uma fundamentação intervalar aplicada à morfologia matemática · 5.4 morfologia sobre imagens...

128
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação Departamento de Computação e Automação Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática Doutorando: Marcia Maria de Castro Cruz Natal/RN - Brasil Setembro de 2008

Upload: doanhanh

Post on 09-Dec-2018

224 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação

Departamento de Computação e Automação

Uma Fundamentação Intervalar Aplicada àMorfologia Matemática

Doutorando: Marcia Maria de Castro Cruz

Natal/RN - Brasil

Setembro de 2008

Page 2: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

Marcia Maria de Castro Cruz

Uma Fundamentação Intervalar Aplicada àMorfologia Matemática

Orientadores:

Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto

Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago

Tese submetida ao programa de Pós-Graduação emEngenharia Elétrica e de Computação da UniversidadeFederal do Rio Grande do Norte como parte dosrequisitos para obtenção do grau de DOUTOR emCIÊNCIAS.

Natal/RN- Brasil

Setembro de 2008

Page 3: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

i

Catalogação da publicação na fonte. UFRN / Biblioteca Central “Zila Mamede”

Seção de Processos Técnicos

Cruz, Marcia

Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática / Marcia

Maria de Castro Cruz. Natal: 2008.

xviii. 109p.

Orientador: Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto

Orientador: Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago

Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de

Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica.

1. Processamento de Imagens Intervalares 2. Morfologia Matemática

3. Matemática Intervalar 4. Incerteza 5. Reticulados Completo 6. Imagens

Indefinidas 7. Dilatação 8. Erosão

RN/UF/BCZM

Page 4: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

UMA FUNDAMENTAÇÃO INTERVALAR APLICADA À

MORFOLOGIA MATEMÁTICA

Marcia Maria de Castro Cruz

Tese apresentada à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em EngenhariaElétrica e de Computação da Universidade Federal do Rio Grande do Nortecomo requisito parcial à obtenção do grau de Doutor em Ciências. Aprovada,em 05 de Setembro de 2008, pela Comissão Examinadora formada com osseguintes membros:

Composição da Banca Examinadora:

Adrião Duarte Dória Neto: UFRN, (Doutor), Orientador

Graçaliz Pereira Dimuro: UCPEL, (Doutor), Examinador

Benjamín René Callejas Bedregal: UFRN, (Doutor), Examinador

Aarão Lyra, (Doutor), Examinador: UnP

Ronei Marcos de Moraes: UFPB, (Doutor), Examinador

Natal/RN - BrasilSetembro de 2008

Page 5: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

DEDICATÓRIA i

Ao meu esposo e filhos, Rubens, Janaina e Izan, que sem a confiança, paciência e o

companherismo deles, não teria tido oportunidade de galgar este grau.

Page 6: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

AGRADECIMENTOS ii

Agradecimentos

Após esta difícil jornada, quero agradecer a todos aqueles que, de diferentes formas,

contribuíram para a realização desse trabalho.

Na impossibilidade de citar todos os nomes, destaco alguns, na certeza de que sou

grato a todos que direta ou indiretamente contribuíram para o sucesso deste trabalho.

A Deus, o ser SUPREMO do universo, presente em todos os momentos.

Aos meus amados esposo e filhos (em ordem hereditária), Rubens Leão de Andrade,

Janaina de Castro Leão e Izan de Castro leão pelo estímulo, carinho, amor e apoio na

concretização deste trabalho.

Em especial, um profundo agradecimento ao meu filho Izan que, por muitas vezes me

ajudou em vários aspectos desta tese, tais como obtenção de algumas imagens.

A minha mãe, que mesmo de longe sempre torceu pelo meu sucesso em tudo que faço,

em especial para esse trabalho.

Ao meus irmão Jadilson Rubens, que foi um dos maiores incentivadores da minha

vida acadêmica. Também as minhas irmãs, Rita de Cássia e Regina Celi pela amizade.

Um especial agradecimento a minha querida avó Francisca Amélia (codinome Yayá),

que já não está mais entre nós, mas que foi uma das pessoas mais importantes da minha

vida. Se não fosse por ela, certamente não chegaria onde eu cheguei, pois foi ela uma das

maiores incentivadoras da minha vida estudantil e acadêmica.

Aos professores, orientador e co-orientadores, Adrião Duarte Dória Neto, Regivan

Hugo Nunes Santiago e Benjamín Rene Callejas Bedregal, pela tão competente

orientação, a minha admiração e agradecimento pelo apoio constante, pela confiança,

amizade e, principalmente pelo incentivo dedicado durante todo o decorrer desta jornada.

Page 7: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

AGRADECIMENTOS iii

Meu agradecimento especialmente para o porfessor Regivan que me orientou no meu

curso de mestrado e aceitou mais uma vez o desafio de me orientar em um curso

de maior responsabilidade que é o doutorado. Graças as suas sugestões e críticas,

algumas vezes duras, ele conseguiu me mostrar o caminho de aprimoramento dos meus

limitados conhecimentos científicos, na área de matemática aplicada. Ao Professor

adrião, também devo externar meu profundo reconhecimento pela credibilidade em mim

depositada. Também agradeço de coração ao professor Benjamím que aceitou me

ajudar em momentos difíceis durante o desenvolvimento desse trabalho e foi de extrema

importância para a finalização deste trabalho. A todos vocês, os meus mais sinceros

agradecimentos.

Aos Professores do DCA, LECA e DIMAp, pelas significativas contribuições que

enriqueceram este estudo. Em especial ao professor José Alfredo Costa, que além dos

seus ensinamentos como professor, participou de outras atividades tal como a colaboração

conjunta de um trabalho em um importante congresso nacional de matemática aplicada, o

CNMAC.

Ao Prof. Dr. Junior Barrera, da USP de São Paulo, pelas importantes sugestões e pela

grande atenção que me teve quando necessitei da ajuda de seus conhecimentos.

Aos funcionários da secretaria do Departamento de Matemática, Helio Meira e Nízia

Maria Lima, bem como, da secretaria da coordenação do PPGEE, que sempre me

atenderam com bastante presteza quando necessitei de seus serviços.

Page 8: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

Sumário

Lista de figuras vii

Resumo xii

Abstract xiii

1 Introdução 1

2 Uma Abordagem da Morfologia Matemática Clássica 7

2.1 Morfologia matemática para imagens binária . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Conceitos básicos da teoria dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 As operações de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Os operadores elementares da morfologia matemática . . . . . . 10

2.1.4 Outros operadores morfológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.5 Algumas importantes aplicações das operações morfológicas

binárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Abordagem algébrica dos operadores morfológicos como reticulado

completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Análise binária e reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Álgebra de Boole das funções binárias . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3 Relação de ordem e reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.4 A estrutura dos operadores elementares da morfologia

matemática sobre0,1E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Morfologia matemática para imagens em níveis de cinza . . . . . . . . . 24

iv

Page 9: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

SUMÁRIO v

2.3.1 Os operadores elementares da morfologia matemática para

imagens em tons de cinza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 Outros operadores morfológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Uma Abordagem da Matemática Intervalar 28

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Análise intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Definições básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Aritmética intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.2 Propriedades da aritmética intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.3 Relações de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Processamento de Imagens Digitais Intervalares 36

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Operações lógicas-aritméticas entrepixelsintervalares . . . . . . . . . . 38

5 Morfologia para imagens binárias intervalares 43

5.1 Construção do espaço algébricoΩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Imagens binárias contendo incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2.1 Operações básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 Operações derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4.1 Operadores sobre imagens binárias intervalares . . . . . . . . . . 55

5.4.2 Translação, reflexão e invariança por translação . . . . . . . . . . 58

5.4.3 Operações de Minkowiski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4.4 Conclusão do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Um Modelo Intervalar para Imagens em Níveis de Cinza 66

6.1 Construção do espaço algébrico para imagens intervalares em escala de

cinzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2 O reticulado completo das imagens sobreΩN . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2.1 Imagens intervalares em escala de cinzas . . . . . . . . . . . . . 74

Page 10: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

SUMÁRIO vi

6.3 Operações morfológicas para imagens intervalars em níveis de cinza . . . 77

6.3.1 Operações básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares em níveis de cinzas . 79

6.3.3 Outros operadores morfológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.3.4 Potenciais aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3.5 Consclusão sobre o capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7 Considerações Finais 98

7.1 Principais contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.1.1 Na matemática intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.1.2 Na morfologia matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.2 Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.3 Conclusão final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.4 Trabalhos Aceitos e submetidos em Eventos Científicos e Revistas

Científicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Page 11: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

Lista de Figuras

2.1 Operações de translação e reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Operações de soma e subtração de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Exemplo de elementos estruturante em uma imagem binária . . . . . . . 11

2.4 Efeitos da dilatação e da erosão em uma imagem binária . . . . . . . . . 12

2.5 Efeitos da operação de abertura em uma imagem binária . . . . . . . . . 13

2.6 Efeitos da operação de fechamento em uma imagem binária . . . . . . . . 14

2.7 Exemplo de uma operação de gradiente morfológico em imagem binária . 14

2.8 Exemplo de filtragem morfológica em uma imagem binária . . . . . . . . 15

2.9 Exemplo de uma operaçãohit-or-miss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.10 Exemplo de uma operação de extração de contorno em uma imagem binária 16

2.11 Exemplo de esqueletos binários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.12 Uma imagem binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.13 Gráfico de uma função binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.14 Representação de uma imagem binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.15 Imagem da Lena e os efeitos causados pelos operadores de dilatação e

erosão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 N⊆ Z⊆Q⊆ R⊆ IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Par ordenado intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Representação geométrica da interseção emR . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Representação geométrica da união emR . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Imagem média da Lena disjunta com uma imagem constante. . . . . . . . 41

4.2 Imagem média da Lena conjunta com uma imagem constante. . . . . . . 41

vii

Page 12: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

LISTA DE FIGURAS viii

4.3 Imagem da Lena original e negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1 Imagem Binarizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Operações básicas e algumas operações derivadas sobre imagens binárias

intervalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3 Operações Morfológicas para imagens binárias intervalares intervalares . 64

6.1 Imagens apresentando um processo de segmentação em uma mama

com suspeito de nódulo canceroso. (a) Imagem original, (b) imagem

binarizada e (c) imagem segmentada com o nódulo destacado. . . . . . . 67

6.2 Estrutura do reticuladoΩN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.3 Uma função intervalar com uma translação horizontal. . . . . . . . . . . 80

6.4 Uma função intervalar com uma translação vertical. . . . . . . . . . . . . 80

6.5 Uma função intervalar com uma translação morfológica. . . . . . . . . . 81

6.6 Imagem representada por uma funçãoF e por uma função estruranteG . . 89

6.7 Dilatação intervalar deF pela função estruranteG . . . . . . . . . . . . . 91

6.8 Erosão intervalar deF pela função estruranteG . . . . . . . . . . . . . . 93

Page 13: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

ix

Lista de Símbolos

N Conjunto dos números naturais

∀ Para todo

∃ Existe

N Conjunto dos números naturais

N+ Conjunto dos números naturais positivos

Z Conjunto dos números inteiros

Q Conjunto dos números racionais

R Conjunto dos números reais

R+ Conjunto dos números reais positivos

Rn Conjunto dos números reais no espaçon

IR Conjunto dos intervalos reais

IN Conjunto dos intervalos naturais

xi Elementox da posiçãoi de uma sequência

ai j Elemento de uma matriz na posiçãoi relativo a linha ej

relativo a coluna

A = [a1,a2] Intervalo de extremosa1 ea2

A = (a1,a2) Par ordenadoA de abscissaa1 e ordenadaa2

maxX Maior elemento do conjuntoX

minX Menor elemento do conjuntoX

∨(F) Supremo de uma função

∧(F) ínfimo de uma função

Page 14: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

LISTA DE SÍMBOLOS x

⊇ Subconjunto, contém ou igual

v Relação de ordem do domínio contínuo real

∈ Pertence

6∈ Não pertence⋃União⋂Interseção

A⋃

B União convexa

≤ Menor ou igual

≥ Maior ou igual

≤KM Menor ou igual na ordem de Kulisch-Miranker

menor ou igual na ordem parcial emC

Menor ou igual na ordem da aproximação

dist Distância entre intervalos

| A | Módulo do intervaloA

diam Diâmetro de um intervalo

med Ponto médio de um intervalo

ℜ Relação binária entre intervalos

f : R→ R Funçãof cujo domínio e contra-domínio é conjunto dos

números reais

F : IR→ IR Função intervalarF cujo domínio e contra-domínio é o

conjunto dos intervalos reais

Page 15: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

LISTA DE SÍMBOLOS xi

Imd Imagem média

∨ Disjunção

∧ Conjunção

Ω Conjunto de valores

ΩN Conjunto finito de valores intervalares

ΩE Conjunto das funções que representam imagens binárias intervalares

ΩEN Conjunto das funções que representam imagens intervalares em níveis de cinza

⊕ Operador de dilatação

Operador de erosão

+ Soma limitada

− Diferença limitada

> Maior elemento

⊥ Menor elemento

Page 16: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

RESUMO xii

Resumo

Este trabalho apresenta uma abordagem intervalar para lidar com imagens que

contêm incertezas, bem como tratar essas incertezas através de operações morfológicas.

Foram apresentado dois modelos intervalares. Para o primeiro, é introduzido um

espaço algébrico com três valores que foi construído com base na lógica tri-valorada de

Lukasiewiecz. Com essa estrutura algébrica, introduz-se a teoria das imagens binárias

intervalares, que estende o modelo clássico binário, com a inclusão da informação de

incerteza. A mesma pode ser aplicada para representar imagens binárias com incerteza em

certospixels, que foi originada, por exemplo, durante o processo da aquisição da imagem.

A estrutura reticular dessas imagens permite a definição de operadores morfológicos, onde

as incertezas são tratadas localmente. O segundo modelo, estende o modelo clássico para

imagens em níveis de cinza, onde as funções que representam essas imagens são mapeadas

em um conjunto finito de valores intervalares. A estrutura algébrica desse conjunto

pertence a classe dos reticulados completos, o que permite a definição dos operadores

elementares da morfologia matemática, dilatação e erosão para essas imagens. Dessa

forma, fica estabelecida uma teoria intervalar aplicada à morfologia matemática para tratar

problemas de incertezas em imagens.

Page 17: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

ABSTRACT xiii

Abstract

This work present a interval approach to deal with images with that contain

uncertainties, as well, as treating these uncertainties through morphologic operations. Had

been presented two intervals models. For the first, is introduced an algebraic space with

three values, that was constructed based in the tri-valorada logic of Lukasiewiecz. With

this algebraic structure, the theory of the interval binary images, that extends the classic

binary model with the inclusion of the uncertainty information, was introduced. The

same one can be applied to represent certain binary images with uncertainty in pixels,

that it was originated, for example, during the process of the acquisition of the image.

The lattice structure of these images, allow the definition of the morphologic operators,

where the uncertainties are treated locally. The second model, extend the classic model

to the images in gray levels, where the functions that represent these images are mapping

in a finite set of interval values. The algebraic structure belong the complete lattices

class, what also it allow the definition of the elementary operators of the mathematical

morphology, dilation and erosion for this images. Thus, it is established a interval theory

applied to the mathematical morphology to deal with problems of uncertainties in images.

Page 18: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

Capítulo 1

Introdução

A área de processamento de imagens digitais está evoluindo continuamente, e a cada

dia surgem novas técnicas cada vez mais sofisticadas para a análise de imagens digitais.

Estudos mais avançados desta área inicialmente foram direcionados para o processamento

de imagens espaciais, porém as pesquisas foram se estendendo e hoje atinge as mais

diversas áreas do mundo científico. Durante os últimos anos tem havido um aumento

crescente no nível de interesse desta área, voltada para morfologia matemática, redes

neurais, lógica fuzzy entre outras. Alguns trabalhos de processamento de imagens, entre

livros e artigos que serviram de fontes de pesquisa nesse trabalho, podem ser encontrados

em [20, 35, 45, 57]

Uma das questões ao longo dos anos, que tem sido aprimorada no processamento de

imagens digitais, são a ocorrência de erros decorrentes de alguma(s) etapas do processo de

análise de imagens. Várias metodologias vem sendo usadas para o controle desses erros,

uma delas é através da teoriafuzzyque de um modo geral lida com esse tipo de problema.

Existe uma ampla literatura que aborda a teoriafuzzye o processamento de imagens,

incluindo morfologia matemática. Algumas dessas abordagens podem ser encontradas

em([16, 22]). Outras são através dewavelets([23]) e também de modelos de distribuição

probabilístico tal como, processo estocástico [39, 70]. Podemos citar por exemplo, um

estudo relativo à avaliação de imagens para diagnósticos específicos, como no caso de uma

imagem médica ou simplesmente uma região em um mapa onde existe a necessidade de

exatidão, uma vez que certeza é um fator fundamental nestes casos. Os diversos trabalhos

nesta área têm como objetivo a melhoria da informação visual para a interpretação do

1

Page 19: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2

especialista, bem como, para o melhor processamento de dados de cenas para a percepção

automática através de máquinas.

O processamento de imagens digitais envolve operações computacionais que capturam

uma imagem real e a discretiza espacialmente em uma matriz depixel. Os erros numéricos

ocorrem com facilidade, uma vez que, diversos fatores influenciam na aquisição da

imagem como a iluminação, reflectância dos objetos e capacidade limitada ao aparelho de

captura. As imagens intervalares possibilitam um controle maior da informação. Alguns

trabalhos destacam-se na área de processamento de imagens digitais, dentre eles citam-

se [32, 34, 52, 69], nos quais constatou-se que foram realizadas importantes abordagens

e algumas aplicações para a processamento de imagens digitais usando a lógicafuzzy,

redes neurais e morfologiafuzzy. Pode-se citar por exemplo, o desenvolvimento de

filtros fuzzye a extensão de algumas redes neurais para a utilização da lógicafuzzy

em aplicações em clusterização de imagens [52]. Algumas aplicações da lógicafuzzy

utilizadas no processamento de imagens digitais incluindo morfologia matemática podem

ser vistas em [53] e [1]. Outras referências sobre a teoriafuzzypodem ser encontradas em

[10, 42, 49, 69].

A morfologia matemática é uma das áreas de destaque do processamento de

imagens com inúmeras práticas de análise de imagens, tais como: filtragens de ruídos,

reconhecimento e classificação de padrões, segmentação, reconstrução, extração de

objetos de interesse, etc. Introduzida na década de 60 por Jean Serra e George Matheron

na Ècole Nationale Superiéure des Mines de Paris [46? ], através da morfologia

matemática é possível se fazer transformações entre reticulados completos, os quais são

chamados de operadores morfológicos. Inicialmente foi construída para imagens binárias

com base na teoria dos conjuntos onde foram introduzidos os operadores elementares

dilatação e erosão. Alguns anos depois, na década de 80, Serra e Matheron, pecebendo

uma série de características interessantes destes operadores, formalizaram a teoria para o

dominio dos reticulados completos. Essa formalização levou a ampliação e generalização

da área para imagens em escala de cinzas e depois também para imagens a cores.

Importantes trabalhos sobre morfologia matemática que apresentam abordagens teóricas,

modelos e importantes aplicações, podem ser vistos em [24, 25, 41, 63].

A matemática intervalar é uma teoria originada na década de 60 [60] com o objetivo

Page 20: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3

de tratar questões de exatidão e eficiência que surgem na prática da computação científica

e na resolução de problemas numéricos. Moore apresentou uma arimetica para intervalos,

com base na aritmética dos reais. A matemática intervalar se apresenta como uma

ferramenta poderosa para a análise e controle de erros em computação científica. Pela

sua natureza de tratar os números não mais como entes pontuais, mas como intervalos

que encapsulam estes números, é possível, de uma forma segura, armazenar os dados

físicos através de uma medida provável e um possível porcentual de erro associado.

Isto faz com que, ao final do processo matemático-computacional, se tenha uma

estimativa da influência destes erros de entrada no resultado final obtido. Existem um

número significativo de trabalhos desenvolvidos nesta área, dentre eles pode-se citar:

[12, 13, 17, 51, 56]

Atualmente, a matemática intervalar ultrapassou as fronteiras das aplicações

numéricas, sendo muito utilizada para aplicações no tratamento e modelagem da

incerteza em computação, no processamento de informaçõesfuzzy, na teoria de controle,

na inteligência artificial, representação do conhecimento, redes, computação gráfica,

processamento de imagens e diversas outras aplicações em ciência e tecnologia que

lidam com dados incertos. [38, 59]. Pode-se dizer que a computação intervalar tem

sido bem sucedida em aplicações em áreas como engenharia elétrica, física, engenharia

química, localização de depósitos de minerais e petróleo, estimação de erros em

sistemas de laser, engenharia da computação, no controle da mobilidade de robôs,

cálculo da relação profundidade-pressão em reservatórios, modelagem geométrica e

Sistema multiresolucional. Pode-se citar, por exemplo, trabalhos recentes tais como, o

desenvolvido por Grigoletti e Dimuro em [55] que apresentou umsoftwarepara a análise

de circuitos elétricos baseado na filosofia desoftwarelivre e na Matemática Intervalar.

Este é capaz de automaticamente avaliar a influência das tolerâncias dos valores nominais

dos resistores sobre as tensões nodais do circuito elétrico.

Neste trabalho, será apresentada uma fundamentação matemática para lidar com

incertezas em imagens, bem como tratar essas incertezas através de operações

morfológicas. Para essa abordagem, serão introduzidos dois modelos intervalares. Para

o primeiro modelo, foi introduzido um espaço algébrico representado por um conjunto

de três valores construído com base na lógica tri-valorada de Lukasiewiecz. Com essa

Page 21: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4

estrutura algébrica, introduz-se a teoria das imagens binárias intervalares, que estende

o modelo clássico binário, com a inclusão da informação de incerteza. A estrutura

reticular dessas imagens permitiu definir os operadores morfológicos, onde as incertezas

são tratadas localmente. O segundo modelo, estende o modelo clássico de imagens em

níveis de cinza, onde as funções que representam essas imagens são mapeadas em um

conjunto finito de valores intervalares. A estrutura algébrica desse conjunto pertence a

classe dos reticulados [37], o que também permitiu definir os operadores elementares

da morfologia matemática, dilatação e erosão. A teoria, será baseada na matemática

intervalar, ou seja, apresenta-se uma generalização da teoria da morfologia clássica para

a teoria intervalar, onde ao invés de lidar com imagens de valores pontuais (pixels),

lida-se com valores (pixels) intervalares. Dessa forma, será mostrado que, os modelos

intervalares apresentados, satisfazem as propriedades fundamentais para a introdução dos

operadores morfológicas nessa ótica.

O principal objetivo do uso de intervalos será lidar com questões de incertezas em

pixels de imagens. Esses problemas em geral ocorrem principalmente por causa dos erros

durante a aquisição ou processo de discretização da imagem original (contínua) para a

imagem digital (discreta). Tais erros, na maioria das vezes, conduzem a incertezas com

relação à intensidade do brilho depixels da imagem levando a importantes perdas de

informações.

Como trabalhos mais recentes, algumas pesquisas foram feitas envolvendo

matemática intervalar e processamento de imagens. Kearfott e Kreinovch em [33]

apresentam uma abordagem sobre o uso de métodos intervalares em sistemas de multi-

resolução. Naquele trabalho é mostrado que a estimativa do erro quando são tomadas

aproximações de imagens de baixa resolução podem ser controladas por métodos

intervalares. Uma outra importante contribuição nessa linha pode ser encontrada em

[4] onde Lyra, desenvolve "Uma Fundamentação Matemática para o Processamento de

Imagens Digitais Intervalares".

Nesta discertação, apresentam-se diversos conceitos fundamentais da área de

processamento de imagens, dentro da ótica intervalar, inclusive como captar uma imagem

digital intervalar a partir de uma imagem real. Um dos mais recentes trabalhos nessa

direção, foi desenvolvido por Takahashi et all em [6], que apresentou uma aplicação

Page 22: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 5

de um método de segmentação de imagens em mamas densas, usando imagens digitais

intervalares. Para lidar com problemas de incerteza pesquisadores da área de morfologia

matemática tem feito uso de métodos através da teoriafuzzy. Existem diversas abordagens

sobre essa teoria em operações morfológicas [10, 29]. Esse trabalho tem similaridade

com a teoriafuzzy, pois também lida com indecisões ou imprecisões em determinadas

regiões de uma imagem. Tanto a teoriafuzzy, quanto a teoria intervalar, são ferramentas

usadas para tratar as incertezas e otimização de erros computacionais. Entretanto, esta é a

primeira abordagem que relaciona as duas áreas: morfolologia matemática e matemática

intervalar e, obviamente o objetivo é introduzir um modelo intervalar que permita estimar

erros com a melhor precisão possível.

As imagens intervalares possibilitam um controle maior da informação, subsidiando

melhor ao especialista nas tomadas de decisões, por exemplo, buscar em uma imagem

intervalar de um mamograma regiões fundamentais, como uma área suspeita de existência

de nódulo canceroso. Neste caso, o especialista vai poder obter informações (intervalares),

visualizar e decidir, de forma que garanta um diagnóstico mais preciso sobre o grau

gravidade do caso.

A contribuição científica desse trabalho é oferecer uma abordagem teórica ao

mundo científico em que são integradas duas importantes áreas: Morfologia Matemática

e Matemática Intervalar, que permita tratar com problemas das incertezas que

frequentemente aparecem no tratamento de imagens. Será oferecido então, mais

uma ferramenta de controle de erros computacionais, abrindo caminho para o estudo

prático dos novos modelos, bem como, a obtenção de um maior controle nas variações

decorrentes de fatores que levam as incertezas. Será dado ênfase aos conceitos oriundos

da matemática intervalar, herdando a característica desta abordagem, que é o controle do

erro computacional, que poderá advir de ruídos, do processo de aquisição, digitalização,

bem como, processos de filtragens, processos de segmentação, ou de algum outro que são

utilizados no processamento de imagens morflogicamente.

Esta discertação está dividida em sete capítulos descritos a seguir:

Capítulo 1. Introdução.

