [Rokne & Lancaster 1971] que deram umafundamentação teórica para incercezas nos números complexos apresentando para issotrês abordagens de aritméticas, que são a aritmética retangular, a circular intervalar e aaritmética nos intervalos complexos polares. Os trabalhos [Trindade 2009] e [Lyra 2003]apresentam alguns conceitos novos a respeito dessa teoria além de aplicá-los em imagensdigitais intervalares e filtros intervalares.

Os trabalhos citados acima, onde se aplica a aritmética intervalar e a aritmética in-tervalar complexa nas áreas de engenharia e computação tem apresentado resultados sa-tisfatórios e proporcionam novas pesquisas nessa área, o que justifica nosso interesse emdesenvolver ferramentas eficientes através de uma fundamentação teórica do processa-mento de sinais discretos intervalares.

A imprecisão em dados no PDS é um fator que compromete o resultado das imple-mentações e alguns autores tem buscado alternativas para controlar essa incerteza. Porexemplo, em [Ferrero, Gamba & Salicone 2004] e [Mendel 2000] os autores tentam con-trolar a incerteza através da lógica fuzzy. É destacado nesses trabalhos a dificuldade en-contrada em se avaliar a incerteza de uma medição realizada por um instrumento em PDS.As fontes de incerteza estão na medição e na conversão-analógico-digital de tal forma quecada amostra de entrada é o resultado da medição com uma incerteza associada. Para tercontrole sobre a incerteza os autores representam o resultado da medição e sua incerteza

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associada através de variáveis aleatórias fuzzy.O estudo das incertezas em PDS, seja através da matemática intervalar ou da lógica

fuzzy, é importante e tem por objetivo fornecer mecanismos de avaliação dos erros. Umaalternativa futura é associar a lógica fuzzy com a análise intervalar que será feita nestetrabalho, com o objetivo de desenvolver ferramentas eficientes para avaliar e controlarincertezas em PDS.

Conclui-se esta justificativa com as colocações de [Markov & Okumura 1999] e [Ale-feld & Mayer 2000], traduzidas na obra de [Vaccaro 2001]:

“É um ponto de vista comum que a análise intervalar continuará a ocupar um lu-gar significante em matemática aplicada, especialmente na modelagem matemática e nacomputação científica. (...) Indubitavelmente o desenvolvimento da análise intervalartornar-se-á para a história da Matemática e mais geralmente para a história da ciência”.([Markov & Okumura 1999]).

“A importância prática da análise intervalar depende substancialmente de sua reali-zação em um computador. Combinando a aritmética de máquina existente com arredon-damentos dirigidos é possível implementar uma aritmética intervalar de tal forma quetodos os algoritmos intervalares mantenham suas propriedades de existência, unicidade econtenção de uma solução quando executados (...) Nos últimos 20 anos, tanto os compo-nentes algoritmicos da aritmética intervalar como suas implementações em computadores(...) foram desenvolvidos. Hoje, o entendimento da teoria e o uso de linguagens deprogramação adequadas são ferramentas indispensáveis para uma computação científicaavançada e confiável.” ([Alefeld & Mayer 2000]).

1.3 Objetivos

Neste trabalho, pretende-se desenvolver, no contexto intervalar, as principais ferra-mentas do processamento digital de sinais que são: sinais, sistemas, amostragem, quanti-zação, codificação, transformada Z e transformada de Fourier.

Em síntese, os objetivos são:

1. Fazer um estudo detalhado de algumas aritméticas que lidam com números comple-xos sujeitos à incerteza, tais como a aritmética complexa intervalar (ou retangular),aritmética complexa circular e aritmética nos intervalos complexos polares.

2. Investigar as propriedades das aritméticas complexas intervalares que serão rele-vantes no desenvolvimento e aplicação do processamento de sinais discretos inter-valares e contribuir com alguns resultados a respeito dessa teoria.

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3. Definir a amostragem, a quantização e a codificação intervalar que são procedimen-tos extremamente necessários no processamento digital de sinais.

4. Definir sinais e sistemas intervalares complexos e estabelecer a noção de represen-tação desses sinais e sistemas.

5. Mostrar que se Z = A+ iB representa z = a+ ib, então f (A+ iB) é a menor repre-sentação intervalar de f (z). Além disso, dado um sistema f a função f preserva aspropriedades de causalidade, estabilidade, invariância no tempo e linearidade.

6. Investigar as principais propriedades de sinais e sistemas intervalares complexos.7. Estabelecer a fundamentação intervalar para a transformada Z de sinais intervala-

res complexos e definir a região de polos intervalares. Além disso, será feita umaanálise detalhada das condições de convergência da transformada Z intervalar utili-zando as noções de convergência de sequências intervalares introduzidas por Moore(1979).

8. Analisar o caso particular em que o sinal A[n]+ iB[n] é tal que B[n] = [0,0]. Serámostrado que nessas condições a definição da transformada Z intervalar aindase desmembra em quatro partes levando em conta que z−n = a + ib, onde a =

|z|−ncos(−nω), b = |z|−nsen(−nω) e as possíveis variações de sinais para a e b.9. Mostrar que para o caso em que z−n = a+ib, onde a= |z|−ncos(−nω), b= |z|−nsen(−nω)

é tal que a,b≥ 0 e que A[n]+ iB[n] = [a[n],a[n]]+ i[0,0] é mostrado que a transfor-mada Z intervalar coincide com a definição clássica para o sinal x[n] = [a[n],a[n]].

10. Analisar as principais propriedades da transformada Z intervalar, como linearidade,deslocamento no tempo, reversão no tempo, multiplicação por uma exponencial econvolução, para o caso particular em que z−n = a+ ib, onde a = |z|−ncos(−nω),b = |z|−nsen(−nω) é tal que a,b≥ 0.

11. Definir a transformada de Fourier para sinais intervalares complexos A[n] + i[0,0]para o caso particular em que a variável complexa z tem norma unitária. Alémdisso, para o caso em que A[n] = [a[n],a[n]] será mostrado que a definição coincidecom o caso clássico para o sinal x[n] = [a[n],a[n]].

12. Mostrar as principais propriedades, como como linearidade, deslocamento no tempo,reversão no tempo, multiplicação por uma exponencial e convolução da transfor-mada de Fourier para sinais intervalares discretos no tempo para o caso particularem que z−n = a+ ib, onde a= |z|−ncos(−nω), b= |z|−nsen(−nω) é tal que a,b≥ 0.

1.4 Organização do Trabalho

O trabalho está dividido da seguinte maneira:

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• Capítulo 2 - “O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares”:Neste capítulo é apresentada uma pesquisa na literatura do uso de sinais intervalarespara representar dados com incerteza.• Capítulo 3 - “Matemática Complexa Intervalar”: Neste capítulo são apresentadas

três abordagens para número complexo intervalar, ressaltando as principais propri-edades de cada uma delas, além de algumas contribuições em propriedades.• Capítulo 4 - “Fundamentação Intervalar para Sinais e Sistemas”: Inicia-se defi-

nindo a representação no sistema de ponto flutuante F e através da função arredon-damento, denotada por R, os números x ∈ R que não são representáveis em R sãomapeados para intervalos [x,x], tal que x,x ∈ F . Define-se sinais e sistemas inter-valares complexos e mostra-se que um sinal intervalar complexo se escreve comocombinação linear de impulsos deslocados, como no caso clássico. Além disso,define-se as principais classes de sistemas complexos intervalares e, para funçõesf ∈C, define-se função a representação intervalar, denotada por f . É mostrado queesta função é a menor representação de uma função clássica e, além disso, preservaas propriedades de causalidade, linearidade, invariância no tempo e linearidade.• Capítulo 5 - “Princípios de Quantização Intervalar”: Neste capítulo é desenvolvida

a fundamentação necessária para se obter uma amostragem intervalar, quantiza-ção intervalar e codificação intervalar. Serão definidos os conceitos necessários einvestigadas as principais propriedades. É mostrado alguns resultados sobre os ní-veis de quantização, definida uma estimativa para o erro de quantização intervalar,mostrado que os níveis de quantização intervalares representam os níveis de quan-tização clássico e que o erro de quantização intervalar também representa o erro dequantização clássico.• Capítulo 5 - “Uma Abordagem Intervalar para Transformada Z e Transformada

de Fourier para Sinais Discretos no Tempo”: Neste capítulo é apresentada umafundamentação matemática para a Transformada Z e de Fourier com a abordagemde intervalos complexos, analisadas as condições de convergência e apresentadasas principais propriedades.• Capítulo 7 - “Validação dos Resultados”: Neste capítulo é apresentado os códi-

gos desenvolvidos no software Matlab para implementar a amostragem clássica, aamostragem intervalar, a quantização clássica, a quantização intervalar e a transfor-mada Z intervalar para um caso particular.

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Capítulo 2

O Estado da Arte no ProcessamentoDigital de Sinais Intervalares

O termo sinal geralmente é usado para caracterizar informações, estado ou comporta-mento de sistemas físicos e estabelecer uma comunicação entre pessoas ou entre pessoase máquinas. Como definido em [Oppenheim 1989], um sinal pode ser representado devárias maneiras, por exemplo, um sinal de fala é representado matematicamente comouma função do tempo e uma imagem fotográfica é representada por uma função de duasvariáveis. Além disso, os sinais podem ser contínuo no tempo ou discreto no tempo.

Os sinais contínuos no tempo, também chamados sinais analógicos, são aqueles defi-nidos ao longo de um tempo contínuo e podem assumir qualquer valor numérico, isto é,tem amplitude contínua. Os sinais analógicos geralmente são representados por variáveiscontínuas do tipo x(t). Como exemplo temos o sinal contínuo no tempo x : R→ R, talque

x(t) = (0.9)t [(1/2)cos(0.2πt)− (√

3/2)sen(0.2πt)],

representado na Figura (2.1).Já os sinais discreto no tempo são definidos como uma seqüência numérica de domínio

inteiro, onde cada valor da seqüência é chamado amostra. Um sinal discreto pode ser vistocomo uma amostra de um sinal com tempo uniformemente espaçado e sua amplitude podeser considerada contínua. Geralmente se representa um sinal discreto por uma sequênciado tipo x[n]. Como exemplo de sinal discreto temos a amostragem x : N→ R do sinaldado anteriormente, tal que

x[n] = (0.9)n{(1/2)cos[0.2πn]− (√

3/2)sen[0.2πn]},

está representado na Figura (2.2).Um sinal digital é um sinal discreto, cuja amplitude assume valores num conjunto dis-

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Capítulo 2. O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares

Figura 2.1: Sinal contínuo no tempo dado por x(t) = (0.9)t{(1/2)cos(0.2πt) −(√

3/2)sen(0.2πt)}.

Figura 2.2: Sinal discreto no tempo dado por x[n] = (0.9)n{(1/2)cos[0.2πn] −(√

3/2)sen[0.2πn]}.

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creto. Normalmente esse tipo de sinal se origina da quantização de um sinal discreto comvalores num conjunto contínuo. Um quantizador possui níveis de quantização correspon-dentes à quantidade de bits a ser utilizada. Para 3 bits tem-se 23 níveis de quantização. Naprática, para cada amostra, a amplitude do sinal é aproximada para o nível de quantizaçãomais próximo, como ilustra a Figura (2.3).

Segundo Oppenheim (1989), com a quantização do sinal há uma perda de informaçõese, a partir do sinal quantizado, se calcula o erro de quantização. Esse erro tende a dimi-nuir à medida que se aumentam os níveis de quantização, porém, o custo computacionalaumenta.

Uma alternativa para esse problema, proposta aqui, é realizar uma quantização inter-valar, que consiste em fixar níveis de quantização cuja natureza dos valores sejam inter-valos fechados. Esses níveis de quantização intervalar representam os níveis de quantiza-ção pontuais e, consequentemente, o sinal digital é representado por um sinal intervalargarantindo maior controle de erros. Esta técnica, de certa forma, está por traz das aplica-ções feitas em [Edmonson et al 2006], onde se desenvolve uma unidade lógica intervalar,chamada I-ALU, para aplicações em processamento de sinais e controle.

Figura 2.3: Sinal digital oriundo de um sinal discreto.

O processamento digital de sinais (PDS), cujas raízes se fundamentam em 1960 e1970 com a viabilidade do primeiro computador digital, se caracteriza por usar um únicotipo de dado, os sinais. Muitas vezes esses dados são captados de vibrações sísmicas,imagens, ondas de som, etc. Segundo Smith (1999), o PDS é a matemática, o algoritmo eo conjunto de técnicas usadas para manipular esses sinais depois de terem sido convertidosna forma digital. A variedade de aplicações são inúmeras, como: melhoramento visual deimagens, reconhecimento e geração de fala, compressão de dados para armazenamentoe transmissão. Isso tem revolucionado muitas áreas das ciências e engenharia, como aespacial, medicina, comercial, telefonia, militar, industrial e científica.

Um sistema pode ser representado matematicamente por uma transformação que ma-peia um conjunto de sinais (sinais de entrada) em um outro conjunto de sinais (sinais desaída). Dependendo da natureza dos sinais a serem operados os sistemas podem ser carac-terizados como sistemas analógicos ou contínuos no tempo, sistemas discretos no tempo,

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sistemas digitais ou sistemas mistos que são compostos por diferentes tipos de sinais. NaFigura (2.4) é mostrado um diagrama que representa sistemas contínuos e discretos notempo.

Figura 2.4: Figura extraída de [Smith 1999]. Diagrama que representa sistemas discretose contínuos.

Segundo [Diniz, Silva & Netto 2004], o PDS é a disciplina que estuda as regras quegovernam os sinais que são funções de variáveis discretas, assim como os sistemas usadospara processá-los. Ela também lida com os aspectos envolvidos no processamento desinais que são funções de variáveis contínuas utilizando técnicas digitais. Por outro lado,o processamento analógico de sinais estuda um sinal que varia continuamente com otempo e que é passado por um sistema retornando um sinal, em geral, contínuo e podeser representado por equações diferenciais. Com o PDS podemos processar sequênciasde números, que são sinais discretos no tempo, usando algum tipo de hardware digital.

A estrutura do PDS é composta por: (i) um conversor analógico-digital (A/D), quetransforma um sinal analógico, representado por xa(t), em um sinal digital, representadopor xd[n]; (ii) o sistema digital, que é um operador F , desempenha a operação desejada nosinal digitalizado transformando o sinal digital de entrada xd[n] no sinal digital de saídayd[n], isto é, F(xd[n]) = yd[n]; (iii) e o conversor digital-analógico (D/A) que, por fim,transforma o sinal digital yd[n] em um sinal analógico ya(t).

O conversor (A/D) é constituído por duas etapas. Primeiro, é feita a amostragem do si-nal contínuo xa(t) para um sinal dicreto x[n] = x[nTs], onde Ts é o período de amostragem.Depois, tem-se um quantizador que aproxima o sinal amostrado a um sinal digital, xd[n],com um número finito de possíveis valores. Esse sinal resultante passa por um sistema re-sultando em uma saída yd[n] = F(xd[n]). Da mesma forma, o conversor (D/A) também é

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constituído de duas etapas, primeiro um gerador de trem de pulso transforma a sequênciayd[n] em uma sequência de pulsos analógicos escalonados, representada por ya(t), e uminterpolador, onde as altas freqüências de ya(t) são removidas por um filtro passa-baixapara produzir um sinal ya(t) suavizado, que representa a resposta ao sinal xa(t).

As Figuras (2.5) e (2.6) são diagramas que representam os conversores A/D e D/A,respectivamente.

Figura 2.5: Conversor analógico para digital.

Figura 2.6: Conversor digital para analógico.

Na Figura (2.7) temos um diagrama que representa as etapas sofridas por um sinalanalógico xa(t) a fim de se obter sua saída analógica ya(t). Além disso, todos os gráficosà esquerda representam os sinais no domínio do tempo, e todos os gráficos à direita, suastransformadas de Fourier correspondentes.

Em [Diniz, Silva & Netto 2004] é apresentado uma situação que sugere o quanto éimportante e poderoso um dispositivo de PDS. Uma vez que uma seqüência de númerosesteja disponível para o hardware digital apropriado, pode-se efetuar o processamentodesses dados. Por exemplo, dado um sinal no tempo contínuo x(t) é muito difícil obter osinal

y(t) =cosh[ln(x(t))+ x2(t)+ cos3(x(t))]

5x2(t)+ ex(t)+ sen(x(t))

em um hardware analógico. Por outro lado, convertendo o sinal contínuo x(t) em umsinal discreto x[n] as operações podem ser executadas em um computador digital retor-nando uma saída y[n] que, posteriormente, pode ser convertido, no sinal contínuo y(t).Entretanto, esse processo de representação e implementação dos sinais podem resultarem erros numéricos.

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Figura 2.7: Extraída de [Diniz, Silva e Netto 2004]. Etapas pelas quais o sinal analógicoxa(t) passa para que se obtenha sua saída ya(t) de um sistema no processamento digitalde sinais.

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Segundo [Trindade 2009], um dos principais problemas encontrados no PDS é a re-presentação da informação em hardware e/ou software. Isso acontece por várias razões,tais como limitações físicas, imprecisões e complexidade na representação da informa-ção. As imprecisões podem estar presentes nos sinais ou podem ser geradas devido àslimitações dos sensores, falha no modelo matemático usado para representar o sistemaou originados durante o processamento por arredondamentos e truncamentos. Uma al-ternativa apontada para esse problema é capturar a imprecisão do sinal em um intervalo;veja os gráficos ilustrativos mostrados nas Figuras (2.8) e (2.9). Na primeira figura te-mos dois sinais reais intervalares que assumem os valores 0 ou o intervalo [X ,X ]. Já asegunda figura representa a versão intervalar do sinal discreto X [n] = en e a imagem dosinal contínuo intervalar X(t) = [0.5,1]sen(t).

Figura 2.8: Extraída de [Trindade 2009]. Sinais intervalares discreto no tempo.

Figura 2.9: Extraída de [Trindade 2009]. Sinal intervalar discreto no tempo representadospor X [n] = en e intervalar contínuo representado por X(t) = [0.5,1]sen(t).

Em [Trindade 2009] introduz-se os conceitos iniciais de sinais e sistemas intervalaresreais, além disso é proposta uma abordagem intervalar para a transformada Z de sinaisintervalares e é estabelecida uma nova conceituação de regiões de convergência para sinaisdessa natureza que são aplicadas em filtros intervalares.

Segundo [Grigoletti, Dimuro, Barbosa & Reiser 2006], em aplicações de circuitoselétricos, a modelagem de eventos físicos através de técnicas computacionais possui umagrande limitação em termos da confiabilidade de parâmetros utilizados, uma vez que os

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dados utilizados são obtidos por medições. Com isso, os erros surgem naturalmente, sejapela falha humana ou deficiência dos próprios instrumentos. Os autores também chamama atenção para os erros numéricos que ocorrem ao se fazer representações numéricas emcomputadores digitais que, naturalmente, geram erros de truncamento ou arredondamentotanto na fase de modelagem como na implementação numérica.

Uma solução apontada em vários trabalhos, como: [Edmonson 2001], [Lyra 2003],[Grigoletti, Dimuro, Barboza & Reiser 2006], [Trindade 2009] e [Cruz 2008], é a repre-sentação das informações, em particular sinais discretos e contínuos, na forma intervalar,com o objetivo de capturar a incerteza existente no processo de conversão ou gerada du-rante o processamento.

Em [Cruz 2008] dados intervalares são utilizados para representar as incertezas exis-tentes em tons de cinza de imagens. Naquele trabalho desenvolve-se uma morfologiapara operar com imagens intervalares. Em [Lyra 2003] é apresenta a imagem intervalarda Lena, ilustrada na Figura (2.10), constituída da imagem ínfima e imagem suprema.Particularmente o canto do olho esquerdo é representado por uma matriz de pixels inter-valares dada na Figura (2.11).

Figura 2.10: Imagem intervalar em tons de cinza da Lena.

Figura 2.11: Matriz intervalar com as informações dos pixels do olho esquerdo da Lena.

Em [Grigoletti, Dimuro, Barbosa & Reiser 2005] os sinais elétricos são tratados deforma intervalar e é desenvolvida uma ferramenta computacional, utilizando as técnicasda Matemática Intervalar, chamada Free Interval Circuit Analyser (FINCA). Tal ferra-

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menta possibilita uma análise mais confiável e imediata da influência dos erros dos dadosde entrada nos valores das tensões nodais e das correntes resultantes.

Em [Callander & Cowan 1992] foi apresentado uma solução para a instabilidade dealgoritmos usando a aritmética intervalar. Neste trabalho, os dados são apresentados deforma intervalar, assim como as operações do algoritmo. Isso possibilita a análise desinais com imprecisões, como o da Figura (2.12), que é um sinal com ruídos.

Figura 2.12: Sinal sen(0.075πn) sujeito a ruído.

Em [Lyra 2003] utiliza-se sinais intervalares para representar incertezas em sinais, emparticular trabalha-se com imagens intervalares. O processamento de imagens digitais éuma operação computacional que captura uma imagem real e a discretiza, espacialmente,em uma matriz de pixel. Nesse processo, os erros numéricos ocorrem com freqüênciadevido a fatores que influenciam na aquisição da imagem e durante o processamento.O autor trabalhou com alguns sinais intervalares como F(X ,Y ) = [1,3]×Y × e(X/[1,3])2

,X ,Y ∈ IR, apresentado na Figura (2.15), e F(x) = [1,3]× e−x2

, x ∈ R. Neste trabalhosencontramos as primeiras definições de imagens intervalares digitais e seu processamento.

No trabalho [Vaccaro 2001] é utilizado sinais intervalares, lá chamados de dados in-tervalares, e enfatiza a importância de se especificar uma semântica para garantir uma boainterpretação das soluções de equações envolvendo dados intervalares, além de desenvol-ver algoritmos intervalares para calcular potências positivas de intervalos e conseqüente-mente, para solucionar sistemas intervalares.

18


Figura 2.13: Extraída de [Lyra 2003]. Sinal contínuo intervalar de duas variáveis:[1,3]Ye(X/[1,3])2

.

Figura 2.14: Extraída de [Lyra 2003]. Sinal contínuo intervalar dado por [π1/2 ×e−ω2/4,3π1/2× e−ω2/4].

Figura 2.15: Extraída de [Lyra 2003]. Imagem digital intervalar Zelda.itv apresentando aimagem ínfima e suprema.

19


Em [Lordelo 2004,2005] também se tem o uso de sinais e sistemas intervalares, maisespecificamente, o autor aborda o problema de projetar controladores robustos para sis-temas lineares e invariantes no tempo, cujos parâmetros são intervalares e mostra que,quando as especificações para a alocação de pólos são representadas través de espectro depolinômios intervalares, o projeto do controlador pode ser feito e solucionado com o usoda matemática intervalar.

Em [Buslowicz & Kaczorek 2004] considera-se o uso de sinais intervalares para re-presentar imprecisões e analisa-se as condições necessárias e suficientes para estabilidaderobusta de sistemas intervalares positivos discretos no tempo com atraso no tempo. Osautores mostram sistemas intervalares descritos por equações de tempo e espaço por

xi+1 =h

∑k=0

Akxi−k,para Ak = [ak,ak]⊂ Rn×n+ e k = 0,1, · · · ,h,

onde Rn×n+ é o conjunto das matrizes n×n, isto é, o sistema possui coeficientes intervala-

res matriciais.Existem muitas aplicações em PDS que exigem do usuário o conhecimento de como

os erros numéricos afetam os resultados obtidos, por isso, em [Edmonson et al 2006]utiliza-se as seqüências X = [x,x] e y = [y,y], uma vez que no processamento de sinaisexiste uma grande necessidade de determinar soluções ótimas e minimizar funções cus-tos e, em contrapartida, os intervalos apresentam uma grande habilidade em representarimprecisões e otimizar aproximações garantindo a convergência para um mínimo global.A aritmética utilizada para operar X e Y é dada por

X op Y = {x op y|x ∈ X ,y ∈ Y}, onde op ∈ {+,−,×,/}.

Com essas operações desenvolve-se a plataforma Interval Arithmetic Logic Unit (IA-ALU) para operar em PDS com sinais de natureza intervalar.

Em [Edmonson, Lee & Anderson 2000] utiliza-se a matemática intervalar para se tra-balhar com senóides sujeitas a ruído. Os métodos intervalares são utilizados para proportrês algoritmos de otimização global para estimar os parâmetros das senóides. Para isso,os valores de entrada dos algoritmos são sinais cujos valores são intervalos fechados:X1 = [a,b] = {x|a≤ x≤ b}, mais especificamente são vetores do tipo [X1, · · · ,Xn]

T , ondecada X j é um intervalo fechado. Para implementar as operações o autor utiliza a bibliotecaINTLIB, que é um toolbox do MATLAB.

Os sinais intervalares também estão sendo usados em sistemas biológicos. Em [Ed-monson et al 2007] propõem-se a modelagem de sistemas biológicos utilizando dados

20


intervalares. A matemática intervalar possui vários atributos que atraem pesquisas nessalinha, alguns deles são a habilidade de representar as imprecisões e a possibilidade deoferecer limites confiáveis às soluções de sistemas.

Outro caminho para controlar a incerteza existente em PDS é a lógica fuzzy. Em [Fer-rero, Gamba & Salicone 2004] os autores relatam que avaliar a incerteza em resultadosde medições realizadas por algum instrumento baseado em PDS é uma tarefa complexa edifícil e que os dados de entrada, na maioria das vezes, são resultados de medições asso-ciadas a incertezas. Um valor de incerteza deve estar associado ao resultado da medição.Esse valor pode ser obtido combinando os valores da incerteza associados a cada amostrade entrada. No entanto, quando os algoritmos processados pelo PDS são complexos, ob-ter a incerteza pode ser bastante trabalhoso e requer um grande número de cálculos quetorna inviável sua obtenção online. A capacidade de um instrumento baseado em PDS deestimar a incerteza online de uma medição, a partir da caracterização de seus dados deentrada, é bastante importante pois “alivia” os cálculos “pesados” e reduz o risco de errosna avaliação da incerteza. Para realizar essa tarefa os autores expressam o resultado damedição e da incerteza associada em termos de variáveis aleatórias fuzzy. Para os autores,esta abordagem permite estimar a incerteza de medição de uma forma mais eficaz que asabordagens probabilísticas clássicas.

A determinação da incerteza do resultado de uma medição é atualmente obtido pormeio de uma inferência estatística. Em [Mendel 2000] é proposto uma abordagem com-patível com a clássica, porém baseada em ferramentas matemáticas diferentes. Esta abor-dagem é baseada na aplicação de variáveis fuzzy para para a determinação da incerteza,uma vez que elas são eficientes para descrever a possível distribuição dos resultados deuma medição de forma mais eficaz que o método estatístico.

Uma alternativa futura seria associar a abordagem intervalar que será dada no presentetrabalho com os estudos já feitos na área fuzzy com o objetivo de desenvolver mecanismoseficientes para avaliação das incertezas em PDS.

Baseados nos trabalhos citados acima e na grande aplicabilidade e importância de sedesenvolver métodos intervalares aplicados em PDS, aponta-se aqui algumas lacunas quemotivam o desenvolvimento e fundamentação de conceitos necessários ao processamentodigital de sinais:

1. Em trabalhos citados acima, apesar de se utilizar sinais e sistemas intervalares, nãose tem modelos matemáticos para eles. Em [Trindade 2009] foi introduzida umadefinição intuitiva para sinais intervalares. Porém, ainda carente de uma definiçãomatemática formal.

21


2. Os algoritmos intervalares citados acima só tratam sinais reais sujeitos à imprecisão.3. Sente-se a necessidade de fundamentar as noções de sinais e sistemas intervalares

complexos, dado que em diferentes aplicações os sinais possuem valores no con-junto dos números complexos e da mesma forma que os sinais com valores reais,estão sujeitos a imprecisão.

4. Para investigar as propriedades dos sistemas intervalares com valores complexos,precisa-se formalizar uma função que estenda funções complexas a funções inter-valares complexas que mantenham as propriedades dos sinais pontuais.

5. Para o caso complexo é necessário investigar que tipo de aritmética intervalar émais adequada sabendo que existem as seguintes propostas: aritmética retangular,setorial e polar.

6. As unidades lógicas de processamento propostas foram desenvolvidas baseadas naaritmética de Moore.

7. Na literatura citada, as referências que envolvem sinais intervalares, não apresen-tam uma formalização matemática para algumas funções que podem aparecer em

processamento digital de sinais, tais como Xn, X−n, (X ∗Y )n e∞

∑n=−∞

X(n) dentre

outras.8. Em processamento digital de sinais é natural não só a utilização de sinais com

valores complexos mas também faz-se necessária a extensão de vários conceitosintervalares para esse caso. Em particular, os sinais, os sistemas, a transformada Z,a transformada de Fourier, algumas propriedades e algoritmos necessitam de umaanálise criteriosa.

22

Capítulo 3

Matemática Intervalar

Introdução

Em DSP a representação de dados e a conversão dos sinais contínuos para discretossão processos fundamentais e que estão sujeitos a erros numéricos. Isto é, os aparelhosutilizados para armazenar a amplitude dos sinais possuem um erro de precisão. Assim,se um aparelho possui um erro de precisão δ e o valor retornado para a amplitude de umsinal no tempo n é x[n] o valor real do sinal deve estar no intervalo [x[n]− δ,x[n] + δ].Por outro lado, a conversão de sinais contínuos para discretos é feita computacionalmenteutilizando um sistema de ponto flutuante, ou outro sistema numérico computacional. Osistema de ponto flutuante F não representa todos os números reais e quando x ∈R não érepresentável em F é feito um arredondamento ou truncamento. Em implementações dealgoritmos os erros oriundos de arredondamentos e truncamentos podem comprometer oresultado. Para x ∈ R, tal que x /∈ F , aqui é proposto, representar esse número pelo inter-valo [x,x], em que x,x ∈ F e x ∈ [x,x]. Consequentemente, o resultado de implementaçõesserá um intervalo que irá conter o resultado real.

A necessidade de representação de dados oriundos de medições ou implementaçõescomputacionais em PDS exige um dispositivo capaz de representar a imprecisão por trásdesses processos. A matemática intervalar, proposta por Moore no final da década de 50,tem por objetivo desenvolver mecanismos de controle de erros e incertezas. Em [Alefeld& Mayer 2000], [Kolev 1993], [Moore 1966, 1979], [Petkovic & Petkovic 1998] pode-sever trabalhos com matemática intervalar, onde se desenvolve abordagens alternativas parateorias pontuais, plataformas computacionais e proposta de aplicações dessa teoria.

Neste capítulo serão apresentadas algumas definições da matemática intervalar. Maisespecificamente, serão abordadas a aritmética de Moore para o caso dos intervalos de ex-tremos reais e as aritméticas retangular, setorial e polar, para o caso de representações denúmeros complexos. Algumas propriedades e definições, como de distância, que serão

23

Capítulo 3. Matemática Intervalar

utilizadas no desenvolvimento das abordagens intervalares de sinais, sistemas, amostra-gem, quantização, codificação, transformada Z e transformada de Fourier, são tambémabordadas.

3.1 Intervalos de Extremos Reais e Aritmética de Moore

Definição 3.1. (Intervalo de Números Reais) Sejam R o conjunto dos números reais,

a,a ∈ R tais que a ≤ a. Define-se o intervalo de números reais entre a e a por [a,a] =

{x ∈ R|a≤ x≤ a}.

Definição 3.2. (Conjunto dos intervalos de números reais) O conjunto dos intervalos de

números reais é definido por IR= {[a,a] |a,a ∈ R e a≤ a}.

A Figura (3.1) mostra a representação cartesiana do conjunto IR.

Figura 3.1: Representação cartesiana do conjunto IR.

Definição 3.3. (Aritmética de Moore) Sejam A = [a,a] ,B =[b,b]∈ IR. Define-se a

aritmética de Moore por:

(a) A+B =[a+b;a+b

];

(b) A−B =[a−b;a−b

];

(c) A×B = [min{a.b,a.b,a.b,a.b},max{a.b,a.b,a.b,a.b}];(d) A

B = A×B−1 = [min{ab ,

ab, a

b ,ab},max{a

b ,ab, a

b ,ab}], onde 0 /∈ B.

Propriedade 3.1. Sejam A,B,C ∈ IR. Considerando a aritmética de Moore, as seguintes

propriedades são válidas:

24


(a) A+(B+C) = (A+B)+C;

(b) A(BC) = (AB)C;

(c) A+B = B+A;

(d) AB = BA;

(e) A(B+C)⊆ AB+AC.

Demonstração: A demonstração é conseqüência imediata da teoria de conjuntos e daDefinição 3.3 e podem ser vista em [Moore 1979].

Definição 3.4. Se A = [a,a],B = [b,b] ∈ IR, então:

(a) A < B se a < b;

(b) A⊆ B se, e somente se, b≤ a e a≤ b;

(c)1A= [

1a,1a], se A não contém o zero;

(d) Se A contém o zero a operação1A

não pode ser representada na forma de intervalo

fechado.

