uma fundamentação intervalar aplicada à morfologia matemática · 5.4 morfologia sobre imagens...
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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação
Departamento de Computação e Automação
Uma Fundamentação Intervalar Aplicada àMorfologia Matemática
Doutorando: Marcia Maria de Castro Cruz
Natal/RN - Brasil
Setembro de 2008
Marcia Maria de Castro Cruz
Uma Fundamentação Intervalar Aplicada àMorfologia Matemática
Orientadores:
Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto
Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago
Tese submetida ao programa de Pós-Graduação emEngenharia Elétrica e de Computação da UniversidadeFederal do Rio Grande do Norte como parte dosrequisitos para obtenção do grau de DOUTOR emCIÊNCIAS.
Natal/RN- Brasil
Setembro de 2008
i
Catalogação da publicação na fonte. UFRN / Biblioteca Central “Zila Mamede”
Seção de Processos Técnicos
Cruz, Marcia
Uma Fundamentação Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática / Marcia
Maria de Castro Cruz. Natal: 2008.
xviii. 109p.
Orientador: Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto
Orientador: Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago
Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de
Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica.
1. Processamento de Imagens Intervalares 2. Morfologia Matemática
3. Matemática Intervalar 4. Incerteza 5. Reticulados Completo 6. Imagens
Indefinidas 7. Dilatação 8. Erosão
RN/UF/BCZM
UMA FUNDAMENTAÇÃO INTERVALAR APLICADA À
MORFOLOGIA MATEMÁTICA
Marcia Maria de Castro Cruz
Tese apresentada à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em EngenhariaElétrica e de Computação da Universidade Federal do Rio Grande do Nortecomo requisito parcial à obtenção do grau de Doutor em Ciências. Aprovada,em 05 de Setembro de 2008, pela Comissão Examinadora formada com osseguintes membros:
Composição da Banca Examinadora:
Adrião Duarte Dória Neto: UFRN, (Doutor), Orientador
Graçaliz Pereira Dimuro: UCPEL, (Doutor), Examinador
Benjamín René Callejas Bedregal: UFRN, (Doutor), Examinador
Aarão Lyra, (Doutor), Examinador: UnP
Ronei Marcos de Moraes: UFPB, (Doutor), Examinador
Natal/RN - BrasilSetembro de 2008
DEDICATÓRIA i
Ao meu esposo e filhos, Rubens, Janaina e Izan, que sem a confiança, paciência e o
companherismo deles, não teria tido oportunidade de galgar este grau.
AGRADECIMENTOS ii
Agradecimentos
Após esta difícil jornada, quero agradecer a todos aqueles que, de diferentes formas,
contribuíram para a realização desse trabalho.
Na impossibilidade de citar todos os nomes, destaco alguns, na certeza de que sou
grato a todos que direta ou indiretamente contribuíram para o sucesso deste trabalho.
A Deus, o ser SUPREMO do universo, presente em todos os momentos.
Aos meus amados esposo e filhos (em ordem hereditária), Rubens Leão de Andrade,
Janaina de Castro Leão e Izan de Castro leão pelo estímulo, carinho, amor e apoio na
concretização deste trabalho.
Em especial, um profundo agradecimento ao meu filho Izan que, por muitas vezes me
ajudou em vários aspectos desta tese, tais como obtenção de algumas imagens.
A minha mãe, que mesmo de longe sempre torceu pelo meu sucesso em tudo que faço,
em especial para esse trabalho.
Ao meus irmão Jadilson Rubens, que foi um dos maiores incentivadores da minha
vida acadêmica. Também as minhas irmãs, Rita de Cássia e Regina Celi pela amizade.
Um especial agradecimento a minha querida avó Francisca Amélia (codinome Yayá),
que já não está mais entre nós, mas que foi uma das pessoas mais importantes da minha
vida. Se não fosse por ela, certamente não chegaria onde eu cheguei, pois foi ela uma das
maiores incentivadoras da minha vida estudantil e acadêmica.
Aos professores, orientador e co-orientadores, Adrião Duarte Dória Neto, Regivan
Hugo Nunes Santiago e Benjamín Rene Callejas Bedregal, pela tão competente
orientação, a minha admiração e agradecimento pelo apoio constante, pela confiança,
amizade e, principalmente pelo incentivo dedicado durante todo o decorrer desta jornada.
AGRADECIMENTOS iii
Meu agradecimento especialmente para o porfessor Regivan que me orientou no meu
curso de mestrado e aceitou mais uma vez o desafio de me orientar em um curso
de maior responsabilidade que é o doutorado. Graças as suas sugestões e críticas,
algumas vezes duras, ele conseguiu me mostrar o caminho de aprimoramento dos meus
limitados conhecimentos científicos, na área de matemática aplicada. Ao Professor
adrião, também devo externar meu profundo reconhecimento pela credibilidade em mim
depositada. Também agradeço de coração ao professor Benjamím que aceitou me
ajudar em momentos difíceis durante o desenvolvimento desse trabalho e foi de extrema
importância para a finalização deste trabalho. A todos vocês, os meus mais sinceros
agradecimentos.
Aos Professores do DCA, LECA e DIMAp, pelas significativas contribuições que
enriqueceram este estudo. Em especial ao professor José Alfredo Costa, que além dos
seus ensinamentos como professor, participou de outras atividades tal como a colaboração
conjunta de um trabalho em um importante congresso nacional de matemática aplicada, o
CNMAC.
Ao Prof. Dr. Junior Barrera, da USP de São Paulo, pelas importantes sugestões e pela
grande atenção que me teve quando necessitei da ajuda de seus conhecimentos.
Aos funcionários da secretaria do Departamento de Matemática, Helio Meira e Nízia
Maria Lima, bem como, da secretaria da coordenação do PPGEE, que sempre me
atenderam com bastante presteza quando necessitei de seus serviços.
Sumário
Lista de figuras vii
Resumo xii
Abstract xiii
1 Introdução 1
2 Uma Abordagem da Morfologia Matemática Clássica 7
2.1 Morfologia matemática para imagens binária . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Conceitos básicos da teoria dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 As operações de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Os operadores elementares da morfologia matemática . . . . . . 10
2.1.4 Outros operadores morfológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.5 Algumas importantes aplicações das operações morfológicas
binárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Abordagem algébrica dos operadores morfológicos como reticulado
completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Análise binária e reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Álgebra de Boole das funções binárias . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Relação de ordem e reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4 A estrutura dos operadores elementares da morfologia
matemática sobre0,1E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Morfologia matemática para imagens em níveis de cinza . . . . . . . . . 24
iv
SUMÁRIO v
2.3.1 Os operadores elementares da morfologia matemática para
imagens em tons de cinza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Outros operadores morfológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Uma Abordagem da Matemática Intervalar 28
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Análise intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Definições básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1 Aritmética intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.2 Propriedades da aritmética intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.3 Relações de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Processamento de Imagens Digitais Intervalares 36
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Operações lógicas-aritméticas entrepixelsintervalares . . . . . . . . . . 38
5 Morfologia para imagens binárias intervalares 43
5.1 Construção do espaço algébricoΩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Imagens binárias contendo incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.1 Operações básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Operações derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4.1 Operadores sobre imagens binárias intervalares . . . . . . . . . . 55
5.4.2 Translação, reflexão e invariança por translação . . . . . . . . . . 58
5.4.3 Operações de Minkowiski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4.4 Conclusão do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Um Modelo Intervalar para Imagens em Níveis de Cinza 66
6.1 Construção do espaço algébrico para imagens intervalares em escala de
cinzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 O reticulado completo das imagens sobreΩN . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2.1 Imagens intervalares em escala de cinzas . . . . . . . . . . . . . 74
SUMÁRIO vi
6.3 Operações morfológicas para imagens intervalars em níveis de cinza . . . 77
6.3.1 Operações básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares em níveis de cinzas . 79
6.3.3 Outros operadores morfológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3.4 Potenciais aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3.5 Consclusão sobre o capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7 Considerações Finais 98
7.1 Principais contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.1.1 Na matemática intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.1.2 Na morfologia matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3 Conclusão final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.4 Trabalhos Aceitos e submetidos em Eventos Científicos e Revistas
Científicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Lista de Figuras
2.1 Operações de translação e reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Operações de soma e subtração de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Exemplo de elementos estruturante em uma imagem binária . . . . . . . 11
2.4 Efeitos da dilatação e da erosão em uma imagem binária . . . . . . . . . 12
2.5 Efeitos da operação de abertura em uma imagem binária . . . . . . . . . 13
2.6 Efeitos da operação de fechamento em uma imagem binária . . . . . . . . 14
2.7 Exemplo de uma operação de gradiente morfológico em imagem binária . 14
2.8 Exemplo de filtragem morfológica em uma imagem binária . . . . . . . . 15
2.9 Exemplo de uma operaçãohit-or-miss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10 Exemplo de uma operação de extração de contorno em uma imagem binária 16
2.11 Exemplo de esqueletos binários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.12 Uma imagem binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.13 Gráfico de uma função binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.14 Representação de uma imagem binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.15 Imagem da Lena e os efeitos causados pelos operadores de dilatação e
erosão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 N⊆ Z⊆Q⊆ R⊆ IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Par ordenado intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Representação geométrica da interseção emR . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Representação geométrica da união emR . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1 Imagem média da Lena disjunta com uma imagem constante. . . . . . . . 41
4.2 Imagem média da Lena conjunta com uma imagem constante. . . . . . . 41
vii
LISTA DE FIGURAS viii
4.3 Imagem da Lena original e negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1 Imagem Binarizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Operações básicas e algumas operações derivadas sobre imagens binárias
intervalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Operações Morfológicas para imagens binárias intervalares intervalares . 64
6.1 Imagens apresentando um processo de segmentação em uma mama
com suspeito de nódulo canceroso. (a) Imagem original, (b) imagem
binarizada e (c) imagem segmentada com o nódulo destacado. . . . . . . 67
6.2 Estrutura do reticuladoΩN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3 Uma função intervalar com uma translação horizontal. . . . . . . . . . . 80
6.4 Uma função intervalar com uma translação vertical. . . . . . . . . . . . . 80
6.5 Uma função intervalar com uma translação morfológica. . . . . . . . . . 81
6.6 Imagem representada por uma funçãoF e por uma função estruranteG . . 89
6.7 Dilatação intervalar deF pela função estruranteG . . . . . . . . . . . . . 91
6.8 Erosão intervalar deF pela função estruranteG . . . . . . . . . . . . . . 93
ix
Lista de Símbolos
N Conjunto dos números naturais
∀ Para todo
∃ Existe
N Conjunto dos números naturais
N+ Conjunto dos números naturais positivos
Z Conjunto dos números inteiros
Q Conjunto dos números racionais
R Conjunto dos números reais
R+ Conjunto dos números reais positivos
Rn Conjunto dos números reais no espaçon
IR Conjunto dos intervalos reais
IN Conjunto dos intervalos naturais
xi Elementox da posiçãoi de uma sequência
ai j Elemento de uma matriz na posiçãoi relativo a linha ej
relativo a coluna
A = [a1,a2] Intervalo de extremosa1 ea2
A = (a1,a2) Par ordenadoA de abscissaa1 e ordenadaa2
maxX Maior elemento do conjuntoX
minX Menor elemento do conjuntoX
∨(F) Supremo de uma função
∧(F) ínfimo de uma função
LISTA DE SÍMBOLOS x
⊇ Subconjunto, contém ou igual
v Relação de ordem do domínio contínuo real
∈ Pertence
6∈ Não pertence⋃União⋂Interseção
A⋃
B União convexa
≤ Menor ou igual
≥ Maior ou igual
≤KM Menor ou igual na ordem de Kulisch-Miranker
menor ou igual na ordem parcial emC
Menor ou igual na ordem da aproximação
dist Distância entre intervalos
| A | Módulo do intervaloA
diam Diâmetro de um intervalo
med Ponto médio de um intervalo
ℜ Relação binária entre intervalos
f : R→ R Funçãof cujo domínio e contra-domínio é conjunto dos
números reais
F : IR→ IR Função intervalarF cujo domínio e contra-domínio é o
conjunto dos intervalos reais
LISTA DE SÍMBOLOS xi
Imd Imagem média
∨ Disjunção
∧ Conjunção
Ω Conjunto de valores
ΩN Conjunto finito de valores intervalares
ΩE Conjunto das funções que representam imagens binárias intervalares
ΩEN Conjunto das funções que representam imagens intervalares em níveis de cinza
⊕ Operador de dilatação
Operador de erosão
+ Soma limitada
− Diferença limitada
> Maior elemento
⊥ Menor elemento
RESUMO xii
Resumo
Este trabalho apresenta uma abordagem intervalar para lidar com imagens que
contêm incertezas, bem como tratar essas incertezas através de operações morfológicas.
Foram apresentado dois modelos intervalares. Para o primeiro, é introduzido um
espaço algébrico com três valores que foi construído com base na lógica tri-valorada de
Lukasiewiecz. Com essa estrutura algébrica, introduz-se a teoria das imagens binárias
intervalares, que estende o modelo clássico binário, com a inclusão da informação de
incerteza. A mesma pode ser aplicada para representar imagens binárias com incerteza em
certospixels, que foi originada, por exemplo, durante o processo da aquisição da imagem.
A estrutura reticular dessas imagens permite a definição de operadores morfológicos, onde
as incertezas são tratadas localmente. O segundo modelo, estende o modelo clássico para
imagens em níveis de cinza, onde as funções que representam essas imagens são mapeadas
em um conjunto finito de valores intervalares. A estrutura algébrica desse conjunto
pertence a classe dos reticulados completos, o que permite a definição dos operadores
elementares da morfologia matemática, dilatação e erosão para essas imagens. Dessa
forma, fica estabelecida uma teoria intervalar aplicada à morfologia matemática para tratar
problemas de incertezas em imagens.
ABSTRACT xiii
Abstract
This work present a interval approach to deal with images with that contain
uncertainties, as well, as treating these uncertainties through morphologic operations. Had
been presented two intervals models. For the first, is introduced an algebraic space with
three values, that was constructed based in the tri-valorada logic of Lukasiewiecz. With
this algebraic structure, the theory of the interval binary images, that extends the classic
binary model with the inclusion of the uncertainty information, was introduced. The
same one can be applied to represent certain binary images with uncertainty in pixels,
that it was originated, for example, during the process of the acquisition of the image.
The lattice structure of these images, allow the definition of the morphologic operators,
where the uncertainties are treated locally. The second model, extend the classic model
to the images in gray levels, where the functions that represent these images are mapping
in a finite set of interval values. The algebraic structure belong the complete lattices
class, what also it allow the definition of the elementary operators of the mathematical
morphology, dilation and erosion for this images. Thus, it is established a interval theory
applied to the mathematical morphology to deal with problems of uncertainties in images.
Capítulo 1
Introdução
A área de processamento de imagens digitais está evoluindo continuamente, e a cada
dia surgem novas técnicas cada vez mais sofisticadas para a análise de imagens digitais.
Estudos mais avançados desta área inicialmente foram direcionados para o processamento
de imagens espaciais, porém as pesquisas foram se estendendo e hoje atinge as mais
diversas áreas do mundo científico. Durante os últimos anos tem havido um aumento
crescente no nível de interesse desta área, voltada para morfologia matemática, redes
neurais, lógica fuzzy entre outras. Alguns trabalhos de processamento de imagens, entre
livros e artigos que serviram de fontes de pesquisa nesse trabalho, podem ser encontrados
em [20, 35, 45, 57]
Uma das questões ao longo dos anos, que tem sido aprimorada no processamento de
imagens digitais, são a ocorrência de erros decorrentes de alguma(s) etapas do processo de
análise de imagens. Várias metodologias vem sendo usadas para o controle desses erros,
uma delas é através da teoriafuzzyque de um modo geral lida com esse tipo de problema.
Existe uma ampla literatura que aborda a teoriafuzzye o processamento de imagens,
incluindo morfologia matemática. Algumas dessas abordagens podem ser encontradas
em([16, 22]). Outras são através dewavelets([23]) e também de modelos de distribuição
probabilístico tal como, processo estocástico [39, 70]. Podemos citar por exemplo, um
estudo relativo à avaliação de imagens para diagnósticos específicos, como no caso de uma
imagem médica ou simplesmente uma região em um mapa onde existe a necessidade de
exatidão, uma vez que certeza é um fator fundamental nestes casos. Os diversos trabalhos
nesta área têm como objetivo a melhoria da informação visual para a interpretação do
1
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2
especialista, bem como, para o melhor processamento de dados de cenas para a percepção
automática através de máquinas.
O processamento de imagens digitais envolve operações computacionais que capturam
uma imagem real e a discretiza espacialmente em uma matriz depixel. Os erros numéricos
ocorrem com facilidade, uma vez que, diversos fatores influenciam na aquisição da
imagem como a iluminação, reflectância dos objetos e capacidade limitada ao aparelho de
captura. As imagens intervalares possibilitam um controle maior da informação. Alguns
trabalhos destacam-se na área de processamento de imagens digitais, dentre eles citam-
se [32, 34, 52, 69], nos quais constatou-se que foram realizadas importantes abordagens
e algumas aplicações para a processamento de imagens digitais usando a lógicafuzzy,
redes neurais e morfologiafuzzy. Pode-se citar por exemplo, o desenvolvimento de
filtros fuzzye a extensão de algumas redes neurais para a utilização da lógicafuzzy
em aplicações em clusterização de imagens [52]. Algumas aplicações da lógicafuzzy
utilizadas no processamento de imagens digitais incluindo morfologia matemática podem
ser vistas em [53] e [1]. Outras referências sobre a teoriafuzzypodem ser encontradas em
[10, 42, 49, 69].
A morfologia matemática é uma das áreas de destaque do processamento de
imagens com inúmeras práticas de análise de imagens, tais como: filtragens de ruídos,
reconhecimento e classificação de padrões, segmentação, reconstrução, extração de
objetos de interesse, etc. Introduzida na década de 60 por Jean Serra e George Matheron
na Ècole Nationale Superiéure des Mines de Paris [46? ], através da morfologia
matemática é possível se fazer transformações entre reticulados completos, os quais são
chamados de operadores morfológicos. Inicialmente foi construída para imagens binárias
com base na teoria dos conjuntos onde foram introduzidos os operadores elementares
dilatação e erosão. Alguns anos depois, na década de 80, Serra e Matheron, pecebendo
uma série de características interessantes destes operadores, formalizaram a teoria para o
dominio dos reticulados completos. Essa formalização levou a ampliação e generalização
da área para imagens em escala de cinzas e depois também para imagens a cores.
Importantes trabalhos sobre morfologia matemática que apresentam abordagens teóricas,
modelos e importantes aplicações, podem ser vistos em [24, 25, 41, 63].
A matemática intervalar é uma teoria originada na década de 60 [60] com o objetivo
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3
de tratar questões de exatidão e eficiência que surgem na prática da computação científica
e na resolução de problemas numéricos. Moore apresentou uma arimetica para intervalos,
com base na aritmética dos reais. A matemática intervalar se apresenta como uma
ferramenta poderosa para a análise e controle de erros em computação científica. Pela
sua natureza de tratar os números não mais como entes pontuais, mas como intervalos
que encapsulam estes números, é possível, de uma forma segura, armazenar os dados
físicos através de uma medida provável e um possível porcentual de erro associado.
Isto faz com que, ao final do processo matemático-computacional, se tenha uma
estimativa da influência destes erros de entrada no resultado final obtido. Existem um
número significativo de trabalhos desenvolvidos nesta área, dentre eles pode-se citar:
[12, 13, 17, 51, 56]
Atualmente, a matemática intervalar ultrapassou as fronteiras das aplicações
numéricas, sendo muito utilizada para aplicações no tratamento e modelagem da
incerteza em computação, no processamento de informaçõesfuzzy, na teoria de controle,
na inteligência artificial, representação do conhecimento, redes, computação gráfica,
processamento de imagens e diversas outras aplicações em ciência e tecnologia que
lidam com dados incertos. [38, 59]. Pode-se dizer que a computação intervalar tem
sido bem sucedida em aplicações em áreas como engenharia elétrica, física, engenharia
química, localização de depósitos de minerais e petróleo, estimação de erros em
sistemas de laser, engenharia da computação, no controle da mobilidade de robôs,
cálculo da relação profundidade-pressão em reservatórios, modelagem geométrica e
Sistema multiresolucional. Pode-se citar, por exemplo, trabalhos recentes tais como, o
desenvolvido por Grigoletti e Dimuro em [55] que apresentou umsoftwarepara a análise
de circuitos elétricos baseado na filosofia desoftwarelivre e na Matemática Intervalar.
Este é capaz de automaticamente avaliar a influência das tolerâncias dos valores nominais
dos resistores sobre as tensões nodais do circuito elétrico.
Neste trabalho, será apresentada uma fundamentação matemática para lidar com
incertezas em imagens, bem como tratar essas incertezas através de operações
morfológicas. Para essa abordagem, serão introduzidos dois modelos intervalares. Para
o primeiro modelo, foi introduzido um espaço algébrico representado por um conjunto
de três valores construído com base na lógica tri-valorada de Lukasiewiecz. Com essa
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4
estrutura algébrica, introduz-se a teoria das imagens binárias intervalares, que estende
o modelo clássico binário, com a inclusão da informação de incerteza. A estrutura
reticular dessas imagens permitiu definir os operadores morfológicos, onde as incertezas
são tratadas localmente. O segundo modelo, estende o modelo clássico de imagens em
níveis de cinza, onde as funções que representam essas imagens são mapeadas em um
conjunto finito de valores intervalares. A estrutura algébrica desse conjunto pertence a
classe dos reticulados [37], o que também permitiu definir os operadores elementares
da morfologia matemática, dilatação e erosão. A teoria, será baseada na matemática
intervalar, ou seja, apresenta-se uma generalização da teoria da morfologia clássica para
a teoria intervalar, onde ao invés de lidar com imagens de valores pontuais (pixels),
lida-se com valores (pixels) intervalares. Dessa forma, será mostrado que, os modelos
intervalares apresentados, satisfazem as propriedades fundamentais para a introdução dos
operadores morfológicas nessa ótica.
O principal objetivo do uso de intervalos será lidar com questões de incertezas em
pixels de imagens. Esses problemas em geral ocorrem principalmente por causa dos erros
durante a aquisição ou processo de discretização da imagem original (contínua) para a
imagem digital (discreta). Tais erros, na maioria das vezes, conduzem a incertezas com
relação à intensidade do brilho depixels da imagem levando a importantes perdas de
informações.
Como trabalhos mais recentes, algumas pesquisas foram feitas envolvendo
matemática intervalar e processamento de imagens. Kearfott e Kreinovch em [33]
apresentam uma abordagem sobre o uso de métodos intervalares em sistemas de multi-
resolução. Naquele trabalho é mostrado que a estimativa do erro quando são tomadas
aproximações de imagens de baixa resolução podem ser controladas por métodos
intervalares. Uma outra importante contribuição nessa linha pode ser encontrada em
[4] onde Lyra, desenvolve "Uma Fundamentação Matemática para o Processamento de
Imagens Digitais Intervalares".
Nesta discertação, apresentam-se diversos conceitos fundamentais da área de
processamento de imagens, dentro da ótica intervalar, inclusive como captar uma imagem
digital intervalar a partir de uma imagem real. Um dos mais recentes trabalhos nessa
direção, foi desenvolvido por Takahashi et all em [6], que apresentou uma aplicação
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 5
de um método de segmentação de imagens em mamas densas, usando imagens digitais
intervalares. Para lidar com problemas de incerteza pesquisadores da área de morfologia
matemática tem feito uso de métodos através da teoriafuzzy. Existem diversas abordagens
sobre essa teoria em operações morfológicas [10, 29]. Esse trabalho tem similaridade
com a teoriafuzzy, pois também lida com indecisões ou imprecisões em determinadas
regiões de uma imagem. Tanto a teoriafuzzy, quanto a teoria intervalar, são ferramentas
usadas para tratar as incertezas e otimização de erros computacionais. Entretanto, esta é a
primeira abordagem que relaciona as duas áreas: morfolologia matemática e matemática
intervalar e, obviamente o objetivo é introduzir um modelo intervalar que permita estimar
erros com a melhor precisão possível.
As imagens intervalares possibilitam um controle maior da informação, subsidiando
melhor ao especialista nas tomadas de decisões, por exemplo, buscar em uma imagem
intervalar de um mamograma regiões fundamentais, como uma área suspeita de existência
de nódulo canceroso. Neste caso, o especialista vai poder obter informações (intervalares),
visualizar e decidir, de forma que garanta um diagnóstico mais preciso sobre o grau
gravidade do caso.
