uma forma teórica e prática de descobri-los na 8ª série do

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ

PRÓ-REITORIA DE ENSINO E GRADUAÇÃO

CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

POLÍGONOS E SEUS ELEMENTOS: UMA FORMA TEÓRICA E

PRÁTICA DE DESCOBRI-LOS NA 8ª SÉRIE DO ENSINO

FUNDAMENTAL

Macapá-AP

2015

ANA MARIA SARAIVA DE ALMEIDA

PAULO MONTE VERDE MOURA



FUNDAMENTAL

Trabalho apresentado à disciplina de conclusão de curso

em Matemática como requisito avaliativo do Curso de

Licenciatura Plena em Matemática do Curso em EAD

da Universidade Federal do Amapá, orientado pelo

Pro°. Ms. Sergio Barbosa de Miranda.

Macapá-AP

2015



FUNDAMENTAL.

por

_______________________________ ________________________________

Almeida, Ana Maria Saraiva & Moura, Paulo Monte Verde

Trabalho apresentado à disciplina de conclusão de curso em Matemática como

requisito avaliativo do Curso de Licenciatura Plena em Matemática do Curso em EAD da

Universidade Federal do Amapá, orientado pelo Pro°. Ms. Sergio Barbosa de Miranda.

Banca Examinadora

________________________________________

Orientador: Prof. Ms. Sérgio Barbosa de Miranda

Universidade Federal do Amapá – UNIFAP

________________________________________

Membro: Prof. Esp. Claudia Barrozo Dias


_________________________________________

Membro: Prof. Esp. Stever Wanderson Calheiros de Araújo


Avaliado em ______/______/ 2015.

Macapá-AP

2015

Aos nossos pais, colegas de curso,

professores que tem sido

fundamental em nossa caminha

como incentivadores no termino do

curso.

Agradecimentos

Ana Maria Saraiva de Almeida

Primeiramente a Deus que nos deu saúde e força para concluirmos essa graduação, a

minha família em nome de Antônia da Soledade Saraiva, o meu esposo o Sr. José Raimundo

Pantoja Castelo; em nome do Acadêmico Paulo Moura, Francinei Costa, Reinaldo Melo

agradecer a parceria e todos os acadêmicos do curso, principalmente o nosso grupo de estudo.

A Coordenação do curso a professora Drª. Simone Delfin ao tempo a nós dedicado; aos

professores formadores Esp. Steve Wanderson, Dr°. Walter Cárdenas, Esp. Arlindo Moreira,

Esp. Cláudia Dias. Agradecer a todos os demais; em nome do professor Adilson Silva,

Daiane, agradecer os tutores presenciais e a distância; a UNIFAP, pela acolhida a nos fornecer

todo conhecimento científico e a partir de agora honrar o nome dessa Instituição.

Paulo Monte Verde Moura

Quero agradece a Deus por mais essa conquista, minha família em nome de minha

mãe Maria Rosalina Monte Verde Moura e meus filhos Elisa Lacerda Moura e Elisson

Lacerda Moura a todos os professores tutores e formadores, aos meus colegas de curso, a

todos do corpo técnico e apoio e a instituição UNIFAP por essa oportunidade.

(…). Hoje sabemos o quanto os valores e

as práticas que prevalecem na

comunidade estão fortes e onipresentes

no dia-a-dia dos indivíduos; o fato de os

alunos estarem dentro de uma sala de

aula não indica que o que ocorre no

mundo extraclasse não influencia o

indivíduo. Muito pelo contrário, pois

aprendemos mais fora da escola do que

dentro dela e há sempre novos lugares

para aprender, novas pessoas para

ensinar, novas tecnologias para

multiplicar as informações e apresentá-

las de maneira mais acessível ao usuário.

Isso significa um aprendizado sem

fronteiras, sem limite de idade, se

exigências de pré-requisitos

comportamentais. (apud. Moraes 1997).

Lista de Figuras

Figura 1 - segmento ............................................................................................................ 34 Figura 2 - Compasso 1. ............................................................................................................. 34 Figura 3 - Compasso 2. Figura 4 - Compasso 4. ............... 35 Figura 5 - Compasso 4. ............................................................................................................. 36 Figura 6 - Ponto médio M do seguimento AB 1. Figura 7- Ponto médio M do

seguimento AB 2. ..................................................................................................................... 36 Figura 8 - Semirreta CD. .......................................................................................................... 38

Figura 9 - Segmento de reta 1 Figura 10 - Segmento de reta 2

.................................................................................................................................................. 38

Figura 11 - Segmento de reta Figura 12 - Semirreta 1 ............. 39

Figura 13 - Segmento de reta Figura 14 - Semirreta 2 ..... 39 Figura: 15 - Bissetriz ................................................................................................................ 40 Figura: 16 - Mediatriz ............................................................................................................... 40 Figura: 17 - Polígono Figura: 18 - Polígono 41

Figura: 19 - Polígono Figura: 20 -

Polígono .................................................................................................................................... 41

Figura: 21 - Polígono ................................................................................................................ 41 Figura: 22 - Polígono e Seus Elementos ................................................................................... 42

Figura: 23 - Polígono ................................................................................................................ 42 Figura: 24 - Polígono ................................................................................................................ 43


Figura: 27 - Polígono ................................................................................................................ 44 Figura: 28 - Polígono ................................................................................................................ 44 Figura: 29 - Polígono ................................................................................................................ 45



Figura: 34 - Polígono ................................................................................................................ 48 Figura: 35 - Polígono ................................................................................................................ 48 Figura: 36 - Polígono ................................................................................................................ 49 Figura: 37 - Polígono Inscrito na Circunferência ..................................................................... 51 Figura: 38 - Polígono Inscritível e Circunscrito ....................................................................... 51

Figura 39 - Triangulo Equilátero .............................................................................................. 72 Figura 40 - Pentágono Regular ................................................................................................. 72

Lista de Tabelas

Tabela: 1 - Turma A ................................................................................................................. 32

Tabela: 2 - Turma B.................................................................................................................. 32 Tabela: 3 - Equipamentos Utilizados........................................................................................ 32 Tabela: 4 - Material de Consumo ............................................................................................. 33 Tabela: 5 - Monitoramento da frequência ................................................................................ 33 Tabela: 6 - Monitoramento da Frequência ............................................................................... 33

Tabela: 7 - Classificação dos polígonos ................................................................................... 44

Lista de Gráficos

GRÁFICO: 1 - Você tem conhecimento sobre polígonos e seus elementos ............................ 59 GRÁFICO: 2 - Você já participou de alguma oficina .............................................................. 60

GRÁFICO: 3 - Você acha importante a relação teoria e prática? Por quê? ............................. 61 GRÁFICO: 4 - Você já trabalhou com materiais manipuláveis ............................................... 62 GRÁFICO: 5 - O que você espera da oficina ........................................................................... 63 GRÁFICO: 6 - Você gosta de Matemática? Por quê? .............................................................. 64

GRÁFICO: 7 - Você achou importante trabalho com polígonos e seus elementos através da

oficina? Por quê? ...................................................................................................................... 65 GRÁFICO: 8 - Você achou importante trabalhar teoria e prática? Por quê? ........................... 66

GRÁFICO: 9 - Você achou importante trabalhar com materiais manipuláveis ....................... 67 GRÁFICO: 10 - Você acha que a oficina ajudou você entender melhor o assunto? ............... 68 GRÁFICO: 11 - Você achou que a oficina foi bem aplicada pelos acadêmicos ...................... 69 GRÁFICO: 12 - Você gostaria que fosse aplicado mais oficina com essa metodologia?........ 70

Sumário

Introdução ............................................................................................................................... 14

Problemática ........................................................................................................................... 16

Justificativa ............................................................................................................................. 16

Hipótese ................................................................................................................................... 16

Objetivos .................................................................................................................................. 17

Geral ..................................................................................................................................... 17

Específicos ............................................................................................................................ 17

1 Um Pouco Sobre a História da Geometria ....................................................................... 18

2 Projeto: Teoria X Prática................................................................................................... 21

2.1 Esse Instrumento Didático, que é o Projeto Pedagógico de Trabalho Através da

Oficina, Quando Bem Conduzido Levará: ........................................................................... 22

2.2 A Questão Essencial do Ensino da Matemática Através dos Projetos: Como Fazer

para que Os Conhecimentos Ensinados Tenham Sentido para o Aluno? ............................. 24

3 O Ensino de Geometria e Os Materiais Manipuláveis .................................................... 26

3.1 A Importância Dos Materiais Manipuláveis .............................................................. 28

4 Oficina: Polígonos e Seus Elementos Através de Material Pedagógicos Manipuláveis30

4.1 Introdução .................................................................................................................. 30

4.2 Justificativa ................................................................................................................ 30

4.3 Público Alvo .............................................................................................................. 30

4.4 Objetivo: .................................................................................................................... 31

4.4.1 Objetivo Geral: ................................................................................................... 31

4.4.2 Objetivo Específico: ........................................................................................... 31

4.5 Metas .......................................................................................................................... 31

4.6 Metodologia ............................................................................................................... 32

4.7 Tabela de Cronograma Físico de Atividade .............................................................. 32

4.8 Tabela dos Materiais Utilizados................................................................................. 32

4.9 Tabela da Frequência dos Alunos .............................................................................. 33

4.10 Como Manusear os Materiais Pedagógicos: Compasso e Régua para Determina

Alguns Elementos dos Polígonos: ........................................................................................ 33

4.10.1 Construção do Ponto Médio de Um Segmento: ................................................. 34

4.10.2 Para Utilizar o Compasso, Observe as Seguintes Instruções: ............................ 34

4.10.3 Traçado do Ponto Médio .................................................................................... 35

4.10.4 Atividade Propostas ............................................................................................ 37

4.11 O Auxilio de Materiais Pedagógicos: Usando o Compasso e a Régua para

Determinar e Transportar um Segmento. ............................................................................. 37

4.11.1 Postulado do Transporte de Segmentos: ............................................................. 38

4.11.2 Atividade Propostas ............................................................................................ 39

4.12 Em Todos os Polígonos Temos os Seguintes Elementos. ...................................... 39

4.13 Elementos Lineares dos Triângulos ....................................................................... 40

4.14 Apresentação do Conteúdo Polígonos.................................................................... 41

4.14.1 Elementos de Um Polígono ................................................................................ 42

4.14.2 Classificação dos Polígonos por Sua Forma....................................................... 42

4.14.3 Classificação dos Polígonos ............................................................................... 43

4.15 Classificação por Seus Números de Lados e Vértices ........................................... 44

4.16 Propriedade dos Polígonos ..................................................................................... 45

4.16.1 Propriedades dos Polígonos Regulares ............................................................... 49

4.17 Construção de Polígonos Regulares Inscrito em Uma Circunferência .................. 50

4.17.1 Triangulo Equilátero ........................................................................................... 52

4.17.2 Quadrilátero Regular .......................................................................................... 52

4.17.3 Pentágono Regular .............................................................................................. 53

4.17.4 Hexágono Regular .............................................................................................. 53

4.17.5 Heptágono Regular ............................................................................................. 54

4.17.6 Octógono Regular ............................................................................................... 55

4.17.7 Eneágono Regular............................................................................................... 56

4.17.8 Decágono Regular .............................................................................................. 56

Questionário Antes da Oficina .............................................................................................. 59

Questionário Pós-Oficina ....................................................................................................... 65

Considerações finais ............................................................................................................... 71

Apêndice .................................................................................................................................. 72

Polígonos Regulares Criados Pelos Alunos: ........................................................................ 72

Referências .............................................................................................................................. 73

Resumo

Neste trabalho a proposta foi apresentada com um estudo sobre a matemática básica,

um pouco sobre geometria, mais particularmente, sobre polígonos e seus elementos e suas

propriedades através de uma oficina com a utilização de materias manipuláveis e a relação da

teoria e a prática com intuito de mostrar que é fundamental a utilização dessa metodologia do

ensino numa aprendizagem mais significativa, onde esta proposta foi aplicada nas 8° séries do

ensino fundamental.