Observação 3.1. A propriedade A(B+C) ⊆ AB+AC é conhecida por subdistributivi-

dade. Moore destacou que em certos casos especiais vale a distributividade da multipli-

cação em relação a adição. Por exemplo:

(a) a(B+C) = aB+aC, para todo a ∈ R e todos B,C ∈ IR;

(b) A(B+C) = AB+AC, se BC tem extremos maiores que zero.

Assim, na aritmética de Moore, vale a distributividade de um número real pela soma

de dois intervalos e de um intervalo qualquer por dois intervalos cujos extremos tem o

mesmo sinal como mostra o Exemplo 3.1.

Exemplo 3.1. Considerando a aritmética dada na Definição 3.3, verifique que:

(a) Verifique que 2([1,2]+ [−2,4]) = 2[−1,6] = [−2,12] e 2[1,2]+ 2[−2,4] = [2,4]+[−4,8] = [−2,12].

(b) Verifique que [1,2]([1,2]+[1,3]) = [1,2][1,2]+[1,2][1,3] e [1,2]([1,2]+[−3,−1]) 6=[1,2][1,2]+ [1,2][−3,−1].

Propriedade 3.2. Dado um intervalo real A ∈ IR, temos:

(a) [0,0] é elemento neutro da adição;

25


(b) [1,1] é elemento neutro da multiplicação;

(c) A−A⊇ [0,0];(d) A/A⊇ [1,1].

Demonstração: A demonstração pode ser vista em [Moore 1979].

3.2 Aritmética Retangular

A aritmética retangular, vista em [Alefeld & Herzberger 1983], é utilizada na operaçãode números complexos intervalares e faz uso da aritmética de Moore.

Definição 3.5 (Número Complexo Intervalar ). Sejam A = [a,a],B = [b,b] ∈ IR. Define-

se o número complexo intervalar X, ou número retangular, por

X = A+ iB = {z = a+ ib : a ∈ A,b ∈ B},

o qual constitui um retângulo no plano complexo com lados paralelos aos eixos coor-

denados, representado na Figura (3.2). O conjunto dos números complexos intervalares

será representado por R(C).

Quando os intervalos reais da definição acima forem degenerados, isto é, [a,a] +

i[b,b] ∈ R(C), o conjunto formado por eles é isomorfo ao conjunto dos números com-plexos C. Da mesma forma, quando B = [0,0] o conjunto formado pelos elementosA+ iB ∈ R(C) é isomorfo a IR.

Figura 3.2: Número Complexo Intervalar.

Observação 3.2. Se X = A+ iB, Y =C+ iD∈ R(C), então X =Y se, e somente se, A =C

e B = D.

26


Definição 3.6 (Aritmética Intervalar Complexa ou Aritmética Retangular). Seja {+,−,×,/}o conjunto das operações da aritmética de Moore. Sejam X = A+ iB, Y =C+ iD∈ R(C),as operações da aritmética retangular são definidas por:

(a) X⊕R Y = (A+C)+ i(B+D);

(b) XR Y = (A−C)+ i(B−D);

(c) X⊗R Y = (AC−BD)+ i(AD+BC);

(d) X�R Y = (AC+BD)/(C2 +D2)+ i(BC−AD)/(C2 +D2), onde 0 /∈ (C2 +D2).

Exemplo 3.2. Sejam X = [1,2]+ i[1,3] e Y = [−1,1]+ i[1,2], como na Figura (3.3).

Figura 3.3: Números complexos intervalares X e Y .

Utilizando a aritmética retangular, segue que:

(a) X⊕R Y = ([1,2]+ [−1,1])+ i([1,3]+ [1,2]) = [0,3]+ i[2,5];(b) XR Y = ([1,2]− [−1,1])+ i([1,3]− [1,2]) = [0,3]+ i[−1,2];(c) X⊗RY =([1,2]×[−1,1]−[1,3]×[1,2])+i([1,2]×[1,2]+[1,3]×[−1,1])= [−8,1]+

i[−2,7];(d) X �R Y = ([1,2]× [−1,1] + [1,3]× [1,2])/([−1,1]2 + [1,2]2) + i([1,3]× [−1,1]−

[1,2]×[1,2])/([−1,1]2+[1,2]2)= [−1,8]/([0,1]+[1,4])+i[−2,7]/([0,1]+[1,4])=[−1,8]+ i[−7,2].

Observação 3.3. Para que a operação �R, dada na Definição 3.6, esteja bem definida

é necessário que 0 /∈ (C2 +D2). Para isso, a maneira como se define as potências C2 e

D2 é importante. Por exemplo, para o intervalo complexo Y = [−1,2]+ i[1,4] ∈ R(C), se

“C2 +D2” for interpretado como “C×C+D×D”, então:

C2 +D2 = [−2,4]+ [1,16] = [−1,20], que contém 0.

Nesta situação, a operação de divisão não estaria definida. Por outro lado, considerando

C2 +D2 = {c2|c ∈C}+{d2 : d ∈ D},

27


a função quadrática intervalar em questão é dada por:

C2 =

[c2,c2] , se c > 0 ;[cn,cn] , se c < 0;[0,max{c2,c2}] , caso contrário.

(3.1)

Neste caso, tem-se:

C2 +D2 = [0,4]+ [1,16] = [1,20], que não contém zero.

Note que, neste exemplo, {c2 : c ∈C}+{d2 : d ∈ D} ⊂C×C+D×D.

Isso se generaliza para a seguinte definição:

Definição 3.7 (Potência de intervalo real). Dado A ∈ IR e n ∈ N, define-se a n-ésima

potência de A por:

An =

[an,an] , se a > 0 ou n é ímpar;[an,an] , se a < 0 e n é par;[0,(max{|a|, |a|})n] , se 0 ∈ X e n é par.

(3.2)

Corolário 3.1. Se X = A+ iB,Y = C + iD ∈ R(C), então X ⊆ Y sempre que A ⊆ C e

B⊆ D.

Definição 3.8. A demonstração pode ser vista em [Alefeld & Herzberger 1983].

Definição 3.9. Se X = A+ iB ∈ R(C), então:

(a) −X =−1⊗R X = ([−1,−1]+ i[0,0])⊗R X;

(b) X−1 = 1�R X = ([1,1]+ i[0,0])�R X;

(c) XR X = X⊕R (−X);

(d) Xn = X⊗R X⊗R · · ·⊗R X, n vezes;

(e) X−n = (Xn)−1.

Da definição acima, segue que:

−X = −1⊗R X = ([−1,−1]+ i[0,0])⊗R([a,a]+ i[b,b]

)= [−1,−1][a,a]− [0,0][b,b]+ i

([−1,−1][b,b]+ [0,0][a,a]

)= [−a,−a]+ i[−b,−b] (3.3)

28


e

X−1 = ([1,1]+ i[0,0])�R([a,a]+ i[a2,a2]

)=

[1,1][a,a]+ [0,0][b,b][a,a]2 +[b,b]2

+ i[0,0][a,a]− [1,1][b,b]

[a,a]2 +[b,b]2

=[a,a]

[a,a]2 +[b,b]2− i

[b,b][a,a]2 +[b,b]2

. (3.4)

3.2.1 Propriedades Imediatas da Aritmética Retangular

Nesta seção são apresentadas algumas propriedades da aritmética retangular, como acorretude e a monotonicidade das operações com respeito a ordem inclusão. Essas pro-priedades fazem com que a aritmética seja atrativa em aplicações computacionais, mesmonão satisfazento todas as propriedades da aritmética clássica definida em C. As demons-trações serão omitidas e podem ser vistas em [Alefeld & Herzberger 1983] e [Rokne &Lancaster 1971].

Definição 3.10 (Corretude). Uma aritmética {⊕,,⊗,�} definida sobre o conjunto dos

números complexos intervalares diz-se correta se

{x∗ y|x ∈ X ,y ∈ Y} ⊆ X ~Y,

onde ∗ é uma das seguintes operações sobre o corpo complexo: {+,−,×,/} e ~ ∈{⊕,,⊗,�}.

Definição 3.11 (Monotonicidade Inclusiva). Uma função intervalar F de variáveis X1, . . . ,Xn

diz-se monotônica com relação a inclusão, se Xi⊆Yi, i = 1, . . . ,n implica F(X1, . . . ,Xn)⊆F(Y1, . . . ,Yn).

Teorema 3.1. As operações definidas na aritmética retangular são corretas, isto é,

{x∗ y|x ∈ X ,y ∈ Y} ⊆ X ~Y,

onde ~ é uma das operações⊕R,R,⊗R,�R. Para a adição e subtração a inclusão pode

ser substituída por uma igualdade.

Demonstração: A demonstração pode ser vista em [Alefeld & Herzberger 1983].

29


Teorema 3.2. As operações definidas na aritmética retangular satisfazem a propriedade

da monotonicidade inclusiva, isto é, se Xk ⊆ YK , Xk,YK ∈ R(C), então X1 ~X2 ⊆ Y1 ~Y2,

onde k = 1,2 e ~ representa uma das operações da aritmética retangular.


Teorema 3.3. Se X ,Y,Z ∈ R(C), então:

(a)X⊕R Y = Y ⊕R X e X⊗R Y = Y ⊗R X;

(b) (X⊕R Y )⊕R Z = X⊕R (Y ⊕R Z);

(c) [0,0]+ i[0,0] e [1,1]+ i[0,0] são os elementos neutros da adição ⊕R e multiplicação

⊗R, respectivamente;

(d) X⊗R (Y ⊕R Z)⊆ X⊗R Y +X⊗R Z;

(e) a⊗R (Y ⊕R Z) = a⊗R Y +a⊗R Z, para a ∈ C.


A propriedade associativa X ⊗R (Y ⊗R Z) = (X⊗R Y )⊗R Z não é válida. Segundo[Oliveira, Diverio & Claudio 1997], isso pode ser visto com um contra-exemplo. SeX = [2,4]+ i[0,0], Y = [1,1]+ i[1,1] e Z = [1,1]+ i[1,1], então

X⊗R Y = ([2,4]+ i[0,0])⊗R ([1,1]+ i[1,1]) = [2,4]+ i[2,4]

e

(X⊗R Y )⊗R Z = ([2,4]+ i[2,4])⊗R ([1,1]+ i[1,1]) = [−2,2]+ i[4,8].

Por outro lado,

Y ⊗R Z = ([1,1]+ i[1,1])⊗R ([1,1]+ i[1,1]) = i[2,2]

e

X⊗R (Y ⊗R Z) = ([2,4]+ i[0,0])⊗R (i[2,2]) = i[4,8].

Logo, X⊗R (Y ⊗R Z) 6= (X⊗R Y )⊗R Z.

30


Definição 3.12 (Distância de Moore). Sejam A = [a,a] ,B = [b,b] ∈ IR. Define-se a

distância de Moore entre A e B por:

dM(A,B) = max{|a−b|, |a−b|}.

Definição 3.13 (Distância em C). Sejam x = a+ ib,y = c+ id ∈C e a,b,c,d ∈R. Define-

se a distância entre x e y por:

dc(x,y) =√(c−a)2 +(d−b)2.

Definição 3.14 (Distância em R(C)). Sejam X = A+ iB,Y =C+ iD ∈ R(C). Define-se a

distância entre X e Y por:

DM(X ,Y ) = dM(A,C)+dM(B,D).

Observação 3.4. Se x = a+ ib,y = c+ id ∈ C e X = [a,a]+ i[b,b],Y = [c,c]+ i[d,d] ∈R(C), então dc(x,y) ≤ DM(X ,Y ). Como exemplo, se x = 1+ i5,y = 3+ i4 ∈ C e A =

[1,1]+ i[5,5],B = [3,3]+ i[4,4] ∈ R(C), então dc(x,y) =√

5 e DM(X ,Y ) = 3.

Definição 3.15 (Valor absoluto em IR). Se A = [a,a] ∈ IR, então o valor absoluto de A é

definido por:

|A|I = dM(A,O) = max{|a|, |a|}.

Definição 3.16 (Valor absoluto em C). Se x = a+ ib ∈ C, então o valor absoluto de x é

definido por:

|x|= dc(x,0) =√

a2 +b2.

Definição 3.17 (Valor absoluto em R(C)). Se X = A+ iB ∈ R(C), então o valor absoluto

de X é definido por:

|X |C = DM(X ,O), onde O = [0,0]+ i[0,0].

Definição 3.18 (Conjugado em C). Se x = a+ ib ∈ C, então o conjugado de x é definido

por x = a− ib.

Definição 3.19 (Conjugado em R(C)). Se X = A+ iB ∈ R(C), então o conjugado de X é

definido por:

X∗ = A− iB.

Exemplo 3.3. Se X = [1,2]+ i[1,3],Y = [−1,1]+ i[1,2] ∈ R(C), então:

31


(a) DM(X ,Y ) = dM([1,2], [−1,1])+dM([1,3], [1,2]) = 2+1 = 3;

(b) |X |C = DM(X , [0,0]+ i[0,0]) = DM([1,2], [0,0])+DM([1,3], [0,0]) = 2+3 = 5;(c) X∗ = [1,2]− i[1,3] = [1,2]+ i[−3,−1].

Teorema 3.4. Sejam X ,Y,Z,W ∈ R(C), então as seguintes afirmações são verdadeiras:

(a) DM(X +Y,X +Z) = DM(Y,Z);

(b) DM(X +Y,Z +W )≤ DM(X ,Z)+DM(Y,W );

(c) DM(xY,xZ)≤ |x|DM(Y,Z), onde x ∈ C.

(d) DM(XY,XZ)≤ |X |CDM(Y,Z);

(e) |X |C ≥ 0 e |X |C = 0 se, e somente se X = [0,0]+ i[0,0];(f) |X +Y |C ≤ |X |C + |Y |C;

(g) |xY |C ≤ |x||Y |C, para x ∈ C.

(h) |XY |C ≤ |X |C|Y |C;


3.2.2 Relação entre Intervalos e Corpos

O conjunto dos intervalos reais, IR, com a aritmética de Moore não satisfaz todas aspropriedades da aritmética clássica definida em R. Uma das propriedades não satisfeitasé a distributividade da multiplicação em relação à adição. O fato de algumas proprieda-des da aritmética definida em IR não serem satisfeitas não tem limitado as pesquisas eaplicações. Em [Edmonson 1998, 2000, 2001, 2006, 2007], [Kolev 1993, 2004], [Lira2003, 2004], [Moore 1979], [Petkovic & Petkovic 1998], [Santiago et al 2006], [Trindade2008, 2009], etc pode-se ver o desenvolvimento de pesquisas relevantes, abordagens eferramentas intervalares que proporcionam tanto ao processamento de sinais quanto aoprocessamento de imagens alternativas para lidar com a presença de imprecisão de dadosnos processos computacionais. Encontrar uma aritmética definida em IR que satisfaz to-das as propriedades de corpo proporcionaria maior naturalidade ao realizar as operações.Porém, isso não será possível para qualquer aritmética correta. Nesta seção, mostra-seque seja qual for a aritmética correta, definida em IR, não se tem um corpo. O resultadoé estendido para intervalos com extremos infinitos e para o conjunto R(C).

Definição 3.20 (Definição de Corpo). Dado um conjunto S e duas operações binárias ⊕e ⊗, diz-se que a estrutura algébrica 〈S,⊕,⊗〉 forma um corpo se:

(a) A operação de adição, ⊕, é comutativa e associativa;

32


(b) A operação de multiplicação, ⊗, é associativa;

(c) Existe um elemento neutro em relação a adição ⊕, chamado de 0;

(d) Existe um elemento neutro em relação a multiplicação ⊗, chamado de 1;

(e) Para todo a ∈ S, existe um elemento inverso para a adição, escrito como −a ∈ S, tal

que a⊕ (−a) = 0;

(f) A operação de multiplicação se distribui sobre a adição, a⊗ (b⊕ c) = a⊗b+a⊗ c,

∀a,b,c ∈ S;

(g) Para todo a ∈ S, a diferente do elemento neutro da adição, existe o elemento inverso

da multiplicação, denotado por a−1 ∈ S, tal que a⊗a−1 = 1.

Se 〈S,⊕,⊗〉 é um corpo, então para todo a ∈ S o elemento inverso da adição e damultiplicação, −a e a−1 respectivamente, são únicos. Além disso, se a ∈ S, a 6= 0, entãoa−1 ∈ S, onde a⊗a−1 = 1. Neste caso, diz-se que a−1 é inverso multiplicativo de a e a éinverso multiplicativo de a−1. Esse resultado é utilizado abaixo.

Observação 3.5. Em IR, uma aritmética correta, não pode definir um corpo. De fato,

suponha que tal aritmética exista. Seja O⊕ = [a,b] o elemento neutro da adição e tome

[c,d] 6= [a,b] tal que 0∈ [c,d]. Como a aritmética define um corpo, então existe [c,d]−1 =

[e, f ] e como é correta, deve-se ter x−1 ∈ [e, f ], ∀x ∈ [c,d], logo teria que existir 0−1.

Absurdo.

Esta observação nos motiva a detalhar a definição de correção:

Definição 3.21. Diz-se que duas operações ⊕ e ⊗ definem uma aritmética correta em IRquando:

(a) x⊕ y ∈ [a,b]⊕ [c,d], ∀x ∈ [a,b] e ∀y ∈ [c,d] tais que x⊕ y está definido;

(b) x⊗ y ∈ [a,b]⊗ [c,d], ∀x ∈ [a,b] e ∀y ∈ [c,d] tais que x⊗ y está definido;

Mesmo com essa definição, não é possível uma aritmética correta que resulte em umcorpo.

Teorema 3.5. Sejam⊕ e⊗ operações de adição e multiplicação de uma certa aritmética.

Se 〈IR,⊕,⊗〉 é um corpo, então as operações ⊕,⊗ não são corretas.

Demonstração: Suponha que 〈IR,⊕,⊗〉 é um corpo. Logo, existe o elemento neutroda adição⊕, suponha que seja O+= [a,b]. Além disso, tome [c,d] 6=O+, tal que, 0∈ [c,d]e c < d. Existe o inverso da operação ⊗ para [c,d], suponha que seja 1

[c,d] = [e, f ] ∈ IR.Como 0 ∈ [c,d], suponha, sem perda de generalidade, que 0 = c. Como limx→0+

1x =+∞,

para todo A > 0 dado, existe x ∈ [c,d], tal que 1x > A. Em particular, para A > f , temos

1x > f , ou seja, 1

x /∈ [e, f ]. Logo a operação ⊗ não satisfaz a propriedade de correção.

33


Uma forma possível de resolver o problema dos intervalos contendo o 0 seria consi-derar intervalos ilimitados, tais como, (−∞,b] , [a,+∞) and (−∞,+∞). Porém, mesmoassim ainda não se teria um corpo.

Teorema 3.6. Seja IR o conjunto dos intervalos reais do tipo [a,b], [a,+∞) ,(−∞,b] e

(−∞,+∞). Se ⊕ e ⊗ são operações corretas em IR, então⟨IR,⊕,⊗

⟩não é corpo.

Demonstração: Suponha que existe um elemento neutro de ⊕, digamos [a,b] e paracada X ∈ IR tal que X 6= [a,b], existe X−1. Tome Y1 = [−c,c] e Y2 = [−d,d], com c 6= d,c > 0, d > 0, c 6= b and d 6= b. Assim, existem Y−1

1 e Y−12 . Usando as mesmas idéias

da demonstração do Teorema 3.5 e o fato de ⊕ e ⊗ serem corretas, pode-se concluir queY−1

1 = (−∞,+∞) e Y−12 = (−∞,+∞), ou seja, dois elementos distintos possuem o mesmo

inverso multiplicativo, logo⟨IR,⊕,⊗

⟩não é um corpo.

Usando as mesmas idéias, é possível mostrar que não existem operações corretas ⊕ e⊗ tais que 〈R(C),⊕,⊗〉 é corpo.

Corolário 3.2. Sejam⊕ e⊗ operações de adição e multiplicação de uma certa aritmética

definida em R(C). Se 〈R(C),⊕,⊗〉 é um corpo, então as operações⊕,⊗ não são corretas.

Demonstração: A demonstração segue as mesmas idéias do Teorema 3.5.

3.2.3 Investigação de Algumas Propriedades da Aritmética Retangu-lar

Pelo o que foi visto anteriormente, 〈R(C),⊕R,⊗R〉 não é um corpo, já que as ope-rações ⊕R e ⊗R são corretas. Isto quer dizer que as operações da aritmética retangulardefinida em R(C) não se comportam como as operações clássicas definidas em C. Porisso, aqui serão analisadas algumas propriedades, que aparecem em PDS, utilizando aaritmética retangular.

Propriedade 3.3. Seja X = A+ iB ∈ R(C), com A = [a,a],B = [b,b] ∈ IR, X 6= [0,0]+i[0,0] e [0,0]+ i[0,0] é elemento neutro de⊕R. Então XR X 6= [0,0]+ i[0,0] não é válido

para todo X = A+ iB ∈ R(C).

34


Demonstração: De fato, se −X = ([−1,−1]+ i[0,0])⊗R([a,a]+ i[b,b]

), então:

XR X =([a,a]+ i[b,b]

)⊕R([−a,−a]+ i[−b,−b]

)= ([a,a]+ [−a,−a])+ i

([b,b]+ [−b,−b]

)6= [0,0]+ i[0,0].

Como XR X 6= [0,0]+ i[0,0] dizemos que −X é o pseudo inverso aditivo de X .

Propriedade 3.4. Se X = A+ iB ∈ R(C), com A = [a,a],B = [b,b] ∈ IR e X 6= [0,0] +i[0,0], então X�R X 6= [1,1]+ i[0,0], onde [1,1]+ i[0,0] é elemento neutro de ⊗R.

Demonstração: Pela Definição 3.6, segue que:

X�R X =AA+BBA2 +B2 + i

BA−ABA2 +B2 .

Como a multiplicação em IR é comutativa, então:

X�R X =AA+BBA2 +B2 + i

BA−BA1

A2 +B2 .

Pela propriedade 3.3, BA−BA 6= [0,0], logo o número complexo intervalar X�R X possuiparte imaginária não nula, impossibilitando de ser X�R X = [1,1]+ i[0,0].

Propriedade 3.5. Se X = A+ iB,Y =C+ iD ∈ R(C), então considerando X2 = X ⊗R X,

a igualdade X2⊗R Y 2 = (X⊗R Y )2 não é válida para todos X ,Y ∈ R(C).

Demonstração: Para o caso particular X = [2,4]+ i[0,0] e Y = [1,1]+ i[1,1], tem-se:

X⊗R Y = AC−BD+ i(AD+BC)

= [2,4][1,1]− [0,0][1,1]+ i([2,4][1,1]+ [0,0][1,1])

= [2,4]+ i[2,4] (3.5)

e

(X⊗R Y )2 = (X⊗R Y )⊗R (X⊗R Y ) = ([2,4]+ i[2,4])⊗R ([2,4]+ i[2,4])

= [2,4][2,4]− [2,4][2,4]+ i([2,4][2,4]+ [2,4][2,4])

= [4,16]− [4,16]+ i([4,16]+ [4,16])

= [−12,12]+ i[8,32]. (3.6)

35


Por outro lado,

X2 = X⊗R X = AA−BB+ i(AB+BA)

= [2,4][2,4]− [0,0][0,0]+ i([2,4][0,0]+ [0,0][2,4])

= [4,16]+ i[0,0], (3.7)

Y 2 = CC−DD = i(CD+DC)

= [1,1][1,1]− [1,1][1,1]+ i([1,1][1,1]+ [1,1][1,1])

= [0,0]+ i[2,2] (3.8)

e

X2⊗R Y 2 = ([4,16]+ i[0,0])⊗R ([0,0]+ i[2,2])

= [4,16][0,0]− [0,0][2,2]+ i([4,16][2,2]+ [0,0][0,0])

= [0,0]+ i[8,32]. (3.9)

Para X e Y escolhidos, as equações (3.6) e (3.9) implicam que X2⊗R Y 2 6= (X ⊗R Y )2.Logo, X2⊗R Y 2 = (X⊗R Y )2 não é válida para todos X ,Y ∈ R(C).

Propriedade 3.6. Se X = A+ iB,Y = C + iD ∈ R(C), então considerando Xn = X ⊗R

· · ·⊗R, n vezes, Xn⊗R Y n = (X⊗R Y )n não vale para todos X ,Y ∈ R(C) e n ∈ Z.

Demonstração: A demonstração pode ser feita utilizando o mesmo contra-exemploda Propriedade 3.5.

Propriedade 3.7. Se X = A+ iB ∈ R(C), então (X−1)−1 = X não vale para todo X ∈R(C).

Demonstração: Para o caso particular X = [2,4]+ i[0,0] e utilizando equações (3.4) e(3.2), tem-se que:

X−1 =A

A2 +B2 − iB

A2 +B2 =[2,4][4,16]

− i[0,0][4,16]

. (3.10)

36


Por outro lado,

(X−1)−1 =[2,4]/[4,16]

([2,4]/[4,16])2 +[0,0]2− i

[0,0]([2,4]/[4,16])2 +[0,0]

= [2/16,64]+ i[0,0]. (3.11)

As equações (3.10) e (3.11) implicam que (X−1)−1 6= X .

Propriedade 3.8. Se X = A+ iB ∈ R(C) e x ∈ C, então considerando X2 = X ⊗R X,

x2⊗R X2 = (x⊗R X)2.

Demonstração: Para X = A+ iB ∈ R(C), segue que:

X2 = X⊗R X = AA−BB+ i(AB+BA)

= A21 +A2

2 + i2A1A2 (3.12)

e

x2⊗R X2 = x2⊗R (AA−BB+ i(AB+BA))

= x2(A2−B2)+ i2x2AB. (3.13)

Por outro lado,

xX = xA+ ixB (3.14)

e

(xX)2 = xX⊗R xX = xAxA− xBxB+ i(xAxB+ xBxA)

= x2A2− x2B2 + i2x2AB. (3.15)

As equações (3.13) e (3.15) implicam que x2⊗R X2 = (x⊗R X)2.

Propriedade 3.9. Se X = A+ iB∈ R(C) e a,b∈R, então (X⊗R a)⊗R b = X⊗R (a⊗R b).

37


Demonstração: Para X = A+ iB ∈ R(C) e a,b ∈ R, segue que:

X⊗R a = (A+ iB)⊗R a

= Aa−B×0+ i(A×0+Ba)

= Aa+ iBa (3.16)

e

(X⊗R a)⊗R b = (Aa+ iBa)⊗R b

= Aab−Ba×0+ i(Aa×0+Bab)

= Aab+ iBab. (3.17)

Por outro lado,

X(ab) = Aab−B×0+ i(Bab+A×0)

= Aab+ iBab. (3.18)

As equações (6.3) e (6.4) implicam que (X⊗R a)⊗R b = X⊗R (a⊗R b).

Propriedade 3.10. Se X = A+ iB∈ R(C) e x,y∈C, então (X⊗R x)⊗R y = X⊗R (x⊗R y).

Demonstração: Para x = a+ ib,y = c+ id ∈ C, segue que:

(X⊗R x)⊗R y = [(A+ iB)⊗R (a+ ib)]⊗R (c+ id)

= [aA−bB+ i(bA+aB)]⊗R (c+ id)

= c(aA−bB)−d(bA+aB)+ i[c(bA+aB)+d(aA−bB)]

= acA−bcB−bdA−adB+ i(bcA+acB+adA−bdB). (3.19)

Por outro lado, tem-se:

X⊗R (x⊗R y) = (A+ iB)⊗R [(a+ ib)⊗R (c+ id)]

= (A+ iB)⊗R [ac−bd + i(bc+ad)]

= A(ac−bd)−B(bc+ad)+ i[B(ac−bd)+A(bc+ad)]

= acA−bdA−bcB−adB+ i(acB−bdB+bcA+adA). (3.20)

As equações (3.19) e (3.20) implicam em (X⊗R x)⊗R y = X⊗R (x⊗R y).

38


No que segue, apresenta-se mais duas abordagens de representação para númeroscomplexos.

3.3 Números Complexos Circulares

Nesta seção é apresentada a representação circular e a aritmética complexa cir-cular, introduzida em [Gargantini & Henrici 1972]. Nesta abordagem representa-se umnúmero complexo através de um disco. Esse estudo foi iniciado na década de 70 nostrabalhos [Gargantini & Henrici 1971,1972] e utilizado na determinação de raízes de po-linômios.

Definição 3.22. Se x ∈C e r≥ 0, então o número complexo circular Z, também chamado

de disco, é definido por:

Z = {z ∈ C : |z− x| ≤ r}.

O disco complexo com centro x e raio r será representado por Z = 〈x,r〉 e o conjunto

desses elementos é representado por K(C).

Figura 3.4: Número complexo circular ou disco.

O conjunto de elementos de K(C), para o caso particular em que r = 0, constitui umacópia de C.

Definição 3.23. Sejam A = 〈x,r1〉,B = 〈y,r2〉 ∈ K(C). Tem-se que A = B se, e somente

se, x = y e r1 = r2.

A relação de igualdade definida acima é reflexiva, simétrica e transitiva.

Definição 3.24 (Aritmética Circular). Sejam A = 〈x,r1〉, B = 〈y,r2〉 ∈ K(C). Conside-

rando as operações clássicas {+,−,×,÷} definidas em C, a aritmética circular é defi-

nida por:

39


(a) A⊕C B = 〈x+ y,r1 + r2〉;(b) AC B = 〈x− y,r1− r2〉;(c) A⊗C B = 〈xy, |x|r2 + |x|r1 + r1r2〉;(d) 1�C B = 〈 y

yy−r22, r2

yy−r22〉, onde y é o conjugado de y e 0 /∈ B;

(e) A�C B = A⊗C (1�C B), para /∈ B.

Observação 3.6. Na definição acima, a norma euclidiana e o conjugado do número com-

plexo x = a+ ib foram dados nas Definições 3.16 e 3.18.

Teorema 3.7 (Propriedades). Para A,B,C ∈K(C) são válidas as seguintes propriedades:

(a)A⊕C B = B⊕C A e A⊗C B = B⊗C A;

(b) (A⊕C B)⊕C C = A⊕C (B⊕C C);

(c) (A⊗C B)⊗C C = A⊗C (B⊗C C);

(d) X = 〈0,0〉 e Y = 〈1,0〉 são os elementos neutros de ⊕C e ⊗C, respectivamente;

(e) A⊗C (B⊕C C)⊆ A⊗C B⊕C A⊗C C;

(f) a⊗C (B⊕C C) = a⊗C B⊕C a⊗C C, para a ∈ C.


Teorema 3.8. As operações definidas na aritmética circular satisfazem a propriedade de

monotonicidade inclusiva, isto é,

se A,B,C,D ∈ K(C) tal que A⊆C,B⊆ D

então A∗B⊆C ∗D.

onde ∗ é uma das operações ⊕C,C,⊗C,�C.


3.4 Números Polares Intervalares

Aqui são apresentadas duas abordagens intervalares para a representação de nú-meros polares. Na primeira, definida em [Candau et al 2005], um número polar que sofrevariação na magnitude e na fase é denominado “intervalo complexo polar” ou “setor”.Serão destacadas algumas propriedades desta abordagem e introduzida uma maneira de

40


mapear um setor em um retângulo, e vice versa, usando para isso a função exponen-cial complexa. Na segunda abordagem, introduzida em [Trindade 2009], um númerocomplexo é representado através da “representação intervalar na forma polar”. Para estaabordagem, serão apresentadas algumas simplificações da aritmética utilizada e algumaspropriedades.

3.4.1 Intervalo Complexo Polar ou Setor

Definição 3.25 (Intervalo Complexo Polar ou Setor). Sejam [ρ] = [ρ,ρ] ⊆ IR+ e [θ] =

[θ,θ]⊆ IR. Define-se o intervalo complexo polar, ou setor intervalar, por:

Z = {z ∈ C : z = ρeiθ,ρ ∈ [ρ],θ ∈ [θ]},

onde θ−θ≤ 2π, 0≤ θ < 2π e 0≤ θ < 2π. O intervalo complexo polar Z é representado

por ([ρ], [θ]) e o conjunto desses elementos por S(C).

Figura 3.5: Intervalo complexo polar ou setor.

Definição 3.26. Sejam Z1 = ([ρ1], [θ1]),Z2 = ([ρ2], [θ2]) ∈ S(C). Diz-se que Z1 = Z2 se,

e somente se [ρ1] = [ρ2] e [θ1] = [θ2].

Definição 3.27. Sejam Z1 = ([ρ1], [θ1]),Z2 = ([ρ2], [θ2]) ∈ S(C). Define-se Z1⊗S Z2, por:

Z1⊗S Z2 = {z1× z2 : z1 ∈ Z1,z2 ∈ Z2}

= {ρ1ρ2ei(θ1+θ2) : ρ1 ∈ [ρ1],ρ2 ∈ [ρ2],θ1 ∈ [θ1],θ2 ∈ [θ2]}

= ([ρ1]× [ρ2], [θ1]+ [θ2]).

Observação 3.7. Na Definição 3.27, as operações de multiplicação e adição entre os

intervalos [ρ1], [ρ2], [θ1], [θ2] são operações da aritmética de Moore.

41


Definição 3.28. Sejam Z1 = ([ρ1], [θ1]),Z2 = ([ρ2], [θ2]) ∈ S(C). Define-se Z1�S Z2 por:

Z1�S Z2 = {z1/z2 : z1 ∈ Z1,z2 ∈ Z2}

= ([ρ1]÷M [ρ2], [θ1]−M [θ2]).

