elementos de análise numérica equações não lineares -número de raízes -métodos iterativos...

Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares

-número de raízes-métodos iterativos-ordem de convergência-métodos intervalares

-bissecções sucessivas-falsa posição

-métodos abertos-iteração de ponto fixo-Newton-Raphson-Secante

-critérios de paragem-caso especial: multiplicidade de zeros

Resolução de equações não lineares

Pontos mais importantes:

1


Raízes das funções

f(x)=ax2+bx+c f(x)=log(2x)+sinh(3x)

x= ? tal como f(x)=0Raíz(es): x= ? tal como f(x)=0

explícito implícito

métodos numéricos

2


)e1(c

gm)t(v m

ct

-exemplo de queda livre:

m=0.5 kg, c=0.29, g=9.81 m/s2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10 12

analitica

numérica (dt=1 sec)

numérica (dt=0.5 sec)

tempo, s

velo

cida

de, m

/s

3

- se for c uma incognita? -------> 0v)e1(c

gm)c(f m

ct


Exemplos de problemas em engenharia

Lei fundamental var. dep. var. indep. parâmetrosB. térmico T t,x,y,z , k, , etc.B. mássico C t,x,y,z D, etc.B. de força F t,x,y,z E, etc.B. de energia E t,x,y,z , k, , etc.Leis de Newton a, v t,x,y,z m, c, etc

4


Número de zeros

-f(x) é uma função contínua no intervalo [a,b], o número de zeros é:

-ímpar (pelo menos uma) se f(a)*f(b)<0-par (pode ser 0) se f(a)*f(b)>0-se mais do que um f ’(x) também tem pelo menos uma raíz

5


Métodos iterativos

-carácter iterativo: a partir de alguns valores iniciais (x1, x2,...xs-1) da raiz (z) construímos uma nova aproximação xs supostamente melhor:

limk

kx z

limk

ke

0

ou

6


Ordem (velocidade) de convergência

-comparação de dois métodos iterativos: se xk e Xk convergem para o mesmo limite, e:

limk

k

k

X z

x z

0

Xk converge mais rapidamente.

-ordem de convergência (p):

0 1 me

eM ek

k

p k

p ou e c com kk+1 ~

-comentários: -quanto maior for p mais rápida a convergência-p=1 -----------> M<1-p>1 -----------> e0 suficientemente pequeno

7


Métodos de localização de zeros

1, Métodos intervalares: -mudança de sinais na vizinhança de zero-duas estimativas iniciais-método gráfico

-bissecções sucessivas-falsa posição

8


Método gráfico

-exemplo de queda livre: 0v)e1(c

gm)c(f m

ct

-1

0

1

2

3

4

5

6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

c

f(c)

c

9


Bissecções Sucessivas (BS)

-f é uma função contínua no intervalo [a,b] e f(a)*f(b)<0; existe pelo menos um zero neste intervalo.-divisões sucessivas a meio de [a,b] para subintervalos [ak,bk] tal que

f(ak)*f(bk)<0.

Algoritmo:1. passo: escolha xl (limite inferior) e xu (limite superior) tal que f(xl)*f(xu)<0

2. passo:

3. passo: a, se f(xl)*f(xr)<0 -----> xu = xr

b, se f(xu)*f(xr)<0 -----> xl = xr

c, se f(xu)*f(xr)=0 -----> z= xr , fim

4. passo: volta 2.

xx x

rl u2

10


Exemplo queda livre:

11

0v)e1(c

gm)c(f m

ct

k c_l f(c_l) c_u f(c_u) c_r f(c_r) e_a, %1 0.1000 8.5308 1.0000 -8.7072 0.5500 -5.01072 0.1000 8.5308 0.5500 -5.0107 0.3250 -0.6549 -69.233 0.1000 8.5308 0.3250 -0.6549 0.2125 3.0324 -52.944 0.2125 3.0324 0.3250 -0.6549 0.2688 1.0121 20.935 0.2688 1.0121 0.3250 -0.6549 0.2969 0.1393 9.476 0.2969 0.1393 0.3250 -0.6549 0.3109 -0.2671 4.527 0.2969 0.1393 0.3109 -0.2671 0.3039 -0.0663 -2.318 0.2969 0.1393 0.3039 -0.0663 0.3004 0.0359 -1.179 0.3004 0.0359 0.3039 -0.0663 0.3021 -0.0153 0.5810 0.3004 0.0359 0.3021 -0.0153 0.3013 0.0103 -0.29

m= 0,5 kg; t= 3s; v= 13,6 m/s

c= 0,3013 (ea=-0,29%)


c estimado

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0 2 4 6 8 10 12

k

f(c_r)

-6.0000

-5.0000

-4.0000

-3.0000

-2.0000

-1.0000

0.0000

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000

0 2 4 6 8 10 12k

erro estimado, %

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k12


Critério de paragem

1, 100*novor

anteriorr

novor

a x

xxe

2, E a b EEk k k k

k 1

1

2

1

2

1

2 0

Ek+1

- convergência linear (p=1)- c=0.5

-explicação gráfica: http://www.cse.illinois.edu/iem/nonlinear_eqns/Bisection/

13


Falsa Posição(FAP)

-o método de BS não utiliza a informação sobre o valor f(a) e f(b)

xl

xu

xr

f(xl)

f(xu)

f(xr)

f(x=

f(x

ou x =x

= x

l u

ru

r u

) )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

x x x x

f x x f x

f x f x

ou xf x x x

f x f x

l r u r

l l u

l u

u l u

l u

-algoritmo igual a BS excepto passo 2.

14

z


Características do método FAP

-só um dos limites são alterados: -função convexa: xl

-função côncava: xu

-no caso de conv., o limit [xl, xu] aproxima uma constante com k-->inf.:

-função convexa: xu-z-função côncava: xl-z

-ordem de convergência: -p=1-c<1

-normalmente mais rápido que BS mas não sempre (exemplo: f(x)=x10-1)Critério de paragem

100*x

xxe

novor

anteriorr

novor

a

f(x)<

15


16

Exemplo queda livre: 0v)e1(c

gm)c(f m

ct

m= 0,5 kg; t= 3s; v= 13,6 m/s

k c_l f(c_l) c_u f(c_u) c_r f(c_r) e_a, %1 0.1000 8.5308 1.0000 -8.7072 0.5454 -4.94752 0.1000 8.5308 0.5454 -4.9475 0.3819 -2.0552 42.813 0.1000 8.5308 0.3819 -2.0552 0.3272 -0.7133 16.734 0.1000 8.5308 0.3272 -0.7133 0.3096 -0.2305 5.665 0.1000 8.5308 0.3096 -0.2305 0.3041 -0.0727 1.816 0.1000 8.5308 0.3041 -0.0727 0.3024 -0.0227 0.577 0.1000 8.5308 0.3024 -0.0227 0.3019 -0.0071 0.188 0.1000 8.5308 0.3019 -0.0071 0.3017 -0.0022 0.069 0.1000 8.5308 0.3017 -0.0022 0.3016 -0.0007 0.0210 0.1000 8.5308 0.3016 -0.0007 0.3016 -0.0002 0.01

c= 0,3016 (ea=0,01%)


c_r

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0.4000

0.4500

0.5000

0.5500

0.6000

0 2 4 6 8 10 12

k

f(c_r)

-5.0000

-4.0000

-3.0000

-2.0000

-1.0000

0.0000

0 2 4 6 8 10 12

k

e_a, %

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k 17


Métodos de localização de zeros

1, Métodos abertos: -uma ou duas estimativas iniciais-Iteração de ponto fixo-Newton-Raphson-Secante

18


Iteração de ponto fixo(IPF)

-métodos iterativos em forma geral: xk+1=G(xk)

-no caso de convergência (f(z))=0:

ou seja

z=G(z)

-o ponto z é um ponto que a função G transforma-se nela própria.

