UM PROBLEMA DE VALORES DE CONTORNO DE DOIS

PONTOS: BIFURCAÇÃO LOCAL E UM PROBLEMA

INVERSO

Maria Angela de Pace Almeida Prado Giongo

Orientador: Prof.Dr. Plácido Zoéga Táboas

Tese apresentada ao Instituto de

Ciências Matemáticas de São Carlos,

da Universidade de São Paulo, para

obtenção do título de Doutor em

Ciências (Matemática).

SÃO CARLOS 1989

Generally, the bifurcation diagram of these

problems are determined by curves through the origin,

whose tangent lines are a pairwise transversal pendi.

Our main task is the following inverse

problem: "Given such a diagram, how should be the

perturbation in order that the periodic solutions, near

X0 , of the perturbed equation bifurcate according to it".

This is precisely stated in the chapter

where we give a partial, but fairly general, answer to

the question.

viável no sentido que existem muitas referências sobre a

existência de soluções de problemas da forma (3), (4) com

= O, conforme podemos ver em [2], [4], 116], [21],

[29], [36].

Inicialmente, analisamos o problema da e-

xistência e variação do número de soluções de (3), (4),

próximas de Xo, COM OS parâmetros À e p numa vizinhan

ça da origem em R2 . Para este propósito, linearizamos o

problema em torno de x o e o escrevemos na forma

:Lx = N(x,À,p)

onde L e N (.,À,p) são operadores definidos num certo

espaço de Banach X, com. linear. Daí, aplicamos o

método de redução de Liapunov-Schmidt. O caso em que o

núcleo de E, N(L), tem dimensão um é estudado no capí-

tulo II. O caso excepcional dim N(L) = 2 é tratado no

apêndice.

Convém observar que Loud em [24] estudou

o problema de valor de contorno (3), (4) sob outro enfo-

que. Seu estudo se baseia numa análise direta do proble-

ma levando à consideração de vários casos e extensos cál

culos.

Preferimos o método de Liapunov-Schmidt. O

seu uso simplifica bastante a análise do problema (3)

(4), subdividindo-o naturalmente, como já salientamos,

conforme a dimensão do espaço das soluções do problema

linearizado.

- III-

[30] - SPIVAK, M.: Cálculo en variedades, Editorial

Reverte, S.A. (1970).

[31] - STAKGOLD, I.: Branching of solutions of non-

linear equations, Ibid. 13, 289-332 (1971).

[32] - TABOAS, P.Z.: Um caso de bifurcação a partir de

família de soluções em um problema de oscila

ções não lineares. Tese de Livre - Docência,

ICMSC-USP (1979).

[33] -

: Periodic solutions of a forced

Lotka-Volterra equation, J. Math. Anal. Appl.,

124, 1, 82-96 (1987).

[34] - VAINBERG, M.M. & TRENOGIN, V.A.: Theory of

branching of solutionsofnonlinear equations.

Noordhoff (1974).

[35] - VANDERBAUWHEDE, A.: Alternative problems and

invariant subspaces, J. Math. Anal. Appl. 63,

1-8 (1978).

[36] - WALTMAN, P.: A nonlinear boundary value problem,

J. Differential Eqs. 4, 597-603 (1968).