Não se tem uma fórmula fechada para a adição e subtração de setores, uma vez que,ao somar os elementos de dois setores não se obtém um setor. No entanto, o resultadoda soma termo a termo dos elementos de dois setores, chamada soma de Minkowski, éaproximada para o menor setor que o contém. Dessa forma, fica definida a soma de doissetores.

Definição 3.29 (Soma de Minkowski). Sejam Z1 = ([ρ1], [θ1]),Z2 = ([ρ2], [θ2]) ∈ S(C).Define-se a soma de Minkowski por:

Z1⊕Z2 = {z1 + z2 : z1 ∈ Z1,z2 ∈ Z2}.

Em geral, este conjunto não define um setor.

Na prática, a adição dos setores Z1 = ([ρ1], [θ1]) e Z2 = ([ρ2], [θ2]) é dada através deum algoritmo. Tomando z1 = ρ1eiθ1 ∈ Z1 e z2 = ρ2eiθ2 ∈ Z2, segue que z1 + z2 = ρeiθ,onde:

ρ2 = ρ

21 +ρ

22 +2ρ1ρ2cos(θ1−θ2) (3.21)

e

tgθ =ρ1cosθ1 +ρ2cosθ2

ρ1senθ1 +ρ2senθ2. (3.22)

O algoritmo que exprime a soma Z1⊕S Z2 consiste em obter o valor máximo e mínimopara as equações (3.21) e (3.22) através da técnica de multiplicadores de Lagrange. Oobjetivo é encontrar valores para ρ e θ, tal que Z = [ρ,θ] contenha os elementos da somaZ1⊕P Z2. O algoritmo não é apresentado nesse trabalho e pode ser visto em [Candau,Raissi, Ramdani e Ibos 2005].

Definição 3.30. Sejam Z1 = ([ρ1], [θ1]),Z2 = ([ρ2], [θ2]) ∈ S(C). Define-se Z1S Z2 por:

Z1S Z2 = Z1⊕S (−Z2), onde −Z2 = {z :−z ∈ Z2}.

Proposição 3.1. Se Z1 = ([ρ1], [θ1]),Z2 = ([ρ2], [θ2]) ∈ S(C), então:

42


(a) Z1⊗S Z2 = Z2⊗S Z1;

(b) Existe ZI = ([1,1], [0,0]) ∈ S(C), tal que, ZI ⊗S Z1 = Z1×ZI = Z1, para todo Z1 ∈S(C);

(c) Existe ZO = ([0,0], [0,0]) ∈ S(C), tal que, ZO⊕S Z1 = Z1⊕S ZO = Z1, para todo

Z1 ∈ S(C);(d) Z2

1 = Z1⊗S Z1 = ([ρ12,ρ1

2], [2θ1,2θ1]);

(e) Zn1 = Z1⊗S · · ·⊗S Z1 = ([ρ1

n,ρ1n], [nθ1,nθ1]).

Demonstração: A demonstração é imediata e segue das Definições 3.27, 3.28, 3.29 e3.30.

3.4.2 Correspondência entre a Representação Retangular e Setor

Aqui é estabelecida uma relação entre a representação retangular de um númerocomplexo e um setor. Para isso, será utilizada uma transformação que mapeia retângulosem setores, tal transformação é conhecida por função exponencial complexa.

Dado um retângulo Z = {(x,y) ∈ R2 : a1 ≤ x≤ a2,b1 ≤ y≤ b2} ∈ R2, para z = x+ iy

e w(z) = ρeiθ, define-se w : Z→ C por:

w(z) = ez ou ρeiθ = exeiy. (3.23)

Logo,

ρ = ex e θ = y. (3.24)

A transformação leva as retas x = a1 e x = a2 nos círculos ρ = ea1 e ρ = ea2 , respec-tivamente, e leva as retas y = b1 e y = b2 nos raios θ = b1 e θ = b2, respectivamente. Demodo geral, a transformação mapeia o retângulo

Z = {(x,y) ∈ R2 : a1 ≤ x≤ a2,b1 ≤ y≤ b2}

no setor

w(Z) = {z ∈ C : z = ρeiθ,ea1 ≤ ρ≤ ea2,b1 ≤ θ≤ b2}.

Como Z = {(x,y) ∈ R2 : a1 ≤ x≤ a2,b1 ≤ y≤ b2} ⊆ R2 é isomorfo ao número com-plexo retangular Z = A+ iB, onde A = [a1,a2] e B = [b1,b2], com a transformação dada

43


em (3.23) e (3.24) podemos mapear números complexos retangulares em números polaresintervalares. Além disso, se b2−b1 < 2π a transformação é biunívoca, consequentemente,existe a transformação inversa. Com isso, sob a condição b2−b1 < 2π podemos mapearsetores intervalares em números complexos retangulares.

Figura 3.6: Transformação de número complexo intervalar em setor.

Proposição 3.2. O número complexo retangular Z = [a1,a2]+ i[b1,b2], tal que b2−b1 ≤2π, é mapeado de maneira única no setor Z = {z ∈ C : z = ρeiθ,ea1 ≤ ρ ≤ ea2,b1 ≤ θ ≤b2}= ([ea1,ea2 ], [b1,b2]), onde θ−θ≤ 2π, 0≤ θ < 2π e 0≤ θ, através da transformação

exponencial complexa.

Observação 3.8. As condições 0≤ θ < 2π, 0≤ θ < 4π podem ser ajustadas somando ou

subtraindo 2π nos limites superior e inferior de [θ], pois os ângulos são definidos módulo

2π.

Proposição 3.3. O setor Z = ([ρ], [θ]), tal que θ− θ ≤ 2π, 0 ≤ θ < 2π e 0 ≤ θ < 4π, é

mapeado, de maneira única, no número complexo retangular Z = [ln(ρ), ln(ρ)]+ i[θ,θ].

Exemplo 3.4. Dado o número complexo intervalar Z = [1,2]+ i[1,3], utilizando a Pro-

posição 3.2, segue que

Z = {z ∈ C|z = ρeiθ,e1 ≤ ρ≤ e2,1≤ θ≤ 3}= {[e1,e2], [1,3]},

onde θ−θ = 1 < 2π, 0≤ θ < 2π, 0≤ θ < 4π.

Exemplo 3.5. Dado o setor Z = {[3,3.5], [0,2π]}, como θ−θ≤ 2π, utilizando a Propo-

sição 3.3, segue que Z = [ln(3), ln(3.5)]+ i[0,2π].

44


3.4.3 Representação Polar dos Números Complexos Intervalares

Aqui é apresentada a representação polar dos números complexos intervalares intro-duzida em [Trindade 2009]. Nesta abordagem os elementos x ∈ C, que constituem onúmero X = A+ iB = {x = a+ ib∈C|a∈ A,b∈ B} ∈ R(C), são preservados, o que mudaé apenas a maneira de representar o número X ∈ R(C).

Todo número complexo x = a+ ib pode ser representado em função de suas coorde-nadas polares, isto é, x = ρ(cosθ+ isenθ), onde ρ =

√a2 +b2 e tgθ = b/a.

Dessa forma, um número complexo intervalar X = A+ iB, pode ser representado peloconjunto:

Xp = {(ρ,θ)|ρ =√

a2 +b2 e tgθ = b/a,∀a+ ib ∈ X}.

O par (ρ,θ) representa o número polar ρ(cosθ+ isenθ).Além disso, um número complexo intervalar, cuja representação geométrica é um

retângulo, fica unicamente determinado por dois vértices. Esses vértices, que podem seros da diagonal principal ou os da diagonal secundária, são representados utilizando suascoordenadas polares.

Dado um número complexo intervalar X = A+ iB = [a,a]+ i[b,b], sua representaçãona forma polar é dada pelo par:

Xp = ((ρ1,θ1),(ρ2,θ2)) (3.25)

onde ρ1 =√

a2 +b2, ρ2 =

√a2 +b

2 e tgθ1 = b/a, tgθ2 = b/a.

Figura 3.7: Representação polar para número complexo intervalar.

Definição 3.31 (Número Polar Intervalar). Sejam ρ1,ρ2 ∈ R+ e 0 ≤ θ1,θ2 ≤ 2π. Um

número polar intervalar Xp é um retângulo de números polares determinado unicamente

45


pela interseção das retas que passam pelos números polares ρ1exp(iθ1) e ρ2exp(iθ2)

paralelamente aos eixos coordenados, como mostra a Figura (3.7) e representado por

Xp = ((ρ1,θ1),(ρ2,θ2)).

Definição 3.32 (Conjunto dos Números Polares Intervalares). O conjunto dos números

polares intervalares, denotado por R(C)p, é definido pelo conjunto formado por todos

números polares intervalares, isto é,

R(C)p = {Xp|X = A+ iB ∈ R(C)}. (3.26)

Definição 3.33 (Adição de Números Polares Intervalares). Dados dois números polares

intervalares Xp = ((ρ1,θ1),(ρ′1,θ

′1)) e Yp = ((ρ2,θ2),(ρ

′2,θ

′2)) define-se:

Xp⊕P Yp = ((ρ3,θ3),(ρ′3,θ

′3)),

onde

(ρ3)2 = (ρ1cosθ1 +ρ2cosθ2)

2 +(ρ1senθ1 +ρ2senθ2)2, (3.27)

(ρ′3)

2 = (ρ′1cosθ

′1 +ρ

′2cosθ

′2)

2 +(ρ′1senθ

′1 +ρ

′2senθ2)

2, (3.28)

θ3 = arctg(

ρ1senθ1 +ρ2senθ2

ρ1cosθ1 +ρ2cosθ2

), (3.29)

e

θ′3 = arctg

(ρ′1senθ

′1 +ρ

′2senθ

′2

ρ′1cosθ

′1 +ρ

′2cosθ

′2

). (3.30)

Definição 3.34 (Subtração de Números Polares Intervalares). Dados dois números pola-

res intervalares Xp = ((ρ1,θ1),(ρ′1,θ

′1)) e Yp = ((ρ2,θ2),(ρ

′2,θ

′2)) define-se:

XpP Yp = ((ρ3,θ3),(ρ′3,θ

′3)),

onde

(ρ3)2 = (ρ1cosθ1−ρ2cosθ2)

2 +(ρ1senθ1−ρ2senθ2)2, (3.31)

46


(ρ′3)

2 = (ρ′1cosθ

′1−ρ

′2cosθ

′2)

2 +(ρ′1senθ

′1−ρ

′2senθ

′2)

2, (3.32)

θ3 = arctg(

ρ1senθ1−ρ2senθ2

ρ1cosθ1−ρ2cosθ2

), (3.33)

e

θ′3 = arctg

(ρ′1senθ

′1−ρ

′2senθ

′2

ρ′1cosθ

′1−ρ

′2cosθ

′2

). (3.34)

Definição 3.35 (Multiplicação de Números Polares Intervalares). Dados dois números

polares intervalares Xp = ((ρ1,θ1),(ρ′1,θ

′1)) e Yp = ((ρ2,θ2),(ρ

′2,θ

′2)) define-se:

Xp⊗P Yp = ((ρ3,θ3),(ρ′3,θ

′3)),

onde

(ρ3)2 = (min{ρ1cosθ1ρ

′1cosθ

′1,ρ1cosθ1ρ

′2cosθ

′2,ρ2cosθ2ρ

′1cosθ

′1,ρ2cosθ2ρ

′2cosθ

′2}

− max{ρ1senθ1ρ′1senθ

′1,ρ1senθ1ρ

′2senθ

′2,ρ2senθ2ρ

′1senθ

′1,ρ2senθ2ρ

′2senθ

′2})2

+ (min{ρ1cosθ1ρ′1senθ

′1,ρ1cosθ1ρ

′2senθ

′2,ρ2cosθ2ρ

′1senθ

′1,ρ2cosθ2ρ

′2senθ

′2}

+ min{ρ1senθ1ρ′1cosθ

′1,ρ1senθ1ρ

′2cosθ

′2,ρ2senθ2ρ

′1cosθ

′1,ρ2senθ2ρ

′2cosθ

′2})2,

(ρ′3)

2 = (max{ρ1cosθ1ρ′1cosθ

′1,ρ1cosθ1ρ

′2cosθ

′2,ρ2cosθ2ρ

′1cosθ

′1,ρ2cosθ2ρ

′2cosθ

′2}

− min{ρ1senθ1ρ′1senθ

′1,ρ1senθ1ρ

′2senθ

′2,ρ2senθ2ρ

′1senθ

′1,ρ2senθ2ρ

′2senθ

′2})2

+ (max{ρ1cosθ1ρ′1senθ

′1,ρ1cosθ1ρ

′2senθ

′2,ρ2cosθ2ρ

′1senθ

′1,ρ2cosθ2ρ

′2senθ

′2}

+ max{ρ1senθ1ρ′1cosθ

′1,ρ1senθ1ρ

′2cosθ

′2,ρ2senθ2ρ

′1cosθ

′1,ρ2senθ2ρ

′2cosθ

′2})2,

θ3 = arctg[(min{ρ1cosθ1ρ′1senθ

′1,ρ1cosθ1ρ

′2senθ

′2,ρ2cosθ2ρ

′1senθ

′1,ρ2cosθ2ρ

′2senθ

′2}

+ min{ρ1senθ1ρ′1cosθ

′1,ρ1senθ1ρ

′2cosθ

′2,ρ2senθ2ρ

′1cosθ

′1,ρ2senθ2ρ

′2cosθ

′2})

/ (min{ρ1cosθ1ρ′1cosθ

′1,ρ1cosθ1ρ

′2cosθ

′2,ρ2cosθ2ρ

′1cosθ

′1,ρ2cosθ2ρ

′2cosθ

′2}

− max{ρ1senθ1ρ′1senθ

′1,ρ1senθ1ρ

′2senθ

′2,ρ2senθ2ρ

′1senθ

′1,ρ2senθ2ρ

′2senθ

′2})]

47


e

θ′3 = arctg[(max{ρ1cosθ1ρ

′1senθ

′1,ρ1cosθ1ρ

′2senθ

′2,ρ2cosθ2ρ

′1senθ

′1,ρ2cosθ2ρ

′2senθ

′2}

+ max{ρ1senθ1ρ′1cosθ

′1,ρ1senθ1ρ

′2cosθ

′2,ρ2senθ2ρ

′1cosθ

′1,ρ2senθ2ρ

′2cosθ

′2})

/ (max{ρ1cosθ1ρ′1cosθ

′1,ρ1cosθ1ρ

′2cosθ

′2,ρ2cosθ2ρ

′1cosθ

′1,ρ2cosθ2ρ

′2cosθ

′2}

− min{ρ1senθ1ρ′1senθ

′1,ρ1senθ1ρ

′2senθ

′2,ρ2senθ2ρ

′1senθ

′1,ρ2senθ2ρ

′2senθ

′2})].

Definição 3.36 (Divisão de Números Polares Intervalares). Dados dois números polares

intervalares Xp = ((ρ1,θ1),(ρ′1,θ

′1)) e Yp = ((ρ2,θ2),(ρ

′2,θ

′2)) define-se:

Xp�P Yp = ((√

e22 + e12,arctge2

e1),(√

e12 + e2

2,arctge2

e1)),

onde

[a,a] = [ρ′1cosθ

′1,ρ

′2cosθ

′2]

2 =

[(ρ

′1cosθ

′1)

2,(ρ′2cosθ

′2)

2], ρ′1cosθ

′1 > 0;

[(ρ′1cosθ

′1)

2,(ρ′1cosθ

′1)

2], ρ′2cosθ

′2 < 0;

[0,max{|ρ′1cosθ′1|, |ρ

′2cosθ

′2|}2], 0 ∈ [ρ

′1cosθ

′1,ρ

′2cosθ

′2],

[b,b] = [ρ′1senθ

′1,ρ

′2senθ

′2]

2 =

[(ρ

′1senθ

′1)

2,(ρ′2senθ

′2)

2], ρ′1senθ

′1 > 0;

[(ρ′1senθ

′1)

2,(ρ′1senθ

′1)

2], ρ′2senθ

′2 < 0;

[0,max{|ρ′1senθ′1|, |ρ

′2senθ

′2|}2], 0 ∈ [ρ

′1senθ

′1,ρ

′2senθ

′2],

d1 = min{ρ1cosθ1ρ′1cosθ

′1,ρ1cosθ1ρ

′2cosθ

′2,ρ2cosθ2ρ1cosθ

′1,ρ2cosθ2ρ

′2cosθ

′2}

+ min{ρ1senθ1ρ′1senθ

′1,ρ1senθ1ρ

′2senθ

′2,ρ2senθ2ρ

′1senθ

′1,ρ2senθ2ρ

′2senθ

′2},

d1 = max{ρ1cosθ1ρ′1cosθ

′1,ρ1cosθ1ρ

′2cosθ

′2,ρ2cosθ2ρ1cosθ

′1,ρ2cosθ2ρ

′2cosθ

′2}

+ max{ρ1senθ1ρ′1senθ

′1,ρ1senθ1ρ

′2senθ

′2,ρ2senθ2ρ

′1senθ

′1,ρ2senθ2ρ

′2senθ

′2},

d2 = minρ1senθ1ρ′1cosθ

′1,ρ1senθ1ρ

′2cosθ

′2,ρ2senθ2ρ

′1cosθ

′1,ρ2senθ2ρ

′2cosθ

′2

− max{ρ1cosθ1ρ′1senθ

′1,ρ1cosθ1ρ

′1senθ

′1,ρ2cosθ2ρ

′1senθ

′1,ρ2cosθ2ρ

′2senθ

′2},

48


d2 = maxρ1senθ1ρ′1cosθ

′1,ρ1senθ1ρ

′2cosθ

′2,ρ2senθ2ρ

′1cosθ

′1,ρ2senθ2ρ

′2cosθ

′2

− min{ρ1cosθ1ρ′1senθ

′1,ρ1cosθ1ρ

′1senθ

′1,ρ2cosθ2ρ

′1senθ

′1,ρ2cosθ2ρ

′2senθ

′2},

e1 = min{d1

a+b,

d1

a+b,

d1

a+b,

d1

a+b}, (3.35)

e1 = max{d1

a+b,

d1

a+b,

d1

a+b,

d1

a+b}, (3.36)

e2 = min{d2

a+b,

d2

a+b,

d2

a+b,

d2

a+b} (3.37)

e

e2 = max{d2

a+b,

d2

a+b,

d2

a+b,

d2

a+b}. (3.38)

3.5 Ordem de Kulisch-Miranker e Intervalo de Comple-xos

Em [Alefeld & Herzberger 1983] é definido o diâmetro de um número complexointervalar dado pela função D : R(C)→R que associa a cada número complexo intervalarZ = A + iB o número real D(Z) = w(A) +w(B), sendo w(A) = a− a para A = [a,a].Aqui, é introduzida uma nova definição de amplitude, como alternativa à convencional,que exprime a incerteza existente em ambos os eixos coordenados.

Definição 3.37 (Amplitude Intervalar). Sejam A = [a,a],B = [b,b] ∈ IR, w(A) = a− a,

w(B) = b− b. Define-se a amplitude intervalar complexa pela função W : R(C)→ R2

que associa a cada Z = A+ iB ∈ R(C) o par W (Z) = (w(A),w(B)).

A amplitude de números complexos intervalares é uma ferramenta importante paradecidir qual número complexo intervalar X = A+ iB é a melhor representação de umnúmero x = a+ ib. Além disso, é necessário a presença de uma ordem que possibilite

49


essa comparação. Aqui serão utilizadas a ordem parcial natural no conjunto dos númeroscomplexos e a ordem de Kulisch-Miranker, [Kulisch & Miranker 1981]. Ambas foramutilizadas em [Lyra 2003].

Definição 3.38 (Ordem parcial natural no conjunto dos números complexos). Dados dois

números complexos a = a+ ia e b = b+ ib, tem-se que a≤KM b se, e somente se, a≤ b e

a≤ b.

Definição 3.39 (Ordem de Kulisch-Miranker clássica). Se A= [a,a],B= [b,b]∈ IR, então

A≤KM B se, e somente se, a≤ b e a≤ b.

Proposição 3.4 (Ordem de Kulisch-Miranker para números complexos intervalares). Se-

jam X = A+ iB,Y = C+ iD ∈ R(C). Tem-se que X ≤KM Y se e somente se A ≤KM C e

B≤KM D.

Demonstração: A demonstração pode ser vista em [Lyra 2004].

Utilizando as Definições 3.38, 3.39 e a Proposição 3.4, pode-se reescrever a Definição3.5 como:

Definição 3.40. Sejam A = [a,a], B = [b,b] ∈ IR. Se X = A+ iB ∈ R(C), então X = {z ∈C|a+ ib≤KM z≤KM a+ ib}.

Definição 3.41. Se X = [a,a]+ i[b,b] ∈ R(C), então:

X = [Z,Z] = [a+ ib,a+ ib] = {z ∈ C : a+ ib≤KM z≤KM a+ ib} (3.39)

é um intervalo de números complexos. O conjuntos dos intervalos de números complexos

será denotado por I(C).

Neste caso, X é representado por um intervalo de números complexos. Isto possibilitaa operação de adição através de extremos.

Teorema 3.9. O número complexo intervalar [a,a]+ i[b,b] é exatamente igual ao inter-

valo complexo [a+ ib,a+ ib]. Sendo assim, temos que os conjuntos R(C) e I(C) são

iguais.

Demonstração: Dado X ∈ R(C), segue que X = [a,a]+ i[b,b] e pela Definição 3.40tem-se que X = {z∈C|a+ ib≤KM a+ ib}. Logo, pela Definição 3.41, X ∈ I(C). Por outrolado, se X ∈ I(C), então, pela Definição 3.41, segue que X = {z ∈ C|a+ ib≤KM a+ ib}.Agora pela Definição 3.40, conclui-se que X = [a,a]+ i[b,b]∈ R(C). Logo, R(C) = I(C).

50


Teorema 3.10. Se Xk ∈ R(C), k = 1, . . . ,n, tal que Xk = Ak + iBk = [ak,ak] + i[bk,bk],

entãon

∑k=1

Xk = [n

∑k=1

(ak + ibk),n

∑k=1

(ak + ibk)].

Demonstração: O resultado sai por indução em n. Para n = 2, segue que:

X1 +X2 = ([a1,a1]+ [a2,a2])+ i([b1,b1]+ [b2,b2])

= [a1 +a2,a1 +a2]+ i[b1 +b2,b1 +b2]

= [a1 +a2 + i(b1 +b2),a1 +a2 + i(b1 +b2)]

= [2

∑k=1

(ak + ibk),2

∑k=1

(ak + ibk)].

Suponha o resultado válido para n = k, isto é:

n

∑k=1

Xk = [n

∑k=1

(ak + ibk),n

∑k=1

(ak + ibk)]. (3.40)

Agora, para k = n+1, utilizando a equação (3.40), segue que:

n+1

∑k=1

Xk = Zn+1 +n

∑k=1

Xk

= [an+1,an+1]+ i[bn+1,bn+1]+ [n

∑k=1

(ak + ibk),n

∑k=1

(ak + ibk)]

= [an+1 + ibn+1,an+1 + ibn+1]+ [n

∑k=1

(ak + ibk),n

∑k=1

(ak + ibk)]

= [(an+1 + ibn+1)+n

∑k=1

(ak + ibk),(an+1 + ibn+1 +n

∑k=1

(ak + ibk)]

= [n+1

∑k=1

(ak + ibk),n+1

∑k=1

(ak + ibk)].

Logo,n

∑k=1

Xk = [n

∑k=1

(ak + ibk),n

∑k=1

(ak + ibk)].

Observação 3.9. Para Xk ∈ R(C),

∞

∑n=0

Xk = [∞

∑n=0

(ak + ibk),∞

∑n=0

(ak + ibk)] (3.41)

51


estará definida somente se os somatórios acima convergem.

Observação 3.10. Se Xk ∈ R(C), então, pela propriedade associativa da operação ⊕R,

segue que:

∞

∑n=−∞

Xk =0

∑n=−∞

Xk⊕R

∞

∑n=1

Xk

= [0

∑n=−∞

(ak + ibk),0

∑n=−∞

(ak + ibk)]⊕R [∞

∑n=1

(ak + ibk),∞

∑n=1

(ak + ibk)],

está definida se os somatórios acima convergem.

Os resultados abaixo podem ser vistos em [Trindade 2009] para o caso intervalar real.Aqui estamos extendendo esses resultados para o caso de intervalos complexos.

Corolário 3.3. Sejam C = C1+ iC2 ∈ R(C) uma constante e Xk ∈ R(C), k = 1, . . . ,n,

então:

Cn

∑k=0

Xk ⊆n

∑k=0

CXk. (3.42)

Demonstração: Dados C = C1 + iC2 ∈ R(C) e Xk ∈ R(C), tem-se que Cn

∑k=0

Xk =

C(X1 + X2 + · · · ,Xn) ⊆ CX1 +CX2 + · · ·+CXn =n

∑k=0

CXk. A inclusão acima é devido

a propriedade X⊗R (B⊕R C)⊆ A⊗R +A⊗R, dada no Teorema 3.3.

Corolário 3.4. Se Xk,Yk ∈R(C), k = 1, . . . ,n, tal que Xk =Ak+ iBk e Yk =Xk+ iDk, então:

n

∑k=0{Xk⊕R Yk}=

n

∑k=0

Xk⊕R

n

∑k=0

Yk. (3.43)

52


Demonstração: Se Ak = [ak,ak],Bk = [bk,bk],Ck = [ck,ck],Dk = [dk,dk], então:

n

∑k=0

(Xk⊕R Yk) =n

∑k=0

(Ak + iBk)⊕R (Ck + iDk)

=n

∑k=0

(Ak +Ck)+ i(Bk +Dk)

=n

∑k=0

([ak + ck,ak + ck]+ i[bk +dk,bk +dk])

=n

∑k=0

[ak + ck + i(bk +dk),ak + ck + i(bk +dk)]

=n

∑k=0

[(ak + ibk)+(ck + idk),(ak + ibk)+(ck + idk)]

=n

∑k=0

([ak + ibk,ak + ibk]+ [ck + idk,ck + idk])

=n

∑k=0

[ak + ibk,ak + ibk]⊕R

n

∑k=0

[ck + idk,ck + idk]

=n

∑k=0

Xk⊕R

n

∑k=0

Yk.

3.6 Conclusões

Neste capítulo abordou-se algumas representações intervalares para números comple-xos e foram mostradas também as aritiméticas e as propriedades dessas representações.Em resumo, foi visto que:

(a) IR é o conjunto dos intervalos reais. Seus elementos são do tipo [a,a]. Esta repre-sentação intervalar para números reais foi introduzida por Moore em 1950.

(b) R(C) é o conjunto dos números complexos intervalares, ou retangulares. Os elemen-tos desse conjunto são do tipo X = A+ iB, tal que A,B ∈ IR. Esta representação foiintroduzida por Alefeld em 1968 .

(c) S(C) é o conjuto dos intervalos polares ou setores. Os elementos desse conjunto sãodo tipo Z = {[ρ], [θ]} = {z ∈ C : z = ρeiθ,ρ ∈ [ρ],θ ∈ [θ]}, tal que [ρ] = [ρ,ρ] e[θ] = [θ,θ]. Esta representação intervalar foi introduzida por Candau em 2005.

(d) R(C)p é o conjunto dos números polares intervalares. Os elementos desse conjunto

são do tipo Xp = {(ρ,θ)|ρ =√

a21 +a2

2 e tgθ = a2/a1,∀a1 + ia2 ∈ X = A+ iB},

53


tal que (ρ,θ) representa o número polar ρ(cosθ+ isenθ). Esta representação foiintroduzida por Trindade em 2009.

(e) I(C) é o conjunto dos intervalos de números complexos. Os elementos desse con-junto são do tipo [a+ ib,a+ ib], tal que X = [a,a]+ i[b,b]. Esta representação foidada neste trabalho, tomando como pré-requisito a definição: se X =A+ iB∈R(C),então X = {z ∈ C|a+ ib≤ x≤ a+ ib}, introduzida por Lyra em 2003.

Nos próximos capítulos, dado um número complexo z = a+ ib ∈ C, para expressarsua imprecisão utiliza-se a representação retangular Z = A+ iB ∈ R(C) ou o intervaloZ = [a+ ib,a+ ib] ∈ I(C), devido a contextualização computacional que será feita, emque [a,a], com a,a pertencentes a um sistema de pontos flutuantes, é o menor intervalo querepresenta a e devido a simplicidade das operações aritméticas para essas representações.

Foi demonstrado que o conjunto dos intervalos reais juntamente com a aritmética in-tervalar de Moore, ou outra aritmética correta, não define um corpo. Este resultado foiestendido para o caso de intervalos com extremos ±∞ e para intervalos complexos. Issosignifica que ao se utilizar representações intervalares para sinais, não se terá disponíveltodas as propriedades de corpo que possam ser utilizadas numa teoria de sinais. Por isso,foram apresentadas propriedades da aritmética retangular que são utilizadas em cálculosde PDS. Além disso, foi estabelecida uma relação entre números complexos intervalares(retangulares) e setores, através da função exponencial complexa e feita uma simplifica-ção nas operações da aritmética usada para operar números polares intervalares. Tambémfoi definida uma nova noção de amplitude para números complexos intervalares e intro-duzidos os intervalos de números complexos, com os quais foram mostradas algumaspropriedades de somas.

Esses conceitos e propriedades apresentadas aqui serão utilizadas para estabeleceras abordagens intervalares das principais ferramentas do PDS, como: sinais, sistemas,amostragem, quantização, codificação, transformada Z e transformada de Fourier noscapítulos que seguem.

54

Capítulo 4

Fundamentação Intervalar para Sinaise Sistemas

Introdução

A maioria dos sinais presente nas aplicações de PDS são de natureza contínua e paraprocessá-los é necessário convertê-los em sinais discretos e, posteriormente, em sinaisdigitais. Esse processo é feito computacionalmente utilizando alguma representação nu-mérica. Na maior parte dos casos, utiliza-se a representação de ponto flutuante que é umformato de representação digital de números reais. Mais especificamente, como será vistoabaixo, um número x ∈ R é representado por x = (−1)s×be× (0 ·d1d2 . . .dt), onde s de-termina o sinal do número, b é a base, e o expoente da base e 0 ·d1d2 . . .dt é a mantissa.Esta representação cobre um vasto espaço de números, porém não representa todos osnúmeros reais [Viana 1999].

Desse modo, nos processos computacionais, que são necessários em PDS, quando umnúmero não é representado no sistema de ponto flutuante ele é automaticamente arredon-dado para algum outro número. Como isso é feito em todas as etapas do processamentodos valores numéricos o valor resultante tem uma margem de erro desconhecida.

Para proporcionar ao PDS maior controle dos erros é introduzido aqui os sinais in-tervalares. Para isso, é proposto a representação intervalar de valores reais que não sãorepresentáveis por pontos flutuantes. Se x ∈ R é representado por algum ponto flutuante,então considera-se o intervalo [x,x] para representar esse valor real. Por outro lado, sex ∈ R não é representado por pontos flutuantes, então considera-se o intervalo [x,x] pararepresentar esse valor real, onde x é o maior ponto flutuante menor ou igual a x e x é omenor ponto flutuante maior ou igual a x. Fazendo isso em todas as etapas de um proces-samento em PDS tem-se como resultado o menor intervalo que contém o resultado real.Isso proporciona ao PDS maior precisão e controle de erros nos processamentos.

55

Capítulo 4. Fundamentação Intervalar para Sinais e Sistemas

Para realizar o processo descrito acima, inicia-se abordando a representação intervalarno sistema de ponto flutuante. Em [Moore 1966, 1979] foi introduzida a extensão inter-valar utilizada para generalizar funções reais em termos de intervalos. Também pode servisto em [Santiago, Bedregal & Acióly 2006] um conceito alternativo, chamado represen-tação canônica intervalar, que estabelece a melhor representação intervalar para funçõesreais. Aqui, será apresentada uma forma de representar valores reais e complexos compu-tacionalmente através de intervalos, de tal forma que os intervalos obtidos são os menorespossíveis. Esta representação pode ser utilizada em implementações intervalares em PDS.Para representar funções reais e complexas na forma intervalar é introduzida uma funçãoespecífica. Essa função será utilizada para estender sistemas clássicos a sistemas interva-lares.

Mais especificamente, neste capítulo, apresenta-se a definição de sistema de pontoflutuante, define-se a função R, denominada função arredondamento, que é utilizada paramapear um número x ∈R, não representável em um sistema de pontos flutuantes F , a umintervalo [x,x] ∈ IR, em que x é o maior número menor ou igual a x representável em F ex é o menor número maior ou igual a x representável em F . A partir daí, serão definidossinais intervalares e mostrado como obtê-los a partir de sinais clássicos, utilizando paraisso a função R. Também serão definidos sistemas intervalares e destacadas as principaisclasses, como: causal, estável, invariante no tempo, aditivo, homogêneo e linear. Porfim, será abordada a representação e extensão de sistemas, onde apresenta-se uma funçãoespecífica que estende sistemas clássicos a sistemas intervalares preservando as principaispropriedades.