Capítulo 2. Uma abordagem da morfologia matemática clássica:Neste capítulo,

Page 23: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 6

serão apresentados os principais conceitos clássicos dessa teoria, tanto para as

imagens binárias quanto para imagens em tons de cinza, apresentando inclusive

algumas técnicas e aplicações usando os operadores morfológicos.

Capítulo 3. Uma abordagem da matemática intervalar: Para esse capítulo, serão

apresentados os principais conceitos da matemática intervalar que nortearão o

desenvolvimento desta tese, tais como a arimética de Moore e algumas propriedades

algébricas desta teoria que serão de fundamental importância no desenvolvimento

do modelo aqui proposto.

Capítulo 4. O processamento de imagens digitais intervalares:Aqui, apresenta-se

uma noção da abordagem feita por Lyra (e colaboradores), onde ele introduz uma

abordagem matemática de conceitos fundamentais do processamento de imagens

que foram redefinidos sob uma nova visão: a visão intervalar.

Capítulo 5. Um modelo intervalar para lidar com incertezas entre dois pixels de

imagens: Neste capítulo, será introduzido o primeiro resultado modelo intervalar

para um conjuto de três elementos, com o objetivo de lidar localmente com as

questões de incertezas em imagens.

Capítulo 6. Um modelo intervalar para imagens em escala de cinzas: Neste capítulo,

apresenta-se uma abordagem mais geral, que estende o modelo apresentado no

Capítulo 5. Em outras palavras, introduz-se uma teoria intervalar para lidar com

questões de incertezas, em um sentido mais amplo no caso de tons de cinza, ou

seja, considera-se um conjunto que engloba valores de tons de cinza para conjuntos

finitos.

Capítulo 7. Considerações finais.

Page 24: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

Capítulo 2

Uma Abordagem da Morfologia

Matemática Clássica

Uma forma elegante de resolver problemas de processamento de imagens é através da

utilização de uma base teórica consistente. Uma destas teorias é a morfologia matemática.

Esta teoria diz que é possível fazer transformações entre reticulados completos, os

quais são chamados de operadores morfológicos. Na morfologia matemática existem

quatro classes básicas de operadores: dilatação, erosão, anti-dilatação e anti-erosão,

chamadas de operadores elementares. Banon e Barrera em [36] provaram que todos os

operadores morfológicos, no caso binário, invariantes por translação podem ser obtidos

a partir de combinações de operadores elementares juntamente com as operações de

união e intersecção. Usando estes operadores elementares é possível construir uma

linguagem formal, a linguagem morfológica, e sua implementação é chamada máquina

morfológica. Um exemplo de uma máquina morfológica é a MMach ([25]). Neste

capítulo apresentaremos alguns conceitos básicos da morfologia matemática clássica.

Morfologia Matemática pode ser descrita como uma ferramenta para extração de

componentes de uma imagem digital que sejam úteis na representação e descrição da

forma de uma região, como por exemplo, detecção de bordas. Outro aspecto do uso das

técnicas morfológicas está no pré e pós processamento de imagens, como filtragem. As

operações morfológicas elementares, a dilatação e a erosão, foram introduzidos a partir

das noções de soma e subtração de Minkowski. Inicialmente as transformações foram

produzidas para imagens binárias (i.e. cujospixels podem tomar apenas os valores 0

7

Page 25: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA8

ou 1) pelas dilatações e erosões e dependem de padrões predefinidos que são chamados

elementos estruturantes, que as sondam localmente. Na dilatação, verifica-se quando o

elemento estruturante toca o objeto (i.e., ospixels da imagem binária que têm o valor

1) e na erosão, quando ele está contido. De acordo com a definição desses operadores,

obtem-se como resultado, uma imagem transformada. As bases teóricas da morfologia

matemática para subconjuntos foram formalizadas pelos próprios Serra e Matheron, que

estudando as dilatações e erosões, descobriram uma coleção de propriedades e chegaram

a um resultado bastante interessante: "qualquer operador invariante por translação e

isotônico ou crescente (i.e., que preserva a relação de inclusão) pode ser decomposto

como um supremo de erosões ou ínfimo de dilatações. Em outros palavras, as dilatações

e erosões são os elementos fundamentais para construir uma ampla classe de operadores".

A morfologia matemática tem se mostrado útil na extração de componentes da

imagem na representação e descrição da forma da região, tais como: extração do

contorno, esqueletos morfológicos, fecho convexo, filtragem morfológica, afinamento,

espessamento, etc.

Conjuntos em morfologia matemática representam objetos em uma imagem. O

elemento do conjunto é a coordenada(x,y) do pixel que pertence ao objeto do espaço

discreto Z2. A Morfologia matemática consiste em extrair informações relativas à

geometria e à topologia de um conjunto desconhecido de uma imagem, a partir de

transformações de formas, realizadas através dos operadores dilatação e erosão. A

dilatação faz com que os objetos dilatem ou aumentem de tamanho. A erosão faz com

que eles encolham. A quantidade e maneira como eles aumentam ou encolhem depende

da escolha do "elemento estruturante". No caso das imagens binárias, a morfologia

matemática pode ser definida como sendo um conjunto básico de operações que são

utilizadas para transformar a estrutura geométrica de uma imagem.

2.1 Morfologia matemática para imagens binária

Nesta seção apresentaremos os principais conceitos da morfologia matemática para

imagens binárias, iniciando com algumas definições básicas da teoria dos conjuntos.

Page 26: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA9

2.1.1 Conceitos básicos da teoria dos conjuntos

SejamA e B dois conjuntos, cujos componentes são pares ordenados dados por

a = (a1,a2) eb = (b1,b2), respectivamente.

A somaé dada por:A+B = (a1 +b1,a2 +b2)

A diferençaé dada porA−B = (a1−b1,a2−b2).

A translaçãodeA porx = (x1,x2), é definida como:(A)x = c|c = a+x,∀a∈ A

A reflexãoé definida porB = x|x =−b,∀a∈ B

O complementodo conjuntoA é definida por:Ac = x|x 6∈ A

A Figura 2.1 mostra duas importantes operações básicas sobre conjuntos que serão

utilizada nesse trabalho.

Figura 2.1: Operações de translação e reflexão

2.1.2 As operações de Minkowski

A adição de Minkowski baseada na teoria dos conjuntos foi proposta por Minkowski

(1903) para caracterizar medidas integrais de certos conjuntos esparsos. A adição de

Minkowski pode ser definida como a seguir [25].

Seja E o conjunto de pares ordenados tal queE = Z× Z e SejamA e B dois

subconjuntos deE.

A soma de Minkowskié definida por:

A+B = x∈ E|∃a∈ A,∃b∈ B|x = a+b (2.1.1)

Page 27: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA10

Ou equivalentemente

A⊕B =⋃b∈B

(A+b) (2.1.2)

E a subtração de Minkowskié definida por:

A−B = x∈ E|∀b∈ B,∃a∈ A : x = a−b (2.1.3)

Ou equivalentemente

AB =⋂b∈B

(A−b) (2.1.4)

A Figura 2.2 (extraída de [25]) mostra exemplos da soma e subtração de Minkowski

respectivamente.

Figura 2.2: Operações de soma e subtração de Minkowski

2.1.3 Os operadores elementares da morfologia matemática

As transformações sobre imagens binárias, fazendo uso das dilatações e erosões

dependem de padrões predefinidos (forma e tamanho), denominados elementos

estruturantes, que são comparados ao conjunto desconhecido da imagem. O resultado

desta transformação permite avaliar tal conjunto.O elemento estruturante é um

conjunto pre-definido. O seu formato e tamanho possibilitam testar e quantificar de que

maneira ele está ou não está contido na imagem. Na Figura 2.3 tem-se um exemplos de

elementos estruturantes em imagem binária. Marcando os resultados das posições onde o

elemento estruturante inclui-se na imagem, temos uma primeira resposta sobre a estrutura

geométrica dessa imagem. Mudando o elemento estruturante, tem-se outras respostas

Page 28: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA11

sobre a estrutura geométrica da imagem. O tipo e a natureza da informação extraída

depende necessariamente do tipo do elemento estruturante e do tipo da imagem estudada.

Por exemplo, a natureza bordas quadradas e desejamos obter bordas arredondadas. Nesse

caso, escolhe-se um elemento estruturante na forma circular.

Figura 2.3: Exemplo de elementos estruturante em uma imagem binária

SejaE = Z×Z, uma grade definida no espaço Euclidiano bidimensional eA e B

subconjuntos deE, a operação de dilatação é definida por

A⊕B = x|Bx∩A 6= φ (2.1.5)

Ou

A⊕B = x|[Bx∩A]⊆ A (2.1.6)

A erosão é definida por

AB = x|(B)x⊆ A (2.1.7)

Em termos da soma e subtração de Minkowski, as operações de dilatação e erosão são

definidas respectivamente por

A⊕B = x∈ E|x = a+b,a∈ A,b∈ B (2.1.8)

AB = x∈ E|x+b∈ A∀b∈ B (2.1.9)

Ou equivalentemente por

A⊕B =⋃b∈B

(A+b) (2.1.10)

AB =⋂b∈B

(A−b) (2.1.11)

Os principais efeitos da dilatação e da erosão são: a dilatação expande uma imagem,

enquanto a erosão a encolhe, como mostra a Figura 2.4

Page 29: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA12

Figura 2.4: Efeitos da dilatação e da erosão em uma imagem binária

2.1.4 Outros operadores morfológicos

Os operadores dilatação e erosão, aplicados isoladamente, são transformações que

nem sempre evidenciam características das imagens, mas permitem construir algumas

funções muito interessantes, como por exemplo, o fechamento, a abertura, o gradiente

morfológico entre outros.

Abertura

É uma operação que consiste em aplicar-se uma erosão seguida de dilatação. A abertura

de um conjunto, denotadaAB, é definida como:

AB = (AB)⊕B (2.1.12)

A operação de abertura tem como principais efeitos:

• Separar objetos muito próximos em uma imagem, ou seja, criar espaços (aberturas)

entre objetos na imagem;

• Eliminar ruídos (pixels negros aleatoriamente espalhados em toda a imagem);

• Regularizar os contornos e eliminar pequenas "ilhas"e "cabos"estreitos de uma

imagem binária;

A Figura 2.5 apresenta um exemplo de um procedimento de abertura em uma imagem

binária. Note que, o objetivo é eliminar um cabo estreito para separar a imagem em duas

partes. Além disso, como o elemento estruturante tem a forma circular, o resultado é

uma imagem com as bordas arredondadas. A figura é descrita do seguinte modo: (a)

imagem original; (b) Aplicação da erosão com elemento estrurante circular; (c) Imagem

resultante da erosão; (d) Aplicação da dilatação sob a imagem (c), com o mesmo elemento

estruturante; (e) Imagem resultante obtida por abertura.

Page 30: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA13

Figura 2.5: Efeitos da operação de abertura em uma imagem binária

Fechamento

É uma operação que consiste em aplicar-se uma dilatação seguida por erosão. O

fechamento, é definido como:

A•B = (A⊕B)B (2.1.13)

A operação de fechamento tem como principais efeitos:

• Eliminar espaços entre objetos em uma imagem;

• Eliminar falhas dentro dos objetos da imagem (pixelsbrancos em um objeto negro,

por exemplo);

• Suavizar as bordas de um objeto na imagem.

• Suprimir pequenos "lagos"e "canais"estreitos em uma imagem

Utilizando-se a mesma imagem e o mesmo elemento estruturante do exemplo anterior,

a Figura 2.6 mostra uma operação de fechamento, no caso, o objetivo é a eliminação de

uma fenda. A figura é descrita do seguinte modo: (a) imagem original; (b) Aplicação da

dilatação; (c) Imagem resultante da dilatação; (d) Aplicação da erosão sob a imagem (c);

(e) Imagem resultante obtida por fechamento.

Gradiente Morfológico

O gradiente morfológico é uma operação frequentemente utilizada para obtenção de

Page 31: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA14

Figura 2.6: Efeitos da operação de fechamento em uma imagem binária

contorno de objetos em figuras binárias e realçar o contorno de objetos em imagens em

tons de cinza. Essa operação é composta de três operações: erosão, dilatação e subtração

e é definido como sendo a diferença entre a dilatação e a erosão.

Grad(A) = (A⊕B)− (AB) (2.1.14)

A Figura 2.7 mostra um exemplo

Figura 2.7: Exemplo de uma operação de gradiente morfológico em imagem binária

Filtros Morfológicos

Exploram propriedades geométricas dos sinais. As máscaras são os elementos

estruturantes que apresentam valores 0 ou 1 na matriz que correspondem ao pixel

considerado. Os filtros morfológicos básicos são: filtro da mediana, erosão e dilatação. O

processo de filtragem são sequências de operações de abertura e fechamento. A Figura 2.8

apresenta um exemplo de filtragem morfológica para imagem binária usando operadores

de abertura e fechamento.

Operador Hit-or-Miss

Page 32: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA15

Figura 2.8: Exemplo de filtragem morfológica em uma imagem binária

É possível combinar erosão e dilatação para produzir um operador que tem uma ação

como esta: acerto e erro (folga). O operador leva dois elementos, o primeiro é o acerto e

o outro é o erro. O operador é definido por

A⊗B = (AB1)∩ (Ac⊕B2) (2.1.15)

ondeA é a imagem original eB1 e B2 são os elementos estrurantes. A Figura 2.9 mostra

uma aplicação do operadorhit-or-miss.

Figura 2.9: Exemplo de uma operaçãohit-or-miss

Extração de FronteirasA fronteira de um conjunto A, denotadoβ(A) pode ser obtida

como segue

β(A) = A− (AB) (2.1.16)

A figura 2.10 mostra um exemplo de uma extração de bordas.

Page 33: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA16

Figura 2.10: Exemplo de uma operação de extração de contorno em uma imagem binária

2.1.5 Algumas importantes aplicações das operações morfológicas

binárias

A principal aplicação de morfologia, no caso de imagens binárias, é a extração de

componentes da imagem que sejam úteis na representação e na descrição de formas.

Algoritmos que fazem o afinamento, o espessamento, a extração de fronteiras e o

esqueleto de uma região, entre outros, são bastante úteis nesse expediente. O afinamento

visa remover ospixelsde um grupo de componentes conectados, até restar apenas um

estreito conjunto. Pode ser definido em função da transformadaHit-or-miss.

Outra importante aplicação para a representação estrutural da forma de um objeto

consiste na obtenção do seuesqueletoatravés do algoritmo de afinamento. Em vez de

bordas pode-se extrair seu eixo medial, que são linhas finas que condensam a informação

original enquanto se tenta preservar a homotopia dos objetos. Esse processo é bastante

utilizado em problemas de inspeção automática de circuitos impressos, e também bastante

útil na segmentação morfológica.

Existem duas formas de esqueletização. Lantuejoul ([19]) definiu um tipo particular

de esqueleto, usando transformações da morfologia matemática, para aplicações na

compressão de dados, com a intenção de que o objeto original pudesse ser reconstruído

a partir do seu esqueleto. Este tipo de esqueleto também tem aplicações úteis para a

representação e o reconhecimento de objetos. O esqueleto pode ser definido como uma

sucessão de operações de erosão dados por

S(A) =n⋃

k=0

Sk(A) (2.1.17)

Page 34: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA17

OndeSk(A) é dado por

Sk(A) = (AkB)− (AkB)B (2.1.18)

ondek = 1,2, ...n. A Figura 2.11, mostra um exemplo de esqueleto binário.

Figura 2.11: Exemplo de esqueletos binários

2.2 Abordagem algébrica dos operadores morfológicos

como reticulado completo

Nesta seção será feita uma abordagem algébrica dos operadores morfológicos como

reticulado completo, que foi desenvolvida por Banon e Barrera em [25]. A estrutura

algébrica desses operadores morfológicos como reticulados, foi introduzida no início da

década de 80 pelos criadores Matheron e Serra que, a partir daí mudaram os rumos da

teoria.

Antes de apresentar a estrutura dos reticulados e dos operadores morfológicos nesse

domínio, será feita uma breve introdução de análise das imagens binárias.

2.2.1 Análise binária e reticulados

Seja E um conjunto não vazio. As imagens binárias podem ser representadas por

subconjuntos, ou equivalentemente, por funções binárias. SejaX um subconjunto deE e

℘(E) a coleção de todos os subconjuntos deE, então,X ∈℘(E). A figura 2.12 mostra a

representação de uma imagem binária em uma gradeE (ou conjunto de pixels).

Page 35: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA18

Figura 2.12: Uma imagem binária

Definição 2.2.1Uma função binária é definida e denotada por f: E → 0,1, isto é,

para cada valor de E a função toma valor0 ou 1. Sendo0,1E o conjunto de todas as

funções binárias, então f∈ 0,1E.

A Figura 2.13 mostra o gráfico de uma função binária. Observe que o gráfico é formado

pelo conjunto de pontos da forma(x, f (x)).

Figura 2.13: Gráfico de uma função binária

Observe tambem na Figura 2.13 que a representação por uma função binária a

imagem, é assimilada à função binária que toma o valor 0, nos elementosx de E que

representam a posição dospixelspretos e o valor 1, nos elementosx deE que representam

a posição dospixelsbrancos. A função bináriaf é chamada de imagem e para todox em

E, o par(x, f (x)) é chamado depixel da imagemf , x é a posição dopixel e f (x) é seu

valor. A Figura 2.14, mostra a representação de uma imagem binária.

2.2.2 Álgebra de Boole das funções binárias

As operações sobre as imagens binárias são aquelas que derivam das operações usuais

sobre subconjuntos ou funções binárias. Com estas operações, as imagens têm uma

Page 36: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA19

Figura 2.14: Representação de uma imagem binária

estrutura de Álgebra de Boole.

Seja0,1E o conjunto das funções binárias.〈0,1E,∨,∧,∼〉, onde∨,∧ e∼ são as

operações de união, interseção e complemento respectivamente, dadas por:

( f1∨ f2)(x) = f1(x)∨ f2(x) (2.2.1)

( f1∧ f2)(x) = f1(x)∧ f2(x) (2.2.2)

(∼ f )(x) =∼ f (x) (2.2.3)

forma uma álgebra de Boole,

Extensão das operações de união e interseção das funções Binárias

A união e a interseção de uma família dos elementosfi é o elemento de0,1E definido

respectivamente por

∨( fi)i∈I (x) =

1 , se∃i ∈ I , fi(x) = 1

0 , caso contrário(2.2.4)

∧( fi)i∈I (x) =

1 , se∀i ∈ I , fi(x) = 1

0 , caso contrário(2.2.5)

SeI for vazio então∨

fi(x)→ 0 e∧

fi(x)→ 1,∀x∈ E

2.2.3 Relação de ordem e reticulados

Um dos conceitos importantes da Morfologia matemática é o de relação de ordem

parcial. Nesta seção, será apresentado esse conceito para funções binárias, utilizando-se

a relação menor ou igual. [25]

Page 37: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA20

Relação de ordem

O conjunto0,1E das funções binárias definidas emE provido da relação de ordem

"menor que"forma um conjunto parcialmente ordenado, denotado(0,1E,≤), ou seja≤

satisfaz os três axiomas: (prova em [25], pp 22)

• f (x)≤ f (x) (reflexividade)

• f (x)≤ g(x) eg(x)≤ f (x)⇒ f (x) = g(x) (anti-simetria)

• f (x)≤ g(x) eg(x)≤ h(x)⇒ f (x)≤ h(x) (transitividade)

Reticulados

Muitos conjuntos parcialmente ordenados gozam da propriedade de conterem o ínfimo e

o supremo de um par qualquer de elementos do sistema. Os reticulados por exemplo é um

deles. Essa característica dos reticulados nos permite usá-las em teorias tanto algébrica

como lógicas.

Definição 2.2.2Seja(L ,≤) uma ordem parcial e⊥,> ∈ L tal que⊥≤ x e x≤>, para

todo x∈ L . L diz-se um reticulado se para todo x,y ∈ L o conjunto x,y tem ínfimo e

supremo em L denotados por x∧y e x∨y, respectivamente. Se além disso,L satisfaz as

igualdades

x∨ (y∧z) = (x∨y)∧ (x∨z) e

x∧ (y∨z) = (x∧y)∨ (x∧z)

é ditodistributivo.

Exemplo 2.2.6

O conjunto de todas as funções reais de variável real definidos num intervalo a≤

x≤ b, parcialmente ordenados pela relação f≤ g, se e somente se f(x)≤ g(x) para

todo x∈ [a,b] é um reticulado. O supremo é a função definida por( f ∨ g)(x) =

max f (x),g(x) e o ínfimo é a função definida por( f ∧g)(x) = min f (x),g(x)

•• O conjunto de todos os subespaços de um espaço vetorial parcialmente ordenado

pela relação de inclusão é um reticulado. O ínfimo é a interseção e o supremo é o

subespaço gerado pela união.

Page 38: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA21

• Seja℘ a coleção dos subconjuntos de X, ( ou o conjunto das partes de X). Então

(℘(X),∩,∪) é um reticulado distributivo, onde∧ ≡ ∩ e∨ ≡ ∪.

Definição 2.2.3 (Reticulado Completo)Seja (L,∧,∨) um reticulado. L diz-se um

reticulado completo se todo subconjunto X⊆ L tem supremo e tem ínfimo, denotados

por∨

X e∧

X (ou supX e in f X ), respectivamente. Podemos dizer que um reticulado

completo é uma estrutura do tipo(L,∧,∨,∧

,∨

), onde∧,∨,∧

e∨

são definidos acima. L

diz-se distributivo se(∧X)∨

Y =∨

x∧y|x∈ X,Y ∈Y e(∨

X)∧Y = ∧x∧y|x∈ X,y∈Y

e (∧X)∨

Y = ∧x∧y|x∈ X,y∈Y. Em particular L deve satisfazer as equações de

distributividade com relação as operações∧ e∨.

Exemplo 2.2.7 A estrutura(℘(X),⋂

,⋃

) é um reticulado completo distributivo,

Reticulado das funções binárias

O conjunto parcialmente ordenado(0,1E,≤) das funções binárias definidas emE,

provido das operações de união e interseção, forma um reticulado completo. Em outros

termos, para todo conjunto de indicesI , estas operações verificam os dois axiomas abaixo.

Para toda família( fi)i∈I em(0,1E temos que

(∨ fi)i∈I = supFi (2.2.8)

(∧ fi)i∈I = in f Fi (2.2.9)

onde

Fi = f ∈ 0,1E|∃i ∈ I , fi = f (2.2.10)

2.2.4 A estrutura dos operadores elementares da morfologia

matemática sobre0,1E

A Morfologia Matemática estuda a decomposição de operadores entre reticulados

completos em termos de quatro classes de operadores: as dilatações, as erosões, as anti-

dilatações e as anti-erosões. Estes operadores, chamados de elementares, têm um papel

fundamental porque a partir deles é possível construir uma série de outros operadores.

Page 39: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA22

No que segue, será introduzido conceitos fundamentais sobre operadores definidos na

classe pertencente ao conjunto das funções0,1E. Todos esses conceitos tiveram com

base o trabalho desenvolvido por Banon e Barrera em [25]. Por questão de simplificação

notacional, daqui para a frente o símboloT será usado sempre que necessário ao invés de

0,1E.

Definição 2.2.4(extensividade e anti-extensividade): Um operador ψ sobre T é

extensivose, e somente se, para todo f∈ T , f ≤ ψ( f ) eanti-extensivo, seψ( f )≤ f

Definição 2.2.5(idempotência): Um operador unárioψ sobreT é idempotente do tipo 1

ou de fecho se, para todo f∈T , ψ(ψ( f )) = ψ( f ) e idempotente do tipo 2 ou simplesmente

indempotente, se, para todo f∈ T , ψ(ψ( f )) = f

Definição 2.2.6(Operador isotônico): Um operdor ψ sobre T diz-se isotônico (ou

crescente) se e somente se, f,g∈ T f ≤ g⇒ ψ( f )≤ ψ(g)

Definição 2.2.7(Operador antitônico): Um operdorψ sobreT diz-se antitônico (ou

decrescente) se e somente se, f,g∈ T f ≤ g⇒ ψ(g)≤ ψ( f )

A proposição a seguir mostra definições equivalentes de um operador isotônico.

Proposição 2.2.8Sejaψ ∈ [T → T ], então para toda família de imagens fi, as tres

proposições são equivalentes:

• (1) ψ é isotônico;

• (2) Para toda família de imagens fi ⊆ T , supψ( fi)≤ ψ(sup fi)

• (3) Para toda família de imagens fi ⊆ T , ψ(in f fi)≤ in f ψ( fi

A prova dessa proposição pode ser encontrada em [25], pp 33.

A proposição a seguir apresenta definições equivalentes de um operador antitônico.

Proposição 2.2.9Sejaψ ∈ [T → T ], então para toda família de imagens fi, as três

proposições são equivalentes:

Page 40: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA23

• (1) ψ é antitônico;

• (2) Para toda família de imagens fi ⊆ T , ψ(sup fi)≤ supψ( fi)

• (3) Para toda família de imagens fi ⊆ T , (ψ(in f fi)≤ ψin f ( fi)

A prova é análoga a da proposição anterior ([25], pp 33).

No que segue apresentaremos as definições das quatro classes fundamentais dos

operadores elementares da morfologia matemática que são:dilatações, erosões, anti-

dilatações e anti-erosões

Definição 2.2.10(dilatação) Um operadorψ sobreT é umadilatação se, para toda

família de imagens fi ⊆ T

ψ(sup fi) = supψ( fi)

Umaerosãose e somente se, para toda família de imagens fi ⊆ T

ψ(in f fi) = in f ψ( fi)

é umaanti-dilataçãose e somente se, para toda família de imagens fi ⊆ T

ψ(sup fi) = in f ψ( fi)

Umaanti-erosãose e somente se, para toda família de imagens ternárias fi ⊆ T

ψ(in f fi) = supψ( fi)

Proposição 2.2.11(isotonia das dilatações e erosões)as dilatações e erosões são

isotônicas.

A prova dessa proposição pode ser encontrada em [25].

