sobre rigidez de gradiente quase ricci soliton

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁSINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

MARIA FRANCISCA DE SOUSA GOMES

Sobre Rigidez de Gradiente Quase RicciSoliton

Goiânia2017

MARIA FRANCISCA DE SOUSA GOMES

Sobre Rigidez de Gradiente Quase RicciSoliton

Dissertação apresentada ao Programa de Pós–Graduaçãodo Instituto de Matemática e Estatística da UniversidadeFederal de Goiás, como requisito parcial para obtenção dotítulo de Mestre em Matemática.

Área de concentração: Geometria.

Orientador: Prof. Romildo da Silva Pina

Goiânia2017

Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor, através doPrograma de Geração Automática do Sistema de Bibliotecas da UFG.

CDU 514.77

Gomes, Maria Francisca de Sousa Sobre Rigidez de Gradiente Quase Ricci Soliton [manuscrito] /Maria Francisca de Sousa Gomes. - 2017. LXXII, 62 f.

Orientador: Prof. Dr. Romildo da Silva Pina. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Goiás, Institutode Matemática e Estatística (IME), Programa de Pós-Graduação emMatemática, Goiânia, 2017. Bibliografia.

1. Gradiente Quase Ricci Soliton. 2. Compacto. 3. Localmementeconformemente flat. I. Pina, Romildo da Silva , orient. II. Título.

A meus pais, Maria Marli, Valdivino e meus irmãos.

Agradecimentos

Primeiramente e acima de tudo, agradeço a Deus, por me amparar nos momentos

difíceis, me dar força para superar as dificuldades, mostrar o caminho nas horas incertas

e suprir todas as minhas necessidades. Agradeço ao Prof. Romildo da Silva Pina pela ori-

entação, compreensão e atenção dedicadas a mim sempre com muito carinho e paciência.

A minha família, de um modo especial aos meus pais, Maria Marli e Valdivino,

meus irmãos Valdeis, Valdeisa, Valdineis e Valdeilson que são o meu alicerce, por todo

incentivo, paciência e pelo amor incondicional, sem o qual eu não teria chegado até aqui.

Ao pastor Franceilton Gouveia, sua esposa Irisneide e seus filhos Wilkerson, Luis

Fernando, em especial, a minha princesa Kauanny Moura, pela paciência, força e carinho

durante essa massacrante jornada. Família essa que aprendi a amar com se fosse minha.

Aos meus colegas de turma, Bruna Luiza, Domingos Santana, Gregório, Kariny

Dirino, Laena, Lucas Gabriel, Mayk, Nielson Caires, Raquel, pelos dois anos de luta no

mestrado. Vocês são muito especiais, nunca esquecerei dos momentos bons e ruins que

passamos juntos. Sou grata a Deus por ter colocado todos em meu caminho.

Aos meus amigos de longa data, Karen Brito, Regiane Lopes, Mayra Soares,

especialmente Marcones pela ajuda na correção da escrita deste trabalho, sua ajuda foi

fundamental.

Agradeço a todos os professores do Instituto de Matemática e Estatística em

especial Maxwell, Aline, Maurício, Edcarlos, Romildo.

Á capes pelo apoio financeiro.

Agradeço a todos que direta ou indiretamente me ajudaram na elaboração deste

trabalho.

"Entrega teu caminho ao Senhor; confia Nele, e Ele tudo te fará."

Salmos 37, 5.

Resumo

Gomes, Maria Francisca de Sousa. Sobre Rigidez de Gradiente Quase RicciSoliton. Goiânia, 2017. 62p. Dissertação de Mestrado. Instituto de Matemáticae Estatística, Universidade Federal de Goiás.

Este trabalho está baseado em [1] e tem por objetivo apresentar um resultado de

rigidez para gradiente quase Ricci soliton. Provaremos que um gradiente quase Ricci

soliton com curvatura escalar não-negativa, em que ∇ f é um campo conforme não-trivial,

é ou o espaço Euclidiano Rn ou a Esfera S

n. Além disso, temos que no caso Esférico, a

função potencial é dada pela primeira auto função do Laplaciano. Por fim, encontraremos

condições necessárias e suficientes para que um gradiente quase Ricci soliton compacto

localmente conformemente flat seja isométrico a esfera Sn.

Palavras–chave

Gradiente Quase Ricci Soliton, Compacto, Localmente Conformemente flat.

Abstract

Gomes, Maria Francisca de Sousa. About Rigidity of Gradient Almost RicciSoliton. Goiânia, 2017. 62p. MSc. Dissertation. Instituto de Matemática eEstatística, Universidade Federal de Goiás.

This work is based on [1] and aims to show a result of rigidity for gradient almost

Ricci soliton. We will prove that an almost Ricci soliton gradient with nonnegative scalar

curvature, where ∇ f is a non-trivial conformal field, is either a Euclidean space Rn or

the sphere Sn. Moreover, we have that, in the Spherical case, the potential function is

given by first eigenfunction of the Laplacian. Finally, we will find necessary and sufficient

conditions for that a compact locally conformally flat gradient almost Ricci soliton is

isometric the sphere Sn.

Keywords

Gradient Almost Ricci Soliton, Compact, Locally conformally flat.

Sumário

1 Resultados preliminares 111.1 Variedades Diferenciáveis 111.2 Métricas Riemannianas 131.3 Curvatura e Tensores em variedades Riemannianas 16

1.3.1 Segunda Identidade de Bianchi e Contrações 241.4 Divergente, Gradiente, Laplaciano e Hessiana em variedades Riemannianas 251.5 Derivada de Lie 291.6 Fórmula de Bochner generalizada 31

2 Resultados de Gradiente Quase Ricci Soliton 382.1 Laplaciano da curvatura de Ricci e da curvatura escalar 412.2 Fórmulas Integrais 482.3 Um Teorema de Rigidez 54

Referências Bibliográficas 61

Introdução

Em 1982 Hamilton, em [11], introduziu "uma equação de evolução que faz a

métrica evoluir na direção do tensor de Ricci", chamado de Fluxo de Ricci. A modelagem

dessa deformação proposta por Hamilton é dada pelo problema de valor inicial

∂

∂tg(t) =−2Ricg(t).

No decorrer do estudo, Hamilton percebeu que o Fluxo de Ricci seria uma

excelente ferramenta para encontrar métricas que possibilitariam conhecer características

topológicas da variedade.

Em [12], Hamilton introduziu o conceito de Ricci soliton os quais são soluções

especiais do Fluxo de Ricci, uma vez que Ricci solitons são pontos fixos generalizados

considerando soluções por difeomorfismos e homotetias de uma dada métrica inicial.

Uma métrica Riemanniana g em uma variedade Riemanniana completa M é

chamada um Ricci soliton se existe um campo de vetores diferenciável X tal que o tensor

de Ricci satisfaz a seguinte equação

Ricg +12

LX g = λ g,

para alguma constate λ, onde LX é a derivada de Lie, Ricg é o tensor de Ricci, ([6]).

Um Ricci soliton é dito ser shrinking, steady ou expanding, se λ for positivo, nulo ou

negativo, respectivamente. Além disso, pode acontecer que o campo envolvido seja o

gradiente de alguma função suave definida na variedade. Tais solitons são chamados de

solitons gradiente. Um aspecto relevante sobre Ricci solitons é que eles generalizam as

famosas variedades de Eisntein, isto é, basta que o campo X seja de Killing.

Note que, do fato de λ ser constante, as soluções a serem obtidas em um Ricci

soliton não é uma tarefa fácil. Em 2010 Pigola et. al. [14] propuseram uma modificação

na definição de Ricci soliton, trocando a condição de ser λ constante por uma função, com

isso, a variedade passa a ser chamada de quase Ricci soliton. Mais precisamente, dizemos

que uma variedade Riemanniana (Mn,g) é um quase Ricci soliton, se existe um campo de

9

vetores completo e uma função suave λ : Mn → R satisfazendo

Ricg +12

LX = λ g.

Quando o campo de vetores X é o gradiente de uma função f : Mn → R a variedade é

chamada de gradiente quase Ricci soliton. Neste caso, escrevemos

Ric+∇2 f = λ g,

onde ∇2 f é a Hessiana de f .

A partir de então, estudos que eram voltados a um Ricci soliton, começaram a

ser adaptados para um quase Ricci soliton, desenvolvendo assim, uma área que até então

era desconhecida.

Em 2011, Barros e Ribeiro [3] apresentaram exemplos e algumas caracterizações

para um quase Ricci solitons compactos e generalizaram o equivalente para Ricci solitons,

algumas equações úteis de estrutura para quase Ricci solitons. Além disso, os autores

comprovaram que os mesmos resultados obtidos para Ricci solitons compactos também

são válidos para quase Ricci solitons compactos.

Em 2012, Barros et. al. [1] mostraram um teorema de rigidez para um gradiente

quase Ricci soliton, isto é, dada a condição de ∇ f ser um campo conforme e a curvatura

escalar ser não-negativa, temos que Mn é isométrica ou ao espaço Rn ou à esfera Sn. Além

disso, os autores em questão fazem um breve estudo sobre o caso compacto, mostrando

condições em que Mn é isométrica a esfera Sn.

Em 2013, Barros et. al [4] provaram que um gradiente quase Ricci soliton cujo

tensor de Ricci é Codazzi tem curvatura seccional constante. Em particular, no caso

compacto, provaram que (Mn,g) é isométrica a uma esfera euclidiana e f é uma função de

altura. Além disso, também classificaram os gradientes quase Ricci solitons com curvatura

escalar constante R, desde que uma função adequada atinge um máximo em Mn.

Em 2014, Zeng et. al [19], classificaram gradiente quase Ricci soliton compacto,

utilizando o tensor de Weyl e tensor de Cotton; Batista et. al. [2] mostraram que qualquer

quase Ricci soliton compacto com curvatura escalar constante é gradiente.

Esta dissertação ocupa-se em estudar algumas características de gradientes quase

Ricci solitons, baseando-se no artigo de Barros et. al. [1].

No Capítulo 1, apresentaremos alguns conceitos e resultados preliminares que

serão utilizados no decorrer deste trabalho. Sendo estas, definições básicas de geometria

Riemanniana, além disso enunciaremos teoremas clássicos que utilizaremos no capítulo

2.

No capítulo 2, estudaremos resultados sobre gradiente quase Ricci soliton. Pri-

meiramente, mostraremos algumas equações de estrutura para esse tipo de variedade. Em

10

seguida, provamos uma equação para o Laplaciano da curvatura de Ricci e como con-

sequência desta, obtemos uma equação para o Laplaciano da curvatura escalar. Ademais,

apresentaremos um teorema de rigidez para um gradiente quase Ricci soliton, e exibire-

mos condições em que um gradiente quase Ricci soliton compacto seja isométrica à esfera

euclidiana.

CAPÍTULO 1Resultados preliminares

Neste capítulo, abordaremos de forma sucinta algumas noções de Geometria

Riemanniana, tais como: variedades diferenciáveis, métricas Riemannianas, curvatura e

outros resultados que serão indispensáveis para a compreensão deste trabalho. Maiores

detalhes podem ser encontrados em [5], [7] e [17].

No decorrer do trabalho adotaremos a convenção de Einstein para o somatório.

A Convenção de Einstein consiste em omitir o símbolo do somatório e interpretar os índi-

ces repetidos no mesmo somatório como indicador desse somatório (em certos contextos

pode ser exigido que tais índices apareçam em cima e em baixo, respectivamente).

Tal convenção foi introduzida por Albert Einstein em 1916 (The Foundation of

the General Theory of Relativity). De acordo com essa convenção, quando uma variável

de índices aparece duas vezes em um único termo, isso implica que estamos somando

sobre todos os seus possíveis valores. Para maiores detalhes ver [5].

1.1 Variedades Diferenciáveis

A noção de variedade diferenciável torna-se necessária pois estende os métodos

do Cálculo Diferencial a espaços mais gerais que o Rn.

Definição 1.1 Uma variedade diferenciável de dimensão n é um conjunto M e uma

família de aplicações biunívocas Yα : Uα ⊂ Rn → M de abertos Uα de R

n em M, tais

que:

1.⋃α

Yα(Uα) = M.

2. Para todo par α, β, com Yα(Uα)∩Yβ(Uβ) =W 6= /0, os conjuntos Y−1α (W ) e Y−1

β(W )

são abertos em Rn e as aplicações Y−1

β ◦Y−1α são diferenciáveis.

3. A família {(Uα,Yα)} é máxima relativamente às condições (1) e (2).

1.1 Variedades Diferenciáveis 12

O par (Uα,Yα) (ou a aplicação Yα) com p ∈Yα(Uα) é chamado uma parametrização (ou

sistema de coordenadas) de M em p; Yα(Uα) é dito ser uma vizinhança coordenada em p.

Uma família {(Uα,Yα)} satisfazendo (1) e (2) é chamada uma estrutura diferenciável em

M.

Definição 1.2 Uma variedade diferenciável M é dita de Hausdorff se para cada par de

pontos p,q ∈ M existem subconjuntos disjuntos e abertos U,V ⊂ M tais que p ∈ U e

q ∈V .

As variedades aqui apresentadas serão de Hausdorff e com base enumerável. A

exigência de ser Hausdorff vem do fato de ficar bem definido o conceito de limite e,

como consequência, diferenciabilidade.

Definição 1.3 Sejam Mn1 e Mn

2 variedades diferenciáveis. Uma aplicação ϕ : Mn1 → Mn

2 é

diferenciável em p ∈ M1 se dada uma parametrização X : V ⊂ Rm → M2 em ϕ(p) existe

uma parametrização Y : U ⊂ Rn → M1 em p tal que ϕ(Y (U))⊂ X(V ) e a aplicação

X−1 ◦ϕ◦Y : U ⊂ Rn → R

m

é diferenciável em Y−1(p). ϕ é diferenciável em um aberto de M1 se é diferenciável em

todos os pontos desse aberto.