-em geral, para uma dada f(x)=0 é possível escolher várias G(x)

-x=x+f(x)=G(x) f(x)=sin(x) ---> G(x)=sin(x)+x

-outros exemplos para f(x)=x3-x-1, G(x)=:

)z(G)x(limG))x(Glim(xlimz kk

kk

1kk

x x

3 11

ou x =1

x ou x = x +12

3

19


Convergência de IPF

-não é sempre convergente para a solução-critério de convergência:

xk+1=G(xk) e z=G(z)

z- xk+1= G(z)- G(xk)

aplicando o teorema do valor médio conduz-nos a:

GG x G z

x zzk

k

( )( ) ( )

) com (xk

e

z- xk+1= (z- xk)G´ () ou Ek+1= G´() Ek |G´()|<1

-convergência linear (p=1),

lim lim ( ) ( ) ( )k

k

kk

E

EG G z G z

1 0 onde

---->

20


y

x

y=x

y

x

y=x

y

x

y=x

y

x

y=x

y=G(x)

y=G(x)

y=G(x)

y=G(x)

x0x2 x1 x0x2

x1

x0 x1x0 x2

x1

0<G´(x)<1 0>G´(x)>-1

G´(x)>1

G´(x)<-1

21


22

Exemplo: 0v)e1(c

gm)c(f m

ct

m= 0,5 kg; t= 3s; v= 13,6 m/s

)e1(v

gm)c(Gc m

tc

k1k

k

k c_k f(c_k) c_k+1=G(c_k) e_a, %1 0.1000 8.5308 0.162732 0.1627 5.1885 0.22481 27.623 0.2248 2.5559 0.26706 15.824 0.2671 1.0674 0.28802 7.285 0.2880 0.4054 0.29660 2.896 0.2966 0.1475 0.29982 1.077 0.2998 0.0527 0.30098 0.398 0.3010 0.0188 0.30139 0.149 0.3014 0.0067 0.30154 0.0510 0.3015 0.0024 0.30159 0.02

c= 0,3016 (ea=0,02%)


c_k

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0 2 4 6 8 10 12

k

f(c_k)

0.0000

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000

5.0000

6.0000

7.0000

8.0000

9.0000

0 2 4 6 8 10 12

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

0 2 4 6 8 10

k

e_a


Método de Newton-Raphson(NR)

-talvez o mais popular, só precisamos de uma (boa) estimativa inicial-algoritmo: 1, escolha x0

2,

3, continua 2 até que o critério de paragem seja satisfeito

x xf x

f xk kk

k

1

( )

( )

x0

f(x0)

x1x2

f x f x f x x xk k k k k( ) ( ) ( )( )( ) 1

11 0

Expansão de Taylor:

24


Convergência de NR

f x f x f x x xk k k k k( ) ( ) ( )( )( ) 1

11aproximação:

exacto: 02

12

2 f x f x z xf

z xk k k k( ) ( )( )( )

( )( )( )

subtracção: 02

11

22 f x z x

fz xk k k

( )( )

( )( )( )

( )

02 2

11

22 1

2

2

1

f x E

fE

E

E

f z

f zk k kk

k

( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )

( )

( )

( )

ou

-não converge sempre (exemplos gráficos)

-não é conveniente programar a derivada

1c))x(f(

)x(f)x(f2

25

http://www.cse.illinois.edu/iem/nonlinear_eqns/Newton/


26

Exemplo: 0v)e1(c

gm)c(f m

ct

m= 0,5 kg; t= 3s; v= 13,6 m/s

m

tc

k

m

tc

kk

kk

ec

gme

c

gtcf 1)(

2

k c_k f(c_k) f ' (c_k) c_k+1 e_a1 0.1000 8.531 -59.79 0.24272 0.2427 1.900 -35.59 0.2960 18.033 0.2960 0.164 -29.67 0.3016 1.834 0.3016 0.002 -29.12 0.3016 0.025 0.3016 0.000 -29.12 0.3016 0.006 0.3016 0.000 -29.12 0.3016 0.007 0.3016 0.000 -29.12 0.3016 0.008 0.3016 0.000 -29.12 0.3016 0.009 0.3016 0.000 -29.12 0.3016 0.0010 0.3016 0.000 -29.12 0.3016 0.00

c= 0,3016 (ea=0,00%)