4.1 Representação Intervalar no Sistema de Ponto Flutu-ante

Definição 4.1. Seja F(b, t,m,M) um sistema de ponto flutuante (Floating-Point System)

que representa um subconjunto dos números reais em que b≥ 2 é a base de representação,

t ≥ 1 é a precisão, m e M são, respectivamente, o menor e o maior expoente. Os elementos

do conjunto F ⊂R são da forma x = (−1)s×be× (0 ·d1d2 . . .dt) onde s é o sinal (0 para

positivo e 1 para negativo), m≤ e≤M, com m < 0, M > 0 e |m| ≈M e 0 ·d1d2 . . .dt é a

mantissa com dígitos di na base b (0≤ di ≤ b−1, ∀i,1≤ i≤ t).

A Figura 4.1 representa o armazenamento do ponto flutuante x = (−1)s× be× (0 ·d1d2 . . .dt) ∈ F em que os dígitos 0 e ponto decimal não são representados. Nesta repre-sentação a mantissa é fracionária (< 1) e para assegurar representação única para cada

56


Figura 4.1: Representação do armazenamento do ponto flutuante.

x ∈ F considera-se d1 6= 0 para x 6= 0.O menor número de ponto flutuante é representado por ε, tal que 1+ ε > 1. Este nú-

mero pode ser aproximado através de um algoritmo ou obtido por comandos específicos,como “eps” no Matlab e “EPSLON” no Fortran90.

Na definição de ponto flutuante a faixa do expoente m ≤ e ≤ M é limitada fazendocom que não seja possível representar todos os números reais no sistema F . Sempre queuma operação gera um número com expoente superior ao expoente máximo, tem-se o erroconhecido por “overflow”. Por outro lado, se a operação gera um número com expoenteinferior ao expoente mínimo tem-se o erro de “underflow”. Na ocorrência desses doiserros, a máquina realiza alguma ação que pode variar de máquina para máquina. Porexemplo, no caso do overflow o cálculo é interrompido ou é retornado um número querepresenta o infinito da máquina. No caso do underflow, o cálculo é interrompido, ou éarredondado para zero, ou ainda pode retornar um número chamado subnormal, que é onúmero formado com a mantissa não normalizada1 e o expoente mínimo. Existe tambéma limitação da mantissa, a qual provoca erros de arredondamentos. Mais detalhes podemser vistos na literatura [Overton 2001].

Definição 4.2 (Representação intervalar [Santiago 2006] ). Dado um número real a ∈ Re um intervalo [x,y], diz-se que [x,y] representa a quando a ∈ [x,y].

Definição 4.3 (Representação intervalar de funções reais [Santiago 2006] ). Uma função

intervalar F : IR→ IR representa a função real f : R→ R quando para todo x ∈ [a,b]

tem-se f (x) ∈ F([a,b]).

Definição 4.4 (Representação intervalar de números complexos). Dado um número com-

plexo z = a+bi ∈ C e um número complexo intervalar Z = A+Bi ∈ R(C), diz-se que Z

representa z se a ∈ A e b ∈ B.

Definição 4.5 (Representação intervalar de funções complexas). Sejam z = a+ bi ∈ C,

Z = A+Bi ∈ R(C), f : C→ C uma função complexa e F : R(C)→ R(C) uma função

intervalar. Diz-se que F representa f quando para todo z = a+ bi ∈ C, tal que a ∈ A e

b ∈ B, tem-se f (z) = c+di com c ∈C e d ∈ D, onde F(Z) =C+Di.

1A mantissa que obedece a expressão 0.d1d2 · · ·dt , com d1 6= 0 diz-se normalizada. Por exemplo, arepresentação binária 0.00001011 com mantissa normalizada é dada por 0.1011×2−4 (IEEE).

57


Definição 4.6 (Função arredondamento). Seja F o conjunto de todos os intervalos cujos

extremos pertencem ao sistema de ponto flutuante F. A função arredondamento é a fun-

ção R : R→ F que associa a cada x ∈ R o menor intervalo X = [x,x] ∈ F que representa

x ∈ R. Isto é, para x ∈ R, R(x) = [x,x], onde x é o maior dos pontos flutuantes menores

ou iguais a x e x é o menor dos pontos flutuantes maiores ou iguais a x.

Definição 4.7. Sejam F o conjunto de todos os intervalos cujos extremos pertencem ao

sistema de ponto flutuante F e R : R→ F a função arredondamento. As funções R :R→ F e R : R→ F são as funções que associam a cada x ∈ R o maior dos pontos

flutuantes menores ou iguais a x e o menor dos pontos flutuantes maiores ou iguais a x,

respectivamente.

Definição 4.8. Chama-se função piso (floor) a função bxc : R→ Z definida por bxc =sup{z ∈ Z|z ≤ x}. Chama-se função teto (ceil) a função dxe : R→ Z definida por dxe=in f{z ∈ Z|z≥ x}.

Observação 4.1. Seja F o conjunto de todos os intervalos cujos extremos pertencem ao

sistema de ponto flutuante F e ε o menor número representável em F. A função arredon-

damento R : R→ F que associa a cada x ∈R o menor intervalo [x,x]∈ IR que representa

x ∈ R, pode ser representada por R(x) = [x,x], onde x = bx/εc ∗ ε é o maior dos pontos

flutuantes menores que x representável em F e x = dx/εe ∗ ε é o menor dos pontos flutu-

antes maiores que x representável em F. As funções bxc e dxe podem ser implementadas

no software Matlab com o uso das funções f loor(x) e ceil(x), respectivamente.

Observação 4.2. No caso de overflow, isto é, se um número x ∈ R é maior ou igual ao o

maior número representável no sistema de ponto flutuante F (suponha que esse número é

r ∈ F), então R(x) = [r,r].

Para estender a função arredondamento para o caso complexo usa-se o fato de C serisomorfo a R×R, isto é, para cada x+ iy ∈ C associa-se o par (x,y) ∈ R×R.

Definição 4.9 (Função arredondamento para o caso complexo). Sejam F o conjunto de

todos os intervalos cujos extremos pertencem ao sistema de ponto flutuante F e R : R→ Fa função arredondamento. Define-se a função arredondamento, para o caso complexo,

RC : R×R→ F×F por RC(x,y) = (X ,Y ), em que X = R(x) e Y = R(y).

Definição 4.10. Sejam F o conjunto de todos os intervalos cujos extremos pertencem ao

sistema de ponto flutuante F e RC : R×R→ F×F a função arredondamento para o caso

complexo. As funções RC : R×R→ F ×F e RC : R×R→ F ×F são as funções que

58


associam a cada z∈C o maior dos pontos flutuantes menores ou iguais a z e o menor dos

pontos flutuantes maiores ou iguais a z, respectivamente, em relação a ordem ≤KM (c.f.

Definição 3.38).

Lema 4.1. Sejam F um sistema de ponto flutuante fixado, x ∈ R e R : R→ F a função

arredondamento. Se R(x) = [x,x], então x− x = ε, onde ε é o menor número positivo

representável no sistema F.

Demonstração: Para x∈R seja R(x) = [x,x], onde x é o maior número menor ou iguala x representável no sistema F e x o menor número maior ou igual a x representável nosistema F . Como ε é o menor número positivo representável em F , tem-se que x = x+ ε

e x≤ x≤ x.

Lema 4.2. Sejam F um sistema de ponto fluante fixado e x,y∈F. Se x< y, então y−x≥ ε.

Demonstração: Seja F um sistema de ponto flutuante fixado cujo ε é o menor númeropositivo representável em F . Para x,y ∈ F , tal que x < y, se não existe nenhum númerodo sistema F entre x e y, então y− x = ε. Se existe algum número do sistema F entre x ey, então y− x > ε. Logo, y− x≥ ε.

Lema 4.3. Sejam F um sistema de ponto flutuante fixado, ε o menor número positivo

representável em F e R : R→ F a função arredondamento. Se R(a) = [a,a], então:

(a) 0≤ a−a≤ ε;

(b) 0≤ a−a≤ ε.

Demonstração: Como R(a) = [a,a], a é o maior número menor ou igual a a represen-tável em F e a é o menor número maior ou igual a a representável em F . Para mostrar(a), é imediato que a− a ≥ 0 e como ε é o menor número positivo representável em F ,tem-se a−a≤ ε, caso contrário, se a−a > ε, então existe b ∈ F tal que a≤ b≤ a e a nãoseria mínimo. Para mostrar (b), a condição a−a ≥ 0 é imediata. Além disso, a−a ≤ ε,caso contrário, se a−a > ε, então existe c ∈ F tal que a≤ c≤ a e a não seria máximo.

Os lemas mostrados acima serão utilizados para demonstrar alguns resultados a res-peito da quantização intervalar, que será definida no próximo capítulo.

59


4.2 Sinais Intervalares

A noção de ambiguidade possui diferentes significados, de acordo com [Mukai-domo 2004 p. 12] eles são classificados em: incompleto, ambiguidade, aleatoriedade,imprecisão e fuzziness. Este trabalho lida com o caso da imprecisão no PDS que geral-mente envolve erros ou ruídos. Na abordagem aqui proposta o valor do sinal, num instanten, é representado por um intervalo. A vantagem disto está no fato de que o próprio inter-valo informa, através da sua amplitude, a qualidade da representação dos números nelecontidos, portanto ao término de um processamento intervalar é possível se detectar aquantidade de imprecisão existente no processamento pela simples análise dos valores desaída.

Em PDS, o problema de imprecisão em dados numéricos não ocorre somente ao fazera conversão de analógico para digital, mas pode ocorrer desde a obtenção da amplitude dosinal através de algum instrumento. Por isso, a extensão de sinais para o caso intervalar,além de ser natural, proporciona ao processamento digital de sinais uma alternativa parauma representação mais confiável da informação.

Dado um sinal de natureza contínua x[n], o resultado da composição R◦x[n] é um sinalintervalar, onde R é a função arredondamento dada na Definição 4.6. Esta composiçãopode ser usada em implementações de algoritmos de processamento digital de sinais pararepresentar imprecisões na representação numérica. Se o sinal x[n] ∈C, então utiliza-se afunção arredondamento para o caso complexo, RC, dada na Definição 4.9. Isso conduz aseguinte definição.

Definição 4.11 (Amostras Intervalares). Seja F o conjunto de todos os intervalos com

extremos pertencentes a um sistema de ponto flutuante F e x : R→ R um sinal contí-

nuo. Denomina-se amostragem intervalar o processo que associa a cada x[n] um in-

tervalo X [n] = [x[n],x[n]], onde x[n] = R(x[n]) e x[n] = R(x[n])2. Se x[n] ∈ F, então

X [n] = [x[n],x[n]].

Para o sinal contínuo no tempo x(t), t ∈ R a amostragem intervalar consiste em as-sociar a cada amostra x[n] um valor intervalar X [n] = [x[n],x[n]] ∈ IR, onde x[n] é omaior número do sistema F menor ou igual a x[n] e x[n] é o menor número do sistemaF maior ou igual a x[n]. Se o valor x[n] da amostra é represetável no sistema F , entãoX [n] = [x[n],x[n]].

Definição 4.12 (Sinal Intervalar Discreto no Tempo). Um sinal intervalar discreto no

2As notações x[n] e x[n] representam o extremo inferior e superior, respectivamente, do valor intervalarX [n].

60


tempo é uma sequência X : Z−→ IR. Usa-se a notação X [n] para representar o valor do

sinal para n ∈ Z.

Definição 4.13 (Sinal Intervalar Complexo Discreto no Tempo). Sejam A[n],B[n] ∈ IR.

Define-se sinal intervalar complexo discreto no tempo por X : Z→ R(C) tal que X [n] =

A[n]+ iB[n] ∈ R(C).

Observação 4.3. Dado um sinal x[n], o sinal resultante da composição R◦x[n] é um sinal

intervalar. Esta composição pode ser utilizada em todas as etapas de implementações

de algoritmos de PDS com o objetivo de codificar imprecisões numéricas no intervalo

[x[n],x[n]].

Exemplo 4.1. Sinais do tipo x(n) = (0.9)n, para n ≥ 0, contínuos no tempo, para serem

processados computacionalmente necessitam primeiramente serem convertidos em va-

lores discretos. Implementando as funções dadas na Definição 4.6 e Observação 4.1

no software Matlab, versão estudante, obtém-se para a precisão de dois dígitos de-

cimais, logo ε = 0.01, as seguintes amostras intervalares para 0 ≤ n ≤ 10: X [0] =[1,1], X [1] = [0.90,0.90], X [2] = [0.81,0.81], X [3] = [0.72,0.73], X [4] = [0.65,0.66],X [5] = [0.59,0.60], X [6] = [0.53,0.54], X [7] = [0.47,0.48], X [8] = [0.43,0.44], X [9] =[0.38,0.39], X [10] = [0.34,0.35]. Por exemplo, para se obter a amostra intervalar X [3],primeiro calcula-se o valor x[3] = 0.729. Como estamos considerando a precisão de dois

dígitos decimais, o extremo inferior de X [3] deve ser o maior número menor ou igual a

0.729 com dois dígitos decimais e o extremo superior de X [3] deve ser o menor número

maior que 0.729 com dois dígitos decimais. Logo, X [3] = [0.72,0.73].

Um sinal discreto clássico pode ser representado por combinação linear de impulsosdeslocados, onde a função impulso unitário definida por:

δ(n) =

{1, se n = 00, caso contrário.

é utilizada para tal. Essa propriedade possibilita a compreensão e análise do comporta-mento do sinal e, a partir dela, pode-se definir a transformada Z de um sinal discreto (verOppenheim (1989) e Proakis & Manolakis (1996)). Esse fato foi estendido em [Trindade2009] para o caso de sinais cujos valores são intervalos de extremos reais e é estendidoabaixo para o caso em que os valores são intervalos de extremos complexos.

Lema 4.4. Todo sinal intervalar complexo X [n] é representado por combinação linear de

impulsos deslocados, isto é X [n] =∞

∑k=−∞

X(k)δ(n− k).

61


Demonstração: Se n = k, então δ(n−k) = 1 e X [n]×δ(n−k) = X [n]×1 = X [n]. Poroutro lado, se n 6= k, então δ(n− k) = 0 e X [n]× δ(n− k) = 0. Logo, pode-se escrever

X [n] = · · ·+X [1]δ(n−1)+X [2]δ(n−2)+ · · ·X [n]δ(n−n)+ · · ·= X [n] =∞

∑k=−∞

X(k)δ(n−

k).

4.3 Sistemas Intervalares

Em PDS os sinais são processados por sistemas, que são operadores que podemmodificá-los ou extrair informação [Oppenheim 1989]. Em outras palavras, um sistemaé uma entidade que processa um conjunto de sinais (entradas) resultando em um outroconjunto de sinais (saídas). Tais sistemas podem ser fisicamente realizáveis ou não. Em[Trindade 2009], encontram-se as primeiras idéias de sistemas intervalares reais, além dealgumas propriedades. Porém, desde aquele trabalho ainda há uma carência de funda-mentação de entidades e propriedades do PDS intervalar. Aqui, será estabelecida umafundamentação para o caso complexo e proposta uma extensão de sistemas clássicos asistemas intervalares, para isso este trabalho estende a noção de representação canônicaintervalar, proposta em [Santiago 2006], para o caso complexo.

Observação 4.4. Um sistema complexo é uma função que mapeia sinais complexos em

sinais complexos, i.e. no caso de sinais complexos é uma função da forma f : [Z→C]→[Z→ C]. Entretanto o mesmo pode ser visto, também, como uma função f : C→ C que

faz o diagrama da Figura 4.2 comutar, i.e. desse ponto de vista ∀n∈Z, f (σ1(n)) =σ2(n).

Definição 4.14. Um sistema intervalar complexo em tempo discreto é uma função F :R(C)→ R(C), ou seja, é um operador que mapeia sequências de intervalos complexos

X [n] em outra sequência de intervalos complexos Y [n]. Isto é, dado um sinal X [n] (cha-

mado de entrada) o sistema retorna um o sinal Y [n] = F(X [n]) (chamado saída).

Dependendo das propriedades do operador F o sistema intervalar complexo pode serclassificado em causal, estável, invariante no tempo e linear, dentre outras propriedades,como sem memória, passivo, sem perdas, etc. As definições abaixo são extensões para ocaso intervalar das definições clássicas vistas em [Diniz, Silva e Neto 2004].

Definição 4.15. Um sistema intervalar complexo F é causal se, quando X [n] =Y [n] para

n < n0, então F(X [n]) = F(Y [n]), para n < n0.

62


Figura 4.2: Sistema complexo.

Definição 4.16. Um sistema intervalar complexo F é estável se, para todo sinal de en-

trada X [n] limitado, isto é, para todo n ∈ Z, |X [n]|C < K1, para algum 0 < K1 < ∞, o

sinal de saída F(X [n]) também é limitado, isto é, para todo n ∈ Z, |F(X [n])|C < K2, para

algum 0 < K2 < ∞.

Definição 4.17. Um sistema intervalar complexo é invariante no tempo se, para qualquer

sinal de entrada X [n] e qualquer inteiro n0, F(X [n−n0]) =Y [n−n0], com Y [n] =F(X [n]).

Definição 4.18. Um sistema intervalar complexo é linear se e somente se F(cX [n]) =

cF(X [n]) e F(X [n]+Y [n]) = F(X [n])+F(Y [n]), para qualquer constante c ∈ R e quais-

quer X [n],Y [n] ∈ R(C).

Observação 4.5. Em particular, se X [n] = [a[n],a[n]]+ i[0,0], as definições acima ainda

são válidas.

Teorema 4.1. Se x : Z→ C é um sinal e f : C→ C um sistema tal que f (x[n]) = y[n],

então o sistema RC ◦ f : C→ F×F definido por RC( f (x[n])) = Y [n] representa f .

Demonstração: A demonstração do fato de f (x[n])∈ RC( f (x[n])), pois RC( f (x[n])) =

[y[n],y[n]], onde y[n]≤ y[n]≤ y[n], para y[n] = f (x[n]).

4.4 Representação e Extensão de Sistemas

A motivação inicial da matemática intervalar é a de trabalhar com dados intervala-res que representam dados numéricos com imprecisão. É muito importante que os dados

63


intervalares usados sejam corretos, no sentido de que cada intervalo contenha o númeroreal que ele representa, (ver [Kolev 1993,2004], [Moore 1966, 1979] e [Petkovic 1998]).

Em [Santiago 2006], os autores definem a representação canônica intervalar (CIR)de funções reais, da seguinte forma: se f : R→ R é uma função que não possui as-síntotas verticais (ou seja, não existe a ∈ R tal que lim

x→a±f (x) = ±∞), então sua repre-

sentação canônica intervalar é definida como sendo a função CIR( f ) : IR→ IR tal queCIR( f )([a,b]) = [min f ([a,b]),max f ([a,b])]. No mesmo artigo, é mostrado que se f écontínua em um intervalo [a,b], então CIR( f )([a,b]) = f ([a,b]), em que f ([a,b]) repre-senta a imagem do conjunto [a,b] pela função f e que a função CIR( f ) é a melhor re-presentação intervalar para funções reais, no sentido de que qualquer outra representaçãointervalar F para a função f satisfaz CIR( f )([a,b])⊆ F([a,b]). Aqui, esses conceitos se-rão estendidos para o caso complexo, a fim de encontrar a melhor representação intervalarpara funções complexas. Para isso serão utilizadas as Definições 4.2, 4.3, 4.4 e 4.5.

Seja x = a+ ib ∈ C. Denota-se a parte real e imaginária do número complexo x porRe(x) = a e Im(x) = b, respectivamente. Analogamente, para X = A+ iB∈ R(C), denota-se a parte real e imaginária do número complexo intervalar X por Re(X) =A e Im(X) =B,respectivamente.

Lema 4.5. Seja f : C→ C uma função complexa limitada em todo retângulo do plano

complexo, isto é, se R é um retângulo no plano complexo, então existe 0 < K < ∞ tal que

| f (z)|=√

Re( f (z))2 + Im( f (z))2 < K, para todo z ∈ R. A função intervalar f : R(C)→R(C) definida por f (A+ iB) = [u,u]+ i[v,v], onde u = min{Re◦ f (a+ ib)|a∈ A e b∈ B},u = max{Re ◦ f (a+ ib)|a ∈ A e b ∈ B}, v = min{Im ◦ f (a+ ib)|a ∈ A e b ∈ B} e v =

max{Im◦ f (a+ ib)|a ∈ A e b ∈ B} é uma representação intervalar de f .

Demonstração: Como f é limitada em todo retângulo do plano complexo, temos quea função f está bem definida. O fato de que f representa f é imediato.

Definição 4.19 (Representação Canônica Intervalar Complexa). Chama-se a função f ,

dada na Proposição 4.5, de representação canônica intervalar complexa (CIR) de f :C→ C.

Teorema 4.2. Se f : C→C é uma função complexa limitada em todo retângulo do plano

complexo, então para cada A+ iB ∈ R(C), f (A+ iB) é o menor retângulo que contém

f (z), para todo z = a+ ib, com a ∈ A e b ∈ B.

64


Demonstração: Seja A+ iB ∈ R(C) e R = {z ∈ C|z = c+ id,c≤ c≤ c e d ≤ d ≤ d},tal que f (z) ∈ R para todo z = a+ ib, com a ∈ A e b ∈ B. Mostraremos que f (A+ iB)

também está em R. Para todo z = x+ iy ∈ C defina f (z) = u(z)+ iv(z), onde u e v sãofunções de C em R. Como f é limitada em todo retângulo do plano complexo, as funçõesu e v também são e, portanto, assumem máximo e mínimo, em particular, em A+ iB ∈R(C). Defina u = min{Re◦ f (a+ ib)|a∈ A,b∈ B}, u = max{Re◦ f (a+ ib)|a∈ A,b∈ B},v = min{Im ◦ f (a+ ib)|a ∈ A,b ∈ B} e v = max{Im ◦ f (a+ ib)|a ∈ A,b ∈ B}. Assim,para todo x,y tal que u ≤ x ≤ u e v ≤ y ≤ v, segue que x+ iy ∈ R e, consequentemente,[u,u]+ i[v,v]⊂ R. Logo, f (A+ iB)⊂ R.

Como visto na Observação 4.4 um sistema complexo pode ser visto como uma funçãof : C→ C. Neste trabalho a função f : C→ C do diagrama da Figura 4.2 será estendidapara as sua respectiva representação canônica intervalar f : I(C)→ I(C) - c.f. Figura 4.3,em que σ1 : Z→ C e σ2 : Z→ C representam sinais pontuais.

Figura 4.3: Sistema complexo.

A seguir, mostra-se que a representação intervalar f de um sistema f preserva as pro-priedades de causalidade, estabilidade, invariância no tempo, aditividade, homogeneidadee linearidade.

Proposição 4.1. Se y[n] = f (x[n]) é um sistema causal, então Y [n] = f (X [n]) é um sistema

intervalar causal.

Demonstração:

65


Sejam X1[n] = A[n]+ iB[n],X2[n] = C[n]+ iD[n] ∈ R(C), tais que X1[n] = X2[n], paran≤ n0. Isto é, A[n] =C[n] e B[n] = D[n], para n≤ n0.

Pelo Teorema 4.5, define-se f (X1[n]) = [u[n],u[n]]+ i[v[n],v[n]], onde:

u[n] = min{Re◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]};u[n] = max{Re◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]};v[n] = min{Im◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]};v[n] = max{Im◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}.

Por outro lado, f (X2[n]) = [u′[n],u′[n]]+ i[v′[n],v′[n]], onde:

u′[n] = min{Re◦ f (c+ id)|c ∈C[n],d ∈ D[n]};u′[n] = max{Re◦ f (c+ id)|c ∈C[n],d ∈ D[n]};v′[n] = min{Im◦ f (c+ id)|c ∈C[n],d ∈ D[n]};v′[n] = max{Im◦ f (c+ id)|c ∈C[n],d ∈ D[n]}.

Como A[n] = C[n] e B[n] = D[n], para n ≤ n0, segue que u[n] = u′[n], u[n] = u′[n],v[n] = v′[n] e v[n] = v′[n], para n≤ n0. Logo, f (X1[n]) = f (X2[n]), para n≤ n0.

Proposição 4.2. Se y[n] = f (x[n]) é um sistema estável, então Y [n] = f (X [n]) é um sistema

complexo intervalar estável.

Demonstração:Se a[n] + ib[n] é limitado e f (a[n] + ib[n]) = c[n] + id[n], então, para todo n ∈ Z,

|c[n]+ id[n]| ≤ K1, para algum 0 < K1 < ∞, pois f é estável.Seja X [n] =A[n]+ iB[n] limitado, isto é, se A[n] = [a[n],a[n]] e B[n] = [b[n],b[n]], então

existem 0 < K2,K3 < ∞ tais que max{|a[n]|, |a[n]|} ≤ K2 e max{|b[n]|, |b[n]|} ≤ K3, pois,pela Definição 3.17, |[a[n],a[n]]+ i[b[n],b[n]]|C =max{|a[n]|, |a[n]|}+max{|b[n]|, |b[n]|}.

Como X [n] =A[n]+iB[n] é limitado e f é estável, segue que f (A[n]+iB[n])= [u[n],u[n]]

+i[v[n],v[n]], definido para

u[n] = min{Re◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]},u[n] = max{Re◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]},v[n] = min{Im◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]},e v[n] = max{Im◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

é limitado.

66


Proposição 4.3. Se y[n] = f (x[n]) é um sistema invariante no tempo, então Y [n] = f (X [n])

é um sistema complexo intervalar invariante no tempo.

Demonstração:Se X [n−n0] = A[n−n0]+ iB[n−n0], então

f (X [n−n0]) = [u[n−no],u[n−n0]]+ i[v[n−n0],v[n−n0]],

para

u[n−n0] = min{Re◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n−n0] e b ∈ B[n−n0]},u[n−n0] = max{Re◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n−n0] e b ∈ B[n−n0]},v[n−n0] = min{Im◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n−n0] e b ∈ B[n−n0]},e v[n−n0] = max{Im◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n−n0] e b ∈ B[n−n0]}.

Como f (x[n−n0]) = y[n−n0], pois f é invariante no tempo, conclui-se que f (X [n−n0]) terá uma resposta com o deslocamento n−n0, ou seja, é invariante no tempo.

Proposição 4.4. Se y[n] = f (x[n]) é um sistema complexo aditivo, então Y [n] = f (X [n])

é um sistema complexo intervalar aditivo.

Demonstração:Sejam X1[n] = A[n] + iB[n],X2[n] = C[n] + iD[n] ∈ R(C). Se X [n] = X1[n] + X2[n],

então, pelo Teorema 4.5, define-se:

f (X [n]) = [u[n],u[n]]+ i[v[n],v[n]] (4.1)

onde

u[n] = min{Re◦ f ((a+ ib)+(c+ id))|a ∈ A[n],b ∈ B[n],c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= min{Re◦ ( f (a+ ib)+ f (c+ id))|a ∈ A[n],b ∈ B[n],c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= min{Re◦ f (a+ ib)+Re◦ f (c+ id))|a ∈ A[n],b ∈ B[n],c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= min{Re◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

+ min{Re◦ f (c+ id)|c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= u′[n]+u′′[n] (4.2)

67


u[n] = max{Re◦ f ((a+ ib)+(c+ id))|a ∈ A[n],b ∈ B[n],c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= max{Re◦ ( f (a+ ib)+ f (c+ id))|a ∈ A[n],b ∈ B[n],c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= max{Re◦ f (a+ ib)+Re◦ f (c+ id))|a ∈ A[n],b ∈ B[n],c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= max{Re◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

+ max{Re◦ f (c+ id)|c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= u′[n]+u′′[n] (4.3)

v[n] = min{Im◦ f ((a+ ib)+(c+ id))|a ∈ A[n],b ∈ B[n],c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= min{Im◦ ( f (a+ ib)+ f (c+ id))|a ∈ A[n],b ∈ B[n],c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= min{Im◦ f (a+ ib)+Re◦ f (c+ id))|a ∈ A[n],b ∈ B[n],c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= min{Im◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

+ min{Im◦ f (c+ id)|c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= v′[n]+ v′′[n] (4.4)

e

v[n] = max{Im◦ f ((a+ ib)+(c+ id))|a ∈ A[n],b ∈ B[n],c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= max{Im◦ ( f (a+ ib)+ f (c+ id))|a ∈ A[n],b ∈ B[n],c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= max{Im◦ f (a+ ib)+Re◦ f (c+ id))|a ∈ A[n],b ∈ B[n],c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= max{Im◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

+ max{Im◦ f (c+ id)|c ∈C[n],d ∈ D[n]}

= v′[n]+ v′′[n]. (4.5)

Substituindo (4.2), (4.3), (4.4) e (4.5) em (4.1), segue que:

f (X)[n] = [u[n],u[n]]+ i[v[n],v[n]]

= [u′[n]+u′′[n],u′[n]+u′′[n]]+ i[v′[n]+ v′′[n],v′[n]+ v′′[n]]

= ([u′[n],u′[n]]+ i[v′[n],v′[n]])+([u′′[n],u′′[n]]+ i[v′′[n],v′′[n]])

= f (X1[n])+ f (X2[n]).

68


Proposição 4.5. Se y[n] = f (x[n]) é um sistema complexo homogêneo, então Y [n] =

f (X [n]) é um sistema complexo intervalar homogêneo.

Demonstração:Se X [n] = A[n]+ iB[n] ∈ R(C) e c ∈ R, então, pelo Teorema 4.5, define-se:

f (cX [n]) = [u[n],u[n]]+ i[v[n],v[n]] (4.6)

onde

u[n] = min{Re◦ f (c(a+ ib))|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= min{Re◦ c f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= min{cRe◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= cmin{Re◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= cu′[n] (4.7)

u[n] = max{Re◦ f (c(a+ ib))|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= max{Re◦ c f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= max{cRe◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= cmax{Re◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= cu′[n] (4.8)

u[n] = min{Im◦ f (c(a+ ib))|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= min{Im◦ c f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= min{cIm◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= cmin{Im◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= cu′[n] (4.9)

69


u[n] = max{Im◦ f (c(a+ ib))|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= max{Im◦ c f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= max{cIm◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= cmax{Im◦ f (a+ ib)|a ∈ A[n],b ∈ B[n]}

= cu′[n] (4.10)

Substituindo (4.7), (4.8), (4.9) e (4.10) em (4.6), segue que:

f (cX [n]) = [u[n],u[n]]+ i[v[n],v[n]]

= [cu′[n],cu′[n]]+ i[cv′[n],cv′[n]]

= c[u′[n],u′[n]]+ i[v′[n],v′[n]]

= c f (X [n]).

Proposição 4.6. Se y[n] = f (x[n]) é um sistema complexo linear, então Y [n] = f (X [n])

um sistema complexo intervalar linear.

Demonstração:Como um sistema é linear se for ao mesmo tempo homogêneo e aditivo, a demonstra-

ção segue imediatamente das Proposições 4.4 e 4.5.

4.5 Considerações Finais

Neste capítulo a matemática intervalar e a função arredondamento R foram utilizadaspara representar um número x ∈ R através do intervalo [x,x], de tal forma que x,x ∈ F eF é um sistema de ponto flutuante. Neste caso x é o maior dos pontos flutuantes menoresou iguais a x e x é o menor dos pontos flutuantes maiores ou iguais a x. Essas idéias fo-ram utilizadas para se definir sinais intervalares obtidos a partir de sinais clássicos e cujosextremos são valores de um sistema de ponto flutuante. Foi visto que em PDS existe anecessidade de uma ferramenta matemática para armazenar os erros computacionais queaparecem nas implementações e, até mesmo, na obtenção da amplitude dos sinais por umcerto instrumento. A representação dos dados na forma de intervalos tem se mostrado

70


muito eficiente (c.f. [Cruz, Santiago & Dória Neto 2008], [Edmonson et al 2006], [Lyra,Bedregal, Bedregal & Dória Neto 2004], [Petkovic & Petkovic 1998], [Santana, Santana,Guerreiro, Dória Neto & Santiago 2011], [Trindade, Bedregal & Dória Neto 2009], etc.),uma vez que é possível, com o uso da função arredondamento R controlar os erros com-putacionais durante todo o processamento. Isto é, os valores dos sinais x[n] que não sãorepresentados em um sistema F são substituídos pelos intervalos [x[n],x[n]], onde x[n] éo maior valor representado em F menor que x[n] e x[n] é o menor valor representado emF maior que x[n]. Em todas as etapas de uma implementação esse procedimento podeser realizado. Com isso, o resultado final contém a amplitude real, além da imprecisão doerro existente. Assim, a definição e estudo das propriedades de sinais e sistemas intervala-res proporciona ao PDS uma alternativa ao controle de erros e resultados mais confiáveisnas implementações. Por isso, além desses conceitos também foram vistos os conceitosde representação intervalar e as principais classes de sistemas intervalares, como os siste-mas causais, invariantes no tempo, estáveis, aditivos, homogêneos e lineares. Por fim, foiapresentada uma função específica que estende sistemas clássicos a sistemas intervalarespreservando suas principais propriedades; a saber f (c.f. Definição 6.7).