Definição 1.4 Seja M uma variedade diferenciável. Uma aplicação diferenciável α :

(−ε,ε)−→ M é chamada uma curva (diferenciável) em M. Suponha que α(0) = p ∈ M,

seja D o conjunto das funções de M diferenciáveis em p. O vetor tangente à curva α em

t = 0 é a função α′(0) : D(M) −→ R dada por α′(0) f =d( f ◦α)

dt

∣∣∣t=0

, f ∈ D(M). Um

vetor tangente em p é o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−ε,ε)−→ M com

α(0) = p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p será indicado por TpM.

Dada uma parametrização y : U ∪Rn −→ Mn em p = y(0), podemos exprimir a

função f e a curva α nesta parametrização por

f ◦ y(q) = f (y1, ...yn), q = (y1, ...yn) ∈U,

e

y−1 ◦α(t) = (y1(t), ...yn(t)),

respectivamente. Portanto, restringindo f a α, obteremos

α′(0) f =ddt( f ◦α)

∣∣∣∣t=0

=ddt

f (y1(t), ...yn(t))

∣∣∣∣t=0

(1-1)

= y′i(0)

(∂ f∂yi

)

0=

(

y′i(0)

(∂

∂yi

)

0

)

f . (1-2)

1.2 Métricas Riemannianas 13

Em outras palavras, o vetor α′(0) pode ser expresso na parametrização y por

α′(0) = y′i(0)

(∂

∂yi

)

0.

Os campos ∂∂yi

onde i = 1,2, ...,n são chamados de campos coordenados e para

cada p ∈ M temos que{(

∂∂y1

)

0, ..,

(∂

∂yn

)

0

}

determina uma base para o espaço vetorial

TpM também chamado espaço tangente de M em p, onde a estrutura assim definida não

depende da parametrização.

Definição 1.5 (Campo Diferenciável). Um campo de vetores Y em uma variedade dife-

renciável M é uma aplicação diferenciável que para cada ponto p ∈ M associa um vetor

Y (p) ∈ TpM. Considerando uma parametrização y : U ⊂ Rn → M é possível escrever

Y (p) = ai(p)∂

∂yi.

Definição 1.6 Sejam Mm e Nn variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciável

ϕ : M → N é uma imersão se dϕp : TpM → Tϕ(p)N é injetiva para todo p ∈ M. Se, além

disso, ϕ é um homeomorfismo sobre ϕ(M)⊂ N, onde ϕ(M) tem a topologia induzida por

N, diz-se que ϕ é um mergulho. Se M ⊂ N e a inclusão i : M →֒ N é um mergulho, diz-se

que M é uma subvariedade de N.

1.2 Métricas Riemannianas

Definição 1.7 Uma métrica Riemanniana g em uma variedade diferenciável M é uma

correspondência que associa a cada ponto p de M um produto interno <,>p (isto é,

uma forma bilinear simétrica, positiva definida) no espaço tangente TpM, que varia

diferenciavelmente no seguinte sentido: se Y : U ⊆Rn → M é um sistema de coordenadas

locais em torno de p, com Y (y1, ...,yn) = q ∈ Y (U) e∂

∂yi(q) = dY (0, ...,0,1,0, ...,0),

então

⟨∂

∂yi(q),

∂

∂y j(q)

⟩

q

= gi j(y1, ...yn) é uma função diferenciável em U.

Note que g ji é sempre positiva e, consequentemente, podemos encontrar gih , tal que

g jigih = δh

j .

Onde δhj é o delta Kronecker, isto é, δh

j =

{

1, se j = h

0, se j 6= h


Definição 1.8 O fibrado tangente a uma variedade M é o conjunto TM de pares, cons-

tituídos por um ponto p de M e um vetor tangente vp ∈ Tp(M), i.e, T M = {(p,vp)|p ∈

M,vp ∈ TpM}.

As funções gi j(= g ji) são chamadas expressão da métrica Riemanniana no

sistema de coordenadas Y : U ⊂ Rn −→ M. Uma variedade diferenciável com uma dada

métrica Riemanniana chama-se uma variedade Riemanniana.

Agora vamos estabelecer uma noção de equivalência para a estrutura definida

acima.

Definição 1.9 (Isometria). Sejam M e N variedades Riemannianas, um difeomorfismo

f : M → N (isto é, f é uma bijeção diferenciável com inversa diferenciável) é chamado

uma isometria se:

〈u,v〉p = 〈d fp(u),d fp(v)〉 f (p),

para todo p ∈ M e u, v ∈ TpM.

A partir de agora indicaremos por X(M) o conjunto dos campos de vetores de

classe C∞ em M e por D(M) o anel das funções reais de classe C∞ definidas em M.

Definição 1.10 (Colchete de Lie). Dados X, Y ∈X(M), o único campo vetorial Z ∈X(M)

tal que, ∀ f ∈C∞(M), Z f = (XY −Y X) f = X(Y f )−Y (X f ) é chamado Colchete de Lie

de X e Y denotado por [X ,Y ] = XY −Y X .

Definição 1.11 Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é uma aplicação

∇ : X(M)×X(M)→X(M)

que se indica por (X ,Y) 7−→ ∇XY e que satisfaz as seguintes propriedades:

i) ∇ f X+gY Z = f ∇X Z+g∇Y Z

ii) ∇X(Y +Z) = ∇XY +∇X Z

iii) ∇X( fY ) = f ∇XY +X( f )Y

onde X ,Y,Z ∈ X(M) e f ,g ∈ D(M).

Proposição 1.12 Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Então

existe uma única correspondência que associa a um campo vetorial V ao longo da curva

diferenciável c : I →M um outro campo vetorialDVdt

ao longo de c, denominado derivada

covariante de V ao longo de c, tal que:


a)Ddt(V +W ) =

DVdt

+DWdt

.

b)Ddt( fV ) =

d fdt

V + fDVdt

, onde W é um campo de vetores ao longo de c e f é uma

função diferenciável em I.

c) Se V é induzido por um campo de vetores Y ∈ X(M), isto é, V (t) = Y (c(t)), entãoDVdt

= ∇ dcdt

Y .

Temos que a conexão afim é uma noção local. De fato, escolhendo um sistema de

coordenadas (y1,y2, ...,yn) em torno de p e escrevendo X = xiXi e Y = y jYj, campos

diferenciáveis em M, onde Xi =∂

∂xi, temos que ∇XY pode ser expressa da seguinte

forma:

∇XY =(

xiy jΓki j +X(yk)

)

Xk, (1-3)

onde Γki j são funções diferenciáveis chamadas de símbolos de Christoffel da conexão.

Proposição 1.13 Seja M uma variedade Riemanniana. Uma conexão ∇ em M é compa-

tível com a métrica se, e somente se, para todo par V e W de campos de vetores ao longo

da curva diferenciável c : I ⊂ R→ M tem-se

ddt〈V,W〉=

⟨DVdt

,W

⟩

+

⟨

V,DWdt

⟩

, t ∈ I.

Corolário 1.14 Uma conexão ∇ em uma variedade Riemanniana M é compatível com a

métrica se, e somente se,

X〈Y,Z〉= 〈∇XY,Z〉+ 〈Y,∇X Z〉, X ,Y,Z ∈ X(M).

Definição 1.15 Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é dita simétrica

quando

∇XY −∇Y X = [X ,Y ], ∀X ,Y ∈ X(M).

Teorema 1.16 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana M, existe uma única

conexão afim ∇ em M satisfazendo as condições:

1. ∇ é simétrica;

2. ∇ é compatível com a métrica Riemanniana.

1.3 Curvatura e Tensores em variedades Riemannianas 16

A conexão dada pelo Teorema (1.16) é denominada conexão de Levi-Civita (ou

Riemanniana) de M.

Tendo como ferramenta o teorema de Levi-Civita, podemos encontrar a expres-

são clássica dos símbolos de Christoffel mencionada anteriormente. Note que, os símbolos

de Christoffel são definidos por ∇X jXi e podem ser calculados a partir da métrica. Pelo

Teorema (1.16), temos:

2〈Z,∇Y X〉= X〈Y,Z〉+Y 〈Z,X〉−Z〈X ,Y〉−〈[X ,Z],Y〉−〈[Y,Z],X〉−〈[X ,Y ],Z〉.

Tomando X =∂

∂xi, Y =

∂

∂x je Z =

∂

∂xk, e pelo Teorema de Levi- Civita sabemos que uma

conexão afim é simétrica, temos que [Xi,X j] = 0, assim temos:

⟨∂

∂xi,∇ ∂

∂x j

∂

∂xk

⟩

=12

∂

∂xi

⟨∂

∂x j,

∂

∂xk

⟩

+∂

∂x j

⟨∂

∂xk,

∂

∂xi

⟩

−∂

∂xk

⟨∂

∂xi,

∂

∂x j

⟩

.

Por definição temos que

⟨∂

∂xi,

∂

∂x j

⟩

= gi j, além disso, ∇ ∂∂xi

∂

∂x j= Γl

i j∂

∂xl. Daí,

⟨∂

∂xk,Γl

i j∂

∂xl

⟩

= Γli j

⟨∂

∂xk,

∂

∂xl

⟩

= Γli j glk =

12

{∂

∂xig jk +

∂

∂x jgki −

∂

∂xkgi j

}

.

Como gkm = gmk é uma métrica, temos que sua inversa gkm é bem definida. Portanto,

temos:

Γmi j =

12

{∂

∂xig jk +

∂

∂x jgki −

∂

∂xkg ji

}

gkm.

1.3 Curvatura e Tensores em variedades Riemannianas

Iniciaremos esta seção com o estudo de tensores em uma variedade Riemanniana.

Em seguida, apresentaremos algumas definições, bem como propriedades básicas do

Operador Curvatura, Curvatura Seccional, Escalar e de Ricci. Além disso, falaremos

também sobre os tensores de Cotton e de Weyl, entre outros resultado que servirão de

base para as demonstrações dos objetivos desse trabalho.

Definição 1.17 (Tensor em Variedade). Um tensor T de ordem r em uma variedade

Riemanniana M é uma aplicação multilinear

T : X(M)× ...×X(M)︸︷︷︸

r

→ D(M).


Isto quer dizer que, dados Y1, ...,Yr ∈ X(M), T (Y1, ...,Yr) é uma função diferen-

ciável em M, e que T é linear em cada argumento, ou seja,

T (Y1, ..., f X +gY, ...,Yr) = f T (Y1, ...,X , ...,Yr)+gT (Y1, ...,Y, ...,Yr),

para todo X ,Y ∈ X(M), f ,g ∈ D(M).

Fixe um ponto p ∈ M e seja U um vizinhança de p ∈ M onde é possível definir

campos E1, ...,En ∈ X(Mn), de modo que em cada q ∈U , os vetores {Ei(q)}, i = 1, ...,n,

formam uma base do TqM; {Ei} é um referencial móvel em U . Sejam,

Y1 = yi1Ei1, ...,Yr = yirEir , i1, ..., ir = 1, ...,n,

as restrições a {Ei}. Por linearidade, temos:

T (Y1, ...,Yr) = yi1...yirT (Ei1, ...,Eir).

As funções T (Ei1, ...,Eir)= Ti1...ir em U são chamadas as componentes de T no referencial

{Ei}.

Da expressão acima decorre que o valor de T (Y1, ...,Yr) em um ponto p ∈ M

depende apenas dos valores de p das componentes de T , e dos valores de Y1, ...,Yr em p.

Definição 1.18 Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante ∇T de T é um

tensor de ordem (r+1) dada por:

∇T (Y1, ...,Yr,Z) = Z(T (Y1, ...,Yr))−T (∇ZY1, ...,Yr)−· · ·−T(Y1, ...,Yr−1,∇ZYr).

Para cada Z ∈ X(M), a derivada covariante ∇ZT de T em relação a Z é um tensor de

ordem r dado por

∇ZT (Y1, ...,Yr) = ∇T (Y1, ...,Yr,Z).

Definição 1.19 O tensor métrico G : X(M)×X(M)→ D(M) é definido por G(X ,Y ) =

〈X ,Y〉, X ,Y ∈ X(M). G é um tensor de ordem 2 e suas componentes no referencial {Xi}

são os coeficientes gi j da métrica Riemanniana no sistema de coordenadas dado.

Exemplo 1.20 (Derivada Covariante Total do Tensor Métrico). A derivada covariante

total do tensor métrico g é o tensor identicamente nulo. De fato, devido à compatibilidade

da conexão com a métrica, temos

∇g(X ,Y,Z) = ∇Z g(X ,Y) = Z[g(X ,Y )]−g(∇ZX ,Y )−g(X ,∇ZY )

= Z〈X ,Y 〉−〈∇ZX ,Y 〉−〈X ,∇ZY 〉

= 0.


Definição 1.21 (Derivada Covariante Segunda de Campos). Sejam X ,Y e Z campos

diferenciáveis em uma variedade Riemanniana M. Definimos o operador diferencial

derivada covariante segunda de Z em relação a X e Y , ∇2XY : X(M)→ X(M) por:

∇2XY Z := ∇X(∇Y Z)−∇(∇XY )Z.

Seja A uma função D(M)− linear

A : X∗(M)× ...×X∗(M)

︸︷︷︸

r

×X(M)× ...X(M)︸︷︷︸

s

→ D(M),

A é uma aplicação multilinear que quando alimentado por r 1- formas θ1, ...,θr e s campos

vetoriais Y1, ...,Yr produz uma função real

f = A(θ1, ...,θr

,Y1, ...,Yr) ∈ D(M)

e, X∗(M) denota o espaço dual do conjunto dos campos de vetores tangentes X(M) a M.

