* Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq

Um estudo introdutório do método do Gradiente para minimização de

funções de uma ou várias variáveis

Juliane Carla Lopes Prado* André Luís Machado Martinez Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Cornélio Procópio, PR

Avenida Alberto Carazzai, 1640 CEP 86300-000

E-mail: juju1993_@hotmail.com

RESUMO

Neste trabalho realizamos um estudo introdutório do método Gradiente para a determinação de

mínimo de funções, inicialmente consideramos apenas funções de uma variável real, com o

intuito de observar o comportamento do método, posteriormente consideramos funções de

várias variáveis, testes numéricos foram realizados e implementações foram feitas no software

MatLab.

Palavras-chave: Método de Gradiente, Funções de uma e várias variáveis, Otimização,

Problemas irrestritos, MatLab

MÉTODO GRADIENTE

A otimização numérica, ou programação matemática, refere-se ao estudo de problemas

nos quais se busca determinar um mínimo ou máximo de uma função através da escolha

sistemática dos valores de variáveis reais ou inteiras em um determinado conjunto admissível.

Como a otimização possui inúmeras aplicações em engenharia, administração, logística,

biologia e outras diversas áreas do conhecimento, o estudo de métodos de otimização é um

campo extenso na matemática aplicada. Temos como vantagens diminuir o tempo dedicado ao

projeto, possibilitar o tratamento simultâneo de uma grande quantidade de variáveis e restrições

de difícil visualização gráfica e/ou tabular, possibilitar a obtenção de algo melhor, obtenção de

soluções não tradicionais, menor custo e como limitações podemos ter, dependendo da

quantidade de variáveis e operações, um grande custo computacional e talvez erros na

programação ocasionando a demora na execução do problema.

Neste trabalho estamos desenvolvendo um estudo do método Gradiente (sugerimos [1],

[2], [3], [4], [5] e [7]) ou método do declive máximo, onde a direção de descida é determinada

pelo oposto da direção da derivada. Com o auxilio do software MatLab (www.mathworks.com)

implementamos o método do gradiente para minimizar funções, primeiramente para funções de

apenas uma variável real, onde nosso objetivo é de encontrar uma raiz para a equação , para , continuamente diferenciável. Dada uma aproximação para um mínimo de

o método Gradiente consiste basicamente em estimar com uma busca linear na

direção , assim em um primeiro momento definimos simplesmente , desta forma obtemos a sequência do método Gradiente puro. Programamos o método

Gradiente Puro para funções de uma variável real no MatLab, a condição de parada utilizada

ou atingir 200 iterações, testes foram realizados e os resultados são

apresentados a seguir:

Função inical Convergiu final

0.0001 0 Não 200 -0,0001 -1

) 0.0001 0 Não 200 -1,5708 -1

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* Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq

0.0001 0 Não 200 -Inf -Inf

0.0001 0 Sim 43 -1 -0,5

Tabela 1: Resultados obtidos com o Algoritmo.

De posse dos resultados podemos observar a fragilidade do método Gradiente e seu

comportamento voraz por decréscimo ao se deparar com funções ilimitadas em algumas

direções. Com o intuito de melhorar o desempenho do método incluímos uma busca linear na

direção de ou seja, agora , onde é obtido pelo

algoritmo do retrocesso (recomendamos [2], [3]) e cumpre a condição de Armijo

< 2[ ]2.

Repetimos os testes com o Método Gradiente com busca linear, os resultados são

apresentados na tabela a seguir:

Função inical Convergiu final

0.0001 0 Sim 3 0 -1

) 0.0001 0 Não 200 -1,5708 -1

0.0001 0 Não 200 1,8645 -0,9474

0.0001 0 Sim 43 -1 -0,5

Tabela 2: Resultados obtidos com o Algoritmo retificado.

Podemos observar que o método passou resolver um numero maior de problemas e que

seu desempenho passou a ser mais consistente. Após o estudo com funções de uma variável real

passamos a considerar funções de varias variáveis reais a valores reais. A sequência do método

Gradiente puro a ser considerada agora é , programamos o método no

MatLab, na tabela a seguir apresentamos alguns testes realizados em exemplos retirados de [6] e

[8].

Função inical Convergiu final

0.0001 [0 0] Não 200 [-Inf -

2,65] NaN*

0.0001 [0 0] Não 14 NaN* NaN*

0.0001 [0 0] Sim 1 [0 0] -2

0.0001 [0 0 0] Sim 1 [0 0 0] 0

Tabela 3: Resultados obtidos com o Algoritmo de varias variáveis.

*NaN: Not a Number, tal valor aparece quando é obtido operações matemáticas indefinidas

como

ou ∞-∞.

Assim como feito para funções de uma variável real pretendemos aumentar a robustez

do método, incluímos uma busca linear na direção de ou seja, agora , onde é obtido pelo algoritmo do retrocesso e cumpre a condição de

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* Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq

Armijo

.

Repetimos os testes com o Método Gradiente com busca linear, os resultados são

apresentados na tabela a seguir:

Função inical Convergiu final

0.0001 [0 0] Sim 14 [1 1] -4

0.0001 [0 0] Não 15 NaN NaN

0.0001 [0 0] Sim 31 [6 2] -26

0.0001 [0 0 0] Sim 1 [0 0 0] 10

Tabela 4: Resultados obtidos com o Algoritmo de varias variáveis com busca linear.

Podemos observar que o método passou resolver um numero maior de problemas e que

seu desempenho passou a ser mais consistente com a inclusão da busca linear.

CONCLUSÃO

O desenvolvimento dos estudos do método Gradiente para funções de várias variáveis

ainda encontra-se no inicio, mas já podemos obter conclusões sobre o comportamento do

método. Observamos como a inclusão do retrocesso tornou o método mais robusto para os

exemplos testados, também notamos como o método é sensível à escolha do ponto inicial o que

em muitos exemplos definia a convergência ou não do método, por este motivo realizamos os

testes apenas com ponto inicial nulo. Pretendemos testar mais exemplos e aprofundar os estudos

sobre a convergência do método, bem como testar outras possibilidades de busca linear como o

algoritmo da seção áurea ao invés do retrocesso.

Referências

[1] Jorge Nocedal, Stephen J. Wright, Numerical Optimization. SPRINGER, 2006.

[2] A. FRIDLANDER, Elementos de Programação não Linear, Editora Unicamp,1994.

[3] J. M. Martínez, S. A. Santos, Métodos Computacionais de Otimizaçãp -IMPA XX

Colóquio Brasileiro de Matemática - 1995.

[4] R. Fletcher, Practical Methods of Optimization, 2nd ed. , John Wiley Sons,1987.

[5] H. L. Guidorizzi, Cálculo. Vol. 1, Ed. LTC, 5ª edição, 2001.

[6] H. L. Guidorizzi, Cálculo. Vol. 2, Ed. LTC, 5ª edição, 2001.

[7] James Stewart, Cálculo. Vol. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005.

[8] James Stewart, Cálculo. Vol. 2. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005.

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