Definição 2.2.12(relação de ordem dos operadores)Dado dois operadoresψ,ϕ∈ [T →

T ] e f ∈ T , define-se a seguinte relação.ψ≤ ϕ se para todo x∈ E e f ∈ T

ψ( f (x))≤ ϕ( f (x))

i.e, 〈[T → T ],≤〉 torna-se uma ordem parcial.

Proposição 2.2.13(reticulado do conjunto de operadores)O conjunto〈[T → T ],≤〉 é

um reticulado completo.

Page 41: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA24

Prova O conjuntoT T = [T → T ] dos operadores sobreT provido da relação≤ forma

um conjunto parcialmente ordenado. Este conjunto munido das operações de supremo

e de ínfimo estendidas às famílias de operadores forma também um reticulado completo

(por herança do reticulado do conjunto das funções binárias). Em outras palavras, para

todo conjunto de índices I, estas operações verificam que, para toda família(Ψi)i∈I de

operadores sobreT∨i∈I Ψi( f ) = supΨi( f )∧i∈I Ψi( f ) = in f Ψi( f )

OndeΨI é a imagem de I através da família(Ψi)i∈I , i.e.,

ΨI = Ψ ∈ T T |∃〉 ∈ I ,〉() =()

A condição para um subconjunto de um reticulado completo ser um reticulado

completo, é que ele seja superiormente ou inferiormente fechado sobre o reticulado.

Segundo Banon e Barrera em [25], o conjunto das dilatações das erosões é superiormente

(inferiormente) fechado de[T → T ], portanto o conjunto das dilatações (erosões) provido

da ordem≤ é reticulado completo.

2.3 Morfologia matemática para imagens em níveis de

cinza

Na década de 80, a descoberta dos operadores morfológicos no domínio dos

reticulados completos, foi o primeiro passo para a extensão da morfologia matemática

em níveis de cinza. O uso de tons de cinza introduz complicação maior, tanto do

ponto de vista conceitual como nas implementações. Umpixel pode agora ter qualquer

valor inteiro, assim a facilidade de considerar a imagem como um conjunto desaparece.

Algumas abordagens sobre a teoria da morfologia matemática para imagens em tons de

cinza podem ser encontradas em [40, 44]

Page 42: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA25

2.3.1 Os operadores elementares da morfologia matemática para

imagens em tons de cinza

Da mesma forma que imagens binária, os operadores elementares da morfologia

matemática para o caso de imagens em níveis de cinza, a dilatação e erosão

são definidos dualmente. No caso binário, apresentou-se a estrutura algébrica dos

operadores morfológicos como reticulados completos, definidos de acordo com a álgebra

das operações de Minkowiski e representados em uma grade do espaço Euclidiano

bidimensional. Para o caso de tons de cinza, estes operadores possuem uma estrutura

algébrica similar, estendido para o espaço euclidiano n-dimensional, satisfazendo

também as características de um reticulado completo. Além disso satisfazem a várias

propriedades correspondentes ao caso binário, tais como comutatividade, associatividade

e distributividade.

Nesta seção, apresentam-se as definições básicas dos operadores dilatação e erosão e

alguns dos principais operadores morfológicos tais como, abertura, fechamento, gradiente

morfológico, filtros sequenciais e transformadatop-hat.

Antes de definir estes operadores, necessita-se apresentar algumas definições básicas.

Vale salientar que os resultados e definições apresentados nesta seção são baseados nas

definições clássicas para o caso de imagens pontuais. ([27])

Na morfologia clássica, os modelos para imagens em tons de cinza são representados

matematicamente pelo mapeamentof : E → L ondeL é um reticulado completo.L é

definido por um conjunto de valores de tons de cinza que pode ser dado porR = R∪

−∞,+∞ ou Z = Z∪−∞,+∞. TambémL pode ser dado como sendo o intervalo

[0,1] ou o conjunto finito0,1, ...N, para algum∈ N

Definição 2.3.1Dados duas funções f,g∈L . As operações de supremo e de ínfimo entre

f e g, são definidas respectivamente por:

( f ∨g)(x) = f (x)∨g(x) (2.3.1)

( f ∧g)(x) = f (x)∧g(x) (2.3.2)

Page 43: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA26

Definição 2.3.2 (Translação)Seja f : E → L , x,u∈ E e v∈ L , a translação horizontal

de f por u, fu : E → L é definida por fu(x) = f (x− u) e thetranslação verticalde fx

by v∈ L is defined by( f +v)(x) = f (x)+v. Quando ambas as operações são aplicadas

juntas, obtemos a translação morfológica dada por

( fu +v)(x) = f (x−u)+v (2.3.3)

Definição 2.3.3Dado uma imagem g e x∈E, Areflexãode g é definida porg(x) = g(−x)

Definição 2.3.4 (Operações de Minkowiski)Dada dois sinais f,g ∈ L . A soma e a

diferença Minkowski são definidas respectivamente por:

f g =∧u∈E

fu− g(u) (2.3.4)

f ⊕g =∨u∈E

fu +g(u) (2.3.5)

Definição 2.3.5Dada duas imagens em níveis de cinzas f e g, então

εg( f )(x) =∧u∈E

[ f (x−u)− g(u)] (2.3.6)

∆g( f )(x) =∨u∈E

[ f (x−u)+g(u)] (2.3.7)

εg( f ) = ( f g)(x) e ∆g( f ) = ( f ⊕ g)(x) são uma erosão e uma dilatação,

respectivamente. g é chamada defunção aditiva estruturante

Efeitos gerais causados pelos operadores dilatação e erosão

No caso da dilatação, se todos os valores da função estruturante são positivos, a imagem

de saída aumenta a luminosidade, em consequência, detalhes escuros ou são reduzidos ou

são eliminados, dependendo de como os seus valores e formas estão relacionados om o

elemento estruturante usado para a dilatação

No caso da erosão, se todos os elementos da função estruturante são positivos, a

imagem de saída fica mais escura, consequentemente os detalhes claros na imagem de

entrada ficam menores do que o elemento estruturante é reduzido. O grau de redução

é determinado pelos níveis de cinza dos vizinhos e pela forma e amplitude do elemento

estruturante.

A Figura 2.15 mostra imagens da Lena e os efeitos da dilatação e da erosão no caso

de imagens em níveis de cinza. Observe que a dilatação em relação a imagem original,

fica mais clara, enquanto que a erosão torna a imagem mais escura.

Page 44: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA27

Figura 2.15: Imagem da Lena e os efeitos causados pelos operadores de dilatação e erosão

2.3.2 Outros operadores morfológicos

Tal como o caso binário, podemos definir outras operações morfológicas para imagens

em tons de cinza onde as mais básicas são aabertura e o fechamento. Estas

operações são consideradas os filtros básicos da morfologia matemática e são definidas

respectivamente por:

f g = ( f g)⊕g (2.3.8)

f •g = ( f ⊕g)g (2.3.9)

Para extrair contornos da imagem em geral é utilizado a operação degradiente

morfológico. Esta operação envolve três operações: dilatação, erosão e subtração e é

definida por:

Grad( f ,g)(x) = ( f ⊕g)(x)− ( f G)(x) (2.3.10)

Uma outra importante operação em imagens em tons de cinza é atransformada top

hat ou chapéu mexicano. O objetivo principal dessa operação é extrair componentes com

baixo contraste em relaçao ao fundo. É importante por exemplo, para realçar detalhes da

imagem na presença de sombra. Esses filtros podem ser definidos de dois modos: claro e

escuro e são dados respectivamente pelas equações:

H(F)+(x) = f (x)− ( f g)(x) (2.3.11)

H(F)−(x) = ( f •g)(x)− f (x) (2.3.12)

O próximo capítulo, apresenta suscitamente a Matemática Intervalar e os conceitos

necessários para o desenvolvimento dessa discertação.

Page 45: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

Capítulo 3

Uma Abordagem da Matemática

Intervalar

3.1 Introdução

A matemática intervalar busca dar suporte para resolver problemas em dois aspectos

fundamentais da computação científica: Um deles é na criação de um modelo

computacional que reflita com exatidão o controle e análise dos erros que ocorrem no

processo computacional; o outro é na escolha de técnicas de programação adequadas

para desenvolvimento de softwares científicos buscando no final do processo matemático-

computacional, uma boa estimativa da evidência dos erros de entrada. Na literatura

existem diferentes abordagens para a computabilidade nos números reais, mas, uma

importante diferença entre estas abordagens está na maneira como é representado o

número real [64].

A aritmética intervalar permite o cálculo de extremos seguros para as soluções de

um problema . Operações aritméticas com máxima precisão são necessárias para se ter

uma aritmética de alta exatidão. Elas são definidas de forma que só um arredondamento

é aplicado nas operações aritméticas básicas, resultando que o valor calculado e o

valor exato diferem por apenas um arredondamento. Uma aplicação da aritmética

intervalar poderá levar a extremos confiáveis [55]. O uso desta aritmética, aliada a

um controle rígido dos algoritmos, é objeto do atual estado da arte nesta área. Nesta

28

Page 46: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 3. UMA ABORDAGEM DA MATEMÁTICA INTERVALAR 29

seção serão apresentados alguns conceitos da aritmética intervalar, fundamentais para o

desenvolvimento dos principais resultados dessa tese.

3.2 Análise intervalar

A qualidade do resultado em computação científica depende do conhecimento e

controle dos erros na computação. Algoritmos convencionais, chamados algoritmos

pontuais, computam uma resposta e, algumas vezes, uma estimativa do erro. No entanto, o

usuário não pode conseguir uma resposta exata sem o auxílio de uma análise rigorosa dos

erros, o qual é extensa, dispendiosa e nem sempre viável [7]. Desta forma, a obtenção

de uma solução numérica para um problema real, aplicando os métodos numéricos

tradicionais, geralmente conduz a aproximação dos resultados. Por outro lado, técnicas

intervalares podem ser programadas em computadores de tal modo que a computação

possua uma rigorosa e completa análise do erro no resultado. Muitas vezes, para melhor

compreender como se comporta globalmente o erro durante a evolução dos cálculos

numéricos, torna-se necessário identificar qual a sua origem ou fonte.

3.3 Definições básicas

Nesta seção apresentam-se algumas definições básicas da aritmética intervalar que

foi introduzida por Moore e Sunaga paralelamente [60, 66]. Essas definições serão

importantes para esse trabalho, porque nos Capítulos 5 e 6 serão apresentados dois

modelos intervalares em imagens aplicada a morfologia matemática. A estrutura algébrica

desses modelos, requerem algumas vezes operações intervalares entre elementos de

conjuntos.

Definição 3.3.1 Intervalo de Números Reais

SejaR o conjunto dos números reais, e sejam x1,x2 ∈ R tais que x1 ≤ x2 Então,

o conjuntox ∈ R|x1 ≤ x≤ x2 é um intervalo de números reais ou simplesmente um

intervalo, e será denotado por[x1,x2].

Definição 3.3.2Conjunto dos Intervalos de Números Reais

Page 47: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 3. UMA ABORDAGEM DA MATEMÁTICA INTERVALAR 30

Denota-se porIR o conjunto de todos os intervalos de números reais, isto é,

IR = [x1,x2]|x1,x2 ∈ R e x1≤ x2

Os pontos do conjunto dos intervalos de números reais serão denotados usualmente

por letras latinas maiúsculas.

Neste trabalho, os intervalos são usados com a finalidade de aproximar valores

imprecisos. Neste sentido, não será utilizado a forma tradicional de representação

geométrica, visto que, neste caso, associando-se a cada extremo do intervalo um eixo

cartesiano, constrói-se uma representação cartesiana, enquanto que aqui, o intervalo está

associado a um ponto real impreciso no mesmo eixo.

Todo número realx ∈ R pode ser visto como um intervalo deIR. Para tanto, basta

identificar os pontosx ∈ R com os intervalos pontuaisX = [x,x], ondeX ∈ IR. Estes

intervalos também são chamados de intervalos degenerados ou intervalos pontuais.

Assim vale a seguinte cadeia de inclusões:

Figura 3.1:N⊆ Z⊆Q⊆ R⊆ IR

Vendo cada intervalo da reta como um conjunto, a noção de igualdade entre dois

intervalos é dada pela noção de igualdade entre conjuntos, ou seja,

A = B⇔∀x∈ A⇒ x∈ B e∀x∈ B⇒ x∈ A

Definição 3.3.3 Igualdade entre Intervalos

Sejam A= [a1,a2] e B= [b1,b2] dois intervalos de IR. Diz-se que A= B se, e somente

se,

Page 48: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 3. UMA ABORDAGEM DA MATEMÁTICA INTERVALAR 31

a1 = b1 e a2 = b2

Definição 3.3.4Região Intervalar

Uma região intervalar é uma porção contida em Rn cujos limites são bem definidos e

variáveis.

Definição 3.3.5Par Ordenado Intervalar

Sejam os intervalos A= [a1,a2] e B= [b1,b2]. Definimos Par ordenado(A;B) à região

intervalar ([a1,a2]; [b1,b2]) em que os intervalos A e B são denominados respectivamente

abscissa intervalar e ordenada intervalar.

Geometricamente, um par ordenado intervalar é visto como uma região intervalar no

plano, conforme podemos ver na figura 3.2.

Figura 3.2: Par ordenado intervalar

3.3.1 Aritmética intervalar

Apresentaremos agora um estudo das definições básicas de matemática intervalar,

segundo a aritmética de Moore. [8, 54, 61].

Page 49: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 3. UMA ABORDAGEM DA MATEMÁTICA INTERVALAR 32

Aritmética intervalar clássica

Consideremos os intervalosX = [x1,x2] eY = [y1,y2], então:

1. X +Y = [x1,x2]+ [y1,y2] = [x1 +y1,x2 +y2]

2. X−Y = [x1,x2]− [y1,y2] = [x1−y2,x2−y1]

3. X×Y = [x1,x2]× [y1,y2] = [minx1y1,x1y2,x2y1,x2y2,maxx1y1,x1y2,x2y1,x2y2]

4. 1X =

[1x2

, 1x1

]sex1 > 0 oux2 < 0

5. X÷Y = X× 1Y = [x1,x2]×

[1y2

, 1y1

], se 06∈Y

Operações de reais com intervalos:

Sejama∈ ReX = [a1,a2]. Valem:

1. a+X = [a,a]+ [a1,a2] = [a+a1,a+a2]

2. a−X = [a,a]− [a1,a2] = [a−a2,a−a1]

3. a×X = a× [a1,a2] = [a×a1,a×a2]

4. Xa = [a1,a2]

a = [a1a , a2

a ], paraa 6= 0

Nota-se que a imagem de cada uma das operações intervalares básicas é uma extensão

exata da operação real correspondente.

Teorema 3.3.6Sejam os intervalos X= [x1,x2] e Y= [y1,y2], então:

1. X +Y = r +s|r ∈ X e s∈Y

2. X−Y = r−s|r ∈ X e s∈Y

3. X×Y = [x1,x2]× [y1,y2] = r×s|r ∈ X e s∈Y

5. X÷Y = r÷s|r ∈ X e s∈Y, se0 6∈Y

Prova

A prova deste teorema pode ser vista em [66].

Page 50: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 3. UMA ABORDAGEM DA MATEMÁTICA INTERVALAR 33

Se a expressão intervalar for composta, não haverá necessariamente uma

correspondência exata de tais operações. Por exemplo, sef (x) = x2− x, for estendida

com elementos intervalares, temosF(X) = X2−X ouF(X) = X(X−1).

Neste caso, têm resultados diferentes, porém inclusos, ou seja, paraX = [0,1], temos:

F(X) = X2−X = [0,1]2− [0,1] = [0,1]+ [−1,0] = [−1,1]

F(X) = X(X−1) = [0,1]× ([0,1]− [1,1]) = [0,1]× [−1,0] = [−1,0]

Portanto,[−1,1] 6= [−1,0], mas[−1,0]⊆ [−1,1].

3.3.2 Propriedades da aritmética intervalar

Teorema 3.3.7A aritmética intervalar é subdistributiva no sentido que, se X,Y e Z são

intervalos, então X(Y +Z)⊆ XY+XZ [61].

Assim, embora adição e multiplicação de intervalos sejam comutativas e associativas,

não mantém a lei da distributividade. Além disso, embora os intervalos pontuais[0,0]

e [1,1] sejam identidades aditiva e multiplicativa, respectivamente, não existe inversos

aditivos e multiplicativos, isto é:

• [1,2]− [1,2] = [1,2]+ [−2,−1] = [−1,1]

• [1,2]÷ [1,2] = [1,2]×[1

2,1]=

[12,2

](α×β)×A = (α×β)× [a1,a2]

= [(α×β)×a2,(α×β)×a1] paraα×β < 0

= [α×β×a2,α×β×a1]

= α× [β×a1,β×a2] paraβ≥ 0 (inverteremos a posição deα por

β , caso contrário)

= α× (β× [a1,a2])

= α× (β×A).

Definição 3.3.8 Interseção entre dois Intervalos

Sejam A= [a1,a2] e B= [b1,b2] dois intervalos. se maxa1,b1≤mina2,b2, define-

se a interseção dos intervalos A e B como sendo o intervalo

A⋂

B = [maxa1,b1,mina2,b2],

Page 51: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 3. UMA ABORDAGEM DA MATEMÁTICA INTERVALAR 34

.

Exemplo 3.3.1 1. [2,5]⋂

[3,8] = [max2,3,min5,8] = [3,5]

2. [3,8]⋂

[−1,10] = [max3,−1,min8,10] = [3,8]

3. [−3,2]⋂

[2,5] = [max−3,2,min2,5] = [2,2]

A Figura 3.3 dá a interpretação geométrica da operação de interseção de intervalos na

reta real:

Figura 3.3: Representação geométrica da interseção emR

Teorema 3.3.9Propriedade da interseção

Sejam A,B,C,D ∈ IR. Se A⊆C, B⊆ D e, se A⋂

B está definido, então C⋂

D está

definido e:

A⋂

B⊆C⋂

D

A prova deste teorema pode ser vista em [54]

Exemplo 3.3.2 Sejam A= [3,5],B = [−1,4],C = [2,8] e D = [−1,6]. Assim, A⊆ C e

B⊆ D, então, A⋂

B = [3,4], C⋂

D = [2,6] e [3,4]⊆ [2,6].

Definição 3.3.10União entre dois Intervalos

Sejam A= [a1,a2] e B= [b1,b2] dois intervalos tais que A⋂

B está definido. Define-se

a união dos intervalos A e B como sendo o intervalo:

A⋃

B = [mina1,b1,maxa2,b2]

Page 52: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 3. UMA ABORDAGEM DA MATEMÁTICA INTERVALAR 35

Exemplo 3.3.3 1. [2,5]⋃

[3,8] = [min2,3,max5,8] = [2,8];

2. [3,8]⋃

[−1,10] = [min3,−1,max8,10] = [−1,10];

3. [−3,2]⋃

[2,5] = [min−3,2,max2,5] = [−3,5];

4. [−3,2]⋃

[3,8] = não está definido.

A figura 3.4 dá a interpretação geométrica da operação de união de intervalos na reta

real:

Figura 3.4: Representação geométrica da união emR

3.3.3 Relações de ordem

É possível definir muitas relações de ordem paciais, sobreIR. Dentre elas podemos

destacar:

Definição 3.3.11Ordem de Inclusão

Sejam X= [r,s] e Y= [t,u]. Então, X é menor ou igual a Y , representado por X≤Y,

se t≤ r e s≤ u.

Kulisch e Miranker [68], definiram a seguinte ordem:

Definição 3.3.12Ordem de Kulisch-Miranker

Seja X= [r,s] e Y= [t,u]. Então X é menor ou igual a Y , representado por X≤KM Y,

se r≤ t e s≤ u.

O próximo capítulo, apresenta alguns conceitos do Processamento de Imagens

Digitais Intervalares e que servirão para a compreensão do que seja um modelo de imagem

intervalar.

Page 53: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

Capítulo 4

Processamento de Imagens Digitais

Intervalares

4.1 Introdução

Nesta seção serão apresentados alguns conceitos de imagens digitais intervalares que

foram introduzidas por Lyra em [4]. Considera-se que os conceitos apresentados neste

capítulo, são importantes porque no capítulo 6 será introduzido um modelo intervalar

para imagens em níveis de cinza e que foi desenvolvido sobre esse tipo de imagens.

Uma imagem intervalar refere-se a uma função luminosa bidimensional, denotada

por F(x,y), em que um intervalo assume a amplitude deF nas coordenadas espaciais

(x,y) dando a intensidade (brilho) da imagem naquele ponto em relação a um coeficiente

de tolerância que determina a diferença entre o limite superior e inferior do intervalo.

Da mesma forma que as imagens digitais, para ser adequada para o processamento

computacional, a imagem precisa ser digitalizada tanto espacialmente quanto em

amplitude. A digitalização das coordenadas espaciais(x,y) é denominada amostragem

da imagem e a quantização em níveis de cinza ocorre de forma contínua, em um intervalo

diminuindo a perda neste processo de discretização. O objetivo do modelo intervalar para

imagens digitais desenvolvido por Lyra, foi definir uma imagem intervalar em que, através

de software/hardware, seja convertido o valor de cadapixeldigitalizado em um intervalo.

A diferença entre o limite superior e o inferior, dependerá da relação com que opixel

36

Page 54: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 4. PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS INTERVALARES 37

analisado terá com a imagem. Em uma região indefinida por exemplo, esta diferença será

maior que em uma região definida. Alguns trabalhos de métodos intervalares aplicados

ao processamento de imagens podem ser encontrados em [3, 15, 28, 30]

4.2 Definições

Definição 4.2.1 Imagem Digital Intervalar e Pixel Intervalar

Seja A= ai j uma matriz intervalar de ordem m×n. A é uma imagem digital intervalar,

discretizada espacialmente e em tons de cinza, se ela for obtida através de um dispositivo

de aquisição de imagens e digitalizado por um digitalizador intervalar ou obtido através

de um dispositivo de aquisição intervalar e, de alguma forma, digitalizado.

A definição 4.2.1 merece um detalhamento. Existem duas formas de geração da matriz

intervalar, consequentemente da imagem digital intervalar. A primeira é feita no momento

da aquisição da imagem, através da regulagem do dispositivo de aquisição, ou através de

modificações ambientais. Por exemplo, existemn regulagens que pode ser efetuadas em

uma câmera fotográfica digital para a obtenção de uma imagem, bem como, o ambiente

poderá sofrer variação de luminosidade, umidade, etc. Estas modificações contribuirão

para a aquisição de uma imagem intervalar, onde a imagem ótima estará contida.

Uma outra forma de análise da imagem intervalar será quando aplicada sob um objeto

em movimento. Sobre está ótica a imagem intervalar terá mais informações sobre a

imagem, como: deslocamento, modificações, definições de formas, etc.

Uma outra forma de se trabalhar a imagem digital intervalar é na digitalização,

em que a construção da matriz intervalar se baseia na matriz depixels da imagem

clássica, sendo analisada a vinhança e conectividade de cadapixel ou seja, cadaai j ∈ IR,

denominado pixel intervalar, será um intervalo que definirá a intensidade intervalar

luminosa deste pixel intervalar na posiçãoi, j da imagem discretizada, tomando como

critério a vizinhança.

Definição 4.2.2 Imagem Digital Binária Intervalar

Seja A= ai j uma imagem intervalar. A é uma imagem binária intervalar se cada

intervalo ai j for um intervalo degenerado e igual a[0,0] ou [1,1].

Page 55: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 4. PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS INTERVALARES 38

A definição de métrica está relacionada com a região espacial ocupada pelospixels.

Esta métrica obedece às propriedades tradicionais. Quanto ao intervalo de tons de cinzas,

cadapixel representa uma informação da imagem. Foi definido a relação entre ospixels

com uma quasi-métrica, para este caso específico, utilizando a quasi-métrica definida por

Acióly e Bedregal que se adequa também à estrutura intervalar [9].

SejamIp = [p1, p2] e Iq = [q1,q2] as intensidades intervalares dos pixelsp(x,y) e

p(u,v), respectivamente. A distância de Moore [61] entre estas intensidades intervalares é

dada pela funçãoD(Ip, Iq) = Max(|p1−q1|, |p2−q2|). Já a distância de Acióly e Bedregal

[9] é dada pela funçãoQ(Ip, Iq) = 0 seq1≤ p1≤ p2≤ q2 eQ(Ip, Iq) = Max(q1− p1, p2−

q2,0), caso contrário. A distância de Moore [61] satisfaz a noção clássica de métrica [43]

já a de Acióly-Bedregal [9] satisfaz a noção de quasi-métrica [47].

4.3 Operações lógicas-aritméticas entre pixels

intervalares

As operações aritméticas em imagens inteiras intervalares são aplicadaspixel a pixel.

Elas envolvem apenas uma posição espacial de pixel intervalar por vez, de modo que

são feitas no local, ou seja, o resultado da operação aritmética feita na posição(x,y) é

armazenado naquela posição.

Em alguns momentos é apresentado apenas uma das infinitas imagens considera-se a

imagem intervalar como um conjunto infinito de imagens devido a cadapixel intervalar

ser contínuo contidas em uma imagem intervalar para servir de referência e esta será

denominada imagem média.

Definição 4.3.1 Imagem Média

Seja A= ai j uma matriz, onde ai j = [ai j ,ai j ] de ordem m×n. A imagem média de A,

é uma matriz Imd = Ii j de ordem m×n, tal que:

Imd =ai j +ai j

2 para todo i, j ∈ N.