A contribuição científica desse trabalho é oferecer uma abordagem teórica ao
mundo científico em que são integradas duas importantes áreas: Morfologia Matemática
e Matemática Intervalar, que permita tratar com problemas das incertezas que
frequentemente aparecem no tratamento de imagens. Será oferecido então, mais
uma ferramenta de controle de erros computacionais, abrindo caminho para o estudo
prático dos novos modelos, bem como, a obtenção de um maior controle nas variações
decorrentes de fatores que levam as incertezas. Será dado ênfase aos conceitos oriundos
da matemática intervalar, herdando a característica desta abordagem, que é o controle do
erro computacional, que poderá advir de ruídos, do processo de aquisição, digitalização,
bem como, processos de filtragens, processos de segmentação, ou de algum outro que são
utilizados no processamento de imagens morflogicamente.
Esta discertação está dividida em sete capítulos descritos a seguir:
Capítulo 1. Introdução.
Capítulo 2. Uma abordagem da morfologia matemática clássica:Neste capítulo,
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 6
serão apresentados os principais conceitos clássicos dessa teoria, tanto para as
imagens binárias quanto para imagens em tons de cinza, apresentando inclusive
algumas técnicas e aplicações usando os operadores morfológicos.
Capítulo 3. Uma abordagem da matemática intervalar: Para esse capítulo, serão
apresentados os principais conceitos da matemática intervalar que nortearão o
desenvolvimento desta tese, tais como a arimética de Moore e algumas propriedades
algébricas desta teoria que serão de fundamental importância no desenvolvimento
do modelo aqui proposto.
Capítulo 4. O processamento de imagens digitais intervalares:Aqui, apresenta-se
uma noção da abordagem feita por Lyra (e colaboradores), onde ele introduz uma
abordagem matemática de conceitos fundamentais do processamento de imagens
que foram redefinidos sob uma nova visão: a visão intervalar.
Capítulo 5. Um modelo intervalar para lidar com incertezas entre dois pixels de
imagens: Neste capítulo, será introduzido o primeiro resultado modelo intervalar
para um conjuto de três elementos, com o objetivo de lidar localmente com as
questões de incertezas em imagens.
Capítulo 6. Um modelo intervalar para imagens em escala de cinzas: Neste capítulo,
apresenta-se uma abordagem mais geral, que estende o modelo apresentado no
Capítulo 5. Em outras palavras, introduz-se uma teoria intervalar para lidar com
questões de incertezas, em um sentido mais amplo no caso de tons de cinza, ou
seja, considera-se um conjunto que engloba valores de tons de cinza para conjuntos
finitos.
Capítulo 7. Considerações finais.
Capítulo 2
Uma Abordagem da Morfologia
Matemática Clássica
Uma forma elegante de resolver problemas de processamento de imagens é através da
utilização de uma base teórica consistente. Uma destas teorias é a morfologia matemática.
Esta teoria diz que é possível fazer transformações entre reticulados completos, os
quais são chamados de operadores morfológicos. Na morfologia matemática existem
quatro classes básicas de operadores: dilatação, erosão, anti-dilatação e anti-erosão,
chamadas de operadores elementares. Banon e Barrera em [36] provaram que todos os
operadores morfológicos, no caso binário, invariantes por translação podem ser obtidos
a partir de combinações de operadores elementares juntamente com as operações de
união e intersecção. Usando estes operadores elementares é possível construir uma
linguagem formal, a linguagem morfológica, e sua implementação é chamada máquina
morfológica. Um exemplo de uma máquina morfológica é a MMach ([25]). Neste
capítulo apresentaremos alguns conceitos básicos da morfologia matemática clássica.
Morfologia Matemática pode ser descrita como uma ferramenta para extração de
componentes de uma imagem digital que sejam úteis na representação e descrição da
forma de uma região, como por exemplo, detecção de bordas. Outro aspecto do uso das
técnicas morfológicas está no pré e pós processamento de imagens, como filtragem. As
operações morfológicas elementares, a dilatação e a erosão, foram introduzidos a partir
das noções de soma e subtração de Minkowski. Inicialmente as transformações foram
produzidas para imagens binárias (i.e. cujospixels podem tomar apenas os valores 0
7
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA8
ou 1) pelas dilatações e erosões e dependem de padrões predefinidos que são chamados
elementos estruturantes, que as sondam localmente. Na dilatação, verifica-se quando o
elemento estruturante toca o objeto (i.e., ospixels da imagem binária que têm o valor
1) e na erosão, quando ele está contido. De acordo com a definição desses operadores,
obtem-se como resultado, uma imagem transformada. As bases teóricas da morfologia
matemática para subconjuntos foram formalizadas pelos próprios Serra e Matheron, que
estudando as dilatações e erosões, descobriram uma coleção de propriedades e chegaram
a um resultado bastante interessante: "qualquer operador invariante por translação e
isotônico ou crescente (i.e., que preserva a relação de inclusão) pode ser decomposto
como um supremo de erosões ou ínfimo de dilatações. Em outros palavras, as dilatações
e erosões são os elementos fundamentais para construir uma ampla classe de operadores".
A morfologia matemática tem se mostrado útil na extração de componentes da
imagem na representação e descrição da forma da região, tais como: extração do
contorno, esqueletos morfológicos, fecho convexo, filtragem morfológica, afinamento,
espessamento, etc.
Conjuntos em morfologia matemática representam objetos em uma imagem. O
elemento do conjunto é a coordenada(x,y) do pixel que pertence ao objeto do espaço
discreto Z2. A Morfologia matemática consiste em extrair informações relativas à
geometria e à topologia de um conjunto desconhecido de uma imagem, a partir de
transformações de formas, realizadas através dos operadores dilatação e erosão. A
dilatação faz com que os objetos dilatem ou aumentem de tamanho. A erosão faz com
que eles encolham. A quantidade e maneira como eles aumentam ou encolhem depende
da escolha do "elemento estruturante". No caso das imagens binárias, a morfologia
matemática pode ser definida como sendo um conjunto básico de operações que são
utilizadas para transformar a estrutura geométrica de uma imagem.
2.1 Morfologia matemática para imagens binária
Nesta seção apresentaremos os principais conceitos da morfologia matemática para
imagens binárias, iniciando com algumas definições básicas da teoria dos conjuntos.
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA9
2.1.1 Conceitos básicos da teoria dos conjuntos
SejamA e B dois conjuntos, cujos componentes são pares ordenados dados por
a = (a1,a2) eb = (b1,b2), respectivamente.
A somaé dada por:A+B = (a1 +b1,a2 +b2)
A diferençaé dada porA−B = (a1−b1,a2−b2).
A translaçãodeA porx = (x1,x2), é definida como:(A)x = c|c = a+x,∀a∈ A
A reflexãoé definida porB = x|x =−b,∀a∈ B
O complementodo conjuntoA é definida por:Ac = x|x 6∈ A
A Figura 2.1 mostra duas importantes operações básicas sobre conjuntos que serão
utilizada nesse trabalho.
Figura 2.1: Operações de translação e reflexão
2.1.2 As operações de Minkowski
A adição de Minkowski baseada na teoria dos conjuntos foi proposta por Minkowski
(1903) para caracterizar medidas integrais de certos conjuntos esparsos. A adição de
Minkowski pode ser definida como a seguir [25].
Seja E o conjunto de pares ordenados tal queE = Z× Z e SejamA e B dois
subconjuntos deE.
A soma de Minkowskié definida por:
A+B = x∈ E|∃a∈ A,∃b∈ B|x = a+b (2.1.1)
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA10
Ou equivalentemente
A⊕B =⋃b∈B
(A+b) (2.1.2)
E a subtração de Minkowskié definida por:
A−B = x∈ E|∀b∈ B,∃a∈ A : x = a−b (2.1.3)
Ou equivalentemente
AB =⋂b∈B
(A−b) (2.1.4)
A Figura 2.2 (extraída de [25]) mostra exemplos da soma e subtração de Minkowski
respectivamente.
Figura 2.2: Operações de soma e subtração de Minkowski
2.1.3 Os operadores elementares da morfologia matemática
As transformações sobre imagens binárias, fazendo uso das dilatações e erosões
dependem de padrões predefinidos (forma e tamanho), denominados elementos
estruturantes, que são comparados ao conjunto desconhecido da imagem. O resultado
desta transformação permite avaliar tal conjunto.O elemento estruturante é um
conjunto pre-definido. O seu formato e tamanho possibilitam testar e quantificar de que
maneira ele está ou não está contido na imagem. Na Figura 2.3 tem-se um exemplos de
elementos estruturantes em imagem binária. Marcando os resultados das posições onde o
elemento estruturante inclui-se na imagem, temos uma primeira resposta sobre a estrutura
geométrica dessa imagem. Mudando o elemento estruturante, tem-se outras respostas
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA11
sobre a estrutura geométrica da imagem. O tipo e a natureza da informação extraída
depende necessariamente do tipo do elemento estruturante e do tipo da imagem estudada.
Por exemplo, a natureza bordas quadradas e desejamos obter bordas arredondadas. Nesse
caso, escolhe-se um elemento estruturante na forma circular.
Figura 2.3: Exemplo de elementos estruturante em uma imagem binária
SejaE = Z×Z, uma grade definida no espaço Euclidiano bidimensional eA e B
subconjuntos deE, a operação de dilatação é definida por
A⊕B = x|Bx∩A 6= φ (2.1.5)
Ou
A⊕B = x|[Bx∩A]⊆ A (2.1.6)
A erosão é definida por
AB = x|(B)x⊆ A (2.1.7)
Em termos da soma e subtração de Minkowski, as operações de dilatação e erosão são
definidas respectivamente por
A⊕B = x∈ E|x = a+b,a∈ A,b∈ B (2.1.8)
AB = x∈ E|x+b∈ A∀b∈ B (2.1.9)
Ou equivalentemente por
A⊕B =⋃b∈B
(A+b) (2.1.10)
AB =⋂b∈B
(A−b) (2.1.11)
Os principais efeitos da dilatação e da erosão são: a dilatação expande uma imagem,
enquanto a erosão a encolhe, como mostra a Figura 2.4
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA12
Figura 2.4: Efeitos da dilatação e da erosão em uma imagem binária
2.1.4 Outros operadores morfológicos
Os operadores dilatação e erosão, aplicados isoladamente, são transformações que
nem sempre evidenciam características das imagens, mas permitem construir algumas
funções muito interessantes, como por exemplo, o fechamento, a abertura, o gradiente
morfológico entre outros.
Abertura
É uma operação que consiste em aplicar-se uma erosão seguida de dilatação. A abertura
de um conjunto, denotadaAB, é definida como:
AB = (AB)⊕B (2.1.12)
A operação de abertura tem como principais efeitos:
• Separar objetos muito próximos em uma imagem, ou seja, criar espaços (aberturas)
entre objetos na imagem;
• Eliminar ruídos (pixels negros aleatoriamente espalhados em toda a imagem);
• Regularizar os contornos e eliminar pequenas "ilhas"e "cabos"estreitos de uma
imagem binária;
A Figura 2.5 apresenta um exemplo de um procedimento de abertura em uma imagem
binária. Note que, o objetivo é eliminar um cabo estreito para separar a imagem em duas
partes. Além disso, como o elemento estruturante tem a forma circular, o resultado é
uma imagem com as bordas arredondadas. A figura é descrita do seguinte modo: (a)
imagem original; (b) Aplicação da erosão com elemento estrurante circular; (c) Imagem
resultante da erosão; (d) Aplicação da dilatação sob a imagem (c), com o mesmo elemento
estruturante; (e) Imagem resultante obtida por abertura.
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA13
Figura 2.5: Efeitos da operação de abertura em uma imagem binária
Fechamento
É uma operação que consiste em aplicar-se uma dilatação seguida por erosão. O
fechamento, é definido como:
A•B = (A⊕B)B (2.1.13)
A operação de fechamento tem como principais efeitos:
• Eliminar espaços entre objetos em uma imagem;
• Eliminar falhas dentro dos objetos da imagem (pixelsbrancos em um objeto negro,
por exemplo);
• Suavizar as bordas de um objeto na imagem.
• Suprimir pequenos "lagos"e "canais"estreitos em uma imagem
Utilizando-se a mesma imagem e o mesmo elemento estruturante do exemplo anterior,
a Figura 2.6 mostra uma operação de fechamento, no caso, o objetivo é a eliminação de
uma fenda. A figura é descrita do seguinte modo: (a) imagem original; (b) Aplicação da
dilatação; (c) Imagem resultante da dilatação; (d) Aplicação da erosão sob a imagem (c);
(e) Imagem resultante obtida por fechamento.
Gradiente Morfológico
O gradiente morfológico é uma operação frequentemente utilizada para obtenção de
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA14
Figura 2.6: Efeitos da operação de fechamento em uma imagem binária
contorno de objetos em figuras binárias e realçar o contorno de objetos em imagens em
tons de cinza. Essa operação é composta de três operações: erosão, dilatação e subtração
e é definido como sendo a diferença entre a dilatação e a erosão.
Grad(A) = (A⊕B)− (AB) (2.1.14)
A Figura 2.7 mostra um exemplo
Figura 2.7: Exemplo de uma operação de gradiente morfológico em imagem binária
Filtros Morfológicos
Exploram propriedades geométricas dos sinais. As máscaras são os elementos
estruturantes que apresentam valores 0 ou 1 na matriz que correspondem ao pixel
considerado. Os filtros morfológicos básicos são: filtro da mediana, erosão e dilatação. O
processo de filtragem são sequências de operações de abertura e fechamento. A Figura 2.8
apresenta um exemplo de filtragem morfológica para imagem binária usando operadores
de abertura e fechamento.
Operador Hit-or-Miss
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA15
Figura 2.8: Exemplo de filtragem morfológica em uma imagem binária
É possível combinar erosão e dilatação para produzir um operador que tem uma ação
como esta: acerto e erro (folga). O operador leva dois elementos, o primeiro é o acerto e
o outro é o erro. O operador é definido por
A⊗B = (AB1)∩ (Ac⊕B2) (2.1.15)
ondeA é a imagem original eB1 e B2 são os elementos estrurantes. A Figura 2.9 mostra
uma aplicação do operadorhit-or-miss.
Figura 2.9: Exemplo de uma operaçãohit-or-miss
Extração de FronteirasA fronteira de um conjunto A, denotadoβ(A) pode ser obtida
como segue
β(A) = A− (AB) (2.1.16)
A figura 2.10 mostra um exemplo de uma extração de bordas.
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA16
Figura 2.10: Exemplo de uma operação de extração de contorno em uma imagem binária
2.1.5 Algumas importantes aplicações das operações morfológicas
binárias
A principal aplicação de morfologia, no caso de imagens binárias, é a extração de
componentes da imagem que sejam úteis na representação e na descrição de formas.
Algoritmos que fazem o afinamento, o espessamento, a extração de fronteiras e o
esqueleto de uma região, entre outros, são bastante úteis nesse expediente. O afinamento
visa remover ospixelsde um grupo de componentes conectados, até restar apenas um
estreito conjunto. Pode ser definido em função da transformadaHit-or-miss.
Outra importante aplicação para a representação estrutural da forma de um objeto
consiste na obtenção do seuesqueletoatravés do algoritmo de afinamento. Em vez de
bordas pode-se extrair seu eixo medial, que são linhas finas que condensam a informação
original enquanto se tenta preservar a homotopia dos objetos. Esse processo é bastante
utilizado em problemas de inspeção automática de circuitos impressos, e também bastante
útil na segmentação morfológica.
Existem duas formas de esqueletização. Lantuejoul ([19]) definiu um tipo particular
de esqueleto, usando transformações da morfologia matemática, para aplicações na
compressão de dados, com a intenção de que o objeto original pudesse ser reconstruído
a partir do seu esqueleto. Este tipo de esqueleto também tem aplicações úteis para a
representação e o reconhecimento de objetos. O esqueleto pode ser definido como uma
sucessão de operações de erosão dados por
S(A) =n⋃
k=0
Sk(A) (2.1.17)
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA17
OndeSk(A) é dado por
Sk(A) = (AkB)− (AkB)B (2.1.18)
ondek = 1,2, ...n. A Figura 2.11, mostra um exemplo de esqueleto binário.
Figura 2.11: Exemplo de esqueletos binários
2.2 Abordagem algébrica dos operadores morfológicos
como reticulado completo
Nesta seção será feita uma abordagem algébrica dos operadores morfológicos como
reticulado completo, que foi desenvolvida por Banon e Barrera em [25]. A estrutura
algébrica desses operadores morfológicos como reticulados, foi introduzida no início da
década de 80 pelos criadores Matheron e Serra que, a partir daí mudaram os rumos da
teoria.
Antes de apresentar a estrutura dos reticulados e dos operadores morfológicos nesse
domínio, será feita uma breve introdução de análise das imagens binárias.
2.2.1 Análise binária e reticulados
Seja E um conjunto não vazio. As imagens binárias podem ser representadas por
subconjuntos, ou equivalentemente, por funções binárias. SejaX um subconjunto deE e
℘(E) a coleção de todos os subconjuntos deE, então,X ∈℘(E). A figura 2.12 mostra a
representação de uma imagem binária em uma gradeE (ou conjunto de pixels).
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA18
Figura 2.12: Uma imagem binária
Definição 2.2.1Uma função binária é definida e denotada por f: E → 0,1, isto é,
para cada valor de E a função toma valor0 ou 1. Sendo0,1E o conjunto de todas as
funções binárias, então f∈ 0,1E.
A Figura 2.13 mostra o gráfico de uma função binária. Observe que o gráfico é formado
pelo conjunto de pontos da forma(x, f (x)).
Figura 2.13: Gráfico de uma função binária
Observe tambem na Figura 2.13 que a representação por uma função binária a
imagem, é assimilada à função binária que toma o valor 0, nos elementosx de E que
representam a posição dospixelspretos e o valor 1, nos elementosx deE que representam
a posição dospixelsbrancos. A função bináriaf é chamada de imagem e para todox em
E, o par(x, f (x)) é chamado depixel da imagemf , x é a posição dopixel e f (x) é seu
valor. A Figura 2.14, mostra a representação de uma imagem binária.
2.2.2 Álgebra de Boole das funções binárias
As operações sobre as imagens binárias são aquelas que derivam das operações usuais
sobre subconjuntos ou funções binárias. Com estas operações, as imagens têm uma
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA19
Figura 2.14: Representação de uma imagem binária
estrutura de Álgebra de Boole.
Seja0,1E o conjunto das funções binárias.〈0,1E,∨,∧,∼〉, onde∨,∧ e∼ são as
operações de união, interseção e complemento respectivamente, dadas por:
( f1∨ f2)(x) = f1(x)∨ f2(x) (2.2.1)
( f1∧ f2)(x) = f1(x)∧ f2(x) (2.2.2)
(∼ f )(x) =∼ f (x) (2.2.3)
forma uma álgebra de Boole,
Extensão das operações de união e interseção das funções Binárias
A união e a interseção de uma família dos elementosfi é o elemento de0,1E definido
respectivamente por
∨( fi)i∈I (x) =
1 , se∃i ∈ I , fi(x) = 1
0 , caso contrário(2.2.4)
∧( fi)i∈I (x) =
1 , se∀i ∈ I , fi(x) = 1
0 , caso contrário(2.2.5)
SeI for vazio então∨
fi(x)→ 0 e∧
fi(x)→ 1,∀x∈ E
2.2.3 Relação de ordem e reticulados
Um dos conceitos importantes da Morfologia matemática é o de relação de ordem
parcial. Nesta seção, será apresentado esse conceito para funções binárias, utilizando-se
a relação menor ou igual. [25]
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA20
Relação de ordem
O conjunto0,1E das funções binárias definidas emE provido da relação de ordem
"menor que"forma um conjunto parcialmente ordenado, denotado(0,1E,≤), ou seja≤
satisfaz os três axiomas: (prova em [25], pp 22)
• f (x)≤ f (x) (reflexividade)
• f (x)≤ g(x) eg(x)≤ f (x)⇒ f (x) = g(x) (anti-simetria)
• f (x)≤ g(x) eg(x)≤ h(x)⇒ f (x)≤ h(x) (transitividade)
Reticulados
Muitos conjuntos parcialmente ordenados gozam da propriedade de conterem o ínfimo e
o supremo de um par qualquer de elementos do sistema. Os reticulados por exemplo é um
deles. Essa característica dos reticulados nos permite usá-las em teorias tanto algébrica
como lógicas.
Definição 2.2.2Seja(L ,≤) uma ordem parcial e⊥,> ∈ L tal que⊥≤ x e x≤>, para
todo x∈ L . L diz-se um reticulado se para todo x,y ∈ L o conjunto x,y tem ínfimo e
supremo em L denotados por x∧y e x∨y, respectivamente. Se além disso,L satisfaz as
igualdades
x∨ (y∧z) = (x∨y)∧ (x∨z) e
x∧ (y∨z) = (x∧y)∨ (x∧z)
é ditodistributivo.
Exemplo 2.2.6
O conjunto de todas as funções reais de variável real definidos num intervalo a≤
x≤ b, parcialmente ordenados pela relação f≤ g, se e somente se f(x)≤ g(x) para
todo x∈ [a,b] é um reticulado. O supremo é a função definida por( f ∨ g)(x) =
max f (x),g(x) e o ínfimo é a função definida por( f ∧g)(x) = min f (x),g(x)
•• O conjunto de todos os subespaços de um espaço vetorial parcialmente ordenado
pela relação de inclusão é um reticulado. O ínfimo é a interseção e o supremo é o
subespaço gerado pela união.
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA21
• Seja℘ a coleção dos subconjuntos de X, ( ou o conjunto das partes de X). Então
(℘(X),∩,∪) é um reticulado distributivo, onde∧ ≡ ∩ e∨ ≡ ∪.
Definição 2.2.3 (Reticulado Completo)Seja (L,∧,∨) um reticulado. L diz-se um
reticulado completo se todo subconjunto X⊆ L tem supremo e tem ínfimo, denotados
por∨
X e∧
X (ou supX e in f X ), respectivamente. Podemos dizer que um reticulado
completo é uma estrutura do tipo(L,∧,∨,∧
,∨
), onde∧,∨,∧
e∨
são definidos acima. L
diz-se distributivo se(∧X)∨
Y =∨
x∧y|x∈ X,Y ∈Y e(∨
X)∧Y = ∧x∧y|x∈ X,y∈Y
e (∧X)∨
Y = ∧x∧y|x∈ X,y∈Y. Em particular L deve satisfazer as equações de
distributividade com relação as operações∧ e∨.
Exemplo 2.2.7 A estrutura(℘(X),⋂
,⋃
) é um reticulado completo distributivo,
Reticulado das funções binárias
O conjunto parcialmente ordenado(0,1E,≤) das funções binárias definidas emE,
provido das operações de união e interseção, forma um reticulado completo. Em outros
termos, para todo conjunto de indicesI , estas operações verificam os dois axiomas abaixo.
Para toda família( fi)i∈I em(0,1E temos que
(∨ fi)i∈I = supFi (2.2.8)
(∧ fi)i∈I = in f Fi (2.2.9)
onde
Fi = f ∈ 0,1E|∃i ∈ I , fi = f (2.2.10)
2.2.4 A estrutura dos operadores elementares da morfologia
matemática sobre0,1E
A Morfologia Matemática estuda a decomposição de operadores entre reticulados
completos em termos de quatro classes de operadores: as dilatações, as erosões, as anti-
dilatações e as anti-erosões. Estes operadores, chamados de elementares, têm um papel
fundamental porque a partir deles é possível construir uma série de outros operadores.
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA22
No que segue, será introduzido conceitos fundamentais sobre operadores definidos na
classe pertencente ao conjunto das funções0,1E. Todos esses conceitos tiveram com
base o trabalho desenvolvido por Banon e Barrera em [25]. Por questão de simplificação
notacional, daqui para a frente o símboloT será usado sempre que necessário ao invés de
0,1E.