O conjunto ϒrs de todos os campos tensoriais sobre M do tipo (r,s) é, então um

módulo sobre D(M).

No caso em que r = s = 0, um tensor de ordem (0,0) em M é exatamente

uma função f ∈ D(M), isto é, ϒ00 = D(M). Tensores do tipo (0,s) são chamados de

covariantes, enquanto tensores do tipo (r,0), com r > 1, são chamados contravariantes.

Seja T um (1,2)− tensor, podemos associar um (0,3)− tensor definido por

T (X ,Y,Z) = g(T (X ,Y ),Z),

onde X ,Y,Z são campos de vetores arbitrários. O valor de g(T (X ,Y ),Z) é dado por

gthT tjiX

jY iZh,

e consequentemente as componentes locais do tensor do tipo (0,3) são dados por

Tjih = T tji gth.

Quando é dado um tensor do tipo (1,2), por exemplo, podemos associar a ele

tensores do tipo (p,q) (p+q = 3) cujo as componentes são dadas por

T hji,T

ihj , Tjih,T

ij ,T

i j,T jih

, ...

onde T ij = gki Tk j, T i j = gki T j

k , T ihj = Tjit gth, T jih = gt jT ih

t ....


Dizemos que estes tensores são conjugados entre si, sendo chamados de tensores

conjugados. Calculamos

〈T,T 〉= |T |2 = Tjih T jih = Tjih gt j T iht = Tjih Ttipgt j gph

. (1-4)

e chamamos |T | o comprimento de T .

Se T é um (0,2) tensor temos que:

|T |2 = Tji T ji = Tji Tpt gpi gt j. (1-5)

Para maiores detalhes do que foi escrito acima ver [17].

Definição 1.22 A curvatura Rm de uma variedade Riemanniana M é uma correspondên-

cia que associa a cada par X, Y ∈X(M) uma aplicação Rm(X ,Y) : X(M)→X(M) dada

por:

Rm(X ,Y)Z = ∇Y ∇XZ −∇X ∇Y Z+∇[X ,Y ]Z, Z ∈ X(M)

onde ∇ é a conexão Riemanniana de M.

Note que se M = Rn, então Rm(X ,Y)Z = 0 para todo X ,Y,Z ∈ X(Rn). De fato,

se indicarmos por Z = (z1, ...,zn) as componentes do campo Z nas coordenadas naturais

do Rn, obteremos que

∇X Z = (Xz1, ....,Xzn).

Observe que para o espaço euclidiano Rn, temos que Γk

i j = 0, daí, como

∇XY = xiy j Γki j +X(yk).

Então,

∇Y ∇X Z = (Y Xz1, ...,YXzn).

Logo,

Rm(X ,Y)Z = ∇Y ∇X Z−∇X ∇Y Z+∇[X ,Y ]Z

= ∇Y ∇X Z−∇X ∇Y Z+∇XY−Y XZ

= ∇Y ∇X Z−∇X ∇Y Z+∇XY Z −∇Y X Z

= (YX(z1), ...,YX(zn)− (XY(z1), ...,XY(zn)

+(XY (z1), ...,XY(zn)− (YX(z1), ...,YX(zn)

= 0.


Podemos olhar a definição acima em um sistema de coordenadas locais {xi} em

torno de p ∈ M. Como[

∂∂xi

,∂

∂xi

]

= 0, obtemos

Rm

(∂

∂xi,

∂

∂x j

)∂

∂xk=

(

∇ ∂∂x j

∇ ∂∂xi

−∇ ∂∂xi

∇ ∂∂x j

)∂

∂xk,

isto é, a curvatura mede a não-comutatividade da derivada covariante.

Proposição 1.23 A curvatura Rm de uma variedade Riemanniana tem as seguintes

propriedades:

1. Rm é bilinear em X(M)×X(M), isto é,

Rm( f X1+gX2,Y1) = f Rm(X1,Y1)+gRm(X2,Y1);

Rm(X1, fY1 +gY2) = f Rm(X1,Y1)+gRm(X1,Y2),

f , g ∈ D(M), X1,X2,Y1,Y2 ∈ X(M);

2. Para todo par X ,Y ∈ X(M), o operador curvatura Rm(X ,Y ) : X(M) → X(M) é

linear, isto é,

Rm(X ,Y)(Z+W ) = Rm(X ,Y )Z+R(X ,Y)W ;

Rm(X ,Y ) f Z = f Rm(X ,Y )Z.

Demonstração. Ver [7]. �

Proposição 1.24 (Primeira Identidade de Bianchi).

Rm(X ,Y)Z+Rm(Y,Z)X +Rm(Z,X)Y = 0;


Proposição 1.25 Para todo X ,Y,Z,V ∈ X(M) valem as seguintes propriedades de sime-

tria:

i) 〈Rm(X ,Y)Z,T 〉+ 〈Rm(Y,Z)X ,T 〉+ 〈Rm(Z,X)Y,T〉= 0;

ii) 〈Rm(X ,Y)Z,T 〉=−〈Rm(Y,X)Z,T 〉;

iii) 〈Rm(X ,Y)Z,T 〉=−〈Rm(X ,Y)T,Z〉;

iv) 〈Rm(X ,Y)Z,T 〉= 〈Rm(Z,T )X ,Y 〉.



Convém escrevermos o que foi apresentado acima em um sistema de coordena-

das (U,x) em torno de um ponto p de uma variedade M. Sendo∂

∂xi= Xi. Ponhamos

Rm(Xi,X j)Xk = Rli jk Xl,

onde Rli jk são as componentes da curvatura Rm em (U,x), e,

Rm(Xi,X j) Xk = ∇X j ∇Xi Xk −∇Xi ∇X j Xk

= ∇X j

(

Γlik Xl

)

−∇Xi

(

Γljk Xl

)

.

Assim,

Rm(Xi,X j) Xk = Rli jk Xl

= ∇X j

(

Γlik Xl

)

−∇Xi

(

Γljk Xl

)

=dΓl

ik

dx jXl +Γl

ik

(

Γpjl Xp

)

−dΓl

jk

dxiXl −Γl

jk

(Γ

pil Xp

).

Fixando os índices, temos

Rsi jk Xs =

dΓsik

dx jXs +Γl

ikΓsjl Xs −

dΓsjk

dxiXs −Γl

jkΓsil Xs.

Daí,

Rsi jk =

∂Γsik

∂x j+Γl

ik Γsjl −

∂Γsjk

∂xi−Γl

jk Γsil.

Como Rm(Xi,X j) Xk = Rli jk Xl, fazendo,

〈Rm(Xi,X j) Xk, Xs〉= Rli jk gls = Ri jks,

onde gls =⟨

∂∂xl

,∂

∂xs

⟩

. Portanto, a Proposição (1.25), pode ser reescrita como segue:

Ri jks +R jkis +Rki js = 0;

Ri jks =−R jiks;

Ri jks =−Ri jsk;

Ri jks = Rksi j.


No que segue convém usar a seguinte notação. Dado um espaço vetorial V ,

indicaremos por |x∧ y| =√

|x|2|y|2−〈x,y〉2, que representa a área do paralelogramo bi-

dimensional determinado pelo par de vetores x,y ∈V .

Definição 1.26 (Curvatura Seccional). Dado um ponto p ∈ M e um subespaço bidimen-

sional σ ⊂ TpM o número real

K(x,y) = K(σ) =〈Rm(x,y)x,y〉

|x∧ y|2,

onde x,y é uma base qualquer de σ, é chamado Curvatura Seccional de σ em p. É possível

mostrar que K(x,y) independe da escolha de x e y.

Definição 1.27 (Curvatura de Ricci). Seja x = zn um vetor unitário em TpM; tomando

uma base ortonormal {z1,z2,z3, . . . ,zn−1} do hiperplano de TpM ortogonal a x, então:

Ricp(x) = 〈Rm(x,zi) x,zi〉, i = 1,2,3, . . .n−1

é denominada Curvatura de Ricci na direção x.

Definição 1.28 (Tensor de Ricci e Curvatura Escalar). Seja Mn uma variedade Rieman-

niana. Dados X ,Y ∈ X(M) o tensor de Ricci é definido por

Ric(X ,Y )(p) = traço{z 7−→ (Rm(X ,z)Y)(p)},

ou se {E1, ...,En} é um referencial ortonormal local

Ric(X ,Y) = 〈R(X ,Ei)Y,Ei〉.

Em um sistema de coordenadas locais o Tensor de Ricci é dado por

Rik = R ji jk = g jl Ri jkl, (1-6)

onde g jl é a métrica inversa de g jl.

Já a curvatura escalar é uma função real R : M → R definida como o traço em

relação à métrica do tensor de Ricci:

R = tr(Ricg) = gi j Ri j. (1-7)

Definição 1.29 Uma variedade Riemanniana (Mn,g) é chamada de uma variedade de

Einstein se o tensor de Ricci é um múltiplo da métrica g, ou seja,

Ric(X ,Y ) = λ g(X ,Y),


para todo X ,Y ∈ X(M).

Definição 1.30 (Tensor de Cotton). Seja (Mn,g) uma variedade Riemanniana. Definimos

o tensor de cotton como (0,3)− tensor dado por:

C(X ,Y)Z = (∇zRic)(X ,Y )− (∇Y Ric)(X ,Z)−1

2(n−1)(g(X ,Y)∇ZR−g(X ,Z)∇Y R).

Em um sistema de coordenadas o tensor de Cotton é dado por:

Ci jk = ∇kRi j −∇ jRik −1

2(n−1)(gi j∇kR−gik∇ jR). (1-8)

Definição 1.31 Uma variedade Riemanniana (Mn,g) é localmente conformemente flat,

se para cada p ∈ M existe uma vizinhança Up ⊂ M tal que g = e2 f gE , onde f : M → R e

gE denota a métrica Euclidiana.

Observação 1 Os espaços de curvatura seccional K constante são localmente conforme-

mente flat.

Para maiores detalhes sobre a observação (1) ver [15].

Definiremos agora o tensor de Weyl, dado pela decomposição do tensor curvatura

em dimensão n ≥ 3.

Definição 1.32 Seja (Mn,g) uma variedade Riemanniana com operador de curvatura

Rm, tensor de Ricci Ricg e curvatura escalar R. Definimos o Tensor de Weyl como o

(0,4)− tensor dado por:

Wi jkl = Ri jkl −1

n−2(Rikg jl +R jlgik −Rilg jk −R jkgil)+

R(n−1)(n−2)

(gikg jl −gilg jk).

(1-9)

Mais detalhes ver [9].

Note que dada uma variedade Riemanniana (Mn,g), se (Mn

,g) for localmente

conformemente flat, então W = 0. Porém, a recíproca só é verdadeira se n ≥ 4, pois para

n = 3 o tensor de Weyl é nulo para qualquer variedade Riemanniana (basta olhar para a

expressão do tensor de Weyl em um sistema de coordenadas locais).

Teorema 1.33 Seja (Mn,g) uma variedade Riemanniana com n ≥ 4, temos que (Mn,g) é

localmente conformemente flat se, e somente se, W = 0.



1.3.1 Segunda Identidade de Bianchi e Contrações

Lema 1.34 (Lema de Ricci). Seja (Mn,g) uma variedade Riemanniana e gi j a expressão

da métrica em coordenadas locais. Então,

• gi j e gi j comportam-se como constantes nas diferenciações covariantes, isto é,

∇kgi j = 0 e ∇kgi j = 0, (1-10)

daí, temos

∇i(g jlRik) = Rik∇ig jl +g jl∇iRik = g jl∇iRik.

Analogamente, temos ∇i(g jlRik) = g jl∇iRik.

• E,

∇i∇ jZk −∇ j∇iZk = Ri jks Zs, (IdentidadedeRicci). (1-11)

Observação 2 Observe que ∇kgi j = 0, devido à compatibilidade da conexão com a

métrica, ver exemplo 1.20. Note que,

gim gi j = δ jm.

Daí,

∇k (gim gi j) = 0 ⇒ ∇k gim gi j +gim ∇k gi j = 0.

Logo,

gim ∇k gi j = 0 ⇒ ∇k gi j = 0.

Proposição 1.35 (Segunda Identidade de Bianchi). Considerando Ri jks o tensor curva-

tura de ordem 4, temos:

∇iR jkls +∇ jRkils+∇kRi jls = 0. (1-12)

Iremos encontrar a primeira contração da segunda identidade de Bianchi.

Multiplicando (1-12) por gis e somando em s temos:

gis ∇iR jkls +gis ∇ jRkils +gis ∇kRi jls = 0.

Usando o Lema (1.34) e (1-6), obtemos

gis ∇iR jkls +gis ∇ jRkils+gis ∇kRi jkls = gis ∇iR jkls +∇ j (gis Rkils)+∇k (g

is Ri jls)

= gis ∇i R jkls +∇ j Rkl −∇k gis Ri jsl

= gis ∇i R jkls +∇ j Rkl −∇k R jl = 0.

1.4 Divergente, Gradiente, Laplaciano e Hessiana em variedades Riemannianas 25

Portanto, a primeira contração da identidade (1-12) é:

gis ∇i R jkls +∇ j Rkl −∇k R jl = 0. (1-13)

Faremos agora, a dupla contração da segunda identidade de Bianchi. Assim,

multiplicando (1-12) por gis g jl e somando temos ,

gis g jl ∇i R jkls +gis g jl ∇ j Rkils +gis g jl∇k Ri jls = 0.