Os conceitos e propriedades introduzidos neste capítulo serão utilizados no restante dotrabalho. Por exemplo, o uso de sinais intervalares motiva um dos principais conceitos in-troduzidos neste trabalho que é o de quantização intervalar, que será vista detalhadamenteno próximo capítulo. Além disso, o uso de sinais torna possível a abordagem intervalarda transformada Z e transformada de Fourier, que serão vistas nos capítulos posteriores.Em síntese, a definição de sinais intervalares como foi introduzida aqui, não só possibilitaas implementações dos mesmos, mas abre espaço para o desenvolvimento de abordagensintervalares de várias ferramentas matemáticas utilizadas em PDS. Aqui iremos nos res-tringir aos sistemas, à amostragem, à quantização, à codificação, à transformada Z e àtransformada de Fourier.

71

Capítulo 5

Princípios de Quantização Intervalar

Introdução

Problemas de imprecisão em dados numéricos em PDS podem ocorrer tanto nos as-pectos de hardware quanto nos software. No processo de conversão analógica para digitala etapa de quantização incorpora erros ao processo. A matemática intervalar é uma alter-nativa para lidar com essas imprecisões durante o processo de conversão analógico digital;nesse caso o processo passa a chamar-se quantização intervalar.

Algoritmos baseados em intervalos encontram aplicações em PDS, controle, redesneurais, dentre outras. Em PDS, geralmente se tem a necessidade de encontrar soluçõesótimas para problemas, por exemplo minimizar uma função custo. Como foi destacadoem [Edmonson, Ocloo & Gianchandani 2006], as abordagens intervalares de algoritmossão atraentes para esta área, pois eles tem a capacidade de garantir convergências e sãoprojetados de tal forma que os erros de arredondamentos e truncamentos, que ocorremnaturalmente devido a natureza discreta da computação, não tornem o algoritmo em queestão instável. Isto é, os intervalos fornecem um meio de controlar os erros e proporcio-nam resultados numéricos precisos e confiáveis.

Em [Edmonson, Ocloo & Gianchandani 2006] os autores desenvolvem uma unidadelógica de aritmética intervalar (I-ALU) especialmente projetada para implementar dadosintervalares. A I-ALU pode ser usada como centro de qualquer processador de sinaldigital concebido e otimizado para funcionar em algoritmos que apresentam operaçõesrepetitivas de adição e multiplicação. Além disso, esta unidade realiza operações de adi-ção, subtração, multiplicação, união e interseção e apenas divisão por potências de 2.Para realizar operações entre os intervalos [xL,xU ] e [yL,yU ] o dado de entrada da I-ALU é(xL,xU ,yL,yU)

1 e a resposta fornecida são os valores zL e zU que representam ao intervalo[zL,zU ]. Neste trabalho, chama-se a atenção para a freqüente ocorrêcia de erros de arre-

1Usando a notação de [Edmonson, Ocloo & Gianchandani 2006].

72

Capítulo 5. Princípios de Quantização Intervalar

dondamentos na computação binária, uma vez que os sistemas de ponto futuante e pontofixo são incapazes de representar todos os números reais.

O trabalho [Edmonson, Ocloo & Gianchandani 2006] mostra a funcionalidade da arit-mética intervalar em aplicações em PDS e a importância de se fazer uma fundamentaçãoadequada para os conceitos que envolvem essas aplicações. Nota-se, que trabalhar comdados intervalares não é uma simples mudança de variáveis, uma vez que as operações daaritmética intervalar não se comportam como no caso clássico.

Um processo semelhante pode ser visto em [Campos 2002], onde se desenvolve duasbibliotecas implementáveis no Maple: Mat-Int, que realizam operações básicas da arit-mética intervalar, incluindo álgebra matricial intervalar, e Prob-Int, que implementa pro-babilidades intervalares de variáveis aleatórias discretas.

Neste capítulo, serão desenvolvidas as versões intervalares de conceitos que são deextrema importância em PDS. Mais especificamente, além da amostragem intervalar, de-finida no capítulo anterior, define-se aqui a quantização e a codificação intervalares quesão procedimentos extremamente necessários em PDS. No processo de amostragem, osvalores x[n] que não são representáveis no sistema numérico de ponto flutuante são substi-tuídos por intervalos X [n] = [x[n],x[n]] onde x[n] é obtido arredondando x[n] para o maiordos números representáveis menor ou igual a x[n] e x[n] é obtido arredondando x[n] parao menor dos números representáveis maior ou igual a x[n]. O processo de quantizaçãointervalar é feito fixando-se uma quantidade pré-definida de níveis de quantização inter-valares e a partir daí as amostras intervalares são associadas a um deles obedecendo umamétrica apropriada. Por fim, ao sinal intervalar quantizado associa-se um código binário,possibilitando o processamento digital do sinal intervalar.

A teoria desenvolvida aqui é muito importante para se fundamentar o processamentodigital de sinais intervalares pois define os conceitos preliminares que são necessários emPDS, além de apresentar uma espécie de algoritmo do comportamento dos dados interva-lares durante o processamento. Como foi visto no estado da arte, existem trabalhos sendodesenvolvidos em PDS utilizando dados intervalares, mas que não apresentam um estudodas ferramentas intervalares necessárias. Os resultados mostrados aqui fornecem um su-porte necessário para as ferramentas intervalares utilizadas em PDS e foram obtidos combase sólida nos capítulos anteriores. Aqui serão trabalhados os conceitos de quantizaçãopara o caso linear em que os níveis de quantização estão uniformemente distribuídos.

73


5.1 Quantização Intervalar

Muitos sinais de interesse prático são encontrados na forma analógica. Para extrairas informações desses sinais é necessário convertê-los para o formato digital, isto é, asequência x : R→ R é convertida em x : Z→ R e, posteriormente em x : Z→ A, onde A

é uma quantidade finita de valores. Este processo é realizado pelo conversor analógico-digital, cujas etapas são descritas abaixo:

(a) Amostragem: Seja x : R→ R um sinal contínuo que associa a todo t ∈ R um valorx(t) ∈ R. A amostragem do sinal x com período T é a função xT : Z→ R definidapor xT [n] = x(nT ). Observe que aqui é feita a discretização do tempo do sinal.Porém, a variável continua assumindo qualquer valor real.

(b) Quantização: Essa etapa consiste em mapear os valores contínuos de xT [n] para umasequência xq[n] de valores discretos pré-definidos, dando origem ao sinal digital.Aqui é feita a discretização da variável. Os possíveis valores para xq[n] são cha-mados níveis de quantização. Assumindo a representação binária, para L níveis dequantização, L ≥ 1, o número de bits necessário é o menor inteiro maior ou iguala log2L, pois com b bits tem-se 2b números binários distintos, então 2b deve sermaior ou igual a L e, consequentemente, b deve ser maior ou igual a log2L.

(c) Codificação: Por fim, a cada valor discreto xq[n] associa-se um conjunto de símbolosbinários com o objetivo de fazer o processamento digital do sinal.

As idéias introduzidas nos trabalhos [Campos 2002] e [Edmonson, Gupte, Ocloo,Gianchandani & Alexander 2006] sugerem o uso de dados intervalares obtidos compu-tacionalmente por arredondamentos direcionados por falta e por excesso com o uso defunções específicas. Isto é, computacionalmente é fixado um sistema de numeração deponto flutuante, digamos F . Com isso, na representação de dados numéricos, se algumnúmero x ∈ R não pertencer a F ele é substituído pelo menor intervalo que contém x ecujos extremos pertencem a F . Se os extremos do intervalo resultante de uma operaçãoentre dois intervalos não forem representáveis em F , então a extremidade superior é arre-dondada por excesso e a inferior por falta. No processo de amostragem e quantização desinais é comum que se faça arredondamentos e trucamentos dos dados numéricos.

A utilização da função arredondamento R (c.f. Definições 4.6 e 4.9) para proporcionarao processo de amostragem um controle de erros com a utilização de intervalos, como naDefinição 4.11, é algo natural.

Para o sinal contínuo x(t) ∈ R a amostragem intervalar consiste em associar a cadavalor do sinal amostrado x[n] um intervalo X [n] = [x[n],x[n]] ∈ IR, onde x[n] é o maior

74


dos números do sistema F menores ou iguais a x[n] e x[n] é o menor dos números dosistema F maiores ou iguais a x[n]. Se o valor amostrado x[n] for representável no sistemaF , então naturalmente se terá X [n] = [x[n],x[n]].

Seja L ≥ 1 o número de níveis de quantização. Dado o sinal limitado x(n), sejamxmin e xmax os valores mínimo e máximo que x(n) pode assumir. Define-se passo dequantização, como sendo a distância entre dois níveis de quantização sucessivos, atravésda seguinte relação:

∆ =xmax− xmin

L−1.

Definição 5.1. Sejam x(t) um sinal contínuo, cujos valores mínimo e máximo são xmin

e xmax, L o número de níveis de quantização e ∆ o passo de quantização. Os níveis de

quantização pontuais são definidos por: n1 = xmin, n2 = xmin +∆, n3 = xmin + 2∆, . . .,

n j = xmin +( j− 1)∆, . . ., nL = xmin +(L− 1)∆ = xmax. O conjunto dos níveis n j será

denotado por N1.

Na construção de níveis de quantização intervalares é necessário que o sinal satisfaçaa seguinte propriedade.

Observação 5.1. Um sinal intervalar X [n] só intercepta um único nível de quantização

intervalar.

Observação 5.2. A escolha dos extremos de cada nível de quantização intervalares como

na definição abaixo será necessária para que um sinal intervalar X [n], de amplitude ε,

intercepte um único nível de quantização.

Observe que dado um sistema de numeração de ponto flutuante F e ε o menor númeropositivo representável neste sistema, x : R→ R um sinal contínuo. Sejam xmin e xmax

o menor e o maior valor assumido pelo sinal x, L o número de níveis de quantização e∆ =

xmax− xmin

L−1o passo de quantização.

Tomando R : R→ IR a função arredondamento real se R(xmin) = [n′1,n′2] e R(∆) =

[d1,d2], obtém-se e os níveis de quantização intervalares da seguinte maneira:N1 = [n′1,n

′1 + ε];

N2 = [n′1 +d1− ε,n′1 +d2 + ε];N3 = [n′1 +2d1− ε,n′1 +2d2 + ε];...N j = [n′1 +( j−1)d1− ε,n′1 +( j−1)d2 + ε];...NL = [n′1 +(L−1)d1− ε,n′1 +(L−1)d2 + ε].

75


Definição 5.2 (Níveis de quantização intervalares). Sejam F um sistema de numeração

fixado, ε o menor número positivo representável no sistema F, L o número de níveis de

quantização para o sinal x : R→ R, xmin o menor valor que o sinal x pode assumir e R :R→ IR a função arredondamentoreal. Para R(xmin)= [n′1,n

′2] e R(∆)= [d1,d2], define-se

os níveis de quantização intervalares por N1 = [n′1,n′1+ε], N2 = [n′1+d1−ε,n′1+d2+ε],

N3 = [n′1+2d1−ε,n′1+2d2+ε], . . ., N j = [n′1+( j−1)d1−ε,n′1+( j−1)d2+ε], . . ., NL =

[n′1+(L−1)d1−ε,n′1+(L−1)d2+ε]. O conjunto dos níveis de quantização intervalares

será representado por N2.

Observação 5.3. Todos os extremos dos intervalos do conjunto N2 são representáveis no

sistema F.

Lema 5.1. A amplitude dos intervalos N j ∈ N2 é ε( j+1), j = 1, . . . ,L.

Demonstração: Para N j = [n′1 +( j−1)d1− ε,n′1 +( j−1)d2 + ε] ∈ N2 a amplitude édada por ω(N j) = (n′1+( j−1)d2+ε)−(n′1+( j−1)d1−ε) = jd2−d2+ε− jd1+d1+ε.Como R(∆) = [d1,d2], tem-se que d2 = d1 + ε. Logo, ω(N j) = jε+ ε = ε( j + 1), paraj = 1, . . . ,L.

Lema 5.2. Seja N2 o conjunto dos níveis de quantização intervalares. Dados dois níveis

de quantização intervalares consecutivos N j = [N j,N j] e N j+1 = [N j+1,N j+1], tem-se:

(a) N j−N j = ε( j+1);(b) N j+1−N j+1 = ε( j+2);(c) N j+1−N j = d1− ε( j+1);(d) N j+1−N j = d2;

(e) N j+1−N j = ε( j+2)+d1;

(f) N j+1−N j = d1.

Demonstração: A demonstração segue imediatamente da Definição 5.2.

Lema 5.3. Seja N2 o conjunto dos níveis de quantização intervalares e d a distância de

Moore dada na Definição 3.12. Dados dois níveis de quantização intervalares consecuti-

vos N j = [N j,N j] e N j+1 = [N j+1,N j+1] e X = [x,x] ∈ IR, tem-se:

(i) Se d(N j,X)≤ d(N j+1,X), então x≤N j +N j+1

2+

ε( j+1)2

e x≤N j +N j+1

2− ε j

2;

76


(ii) Se d(N j+1,X)≤ d(N j,X), então x≥N j +N j+1

2+

ε( j+1)2

e x≥N j +N j+1

2− ε j

2.

Demonstração: Suponha que N j < N j ≤ x ≤ x ≤ N j+1 < N j+1. Logo dM(N j,X) =

max{|N j−x|,N j−x}= d(N j,x) = x−N j e dM(N j+1,X) = max{|N j+1,x|, |N j+1−x|}=d(N j+1,x) = N j+1− x. Se d(N j,X) ≤ d(N j+1,X), então x−N j ≤ N j+1− x⇒ x+ x ≤N j+1 +N j.

Para x = x+ ε e N j+1 = N j+1 + ε( j+2), tem-se que:

x+ x+ ε≤ N j+1 + ε( j+2)+N j

⇒ x≤N j +N j+1

2+

ε( j+1)2

.

Para x = x− ε e N j = N j− ε( j+1), segue que:

x− ε+ x≤ N j+1 +N j− ε( j+1)

⇒ x≤N j +N j+1

2− ε j

2.

Por outro lado, se d(N j+1,X)≤ d(N j,X), então N j+1−x≤ x−N j⇒ x+x≥ N j +N j+1.

Para x = x+ ε e N j+1 = N j+1 + ε( j+2), segue que:

2x≥ N j +N j+1 + ε( j+1)

⇒ x≥N j +N j+1

2+

ε( j+1)2

.

Para x = x− ε e N j = N j− ε( j+1), tem-se:

2x≥ N j +N j+1− ε j

⇒ x≥N j +N j+1

2− ε j

2.

Suponha que N j ≤ x ≤ N j ≤ x ≤ N j+1 ≤ N j+1. Neste caso, dM(N j,X) ≤ dM(N j+1,X).Sejam d(N j,N j)= ε( j+1), d(x,x)= ε, d(N j,x)= k1, d(x,N j+1)= k2 e d(N j+1,N j+1)=

ε( j+2). Assim, dM(N j,X)=max{|N j−x|, |N j−x|}= d(N j,x)= x−N j e dM(N j+1,X)=

max{|N j+1− x|, |N j+1− x|}= N j+1− x.Como dM(N j,X)≤ dM(N j+1,X), segue que x−N j ≤N j+1−x⇒ x+x≤N j+1+N j. Para

77


x = x+ ε e N j+1 = N j+1 + ε( j+2), tem-se que:

x+ x+ ε≤ N j+1 + ε j+2ε+N j

⇒ 2x≤ N j+1 +N j + ε( j+1)

⇒ x≤N j+1 +N j

2+

ε( j+1)2

.

Para x = x− ε e N j = N j− ε( j+1), segue que:

x− ε+ x≤ N j+1 +N jε j− ε

⇒ 2x≤ N j +N j+1− ε j

⇒ x≤N j +N j+1

2− ε j

2.

Finalmente, suponha que N j ≤ N j ≤ x ≤ N j+1 ≤ x ≤ N j+1. Neste caso, dM(N j+1,X) ≤dM(N j,X). Sejam d(N,N j) = ε( j + 1), d(N j,x) = k1, d(x,x) = ε, d(N j+1,x) = k2 ed(x,N j+1)= ε( j+2). Assim, dM(N j,X)=max{|N j−x|, |N j−x|}= x−N j e dM(N j+1,X)=

max{|N j+1− x|, |N j+1− x|}= N j+2− x.Como dM(N j+1,X)≤ dM(N j,X), segue que:

N j+1− x≤ x−N j

⇒ x+ x≥ N j +N j+1.

Para x = x+ ε e N j+1 = N j+1 + ε( j+2), segue que:

x+ x+ ε≥ N j +N j+1 + ε( j+2)

⇒ x≥N j +N j+1

2+

ε( j+1)2

.

Para x = x− ε e N j = N j− ε( j+1), obtem-se:

x− ε+ x≥ N j− ε( j+1)+N j+1

⇒ x≥N j +N j+1

2− ε j

2.

O resultados do Lema 5.3 será usado para demonstrar alguns resultados que serãovistos nessa seção.

78


Teorema 5.1. Os níveis de quantização intervalares N j ∈ N2 representam2 os níveis de

quantização pontuais n j ∈ N1.

Demonstração: Sejam x : R→ IR um sinal contínuo, ∆ o passo de quantização pon-tual, xmin = n1 o valor mínimo que o sinal x pode assumir, R :R→ IR a função arredonda-mentoreal. Se R(∆) = [d1,d2] e R(xmin) = [n′1,n

′2], então, pelo Lema 4.3, 0≤ d2−∆≤ ε,

d1 − ∆ ≤ 0 e 0 ≤ n1 − n′1 ≤ ε. Para que N j representar n j deve-se ter n j ∈ N j, paraj = 1, . . . ,L.

É trivial que n1 ∈ N1. Suponha por contradição que n1 /∈ N1. Se n1 > n′1 + ε, entãon1−n′1 > ε, contradizendo o Lema 4.3.

Para mostrar que n2 ∈ N2, deve-se ter n1 + ε ∈ [n′1 +d1− ε,n′1 +d2 + ε]. Suponha quen1+ε > n′1+d2+ε, logo n1−n′1 > d2−∆+ε > ε, pois d2−∆≥ 0, contradizendo o Lema4.3. Por outro lado, suponha que n1 +∆ < n′1 + d1− ε, logo n1− n′1 < d1−∆− ε < −ε,pois d1−∆≤ 0, contradizendo o Lema 4.3.

Generalizando, para N j representar n j, deve-se ter n1 +( j− 1)∆ ∈ [n′1 +( j+ 1)d1−ε,n′1+( j−1)d2+ε]. Suponha que n1+( j−1)∆ > n′1+( j−1)d2+ε⇒ n1−n′1 > j(d2−∆)+ (∆− d2)+ ε⇒ n1− n′1 > (d2−∆)( j− 1)+ ε. Pelo Lema 4.3, d2−∆ ≥ 0. Alémdisso, j− 1 ≥ 1. Logo n1− n′1 ≥ ε, contradizendo o Lema 4.3. Por outro lado, suponhaque n1 +( j−1)∆ < n′1 +( j−1)d1− ε⇒ n1−n′1 < ( j−1)(d1−∆)− ε. Pelo Lema 4.3,d1−∆ ≤ 0. Além disso, j− 1 ≥ 0. Logo n1− n′1 < −ε < 0, contradizendo o Lema 4.3.Portanto, N j representa n j, para j = 1, . . . ,L.

Teorema 5.2. Os níveis de quantização intervalares N j, j = 1, . . . ,L são comparáveis

pela ordem de Kulisch-Miranker, isto é, N1 ≤KM N2 ≤KM . . .≤KM NL.

Demonstração: Dados N j = [N j,N j] = [n′1+( j−1)d1−ε,n′1+( j−1)d2+ε] e N j+1 =

[N j+1,N j+1] = [n′1 + jd1− ε,n′1 + jd2 + ε] arbitrários, tem-se que N j = n′1+( j−1)d1−ε = (n′1 + jd1− ε)− d1 ≤ n′1 + jd1− ε = N j+1 e N j = n′1 +( j− 1)d2 + ε = (n′1 + jd2 +

ε)−d2 ≤ n′1 + jd2 + ε = N j+1. Logo, N j ≤KM N j+1, para j = 1, . . . ,L.

Observação 5.4. Os Teoremas 5.3 e 5.4 e Corolário 5.1 que seguem, garante que o pro-

cesso de quantização intervalar satisfaz a propriedade descrita na Observação 5.1.

2c.f. Definição 4.2

79


Teorema 5.3. Se d1− ε(1+L)> ε > 0, então não há interseção entre os níveis de quan-

tização intervalares N j, j = 1, . . . ,L.

Demonstração: Para verificar que não há interseção entre o nível N1 = [n′1,n′1 + ε] e

o nível N2 = [n′1 + d1− ε,n′1 + d1− ε,n′1 + d2 + ε], observe que n′1 + d1− ε− (n′1 + ε) =

d1−2ε > 0, basta fazer L = 1 em d1− ε(1+L)> ε > 0.Generalizando, considere os níveis N j = [n′1 + ( j− 1)d1 − ε,n′1 + ( j− 1)d2 + ε] e

N j+1 = [n′1 + jd1− ε,n′1 + jd2 + ε]. Tem-se que n′1 + jd1− ε− (n′1 + ( j− 1)d2 + ε) =

jd1− ε− ( j− 1d2)− ε = jd1− 2ε− jd2 + d2. Considerando d1 6= d2 e R(∆) = [d1,d2],segue do Lema 4.1 que d2 = d1 + ε. Logo, n′1 + jd1− ε− (n′1 +( j− 1)d2 + ε) = d1−ε(1+ j) > ε > 0, basta fazer L = j em d1− ε(1+L) > ε > 0. Se R(∆) = [d1,d1], entãon′1+ jd1−ε−(n′1+( j−1)d1+ε) = d1−2ε> ε> 0, basta fazer L = 1 em d1−ε(1+L)>

ε > 0.

Corolário 5.1. Se d1− ε(1+ L) > ε > 0, então R(X [n]) intercepta no máximo um dos

níveis de quantização intervalares N j, j = 1, . . . ,L.

Demonstração: Seja R(X [n]) = [x[n],x[n]]. Como N j+1−N j = d1− ε( j+1)> ε > 0e como x[n]− x[n] = ε, pelo Lema 4.1, tem-se imediatamente que X [n]∩N j+1 = /0.

Definição 5.3 (Quantização intervalar). Sejam N1 e N2 o conjunto dos níveis de quanti-

zação pontuais e intervalares, respectivamente e IN1 = {[x,x]|x ∈ N1}. Para x : R→ Rseja X [n] a amostragem intervalar. Define-se a função de quantização intervalar pela

função QI : Z→ IN1∪N2, aquela que, para todo n ∈ Z, associa o valor X [n] a um nível

de quantização. Mais especificamente, para X [n] = [x[n],x[n]], tem-se que QI(X [n]) = N j,

se dM(X [n],N j) é mínima para j = 1, . . . ,L.

Observação 5.5. Utiliza-se a notação QI(X [n]) = Xq[n] para indicar o sinal quantizado.

Teorema 5.4. Seja d1− ε(1+L)> ε > 0. Se R(X [n]) intercepta N j, então Xq[n] = N j.

Demonstração: Sejam R(X [n]) = [x[n],x[n]], N j = [N j,N j] = [n′1+( j−1)d1−ε,n′1+

( j−1)d2+ε] e N j+1 = [N j+1,N j+1] = [n′1+ jd1−ε,n′1+ jd2+ε]. Tem-se que dM(X [n],N j)=

max{|N j− x[n]|, |N j− x[n]|} e dM(X [n],N j+1) = max{|N j+1− x[n]|, |N j+1− x[n]|}.Se N j < x[n]< x[n]< N j, é imediato.Suponha que N j < x[n] < N j < x[n]. Como N j−N j = ε( j + 1), N j+1−N j = d1−

ε( j+1), N j+1−N j = d2 e x[n]−x[n] = ε, pelo Lema 4.1, segue que |x[n]−N j|< ε, |N j−

80


x[n]|< ε( j+1), |N j+1− x[n]|> d1− ε( j+1)> ε, e |N j+1− x[n]|> ε( j+1) garantindoque dM(X [n],N j)< dM(X [n],N j+1). Logo, Xq[n] = N j.

Suponha que x[n]<N j < x[n]<N j. Neste caso, |N j−x[n]|< ε, |N j−x[n]|< ε( j+1),|N j+1− x[n]| > ε( j+2)+d1− ε( j+1) > ε( j+2)+ ε e |N j+1− x[n]| > ε( j+2)+d1−ε( j+1)> ε( j+2)+ε, garantindo que dM(X [n],N j)< dM(X [n],N j+1). Logo, Xq[n] = N j.

Definição 5.4 (Erro de quantização intervalar). Dados X [n] e Xq[n], define-se o erro de

quantização intervalar por E[n] =Xq[n]−X [n]. Denota-se E[n] pelo intervalo [e1[n],e2[n]].

Para o caso pontual, dado um sinal x : R→ R, existe uma relação entre o erro dequantização e[n] = xq[n]− x[n] e o passo de quantização ∆, como mostra o lema abaixo.

Lema 5.4. Sejam x : R→R um sinal contínuo limitado, ∆ o passo de quantização, x[n] a

amostragem do sinal x(n) e xq[n] a quantização do sinal x[n]. Se e[n] = xq[n]−x[n], então

−∆

2≤ e[n]≤ ∆

2.

Demonstração: Dado x[n], sabemos que existe j ∈Z tal que xmin+ j∆≤ x[n]≤ xmin+

( j+1)∆ e que xq[n] = xmin + j∆ ou xq[n] = xmin +( j+1)∆. Se xq[n] = xmin + j∆, então

x[n]≤ xmin + j∆+ xmin +( j+1)∆2

. Como e[n] = xq[n]− x[n], segue que:

0 ≥ e[n] = xmin + j∆− x[n]

≥ xmin + j∆− xmin + j∆+ xmin + j∆+∆

2

= xmin + j∆− xmin− j∆− ∆

2

= −∆

2.

81


Isto é, −∆

2≤ e[n]≤ 0 e como 0≤ ∆

2, conclui-se que −∆

2≤ e[n]≤ ∆

2. Por outro lado, se

xq = xmin +( j+1)∆, então x[n]≥ xmin + j∆+ xmin +( j+1)∆2

. Logo:

0 ≤ e[n] = xmin +( j+1)∆− x[n]

≤ xmin +( j+1)∆− xmin + j∆+ xmin +( j+1)∆2

= xmin +( j+1)∆− xmin−j∆+( j+1)∆

2

= ( j+1)∆− j∆+ j∆+∆

2

= ( j+1)∆− j∆− ∆

2

= j∆+∆− j∆− ∆

2

=∆

2.

Isto é, 0≤ e[n]≤ ∆

2e como −∆

2≤ 0, conclui-se que −∆

2≤ e[n]≤ ∆

2.

Da mesma maneira que o caso pontual, onde tem-se uma estimativa para o errode quantização, aqui é dada uma estimativa para o erro de quantização intervalar ondeapresenta-se estimativa para seus extremos. Este resultado é dado no Teorema 5.5 paraX [n] = [x[n],x[n]] ∈ IR com extremos distintos, no Teorema 5.6 para X [n] = [x[n],x[n]] ∈IR com extremos iguais e no Corolário 5.2 para X [n] = [x[n],x[n]] ∈ IR arbitrário.

Teorema 5.5. Seja N2 = {N1, . . . ,NL} o conjuntos dos níveis de quantização intervalares

com d1−ε(1+L)> ε > 0. Para X [n] = [x[n],x[n]] ∈ IR, se E[n] = [e1[n],e2[n]] = Xq[n]−X [n] é o erro de quantização intervalar, então

−12(d1 + ε(L+3))≤ e1[n]≤

12(d1−4ε)

e

−12(d1−2ε)≤ e2[n]≤

12(ε(L+3)+d1).

Demonstração: Para mostrar o resultado acima deve-se considerar quatro casos: N j ≤N j ≤ x≤ x≤N j+1 ≤N j+1, N j ≤N j ≤ x≤N j+1 ≤ x≤N j+1, N j ≤ x≤N j ≤ x≤N j+1 ≤N j+1, N j ≤ x≤ x≤ N j ≤ N j+1 ≤ N j+1.

(i) Suponha N j ≤ N j ≤ x≤ x≤ N j+1 ≤ N j+1. Dado X [n] = [x[n],x[n]], deve-se conside-rar dois casos Xq[n] = N j e Xq[n] = N j+1.

82


1. Se Xq[n] =N j, então dM(N j,X [n])< dM(N j+1,X). Logo, pelo Lema 5.3, segueque:

x <N j +N j+1

2+

ε( j+1)2

(5.1)

e

x <N j +N j+1

2− ε j

2. (5.2)

Pela Definição 5.4 tem-se que E[n] =N j−X [n] = [N j−x,N j −x] = [e1[n],e2[n]].

• Para e1[n] = N j− x, pela equação (5.28), segue que:

e1[n] = N j− x > N j−N j +N j+1

2+

ε j2

=2N j−N j−N j+1 + ε j

2

=(N j−N j)+(N j−N j+1)+ ε j

2.

Pelo Lema 5.2, N j−N j = ε( j+1) e N j+1−N j = d1 + ε( j+2). Logo,

e1[n] >12[−ε( j+1)− ε( j+2)−d1 + ε j] =−1

2[d1 + ε( j+3)]

> −12(d1 + ε(L+3)), (5.3)

onde 1≤ j ≤ L. Por outro lado, x[n]> N j, logo:

e1[n] = N j− x[n]< N j−N j = 0. (5.4)

Das equações (5.3) e (5.4), conclui-se que:

− 12(d1 + ε(L+3))< e1[n]< 0. (5.5)

83



e2[n] = N j− x > N j−N j +N j+1

2− ε( j+1)

2

=2N j−N j−N j+1− ε( j+1)

2

=(N j−N j)+(N j−N j+1)− ε( j+1)

2.

Pelo Lema 5.2, N j−N j = ε( j+1) e N j−N j+1 =−d1+ε( j+1). Logo,

e2[n] >12(ε( j+1)−d1 + ε( j+1)− ε( j+1)) =−1

2(d1− ε( j+1))

> −12(d1−2ε), (5.6)

onde 1≤ j ≤ L. Por outro lado, como x > N j, segue que:

e2[n]< N j−N j = 0. (5.7)


− 12(d1−2ε)< e2[n]< 0. (5.8)

2. Se Xq[n] = N j+1, então dM(N j+1,X [n])< dM(N j,X [n]). Logo pelo Lema 5.3,segue que:

x >N j +N j+1

2+

ε( j+1)2

(5.9)

e

x >N j +N j+1

2− ε j

2(5.10)

Pela Definição 5.4 tem-se que E[n] = N j+1−X [n] = [N j+1− x,N j+1− x] =

[e1[n],e2[n]].

84


• Para e1[n] = N j+1− x, pela equação (5.20), segue que:

e1[n] = N j+1− x < N j+1−N j +N j+1

2+

ε j2

=(N j+1−N j)+(N j+1−N j+1)+ ε j

2.

Pelo Lema 5.2, tem-se que N j+1−N j = d1− ε( j+ 1) e N j+1−N j+1 =

ε( j+2). Logo,

e1[n] <12(d1− ε( j+1)− ε( j+2)+ ε j) =

12(d1− ε( j+3))

<12(d1−4ε), (5.11)

onde 1≤ j ≤ L. Além disso, x[n]< N j+1, logo:

e1[n] = N j+1− x[n]> N j+1−N j+1 = 0. (5.12)


0 < e1[n]<12(d1−4ε) (5.13)


e2[n] = N j+1− x < N j+1−N j +N j+1

2− ε( j+1)

2

=(N j+1−N j)+(N j+1−N j+1)− ε( j+1)

2.

Pelo Lema 5.2, tem-se que N j+1−N j = d1 + ε( j+ 2) e N j+1−N j+1 =

ε( j+2), logo:

e2[n] <12(d1 + ε( j+2)+ ε( j+2)− ε( j+1)) =

12(d1 + ε( j+3))

<12(d1 + ε(L+3)), (5.14)

para 1≤ j ≤ L. Além disso, x≤ N j+1. Logo,

e2[n] = N j+1− x≥ N j+1−N j+1 = 0. (5.15)

85



0≤ e2[n]<12(d1 + ε(L+3)). (5.16)

Combinando as equações (5.5), (5.8), (5.13) e (5.16), conclui-se para esseprimeiro caso que:

− 12(d1 + ε(L+3))< e1[n]<

12(d1−4ε) (5.17)

e

− 12(d1−2ε)< e2[n]<

12(d1 + ε(L+3)). (5.18)

(ii) Suponha que N j < N j < x < N j+1 < x < N j+1. Dado X [n] = [x[n],x[n]], tem-se queXq[n] = N j+1 e dM(N j+1,X [n])< dM(N j,X). Logo pelo Lema 5.3, segue que:

x >N j +N j+1

2+

ε( j+1)2

(5.19)

e

x >N j +N j+1

2− ε j

2(5.20)

Pela Definição 5.4 tem-se que E[n] =N j+1−X [n] = [N j+1−x,N j+1−x] = [e1[n],e2[n]].


e1[n] = N j+1− x < N j+1−N j +N j+1

2+

ε j2

=(N j+1−N j)+(N j+1−N j+1)+ ε j

2.