A seguir, serão definidas algumas operações aritméticas e lógicas entrepixels

intervalares. Para estas definições, é considerado o intervalo degeneradoK = [k,k] onde

Page 56: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 4. PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS INTERVALARES 39

k ∈ R é a maior intensidade possível de uma imagem. Sejamp(x,y) e q(x,y) pixels

intervalares tal quep(x,y) = [pi , ps] eq(x,y) = [qi ,qs], respectivamente, então:

Definição 4.3.2Soma entrepixels intervalares

A soma, s(x,y) = p(x,y)+q(x,y), é umpixel intervalar, igual à soma das intensidades

dos pixels intervalares respeitado o limite superior de intensidade, isto é:

s(x,y) = [min(pi +qi ,k),min(ps+qs,k)]

Definição 4.3.3Subtração entrepixels intervalares

A diferença, m(x,y) = p(x,y)− q(x,y), é umpixel intervalar, igual à diferença das

intensidades dospixels intervalares respeitado o limite inferior de intensidade, isto é:

m(x,y) = [max(pi−qs,0),max(ps−qi ,0)]

Definição 4.3.4Produto entrepixels intervalares

O produto, t(x,y) = p(x,y)× q(x,y), é um pixel intervalar, igual ao produto das

intensidades dospixels intervalares respeitado o limite superior de intensidade, isto é:

t(x,y) = [min(pi×qi ,k),min(ps×qs,k)]

Definição 4.3.5Divisão entrepixels intervalares

A divisão, d(x,y) = p(x,y)q(x,y) , é umpixel intervalar, igual ao quociente das intensidades

dos pixels intervalares, isto é:

d(x,y) = [max(pi

qi),max(

ps

qs)],qi ,qs 6= 0

Definição 4.3.6Soma entre imagens intervalares

Sejam as matrizes de pixels intervalares A= ai j e B= bi j de ordem m×n. A soma

entre estas imagens é a matriz intervalar S= si j de ordem m×n, construída pixel a pixel

tal que, para cada ai j ∈ A e bi j ∈ B:

si j = ai j +bi j

Page 57: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 4. PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS INTERVALARES 40

Definição 4.3.7Subtração entre imagens intervalares

Sejam as matrizes depixelsintervalares A= ai j e B= bi j de ordem m×n. A subtração

entre estas imagens é a matriz intervalar M= mi j de ordem m×n, construída pixel a pixel

tal que, para cada ai j ∈ A e bi j ∈ B:

mi j = ai j −bi j

Definição 4.3.8Multiplicação entre imagens intervalares

Sejam as matrizes depixels intervalares A= ai j e B= bi j de ordem m×n. O produto

entre estas imagens é a matriz intervalar K= ki j de ordem m×n, construída pixel a pixel

tal que, para cada ai j ∈ A e bi j ∈ B:

ki j = ai j ×bi j

Definição 4.3.9Divisão entre imagens intervalares

Sejam as matrizes depixels intervalar A= ai j e B= bi j de ordem m×n. O quociente

entre estas imagens é a matriz intervalar D= di j de ordem m×n, construída pixel a pixel

tal que, para cada ai j ∈ A e bi j ∈ B:

di j =ai j

bi j,0 6∈ bi j

As operações lógicas tradicionais definidas sob uma imagem digital intervalar binária,

dar-se-ão da mesma forma que quando utilizadas nas imagens tradicionais por utilizar

apenas a informação sob ponto de vista espacial. Os resultados obtidos também serão

similares uma vez que, ao definir a imagem intervalar, mante-se a posição espacial de

cadapixel intervalar, modificando apenas a forma de apresentação de seus tons de cinza

que são definidos agora como intervalo.

Definição 4.3.10Disjunção de imagens intervalares

Sejam A= [ai j ] e B= [bi j ] imagens intervalares de ordem m×n. A disjunção destas

imagens é a matriz C= ci j de ordem m×n, construídapixel a pixel escolhendo aquele

de intensidade maior. Isto é, A∨B = C, onde ci j = sup[ai j ,bi j ], para todo i, j.

A operação de disjunção pode ser vista na Figura 4.1 (extraída de [4]).

Page 58: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 4. PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS INTERVALARES 41

Figura 4.1: Imagem média da Lena disjunta com uma imagem constante.

Definição 4.3.11Conjunção de imagens intervalares

Seja A= ai j e B= bi j imagens intervalares de ordem m× n. A conjunção destas

imagens é a matriz C= ci j de ordem m×n, construídapixel a pixel escolhendo aquele

de intensidade menor. Isto é, A∧B = C, onde ci j = in f [ai j ,bi j ], para todo i, j.

A operação de conjunção pode ser vista na Figura 4.2 extraída de ([4]).

Figura 4.2: Imagem média da Lena conjunta com uma imagem constante.

Definição 4.3.12Negação de imagens intervalares

Sejam A= ai j e K = ki j imagens intervalares de ordem m× n, onde ki j = K. A

negação de A é a matriz¬A = ¬ai j de ordem m×n, construída pixel a pixel escolhendo

o complemento com respeito a K. Isto é,¬A = K−A. Assim¬ai j = ki j −ai j , para todo

i, j.

A operação de complemento ou negativo pode ser vista na Figura 4.3.

A abordagem aqui apresentada teve como base o trabalho desenvolvido por Lyra, em

[4]. Lyra desenvolveu importantes fundamentos do processamento digital de imagens

onde pela primeira vez vários aspectos dessa teoria foi apresentado sob a ótica intervalar.

Em seu trabalho ele apresentou importantes conceitos de análise de imagens tais

Page 59: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 4. PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS INTERVALARES 42

Figura 4.3: Imagem da Lena original e negativa.

como imagens representadas por matriz depixels na forma intervalar, operações entre

pixels intervalar, convolução intervalar, transformada de Fourier intervalar entre outros

conceitos.

Os dois capítulos a seguir, desenvolvem a proposta desse trabalho. O capítulo 5 propõe

um modelo para imagens binárias que contenha incertezas. Já o capítulo 6, extende

o capítulo 5, propondo um modelo para imagens em níveis de cinza que apresentam

incertezas.

Page 60: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

Capítulo 5

Morfologia para imagens binárias

intervalares

Transformar uma imagem em níveis de cinza em uma imagem binária, processo

chamado de binarização ou limiarização, é provavelmente, uma das técnicas mais

utilizada em várias aplicações, incluindo segmentação de imagens. Isto porque se faz

uso freqüente de processos de reconhecimento de caracteres que necessitam de imagens

binárias. Toda técnica de binarização, busca particionar uma imagem em duas classes C1 e

C2, a partir de um limiar L. De forma ideal, o limiar L situa-se em um determinado ponto

da imagem, onde uma das regiões, digamos C1 representa a região onde fica ospixels

pretos e C2 onde ficam ospixelsbrancos. A escolha do limiar é importante porque dela

vai resultar uma imagem com mais ou menospixelsbrancos. Em um processo que busca

selecionar um objeto de uma imagem, por exemplo, a técnica frequentemente utilizada é a

binarização. Esse processo, em geral é feito durante uma segmentação de imagens ([67]).

A figura 5.1, extraída de [67] mostra uma imagem em tons de cinza e sua respectiva

binarização. A imagem original é parte de uma mama densa.

A morfologia matemática se apresenta como uma ferramenta que melhor se adequa

ao processo de binarização, por ser uma abordagem não linear e por processar da mesma

maneira imagens em níveis de cinza e binárias. Alguns tipos de técnicas, apesar da

simplicidade do processo, dependendo da qualidade do original, não apresenta bons

resultados, isso porque pode haver "buracos"nas linhas, borda rompida na região limite ou

região "estranha"depixels. O modelo que será apresentado a seguir, poderá ser usado para

43

Page 61: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 44

tratar esse tipo de problema, que serão considerados como incertezas que aparecem no

processo da binarização e que em geral ocorrem próximo ao limiar. Técnicas intervalares

apresentam-se como boas ferramentas para lidar com problemas dessa natureza e as

incertezas oriundas do processo de binarização serão codificados em um intervalo, a saber,

o intervalo[0,1]. Em outras palavras, as imagens oriundas de processos de binarização,

terão pixels com valores[0,0], [0,1] e [1,1], onde[0,1], será o valor de incerteza.

Figura 5.1: Imagem Binarizada

Este capítulo, apresenta então um modelo intervalar binário, onde a representação

intervalar significa a presença de incerteza entre valores exatos do conjunto binário

0,1. Para isso, será introduzido o conjunto de pixelsΩ = [0,0][0,1], [1,1], onde

como mencionado[0,1] representa a informação de incerteza. O conjuntoΩ e suas

propriedades algébricas, serão aqui estudadas, e sobre este conjunto serão definidas as

operações morfológicas elementares de dilatação e erosão. Neste capítulo demontra-

se ainda que, tantoΩ quanto a classe das operações morfológicas sobreΩ formam um

reticulado completo.

Uma outra contribuição deste capítulo, é demonstrar que a estrutura algébrica deΩ,

diferentemente do caso binário, não constitui uma álgebra Booleana, mas uma estrutura

algébrica mais fraca chamada álgebra pseudo Booleana. Em outras palavras, a introdução

de um valor de incerteza no universo dospixelsbinários afeta (enfraquece) a estrutura

algébrica da álgebra dospixelsbinários0,1. Assim, o conceito de imagens binárias,

é generalizado permitindo o mapeamento de uma coordenada no valor de incerteza

representada pelo intervalo[0,1], ou seja, o modelo será capaz de expressar as incertezas

nas respectivas coordenadas. Ou ainda, a coordenada de valor[0,0] representa a cor

Page 62: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 45

preta, a coordenada de valor[1,1] representa a cor branca, e o valor[0,1] representa a

indefinição.

5.1 Construção do espaço algébricoΩ

Esta seção apresentará a estrutura algébrica do conjunto depixels Ω, citado

anteriormente. De forma a tornar o texto autocontido, sempre que for necessário serão

apresentados resultados conhecidos da literatura.

Proposição 5.1.1Toda cadeia P é um reticulado distributivo; i.e. um

reticulado onde para quaisquer elementos x,y,z valem as seguintes propriedades:

(I) x∧ (y∨z) = (x∧y)∨ (x∧z) e (II) x∨ (y∧z) = (x∨y)∧ (x∨z)

Prova SejaP uma cadeia, então dadosx,y∈ P , comox≤ y ouy≤ x, entãox∨y,x∧y∈ P .

Logo P é um reticulado.

Dadosx,y,z∈ P , comoP é uma cadeia, então tem-se dois casos:

(1) y,z≤ x e (2)x≤ y oux≤ z.

No Caso (1),y,z≤ x, entãoy∨z≤ x. Logo,(x∧y)∨ (x∧z)hip= y∨z, ex∧ (y∨z) = y∨z.

Ou seja,x∧ (y∨z) = (x∧y)∨ (x∧z).

No Caso (2)x ≤ y ou x ≤ z. Casox ≤ y, como y,z≤ y∨ z, entãox ≤ y∨ z, i.e.

x∧ (y∨z) = x. Mas(x∧y)∨ (x∧z) = x∨ (x∧z) e por absorçãox∨ (x∧z) = x. Portanto,

x∧ (y∨z) = (x∧y)∨ (x∧z). Casox≤ z, então comoy,z≤ y∨z, entãox≤ y∨zex∧ (y∨

z) = x. Além disso,(x∧y)∨ (x∧z) = (x∧y)∨x = x. Logo,x∧ (y∨z) = (x∧y)∨ (x∧z).

Portanto, em todos os casosx∧ (y∨z) = (x∧y)∨ (x∧z).

A proposiçãox∨ (y∧z) = (x∨y)∧ (x∨z) sai por dualidade.

Corolário 5.1.2 O conjunto dos números reais,R, é um reticulado distributivo;

onde (1) min(a,max(b,c)) = max(min(a,b),min(a,c)) e (2) max(a,min(b,c) =

min(max(a,b),max(a,c)).

Prova Dadosa,b,c ∈ R, como se tem uma quantidade finita de elementos eR é uma

cadeia, então a operação de supremo e de ínfimo são respectivamente as conhecidas

Page 63: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 46

∨ [1,1] [0,0] [0,1]

[1,1] [1,1] [1,1] [1,1]

[0,0] [1,1] [0,0] [0,1]

[0,1] [1,1] [0,1] [0,1]

∧ [1,1] [0,0] [0,1]

[1,1] [1,1] [0,0] [0,1]

[0,0] [0,0] [0,0] [0,0]

[0,1] [0,1] [0,0] [0,1]

Tabela 5.1: Operações binárias∨ e∧ sobreΩ

operações de máximo e de mínimo.

Definição 5.1.3SejaΩ = [0,0], [0,1], [1,1], onde[0,0]≤ [0,1]≤ [1,1]. SobreΩ define-

se as operações∨ e∧ de acordo com a Tabela 5.1.

Proposição 5.1.4A estrutura〈Ω,∨,∧, [0,0], [1,1]〉 forma um reticulado completo, onde

as operações∨ e∧ são as operações de supremo e ínfimo respectivamente.

Prova ComoΩ é uma cadeia finita, então ele é um reticulado completo, e claramente∨ e

∧, definidas na tabela 5.1, são suas operações de supremo e ínfimo respectivamente, pois

quaisquer dois elementosx ey do conjuntoΩ, tem-se quex∧y≤ x,y ex,y≤ x∨y, o que

pode ser verificado na tabela 5.1.

Corolário 5.1.5 O conjuntoΩ é um reticulado completo distributivo.

Prova Direto das proposições 5.1.1 e 5.1.4.

No que segue, apresentam-se algumas definições de complemento e pseudo-

complemeto [31].

Definição 5.1.6Seja L um reticulado contendo o elemento zero (⊥). Sejam a e b

elementos do reticuladoL. Um elemento c∈ L é dito ser o∧-complemento dea em

L, se c é omaior elemento tal que a∧ c = ⊥. Supondo que o reticuladoL tenha o

elemento unidade (>), um elemento c é dito ser o∨-complemento dea em L se c é o

menorelemento tal que a∨c =>.

Page 64: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 47

Segue da definição que o∧-complemento (∨-complemento) dea, se existe, é

unicamente determinado pora. As noções de∧-complemento e∨-complemento são

duais.

Se um elementoa∈ L tem simultaneamente o∧-complementoc1 e∨-complemento

c2, então,c1 e c2 não são necessariamente iguais. Por exemplo, se o reticuladoL for

distributivo entãoc1≤ c2, pois

c1 = c1∧>= c1∧ (a∨c2) = (c1∧a)∨ (c1∧c2) =⊥∨ (c1∧c2) = c1∧c2.

Definição 5.1.7Um elemento c∈ L é dito ser o complemeto de um elemento a∈ L, se c

é simultâneamente o∧-complemento e∨-complemento de a. Então a∧c=⊥ e a∨c=>

Definição 5.1.8O pseudo complemento de a relativo b, quando existe, é denotado por

a⇒ b. Umreticuladoé dito serrelativamente pseudo-complementado, se a⇒ b existe,

para quaisquer par de elementos a,b∈ L [62].

Corolário 5.1.9 Por definição, para todo x∈ L, x≤ a⇒ b se e somente se

a∧x≤ b (5.1.1)

Observe que

"Todo reticulado relativamente pseudo-complementado tem maior

elemento>; entretanto, em geral não tem menor elemento⊥ [62], pp 53"

Definição 5.1.10Um reticulado relativamente pseudo-complementado que possui menor

elemento "⊥"é chamadoálgebra pseudo-Booleana[62], pp 58.

Definição 5.1.11Dado Ω = [0,0], [0,1], [1,1], as tabelas 5.2 e 5.3 definem

respectivamente, as operações de pseudo-complemento relativo: "a⇒ b; ∧-complemeto:

"¬a"; ∨-complemento: "a"; e negação: "∼ a".

Observe que a diferença entre as operações¬a, a e ∼ a reside no tratamento da

incerteza[0,1]. Observe ainda que a tabela 5.3 foi obtida do seguinte modo: se

Page 65: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 48

⇒ [0,1] [0,1] [1,1]

[0,0] [0,0] [0,0] [0,0]

[0,1] [0,0] [1,1] [1,1]

[1,1] [0,0] [0,1] [1,1]

Tabela 5.2: Operação de complemento relativo

¬ [0,0] [0,1] [1,1]

[1,1] [0,0] [0,0]

− [0,0] [0,1] [1,1]

[1,1] [1,1] [0,0]

∼ [0,0] [0,1] [1,1]

[1,1] [0,1] [0,0]

Tabela 5.3: Operações de pseudo-complemento,∨-complemento e negação sobreΩ

a = b = [0,0], o maior elemento que satisfaz a definiçãoa∧ c ≤ b é c = [1,1], pois

[0,0]∧ [0,0] = [0,0]; [0,0]∧ [1,1] = [0,0] e [0,0]∧ [0,1] = [0,0]. Os outros elementos

são calculados de modo análogo (veja [62], pp 54).

Proposição 5.1.12A estrutura 〈Ω,∨,∧, [1,1], [0,0]〉 forma um reticulado completo

distributivo com pseudo-complemento relativo.

Prova Pelo corolário 5.1.5,Ω é um reticulado completo distributivo. A Tabela 5.2 define

as operações de pseudo complemento relativo sobreΩ.

Corolário 5.1.13 A estrutura〈Ω,∨,∧,⇒,¬,−〉 é uma álgebra psedo-Booleana com∨-

complemento.

Prova 〈Ω,∨,∧,⇒〉 é uma álgebra relativamente pseudo-complementado cujo menor

elemento “[0,0]”, entãoΩ é uma álgebra pseudo-Booleana. Adicionalmente, a estrutura

possui a operação de∨-complemento "a"definida na Tabela 5.3.

Definição 5.1.14Uma operação f: Ω → Ω chama-sereversão, sempre que f([0,0]) =

[1,1] e f([1,1]) = [0,0].

Page 66: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 49

Existem três operações de reversão sobreΩ que são descritas na tabela 5.3. Observe

que elas se diferenciam apenas quando o argumento é o elemento indefinido[0,1]. Isso

significa que essas operações coincidem com o complemento no caso binário, portanto

qualquer operação morfológica que envolve o complemento no caso binário, irá possuir

três versões para o caso do conjuntoΩ aqui proposto, a saber, uma versão pra cada

operador de reversão.

A álgebra pseudo BooleanaΩ munida das operações−,∼,¬, constitui o espaço de

pixels intervalares dotados do valor de incerteza[0,1].

No que segue, apresenta-se a estrutura algébrica das imagens cujos pixels são

valorados no conjuntoΩ.

5.2 Imagens binárias contendo incertezas

Esta seção, apresenta a álgebra das imagens cujos pixels são valorados no conjuntoΩ

apresentado na seção anterior. As imagens serão funções da formaf : E → Ω, ondeE é

um conjunto de coordenadasE = Z×Z. Tais funções representam as imagens binárias

contendo informação de incertezas e serão chamadas de imagens binárias intervalares.

Nesta seção definem-se essas imagens e estudam-se suas propriedades algébricas.

5.2.1 Operações básicas

Definição 5.2.1Chama-seimagem binária intervalaruma função f: E→Ω, ondeΩ =

[0,0], [0,1], [1,1]. O conjunto de todas essas imagens é denotado porΩE.

Definição 5.2.2Dado o conjuntoΩE e f,g∈ΩE, Podemos estabelecer a seguinte relação

de ordem sobreΩE: f ≤ g se e somente se, para todo x∈ E, f(x)≤ g(x).

Lema 5.2.3 As funções>,⊥ : E → Ω, tal que>(x) = [1,1] e ⊥(x) = [0,0] para todo

x∈ E são, respectivamente o maior e o menor elementoΩE.

Prova Seja f ∈ ΩE, então para qualquerx ∈ E, ⊥(x) = [0,0] ≤ f (x) ≤ [1,1] = >(x).

Assim,⊥≤ f ≤>, para todof ∈ΩE.

Page 67: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 50

Definição 5.2.4Dada uma família não vazia de imagens binárias intervalares, fii∈I ,

definimos as seguintes operações:

∨ fii∈I (x) =

[1,1] , se∃i ∈ I , fi(x) = [1,1]

[0,0] , se∀i ∈ I , fi(x) = [0,0]

[0,1] , caso contrário

(5.2.1)

∧ fii∈I (x) =

[1,1] , se∀i ∈ I , fi(x) = [1,1]

[0,0] , se∃i ∈ I , fi(x) = [0,0]

[0,1] , caso contrário

(5.2.2)

Proposição 5.2.5Dada uma família não vazia fI = fii∈I ⊆ ΩE,∨

fI é o supremo de

fii∈I .

Prova (a) Primeiro vamos mostrar que∨

fI majora fI . SejamfI = fii∈I ⊆ΩE ex∈ E.

• Caso 1.∃ j ∈ I tal que f j(x) = [1,1] então,∨

fI (x) = [1,1]≥ fh(x) para todoh∈ I .

• Caso 2.∀ j ∈ I , f j(x) = [0,0] então∨

fI (x) = [0,0]≥ fh(x) = [0,0] para todoh∈ I .

• Caso 3.∃k ∈ I tal que fk(x) = [0,1] e ∀ j ∈ I , f j(x) 6= [1,1], então por definição∨fI (x) = [0,1]. Como∀ j ∈ I , f j(x) 6= 1, então

∨fI (x) = [0,1]≥ fh(x), ∀h∈ I .

Portanto, em todos os casos∨

fI (x) ≥ fh(x) para todoh ∈ I . Comox é arbitrário,

então para todox e para todoh ∈ I ,∨

fI (x) ≥ fh(x), o que, por definição significa que∨fI ≥ fh, ∀h∈ I

(b) Vamos mostrar agora que∨

fI é o menor majorante de fii∈I . Seja g um

majorante (limitante superior) defI , por definição∀x∈ E, ∀ j ∈ I , f j(x)≤ g(x).

• Caso 1. se existirk ∈ I tal que fk(x) = [1,1], então necessariamenteg(x) = [1,1].

Logo por definição,∀ j ∈ I , f j(x)≤ [1,1] =∨

fI (x)≤ [1,1] = g(x).

• Caso 2.∀k∈ I , fk(x) = [0,0] entãog(x) = [0,0],g(x) = [0,1] ou g(x) = [1,1], mas

por definição∨

fI (x) = [0,0]≤ g(x).

Page 68: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 51

• Caso 3.∃k∈ I , fk(x) = [0,1] e∀m∈ I , fm(x) 6= [1,1] entãog(x) = [0,1] ou g(x) =

[1,1].

Por definição∨

fI (x) = [0,1]. Logo ∀m∈ I , fm(x) ≤∨

fI (x) ≤ g(x). Comox é

arbitrário, então∀ j ∈ I , ∀x∈E, f j(x)≤∨

fI (x)≤ g(x); ou seja∀ j ∈ I , f j ≤∨

fI ≤ g.

Logo∨

fI é o menor majorante de fii∈I .

Proposição 5.2.6Dada uma família não vazia fI = fii∈I ⊆ ΩE,∧

fI é o ínfimo de

fii∈I .

Prova A prova do ínfimo é análoga ao caso do supremo dada na proposição anterior.

Lema 5.2.7 As funções>,⊥∈ΩE são, respectivamente, o ínfimo e o supremo da família

vazia.

Prova De fato, do lema 5.2.3,> e⊥ são os elementos máximos e mínimos deΩE. De

acordo com [21] pp 27-28. SefI = /0 entãoin f fI => esup fI =⊥.

Proposição 5.2.8A estrutura〈ΩE,∨

,∧

,⊥,>〉 é um reticulado completo.

Prova Direto das proposições 5.2.5 e 5.2.6 e do lema 5.2.7.

Definição 5.2.9Dado f,g∈ ΩE e x∈ E, define-se( f ⇒ g) : E → Ω por ( f ⇒ g)(x) =

( f (x)⇒ g(x)).

Corolário 5.2.10 ΩE é um reticulado relativamente pseudo-complementado.

Prova Dado f ,g ∈ ΩE e o conjuntoC = h ∈ ΩE| f ∧ h ≤ g, então, por definição,

para todoh ∈ C e x ∈ E, f (x)∧ h(x) ≤ g(x). Como,Ω é um reticulado relativamente

pseudo-complementado, para todox, f (x)⇒ g(x) = ( f ⇒ g)(x) é o maior elementok tal

que f (x)∧k≤ g(x); ou seja,( f ⇒ g) é o maior elemento deC.

Page 69: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 52

Proposição 5.2.11A estrutura〈ΩE,∨,∧,⇒〉 é uma álgebra pseudo-Booleana.

Prova Direto do lema 5.2.3 e do corolário 5.2.10.

Corolário 5.2.12 (Pseudo-complemento sobreΩE) Dado f ∈ ΩE, o pseudo-

complementode f , denotado por¬ f , é dado pela expressão “¬ f = ( f ⇒ ⊥)”,

onde⊥ ∈ΩE é a função previamente definida⊥(x) = [0,0].

Corolário 5.2.13 Dado x∈ E e f ∈ΩE, então

• Se f(x) = [1,1] então¬ f (x) = [0,0];

• Se f(x) = [0,0] então¬ f (x) = [1,1];

• Se f(x) = [0,1] então¬ f (x) = [0,0].

Prova Casof (x) = [1,1], então¬ f (x) = ¬[1,1] = [1,1]⇒ [0,0] = [0,0].

Casof (x) = [0,0], então¬ f (x) = ¬[0,0] = [0,0]⇒ [0,0] = [1,1].

Casof (x) = [0,1], então¬ f (x) = ¬[0,1] = [0.1]⇒ [0,0] = [0,0].

Proposição 5.2.14Dado f ∈ ΩE, a função f , definida por f (x) = f (x) é o ∨-

complemento de f .

Prova Dado f ∈ ΩE e o conjuntoC = h ∈ ΩE| f ∨ h = [1,1]. então, para qualquer

x∈ E, f (x) é o menor elementoh tal que f (x)∨h = [1,1]. Assim, f é o menor elemento

deC.

Corolário 5.2.15 Dado x∈ E e f ∈ΩE,

• Se f(x) = [1,1] entãof (x) = [0,0].

• Se f(x) = [0,0] entãof (x) = [1,1].

• Se f(x) = [0,1] entãof (x) = [1,1].

Page 70: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 53

Prova Casof (x) = [1,1], entãof (x) = [1,1] = [0,0].

Casof (x) = [0,0], entãof (x) = [0,0] = [1,1].

Casof (x) = [0,1], entãof (x) = [0,1] = [1,1].

Corolário 5.2.16 〈ΩE,∨,∧,⇒,¬,−,⊥,>〉, é uma álgebra pseudo-Booleana com∨-

complemento, mas, não é uma álgebra Booleana .

Prova As operações de pseudo-complemento e∨-complemento não coincidem (veja os

corolários 5.2.13 e 5.2.15).

