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13 fevereiro 2012

Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de umnúmero real

Exercícios 1.3

1. Elimine o módulo:Dica:-Definição de módulo:

- Propriedades úteis:

i) |x| ≥ 0ii) |x|² = x²

- Estudo do sinal de expressões na forma ax² - c:a) Encontrar as raízes x1 e x2 da equação:

ax² - c = 0ax² = cx² = c/ax = ± √c/a

Portanto a equação terá duas raízes inteiras de mesmo módulo e sinais diferentes.Assim, x1= √c/a e x2= - √c/a.

b) Graficamente:

Se a > 0 :

( Supondo x1 < x2 )

Se a < 0:

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( Supondo x1 < x2 )

- Estudo do de expressões na forma ax + b:

a) |-5| + |-2|Solução:Pela definição de módulo, temos:|-5| = -(-5) = 5 , sendo -5 <0|-2| = -(-2) = 2, sendo -2 < 0Assim,|-5| + |-2| = 5 + 2 = 7

b) |-5 + 8|Solução:Temos que :|-5+8|=|3|Pela definição de módulo:|3| = 3 , pois 3 > 0

c) |-a|, a > 0Solução:Se a > 0, logo –a < 0, portanto pela definição de módulos, temos:|-a| = - (-a) = a , pois -a < 0

c) |a|, a < 0Solução: Pela definição de módulo, temos:|a| = -a , pois a < 0

d) |-a|Solução: Pela definição de módulo, temos:

e) |2a| - |3a|Solução:Pela definição de módulo, temos:

e

Assim,

-Se a ≥ 0:|2a| - |3a| = 2a - 3a = -a

-Se a < 0:|2a| - |3a| = -2a - (-3a) = -2a + 3a = a

Portanto,

2. Resolva as equações.


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a) |x|= 2 Solução:Pela definição de módulo, temos:

b) |x+1|=3Solução:Pela definição de módulo, temos:

c) |2x-1|=1Solução:Pela definição de módulo, temos:

d) |x-2|=-1Solução:Não adimite solução pois |z| ≥ 0, para qualquer z, portanto |x-2| = -1 < 0 não é válido.

e) |2x+3|=0Solução:Pela definição de módulo, temos:

f) |x|=2x+1Solução:Pela definição de módulo, temos:

Substituindo:

|x|= 2.(-1) + 1 = -2 + 1 = -2 < 0

|x|= 2. + 1 = + 1 = = > 0

Observe que se x = -1, o módulo resulta em um número negativo, portanto não é válido.

Assim |x| = 2x+1 , somente para .

3. Resolva as inequações.Dica :- Definição de módulo:

- Propriedades úteis:

i) |x| ≥ 0ii) |x|² = x²


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a) |x|≤ 1Solução:|x|² ≤ 1²x² ≤ 1x² - 1 ≤ 0

Estudando o sinal de x² - 1:- Determinar as raízes da equação:x² - 1 = 0x² = 1x = ± √1x = ± 1

As raízes são : 1 e -1

-Graficamente:

Portanto |x| ≤ 1 ⇔ x² - 1 ≤ 0 , para -1 ≤ x ≤ 1

b) |2x-1|< 3Solução:|2x-1|² ≤ 3²(2x-1)² ≤ 94x² -4x +1 ≤ 94x² -4x +1-9 ≤ 04x² -4x -8 ≤ 0

Estudando o sinal de 4x² -4x -8:- Determinar as raízes da equação:4x² -4x -8 = 0Dividindo todos os membros por 4, temos:

4x² -4x -8 = 0 ⇔ x² - x – 2 =0

Usando a Fórmula de Bkaskara, temos:

Δ = (-1)²-4.1.(-2)Δ = 1+8Δ = 9

Logo, as raízes da equação são : 2 e -1.

-Graficamente:

Portanto, |2x-1|< 3 ⇔ x² - x – 2 < 0 , para -1 < x < 2.

c) |3x-1| < -2Solução:Por (i) temos que |3x - 1| ≥ 0 para todo x, logo |3x-1| < -2 não está definido.

d) |3x-1|<

Solução:|3x-1|² <

(3x-1)² <


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9x² -6x +1 <

9x² -6x +1 - < 0

9x² -6x + < 0

9x² -6x + < 0

Estudando o sinal de 9x² -6x + :

- Determinar as raízes da equação:

9x² -6x + = 0


Δ = (-6)²-4.9.