Definição 2.2.4(extensividade e anti-extensividade): Um operador ψ sobre T é
extensivose, e somente se, para todo f∈ T , f ≤ ψ( f ) eanti-extensivo, seψ( f )≤ f
Definição 2.2.5(idempotência): Um operador unárioψ sobreT é idempotente do tipo 1
ou de fecho se, para todo f∈T , ψ(ψ( f )) = ψ( f ) e idempotente do tipo 2 ou simplesmente
indempotente, se, para todo f∈ T , ψ(ψ( f )) = f
Definição 2.2.6(Operador isotônico): Um operdor ψ sobre T diz-se isotônico (ou
crescente) se e somente se, f,g∈ T f ≤ g⇒ ψ( f )≤ ψ(g)
Definição 2.2.7(Operador antitônico): Um operdorψ sobreT diz-se antitônico (ou
decrescente) se e somente se, f,g∈ T f ≤ g⇒ ψ(g)≤ ψ( f )
A proposição a seguir mostra definições equivalentes de um operador isotônico.
Proposição 2.2.8Sejaψ ∈ [T → T ], então para toda família de imagens fi, as tres
proposições são equivalentes:
• (1) ψ é isotônico;
• (2) Para toda família de imagens fi ⊆ T , supψ( fi)≤ ψ(sup fi)
• (3) Para toda família de imagens fi ⊆ T , ψ(in f fi)≤ in f ψ( fi
A prova dessa proposição pode ser encontrada em [25], pp 33.
A proposição a seguir apresenta definições equivalentes de um operador antitônico.
Proposição 2.2.9Sejaψ ∈ [T → T ], então para toda família de imagens fi, as três
proposições são equivalentes:
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA23
• (1) ψ é antitônico;
• (2) Para toda família de imagens fi ⊆ T , ψ(sup fi)≤ supψ( fi)
• (3) Para toda família de imagens fi ⊆ T , (ψ(in f fi)≤ ψin f ( fi)
A prova é análoga a da proposição anterior ([25], pp 33).
No que segue apresentaremos as definições das quatro classes fundamentais dos
operadores elementares da morfologia matemática que são:dilatações, erosões, anti-
dilatações e anti-erosões
Definição 2.2.10(dilatação) Um operadorψ sobreT é umadilatação se, para toda
família de imagens fi ⊆ T
ψ(sup fi) = supψ( fi)
Umaerosãose e somente se, para toda família de imagens fi ⊆ T
ψ(in f fi) = in f ψ( fi)
é umaanti-dilataçãose e somente se, para toda família de imagens fi ⊆ T
ψ(sup fi) = in f ψ( fi)
Umaanti-erosãose e somente se, para toda família de imagens ternárias fi ⊆ T
ψ(in f fi) = supψ( fi)
Proposição 2.2.11(isotonia das dilatações e erosões)as dilatações e erosões são
isotônicas.
A prova dessa proposição pode ser encontrada em [25].
Definição 2.2.12(relação de ordem dos operadores)Dado dois operadoresψ,ϕ∈ [T →
T ] e f ∈ T , define-se a seguinte relação.ψ≤ ϕ se para todo x∈ E e f ∈ T
ψ( f (x))≤ ϕ( f (x))
i.e, 〈[T → T ],≤〉 torna-se uma ordem parcial.
Proposição 2.2.13(reticulado do conjunto de operadores)O conjunto〈[T → T ],≤〉 é
um reticulado completo.
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA24
Prova O conjuntoT T = [T → T ] dos operadores sobreT provido da relação≤ forma
um conjunto parcialmente ordenado. Este conjunto munido das operações de supremo
e de ínfimo estendidas às famílias de operadores forma também um reticulado completo
(por herança do reticulado do conjunto das funções binárias). Em outras palavras, para
todo conjunto de índices I, estas operações verificam que, para toda família(Ψi)i∈I de
operadores sobreT∨i∈I Ψi( f ) = supΨi( f )∧i∈I Ψi( f ) = in f Ψi( f )
OndeΨI é a imagem de I através da família(Ψi)i∈I , i.e.,
ΨI = Ψ ∈ T T |∃〉 ∈ I ,〉() =()
A condição para um subconjunto de um reticulado completo ser um reticulado
completo, é que ele seja superiormente ou inferiormente fechado sobre o reticulado.
Segundo Banon e Barrera em [25], o conjunto das dilatações das erosões é superiormente
(inferiormente) fechado de[T → T ], portanto o conjunto das dilatações (erosões) provido
da ordem≤ é reticulado completo.
2.3 Morfologia matemática para imagens em níveis de
cinza
Na década de 80, a descoberta dos operadores morfológicos no domínio dos
reticulados completos, foi o primeiro passo para a extensão da morfologia matemática
em níveis de cinza. O uso de tons de cinza introduz complicação maior, tanto do
ponto de vista conceitual como nas implementações. Umpixel pode agora ter qualquer
valor inteiro, assim a facilidade de considerar a imagem como um conjunto desaparece.
Algumas abordagens sobre a teoria da morfologia matemática para imagens em tons de
cinza podem ser encontradas em [40, 44]
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA25
2.3.1 Os operadores elementares da morfologia matemática para
imagens em tons de cinza
Da mesma forma que imagens binária, os operadores elementares da morfologia
matemática para o caso de imagens em níveis de cinza, a dilatação e erosão
são definidos dualmente. No caso binário, apresentou-se a estrutura algébrica dos
operadores morfológicos como reticulados completos, definidos de acordo com a álgebra
das operações de Minkowiski e representados em uma grade do espaço Euclidiano
bidimensional. Para o caso de tons de cinza, estes operadores possuem uma estrutura
algébrica similar, estendido para o espaço euclidiano n-dimensional, satisfazendo
também as características de um reticulado completo. Além disso satisfazem a várias
propriedades correspondentes ao caso binário, tais como comutatividade, associatividade
e distributividade.
Nesta seção, apresentam-se as definições básicas dos operadores dilatação e erosão e
alguns dos principais operadores morfológicos tais como, abertura, fechamento, gradiente
morfológico, filtros sequenciais e transformadatop-hat.
Antes de definir estes operadores, necessita-se apresentar algumas definições básicas.
Vale salientar que os resultados e definições apresentados nesta seção são baseados nas
definições clássicas para o caso de imagens pontuais. ([27])
Na morfologia clássica, os modelos para imagens em tons de cinza são representados
matematicamente pelo mapeamentof : E → L ondeL é um reticulado completo.L é
definido por um conjunto de valores de tons de cinza que pode ser dado porR = R∪
−∞,+∞ ou Z = Z∪−∞,+∞. TambémL pode ser dado como sendo o intervalo
[0,1] ou o conjunto finito0,1, ...N, para algum∈ N
Definição 2.3.1Dados duas funções f,g∈L . As operações de supremo e de ínfimo entre
f e g, são definidas respectivamente por:
( f ∨g)(x) = f (x)∨g(x) (2.3.1)
( f ∧g)(x) = f (x)∧g(x) (2.3.2)
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA26
Definição 2.3.2 (Translação)Seja f : E → L , x,u∈ E e v∈ L , a translação horizontal
de f por u, fu : E → L é definida por fu(x) = f (x− u) e thetranslação verticalde fx
by v∈ L is defined by( f +v)(x) = f (x)+v. Quando ambas as operações são aplicadas
juntas, obtemos a translação morfológica dada por
( fu +v)(x) = f (x−u)+v (2.3.3)
Definição 2.3.3Dado uma imagem g e x∈E, Areflexãode g é definida porg(x) = g(−x)
Definição 2.3.4 (Operações de Minkowiski)Dada dois sinais f,g ∈ L . A soma e a
diferença Minkowski são definidas respectivamente por:
f g =∧u∈E
fu− g(u) (2.3.4)
f ⊕g =∨u∈E
fu +g(u) (2.3.5)
Definição 2.3.5Dada duas imagens em níveis de cinzas f e g, então
εg( f )(x) =∧u∈E
[ f (x−u)− g(u)] (2.3.6)
∆g( f )(x) =∨u∈E
[ f (x−u)+g(u)] (2.3.7)
εg( f ) = ( f g)(x) e ∆g( f ) = ( f ⊕ g)(x) são uma erosão e uma dilatação,
respectivamente. g é chamada defunção aditiva estruturante
Efeitos gerais causados pelos operadores dilatação e erosão
No caso da dilatação, se todos os valores da função estruturante são positivos, a imagem
de saída aumenta a luminosidade, em consequência, detalhes escuros ou são reduzidos ou
são eliminados, dependendo de como os seus valores e formas estão relacionados om o
elemento estruturante usado para a dilatação
No caso da erosão, se todos os elementos da função estruturante são positivos, a
imagem de saída fica mais escura, consequentemente os detalhes claros na imagem de
entrada ficam menores do que o elemento estruturante é reduzido. O grau de redução
é determinado pelos níveis de cinza dos vizinhos e pela forma e amplitude do elemento
estruturante.
A Figura 2.15 mostra imagens da Lena e os efeitos da dilatação e da erosão no caso
de imagens em níveis de cinza. Observe que a dilatação em relação a imagem original,
fica mais clara, enquanto que a erosão torna a imagem mais escura.
CAPÍTULO 2. UMA ABORDAGEM DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA CLÁSSICA27
Figura 2.15: Imagem da Lena e os efeitos causados pelos operadores de dilatação e erosão
2.3.2 Outros operadores morfológicos
Tal como o caso binário, podemos definir outras operações morfológicas para imagens
em tons de cinza onde as mais básicas são aabertura e o fechamento. Estas
operações são consideradas os filtros básicos da morfologia matemática e são definidas
respectivamente por:
f g = ( f g)⊕g (2.3.8)
f •g = ( f ⊕g)g (2.3.9)
Para extrair contornos da imagem em geral é utilizado a operação degradiente
morfológico. Esta operação envolve três operações: dilatação, erosão e subtração e é
definida por:
Grad( f ,g)(x) = ( f ⊕g)(x)− ( f G)(x) (2.3.10)
Uma outra importante operação em imagens em tons de cinza é atransformada top
hat ou chapéu mexicano. O objetivo principal dessa operação é extrair componentes com
baixo contraste em relaçao ao fundo. É importante por exemplo, para realçar detalhes da
imagem na presença de sombra. Esses filtros podem ser definidos de dois modos: claro e
escuro e são dados respectivamente pelas equações:
H(F)+(x) = f (x)− ( f g)(x) (2.3.11)
H(F)−(x) = ( f •g)(x)− f (x) (2.3.12)
O próximo capítulo, apresenta suscitamente a Matemática Intervalar e os conceitos
necessários para o desenvolvimento dessa discertação.
Capítulo 3
Uma Abordagem da Matemática
Intervalar
3.1 Introdução
A matemática intervalar busca dar suporte para resolver problemas em dois aspectos
fundamentais da computação científica: Um deles é na criação de um modelo
computacional que reflita com exatidão o controle e análise dos erros que ocorrem no
processo computacional; o outro é na escolha de técnicas de programação adequadas
para desenvolvimento de softwares científicos buscando no final do processo matemático-
computacional, uma boa estimativa da evidência dos erros de entrada. Na literatura
existem diferentes abordagens para a computabilidade nos números reais, mas, uma
importante diferença entre estas abordagens está na maneira como é representado o
número real [64].
A aritmética intervalar permite o cálculo de extremos seguros para as soluções de
um problema . Operações aritméticas com máxima precisão são necessárias para se ter
uma aritmética de alta exatidão. Elas são definidas de forma que só um arredondamento
é aplicado nas operações aritméticas básicas, resultando que o valor calculado e o
valor exato diferem por apenas um arredondamento. Uma aplicação da aritmética
intervalar poderá levar a extremos confiáveis [55]. O uso desta aritmética, aliada a
um controle rígido dos algoritmos, é objeto do atual estado da arte nesta área. Nesta
28
CAPÍTULO 3. UMA ABORDAGEM DA MATEMÁTICA INTERVALAR 29
seção serão apresentados alguns conceitos da aritmética intervalar, fundamentais para o
desenvolvimento dos principais resultados dessa tese.
3.2 Análise intervalar
A qualidade do resultado em computação científica depende do conhecimento e
controle dos erros na computação. Algoritmos convencionais, chamados algoritmos
pontuais, computam uma resposta e, algumas vezes, uma estimativa do erro. No entanto, o
usuário não pode conseguir uma resposta exata sem o auxílio de uma análise rigorosa dos
erros, o qual é extensa, dispendiosa e nem sempre viável [7]. Desta forma, a obtenção
de uma solução numérica para um problema real, aplicando os métodos numéricos
tradicionais, geralmente conduz a aproximação dos resultados. Por outro lado, técnicas
intervalares podem ser programadas em computadores de tal modo que a computação
possua uma rigorosa e completa análise do erro no resultado. Muitas vezes, para melhor
compreender como se comporta globalmente o erro durante a evolução dos cálculos
numéricos, torna-se necessário identificar qual a sua origem ou fonte.
3.3 Definições básicas
Nesta seção apresentam-se algumas definições básicas da aritmética intervalar que
foi introduzida por Moore e Sunaga paralelamente [60, 66]. Essas definições serão
importantes para esse trabalho, porque nos Capítulos 5 e 6 serão apresentados dois
modelos intervalares em imagens aplicada a morfologia matemática. A estrutura algébrica
desses modelos, requerem algumas vezes operações intervalares entre elementos de
conjuntos.
Definição 3.3.1 Intervalo de Números Reais
SejaR o conjunto dos números reais, e sejam x1,x2 ∈ R tais que x1 ≤ x2 Então,
o conjuntox ∈ R|x1 ≤ x≤ x2 é um intervalo de números reais ou simplesmente um
intervalo, e será denotado por[x1,x2].
Definição 3.3.2Conjunto dos Intervalos de Números Reais
CAPÍTULO 3. UMA ABORDAGEM DA MATEMÁTICA INTERVALAR 30
Denota-se porIR o conjunto de todos os intervalos de números reais, isto é,
IR = [x1,x2]|x1,x2 ∈ R e x1≤ x2
Os pontos do conjunto dos intervalos de números reais serão denotados usualmente
por letras latinas maiúsculas.
Neste trabalho, os intervalos são usados com a finalidade de aproximar valores
imprecisos. Neste sentido, não será utilizado a forma tradicional de representação
geométrica, visto que, neste caso, associando-se a cada extremo do intervalo um eixo
cartesiano, constrói-se uma representação cartesiana, enquanto que aqui, o intervalo está
associado a um ponto real impreciso no mesmo eixo.
Todo número realx ∈ R pode ser visto como um intervalo deIR. Para tanto, basta
identificar os pontosx ∈ R com os intervalos pontuaisX = [x,x], ondeX ∈ IR. Estes
intervalos também são chamados de intervalos degenerados ou intervalos pontuais.
Assim vale a seguinte cadeia de inclusões:
Figura 3.1:N⊆ Z⊆Q⊆ R⊆ IR
Vendo cada intervalo da reta como um conjunto, a noção de igualdade entre dois
intervalos é dada pela noção de igualdade entre conjuntos, ou seja,
A = B⇔∀x∈ A⇒ x∈ B e∀x∈ B⇒ x∈ A
Definição 3.3.3 Igualdade entre Intervalos
Sejam A= [a1,a2] e B= [b1,b2] dois intervalos de IR. Diz-se que A= B se, e somente
se,
CAPÍTULO 3. UMA ABORDAGEM DA MATEMÁTICA INTERVALAR 31
a1 = b1 e a2 = b2
Definição 3.3.4Região Intervalar
Uma região intervalar é uma porção contida em Rn cujos limites são bem definidos e
variáveis.
Definição 3.3.5Par Ordenado Intervalar
Sejam os intervalos A= [a1,a2] e B= [b1,b2]. Definimos Par ordenado(A;B) à região
intervalar ([a1,a2]; [b1,b2]) em que os intervalos A e B são denominados respectivamente
abscissa intervalar e ordenada intervalar.
Geometricamente, um par ordenado intervalar é visto como uma região intervalar no
plano, conforme podemos ver na figura 3.2.
Figura 3.2: Par ordenado intervalar
3.3.1 Aritmética intervalar
Apresentaremos agora um estudo das definições básicas de matemática intervalar,
segundo a aritmética de Moore. [8, 54, 61].
CAPÍTULO 3. UMA ABORDAGEM DA MATEMÁTICA INTERVALAR 32
Aritmética intervalar clássica
Consideremos os intervalosX = [x1,x2] eY = [y1,y2], então:
1. X +Y = [x1,x2]+ [y1,y2] = [x1 +y1,x2 +y2]
2. X−Y = [x1,x2]− [y1,y2] = [x1−y2,x2−y1]
3. X×Y = [x1,x2]× [y1,y2] = [minx1y1,x1y2,x2y1,x2y2,maxx1y1,x1y2,x2y1,x2y2]
4. 1X =
[1x2
, 1x1
]sex1 > 0 oux2 < 0
5. X÷Y = X× 1Y = [x1,x2]×
[1y2
, 1y1
], se 06∈Y
Operações de reais com intervalos:
Sejama∈ ReX = [a1,a2]. Valem:
1. a+X = [a,a]+ [a1,a2] = [a+a1,a+a2]
2. a−X = [a,a]− [a1,a2] = [a−a2,a−a1]
3. a×X = a× [a1,a2] = [a×a1,a×a2]
4. Xa = [a1,a2]
a = [a1a , a2
a ], paraa 6= 0
Nota-se que a imagem de cada uma das operações intervalares básicas é uma extensão
exata da operação real correspondente.
Teorema 3.3.6Sejam os intervalos X= [x1,x2] e Y= [y1,y2], então:
1. X +Y = r +s|r ∈ X e s∈Y
2. X−Y = r−s|r ∈ X e s∈Y
3. X×Y = [x1,x2]× [y1,y2] = r×s|r ∈ X e s∈Y
5. X÷Y = r÷s|r ∈ X e s∈Y, se0 6∈Y
Prova
A prova deste teorema pode ser vista em [66].
CAPÍTULO 3. UMA ABORDAGEM DA MATEMÁTICA INTERVALAR 33
Se a expressão intervalar for composta, não haverá necessariamente uma
correspondência exata de tais operações. Por exemplo, sef (x) = x2− x, for estendida
com elementos intervalares, temosF(X) = X2−X ouF(X) = X(X−1).
Neste caso, têm resultados diferentes, porém inclusos, ou seja, paraX = [0,1], temos:
F(X) = X2−X = [0,1]2− [0,1] = [0,1]+ [−1,0] = [−1,1]
F(X) = X(X−1) = [0,1]× ([0,1]− [1,1]) = [0,1]× [−1,0] = [−1,0]
Portanto,[−1,1] 6= [−1,0], mas[−1,0]⊆ [−1,1].
3.3.2 Propriedades da aritmética intervalar
Teorema 3.3.7A aritmética intervalar é subdistributiva no sentido que, se X,Y e Z são
intervalos, então X(Y +Z)⊆ XY+XZ [61].
Assim, embora adição e multiplicação de intervalos sejam comutativas e associativas,
não mantém a lei da distributividade. Além disso, embora os intervalos pontuais[0,0]
e [1,1] sejam identidades aditiva e multiplicativa, respectivamente, não existe inversos
aditivos e multiplicativos, isto é:
• [1,2]− [1,2] = [1,2]+ [−2,−1] = [−1,1]
• [1,2]÷ [1,2] = [1,2]×[1
2,1]=
[12,2
](α×β)×A = (α×β)× [a1,a2]
= [(α×β)×a2,(α×β)×a1] paraα×β < 0
= [α×β×a2,α×β×a1]
= α× [β×a1,β×a2] paraβ≥ 0 (inverteremos a posição deα por
β , caso contrário)
= α× (β× [a1,a2])
= α× (β×A).
Definição 3.3.8 Interseção entre dois Intervalos
Sejam A= [a1,a2] e B= [b1,b2] dois intervalos. se maxa1,b1≤mina2,b2, define-
se a interseção dos intervalos A e B como sendo o intervalo
A⋂
B = [maxa1,b1,mina2,b2],
CAPÍTULO 3. UMA ABORDAGEM DA MATEMÁTICA INTERVALAR 34
.
Exemplo 3.3.1 1. [2,5]⋂
[3,8] = [max2,3,min5,8] = [3,5]
2. [3,8]⋂
[−1,10] = [max3,−1,min8,10] = [3,8]
3. [−3,2]⋂
[2,5] = [max−3,2,min2,5] = [2,2]
A Figura 3.3 dá a interpretação geométrica da operação de interseção de intervalos na
reta real:
Figura 3.3: Representação geométrica da interseção emR
Teorema 3.3.9Propriedade da interseção
Sejam A,B,C,D ∈ IR. Se A⊆C, B⊆ D e, se A⋂
B está definido, então C⋂
D está
definido e:
A⋂
B⊆C⋂
D
A prova deste teorema pode ser vista em [54]
Exemplo 3.3.2 Sejam A= [3,5],B = [−1,4],C = [2,8] e D = [−1,6]. Assim, A⊆ C e
B⊆ D, então, A⋂
B = [3,4], C⋂
D = [2,6] e [3,4]⊆ [2,6].
Definição 3.3.10União entre dois Intervalos
Sejam A= [a1,a2] e B= [b1,b2] dois intervalos tais que A⋂
B está definido. Define-se
a união dos intervalos A e B como sendo o intervalo:
A⋃
B = [mina1,b1,maxa2,b2]
CAPÍTULO 3. UMA ABORDAGEM DA MATEMÁTICA INTERVALAR 35
Exemplo 3.3.3 1. [2,5]⋃
[3,8] = [min2,3,max5,8] = [2,8];
2. [3,8]⋃
[−1,10] = [min3,−1,max8,10] = [−1,10];
3. [−3,2]⋃
[2,5] = [min−3,2,max2,5] = [−3,5];
4. [−3,2]⋃
[3,8] = não está definido.
A figura 3.4 dá a interpretação geométrica da operação de união de intervalos na reta
real:
Figura 3.4: Representação geométrica da união emR
3.3.3 Relações de ordem
É possível definir muitas relações de ordem paciais, sobreIR. Dentre elas podemos
destacar:
Definição 3.3.11Ordem de Inclusão
Sejam X= [r,s] e Y= [t,u]. Então, X é menor ou igual a Y , representado por X≤Y,
se t≤ r e s≤ u.
Kulisch e Miranker [68], definiram a seguinte ordem:
Definição 3.3.12Ordem de Kulisch-Miranker
Seja X= [r,s] e Y= [t,u]. Então X é menor ou igual a Y , representado por X≤KM Y,
se r≤ t e s≤ u.
O próximo capítulo, apresenta alguns conceitos do Processamento de Imagens
Digitais Intervalares e que servirão para a compreensão do que seja um modelo de imagem
intervalar.
Capítulo 4
Processamento de Imagens Digitais
Intervalares
4.1 Introdução
Nesta seção serão apresentados alguns conceitos de imagens digitais intervalares que
foram introduzidas por Lyra em [4]. Considera-se que os conceitos apresentados neste
capítulo, são importantes porque no capítulo 6 será introduzido um modelo intervalar
para imagens em níveis de cinza e que foi desenvolvido sobre esse tipo de imagens.
Uma imagem intervalar refere-se a uma função luminosa bidimensional, denotada
por F(x,y), em que um intervalo assume a amplitude deF nas coordenadas espaciais
(x,y) dando a intensidade (brilho) da imagem naquele ponto em relação a um coeficiente
de tolerância que determina a diferença entre o limite superior e inferior do intervalo.
Da mesma forma que as imagens digitais, para ser adequada para o processamento
computacional, a imagem precisa ser digitalizada tanto espacialmente quanto em
amplitude. A digitalização das coordenadas espaciais(x,y) é denominada amostragem
da imagem e a quantização em níveis de cinza ocorre de forma contínua, em um intervalo
diminuindo a perda neste processo de discretização. O objetivo do modelo intervalar para
imagens digitais desenvolvido por Lyra, foi definir uma imagem intervalar em que, através
de software/hardware, seja convertido o valor de cadapixeldigitalizado em um intervalo.
A diferença entre o limite superior e o inferior, dependerá da relação com que opixel
36
CAPÍTULO 4. PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS INTERVALARES 37
analisado terá com a imagem. Em uma região indefinida por exemplo, esta diferença será
maior que em uma região definida. Alguns trabalhos de métodos intervalares aplicados
ao processamento de imagens podem ser encontrados em [3, 15, 28, 30]
4.2 Definições
Definição 4.2.1 Imagem Digital Intervalar e Pixel Intervalar
Seja A= ai j uma matriz intervalar de ordem m×n. A é uma imagem digital intervalar,
discretizada espacialmente e em tons de cinza, se ela for obtida através de um dispositivo
de aquisição de imagens e digitalizado por um digitalizador intervalar ou obtido através
de um dispositivo de aquisição intervalar e, de alguma forma, digitalizado.