Definição 5.2.17Dado f∈ΩE, a negaçãode f ,∼ f , é definida por:

∼ f (x) =

[1,1] , se f(x) = [0,0]

[0,0] , se f(x) = [1,1]

[0,1] , se f(x) = [0,1]

(5.2.3)

Definição 5.2.18Uma operaçãoρ : ΩE →ΩE, é ditaoperação de reversão, quando para

qualquer f,g ∈ ΩE, se f(x) = [0,0] e g(x) = [1,1], entãoρ( f )(x) = [1,1] e ρ(g)(x) =

[0,0].

Corolário 5.2.19 As operações∼ f , ¬ f e f sãooperações de reversãosobreΩE.

5.3 Operações derivadas

As reversões∼ f ,¬ f e f induzem três versões de qualquer operação que seja definida

a partir de complementação em imagens binárias. Por exemplo, pode-se definir três

operadores “XOR”, um para cada reversão. Semelhantemente, o mesmo acontecerá para

asNAND,NORe as operações morfológicas.

Definição 5.3.1Dados f,g∈ΩE, obtém-se as seguintes operações derivadas:

• NAND∼( f ,g) =∼ f∧ ∼ g;

Page 71: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 54

• NAND¬( f ,g) = ¬ f ∧¬g;

• NAND( f ,g) = f ∧g;

• NOR∼( f ,g) =∼ f∨ ∼ g;

• NOR¬( f ,g) = ¬ f ∨¬g;

• NOR( f ,g) = f ∨g;

• XOR∼( f ,g) = ( f∧ ∼ g)∨ (g∧ ∼ f );

• XOR¬( f ,g) = ( f ∧¬g)∨ (g∧¬ f );

• XOR( f ,g) = ( f ∧g)∨ (g∧ f ).

Observação 5.3.1As definições das operações de NAND, NOR e XOR descritas acima,

não são as únicas. Existem outras formas de definir essas operações. No caso da XOR

por exemplo, pode-se definir como XOR( f ,g) = ( f ∨g)∧ ∼ ( f ∧g).

Na Figura 5.2 apresentam-se algumas operações básicas entre duas imagens binárias

intervalaresf e g. A Figura mostra também algumas operações derivadas. Observe que

"i = [0,1]"significa "elemento indefinido".

5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares

Nesta seção apresenta-se as operações morfológicas básicas que serão definidas sobre

ΩE. A principal motivação será a investigação das tranformações geométricas das

imagens que possuem valores que representam incertezas em alguma coordenada.

O modelo construído previamente, será utilizado agora para definir os operadores

morfológicos do ponto de vista das imagens binárias intervalares. Antes porém, serão

apresentados conceitos fundamentais dos operadores que serão aplicados sobre essas

imagens. Por questão de simplificação, daqui por diante o símboloT será usado sempre

que necessário no lugar deΩE.

Page 72: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 55

Figura 5.2: Operações básicas e algumas operações derivadas sobre imagens binárias

intervalares

5.4.1 Operadores sobre imagens binárias intervalares

Definição 5.4.1(Operador m-ário)Umoperador m-áriosobreT (i.e., sobreΩE) é uma

funçãoϕ : T m→ T . Por exemplo, as operações∼,¬ e− são operadores unários sobre

T , enquanto que as operações∨,∧ e⇒ são operadores binários sobreT . Oconjunto de

todos os operadores m-áriossobreT será denotado por[T m→ T ]. No caso particular

Page 73: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 56

de m= 1, pode-se usar a seguinte representaçãoT T = [T → T ]

Definição 5.4.2Um operador unárioψ sobreT é umadilatação, se e somente se, para

toda família de imagens fi ⊆ T , ψ(sup fi) = supψ( fi). Ele é umaerosão, se e

somente se, para toda família de imagens fi ⊆ T , ψ(inf fi) = inf ψ( fi). Ele é uma

anti-dilataçãose e somente se, para toda família de imagens fi ⊆ T , ψ(sup fi) =

inf ψ( fi). Por fim, ele é umaanti-erosão, se e somente se, para toda família de imagens

fi ⊆ T , ψ(inf fi) = supψ( fi) [25], pp 34.

Notações: No que segue, introduz-se alguns símbolos utilizados em morfologia.

∆: Conjunto das dilatações.

∇ : Conjunto das erosões.

∆a : Conjunto das anti-dilatações.

∇a : Conjunto das anti-erosões.

δ : Operador de dilatação; i.e.δ ∈ ∆

ε : Operador de erosão; i.e.ε ∈ ∇

δa : Operador de anti-dilatação; i.e.δa ∈ ∆a

εa : Operador de anti-erosão - i.e.εa ∈ ∇a

Essas operações podem ser caracterizadas através de funçõesf : E → T . Considere,

por enquanto, somente as dilatações. Neste caso, a cada dilataçãoδ : T → T , estará

associada à uma funçãoaδ : E → T . Mas antes disso, será feita uma consideração a

respeito da caracterização de função como conjunto unitário.

Proposição 5.4.3Uma vez queT é um reticulado completo, então o conjunto dos

operadores unários sobreT , [T → T ], munido da seguinte relação de ordem parcial:para

todo f : E→Ω, ϕ1,ϕ2 ∈ [T → T ],

ϕ1≤ ϕ2⇔ ϕ1( f )≤ ϕ2( f ) (5.4.1)

é um reticulado ompleto.

Prova Como T é um reticulado completo, defina sobre[T → T ] a ordem parcial do

enunciado.[T → T ] possui maior e menor elemento. Com efeito, o operadorθ( f ) =

Page 74: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 57

> : E → Ω é o maior operador em[T → T ], pois para qualquerϕ ∈ [T → T ], ϕ( f ) ≤

>= θ( f ). Semelhantemente, o operadorβ( f ) =⊥ é o menor operador. Isso significa que

existe o supremo e ínfimo da família vazia.

Dada uma família não vazia de operadoresΓ ⊆ [T → T ], o operador∨

Γ,

definido por∨

Γ( f ) = supϕ( f ) : ϕ ∈ Γ é um majorante deΓ, pois para todog ∈ Γ

e f ∈ T , g( f ) ≤ supϕ( f ) : ϕ ∈ Γ =∨

Γ( f ).∨

Γ é o menor dos majorantes,

pois dado um majoranteh, então por definição, para todog ∈ Γ, g ≤ h, ou seja

para todo f ∈ T ,g( f ) ≤ h( f ), mas g( f ) ≤ supϕ( f ) : ϕ ∈ Γ ≤ h( f ). Logo,

g( f ) ≤∨

Γ( f ) ≤ h( f ). Portanto∨

Γ é o menor dos majorantes deΓ. Dualmente,

demonstra-se que infΓ ∈ [T → T ].

Corolário 5.4.4 Dadosϕ1,ϕ2∈ [T → T ], (ϕ1∨ϕ2)( f ) = ϕ1( f )∨ϕ2( f ) e(ϕ1∧ϕ2)( f ) =

ϕ1( f )∧ϕ2( f ).

Definição 5.4.5Dada a função identidade id: [T → T ], onde id( f ) = f , e um operador

ϕ ∈ [T → T ], ϕ chama-se extensivo, se e somente se, id≤ ϕ, e anti-extensivo seϕ≤ id

Definição 5.4.6Dados dois operadoresϕ1,ϕ2 ∈ [T → T ], a composição deϕ1 comϕ2,

denotada por(ϕ1ϕ2) ou (ϕ1ϕ2) é definida por(ϕ1ϕ2)( f ) = ϕ1(ϕ2( f ))

Definição 5.4.7Um operador ρ : [T → T ] chama-se isotônico, sempre que para

qualquer pares de operadoresϕ1,ϕ2 ∈ [T → T ], ϕ1 ≤ ϕ2 implica queρ(ϕ1) ≤ ρ(ϕ2).

ρ chama-se antitônico sempre que para qualquer par de operadoresϕ1,ϕ2 ∈ [T → T ],

ϕ1≤ ϕ2 implica ρ(ϕ1)≥ ρ(ϕ2).

Proposição 5.4.8O conjunto ∆ das dilatações (∇ das erosões) é superiormente

(inferiormente) fechado.

Prova Para todoΨ⊂ ∆, fi ⊆ T e para todofk ∈ fi tem-se que(supΨ)(sup( fi) =

(∨

ϕ∈Ψ)(sup fi) =∨

ϕ∈Ψ ϕ(sup fi) =∨

ϕ∈Ψ supϕ( fi) =∨

ϕ∈Ψ∨

fk∈ fiϕ( fk) =∨fk∈ fiϕ( fk)

∨ϕ∈Ψ =

∨fk∈ fi(supΨ)( fk) = sup(supΨ)( fi).

O que prova quesupΨ ∈ ∆ e portanto,∆ é superiormente fechado.

O caso das erosões é análogo.

Page 75: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 58

Corolário 5.4.9 Os subconjuntos∆ e ∇ são reticulados completos.

Prova Como∆ e ∇ são subconjuntos do reticulado[T → T ], de acordo com a proposição

5.4.8 então eles são reticulados completos.

5.4.2 Translação, reflexão e invariança por translação

Será introduzido agora, a noção de translação e de transposição para o caso das

imagens binárias intervalares. Alguns resultados aqui apresentados tiveram como base

o caso binário descrito por Banon e Barrera em [25]. No caso binário, em [25], é utilizado

a noção de adição módulo n, cujo objetivo é tratar o domínio de entrada dos sinais digitais

como um intervalo finito e cuja estrutura é a de um grupo Abeliano. Observando que,

embora nossa estrutura algébrica seja diferente da clássica binária, o domínio utilizado

também é definido em uma grade E representado no espaço Euclidiano bidimensional.

Dessa forma, os valores correspondentes a um pontop = (x,y) tomados na função

f (p) serão os mesmos considerados no caso binário. Para definirmos as operações de

translação, no caso das imagens binária intervalares, tomou-se como base as definições

de imagens k-níveis ou multi-scala (níveis de cinza), uma vez que essas imagens podem

ser consideradas como um caso particular de imagens em níveis de cinza,k = 3 ( veja

[27, 40, 46]).

Definição 5.4.10 (Translação em imagens binárias intervalares)Seja A um conjunto

de coordenadas de E e fA uma imagem binária intervalar. Atranslaçãode fA por um

elemento u∈ E é a função fA+u : E→Ω, onde:

fA+u(x) = fA(x−u)

Definição 5.4.11 (Reflexão)Dada uma imagem binária intervalar fA e x∈ E, areflexão

é definida porfA(x) = fA(−x)

Definição 5.4.12(Invariança por translação)Seja E um grupo Abeliano. Seja f: E →

Ω. SejaΨ um operador sobre[T → T ]. Diz-se queΨ é invariante por translaçãose

somente se, para todo valor u de E, [25], pp 59

Ψ( fA+u(x)) = (Ψ( f (x)))A+u

Page 76: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 59

Proposição 5.4.13(Propriedades do translado): Seja 〈E,+,0〉 um grupo abeliano e

fA, fB : E→Ω. Sejam u,v∈ E, então

1. fA+0 = fA

2. f(A+u)+v = fA+(u+v)

3. fA≤ fB⇔ fA+u≤ fB+u

Prova

1. fA+0(x) = fA(x−0) = fA(x)

2. f(A+u)+v(x) = fA+u(x−v) = fA((x−v)−u) = fA(x− (u+v)) = fA+(u+v)(x)

3. (⇒)

fA≤ fB⇒ fA(x−u)≤ fB(x−u)⇒ fA+u(x)≤ fB+u(x)⇒ fA+u≤ fB+u

(⇐)

fA+u≤ fB+u⇒ f(A+u)+(−u) ≤ f(B+u)+(−u) ⇒ fA+(u+(−u)) ≤ fB+(u+(−u)) ⇒ fA+0≤

fB+0⇒ fA≤ fB

Proposição 5.4.14(Propriedades da reflexão)Seja E um grupo Abeliano e sejam x∈ E.

Para todo fA e fB

1 fA(x) = fA(x);

2 fA(x)≤ fB(x)⇔ fA(x)≤ fB(x)

Prova (1) fA(x) = [ fA(−(x)) = [ fA(−(−(x))] = fA(x)

(2)⇒

fA(x)≤ fB(x)⇒ fA+(x+x)(x)≤ fB+(x+x)(x)

⇒ fA+x(x−x)≤ fB+x(x−x)

⇒ fA+x(0)≤ fB+x(0)

Page 77: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 60

⇒ fA(0−x)≤ fB(0−x)

⇒ fA(−x)≤ fB(−x)

⇒ fA(x)≤ fB(x)

(2)⇐

fA(x)≤ fB(x)⇒ fA(−(x))≤ fB(−(x))

⇒ fA(−x−x)(−x) ≤ fB(−x−x)(−x) ⇒ fA+(−x)(x− x) ≤ fB+(−x)(x− x) ⇒ fA+(−x)(0) ≤

fB+(−x)(0)⇒ fA(0+x)≤ fB(0+x)⇒ fA(x)≤ fB(x)

5.4.3 Operações de Minkowiski

Na seção anterior, foram introduzidas as operações de translação e reflexão de imagens

binárias intervalares e a classe dos operadores invariantes por translação para esse tipo de

imagem. Nesta seção, serão introduzidas as operações de Minkowski e na sequência

serão descritas os operadores elementares da morfologia matemática em termos dessas

operações. As operações de Minkowski foram baseadas na teoria dos conjuntos e

constituem os blocos de construção básicos para os operadores elementares da morfologia

matemática, denominadosdilatação e erosão.

No caso das imagens binárias intervalares, as operações de adição e subtração de

Minkowski são definidas como segue.

Definição 5.4.15 (Soma e diferença de Minkowisky)Dada uma imagem binária

intervalar fA, e B um conjunto de coordenadas não nulas dado por B= u∈ E : fB(u) 6=

[0,0]. A soma e a diferença de Minkowiskisão definidas repectivamente por:

fA⊕B =∨u∈B

fA+u =∨ fA+u : u∈ B (5.4.2)

fAB =∧u∈B

fA−u =∧ fA−u : u∈ B (5.4.3)

Definição 5.4.16 (Dilatação e erosão para imagens binárias intervalares)

SejamE,〈,+,0〉 um grupo abeliano de coordenadas, fA uma imagem binária intervalar

Page 78: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 61

e B⊆ E o conjunto de todas as coordenadas não nulas de fB tal que0 ∈ B. Então, os

operadoresdilataçãoδB( fA) eerosãoεB( fA), são dados respectivamente por:

δB( fA)(x) = fA⊕B(x) =∨u∈B

fA(x−u) =∨ fA(x−u) : u∈ B (5.4.4)

εB( fA)(x) = fAB(x) =∧u∈B

fA(x−u) =∧ fA(x−u) : u∈ B (5.4.5)

Proposição 5.4.17As funçõesδB,εB : T → T satisfazem a definição 5.4.2.

Prova∨

δB( fii∈I )(x) =∨

δB( fA : fA ∈ fii∈I)(x)

=∨δB( fA) : fA ∈ fii∈I(x)

=∨δB( fA)(x) : fA ∈ fii∈I, Já que, para todof ,g∈ΩE, f ∨g(x) = f (x)∨g(x)

=∨∨ fA+u : u∈ B(x) : fA ∈ fii∈I, pela definição 5.4.15

=∨∨ fA+u(x) : u∈ B : fA ∈ fii∈I já queh∨g(x) = h(x)∨g(x)

=∨∨ fA(x−u) : u∈ B : fA ∈ fii∈I, Pela definição 5.4.10

=∨∨ fA(x−u) : fA ∈ fii∈I : u∈ B (por associatividade e comutatividade de “

∨”).

Além disso, fazendohA =∨ fii∈I ,

δB(hA)(x) = hA⊕

B(x) =∨

u∈BhA+u(x) =∨hA+u : u∈ B(x)

=∨hA+u(x) : u∈ B =

∨hA(x−u) : u∈ B

=∨∨ fii∈I (x−u) : u∈ B

=∨∨ fA : fA ∈ fii∈I(x−u) : u∈ B

=∨∨ fA(x−u) : fA ∈ fii∈I : u∈ B.

Portanto, para todo x,∨

δB( fii∈I )(x) = δB(∨ fii∈I )(x); i.e. ,∨

δB( fii∈I ) = δB(∨ fii∈I ).

Por dualidade, provamos a erosão.

Assim como combinam-se funções booleanas primitivas para definir circuitos

complexos, pode-se combinar as operações de soma e diferença de Minkowski para obter-

se operações morfológicas mais complexas. Dentre essas operações, as mais importantes

são as deabertura e fechamento, que são fundamentais em aplicações como filtragens

de ruídos entre outras aplicações para o tratamento de imagens.

Page 79: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 62

Definição 5.4.18(Operadores de abertura e fechamento)Sejam fA uma imagem binária

intervalar e B um subconjunto de coordenadas não nulas de E tal que0∈ B.

Chama-seaberturada imagem fA à operação:

fAB = f(AB)⊕B

Chama-sefechamentoda imagem fA à operação:

fA•B = f(A⊕B)B

Outro operador frequentemente usado em morfologia matemática é ogradiente

morfológico. Essa operação tem como principal objetivo extrair contorno de objetos de

uma imagem e é composta de três operações básicas da morfologia: a dilação, erosão e a

subtração, sendo definida do seguinte modo:

Grad( f ) = fA⊕B− fAB

Como a operação de subtração de imagens envolve complementação, então, no caso

das imagens binárias intervalares, obtém-se três operações de gradiente, uma para cada

operação de reversão.

A seguir, será apresentado um exemplo para ilustrar as operações sob imagens binárias

intervalares.

Exemplo 5.4.6 Sejam as imagens da figura 5.2. Dados os conjunto de coordenadas

A = (1,1),(1,2),(2,1)(2,2) e B= (0,0),(0,1), tem-se:

Cálculo da dilatação

Primeiro passo:Obter a soma das coordendas do conjunto A com cada elemento do

conjunto B.

A+(0,0) = (1,1),(1,2),(2,1)(2,2)

A+(0,1) = (1,2),(1,3),(2,2)(2,3)

Segundo passo:Calcular∨

b∈B fA+b

fA+(0,0)(1,1) = fA(1,1) = [1,1]

Page 80: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 63

fA+(0,0)(1,2) = fA(1,2) = [1,1]

fA+(0,0)(2,1) = fA(2,1) = [0,1]

fA+(0,0)(2,2) = fA(2,2) = [1,1]

fA+(0,1)(1,2) = fA(1,1) = [1,1]

fA+(0,1)(1,3) = fA(1,2) = [1,1]

fA+(0,1)(2,2) = fA(2,1) = [0,1]

fA+(0,1)(2,3) = fA(2,2) = [1,1]

O resultado da dilatação, fA⊕B =∨

b∈B fA+b é mostrado na figura 5.3 (c).

Para o cálculo daerosão, devemos seguir os seguintes passos:

Primeiro passo:Obter a diferença das coordendas do conjunto A com cada elemento do

conjunto B. A− (0,0) = A = (1,1),(1,2),(2,1)(2,2)

A− (0,1) = A = (1,0),(1,1),(2,0)(2,1)

Segundo passo: Calcular fA−b para cada valor transladado.

fA−(0,0)(1,1) = fA(1,1) = [1,1]

fA−(0,0)(1,2) = fA(1,2) = [1,1]

fA−(0,0)(2,1) = fA(2,1) = [0,1]

fA−(0,0)(2,2) = fA(2,2) = [1,1]

fA−(0,1)(1,0) = fA(1,1) = [1,1]

fA−(0,1)(1,1) = fA(1,2) = [1,1]

fA−(0,1)(2,0) = fA(2,1) = [0,1]

fA−(0,1)(2,1) = fA(2,2) = [1,1]

O resultado fAB =∧

b∈B fA−b pode ser visto na Figura 5.3 (d).

A Figura 5.3, apresenta também as imagens das operações de abertura (e), fechamento

(f) e as três versões da operação de gradiente morfológico obtidas a partir defA e fB.

Observação 5.4.1Como as operações acima estendem as operações binárias clássicas,

Page 81: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 64

Figura 5.3: Operações Morfológicas para imagens binárias intervalares intervalares

então quando a imagem não possuirpixels com valores indefinidos essas operações

funcionarão como no caso binário, pois as operações de reversão não terão que lidar

com indefinições e se comportam como a operação de complemento.

5.4.4 Conclusão do capítulo

Neste capítulo, foi visto que o conjunto das imagens binárias intervalares não constitui

uma álgebra booleana, como é o caso das imagens binárias. Entretanto, mostrou-se

que a álgebra que modela a inclusão depixelscom valores indefinidos, é uma álgebra

pseudo-Booleana. Foram apresentadas as operações usuais desta álgebra para as funções

binárias intervalares, tais como operações de supremo e ínfimo, a operação de pseudo-

complemento relativo e três operações de reversão: negação, pseudo complemento e o

∨-complemento.

Segundo a noção proposta de reversão, a definição de complementação em imagens

Page 82: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 65

binárias é uma operação de reversão. Com a introdução da noção de “pixel” com valores

indefinido obteve-se mais de uma operação de reversão, que se diferenciam apenas no

tratamento do valor indefinido. Obviamente como a indefinição não ocorre no caso

binário, todas elas coincidem com a complementação. Pode-se interpretar os tipos

de reversão acima da seguinte maneira: Tanto o pseudo quanto o∨-complemento são

operaçõesad-hocque são acionadas diante da indefinição, ao passo que a negação deixa

ao usuário (humano ou não) decidir a indefinição detectada.

Page 83: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

Capítulo 6

Um Modelo Intervalar para Imagens

em Níveis de Cinza

Uma das técnicas mais utilizadas em processamento de imagens digitais é a

segmentação. Segmentação é um processo de divisão de uma imagem em múltiplas

regiões (conjunto depixels) e é tipicamente usada para localizar objetos e limites

(linhas, curvas, etc.) em imagens. O resultado da segmentação de uma imagem é

um conjunto de regiões que coletivamente cobre a imagem inteira, ou um conjunto

de contornos extraído da imagem (detecção de bordas). Algumas aplicações práticas

de segmentação de imagens são: imagens médicas (localização de tumores ou outras

patologias e diagnósticos), localização de objetos em images de satélites (ruas, florestas,

etc.), reconhecimento de faces, impressões digitais, etc.

Localizar um objeto em uma imagem pode ser uma tarefa difícil. No processo de

segmentação, delinear a região do objeto a ser detectado, principalmente se o objeto

está localizado em uma região onde existem a presença de incertezas, necessita de um

bom mecanismo de controle dos erros que conduzem à incertezas. No caso de imagens

médicas, por exemplo, algumas vezes essa técnica é empregada para diagnosticar doenças

como o câncer [67]. A figura 6.1 extraída de [67] mostra uma imagem de uma mama

e uma segmentação dessa imagem para destacar um nódulo canceroso. Observe que,

destacar o nódulo não é uma tarefa fácil devido as incertezas existentes em torno deste.

Algumas aplicações de métodos de segmentação de imagens podem ser encontrados em

[11, 26, 48]. Um recente trabalho sobre segmentação usando morfologia matemática e

66

Page 84: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA67

conjuntosfuzzy, pode ser visto em [2].

Figura 6.1: Imagens apresentando um processo de segmentação em uma mama com

suspeito de nódulo canceroso. (a) Imagem original, (b) imagem binarizada e (c) imagem

segmentada com o nódulo destacado.

O modelo que será apresentado neste capítulo é uma alternativa para processos de

segmentação. Acredita-se que o uso de um modelo intervalar junto com operações

morfológicas permitirá, além de detectar as incertezas, localizar mais facilmente as

regiões imprecisas e desse modo ter um maior controle dos erros dentro de limites

confiáveis.

Neste capítulo apresenta-se um modelo intervalar para lidar com incertezas em

imagens em níveis de cinza e aplicado à morfologia matemática. A principal meta é então

construir uma estrutura algébrica intervalar no qual seja possível definir os operadores

morfológicos elementares.

De um modo geral, modelos intervalares tem como objetivo lidar com erros

computacionais, e no caso de imagens, esses erros geralmente conduzem a informações

incertas. Para lidar com as incertezas, algumas vezes é necessário fazer uso de algum

mecanismo de controle. Existem diversos mecanismos. Por exemplo, a lógicafuzzy

que é bastante utlizada em várias áreas incluindo morfologia matemática. A matemática

intervalar também tem grandes aplicações em situações práticas que exigem controle de

erros computacionais. No caso de procesamento digitais de imagens, essa teoria já vem

sendo aplicada em alguns trabalhos recentes como em [4, 6].

Grandes aplicações da morfologia matemática são realizadas nas mais diversas áreas.

Existe uma grande concentração de uso de metodologias buscando tratar com questões

de incertezas através de operadores morfológicos. Os mais conhecidos métodos são

Page 85: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA68

através da teoria dos conjuntosfuzzy (morfologia fuzzy) [32, 65], waveletes[14] e

modelos de distribuição probabilístico, tal como processos estocásticos. Os mais recentes

trabalhos neste contexto, usam as teorias:fuzzye matemática intervalar (morfologia fuzzy

intervalar) [50]. Aqui oferemos uma ferramenta que faz uso somente da teoria intervalar

(morfologia intervalar) [58].

Uma das técnicas bastante utilizada na morfologia matemática é filtragens de imagens

corrompidas por ruídos. Para isso, às vezes são necessárias várias sequências de

operação morfológicas (filtros sequênciais). No caso de imagens em tons de cinza,

essas tranformações, na maioria das vezes são perceptíveis pela intensidade do brilho

(regiões mais clara ou mais escura em relação a imagem original). Em geral, o objetivo

é a eliminação ou modificação de tons nas regiões onde existe a necessidade do efeito

que deverá ser causado por algumas operações morfológicas. Todo esse processo

envolve técnicas que são tratadas por sistemas computacionais e que, por este motivo

frequentemente há ocorrência de erros que conduzem as incertezas em algunspixels.