Palavras-Chaves: Ensino. Polígonos. Teoria. Prática. Oficina.

Abstract

In this paper the proposal was presented with a study of basic mathematics, a bit of geometry,

More particularly, about polygons and its elements and their properties through a workshop

with the use of materials manipulatable and the relationship of theory and practice aiming to

show that the use of this methodology is key teaching in a more meaningful learning, where

this proposal was applied to 8th -graders.

Keywords: Education. Polygons. Theory. Practice. Workshop.

14

Introdução

Na perspectiva de produzir um trabalho dentro da temática geometria plana de forma

teórica e prática, com a utilização de materiais manipuláveis como forma de conteúdo

avaliativo para nosso trabalho de conclusão de curso onde propomos trabalhar com polígonos

e seus elementos com alunos da 8ª série do ensino fundamental de forma significativa e

intrigante, não deixando de relatar uma breve explanação da história, pois, é indiscutível a

importância na Matemática no aprendizado dos alunos sendo à base de nossa vida em

sociedade, para isso, foi pensada uma proposta metodológica através de uma oficina a ser

aplicada em salas de aulas em uma escola pública da rede estadual de ensino, sobre a

supervisão do professor regente, nas turmas A e B no período de cinco dias no horário

vespertino com uma duração de duas horas aulas aos dias frequentados, isso, partiu da

necessidade de mudar o cenário que encontramos dentro das salas de aulas em nossos

estágios, uma grande rejeição sobre a matemática e principalmente notas baixíssimas e alunos

desmotivados, isso, nos levou a pensar como mudar esse cenário no intuito de transformar o

ensinamento numa aplicação de forma mais expressiva aos alunos, utilizamos o material

concreto como kit escolar contendo, compasso, régua, transferidores e esquadros, onde os

alunos terão que construir polígonos regulares através dessas ferramentas sempre usando a

circunferência como base para encontra-los, sendo fundamental que os alunos antes de irem

para prática eles tenham contato com o assunto de forma teórica através de slide e vídeos e

atividades propostas relacionadas ao conteúdo com o material a ser utilizado para irem

mantendo uma relação de afinidade e conhecendo os materiais como devem ser aplicados,

tornando mais significativos e facilitando o conhecimento sobre, triangulo; quadrado;

pentágono; hexágono etc., e seus elementos diagonais, ângulos internos, ângulos externos,

lados, vértices, diâmetros, diagonais que poderão ser medidos, contados, comprovados de

maneira prazerosa e investigativa.

Com isso, buscar em aprofundar os conhecimentos prévios que os alunos possuem de

maneira criativa, divertida e intrigante, onde eles possam ratificar suas definições ou entender

os questionamentos através da criação dos polígonos inscritos em uma circunferência,

construindo e identificando os seus elementos e propriedades.

Após a explanação dos assuntos e do conhecimento adquirido de forma a generalizar

situações traduzindo-as para o cotidiano, calculando a soma dos ângulos dos polígonos as

medida de cada ângulo interno e externo, utilizando adequadamente instrumento de medidas.

15

Para melhor ser organizar a construção de uma tabela será feita, onde conterão os polígonos

que serão classificados de acordo com o número de lados e vértices de acordo com sua origem

grega.

Serão realizados questionários feitos antes e após a oficina para levantamento de dados

para analise do trabalho que estamos realizando para saber o que eles têm de conhecimento e

o que aprimoraram após a oficina chegando ao final do trabalho com respostas das atividades

feitas pelos alunos e quais as maiores duvidas quanto ao assunto.

O trabalho tem um propósito de alcançar e servir como um material que dará base para

os alunos e professores que possam utiliza-los dentro dos mecanismos de aprendizagem e

ensinamento contribuindo com o processo de ensino nas escolas públicas e na pesquisa de

faculdades, como função social e cientifica para todos.

Esperamos que ao final deste trabalho os alunos sejam capazes de identificar,

classificar e nomear os polígonos regulares, distinguir e proceder à contagem dos elementos

de um polígono, traçar as figuras e utilizar corretamente a linguagem matemática, na

perspectiva de desenvolver o pensamento geométrico, a percepção geométrica, raciocínio

geométrico e a linguagem geométrica e o raciocínio visual, pois, sem esses conhecimentos

dificilmente se conseguirá resolver situações cotidianas que forem geometrizadas e também

fazer uso da geometria como facilitadora de outras áreas do conhecimento partindo do

princípio de que a geometria existe em praticamente em todas as partes, um requisito

essencial ao ser humano é conseguir enxerga-las, ou seja, fazer uma leitura interpretativa do

nosso dia a dia.

Através das aplicações aqui propostas como teoria e prática e materiais manipuláveis

despertar o interesse e desenvolver esse pensamento crítico ao longo da oficina, para isso

utilizamos o auxílio da informática e de materiais pedagógicos entre outros; como ferramentas

para a compreensão dos objetos matemáticos e para o desenvolvimento dos conceitos

matemáticos fundamentais, reforçando o sentido de nossa unidade temática e de nosso eixo

temático, a dialética ferramenta-objeto da matemática colocada em prática que tem seu papel

não de ensinar mais de ser um facilitador do ensino chegando ao final dos trabalhos com

respostas que vão falar se a utilização dessa metodologia é uma das que podem ser

trabalhadas por mais vezes nas salas de aulas fazendo que os alunos possam mudar o

pensamento que a matemática é uma matéria complexa e difícil de aprender diante as

abstrações que lhe são apresentadas e mudando o panorama que encontramos nas salas de

aulas de alunos desmotivados e com as notas baixas.

16

Problemática

Ainda muito questionada sobre sua metodologia de ensino a geometria ainda é vista

como complexa. Verificado a dificuldade que os alunos possuem com ela na 8° série sobre

polígonos e seus elementos como classificar e distinguir seus elementos, saber definir os

ângulos e suas propriedades.

Justificativa

Devido a sua complexidade a Matemática não pode ser considerada uma ciência

desligada da realidade ao contrário, ela deve ser vista como algo presente nas mais variadas

situações do nosso dia a dia, procurou-se sanar os problemas estimulando a criatividade, o

desenvolvimento do raciocínio lógico, a iniciativa pessoal e o trabalho coletivo, bem como

fornece ferramentas que nos ajudem a enfrentar desafios, comprovar e justificar resultados e a

desenvolver estratégias para instigar o aprendizado do aluno no conhecimento de forma

prática os polígonos e seus elementos com a utilização de material concreto, sendo uma

questão que ainda causa bastante discussão entre os alunos e professores; com este estudo

pensa-se em suprir algumas das necessidades do aprendizado dos alunos e facilita-las de

forma prática e acessível, pois, o fato é que eles ainda levam esses problemas para outras

séries sem serem sanadas e acabam sentido dificuldades nas outras séries pelo fato da

matemática ser uma matéria que sempre cobra assuntos já visto em séries subsequentes.

Hipótese

Na realização deste trabalho vamos tentar mostrar que se pode mudar o cenário que

vive a matemática hoje, quebrar esse paradigma que a matemática é difícil e enjoada para isso

vamos trabalhar através de uma metodologia que vai relacionar a teoria e a prática com a

utilização de materiais manipuláveis capazes de familiarizar o conteúdo para os alunos. Nesse

processo do conhecimento mostrar que se pode fazer diferente, que o aluno tenha interesse em

participar das aulas procurando aprender para resolver os problemas propostos, instigando a

ele pesquisar na busca de novas ideias e de transformar suas ideias em novas oportunidades de

se conhecer melhor a matemática no sentido de que fique mais intrigante a busca pelo

17

conhecimento e melhore a visão dele quando se deparar com situações reais na vida em

sociedade, pois, a matemática esta atrelada a tudo e todos.

Objetivos

Geral

Trabalhar uma pedagogia baseada no princípio que é fundamental mobilizar e

envolver o aluno para que seu aprendizado seja significativo. Ensinar os alunos a trabalhar

com a teoria e a prática através de materiais manipuláveis para melhorar seu entendimento ao

se trabalhar com polígonos e seus elementos através de uma oficina fazendo uma relação do

conhecimento teórico com o prático na construção dos polígonos para que venha estimular o

raciocínio lógico, facilitar a percepção dos conceitos teóricos em que se baseia o desenho

geométrico; estimular o hábito de organização; explorar a capacidade de observação e a

intuição e aprimorar a coordenação motora na busca do entendimento do assunto fazendo com

que a matemática seja mais bem aceita nas salas de aulas.

Específicos

Proporcionar um aprendizado significativo, através da oficina uma melhor

relação entre teoria e prática.

Os alunos possam identificar classificar e nomear os polígonos.

Classificar os segmentos de retas dos polígonos regulares mediatriz,

bissetriz, diâmetro, diagonal.

Conhecer a propriedades dos polígonos e seus elementos.

Saber manipular o material concreto para criar os polígonos regulares.

Analisar se os trabalhos da oficina surgiram resultados esperados.

Qualificar os alunos para as demais séries subsequentes.

18

Capitulo 1

Um Pouco Sobre a História da Geometria

Uma das primeiras noções matemáticas desenvolvidas pelo homem desde a pré-

história foi à ideia de dimensão, advinda de formas, tamanhos, distâncias, necessidade de

delimitação de terras, construções de moradias, formas e objetos da natureza (COSTA, 2011,

p. 3). Os problemas geométricos estão relacionados ás mensurações necessárias para o cálculo

de área de terras e de volume de depósitos de grão. Investigações recentes evidenciam que os

egípcios já conheciam a formula da área do triângulo, os episódios históricos da Geometria

tem sua criação no Egito, agrimensores ao trabalharem utilizavam para relacionar a um

problema prático, partilhar terras férteis às margens dos rios, os egípcios, por exemplo, há

mais de 4.500 a.C anos já usavam a Geometria nas situações de medições das terras que

ficavam as margens do Rio Nilo que transbordava todo ano desmarcando as terras que eram

divididas para o cultivo.

No decorrer da evolução da Matemática a ciência caminhou junto e compôs um dos

temas mais bonito e importante do conhecimento, admite abarcar a origem das ideias que

produziram forma a nossa cultura e observar também as aparências humanas do seu

acréscimo, buscando descobrir os homens que criaram essas ideias e estudar as conjunturas

em que elas se ampliaram. Os estudos sobre a Matemática vem responder inúmeros

fenômenos da natureza, através de comparação e muita teoria que existiam com os estudiosos,

esse questionamento só puderam ser respondidos através do passar do tempo e depois de

muitas reflexões foram surgindo práticas relacionadas à ciência da Matemática.

Pode-se dizer que o pai da Geometria se chama Euclides de Alexandria foi com ele

que a Geometria do Egito ficou conhecida e realmente espetacular fazendo de Alexandria o

grande centro mundial do compasso e do esquadro por volta do século III a.C. Foi o mais

famoso dos nomes da escola de Alexandria sendo provável que parte de sua formação tenha

acontecido em Antenas. Proclus refere-se a Euclides mencionando que ele viveu no tempo do

primeiro Ptolomeu, citado por Arquimedes, que era mais novo que os alunos de Platão e mais

velho do que Eratóstenes, contemporâneo de Arquimedes, Uma referência à sua atuação em

Alexandria é encontrada em Pappus que afirma que Apolônio passou muito tempo com os

alunos de Euclides em Alexandria.

19

A obra principal de Euclides, Os Elementos, pode ser considerada o mais famoso

livro de Matemática já escrito, sobre o qual se apoia o ensino de Geometria

elementar há mais de dois mil anos. Deve-se também a Euclides a escolha dos

postulados, a organização dos teoremas, assim como a elegância e o rigor das

demonstrações. O texto dos Elementos que chegou até nós passou por várias

versões, muitas delas acrescidas por contribuições de seus autores ou tradutores. Os

Elementos foram conhecidos pelos árabes no século , e traduzido diretamente da

versão grega. A primeira tradução latina data de 1120, baseada no texto árabe.