A definição 4.2.1 merece um detalhamento. Existem duas formas de geração da matriz
intervalar, consequentemente da imagem digital intervalar. A primeira é feita no momento
da aquisição da imagem, através da regulagem do dispositivo de aquisição, ou através de
modificações ambientais. Por exemplo, existemn regulagens que pode ser efetuadas em
uma câmera fotográfica digital para a obtenção de uma imagem, bem como, o ambiente
poderá sofrer variação de luminosidade, umidade, etc. Estas modificações contribuirão
para a aquisição de uma imagem intervalar, onde a imagem ótima estará contida.
Uma outra forma de análise da imagem intervalar será quando aplicada sob um objeto
em movimento. Sobre está ótica a imagem intervalar terá mais informações sobre a
imagem, como: deslocamento, modificações, definições de formas, etc.
Uma outra forma de se trabalhar a imagem digital intervalar é na digitalização,
em que a construção da matriz intervalar se baseia na matriz depixels da imagem
clássica, sendo analisada a vinhança e conectividade de cadapixel ou seja, cadaai j ∈ IR,
denominado pixel intervalar, será um intervalo que definirá a intensidade intervalar
luminosa deste pixel intervalar na posiçãoi, j da imagem discretizada, tomando como
critério a vizinhança.
Definição 4.2.2 Imagem Digital Binária Intervalar
Seja A= ai j uma imagem intervalar. A é uma imagem binária intervalar se cada
intervalo ai j for um intervalo degenerado e igual a[0,0] ou [1,1].
CAPÍTULO 4. PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS INTERVALARES 38
A definição de métrica está relacionada com a região espacial ocupada pelospixels.
Esta métrica obedece às propriedades tradicionais. Quanto ao intervalo de tons de cinzas,
cadapixel representa uma informação da imagem. Foi definido a relação entre ospixels
com uma quasi-métrica, para este caso específico, utilizando a quasi-métrica definida por
Acióly e Bedregal que se adequa também à estrutura intervalar [9].
SejamIp = [p1, p2] e Iq = [q1,q2] as intensidades intervalares dos pixelsp(x,y) e
p(u,v), respectivamente. A distância de Moore [61] entre estas intensidades intervalares é
dada pela funçãoD(Ip, Iq) = Max(|p1−q1|, |p2−q2|). Já a distância de Acióly e Bedregal
[9] é dada pela funçãoQ(Ip, Iq) = 0 seq1≤ p1≤ p2≤ q2 eQ(Ip, Iq) = Max(q1− p1, p2−
q2,0), caso contrário. A distância de Moore [61] satisfaz a noção clássica de métrica [43]
já a de Acióly-Bedregal [9] satisfaz a noção de quasi-métrica [47].
4.3 Operações lógicas-aritméticas entre pixels
intervalares
As operações aritméticas em imagens inteiras intervalares são aplicadaspixel a pixel.
Elas envolvem apenas uma posição espacial de pixel intervalar por vez, de modo que
são feitas no local, ou seja, o resultado da operação aritmética feita na posição(x,y) é
armazenado naquela posição.
Em alguns momentos é apresentado apenas uma das infinitas imagens considera-se a
imagem intervalar como um conjunto infinito de imagens devido a cadapixel intervalar
ser contínuo contidas em uma imagem intervalar para servir de referência e esta será
denominada imagem média.
Definição 4.3.1 Imagem Média
Seja A= ai j uma matriz, onde ai j = [ai j ,ai j ] de ordem m×n. A imagem média de A,
é uma matriz Imd = Ii j de ordem m×n, tal que:
Imd =ai j +ai j
2 para todo i, j ∈ N.
A seguir, serão definidas algumas operações aritméticas e lógicas entrepixels
intervalares. Para estas definições, é considerado o intervalo degeneradoK = [k,k] onde
CAPÍTULO 4. PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS INTERVALARES 39
k ∈ R é a maior intensidade possível de uma imagem. Sejamp(x,y) e q(x,y) pixels
intervalares tal quep(x,y) = [pi , ps] eq(x,y) = [qi ,qs], respectivamente, então:
Definição 4.3.2Soma entrepixels intervalares
A soma, s(x,y) = p(x,y)+q(x,y), é umpixel intervalar, igual à soma das intensidades
dos pixels intervalares respeitado o limite superior de intensidade, isto é:
s(x,y) = [min(pi +qi ,k),min(ps+qs,k)]
Definição 4.3.3Subtração entrepixels intervalares
A diferença, m(x,y) = p(x,y)− q(x,y), é umpixel intervalar, igual à diferença das
intensidades dospixels intervalares respeitado o limite inferior de intensidade, isto é:
m(x,y) = [max(pi−qs,0),max(ps−qi ,0)]
Definição 4.3.4Produto entrepixels intervalares
O produto, t(x,y) = p(x,y)× q(x,y), é um pixel intervalar, igual ao produto das
intensidades dospixels intervalares respeitado o limite superior de intensidade, isto é:
t(x,y) = [min(pi×qi ,k),min(ps×qs,k)]
Definição 4.3.5Divisão entrepixels intervalares
A divisão, d(x,y) = p(x,y)q(x,y) , é umpixel intervalar, igual ao quociente das intensidades
dos pixels intervalares, isto é:
d(x,y) = [max(pi
qi),max(
ps
qs)],qi ,qs 6= 0
Definição 4.3.6Soma entre imagens intervalares
Sejam as matrizes de pixels intervalares A= ai j e B= bi j de ordem m×n. A soma
entre estas imagens é a matriz intervalar S= si j de ordem m×n, construída pixel a pixel
tal que, para cada ai j ∈ A e bi j ∈ B:
si j = ai j +bi j
CAPÍTULO 4. PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS INTERVALARES 40
Definição 4.3.7Subtração entre imagens intervalares
Sejam as matrizes depixelsintervalares A= ai j e B= bi j de ordem m×n. A subtração
entre estas imagens é a matriz intervalar M= mi j de ordem m×n, construída pixel a pixel
tal que, para cada ai j ∈ A e bi j ∈ B:
mi j = ai j −bi j
Definição 4.3.8Multiplicação entre imagens intervalares
Sejam as matrizes depixels intervalares A= ai j e B= bi j de ordem m×n. O produto
entre estas imagens é a matriz intervalar K= ki j de ordem m×n, construída pixel a pixel
tal que, para cada ai j ∈ A e bi j ∈ B:
ki j = ai j ×bi j
Definição 4.3.9Divisão entre imagens intervalares
Sejam as matrizes depixels intervalar A= ai j e B= bi j de ordem m×n. O quociente
entre estas imagens é a matriz intervalar D= di j de ordem m×n, construída pixel a pixel
tal que, para cada ai j ∈ A e bi j ∈ B:
di j =ai j
bi j,0 6∈ bi j
As operações lógicas tradicionais definidas sob uma imagem digital intervalar binária,
dar-se-ão da mesma forma que quando utilizadas nas imagens tradicionais por utilizar
apenas a informação sob ponto de vista espacial. Os resultados obtidos também serão
similares uma vez que, ao definir a imagem intervalar, mante-se a posição espacial de
cadapixel intervalar, modificando apenas a forma de apresentação de seus tons de cinza
que são definidos agora como intervalo.
Definição 4.3.10Disjunção de imagens intervalares
Sejam A= [ai j ] e B= [bi j ] imagens intervalares de ordem m×n. A disjunção destas
imagens é a matriz C= ci j de ordem m×n, construídapixel a pixel escolhendo aquele
de intensidade maior. Isto é, A∨B = C, onde ci j = sup[ai j ,bi j ], para todo i, j.
A operação de disjunção pode ser vista na Figura 4.1 (extraída de [4]).
CAPÍTULO 4. PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS INTERVALARES 41
Figura 4.1: Imagem média da Lena disjunta com uma imagem constante.
Definição 4.3.11Conjunção de imagens intervalares
Seja A= ai j e B= bi j imagens intervalares de ordem m× n. A conjunção destas
imagens é a matriz C= ci j de ordem m×n, construídapixel a pixel escolhendo aquele
de intensidade menor. Isto é, A∧B = C, onde ci j = in f [ai j ,bi j ], para todo i, j.
A operação de conjunção pode ser vista na Figura 4.2 extraída de ([4]).
Figura 4.2: Imagem média da Lena conjunta com uma imagem constante.
Definição 4.3.12Negação de imagens intervalares
Sejam A= ai j e K = ki j imagens intervalares de ordem m× n, onde ki j = K. A
negação de A é a matriz¬A = ¬ai j de ordem m×n, construída pixel a pixel escolhendo
o complemento com respeito a K. Isto é,¬A = K−A. Assim¬ai j = ki j −ai j , para todo
i, j.
A operação de complemento ou negativo pode ser vista na Figura 4.3.
A abordagem aqui apresentada teve como base o trabalho desenvolvido por Lyra, em
[4]. Lyra desenvolveu importantes fundamentos do processamento digital de imagens
onde pela primeira vez vários aspectos dessa teoria foi apresentado sob a ótica intervalar.
Em seu trabalho ele apresentou importantes conceitos de análise de imagens tais
CAPÍTULO 4. PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS INTERVALARES 42
Figura 4.3: Imagem da Lena original e negativa.
como imagens representadas por matriz depixels na forma intervalar, operações entre
pixels intervalar, convolução intervalar, transformada de Fourier intervalar entre outros
conceitos.
Os dois capítulos a seguir, desenvolvem a proposta desse trabalho. O capítulo 5 propõe
um modelo para imagens binárias que contenha incertezas. Já o capítulo 6, extende
o capítulo 5, propondo um modelo para imagens em níveis de cinza que apresentam
incertezas.
Capítulo 5
Morfologia para imagens binárias
intervalares
Transformar uma imagem em níveis de cinza em uma imagem binária, processo
chamado de binarização ou limiarização, é provavelmente, uma das técnicas mais
utilizada em várias aplicações, incluindo segmentação de imagens. Isto porque se faz
uso freqüente de processos de reconhecimento de caracteres que necessitam de imagens
binárias. Toda técnica de binarização, busca particionar uma imagem em duas classes C1 e
C2, a partir de um limiar L. De forma ideal, o limiar L situa-se em um determinado ponto
da imagem, onde uma das regiões, digamos C1 representa a região onde fica ospixels
pretos e C2 onde ficam ospixelsbrancos. A escolha do limiar é importante porque dela
vai resultar uma imagem com mais ou menospixelsbrancos. Em um processo que busca
selecionar um objeto de uma imagem, por exemplo, a técnica frequentemente utilizada é a
binarização. Esse processo, em geral é feito durante uma segmentação de imagens ([67]).
A figura 5.1, extraída de [67] mostra uma imagem em tons de cinza e sua respectiva
binarização. A imagem original é parte de uma mama densa.
A morfologia matemática se apresenta como uma ferramenta que melhor se adequa
ao processo de binarização, por ser uma abordagem não linear e por processar da mesma
maneira imagens em níveis de cinza e binárias. Alguns tipos de técnicas, apesar da
simplicidade do processo, dependendo da qualidade do original, não apresenta bons
resultados, isso porque pode haver "buracos"nas linhas, borda rompida na região limite ou
região "estranha"depixels. O modelo que será apresentado a seguir, poderá ser usado para
43
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 44
tratar esse tipo de problema, que serão considerados como incertezas que aparecem no
processo da binarização e que em geral ocorrem próximo ao limiar. Técnicas intervalares
apresentam-se como boas ferramentas para lidar com problemas dessa natureza e as
incertezas oriundas do processo de binarização serão codificados em um intervalo, a saber,
o intervalo[0,1]. Em outras palavras, as imagens oriundas de processos de binarização,
terão pixels com valores[0,0], [0,1] e [1,1], onde[0,1], será o valor de incerteza.
Figura 5.1: Imagem Binarizada
Este capítulo, apresenta então um modelo intervalar binário, onde a representação
intervalar significa a presença de incerteza entre valores exatos do conjunto binário
0,1. Para isso, será introduzido o conjunto de pixelsΩ = [0,0][0,1], [1,1], onde
como mencionado[0,1] representa a informação de incerteza. O conjuntoΩ e suas
propriedades algébricas, serão aqui estudadas, e sobre este conjunto serão definidas as
operações morfológicas elementares de dilatação e erosão. Neste capítulo demontra-
se ainda que, tantoΩ quanto a classe das operações morfológicas sobreΩ formam um
reticulado completo.
Uma outra contribuição deste capítulo, é demonstrar que a estrutura algébrica deΩ,
diferentemente do caso binário, não constitui uma álgebra Booleana, mas uma estrutura
algébrica mais fraca chamada álgebra pseudo Booleana. Em outras palavras, a introdução
de um valor de incerteza no universo dospixelsbinários afeta (enfraquece) a estrutura
algébrica da álgebra dospixelsbinários0,1. Assim, o conceito de imagens binárias,
é generalizado permitindo o mapeamento de uma coordenada no valor de incerteza
representada pelo intervalo[0,1], ou seja, o modelo será capaz de expressar as incertezas
nas respectivas coordenadas. Ou ainda, a coordenada de valor[0,0] representa a cor
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 45
preta, a coordenada de valor[1,1] representa a cor branca, e o valor[0,1] representa a
indefinição.
5.1 Construção do espaço algébricoΩ
Esta seção apresentará a estrutura algébrica do conjunto depixels Ω, citado
anteriormente. De forma a tornar o texto autocontido, sempre que for necessário serão
apresentados resultados conhecidos da literatura.
Proposição 5.1.1Toda cadeia P é um reticulado distributivo; i.e. um
reticulado onde para quaisquer elementos x,y,z valem as seguintes propriedades:
(I) x∧ (y∨z) = (x∧y)∨ (x∧z) e (II) x∨ (y∧z) = (x∨y)∧ (x∨z)
Prova SejaP uma cadeia, então dadosx,y∈ P , comox≤ y ouy≤ x, entãox∨y,x∧y∈ P .
Logo P é um reticulado.
Dadosx,y,z∈ P , comoP é uma cadeia, então tem-se dois casos:
(1) y,z≤ x e (2)x≤ y oux≤ z.
No Caso (1),y,z≤ x, entãoy∨z≤ x. Logo,(x∧y)∨ (x∧z)hip= y∨z, ex∧ (y∨z) = y∨z.
Ou seja,x∧ (y∨z) = (x∧y)∨ (x∧z).
No Caso (2)x ≤ y ou x ≤ z. Casox ≤ y, como y,z≤ y∨ z, entãox ≤ y∨ z, i.e.
x∧ (y∨z) = x. Mas(x∧y)∨ (x∧z) = x∨ (x∧z) e por absorçãox∨ (x∧z) = x. Portanto,
x∧ (y∨z) = (x∧y)∨ (x∧z). Casox≤ z, então comoy,z≤ y∨z, entãox≤ y∨zex∧ (y∨
z) = x. Além disso,(x∧y)∨ (x∧z) = (x∧y)∨x = x. Logo,x∧ (y∨z) = (x∧y)∨ (x∧z).
Portanto, em todos os casosx∧ (y∨z) = (x∧y)∨ (x∧z).
A proposiçãox∨ (y∧z) = (x∨y)∧ (x∨z) sai por dualidade.
Corolário 5.1.2 O conjunto dos números reais,R, é um reticulado distributivo;
onde (1) min(a,max(b,c)) = max(min(a,b),min(a,c)) e (2) max(a,min(b,c) =
min(max(a,b),max(a,c)).
Prova Dadosa,b,c ∈ R, como se tem uma quantidade finita de elementos eR é uma
cadeia, então a operação de supremo e de ínfimo são respectivamente as conhecidas
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 46
∨ [1,1] [0,0] [0,1]
[1,1] [1,1] [1,1] [1,1]
[0,0] [1,1] [0,0] [0,1]
[0,1] [1,1] [0,1] [0,1]
∧ [1,1] [0,0] [0,1]
[1,1] [1,1] [0,0] [0,1]
[0,0] [0,0] [0,0] [0,0]
[0,1] [0,1] [0,0] [0,1]
Tabela 5.1: Operações binárias∨ e∧ sobreΩ
operações de máximo e de mínimo.
Definição 5.1.3SejaΩ = [0,0], [0,1], [1,1], onde[0,0]≤ [0,1]≤ [1,1]. SobreΩ define-
se as operações∨ e∧ de acordo com a Tabela 5.1.
Proposição 5.1.4A estrutura〈Ω,∨,∧, [0,0], [1,1]〉 forma um reticulado completo, onde
as operações∨ e∧ são as operações de supremo e ínfimo respectivamente.
Prova ComoΩ é uma cadeia finita, então ele é um reticulado completo, e claramente∨ e
∧, definidas na tabela 5.1, são suas operações de supremo e ínfimo respectivamente, pois
quaisquer dois elementosx ey do conjuntoΩ, tem-se quex∧y≤ x,y ex,y≤ x∨y, o que
pode ser verificado na tabela 5.1.
Corolário 5.1.5 O conjuntoΩ é um reticulado completo distributivo.
Prova Direto das proposições 5.1.1 e 5.1.4.
No que segue, apresentam-se algumas definições de complemento e pseudo-
complemeto [31].
Definição 5.1.6Seja L um reticulado contendo o elemento zero (⊥). Sejam a e b
elementos do reticuladoL. Um elemento c∈ L é dito ser o∧-complemento dea em
L, se c é omaior elemento tal que a∧ c = ⊥. Supondo que o reticuladoL tenha o
elemento unidade (>), um elemento c é dito ser o∨-complemento dea em L se c é o
menorelemento tal que a∨c =>.
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 47
Segue da definição que o∧-complemento (∨-complemento) dea, se existe, é
unicamente determinado pora. As noções de∧-complemento e∨-complemento são
duais.
Se um elementoa∈ L tem simultaneamente o∧-complementoc1 e∨-complemento
c2, então,c1 e c2 não são necessariamente iguais. Por exemplo, se o reticuladoL for
distributivo entãoc1≤ c2, pois
c1 = c1∧>= c1∧ (a∨c2) = (c1∧a)∨ (c1∧c2) =⊥∨ (c1∧c2) = c1∧c2.
Definição 5.1.7Um elemento c∈ L é dito ser o complemeto de um elemento a∈ L, se c
é simultâneamente o∧-complemento e∨-complemento de a. Então a∧c=⊥ e a∨c=>
Definição 5.1.8O pseudo complemento de a relativo b, quando existe, é denotado por
a⇒ b. Umreticuladoé dito serrelativamente pseudo-complementado, se a⇒ b existe,
para quaisquer par de elementos a,b∈ L [62].
Corolário 5.1.9 Por definição, para todo x∈ L, x≤ a⇒ b se e somente se
a∧x≤ b (5.1.1)
Observe que
"Todo reticulado relativamente pseudo-complementado tem maior
elemento>; entretanto, em geral não tem menor elemento⊥ [62], pp 53"
Definição 5.1.10Um reticulado relativamente pseudo-complementado que possui menor
elemento "⊥"é chamadoálgebra pseudo-Booleana[62], pp 58.
Definição 5.1.11Dado Ω = [0,0], [0,1], [1,1], as tabelas 5.2 e 5.3 definem
respectivamente, as operações de pseudo-complemento relativo: "a⇒ b; ∧-complemeto:
"¬a"; ∨-complemento: "a"; e negação: "∼ a".
Observe que a diferença entre as operações¬a, a e ∼ a reside no tratamento da
incerteza[0,1]. Observe ainda que a tabela 5.3 foi obtida do seguinte modo: se
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 48
⇒ [0,1] [0,1] [1,1]
[0,0] [0,0] [0,0] [0,0]
[0,1] [0,0] [1,1] [1,1]
[1,1] [0,0] [0,1] [1,1]
Tabela 5.2: Operação de complemento relativo
¬ [0,0] [0,1] [1,1]
[1,1] [0,0] [0,0]
− [0,0] [0,1] [1,1]
[1,1] [1,1] [0,0]
∼ [0,0] [0,1] [1,1]
[1,1] [0,1] [0,0]
Tabela 5.3: Operações de pseudo-complemento,∨-complemento e negação sobreΩ
a = b = [0,0], o maior elemento que satisfaz a definiçãoa∧ c ≤ b é c = [1,1], pois
[0,0]∧ [0,0] = [0,0]; [0,0]∧ [1,1] = [0,0] e [0,0]∧ [0,1] = [0,0]. Os outros elementos
são calculados de modo análogo (veja [62], pp 54).
Proposição 5.1.12A estrutura 〈Ω,∨,∧, [1,1], [0,0]〉 forma um reticulado completo
distributivo com pseudo-complemento relativo.
Prova Pelo corolário 5.1.5,Ω é um reticulado completo distributivo. A Tabela 5.2 define
as operações de pseudo complemento relativo sobreΩ.
Corolário 5.1.13 A estrutura〈Ω,∨,∧,⇒,¬,−〉 é uma álgebra psedo-Booleana com∨-
complemento.
Prova 〈Ω,∨,∧,⇒〉 é uma álgebra relativamente pseudo-complementado cujo menor
elemento “[0,0]”, entãoΩ é uma álgebra pseudo-Booleana. Adicionalmente, a estrutura
possui a operação de∨-complemento "a"definida na Tabela 5.3.
Definição 5.1.14Uma operação f: Ω → Ω chama-sereversão, sempre que f([0,0]) =
[1,1] e f([1,1]) = [0,0].
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 49
Existem três operações de reversão sobreΩ que são descritas na tabela 5.3. Observe
que elas se diferenciam apenas quando o argumento é o elemento indefinido[0,1]. Isso
significa que essas operações coincidem com o complemento no caso binário, portanto
qualquer operação morfológica que envolve o complemento no caso binário, irá possuir
três versões para o caso do conjuntoΩ aqui proposto, a saber, uma versão pra cada
operador de reversão.
A álgebra pseudo BooleanaΩ munida das operações−,∼,¬, constitui o espaço de
pixels intervalares dotados do valor de incerteza[0,1].
No que segue, apresenta-se a estrutura algébrica das imagens cujos pixels são
valorados no conjuntoΩ.
5.2 Imagens binárias contendo incertezas
Esta seção, apresenta a álgebra das imagens cujos pixels são valorados no conjuntoΩ
apresentado na seção anterior. As imagens serão funções da formaf : E → Ω, ondeE é
um conjunto de coordenadasE = Z×Z. Tais funções representam as imagens binárias
contendo informação de incertezas e serão chamadas de imagens binárias intervalares.
Nesta seção definem-se essas imagens e estudam-se suas propriedades algébricas.
5.2.1 Operações básicas
Definição 5.2.1Chama-seimagem binária intervalaruma função f: E→Ω, ondeΩ =
[0,0], [0,1], [1,1]. O conjunto de todas essas imagens é denotado porΩE.
Definição 5.2.2Dado o conjuntoΩE e f,g∈ΩE, Podemos estabelecer a seguinte relação
de ordem sobreΩE: f ≤ g se e somente se, para todo x∈ E, f(x)≤ g(x).
Lema 5.2.3 As funções>,⊥ : E → Ω, tal que>(x) = [1,1] e ⊥(x) = [0,0] para todo
x∈ E são, respectivamente o maior e o menor elementoΩE.
Prova Seja f ∈ ΩE, então para qualquerx ∈ E, ⊥(x) = [0,0] ≤ f (x) ≤ [1,1] = >(x).
Assim,⊥≤ f ≤>, para todof ∈ΩE.
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 50
Definição 5.2.4Dada uma família não vazia de imagens binárias intervalares, fii∈I ,
definimos as seguintes operações:
∨ fii∈I (x) =
[1,1] , se∃i ∈ I , fi(x) = [1,1]
[0,0] , se∀i ∈ I , fi(x) = [0,0]
[0,1] , caso contrário
(5.2.1)
∧ fii∈I (x) =
[1,1] , se∀i ∈ I , fi(x) = [1,1]
[0,0] , se∃i ∈ I , fi(x) = [0,0]
[0,1] , caso contrário
(5.2.2)
Proposição 5.2.5Dada uma família não vazia fI = fii∈I ⊆ ΩE,∨
fI é o supremo de
fii∈I .
Prova (a) Primeiro vamos mostrar que∨
fI majora fI . SejamfI = fii∈I ⊆ΩE ex∈ E.
• Caso 1.∃ j ∈ I tal que f j(x) = [1,1] então,∨
fI (x) = [1,1]≥ fh(x) para todoh∈ I .
• Caso 2.∀ j ∈ I , f j(x) = [0,0] então∨
fI (x) = [0,0]≥ fh(x) = [0,0] para todoh∈ I .