No Capítulo 5 foi desenvolvido um modelo para lidar com incertezas em imagens

binárias com informação de incerteza. Foi considerado um conjunto intervalar com três

elementos, onde um deles representa uma indefinição. No capítulo anterior a incerteza

entre os valores “0” e “1” foi representada pelo intervalo degenerado[0,1]. Este capítulo

generaliza a idéia de um intervalo não degenerado[l ,L] ser a representação da incerteza

de um valor depixel em uma coordenada, desta vez para tons de cinza; ou seja, paraN

valores. Neste caso, um intervalo degenerado[l ,L] reprepresentará a incerteza do “real”

valor dopixel que varia entre l e L, ondel ≤ L ≤ N. A representação da incerteza em

imagens em níveis de cinza como um intervalo[l ,L] pode ser aplicada, por exemplo,

em sequências de imagens obtidas de uma mesma cena e na mesma posição, que geram

portanto, incerteza em relação ao "verdadeiro"valor dopixel.

As incertezas são representadas através de intervalos de confiança e faz uso

da aritmética intervalar para realizar as operações necessárias. Em geral a teoria

intervalar fornece um mecanismo para representar e manipular algum tipo de incerteza,

principalmente originadas por disceminação de dados contínuos e propagação destas

incertezas.

Page 86: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA69

6.1 Construção do espaço algébrico para imagens

intervalares em escala de cinzas

Nesta seção, será introduzida a estrutura algébrica intervalar que modelará as funções

que representam as imagens em níveis de cinza e onde umpixel terá a forma de um

intervalo.

Definição 6.1.1Seja n∈ N e IN = [a,b]∩N : [a,b∈ IR]. Define-seΩN como sendo o

conjunto dado porΩN = [x,y]∈ IN : x≤ y≤ n. Um intervalo da forma[a,a] é chamado

intervalo degenerado.

Aqui, um intervaloX ∈ΩN será denotado porX = [x,x].

Observação 6.1.1Observe queΩN = X ∈ IN : O ≤ X ≤ N onde

O = [0,0] e N= [n,n]. A ordem, "≤", utilizada será a ordem deKulisch-Miranker que

foi definida no capítulo 3.

Observação 6.1.2A relação de ordem de Kulisch e Miranker é uma ordem usual em

abordagens de matemática intervalar, porém existem outras ordens, tais como a ordem

de inclusão que é dada por: X≤ Y ⇔ x≤ y e y≤ x. Escolheu-se a ordem Kulisch e

Miranker, por generalizar o caso pontual, no sentido que, quando considera-se intervalos

degenerado, esta coincide com o caso pontual.

Lema 6.1.2 ΩN possui menor e maior elementos; a saberO e N respectivamente.

Prova DadoX ∈ ΩN, ondeX = [x,y], com [0,0] ∈ ΩN, [0,0] ≤ [x,y], pois 0≤ x e 0≤ y.

Com [n,n] ∈ΩN, então[x,y]≤ [n,n], poisx≤ n ey≤ n.

A Figura 6.2 representa a estrutura do reticuladoΩN. É possível observar que esta

estrutura é uma cadeia finita; lembrando que, um intervalos da forma[x,y] com x 6= y

representa uma incerteza.

Definição 6.1.3Dado X,Y ∈ ΩN tal que X= [x,x] e Y = [y,y], então, define-se as

seguintes operações:

X∨Y = [max(x,y),max(x,y)] (6.1.1)

Page 87: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA70

Figura 6.2: Estrutura do reticuladoΩN

X∧Y = [min(x,y),min(x,y)] (6.1.2)

Proposição 6.1.4ΩN é um reticulado completo.

Prova ΩN é um reticulado completo com as operações de supremo e ínfimo∨ e ∧ de

acordo com a definição 6.1.3. SejaS⊆ΩN, seS= /0, então∨

S= O e∧

S= N. Portanto,

seS= /0 então∨

S∈ΩN e∧

S∈ΩN. CasoS 6= /0, sejaµ1(S) = x∈N : ∃y∈N, [x,y] ∈ S

e µ2(S) = v ∈ N : ∃u ∈ N, [u,v] ∈ S. Como, µ1(S) e µ2(S) são superiormente e

inferiormente limitadas, então existe o supremo e o ínfimo deµ1(S) e de µ2(S),

denotada por∨µ1(S),∧µ1(S),∨µ2(S) e∧µ2(S) respectivamente. Desse modo, claramente∧S= [∧µ1(S),∧µ2(S] e

∨S= [∨µ1(S),∨µ2(S)].

Proposição 6.1.5ΩN é um reticulado distributivo.

Prova DadosX,Y,Z ∈ΩN, ondeX = [x,x], Y = [y,y] eZ = [z,z], então:

(1) X∧ (Y∨Z) = (X∧Y)∨ (X∧Z)

(2) X∨ (Y∧Z) = (X∨Y)∧ (X∨Z)

Assim:

(1) X∧ (Y∨Z) = [x,x]∧ ([y,y]∨ [z,z])

= [x,x]∧ [max(y,z),max(y,z)]

= [min(x,max(y,z)),min(x,max(y,z))]

= [max(min(x,y),min(x,z)),max(min(x,y),min(x,z))]

= [min(x,y),min(x,y)]∨ [min(x,z),min(x,z)]

Page 88: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA71

= ([x,x]∧ [y,y])∨ ([x,x]∧ [z,z])

= (X∧Y)∨ (X∧Z)

(2) Análogo ao item 1

A seguir, será apresentado o complemento intervalar para imagem em níveis de cinzas

(veja [18]).

Definição 6.1.6Seja〈ΩN,≤,O,N〉 um reticulado completo. Uma operação C: ΩN→ΩN

é um complemento se satisfaz as seguintes propriedades:

1. C(O) = N e C(N) = O

2. X≥Y⇔C(X)≤C(Y), ∀X,Y ∈ΩN

3. se, além disso C(C(X)) = X então C é chamado de complemento forte

De acordo com a aritmética intervalar de Moore em [60] a subtração intervalar é dada

por:

X−Y = [x−y,x−y] (6.1.3)

Isso leva a seguinte definição de complemento

Definição 6.1.7Sendo X= [x,x] ∈ΩN tome¬ : ΩN →ΩN por

¬X = [n,n]− [x,x] = [n−x,n−x] (6.1.4)

Corolário 6.1.8 Para X= [x,x], então

¬X = [¬x,¬x] (6.1.5)

onde¬x = n−x e¬x = n−x

Proposição 6.1.9A função¬ : ΩN →ΩN é um complemento forte.

Prova

1. ¬[0,0] = [n−0,n−0] = [n,n]

e¬[n,n] = [n−n,n−n] = [0,0]

¬[0,0] = [n−0,n−0] = [n,n]

Page 89: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA72

and¬[n,n] = [n−n,n−n] = [0,0]

2. Seja X=[x,x] eY = [y,y]

X ≥Y⇔ x≥ y ex≥ y

⇔ N−X ≤ N−Y⇔ n−x≤ n−y en−x≤ n−y

⇔ [n−x,n−x]≤ [n−y,n−y]

⇔¬X ≤ ¬Y

3. ¬(N−X) = N− (N−X) = N +(−N−X) = N +(−N)+X = 0+X = X, desde

queN é degenerado.

Antes de introduzir as imagens intervalares em escala de cinzas, será definida uma

classe especial de operações de soma e diferença entre dois elementos do conjuntoΩN.

Este conceito é baseado no caso pontual desenvolvido por Heijmans em [40], sendo

importante porque as funções que modelam as imagens intervalares em tons de cinza

serão definidas sobre um conjunto finito deΩN.

Definição 6.1.10SejamIZ = [a,b]∩Z : [a,b] ∈ IR, munido da aritmética de Moore e

V = [v,v] ∈ IZ, O = [0,0] e N= [n,n]. A operação T7→ T uV sobreΩN é definida por

T uV =

O, se T= O ou T+V ≤ O

[0, t +v] se T> O e t+v≤ 0

T +V, se T> O e O ≤ T +V ≤ N

N, se T> O e T+V > N

[0,n] se T> O e [0,n]⊆ T +V

[t +v,n] if T > O et +v≥ N

(6.1.6)

E a operação T→ T−V sobreΩN é definida por

T−V =

[0, t−v] se T< N eO ⊆ T−V

[t−v,n] se T< N e N⊆ T−V

O, se T< N e T−V ≤ O

T−V, se T< N eO ≤ T−V ≤ N

N, se T= N ou T−V > N

(6.1.7)

Page 90: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA73

Proposição 6.1.11Seja A,B∈ΩN, então

AuB = [AuB,AuB] (6.1.8)

e

A−B = [A−B,A−B] (6.1.9)

Prova Direto da definição 6.1.10.

Observação 6.1.3A definição para o caso pontual, (veja [40, pp 14]), é dada do seguinte

modo:

Seja v∈ Z, define-se tuv e t−v por

t uv =

0, se t= 0 ou t > 0 e t+v≤ 0

t +v, se t> 0 e0≤ t +v≤ n

n se t> 0 e t+v≥ n

(6.1.10)

t−v =

0, se t= 0 ou t < n e t−v≤ 0

t−v, se t< n e0≤ t−v≤ n

n, se t= n ou t−v > n

(6.1.11)

6.2 O reticulado completo das imagens sobreΩN

As funçõesF : E→ΩN modelam imagens em tons de cinza e serão usadas para definir

os operadores morfológicos que serão introduzidos na próxima seção. Observando que

ΩN é o reticulado apresentado na seção anterior eE representa um conjunto finito de

coordenadas que é considerado como um grupo Abeliano. De um modo geral considera-

seE = Z×Z. Nesta seção serão definidas tais funções e estudadas suas propriedades

algébricas.

Um sinal digital em escala de cinza é em geral definido sobre um subconjunto de

números inteiros. Sex∈ E, entãoF(x) denota um valor do sinal emx. Nesta seção serão

introduzidas as funções intervalares para imagens em escala de cinzas e que modelarão as

incertezas entrepixelsdessas imagens.

Page 91: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA74

Por exemplo, suponha que, em uma determinada posição do espaço, o valor retornado

pela função corresponde a 15, e na seqüência de imagens, na mesma posição, esse valor

varia entre 13 e 16. Observa-se aí a existência de uma incerteza. Neste caso, considera-

se uma imagem intervalar em que para essa posição teremos o intervalo [13,16]. Esse

intervalo corresponde ao menor e maior valor obtido na sequência garantindo que o valor

exato do tom pertence a ele.

Em [4], Lyra define uma imagem digital intervalar como sendo uma matrizA, de

ordemm x n que representa uma imagem espacialmente discretizada, obtida através de

um dispositivo de aquisição de imagens e digitalizada por um digitalizador intervalar que

transforma cada pixel da imagem em um intervalo. Alguns pixels serão representados por

intervalos degenerados, por exemplo, [12,12] , outros serão representados por intervalos

contendo um menor e um maior valor em suas extremidades e que representam os

pixels indefinidos, como por exemplo, [11,16]. Cadaai, j em A é denominado pixel

intervalar, porque é um intervalo que define a variaçãoI da intensidade luminosa deste

pixel intervalar.

6.2.1 Imagens intervalares em escala de cinzas

De acordo com Lyra et all [4], um dos caminhos para gerar uma imagem digital

intervalar, é feito no momento da aquisição, através da regulagem do dispositivo de

aquisição ou modificações ambientais. Estas modificações podem ocorrer devido a alguns

fatores como por exemplo, luminosidade, humidade, etc. Certamente, estas modificações

contribuem para a geração de uma imagem intervalar onde a imagem ótima deverá estar

contida.

A seguir, serão apresentada, as imagens em escala de cinzas, como funções mapeadas

no reticuladoΩN.

Definição 6.2.1Seja E= Z×Z. Uma imagem intervalar em escala de cinzascuja

posição do pixel é correspondente a valores intervalares, é definida pelo mapeamento

F : E → ΩN. O conjunto de todas as funções que representam as imagens em escala de

cinzas será denotado porΩEN.

Desde queΩN é um reticulado completo, entãoΩEN é também um reticulado completo

Page 92: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA75

com ordem parcial e operações de supremo e ínfimo descritas nas definições 6.2.2 e 6.2.4

a seguir.

Definição 6.2.2Dadas F,G ∈ ΩEN, a seguinte relação de ordem é definida sobreΩE

N:

F ≤G⇔ F(x)≤G(x),∀x∈ E, i.e,〈ΩEN,≤〉 torna-se uma ordem parcial.

Proposição 6.2.3〈ΩEN,≤〉 é uma ordem parcial satisfazendo as seguintes propriedades:

• F ≤ F (Reflexividade);

• Se F≤G e G≤ F, então F= G (Anti-simetria);

• Se F≤G e G≤ H, então F≤ H (Transitividade)

Prova Desde que〈ΩN,≤〉 é uma ordem parcial (veja a estrutura representada na figura

6.2), por herança,〈ΩEN,≤〉 também é uma ordem parcial.

Operações Básicas

Definição 6.2.4 (Operações de supremo e ínfimo)Seja I um conjunto de índices. Dada

uma família não vazia de funções intervalares FI = Fii∈I e X⊆ΩN. Sejamπ1([a,b]) = a

e Π1(X) = π1(xi) : xi ∈ X, π2([a,b]) = b, eΠ2(X) = π2(xi) : xi ∈ X. Define-se as

seguintes operações:

∨Fii∈I (x) = [

∨Π1Fi(x)i∈I ,

∨Π2Fi(x)i∈I ] (6.2.1)

∧Fii∈I (x) = [

∧Π1Fi(x)i∈I ,

∧Π2Fi(x)i∈I] (6.2.2)

Proposição 6.2.5Dada qualquer família não vaziaFii∈I ⊆ ΩEN, então,

∨Fii∈I (x) e∧

Fii∈I (x) é uma operação de supremo e de ínfimo respectivamente.

Prova Primeiro mostra-se que∀x∈ E,∨Fi(x) é um marjorante deFi(x). Como para

cadax, π1Fi(x) ≤ supπ1Fi(x) e π2Fi(x) ≤ supπ2Fi(x), então∨Fi é um marjorante de

Fi.

Page 93: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA76

Agora mostra-se que∨Fi é dos menor dos marjorantes deFi.

SejaG outro marjorante deFi. Por definição∀x∈ E,Fi(x)≤G(x).

Então,∀x, π1Fi(x)≤ π1G(x) e π2Fi(x)≤ π2G(X).

Então,supπ1Fi(x)≤ π1G(x) esupπ2Fi(x)≤ π1G(x).

Portanto∨Fii∈I (x)≤G(x),∀x∈ E.

desse modo,∨Fi(x) é uma operação de supremo.

A prova da operação de infimo é análoga.

Lema 6.2.6 As funções N,O : E → ΩEN, tal que N(x) = [n,n] e O(x) = [0,0] para todo

x∈ E são, respectivamente, o maior e o menor elemento deΩEN.

Prova SejaF ∈ ΩEN. Então, para qualquerx ∈ E, O(x) = [0,0] ≤ F(x) ≤ [n,n] = N(x).

Assim,O ≤ F ≤ N, para toda funçãoF ∈ΩEN.

Corolário 6.2.7 Se I= /0 então, as funções constantes0 e N são respectivamente o

supremo e o infimo de FI .

Prova Direto do lema 6.2.6.

Teorema 6.2.8〈ΩEN,≤,N,O〉, onde "≤"é uma ordem parcial, é um reticulado completo

Prova Direto da definição 6.2.4 e da proposição 6.2.5.

ΩEN tem operação de complemento dada como segue.

Definição 6.2.9Seja F∈ΩEN então, a negação¬ : ΩE

N →ΩEN é definida por

(¬F)(X) = ¬F(X) (6.2.3)

Desse modo, se F∈ΩEN e F(X) = [x,x] então¬F(X) = [n−x,n−x]

Proposição 6.2.10¬ é um complemento forte.

Page 94: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA77

Prova

1. ¬(0) = N e¬(N) = 0

a)¬(0)(x)de f= [n−0,n−0] = [n,n] = N

b)¬(N)(x)de f= [n−n,n−n] = [0,0] = 0

2. SupondoX ≥Y, então

x≥ y ex≥ y, então

n−y≥ n−x en−y≥ n−x

n−x≤ n−y en−x≤ n−y

[n−x,n−x]≤ [n−y,n−y]

¬X ≤ ¬Y

3. ¬¬F(X) = ¬([n−x,n−x]) = [n−n+x,n−n+x] = [x,x]

Portanto,¬¬F(x) = F(x)

Corolário 6.2.11 A ordem parcial(ΩEN,≤) é um reticulado completo com¬ sendo um

complemento forte.

Prova Direto das proposições 6.2.8 e 6.2.10.

Existem vários outros complementos fortes que podem ser definidos sobreΩEN, porém

considera-se o complemento acima por sua simplicidade e naturalidade.

Na próxima seção será apresentada a extensão das operações morfológicas paraΩEN.

6.3 Operações morfológicas para imagens intervalars em

níveis de cinza

O modelo morfológico aplicado a de problemas de análise de imagem está baseado na

extração de informações de imagens a partir de transformações de formas, conforme foi

dito no início desta discertação. Proposta por Matheron e Serra, as dilatações e erosões

são usadas para a criação de transformações mais sofisticadas. Essas transformações por

sua vez, levaram a vários resultados importantes do ponto de vista de análise de imagens,

Page 95: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA78

dentre eles, pode-se citar os filtros morfológicos, o preenchimento de buracos, extração

de contornos e reconhecimento de padrões.

A construção de sistemas morfológicos, geralmente, é implementada a partir da

concepção do problema e pela escolha dos operadores mais adequados à solução em

questão. Um dos maiores problemas para a adequação de operadores é observado na

especificação dos elementos estruturantes. Uma possível solução para este problema é a

criação de um mecanismo capaz de encontrar as funções aditivas estruturantes adequadas,

de forma a realizar a transformação desejada. No caso da abordagem intervalar, vale

salientar que serão necessárias algumas restrições para a função estruturante intervalar

escolhida. Será necessário impor algumas condições, uma vez que estaremos tratando

com conjuntos intervalares finitos e funções mapeadas nesses conjuntos. Isso será

possível, porque as transformações utilizadas em morfologia matemática podem ser

aplicadas a conjuntos de dimensão qualquer, tais como oN-espaço Euclidiano, ou o

espaço dasN-uplas de inteiros.

A extensão da morfologia matemática para reticulados completos arbitrários, por

Serra [46], resultou em diferentes pontos de vista com respeito a imagens em níveis

de cinza. De acordo com Banon e Barrera em [24], a idéia central da morfologia

matemática é a decomposição dos mapeamentos entre reticulados completos em termos

dos operadores elementares: erosão e dilatação. Nesta seção, será estendida a teoria da

morfologia em níveis de cinza desenvolvida para o caso pontual, por Heijmans em [40]

para mapeamentos entre reticulados intervalares.

Nesta seção serão introduzidos alguns conceitos básicos da morfologia matemática,

bem como os operadores morfológicos intervalares para imagens em níveis de cinza.

Observe que algumas operações são diferentes das operações para o caso tradicional,

pois serão operações entre intervalos, cujas propriedades algébricas algumas vezes se

diferenciam do caso real.

Page 96: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA79

6.3.1 Operações básicas

Definição 6.3.1Dadas duas funções intervalares F,G∈ΩEN. As operações de supremo e

de ínfimo entre F e G, são definidas repectivamente por:

(F ∨G)(x) = F(x)∨G(x) (6.3.1)

(F ∧G)(x) = F(x)∧G(x) (6.3.2)

Assim, se F(x) = [a,b] e G(x) = [c,d], então

(F ∨G)(x) = [max(a,c),max(b,d)] e

(F ∧G)(x) = [min(a,c),min(b,d)]

Exemplo 6.3.3 F(x) = [2,8] and G(x) = [3,7]

(F ∨G)(x) = [max(2,3),max(8,7)] = [3,8]

(F ∧G)(x) = [min(2,3),min(8,7)] = [2,7]

6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares em níveis de

cinzas

Para definir os operadores morfológicos necessita-se introduzir os conceitos de

translação, soma e diferença de Minkowiski

Definição 6.3.2 (Translação horizontal)Dada uma imagem intervalar F: E→ΩN, u∈

E. A translação horizontalde F por u, é a função intervalar Fu : E→ΩN definida por

Fu(x) = F(x−u) (6.3.4)

A Figura 6.3 apresenta um gráfico de uma função intervalar com uma translação

horizontal.

Definição 6.3.3 (Translação vertical)Dada uma imagem intervalar F: E→ΩN, e V∈

ΩN. A translação verticalde Fx por V é definida por

(F +V)(x) = F(x)uV (6.3.5)

Page 97: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA80

Figura 6.3: Uma função intervalar com uma translação horizontal.

A Figura 6.4 apresenta um gráfico de uma função intervalar com uma translação

vertical.

Figura 6.4: Uma função intervalar com uma translação vertical.

Quando ambas as translações são aplicadas juntas, obtém-se uma translação

morfológica intervalar dada por

(Fu +V)(x) = F(x−u)uV (6.3.6)

A Figura 6.5 apresenta um gráfico de uma função intervalar com uma translação

morfólogica.

Definição 6.3.4 (Reflexão)Dada uma imagem intervalar G∈ΩEN e x∈ E, a reflexãode

G é definida porG(x) = G(−x)

Page 98: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA81

Figura 6.5: Uma função intervalar com uma translação morfológica.

Observação 6.3.1F−u(x) = F(x+u)

Proposição 6.3.5Seja F : E → ΩN então, existe F,F : E → L tal que, F(u) =

[F(u),F(u)]. Em outras palavras, a função intervalar F pode ter uma forma intervalar,

onde as extremidades são funções que pertencem ao caso pontual.

Prova SejaF(u) = π1(F(u)) e F(u) = π2(F(u)), ondeπ1eπ2 são definidas de acordo

com a definição 6.2.4, então

F(u) = [π1(F(u)),π2(F(u))] = [F(u),F(u)]

Corolário 6.3.6 Fu(x) = [Fu(x),Fu(x)]

Prova De fato, temos que,

Fu(x) = F(x−u) = [F(x−u),F(x−u)] = [Fu(x),Fu(x)]

Ou sejaFu = Fu eFu = Fu

Definição 6.3.7 (Soma e diferença de Minkowiski)Dada duas imagens intervalares

F,G∈ΩEN. A soma e a diferença Minkowski são definidas respectivamente por:

FG =∧

u∈dom(G)

(Fu−G(u)) (6.3.7)

Page 99: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA82

F⊕G =∨

u∈dom(G)

(Fu uG(u)) (6.3.8)

Definição 6.3.8Um operadorψ sobre ΩEN é umadilatação se, para toda família de

imagensFi ⊆ ΩEN, ψ(

∨Fi) =

∨ψ(Fi). Dualmente, é umaerosão, seψ(

∧Fi) =∧

ψ(Fi).

Observação 6.3.2Em geral a dilatação e a erosão são operações descritas do seguinte

modo:

Dado duas funções F e G, então

∆G(F)(x) = (F⊕G)(x) =∨

u∈dom(G)

[F(x−u)uG(u)] (6.3.9)

εG(F)(x) = (FG)(x) =∧

u∈dom(G)

[F(x−u)−G(u)] (6.3.10)

εG(F) e ∆G(F) são umaerosãoe umadilatação, respectivamente. G é chamada de

função estruturante aditiva. ComoG(x) = G(−x), logo, para o caso da erosão, pode-se

escrever a equação por (6.3.10) por

εG(F)(x) = (FG)(x) =∧

u∈dom(G)

[F(x+u)−G(u)] (6.3.11)

Note ainda que as operações descritas acima são utilizadas considerando um domínio

finito e somente podem ser utilizadas sob certas condições conforme será visto nesta

seção. A seguir, apresentam-se alguns conceitos importantes e resultados tais como,

H-operador e relação de adjunção. Esses resultados, foram baseados no caso pontual

desenvolvido por Heijmans em [40].

Além disso, de acordo com a definição 6.2.4, uma forma equivalente para definir as

operações de dilatação e erosão para o caso intervalar, é dada como segue.

Sejam F,G∈ ΩEN. Sejam Pu(x) = F(x−u)u G(u) e Qu(x) = F(x−u)−G(u), então

por definição 6.2.4 a dilatação e a erosão podem ser escrita também por

∆G(F)(x) = (F⊕G)(x) =[∨

Π1Pu(x)u∈E,∨

Π2Pu(x)u∈E

](6.3.12)

εG(F)(x) = (FG)(x) =[∧

Π1Qu(x)u∈E,∧

Π2Qu(x)u∈E

](6.3.13)

Page 100: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA83

onde Π1 e Π2 são definidas de acordo com a definição 6.2.4. No que segue,

apresentaremos um teorema que caracteriza as operações de dilatação e erosão para

o caso intervalar.

Teorema 6.3.9(Teorema da representação intervalar dos operadores morfológicos)

Pode-se introduzir uma caracterização alternativa para dilatação e erosão intervalares

que é descrita pelas equações

(F⊕G)(x) = [(F⊕G)(x),(F⊕G)(x)] (6.3.14)

(FG)(x) = [(FG)(x),(FG)(x)] (6.3.15)

Prova Primeiro mostra-se que,(F⊕G)(x) = (F uG)(x).

Tem-se que,

(F⊕G)(x) = Π1(F⊕G(x))

= Π1(∨

u∈E Fu(x)uG(u)) =

= Π1[∨

u∈E Π1(Fu(x)uG(u)),∨

u∈E Π2(Fu(x)uG(u))], equação 6.3.12

=∨

u∈E Π1(Fu(x)uG(u))

=∨

u∈E Π1[(Fu(x)uG(u),(Fu(x)uG(u)] equação 6.1.8

=∨

u∈E(Fu(x)uG(u))

=∨

u∈E(Fu(x)uG(u))

=∨

u∈E(Fu(x)uG(u)), corolário 6.3.6

= (F⊕G(x)), caso Pontual.

Analogamente,

(F⊕G)(x) = (F⊕G)(x) (6.3.16)

A demonstração para o caso da erosão, é análoga.

Na morfologia clássica, o conceito geral de adjunção é dado por:

Definição 6.3.10 (Adjunção)SejamM ,N dois reticulados completos, tal queε : M →

N e δ : N → M . O par (ε,δ) é chamado uma adjunção entreM e N seδ(Y) ≤ X ⇔

Y ≤ ε(X) [40].