Δ = 36 - 32Δ = 4

Logo, as raízes da equação são : e .

-Graficamente:

Portanto|3x-1|< ⇔ 9x² -6x + < 0 , para < x < .

e) |2x²- 1| < 1Solução:|2x²- 1|² < 1²(2x²- 1)² < 1

4x4 -4x² + 1 < 1

4x4 -4x² + 1-1 < 0

4x4 -4x² < 0

Estudando o sinal de 4x4 -4x²:- Iremos fatorar a equação para encontrar as raízes:

4x4 -4x² = 4x² .(x² - 1) - (fatoração por evidência) - Veja em Fatoração de Polinômios.

Estudo do sinal de 4x²:- Determinar as raízes da equação:4x² = 0x² = 0x = 0

Logo, as raízes de 4x² são 0.

-Graficamente:

Estudo do sinal de x² - 1:- Determinar as raízes da equação:x² - 1 = 0x² = 1x = ± √1x = ± 1

Logo, as raízes de x² - 1 são : 1 e -1.

-Graficamente:


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Portanto, 4x4 -4x² = 4x² .(x - 1)(x+1) e suas raízes são 0, 1 e -1.

Graficamente:

Portanto, |2x²- 1| < 1 ⇔ 4x4 -4x² < 0 ⇔ 4x² .(x² - 1) < 0 , para -1 < x < 1, x ≠ 0 , pois 4x².(x² - 1) = 0 , se x = 0.

f) |x-3| < 4Solução:|x-3|² < 4²(x-3)² < 16x² -6x +9 < 16x² -6x +9 -16 <0x² -6x -7 <0

Estudando o sinal de x² -6x -7:- Determinar as raízes da equação:x² -6x -7 = 0


Δ =(-6)²-4.1.(-7)Δ = 36+28Δ = 64


-Graficamente:

Portanto, |x-3| < 4 ⇔ x² -6x -7 <0 , para -1 < x < 7.

g) |x| > 3Solução:|x|² > 3²x² >9x² - 9 >0

Estudando o sinal de x² - 9:- Determinar as raízes da equação:x² - 9 = 0x² = 9x = ± √9x = ± 3


-Graficamente:


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Portanto, |x| > 3 ⇔ x² - 9 >0 , para x < -3 ou x > 3.

h) |x + 3| > 1Solução:|x + 3|² > 1²(x + 3)² > 1x² +6x +9 > 1x² +6x +9 -1>0x² +6x +8>0

Estudando o sinal de x² +6x +8:- Determinar as raízes da equação:x² +6x +8 = 0


Δ = 6²-4.1.8Δ = 36-32Δ = 4

Logo, as raízes da equação são : -2 e -4.

-Graficamente:

Portanto, |x + 3| > 1 ⇔ x² +6x +8 >0 , para x < -4 ou x > -2.

i) |2x – 3| > 3Solução:|2x – 3|² > 3²(2x – 3)² > 94x² -12x +9 > 94x² -12x +9 -9 >04x² -12x >0

Estudando o sinal de 4x² -12x:- Iremos fatorar a equação para encontrar as raízes:4x² -12x = 4x.(x-3) - (fatoração por evidência) - Veja em Fatoração de Polinômios.

Sabemos que : ax² + bx +c = a.(x - x1)(x - x

2), logo 4x² -12x = 4.(x-0)(x-3), portanto suas

raízes são 0 e 3.

-Graficamente:

Portanto, |2x – 3| > 3 ⇔ 4x² -12x >0 , para x < 0 ou x > 3.

j) |2x – 1| < xSolução:|2x – 1|² < x²(2x – 1)² < x²4x² -4x + 1 < x²


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4x² -4x + 1 -x² <03x² -4x + 1 <0

Estudando o sinal de 3x² -4x + 1:- Determinar as raízes da equação:3x² -4x + 1 = 0


Δ =(-4)²-4.3.1Δ = 16-12Δ = 4

Logo, as raízes da equação são : 1 e .