• Caso 3.∃k ∈ I tal que fk(x) = [0,1] e ∀ j ∈ I , f j(x) 6= [1,1], então por definição∨fI (x) = [0,1]. Como∀ j ∈ I , f j(x) 6= 1, então
∨fI (x) = [0,1]≥ fh(x), ∀h∈ I .
Portanto, em todos os casos∨
fI (x) ≥ fh(x) para todoh ∈ I . Comox é arbitrário,
então para todox e para todoh ∈ I ,∨
fI (x) ≥ fh(x), o que, por definição significa que∨fI ≥ fh, ∀h∈ I
(b) Vamos mostrar agora que∨
fI é o menor majorante de fii∈I . Seja g um
majorante (limitante superior) defI , por definição∀x∈ E, ∀ j ∈ I , f j(x)≤ g(x).
• Caso 1. se existirk ∈ I tal que fk(x) = [1,1], então necessariamenteg(x) = [1,1].
Logo por definição,∀ j ∈ I , f j(x)≤ [1,1] =∨
fI (x)≤ [1,1] = g(x).
• Caso 2.∀k∈ I , fk(x) = [0,0] entãog(x) = [0,0],g(x) = [0,1] ou g(x) = [1,1], mas
por definição∨
fI (x) = [0,0]≤ g(x).
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 51
• Caso 3.∃k∈ I , fk(x) = [0,1] e∀m∈ I , fm(x) 6= [1,1] entãog(x) = [0,1] ou g(x) =
[1,1].
Por definição∨
fI (x) = [0,1]. Logo ∀m∈ I , fm(x) ≤∨
fI (x) ≤ g(x). Comox é
arbitrário, então∀ j ∈ I , ∀x∈E, f j(x)≤∨
fI (x)≤ g(x); ou seja∀ j ∈ I , f j ≤∨
fI ≤ g.
Logo∨
fI é o menor majorante de fii∈I .
Proposição 5.2.6Dada uma família não vazia fI = fii∈I ⊆ ΩE,∧
fI é o ínfimo de
fii∈I .
Prova A prova do ínfimo é análoga ao caso do supremo dada na proposição anterior.
Lema 5.2.7 As funções>,⊥∈ΩE são, respectivamente, o ínfimo e o supremo da família
vazia.
Prova De fato, do lema 5.2.3,> e⊥ são os elementos máximos e mínimos deΩE. De
acordo com [21] pp 27-28. SefI = /0 entãoin f fI => esup fI =⊥.
Proposição 5.2.8A estrutura〈ΩE,∨
,∧
,⊥,>〉 é um reticulado completo.
Prova Direto das proposições 5.2.5 e 5.2.6 e do lema 5.2.7.
Definição 5.2.9Dado f,g∈ ΩE e x∈ E, define-se( f ⇒ g) : E → Ω por ( f ⇒ g)(x) =
( f (x)⇒ g(x)).
Corolário 5.2.10 ΩE é um reticulado relativamente pseudo-complementado.
Prova Dado f ,g ∈ ΩE e o conjuntoC = h ∈ ΩE| f ∧ h ≤ g, então, por definição,
para todoh ∈ C e x ∈ E, f (x)∧ h(x) ≤ g(x). Como,Ω é um reticulado relativamente
pseudo-complementado, para todox, f (x)⇒ g(x) = ( f ⇒ g)(x) é o maior elementok tal
que f (x)∧k≤ g(x); ou seja,( f ⇒ g) é o maior elemento deC.
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 52
Proposição 5.2.11A estrutura〈ΩE,∨,∧,⇒〉 é uma álgebra pseudo-Booleana.
Prova Direto do lema 5.2.3 e do corolário 5.2.10.
Corolário 5.2.12 (Pseudo-complemento sobreΩE) Dado f ∈ ΩE, o pseudo-
complementode f , denotado por¬ f , é dado pela expressão “¬ f = ( f ⇒ ⊥)”,
onde⊥ ∈ΩE é a função previamente definida⊥(x) = [0,0].
Corolário 5.2.13 Dado x∈ E e f ∈ΩE, então
• Se f(x) = [1,1] então¬ f (x) = [0,0];
• Se f(x) = [0,0] então¬ f (x) = [1,1];
• Se f(x) = [0,1] então¬ f (x) = [0,0].
Prova Casof (x) = [1,1], então¬ f (x) = ¬[1,1] = [1,1]⇒ [0,0] = [0,0].
Casof (x) = [0,0], então¬ f (x) = ¬[0,0] = [0,0]⇒ [0,0] = [1,1].
Casof (x) = [0,1], então¬ f (x) = ¬[0,1] = [0.1]⇒ [0,0] = [0,0].
Proposição 5.2.14Dado f ∈ ΩE, a função f , definida por f (x) = f (x) é o ∨-
complemento de f .
Prova Dado f ∈ ΩE e o conjuntoC = h ∈ ΩE| f ∨ h = [1,1]. então, para qualquer
x∈ E, f (x) é o menor elementoh tal que f (x)∨h = [1,1]. Assim, f é o menor elemento
deC.
Corolário 5.2.15 Dado x∈ E e f ∈ΩE,
• Se f(x) = [1,1] entãof (x) = [0,0].
• Se f(x) = [0,0] entãof (x) = [1,1].
• Se f(x) = [0,1] entãof (x) = [1,1].
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 53
Prova Casof (x) = [1,1], entãof (x) = [1,1] = [0,0].
Casof (x) = [0,0], entãof (x) = [0,0] = [1,1].
Casof (x) = [0,1], entãof (x) = [0,1] = [1,1].
Corolário 5.2.16 〈ΩE,∨,∧,⇒,¬,−,⊥,>〉, é uma álgebra pseudo-Booleana com∨-
complemento, mas, não é uma álgebra Booleana .
Prova As operações de pseudo-complemento e∨-complemento não coincidem (veja os
corolários 5.2.13 e 5.2.15).
Definição 5.2.17Dado f∈ΩE, a negaçãode f ,∼ f , é definida por:
∼ f (x) =
[1,1] , se f(x) = [0,0]
[0,0] , se f(x) = [1,1]
[0,1] , se f(x) = [0,1]
(5.2.3)
Definição 5.2.18Uma operaçãoρ : ΩE →ΩE, é ditaoperação de reversão, quando para
qualquer f,g ∈ ΩE, se f(x) = [0,0] e g(x) = [1,1], entãoρ( f )(x) = [1,1] e ρ(g)(x) =
[0,0].
Corolário 5.2.19 As operações∼ f , ¬ f e f sãooperações de reversãosobreΩE.
5.3 Operações derivadas
As reversões∼ f ,¬ f e f induzem três versões de qualquer operação que seja definida
a partir de complementação em imagens binárias. Por exemplo, pode-se definir três
operadores “XOR”, um para cada reversão. Semelhantemente, o mesmo acontecerá para
asNAND,NORe as operações morfológicas.
Definição 5.3.1Dados f,g∈ΩE, obtém-se as seguintes operações derivadas:
• NAND∼( f ,g) =∼ f∧ ∼ g;
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 54
• NAND¬( f ,g) = ¬ f ∧¬g;
• NAND( f ,g) = f ∧g;
• NOR∼( f ,g) =∼ f∨ ∼ g;
• NOR¬( f ,g) = ¬ f ∨¬g;
• NOR( f ,g) = f ∨g;
• XOR∼( f ,g) = ( f∧ ∼ g)∨ (g∧ ∼ f );
• XOR¬( f ,g) = ( f ∧¬g)∨ (g∧¬ f );
• XOR( f ,g) = ( f ∧g)∨ (g∧ f ).
Observação 5.3.1As definições das operações de NAND, NOR e XOR descritas acima,
não são as únicas. Existem outras formas de definir essas operações. No caso da XOR
por exemplo, pode-se definir como XOR( f ,g) = ( f ∨g)∧ ∼ ( f ∧g).
Na Figura 5.2 apresentam-se algumas operações básicas entre duas imagens binárias
intervalaresf e g. A Figura mostra também algumas operações derivadas. Observe que
"i = [0,1]"significa "elemento indefinido".
5.4 Morfologia sobre imagens binárias intervalares
Nesta seção apresenta-se as operações morfológicas básicas que serão definidas sobre
ΩE. A principal motivação será a investigação das tranformações geométricas das
imagens que possuem valores que representam incertezas em alguma coordenada.
O modelo construído previamente, será utilizado agora para definir os operadores
morfológicos do ponto de vista das imagens binárias intervalares. Antes porém, serão
apresentados conceitos fundamentais dos operadores que serão aplicados sobre essas
imagens. Por questão de simplificação, daqui por diante o símboloT será usado sempre
que necessário no lugar deΩE.
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 55
Figura 5.2: Operações básicas e algumas operações derivadas sobre imagens binárias
intervalares
5.4.1 Operadores sobre imagens binárias intervalares
Definição 5.4.1(Operador m-ário)Umoperador m-áriosobreT (i.e., sobreΩE) é uma
funçãoϕ : T m→ T . Por exemplo, as operações∼,¬ e− são operadores unários sobre
T , enquanto que as operações∨,∧ e⇒ são operadores binários sobreT . Oconjunto de
todos os operadores m-áriossobreT será denotado por[T m→ T ]. No caso particular
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 56
de m= 1, pode-se usar a seguinte representaçãoT T = [T → T ]
Definição 5.4.2Um operador unárioψ sobreT é umadilatação, se e somente se, para
toda família de imagens fi ⊆ T , ψ(sup fi) = supψ( fi). Ele é umaerosão, se e
somente se, para toda família de imagens fi ⊆ T , ψ(inf fi) = inf ψ( fi). Ele é uma
anti-dilataçãose e somente se, para toda família de imagens fi ⊆ T , ψ(sup fi) =
inf ψ( fi). Por fim, ele é umaanti-erosão, se e somente se, para toda família de imagens
fi ⊆ T , ψ(inf fi) = supψ( fi) [25], pp 34.
Notações: No que segue, introduz-se alguns símbolos utilizados em morfologia.
∆: Conjunto das dilatações.
∇ : Conjunto das erosões.
∆a : Conjunto das anti-dilatações.
∇a : Conjunto das anti-erosões.
δ : Operador de dilatação; i.e.δ ∈ ∆
ε : Operador de erosão; i.e.ε ∈ ∇
δa : Operador de anti-dilatação; i.e.δa ∈ ∆a
εa : Operador de anti-erosão - i.e.εa ∈ ∇a
Essas operações podem ser caracterizadas através de funçõesf : E → T . Considere,
por enquanto, somente as dilatações. Neste caso, a cada dilataçãoδ : T → T , estará
associada à uma funçãoaδ : E → T . Mas antes disso, será feita uma consideração a
respeito da caracterização de função como conjunto unitário.
Proposição 5.4.3Uma vez queT é um reticulado completo, então o conjunto dos
operadores unários sobreT , [T → T ], munido da seguinte relação de ordem parcial:para
todo f : E→Ω, ϕ1,ϕ2 ∈ [T → T ],
ϕ1≤ ϕ2⇔ ϕ1( f )≤ ϕ2( f ) (5.4.1)
é um reticulado ompleto.
Prova Como T é um reticulado completo, defina sobre[T → T ] a ordem parcial do
enunciado.[T → T ] possui maior e menor elemento. Com efeito, o operadorθ( f ) =
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 57
> : E → Ω é o maior operador em[T → T ], pois para qualquerϕ ∈ [T → T ], ϕ( f ) ≤
>= θ( f ). Semelhantemente, o operadorβ( f ) =⊥ é o menor operador. Isso significa que
existe o supremo e ínfimo da família vazia.
Dada uma família não vazia de operadoresΓ ⊆ [T → T ], o operador∨
Γ,
definido por∨
Γ( f ) = supϕ( f ) : ϕ ∈ Γ é um majorante deΓ, pois para todog ∈ Γ
e f ∈ T , g( f ) ≤ supϕ( f ) : ϕ ∈ Γ =∨
Γ( f ).∨
Γ é o menor dos majorantes,
pois dado um majoranteh, então por definição, para todog ∈ Γ, g ≤ h, ou seja
para todo f ∈ T ,g( f ) ≤ h( f ), mas g( f ) ≤ supϕ( f ) : ϕ ∈ Γ ≤ h( f ). Logo,
g( f ) ≤∨
Γ( f ) ≤ h( f ). Portanto∨
Γ é o menor dos majorantes deΓ. Dualmente,
demonstra-se que infΓ ∈ [T → T ].
Corolário 5.4.4 Dadosϕ1,ϕ2∈ [T → T ], (ϕ1∨ϕ2)( f ) = ϕ1( f )∨ϕ2( f ) e(ϕ1∧ϕ2)( f ) =
ϕ1( f )∧ϕ2( f ).
Definição 5.4.5Dada a função identidade id: [T → T ], onde id( f ) = f , e um operador
ϕ ∈ [T → T ], ϕ chama-se extensivo, se e somente se, id≤ ϕ, e anti-extensivo seϕ≤ id
Definição 5.4.6Dados dois operadoresϕ1,ϕ2 ∈ [T → T ], a composição deϕ1 comϕ2,
denotada por(ϕ1ϕ2) ou (ϕ1ϕ2) é definida por(ϕ1ϕ2)( f ) = ϕ1(ϕ2( f ))
Definição 5.4.7Um operador ρ : [T → T ] chama-se isotônico, sempre que para
qualquer pares de operadoresϕ1,ϕ2 ∈ [T → T ], ϕ1 ≤ ϕ2 implica queρ(ϕ1) ≤ ρ(ϕ2).
ρ chama-se antitônico sempre que para qualquer par de operadoresϕ1,ϕ2 ∈ [T → T ],
ϕ1≤ ϕ2 implica ρ(ϕ1)≥ ρ(ϕ2).
Proposição 5.4.8O conjunto ∆ das dilatações (∇ das erosões) é superiormente
(inferiormente) fechado.
Prova Para todoΨ⊂ ∆, fi ⊆ T e para todofk ∈ fi tem-se que(supΨ)(sup( fi) =
(∨
ϕ∈Ψ)(sup fi) =∨
ϕ∈Ψ ϕ(sup fi) =∨
ϕ∈Ψ supϕ( fi) =∨
ϕ∈Ψ∨
fk∈ fiϕ( fk) =∨fk∈ fiϕ( fk)
∨ϕ∈Ψ =
∨fk∈ fi(supΨ)( fk) = sup(supΨ)( fi).
O que prova quesupΨ ∈ ∆ e portanto,∆ é superiormente fechado.
O caso das erosões é análogo.
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 58
Corolário 5.4.9 Os subconjuntos∆ e ∇ são reticulados completos.
Prova Como∆ e ∇ são subconjuntos do reticulado[T → T ], de acordo com a proposição
5.4.8 então eles são reticulados completos.
5.4.2 Translação, reflexão e invariança por translação
Será introduzido agora, a noção de translação e de transposição para o caso das
imagens binárias intervalares. Alguns resultados aqui apresentados tiveram como base
o caso binário descrito por Banon e Barrera em [25]. No caso binário, em [25], é utilizado
a noção de adição módulo n, cujo objetivo é tratar o domínio de entrada dos sinais digitais
como um intervalo finito e cuja estrutura é a de um grupo Abeliano. Observando que,
embora nossa estrutura algébrica seja diferente da clássica binária, o domínio utilizado
também é definido em uma grade E representado no espaço Euclidiano bidimensional.
Dessa forma, os valores correspondentes a um pontop = (x,y) tomados na função
f (p) serão os mesmos considerados no caso binário. Para definirmos as operações de
translação, no caso das imagens binária intervalares, tomou-se como base as definições
de imagens k-níveis ou multi-scala (níveis de cinza), uma vez que essas imagens podem
ser consideradas como um caso particular de imagens em níveis de cinza,k = 3 ( veja
[27, 40, 46]).
Definição 5.4.10 (Translação em imagens binárias intervalares)Seja A um conjunto
de coordenadas de E e fA uma imagem binária intervalar. Atranslaçãode fA por um
elemento u∈ E é a função fA+u : E→Ω, onde:
fA+u(x) = fA(x−u)
Definição 5.4.11 (Reflexão)Dada uma imagem binária intervalar fA e x∈ E, areflexão
é definida porfA(x) = fA(−x)
Definição 5.4.12(Invariança por translação)Seja E um grupo Abeliano. Seja f: E →
Ω. SejaΨ um operador sobre[T → T ]. Diz-se queΨ é invariante por translaçãose
somente se, para todo valor u de E, [25], pp 59
Ψ( fA+u(x)) = (Ψ( f (x)))A+u
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 59
Proposição 5.4.13(Propriedades do translado): Seja 〈E,+,0〉 um grupo abeliano e
fA, fB : E→Ω. Sejam u,v∈ E, então
1. fA+0 = fA
2. f(A+u)+v = fA+(u+v)
3. fA≤ fB⇔ fA+u≤ fB+u
Prova
1. fA+0(x) = fA(x−0) = fA(x)
2. f(A+u)+v(x) = fA+u(x−v) = fA((x−v)−u) = fA(x− (u+v)) = fA+(u+v)(x)
3. (⇒)
fA≤ fB⇒ fA(x−u)≤ fB(x−u)⇒ fA+u(x)≤ fB+u(x)⇒ fA+u≤ fB+u
(⇐)
fA+u≤ fB+u⇒ f(A+u)+(−u) ≤ f(B+u)+(−u) ⇒ fA+(u+(−u)) ≤ fB+(u+(−u)) ⇒ fA+0≤
fB+0⇒ fA≤ fB
Proposição 5.4.14(Propriedades da reflexão)Seja E um grupo Abeliano e sejam x∈ E.
Para todo fA e fB
1 fA(x) = fA(x);
2 fA(x)≤ fB(x)⇔ fA(x)≤ fB(x)
Prova (1) fA(x) = [ fA(−(x)) = [ fA(−(−(x))] = fA(x)
(2)⇒
fA(x)≤ fB(x)⇒ fA+(x+x)(x)≤ fB+(x+x)(x)
⇒ fA+x(x−x)≤ fB+x(x−x)
⇒ fA+x(0)≤ fB+x(0)
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 60
⇒ fA(0−x)≤ fB(0−x)
⇒ fA(−x)≤ fB(−x)
⇒ fA(x)≤ fB(x)
(2)⇐
fA(x)≤ fB(x)⇒ fA(−(x))≤ fB(−(x))
⇒ fA(−x−x)(−x) ≤ fB(−x−x)(−x) ⇒ fA+(−x)(x− x) ≤ fB+(−x)(x− x) ⇒ fA+(−x)(0) ≤
fB+(−x)(0)⇒ fA(0+x)≤ fB(0+x)⇒ fA(x)≤ fB(x)
5.4.3 Operações de Minkowiski
Na seção anterior, foram introduzidas as operações de translação e reflexão de imagens
binárias intervalares e a classe dos operadores invariantes por translação para esse tipo de
imagem. Nesta seção, serão introduzidas as operações de Minkowski e na sequência
serão descritas os operadores elementares da morfologia matemática em termos dessas
operações. As operações de Minkowski foram baseadas na teoria dos conjuntos e
constituem os blocos de construção básicos para os operadores elementares da morfologia
matemática, denominadosdilatação e erosão.
No caso das imagens binárias intervalares, as operações de adição e subtração de
Minkowski são definidas como segue.
Definição 5.4.15 (Soma e diferença de Minkowisky)Dada uma imagem binária
intervalar fA, e B um conjunto de coordenadas não nulas dado por B= u∈ E : fB(u) 6=
[0,0]. A soma e a diferença de Minkowiskisão definidas repectivamente por:
fA⊕B =∨u∈B
fA+u =∨ fA+u : u∈ B (5.4.2)
fAB =∧u∈B
fA−u =∧ fA−u : u∈ B (5.4.3)
Definição 5.4.16 (Dilatação e erosão para imagens binárias intervalares)
SejamE,〈,+,0〉 um grupo abeliano de coordenadas, fA uma imagem binária intervalar
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 61
e B⊆ E o conjunto de todas as coordenadas não nulas de fB tal que0 ∈ B. Então, os
operadoresdilataçãoδB( fA) eerosãoεB( fA), são dados respectivamente por:
δB( fA)(x) = fA⊕B(x) =∨u∈B
fA(x−u) =∨ fA(x−u) : u∈ B (5.4.4)
εB( fA)(x) = fAB(x) =∧u∈B
fA(x−u) =∧ fA(x−u) : u∈ B (5.4.5)
Proposição 5.4.17As funçõesδB,εB : T → T satisfazem a definição 5.4.2.
Prova∨
δB( fii∈I )(x) =∨
δB( fA : fA ∈ fii∈I)(x)
=∨δB( fA) : fA ∈ fii∈I(x)
=∨δB( fA)(x) : fA ∈ fii∈I, Já que, para todof ,g∈ΩE, f ∨g(x) = f (x)∨g(x)
=∨∨ fA+u : u∈ B(x) : fA ∈ fii∈I, pela definição 5.4.15
=∨∨ fA+u(x) : u∈ B : fA ∈ fii∈I já queh∨g(x) = h(x)∨g(x)
=∨∨ fA(x−u) : u∈ B : fA ∈ fii∈I, Pela definição 5.4.10
=∨∨ fA(x−u) : fA ∈ fii∈I : u∈ B (por associatividade e comutatividade de “
∨”).
Além disso, fazendohA =∨ fii∈I ,
δB(hA)(x) = hA⊕
B(x) =∨
u∈BhA+u(x) =∨hA+u : u∈ B(x)
=∨hA+u(x) : u∈ B =
∨hA(x−u) : u∈ B
=∨∨ fii∈I (x−u) : u∈ B
=∨∨ fA : fA ∈ fii∈I(x−u) : u∈ B
=∨∨ fA(x−u) : fA ∈ fii∈I : u∈ B.
Portanto, para todo x,∨
δB( fii∈I )(x) = δB(∨ fii∈I )(x); i.e. ,∨
δB( fii∈I ) = δB(∨ fii∈I ).
Por dualidade, provamos a erosão.
Assim como combinam-se funções booleanas primitivas para definir circuitos
complexos, pode-se combinar as operações de soma e diferença de Minkowski para obter-
se operações morfológicas mais complexas. Dentre essas operações, as mais importantes
são as deabertura e fechamento, que são fundamentais em aplicações como filtragens
de ruídos entre outras aplicações para o tratamento de imagens.
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 62
Definição 5.4.18(Operadores de abertura e fechamento)Sejam fA uma imagem binária
intervalar e B um subconjunto de coordenadas não nulas de E tal que0∈ B.
Chama-seaberturada imagem fA à operação:
fAB = f(AB)⊕B
Chama-sefechamentoda imagem fA à operação:
fA•B = f(A⊕B)B
Outro operador frequentemente usado em morfologia matemática é ogradiente
morfológico. Essa operação tem como principal objetivo extrair contorno de objetos de
uma imagem e é composta de três operações básicas da morfologia: a dilação, erosão e a
subtração, sendo definida do seguinte modo:
Grad( f ) = fA⊕B− fAB
Como a operação de subtração de imagens envolve complementação, então, no caso
das imagens binárias intervalares, obtém-se três operações de gradiente, uma para cada
operação de reversão.
A seguir, será apresentado um exemplo para ilustrar as operações sob imagens binárias
intervalares.
Exemplo 5.4.6 Sejam as imagens da figura 5.2. Dados os conjunto de coordenadas
A = (1,1),(1,2),(2,1)(2,2) e B= (0,0),(0,1), tem-se:
Cálculo da dilatação
Primeiro passo:Obter a soma das coordendas do conjunto A com cada elemento do
conjunto B.
A+(0,0) = (1,1),(1,2),(2,1)(2,2)
A+(0,1) = (1,2),(1,3),(2,2)(2,3)
Segundo passo:Calcular∨
b∈B fA+b
fA+(0,0)(1,1) = fA(1,1) = [1,1]
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 63
fA+(0,0)(1,2) = fA(1,2) = [1,1]
fA+(0,0)(2,1) = fA(2,1) = [0,1]
fA+(0,0)(2,2) = fA(2,2) = [1,1]
fA+(0,1)(1,2) = fA(1,1) = [1,1]
fA+(0,1)(1,3) = fA(1,2) = [1,1]
fA+(0,1)(2,2) = fA(2,1) = [0,1]
fA+(0,1)(2,3) = fA(2,2) = [1,1]
O resultado da dilatação, fA⊕B =∨
b∈B fA+b é mostrado na figura 5.3 (c).