Pelo Lema 5.2, tem-se que N j+1−N j = d1−ε( j+1) e N j+1−N j+1 = ε( j+

2). Logo,

e1[n] <12(d1− ε( j+1)−delta( j+2)+ ε j) =

12(d1− ε( j+3))

<12(d1−4ε), (5.21)

86


onde 1≤ j ≤ L. Além disso, x[n]< N j+1, logo:

e1[n] = N j+1− x[n]> N j+1−N j+1

> −ε(L+2), (5.22)

para 1≤ j ≤ L. Das equações (5.21) e (5.22), conclui-se que:

− ε( j+2)< e1[n]<12(d1−4ε) (5.23)


e2[n] = N j+1− x < N j+1−N j +N j+1

2− ε( j+1)

2

=(N j+1−N j)+(N j+1−N j+1)− ε( j+1)

2.

Pelo Lema 5.2, tem-se que N j+1−N j = d1 +ε( j+2) e N j+1−N j+1 = ε( j+

2), logo:

e2[n] <12(d1 + ε( j+2)+ ε( j+2)− ε( j+1)) =

12(d1 + ε( j+3))

<12(d1 + ε(L+3)), (5.24)

para 1≤ j ≤ L. Além disso, x < N j+1. Logo,

e2[n] = N j+1− x > N j+1−N j+1 = 0. (5.25)


0≤ e2[n]<12(d1 + ε(L+3)). (5.26)

(iii) Suponha que N j < x < N j < x < N j+1 < N j+1. Neste caso, para X [n] = [x[n],x[n]],tem-se que Xq[n] = N j e dM(N j,X [n]) < dM(N j+1,X [n]). Logo, pelo Lema 5.3,segue que:

x <N j +N j+1

2+

ε( j+1)2

(5.27)

87


e

x <N j +N j+1

2− ε j

2. (5.28)

Pela Definição 5.4 tem-se que E[n] =N j−X [n] = [N j−x[n],N j−x[n]] = [e1[n],e2[n]].

• Para e1[n] = N j− x[n], pela equação (5.28), segue que:

e1[n] = N j− x > N j−N j +N j+1

2+

ε j2

=(N j−N j)+(N j−N j+1)+ ε j

2.

Pelo Lema 5.2, N j−N j = ε( j+1) e N j+1−N j = d1 + ε( j+2). Logo,

e1[n] >12(−ε( j+1)− ε( j+2)−d1 + ε j) =−1

2(d1 + ε( j+3))

> −12(d1 + ε(L+3)), (5.29)

onde 1≤ j ≤ L. Por outro lado, x[n]> N j, logo:

e1[n] = N j− x[n]< N j−N j = 0. (5.30)


− 12(d1 + ε(L+3))< e1[n]< 0. (5.31)


e2[n] = N j− x > N j−N j +N j+1

2− ε( j+1)

2

=2N j−N j−N j+1− ε( j+1)

2

=(N j−N j)+(N j−N j+1)− ε( j+1)

2.

88


Pelo Lema 5.2, N j−N j = ε( j+1) e N j−N j+1 =−d1 + ε( j+1). Logo,

e2[n] >12(ε( j+1)−d1 + ε( j+1)− ε( j+1)) =−1

2(d1− ε( j+1))

> −12(d1−2ε), (5.32)

onde 1≤ j ≤ L. Por outro lado, como x > N j, logo:

e2[n] = N j− x < N j−N j = ε( j+1)

< ε(L+1). (5.33)


− 12(d1−2ε)< e2[n]< ε(L+1). (5.34)

(iv) Suponha que N j < x < x < N j < N j+1 < N j+1. Neste caso, para X [n] = [x[n],x[n]],tem-se Xq[n] = N j. Pela Definição 5.4, tem-se que E[n] = N j − X [n] = [N j −x[n],N j− x[n]] = [e1[n],e2[n]].

• Para e1[n] = N j− x[n] e utilizando o Lema 5.2, como x[n]> N j, segue que:

e1[n]< N j−N j = 0. (5.35)

Além disso, x < N j, logo:

e1[n]> N j−N j =−ε( j+1)>−ε(L+1), (5.36)


− ε(L+1)< e1[n]< 0 (5.37)

• Para e2[n] = N j− x[n] e utilizando o Lema 5.2, como x[n]< N j, segue que:

e2[n]> N j−N j = 0. (5.38)

Além disso, x[n]> N j, logo:

e2[n]< N j−N j = ε( j+1)< ε(L+1), (5.39)

89



0 < e2[n]< ε(L+1). (5.40)

Comparando as equações (5.17), (5.23), (5.31) e (5.37) e as equações (5.18), (5.26),(5.34) e (5.40), conclui-se que:

− 12(d1 + ε(L+3))≤ e1[n]≤

12(d1−4ε) (5.41)

e

− 12(d1−2ε)≤ e2[n]≤

12(ε(L+3)+d1), (5.42)

pois −12[d1 + ε( j + 2)] < −ε( j + 2) e ε(L+ 1) <

12[d1 + ε(L+ 3)]. De fato, por

hipótese tem-se que d1− ε(L+1)> 0, logo:

d1− ε(L+1)> 0⇒−d1 + εL+ ε < 0⇒

−d1− ε+2εL−3ε+4ε < 0⇒

−d1− εL−3ε <−2εL−4ε⇒

−d1

2− εL

2− 3ε

2<−εL−2ε⇒

−12[d1 + ε(L+3)]<−ε(L+2)

e

d1− ε(L+1)> 0⇒ d1 + ε(L+1)> 0⇒

−d1− ε(L+1)< 0⇒

−d1− εL− ε < 0⇒

−d1−2εL+2ε− εL−3ε < 0⇒

2εL+2ε < d1 + ε(L+3)⇒

ε(L+1)<12[d1 + ε(L+3)].

Para o caso particular em que X [n] = [x[n],x[n]] ∈ IR a estimativa para o erro dequantização intervalar é dada no teorema abaixo.

90


Teorema 5.6. Seja N2 = {N1, . . . ,NL} o conjuntos dos níveis de quantização intervalares

com d1−ε(1+L)> ε > 0. Para X [n] = [x[n],x[n]] ∈ IR, se E[n] = [e1[n],e2[n]] = Xq[n]−X [n] é o erro de quantização intervalar, então

−12(d1 + ε(L+2))≤ e1[n]≤

12(d1−3ε)

e

−12(d1− ε)≤ e2[n]≤

12(d1 + ε(L+2)).

Demonstração: Dado X [n] = [x[n],x[n]], sejam N j = [N j,N j] e N j+1 = [N j+1,N j+1]

dois níveis de quantização intervalares consecutivos. Para mostrar o resultado deve-seconsiderar três casos: N j < N j < x[n]< N j+1 < N j+1, N j < N j < N j+1 < x[n]< N j+1 eN j < x[n]< N j < N j+1 < N j+1.

(i) Suponha que N j < N j < x[n]< N j+1 < N j+1. Neste caso, pode-se ter Xq[n] = N j ouXq[n] = N j+1.

1. Se Xq[n] = N j, então dM(N j,X [n]) < dM(N j+1,X [n]). Como dM(N j,X [n]) =

max{|N j−x[n]|, |N j−x[n]|}= x−N j e dM(N j+1,X [n])=max{|N j+1−x[n]|, |N j+1−x[n]|} = N j+1− x[n], segue que:

x[n]−N j < N j+1− x[n]⇒

2x[n]< N j+1 +N j⇒

x[n]<12(N j+1 +N j). (5.43)

Pela Definição 5.4, tem-se que E[n] = N j −X [n] = [N j − x[n],N j − x[n]] =

[e1[n],e2[n]]. Pela equação (5.43) e o Lema 5.2, segue que:

e1[n] = N j− x[n]> N j−12(N j+1 +N j)

=12((N j−N j+1)+(N j−N j))

= −12(N j+1−N j)

= −12(d1 + ε( j+2))

> −12(d1 + ε(L+2)), (5.44)

91


para 1≤ j ≤ L. Por outro lado, x[n]> N j, logo:

e1[n] = N j− x[n]< N j−N j = 0. (5.45)

Das equações (5.43) e (5.44), segue que:

− 12(d1 + ε(L+2))< e1[n]< 0. (5.46)

Como e2[n] = N j−x[n], utilizando a equação (5.43) e o Lema 5.2, segue que:

e2[n] = N j− x[n]> N j−12(N j+1 +N j)

=12((N j−N j+1)+(N j−N j))

=12(−d2 + ε( j+1)) =−1

2(d1− ε j)

> −12(d1− ε), (5.47)

para 1≤ j ≤ L. Por outro lado, x[n]> N j, logo:

e2[n] = N j− x[n]< N j−N j = 0. (5.48)

Das equações (5.47) e (5.48), segue que:

− 12(d1− ε)< e2[n]< 0. (5.49)

2. Se Xq[n] =N j+1, então dM(N j+1,X [n])< dM(N j,X [n]). Como dM(N j+1,X [n])=

N j+1− x[n] e dM(N j,X [n]) = x[n]−N j, segue que:

N j+1− x[n]< x[n]−N j⇒

2x[n]< N j+1 +N j⇒

x[n]>12(N j+1 +N j). (5.50)

Pela Definição 5.4, tem-se que E[n] = Xq[n]− X [n] = [N j+1− x[n],N j+1−

92


x[n]] = [e1[n],e2[n]]. Pela equação (5.50) e o Lema 5.2, segue que:

e1[n] = N j+1− x[n]< N j+1−12(N j+1 +N j)

=12((N j+1−N j+1)+(N j+1−N j))

=12(d1− ε( j+2))

<12(d1−3ε), (5.51)

para 1≤ j ≤ L. Por outro lado, x[n]< N j+1, logo:

e1[n] = N j+1− x[n]> N j+1−N j+1 = 0. (5.52)


0 < e1[n]<12(d1− ε( j+2))<

12(d1−3ε). (5.53)

Ainda pela equação (5.50) e o Lema 5.2, tem-se que:

e2[n] = N j+1− x[n]< N j+1−12(N j+1 +N j)

=12((N j+1−N j+1)++(N j+1−N j))

=12(d1 + ε( j+2))

<12(d1 + ε(L+2)), (5.54)

para 1≤ j ≤ L. Por outro lado, x[n]< N j+1, logo:

e2[n] = N j+1− x[n]> N j=1−N j+1 = 0. (5.55)


0 < e2[n]<12(d1 + ε(L+2)). (5.56)

(ii) Suponha que N j < N j < N j+1 < x[n]< N j+1. Neste caso, tem-se que Xq[n] = N j+1 eE[n] = N j+1−X [n] = [N j+1−x[n],N j+1−x[n]] = [e1[n],e2[n]]. Como x[n]> N j+1,

93


x[n]< N j+1 e pelo Lema 5.2, tem-se que:

e1[n] = N j+1− x[n]< N j+1−N j+1 = 0. (5.57)

e

e1[n] = N j+1− x[n]> N j+1−N j+1 =−ε( j+2)>−ε(L+2), (5.58)


− ε(L+2)< e1[n]< 0. (5.59)

Além disso,

e2[n] = N j+1− x[n]< N j+1−N j+1 = ε( j+2)< ε(L+2), (5.60)

e

e2[n] = N j+1− x[n]> N j+1−N j+1 = 0. (5.61)


0 < e2[n]< ε(L+2). (5.62)

(iii) Suponha que N j < x[n]< N j < N j+1 < N j+1. Neste caso, tem-se que Xq[n] = N j eE[n] = N j−X [n] = [N j−x[n],N j−x[n]] = [e1[n],e2[n]]. Como x[n]> N j, x[n]< N j

e pelo Lema 5.2, tem-se que:

e1[n] = N j− x[n]< N j−N j = 0. (5.63)

e

e1[n] = N j− x[n]> N j−N j =−ε( j+1)>−ε(L+1), (5.64)


− ε(L+1)< e1[n]< 0. (5.65)

94


Além disso,

e2[n] = N j− x[n]< N j−N j = ε( j+1)< ε(L+1), (5.66)

e

e2[n] = N j− x[n]> N j−N j = 0. (5.67)


0 < e2[n]< ε(L+1). (5.68)

Combinando as equações (5.46), (5.53), (5.59) e (5.65) e as equações (5.49), (5.56),(5.62) e (5.68), conclui-se que:

− 12(d1 + ε(L+2))≤ e1[n]≤

12(d1−3ε) (5.69)

e

− 12(d1− ε)≤ e2[n]≤

12(d1 + ε(L+2)) (5.70)

pois −12(d1 + ε(L+2))<−ε(L+2) e ε(L+2)<

12(d1 + ε(L+2))< ε(L+2). De fato,

como d1−ε(L+1)> ε > 0, tem-se que: d1−ε(L+1)> ε > 0⇒ d1−ε(L+1)−ε > 0⇒−d1 + ε(L+1)+ ε < 0⇒−d1 +2ε+ εL < 0⇒−d1− εL−2ε+2εL+4ε < 0⇒−d1−εL−2ε <−2εL−4ε⇒−1

2(d1 + ε(L+2))<−ε(L+2). Do mesmo modo, tem-se que:

d1− ε(L+1)> ε > 0⇒ d1− ε(L+1)− ε > 0⇒ d1− ε(L+2)> 0⇒−d1 + ε(L+2)<0⇒−d1 + εL+2ε < 0⇒−d1 +2εL− εL+4ε−2ε < 0⇒ 2εL+4ε < d1 + εL+2ε⇒ε(L+2)<

12(d1 + ε(L+2)).

Combinando os resultados dos Teoremas 5.5 e 5.6, para o caso geral em que X [n]∈ IRé qualquer, a estimativa para o erro de quantização intervalar é fornecido no seguintecorolário.

Corolário 5.2. Seja N2 = {N1, . . . ,NL} o conjuntos dos níveis de quantização intervala-

res com d1− ε(1+ L) > ε > 0. Se X [n] ∈ IR é qualquer, então o erro de quantização

95


intervalar E[n] = [e1[n],e2[n]] = Xq[n]−X [n] satisfaz

−12(d1 + ε(L+3))≤ e1[n]≤

12(d1−3ε)

e

−12(d1− ε)≤ e2[n]≤

12(d1 + ε(L+3)).

Demonstração: Do Teorema 5.5, para X [n] = [x[n],x[n]] ∈ IR, tem-se que −12(d1 +

ε(L+3))≤ e1[n]≤12(d1−4ε) e −1

2(d1−2ε)≤ e2[n]≤

12(ε(L+3)+d1) e do Teorema

5.6, para X [n] = [x[n],x[n]] ∈ IR, tem-se que −12(d1 + ε(L+ 2)) ≤ e1[n] ≤

12(d1− 3ε) e

−12(d1− ε)≤ e2[n]≤

12(d1 + ε(L+2)). Como −1

2(d1 + ε(L+3))<−1

2(d1 + ε(L+2)),

12(d1−4ε)<

12(d1−3ε), −1

2(d1−ε)<−1

2(d1−2ε) e

12(d1+ε(L+2))<

12(d1+ε(L+

3)), para X [n] ∈ IR qualquer, conclui-se que:

− 12(d1 + ε(L+3))≤ e1[n]≤

12(d1−3ε) (5.71)

e

− 12(d1− ε)≤ e2[n]≤

12(d1 + ε(L+3)). (5.72)

Após a realização da quantização do sinal é feita a codificação onde utiliza-se b bitspara L = 2b níveis de quantização, como foi explicado na Seção 5.1.

Para o caso intervalar, para cada nível de quantização N j = [N j,N j] são necessáriosdois números binários que são utilizados para codificar cada um dos extremos. Assim, seo número de níveis de quantização é L = 2n e como nesse contexto intervalar é necessárioatribuir a cada extremidade do intervalo N j = [N j,N j] um código binário, serão nessários2× 2n códigos. Isto é, L = 2n+1. Então o número de bits necessários para a codificaçãointervalar é B = n+1.

Definição 5.5 (Codificação Intervalar). Sejam L = 2n o número de níveis de quantização

intervalares e B = n+1 o número de bits necessários. Define-se a codificação intervalar

dos níveis N j = [N j,N j], j = 1, . . . ,L pela relação que associa a cada nível N j um único

intervalo da forma [a1 · · ·aB,b1 · · ·bB], onde ai,bi ∈ {0,1}, para i = 1, . . . ,B.

96


Exemplo 5.1. Para se codificar L = 8 níveis de quantização pontuais são necessários

B = 3 bits e uma das possibilidades é a seguinte associação: n1 = 000, n2 = 001, n3 =

010, n4 = 100, n5 = 011, n6 = 101, n7 = 110, n8 = 111.

Exemplo 5.2. Para se codificar L = 8 níveis de quantização intervalares são necessá-

rios B = 4 bits que originam 16 números binários. Uma das possibilidades é a asso-

ciação: N1 = [0000,0001], N2 = [0010,0100], N3 = [1000,0011], N4 = [0110,1100],N5 = [1001,0101], N6 = [1010,0111], N7 = [1011,1101] e N8 = [1110,1111].

Exemplo 5.3. Considere o seguinte sinal

x(n) =

{(0.9)n se n≥ 00 se n < 0

(5.73)

que está ilustrado na Figura 5.1.

Figura 5.1: Figura extraída de [Proakis & Manolakis 1996]. Quantização do sinal x(n) =(0.9)n.

Para a quantização clássica com L = 8 níveis são necessários b = 3 bits. Para ∆ =xmax− xmin

L−1=

1−08−1

= 0.142857, os níveis de quantização clássicos, como na Definição

5.1 são: n1 = 0.00, n2 = 0.14, n3 = 0.28, n4 = 0.42, n5 = 0.56, n6 = 0.70, n7 = 0.84 e

n8 = 0.98.

Para 0≤ n≤ 9 pode-se observar na Tabela 5.1 os valores amostrados x[n], os valores

quantizados xq[n], onde associa-se a cada amostra o nível de quantização cujo valor mais

se aproxima de x[n] e os erros de quantização e[n], que é dado por e[n] = xq[n]− x[n].

Considerando-se uma precisão de dois dígitos decimais, portanto ε = 0.01, os ní-

veis de quantização intervalares, como na Definição 5.2, são: N1 = [0.00,0.01], N2 =

[0.13,0.16], N3 = [0.27,0.31], N4 = [0.41,0.46], N5 = [0.55,0.61], N6 = [0.69,0.76],N7 = [0.83,0.91] e N8 = [0.97,1.06]. Para i = 1, . . . ,8 tem-se que ni ∈ Ni, isto é, Ni

representa ni.

97


n x[n] xq[n] e[n] = xq[n]− x[n]0 1.00 n8 = 0.98 0.021 0.90 n7 = 0.84 −0.062 0.81 n7 = 0.84 0.033 0.73 n6 = 0.70 -0.034 0.66 n6 = 0.70 0.035 0.59 n5 = 0.56 -0.036 0.53 n5 = 0.56 0.037 0.48 n4 = 0.42 -0.068 0.43 n4 = 0.42 -0.019 0.39 n4 = 0.42 0.0310 0.35 n3 = 0.28 -0.07

Tabela 5.1: Amonstragem, quantização e erro de quantização do sinal x(n) para o casoclássico.

Aplicando a função arredondamento R nos valores x[n] da Tabela 5.1 obtém-se as

amostras intervalares X [n] = [x[n],x[n]], em que x[n] é o maior némero do sistema F

menor ou igual ao valor x[n] e x[n] é o menor número do sistema F maior ou igual a x[n].

Por exemplo, para n = 3, x[n] = 0.729 não é representável no sistema F, pois estamos

considerando um sistema com a representação de dois dígitos decimais. Logo, aplicando

a função arredondamento, obtém-se R(x[n]) = R(0.729) = [0.72,0.73], em que 0.72 =

b0.729/0.01c ∗0.01 e 0.73 = d0.729/0.01e ∗0.01. As amostras quantizadas são obtidas

pela relação QI(X [n]) = Xq[n] dada na Definição 5.3, isto é, para X [n] = [x[n],x[n]] e

N j = [N j,N j], j = 1, · · · ,8 calcula-se dM(X [n],N j) = max{|x[n]−N j|, |x[n]−N j|} para

todo j = 1, · · · ,8 e Xq[n] = N j se dM(X [n],N j) for mínima para todo j = 1, · · · ,8. O erro

de quantização intervalar é dado por E[n] = Xq[n]−X [n], como na Definição 5.4. O

resultado desses cálculos são mostrados na Tabela 5.2.

Comparando o erro de quantização pontual e[n], dado na Tabela 5.1, e o erro de quan-

tização intervalar E[n], representado na Tabela 5.2, pode-se concluir que E[n] representa

e[n], isto é, para cada n, e[n] ∈ E[n].

5.2 Conclusão

Neste capítulo foi justificado o uso da matemática intervalar em PDS, uma vez quenos procedimentos básicos, como representação da informação e conversão do sinal deanalógico para digital, existe a presença de imprecisões. Além disso, foi estabelecida afundamentação intervalar de conceitos muitos importantes em PDS.

98


n X [n] Xq[n] E[n] = Xq[n]−X [n]0 [1.00,1.00] N8 = [0.97,1.06] [−0.03,0.06]1 [0.90,0.90] N7 = [0.83,0.91] [−0.07,0.01]2 [0.81,0.81] N7 = [0.83,0.91] [0.02,0.10]3 [0.72,0.73] N6 = [0.69,0.76] [−0.04,0.04]4 [0.65,0.66] N6 = [0.69,0.76] [0.03,0.11]5 [0.59,0.60] N5 = [0.55,0.61] [−0.05,0.02]6 [0.53,0.54] N5 = [0.55,0.61] [0.01,0.08]7 [0.47,0.48] N4 = [0.41,0.46] [−0.07,−0.01]8 [0.43,0.44] N4 = [0.41,0.46] [−0.03,0.03]9 [0.38,0.39] N4 = [0.41,0.46] [0.02,0.08]

10 [0.34,0.35] N3 = [0.27,0.31] [−0.08,−0.03]

Tabela 5.2: Amostragem intervalar, quantização intervalar e erro de quantização intervalardo sinal x(n).

Mais especificamente, foi estabelecida a fundamentação intervalar para a quantiza-ção. Para isso, utilizou-se arredondamentos direcionados por meio de funções especí-ficas, como a função arredondamento R. Esta função mapeia um número x ao menorintervalo [x,x] contendo x e cujos extremos pertencem ao sistema de ponto flutuante. Estafunção também é utilizada para estender sinais e sistemas clássicos a sinais e sistemasintervalares, que foram definidos no capítulo anterior. Além disso, foi definida a noção deamostragem intervalar e níveis de quantização intervalares. Esses níveis de quantizaçãodão origem ao sinal quantizado intervalar e, consequentemente, ao erro de quantizaçãointervalar. Foi dada uma estimativa para o erro de quantização intervalar é mostrado queos níveis de quantização intervalares representam os níveis de quantização pontuais e oserros de quantização intervalares representam os erros de quantização pontuais.

Os conceitos e resultados mostrados neste capítulo são de extrema importância paraa representação digital de dados intervalares, pois mostram como os dados intervalaressão representados e se comportam em uma máquina digital. Além disso, enriquecem oprocessamento digital de sinais intervalares e possibilitam o desenvolviento de algoritmose ferramentas matemáticas como as que serão definidas em seguida, a transformada Z e atransformada de Fourier.

99

Capítulo 6

Uma Abordagem Intervalar para aTransformada Z e Transformada deFourier para Sinais Discretos no Tempo

Introdução

A transformada Z é uma ferramenta importante na análise de sistemas discretos notempo. Um dos fatores que a caracteriza é o fato de ao se aplicar uma função exponencialna entrada de sistemas lineares e invariantes no tempo, obtém-se como resposta uma fuçãoexponencial do mesmo tipo, porém com amplitude modificada.

A transformada Z pode ser usada para resolver equações de diferenças com coeficien-tes constantes, avaliar a resposta de um sistema linear invariante no tempo, projetar filtroslineares, além disso, elas também possibilitam a análise de convoluções através de umproduto de polinômios, [Diniz, Silva & Netto 2004].

Segundo Smith (1999) e Oppenheim (1989), a transformada Z é equivanlente à trans-formada de Laplace. Ambas tem por objetivo investigar a resposta ao impulso com se-nóides e exponenciais para encontrar pólos e zeros do sistema. Porém, a transformadade Laplace lida com equações diferenciais, cujo domínio é um plano complexo com ei-xos real e imaginário (plano-s) e a transformada Z lida com equações de diferenças cujodomínio é constituído de coordenadas polares r e ω (plano-z).

Neste capítulo será definida a transformada Z para sinais intervalares complexos eanalisada as condições de convergência para este caso. Além disso, são mostradas algu-mas propriedades satisfeitas pela transformada Z intervalar, como: linearidade, desloca-mento no tempo, reversão no tempo, multiplicação por uma exponencial e o teorema daconvolução intervalar.

100

Capítulo 6. Uma Abordagem Intervalar para a Transformada Z e Transformada deFourier para Sinais Discretos no Tempo

6.1 Transformada Z Intervalar

“Técnicas de transformadas são importantes ferramentas na análise de sinais esistemas lineares e invariantes no tempo (LTI)”, (Proakis & Manolakis (1996), p.151). Emparticular a transformada Z tem uma grande importância na análise e sistemas lineares einvariantes no tempo.

A transformada Z de um sinal a tempo discreto x[n] é definido como a série de potên-cias

Z{X [n]}= X (z) =∞

∑n=−∞

x[n]z−n (6.1)

onde z é uma variável complexa. A transformada Z só está definida para as regiões doplano complexo em que a série de potência converge.

Para o sinal intervalar X [n], obtido do sinal clássico x[n] através da função arredon-damento RC (c.f. Definição 4.9) é necessário uma abordagem apropriada para a transfor-mada Z, principalmente em relação à convergência das séries de potências.

Definição 6.1 (Transformada Z Intervalar). Seja X [n] ∈ R(C). Define-se a transformada

Z de X [n] por

ZI{X [n]}= XI(z) =∞

∑n=−∞

X [n]z−n = {∞

∑n=−∞

x[n]z−n | x[n] ∈ X [n]}. (6.2)

Observação 6.1. A tranformada XI(z) só está definida nas regiões onde∞

∑n=−∞

X [n]z−n =

{∞

∑n=−∞

x[n]z−n | x[n] ∈ X [n]} converge. A análise desta convergência é dada na Subseção

6.2.

O próximo resultado mostra que se o sinal x[n] ∈ C é representado pelo por X [n] ∈R(C), então a transformada X (z) é representada por XI(z).

Teorema 6.1. Sejam X [n] ∈ R(C) e x[n] ∈ C. Se X [n] representa x[n], então XI(z) repre-

senta X (z).

Demonstração: Sejam x[n] ∈C e X [n] ∈ R(C), tal que x[n] ∈ X [n], para todo n ∈ Z. A

transformada Z de X [n] é definida por XI(z)= {∞

∑n=−∞

a[n]z−n | a[n]∈X [n]}. Em particular,

como x[n] ∈ X [n], segue que∞

∑n=−∞

x[n]z−n ∈ {∞

∑n=−∞

a[n]z−n | a[n] ∈ X [n]}. Logo, XI(z)

representa X (z).

101


Definição 6.2. Seja XI(z) =

{∞

∑n=−∞

x[n]z−n =A(z)B(z)| x[n] ∈ X [n]

}a transformada Z in-

tervalar. Os polos de XI(z) são z ∈ C tal que b(z) = 0 para b(z) ∈ B(z).

6.2 Convergência da Transformada Z Intervalar

Para analisar a convergência da transformada Z intervalar serão utilizadas as no-ções de convergência introduzidas em [Moore 1966, 1979]. Nesta seção será utilizada anotação Xn = An + iBn.

Definição 6.3. Seja An ∈ IR uma sequência intervalar real. An converge para o intervalo

A se, e somente se, dM(An,A)→ 0, onde dM é a distância de Moore. Usaremos a notaçãoI→ para convergência de intervalos e→ para convergência clássica. Neste caso, An

I→ A

se, e somente se, dM(An,A)→ 0.

Teorema 6.2. Sejam An,A ∈ IR, tais que An = [an,an] e A = [a,a]. AnI→ A se, e somente

se, an→ a e an→ a.

Demonstração: Suponha AnI→ A, ou seja, dM(An,A)→ 0, ou seja, ∀ε > 0,∃n0 ∈

N;n > n0⇒max{|an−a|, |an−a|}< ε⇒ |an−a|< ε e |an−a|< ε⇒ an→ a e an→ a.Reciprocamente, se an→ a e an→ a, ∀ε> 0,∃n0 ∈N;n> n0⇒|an−a|< ε e |an−a|< ε.

Logo, dM(An,A) = max{|an−a|, |an−a|}< ε, isto é, AnI→ A.

O Teorema 6.2 mostra que para AnI→ A, uma condição necessária e suficiente é que os

extremos de An convirjam para os extremos de A, onde An,A ∈ IR. Então, para os casosem que o sinal intervalar não tem componente imaginária, a análise da convergência da

transformada ZI{An} =∞

∑n=−∞

Anz−n se reduz à análise da convergência de∞

∑n=−∞

anz−n e

∞

∑n=−∞

anzn, onde An = [an,an].

Para analisar a convergência de Xn ∈ R(C) utiliza-se a distância entre números com-plexos intervalares, DM, dada na Definição 3.14.

Definição 6.4. Dada uma sequência Xn = An + iBn ∈ R(C), diz-se que Xn converge para

X quando ∀ε > 0,∃n0 ∈ N tal que n≥ n0⇒ DM(Xn,X)< ε. Notação: XnI→ X.

Observação 6.2. Notem que XnI→ X ⇔ DM(Xn,X)→ 0.

102


O próximo resultado extende o Teorema 6.2.

Proposição 6.1. Sejam Xn = An + iBn,X = A+ iB ∈ R(C). Então, XnI→ X ⇔ An

I→ A e

BnI→ B.

Demonstração: Suponha que XnI→ X . Pela Definição 6.4, ∀ε > 0,∃n0 ∈N;n > n0⇒

DM(Xn,X)< ε⇔ dM(An,A)+dM(Bn,B)< ε. Como as parcelas da soma anterior são nãonegativas, segue que dM(An,A) < ε e dM(Bn,B) < ε, isto é, An

I→ A e BnI→ B. Recipro-

camente, suponha que AnI→ A e Bn

I→ B, então ∀ε > 0,∃n0 ∈N;n > no⇒ d(An,A)< ε

2 edM(Bn,B)< ε

2 ⇒ dM(An,A)+dM(Bn,B)< ε⇔ DM(Xn,X)< ε. Portanto, XnI→ X .

Observação 6.3. Seja Xn = An + iBn uma sequência em R(C), onde An = [an,an] e

Bn = [bn,bn] e∞

∑n=0

Xn = limN→∞

N

∑n=0

Xn. Assim, se∞

∑n=0

Xn = X, onde X = A+ iB, com A =

[a,a] e B = [b,b], então, pelo Teorema 6.2 e Proposição 6.1, temos X = limN→∞

N

∑n=0

Xn =

∞

∑n=0

Xn =∞

∑n=0

(An+ iBn) =∞

∑n=0

An+ i∞

∑n=0

Bn =∞

∑n=0

[an,an]+ i∞

∑n=0

[bn,bn] =

[∞

∑n=0

an,∞

∑n=0

an

]+

i

[∞

∑n=0

bn,∞

∑n=0

bn

].

Isto é, se∞

∑n=0

Xn converge, onde Xn = An + iBn, é possível analisar a soma∞

∑n=0

Xn em

cada extremidade dos intervalos An e Bn. Em seguida, utiliza-se os resultados obtidosanteriormente para analisar a convergência da transformada Z intervalar.

Teorema 6.3. Dado o sinal complexo intervalar Xn = An+ iBn, onde An = [an,an] e Bn =

[bn,bn], a transformada intervalar ZI{Xn} converge se∞

∑n=−∞

an|z|−n < ∞,∞

∑n=−∞

an|z|−n <

∞,∞

∑n=−∞

bn|z|−n < ∞, e∞

∑n=−∞

bn|z|−n < ∞.

Demonstração: Seja Xn = An + iBn ∈ R(C), tal que, An = [an,an] e Bn = [bn,bn].Define-se a trasformada Z intervalar de Xn por:

ZI{Xn}(z) =∞

∑n=−∞

Xnz−n =∞

∑n=−∞

(An + iBn)z−n, (6.3)

onde An = [an,an] e Bn = [bn,bn].