Pelo Lema (1.34), temos

gis ∇i (gjl R jkls)+g jl ∇ j (g

is Rkils)+gis ∇k (gjl Ri jls) = 0.

Usando (1-6), obtemos

gis ∇i Rks +g jl ∇ j Rkl −gis ∇k(gjl Ri jsl) = 0.

Assim,

gis ∇i Rks +g jl ∇ j Rkl −∇k gis Ris = 0.

Logo,

gis ∇i Rks +g jl ∇ j Rkl −∇k R = 0. (1-14)

Observe que temos uma soma em i,s e outra em j, l em (1-14). Portanto, os

índices podem ser nomeados igualmente, ou seja,

gi j ∇i Rk j +gi j ∇i Rk j −∇k R = 0.

Portanto, temos

2gi j ∇i Rk j −∇k R = 0. (1-15)

Maiores detalhes sobre as contrações da Segunda Identidade de Bianchi ver [5].

1.4 Divergente, Gradiente, Laplaciano e Hessiana em va-

riedades Riemannianas

Nesta seção faremos um breve estudo sobre gradiente e o divergente de campos

diferenciáveis em uma variedade Riemanniana M, bem como o Laplaciano e a Hessiana

de funções diferenciáveis definidas em M, expressando-os em um sistema de coordenadas

locais.


Definição 1.36 Seja f : M →R uma função diferenciável. O Gradiente de f é um campo

diferenciável ∇ f , definido sobre M por:

g(∇ f ,X) = DX f = d f (X),

para todo X ∈ X(M).

Proposição 1.37 Sejam f ,h ∈ D(M), então

1. ∇( f +h) = ∇ f +∇h.

2. ∇( f h) = h∇ f + f ∇h.

Proposição 1.38 Se f ∈ D(M) e U ⊂ M é uma vizinhança coordenada, com campos

coordenados ∂∂x1

, ...,∂

∂xn, então o gradiente de f é dado por:

∇ f = gkl ∂ f∂xl

∂

∂xk.

Em particular,

|∇ f |2 = gkl ∂ f∂xl

∂ f∂xk

.

Demonstração. Seja ∇ f = ak∂

∂xk, onde ak : U → R.

Note que,

⟨

ak∂

∂xk,

∂

∂xl

⟩

= ak

⟨∂

∂xk,

∂

∂xl

⟩

= ak gkl = d fp

(∂

∂xl

)

=∂ f∂xl

.

Temos que,

ak gkl gli = ak δik = ai = gli ∂ f

∂xl.

Agora, trocando i por k temos, ak = gkl ∂ f∂xl

. Portanto, ∇ f = gkl ∂ f∂xl

∂∂xk

.

Para a segunda igualdade, temos

|∇ f |2 = g

(

gkl ∂ f∂xl

∂

∂xk, gm j ∂ f

∂x j

∂

∂xm

)

= gkl gm j gkm∂ f∂xl

∂ f∂x j

= gkl δjk

∂ f∂xl

∂ f∂x j

= g jl ∂ f∂xl

∂ f∂x j

.

�


Definição 1.39 Sejam M uma variedade Riemanniana e X ∈ X(M) . O Divergente de X

é definido como:

divX : M −→ R

p 7−→ tr(Y (p)→ ∇Y X(p)), p ∈ M.

Definição 1.40 Seja M uma variedade Riemanniana. O Laplaciano de M é definido como

o operador

∆ f : D(M)−→ D(M)

f 7−→ ∆ f = div(∇ f ), f ∈ D(M)

Definição 1.41 Seja f : M → R uma função diferenciável. O Hessiano de f em p ∈ M é

o operador linear (Hess f )p : TpM → TpM dado por

(Hess f )p(v) = ∇v∇ f ,

e a forma bilinear simétrica associada é o tensor Hessiana de f : M → R dado por

∇2 f : X(M)×X(M)−→C∞(M)

(X ,Y ) 7−→ 〈∇X∇ f ,Y 〉.

Em um sistema de coordenadas locais, temos que

(Hess f )i j =∂2 f

∂xi∂x j−Γk

i j∂ f∂xk

.

Temos que a Hessiana de f é um (0,2) - tensor simétrico. Em coordenadas locais

denotaremos suas componentes por:

Hessg f (∂

∂xi,

∂

∂x j) = ∇i∇ j f .

Proposição 1.42 Se f : M → R é uma função diferenciável, então para cada p ∈ M

temos:

(∆ f )p = tr(Hess f )p.


Demonstração. Seja U ⊂ M uma vizinhança de p onde esteja definido um referencial

ortonormal {E1, ...,En}. Então,

tr(Hess f )p = 〈hess f (Ei),Ei〉p = 〈∇Ei ∇ f ,Ei〉p =

= div(∇ f )(p) = ∆ f (p).

�

Em coordenadas locais, temos:

∆ f = gi j(

∂2 f∂xi∂x j

−Γki j

∂ f∂xk

)

.

Daí,

∆ f = gi jHess f = gi j∇i∇ j f . (1-16)

Proposição 1.43 Seja M uma Variedade Riemanniana, então:

1. Para f e h funções diferenciáveis em M, segue que

∆( f h) = f ∆h+h∆ f + 〈∇ f ,∇h〉.

2. Se X é um campo vetorial diferenciável em M

div( f X) = f divX + 〈∇ f ,X〉. (1-17)

Definição 1.44 Seja f : M → R diferenciável, então:

∇ j f = gi j∇i f . (1-18)

Isso nos dá que gi j∇j f = ∇i f .

Lema 1.45 Seja (Mn,g) uma variedades Riemanniana, então

∇i∇ jRik −∇ j∇iRik = R jmRmk −Ri jkmRim. (1-19)


1.5 Derivada de Lie 29

1.5 Derivada de Lie

Teorema 1.46 Se X é um campo C∞ num aberto V de uma vizinhança de M e p ∈ V,

então existem um aberto V0 ⊂ V , p ∈ V0, um número δ > 0, e uma aplicação C∞,

ϕ : (−δ,δ)×V0 → V , tais que a curva t → ϕ(t,q), t ∈ (−δ,δ), é a única trajetória de

X que no instante t = 0 passa pelo ponto q, para cada q ∈ V0. A aplicação ϕt : V0 → V

dada por ϕt(q) = ϕ(t,q) é chamada o fluxo de X em V. Fixando t, com |t|< δ , ϕt define

um difeomorfismo de V em ϕt(V ).


Pelo teorema acima, dizemos que X gera um grupo ϕt chamado de subgrupo

(local) a 1- parâmetro de difeomorfismos locais.

Definição 1.47 Um campo de vetores X é dito completo se houver um grupo de 1-

parâmetro de difeomorfismo {ϕt} gerado por X.

Definição 1.48 Seja α um tensor e X um campo completo (esta definição estende-se ao

caso em X não é completo e somente define um grupo a 1-parâmetro de difeomorfismos

locais), a derivada de Lie de α com respeito a X é dada por

LX α = limt→0

1t(ϕ∗

t α−α) =ddt

∣∣∣∣t=0

ϕ∗t α,

onde ϕ∗t é o difeomorfismo induzido pelo ϕt .

Proposição 1.49 A derivada de Lie com respeito a X ∈ X(M) satisfaz as seguintes

propriedades:

1. Se f ∈C∞(M), então LX f = DX f ;

2. Se Y ∈ X(M),entoLXY = [X ,Y ];

3. Sejam α e β tensores, então LX(α⊗β) = (LX α)⊗β+α⊗ (LXβ);

4. Se α é um (0,r)− tensor, então para quaisquer Y1, ...,Yr ∈ X(M)

(LXα)(Y1, ...,Yr) = DX α(Y1, ...,Yr)−r

∑i=1

α(Y1, ...,Yi−1, [X ,Yi],Yi+1, ...,Yr)

= (∇Xα)(Y1, ...,Yr)+r

∑i=1

α(Y1, ...,Yi−1,∇YiX ,Yi+1, ...,Yr).

1.5 Derivada de Lie 30

Para uma prova desta Proposição veja [13].

Agora, note que, da Proposição (1.49), e do fato de ∇g = 0 temos que

(LX g)(Y,Z) = g(∇Y X ,Z)+g(Y,∇ZX), (1-20)

para todo X ,Y,Z ∈X(M). Além disso, se X =∇ f para alguma função f ∈C∞(M), teremos

LX g(Y,Z) = 2Hess f (Y,Z). (1-21)

De fato,

∇2 f (Y,Z) = g(∇Y ∇ f ,Z) e

LX g(Y,Z) = g(∇Y X ,Z)+g(Y,∇ZX) = g(∇Y X ,Z)+g(∇Y X ,Z) = 2g(∇Y X ,Z)

⇒ LX g(Y,Z) = 2Hess f (Y,Z).

Definição 1.50 Dizemos que um campo X de vetores diferenciáveis sobre (M,g) é de

Killing se LXg = 0. Se X é um campo de Killing completo, então o grupo a 1-parâmetro

de difeomorfismo ϕt que são gerados por X é um grupo a 1-parâmetro de isometrias de

(M,g).

Observação 3 . Para um campo de Killing X, temos,

LXRi j = 0, LX ∇Ri j = 0.

Maiores detalhes em [17].

Definição 1.51 Dizemos que um campo de vetores X é chamado de Campo conforme se

existe uma função ρ : M → R tal que LX g = 2ρg. A função ρ é o fator de conformidade

de X. Se X = ∇ f , então L∇ f g = 2∇2 f , daí, ∇2 f = ρg.

Lema 1.52 Se M tem curvatura escalar constante R e admite um campo conforme

X : LX g = 2ρg, ρ ≥ 0, então

∆ρ =−R

n−1ρ. (1-22)

Demonstração. Primeiramente, note que,

LX R = LX(gi jRi j) = (LX Ri j)g

i j +Ri jLX gi j.

Mas, LXgi j =−2ρgi j, daí,

LX R = (LX Ri j)gi j −Ri j2ρgi j

.

1.6 Fórmula de Bochner generalizada 31

Pela fórmula ([1.10]) de [18], temos:

LX Ri j =−(n−2)∇ j∇iρ− (∆ρ)gi j.

Assim,

LXRi j = (−(n−2)∇ j∇iρ+(∆ρ)gi j)gi j −2ρR,

= −gi j(n−2)∇ j∇iρ−∆ρgi jgi j −2ρR,

= −(n−2)∆ρ−n∆ρ−2ρR.

Mas, temos que R é constante, daí, LX R = 0. Assim, 2(n−1)∆ρ+2ρR = 0. Portanto,

∆ρ =−R

n−1ρ.

�

1.6 Fórmula de Bochner generalizada

Agora estabeleceremos uma fórmula geral que conduz à fórmula de Bochner

para campos gradiente.

Proposição 1.53 Sejam M uma variedade Riemanniana e X ∈ X(M) qualquer, então

div(LXg)(X) =12

∆|X |2−|∇X |2+Ric(X ,X)+DXdivX . (1-23)

Sendo X = ∇ f e Z ∈ X(M), então

div(LXg)(Z) = 2Ric(Z,X)+2DZdivX , (1-24)

Demonstração. Dado um referencial geodésico {ei}ni=1 em uma vizinhança de p ∈ M

qualquer e X ∈ X(M), temos que

div(LX g)(X) = ∇ei LX g(ei,X)

= ∇ei(LX g(ei,X))−LXg(∇ei ei,X)−LXg(ei,∇ei X)

= ∇ei(g(∇ei X ,X)+g(ei,∇X X))−g(∇∇ei ei X ,X)−g(∇eiei,∇X X)

−g(∇ei X ,∇eiX)−g(ei,∇∇ei XX)

= ∇ei g(∇ei X ,X)+∇eig(ei,∇X X)−g(∇eiX ,∇eiX)−g(ei,∇∇ei XX).


Agora, note que, sendo ∇12|X |2 = α je j, temos que

α j = g

(

∇12|X |2,e j

)

= ∇e j

(12|X |2

)

= g(∇e jX ,X

).

Assim,

∇12|X |2 = g

(

∇12|X |2,e j

)

e j = g(∇e jX ,X

)e j.

Daí,

∆12|X |2 = div

(

∇

(12|X |2

))

= div

(

g

(

∇12|X |2,e j

)

e j

)

= ∇eig

(

∇12|X |2,e j

)(e j,ei

)= ∇eig

(

∇12|X |2,ei

)

= g

(

∇ei∇12|X |2,ei

)

+g

(

∇12|X |2,∇eiei

)

= g

(

∇ei∇12|X |2,ei

)

.

Além disso,

∇ei∇12|X |2 = ∇ei

(g(∇e jX ,X)e j

)= g

(∇e jX ,X

)∇eie j +∇ei

(g(∇e jX ,X

)e j)

e j

= ∇ei

(g(∇e jX ,X

)e j)

e j.

Logo,

∆12|X |2 = g

(∇ei

(g(∇e jX ,X

)e j)

e j,ei)= ∇ei

(g(∇e jX ,X

))g(ei,e j

)

= ∇ei (g(∇eiX ,X)) .

Lembrando que, ∇X = ∇eiX ⇒ |∇X |2 = g(∇eiX ,∇eiX). Então,

(divLXg)(X) = ∇eig(∇eiX ,X)+∇eig(ei,∇XX)

−g(∇eiX ,∇eiX)−g(ei,∇∇ei XX)

= ∆12|X |2+∇eig(ei,∇XX)−|∇X |2−g(ei,∇∇eiX

X)

= ∆12|X |2−|∇X |2+g(∇eiei,∇XX)+g(ei,∇ei∇X X)

−g(ei,∇∇eiXX)

= ∆12|X |2−|∇X |2+g(ei,∇

2ei,X X).