Para o cálculo daerosão, devemos seguir os seguintes passos:
Primeiro passo:Obter a diferença das coordendas do conjunto A com cada elemento do
conjunto B. A− (0,0) = A = (1,1),(1,2),(2,1)(2,2)
A− (0,1) = A = (1,0),(1,1),(2,0)(2,1)
Segundo passo: Calcular fA−b para cada valor transladado.
fA−(0,0)(1,1) = fA(1,1) = [1,1]
fA−(0,0)(1,2) = fA(1,2) = [1,1]
fA−(0,0)(2,1) = fA(2,1) = [0,1]
fA−(0,0)(2,2) = fA(2,2) = [1,1]
fA−(0,1)(1,0) = fA(1,1) = [1,1]
fA−(0,1)(1,1) = fA(1,2) = [1,1]
fA−(0,1)(2,0) = fA(2,1) = [0,1]
fA−(0,1)(2,1) = fA(2,2) = [1,1]
O resultado fAB =∧
b∈B fA−b pode ser visto na Figura 5.3 (d).
A Figura 5.3, apresenta também as imagens das operações de abertura (e), fechamento
(f) e as três versões da operação de gradiente morfológico obtidas a partir defA e fB.
Observação 5.4.1Como as operações acima estendem as operações binárias clássicas,
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 64
Figura 5.3: Operações Morfológicas para imagens binárias intervalares intervalares
então quando a imagem não possuirpixels com valores indefinidos essas operações
funcionarão como no caso binário, pois as operações de reversão não terão que lidar
com indefinições e se comportam como a operação de complemento.
5.4.4 Conclusão do capítulo
Neste capítulo, foi visto que o conjunto das imagens binárias intervalares não constitui
uma álgebra booleana, como é o caso das imagens binárias. Entretanto, mostrou-se
que a álgebra que modela a inclusão depixelscom valores indefinidos, é uma álgebra
pseudo-Booleana. Foram apresentadas as operações usuais desta álgebra para as funções
binárias intervalares, tais como operações de supremo e ínfimo, a operação de pseudo-
complemento relativo e três operações de reversão: negação, pseudo complemento e o
∨-complemento.
Segundo a noção proposta de reversão, a definição de complementação em imagens
CAPÍTULO 5. MORFOLOGIA PARA IMAGENS BINÁRIAS INTERVALARES 65
binárias é uma operação de reversão. Com a introdução da noção de “pixel” com valores
indefinido obteve-se mais de uma operação de reversão, que se diferenciam apenas no
tratamento do valor indefinido. Obviamente como a indefinição não ocorre no caso
binário, todas elas coincidem com a complementação. Pode-se interpretar os tipos
de reversão acima da seguinte maneira: Tanto o pseudo quanto o∨-complemento são
operaçõesad-hocque são acionadas diante da indefinição, ao passo que a negação deixa
ao usuário (humano ou não) decidir a indefinição detectada.
Capítulo 6
Um Modelo Intervalar para Imagens
em Níveis de Cinza
Uma das técnicas mais utilizadas em processamento de imagens digitais é a
segmentação. Segmentação é um processo de divisão de uma imagem em múltiplas
regiões (conjunto depixels) e é tipicamente usada para localizar objetos e limites
(linhas, curvas, etc.) em imagens. O resultado da segmentação de uma imagem é
um conjunto de regiões que coletivamente cobre a imagem inteira, ou um conjunto
de contornos extraído da imagem (detecção de bordas). Algumas aplicações práticas
de segmentação de imagens são: imagens médicas (localização de tumores ou outras
patologias e diagnósticos), localização de objetos em images de satélites (ruas, florestas,
etc.), reconhecimento de faces, impressões digitais, etc.
Localizar um objeto em uma imagem pode ser uma tarefa difícil. No processo de
segmentação, delinear a região do objeto a ser detectado, principalmente se o objeto
está localizado em uma região onde existem a presença de incertezas, necessita de um
bom mecanismo de controle dos erros que conduzem à incertezas. No caso de imagens
médicas, por exemplo, algumas vezes essa técnica é empregada para diagnosticar doenças
como o câncer [67]. A figura 6.1 extraída de [67] mostra uma imagem de uma mama
e uma segmentação dessa imagem para destacar um nódulo canceroso. Observe que,
destacar o nódulo não é uma tarefa fácil devido as incertezas existentes em torno deste.
Algumas aplicações de métodos de segmentação de imagens podem ser encontrados em
[11, 26, 48]. Um recente trabalho sobre segmentação usando morfologia matemática e
66
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA67
conjuntosfuzzy, pode ser visto em [2].
Figura 6.1: Imagens apresentando um processo de segmentação em uma mama com
suspeito de nódulo canceroso. (a) Imagem original, (b) imagem binarizada e (c) imagem
segmentada com o nódulo destacado.
O modelo que será apresentado neste capítulo é uma alternativa para processos de
segmentação. Acredita-se que o uso de um modelo intervalar junto com operações
morfológicas permitirá, além de detectar as incertezas, localizar mais facilmente as
regiões imprecisas e desse modo ter um maior controle dos erros dentro de limites
confiáveis.
Neste capítulo apresenta-se um modelo intervalar para lidar com incertezas em
imagens em níveis de cinza e aplicado à morfologia matemática. A principal meta é então
construir uma estrutura algébrica intervalar no qual seja possível definir os operadores
morfológicos elementares.
De um modo geral, modelos intervalares tem como objetivo lidar com erros
computacionais, e no caso de imagens, esses erros geralmente conduzem a informações
incertas. Para lidar com as incertezas, algumas vezes é necessário fazer uso de algum
mecanismo de controle. Existem diversos mecanismos. Por exemplo, a lógicafuzzy
que é bastante utlizada em várias áreas incluindo morfologia matemática. A matemática
intervalar também tem grandes aplicações em situações práticas que exigem controle de
erros computacionais. No caso de procesamento digitais de imagens, essa teoria já vem
sendo aplicada em alguns trabalhos recentes como em [4, 6].
Grandes aplicações da morfologia matemática são realizadas nas mais diversas áreas.
Existe uma grande concentração de uso de metodologias buscando tratar com questões
de incertezas através de operadores morfológicos. Os mais conhecidos métodos são
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA68
através da teoria dos conjuntosfuzzy (morfologia fuzzy) [32, 65], waveletes[14] e
modelos de distribuição probabilístico, tal como processos estocásticos. Os mais recentes
trabalhos neste contexto, usam as teorias:fuzzye matemática intervalar (morfologia fuzzy
intervalar) [50]. Aqui oferemos uma ferramenta que faz uso somente da teoria intervalar
(morfologia intervalar) [58].
Uma das técnicas bastante utilizada na morfologia matemática é filtragens de imagens
corrompidas por ruídos. Para isso, às vezes são necessárias várias sequências de
operação morfológicas (filtros sequênciais). No caso de imagens em tons de cinza,
essas tranformações, na maioria das vezes são perceptíveis pela intensidade do brilho
(regiões mais clara ou mais escura em relação a imagem original). Em geral, o objetivo
é a eliminação ou modificação de tons nas regiões onde existe a necessidade do efeito
que deverá ser causado por algumas operações morfológicas. Todo esse processo
envolve técnicas que são tratadas por sistemas computacionais e que, por este motivo
frequentemente há ocorrência de erros que conduzem as incertezas em algunspixels.
No Capítulo 5 foi desenvolvido um modelo para lidar com incertezas em imagens
binárias com informação de incerteza. Foi considerado um conjunto intervalar com três
elementos, onde um deles representa uma indefinição. No capítulo anterior a incerteza
entre os valores “0” e “1” foi representada pelo intervalo degenerado[0,1]. Este capítulo
generaliza a idéia de um intervalo não degenerado[l ,L] ser a representação da incerteza
de um valor depixel em uma coordenada, desta vez para tons de cinza; ou seja, paraN
valores. Neste caso, um intervalo degenerado[l ,L] reprepresentará a incerteza do “real”
valor dopixel que varia entre l e L, ondel ≤ L ≤ N. A representação da incerteza em
imagens em níveis de cinza como um intervalo[l ,L] pode ser aplicada, por exemplo,
em sequências de imagens obtidas de uma mesma cena e na mesma posição, que geram
portanto, incerteza em relação ao "verdadeiro"valor dopixel.
As incertezas são representadas através de intervalos de confiança e faz uso
da aritmética intervalar para realizar as operações necessárias. Em geral a teoria
intervalar fornece um mecanismo para representar e manipular algum tipo de incerteza,
principalmente originadas por disceminação de dados contínuos e propagação destas
incertezas.
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA69
6.1 Construção do espaço algébrico para imagens
intervalares em escala de cinzas
Nesta seção, será introduzida a estrutura algébrica intervalar que modelará as funções
que representam as imagens em níveis de cinza e onde umpixel terá a forma de um
intervalo.
Definição 6.1.1Seja n∈ N e IN = [a,b]∩N : [a,b∈ IR]. Define-seΩN como sendo o
conjunto dado porΩN = [x,y]∈ IN : x≤ y≤ n. Um intervalo da forma[a,a] é chamado
intervalo degenerado.
Aqui, um intervaloX ∈ΩN será denotado porX = [x,x].
Observação 6.1.1Observe queΩN = X ∈ IN : O ≤ X ≤ N onde
O = [0,0] e N= [n,n]. A ordem, "≤", utilizada será a ordem deKulisch-Miranker que
foi definida no capítulo 3.
Observação 6.1.2A relação de ordem de Kulisch e Miranker é uma ordem usual em
abordagens de matemática intervalar, porém existem outras ordens, tais como a ordem
de inclusão que é dada por: X≤ Y ⇔ x≤ y e y≤ x. Escolheu-se a ordem Kulisch e
Miranker, por generalizar o caso pontual, no sentido que, quando considera-se intervalos
degenerado, esta coincide com o caso pontual.
Lema 6.1.2 ΩN possui menor e maior elementos; a saberO e N respectivamente.
Prova DadoX ∈ ΩN, ondeX = [x,y], com [0,0] ∈ ΩN, [0,0] ≤ [x,y], pois 0≤ x e 0≤ y.
Com [n,n] ∈ΩN, então[x,y]≤ [n,n], poisx≤ n ey≤ n.
A Figura 6.2 representa a estrutura do reticuladoΩN. É possível observar que esta
estrutura é uma cadeia finita; lembrando que, um intervalos da forma[x,y] com x 6= y
representa uma incerteza.
Definição 6.1.3Dado X,Y ∈ ΩN tal que X= [x,x] e Y = [y,y], então, define-se as
seguintes operações:
X∨Y = [max(x,y),max(x,y)] (6.1.1)
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA70
Figura 6.2: Estrutura do reticuladoΩN
X∧Y = [min(x,y),min(x,y)] (6.1.2)
Proposição 6.1.4ΩN é um reticulado completo.
Prova ΩN é um reticulado completo com as operações de supremo e ínfimo∨ e ∧ de
acordo com a definição 6.1.3. SejaS⊆ΩN, seS= /0, então∨
S= O e∧
S= N. Portanto,
seS= /0 então∨
S∈ΩN e∧
S∈ΩN. CasoS 6= /0, sejaµ1(S) = x∈N : ∃y∈N, [x,y] ∈ S
e µ2(S) = v ∈ N : ∃u ∈ N, [u,v] ∈ S. Como, µ1(S) e µ2(S) são superiormente e
inferiormente limitadas, então existe o supremo e o ínfimo deµ1(S) e de µ2(S),
denotada por∨µ1(S),∧µ1(S),∨µ2(S) e∧µ2(S) respectivamente. Desse modo, claramente∧S= [∧µ1(S),∧µ2(S] e
∨S= [∨µ1(S),∨µ2(S)].
Proposição 6.1.5ΩN é um reticulado distributivo.
Prova DadosX,Y,Z ∈ΩN, ondeX = [x,x], Y = [y,y] eZ = [z,z], então:
(1) X∧ (Y∨Z) = (X∧Y)∨ (X∧Z)
(2) X∨ (Y∧Z) = (X∨Y)∧ (X∨Z)
Assim:
(1) X∧ (Y∨Z) = [x,x]∧ ([y,y]∨ [z,z])
= [x,x]∧ [max(y,z),max(y,z)]
= [min(x,max(y,z)),min(x,max(y,z))]
= [max(min(x,y),min(x,z)),max(min(x,y),min(x,z))]
= [min(x,y),min(x,y)]∨ [min(x,z),min(x,z)]
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA71
= ([x,x]∧ [y,y])∨ ([x,x]∧ [z,z])
= (X∧Y)∨ (X∧Z)
(2) Análogo ao item 1
A seguir, será apresentado o complemento intervalar para imagem em níveis de cinzas
(veja [18]).
Definição 6.1.6Seja〈ΩN,≤,O,N〉 um reticulado completo. Uma operação C: ΩN→ΩN
é um complemento se satisfaz as seguintes propriedades:
1. C(O) = N e C(N) = O
2. X≥Y⇔C(X)≤C(Y), ∀X,Y ∈ΩN
3. se, além disso C(C(X)) = X então C é chamado de complemento forte
De acordo com a aritmética intervalar de Moore em [60] a subtração intervalar é dada
por:
X−Y = [x−y,x−y] (6.1.3)
Isso leva a seguinte definição de complemento
Definição 6.1.7Sendo X= [x,x] ∈ΩN tome¬ : ΩN →ΩN por
¬X = [n,n]− [x,x] = [n−x,n−x] (6.1.4)
Corolário 6.1.8 Para X= [x,x], então
¬X = [¬x,¬x] (6.1.5)
onde¬x = n−x e¬x = n−x
Proposição 6.1.9A função¬ : ΩN →ΩN é um complemento forte.
Prova
1. ¬[0,0] = [n−0,n−0] = [n,n]
e¬[n,n] = [n−n,n−n] = [0,0]
¬[0,0] = [n−0,n−0] = [n,n]
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA72
and¬[n,n] = [n−n,n−n] = [0,0]
2. Seja X=[x,x] eY = [y,y]
X ≥Y⇔ x≥ y ex≥ y
⇔ N−X ≤ N−Y⇔ n−x≤ n−y en−x≤ n−y
⇔ [n−x,n−x]≤ [n−y,n−y]
⇔¬X ≤ ¬Y
3. ¬(N−X) = N− (N−X) = N +(−N−X) = N +(−N)+X = 0+X = X, desde
queN é degenerado.
Antes de introduzir as imagens intervalares em escala de cinzas, será definida uma
classe especial de operações de soma e diferença entre dois elementos do conjuntoΩN.
Este conceito é baseado no caso pontual desenvolvido por Heijmans em [40], sendo
importante porque as funções que modelam as imagens intervalares em tons de cinza
serão definidas sobre um conjunto finito deΩN.
Definição 6.1.10SejamIZ = [a,b]∩Z : [a,b] ∈ IR, munido da aritmética de Moore e
V = [v,v] ∈ IZ, O = [0,0] e N= [n,n]. A operação T7→ T uV sobreΩN é definida por
T uV =
O, se T= O ou T+V ≤ O
[0, t +v] se T> O e t+v≤ 0
T +V, se T> O e O ≤ T +V ≤ N
N, se T> O e T+V > N
[0,n] se T> O e [0,n]⊆ T +V
[t +v,n] if T > O et +v≥ N
(6.1.6)
E a operação T→ T−V sobreΩN é definida por
T−V =
[0, t−v] se T< N eO ⊆ T−V
[t−v,n] se T< N e N⊆ T−V
O, se T< N e T−V ≤ O
T−V, se T< N eO ≤ T−V ≤ N
N, se T= N ou T−V > N
(6.1.7)
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA73
Proposição 6.1.11Seja A,B∈ΩN, então
AuB = [AuB,AuB] (6.1.8)
e
A−B = [A−B,A−B] (6.1.9)
Prova Direto da definição 6.1.10.
Observação 6.1.3A definição para o caso pontual, (veja [40, pp 14]), é dada do seguinte
modo:
Seja v∈ Z, define-se tuv e t−v por
t uv =
0, se t= 0 ou t > 0 e t+v≤ 0
t +v, se t> 0 e0≤ t +v≤ n
n se t> 0 e t+v≥ n
(6.1.10)
t−v =
0, se t= 0 ou t < n e t−v≤ 0
t−v, se t< n e0≤ t−v≤ n
n, se t= n ou t−v > n
(6.1.11)
6.2 O reticulado completo das imagens sobreΩN
As funçõesF : E→ΩN modelam imagens em tons de cinza e serão usadas para definir
os operadores morfológicos que serão introduzidos na próxima seção. Observando que
ΩN é o reticulado apresentado na seção anterior eE representa um conjunto finito de
coordenadas que é considerado como um grupo Abeliano. De um modo geral considera-
seE = Z×Z. Nesta seção serão definidas tais funções e estudadas suas propriedades
algébricas.
Um sinal digital em escala de cinza é em geral definido sobre um subconjunto de
números inteiros. Sex∈ E, entãoF(x) denota um valor do sinal emx. Nesta seção serão
introduzidas as funções intervalares para imagens em escala de cinzas e que modelarão as
incertezas entrepixelsdessas imagens.
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA74
Por exemplo, suponha que, em uma determinada posição do espaço, o valor retornado
pela função corresponde a 15, e na seqüência de imagens, na mesma posição, esse valor
varia entre 13 e 16. Observa-se aí a existência de uma incerteza. Neste caso, considera-
se uma imagem intervalar em que para essa posição teremos o intervalo [13,16]. Esse
intervalo corresponde ao menor e maior valor obtido na sequência garantindo que o valor
exato do tom pertence a ele.
Em [4], Lyra define uma imagem digital intervalar como sendo uma matrizA, de
ordemm x n que representa uma imagem espacialmente discretizada, obtida através de
um dispositivo de aquisição de imagens e digitalizada por um digitalizador intervalar que
transforma cada pixel da imagem em um intervalo. Alguns pixels serão representados por
intervalos degenerados, por exemplo, [12,12] , outros serão representados por intervalos
contendo um menor e um maior valor em suas extremidades e que representam os
pixels indefinidos, como por exemplo, [11,16]. Cadaai, j em A é denominado pixel
intervalar, porque é um intervalo que define a variaçãoI da intensidade luminosa deste
pixel intervalar.
6.2.1 Imagens intervalares em escala de cinzas
De acordo com Lyra et all [4], um dos caminhos para gerar uma imagem digital
intervalar, é feito no momento da aquisição, através da regulagem do dispositivo de
aquisição ou modificações ambientais. Estas modificações podem ocorrer devido a alguns
fatores como por exemplo, luminosidade, humidade, etc. Certamente, estas modificações
contribuem para a geração de uma imagem intervalar onde a imagem ótima deverá estar
contida.
A seguir, serão apresentada, as imagens em escala de cinzas, como funções mapeadas
no reticuladoΩN.
Definição 6.2.1Seja E= Z×Z. Uma imagem intervalar em escala de cinzascuja
posição do pixel é correspondente a valores intervalares, é definida pelo mapeamento
F : E → ΩN. O conjunto de todas as funções que representam as imagens em escala de
cinzas será denotado porΩEN.
Desde queΩN é um reticulado completo, entãoΩEN é também um reticulado completo
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA75
com ordem parcial e operações de supremo e ínfimo descritas nas definições 6.2.2 e 6.2.4
a seguir.
Definição 6.2.2Dadas F,G ∈ ΩEN, a seguinte relação de ordem é definida sobreΩE
N:
F ≤G⇔ F(x)≤G(x),∀x∈ E, i.e,〈ΩEN,≤〉 torna-se uma ordem parcial.
Proposição 6.2.3〈ΩEN,≤〉 é uma ordem parcial satisfazendo as seguintes propriedades:
• F ≤ F (Reflexividade);
• Se F≤G e G≤ F, então F= G (Anti-simetria);
• Se F≤G e G≤ H, então F≤ H (Transitividade)
Prova Desde que〈ΩN,≤〉 é uma ordem parcial (veja a estrutura representada na figura
6.2), por herança,〈ΩEN,≤〉 também é uma ordem parcial.
Operações Básicas
Definição 6.2.4 (Operações de supremo e ínfimo)Seja I um conjunto de índices. Dada
uma família não vazia de funções intervalares FI = Fii∈I e X⊆ΩN. Sejamπ1([a,b]) = a
e Π1(X) = π1(xi) : xi ∈ X, π2([a,b]) = b, eΠ2(X) = π2(xi) : xi ∈ X. Define-se as
seguintes operações:
∨Fii∈I (x) = [
∨Π1Fi(x)i∈I ,
∨Π2Fi(x)i∈I ] (6.2.1)
∧Fii∈I (x) = [
∧Π1Fi(x)i∈I ,
∧Π2Fi(x)i∈I] (6.2.2)
Proposição 6.2.5Dada qualquer família não vaziaFii∈I ⊆ ΩEN, então,
∨Fii∈I (x) e∧
Fii∈I (x) é uma operação de supremo e de ínfimo respectivamente.
Prova Primeiro mostra-se que∀x∈ E,∨Fi(x) é um marjorante deFi(x). Como para
cadax, π1Fi(x) ≤ supπ1Fi(x) e π2Fi(x) ≤ supπ2Fi(x), então∨Fi é um marjorante de
Fi.
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA76
Agora mostra-se que∨Fi é dos menor dos marjorantes deFi.
SejaG outro marjorante deFi. Por definição∀x∈ E,Fi(x)≤G(x).
Então,∀x, π1Fi(x)≤ π1G(x) e π2Fi(x)≤ π2G(X).
Então,supπ1Fi(x)≤ π1G(x) esupπ2Fi(x)≤ π1G(x).
Portanto∨Fii∈I (x)≤G(x),∀x∈ E.
desse modo,∨Fi(x) é uma operação de supremo.
A prova da operação de infimo é análoga.
Lema 6.2.6 As funções N,O : E → ΩEN, tal que N(x) = [n,n] e O(x) = [0,0] para todo
x∈ E são, respectivamente, o maior e o menor elemento deΩEN.
Prova SejaF ∈ ΩEN. Então, para qualquerx ∈ E, O(x) = [0,0] ≤ F(x) ≤ [n,n] = N(x).
Assim,O ≤ F ≤ N, para toda funçãoF ∈ΩEN.
Corolário 6.2.7 Se I= /0 então, as funções constantes0 e N são respectivamente o
supremo e o infimo de FI .
Prova Direto do lema 6.2.6.
Teorema 6.2.8〈ΩEN,≤,N,O〉, onde "≤"é uma ordem parcial, é um reticulado completo
Prova Direto da definição 6.2.4 e da proposição 6.2.5.
ΩEN tem operação de complemento dada como segue.
Definição 6.2.9Seja F∈ΩEN então, a negação¬ : ΩE
N →ΩEN é definida por
(¬F)(X) = ¬F(X) (6.2.3)
Desse modo, se F∈ΩEN e F(X) = [x,x] então¬F(X) = [n−x,n−x]
Proposição 6.2.10¬ é um complemento forte.
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA77
Prova
1. ¬(0) = N e¬(N) = 0
a)¬(0)(x)de f= [n−0,n−0] = [n,n] = N
b)¬(N)(x)de f= [n−n,n−n] = [0,0] = 0
2. SupondoX ≥Y, então
x≥ y ex≥ y, então
n−y≥ n−x en−y≥ n−x
n−x≤ n−y en−x≤ n−y
[n−x,n−x]≤ [n−y,n−y]
¬X ≤ ¬Y
3. ¬¬F(X) = ¬([n−x,n−x]) = [n−n+x,n−n+x] = [x,x]
Portanto,¬¬F(x) = F(x)
Corolário 6.2.11 A ordem parcial(ΩEN,≤) é um reticulado completo com¬ sendo um
complemento forte.
Prova Direto das proposições 6.2.8 e 6.2.10.
Existem vários outros complementos fortes que podem ser definidos sobreΩEN, porém
considera-se o complemento acima por sua simplicidade e naturalidade.
Na próxima seção será apresentada a extensão das operações morfológicas paraΩEN.
6.3 Operações morfológicas para imagens intervalars em
níveis de cinza
O modelo morfológico aplicado a de problemas de análise de imagem está baseado na
extração de informações de imagens a partir de transformações de formas, conforme foi
dito no início desta discertação. Proposta por Matheron e Serra, as dilatações e erosões
são usadas para a criação de transformações mais sofisticadas. Essas transformações por
sua vez, levaram a vários resultados importantes do ponto de vista de análise de imagens,
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA78
dentre eles, pode-se citar os filtros morfológicos, o preenchimento de buracos, extração
de contornos e reconhecimento de padrões.