-Graficamente:

Portanto,|2x – 1| < x ⇔ 3x² -4x + 1 <0 , para < x < 1.

l) |x + 1| <|2x – 1|Solução:|x + 1|² <|2x – 1|²(x + 1)² <(2x – 1)²x² + 2x + 1 < 4x² -4x + 1x² -4x² + 2x + 4x + 1-1 < 0-3x² +6x <0

Estudando o sinal de -3x² +6x:- Iremos fatorar a equação para encontrar as raízes:-3x² +6x = -3x.(x-2) - (fatoração por evidência) - Veja em Fatoração de Polinômios.

Sabemos que : ax² + bx +c = a.(x - x1)(x - x

2), logo -3x² +6x = -3.(x-0)(x-2), portanto suas

raízes são 0 e 2.

-Graficamente (a < 0):

Portanto,|x + 1| <|2x – 1| ⇔ -3x² +6x <0 , x < 0 ou x > 2.

m) |x – 1| - |x + 2| > xSolução:Pela definição de módulo, temos:

e

Graficamente:


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- Se x < -2|x-1| = -x+1|x+2| = -x-2

Assim:|x-1|-|x+2| > x-x+1- (-x-2) > x-x +1 +x + 2 > x3 > x ou x < 3

-Intersecção de x < -2 e x < 3 ,sendo A = x < -2 e B= x< 3

Portanto a desigualdade é válida para todo x < -2.

- Se -2 ≤ x < 1|x-1| = -x+1|x+2| = x+2

Assim:|x-1|-|x+2| > x-x+1- (x+2) > x-x +1 -x - 2 > x-2x-1 > x-2x-x >1-3x >13x < -1 *

x <

-Intersecção de-2 ≤ x ≤ 1 e x < ,sendo A = -2 ≤ x ≤ 1 e B= x <

Portanto a desigualdade é válida para todo -2 ≤ x < .

-Se x ≥ 1|x-1| = x-1|x+2| = x+2

Assim:|x-1|-|x+2| > xx-1- (x+2) > xx -1 -x - 2 > x-3 > x ou x > -3

-Intersecção de x ≥ 1 e x > -3,sendo A = x ≥ 1 e B= x > -3.

Portanto a desigualdade não é valida nesse intervalo pois não há intersecção.

Para saber para quais valores de x a inequação é válida, basta fazer a união dosintervalos em que a desigualdade é válida.

-União de A e B , sendo A = x < -2 e B= -2 ≤x <


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Portanto, |x – 1| - |x + 2| > x , para x <

n) |x – 3| < x + 1Solução:|x – 3|² < (x+1)²(x – 3)² < (x+1)²x² -6x +9 < x² +2x +1x² -6x - x² - 2x < 1 - 9-8x < -8 *8x > 8

x >

x > 1

Portanto,|x – 3| < x + 1 , para x >1.

o) |x – 2| + |x – 1| > 1Solução:Pela definição de módulo, temos:

e

Graficamente:

- Se x < 1|x-2| = -x+2|x-1| = -x+1

Assim:|x – 2| + |x – 1| > 1-x + 2 -x +1 > 1-2x + 3 > 1-2x > 1-3-2x > -22x < 2 *

x <

x < 1

Portanto a desigualdade é válida para todo x < 1.

- Se 1≤ x < 2|x-2| = -x+2|x-1| = x-1

Assim:|x – 2| + |x – 1| > 1-x + 2 + x -1 > 11 > 1

Observe que chegamos em um absurdo (1 > 1), portanto a desigualdade não é válidanesse intervalo.

-Se x ≥ 1


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|x-2| = x-2|x-1| = x-1

Assim:|x – 2| + |x – 1| > 1x - 2 + x -1 > 12x - 3 > 12x > 1+32x > 4

x >

x > 2

Portanto a desigualdade é válida para todo x < 2.

Para saber para quais valores de x a inequação é válida, basta fazer a união dosintervalos em que a desigualdade é válida.