Page 101: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA84

De acordo com Heijmans, em [40], o par(εG(F),∆G(F)) é uma adjunção sobre um

reticuladoM se e somente se, para todox,y∈E, existe uma adjunção(εy,x,δx,y) sobreM

tal que

∆(F)(y) =∨x∈E

δx,y(F(x)) (6.3.17)

ε(F)(x) =∧x∈E

εy,x(F(y)) (6.3.18)

Na morfologia clássica, quando se toma somente a translação horizontal (invariante

por tranlação), o operador é chamado de H-operador. Assim, para H-operador, temos que

Fu(x) = F(x−u) e Ψ(Fu) = [Ψ(F)u]. O mapeamento consiste emF → Fu.

Note que, seΨ é invariante sob a translação vertical, entãoΨ(F + v) = Ψ(F) + v.

Este operadorΨ é chamado de um T-operador. Neste caso, consiste em um mapeamento

F → F +v.

Definição 6.3.11Um mapeamentoδ : ΩN→ΩN é uma dilatação intervalar seδ([0,0]) =

[0,0] e δ é não decrescente. A adjunção erosão intervalar é dada por:

ε(T) = maxS|δ(S) = T (6.3.19)

Onde o máximo do conjunto vazio é definido para serO.

Toda H-adjunção(ε,∆) sobreΩEN é definida por

Definição 6.3.12Seja u∈ E. Seδu e εu é uma dilatação intervalar e uma erosão

intervalar respectivamente sobreΩN. As funções operadores∆ e ε são dadas por

∆(F)(y) =∨u∈E

δu(F(y−u)) (6.3.20)

ε(F)(x) =∧u∈E

εu(F(x+u)) (6.3.21)

definem uma H-dilatação e H-erosão respectivamente e o par(εu,δu) forma uma

adjunção sobreΩN para todo u∈ E.

A seguir, apresentam-se alguns resultados que dependem da classe especial de operações

de soma e diferença definidas pelas equações (6.1.6) e (6.1.7).

Page 102: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA85

Lema 6.3.13 O par (ε,δ) tal comoε(T) = T−V e δ(T) = T uV define uma adjunção

sobreΩN Para todo V∈ IZ.

Prova Esta prova é consequência da definição 6.1.10, da proposição 6.1.11.

Na seção 6.1 foi definida uma classe especial de operações de soma e diferença para

o caso intervalar em conjuntos finitos, e que podem ser descritos por:

SendoΩN = [0,0], ..., [n,n] comn∈ N e N = [n,n] ∈ IN. ParaT ∈ ΩN eV ∈ IZ logo,

T 7→ T uV eT 7→ T−V sobreΩN são operações descritas como na definição 6.1.10.

Coonsiderando a função estruturanteG e tomando-seεu(T) = T−G(u) e δu(T) =

T uG(u), combinando a definição 6.3.12 e o lema 6.3.13, então,

T = F(y−u)⇒ δu(F(y−u)) = F(y−u)uG(u), e

T = F(x+u)⇒ εu(F(x+u)) = F(x+u)−G(u). Portanto

εG(F)(x) =∧

u∈E[F(x+u)−G(u)] e ∆G(F)(x) =∨

u∈E[F(x−u)uG(u)]

Proposição 6.3.14A dilatação e a erosão satisfazem respectivamente

∆(F uV) = ∆(F)uV (6.3.22)

ε(F−V) = ε(F)−V (6.3.23)

Prova De acordo com as equações (6.3.14) e (6.3.15), descritas 6.3.9, tem-se que:

∆(F uV) = (F⊕V)(x)

= [(F⊕V)(x),(F⊕V)]

= [∆(F uV)(x),∆(F uV)(x)]

= ∆(F uV),∆(F uV)]

onde ([40, Eq 11.3])∆(F uV) = ∆(F)uV e ∆(F uV) = ∆(F)uV

O caso da erosão é análogo.

A proposição a seguir mostra que, as equações (6.3.9) e (6.3.10), sob certas condições,

são satisfeitas para o caso finito intervalar.

Proposição 6.3.15Seja∆ uma H-dilatação sobreΩEN satisfazendo∆(F uV) = ∆(F)uV

para F∈ΩEN e V≥ O, ondeO = [0,0], então, existe uma função intervalar não negativa,

Page 103: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA86

G com dom(G)⊆ E, tal que∆ é dada pela equação (6.3.9). Analogamente, seε é uma H-

erosão sobreΩEN satisfazendoε(F−V) = ε(F)−V para F ∈ ΩE

N e V ≥ O, existe uma

função intervalar não negativa G com dom(G) ⊆ E, tal queε é dada pela equação

(6.3.10).

Prova Primeiro, para qualquerV ∈ΩN considera-se a função dada por

f0,V(x) =

V , sex = 0

[0,0] , caso contrário(6.3.24)

QuandoV = [1,1], f0,V é chamada de função impulso. DefinimosG por

G(x) = ∆( f0,[1,1])(x)− [1,1] (6.3.25)

Logo,

dom(G) = x|∆( f0,[1,1])(x)≥ [1,1] (6.3.26)

Note que,G(x) ≥ [0,0],∀x ∈ dom(G). Desde que, qualquer função intervalar pode ser

escrita comoF =∨

u∈E fu,F(u), é suficiente mostrar que∆( fu,V) = fu,V⊕G, para cada

u ∈ E e V ∈ ΩN. Observando que, por causa da invariança da translação horizontal,

podemos restringir para o casou = 0. O resultado é trivial paraV = [0,0], desde que

f0,[0,0](x) = [0,0]. Isto é verdade porque,[0,0]uG(x) = [0,0]. Por outro lado,

∆( f0,[0,0])(x) =∨

u∈E δu( f0,[0,0](x−u)) Definição 6.3.12

= δu([0,0]) = [0,0] Definição 6.3.11

= f0,[0,0](x)uG(x)

Será mostrado que∆( f0,V) = f0,V⊕G paraV = [0,1], ...[n,n].

Primeiro considera-se a seguinte igualdade:

∆( f0,V) = ∆( f0,[1,1] u (V− [1,1])) (6.3.27)

Dois casos serão analizados, quandox = 0 ex 6= 0.

Sex = 0 tem-se que,f0,[1,1](x)u (V− [1,1]) = [1,1]uV− [1,1] = V = f0,V(x)

Sex 6= 0 tem-se que,

f0,[1,1](x)uV− [1,1] = [0,0]uV− [1,1] = [0,0] = f0,V(x).

Pela proposição 6.3.14,∆( f0,V uV− [1,1]) = ∆( f0,[1,1])u (V− [1,1]) = V.

Page 104: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA87

Logo,∆( f0,V) = ∆( f0,[1,1])u (V− [1,1]).

Sex∈ dom(G) então, pela equação (6.3.25),

∆( f0,[1,1])(x) = G(x)+ [1,1], logo,

∆( f0,V)(x) = ∆( f0,[1,1])(x)u (V− [1,1]) = (G(x)+ [1,1])u (V− [1,1]).

Sex 6∈ Dom(G), então∆( f0,[1,1])(x) 6> [1,1].

Neste caso, tem-se duas alternativas:

a) ∆( f0,[1,1])(x) = [0,0] ou b)∆( f0,[1,1])(x) = [0,1].

Mas, pela equação (6.3.20),∆( f0,[1,1])(x) =∨

u∈E δu( f0,[1,1](x − u)) = δx([1,1]) ∨∨u∈E−x δu([0,0]) = δx([1,1])∨ [0,0] = δx([1,1]) 6= [0,0].

Logo, de a) e b),∆( f0,[1,1])(x) = [0,1]. Assim,

∆( f0,V)(x) =

(G(x)+ [1,1])u (V− [1,1]) , sex∈ dom(G)

[0,1] , caso contrário(6.3.28)

Desde que,(G(x)+ [1,1])u (V− [1,1]) = V uG(x) seV ≥ [0,0], eG(x)≥ [0,0], i.e.,

x∈ dom(G), então, considera-se dois casos:

CasoV = [0,1]

(G(x)+ [1,1])u ([0,1]− [1,1]) = (G(x)+ [1,1])u [−1,0] = G(x)+ [0,1] = G(x)+V =

V +G(x) = V uG(x)

CasoV > [0,1]

(G(x) + [1,1]) u (V − [1,1]) = (G(x) + [1,1]) u (V − [1,1]) = G(x) +V = V + G(x) =

V uG(x). Assim,∆( f0,V)(x) = V uG(x) para todox∈ Dom(G).

Por outro lado, pela equação (6.3.9)

( f0,V⊕G)(x) =

∨u∈dom(G)

( f0,V(x−u)uG(u)) =

(V uG(x)) , sex∈ dom(G)

[0,0] , caso contrário(6.3.29)

Então∆( f0,V)(x) = ( f0,V⊕G)(x) sex∈ dom(G).

A prova do caso da erosão é análoga.

Corolário 6.3.16 O par (ε,∆) ondeε e ∆ é definido como a definição 6.3.12 é uma H-

adjunção sobreΩEN.

Page 105: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA88

Prova Direto do lema 6.3.13 e proposição 6.3.15.

No que segue, será apresentado um exemplo de uma imagem intervalar descrita em

uma gradeE = 7×7, bem como as operações de dilatação e erosão sobre essa imagem,

por uma função estruturanteG pré-definida.

Exemplo 6.3.30Seja E uma grade de dimensão7×7 e seja F∈ΩEN tal que F= [F ,F ].

Supondo que uma sequência de imagens obtidas pela mesmo posição e representadas pelo

conjunto de pares ordenados dados por(0,0),(1,5),(2,3),(3,4),(4,2),(5,5),(6,6).

Para cada posição, tem-se um valor que algumas vezes apresenta incerteza. De acordo

com a definição de imagem intervalar, toma-se para cada F, o menor elemento e para

F, o maior elemento. Tem-se que: F(0,0) = 1 e F(0,0) = 3, F(1,5) = 4 e F(1,5) = 6,

F(2,3) = 2 eF(2,3) = 4, F(3,4) = 0 eF(3,4) = 2, F(4,2) = 5 eF(4,2) = 5, F(5,5) = 6

eF(5,5) = 7, F(6,6) = 6 eF(6,6) = 8. Nesse caminho, é formada uma função intervalar

F : E→Ω8 ou em ordem,

Im(F) = [0,2], [1,3], [2,4], [4,6], [5,5], [6,7], [6,8]

Considerando G como uma função estruturante e tomando G= G. Seja u∈ Z tal que,

u = u1,u2,u3, onde u1 = (0,0), u2 = (0,2) e u3 = (1,2).

A Figura 6.6 representa a imagem intervalar F e a função estruturante G para

G(u1) = [2,2], G(u2) = [1,1] e G(u3) = [3,3].

Para calcular a dilatação, primeiro calcula-se todas as translações horizontais da

função F, para cada ui , i = 1,2,3. Em seguida, calcula-se F(x− u) u G(u), x ∈ E e

finalmente aplica-se o supremo, i.e., calcula-se∨

[F(x−u)uG(u)].

Translação de F por u1

Fu1(0,0) = F((0,0)− (0,0)) = F(0,0) = [1,3]

Fu1(1,5) = F((1,5)− (0,0)) = F(1,5) = [4,6]

Fu1(2,3) = F((2,3)− (0,0)) = F(2,3) = [2,4]

Fu1(3,4) = F((3,4)− (0,0)) = F(3,4) = [0,2]

Fu1(4,2) = F((4,2)− (0,0)) = F(4,2) = [5,5]

Fu1(5,5) = F((5,5)− (0,0)) = F(5,5) = [6,7]

Fu1(6,6) = F((6,6)− (0,0)) = F(6,6) = [6,8]

Page 106: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA89

Figura 6.6: Imagem representada por uma funçãoF e por uma função estruranteG

Translação de F por u2

Fu2(0,2) = F((0,2)− (0,2)) = F(0,0) = [1,3]

Fu2(1,7) = F((1,7)− (0,2)) = F(1,5) = [4,6]

Fu2(2,5) = F((2,5)− (0,2)) = F(2,3) = [2,4]

Fu2(3,6) = F((3,6)− (0,2)) = F(3,4) = [0,2]

Fu2(4,4) = F((4,4)− (0,2)) = F(4,2) = [5,5]

Fu2(5,7) = F((5,7)− (0,2)) = F(5,5) = [6,7]

Fu2(6,8) = F((6,8)− (0,2)) = F(6,6) = [6,8]

Translação de F por u3

Fu3(1,2) = F((1,2)− (1,2)) = F(0,0) = [1,3]

Fu3(2,7) = F((2,7)− (1,2)) = F(1,5) = [4,6]

Fu3(3,5) = F((3,5)− (1,2)) = F(2,3) = [2,4]

Fu3(4,6) = F((4,6)− (1,2)) = F(3,4) = [0,2]

Fu3(5,4) = F((5,4)− (1,2)) = F(4,2) = [5,5]

Fu3(6,7) = F((6,7)− (1,2)) = F(5,5) = [6,7]

Fu3(7,8) = F((7,8)− (1,2)) = F(6,6) = [6,8]

Note que, nas posições(6,8) e (7,8) toma- e(6,7) e (7,7)

Page 107: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA90

As novas posições são dadas pelo conjunto

(0,0),(1,5),(2,3),(3,4),(4,2),(5,5),(6,6),(0,2),(1,7),(2,5),(3,6),(4,4),(5,7),

(6,7),(1,2),(2,7),(3,5),(4,6),(5,4),(6,7),(7,7)

Em seguida, calcula-se a soma de Minkowiski, F(x−u)uG(u).

F(0,0)uG(0,0) = [1,3]u [2,2] = [3,5]

F(1,5)uG(0,0) = [4,6]u [2,2] = [6,8]

F(2,3)uG(0,0) = [2,4]u [2,2] = [4,6]

F(3,4)uG(0,0) = [0,2]u [2,2] = [2,4]

F(4,2)uG(0,0) = [5,5]u [2,2] = [7,7]

F(5,5)uG(0,0) = [6,8]u [2,2] = [8,8]

F(6,6)uG(0,0) = [7,7]u [2,2] = [8,8]

F(0,0)uG(0,2) = [1,3]u [1,1] = [2,4]

F(1,5)uG(0,2) = [4,6]u [1,1] = [5,7]

F(2,3)uG(0,2) = [3,3]u [1,1] = [4,4]

F(3,4)uG(0,2) = [4,4]u [1,1] = [6,6]

F(4,2)uG(0,2) = [5,5]u [1,1] = [7,7]

F(5,5)uG(0,2) = [6,8]u [1,1] = [8,8]

F(6,6)uG(0,2) = [7,7]u [1,1] = [8,8]

F(0,0)uG(1,0) = [1,3]u [4,4] = [5,5]

F(1,5)uG(1,0) = [4,6]u [4,4] = [8,8]

F(2,3)uG(1,0) = [3,3]u [4,4] = [7,7]

F(3,4)uG(1,0) = [4,4]u [4,4] = [8.8]

F(4,2)uG(1,0) = [5,5]u [4,4] = [8,8]

F(5,5)uG(1,0) = [6,8]u [4,4] = [8,8]

F(6,6)uG(1,0) = [7,7]u [4,4] = [8,8]

Finalmente, para cada posição, x, calcula-se∨

[F(x−u)uG(u)]. Assim, obtém-se a

Page 108: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA91

dilatação intervalar(F⊕G) que é representada na figura 6.7.

Figura 6.7: Dilatação intervalar deF pela função estruranteG

Para a erosão, calculamos F(x+u)−G(u), como segue.

F−u1(0,0) = F((0,0)+(0,0)) = F(0,0) = [1,3]

F−u1(1,5) = F((1,5)+(0,0)) = F(1,5) = [4,6]

F−u1(2,3) = F((2,3)+(0,0)) = F(2,3) = [2,4]

F−u1(3,4) = F((3,4)+(0,0)) = F(3,4) = [0,2]

F−u1(4,2) = F((4,2)+(0,0)) = F(4,2) = [5,5]

F−u1(5,5) = F((5,5)+(0,0)) = F(5,5) = [6,8]

F−u1(6,6) = F((6,6)+(0,0)) = F(6,6) = [7,7]

F−u2(0,−2) = F((0,−2)+(0,2)) = F(0,0) = [1,3]

F−u2(1,3) = F((1,3)+(0,2)) = F(1,5) = [4,6]

F−u2(2,1) = F((2,1)+(0,2)) = F(2,3) = [2,4]

F−u2(3,2) = F((3,2)+(0,2)) = F(3,4) = [0,2]

F−u2(4,0) = F((4,0)+(0,2)) = F(4,2) = [5,5]

F−u2(5,3) = F((5,3)+(0,2)) = F(5,5) = [6,8]

F−u2(6,4) = F((6,4)+(0,2)) = F(6,6) = [7,7]

F−u3(−1,−2) = F((−1,−2)+(1,2)) = F(0,0) = [1,3]

F−u3(0,3) = F((0,3)+(1,2)) = F(1,5) = [4,6]

Page 109: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA92

F−u3(1,1) = F((1,1)+(1,2)) = F(2,3) = [2,4]

F−u3(2,2) = F((2,2)+(1,2)) = F(3,4) = [0,2]

F−u3(3,0) = F((3,0)+(1,2)) = F(4,2) = [5,5]

F−u3(4,3) = F((4,3)+(1,2)) = F(5,5) = [6,8]

F−u3(5,4) = F((5,4)+(1,2)) = F(6,6) = [7,7]

Note que, nas posições(0,−2) e (−1,−2) toma-se(0,0) e (0,0).

Em seguida, calcula-se a diferença Minkowiski F(x+u)−G(u).

F(0,0)−G(0,0) = [1,3]−[2,2] = [−1,1] = [0,1]

F(1,5)−G(0,0) = [4,6]−[2,2] = [2,4]

F(2,3)−G(0,0) = [2,4]−[2,2] = [0,2]

F(3,4)−G(0,0) = [0,2]−[2,2] = [−2,0] = [0,0]

F(4,2)−G(0,0) = [5,5]−[2,2] = [3,3]

F(5,5)−G(0,0) = [6,8]−[2,2] = [4,6]

F(6,6)−G(0,0) = [7,7]−[2,2] = [5,5]

F(0,0)−G(0,2) = [1,3]−[1,1] = [0,2]

F(1,5)−G(0,2) = [4,6]−[1,1] = [3,5]

F(2,3)−G(0,2) = [2,4]−[1,1] = [2,2]

F(3,4)−G(0,2) = [4,4]−[1,1] = [3,3]

F(4,2)−G(0,2) = [5,5]−[1,1] = [4,4]

F(5,5)−G(0,2) = [6,8]−[1,1] = [5,7]

F(6,6)−G(0,2) = [7,7]−[1,1] = [6,6]

F(0,0)−G(1,0) = [1,3]−[4,4] = [−3,1] = [0,1]

F(1,5)−G(1,0) = [4,6]−[4,4] = 0,2]

F(2,3)−G(1,0) = [2,4]−[4,4] = [−2,0] = [0,0]

F(3,4)−G(1,0) = [4,4]−[4,4] = [0,0]

F(4,2)−G(1,0) = [5,5]−[4,4] = [1,1]

F(5,5)−G(1,0) = [6,8]−[4,4] = [2,4]

Page 110: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA93

F(6,6)−G(1,0) = [7,7]−[4,4] = [3,3]

Para a operação de erosão, calcula-se, para cada posição x,(FG)(x) =∧

u∈E[F(x+

u)−G(u)]. A figura 6.8 mostra a erosão intervalar obtida pelas translações da função

estruturante G sobre a imagem intervalar F: E→Ω8.

Figura 6.8: Erosão intervalar deF pela função estruranteG

Note que, ospixelsmais escuros estão representados à direita da imagem intervalar e os

mais claros, à esquerda.

Observação 6.3.3No exemplo 6.3.30 foi possível observar que, a imagem intervalar

difere pelo tom de cinza. Quando os tons são diferentes èsquerda e à direita da imagem,

na mesma posição, significa que, nesta posição existe uma incerteza.

Uma importante propriedade algébrica dos operadores elementares da morfologia

matemática é a relação da dualidade entre erosão e dilatação¬(F ⊕G) = ¬F G. será

mostrado que essa propriedade também vale para o caso intervalar.

Proposição 6.3.17Sejam F e G duas imagens em intervalares em escala de cinzas, então

¬(F⊕G) = ¬FG (6.3.31)

Prova

¬FG =∧

u∈E¬Fu(x)−G(x)

=∧

u∈E([L,L]−Fu(x))−G(x) definição 6.2.9

=∧

u∈E([L,L]− [Fu(x),Fu(x)])−G(x), corolário 6.3.6

Page 111: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA94

=∧

u∈E[L−Fu(x),L−Fu(x)]−[G(x),G(x)], equação 6.1.3 e proposição 6.3.5

=∧

u∈E[(L−Fu(x))−G(x),(L−Fu(x))−G(x)], proposição 6.1.11

=∧

u∈E[¬Fu(x)−G(x),¬Fu(x)−G(x)], equação 6.1.5

= [∧

u∈E¬Fu(x)−G(x),∧

u∈E¬Fu(x)−G(x)], proposição 6.3.5

= [(¬FG)(x),(¬FG)(x)], definição do caso pontual de ([27], equação 13)

= [¬(F⊕G)(x),¬(F⊕G)(x)], proposição análoga para equação 6.3.31

= [L− (F⊕G)(x)),L− (F⊕G)], equação 6.2.9

= [L,L]− (F⊕G)(x), proposição 6.3.9 e equação 6.1.3

= ¬(F⊕G)(x), definição 6.1.7.

A dilatação e a erosão são suficientes para decompor outros importantes operadores

morfológicos. A seguir, apresenta-se algumas dessas operações do ponto de vista do

modelo intervalar desenvolvido nesse trabalho. Em outras palavras, nós vamos apresentar

alguns tipos de opeações usando imagens intervalares em escala de cinzas.

6.3.3 Outros operadores morfológicos

Tal como o caso tradicional, pode-se definir outras operações morfológicas

intervalares. As mais básicas sãoabertura e fechamentoque são consideradas como

filtros morfológicos. Estas operações são definidas respectivamente por:

F G = (FG)⊕G (6.3.32)

F •G = (F⊕G)G (6.3.33)

Na forma intervalar essas equações tem a forma,

Abertura :

SejaE(x) = (F ˙G)(x) e sejaHu(x) = E(x−u)⊕G(u), então

(F G)(x) = (E⊕G)(x) = [∨

Π1Hu(x)u∈E,∨

Π2Hu(x)u∈E]

Fechamento:

Analogamente,

sejaD(x) = (F⊕G)(x) eWu(x) = D(x−u)−G(u), então

Page 112: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA95

(F •G)(x) = (DG)(x) = [∧

Π1Wu(x)u∈E,∧

Π2Wu(x)u∈E]

As operações de abertura e fechamento em geral são muito utizadas para filtragens em

imagens que foram corrompidas por ruídos. Estas operações são do tipo "close-open"e

"open-close"e tem a seguinte forma:

COG(F) = (F G)•G (6.3.34)

OCG(F) = (F •G)G (6.3.35)

Para remover ruídos e gerar uma boa aproximação do sinal sem ruído, algumas vezes é

usadofiltros sequenciais alternados, que é a decomposição de aberturas e fechamentos.

Um filtro sequencial pode ser dado por:

ASFnOC,G(F) = ((((((F •G)G)•2G)2G)...•nG)nG),n∈ N (6.3.36)

Ou

ASFnCO,G(F) = ((((((F G)•G)2G)•2G)...nG)nG),n∈ N (6.3.37)

Para extrair contornos da imagem em geral é utilizado a operação degradiente

morfológico. Esta operação envolve três operações: dilatação erosão e subtração. Na

forma intervalar é definida por:

Grad(F,G)(x) = (F⊕G)(x)−(FG)(x) (6.3.38)

Na forma intervalar temos que, parau∈ E

Grad(F,G)(x) = [∨

Π1Pu(x),∨

Π2Pu(x)]−[∧

Π1Qu(x),∧

Π2Qu(x)]

= [∨

Π1Pu(x)−∧

Π2Qu(x),∨

Π2Pu(x)−∧

Π1Qu(x)]

Para realçar detalhes da imagem na presença sombra, pode-se usar otransformada

top-hat. Esta operação é dada por:

H(F)(x) = F(x)−(F G)(x) (6.3.39)

Page 113: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA96

Seja F(x) = [x,x] e (F G)(x) = [∨

Π1Hu(x)u∈E,∨

Π2Hu(x)u∈E], então, a forma

intervalar datop-hattransformada é dada por:

H(F)(x) = [x−∨

Π2Hu(x)u∈E,x−∨

Π1Hu(x)u∈E] (6.3.40)

6.3.4 Potenciais aplicações

Nesta seção, foram apresentados os operadores elementares da morfologia

matemática, a dilatação e a erosão, definidos em uma estrutura algébrica do

conjunto intervalar previamente construído. Também apresentou-se algumas operações

importantes derivadas destes operadores. Pode-se dizer então que o modelo intervalar

poderá ser aplicado em técnicas ou método de análise de imagens através da morfologia

matemática, desde que exista a necessidade de um maior controle de erros que

freqüentemente produzem incertezas em algumas regiões da imagem. Para usar o modelo

intervalar, deve-se aplicar as técnicas existentes usando imagens intervalares, juntamente

com as operações morfológicas intervalares. Como mencionado na introdução, pode-se

citar por exemplo, a técnica de segmentação de imagens. Essa é uma técnica que exige

um bom método de controle de erros.

O uso de matemática intervalar em segmentação de imagens, tem como objetivo

controlar possíveis erros computacionais na manipulação de uma imagem que está sendo

segmentada. Por exemplo, supondo que deseja-se aplicar uma segmentação intervalar e

durante o processo é necessário realizar uma operação de dilatação. Um dos objetivo

da operação de dilatação para imagens em tons de cinza, é tornar algumas regiões da

imagem mais clara e eliminar alguns pontos escuros. Para usar o modelo descrito na seção

anterior, pode-se seguir o seguinte caminho: Primeiro, transformar a imagem pontual em

uma imagem intervalar e depois iniciar o processo. Em um processo de segmentação,

várias etapas são necessárias, uma delas pode ser uma operação de dilatação. Como

o “tratamento” é sobre imagens intervalares, então esta deverá ser realizada usando o

modelo intervalar descrito nesse Capítulo. Assim, obtém-se uma dilatação intervalar.