A construção de sistemas morfológicos, geralmente, é implementada a partir da
concepção do problema e pela escolha dos operadores mais adequados à solução em
questão. Um dos maiores problemas para a adequação de operadores é observado na
especificação dos elementos estruturantes. Uma possível solução para este problema é a
criação de um mecanismo capaz de encontrar as funções aditivas estruturantes adequadas,
de forma a realizar a transformação desejada. No caso da abordagem intervalar, vale
salientar que serão necessárias algumas restrições para a função estruturante intervalar
escolhida. Será necessário impor algumas condições, uma vez que estaremos tratando
com conjuntos intervalares finitos e funções mapeadas nesses conjuntos. Isso será
possível, porque as transformações utilizadas em morfologia matemática podem ser
aplicadas a conjuntos de dimensão qualquer, tais como oN-espaço Euclidiano, ou o
espaço dasN-uplas de inteiros.
A extensão da morfologia matemática para reticulados completos arbitrários, por
Serra [46], resultou em diferentes pontos de vista com respeito a imagens em níveis
de cinza. De acordo com Banon e Barrera em [24], a idéia central da morfologia
matemática é a decomposição dos mapeamentos entre reticulados completos em termos
dos operadores elementares: erosão e dilatação. Nesta seção, será estendida a teoria da
morfologia em níveis de cinza desenvolvida para o caso pontual, por Heijmans em [40]
para mapeamentos entre reticulados intervalares.
Nesta seção serão introduzidos alguns conceitos básicos da morfologia matemática,
bem como os operadores morfológicos intervalares para imagens em níveis de cinza.
Observe que algumas operações são diferentes das operações para o caso tradicional,
pois serão operações entre intervalos, cujas propriedades algébricas algumas vezes se
diferenciam do caso real.
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA79
6.3.1 Operações básicas
Definição 6.3.1Dadas duas funções intervalares F,G∈ΩEN. As operações de supremo e
de ínfimo entre F e G, são definidas repectivamente por:
(F ∨G)(x) = F(x)∨G(x) (6.3.1)
(F ∧G)(x) = F(x)∧G(x) (6.3.2)
Assim, se F(x) = [a,b] e G(x) = [c,d], então
(F ∨G)(x) = [max(a,c),max(b,d)] e
(F ∧G)(x) = [min(a,c),min(b,d)]
Exemplo 6.3.3 F(x) = [2,8] and G(x) = [3,7]
(F ∨G)(x) = [max(2,3),max(8,7)] = [3,8]
(F ∧G)(x) = [min(2,3),min(8,7)] = [2,7]
6.3.2 Dilatação e erosão para imagens intervalares em níveis de
cinzas
Para definir os operadores morfológicos necessita-se introduzir os conceitos de
translação, soma e diferença de Minkowiski
Definição 6.3.2 (Translação horizontal)Dada uma imagem intervalar F: E→ΩN, u∈
E. A translação horizontalde F por u, é a função intervalar Fu : E→ΩN definida por
Fu(x) = F(x−u) (6.3.4)
A Figura 6.3 apresenta um gráfico de uma função intervalar com uma translação
horizontal.
Definição 6.3.3 (Translação vertical)Dada uma imagem intervalar F: E→ΩN, e V∈
ΩN. A translação verticalde Fx por V é definida por
(F +V)(x) = F(x)uV (6.3.5)
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA80
Figura 6.3: Uma função intervalar com uma translação horizontal.
A Figura 6.4 apresenta um gráfico de uma função intervalar com uma translação
vertical.
Figura 6.4: Uma função intervalar com uma translação vertical.
Quando ambas as translações são aplicadas juntas, obtém-se uma translação
morfológica intervalar dada por
(Fu +V)(x) = F(x−u)uV (6.3.6)
A Figura 6.5 apresenta um gráfico de uma função intervalar com uma translação
morfólogica.
Definição 6.3.4 (Reflexão)Dada uma imagem intervalar G∈ΩEN e x∈ E, a reflexãode
G é definida porG(x) = G(−x)
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA81
Figura 6.5: Uma função intervalar com uma translação morfológica.
Observação 6.3.1F−u(x) = F(x+u)
Proposição 6.3.5Seja F : E → ΩN então, existe F,F : E → L tal que, F(u) =
[F(u),F(u)]. Em outras palavras, a função intervalar F pode ter uma forma intervalar,
onde as extremidades são funções que pertencem ao caso pontual.
Prova SejaF(u) = π1(F(u)) e F(u) = π2(F(u)), ondeπ1eπ2 são definidas de acordo
com a definição 6.2.4, então
F(u) = [π1(F(u)),π2(F(u))] = [F(u),F(u)]
Corolário 6.3.6 Fu(x) = [Fu(x),Fu(x)]
Prova De fato, temos que,
Fu(x) = F(x−u) = [F(x−u),F(x−u)] = [Fu(x),Fu(x)]
Ou sejaFu = Fu eFu = Fu
Definição 6.3.7 (Soma e diferença de Minkowiski)Dada duas imagens intervalares
F,G∈ΩEN. A soma e a diferença Minkowski são definidas respectivamente por:
FG =∧
u∈dom(G)
(Fu−G(u)) (6.3.7)
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA82
F⊕G =∨
u∈dom(G)
(Fu uG(u)) (6.3.8)
Definição 6.3.8Um operadorψ sobre ΩEN é umadilatação se, para toda família de
imagensFi ⊆ ΩEN, ψ(
∨Fi) =
∨ψ(Fi). Dualmente, é umaerosão, seψ(
∧Fi) =∧
ψ(Fi).
Observação 6.3.2Em geral a dilatação e a erosão são operações descritas do seguinte
modo:
Dado duas funções F e G, então
∆G(F)(x) = (F⊕G)(x) =∨
u∈dom(G)
[F(x−u)uG(u)] (6.3.9)
εG(F)(x) = (FG)(x) =∧
u∈dom(G)
[F(x−u)−G(u)] (6.3.10)
εG(F) e ∆G(F) são umaerosãoe umadilatação, respectivamente. G é chamada de
função estruturante aditiva. ComoG(x) = G(−x), logo, para o caso da erosão, pode-se
escrever a equação por (6.3.10) por
εG(F)(x) = (FG)(x) =∧
u∈dom(G)
[F(x+u)−G(u)] (6.3.11)
Note ainda que as operações descritas acima são utilizadas considerando um domínio
finito e somente podem ser utilizadas sob certas condições conforme será visto nesta
seção. A seguir, apresentam-se alguns conceitos importantes e resultados tais como,
H-operador e relação de adjunção. Esses resultados, foram baseados no caso pontual
desenvolvido por Heijmans em [40].
Além disso, de acordo com a definição 6.2.4, uma forma equivalente para definir as
operações de dilatação e erosão para o caso intervalar, é dada como segue.
Sejam F,G∈ ΩEN. Sejam Pu(x) = F(x−u)u G(u) e Qu(x) = F(x−u)−G(u), então
por definição 6.2.4 a dilatação e a erosão podem ser escrita também por
∆G(F)(x) = (F⊕G)(x) =[∨
Π1Pu(x)u∈E,∨
Π2Pu(x)u∈E
](6.3.12)
εG(F)(x) = (FG)(x) =[∧
Π1Qu(x)u∈E,∧
Π2Qu(x)u∈E
](6.3.13)
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA83
onde Π1 e Π2 são definidas de acordo com a definição 6.2.4. No que segue,
apresentaremos um teorema que caracteriza as operações de dilatação e erosão para
o caso intervalar.
Teorema 6.3.9(Teorema da representação intervalar dos operadores morfológicos)
Pode-se introduzir uma caracterização alternativa para dilatação e erosão intervalares
que é descrita pelas equações
(F⊕G)(x) = [(F⊕G)(x),(F⊕G)(x)] (6.3.14)
(FG)(x) = [(FG)(x),(FG)(x)] (6.3.15)
Prova Primeiro mostra-se que,(F⊕G)(x) = (F uG)(x).
Tem-se que,
(F⊕G)(x) = Π1(F⊕G(x))
= Π1(∨
u∈E Fu(x)uG(u)) =
= Π1[∨
u∈E Π1(Fu(x)uG(u)),∨
u∈E Π2(Fu(x)uG(u))], equação 6.3.12
=∨
u∈E Π1(Fu(x)uG(u))
=∨
u∈E Π1[(Fu(x)uG(u),(Fu(x)uG(u)] equação 6.1.8
=∨
u∈E(Fu(x)uG(u))
=∨
u∈E(Fu(x)uG(u))
=∨
u∈E(Fu(x)uG(u)), corolário 6.3.6
= (F⊕G(x)), caso Pontual.
Analogamente,
(F⊕G)(x) = (F⊕G)(x) (6.3.16)
A demonstração para o caso da erosão, é análoga.
Na morfologia clássica, o conceito geral de adjunção é dado por:
Definição 6.3.10 (Adjunção)SejamM ,N dois reticulados completos, tal queε : M →
N e δ : N → M . O par (ε,δ) é chamado uma adjunção entreM e N seδ(Y) ≤ X ⇔
Y ≤ ε(X) [40].
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA84
De acordo com Heijmans, em [40], o par(εG(F),∆G(F)) é uma adjunção sobre um
reticuladoM se e somente se, para todox,y∈E, existe uma adjunção(εy,x,δx,y) sobreM
tal que
∆(F)(y) =∨x∈E
δx,y(F(x)) (6.3.17)
ε(F)(x) =∧x∈E
εy,x(F(y)) (6.3.18)
Na morfologia clássica, quando se toma somente a translação horizontal (invariante
por tranlação), o operador é chamado de H-operador. Assim, para H-operador, temos que
Fu(x) = F(x−u) e Ψ(Fu) = [Ψ(F)u]. O mapeamento consiste emF → Fu.
Note que, seΨ é invariante sob a translação vertical, entãoΨ(F + v) = Ψ(F) + v.
Este operadorΨ é chamado de um T-operador. Neste caso, consiste em um mapeamento
F → F +v.
Definição 6.3.11Um mapeamentoδ : ΩN→ΩN é uma dilatação intervalar seδ([0,0]) =
[0,0] e δ é não decrescente. A adjunção erosão intervalar é dada por:
ε(T) = maxS|δ(S) = T (6.3.19)
Onde o máximo do conjunto vazio é definido para serO.
Toda H-adjunção(ε,∆) sobreΩEN é definida por
Definição 6.3.12Seja u∈ E. Seδu e εu é uma dilatação intervalar e uma erosão
intervalar respectivamente sobreΩN. As funções operadores∆ e ε são dadas por
∆(F)(y) =∨u∈E
δu(F(y−u)) (6.3.20)
ε(F)(x) =∧u∈E
εu(F(x+u)) (6.3.21)
definem uma H-dilatação e H-erosão respectivamente e o par(εu,δu) forma uma
adjunção sobreΩN para todo u∈ E.
A seguir, apresentam-se alguns resultados que dependem da classe especial de operações
de soma e diferença definidas pelas equações (6.1.6) e (6.1.7).
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA85
Lema 6.3.13 O par (ε,δ) tal comoε(T) = T−V e δ(T) = T uV define uma adjunção
sobreΩN Para todo V∈ IZ.
Prova Esta prova é consequência da definição 6.1.10, da proposição 6.1.11.
Na seção 6.1 foi definida uma classe especial de operações de soma e diferença para
o caso intervalar em conjuntos finitos, e que podem ser descritos por:
SendoΩN = [0,0], ..., [n,n] comn∈ N e N = [n,n] ∈ IN. ParaT ∈ ΩN eV ∈ IZ logo,
T 7→ T uV eT 7→ T−V sobreΩN são operações descritas como na definição 6.1.10.
Coonsiderando a função estruturanteG e tomando-seεu(T) = T−G(u) e δu(T) =
T uG(u), combinando a definição 6.3.12 e o lema 6.3.13, então,
T = F(y−u)⇒ δu(F(y−u)) = F(y−u)uG(u), e
T = F(x+u)⇒ εu(F(x+u)) = F(x+u)−G(u). Portanto
εG(F)(x) =∧
u∈E[F(x+u)−G(u)] e ∆G(F)(x) =∨
u∈E[F(x−u)uG(u)]
Proposição 6.3.14A dilatação e a erosão satisfazem respectivamente
∆(F uV) = ∆(F)uV (6.3.22)
ε(F−V) = ε(F)−V (6.3.23)
Prova De acordo com as equações (6.3.14) e (6.3.15), descritas 6.3.9, tem-se que:
∆(F uV) = (F⊕V)(x)
= [(F⊕V)(x),(F⊕V)]
= [∆(F uV)(x),∆(F uV)(x)]
= ∆(F uV),∆(F uV)]
onde ([40, Eq 11.3])∆(F uV) = ∆(F)uV e ∆(F uV) = ∆(F)uV
O caso da erosão é análogo.
A proposição a seguir mostra que, as equações (6.3.9) e (6.3.10), sob certas condições,
são satisfeitas para o caso finito intervalar.
Proposição 6.3.15Seja∆ uma H-dilatação sobreΩEN satisfazendo∆(F uV) = ∆(F)uV
para F∈ΩEN e V≥ O, ondeO = [0,0], então, existe uma função intervalar não negativa,
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA86
G com dom(G)⊆ E, tal que∆ é dada pela equação (6.3.9). Analogamente, seε é uma H-
erosão sobreΩEN satisfazendoε(F−V) = ε(F)−V para F ∈ ΩE
N e V ≥ O, existe uma
função intervalar não negativa G com dom(G) ⊆ E, tal queε é dada pela equação
(6.3.10).
Prova Primeiro, para qualquerV ∈ΩN considera-se a função dada por
f0,V(x) =
V , sex = 0
[0,0] , caso contrário(6.3.24)
QuandoV = [1,1], f0,V é chamada de função impulso. DefinimosG por
G(x) = ∆( f0,[1,1])(x)− [1,1] (6.3.25)
Logo,
dom(G) = x|∆( f0,[1,1])(x)≥ [1,1] (6.3.26)
Note que,G(x) ≥ [0,0],∀x ∈ dom(G). Desde que, qualquer função intervalar pode ser
escrita comoF =∨
u∈E fu,F(u), é suficiente mostrar que∆( fu,V) = fu,V⊕G, para cada
u ∈ E e V ∈ ΩN. Observando que, por causa da invariança da translação horizontal,
podemos restringir para o casou = 0. O resultado é trivial paraV = [0,0], desde que
f0,[0,0](x) = [0,0]. Isto é verdade porque,[0,0]uG(x) = [0,0]. Por outro lado,
∆( f0,[0,0])(x) =∨
u∈E δu( f0,[0,0](x−u)) Definição 6.3.12
= δu([0,0]) = [0,0] Definição 6.3.11
= f0,[0,0](x)uG(x)
Será mostrado que∆( f0,V) = f0,V⊕G paraV = [0,1], ...[n,n].
Primeiro considera-se a seguinte igualdade:
∆( f0,V) = ∆( f0,[1,1] u (V− [1,1])) (6.3.27)
Dois casos serão analizados, quandox = 0 ex 6= 0.
Sex = 0 tem-se que,f0,[1,1](x)u (V− [1,1]) = [1,1]uV− [1,1] = V = f0,V(x)
Sex 6= 0 tem-se que,
f0,[1,1](x)uV− [1,1] = [0,0]uV− [1,1] = [0,0] = f0,V(x).
Pela proposição 6.3.14,∆( f0,V uV− [1,1]) = ∆( f0,[1,1])u (V− [1,1]) = V.
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA87
Logo,∆( f0,V) = ∆( f0,[1,1])u (V− [1,1]).
Sex∈ dom(G) então, pela equação (6.3.25),
∆( f0,[1,1])(x) = G(x)+ [1,1], logo,
∆( f0,V)(x) = ∆( f0,[1,1])(x)u (V− [1,1]) = (G(x)+ [1,1])u (V− [1,1]).
Sex 6∈ Dom(G), então∆( f0,[1,1])(x) 6> [1,1].
Neste caso, tem-se duas alternativas:
a) ∆( f0,[1,1])(x) = [0,0] ou b)∆( f0,[1,1])(x) = [0,1].
Mas, pela equação (6.3.20),∆( f0,[1,1])(x) =∨
u∈E δu( f0,[1,1](x − u)) = δx([1,1]) ∨∨u∈E−x δu([0,0]) = δx([1,1])∨ [0,0] = δx([1,1]) 6= [0,0].
Logo, de a) e b),∆( f0,[1,1])(x) = [0,1]. Assim,
∆( f0,V)(x) =
(G(x)+ [1,1])u (V− [1,1]) , sex∈ dom(G)
[0,1] , caso contrário(6.3.28)
Desde que,(G(x)+ [1,1])u (V− [1,1]) = V uG(x) seV ≥ [0,0], eG(x)≥ [0,0], i.e.,
x∈ dom(G), então, considera-se dois casos:
CasoV = [0,1]
(G(x)+ [1,1])u ([0,1]− [1,1]) = (G(x)+ [1,1])u [−1,0] = G(x)+ [0,1] = G(x)+V =
V +G(x) = V uG(x)
CasoV > [0,1]
(G(x) + [1,1]) u (V − [1,1]) = (G(x) + [1,1]) u (V − [1,1]) = G(x) +V = V + G(x) =
V uG(x). Assim,∆( f0,V)(x) = V uG(x) para todox∈ Dom(G).
Por outro lado, pela equação (6.3.9)
( f0,V⊕G)(x) =
∨u∈dom(G)
( f0,V(x−u)uG(u)) =
(V uG(x)) , sex∈ dom(G)
[0,0] , caso contrário(6.3.29)
Então∆( f0,V)(x) = ( f0,V⊕G)(x) sex∈ dom(G).
A prova do caso da erosão é análoga.
Corolário 6.3.16 O par (ε,∆) ondeε e ∆ é definido como a definição 6.3.12 é uma H-
adjunção sobreΩEN.
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA88
Prova Direto do lema 6.3.13 e proposição 6.3.15.
No que segue, será apresentado um exemplo de uma imagem intervalar descrita em
uma gradeE = 7×7, bem como as operações de dilatação e erosão sobre essa imagem,
por uma função estruturanteG pré-definida.
Exemplo 6.3.30Seja E uma grade de dimensão7×7 e seja F∈ΩEN tal que F= [F ,F ].
Supondo que uma sequência de imagens obtidas pela mesmo posição e representadas pelo
conjunto de pares ordenados dados por(0,0),(1,5),(2,3),(3,4),(4,2),(5,5),(6,6).
Para cada posição, tem-se um valor que algumas vezes apresenta incerteza. De acordo
com a definição de imagem intervalar, toma-se para cada F, o menor elemento e para
F, o maior elemento. Tem-se que: F(0,0) = 1 e F(0,0) = 3, F(1,5) = 4 e F(1,5) = 6,
F(2,3) = 2 eF(2,3) = 4, F(3,4) = 0 eF(3,4) = 2, F(4,2) = 5 eF(4,2) = 5, F(5,5) = 6
eF(5,5) = 7, F(6,6) = 6 eF(6,6) = 8. Nesse caminho, é formada uma função intervalar
F : E→Ω8 ou em ordem,
Im(F) = [0,2], [1,3], [2,4], [4,6], [5,5], [6,7], [6,8]
Considerando G como uma função estruturante e tomando G= G. Seja u∈ Z tal que,
u = u1,u2,u3, onde u1 = (0,0), u2 = (0,2) e u3 = (1,2).
A Figura 6.6 representa a imagem intervalar F e a função estruturante G para
G(u1) = [2,2], G(u2) = [1,1] e G(u3) = [3,3].
Para calcular a dilatação, primeiro calcula-se todas as translações horizontais da
função F, para cada ui , i = 1,2,3. Em seguida, calcula-se F(x− u) u G(u), x ∈ E e
finalmente aplica-se o supremo, i.e., calcula-se∨
[F(x−u)uG(u)].
Translação de F por u1
Fu1(0,0) = F((0,0)− (0,0)) = F(0,0) = [1,3]
Fu1(1,5) = F((1,5)− (0,0)) = F(1,5) = [4,6]
Fu1(2,3) = F((2,3)− (0,0)) = F(2,3) = [2,4]
Fu1(3,4) = F((3,4)− (0,0)) = F(3,4) = [0,2]
Fu1(4,2) = F((4,2)− (0,0)) = F(4,2) = [5,5]
Fu1(5,5) = F((5,5)− (0,0)) = F(5,5) = [6,7]
Fu1(6,6) = F((6,6)− (0,0)) = F(6,6) = [6,8]
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA89
Figura 6.6: Imagem representada por uma funçãoF e por uma função estruranteG
Translação de F por u2
Fu2(0,2) = F((0,2)− (0,2)) = F(0,0) = [1,3]
Fu2(1,7) = F((1,7)− (0,2)) = F(1,5) = [4,6]
Fu2(2,5) = F((2,5)− (0,2)) = F(2,3) = [2,4]
Fu2(3,6) = F((3,6)− (0,2)) = F(3,4) = [0,2]
Fu2(4,4) = F((4,4)− (0,2)) = F(4,2) = [5,5]
Fu2(5,7) = F((5,7)− (0,2)) = F(5,5) = [6,7]
Fu2(6,8) = F((6,8)− (0,2)) = F(6,6) = [6,8]
Translação de F por u3
Fu3(1,2) = F((1,2)− (1,2)) = F(0,0) = [1,3]
Fu3(2,7) = F((2,7)− (1,2)) = F(1,5) = [4,6]
Fu3(3,5) = F((3,5)− (1,2)) = F(2,3) = [2,4]
Fu3(4,6) = F((4,6)− (1,2)) = F(3,4) = [0,2]
Fu3(5,4) = F((5,4)− (1,2)) = F(4,2) = [5,5]
Fu3(6,7) = F((6,7)− (1,2)) = F(5,5) = [6,7]
Fu3(7,8) = F((7,8)− (1,2)) = F(6,6) = [6,8]
Note que, nas posições(6,8) e (7,8) toma- e(6,7) e (7,7)
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA90
As novas posições são dadas pelo conjunto
(0,0),(1,5),(2,3),(3,4),(4,2),(5,5),(6,6),(0,2),(1,7),(2,5),(3,6),(4,4),(5,7),
(6,7),(1,2),(2,7),(3,5),(4,6),(5,4),(6,7),(7,7)
Em seguida, calcula-se a soma de Minkowiski, F(x−u)uG(u).
F(0,0)uG(0,0) = [1,3]u [2,2] = [3,5]
F(1,5)uG(0,0) = [4,6]u [2,2] = [6,8]
F(2,3)uG(0,0) = [2,4]u [2,2] = [4,6]
F(3,4)uG(0,0) = [0,2]u [2,2] = [2,4]
F(4,2)uG(0,0) = [5,5]u [2,2] = [7,7]
F(5,5)uG(0,0) = [6,8]u [2,2] = [8,8]
F(6,6)uG(0,0) = [7,7]u [2,2] = [8,8]
F(0,0)uG(0,2) = [1,3]u [1,1] = [2,4]
F(1,5)uG(0,2) = [4,6]u [1,1] = [5,7]
F(2,3)uG(0,2) = [3,3]u [1,1] = [4,4]
F(3,4)uG(0,2) = [4,4]u [1,1] = [6,6]
F(4,2)uG(0,2) = [5,5]u [1,1] = [7,7]
F(5,5)uG(0,2) = [6,8]u [1,1] = [8,8]
F(6,6)uG(0,2) = [7,7]u [1,1] = [8,8]
F(0,0)uG(1,0) = [1,3]u [4,4] = [5,5]
F(1,5)uG(1,0) = [4,6]u [4,4] = [8,8]
F(2,3)uG(1,0) = [3,3]u [4,4] = [7,7]
F(3,4)uG(1,0) = [4,4]u [4,4] = [8.8]
F(4,2)uG(1,0) = [5,5]u [4,4] = [8,8]
F(5,5)uG(1,0) = [6,8]u [4,4] = [8,8]
F(6,6)uG(1,0) = [7,7]u [4,4] = [8,8]
Finalmente, para cada posição, x, calcula-se∨
[F(x−u)uG(u)]. Assim, obtém-se a
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA91
dilatação intervalar(F⊕G) que é representada na figura 6.7.
Figura 6.7: Dilatação intervalar deF pela função estruranteG
Para a erosão, calculamos F(x+u)−G(u), como segue.