-União de A e B , sendo A = x < 1 e B= x > 2

Portanto, |x – 2| + |x – 1| > 1 , para x < 1 ou x > 2.

4. Suponha r > 0. Prove:|x| > r ⇔ x < -r ou x > r

Solução:|x|² > r²x² > r²x² - r² > 0

Graficamente:

Portanto, x² - r² > 0 ⇔ |x| > r para x < -r e x > r.

5. Elimine o módulo.

a) | x + 1| + |x|Solução:Pela definição de módulo, temos:

e

Graficamente:

- Se x < -1|x+1| = -x-1|x| = -x

Assim:| x + 1| + |x| = -x-1-x = -2x-1

- Se -1 ≤ x < 0|x+1| = x + 1


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|x| = -x

Assim:| x + 1| + |x| = x+1-x = 1

- Se x ≥ 0|x+1| = x + 1|x| = x

Assim:| x + 1| + |x| = x+1+x = 2x + 1

Portanto ,

b) |x – 2| - |x + 1|Solução:Pela definição de módulo, temos:

e

Graficamente:

- Se x < -1|x-2| = -x+2|x+1| = -x-1

Assim:|x – 2| - |x + 1| = -x+2 -(-x-1) = -x + 2 + x + 1= 3

- Se -1 ≤ x < 2|x-2| = -x+2|x+1| = x+1

Assim:|x – 2| - |x + 1| = -x+2 -(x+1) = -x + 2 - x - 1= -2x+1

- Se x ≥ 0|x-2| = x-2|x+1| = x+1

Assim:|x – 2| - |x + 1| = x-2 -(x+1) = x - 2 - x - 1= -3

Portanto ,

c) |2x – 1| + |x -2| Solução:Pela definição de módulo, temos:

e


12 of 17 01/08/2013 12:41

Graficamente:

- Se x <

|2x-1| = -2x+1|x-2| = -x+2

Assim:|2x – 1| + |x -2| = -2x+1-x+2 = -3x + 3

- Se ≤ x < 2

|2x-1| = 2x-1|x-2| = -x+2

Assim:|2x – 1| + |x -2| = 2x-1-x+2 = x + 1

- Se x ≥ 2|2x-1| = 2x-1|x-2| = x-2

Assim:|2x – 1| + |x -2| = 2x-1+ x-2 = 3x -3

Portanto ,

e) |x|+|x - 1|+|x - 2|Solução:Pela definição de módulo, temos:

e

e

Graficamente:

- Se x < 0|x| = -x|x-1| = -x+1|x-2|= -x+2

Assim:


13 of 17 01/08/2013 12:41

|x|+|x - 1|+|x - 2| = -x -x +1 -x + 2= -3x + 3

- Se 0 ≤x <1|x| = x|x-1| = -x+1|x-2|= -x+2

Assim:|x|+|x - 1|+|x - 2| = x -x +1 -x + 2= -x + 3

- Se 1 ≤x <2|x| = x|x-1| = x-1|x-2|= -x+2

Assim:|x|+|x - 1|+|x - 2| = x + x -1 -x + 2= x + 1

- Se x ≥ 2|x| = x|x-1| = x-1|x-2|= x-2

Assim:|x|+|x - 1|+|x - 2| = x + x -1 + x - 2 = 3x -3

Portanto ,

6. Prove: |x + y| = |x| + |y| ⇔ xy ≥ 0Solução:De acordo com a definição de módulo, temos:

e

e

Sabemos que xy ≥ 0 , portanto nos deparamos com 5 casos :

Caso 1: Se x e y > 0 , temos xy > 0 e x + y > 0, assim:|x + y | = x + y = | x | + | y |

Caso 2: Se x e y < 0, temos xy > 0 e x + y < 0, assim: |x + y| = -(x + y) = -x-y = (-x) + (-y) = | x | + | y |

Caso 3: Se x = 0 , temos xy = 0

i ) se y > 0, temos x + y > 0, assim:|x+y| = x+y = | x |+| y |

ii) se y < 0, temos x + y < 0, assim:|x + y| = -(x + y) = -x-y = (-x) + (-y) = | x | + | y |

Caso 4: Se y = 0 , temos xy = 0

i ) se x > 0, temos x + y > 0, assim:|x+y| = x+y = | x |+| y |

ii) se x < 0, temos x + y < 0, assim:


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|x + y| = -(x + y) = -x-y = (-x) + (-y) = | x | + | y |

Caso 5: Se x = 0 e y =0, temos xy = 0 e x + y = 0, assim:|x + y| = x + y = | x |+| y |

Portanto, |x + y| = |x| + |y| ⇔ xy ≥ 0, para todo x e y.