Acredita-se que o uso de um modelo intervalar junto com operações morfológicas

permitirá, além de detectar as incertezas, localizar mais facilmente as regiões imprecisas

Page 114: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA97

e desse modo ter um maior controle dos erros.

Existem vários métodos baseados em regiões de crescimento tais comothresholding,

divisão e fusão, clustering, etc. Por exemplo, em [6] foi desenvolvido um método de

segmentação de imagens digitais por k-Means. Este método é feito por agrupamento

e uma aplicação prática pode ser vista [5], onde ele é usado para identificar

microcalcificações e tumores em imagens mamográficas. Para caracterização dessas

microcalcificações como tumores ou não, foram aplicados operações morfológicas de

dilatação e erosão. Para detectar pontos que são partes do tumor, foi aplicado uma

operação de fechamento.

6.3.5 Consclusão sobre o capítulo

Em análise de imagens, os conjuntosfuzzytem se mostrado eficientes ferramentas

em vários níveis do processamento de imagens, incluindo morfologia matemática. Neste

Capítulo foi apresentado um modelo que poderá ser aplicado, também com objetivos de

lidar com questões onde existam regiões indefinidas em imagens em tons de cinza. Os

fundamentos matemáticos, aqui apresentados fizeram uso da teoria intervalar e tiveram

como meta definir os operadores morfológicos em uma estrutura mais abrangente, ou

seja à teoria intervalar. Este modelo, tal comofuzzy, constitui mais uma ferramenta para

tratar com incertezas. A abordagem está direcionada aos casos onde existe uma maior

necessidade de controle de erros e o modelo apresentado poderá ter aplicações em várias

técnicas da análise de imagens, tais como, classificação de padrões, segmentação, extração

de regiões de interesse, filtragens de ruídos, etc. Observe que as incertezas são geradas e

detectadas de acordo a intensidade de brilho do pixel e algumas vezes conduzem a falsos

resultados. Ao utilizarmos um método eficiente de controle de erros, é possível uma maior

exatidão nos resultados.

Page 115: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

Capítulo 7

Considerações Finais

Nesta tese espera-se ter realizado uma significativa contribuição ao mundo científico,

particularmente à área de engenharia, no que se refere a uma abordagem matemática sobre

a ótica intervalar aplicada ao processamento digital de imagens, mais especificamente à

morfologia matemática. Apresentou-se um modelo intervalar que, de um modo geral,

poderá ser usado em aplicações práticas que necessitem de um maior controle de erros

em alguma técnica do processamento de imagens utlizando operações morfológicas.

Em outras palavras, os dois modelos desenvolvidos neste trabalho, nos capítulos 5 e 6,

oferecem uma nova ferramenta de controle de erros à área de morfologia matemática,

através da teoria intervalar e poderá ser aplicado em algum processo conhecido tal como

o método de segmentação de imagens e outras técnicas do processamento de imagens.

Para a construção dos modelos, foi necessário inicialmente construir a estrutura algébrica

para modelar as funções que representam as imagens intervalares. Mostrou-se que as

estruturas pertencem a classe dos reticulados completos, o que tornou possível definir os

operadores morfológicos. O grande passo final foi mostrar que as operações morfológicas

assim definidas, satisfazem as principais propriedades algébricas da teoria da morfologia

matemática clássica. Uma delas foi a relação da dualidade por complemento existentes

entre os operadores elementares, dilatação e erosão. Também apresentou-se outros

operadores morfológicos dentro da estrutura dos modelos intervalares apresentados.

98

Page 116: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS 99

7.1 Principais contribuições

7.1.1 Na matemática intervalar

Na área da matemática intervalar, as noções e resultados matemáticos que foram

desenvolvidos nesse trabalho, utilizaram a teoria intervalar em seu mais amplo aspecto

respeitando todas as características que permeiam suas propriedades algébricas. Foi

construído um modelo matemático, inicialmente considerando um conjunto de três

valores intervalares e que foi apresentado no Capítulo 5. Porém o principal resultado

foi apresentado no Capítulo 6 onde o modelo foi estendido para o caso geral de imagens

em tons de cinza. Assim, pode-se dizer que esse é mais um avanço da área da matemática

intervalar aplicada ao processamento de imagens, uma vez que, pela primeira vez essa

teoria é utilizada para definir operadores morfológicos em uma abordagem intervalar.

7.1.2 Na morfologia matemática

Na área de morfologia matemática, esse trabalho oferece uma nova ferramenta para

tratar questões de incertezas em imagens usando métodos intervalares e que poderão

ser aplicados em técnicas tais como segmentação de imagens, extração de contornos,

esqueletos, etc. Nesse trabalho, mostrou-se que as estruturas algébricas reticulares

construídas nos Capítulos 5 e 6 satisfazem todas as propriedades necessárias para se

definir as operações morfológicas intervalares.

Page 117: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS 100

7.2 Perspectivas

Além de orientações e co-orientações, sobre os trabalhos citados anteriormente,

pretende-se desenvolver os seguinte estudos:

a. A compactação de imagens digitais intervalares é uma área ainda não explorada, que

pretende-se estudar futuramente. Neste sentido, a busca de regiões de interesse (não

necessariamente indefinidas) para escolha do tipo de compactação, também deverá

ser estudada. A imagem digital intervalar aplicada a morfologia matemática, pode

ser varrida em busca de pixels intervalares conectados. Neste caso, uma imagem

digital intervalar pode ser compactada sem perda nas regiões de interesse, e com

perda, nas demais, economizando custos computacionais.

b. A extensão dos conhecimentos desenvolvidos nas imagens digitais intervalares

aplicada a morfologia matemática para o caso de imagens digitais intervalares

coloridas. Sob este aspecto, novas linhas de estudos certamente serão agregadas.

c. Pretende-se estudar formas de utilização da matemática intervalar avançada,

introduzida nesta tese, nas diversas áreas da engenharia que necessitam de controle

e confiabilidade nos resultados, no que diz respeito a processamento de imagens,

mais especificamente, na área de morfologia matemática.

d. A aplicação da morfologia matemática em imagens digitais intervalares como

ferramenta de segmentação, também é uma técnica que merece ser estudada

devido aos excelentes resultados obtidos nas imagens clássicas, como podemos

ver na literatura. Acredita-se que, como temos padrões de comparação entre

imagens mínimas e máximas, obter-se-á, utilizando esta ferramenta, uma imagem

segmentada, com resultados mais próximos dos resultados reais.

7.3 Conclusão final

A importância deste estudo se deve ao fato de que, diversas vezes as informações

contidas nas imagens clássicas são imprecisas, ou seja, indefinidas. Vários modelos foram

introduzidos para lidar com essas incertezas existentes no processamento de imagens

Page 118: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS 101

digitais. Por exemplo, a LógicaFuzzyassociada à matemática intervalar é um estudo que

tem sido desenvolvido buscando resolver problemas de regiões de incerteza em imagens

com o objetivo de controlar erros numéricos. A informação de quão nebulosa é uma

região, é estudada sob o ponto de vista da LógicaFuzzyIntervalar. No caso da morfologia

matemática muitos trabalhos foram desenvolvidos usando a lógicafuzzy. Nesse trabalho,

buscou-se unir duas importantes áreas do mundo científico, a matemática intervalar e

a morfologia matemática. A primeira tem como principal característica aplicações que

visam controlar e detectar erros computacionais. Em geral, a teoria utiliza intervalos de

confiança, garantindo que os erros estão contidos naquele intervalo, e com isso, torna

possível o controle desses erros. A segunda, tem como principal objetivo tratar as

imagens modificando a estrutura geométrica das imagens transformando topologicamente

sua forma. Para isso utiliza operadores que satisfazem as propriedades de um reticulado

completo. Essa é uma das principais caractrística comum entre a matemática intervalar e a

morfologia matemática. Dessa forma, esse trabalho apresentou uma abordagem intervalar,

cuja estrutura geométrica é um reticulado completo, permitindo assim definir as operações

morfológicas do ponto de vista intervalar. A construção do modelo morfológico intervalar,

apresentou em algumas etapas toda a base matemática necessária para introduzir os

operadores morfológicos intervalares, oferecendo assim uma nova abordagem a essa

teoria com base nos modelos pontuais já existentes e nas operações aritméticas para

intervalos. Pode-se dizer que o mundo científico, no que diz respeito ao processamento

de imagens através da morfologia matemática, possui agora, mais uma ferramenta além

das já conhecidas, para lidar com as incertezas que frequentemente aparecem nas técnicas

de processamento de imagens, principalmente aquelas que realmente necessitam de um

maior cuidado no controle dessas incertezas. Em outras palavras, esse trabalho introduziu

umateoria da morfologia matemática para imagens intervalares.

Page 119: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

CAPÍTULO 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS 102

7.4 Trabalhos Aceitos e submetidos em Eventos

Científicos e Revistas Científicas

a. Cruz, M. C., Doria Neto, A., Andrade, R. P., O Algorítmo K-means Aplicado a

Quantização Intervalar para Imagens Digitais, ENMAC: Encontro Norte e Nordeste

de Matemática Aplicada e Computacional.

b. Cruz, M. C., Doria Neto, A., Costa, J. A., Uma Aplicação de Segmentação de

Imagens Usando Operadores Morfológicos - XXVIII CNMAC: Encontro Nacional

de Matemática Aplicada e Computacional, 2005

c. Cruz, M. C., Doria Neto, A., Santiago, R. N., Mathematical Morphology for two

valued gray-scale images with undefined information, The Proceedings of The 8th

International Symposium on Mathematical Morphology -ISMM, 2007

d. Cruz, M. C., Doria Neto, A. e Santiago, R. N., Em Direção a Morfologia Matemática

para Imagens Binárias com Informaçao de Indefinição - XXX CNMAC Encontro

Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, 2007.

e. Cruz, M. C., Doria Neto, A. e Santiago, R. N., Two Valued Gray-scale Images with

Undefined Information and their Mathematical Morphology - Artigo submetido

a revista TEMA da SBMAC (Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e

Computacional), Setembro de 2007.

f. Cruz, M. C., Doria Neto, A., Santiago, R. N. e Bedrega, B. C., Foundations of

Mathematical Morphology for Interval Gray Scale Image - Artigo submetido a

revista "Computer & mathematics with Aplications"Julho de 2008.

g. Cruz, M. C., Doria Neto, A., Santiago, R. N. e Bedrega, B. C., Uma Fundamentacção

Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática - Trabalho aceito no XXX Congresso

Nacional de Matemática Aplicada e Computacional (CNMAC)- Setembro de 2008

Page 120: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

Referências Bibliográficas

[1] J. D. Lee e Y. L. Hsiao,Extraction of Tumor Region in Color Images Using Wavelets,

Journal Computers and Mathematics with Applications40 (2000), 793–803.

[2] J. Pastore e V. Ballarin A. Bouchet,Segmentation of medical images using fuzzy

mathematical morphology, JCS&T.7 (2007).

[3] A. D. Dória Neto e B. R. C. Bedregal A. Lyra,Arithmetic and logical operations

on interval digital images, II Encontro Regional de Matemática Aplicada e

Computacional. Natal, RN, Novembro 2002.

[4] A. Lyra, R. C. Bedregal, A. D. Doria Neto e B. R. C. Bedregal ,The interval Digital

Images Processing, WSEAS transactions on circuits and system3 (2004), 1109–

2734.

[5] A. Takahashi, Extensões Intervalares do Método de Segmentação de imagens

digitais por k-Means: estudo Comparativo, Master’s thesis, Universidade Federal

do Rio Grande do Norte, Brasil, 2005.

[6] A. Takahashi, B. R. C. Bedregal e A. Lyra,Uma Versão Intervalar do Método de

Segmentação de Imagens Utilizando o K-means, TEMA Tend Mat Apl Comput3

(2005), 315–324.

[7] B. Acióly, Fundamentação Computacional da Matemática Intervalar, Ph.D. thesis,

Universidade Federal do Rio Grande do Sul, CPGCC, Brasil, 1991.

[8] B. Kearfott, Rigorous global search: Continuos problems, Kluwer Academic

Publishers, 1996.

103

Page 121: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 104

[9] B. R. C. Bedregal, R. C. Bedregal e B. M. Acióly,A Quasi-Metric Topology

Compatible with Inclusion Monotonicity on Interval Space, Reliable Computing3

(1997), 305–310.

[10] I. Bloch, Spatial reasoning under imprecision using fuzzy set theory, formal logics

and mathematical morphology, International Journal of Approximate Reasoning41

(2000), 77–95.

[11] Z. Chen e Y. Lei C. Xie, H. Li, Segmentation of ultrasound image based

on morphological operation and fuzzy clustering, Electronic Design, Test and

Applications, 2006. DELTA 2006. Third IEEE International Workshop on.17

(2006), 397.

[12] M. M. C. Cruz, Equivalência e consistência entre funções intervalares, Master’s

thesis, DIMAp - UFRN, 2000.

[13] D. Scott,Outline of a Mathematical Theory of Computation, 1970.

[14] I. Alves e T. Barata D. Vaz,Application of mathematical morphology to the

enhancement of wavelet-detected fault lines on mars, Geophysical Research

Abstracts8 (2006).

[15] G. Li e M. Nagai D. Yamaguchi,A grey-based rough approximation model for

interval data processing, Information Sciences: an International Journal177(2007),

4727–4744.

[16] T. Q. Deng,Fuzzy logic and mathematical morphology: Implementation by stack

filters, Probability, networks and Algorithms (PNA)44 (1996), 142–147.

[17] A. T. Saric e A. M. Stankovic,An application of interval analysis and optimization

to electric energy markets, Power Systems, IEEE Transactions.21 (2006), 515–523.

[18] A. Takahashi e B. R. C. Bedregal,T-normas, t-conormas, complementos e

implicações intervalares, TEMA Tend Mat Apl Comput.7 (2006), 139–148.

[19] C. Lantuejoul e F. Maisonneuve,Geodesic methods in quantitative image analysis,

Pattern Recognition17 (1884), 177–187.

Page 122: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 105

[20] N. D. A Mascarenhas e F. R. D Velasco,Processamento digital de imagens, IV

Escola de Computação, vol. 1, 1985, p. 235.

[21] B.A. Davey e H. A. Priesley,Introduction to lattice and order, 1992.

[22] I. Bloch e H. Maitre,Constructing a fuzzy mathematical morphology: alternative

ways, Second IEEE International Conference on Fuzzy Systems2 (1993), 1303–

1308.

[23] A. A. Mohammed e J. Alirezaie,Wavelet-based image compression using

mathematical morphology and self organizing feature map, Systems, Man and

Cybernetics, 2005 IEEE International Conference4 (2005).

[24] G. Banon e J. Barrera,Decomposition of mappings between complete lattices by

mathematical morphlogy, Signal Processing30 (1993), 299–327.

[25] , Bases da morfologia matematica para analise de imagens binarias,

MCT/INPE, 1998.

[26] B. J. Dengler e J. F. Desaga,Segmentation of microcalcifications in mammograms,

Medical Imaging, IEEE Transactions .12 (1993), 634 – 642.

[27] J. Goutsias e J.A.M. Heijmans,Fundamenta morphologicae mathematicae, IOS

Press - Fundamenta Informaticae.41 (2000), 1–13.

[28] A. Brito e O. Kosheleva,Interval + image= wavelet: For image processing under

uncertainty, wavelets are optimal, Reliable Computing4 (1998), 291–3001.

[29] P. Sussner e P. Valle,Brief account of the relations between gray-scale mathematical

morphologies, XVIII Brazilian Symposium on Computer Graphics and Image

Processing (SIBGRAPI), Natal, RN, 2005.

[30] V. Kreinovich e R. Aló, Interval mathematics for analysis of multiresolutional

systems, NIST Special Publications12 (2002), 323–350.

[31] H. Rasiowa e R. Sikorki,The mathematics of metamathematics, 1963.

Page 123: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 106

[32] E. R. Sinan, P. Dougherty e D. Sinha,Design and Analysis of Fuzzy Morphological

Algorithms for Image Processing, IEEE Transactions on Fuzzy Systems5 (1997), 4.

[33] R. B. Kearfott e V. Kreinovich,Applications of interval computations, Kluwer

Academic Publishers.

[34] F. Russo,A New Class of Fuzzy Operators for Image Processing: Design and

Implementation, Lecture Notes, Universita‘degli Studi di Trieste, Dipartemento di

Elettrotecnic Informatica, 1993.

[35] G. Banon,Formal Introduction to digital image processing, INPE - 7682 -PUD/43,

2002.

[36] G. Banon e J. Barrera,Minimal Representations for Translation-Invariant Set

Mapping by Mathematical Morphlogy, SIAM J. Appl. Math51 (1991), 1782–1798.

[37] G. Birkhoff, Lattice theory, 3rd edition, American Mathematical Socety Colloquium

Publications, New York, 1984.

[38] G. Dimuro e A. C. Costa,Interval-based Markov Decision Processes for Regulating

Interactions Between Two Agents in Multi-Agent Systems, n: Jack Dongarra; Kaj

Madsen; Jerzy Wasniewski. (Eds.). Applied Parallel Computing: 7th International

Conference - Berlim3732(2004), 102–111.

[39] H. M. Pasula, L. S. Zettlemoyer e L. P. Kaelbling ,Learning Symbolic Models of

Stochastic Domains, Journal of Artificial Intelligence Research29 (2007), 309–352.

[40] H. Heijmans,Theoretical aspects of gray-leavel morphology, IEEE Translations on

Pattern Analysis and Machine Intelegence.13 (1991), 568–582.

[41] , Mathematical morphology: Basics principles, CWI, 2005.

[42] I. B. Turksen,Interval Value Fuzzy Sets Based on Normal form, Fuzzy Sets and

System20 (1986), 191–210.

[43] J. Dugundji,Topology, Allyn and Bacon, New York, 1966.

Page 124: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 107

[44] L. M. Vincent e D. S. Bloomberg J. Goutsias,Mathematical morphology and its

applications to image and signal, Proceedings of the 5th International Symposium

on Mathematical Morphology and its Applications to Image and Signal Processing,

California, 2000.

[45] J. R. Parker,Algorthms for image processing and computer vision, Wiley Computer

Publishing, 1997.

[46] J. Serra,Image Analysis and Mathematical Morphology, Academic Press, Inc.,

Orlando, USA, 1983.

[47] M. B. Smyth, Handbook of Logic in Computer Science, vol. 1, ch. Topology,

pp. 641–761, Oxford University Press, 1992.

[48] A. D. Doria Neto e J. A. Costa M. M. C. Cruz,Uma aplicação de segmentação de

imagens usando operadores morfológicos, XXVII CNMAC: Encontro Nacional de

Matemática Aplicada e Computacional., Setembro 2007.

[49] M. Maccarone, Fuzzy mathematical morphology: concepts and applications,

Bijaoui, A. (Ed.), Vision Modeling and Information Coding, Vistas in Astronomy,

Special issue40 (1996), 469–477.

[50] J. M. Mendel,Type -2 fuzzy sets and systems an overview, IEEE Computational

Intelligence Magazine2 (2007), 20–29.

[51] M.M.T. Silveira, Teoria Fuzzy Intervalar: Uma Proposta de Integração da

Matemática Intervalar à Teoria Fuzzy, Master’s thesis, Universidade Federal do Rio

Grande do Norte, PPgSC, Brasil, 2002.

[52] N. Huang,Fuzzy K-Modes Algrithm for Clustering Categorical Data, Lecture Notes,

1999.

[53] P. A. Bárcena e M. Merello e J. M. Carazo,Mapping ando Fuzzy Classification of

Macromolecular Images Using Self-organizing Neural Networks, Ultramicroscopy

1 (2000), 85–89.

Page 125: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 108

[54] P. Oliveira, T. Diverio e D. Claudio,Fundamentos da Matemática Intervalar,

Primeira ed., SAGRA-Luzzato, 1997.

[55] L. V. Barboza e R. H. Reiser P. S. Grigoletti, G. P. Dimuro,Análise intervalar de

circuitos elétricos, IEEE Computational Intelligence Magazine7 (2006), 287–296.

[56] R. C. Bedregal, B. R. C. Bedregal e R. H. N. Santiago,Generalizing the Real Interval

Arithmetic, TEMA Tend Mat Apl Comput.7 (2002), 61–70.

[57] R. Gonzales e Wintz, P.,Digital Image Processing, Second ed., Addison Wesley

Publishing, 1987.

[58] M. M. C. Cruz R. H. N. Santiago, A. D. Doria Neto,Mathematical morphology

for two valued gray-scale images with undefined information, The Proceedings of

ISMM., vol. 2, October 2007.

[59] R. H. N. Santiago, B. R. C. Bedregal e B. M. Acióly.,Formal Aspects of Correctness

and Optimality of Interval Computations, Formal Aspects of Computing18 (2006),

231–243.

[60] R. Moore,Interval Analysis, Prentice Hall, New Jersey, 1966.

[61] , Methods and Applications of Interval Analysis, SIAM Publications,

Philadelphia, 1979.

[62] H. Rasiowa,An algebraic approach to non-classical logics, vol. 78, 1974.

[63] C. Ronse,Why mathematical morphology needs complete lattices, Signal processing

21 (1990), 129–154.

[64] T. Hickey e M. H. Van Emden,Interval Arthmetic: From Principles to

implementation, Jounal of the ACM48 (2001), 1038–1068.

[65] T. Kikuchi e S. Murakami,Application of Fuzzy Mathematical Morphology with

Adaptive Structuring Elements to Seal Defect Testing, Journal ref: Journal of

Advanced Computational Intelligence and Intelligent Informatics6 (2002), 62–69.

Page 126: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 109

[66] T. Sunaga,Theory of interval algebra and its application to numerical analysis,

RAAG Memoirs3 (1958), 29–46.

[67] V. S. Toledo,Segmentação de imagens mamográficas para detecção de nódulos em

mamas densas, Ph.D. thesis, Universidade de São Carlos, Novembro 2002.

[68] U. W. Kulisch e W.L. Miranker, Computer Arithmetic Theory and Practice,

Academic Press, 1981.

[69] Z. Chi, H. Yan e T. Pham,Fuzzy Algorithms: with applications to image processing

and pattern recognition, vol. 10, 1996.

[70] M. A. Zmuda,Stochastic algorithm for approximating soft morphological operators,

Optical Engineering40 (2001), 2746–2752.

Page 127: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

Índice Remissivo

Uma abordagem da Morfologia Matemática

Clássica, 8

Teoria dos conjuntos, 10

Soma, 10

Diferença, 10

Reflexão, 10, 86

Soma e subtração de Minkowski, 12,

62, 87

Operadores Elemetares, 12

Elemento estruturante, 12

Dilatação e erosão, 13, 63, 88

Filtros morfológicos, 15

Filtros morfológicos, 15

Extração de fronteiras, 16

Operador Hit-or-miss, 16

Esqueleto, 17

Analise binária, 19

Reticulado das funções binárias, 19

Pixel, 20

Algebra de Boole, 20

Reticulados, 21

Reticulado completo, 22

Extensividade e anti-extensividade,

23

Operador isotônico, 23

Operador anti-tônico, 23

Imagens em níveis de cinza, 25

Translação, 27, 60, 84, 85

OperaçãoTop-Hat, 29

Um abordagem da Matemática Intervalar, 5

Análise intervalar, 31

Intervalo de números reais, 31

Igualdade entre intervalso, 32

Região intervalar, 33

Par ordenado intervalar, 33

Aritmética intervalar clássica, 34

Interseção entre dois intervalos, 35

União entre dois intervalos, 35

Relações de ordem, 37

Ordem natural, 37

Ordem de inclusão, 37

ordem de Kulisch-Miranker, 38

Processamento de imagens Digitais

Intervalares, 39

Imagem digital binária intervalar, 40

Pixel intervalar 40

Conectividade, 41

Operações lógicas-Aritméticas, 42

Imagem média, 42

Soma entre pixels intervalares, 43

Soma entre imagens intervalares, 43

110

Page 128: Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática · 5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares ... 6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares

ÍNDICE REMISSIVO 111

Subtração entre pixels intervalares,

43

Subtração entre imagens intervalares,

44

Produto entre pixels intervalares, 43

Multiplicação entre pixels

intervalares, 43

divisão entre pixels intervalares, 43

Divisão entre imagens intervalares,

43

Disjunção, 44

Conjunção, 44

Negação, 45

Um Modelo Intervalar para Lidar com

Incertezas, 47

Construção do espaço AlgébricoΩ, 48

Reticulado distributivo, 49

Pseudo-complemento, 49

Álgebra pseudo-Booleana, 43

Imagens intervalares e indefinidas, 51

Operações básicas, 51

Imagem ternária, 51

Operações de supremo e de ínfimo,

52

reticulado relativamente pseudo-

complementado, 53

Operação de reversão, 55

Operações derivadas, 56

Operações NAND, NOR e XOR, 56

Morfologia para imagens ternárias, 57

Operador m-ário, 57

composição de operadores, 58

Subconjuntos superiormente e

inferiormente fechados, 59

Reticulado dos operadores, 58

Translação em imagens ternárias, 60

Transposição, 60

Invariança por translação, 85

Imagens binárias com regiões de

indefinição, 64

Elementos notáveis, 66

Um modelo Intervalar para Imagens em

Níveis de cinza, 72

Construção do espaço algébricoΩN, 74

reticulado distributivo, 76

Imagens intervalares em escala de

cinzas, 80

operações morfológicas, 83

Translação morfológica, 85

Função aditiva estruturante, 87

Teorema da representação intervalar,

88

Adjunção, 89

H-Operador, 89

H-erosão, 90

H-dilatação, 90

Filtros sequenciais, 100

Top-hattransformada, 101

Potenciais aplicações, 101

Segmentação, 101