derivadas direcionais e o gradiente de uma função
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Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Funo (Parte 1)
Seja uma funo definida numa regio do espao tridimensional. Por exemplo, a temperatura de uma sala pode ser representada pela funo posio. ou , onde o vetor
Seja um ponto dessa regio. Com que taxa, numa direo especfica?
varia quando partimos de
Observe que nas direes dos eixos so dadas pelas derivadas parciais
,
e
sabemos que as taxas de variao de
Mas como calcular a taxa de variao de
se partimos de ?
numa direo que
no a de nenhum eixo coordenado? Se partimos de que teremos a mxima e a mnima taxa de variao de
, quais as direes em
A procura das respostas para estas perguntas nos leva aos conceitos de derivada direcional e gradiente de uma funo. Veremos inicialmente a derivada direcional de funes de duas variveis. Para isso, sejam a funo ponto , diferencivel numa regio e o
. Alm disso, considere no plano
uma direo orientada
dada
pelo
vetor
unitrio , prximo de
.
Tomemos
o
ponto
tal que o vetor
tenha a mesma
direo e sentido do vetor conforme
. Deste modo, a
o vetor unitrio do vetor figura abaixo.
O acrscimo da funo
, quando passamos de
para
,
onde
e
quando
. Dividindo
por
, temos
Do tringulo retngulo
,
Substituindo estes valores em
, segue que
Assim,
O limite no ponto
quando existir e for finito chamado derivada direcional da funo , na direo do vetor e indicaremos pelo smbolo . Logo,
,
Exemplo 1: Determine a derivada direcional de na direo do vetor .
no ponto
Resoluo: Note que , segue que
, de modo que . Por outro lado,
e sendo
Logo,
Exerccio: Determine a derivada direcional de na direo de com o eixo .
no ponto
No prximo post, veremos a derivada direcional de funes de trs variveis. Mas para isto, precisamos dos conceitos de ngulos e cossenos diretores.
Seja o vetor
no-nulo, conforme a figura abaixo:
Definio 1: Chama-se ngulos diretores de e que o vetor respectivamente. forma com os vetores ,
, os ngulos e
,
Definio 2: Chama-se cossenos diretores de ngulos , e .
os cossenos dos
Da definio de ngulos diretores, temos
Analogamente,
Uma propriedade interessante sobre os cossenos diretores de um vetor dada pela proposio.
Proposio 1: Se , ento
,
e
so os ngulos diretores do vetor
Demonstrao: De fato,
Exemplo 2: Se
,
e
so os ngulos diretores de um vetor, determine
.
Resoluo: Segue da Prop. 1 que
donde segue que
.
Exemplo 3: Calcule os cossenos diretores do vetor
.
Resoluo: Sendo
segue que
,
e
.
Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Funo (Parte 2)
derivada direcional para funes de derivada direcional. Definio 1: Sejam a funo ponto vetor unitrio no ponto e na direo de
Neste post, veremos a definio da variveis independentes e o mximo da
, diferencivel numa regio
, o
e a direo orientada no espao definida por:
, definida pelo
. A derivada direcional da funo
Exemplo 1: Seja dada a funo direcional Resoluo: no ponto Sendo e na direo do vetor , . As derivadas parciais de
. Achar a derivada . ento so dadas por ,
, segue que
e
Mximo da Derivada Direcional Para funes de duas variveis, vimos que a derivada direcional no ponto dada por:
Para cada vetor , temos um nico valor para derivda direcional uma funo da varivel , ou seja,
. Assim, a
Se houver uma direo em que a direo direcional tem um valor mximo, este valor chamado gradiente de em . Geometricamente, o gradiente a inclinao da tangente de maior declividade que pode ser traada no ponto . Para achar essa direo, fazemos , ou seja,
Dependendo dos sinais das derivadas parciais de e e quadrantes ou e
, o ngulo
um ngulo do
quadrantes. Da expresso
, segue que
Substituindo essas expresses em
e simplificando, obtemos
ou seja, o gradiente de componentes so Definio 2: Seja que por e e
em
o mdulo de um vetor cujas . Isto sugere a seguinte definio: . Admitindo definido
definida e contnua na regio existam, o vetor gradiente da funo no ponto
cujas coordenadas so as derivadas parciais de chamado gradiente da funo no ponto . Observaes: 1) Pela definio acima segue que aponta na direo e sentido em que 2) O gradiente de funes de , ento
ordem calculadas em
,
. Logo, o vetor gradiente possui o maior crescimento. definido de maneira anloga, ou seja, se
Definio 3: Chama-se operador diferencial vetorial ou operador nabla, denotado por ou , o vetor definido por:
Este vetor possui propriedades anlogas s dos vetores comuns e simplifica bastante ao vetor gradiente definido acima, isto ,
Teorema 1: A derivada direcional componente escalar do
em qualquer direo dada a
naquela direo, ou seja,
onde
o ngulo entre os vetores
e
, sendo
um vetor unitrio dado. e o ponto
Demonstrao: Sejam . Assim,
diferencivel numa regio
Exerccios Propostos: 1) Nos exerccios abaixo, determine as derivadas direcionais das funes dadas nos pontos dados e nas direes indicadas. a) do vetor . 2) Calcule o vetor gradiente das ; b) funes abaixo nos pontos em dados: . a) ; b) em em na direo na direo do vetor
em 3) Mostre que a) b) c) d) . ; ; ;
4) A temperatura dada por
de uma placa circular aquecida, em qualquer dos seus pontos
estando a origem no centro da placa. No ponto a) A taxa de variao de b) . na direo ;
determine:
Gostar de ler tambm: - Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Funo (Parte 1); - Sobre o Produto Escalar; - Diferentes Maneiras de Calcular a Derivada da Potncia Ensima de x . Postado por Prof. Paulo Srgio s 12.10.10