Método de Secante (SEC)

-duas estimativas iniciais, modificação de NR-algoritmo: 1, escolha x0 e x1

2,

3, continua 2 até o critério de paragem ser satisfeito

x xf x x x

f x f x

f x f x

x xk kk k k

k k

k k

k k

1

1

1

1

1

( )( )

( ) ( ))

( ) ( )

( ) f (xk

x0

f(x0)

x1x2

f(x0)=a* x0 +bf(x1)=a* x1 +b0=a x2 +b

27


Convergência de SEC

-pode ser demonstrado que o erro Ek+1:

Ef

fEk

k

kk

1 2

( )

( )

E k-1

EM

mE u u

M

mME

k k

k

12

1

2

1

2

21 1

E ou u

onde M = ; u ; u ; u

k-1 k+1 k k-1

k 0 1

-ordem de convergência p é apróx. 1.618

-diferenças entre os métodos de FAP e SEC

28


)x(f)x(f

)xx)(x(fx= x

ul

uluur

FAP:

)x(f)x(f

)xx)(x(fxx

k1k

k1kkk1k

SEC:

29

-explicação gráfica: http://www.cse.illinois.edu/iem/nonlinear_eqns/Secant/


Exemplo:

30

0v)e1(c

gm)c(f m

ct

m= 0,5 kg; t= 3s; v= 13,6 m/s

k c_k-1 f(c_k-1) c_k f(c_k) c_k+1 f(c_k+1) e_a, %1 0.1000 8.531 0.0900 9.140 0.2400 -38.002 0.0900 9.140 0.2400 1.996 0.2819 -6.841 14.873 0.2400 1.996 0.2819 0.594 0.2996 -1.701 5.934 0.2819 0.594 0.2996 0.058 0.3016 0.1081 0.635 0.2996 0.058 0.3016 0.002 0.3016 0.2953 0.026 0.3016 0.002 0.3016 0.000 0.3016 0.3016 0.007 0.3016 0.000 0.3016 0.000 0.3016 0.3016 0.008 0.3016 0.000 0.3016 0.000 0.3016 0.3016 0.009 0.3016 0.000 0.3016 0.000 #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!10 0.3016 0.000 #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

c= 0,3016 (ea= 0,00%)


Critérios de paragem

1, Número de iterações: k<kmax

2, Valor da função: f(x)<

3, Amplitude de intervalo: [xl,xu]<

4, Diferença entre it. consecutivas:

x x

x

novo anterior

novo

31


Sumário

Método Função Nº X0 Ordem deconv.

Conv.

Intervalares:

BS

FP

xx x

rl u2

x = xr u

f x x xf x f x

u l u

l u

( )( )( ) ( )

2

2

1

1

sempre

sempre

Abertos:

IPF

NR

SEC

xk+1 =G(x k)

x xf xf xk k

k

k

1

( )( )

x xf x x x

f x f xk kk k k

k k

11

1

( )( )

( ) ( )

1

1

2

1

2

1<p<2

|G´( )|<1

f x f x

f xk

( ) ( )

( ( ))

2 1

u u uk +1 k k -1

32


-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12

k

e_a,

%

BS

FP

IPF

NR

SEC 0.000000001

0.00000001

0.0000001

0.000001

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

0 2 4 6 8 10 12

k

e_a,

%

BS

FP

IPF

NR

SEC

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elementos de análise numérica equações não lineares -número de raízes -métodos iterativos...

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