F−u1(0,0) = F((0,0)+(0,0)) = F(0,0) = [1,3]
F−u1(1,5) = F((1,5)+(0,0)) = F(1,5) = [4,6]
F−u1(2,3) = F((2,3)+(0,0)) = F(2,3) = [2,4]
F−u1(3,4) = F((3,4)+(0,0)) = F(3,4) = [0,2]
F−u1(4,2) = F((4,2)+(0,0)) = F(4,2) = [5,5]
F−u1(5,5) = F((5,5)+(0,0)) = F(5,5) = [6,8]
F−u1(6,6) = F((6,6)+(0,0)) = F(6,6) = [7,7]
F−u2(0,−2) = F((0,−2)+(0,2)) = F(0,0) = [1,3]
F−u2(1,3) = F((1,3)+(0,2)) = F(1,5) = [4,6]
F−u2(2,1) = F((2,1)+(0,2)) = F(2,3) = [2,4]
F−u2(3,2) = F((3,2)+(0,2)) = F(3,4) = [0,2]
F−u2(4,0) = F((4,0)+(0,2)) = F(4,2) = [5,5]
F−u2(5,3) = F((5,3)+(0,2)) = F(5,5) = [6,8]
F−u2(6,4) = F((6,4)+(0,2)) = F(6,6) = [7,7]
F−u3(−1,−2) = F((−1,−2)+(1,2)) = F(0,0) = [1,3]
F−u3(0,3) = F((0,3)+(1,2)) = F(1,5) = [4,6]
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA92
F−u3(1,1) = F((1,1)+(1,2)) = F(2,3) = [2,4]
F−u3(2,2) = F((2,2)+(1,2)) = F(3,4) = [0,2]
F−u3(3,0) = F((3,0)+(1,2)) = F(4,2) = [5,5]
F−u3(4,3) = F((4,3)+(1,2)) = F(5,5) = [6,8]
F−u3(5,4) = F((5,4)+(1,2)) = F(6,6) = [7,7]
Note que, nas posições(0,−2) e (−1,−2) toma-se(0,0) e (0,0).
Em seguida, calcula-se a diferença Minkowiski F(x+u)−G(u).
F(0,0)−G(0,0) = [1,3]−[2,2] = [−1,1] = [0,1]
F(1,5)−G(0,0) = [4,6]−[2,2] = [2,4]
F(2,3)−G(0,0) = [2,4]−[2,2] = [0,2]
F(3,4)−G(0,0) = [0,2]−[2,2] = [−2,0] = [0,0]
F(4,2)−G(0,0) = [5,5]−[2,2] = [3,3]
F(5,5)−G(0,0) = [6,8]−[2,2] = [4,6]
F(6,6)−G(0,0) = [7,7]−[2,2] = [5,5]
F(0,0)−G(0,2) = [1,3]−[1,1] = [0,2]
F(1,5)−G(0,2) = [4,6]−[1,1] = [3,5]
F(2,3)−G(0,2) = [2,4]−[1,1] = [2,2]
F(3,4)−G(0,2) = [4,4]−[1,1] = [3,3]
F(4,2)−G(0,2) = [5,5]−[1,1] = [4,4]
F(5,5)−G(0,2) = [6,8]−[1,1] = [5,7]
F(6,6)−G(0,2) = [7,7]−[1,1] = [6,6]
F(0,0)−G(1,0) = [1,3]−[4,4] = [−3,1] = [0,1]
F(1,5)−G(1,0) = [4,6]−[4,4] = 0,2]
F(2,3)−G(1,0) = [2,4]−[4,4] = [−2,0] = [0,0]
F(3,4)−G(1,0) = [4,4]−[4,4] = [0,0]
F(4,2)−G(1,0) = [5,5]−[4,4] = [1,1]
F(5,5)−G(1,0) = [6,8]−[4,4] = [2,4]
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA93
F(6,6)−G(1,0) = [7,7]−[4,4] = [3,3]
Para a operação de erosão, calcula-se, para cada posição x,(FG)(x) =∧
u∈E[F(x+
u)−G(u)]. A figura 6.8 mostra a erosão intervalar obtida pelas translações da função
estruturante G sobre a imagem intervalar F: E→Ω8.
Figura 6.8: Erosão intervalar deF pela função estruranteG
Note que, ospixelsmais escuros estão representados à direita da imagem intervalar e os
mais claros, à esquerda.
Observação 6.3.3No exemplo 6.3.30 foi possível observar que, a imagem intervalar
difere pelo tom de cinza. Quando os tons são diferentes èsquerda e à direita da imagem,
na mesma posição, significa que, nesta posição existe uma incerteza.
Uma importante propriedade algébrica dos operadores elementares da morfologia
matemática é a relação da dualidade entre erosão e dilatação¬(F ⊕G) = ¬F G. será
mostrado que essa propriedade também vale para o caso intervalar.
Proposição 6.3.17Sejam F e G duas imagens em intervalares em escala de cinzas, então
¬(F⊕G) = ¬FG (6.3.31)
Prova
¬FG =∧
u∈E¬Fu(x)−G(x)
=∧
u∈E([L,L]−Fu(x))−G(x) definição 6.2.9
=∧
u∈E([L,L]− [Fu(x),Fu(x)])−G(x), corolário 6.3.6
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA94
=∧
u∈E[L−Fu(x),L−Fu(x)]−[G(x),G(x)], equação 6.1.3 e proposição 6.3.5
=∧
u∈E[(L−Fu(x))−G(x),(L−Fu(x))−G(x)], proposição 6.1.11
=∧
u∈E[¬Fu(x)−G(x),¬Fu(x)−G(x)], equação 6.1.5
= [∧
u∈E¬Fu(x)−G(x),∧
u∈E¬Fu(x)−G(x)], proposição 6.3.5
= [(¬FG)(x),(¬FG)(x)], definição do caso pontual de ([27], equação 13)
= [¬(F⊕G)(x),¬(F⊕G)(x)], proposição análoga para equação 6.3.31
= [L− (F⊕G)(x)),L− (F⊕G)], equação 6.2.9
= [L,L]− (F⊕G)(x), proposição 6.3.9 e equação 6.1.3
= ¬(F⊕G)(x), definição 6.1.7.
A dilatação e a erosão são suficientes para decompor outros importantes operadores
morfológicos. A seguir, apresenta-se algumas dessas operações do ponto de vista do
modelo intervalar desenvolvido nesse trabalho. Em outras palavras, nós vamos apresentar
alguns tipos de opeações usando imagens intervalares em escala de cinzas.
6.3.3 Outros operadores morfológicos
Tal como o caso tradicional, pode-se definir outras operações morfológicas
intervalares. As mais básicas sãoabertura e fechamentoque são consideradas como
filtros morfológicos. Estas operações são definidas respectivamente por:
F G = (FG)⊕G (6.3.32)
F •G = (F⊕G)G (6.3.33)
Na forma intervalar essas equações tem a forma,
Abertura :
SejaE(x) = (F ˙G)(x) e sejaHu(x) = E(x−u)⊕G(u), então
(F G)(x) = (E⊕G)(x) = [∨
Π1Hu(x)u∈E,∨
Π2Hu(x)u∈E]
Fechamento:
Analogamente,
sejaD(x) = (F⊕G)(x) eWu(x) = D(x−u)−G(u), então
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA95
(F •G)(x) = (DG)(x) = [∧
Π1Wu(x)u∈E,∧
Π2Wu(x)u∈E]
As operações de abertura e fechamento em geral são muito utizadas para filtragens em
imagens que foram corrompidas por ruídos. Estas operações são do tipo "close-open"e
"open-close"e tem a seguinte forma:
COG(F) = (F G)•G (6.3.34)
OCG(F) = (F •G)G (6.3.35)
Para remover ruídos e gerar uma boa aproximação do sinal sem ruído, algumas vezes é
usadofiltros sequenciais alternados, que é a decomposição de aberturas e fechamentos.
Um filtro sequencial pode ser dado por:
ASFnOC,G(F) = ((((((F •G)G)•2G)2G)...•nG)nG),n∈ N (6.3.36)
Ou
ASFnCO,G(F) = ((((((F G)•G)2G)•2G)...nG)nG),n∈ N (6.3.37)
Para extrair contornos da imagem em geral é utilizado a operação degradiente
morfológico. Esta operação envolve três operações: dilatação erosão e subtração. Na
forma intervalar é definida por:
Grad(F,G)(x) = (F⊕G)(x)−(FG)(x) (6.3.38)
Na forma intervalar temos que, parau∈ E
Grad(F,G)(x) = [∨
Π1Pu(x),∨
Π2Pu(x)]−[∧
Π1Qu(x),∧
Π2Qu(x)]
= [∨
Π1Pu(x)−∧
Π2Qu(x),∨
Π2Pu(x)−∧
Π1Qu(x)]
Para realçar detalhes da imagem na presença sombra, pode-se usar otransformada
top-hat. Esta operação é dada por:
H(F)(x) = F(x)−(F G)(x) (6.3.39)
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA96
Seja F(x) = [x,x] e (F G)(x) = [∨
Π1Hu(x)u∈E,∨
Π2Hu(x)u∈E], então, a forma
intervalar datop-hattransformada é dada por:
H(F)(x) = [x−∨
Π2Hu(x)u∈E,x−∨
Π1Hu(x)u∈E] (6.3.40)
6.3.4 Potenciais aplicações
Nesta seção, foram apresentados os operadores elementares da morfologia
matemática, a dilatação e a erosão, definidos em uma estrutura algébrica do
conjunto intervalar previamente construído. Também apresentou-se algumas operações
importantes derivadas destes operadores. Pode-se dizer então que o modelo intervalar
poderá ser aplicado em técnicas ou método de análise de imagens através da morfologia
matemática, desde que exista a necessidade de um maior controle de erros que
freqüentemente produzem incertezas em algumas regiões da imagem. Para usar o modelo
intervalar, deve-se aplicar as técnicas existentes usando imagens intervalares, juntamente
com as operações morfológicas intervalares. Como mencionado na introdução, pode-se
citar por exemplo, a técnica de segmentação de imagens. Essa é uma técnica que exige
um bom método de controle de erros.
O uso de matemática intervalar em segmentação de imagens, tem como objetivo
controlar possíveis erros computacionais na manipulação de uma imagem que está sendo
segmentada. Por exemplo, supondo que deseja-se aplicar uma segmentação intervalar e
durante o processo é necessário realizar uma operação de dilatação. Um dos objetivo
da operação de dilatação para imagens em tons de cinza, é tornar algumas regiões da
imagem mais clara e eliminar alguns pontos escuros. Para usar o modelo descrito na seção
anterior, pode-se seguir o seguinte caminho: Primeiro, transformar a imagem pontual em
uma imagem intervalar e depois iniciar o processo. Em um processo de segmentação,
várias etapas são necessárias, uma delas pode ser uma operação de dilatação. Como
o “tratamento” é sobre imagens intervalares, então esta deverá ser realizada usando o
modelo intervalar descrito nesse Capítulo. Assim, obtém-se uma dilatação intervalar.
Acredita-se que o uso de um modelo intervalar junto com operações morfológicas
permitirá, além de detectar as incertezas, localizar mais facilmente as regiões imprecisas
CAPÍTULO 6. UM MODELO INTERVALAR PARA IMAGENS EM NÍVEIS DE CINZA97
e desse modo ter um maior controle dos erros.
Existem vários métodos baseados em regiões de crescimento tais comothresholding,
divisão e fusão, clustering, etc. Por exemplo, em [6] foi desenvolvido um método de
segmentação de imagens digitais por k-Means. Este método é feito por agrupamento
e uma aplicação prática pode ser vista [5], onde ele é usado para identificar
microcalcificações e tumores em imagens mamográficas. Para caracterização dessas
microcalcificações como tumores ou não, foram aplicados operações morfológicas de
dilatação e erosão. Para detectar pontos que são partes do tumor, foi aplicado uma
operação de fechamento.
6.3.5 Consclusão sobre o capítulo
Em análise de imagens, os conjuntosfuzzytem se mostrado eficientes ferramentas
em vários níveis do processamento de imagens, incluindo morfologia matemática. Neste
Capítulo foi apresentado um modelo que poderá ser aplicado, também com objetivos de
lidar com questões onde existam regiões indefinidas em imagens em tons de cinza. Os
fundamentos matemáticos, aqui apresentados fizeram uso da teoria intervalar e tiveram
como meta definir os operadores morfológicos em uma estrutura mais abrangente, ou
seja à teoria intervalar. Este modelo, tal comofuzzy, constitui mais uma ferramenta para
tratar com incertezas. A abordagem está direcionada aos casos onde existe uma maior
necessidade de controle de erros e o modelo apresentado poderá ter aplicações em várias
técnicas da análise de imagens, tais como, classificação de padrões, segmentação, extração
de regiões de interesse, filtragens de ruídos, etc. Observe que as incertezas são geradas e
detectadas de acordo a intensidade de brilho do pixel e algumas vezes conduzem a falsos
resultados. Ao utilizarmos um método eficiente de controle de erros, é possível uma maior
exatidão nos resultados.
Capítulo 7
Considerações Finais
Nesta tese espera-se ter realizado uma significativa contribuição ao mundo científico,
particularmente à área de engenharia, no que se refere a uma abordagem matemática sobre
a ótica intervalar aplicada ao processamento digital de imagens, mais especificamente à
morfologia matemática. Apresentou-se um modelo intervalar que, de um modo geral,
poderá ser usado em aplicações práticas que necessitem de um maior controle de erros
em alguma técnica do processamento de imagens utlizando operações morfológicas.
Em outras palavras, os dois modelos desenvolvidos neste trabalho, nos capítulos 5 e 6,
oferecem uma nova ferramenta de controle de erros à área de morfologia matemática,
através da teoria intervalar e poderá ser aplicado em algum processo conhecido tal como
o método de segmentação de imagens e outras técnicas do processamento de imagens.
Para a construção dos modelos, foi necessário inicialmente construir a estrutura algébrica
para modelar as funções que representam as imagens intervalares. Mostrou-se que as
estruturas pertencem a classe dos reticulados completos, o que tornou possível definir os
operadores morfológicos. O grande passo final foi mostrar que as operações morfológicas
assim definidas, satisfazem as principais propriedades algébricas da teoria da morfologia
matemática clássica. Uma delas foi a relação da dualidade por complemento existentes
entre os operadores elementares, dilatação e erosão. Também apresentou-se outros
operadores morfológicos dentro da estrutura dos modelos intervalares apresentados.
98
CAPÍTULO 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS 99
7.1 Principais contribuições
7.1.1 Na matemática intervalar
Na área da matemática intervalar, as noções e resultados matemáticos que foram
desenvolvidos nesse trabalho, utilizaram a teoria intervalar em seu mais amplo aspecto
respeitando todas as características que permeiam suas propriedades algébricas. Foi
construído um modelo matemático, inicialmente considerando um conjunto de três
valores intervalares e que foi apresentado no Capítulo 5. Porém o principal resultado
foi apresentado no Capítulo 6 onde o modelo foi estendido para o caso geral de imagens
em tons de cinza. Assim, pode-se dizer que esse é mais um avanço da área da matemática
intervalar aplicada ao processamento de imagens, uma vez que, pela primeira vez essa
teoria é utilizada para definir operadores morfológicos em uma abordagem intervalar.
7.1.2 Na morfologia matemática
Na área de morfologia matemática, esse trabalho oferece uma nova ferramenta para
tratar questões de incertezas em imagens usando métodos intervalares e que poderão
ser aplicados em técnicas tais como segmentação de imagens, extração de contornos,
esqueletos, etc. Nesse trabalho, mostrou-se que as estruturas algébricas reticulares
construídas nos Capítulos 5 e 6 satisfazem todas as propriedades necessárias para se
definir as operações morfológicas intervalares.
CAPÍTULO 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS 100
7.2 Perspectivas
Além de orientações e co-orientações, sobre os trabalhos citados anteriormente,
pretende-se desenvolver os seguinte estudos:
a. A compactação de imagens digitais intervalares é uma área ainda não explorada, que
pretende-se estudar futuramente. Neste sentido, a busca de regiões de interesse (não
necessariamente indefinidas) para escolha do tipo de compactação, também deverá
ser estudada. A imagem digital intervalar aplicada a morfologia matemática, pode
ser varrida em busca de pixels intervalares conectados. Neste caso, uma imagem
digital intervalar pode ser compactada sem perda nas regiões de interesse, e com
perda, nas demais, economizando custos computacionais.
b. A extensão dos conhecimentos desenvolvidos nas imagens digitais intervalares
aplicada a morfologia matemática para o caso de imagens digitais intervalares
coloridas. Sob este aspecto, novas linhas de estudos certamente serão agregadas.
c. Pretende-se estudar formas de utilização da matemática intervalar avançada,
introduzida nesta tese, nas diversas áreas da engenharia que necessitam de controle
e confiabilidade nos resultados, no que diz respeito a processamento de imagens,
mais especificamente, na área de morfologia matemática.
d. A aplicação da morfologia matemática em imagens digitais intervalares como
ferramenta de segmentação, também é uma técnica que merece ser estudada
devido aos excelentes resultados obtidos nas imagens clássicas, como podemos
ver na literatura. Acredita-se que, como temos padrões de comparação entre
imagens mínimas e máximas, obter-se-á, utilizando esta ferramenta, uma imagem
segmentada, com resultados mais próximos dos resultados reais.
7.3 Conclusão final
A importância deste estudo se deve ao fato de que, diversas vezes as informações
contidas nas imagens clássicas são imprecisas, ou seja, indefinidas. Vários modelos foram
introduzidos para lidar com essas incertezas existentes no processamento de imagens
CAPÍTULO 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS 101
digitais. Por exemplo, a LógicaFuzzyassociada à matemática intervalar é um estudo que
tem sido desenvolvido buscando resolver problemas de regiões de incerteza em imagens
com o objetivo de controlar erros numéricos. A informação de quão nebulosa é uma
região, é estudada sob o ponto de vista da LógicaFuzzyIntervalar. No caso da morfologia
matemática muitos trabalhos foram desenvolvidos usando a lógicafuzzy. Nesse trabalho,
buscou-se unir duas importantes áreas do mundo científico, a matemática intervalar e
a morfologia matemática. A primeira tem como principal característica aplicações que
visam controlar e detectar erros computacionais. Em geral, a teoria utiliza intervalos de
confiança, garantindo que os erros estão contidos naquele intervalo, e com isso, torna
possível o controle desses erros. A segunda, tem como principal objetivo tratar as
imagens modificando a estrutura geométrica das imagens transformando topologicamente
sua forma. Para isso utiliza operadores que satisfazem as propriedades de um reticulado
completo. Essa é uma das principais caractrística comum entre a matemática intervalar e a
morfologia matemática. Dessa forma, esse trabalho apresentou uma abordagem intervalar,
cuja estrutura geométrica é um reticulado completo, permitindo assim definir as operações
morfológicas do ponto de vista intervalar. A construção do modelo morfológico intervalar,
apresentou em algumas etapas toda a base matemática necessária para introduzir os
operadores morfológicos intervalares, oferecendo assim uma nova abordagem a essa
teoria com base nos modelos pontuais já existentes e nas operações aritméticas para
intervalos. Pode-se dizer que o mundo científico, no que diz respeito ao processamento
de imagens através da morfologia matemática, possui agora, mais uma ferramenta além
das já conhecidas, para lidar com as incertezas que frequentemente aparecem nas técnicas
de processamento de imagens, principalmente aquelas que realmente necessitam de um
maior cuidado no controle dessas incertezas. Em outras palavras, esse trabalho introduziu
umateoria da morfologia matemática para imagens intervalares.
CAPÍTULO 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS 102
7.4 Trabalhos Aceitos e submetidos em Eventos
Científicos e Revistas Científicas
a. Cruz, M. C., Doria Neto, A., Andrade, R. P., O Algorítmo K-means Aplicado a
Quantização Intervalar para Imagens Digitais, ENMAC: Encontro Norte e Nordeste
de Matemática Aplicada e Computacional.
b. Cruz, M. C., Doria Neto, A., Costa, J. A., Uma Aplicação de Segmentação de
Imagens Usando Operadores Morfológicos - XXVIII CNMAC: Encontro Nacional
de Matemática Aplicada e Computacional, 2005
c. Cruz, M. C., Doria Neto, A., Santiago, R. N., Mathematical Morphology for two
valued gray-scale images with undefined information, The Proceedings of The 8th
International Symposium on Mathematical Morphology -ISMM, 2007
d. Cruz, M. C., Doria Neto, A. e Santiago, R. N., Em Direção a Morfologia Matemática
para Imagens Binárias com Informaçao de Indefinição - XXX CNMAC Encontro
Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, 2007.
e. Cruz, M. C., Doria Neto, A. e Santiago, R. N., Two Valued Gray-scale Images with
Undefined Information and their Mathematical Morphology - Artigo submetido
a revista TEMA da SBMAC (Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e
Computacional), Setembro de 2007.
f. Cruz, M. C., Doria Neto, A., Santiago, R. N. e Bedrega, B. C., Foundations of
Mathematical Morphology for Interval Gray Scale Image - Artigo submetido a
revista "Computer & mathematics with Aplications"Julho de 2008.
g. Cruz, M. C., Doria Neto, A., Santiago, R. N. e Bedrega, B. C., Uma Fundamentacção
Intervalar Aplicada à Morfologia Matemática - Trabalho aceito no XXX Congresso
Nacional de Matemática Aplicada e Computacional (CNMAC)- Setembro de 2008
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Índice Remissivo
Uma abordagem da Morfologia Matemática
Clássica, 8
Teoria dos conjuntos, 10
Soma, 10
Diferença, 10
Reflexão, 10, 86
Soma e subtração de Minkowski, 12,
62, 87
Operadores Elemetares, 12
Elemento estruturante, 12
Dilatação e erosão, 13, 63, 88
Filtros morfológicos, 15
Filtros morfológicos, 15
Extração de fronteiras, 16
Operador Hit-or-miss, 16
Esqueleto, 17
Analise binária, 19
Reticulado das funções binárias, 19
Pixel, 20
Algebra de Boole, 20
Reticulados, 21
Reticulado completo, 22
Extensividade e anti-extensividade,
23
Operador isotônico, 23
Operador anti-tônico, 23
Imagens em níveis de cinza, 25
Translação, 27, 60, 84, 85
OperaçãoTop-Hat, 29
Um abordagem da Matemática Intervalar, 5
Análise intervalar, 31
Intervalo de números reais, 31
Igualdade entre intervalso, 32
Região intervalar, 33
Par ordenado intervalar, 33
Aritmética intervalar clássica, 34
Interseção entre dois intervalos, 35
União entre dois intervalos, 35
Relações de ordem, 37
Ordem natural, 37
Ordem de inclusão, 37
ordem de Kulisch-Miranker, 38
Processamento de imagens Digitais
Intervalares, 39
Imagem digital binária intervalar, 40
Pixel intervalar 40
Conectividade, 41
Operações lógicas-Aritméticas, 42
Imagem média, 42
Soma entre pixels intervalares, 43
Soma entre imagens intervalares, 43
110
ÍNDICE REMISSIVO 111
Subtração entre pixels intervalares,
43
Subtração entre imagens intervalares,
44
Produto entre pixels intervalares, 43
Multiplicação entre pixels
intervalares, 43
divisão entre pixels intervalares, 43
Divisão entre imagens intervalares,
43
Disjunção, 44
Conjunção, 44
Negação, 45
Um Modelo Intervalar para Lidar com
Incertezas, 47
Construção do espaço AlgébricoΩ, 48
Reticulado distributivo, 49
Pseudo-complemento, 49
Álgebra pseudo-Booleana, 43
Imagens intervalares e indefinidas, 51
Operações básicas, 51
Imagem ternária, 51
Operações de supremo e de ínfimo,
52
reticulado relativamente pseudo-
complementado, 53
Operação de reversão, 55
Operações derivadas, 56
Operações NAND, NOR e XOR, 56
Morfologia para imagens ternárias, 57
Operador m-ário, 57
composição de operadores, 58
Subconjuntos superiormente e
inferiormente fechados, 59
Reticulado dos operadores, 58
Translação em imagens ternárias, 60
Transposição, 60
Invariança por translação, 85
Imagens binárias com regiões de
indefinição, 64
Elementos notáveis, 66
Um modelo Intervalar para Imagens em
Níveis de cinza, 72
Construção do espaço algébricoΩN, 74
reticulado distributivo, 76
Imagens intervalares em escala de
cinzas, 80
operações morfológicas, 83
Translação morfológica, 85
Função aditiva estruturante, 87
Teorema da representação intervalar,
88
Adjunção, 89
H-Operador, 89
H-erosão, 90
H-dilatação, 90
Filtros sequenciais, 100
Top-hattransformada, 101
Potenciais aplicações, 101
Segmentação, 101