Portanto,

(divLXg)(X) = ∆12|X |2−|∇X |2+g(ei,∇

2ei,X

X).

Note ainda que,

Ric(X ,X) = g(R(ei,X)X ,ei) = g(∇2ei,XX −∇2

X ,eiX ,ei).


Logo,

(divLXg)(X) = ∆12|X |2−|∇X |2+Ric(X ,X)+g(∇2

X ,eiX ,ei).

Usando que X = x je j ⇒ ∇X ei = x j∇e jei = 0 = x j∇eie j = ∇eiX , calculemos

DX divX = DX g(∇eiX ,ei) = ∇X g(∇eiX ,ei)

= g(∇X ∇eiX ,ei)+g(∇eiX ,∇Xei)

= g(∇2X ,ei

X ,ei)+g(∇∇X eiX),ei)

= g(∇2X ,ei

X ,ei).

Portanto,

div(LXg)(X) =12

∆|X |2−|∇X |2+Ric(X ,X)+DXdivX .

Além disso, sendo X = ∇ f , então para todo Z,Y ∈ X(M), temos

g(∇ZX ,Y ) = Hess f (Z,Y ) = Hess f (Y,Z) = g(Z,∇Y X).

Daí,

(divLXg)(Z) = tr{Y (p) 7→ ∇Y LXg(z)}= (∇eiLX g)(ei,Z)

= ∇ei(LXg(ei,Z))−LX g(∇eiei,Z)−LXg(ei,∇eiZ)

= ∇ei(g(∇eiX ,Z)+g(ei,∇ZX))− (g(∇eiX ,∇eiZ)+g(ei,∇ZX))

= ∇ei(g(∇ZX ,ei)+g(ei,∇ZX))− (g(∇∇eiZX ,ei)+g(ei,∇∇eiZ

X))

= ∇ei(2g(∇ZX ,ei)−2g(∇∇eiZX ,ei)

= 2g(∇ei∇ZX ,ei)+2g(∇ZX ,∇eiei)−2g(∇∇eiZX ,ei)

= 2g(∇ei∇ZX ,ei)+2g(∇∇eiZX ,ei) = 2g(∇2

ei,ZX ,ei)

= 2g(Rm(ei,Z)X ,ei)+g(∇2Z,ei

X ,ei)

= 2Ric(Z,X)+2g(∇2Z,ei

X ,ei)

= 2Ric(Z,X)+2DZdivX .

Logo,

(divLXg)(Z) = 2Ric(Z,X)+2DZdivX .

�

Corolário 1.54 Se X = ∇ f com f ∈C∞(M), então

∆12|∇ f |2 = |∇2 f |2 + 〈∇ f ,∇∆ f 〉+Ric(∇ f ,∇ f ). (1-25)


Demonstração. Observe primeiramente que

D∇ f div ∇ f = 〈∇ f ,∇∆ f 〉. (1-26)

De fato,

D∇ f div∇ f = g(∇∇ f ∇ei∇ f ,ei) = g(∇∇ek ( f )ek∇ei∇ f ,ei)

= g(∇ek( f )∇ek∇ei∇ f ,ei) = g(∇ek( f )∇ek∇ei∇e j( f )e j,ei)

= ∇ek( f )∇ek(∇ei(∇ei( f ))).

E,〈∇ f ,∇∆ f 〉 = 〈∇ek( f )ek,∇(∇ei(∇ei( f ))− (∇eiei)( f ))〉

= 〈∇ek( f )ek, ∇(∇ei(∇ei( f )))−∇(∇eiei)( f )〉

= 〈∇ek( f )ek, ∇e j(∇ei(∇ei( f )))e j −∇e j((∇eiei)( f ))e j〉

= ∇ek( f )[∇ek(∇ei(∇ei( f )))−∇ek((∇eiei)( f ))]

= ∇ek( f )∇ek(∇ei(∇ei( f ))).

Agora, tomando Z = ∇ f em (1-24) e igualando a (1-23) obtemos

12

∆|∇ f |2 = 2Ric(∇ f ,∇ f )+2D∇ f div ∇ f + |∇2 f |2 −Ric(∇ f ,∇ f )−D∇ f div ∇ f

= |∇2 f |2 +Ric(∇ f ,∇ f )+D∇ f div ∇ f .

Portanto, por (1-26), temos

12

∆|∇ f |2 = |∇2 f |2 +Ric(∇ f ,∇ f )+ 〈∇ f ,∇∆ f 〉.

�

A igualdade (1-25) constitui a fórmula de Bochner para campos gradiente mencionada

anteriormente.

A partir de agora enunciaremos alguns teoremas e proposições que serão de

grande relevância na demonstração dos resultados principais do nosso trabalho. Não

iremos demonstrá-los, mas indicaremos referências onde os leitores poderão encontrá-

las.

Teorema 1.55 Seja (Mn,g) uma variedade de Einstein, Ricg = λg, conexa de dimensão

n ≥ 3, então λ é constante.


Definição 1.56 Seja M uma variedade Riemanniana completa com tensor métrico. Di-

zemos que um campo escalar não-constante ρ em M é campo escalar concircular, ou


simplesmente concircular, se ele satisfaz a equação:

∇i∇ jρ = φ gi j, (1-27)

onde φ é um campo escalar, chamado função caracteristica de ρ.

Denotaremos o número de pontos estacionários isolados de um campo escalar

concircular ρ em M por N.

Teorema 1.57 Se uma variedade Riemanniana completa M de dimensão n ≥ 2 admite

um campo escalar concircular ρ, então N ≤ 2 e M é conforme a uma das seguintes

variedades:

1. Se N = 0, um produto direto V × J de uma variedade Riemanniana completa

(n−1)−dimensional V com um intervalo J de uma reta,

2. Se N = 1, um domínio Euclidiano n−dimensional interior a uma esfera (n−1)−

dimensional e, consequentemente, um espaço hiperbólico n−dimensional,

3. Se N = 2, um espaço esférico n−dimensional.


Teorema 1.58 Seja M uma variedade Riemanniana completa de dimensão n ≥ 2. Supo-

nha que admite um campo especial concircular ρ satisfazendo a equação

∇i∇ jρ = (−Rρ+b)gi j, (1-28)

onde R é curvatura escalar constante e b uma constante. Então, M é uma das seguintes

variedades:

i ) Se R = b = 0, o produto direto V × I de uma variedade Riemanniana completa

(n−1)−dimensional V com uma linha reta I.

ii ) Se R = 0 mas b 6= 0, um espaço euclidiano.

iii ) Se R =−c2 < 0 e N = 0, um espaço pseudo-hiperbólico do tipo zero ou negativo.

iv )Se R =−c2 < 0 e N = 1, um espaço hiperbólico de curvatura −c2.

v ) Se R = c2 > 0, um espaço esférico de curvatura c2, onde c é uma constante positiva.



Teorema 1.59 Se uma variedade Riemanniana M compacta de dimensão n ≥ 2 com

R = constante, admite um campo conforme X : LX g = 2ρg, ρ 6= 0 e se uma das seguintes

condições abaixo são satisfeitas, então M é isométrico a esfera Sn.

a ) A 1− f orma ε associada com X é a diferencial de uma função.

b ) QDρ = λDρ, onde λ é uma constante.

c ) LX Ricg = αg, onde α é uma função.


Teorema 1.60 (Bonnet-Myers). Seja Mn uma variedade Riemanniana completa. Supo-

nhamos que a curvatura de Ricci de M satisfaz

Ricp(v)≥1r2 > 0,

para todo p ∈ M e todo v ∈ TpM, |v|= 1. Então M é compacta e o diâmetro diam(M)≤

π r.


Teorema 1.61 Seja (Mn,g) variedade Riemanniana compacta com Ricg ≥Rn

g, então

o primeiro autovalor do Laplaciano satisfaz λ1 ≥R

n−1, a igualdade é satisfeita se, e

somente se, M é isométrico a esfera Sn.

Teorema 1.62 Seja M uma variedade Riemanniana completa de dimensão n ≥ 2. Para

que M admita uma solução não trivial ρ para o sistema de equações diferenciais parciais

∇∇ρ =−1n

∆ρg

é necessário e suficiente que M seja conforme a uma esfera euclidiana no espaço

(n+1)−dimensional.


Teorema 1.63 (Integral por partes). Seja u,v ∈C1(M). Então,

∫M

uxi vdx =−

∫M

u vxi dx+∫

∂Muv νi dS, (i = 1,2, ...,n).



Teorema 1.64 (Teorema do Divergente). Seja X um campo vetorial de classe C1(M) e

com suporte compacto em M. Então,

∫M

divXdV =

∫∂M

〈X ,v〉dA,

onde dV representa a forma volume de g, dA é a forma volume da fronteira ∂M com

repeito à métrica induzida. E v denota o campo vetorial unitário normal e exterior a ∂M.

Teorema 1.65 (Identidade de Green). Sejam h, f ∈ C1(M) tal que h∇ f têm suporte

compacto em M, então

∫M(h∆ f + 〈∇h,∇ f 〉)dV =

∫∂M

h∂ f∂v

dA.

Se também temos h ∈C2(M) e ambos f ,h tem suporte compacto em M, então

∫M(h∆ f − f ∆h)dV =

∫∂M

(

h∂ f∂v

− f∂h∂v

)

dA.

Teorema 1.66 (Teorema de E. Hopf). Seja M uma variedade Riemanniana orientável

compacta e conexa. Seja f uma função diferenciável em M com ∆ f ≥ 0. Então f =

constante. Em particular, as funções harmônicas em M, isto é, aquelas para as quais

∆ f = 0 são constantes.

CAPÍTULO 2Resultados de Gradiente Quase Ricci Soliton

Neste capítulo, estudaremos alguns resultados sobre a estrutura de um gradiente

quase Ricci soliton obtidos por Barros, Batista e Ribeiro [1].

Definição 2.1 Uma variedade Riemanniana (Mn,g) é um quase Ricci Soliton, se existe

um campo de vetores completo e uma função suave λ : Mn → R satisfazendo

Ricg +12

LX = λ g.

Onde LX é a derivada de Lie, Ricg é o tensor de Ricci.

Dizemos que um quase Ricci soliton é expanding, steady, ou shirinking, se λ< 0,

λ = 0 ou λ > 0, respectivamente. Quando o campo de vetores X é o gradiente de uma

função f : Mn → R a variedade é chamada de gradiente quase Ricci soliton. Neste caso,

escrevemos

Ric+∇2 f = λ g, (2-1)

onde ∇2 f é a Hessiana de f . Em coordenadas locais um gradiente quase Ricci soliton

pode ser escrito como segue,

Ri j +∇i ∇ j f = λ gi j. (2-2)

Proposição 2.2 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton, então as seguintes

fórmulas são satisfeitas:

1. R+∆ f = n λ.

2. ∇iR = 2Ri j ∇ j f +2(n−1) ∇iλ.

3. ∇ jRik −∇iR jk −Ri jks ∇s f = (∇ jλ) gik − (∇iλ) g jk.

4. ∇(R+|∇ f |2 −2(n−1) λ) = 2λ ∇ f .

39

Demonstração. Para provarmos 1, basta tomarmos o traço em (2-2),

gi j Ri j +gi j ∇i ∇ j f = gi j λ gi j.

Assim, por (1-7) e (1-16) temos, R+∆ f = n λ.

2. Pela segunda identidade de Bianch, contraída 2-vezes (1-15), temos:12

∇iR = div Rici.

Assim, usando-a juntamente com (2-2), (1-6) e a identidade de Ricci (1-11) obtemos:

12

∇iR = divRici = g jk ∇k Ri j

= g jk ∇k(−∇i∇ j f +λ gi j)

= −g jk ∇k∇i∇ j f +g jk (∇kλ) gi j

= −g jk (∇i∇k∇ j f −Rki js∇s f )+g jk (∇kλ) gi j

= −g jk ∇i∇k∇ j f +g jk Rki js∇s f +g jk (∇kλ) gi j

= −∇igjk ∇k∇ j f −Ris ∇s f + δk

i (∇k λ)

= −∇i (∆ f )−Ris ∇s f +(∇i λ). (2-3)

Derivando 1. temos que: ∇i (∆ f ) = n ∇i λ−∇i R, substituindo em (2-3) obtemos,

12

∇iR = = −n ∇i λ+∇iR−Ris ∇s f +(∇i λ)

= (1−n)∇iλ+∇iR−Ris ∇s f .

Logo,

12

∇iR−∇iR = (1−n) ∇i λ−Ris ∇s f

= (1−n) ∇i λ−Ris ∇s f .

Daí,

∇i R = 2Ris ∇s f +2(n−1) ∇i λ.

3- Note que por (2-2), temos:

{

Rik +∇i∇k f = λ gik

R jk +∇ j∇k f = λ g jk=⇒

{

∇ j Rik +∇ j∇i∇k f = (∇ j λ) gik

∇i R jk +∇i∇ j∇k f = (∇i λ) g jk

Fazendo a subtração da primeira expressão pela segunda obtemos:

∇ j Rik −∇i R jk − (∇i∇ j∇k f −∇ j∇i∇k f ) = (∇ j λ) gik − (∇i λ) g jk.

40

Assim, pela identidade de Ricci (1-11), temos que, ∇i∇ j∇k f − ∇ j∇i∇k f = Ri jks∇s f .

Logo,

∇ jRik −∇iR jk −Ri jks∇s f = (∇ jλ)gik − (∇iλ)g jk.

4 - Como12

∇(R+ |∇ f |2) =12

∇R+12

∇|∇ f |2,

segue pelo item 2. que

12

∇(R+ |∇ f |2) = (n−1)∇λ+Ric(∇ f )+12

∇|∇ f |2,

onde Ric(∇ f ) é a aplicação linear auto-adjunta associada ao tensor de Ricci.