Surgiram posteriormente outras traduções, e a primeira versão impressa foi

publicada em Veneza, em 1482, quando ainda pouco ou nada de matemática havia

sido publicado (GALVÃO, 2008, p. 142).

Os treze livros dos Elementos contêm 465 proposições que tratam de tópicos de

Geometria, Teoria dos Números e Álgebra (geometria) assim distribuídos.

Livro - Contêm as definições, postulados, axiomas, triângulos, construções,

congruência, paralelismo, teorema de Pitágoras.

Livro - Identidades geométricas, áreas, razão áurea.

Livro - Circunferência

Livro - Polígonos inscritos e circunscritos

Livro - Estudo geométrico das Proporções

Livro - Semelhança de polígonos

Livros a - Aritmética (teoria dos números, tratada geometricamente).

Livro - Magnitudes incomensuráveis

Livro a - Geometria sólida (espacial).

Ao longo desses livros são consideradas construções geométricas com régua e

compasso, demonstrações indiretas (ou “por absurdo”), a chamada “lei dos

cossenos”, uma resolução geométrica para equações de segundo grau, o algoritmo

de Euclides para achar o máximo divisor comum, a decomposição de um número

como produto de fatores primos, a dedução geométrica para a soma dos termos de

uma progressão geométrica e fórmulas para encontrar triplas pitagóricas (GALVÃO,

2008, p. 143).

Antes da organização do conhecimento do homem, com suas experiências, as bases

que posteriormente, fundamentariam a Geometria, foram construídas e permeadas

essencialmente pelo conhecimento que os mesmos possuíam, ainda que de forma intuitiva ou

empírica, visto que, estes em sua maioria estavam associados ao cotidiano por eles

presenciados sob os mais diversos aspectos.

A geometria já aparecia sem definições eram criadas de forma aleatória os primitivos

empregavam como desenhos pintados nos corpos para celebrar rituais através de danças e

20

confecções de objetos de decoração, enfeites, utensílios e na criação de desenhos para a

pintura em pedras e cavernas retratando um pouco de sua cultura sobre as atividades da vida

como caçar, os animais, pássaros e retratar o sol e inúmeras outras pinturas que não se soube

definir o que se representava. Com o tempo as formas começaram a surgir de forma mais

organizada geometricamente, com grande riqueza e variedade, aparecem em objetos de

cerâmicas e pinturas de diversas culturas. Com suas culturas artísticas já surgiam formas

como triângulos, quadrados e círculos, além de outras mais complexas que vinham completar

o grande número de figuras existente na geometria.

A maneira que a Geometria traz o estudo das medidas surgiu às primeiras unidades de

medidas que se mencionavam diretamente ao corpo humano como, pé, palmo, braço passo,

cúbito. Aproximadamente em 3.500 a.C. quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a

serem construídos os primeiros templos, seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais

uniformes e precisas de medidas. Tomada a conjuntura das partes do corpo de um único

homem geralmente o rei e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal ou

cordas com nós que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento métricas.

Na ocasião por volta de 500 a.C., fundaram-se as primeiras escolas na Grécia com

Tales de Mileto e seu discípulo Pitágoras de Alexandria aproveitaram todo o conhecimento da

Eutéria do Egito e Babilônia e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática

na navegação e religião. A curiosidade aumentava e os livros sobre Geometria se dobravam e

também como o interesse pela mesma. O compasso logo substituiu a corda e a estaca para

traçar círculos e o novo instrumento foi juntado ao conjunto de ferramenta dos geômetras.

O desenvolvimento do mundo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a

afirmar que a Terra era esférica e não plana como se pensava. Apareceram inovações nas

construções geométricas e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular. Uma dessas

figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa muitos ângulos. Muitas das

regras usadas na geometria são utilizadas nos mecanismo de navegação e voos tudo para

administrar o controlo de suas rotas para evitar que aconteçam acidentes e mostra às direções

a tomar, esse processo de construção geométrica passou por várias fazes sendo

contemporânea, seus estudiosos aprendiam um pouco a cada região que se chegava isso foi

importante na evolução dos estudos, pois se fazia relação dos conhecimentos de cada região

fortalecendo ideias capazes de demonstrar e provar muitas perguntas feitas sobre como se

processar geometricamente diante de uma situação que existe conhecimento de tempo e

espaço.

21

Capitulo 2

Projeto: Teoria X Prática

Ao realizar um projeto através da teoria e a prática é importante direcionar atividades

dirigidas para serem executadas em grupos nas quais os alunos construam suas ideias e sejam

discutidas entre todos do grupo, formalizando ideias que sejam capazes solucionar as duvidas

que apareçam. É bom lembrar que os projetos não tem forma rígida; pelo contrário, são bem

flexíveis e podem ser modificados ou adaptados às conveniências locais de cada escola ou de

acordo com as intenções do professor (MARTINS, 2011, p. 94).

O que se ver hoje nas escolas é que os professores praticamente trabalham somente

através de livros e suas teorias como metodologia, deixando de realizar a prática como deveria

usando fatores do dia a dia, isso faz com que as aulas fiquem repetitivas e monótonas

desestimulando os alunos, então, relacionar teoria e prática é um excelente método para

quebrar a rotina de aulas tradicionais na busca de um aprendizado onde se alcance trabalhar

de forma mais significativa e intrigante.

Qualquer que seja o método utilizado para a oficina, este deverá ser sempre precedida

de um planejamento onde constem linhas de ação que leve a alcançar um determinado

objetivo. O projeto a ser realizado constitui um planejamento definido de forma geral com

uma metodologia que por etapas e procedimentos, permitirá a se chegar resultados definidos.

Como se trata de um processo aplicativo e investigativo, na prática o projeto parte

sempre de um assunto temático e se constitui numa forma diferente de conseguir melhoria da

aprendizagem, por meio dos seguintes elementos.

O que será pesquisado?

Por que pesquisar?

Para que pesquisar?

Como pesquisar?

Que resultados esperar?

O projeto em sua pesquisa, por sua vez, é uma proposta lógica de trabalho,

sistematizada de acordo com a metodologia a ser aplicada, que permite realizar investigação

22

sobre determinado tema e assunto para serem utilizados de forma mais correta e que se

desenvolve nas seguintes etapas:

Primeira etapa: Preparação e planejamento do trabalho – É constituída pela

definição clara do assunto temático a ser estudado. A partir da explicação do

objeto de estudo ou tema, faz-se a escolha adequada dos procedimentos a

serem tomados e das medidas a serem executadas, os quais, num todo, formam

o projeto. O projeto representa a intenção ou pretensão de realizar o trabalho

por meio de alguns elementos na busca de resultados a serem explicados.

Segunda etapa: Execução ou cumprimento do projeto – Essa fase é a

realização da pesquisa propriamente dita e será implementada pondo em

prática as ações ou atividades indispensáveis dentro de um cronograma,

indicando etapas, datas e locais.

Terceira etapa: Análise dos resultados e deduções conclusivas – A

confiabilidade de uma pesquisa depende da verificação e da confirmação das

hipóteses, pois delas poderão ser deduzidas conclusões que possam explicar o

assunto temático ou os fatos de maneira mais aprofundada.

2.1 Esse Instrumento Didático, que é o Projeto Pedagógico de Trabalho Através da Oficina,

Quando Bem Conduzido Levará:

A observar e a ver as coisas de maneira diferente, isto é, com olhos de

investigação;

A selecionar as informações que interessam e a desprezar as demais

A analisar as contradições do saber informal

A testar varias alternativas para comprovar a validade das proposições;

A formar conceitos corretos e coerentes com o estudo da metodologia;

A expor decisões claras e resultados práticos e úteis á sociedade

Os projetos escolares podem ser enquadrados nesse modelo, uma vez que são estudos

ou propostas a desenvolver temas inovadores ou extraclasses, que têm início com a busca ou

pesquisa de informações ou de dados feita pelos alunos, utilizando procedimentos adequados

23

e orientados pelos professores. Esses projetos valorizam o trabalho e a participação dos alunos

na busca de novos conhecimentos que venham a complementar os vários campos do saber

matemático ajudando no processo de ensino do professor como instrumento facilitador da

busca de respostas para um melhor entendimento da matemática.

Felizmente, ideias novas vêm surgindo a cada ano, e muitas já vêm sendo postas em

prática, com o objetivo de modificar a situação que ainda prevalece na educação.

Uma das mais aceitas talvez tenha sido a “pedagogia de projetos” ou “trabalhar com

projetos nas escolas” (MARTINS, 2011, p 32).

Dentro desse contexto, temos que a formação dos professores passa hoje por uma

preocupação maior em sua formação se trabalha mais as metodologias de relação teoria e

prática como fundamento do conhecimento em suas formações. Na verdade essa não é uma

ideia nova – Ela surgiu no início do século , nos Estados Unidos, concebida pelo filósofo e

educador John Dewey e desenvolvida por seu discípulo Kilpartrick. Aos poucos, esse método

foi difundido com muita aceitação na Europa e chegaram até nós com os trabalhos de Miguel

Arroyo, aplicados à organização de conteúdos programáticos das disciplinas em escolas de

Minas Gerais, consistia a referida proposta, depois de aperfeiçoada e alterada, em desenvolver

trabalhos capazes de vincular a sala de aula à realidade social na qual o aluno vive, para que

ele pudesse entendê-la melhor, mostrando, assim, que o processo de aprendizagem é um

processo global, que integra o saber com o fazer, a prática com a teoria, em outros termos, a

pedagogia da palavra com a pedagogia da ação.

A implementação da “pedagogia de projetos” nas escolas não implica a rejeição ou

abandono dos temas curriculares já consagrados na programação da escola, nem o

desprezo pelos chamados temas-eventos tão em uso em nossos cursos primários,

como Dias das Mães, festas juninas, Dia da Criança, Dia da Arvore, Dia do Índio

etc. Essas datas comemorativas são preservadas no planejamento escolar como

propostas paralelas e aglutinadas pela “pedagogia de projetos” (MARTINS, 2011, p.

33, 34).

Ao colocar o aluno diante de fatos reais de sua aprendizagem ele começa a entender

aquilo que foi ensinado de forma teórica nesse sentido tudo passa a ter valores diferenciados

para eles o sentido é se chegar ao mais próximo de sua real situação vivida em sociedade para

ter sentido dos fatos relacionados criando uma perspectiva valorosa do seu aprendizado. Um

dos objetivos essenciais e ao mesmo tempo uma das dificuldades principais do ensino da

24

matemática é precisamente que o que se ensine esteja carregado de significado, tenha sentido

para o aluno (CHARNAY, 2008, p. 37).

Quando se ensina busca-se a significação do conhecimento para isso é necessário

conhecer alguns argumentos de como se trabalhar para ensina, isso leva algumas discussões

sobre como se aplicar a melhor forma de se desenvolver um trabalho. Segundo (CHARNAY,

2008, p. 38) diz que ao acrescentar que a construção da significação de um conhecimento

deve ser considerada em dois níveis.

Um nível “externo”: qual é o campo de utilização deste conhecimento e quais

são os limites deste campo?

Um nível “Interno”: como e por que funciona tal ferramenta? (por exemplo,

como funciona um algoritmo e por que conduz ao resultado procurado).

2.2 A Questão Essencial do Ensino da Matemática Através dos Projetos: Como Fazer para

que Os Conhecimentos Ensinados Tenham Sentido para o Aluno?