7. Prove:Dica :-Propriedades úteis:i) | x | ≥ 0ii ) |x| ² = x²iii) |xy| = |x||y|

a) | x – y| ≥ |x| - |y|Solução :Elevando ambos os membros da desigualdade ao quadrado, temos:

| x - y |² ≥ (|x| - |y|)²( x - y )² ≥ (|x| - |y|)²x² - 2xy + y² ≥ |x|² - 2|x||y| + |y|²x² - 2xy + y² ≥ x² - 2|x||y| + y²x² -x² - 2xy + y² -y² ≥ - 2|x||y|- 2xy ≥ - 2|x||y|

Sendo |x||y| = |x.y| e |xy| ≥ 0,de acordo com as propriedades (iii) e (i), temos que-2|x||y| ≤ 0, para qualquer x e y, logo - 2xy ≥ - 2|x||y| .

b) |x – y| ≥ |y| - |x|Solução:Elevando ambos os membros da desigualdade ao quadrado, temos:

| x - y |² ≥ (|y| - |x|)²( x - y )² ≥ (|y| - |x|)²x² - 2xy + y² ≥ |y|² - 2|y||x| + |x|²x² - 2xy + y² ≥ y² - 2|y||x| + x²x² -x² - 2xy + y² -y² ≥ - 2|y||x|- 2xy ≥ - 2|y||x|

Sendo |y||x| = |y.x| e |yx| ≥ 0,de acordo com as propriedades (iii) e (i), temos que-2y||x| ≤ 0, para qualquer x e y, logo - 2xy ≥ - 2|y||x|.

c) ||x|-|y|| ≤ |x - y|Solução:Elevando ambos os membros da desigualdade ao quadrado, temos:

||x|-|y||² ≤ |x - y|²(|x|-|y|)² ≤ (x - y)²|x|² - 2|x||y| + |y|² ≤ x² -2xy + y²x² - 2|x||y| + y² ≤ x² -2xy + y²x² -x² - 2|x||y|+ y² -y² ≤ -2xy- 2|x||y| ≤ -2xy

Sendo |y||x| = |y.x| e |yx| ≥ 0,de acordo com as propriedades (iii) e (i), temos que-2|x||y| ≤ 0, para qualquer x e y, logo - 2|x||y| ≤ -2xy .

_____________________________________________________________________Formula de Bhaskara : é a nome que se dá a fórmula usada na resolução de equaçõesdo segundo grau.

Δ = b² - 4ac e


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às 10:05

* Ao multiplicarmos ambos os lados por um número negativo o sinal de desigualdade seinvertee. Veja:- 3x < 5-3x (-1) < 5 (-1)3x > -5

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6 comentários:

Manoel Villarins 4 de maio de 2012 06:42

muito bom este seu blog espero que der continuidade a esta resoluçãoque vem salvando alunos desesperados como eu :)

Responder

Priscila Alves 5 de maio de 2012 20:02

obrigada Manoel.! que bom que está ajudando.!continuarei sim, é que agora está tudo meio corrido mascontinuarei assim que puder.!=D

Denis 27 de setembro de 2012 17:39

caramba, muito obrigado mesmo!rs

Responder

thpp 27 de dezembro de 2012 15:16

nossa por favor estou precisando urgentimente da resolução dosexercicios de função... vc poderia me ajudar

Responder

Priscila Alves 27 de dezembro de 2012 15:19

Ola thpp, eu não tenho os exercícios resolvidos, mas me mandeos que você não conseguir fazer que eu te ajudo.

email: [email protected]

thpp 29 de dezembro de 2012 08:52

eu ja te mandei o email..Mto obrigado pela atenção, e por ter me respondido..


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