Pela equação fundamental (2-1), temos

〈Ric(∇ f ),∇ f 〉+ 〈∇∇ f ∇ f ,∇ f 〉= λ〈∇ f ,∇ f 〉.

Daí,

Ric(∇ f )+∇∇ f ∇ f = λ∇ f . (2-4)

Além disso, note que ∇|∇ f |2 = ∇∇ f ∇ f .

De fato, seja Y ∈ X(M), então,

〈∇|∇ f |2,Y 〉 = Y (|∇ f |2)

= Y 〈∇ f ,∇ f 〉

= 〈∇Y ∇ f ,∇ f 〉+ 〈∇ f ,∇Y ∇ f 〉

= 2〈∇Y ∇ f ,∇ f 〉

= 2Hess f (Y,∇ f )

= 2Hess f (∇ f ,Y )

= 2〈∇∇ f ∇ f ,Y 〉.

Assim, de (2-4), temos

12

∇(R+ |∇ f |2) = (n−1)∇λ+Ric(∇ f )+∇∇ f ∇ f

= (n−1)∇λ+λ∇ f ,

concluindo, assim, a Proposição. �

Observação 4 O item 2. da Proposição (2.2) permite concluir que para todo Z ∈ X(M)

2.1 Laplaciano da curvatura de Ricci e da curvatura escalar 41

temos

g(∇R,Z) = 2Ric(∇ f ,Z)+2(n−1)g(∇λ,Z). (2-5)

2.1 Laplaciano da curvatura de Ricci e da curvatura

escalar

Agora, encontraremos o laplaciano da curvatura de Ricci e, como consequência

desta, obteremos o laplaciano da curvatura escalar.

Lema 2.3 Seja (Mn,g) uma variedade Riemanniana. Então,

∇ j∇iR jk = ∇i∇jR jk +RisR

sk +Riks jR

sj. (2-6)

∇ jRi jks∇s f = ∇sRik∇s f −∇kRis∇

s f . (2-7)

Demonstração. De fato,

• Em [17] foi provado que, ∇i∇ jRlk −∇ j∇iRlk =−Ri jmlRmk −Ri jmkRlm.

Daí, note que

∇ j∇iR jk −∇i∇jR jk = g js∇s∇iR jk −∇ig

js∇sR jk

= g js(∇s∇iR jk −∇i∇sR jk)

= g js(−Rsim jRmk −RsimkR jm)

= Rs ji jgjsR jk +Rsikmg jsR jm

= Rs ji jRsk +Rsik jR

sj

= RsiRsk +Riks jR

sj.

Logo, ∇ j∇iR jk = ∇i∇jR jk +RisRs

k +Riks jRsj. Obtendo assim, (2-6).

• Pela primeira contração da identidade Bianchi (1-13), temos

g jl∇lRi jks = ∇sRik −∇kRis.

Assim, multiplicando ∇s f na igualdade acima obtemos

g jl∇lRi jks∇s f = ∇sRik∇s f −∇kRis∇

s f .

Portanto, ∇ jRi jks∇s f = ∇sRik∇s f −∇kRis∇

s f .

�


Lema 2.4 Considere (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton, então valem as

seguintes identidades:

∆Rik = 〈∇Rik,∇ f 〉+λRik −2Ri jksRjs +RisR

sk +

12

∇k∇iR−∇kRsi∇s f +∆λgik −∇k∇iλ

(2-8)

∆Ri j = 〈∇Ri j,∇ f 〉−2λRi j −2Rik jsRks +(n−2)∇ j∇iλ+∆λgi j. (2-9)

∆R = 〈∇R,∇ f 〉+2λR−2|Ricg|2 +2(n−1)∆λ (2-10)

Demonstração. Note que, ∆Rik = g js∇s∇ jRik = ∇ j∇ jRik. Pela Proposição (2.2) item 3.,

temos

∆Rik = ∇ j(∇iR jk +Ri jks∇s f +∇ jλgik −∇iλg jk)

= ∇ j∇iR jk +∇ j(Ri jks∇s f )+∇ j∇ jλgik −∇ j∇iλg jk

= ∇ j∇iR jk +∇ jRi jks∇s f +Ri jks∇

j∇s f +∆λgik −g js∇s∇iλg jk

= ∇ j∇iR jk +∇ jRi jks∇s f +Ri jks∇

j∇s f +∆λgik −∇k∇iλ (2-11)

Usando (2-6), (2-7) em (2-11), temos

∆Rik = ∇i∇jR jk +RisR

sk +Riks jR

sj −∇kRsi∇

s f +∇sRik∇s f (2-12)

+Ri jks∇j∇s f +∆λgik −∇k∇iλ.

Além disso, vamos usar as seguintes identidades:

∇i∇jR jk =

12

∇i∇kR. (2-13)

Tal igualdade é obtida pela segunda contração de Bianchi (1-15), ou seja,

∇ jR jk =12

∇kR ⇒ ∇i∇jR jk =

12

∇i∇kR.

Também temos que,

Ri jks∇j∇s f = Rikλ−Ri jksR

js. (2-14)


Observe que (2-14) de fato ocorre,

Ri jks ∇ j∇s f = Ri jks g jl ∇l gsi ∇i f

= Ri jks g jl gsi∇l∇i f

= Ri jks g jl gsi(λ gli −Rli)

= Ri jks g jl gsiλ gli −Ri jks g jl gsi Rli

= Ri jks g jl δsl λ−Ri jks g jl Rs

l

= g js Ri jks λ−Ri jks R js

= Rikλ−Ri jks R js.

E,

〈∇Rik,∇ f 〉= ∇s Rik ∇s f . (2-15)

Note que,

〈∇Rik,∇ f 〉 =

⟨

g js ∂ Rik

∂xs

∂

∂x j, glh ∂ f

∂xl

∂

∂xh

⟩

= g js∇s Rik glh ∇l f

⟨∂

∂x j,

∂

∂xh

⟩

= g jsg jh∇s Rik ∇h f = δsh ∇s Rik ∇h f = ∇s Rik ∇s f .

Assim, usando (2-13), (2-14) e (2-15) em (2-12) temos,

∆Rik =12

∇i∇kR+RisRsk +Riks jR

sj −∇kRsi∇

s f + 〈∇Rik,∇ f 〉 (2-16)

−Ri jksRjs +λRik +∆λgik −∇k∇iλ

Por [17] obtemos,12

∇i∇kR+Riks j Rsj =

12

∇k∇iR−Ri jks R js. (2-17)

Daí, substituindo (2-17) em (2-16) temos,

∆Rik = 〈∇Rik,∇ f 〉+λRik −2Ri jksRjs +RisR

sk +

12

∇k∇iR

−∇kRsi∇s f +∆λgik −∇k∇iλ.

Obtendo assim (2-8).

Agora, note que, pela Proposição (2.2) item 2. temos,

12

∇k(∇i R−2Ris ∇s f −2(n−1)∇i λ) = 0.


Daí,12

∇k∇iR−∇k Ris ∇s f = Ris ∇k∇s f +(n−1)∇k∇i λ. (2-18)

Por (2-8) e usando (2-18) temos,

∆Rik = 〈∇Rik,∇ f 〉+λ Rik −2Ri jks R js +Ris Rsk

+Ris ∇k∇s f +(n−1)∇k∇iλ+∆λgik −∇k∇iλ

= 〈∇Rik,∇ f 〉+λ Rik −2Ri jks R js +Ris Rsk +Ris ∇kgs j∇ j f

+(n−2)∇k∇iλ+∆λgik

= 〈∇Rik,∇ f 〉+λ Rik −2Ri jks R js +Ris Rsk +gs jRis (λgk j −Rk j)


= 〈∇Rik,∇ f 〉+λ Rik −2Ri jks R js +Ris Rsk +λ Rik −Ris Rs

k


= 〈∇Rik,∇ f 〉+2λ Rik −2Ri jks R js +(n−2)∇k∇iλ+∆λgik.

Portanto, fazendo k = j e j = k, obtemos,

∆Ri j = 〈∇Ri j,∇ f 〉+2λ Ri j −2Rik js Rks +(n−2)∇ j∇iλ+∆λgi j.

Obtendo assim (2-9).

Agora, tomando o traço em (2-9),

gi j ∆Ri j = gi j 〈∇Ri j,∇ f 〉−gi j 2λRi j −gi j 2Rik jsRks

+gi j (n−2)∇ j∇iλ+gi j ∆λgi j.

Assim,

∆ gi j Ri j = 〈∇gi j Ri j,∇ f 〉−2λgi j Ri j −2gi j Rik jsRks

+(n−2)gi j ∇ j∇iλ+gi j gi j ∆λ.

Daí, por (1-6), (1-7), (1-16) e (1-5), temos que

∆R = 〈∇R,∇ f 〉+2λR−2|Ricg|2 +2(n−1)∆λ,

concluindo a demonstração do Lema. �


Corolário 2.5 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton. Se

λR+(n−1)∆λ > |Ricg|2,

então R é constante, na vizinhança de qualquer máximo local.

Demonstração. De fato, usando a igualdade (2-10) do Lema (2.4), temos que

12

∆ f R ≥ 0,

onde ∆ f R = ∆R−〈∇ f ,∇R〉 é o operador difusão. Assim, pelo princípio do máximo para

EDP’s elípticas, obtemos que R é constante na vizinhança de qualquer máximo local. �

Lema 2.6 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton, então vale a seguinte

igualdade:12

∆R+ |Ricg−Rn

g|2 = (n−1)∆λ+Rn

∆ f +12〈∇R,∇ f 〉. (2-19)

Demonstração. De fato, aplicando o divergente em 4. Proposição (2.2), obtemos:

12

∆R+12

∆|∇ f |2 = (n−1)∆λ+λ∆ f + 〈∇λ,∇ f 〉. (2-20)

Pelo Corolário (1.54) temos,

12

∆|∇ f |2 = |∇2 f |2 +Ric(∇ f ,∇ f )+ 〈∇ f ,∇(∆ f )〉. (2-21)

Substituindo (2-21) em (2-20), temos,

12

∆R+ |∇2 f |2 +Ric(∇ f ,∇ f )+ 〈∇ f ,∇∆ f 〉= (n−1)∆λ+λ∆ f + 〈∇λ,∇ f 〉. (2-22)

Usando os itens 1. e 2. da Proposição (2.2), a equação (2-22) pode ser escrita por:

12

∆R+ |∇2 f |2 +Ric(∇ f ,∇ f )+ 〈∇ f ,∇∆ f 〉=12

∆R+ |∇2 f |2 −12〈∇R,∇ f 〉+ 〈∇λ,∇ f 〉.

Assim, (2-22) se reduz a:

12

∆R+ |∇2 f |2 = (n−1)∆λ+λ∆ f +12〈∇R,∇ f 〉. (2-23)

Como |∇2 f −∆ fn

g|2 = |∇2 f |2 −(∆ f )2

n, pela equação (2-23) obtemos que:

12

∆R+ |∇2 f −∆ fn

g|2 = (n−1)∆λ+∆ f (λ−∆ fn)+

12〈∇R,∇ f 〉.


Pela equação fundamental (2-1) e pelo item 1. da Proposição (2.2) temos que

∇2 f = λg−Ricg e∆ fn

= λ−Rn.

Portanto, (2-22) é igual a:

12

∆R+ |Ricg−Rn

g|2 = (n−1)∆λ+1n

R∆ f +12〈∇R,∇ f 〉,

concluindo assim a igualdade desejada. �

Usando a equação (2-19) obtemos a seguinte proposição.

Proposição 2.7 Todo gradiente quase Ricci soliton steady cuja curvatura escalar atinge

seu mínimo é Ricci flat.

Demonstração. Por hipótese temos que λ = 0. Daí usando (2-19), temos:

12

∆R+ |Ricg −Rn

g|2 =1n

R∆ f +12〈∇R,∇ f 〉.

⇒12

∆ f R =−R2

n−|Ricg −

Rn

g|2 ≤ 0. (2-24)

Considerando p um ponto de mínimo da curvatura escalar, então em p temos,

0 ≤12

∆ f R =−R2

n−|Ricg −

Rn

g|2 ≤ 0,

pois em p, ∆ f R = ∆R ≥ 0. Segue que R(p) = 0 e Ric(p) = 0.

Como ∆ f R ≤ 0 e p é mínimo global, segue pelo princípio do máximo de E.D.P’s

Elípticas, aplicado a ∆ f R, que R é constante e igual a R(p) = 0

Assim, R = 0 =⇒ Ricg = 0, e portanto,(Mn,g) é um Rici flat. �

Lema 2.8 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton. Então as seguintes

fórmulas são satisfeitas:

1. (divRm) jkl = Rlk js∇s f +(∇kλ) g jl − (∇lλ) gk j.

2. ∇i(Ri jkl e− f ) = ((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f .

3. ∇i(Rik e− f ) = ((n−1)∇kλ) e− f .

Demonstração. 1. Temos que,

(divRm) jkl = ∇iRi jkl = ∇iRkli j.


Pela segunda identidade de Bianch (1-12), temos:

(divRm) jkl = −∇kRi jli −∇lRiki j

= ∇kRi jil −∇lRiki j

= ∇kR jl −∇lRk j.

Pelo item 3. da Proposição (2.2) segue que,

(divRm) jkl = Rlk js ∇s f +(∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j.