O aluno deve ser capaz de adaptar, de transferir ou refazer, mas também de

ressignificar em situações novas seus conhecimentos para resolver novos problemas. No

princípio é desvendando as noções matemáticas como ferramentas para resolver problemas,

que se permitirá aos alunos construir o sentido de criar na prática. No esforço de uma melhor

compreensão da questão teoria-prática, um dos passos preliminares é o esclarecimento do

sentido das palavras, da sua etimologia e das diferentes conotações que podem assumir.

A oficina matematicamente traz essa perspectiva de utilização da teoria com a prática

como meio de aproximação dos conteúdos de forma significativa sobre questões pertinentes à

realidade dos estudantes, estabelecendo conexões que garantam a criação de um espaço para

reflexão, para o desenvolvimento do senso crítico e favorecendo o aprendizado através de

trabalhos que buscam o entendimento da pratica com a teoria e quando se fala de oficina de

Matemática tratamos de uma perspectiva, algo a ser explorado, partindo do conhecimento

teórico levado a práticas através de construções de aplicações de forma trabalhadas, ou

melhor, manuseadas.

Não esquecendo que a teoria ela parte do processo falado, escrito, ela surge da

necessidade do homem em compreender os fenômenos que o cercam para interferir ou não em

seu processo de produção, alguns pontos são fundamentais um é aliar o tema a ser escolhido

25

com a realidade de nossos alunos e aproveitar as experiências extraclasses dos alunos aliada a

experiência do professor em sala de aula, são inúmeros os benefícios que podem ser

aproveitados como a motivação dos alunos e do próprio professor em um conjunto de

benefícios que venham enriquecer o conhecimento de ambos facilitando a aprendizagem e o

conteúdo passe a ser significativo deixe de ser abstrato e passe a se concreto, pois, essa

necessidade de conhecer e ter domínio do mundo que o rodeia é necessário para uma relação

harmoniosa entre o homem e o mundo que o cerca, essa relação parte do conhecimento

adquirido das necessidades da vida sendo a família e a escola o berço dessa aprendizagem.

Por outro lado, estamos convencidos de que há grande quantidade de adultos que,

através de sua interação extraescolar com o ambiente, não conseguiram desenvolver

uma concepção do espaço que lhes permita um controle adequado de suas relações

espaciais, controle que lhes possibilite orientar autonomamente seus deslocamentos

em âmbitos de determinara magnitude (GALVEZ, 2008, p. 250)

Mais, para que isso não venha acontecer é necessário criar situações criativas,

motivadoras e acima de tudo o professor elemento importante deve assumir a postura de um

mediador entre o saber comum e o saber matemático, fazendo com que o aluno passe a ser um

agente ativo no processo de construção do saber, é estabelecendo um paralelo entre ensino

tradicional e o ensino através da Oficina de Matemática abordando aspectos como a

pedagogia adotada, a criatividade, o interesse pelo estudo da Matemática, a motivação e

entusiasmo por parte dos alunos, e a avaliação do que eles realmente aprenderam com a

oficina de Matemática, levando o professor a refletir sobre a sua metodologia de ensino.

Na realidade, com todas as transformações que estão ocorrendo no mundo, mais do

que nunca é preciso aprender a viver com a incerteza. Para tanto, necessitamos

desenvolver em nossos ambientes de aprendizagem a autonomia de nossas crianças

e também a de nossos professores, levando a aprender a prender (MARTINS. 2011,

p. 135)

Neste trabalho de ensino, os conceitos específicos e as habilidades possam fazer os

alunos buscar no sentido de trazer o significado de ter condições de refletir, analisar e tomar

consciência do que se estudou dispondo a mudar as ideias já conhecidas que se possuem,

renovando e recriando para substituir conceitos já cultivados no passado e adquirir novos

conhecimentos.

26

Capitulo 3

O Ensino de Geometria e Os Materiais Manipuláveis

Quando se propõe ensinar matemática através dos materiais manipuláveis não

significa que são os materiais que farão o aluno aprender apenas manuseando, há por trás do

aprendizado uma grande importância do professor em colocar em prática o conhecimento

sobre geometria e direcionar a aplicação dos materiais a serem utilizados transformando o

conhecimento teórico geométrico em um conhecimento prático sendo os materiais apenas um

facilitador do conhecimento.

Nesta proposta de ensino, os conteúdos específicos e as habilidades são duas

dimensões da aprendizagem que caminham juntos; A seleção de temas e conteúdos e a forma

de tratá-los no ensino são determinantes, por isso, a escolha de materiais didáticos apropriados

e a metodologia de ensino é que aceitarão o trabalho simultâneo de conteúdos e habilidades.

Os materiais manipuláveis são apenas meios para alcançar o movimento de aprender

demonstrando o conhecimento adquirido.

Questionada por seu processo de ensino a Matemática ainda é vista na sua grande

maioria nas escolas apenas com a utilização unicamente de livros didáticos, sendo

reproduzido somente àquilo que está nele; Não diferente do contexto o conteúdo geométrico

acontece o mesmo com bastante frequência, utilizando-se apenas do conteúdo teórico como

forma de ensino, isso mostra, o quanto ainda a educação Matemática precisa mudar para

melhorar o aprendizado e ensinamento, levando ela para uma aprendizagem mais significativa

ao propormos trabalhar materiais manipuláveis para o ensino de geometria, para isso, é

necessário planejar e ter a linha de pensamento bem direcionada para quem vai ser aplicada,

não adianta criar o melhor trabalho do mundo se ele não esta sendo aplicado coerentemente de

acordo com série e o conhecimento prévio desses alunos.

A proposta de utilizar recursos como modelos e materiais didáticos nas aulas de

matemática não é recente. Desde que comenius (1592-1670) publicou sua Didactica

Magna recomenda-se que recursos os mais diversos sejam aplicados nas aulas para

“desenvolver uma melhor e maior aprendizagem” (GONÇALVES, GOMES &

VIDGAL, 2012, p. 9).

27

Procurar uma conexão entre conceito matemático ou as ideias a serem explorados,

serem motivadoras e serem apropriadas para o uso em geometria; com vistas ao

desenvolvimento de habilidades para o ensino da Matemática, tais como: criação de

estratégias, tomada de decisão, autonomia e o raciocínio dedutivo. Ao utilizar os materiais

manipuláveis como estratégia didática implica em percebê-lo como possibilidade de ação

física ou mental para criação do raciocínio matemático.

Pensado em melhorar o entendimento geométrico dentro do contexto escolar “Os

Parâmetros Curriculares Nacionais de (1998) recomendam que os professores de Matemática

explorem situações nas quais sejam necessárias algumas construções geométricas com régua e

compasso, garantindo a visualização e aplicação de propriedades das figuras, além da

construção de outras relações”.

Mais sem duvida, foi a partir do movimento da Escola Nova - e dos estudos e

escritores de John Dewey (1859 - 1952) – que as preocupações com um método

ativo de aprendizagem ganharam força. Educadores como Maria Montessori (1870 -

1952), inspirados nos trabalhos de Dewey, Pestalozzi e Froebel, criaram inúmeros

jogos e materiais que tinham como objetivos melhorar o ensino de matemática

(GONÇALVES, GOMES & VIDIGAL, p. 9, 10)

No bloco de conteúdos Espaço e Forma, esse documento colabora afirmando que se

deve cogitar o estudo das formas, noções de posição, localização de figuras e outros

elementos. Em consonância com isso, a exploração com esses elementos deve ser feita a partir

de pinturas, desenhos, artesanato dentre outros elementos. Isso deve acontecer, para que o

aluno possa estabelecer elos entre a matemática e outras áreas do conhecimento.

Já vista a necessidade de mudar as metodologias e sair do comodismo do ensinamento

que se encontra a educação e enriquecer o cenário do ensinamento tem-se visto uma mudança

significativa quanto a isso, pois hoje, existem muitas ferramentas que podem ser utilizadas

para tal fim, os materiais manipuláveis se constituem como recursos para a compreensão e o

uso adequado do sistema simbólico, é necessário estabelecer relações entre as ações mostram-

se mais preocupados com o ensino de geometria, dando maior atenção para esta situação tão

relevante para os alunos sabendo-se da importância do ensino da geometria, uma vez que esta

propicia o desenvolvimento do raciocínio do aluno a aplicação em outros conteúdos e sua

utilidade em situações práticas da vida.

Então, a utilização de régua, compasso, transferidor, esquadro são algumas

ferramentas que vão auxiliar no nosso estudo sobre geometria como materiais manipuláveis

28

na busca de melhor entender as propriedades geométricas a serem trabalhadas explicando

como usar na matemática e onde isso é usado na vida de muitos brasileiros, principalmente os

engenheiros, pedreiros e desenhistas proporcionando os contatos com esses materiais que

muitos nem conhecem, e nunca pegaram e nem sabe como utilizar na criação de figuras

geométricas planas, como triângulo, quadrado, pentágono, hexágono, heptágono, octógono,

eneágono, decágono, como visão de mundo ao criarmos cada uma com a utilização dessas

ferramentas explicando a matemática teórica que existe por traz dessa manipulação dessas

ferramentas dos materiais concretos e a formalização matemática. Não é o uso específico dos

materiais concretos, mas sim, o significado da situação, as ações dos alunos e sua reflexão

sobre as ações que levarão à construção do conhecimento lógico-matemático.

Perante o que se ver a geometria muitas vezes, não vem sendo explorada de maneira

satisfatória, contudo, apesar dos problemas enfrentados, esse campo da matemática vem

tentando reconquistar seu espaço como essencial na formação dos alunos.

3.1 A Importância Dos Materiais Manipuláveis

Quando se mostra a trabalhar com os materiais concretos, eles passam ate um maior

valor e outro entendimento pelos alunos fugindo do sentido de que são apenas objetos sem

fundamentos para serem apenas observados e sem valor. Entre as formas mais comuns de

representação de ideias e conceitos em matemática estão os materiais conhecidos como

manipuláveis, com sua idealização, esses materiais têm sido discutidos e muitos têm sido a

justificativas para sua utilização no ensino de matemática. Vamos, então, procurar relacionar

os argumentos do passado, que deram aos materiais manipulativos na escola, com sua

significação para o ensino de hoje.

O aluno aprende o que faz sentido pra ele, no passado, dizia-se que os materiais

facilitariam a aprendizagem por estarem próximos da realidade da criança. Atualmente, uma

das justificativas comumente usadas para o trabalho com materiais didáticos nas aulas de

matemática é a de que tal recurso torna o processo de aprendizagem significativa.

Ao contrário sobre o que seja aprendizagem significativa, Coll (apud GONÇALVES,

GOMES & VIDIGAL, 1995, p. 11) afirma que, normalmente, insistimos em que apenas as

aprendizagens significativas conseguem promover o desenvolvimento pessoal dos alunos e

valorizamos as propostas didáticas e as atividades de aprendizagem em função da sua maior

ou menor potencialidade para promover a aprendizagens significativas.

29

Os pressupostos da aprendizagem significativa são:

O aluno é o verdadeiro agente e responsável último por seu próprio

processo de aprendizagem;

A aprendizagem dá-se por descobrimento ou reinvenção;

A atividade exploratória é um poderoso instrumento para aquisição de

novos conhecimentos porque a motivação para explorar, descobrir e

aprender está presente em todas as pessoas de modo natural.

Ao colocar essa metodologia em prática com os materiais manipuláveis no sentido de

que os alunos entendam o sentido de aprender usando os materiais eles também possam na

manipulação abranger o sentido do vocabulário geométrico identificando as propriedades

sabendo classificar as diferenças de acordo com os níveis de linguagem dos termos e símbolos

propostos relacionados ao desenvolvimento de pensar em geometria, na sistematização formal

do conhecimento.