103


Sejam z= |z|cosθ+i|z|senθ e z−n = |z|−ncos(nθ)+i|z|−nsen(−nθ). Se a= |z|−ncos(nθ)

e b = |z|−nsen(−nθ), então, da equação 6.3, segue que:

ZI{Xn}(z) =∞

∑n=−∞

(An + iBn)(a+ ib) =∞

∑n=−∞

([an,an]+ i[bn,bn])(a+ ib)

=∞

∑n=−∞

([an,an]+ i[bn,bn])([a,a]+ i[b,b])

=∞

∑n=−∞

{[an,an][a,a]− [bn,bn][b,b]+ i([an,an][b,b]+ [bn,bn][a,a])}

=∞

∑n=−∞

{[min{ana,ana},max{ana,ana}]− [min{bnb,bnb},max{bnb,bnb}]

+ i([min{anb,anb},max{anb,anb}]+ [min{bna,bna},max{bna,bna}])}

=∞

∑n=−∞

{[min{ana,ana}−max{bnb,bnb},max{ana,ana}−min{bnb,bnb}]

+ i[min{anb,anb}+min{bna,bna},max{anb,anb}+max{bna,bna}]}

= [∞

∑n=−∞

(min{ana,ana}−max{bnb,bnb})

,∞

∑n=−∞

(max{ana,ana}−min{bnb,bnb})]

+ i[∞

∑n=−∞

(min{anb,anb}+min{bna,bna})

,∞

∑n=−∞

(max{anb,anb}+max{bna,bna})].

Dessa última equação, pode-se afirmar que ZI{Xn} converge se:∞

∑n=−∞

ana < ∞,∞

∑n=−∞

ana < ∞,∞

∑n=−∞

bnb < ∞,∞

∑n=−∞

bnb < ∞,∞

∑n=−∞

anb < ∞,∞

∑n=−∞

anb < ∞,

∞

∑n=−∞

bna < ∞ e∞

∑n=−∞

bna < ∞.

Como a = |z|−ncos(nθ) e b = |z|−nsen(−nθ), segue que |xna| = |xn|z|−ncos(nθ)| ≤|xn||z|−n e |xnb| ≤ |xn||z|−n, para xn = an,an,bn,bn. Portanto, ZI{Xn} converge, se:

∞

∑n=−∞

an|z|−n < ∞,∞

∑n=−∞

an|z|−n < ∞ (6.4)

104


e

∞

∑n=−∞

bn|z|−n < ∞,∞

∑n=−∞

bn|z|−n < ∞. (6.5)

Para xn,∞

∑n=−∞

xn|z|−n, converge se:

∞

∑n=0

xn|z|−n < ∞ e−1

∑n=−∞

xn|z|−n < ∞. (6.6)

Se fn = xn|z|−n, as séries de potência da equação (6.6) convergem se:

limn→∞

∣∣∣∣ fn+1

fn

∣∣∣∣< 1 ⇒ limn→∞

∣∣∣∣xn+1|z|−n−1

xn|z|−n

∣∣∣∣< 1

⇒ |z|−1 limn→∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣< 1

⇔ |z|> limn→∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ (6.7)

e

limn→−∞

∣∣∣∣ fn+1

fn

∣∣∣∣> 1⇔ |z|< limn→−∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ . (6.8)

Para xn = an,an,bn e bn, combinando as equações (6.4), (6.5), (6.7) e (6.8), ZI{Xn}converge, se:

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣< |z|< limn→−∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ e limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣< |z|< limn→−∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ (6.9)

e

limn→∞

∣∣∣∣bn+1

bn

∣∣∣∣< |z|< limn→−∞

∣∣∣∣bn+1

bn

∣∣∣∣ e limn→∞

∣∣∣∣bn+1

bn

∣∣∣∣< |z|< limn→−∞

∣∣∣∣bn+1

bn

∣∣∣∣ . (6.10)

Exemplo 6.1. Seja Xn = [0.5nu(n),0.6nu(n)]+ i[0.8nu(−n),0.9nu(−n)] ∈ R(C) um sinal

complexo intervalar. A transformada intervalar ZI{Xn} converge se:

∞

∑n=0

0.5n|z|−n < ∞⇒ limn→∞

0.5n+1|z|−n−1

0.5n|z|−n < 1⇒ |z|> 0.5 (6.11)

105


∞

∑n=0

0.6n|z|−n < ∞⇒ limn→∞

0.6n+1|z|−n−1

0.6n|z|−n < 1⇒ |z|> 0.6 (6.12)

−1

∑n=−∞

0.8n|z|−n < ∞⇒ limn→−∞

0.8n+1|z|−n−1

0.8n|z|−n > 1⇒ |z|< 0.8 (6.13)

−1

∑n=−∞

0.9n|z|−n < ∞⇒ limn→−∞

0.9n+1|z|−n−1

0.9n|z|−n > 1⇒ |z|< 0.9 (6.14)

Combinando as condições das equações (6.11), (6.12), (6.13) e (6.14), ZI{Xn} con-

verge, se 0.6 < |z|< 0.8.

6.3 Casos Particulares da Transformada Z Intervalar

Seja z = |z|cosω + |z|senω e z−n = |z|−ncos(−nω) + i|z|−nsen(−nω). Defina a =

|z|−ncos(−nω) e b = |z|−nsen(−nω). Logo, z−n = a+ ib.

106


Se B[n] for nulo para todo n ∈ Z e A[n] = [a[n],a[n]], então

XI(z) =∞

∑n=−∞

([a[n],a[n]]+ i[0,0])z−n

=∞

∑n=−∞

([a[n],a[n]]+ i[0,0])(a+ ib)

=∞

∑n=−∞

([a[n],a[n]].[a,a]+ i[a[n],a[n]].[b,b])

=∞

∑n=−∞

{[min{a[n].a,a[n].a},max{a[n].a,a[n].a}]+

i[min{a[n].b,a[n].b},max{a[n].b,a[n].b}]}

= [∞

∑n=−∞

min{a[n].a,a[n].a},∞

∑n=−∞

max{a[n].a,a[n].a}]

+ i[∞

∑n=−∞

min{a[n].b,a[n].b},∞

∑n=−∞

max{a[n].b,a[n].b}]

= [∞

∑n=−∞

min{a[n].a,a[n].a}+ i∞

∑n=−∞

min{a[n].b,a[n].b},

∞

∑n=−∞

max{a[n].a,a[n].a}+ i∞

∑n=−∞

max{a[n].b,a[n].b}] (6.15)

Para simplificar a expressão acima é necessário considerar alguns casos particularespara a,b ∈ R.

1. Se a,b≥ 0Da equação 6.15, segue que:

XI(z) = [∞

∑n=−∞

amin{a[n],a[n]}+ i∞

∑n=−∞

bmin{a[n],a[n]},

∞

∑n=−∞

amax{a[n],a[n]}+ i∞

∑n=−∞

bmax{a[n],a[n]}]

= [∞

∑n=−∞

(amin{a[n],a[n]}+ ibmin{a[n],a[n]),

∞

∑n=−∞

(amax{a[n],a[n]}+ ibmax{a[n],a[n])]

= [∞

∑n=−∞

min{a[n],a[n]}(a+ ib),∞

∑n=−∞

max{a[n],a[n]}(a+ ib)]

= [∞

∑n=−∞

min{a[n],a[n]}z−n,∞

∑n=−∞

max{a[n],a[n]}z−n] (6.16)

107


2. Se a,b≤ 0Da equação 6.15, segue que:

XI(z) = [∞

∑n=−∞

(−a)min{−a[n],−a[n]}+ i∞

∑n=−∞

(−b)min{−a[n],−a[n]},

∞

∑n=−∞

(−a)max{−a[n],−a[n]}+ i∞

∑n=−∞

(−b)max{−a[n],−a[n]}]

= [∞

∑n=−∞

(−amin{−a[n],−a[n]}− ibmin{−a[n],a[n]),

∞

∑n=−∞

(−amax{−a[n],−a[n]}− ibmax{−a[n],−a[n])]

= [∞

∑n=−∞

min{−a[n],−a[n]}(−a− ib) (6.17)

,∞

∑n=−∞

max{−a[n],−a[n]}(−a− ib)]

= [−∞

∑n=−∞

min{−a[n],−a[n]}(a+ ib) (6.18)

, −∞

∑n=−∞

max{−a[n],−a[n]}(a+ ib)]

= [−∞

∑n=−∞

min{−a[n],−a[n]}z−n (6.19)

, −∞

∑n=−∞

max{−a[n],−a[n]}z−n] (6.20)

3. Se a≥ 0 e b≤ 0Da equação 6.15, segue que:

XI(z) = [∞

∑n=−∞


∑n=−∞

(−b)min{−a[n],−a[n]},

∞

∑n=−∞


∑n=−∞

(−b)max{−a[n],−a[n]}]

= [∞

∑n=−∞

(amin{a[n],a[n]}− ibmin{−a[n],−a[n]}),

∞

∑n=−∞

(amax{a[n],a[n]}− ibmax{−a[n],−a[n]})] (6.21)

4. Se a≤ 0 e b≥ 0

108


XI(z) = [∞

∑n=−∞

−amin{−a[n],−a[n]}+ i∞

∑n=−∞

bmin{a[n],a[n]},

∞

∑n=−∞

−amax{−a[n],−a[n]}+ i∞

∑n=−∞

bmax{a[n],a[n]}]

= [∞

∑n=−∞

(−amin{−a[n],−a[n]}+ ibmin{a[n],a[n]}),

∞

∑n=−∞

(−amax{−a[n],−a[n]}+ ibmax{a[n],a[n]})] (6.22)

Com isso temos a seguinte definição:

Definição 6.5. Se z−n = a+ ib, para a = |z|−ncos(−nω) e b = |z|−nsen(−nω), A[n] =[a[n],a[n]] e B[n] = [0,0], então a transformada Z intervalar do sinal X [n] = A[n]+ iB[n]é definida por

XI(z) =

[∞

∑n=−∞


∑n=−∞

max{a[n],a[n]}z−n

]se a,b≥ 0;[

−∞

∑n=−∞

min{−a[n],−a[n]}z−n,−∞

∑n=−∞

max{−a[n],−a[n]}z−n

]se a,b≤ 0;[

∞

∑n=−∞

K1[n],∞

∑n=−∞

K1[n]

]se a≥ 0 e b≤ 0;[

∞

∑n=−∞

K2[n],∞

∑n=−∞

K2[n]

]se a≤ 0 e b≥ 0.

onde

K1[n] = amin{a[n],a[n]}− ibmin{−a[n],−a[n]}K1[n] = amax{a[n],a[n]}− ibmax{−a[n],−a[n]}K2[n] =−amin{−a[n],−a[n]}+ ibmin{a[n],a[n]}K2[n] =−amax{−a[n],−a[n]}+ ibmax{a[n],a[n]}

Observação 6.4. Para a,b≥ 0, se a[n] = a[n] = a[n], então min{a[n],a[n]}=max{a[n],a[n]}=a[n]. Com isso,

XI(z) = [∞

∑n=−∞


∑n=−∞

max{a[n],a[n]}z−n]

= [∞

∑n=−∞

a[n]z−n,∞

∑n=−∞

a[n]z−n]

=∞

∑n=−∞

a[n]z−n, (6.23)

109


isto é, a transformada Z intervalar do sinal X [n] = [a[n],a[n]] + i[0,0] coincide com a

transformada Z clássica do sinal x[n] = a[n].

Observação 6.5. Para a,b≥ 0, se X [n] = [a[n],a[n]]+ i[0,0], então a[n]≤ a[n]. Assim,

XI(z) = [∞

∑n=−∞


∑n=−∞

max{a[n],a[n]}z−n]

= [∞

∑n=−∞

a[n]z−n,∞

∑n=−∞

a[n]z−n]. (6.24)

6.3.1 Inversa da Transformada Z Intervalar

Seja z−n = |z|−ncos(−nω)+ i|z|−nsen(−nω) = a+ ib, para a = |z|−ncos(−nω) e b =

|z|−nsen(−nω). Dado o sinal intervalar X [n] = [a[n],a[n]]+ i[0,0], se a,b≥ 0 e a[n]≤ a[n],então, pela Observação 6.5, segue que:

X [n] = A[n]+ iB[n] ZI→ [∞

∑n=−∞

a[n]z−n,∞

∑n=−∞

a[n]z−n]

ondea[n] Z→

∞

∑n=−∞

a[n]z−n

ea[n] Z→

∞

∑n=−∞

a[n]z−n

Assim, das relações acima, para se determinar um sinal intervalar X [n] = [a[n],a[n]]+

i[0,0], tal que a,b≥ 0, conhecendo-se a transformada intervalar

[∞

∑n=−∞

a[n]z−n,∞

∑n=−∞

a[n]z−n], basta determinar a transformada Z inversa, para o caso clás-

sico, de cada extremo do intervalo.Generalizando, a inversa da transformada Z intervalar, dada na Definição 6.5, é ob-

tida calculando-se a transformada Z inversa, para o caso clássico, das funções que seencontram nas extremidades dos intervalos.

Exemplo 6.2. Para determinar o sinal intervalar que deu origem à transformada ZI =

[1

1−0.95z−1 ,1

1−0.96z−1 ], |z| > 0.96, aplica-se a inversa da transformada Z nas fun-

ções1

1−0.95z−1 e1

1−0.96z−1 . Como |z| > 0.96, obtém-se, respectivamente x[n] =

(0.95)nu[n] e x[n] = (0.96)nu[n]. Logo, X [n] = [(0.95)nu[n],(0.96)nu[n]].

Em [Trindade 2009] pode-se ver alguns métodos para o cálculo da inversa da trans-formada Z intervalar de sinais do tipo X [n] = [x[n],x[n]]∈ IR, como a integral de Cauchy,

110


método por inspeção e expansão por frações parciais.

6.3.2 Propriedades da Transformada Z Intervalar

Aqui serão apresentadas algumas propriedades da transformada Z intervalar para a =

|z|−ncos(−nω)≥ 0 e b= |z|−nsen(−nω)≥ 0, onde z−n = |z|−ncos(−nω)+i|z|−nsen(−nω).

Propriedade 6.1 (Linearidade). Sejam X [n] = A[n] + iB[n], Y [n] = C[n] + iD[n], com

A[n] = [a[n],a[n]], C[n] = [c[n],c[n]] e B[n] = D[n] = [0,0], para todo n ∈ Z. Se a,b≥ 0 e

W [n] = t1X [n]+ t2Y [n], então WI(z) = t1XI(z)+ t2YI(z), para t1, t2 ∈ R+.

Demonstração: Como W [n] = t1X [n]+t2Y [n], segue que W [n] = t1([a[n],a[n]]+i[0,0])+t2([c[n],c[n]]+ i[0,0]) = [t1a[n]+ t2c[n], t1a[n]+ t2c[n]]. Para Z−n = a+ ib, com a,b ≥ 0,segue da Definição 6.7 que:

WI(z) = [∞

∑n=−∞

(t1a[n]+ t2c[n])z−n,∞

∑n=−∞

(t1a[n]+ t2c[n])z−n]

= [∞

∑n=−∞

(t1a[n]z−n + t2c[n]z−n),∞

∑n=−∞

(t1a[n]z−n + t2c[n]z−n)]

= [∞

∑n=−∞

t1a[n]z−n +∞

∑n=−∞

t2c[n]z−n,∞

∑n=−∞

t1a[n]z−n +∞

∑n=−∞

t2c[n]z−n]

= [∞

∑n=−∞

t1a[n]z−n,∞

∑n=−∞

t1a[n]z−n]+ [∞

∑n=−∞

t2c[n]z−n,∞

∑n=−∞

t2c[n]z−n]

= t1[∞

∑n=−∞

a[n]z−n,∞

∑n=−∞

a[n]z−n]+ t2[∞

∑n=−∞

c[n]z−n,∞

∑n=−∞

c[n]z−n]

= t1XI(z)+ t2YI(z). (6.25)

Propriedade 6.2 (Deslocamento no tempo). Seja X [n] =A[n]+iB[n] com A[n] = [a[n],a[n]]

e B[n] = [0,0] para todo n ∈ Z. Se a,b≥ 0 e Y [n] = X [n+n0], então YI(z) = znoXI(z).

Demonstração: Seja Y [n] = X [n+ n0] = [a[n+ n0],a[n+ n0]] + i[0,0]. Como z−n =

a+ ib, com a,b≥ 0, segue da Definição 6.7 que:

YI(z) = [∞

∑n=−∞

a[n+n0]z−n,∞

∑n=−∞

a[n+n0]z−n]. (6.26)

111


Os extremos do intervalo da equação (6.26) é constituído se séries de potência para ocaso clássico. Enttão, fazendo a mudança de variáveis n+n0 = m, temos:

YI(z) = [∞

∑m=−∞

a[m]z−m+n0,∞

∑m=−∞

a[m]z−m+n0]

= [zn0∞

∑m=−∞

a[m]z−m,zn0∞

∑m=−∞

a[m]z−m]

= zn0[∞

∑m=−∞

a[m]z−m,∞

∑m=−∞

a[m]z−m]

= zn0XI(z) (6.27)

Propriedade 6.3 (Reversão no tempo). Seja X [n] = A[n]+ iB[n] com A[n] = [a[n],a[n]] e

B[n] = [0,0], para todo n ∈ Z. Se a,b≥ 0 e Y [n] = X [−n], então YI(z) = XI(z−1).

Demonstração: Seja Y [n] =X [−n] = [a[−n],a[−n]]. Como z−n = a+ ib, com a,b≥ 0,segue da Definição 6.7 que:

YI(z) = [∞

∑n=−∞

a[−n]z−n,∞

∑n=−∞

a[−n]z−n]. (6.28)

Fazendo a mudança de variáveis−n=m nos extremos do intervalo da equação (6.29),que são séries de potência para o caso clássico, segue que:

YI(z) = [∞

∑m=−∞

a[m]zm,∞

∑m=−∞

a[m]zm]

= [∞

∑m=−∞

a[m](z−1)−m,∞

∑m=−∞

a[m](z−1)−m]

= XI(z−1) (6.29)

Propriedade 6.4 (Multiplicação por uma exponencial). Seja X [n] = A[n] + iB[n] com

A[n] = [a[n],a[n]] e B[n] = [0,0], para todo n ∈ Z. Se a,b ≥ 0 e Y [n] = α−nX [n], então

YI(z) = XI(αz), para α ∈ R+.

112


Demonstração: Para α ∈ R+, seja Y [n] = α−nX [n] = α−n([a[n],a[n]]+ i[0,0])= [α−na[n],α−na[n]]. Como z−n = a+ ib, com a,b≥ 0, segue da Definição 6.7 que:

YI(z) = [∞

∑n=−∞

α−na[n]z−n,

∞

∑n=−∞

α−na[n]z−n]

= [∞

∑n=−∞

a[n](αz)−n,∞

∑n=−∞

a[n](αz)−n]

= XI(αz). (6.30)

Definição 6.6 (Convolução Intervalar). Sejam X [n] = A[n]+ iB[n],Y [n] = C[n]+ iD[n] ∈R(C), com A[n] = [a[n],a[n]],C[n] = [c[n],c[n]] ∈ IR. Define-se a convolução intervalar

entre X [n] e Y [n] por

X [n]∗Y [n] =∞

∑k=−∞

X [n− k]⊗R Y [k]

=∞

∑k=−∞

([a[n− k],a[n− k]]+ i[0,0])⊗R ([c[k],c[k]]+ i[0,0])

=∞

∑k=−∞

[minA,maxA] (6.31)

onde A = {a[n− k].c[k],a[n− k].c[k],a[n− k].c[k],a[n− k].c[k]}.

Proposição 6.2. Sejam X [n] = A[n]+ iB[n],Y [n] =C[n]+ iD[n] ∈ R(C), com

A[n] = [a[n],a[n]], C[n] = [c[n],c[n]] ∈ IR e B[n] = D[n] = [0,0], para todo n ∈ Z. A

convolução intervalar X [n]∗Y [n] é comutativa.

Demonstração: Como a adição e a multiplicação no conjunto IC são comutativas,segue que X [n]∗Y [n] é comutativa.

Propriedade 6.5 (Convolução). Sejam X [n] = A[n] + iB[n],Y [n] = C[n] + iD[n] ∈ R(C),com A[n] = [a[n],a[n]],C[n] = [c[n],c[n]] ∈ IR e B[n] =C[n] = [0,0], para todo n ∈ Z. Se

a,b≥ 0 e W [n] = X [n]∗Y [n], então

WI(z) =

{ [ZI{X [n]}.ZI{Y [n]},ZI{X [n]}.ZI{Y [n]}

]se a[n],c[n]≥ 0,∀n ∈ Z;[

ZI{X [n]}.ZI{Y [n]},ZI{X [n]}.ZI{Y [n]}]

se a[n],c[n]≤ 0,∀n ∈ Z

onde X [n] = a[n], X [n] = a[n], Y [n] = c[n], Y [n] = c[n].

113


Demonstração: Seja W [n] = X [n]∗Y [n], pela Definição 6.6, temos

W [n] = X [n]∗Y [n] =∞

∑k=−∞

[minA,maxA] (6.32)

onde A = {a[n− k].c[k],a[n− k].c[k],a[n− k].c[k],a[n− k].c[k]}.Se a[n],c[n]≥ 0, consequentemente a[n],c[n]≥ 0, então minA= a[n−k]c[k] e maxA=

a[n− k]c[k]. Com isso, a equação (6.32) é reescrita como

W [n] =∞

∑k=−∞

[a[n− k]c[k],a[n− k]c[k]]

= [∞

∑k=−∞

a[n− k]c[k],∞

∑k=−∞

a[n− k]c[k]] (6.33)

Utilizando a Definição 6.7 para calcular a transformada Z intervalar de W [n], segueque:

WI(z) =

[∞

∑n=−∞

(∞

∑k=−∞

a[n− k]c[k]

)z−n,

∞

∑n=−∞

(∞

∑k=−∞

a[n− k]c[k]

)z−n

]. (6.34)

Fazendo a mudança de variáveis n− k = m nos extremos do intervalo da equação (6.34),que são séries de potência para o caso clássico, segue que:

WI(z) =

[∞

∑m=−∞

(∞

∑k=−∞

a[m]c[k]

)z−k−m,

∞

∑m=−∞

(∞

∑k=−∞

a[m]c[k]

)z−k−m

]

=

[∞

∑m=−∞

a[m]

(∞

∑k=−∞

c[k]

)z−kz−m,

∞

∑m=−∞

a[m]

(∞

∑k=−∞

c[k]

)z−kz−m

]

=

[∞

∑m=−∞

a[m]z−m∞

∑k=−∞

c[k]z−k,∞

∑m=−∞

a[m]z−m∞

∑k=−∞

c[k]z−k

]= [ZI{X [n]}.ZI{Y [n]},ZI{X [n]}.ZI{Y [n]}]. (6.35)

Se a[n],c[n]≤ 0, consequentemente a[n],c[n]≤ 0, então minA= a[n−k]c[k] e maxA=

a[n− k]c[k]. Com isso, a equação (6.32) é reescrita como

W [n] =∞

∑k=−∞

[a[n− k]c[k],a[n− k]c[k]]

= [∞

∑k=−∞

a[n− k]c[k],∞

∑k=−∞

a[n− k]c[k]] (6.36)

114


Utilizando a Definição 6.7 para calcular a transformada Z intervalar de W [n], segueque:

WI(z) =

[∞

∑n=−∞

(∞

∑k=−∞

a[n− k]c[k]

)z−n,

∞

∑n=−∞

(∞

∑k=−∞

a[n− k]c[k]

)z−n

]. (6.37)

Fazendo a mudança de variáveis n− k = m nos extremos do intervalo da equação (6.37),que são séries de potência para o caso clássico, segue que:

WI(z) =

[∞

∑m=−∞

(∞

∑k=−∞

a[m]c[k]

)z−k−m,

∞

∑m=−∞

(∞

∑k=−∞

a[m]c[k]

)z−k−m

]

=

[∞

∑m=−∞

a[m]

(∞

∑k=−∞

c[k]

)z−kz−m,

∞

∑m=−∞

a[m]

(∞

∑k=−∞

c[k]

)z−kz−m

]

=

[∞

∑m=−∞

a[m]z−m∞

∑k=−∞

c[k]z−k,∞

∑m=−∞

a[m]z−m∞

∑k=−∞

c[k]z−k

]= [ZI{X [n]}.ZI{Y [n]},ZI{X [n]}.ZI{Y [n]}]. (6.38)

6.4 Transformada de Fourier para Sinais Intervalares Dis-cretos no Tempo

A Transformada de Fourier é uma ferramenta matemática muito utilizada na engenha-ria, particularmente no processamento de sinais. Ela possibilita a mudança do domínio dotempo para o domínio da freqüência e torna certas operações e análises mais claras. Emgeral, a transformada de Fourier é um conjunto de técnicas matemáticas que se baseiamna decomposição do sinal em senóides e se divide em quatro categorias: Transformadade Fourier, Séries de Fourier, Transformada de Fourier discreta no tempo, TransformadaDiscreta de Fourier. Essas quatro categorias são específicas para tratar sinais dos tipos:sinais contínuos aperiódicos, sinais contínuos periódicos, sinais discretos aperiódicos esinais discretos periódicos, respectivamente, como mostra a Figura (6.1). Para maioresdetalhes, consultar [Smith 1999].

Aqui será feita uma análise da Transformada de Fourier discreta para tratar sinaisintervalares.

Seja z = |z|cosω + |z|senω e z−n = |z|−ncos(−nω) + i|z|−nsen(−nω). Defina a =

|z|−ncos(−nω) e b = |z|−nsen(−nω). Logo, z−n = a+ ib.

115


Figura 6.1: Retirada de [Smith 1999]. As diversas transformadas de Fourier para diferen-tes tipos de sinais.

Se B[n] for nulo para todo n ∈ Z e A[n] = [a[n],a[n]], então é válida a equação (6.15):

XI(z) = [∞

∑n=−∞

min{a[n].a,a[n].a}+ i∞

∑n=−∞

min{a[n].b,a[n].b},

∞

∑n=−∞

max{a[n].a,a[n].a}+ i∞

∑n=−∞

max{a[n].b,a[n].b}]

Se |z| é unitário, então z = cosω+ isenω e z−n = cos(−nω) + isen(−nω) = e−iωn.Neste caso, a = cos(−nω) e b = sen(−nω). Para |z| é unitário a notação XI(z) serásubstituída por XI(eiω).

Se a,b≥ 0, segue da equação (6.15) que:

116


XI(eiω) = [∞

∑n=−∞

amin{a[n],a[n]},∞

∑n=−∞

amax{a[n],a[n]}]+

i[∞

∑n=−∞

bmin{a[n],a[n]},∞

∑n=−∞

bmax{a[n],a[n]}]

= [∞

∑n=−∞


∑n=−∞

bmin{a[n],a[n]},

∞

∑n=−∞


∑n=−∞

bmax{a[n],a[n]}]

= [∞

∑n=−∞

min{a[n],a[n]}(a+ ib),∞

∑n=−∞

max{a[n],a[n]}(a+ ib)]

[∞

∑n=−∞

min{a[n],a[n]}e−iωn,∞

∑n=−∞

max{a[n],a[n]}e−iωn]. (6.39)

Se a,b≤ 0, segue da equação (6.15) que:

XI(eiω) = [∞

∑n=−∞

(−a)min{−a[n],−a[n]},∞

∑n=−∞

(−a)max{−a[n],−a[n]}]+

i[∞

∑n=−∞

(−b)min{−a[n],−a[n]},∞

∑n=−∞

(−b)max{−a[n],−a[n]}]

= [∞

∑n=−∞

(−a)min{−a[n],−a[n]}+ i∞

∑n=−∞

(−b)min{−a[n],−a[n]},

∞

∑n=−∞

(−a)max{−a[n],−a[n]}+ i∞

∑n=−∞

(−b)max{−a[n],−a[n]}]

= [∞

∑n=−∞

min{−a[n],−a[n]}(−a− ib),

∞

∑n=−∞

max{−a[n],−a[n]}(−a− ib)]

+i[−∞

∑n=−∞

min{−a[n],−a[n]}e−iωn,

−∞

∑n=−∞

max{−a[n],−a[n]}e−iωn]. (6.40)

Se a≥ 0 e b < 0, então segue da equação (6.15) que:

117


XI(eiω) = [∞

∑n=−∞

amin{a[n],a[n]},∞

∑n=−∞

amax{a[n],a[n]}]+

i[∞

∑n=−∞

(−b)min{−a[n],−a[n]},∞

∑n=−∞

(−b)max{−a[n],−a[n]}]

= [∞

∑n=−∞

amin{a[n],a[n]}− i∞

∑n=−∞

bmin{−a[n],−a[n]},

∞

∑n=−∞

amax{a[n],a[n]}− i∞

∑n=−∞

bmax{−a[n],−a[n]}]

= [∞

∑n=−∞

(amin{a[n],a[n]}− ibmin{−a[n],−a[n]}),

∞

∑n=−∞

(amax{a[n],a[n]}− ibmax{−a[n],−a[n]})]. (6.41)

Se a < 0 e b≥ 0, então segue da equação (6.15) que:

XI(eiω) = [∞

∑n=−∞

(−a)min{−a[n],−a[n]},∞

∑n=−∞

(−a)max{−a[n],−a[n]}]+

i[∞

∑n=−∞

bmin{a[n],a[n]},∞

∑n=−∞

bmax{a[n],a[n]}]

= [∞

∑n=−∞

(−a)min{−a[n],−a[n]}+ i∞

∑n=−∞

bmin{a[n],a[n]},

∞

∑n=−∞

(−a)max{−a[n],−a[n]}+ i∞

∑n=−∞

bmax{a[n],a[n]}]

= [∞

∑n=−∞

(−amin{−a[n],−a[n]}+ ibmin{a[n],a[n]}),

∞

∑n=−∞

(−amax{−a[n],−a[n]}+ ibmax{a[n],a[n]})]. (6.42)

Com os casos analisados acima, temos a seguinte definição:

Definição 6.7. Se z é unitário e z−n = a+ ib, com a = cos(−nω) e b = sen(−nω), A[n] =[a[n],a[n]] e B[n] = [0,0] para todo n ∈ Z, então a transformada de Fourier para o sinal

118


intervalar X [n] = A[n]+ iB[n] é definida por

XI(eiω) =

[∞

∑n=−∞


∑n=−∞

max{a[n],a[n]}e−iωn

], a,b≥ 0;[

−∞

∑n=−∞

min{−a[n],−a[n]}e−iωn,−∞

∑n=−∞

max{−a[n],−a[n]}e−iωn

], a,b≤ 0;[

∞

∑n=−∞

K1[n],∞

∑n=−∞

K1[n]

], a≥ 0 e b≤ 0;[

∞

∑n=−∞

K2[n],∞

∑n=−∞

K2[n]

], a≤ 0 e b≥ 0.

onde

K1[n] = amin{a[n],a[n]}− ibmin{−a[n],−a[n]}K1[n] = amax{a[n],a[n]}− ibmax{−a[n],−a[n]}K2[n] =−amin{−a[n],−a[n]}+ ibmin{a[n],a[n]}K2[n] =−amax{−a[n],−a[n]}+ ibmax{a[n],a[n]}

Observação 6.6. Para a,b≥ 0, se a[n] = a[n] = a[n], então min{a[n],a[n]}=max{a[n],a[n]}=a[n]. Com isso,

XI(e−iω) = [∞

∑n=−∞


∑n=−∞

max{a[n],a[n]}e−iωn]

= [∞

∑n=−∞

a[n]e−iωn,∞

∑n=−∞

a[n]e−iωn]

=∞

∑n=−∞

a[n]e−iωn, (6.43)

isto é, a transformada de Fourier XI(eiω) do sinal intervalar X [n] = [a[n],a[n]] + i[0,0]coincide com a transformada de Fourier discreta no tempo X (eiω) do sinal x[n] = a[n]

(caso clássico).

Observação 6.7. Para a,b≥ 0, se X [n] = [a[n],a[n]]+ i[0,0], então a[n]≤ a[n]. Assim,

XI(eiω) = [∞

∑n=−∞


∑n=−∞

max{a[n],a[n]}e−iωn]

= [∞

∑n=−∞

a[n]e−iωn,∞

∑n=−∞

a[n]e−iωn]. (6.44)

119


6.4.1 Propriedades da Transformada de Fourier para Sinais Interva-lares Complexos

Como a transformada de Fourier para sinais intervalares discretos no tempo é um casoparticular da transformada Z intervalar, suas propriedades, assim como suas demons-trações, são semelhantes. Aqui serão listadas algumas propriedades da transformada deFourier para sinais discretos no tempo e as demonstração são omitidas por serem análogasàs demostrações feitas na Seção 6.3.2.

Seja z unitário e z−n = cos(−nω)+ isen(−nω) = a+ ib, para a = cos(−nω) e b =

sen(−nω).

Propriedade 6.6 (Linearidade). Sejam X [n] = A[n] + iB[n], Y [n] = C[n] + iD[n], com

A[n] = [a[n],a[n]], C[n] = [c[n],c[n]] e B[n] = D[n] = [0,0], para todo n ∈ Z. Se a,b≥ 0 e

W [n] = t1X [n]+ t2Y [n], então WI(eiω) = t1XI(eiω)+ t2YI(eiω), para t1, t2 ∈ R+.

Propriedade 6.7 (Deslocamento no tempo). Seja X [n] =A[n]+iB[n] com A[n] = [a[n],a[n]]

e B[n] = [0,0] para todo n∈Z. Se a,b≥ 0 e Y [n] =X [n+n0], então YI(eiω)= eiωn0XI(eiω).

Propriedade 6.8 (Reversão no tempo). Seja X [n] = A[n]+ iB[n] com A[n] = [a[n],a[n]] e

B[n] = [0,0], para todo n ∈ Z. Se a,b≥ 0 e Y [n] = X [−n], então YI(eiω) = XI(e−iω).