2. Observe que, pela regra de derivação e pelo item anterior, temos:

∇i(Ri jkl e− f ) = ∇iRi jkl e− f −∇i f Ri jkl e− f

= (Rlk js ∇s f +(∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f −∇i f Ri jkl e− f

= (Rlk js ∇s f −∇i f Ri jkl) e− f +((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f

= (Rlk js gsi ∇i f −∇i f Ri jkl) e− f +((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f

= (gsi Rlk js ∇i f −∇i f Ri jkl) e− f +((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f

= (Rlk ji ∇i f −∇i f Ri jkl) e− f +((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f

= (R jilk ∇i f −∇i f Ri jkl) e− f +((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f

= (−Ri jlk ∇i f −∇i f Ri jkl) e− f +((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f

= (Ri jkl ∇i f −∇i f Ri jkl) e− f +((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f

= ((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f.

Logo,

∇i(Ri jkl e− f ) = ((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f.

3. Temos que,

∇i(Rik e− f ) = ∇iRik e− f −∇i f Rik e− f.

A primeira identidade é dada por:

∇iRi jkl = Rlk js∇s f +(∇kλ) g jl − (∇lλ) gk j. (2-25)

Multiplicando g jl em (2-25), temos que:

∇i(gjlRi jkl) = g jl Rlk js ∇s f +∇kλ n−∇lλ δk

l

2.2 Fórmulas Integrais 48

Por (1-6) segue que,

∇iRik = Rks ∇s f +∇kλ n−∇kλ,

ou seja,

∇iRik = Rks ∇s f +(n−1) ∇kλ.

Logo,

∇i(Rik e− f ) = ∇iRik e− f −∇i f Rik e− f

= (Rks ∇s f +(n−1) ∇kλ−∇i f Rik) e− f

= (gsi Rks ∇i f +(n−1) ∇kλ−∇i f Rik) e− f

= (Rik ∇i f +(n−1) ∇kλ−∇i f Rik) e− f

= (n−1) ∇kλ e− f.

�

2.2 Fórmulas Integrais

Corolário 2.9 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton compacto. Então,

temos:

12

∫M|divRm|2e− f dVg = −

∫M

R〈∇λ,∇ f 〉dVg−∫

MRlk js∇l∇

s f Rk je− f dVg

− (n−1)∫

M|∇λ|2e− f dVg +

∫M〈∇λ,∇R〉e− f dVg.

Demonstração. Note que,

(divRm) jkl = ∇kR jl −∇lRk j.

Daí,

|divRm|2 = 〈∇kRl j −∇lR jk,∇kRl j −∇lR jk〉= (∇kR jl −∇lR jk)(∇kR jl −∇lR jk)

Por (3) da Proposição (2.2), temos

|divRm|2 = (∇kRl j −∇lRk j)(Rlk js∇s f +∇kλgl j −∇lλgk j)

= Rlk js∇s f (∇kRl j −∇lRk j)+(∇kλgl j −∇lλgk j)(∇kRl j −∇lRk j)

= Rlk js∇s f ∇kRl j −Rlk js∇

s f ∇lRk j +(∇kλgl j −∇lλgk j)(∇kRl j −∇lRk j).


Assim,

∫M|divRm|2 e− f dVg = −

∫M

Rlk js ∇s f ∇lRk j e− f dVg +∫

MRlk js ∇s f ∇kRl j e− f dVg

+∫

M(∇kλ gl j −∇lλ gk j)(∇kRl j −∇lRk j) e− f dVg. (2-26)

Agora, usando o Teorema (1.63) e como M é compacta, podemos integrar por partes para

obter,

−

∫M

Rlk js ∇s f ∇lRk j e− f dVg =

∫M

∇l(Rlk js e− f )∇s f Rk j dVg

+

∫M

Rlk js∇l∇s f Rk j e− f dVg, (2-27)

e,

∫M

Rlk js ∇s f ∇kRl j e− f dVg = −∫

M∇k(Rlk js e− f )∇s f Rl j dVg

−∫

MRlk js ∇k∇s f Rl j e− f dVg. (2-28)

Assim, substituindo (2-27) e (2-28) em (2-26), temos

∫M|divRm|2 e− f dVg =

∫M

∇l(Rlk js e− f )∇s f Rk j dVg +∫

MRlk js∇l∇

s f Rk j e− f dVg

−∫

M∇k(Rlk js e− f )∇s f Rl j dVg −

∫M

Rlk js ∇k∇s f Rl j e− f dVg

= −∫

M∇l(Rkl js e− f )∇s f Rk j dVg −

∫M

Rkl js∇l∇s f Rk j e− f dVg

−∫

M∇k(Rlk js e− f )∇s f Rl j dVg −

∫M

Rlk js ∇k∇s f Rl j e− f dVg

+

∫M(∇kλ gl j −∇lλ gk j)(∇kRl j −∇lRk j) e− f dVg.

Daí,

∫M|divRm|2 e− f dVg = −2

∫M

Rlk js∇l∇s f Rl j e− f dVg −2

∫M

∇l(Rlk js e− f )∇s f Rl j dVg

+

∫M〈∇λ, ∇R〉 e− f dVg. (2-29)

Observe que,

−2∫

M∇l(Rlk js e− f )∇s f Rk jdVg = −2

∫M

R 〈∇λ, ∇ f 〉 e− f dVg

+2∫

MRic(∇ f , ∇λ) e− f dVg. (2-30)


De fato, usando item (2) do Lema (2.8), temos

−2∫

M∇l(Rlk js e− f )∇s f Rl j dVg = −2

∫M((∇sλ) g jk − (∇ jλ) gsk) e− f ∇s f Rl jdVg

= −2∫

M(∇sλ) g jk ∇s f Rl j e− f dVg

+2∫

M(∇ jλ) gsk ∇s f Rl j e− f dVg

= −2∫

M(∇sλ) g jk gs j ∇ j f Rl j e− f dVg

+2∫

M(∇ jλ) gsk gs j ∇ j f Rl j e− f dVg.

Daí,

−2∫


∫M(∇sλ) g jk ∇ j f gs j Rl j e− f dVg

+2∫

M(∇ jλ) δ

jk∇ j f Rl j e− f dVg (2-31)

Usando (1-7) em (2-31), temos

−2∫


∫M

R ∇ j f ∇lλ g jk e− f dVg

+2∫

MRl j ∇ j f ∇ jλ e− f dVg

= −2∫

MR 〈∇λ, ∇ f 〉 e− f dVg

+2∫

MRic(∇ f , ∇λ) e− f dVg.

Assim, substituindo (2-30) em (2-29), obtemos


∫M

R 〈∇λ, ∇ f 〉 e− f dVg −2∫

MRlk js∇l∇

s f Rl j e− f dVg

+2∫

MRic(∇ f , ∇λ) e− f dVg +

∫M〈∇λ, ∇R〉 e− f dVg. (2-32)

Fazendo Z = ∇λ em (2-5), temos

2Ric(∇ f , ∇λ) = 〈∇R, ∇λ〉−2(n−1)〈∇λ, ∇λ〉.


Daí, substituindo em (2-32), temos


∫M

R 〈∇λ, ∇ f 〉 e− f dVg −2∫

MRlk js∇l∇

s f Rl j e− f dVg

−2(n−1)∫

M|∇λ|2 e− f dVg +2

∫M〈∇λ, ∇R〉 e− f dVg,

concluindo assim o Lema. �

Lema 2.10 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton compacto, então

∫M|divRm|2e− f dVg =

∫M|∇Ricg|

2e− f dVg −∫

MR∆λe− f dVg −n(n−1)

∫M|∇λ|2e− f dVg.

Demonstração. Segue pelo Teorema (1.63) e do fato de M ser compacta que,

−2∫

M∇kR jl ∇lR jk e− f dVg = 2

∫M

R jk∇l∇kR jl e− f dVg −2∫

MR jk ∇kR jl∇l f e− f dVg

= 2∫

MR jk∇i∇ jRik e− f dVg −2

∫M

R jk ∇ jRik∇i f e− f dVg.

Usando (1-19) temos,

−2∫


∫M

R jk (∇ j∇iRik +R jm Rmk −Ri jkm Rim) e− f dVg

−2∫

MR jk ∇ jRik∇i f e− f dVg. (2-33)

Observe que, pelo Teorema (1.63) obtemos,

−2∫

MR jk ∇ jRik ∇i f e− f dVg = 2

∫M

∇ j (R jk e− f ) Rik ∇i f dVg+2∫

MR jk Rik ∇ j∇i f e− f dVg.

Assim, substituindo em (2-33) temos

−2∫


∫M

R jk ∇ j∇iRik +2∫

MR jkR jm Rmk −2

∫M

R jkRi jkm Rim e− f dVg

+2∫

M∇ j (R jk e− f ) Rik ∇i f dVg

2+∫

MR jk Rik ∇ j∇i f e− f dVg. (2-34)

Note que,

2∫

MR jk ∇ j∇iRik e− f dVg =−2

∫M

∇ j(R jk e− f )∇iRik dVg. (2-35)


De fato, pelo Lema (2.8)

−2∫

M∇ j(R jk e− f )∇iRik dVg = −2

∫M(∇ jR jk e− f −R jk ∇ j f e− f )∇iRik dVg

= −2∫

M∇ jR jk∇iRik e− f dVg +2

∫M

R jk ∇ j f ∇iRik e− f dVg

= 2∫

MR jk∇ j∇iRik e− f dVg −2

∫M

R jk ∇iRik∇ j f e− f dVg

+2∫

MR jk ∇ j f ∇iRik e− f dVg

= 2∫

MR jk ∇ j∇iRik e− f dVg.

Substituindo (2-35) em (2-34) obtemos

−2∫

M∇kR jl ∇lR jk e− f dVg = −2

∫M

∇ j(R jk e− f )∇iRik dVg +2∫

MR jk R jm Rmk e− f dVg

−2∫

MRi jkm Rim R jk e− f dVg +2

∫M

∇ j(R jk e− f ) Rik ∇i f e− f dVg

+2∫

MR jk Rik ∇ j∇i f e− f dVg.

Agora, usando o item (2) da Proposição (2.2) obtemos,

−2∫

M∇kR jl ∇lR jk e− f dVg = −

∫M

∇ j(R jk e− f )∇iRik dVg +2∫

MR jk Rik(R ji +∇ j∇i f ) e− f dVg

+2∫

M∇ j(R jk e− f )

(12

∇kR− (n−1) ∇kλ

)

dVg

−2∫

MRi jkm Rim R jk e− f dVg

= −∫

M∇ j(R jk e− f )∇iRik dVg +2

∫M

R jk Rikλgi j e− f dVg

+

∫M

∇ j(R jk e− f ) ∇kR−2(n−1)∫

M∇ j(R jk e− f ) ∇kλ dVg

−2∫


Usando item (3) do Lema (2.8) e a segunda contração da identidade de Bianchi (1-15),

−2∫

M∇kR jl ∇lR jk e− f dVg = −

∫M

∇ j(R jk e− f )∇kRdVg +2∫

MR jk R jk λ e− f dVg

+

∫M

∇ j(R jk e− f )∇kR dVg −2(n−1)(n−1)∫

M∇kλ∇kλ e− f dVg

−2∫


= 2∫

Mλ |Ricg|

2 e− f dVg −2∫


−2(n−1)2∫

M|∇ λ|2e− f dVg. (2-36)

2.3 Um Teorema de Rigidez 54

Agora observe que, do fato de Mn ser compacta (∂M = 0) e usando a identidade de Green,

temos,

∫M〈∇R,∇λ〉 e− f dVg =

∫M〈∇R, e− f ∇λ〉 dVg∫

MR 〈∇λ, ∇ f 〉 dVg −

∫M

R∆λ e− f dVg (2-40)

Portanto, substituindo (2-40) em (2-39)

∫M|divRm|2e− f dVg =

∫M|∇Ricg|

2e− f dVg −

∫M

R∆λe− f dVg −n(n−1)∫

M|∇λ|2e− f dVg.

�

2.3 Um Teorema de Rigidez

Nesta seção mostraremos um teorema de rigidez para um gradiente quase Ricci

soliton e, como consequência, um corolário que caracteriza o caso compacto. Em seguida,

estudaremos o gradiente quase Ricci soliton compacto, encontrando assim, condições para

que seja isométrica à esfera.

Teorema 2.11 Seja (Mn,g,∇ f ,λ), n ≥ 3 um gradiente quase Ricci soliton com curvatura

escalar não-negativa. Se ∇ f é um campo conforme , então

1. Ou Mn é isométrica ao espaço euclidiano Rn;

2. Ou Mn é isométrica à esfera euclidiana Sn. Neste caso, a menos de constante, f é a

primeira autofunção do Laplaciano e λ =R

n(n−1)f + k, onde k é uma constante.

Demonstração. Pela Proposição (2.2) item 1, temos R+∆ f = nλ. Como ∇ f é um campo

conforme não trivial temos, L∇ f g = 2ρg, ρ 6= 0, como, L∇ f g = 2∇2 f , então ∇2 f = ρg.

Tomando o traço da expressão ∇2 f = ρg, temos que , ∆ f = nρ ⇒ ρ =∆ fn

.

Logo,

L∇ f g = 2∆ fn

g ⇒12

L∇ f g =∆ fn

g,

neste caso ∆ f 6= 0. Agora, pela equação fundamental (2-1) e do fato de ∇ f ser conforme,

temos

Ricg +ρg = λg ⇒ Ricg = (λ−ρ)g.

Tomando o traço, obtemos,

R = (λ−ρ)n. (2-41)


Observe que pelo Teorema (1.55) temos que (λ−ρ) é constante, e como tal R = (λ−ρ)n

também é constante.

Vamos analisar os casos em que R = 0 e R 6= 0.

• Para R = 0, temos que (Mn,g) é Ricci flat.