Então, os materiais manipuláveis são fundamentais no processo de ensino quando são

bem direcionados, e na geometria tem-se um campo muito grande quanto a esses materiais

são instrumentos que foram usados pelos grandes matemáticos para calcular e medir, hoje

esses materias tem uma grande importância na sociedade o compasso, esquadro, a trena

(régua), são instrumentos que fazem parte da vida dos trabalhadores da construção civil, das

oficinas de moveis e outros, isso mostra o quanto é importante saber manusear antes de

aplicar, contudo é necessário sempre te o conhecimento teórico e se aplicar na prática, para se

conseguir respostas da importância deles, pois, inconscientemente percorremos seus caminhos

a partir do momento em que nos deparamos com contagem à medida e adquirimos técnicas e

conceitos matemáticos necessários às exigências do nosso cotidiano.

30

Capitulo 4

Oficina: Polígonos e Seus Elementos Através de Materiais Pedagógicos

Manipuláveis

4.1 Introdução

Após uma aula teoria sobre o assunto polígonos e seus elementos e suas propriedades

colocamos em prática a oficina que tem como objetivo a criação dos polígonos inscritos em

uma circunferência, formamos grupos de seis alunos deixando em cada grupo um kit

geométrico com algumas ferramentas como compasso, régua, esquadros e outros materiais foi

realizado um passo a passo de forma escrita no quadro através de Slide com uma linguagem

bem acessível, um acadêmico fazia a leitura onde ensinava criando no quadro os polígonos, o

outro acompanhava como os alunos estavam se saindo, quando se existia duvida parava-se e

explicava novamente ao passo que todos conseguissem entender o processo de criação.

4.2 Justificativa

O trabalho esta sendo realizado como instrumento avaliativo da nossa proposta de

termino de conclusão de curso, como processo avaliativo em um trabalho de defesa, diante

dos avaliadores da Universidade Federal do Amapá - UNIFAP, com objetivos de se forma

futuros professores. Mais também tem um trabalho social de promover uma discussão entre

professores e alunos o quanto é importante fugir da rotina e aplicar uma oficina como

metodologia da relação teoria e prática no aprendizado e ensinamento dos alunos.

4.3 Público Alvo

Trabalhar com alunos da rede pública estadual de ensino com alunos da 8° série do

ensino fundamental, onde vamos trabalhar com duas turmas A e B tendo como responsável o

professor regente de matemática como colaborador, as turma possuem um número de trinta e

31

seis (36) alunos cada, os grupos serão formados de seis alunos podendo-se os grupos ficarem

com menos participantes de acordo com o número de alunos presente na sala.

4.4 Objetivo:

4.4.1 Objetivo Geral:

Com o trabalho essa oficina ela possa melhorar o conhecimento dos alunos sobre

polígonos regulares criados através da circunferência para melhor identificar os elementos que

fazem parte dos polígonos regulares, como vértice, ângulos, lados, diagonais e suas

propriedades.

4.4.2 Objetivo Específico:

Consiga criarem os polígonos regulares, através dos materiais manipuláveis

compasso, régua, transferidor, esquadro.

Saber distinguir os elementos que formam os polígonos regulares.

Saber definir as propriedades dos polígonos, e utilizar para futuras situações

problemas.

Saber classificar os polígonos pelos números de lados vértices.

4.5 Metas

Que os alunos consigam entender melhor as formas geométricas polígonos propostas

aqui e consigam manipular as ferramentas utilizadas, entendam o sentido da oficina como

facilitadora do seu aprendizado e até conseguir montar e ministrar uma oficina utilizando

ferramentas com material manipuláveis e possam aprende a criar os polígonos e saber

caracterizar suas propriedades e seus elementos para serem utilizadas nas futuras séries

subsequentes como bagagem cultural da boa relação teoria e prática aqui apresentada.

32

4.6 Metodologia

Aplicar uma oficina fazendo a relação teoria e prática como mecanismo de utilização

de materiais manipuláveis para o estudo de polígonos e seus elementos.

1° dia: Explanação da Oficina, Aplicação da pesquisa antes da oficina.

2° dia: Conceito dos elementos, propriedades através de Slides e quadro branco.

3° dia: Criação dos polígonos através dos materiais manipuláveis com utilização do

quadro branco, esquadro, transferidor de 180° e 360°, régua, compasso, borracha, papal A4.

4° dia: Atividade de resolução através de Slides, Vídeos e quadro branco com os

materiais manipuláveis.

5° dia: Aplicação do questionário antes e depois da oficina.

4.7 Tabela de Cronograma Físico de Atividade

Tabela: 1 - Turma A

Atividade nos dias 19/06 22/06 25/06 04/08 07/08

Apresentação na sala de aula x

Aplicação da 1° parte da atividade na sala x




Fonte: o autor, 2015

Tabela: 2 - Turma B

Atividade nos dias 19/06 22/06 25/06 04/08 06/08

Apresentação na sala de aula x






4.8 Tabelas dos Materiais Utilizados

Tabela: 3 - Equipamentos Utilizados

Especificação Quantitativo Valor Unitário Valor Total

Projetor de Imagem 01 01 01

Notebook 01 01 01

Caixa Amplificada 01 01 01

Extensão de Energia 01 01 01

Total Geral 04 04 04


33

Tabela: 4 - Material de Consumo

Especificação Quantitativo Valor Unitário Valor Total

Papel A4 250 R$ 0,05 R$ 12,50

Xérox 148 R$ 0,10 R$ 14,8

Borracha 10 R$ 0,50 R$ 5,00

Pincel 03 R$ 3,00 R$ 9,00

Lápis 30 R$ 0,50 R$ 15,00

Kit geométrico 10 R$ 2,75 R$ 27,50

Compasso 10 R$ 2,50 R$ 20,50

Total - - R$ 103,80


4.9 Tabelas da Frequência dos Alunos

Tabela: 5 - Monitoramento da frequência

Atividade na Turma: A Resultados

Quantidade de alunos na turma 36 alunos matriculados

Quantidade de alunos presente no primeiro dia 31 alunos presente na aula

Quantidade de alunos presente no segundo dia 33 alunos presentes na aula

Quantidade de alunos presente no terceiro dia 33 alunos presentes na aula

Quantidade de alunos presente no quarto dia 26 alunos presentes na aula

Quantidade de alunos presente no quinto dia 32 alunos presentes na aula


Tabela: 6 - Monitoramento da Frequência

Atividade na Turma: B Resultados

Quantidade de alunos na turma 36 alunos matriculados

Quantidade de alunos presente no primeiro dia 29 alunos presente na aula

Quantidade de alunos presente no segundo dia 30 alunos presentes na aula

Quantidade de alunos presente no terceiro dia 32 alunos presentes na aula

Quantidade de alunos presente no quarto dia 28 alunos presentes na aula

Quantidade de alunos presente no quinto dia 30 alunos presentes na aula


4.10 Como Manusear os Materiais Pedagógicos: Compasso e Régua para Determinar

Alguns Elementos dos Polígonos:

O auxilio de materiais pedagógicos: usando o compasso e a régua para determinar o

ponto médio de um segmento.

Pegue o seu compasso e a sua régua para determinar o ponto médio de um segmento.

Acompanhe, inicialmente, a definição de ponto médio de um segmento, e, em seguida, a sua

construção.

34

Definição: Chamamos de ponto médio do segmento a um ponto C deste segmento

tal que (Apud. BARBOSA, 1985, p. 16).

Figura 1 - segmento

Fonte: Acervo EAD – Uniube.

4.10.1 Construção do Ponto Médio de Um Segmento:

Primeiro você irá conhecer as partes que compõem um compasso e depois como

utilizá-lo.

Figura 2 - Compasso 1

Fonte: Acervo EAD – Uniube

4.10.2 Para Utilizar o Compasso, Observe as Seguintes Instruções:

A ponta do grafite deve ser chanfrada voltada para fora e pode ser apontada

com lixa. Ver figura 2.

Os níveis da ponta seca e o grafite devem ser iguais. Ver Figura 3.

As hastes devem estar firmes; para isso, ajuste os parafusos;

Para medir uma abertura qualquer do compasso na régua, apoie a régua na

mesa, coloque a ponta-seca do compasso no zero da graduação e afaste a outra haste. Ver

Figura 4.

35

Para traçar, segure o pino superior apenas com o polegar e o indicador. Ver

Figura 5.

4.10.3 Traçado do Ponto Médio

Com a ponta seca do compasso em A, abertura maior do segmento AB,

podendo ser comprimento de AB, trace uma circunferência.

Figura 3 - Compasso 2 Figura 4 - Compasso 4

Fonte: Acervo EAD – Uniube Fonte: Acervo EAD – Uniube

Observação: Quando começarmos a trabalhara a criação dos polígonos regulares será

realizado um passo a passo do processo de construção das figuras geométricas que usam

regras tomadas dentro da circunferência com medidas que devem feitas precisamente para que

os resultados sejam obtidos, então, no ato de manusear o compasso muita atenção para que a

abertura do compasso não se altere após a medida tomada, pois, quaisquer alterações no

tamanho da abertura do compasso pode comprometer a criação da figura que esteja

trabalhando dando alterações consideráveis após o termino, então, é necessário sempre esta

apertando os parafusos ou outros meios para não fugir da medida correta.

36

Figura 5 - Compasso 4


Em seguida, com a mesma abertura, a ponta seca do compasso em B, trace

circunferência.

Estas circunferências devem se cortar em dois pontos C e D. Ver figura 06;

não há a necessidade de fazer as duas circunferências. Basta traçar dois arcos.

Ver Figura 07.

Posicione a régua como se fosse traçar o segmento CD. A interseção do

segmento CD com o segmento AB nos dá o ponto médio M.

Figura 6 - Ponto médio M do seguimento AB 1. Figura 7- Ponto médio M do seguimento AB 2.


37

4.10.4 Atividades Propostas

a) Após as instruções feitas pedimos que treine seguindo os passos que foram

ensinados.

b) Construa um segmento e trace com o compasso o ponto médio

desse segmento.

c) Se os pontos são colineares e e , determine e

trace o ponto médio de com sua respectiva medida.

d) Os segmentos e são adjacentes, de tal maneira que é o

quádruplo de , é o triplo de e M é ponto médio de ,

Determine as medidas dos segmentos , , e .

e) Os segmentos são adjacentes e e são congruentes.

Demonstre que os segmentos e são congruentes e que e têm o

mesmo ponto médio.

Conseguiu construir o ponto médio? Se não, retorne o processo e faça novamente.

Ainda com compasso e régua, você irá transportar segmentos da reta utilizando-os.

Mas não é só medir com a régua e marcar a medida onde se deseja?

Não é bem assim! E aqueles segmentos que não são possíveis de serem medidos com a

régua? Por exemplo, um segmento .

Para isso utilizamos o compasso. Acompanhe!

4.11 O Auxilio de Materiais Pedagógicos: Usando o Compasso e a Régua para Determinar

e Transportar um Segmento.

Inicialmente, você irá estudar o exigido do transporte de segmentos e em seguida,

como se transporta o segmento de reta. Para isso, você precisa saber o que é uma semirreta.

Acompanhe.

38

Analisando o significado do prefixo latino semi-, percebe-se que ele indica metade da

reta?

A ideia é essa! Acompanhe a definição.

Semirreta: Se e , são pontos distintos, o conjunto constituído pelos pontos do segmento

e por todos os pontos , tais que encontra-se entre e , é chamado de semirreta de

origem contendo o ponto e é representado por O ponto é determinado de origem da

semirreta (adaptado de BARBOSA, 1995, p.4).

Representação:

Figura 8 - Semirreta CD.


Qual é a relação com o transporte de segmentos?

Acompanhe, atentamente, o postulado do transporte de segmentos para verificar a

resposta.

4.11.1 Postulado do Transporte de Segmentos:

Dados um segmento e uma semirreta de origem existe sobre esta semirreta um

único ponto S’ tal que .

Figura 9 - Segmento de reta 1 Figura 10 - Segmento de reta 2


39

Exemplo: Com o compasso e a régua você irá transportar o segmento , para a

semirreta . Para isso, siga as seguintes instruções.