Propriedade 6.9 (Multiplicação por uma exponencial). Seja X [n] = A[n] + iB[n] com

A[n] = [a[n],a[n]] e B[n] = [0,0], para todo n ∈ Z. Se a,b ≥ 0 e Y [n] = eiω0nX [n], en-

tão YI(eiω) = XI(ei(ω−ω0)).

Propriedade 6.10 (Convolução). Sejam X [n] = A[n]+ iB[n],Y [n] =C[n]+ iD[n] ∈ R(C),com A[n] = [a[n],a[n]],C[n] = [c[n],c[n]] ∈ IR e B[n] =C[n] = [0,0], para todo n ∈ Z. Se

a,b≥ 0 e W [n] = X [n]∗Y [n], então

WI(eiω) =

{ [K,K

]se a[n],c[n]≥ 0,∀n ∈ Z;[

K,K]

se a[n],c[n]≤ 0,∀n ∈ Z

onde

K =∞

∑m=∞

a[n]e−iωm∞

∑k=−∞

c[k]e−iωk;

K =∞

∑m=∞

a[n]e−iωm∞

∑k=−∞

c[k]e−iωk;

120


6.5 Conclusão

A fundamentação intervalar dos conceitos de sinais, sistemas e transformada Z (te-orias que dão suporte ao processamento digital de sinais) possibilita a investigação devárias ferramentas e algoritmos auto-validáveis para serem aplicados em problemas prá-ticos.

Neste capítulo foi definida a transformada Z para um sinal intervalar e a região depólos para esse caso. Foi mostrado que se um sinal intervalar X [n] representa um sinalx[n], então a transformada intervalar XI(z) representa a transformada clássica X (z). Foramanalisadas as condições de convergência para da transformada Z intervalar utilizando asnoções de convergência de sequência intervalar introduzidas por Moore (1979).

Foi estudado o caso particular em que o sinal X [n] = A[n] + iB[n] é tal que B[n] = 0para todo n ∈ Z. Para este caso foi mostrado que a transformada Z intervalar se divideem quatro casos e, em particular, quando A[n] = [a[n],a[n]] e z−n = a + ib onde a =

|z|−ncos(−nω) e b = sen(−nω) são ambos positivos, a definição coincide com o casoclássico.

Foi definida a convolução intervalar para o caso em que z−n = a + ib onde a =

|z|−ncos(−nω) e b = sen(−nω) são ambos positivos.Foram investigadas as propriedades de linearidade, deslocamento no tempo, reversão

no tempo, multiplicação por uma exponencial e convolução para o caso em que z−n =

a+ ib onde a = |z|−ncos(−nω) e b = sen(−nω) são ambos positivos.Quando a variável complexa z é unitária a definição de transformada Z intervalar recai

na definição de transformada de Fourier para sinais intervalares discretos no tempo. Esteconceito foi introduzido neste trabalho para o caso em que o sinal X [n] = A[n]+ iB[n] étal que B[n] = 0 para todo n ∈ Z. Em particular, quando A[n] = [a[n],a[n]] e z−n = a+ ib

onde a = |z|−ncos(−nω) e b = sen(−nω) são ambos positivos, a definição coincide como caso clássico.

As propriedades da transformada de Fourier para sinais discretos no tempo para o casoem que z−n = a+ ib onde a = |z|−ncos(−nω) e b = sen(−nω) são ambos positivos sãoanálogas às da transformada Z intervalar e suas demonstrações foram omitidas.

Os conceitos introduzidos aqui possibilitam o tratamento de sinais intervalares com-plexos e é ponto inicial para a elaboração de algoritmos apropriados, que tratam inpreci-sões no processamento digital de sinais.

121

Capítulo 7

Validação dos Resultados

Aqui são utilizadas as abordagens intervalares das principais ferramentas do proces-samento digital de sinais, isto é, sinais, amostragem, quantização e transformada Z. Ateoria desenvolvida neste trabalho é utilizada no desenvolvimento de códigos feitos nosoftware Matlab para implementar uma amostragem intervalar, o processo de quantiza-ção intervalar e o cálculo da transfomada Z intervalar para um caso particular.

As funções utilizadas para desempenhar o papel da função arredondamento R, definidano Capítulo 5, são: “floor” (arredondamento em direção ao -∞) e “ceil” (arredondamentoem direção ao +∞). Nas implementações considera-se inicialmente quatro dígitos deci-mais para um número x com o uso do comando “format short”. Posteriormente, paraarredondar x para o menor número representável maior que ele será utilizada a funçãofloor(x/e)*e. Para arredondar x para o maior número representável menor que ele seráutilizada a função ceil(x/e)*e.

Em ambas as funções anteriores “e” representa o menor número representável comuma quantidade fixa de dígitos decimais. No Capítulo 5 utilizou-se para isto a constanteε. Para uma representação com dois dígitos decimais basta considerar e = 0.01.

Os códigos das implementações deste capítulo podem ser vistos no Apêndice e foramfeitos de maneira genérica para “e” e “qtd”, onde qtd representa a quantidade de amostras.

Se a quantidade de dígitos decimais for maior ou igual a três, a função “format short”deve ser substituída por outra. Por exemplo, pode-se utilizar a função “format long” quedeixa o número com dezesseis dígitos decimais.

7.1 Amostragem Clássica

A os valores da amostragem clássica do sinal x[n] = (0.9)n{0.5cos(0.2πn)−√

32 sen(0.2πn)}

estão na Tabela 7.1 e representados graficamente na Figura 7.1. O código da implemen-tação está disponível na Tabela 9.1 que se encontra no Apêndice.

122

Capítulo 7. Validação dos Resultados

n x[n]0 0.50001 −0.09412 −0.54203 −0.71314 −0.59945 −0.29526 0.05567 0.32008 0.42119 0.353910 0.1743

Tabela 7.1: Amostras do sinal x[n] = (0.9)n{0.5cos(0.2πn)−√

32 sen(0.2πn)} para 0 ≤

n≤ 10.

Figura 7.1: Amostras do sinal x[n] = (0.9)n{0.5cos(0.2πn)−√

32 sen(0.2πn)} para qtd=10.

123


7.2 Amostragem Intervalar

Os valores numéricos da amostragem intervalar do sinal x[n] = (0.9)n{0.5cos(0.2πn)−√3

2 sen(0.2πn)} são exibidos na Tabela 7.2 e representados graficamente nas Figuras 7.3e ??. O código utilizado para implementação da amostragem intervalar do sinal dado émostrado na Tabela 9.2 que se encontra no Apêndice.

n X [n] = [x[n],x[n]]0 [0.5000,0.5000]1 [−0.1000,−0.0900]2 [−0.5500,−0.5400]3 [−0.7200,−0.7100]4 [−0.6000,−0.5900]5 [−0.3000,−0.2900]6 [0.0500,0.0600]7 [0.3200,0.3300]8 [0.4200,0.4300]9 [0.3500,0.3600]10 [0.1700,0.1800]

Tabela 7.2: Amostras intervalares do sinal x[n] = (0.9)n{0.5cos(0.2πn)−√

32 sen(0.2πn)}

para 0≤ n≤ 10.

7.3 Quantização Clássica

Na Tabela 9.3, cituada no Apêndice, é dado o código da quantização clássica do sinalx[n] = (0.9)n, para n ≥ 0 e x[n] = 0, para n < 0. No código, e é o menor número repre-sentado no sistema de ponto flutuante adotado. Se a precisão for de quatro casas decimaisescolha e = 0.0001. Se a precisão for de duas casas decimais escolha e = 0.01. Os cál-culos são inicializados com quatro casas decimais e depois arredondados para duas casasdecimais, por isso escolhemos e=0.01. Os resultados da implementação são mostrados naTabela 9.4 e a representação gráfica da amostragem, da quantização e do erro de quantiza-ção é mostrada na Figura 7.4. Os níveis de quantização pontuais são: n1 = 0, n2 = 0.1400,n3 = 0.2800, n4 = 0.4200, n5 = 0.5600, n6 = 0.7000, n7 = 0.8400, n8 = 0.9800.

124


Figura 7.2: Amostras intervalares do sinal x[n] = (0.9)n{0.5cos(0.2πn)−√

32 sen(0.2πn)}

para e = 0.01 e qtd=10.

n x[n] xq[n] e[n] = xq[n]− x[n]0 1 n8 = 0.9800 −0.02001 0.9000 n7 = 0.8400 −0.06002 0.8100 n7 = 0.8400 0.03003 0.7290 n6 = 0.7000 −0.02904 0.6561 n6 = 0.7000 0.04395 0.5905 n5 = 0.5600 −0.03056 0.5314 n5 = 0.5600 0.02867 0.4783 n4 = 0.4200 −0.05838 0.4305 n4 = 0.4200 −0.01059 0.3874 n4 = 0.4200 0.0326

10 0.3487 n3 = 0.2800 −0.0687

Tabela 7.3: Valores da amostragem, quantização e erro de quantização para o caso clássicodo sinal x[n] = (0.9)n, para n≥ 0 e x[n] = 0, para n < 0, para e = 0.01 e qtd = 10.

125


Figura 7.3: ampliação das amostras, para n = 8,9,10, do sinal x[n] =

(0.9)n{0.5cos(0.2πn)−√

32 sen(0.2πn)} para e = 0.01 e qtd=10.

7.4 Quantização Intervalar

Na Tabela 9.4, cituada no Apêndice, é mostrado o código da quantização intervalardo sinal x[n] = (0.9)n, para n≥ 0 e x[n] = 0, para n < 0. Do mesmo modo como foi feitona quantização clássica, os cálculos são iniciados com quatro casas decimais e posterior-mente utiliza-se duas casas decimais. Neste caso, da quantização intervalar, as amostrassão arredondadas para cima e para baixo com o uso das funções “ceil” e “floor”. A Figura7.5 mostra a representação gráfica do extremo inferior da amostra e da quantização dosinal, do extremo superior da amostra e da quantização do sinal e dos extremos inferiore superior do erro de quantização. Na Tabela 7.4 são apresentados os valores numéricosobtidos com o código da Tabela 9.4, em que ∆ = [0.1400,0.1500] e os níveis de quantiza-ção intervalares são N1 = [0.0000,0.0000], N2 = [0.1300,0.1600], N3 = [0.2700,0.3100],N4 = [0.41000.4600], N5 = [0.5500,0.6100], N6 = [0.6900,0.7600], N7 = [0.8300,0.9100]e N8 = [0.9700,1.0600].

126


Figura 7.4: Representação da amostragem, da quantização e do erro de quantização parao caso pontual do sinal x[n] = (0.9)n, para n ≥ 0 e x[n] = 0, para n < 0, para e = 0.01 eqtd=10.

7.5 Transformada Z Intervalar

Na tabela 9.5, situada no Apêndice, é mostrado o código para implementar no Matlab aamostragem intervalar do sinal x[n] = (0.9)n, para n= 1, . . . , qtd e x[n] = 0, caso contrário.Com os valores das amostras intervalares, dadas na Tabela 7.5, obtém-se a transformadaZ intervalar XI(z) = [1+ 9

10z+ 81100z2 + 18

25z3 + 1320z4,1+ 9

10z+ 81100z2 + 73

100z3 + 3350z4].

127


n X [n] Xq[n] E[n] = Xq[n]−X [n]0 [1,1] N8 = [0.9700,1.0600] [−0.0300,0.0600]1 [0.9000,0.9000] N7 = [0.8300,0.9100] [−0.0700,0.0100]2 [0.8100,0.8100] N7 = [0.8300,0.9100] [0.0200,0.1000]3 [0.7200,0.7300] N6 = [0.6900,0.7600] [−0.0400,0.0400]4 [0.6500,0.6600] N5 = [0.5500,0.6100] [−0.1100,−0.0400]5 [0.5900,0.6000] N5 = [0.5500,0.6100] [−0.0500,0.0200]6 [0.5300,0.5400] N5 = [0.5500,0.6100] [0.0100,0.0800]7 [0.4700,0.4800] N4 = [0.4100,0.4600] [−0.0700,−0.0100]8 [0.4300,0.4400] N4 = [0.4100,0.4600] [−0.0300,0.0300]9 [0.3800,0.3900] N4 = [0.4100,0.4600] [0.0200,0.0800]

10 [0.3500,0.3400] N3 = [0.2700,0.3100] [−0.0800,−0.0300]

Tabela 7.4: Valores da amostragem, quantização e erro de quantização para o caso inter-valar do sinal x[n] = (0.9)n, para n ≥ 0 e x[n] = 0, para n < 0, considerando e = 0.01 eqtd = 10.

n X [n]0 [1.0000,1.0000]1 [0.9000,0.9000]2 [0.8100,0.81]3 [0.7200,0.7300]4 [0.6500,0.6600]

Tabela 7.5: Amostras intervalares do sinal x[n] = (0.9)n, para n = 1, . . . , qtd e x[n] = 0,caso contrário, para e = 0.01 e qtd=4.

128


Figura 7.5: Representação dos extremos das amostras, da quantização das amostras e doerro de quantização do sinal x[n] = (0.9)n, para n≥ 0 e x[n] = 0, para n < 0, considerandoe = 0.01 e qtd=10.

129

Capítulo 8

Conclusão

Neste trabalho utilizou-se a matemática intervalar para apresentar a abordagem inter-valar dos principais conceitos do processamento digital de sinais: sinais, sistemas, amos-tragem, quantização, codificação, transformada Z e transformada de Fourier.

Abordou-se, no estado da arte, vários trabalhos em processamento digital de sinaisque utilizam dados intervalares e, com isso, mostrou-se a importância da matemáticaintervalar no processamento de sinais e a necessidade da fundamentação de conceitos ede ferramentas matemáticas que estão sendo utilizados com dados intervalares.

Foi feita a abordagem de algumas aritméticas intervalares, como: aritmética de Moore,aritmética retangular, aritimética circular, aritmética no conjunto dos setores e aritméticano conjunto dos números polares intervalares. Durante o estudo dessas aritméticas forammostradas algumas propriedades da aritmética retangular que aparecem em cálculos comdados intervalares no processamento de sinais. Além disso, foi mostrado que o conjuntoIR com qualquer aritmética correta não satisfaz todas as propriedades do conjunto R coma aritmética clássica. O resultado foi estendido para IR que é o conjunto dos intervalos[a,b], com a≤ b, [a,+∞), (−∞,b] e (−∞,∞) e para o conjunto R(C). Isto é, as operaçõesno conjunto dos números intervalares reais ou complexos não se comportam como nocaso clássico, porém, o fato das aritméticas serem corretas já é suficiente para se obterbons resultados nas aplicações.

Ainda no estudo das aritméticas, foi estabelecida a correspondência entre a repre-sentação retangular e a setorial através da função exponencial complexa. Isso torna arepresentação dos dados intervalares mais flexível e com possibilidades de conversão de-pendendo da necessidade. Por fim, foi utilizada a ordem de Kulisch-Miranker para escre-ver o número complexo intervalar X = [a,a]+ i[b,b] ∈ R(C) na forma [a+ ib,a+ ib] =

{z ∈ C|a+ ib≤KM z≤KM a+ ib}, onde a+ ib≤KM c+ id se e somente se a≤ c e b≤ d.Esta representação na forma de intervalo foi utilizada para mostrar algumas propriedadesde somas de números complexos intervalares dadas através dos extremos dos intervalos.

130

Capítulo 8. Conclusão

Para introduzir a definição de sinais intervalares, primeiro foi apresentada uma breveanálise da representação numérica num sistema de ponto flutuante e da representaçãointervalar. Neste estudo, entende-se que se um número x ∈ R não pertence ao sistema deponto flutuante abstrato F ele não deve ser arredondado ou truncado, mas representadopor um intervalo cujos extremos são pontos flutuantes. Isto é, se x∈R e x /∈F então x deveser representado por [x,x] ∈ IR, tal que x é o maior ponto flutuante menor que x e x é omenor ponto flutuante maior que x. Estabelecido isso, foram definidas as funções R e RC.A primeira mapeia x ∈R ao menor intervalo X que contém x e cujos extremos são pontosflutuantes e a segunda mapeia o par (x,y), que é equivalente ao número complexo x+ iy∈C, ao par de intervalos (X ,Y ), de tal forma que X ,Y ∈ IR são os menores intervalos cujosextremos são pontos flutuantes satisfazendo x ∈ X e y ∈ Y .

Tendo como base o estudo feito sobre as aritméticas intervalares e sobre a representa-ção numérica no sistema de ponto flutuante, definiu-se sinais intervalares. Foi apresentadoum exemplo de um sinal contínuo no tempo e a obtensão das amostras intervalares uti-lizando as funções R e RC, definidas anteriormente. Também foi mostrado que sinaisintervalares podem ser representados pela combinação linear de impulsos deslocados,como acontece no caso clássico. Utilizando os mesmos princípios, definiu-se sistemasintervalares e as principais classes, como: causal, estável, invariante no tempo, homogê-nea, aditiva e linear, além de se estabelecer a extensão de sistemas utilizando uma funçãoespecífica que preserva as principais propriedades dos sistemas clássicos.

A quantização e codificação intervalar, que foram introduzidos aqui, juntamente comuma análise ampla e detalhada de como os dados numéricos intervalares se comportam,são conceitos muito importantes que irão dar origem ao processamento digital dos sinaisintervalares. Em resumo, foi mostrado como se obtém os níveis de quantização interva-lares, como uma amostra intervalar é mapeada para algum desses níveis, que os níveisde quantização intervalares representam os níveis de quantização pontuais, que os níveisde quantização intervalares são comparáveis pela ordem de Kulisch-Miranker, que nãohá interseção entre os níveis de quantização intervalares e que uma amostra intervalarintercepta no máximo um dos níveis de quantização intervalares. A partir daí, foi defi-nido o sinal quantizado e o erro de quantização, além de se estabelecer uma estimativapara o erro de quantização intervalar. Utilizou-se um exemplo para trabalhar todos essesconceitos.

Por fim, os conceitos de transfomada Z intervalar e transformada de Fourier intervalarforam introduzidos, assim como uma análise da convergência e estudo das principaispropriedades.

Os conceitos e propriedades desenvolvidas nesse trabalho tem por objetivo contribuir

131


com a comunidade acadêmica, em particular, com os estudos relacionados com processa-mento digital de sinais intervalares. O estudo de quantização intervalar pode ser utilizadoem vários campos, isto é, várias teorias que possuem alguma aplicação computacionalpodem utilizá-la, juntamente com a matemática intervalar, com o objetivo de controlarerros computacionais.

Artigos Publicados

Periódicos

1. Fabiana T. Santana, Adrião Duarte Dória Neto e Regivan H. N. Santiago. UmaAnálise Intervalar dos Mapas Aulo-Organizáveis de Kohonen com umaProposta Intervalar para o Algoritmo SOM. Learning & Nonlinear Models(L&NLM).

2. F. T. Santana, F. L. Santana, A. M. G. Guerreiro, A. D. Dória Neto, R. H. N.Santiago. A framework for interval quantization and application to inter-val based algorithms in digital signal processing. To appear in FundamentaInformaticae, 2011.

Eventos Nacionais

1. Fabiana T. Santana, Adrião Duarte Dória Neto e Regivan H. N. Santiago. UmaAbordagem Intervalar para os Mapas Auto-Organizáveis de Kohonen.Anais do IX Congresso Brasileiro de Redes Neurais/Inteligência Computaci-onal, (CD-Rom), Ouro Preto, MG, Brasil, 2009. ISSN 2177-1200.

2. Fabiana T. Santana, Adrião Duarte Dória Neto e Regivan H. N. Santiago. Umaabordagem Intervalar da Transformada Z Definida a partir de Sinais eSistemas Intervalares Complexos. XVIII CBA 2010.

3. Fabiana T. Santana, Fágner L. Santana, Adrião Duarte Dória Neto e RegivanH. N. Santiago. Princípios de Quantização Intervalar. In: X CongressoBrasileiro de Inteligência Computacional (CBIC 2011), 2011, Fortaleza.

Eventos Regionais

1. Fabiana T. Santana,Ana Maria G. Guerreiro, Adrião Duarte Dória Neto e Re-givan H. N. Santiago. Uma Abordagem Intervalar para Sinais e Sistemas.Anáis do IX ERMAC. João Pessoa - PB. 2009.

2. Fabiana T. Santana, Fágner L. Santana, Adrião Duarte Dória Neto e RegivanH. N. Santiago. Relações Entre Intervalos e Corpos . In: CMAC-SE 2011 -

132


Congresso de Matemática Aplicada e Computacional, 2011, Uberlândia.3. Fabiana T. Santana, Fágner L. Santana, Adrião Duarte Dória Neto e Regi-

van H. N. Santiago. Fundamentação Intervalar para Transformada Z.In: CMAC-SE 2011 - Congresso de Matemática Aplicada e Computacional,2011, Uberlândia.

Possibilidades de Trabalhos Futuros

Como trabalhos futuros pode-se apontar:

1. Utilizar os sinais intervalares e a quantização intervalar propostos neste trabalhopara se trabalhar com filtros FIR de comprimento M que, no caso clássico, é descritopela equação

y[n] = b0x[n]+b1x[n−1]+ · · ·+bM−1x[n−M+1]

=M−1

∑k=0

bkx[n− k]

onde {bk} é o conjunto dos coeficientes do filtro. Mais informações podem serencontradas em [Ingle & Proakis 2007], [Oppenheim 1989] e [Proakis & Manolakis1996].

2. Rever as ferramentas de processamento digital de sinais do ponto de vista morfo-lógico. Por exemplo, [Keshet 2000] aborda as principais ferramentas do proces-samento digital de sinais, como filtros lineares, quantização e codificação, dentreoutros, utilizando princípios de morphologia, como dilatação e erosão. Além disso,a função utilizada para rever a quantização utilizando os príncipios de morfologia émuito parecida com a utizada neste trabalho. Aqui utilizamos a função aproxima-ção R e no trabalho citado utiliza-se as funções dxe e bxc. Mais informações sobreessas funções e sobre morphologia podem ser encontradas em [Heijmans 1990] e[Heijmans 1995].

3. Aplicar a quantização intervalar proposta neste trabalho para se trabalhar com pro-cessamento digital de imagens.

4. Utilizar a quantização intervalar proposta neste trabalho em algoritmos de proces-samento digital de sinais e redes neurais.

5. Associar a análise intervalar feita aqui com a abordagem utilizando lógica fuzzypara avaliar a incerteza na medição de sinais, vista em [Mendel 2000] e [Ferrero,Gamba & Salicone 2004].

133

Capítulo 9

Apêndice

Aqui são apresentados os códigos utilizados nas implementações mostradas no Capí-tulo 7.

Código para amostragem do sinal x[n] = (0.9)n{0.5cos(0.2πn)−√

32 sen(0.2πn)}

function Amostragem(qtd)%Definindo 4 casas decimaisformat short;X = zeros(1,1);k = 1;for n = 0:1:qtdX(k) = (0.9)∧n∗ (0.5∗ cos(0.2∗ pi∗n)− (sqrt(3)/2)∗ sin(0.2∗ pi∗n));disp(’valor amostrado’);disp(X(k));k = k + 1;endstem(X,’b’); gridxlabel( ’Tempo de amostragem’) ; title (’Amostras do sinal X(k)’) ;hold on;end

Tabela 9.1: Código no Matlab para a amostragem clássica do sinal x[n] =

(0.9)n{0.5cos(0.2πn)−√

32 sen(0.2πn)}.

134

Capítulo 9. Apêndice

Código para amostragem intervalar do sinal x[n] = (0.9)n{0.5cos(0.2πn)−√

32 sen(0.2πn)}

%qtd representa a quantidade de pontos amostradosfunction AmostragemIntervalar(e, qtd)%Definindo 4 casas decimaisformat short;X = zeros(1,1);X1 = zeros(1,1);X2 = zeros(1,1);k = 1;for n = 0:1:qtdX(k) = ((0.9)∧n)∗ (0.5∗ cos(0.2∗ pi∗n)− (sqrt(3)/2)∗ sin(0.2∗ pi∗n));X1(k) = floor(X(k)/e)*e;X2(k) = ceil(X(k)/e)*e;disp(’valor intervalar’);disp([X1(k) X2(k)]);k = k + 1;endstem(X1,’b’);hold on;stem(X2,’r’);xlabel( ’Tempo de amostragem’) ; title (’Extremos inf. e sup. das amostrasintervalares do sinal X(k)’);grid;end

Tabela 9.2: Código no Matlab para amostragem intervalar do sinal x[n] =

(0.9)n{0.5cos(0.2πn)−√

32 sen(0.2πn)}.

135


Código da quantização clássica do sinal x[n] = (0.9)n, para n≥ 0 e x[n] = 0, para n < 0.%qtd representa a quantidade de pontos da funçãofunction quantizacao(e, qtd)%Definindo 4 casas decimaisformat short;xmax = 1;xmin = 0;% L é a quantidade de níveis do quantizadorL = 8;%Calculando deltadelta = (xmax - xmin)/(L-1);delta = floor(delta/e)*e;%Construindo os níveisn1 = 0;n2 = delta;n3 = 2*delta;n4 = 3*delta;n5 = 4*delta;n6 = 5*delta;n7 = 6*delta;n8 = 7*delta;disp(’Níveis de quantização’);disp(n1);disp(n2);disp(n3);disp(n4);disp(n5);disp(n6);disp(n7);disp(n8);x = zeros(1,1);xq = zeros(1,1);erro = zeros(1,1);k = 1;for n = 0:1:qtdx(k) = (0.9)∧n;d1 = abs(x(k) - n1);d2 = abs(x(k) - n2);d3 = abs(x(k) - n3);d4 = abs(x(k) - n4);d5 = abs(x(k) - n5);d6 = abs(x(k) - n6);d7 = abs(x(k) - n7);d8 = abs(x(k) - n8);

136


Código da quantização clássica do sinal x[n] = (0.9)n, para n≥ 0 e x[n] = 0, para n < 0.% continuaçãodistMin = min([d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8]);if (distMin == d1)xq(k) = n1;elseif (distMin == d2)xq(k) = n2;elseif (distMin == d3)xq(k) = n3;elseif (distMin == d4)xq(k) = n4;elseif (distMin == d5)xq(k) = n5;elseif (distMin == d6)xq(k) = n6;elseif (distMin == d7)xq(k) = n7;elsexq(k) = n8;enddisp(’Amostragem’);disp(x(k));disp(’Quantização’);disp(xq(k));% Cálculo do erro de quantizaçãoerro(k) = xq(k)-x(k);disp(’Erro de quantização’);disp(erro(k));k = k + 1;endsubplot(1,2,1);stem(x);grid;subplot(1,2,1);stem(x,’r’);grid;xlabel( ’tempo de amostragem’) ; title (’Valores amostrados e quantizados do sinal X(k)’);hold on;stem(xq,’b’);subplot(1,2,2);stem(erro);grid;subplot(1,2,2);stem(erro,’g’);grid;xlabel( ’tempo de amostragem’) ; title (’Erro de quantização’);end

Tabela 9.3: Código no Matlab da quantização clássica do sinal x[n] = (0.9)n, para n≥ 0 ex[n] = 0, para n < 0.

137


Código da quantização intervalar do sinal x[n] = (0.9)n, para n≥ 0 e x[n] = 0, para n < 0.%qtd representa a quantidade de pontos da funçãofunction QuantizacaoIntervalar(e, qtd)%Definindo 4 casas decimaisformat short;xmax = 1;xmin = 0;%Quantidade de níveis do quantizadorL = 8;%Calculando deltadelta = (xmax - xmin)/(L-1);d2=ceil(delta/e)*e;d1=floor(delta/e)*e;delta = [d1 d2];disp(’Delta intervalar’);disp(delta);%Construindo os níveisN1 = [xmin xmin];N2 = [xmin+d1-e xmin+d2+e];N3 = [xmin+2*d1-e xmin+2*d2+e];N4 = [xmin+3*d1-e xmin+3*d2+e];N5 = [xmin+4*d1-e xmin+4*d2+e];N7 = [xmin+6*d1-e xmin+6*d2+e];N8 = [xmin+7*d1-e xmin+7*d2+e];disp(’Níveis de quantização intervalares’);disp(N1);disp(N2);disp(N3);disp(N4);disp(N5);disp(N6);disp(N7);disp(N8);X = zeros(1,1);X1 = zeros(1,1);X2 = zeros(1,1);Xq = zeros(1,1);erro = zeros(1,1);erro1 = zeros(1,1);erro2 = zeros(1,1);k = 1;

138


Código da quantização intervalar do sinal x[n] = (0.9)n, para n≥ 0 e x[n] = 0, para n < 0.% continuaçãofor n = 0:1:qtdX(k) = (0.9)∧n;%X(k)=[X1(k),X2(k)]X1(k) = floor(X(k)/e)*e;X2(k) = ceil(X(k)/e)*e;disp(’Extremos do sinal amostrado’);disp(X1(k));disp(X2(k));d1 = max(abs(N1(1)-X2(k)),abs(N1(2)-X1(k)));d2 = max(abs(N2(1)-X2(k)),abs(N2(2)-X1(k)));d3 = max(abs(N3(1)-X2(k)),abs(N3(2)-X1(k)));d4 = max(abs(N4(1)-X2(k)),abs(N4(2)-X1(k)));d5 = max(abs(N5(1)-X2(k)),abs(N5(2)-X1(k)));d6 = max(abs(N6(1)-X2(k)),abs(N6(2)-X1(k)));d7 = max(abs(N7(1)-X2(k)),abs(N7(2)-X1(k)));d8 = max(abs(N8(1)-X2(k)),abs(N8(2)-X1(k)));distMin = min([d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8]);%disp(d1);%disp(distMin);if (distMin == d1)Xq1(k) = N1(1);Xq2(k) = N1(2);elseif (distMin == d2)Xq1(k) = N2(1);Xq2(k) = N2(2);elseif (distMin == d3)Xq1(k) = N3(1);Xq2(k) = N3(2);elseif (distMin == d4)Xq1(k) = N4(1);Xq2(k) = N4(2);elseif (distMin == d5)Xq1(k) = N5(1);Xq2(k) = N5(2);elseif (distMin == d6)Xq1(k) = N6(1);Xq2(k) = N6(2);elseif (distMin == d7)Xq1(k) = N7(1);Xq2(k) = N7(2);

139


Código da quantização intervalar do sinal x[n] = (0.9)n, para n≥ 0 e x[n] = 0, para n < 0.% continuaçãoelseXq1(k) = N8(1);Xq2(k) = N8(2);enddisp(’Extremos do sinal quantizado’);disp(Xq1(k));disp(Xq2(k));erro1(k) = Xq1(k)-X2(k);erro2(k) = Xq2(k)-X1(k);disp(’Extremos do erro’);disp(erro1(k));disp(erro2(k));k = k + 1;endsubplot(2,2,1);stem(X1);grid;subplot(2,2,1);stem(X1,’r’);grid;xlabel( ’Tempo de amostragem’) ; title (’Ext. inf. do sinal amostrado e do quantizado’);hold on;stem(Xq1,’b’);subplot(2,2,3);stem(X2);grid;subplot(2,2,3);stem(X2,’r’);grid;xlabel( ’Tempo de amostragem’) ; title (’Ext. sup. do sinal amostrado e do quantizado’);hold on;stem(Xq2,’b’);subplot(2,2,2);stem(erro1);gridsubplot(2,2,2);stem(erro1,’r’);gridxlabel( ’Tempo de amostragem’) ; title (’Extremo inferior do erro’);subplot(2,2,4);stem(erro2);gridsubplot(2,2,4);stem(erro2,’b’);gridxlabel( ’Tempo de amostragem’) ; title (’Extremo superior do erro’);end

Tabela 9.4: Código no Matlab da quantização intervalar do sinal x[n] = (0.9)n, para n≥ 0e x[n] = 0, para n < 0.

140


Transformada Z intervalar do sinal x[n] = (0.9)n, para n = 1, . . . , qtd e x[n] = 0, caso contrário.%qtd representa a quantidade de pontos da função%Para z∧ (−n) = a+ ib, com a e b maior ou igual a 0% I e S são os extremos inferior e superior da transformada Zfunction TransformadaIntervalar(e, qtd)%Definindo 4 casas decimaisformat short;X = zeros(1,1);X1 = zeros(1,1);X2 = zeros(1,1);Y1 = zeros(1,1);Y2 = zeros(1,1);I = zeros(1,1);S = zeros(1,1);T1 = zeros(1,1);T2 = zeros(1,1);syms zk = 1;I = 0;for n = 0:1:qtdX(k) = (0.9)∧n;X1(k) = floor(X(k)/e)*e;X2(k) = ceil(X(k)/e)*e;disp(’valor intervalar’);disp([X1(k) X2(k)]);%Transformada do extremo inferiorT1 = X1(k)*(z∧(-n));I = I + T1;%Transformada do extremo superiorT2 = X2(k)*(z∧(-n));S = S + T2;k = k + 1;enddisp(’Transformada Inferior’)disp(I);disp(’Transformada Superior’)disp(S);end

Tabela 9.5: Código no Matlab para a implementação da amostragem intervalar e cálculodos extremos da transformada Z intervalar do sinal x[n].

141

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