Por, Ricg +∇i∇ j f = λgi j, então, ∇i∇ j f = λgi j. Assim, pelo Teorema (1.58) item

(ii), temos que (Mn,g) é isométrica ao espaço euclidiano R

n.

• Para R 6= 0. Primeiramente note que pelo fato da variedade ser completa utilizando o

Teorema de Bonnet Meyes (1.60) obtemos a compacidade de M.

Agora, observe que,

L∇ f Ricg = L∇ f (λ−ρ)g = (λ−ρ)L∇ f g = 2(λ−ρ)ρg.

Assim, pelo Teorema (1.59) item (3) temos que Mn é isométrica à esfera Sn.

Agora, observe que por (2-41) temos que, λ = ρ+Rn.

Pela equação fundamental (2-1),

Ricg +∇2 f = λg ⇒ Ricg +∇2 f =

(

ρ+Rn

)

g.

Daí,

Ricg =Rn

g.

Assim, pelo Teorema (1.61), juntamente com (1-22), deduzimos que o primeiro

autovalor do Laplaciano de Mn é λ1 =R

n−1. Então ρ é a primeira autofunção do

Laplaciano de Mn. Em particular, temos

∆ρ+R

n−1ρ = 0 ⇒ ∆

(∆ fn

)

+λ1∆ fn

= 0.

Logo, ∆(∆ f + λ1 f ) = 0, como M é compacta, então, pelo Teorema (1.66) temos

que, ∆ f +λ1 f = c, onde c é constante. E, assim,

λ = ρ+Rn⇒ λ =

∆ fn

+Rn=−

λ1

nf +

Rn+ c.

Portanto,

λ =−R

n(n−1)f + k,

onde k =Rn+ c é constante.

�

Como consequência deste teorema, obtemos o seguinte corolário:


Corolário 2.12 Seja (Mn,g,∇ f ,λ), n ≥ 3, um gradiente quase Ricci soliton compacto

não trivial, com curvatura escalar constante. Então, Mn é isométrica à esfera euclidiana

Sn e, a menos de constante, f é a primeira autofunção do Laplaciano e λ=−

Rn(n−1)

f +

k, onde k é uma constante.

Demonstração. Integrando (2-19) temos:

∫M

12

∆RdVg+

∫M|Ricg−

Rn

g|2dVg =

∫M(n−1)∆λdVg+

∫M

Rn

∆ f dVg+

∫M

12〈∇R,∇ f 〉dVg.

Pela compacidade de Mn e pelo Teorema do Divergente, temos que

∫M

12

∆RdVg = 0 e∫M(n−1)∆λdVg = 0, assim,

∫M|Ricg −

Rn

g|2dVg =∫

M

Rn

∆ f dVg +∫

M

12〈∇R,∇ f 〉dVg.

Agora sendo Mn compacta e usando a identidade de Green, temos que,

−∫

MR∆ f dVg =

∫M〈∇R,∇ f 〉dVg. (2-42)

Daí,

∫M|Ricg −

Rn

g|2dVg =1n

∫M

R∆ f dVg −12

∫M

R∆ f dVg =−n−2

2n

∫M

R∆ f dVg. (2-43)

Agora, como R é constante, então

∫M〈∇R,∇ f 〉dVg = 0.

Assim, (2-42) será,

−∫

MR∆ f dVg = 0.

Logo, (2-43) é dada por ∫M|Ricg −

Rn

g|2dVg = 0.

Portanto, Ricg −Rn

g = 0 e assim, Ricg =Rn

g. Pela equação (2-1), temos, ∇2 f =(

λ−Rn

)

g, daí, ∇ f é um campo conforme. Logo, usando o Teorema (2.11) concluímos

a prova do corolário. �

Teorema 2.13 Toda superfície gradiente quase Ricci soliton compacta com curvatura


gaussiana não positiva é trivial.

Demonstração. Note que, Ricg =R2

g. Por (2-19) temos,

12

∆R+ |R2

g−R2

g|2 = ∆λ+R2

∆ f +12〈∇R,∇ f 〉

Daí,

∆

(12

R−λ

)

=12(R∆ f + 〈∇R,∇ f 〉).

Pela Proposição (2.2) item (1), temos∆ f2

= λ−R2

. Assim

−∆

(12

∆ f

)

=12(R∆ f + 〈∇R,∇ f 〉).

De onde segue,

∆(∆ f )+R∆ f + 〈∇R,∇ f 〉) = div(∇∆ f +R∇ f ) = 0. (2-44)

Em particular, por (1-17) temos,

div( f (∇∆ f +R∇ f )) = f div(∇∆ f +R∇ f )+ 〈∇ f ,∇∆ f +R∇ f 〉.

Daí, por (2-44), obtemos

div( f (∇∆ f +R∇ f )) = 〈∇ f ,∇∆ f 〉+R〈∇ f ,∇ f 〉.

Integrando esta última identidade, temos,

∫M

div( f (∇∆ f +R∇ f ))dVg =∫

M〈∇ f ,∇∆ f 〉dVg +

∫M

R〈∇ f ,∇ f 〉dVg. (2-45)

Sendo Mn compacta (∂M = 0), usando o Teorema do divergente, temos

∫M

div( f (∇∆ f +R∇ f ))dVg =∫

∂M〈 f (∇∆ f +R∇ f ,v〉dA = 0. (2-46)

Agora pela identidade de Green, temos

∫M〈∇ f ,∇∆ f 〉dVg =−

∫M(∆ f )2dVg. (2-47)


Assim, substituindo (2-46) e (2-47) em (2-45),

∫M

R|∇ f |2dVg =∫

M(∆ f )2dVg. (2-48)

Do fato de R ≤ 0 e por (2-48), concluímos que ∆ f = 0, assim pelo Teorema (1.66) temos

que f é constante, portanto, a superfície é trivial. �

Teorema 2.14 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton compacto localmente

conformemente flat. Se dVg denota o volume Riemanniano de Mn e

−

∫M

R∆λe− f dVg ≥ n(n−1)∫

M|∇λ|2e− f dVg, (2-49)

então Mn é isométrica à esfera euclidiana Sn.

Demonstração. Do fato de (Mn,g,∇ f ,λ) ser localmente conformemente flat, temos que

o tensor de Weyl (Wi jkl = 0) é nulo e, consequentemente, temos que o tensor de cotton

(Ci jk = 0) também se anula, daí por (1-8) obtemos,

∇iR jk −∇ jRik =1

2(n−1)(g jk∇iR−gik∇ jR).

Daí,

|∇iR jk −∇ jRik|2 =

14(n−1)2 |(g jk∇iR−gik∇ jR)|

2. (2-50)

Seja Ti jk = g jk∇iR−gik∇ jR, assim, por (1-4) temos |T |2 = Ti jkT i jk. Tomando uma base

ortonormal,

|T |2 = (δ jk∇iR−δik∇ jR)(δ jp∇tR −δt p∇ jR)δti δpk

= ∇iR ∇tR δ jk δ jp δti δpk −∇iR ∇ jR δ jk δt p δti δpk

−∇ jR ∇tR δik δ jp δti δpk +∇ jR ∇ jR δik δt p δti δpk

= ∇iR ∇tR δ jk δ jk δti δkk −∇iR ∇ jR δ jk δtk δti δkk

−∇ jR ∇tR δik δ jk δti δkk +∇ jR ∇ jR δik δtk δti δkk

= ∇iR ∇ jR δ ji (δ j j)3 −∇iR ∇ jR δ jk δ jk δ ji δkk

−∇ jR ∇tR δ jk δtk (δkk)2 +∇ jR ∇ jR δik δik (δkk)

2

= ∇ jR ∇ jR δ j j (δkk)3 −∇iR ∇ jR δ ji (δ j j)

3

−∇ jR ∇ jR (δ j j)4 +∇ jR ∇ jR (δkk)

4.


Assim,

|T |2 = n∇ jR ∇ jR−∇ jR ∇ jR (δ j j)4 −∇ jR ∇ jR (δ j j)

4

+n∇ jR ∇ jR

= 2n∇ jR ∇ jR−2∇ jR ∇ jR

= 2(n−1)∇ jR ∇ jR

= 2(n−1)|∇R|2.

Logo,

|∇iR jk −∇ jRik|2 = 2(n−1)|∇R|2. (2-51)

Portanto,

|divRm|2 =|∇R|2

2(n−1)(2-52)

Por outro lado, comparando a equação (2-49) com o Lema (2.10) obtemos a seguinte

desigualdade ∫M|divRm|2e− f dVg ≥

∫M|∇Ricg|

2e− f dVg. (2-53)

Além disso, pelo desigualdade de Cauchy-Schwarz temos |∇Ricg|2 ≥

|∇R|2

n, o que nos

permite deduzir juntamente com (2-52) e (2-53) a seguinte desigualdade

12(n−1)

∫M|∇R|2e− f dVg ≥

1n

∫M|∇R|2e− f dVg.

Logo,

−n+2n(2n−2)

∫M|∇R|2e− f dVg ≥ 0.

Observe que −n+2n(2n−2) ≤ 0, daí,

0 ≤−n+2

n(2n−2)

∫M|∇R|2e− f dVg ≤ 0,

donde segue que R é constante. Portanto, aplicando o Corolário (2.12) concluímos que

Mn é isométrico à esfera euclidiana Sn, finalizando a prova. �

Como consequência deste teorema obtemos o seguinte corolário.

Corolário 2.15 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton compacto satisfa-

zendo a condição (2-49). Se Y é um campo de Killing, então, ou DY f é constante ou Mn


é isométrico à esfera euclidiana Sn.

Demonstração. Do fato de Y ser um campo de Killing, temos que LY g = 0. Levando em

conta que o fluxo associado a Y gera isometrias, temos também LY Ricg = 0. Portanto,

deduzimos que

HessLY f = LY Hess f .

Por (2-1) temos,

LY Hess f = LY λg.

Assim,

HessLY f = LY Hess f = LY λg.

Tomando a traço de HessLY f = LY λg temos,

∆LY f = nLY λ.

Isso implica que,

HessLY f =∆LY f

ng.

Note que estamos nas condições para aplicar o Teorema (1.62), assim temos que, ou DY f

é trivial ou Mn é conformemente equivalente à esfera euclidiana Sn. Portanto, concluímos

que Mn é localmente conformemente flat. Como estamos supondo que vale (2-49), apli-

camos o Teorema (2.14) para concluir a prova do corolário. �

Referências Bibliográficas

[1] BARROS, A; BATISTA, R; RIBEIRO, JR., E. Rigidity of gradient almost Ricci

solitons. Illinois J. Math., 56(4):1267–1279, 2012.

[2] BARROS, A; BATISTA, R; RIBEIRO, JR., E. Compact almost Ricci solitons with

constant scalar curvature are gradient. Monatsh. Math., 174(1):29–39, 2014.

[3] BARROS, A; RIBEIRO, JR., E. Some characterizations for compact almost Ricci

solitons. Proc. Amer. Math. Soc., 140(3):1033–1040, 2012.

[4] BARROS, A; GOMES, J. N; RIBEIRO, JR., E. A note on rigidity of the almost Ricci

soliton. Arch. Math. (Basel), 100(5):481–490, 2013.

[5] BENEDITO, L. N. Soliton de ricci shrinking em vareidades riemannianas com-

peltas. Universidade Federal do Goiás- Instituto de Matemática e Estatística (Disser-

tação de Mestrado), 2011.

[6] CAO, X. Compact gradient shrinking Ricci solitons with positive curvature

operator. J. Geom. Anal., 17(3):425–433, 2007.

[7] DO CARMO, M; RIEMANNIANA, G. Impa (projeto euclides), 3a. ediçao. Rio de

Janeiro, 1, 2005.

[8] EVANS, L. C. Partial differential equations, volume 19 de Graduate Studies in

Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, second edition, 2010.

[9] FERREIRA, I. M. Variedades quasi-einstein localmente conformemente planas.

Universidade Federal do Goiás- Instituto de Matemática e Estatística (Dissertação de

Mestrado), 2016.

[10] GALLOT, S; HULIN, D; LAFONTAINE, J. Riemannian geometry. Universitext.

Springer-Verlag, Berlin, 1987.

[11] HAMILTON, R. S. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential

Geom., 17(2):255–306, 1982.

Referências Bibliográficas 62

[12] HAMILTON, R. S. The ricci flow on surfaces. In: MATHEMATICS AND GENERAL

RELATIVITY (SANTA CRUZ, CA, 1986), volume 71 de Contemp. Math., p. 237–262.

Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988.

[13] LEE, J. M. Introduction to smooth manifolds, volume 218 de Graduate Texts in

Mathematics. Springer, New York, second edition, 2013.

[14] PIGOLA, S; RIGOLI, M; RIMOLDI, M; SETTI, A. G. Ricci almost solitons. Ann. Sc.

Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 10(4):757–799, 2011.

[15] SAMPAIO, V. B. J. Sobre sólitons de ricci gradiente localmente conformemente

planos. Universidade Federal do BrasÃlia- Instituto de CiÃancias Exatas (Disserta-

ção de Mestrado), 2014.

[16] TASHIRO, Y. Complete Riemannian manifolds and some vector fields. Trans.

Amer. Math. Soc., 117:251–275, 1965.

[17] YANO, K. Integral formulas in Riemannian geometry. Pure and Applied Mathe-

matics, No. 1. Marcel Dekker, Inc., New York, 1970.

[18] YANO, K; OBATA, M. Conformal changes of Riemannian metrics. J. Differential

Geometry, 4:53–72, 1970.

[19] ZENG, F.-Q; MA, B.-Q. The classification of gradient Ricci almost solitons. J.

Math. (Wuhan), 34(2):251–258, 2014.

sobre rigidez de gradiente quase ricci soliton

Documents