Figura 11 - Segmento de reta Figura 12 - Semirreta 1


Marque um ponto na semirreta e denomine-o de

Ponta-seca do compasso no ponto e abertura até o ponto ;

Ponta-seca do compasso em , marque o ponto de acordo com a abertura

determine.

Figura 13 - Segmento de reta Figura 14 - Semirreta 2


Compreendeu? Viu a necessidade de se entender inicialmente o que vem a ser

semirreta?

4.11.2 Atividade Proposta

Sabendo que M é ponto médio do segmento e que , transporte o

segmento para a semirreta .

4.12 Em Todos os Polígonos Temos os Seguintes Elementos.

Lados: São os segmentos que formam o contorno: e , e assim

sucessivamente para os demais lados.

40

Vértices: São os pontos comuns a dois lados consecutivos: A, B, C, D e assim

sucessivamente para os demais vértices.

Diagonais: São os segmentos que unem dos vértices não consecutivos: , , ,

, e assim sucessivamente para as demais diagonais.

4.13 Elementos Lineares dos Triângulos

Bissetriz interna: É o segmente, contido no triângulo, que divide o ângulo interno em

dois ângulos iguais. As três bissetrizes internas de qualquer triângulo passam por um mesmo

ponto, chamado incentro do triângulo. O incentro é o centro da circunferência inscrita no

triângulo, isto é, da circunferência que tangencia os três lados do triângulo.

Figura: 15 - Bissetriz

Fonte: Nova Cultural

Mediatriz: É a reta perpendicular ao lado, passando pelo ponto médio do mesmo. As

três mediatrizes de qualquer passam por um mesmo ponto, chamado do triângulo. O

circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é, da circunferência

que passa pelos três vértices do triângulo.

Figura: 16 - Mediatriz

Fonte: Nova Cultura

41

4.14 Apresentação do Conteúdo Polígonos

Figura que é formada por segmentos de reta unidos por seus extremos dois a dois.

Figura: 17 - Polígono Figura: 18 - Polígono

Fonte: Elaborado pelo autor (2015) Fonte: Elaborado pelo autor (2015)

Figura: 19 – Polígono Figura: 20 - Polígono

Fonte: Elabora pelo autor (2015) Fonte: Elaborado pelo autor (2015)

Figura: 21 - Polígono

Fonte: Elaborado pelo autor (2015)

42

4.14.1 Elementos de Um Polígono

Figura: 22 – Polígono e Seus Elementos

Fonte: Aminta Paiva Afonso (Slaide)

4.14.2 Classificação dos Polígonos por Sua Forma

Polígono Convexo: As medidas de seus ângulos interiores são agudas.


Fonte: Elaborado Pelo Autor (2015)

Polígono Côncavo ou Não Convexo: As medidas de um ou mais de seus ângulos

côncavo.

43



Polígono Equilátero: Seus Lados São Congruentes.



Polígono Equiângulo: As medidas de seus ângulos interiores são congruentes.



4.14.3 Classificação dos Polígonos

44

Polígono Regular: É equilátero e por sua vez é equiângulo.



Polígono Irregular: Seus lados têm comprimentos diferentes.



4.15 Classificação por Seus Números de Lados e Vértices

Tabela: 7 - Classificação dos polígonos

Nome N° de lados N° de Vértices

Triângulos 03 lados 03 vértices

Quadrilátero 04 lados 04 vértices

Pentágono 05 lados 05 vértices

Hexágono 06 lados 06 vértices

Heptágono 07 lados 07 vértices

Octógono 08 lados 08 vértices

Eneágono 09 lados 09 vértices

Decágono 10 lados 10 vértices


45

4.16 Propriedade dos Polígonos

Utilizamos o pentágono para representar os polígonos

Primeira Propriedade: Numericamente temos:

Segunda Propriedade: A partir de um vértice de um polígono, poden-se traçar

diagonais.

Exemplo:

Figura: 29- Polígono


)

Terceira Propriedade: O número total de diagonais que se pode traçar em um

polígono.

Exemplo:

46

Figura: 30 – Polígono


Quarta Propriedade: Ao traçar diagonais desde um mesmo vértice obtemos

triângulos.

Exemplos:



(Triângulos)

Quinta Propriedade: Soma das medidas dos ângulos interiores de um polígono:

Donde é o número de triângulos.

47

Exemplo:



Sexta Propriedade: Soma das medidas dos ângulos exteriores de um polígono é

360°. .

Exemplo:



(Soma dos ângulos externos)

48

Sétima Propriedade: Ao unir um ponto de um lado com os vértices opostos obtemos

triângulos.

Exemplo:



(Triângulos)

Oitava Propriedade: Ao unir um ponto interior qualquer com os vértices obtemos n

triângulos.

Exemplo:



(Triângulos)

49

Nona Propriedade: Número de diagonais traçadas desde v vértices consecutivos,

obtemos com a seguinte fórmula.

Exemplos:



Observação: Para os vértices um e dois segue sucessivamente as mesmas quantidade

de diagonais.

4.16.1 Propriedades dos Polígonos Regulares

1°Propriedade: Medida de um ângulo interior de um polígono regular ou polígono

equiângulo. Usando o pentágono teremos.

50

2°Propriedade: Medida de um ângulo exterior de um polígono regular ou polígono

equiângulo. Usando o pentágono teremos.

3°Propriedade: Medida de ângulo central de um polígono regular. Usando o

pentágono teremos.

4°Propriedade: Soma das medidas dos ângulos centrais. Usando o pentágono

teremos.

4.17 Construção de Polígonos Regulares Inscrito em Uma Circunferência de forma prática

Conceito de Circunferência: É o conjunto de todos os pontos de um plano equidistante

de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência. Na

circunferência, temos o raio e o diâmetro; o raio é a medida do centro até à circunferência, e o

diâmetro é a distância entre um lado e o outro da circunferência, passando pelo ponto central.

51

É Todo polígono equilátero (todos os lados congruentes) e equiângulo (todos os

ângulos internos congruentes e esternos congruentes). Todo o polígono regular é inscritível a

uma circunferência.

O conteúdo de construção de polígonos regulares, faremos os polígonos passo a passo

utilizando materiais manipuláveis como esquadro, transferidores, régua, compasso, lápis,

borracha, papel A4 com ajuda de nós acadêmicos e nossa metodologia utilizada que foi a

transcrição de vídeos ensinando como cria-los passo a passo de cada figura geometria, é

necessária muita atenção aos detalhes e conhecimento das definições aqui cobradas.

Figura: 37 – Polígono Inscrito na Circunferência


Figura: 38 - Polígono Inscritível e Circunscrito


Observação: As letras maiúsculas (A, B, C, D, E, F…) representam os pontos da

circunferência que vamos montar.

52

4.17.1 Triângulo Equilátero

1º Passo: Cria-se uma circunferência com raio que quiser.

2º passo: Marca-se em qualquer lugar da circunferência um ponto, onde chamaremos

de ponto A.

3º Passo: Traça-se o diâmetro da circunferência a partir do ponto A; passando pelo

centro, chega-se no ponto que chamarei de ponto B na circunferência.

4º Passo: Traça-se uma semicircunferência aonde a abertura do compasso, vai até o

centro da circunferência sendo que a ponta seca do compasso fica no ponto A ou em B como

preferir e o grafite no centro da circunferência, girando a ponta do grafite para direita e

esquerda assim traçando uma semicircunferência, que vamos nomear de ponto C e ponto D

ao tocar a circunferência às marcações.

5º Passo: Após fazer os pontos é só traçar os segmentos de retas que passam pelos

pontos , , que são os lados que formam o triângulo equilátero.

4.17.2 Quadrilátero Regular

1º Passo: Cria-se uma circunferência de raio do tamanho que se quiser.

2º passo: Marca-se em qualquer lugar da circunferência um ponto que o chamaremos

de ponto A.

3º Passo: Traça-se o diâmetro e para traçar o diâmetro, tem que passar pelo centro da

circunferência a partir do ponto A; quando chegar do outro lado da circunferência, acha-se o

ponto que chamaremos de B.

4º Passo: Traça-se a mediatriz desse seguimento reta para isso é necessário colocar o

compasso sua ponta seca encima do ponto A e a abertura do compasso com grafite maior que

o raio, e faço a marcação, a mesma coisa, faço no ponto B com a mesma abertura do

compasso com grafite maior que o raio da circunferência fazendo a marcação, encontra-se

interseção dos pontos A e ponte B, traça-se a mediatriz e acham-se os pontos que chamaremos

de ponto C e ponte D na circunferência.

5° Passo: Agora se traça o segmento de reta feito pelos pontos , , , , que

são os lados formandos o quadrilátero regular.

53

4.17.3 Pentágono Regular


2º passo: Marca-se em qualquer lugar da circunferência um ponto que o chamaremos

de ponto A.



ponto que chamaremos de ponto B.

4º Passo: Traça-se a mediatriz desse seguimento reta para isso é necessário colocar o

compasso sua ponta seca encima do ponto A e a abertura do compasso com grafite maior que

o raio, faz-se a marcação, a mesma coisa, faz-se no ponto B com a mesma abertura do

compasso com grafite maior que o raio da circunferência fazendo a marcação, encontra-se a

marcação de ambos os pontos A e ponto B, traça-se a mediatriz e acham-se os pontos que

chamaremos de ponto C e ponto D na circunferência.

4° Passo: Encontra-se o ponto médio de , para isso é necessário colocar o

compasso a ponta seca no ponto O (ponto central) e o grafite com abertura do compasso

maior que a metade do segmento , faz-se a marcação do lado direito e esquerdo e depois o

mesmo procedimento no ponto B, com a mesma abertura utilizada o ponto O, faz-se a

marcação das interseções traçando-se as marcações acha-se o ponto médio de que fica

encima do diâmetro que chamaremos de ponto E.

5° Passo: Coloca-se o compasso a ponta seca encima E depois a abertura do compasso

com a ponta do grafite encima do ponto C, traça-se o arco em direção ao diâmetro onde

encontraremos a interseção que caracterizamos de ponto F.

6° Passo: Traça-se um segmento de reta do ponto F até o C, que será a abertura do

compasso para traçarmos os pontos do pentágono na circunferência em um número de cinco

marcações.

7° Passo: Agora é só fazer os segmentos de retas entre as marcações feitas colocando-

se a ponta seca encima de cada marcação feita até um número de cinco que será o número de

lados do Pentágono Regular.

4.17.4 Hexágono Regular

54

1º Passo: Cria-se uma circunferência de raio de tamanho que se quiser.

2º passo: Marca-se um ponto em qualquer lugar da circunferência que chamaremos de

ponto A.




4º Passo: Traça-se uma semicircunferência para isso a abertura do compasso, vai até

o centro da circunferência no ponto O sendo que a ponta seca do compasso fica no ponto A,

gira-se o compasso a ponta do grafite para direita e esquerda assim traçando uma

semicircunferência, que vamos nomear na circunferência de ponto C e o ponto D.

5º Passo: traça-se outra semicircunferência a abertura do compasso, vai até o centro

da circunferência no ponto O sendo que a ponta seca do compasso fica no ponto B, girando a

ponta do grafite para direita e esquerda assim traçando uma semicircunferência, que vamos

nomear na circunferência de ponto E, e o ponto F.

6º Passo: Agora é só juntar os pontos, , , , , , que são os lados,

quando você une os pontos você garante que o Hexágono Regular.

4.17.5 Heptágono Regular



ponto A.



ponto que chamaremos de ponto B.

4º Passo: Traça-se a mediatriz do segmento a partir do ponto A, coloca-se o

compasso sua ponta seca no ponto A, e a abertura maior que o raio da circunferência faz-se o

traçado com grafite do lado direito e esquerda, o mesmo acontece com o ponto B até acha a

marcação das interseções do grafite feita com o compasso. Traçam-se um segmento de reta

através das interseções do grafite feito achando-se o ponto C e o ponto D na circunferência.

5º Passo: Traça-se a mediatriz do segmento a partir do ponto O, coloca-se o

compasso sua ponta seca no ponto O, e a abertura maior que a metade do raio da

55

circunferência faz-se a marcação com grafite do lado direito e esquerda, o mesmo acontece

com o ponto D até acha a marcação das interseções do grafite feita com o compasso. Traçam-

se um segmento de reta através das interseções do grafite feito achando-se a mediatriz e

consequentemente o ponto médio E, a reta que passa no ponto médio tocando a circunferência

em direções opostas encontraremos os pontos que chamaremos de F e o ponto G.

6° Passo: A distancia, do ponto E ao ponto F ou a distancia do ponto E ao ponto G é à

medida que utilizaremos para traçar a partir do ponto A as medidas dos lados do Heptágono

Regular.

7° Passo: Basta traçar as marcações feitas com a medida encontrada de , para

encontrar o Heptágono Regular.

4.17.6 Octógono Regular



ponto A.




4º Passo: Traça-se a mediatriz a partir do ponto A, coloca-se o compasso sua ponta

seca no ponto A, e a abertura maior que o centro da circunferência faz-se a marcação com

grafite do lado direito e esquerda, o mesmo acontece com o ponto B até acha a interseção do

grafite feita com o compasso. Traçam-se as interseções do grafite feito achando-se o ponto C

e o ponto D.

5º Passo: Temos que encontra a bissetriz do ângulo que tem como convenção o

ângulo e coloca-se o compasso a ponta seca encima do ponto B com abertura do

grafite maior que a metade do ângulo e faz-se a marcação, depois se coloca o

compasso a ponta seca encima do ponto D e com a mesma abertura feita no segmento e

faz-se a marcação, a mesma coisa será realizado no ponto A com a medida do seguimento

e . Agora é só traçar a bissetriz das marcações feitas até o outro lado da

circunferência para achar os pontos e .

56

6º Passo: Depois faz a ligação dos pontos encontrados com a régua , , , ,

, , , achando os lados até forma o Octógono Regular.

4.17.7 Eneágono Regular



ponto A.

3° Passo: Coloca-se o compasso a ponta seca no ponto D e abertura do compasso com

do grafite até o ponto O (centro), traça-se um arco para o lado do ponto B até a interseção

com a circunferência onde chamaremos de ponto E.

4° Passo: Coloca-se o compasso a ponta seca em C abertura até o ponto E, traça-se

um arco em direção ao ponto B até chegar à interseção com o prolongamento do segmento

, que chamaremos de ponto F.

5° Passo: Coloca-se o compasso a ponta seca em F e abertura até o ponto D, traça-se

um arco em direção ao diâmetro , onde a interseção do arco com o diâmetro formará o que

chamaremos de ponto G.

6° Passo: Todos os traçados feitos foram para achar o segmento de C até o ponto G,

que será a medida da abertura do compasso para ser utilizada a partir de ponto D, sempre

colocando a ponta seca do compasso encima de cada traçado feito em um número de oito,

pois, o próximo será o ponto D.

7° Passo: Agora é só fazer os segmentos dos traçados feitos para obtermos o

Eneágono Regular.

4.17.8 Decágono Regular



ponto A.




57

4º Passo: Traça-se a mediatriz a partir do ponto A, coloca-se o compasso sua ponta

seca no ponto A, e a abertura maior que o centro da circunferência faz-se a marcação com

grafite do lado direito e esquerda, o mesmo acontece com o ponto B até acha a marcação do

cruzamento do grafite feita com o compasso. Traçam-se os cruzamentos com o grafite feito

achando-se os dos pontos C e ponto D.

5º Passo: Traça-se a mediatriz do segmento a partir do ponto O, coloca-se o

compasso sua ponta seca no ponto O, e a abertura maior que a metade do raio da

circunferência faz-se a marcação com grafite do lado direito e esquerda, o mesmo acontece

com o ponto D até acha a marcação das interseções do grafite feita com o compasso. Traçam-

se um segmento de reta através das interseções do grafite feito achando-se a mediatriz e

consequentemente o ponto médio E a reta que passa no ponto médio tocando a circunferência

em direções opostas encontraremos os pontos que chamaremos de F e ponto G.

6° Passo: Coloca-se o compasso a ponta seca no ponto E, com abertura que até o

ponto A, traça-se um arco em direção ao diâmetro a interseção de ambos chamaremos de

ponto F.

7° Passo: Feito todo esse processo acharemos a distancia entre o ponto F até o ponto

O, que será a medida dos lados do Decágono Regular, agora basta traçar as marcação feitas.

58

Metodologia

Ao trabalhar com Matemática não diferente com as demais disciplinas o envolvimento

do aluno é uma condição fundamental da aprendizagem, a aplicação do trabalho tem que esta

sobre o domínio dos aplicadores e eles consigam estabelecer uma boa relação entre todos,

para que as investigações possam ser bem sucedidas, neste trabalho foi realizada uma

sequencia lógica do processo de ensino e aprendizagem onde se falou um pouco da história da

matemática geométrica e um apanhado da importância de se poder trabalhar um projeto

através de uma oficina de forma teórica e prática com materiais manipuláveis utilizados para

aprender geometria sobre polígonos e seus elementos e sua importância no contexto escolar

como ferramenta fundamental no processo de construção do conhecimento e facilitador de um

aprendizado significativo, foi feito os questionários antes e após para futuras respostas com

perguntas abertas e fechadas sobre o assunto e o trabalho, a estrutura da oficina passou por

todo processo logístico, iniciamos a oficina com uma explanação do assunto de forma teórica

sobre os elementos e propriedades dos polígonos com suas definições, fizemos uma

abordagem sobre como manusear o compasso e régua na criação dos polígonos dando

sequencia fizemos a criação dos polígonos inscritos em uma circunferência através da prática,

o planejamento foi realizado de forma bem distribuída por etapas na busca do melhor

caminho a ser processado, os alunos pesquisados são da 8ª série do ensino fundamental da

rede pública de ensino de Macapá da Escola Campo. As atividades foram realizadas em cinco

dias por turma no período de duas horas aulas diárias, Dentro de um cronograma pré-

estabelecido iniciado dia 22 de junho de 2015 a apresentação na escola campo. Tais

procedimentos partiram da necessidade de que pudéssemos avaliar os resultados entre as duas

turmas para compara-las após realização da oficina, nosso objetivo teve de mostrar até que

ponto foi à satisfação e o aprendizado dos alunos diante do trabalho como eles se saíram

pessoalmente, se conseguiram aprender mais sobre o assunto da forma que foi trabalhada ou

não, a oficina foi utilizado como elemento exploratório e para provar que a relação teoria e

prática através de materiais manipuláveis é um mecanismo metodológico didático pedagógico

fundamental para obtenção de um melhor aprendizado registrar as observações e conclusões

obtidas. Nesse sentido, procuramos então investigar qual a importância e a influência da

utilização deste recurso nas aulas de Matemática para o aprendizado de geometria.

.

59

Questionário Antes da Oficina

GRÁFICO: 1 – Você tem conhecimento sobre polígonos e seus elementos


De acordo com o GRAF. 1 pode-se ver um contraste entre as turmas, enquanto a turma

A respondeu sim e parcialmente e esses grupos estão dentro de quem tem conhecimento sobre

polígonos totalizando 71% e tendo apenas 29% que disseram que não de um total de 31

alunos. Já a turma B, teve sim e parcialmente um total de 45% que conhecem, sendo que 55%

disseram que não de um total de 29 alunos. Ou seja, enquanto uma disse em sua maioria que

conhecia a outra disse que não, isso é uma contradição entre suas respostas, pois, as turmas

estão no mesmo grau de escolaridade a 8ª série ensino fundamental.

No GRAF. 1 tem a opção parcialmente essa resposta veio em decorrência de termos

colocado aos alunos a opção de criar alternativas se eles achassem necessário, se não tivesse

respostas que eles tivessem em acordo com as perguntas feitas, eles poderiam criar sua

própria resposta, isso mostra que a grande maioria dos alunos, tem conhecimento sobre

polígonos, pois, o sim e parcialmente nas duas turmas as maiores porcentagem.

60

GRÁFICO: 2 - Você já participou de alguma oficina


De acordo com o GRAF. 2 podemos dizer que a turma A teve como sim 42% que

participaram de uma oficina e que 58% que não de um número 31 alunos. Já a turma B, teve

como sim 52% e como não 48% de 29 alunos.

A conclusão que se tem é que falta ser trabalhado mais vezes oficina como

metodologia de ensino, mais em conversa com o professor as dificuldades de se trabalhar com

oficina são a falta de estrutura, planejamento e tempo esse é o grande problema, pois, o

conteúdo de Matemática é muito extenso e muitas vezes é uma correria até pra fechar o

bimestre, pois, o professor fora da sala de aula tem que planejar aulas, corrigir provas e uma

carga horária com várias turmas lotadas de alunos.

61

GRÁFICO: 3 - Você acha importante a relação teoria e prática? Por quê?


De acordo com o GRAF. 3 a turma A teve 45% que sim, acha importante, enquanto

que apenas 55% acham que não. Já a turma B teve 83% que sim, acha importante, enquanto

que apenas 17% acham que não é importante a relação teoria e prática.

Então, a grande maioria dos alunos acha fundamental para o aprendizado, alguns

definem assim essa relação.

Para quem Disse Sim:

Aprendemos muito mais; Por que se você praticar você aprende mais que a teoria; É

importante para melhoria do ensino; Por que é legal e Interessante; Por que na teoria muitas

vezes não aprende; mais na prática vendo se aprende; Por que sem a teoria, não podemos

realizar a prática, precisamos conhecer antes; Por que temos um melhor entendimento do

conteúdo; Por que só se aprende algo se praticando; Por que na prática podemos mostrar o

que aprendemos.

Para quem Disse Não:

Não acha interessante; Por que só fez teoria a prática não; Por que algumas pessoas

não tem conhecimento da matéria.

62

GRÁFICO: 4 - Você já trabalhou com materiais manipuláveis


De acordo com o GRAF. 4 a turma A tem 45% que sim, já trabalharam com materiais

manipuláveis e como não 55%. Já a turma B, teve como sim 45%, e como não 55%.

Podemos tirar como conclusão que os materiais manipuláveis ainda são pouco usados

nas salas de aula como metodologia de ensino.

63

GRÁFICO: 5 - O que você espera da oficina


No GRAF. 5 temos uma proporção diferente de respostas de acordo com a quantidade

de alunos, isso aconteceu por que alguns alunos responderam mais de uma pergunta, com

expectativa da oficina. Na turma A, que as respostas que mais se destacaram foram trabalhar

em conjunto com os colegas com 45% e sair da rotina de uma aula tradicional 30%, depois,

interagir com os professores 13% e melhorar a relação com os colegas 12%. Já a turma B

também teve como destaque trabalhar em conjunto 30% e sair da rotina com32%, depois,

interagir com o professor 26% e melhorar a relação com o colega.

Podemos ver que as mais respondidas foram trabalhar em conjunto com os colegas e

sair da rotina de uma aula tradicional.

64

GRÁFICO: 6 - Você gosta de Matemática? Por quê?


Através GRAF. 6 destes dados fica evidente a grande rejeição que a matemática ainda

possui. Na turma A temos 58% disseram sim, que gostam de matemática e 42% disseram que

não. Já a turma B, 52% disseram sim, que gostam de matemática e 48% disseram que não.

Mesmo com a grande maioria dizendo que gosta da disciplina o índice é muito grande

dos alunos que rejeitam a matemática quase a metade das turmas responderam que não

gostam o que equivale a 27/60 alunos ou 45% do total responderam que não gostam.

Fizemos uma síntese das respostas dos alunos e demos destaques para algumas como:

Quem Gosta de Matemática:

Matéria interessante; É importante; Por que é onde aprendemos a calcular; Por que

agente precisa aprender; Por que vai me ajudar no futuro; Melhora o calculo e o raciocínio; É

importante pra vida toda; Por que nos ajuda em diversas áreas da vida; Calculo é fundamental;

Abre várias portas.

Quem não Gosta de Matemática:

Muito difícil; Não sou muito boa; tenho dificuldade; Por que é chata; Muito

complicada; Pouca afinidade; Atrapalho-me com os números; Não consigo entender.

65

Questionário Pós-Oficina

GRÁFICO: 7 – Você achou importante trabalho com polígonos e seus elementos através da oficina? Por quê?


De acordo com o gráfico a aceitação da oficina para se estudar polígonos foi bem

aceita, pois, a turma A com 92% responderam sim e 4% responderam não e parcialmente. Já a

turma B, 89% que responderam sim e não houve nenhum que disse não e 11% responderam

parcialmente.

O gráfico mostra que a grande maioria dos alunos achou importante trabalhar a oficina

com 49/54 alunos ou 91%, ambas as turmas A e B mostram interessante em trabalhar

polígonos e seus elementos através da oficina.

Os por quês estão dentro de várias maneiras de se expressar como eles relataram:

Por que ajudou a relembrar do que estudamos; Sim, Por que eu ainda não conhecia

esses elementos; Por que eu aprendi mais sobre polígonos; O que aprendemos na oficina

poderá me ajudar mais a frente, na escola mesmo até; Por que é bem interessante, legal

bacana, gostei bastante e bem legal de fazer aprender; Sim, por que eu acho que ensinou

muito para nós que somos alunos e não vemos muito isto em sala de aula; É importante

aprender, foi meio difícil, mais aprendi é só tentar; Por que foi muito importante, para nossa

66

vida (nossos estudos) principalmente no ensino médio; Por que eles são importantes, mas essa

foi um saco, principalmente se a última.

GRÁFICO: 8 - Você achou importante trabalhar teoria e prática? Por quê?


De acordo com o gráfico temos que a turma A com 92% dos presentes responderam

sim, não e parcialmente 4% respectivamente. Já a turma B, com 93% responderam sim e

nenhum disse não e 7% responderam parcialmente. Ou seja, juntas as turmas tiveram uma

aceitação de 50/54 alunos ou 93% de aceitação da relação teoria e prática como metodologia

de ensino.

No gráfico os alunos responderam o que colocamos como objetivos de mostrar que a

relação teoria e prática são importantes no processo de aprendizagem deles pode-se ver que as

duas turmas tem a mesma opinião quanto a relação, isso mostra que essa metodologia tem que

ser mais utilizada nas aulas de matemática.

Os por quês de suas respostas estão dentro de várias maneiras de se expressar como:

Por que na prática nós ficamos mais equilibrados e na teoria e na prática ganhamos

mais conhecimentos; Nós aprendemos com os erros; Por que é melhor agente trabalha em

grupo; Por que se não tivéssemos a teoria não poderíamos ter jeito a prática; Por que agente

conhece se teorias e relaciona a prática; È importante e tem que ter prática; Por que

aprendemos mais um pouco de algo que vai servir; Teoria é legal e a prática e a teoria formar

67

muitas coisas; Por que trabalhar só com a teoria é muito complicado; Por que eu não sabia

usar o compasso, eu aprendi mais ou menos usar agora; Agente aprende mesmo é praticando;

Não por que eu não achei importante não achei legal e é muito chato isso.

GRÁFICO: 9 - Você achou importante trabalhar com materiais manipuláveis


De acordo com o gráfico temos que a turma A com 96% responderam sim, acharam

importante trabalhar com materiais manipuláveis e 4% disseram não. Já a turma B, com 100%

responderam sim. Sento que juntas às turmas com 53/54 alunos ou 98% de aceitação.

No gráfico temos mais uma de nossas questões respondidas pelos alunos o quanto a

utilização de materiais manipuláveis é importante no ensinamento dos alunos, pois, com essa

metodologia pode ver o interesse dos alunos em aprender e o quanto eles acham importante,

essa relação.


Por que eu achei bom que lá na frente vamos poder ensinar outros para ter prática; Ver

o que eu ainda não conhecia, ganhamos mais experiência; Para entender melhor o assunto e

saber fazer a prática; São melhores e bem importantes, e não aprendermos a usar; Por que,

muita gente não sabia como mexerem nos matérias e agora já sabe um pouco; Por que usando

esses materiais podemos aprender mais; Sim é bom conhecer os materiais; Por que vamos

68

relacionando a teoria a pratica lendo os passos de construção do slide; Por que foi uma

experiência nova; Por que aprende coisas novas e dá ideia para construção de outros

materiais; Por que não pode ser só o assunto também tem que ter a prática; Por que eu não

sabia usar esses materiais; Por que nós aprendemos as utilidades que eles tem.

GRÁFICO: 10 - Você acha que a oficina ajudou você entender melhor o assunto?


No GRAF. 10 temos que na turma A 96% responderam sim, a oficina ajudou a

entender melhor o assunto e 4% disseram não. Já a turma B, 96% responderam que sim, a

oficina ajudou entender melhor o assunto e 4% responderam que não. Ou seja, as turmas

juntas com 52/54 dos alunos ou 96% aceitaram como positivo a utilização da oficina na ajuda

de entender melhor o assunto.


Sim, por que eu não sabia mexer com os materiais manipuláveis; Por que podemos

praticar o que aprender; Por que ajudaram bastante eles tiveram muita paciência; Por que vai

ajudar em matemática; Por que vai ajudar a gente aprender mais; Aprendi mais coisas

interessantes; Ajudou-me a entender o assunto; Os professores me ajudaram bastante; Sim,

trabalhar com isso ajudar muito no entendimento desse assunto; Eu entendo tudo; Por que, eu

nunca tinha trabalhado com isso, é interessante aprendi bastante; Por que é importante eu

pode saber como é que faz, um triangulo, quadrado etc.; Por que eu não sabia quase nada; Sim

69

por que não entendia nada sobre o assunto; Por que podemos ensinar para várias pessoas; Até

demais; Por que vamos conhecendo; Por que foi uma experiência muito boa e aprendemos

mais; A oficina ajudou bastante mesmo; Por que foi bem aplicado; É um pouco complicado;

Por que abriu mais nossa mente; Fiquei totalmente atrapalhada.

GRÁFICO: 11 - Você achou que a oficina foi bem aplicada pelos acadêmicos


De acordo com o GRAF. 11 temos que a turma A com 67% responderam Excelente e

18% responderam Muito Bom, 11% bom e 4% responderam regular. Já a turma B, 57%

responderam Excelente, 39% Muito Bom, 4% Bom e nenhum respondeu Regular.

No geral as turmas juntas A e B, ou seja, 31/54 alunos ou 60% acharam excelente o

trabalho realizado. Nosso trabalho foi feito com carinho e muito emprenho tentando dar

atenção a cada aluno por igual, tirando duvidas, orientando, falando da importância de se

conhecer os assuntos e para o futuro deles, o que podemos ver é que a grande maioria gostou

fazendo uma análise das respostas, isso é gratificante, pois era isso que pensávamos em

alcançar uma oficina onde pudesse despertar a matemática que existe dentro de cada um

deles, com objetivos traçados e alcançados.

70

GRÁFICO: 12 - Você gostaria que fosse aplicado mais oficina com essa metodologia?


De acordo com o GRAF. 12 temos que a turma A com 62% responderam que gostaria

que fosse ministrada mais oficina com essa metodologia, 15% responderam não e 23%

parcialmente. Já a turma B, 82% responderam que gostariam que fosse ministrada mais

oficina com essa metodologia, 4%, responderam não e 14% parcialmente.

De modo geral temos que juntas às turmas A e B, 39/54 alunos ou 72% gostariam que

fosse ministrado mais oficina com essa metodologia de ensino.

De acordo com os gráficos a oficina é uma importante ferramenta metodológica que

deve ser usada mais vezes nas salas de aula pelo fato que já foi respondido nos outros

gráficos, que eles aprendem mais, fugir da rotina das aulas tradicionais, então tudo isso é

fundamental para se chegar ao aprendizado significativo. Onde o aluno consegue entender,

refazer e criar novas ideias a partir de seu aprendizado.

71

Considerações Finais

Este trabalho foi pensado de forma que permitisse ressaltar a relevância do uso de uma

oficina através da teoria e a prática com a utilização de materiais manipuláveis como recursos

capazes de estimular e familiarizar os estudos sobre polígonos. Observando sobre a situação

do aprendizado nas salas de aulas sobre matemática como matéria complexa é imprescindível

que estudos sobre a melhor forma de ensinar e aprender sejam objetos de analises. Montou-se

um planejamento de um projeto na busca de resgatar o interesse do estudo na oportunidade de

visualizar a matemática como instrumento indispensável para a vida.

Para isso foi relacionado uma metodologia que juntasse o entendimento do ensino

teórico com a prática através de materiais manipuláveis como ferramenta e metodologia capaz

de instigar o aluno aprender relacionando esses mecanismos, onde tivemos através de

questionários uma forma de analisar as respostas dos alunos, após a realização da aplicação da

oficina fizemos uma relação dos autores com a oficina às respostas antes da oficina e que

chamou a atenção é o grande número de alunos que não gostam de matemática, que nunca

participaram de uma oficina, que não conhecem o que são materiais manipuláveis e não sabe

relacionar a teoria com a prática, isso mostra que pouco se usa essa metodologia, já no

questionário pós tivemos respostas positivas quanto à realização da oficina, percebeu um

maior interesse em aprender, as respostas que mais se destacaram foi que eles passaram a

entender que a relação teoria e prática são importantes, que os materiais manipuláveis são

riquíssimos de sentido quando se sabe utiliza-los, logo, tivemos uma aceitação desse modo de

trabalhar positiva, isso mostra o quanto ainda a educação precisa avançar para termos

respostas como essas, colocando que essa metodologia não é solução para educação do ensino

da matemática, mais sim, mais uma metodologia de trabalho de forma que o aprendizado dos

alunos seja significativo, pois uma oficina no modo que apresentamos é o que esperam os

alunos na sua grande maioria, lógico que um trabalho desses requer planejamento e tempo

necessário para ser realizado sendo que um professor não é suficiente para realização de uma

oficina dessas, as escolas precisam pensar uma forma que seja possível o suporte necessário

para tudo fluir de acordo com o esperado, pois, nesse sentido se perceberá na realidade que

praticamente tudo pode ser considerado e trabalhado como mecanismo matemático e vale

destacar que trabalhar e conciliar nas aulas de matemática a prática e a teoria é a chave para

uma verdadeira aprendizagem contundente.

72

Apêndice

Polígonos Regulares Criados Pelos Alunos:

Figura 39 - Triangulo Equilátero

Fonte: Oficina realizada

Figura 40 - Pentágono Regular

Fonte: Oficina realizada

73

Referências

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Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. v. 1ª reimpressão.

Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=JpPvUhpnFnw>. Acesso em: 23 maio

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Disponível em: <www.matematiques.com.br>. Acesso em: 24 junho 2015.

GALVÃO, Maria Elisa Esteves Lopes. História da Matemática: dos números a geometria.

Osasco: Edifício, 2008.

MARTINS, Jorge Santos. O Trabalho com projetos de pesquisa: do ensino fundamental ao

ensino médio. 8ª. ed. Campinas, São Paulo: Papirus, 2011.

PARRA, Cecília et. al. Didática da Matemática: Tema Reflexões Psicológicas. Porto

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Reimpressão.

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ZÔLD, Harold H.N; CORREA, Sérgio. Matemática Novo Manual. São Paulo: Circulo do

livro, 1996.

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Projetos Político Pedagógico. 12ª. ed. São Paulo: Libertd, 2004.

uma forma teórica e prática de descobri-los na 8ª série do

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