triângulos e suas medidas trigonometria - · pdf fileresumos matematik setembro 2015...

Resumos Matematik

Setembro 2015

Todos os direitos reservados

Triângulos e suas medidas

Trigonometria

Não é um manual escolar.

Não dispensa a consulta de um manual escolar.

Recomendamos a presença nas aulas e o

aconselhamento com um professor.

Triângulos e suas medidas - Trigonometria

www.matematik.pt Pág 2 de 16

Resumos Matematik


Pág.

Triângulos………………............................................................................................................. 3

Classificação de Triângulos …………….……..…………………............……………...……. 3

Resolução de equações trigonométricas……………………............…………..…...…… 3

Quanto aos ângulos …..………………………………..……………………..……………….. 3

Quanto aos lados………………………………… ………………..…..…………………….. 4

O Triângulo Rectângulo ………………..………..………………………………………………………. 4

O Teorema de Pitágoras …………………………………..…………………………………………….. 7

As medidas do Triângulo – Trigonometria……………………………………………….. 9

As razões trigonométricas…………………………………………………………..... 9

Valores das razões trigonométricas de ângulos fundamentais………… 14

Relações entre as razões trigonométricas…………………………………….... 14

Apêndice…………………………………………...…………………………………………………… 16

Formulário………………………………………………………………………………...... 16



Triângulos

Há várias definições de triângulos. O triângulo, tal como o seu nome indica, é uma figura

geométrica com três ângulos. Há quem defina triângulo como uma figura geométrica com

três lados, mas não é por acaso que o nome não é trilátero, mas sim triângulo.

Isto não é um triângulo Isto é um triângulo!

O estudo dos triângulos ocupou muitos sábios durante muitos anos. Existem escritos sobre

triângulos com mais de 2300 anos!

Muito provavelmente este interesse pelos triângulos resultou da necessidade de medir

perímetros e áreas de propriedades agrícolas. Pode não parecer, mas ainda hoje estas

disputas fazem muita gente perder a cabeça… Mas vamos ao que interessa.

Classificação de Triângulos

Há duas classificações de triângulos:

1. Quanto aos ângulos

Triângulo acutângulo Triângulo rectângulo Triângulo obtusângulo

Todos os ângulos são agudos, isto é, têm mais de 0˚ e menos

de 90˚

Tem um ângulo recto, isto é, tem um ângulo com 90˚

α=90˚

Tem um ângulo obtuso, isto é, tem um ângulo com mais de 90˚ e

menos de 180˚

90˚<α<180˚



2. Quanto aos lados

Triângulo equilátero

Triângulo isósceles

Triângulo escaleno

Todos os lados iguais Dois lados iguais Todos os lados diferentes

As duas classificações são independentes. Por exemplo, podemos ter um triângulo

rectângulo isósceles, e também podemos ter um triângulo rectângulo escaleno (como nesta

última figura).

O Triângulo Rectângulo

Este é o mais famoso de todos os triângulos. E porquê? Porque qualquer triângulo pode

sempre ser dividido em, pelo menos, dois triângulos rectângulos. Assim, se soubermos como

calcular o perímetro de triângulos rectângulos, sabemos certamente como resolver o

mesmo género de problemas com quaisquer outros triângulos.

Um triângulo acutângulo Dividido em dois Dois triângulos rectângulos

Um triângulo obtusângulo Dividido em dois Dois triângulos rectângulos



Além de ser possível dividir qualquer triângulo em, pelo menos, dois triângulos rectângulos,

também é possível decompor em triângulos rectângulos a generalidade das figuras

geométricas cujos lados são segmentos de recta.

Alguns exemplos:

Um hexágono (seis lados) Dividido em seis triângulos Cada um deles dividido em dois triângulos rectângulos

Um trapézio isósceles Dividido em três partes Dois triângulos rectângulos

(e um quadrilátero)

O triângulo rectângulo é tão famoso que os seus lados têm nomes próprios. Convém saber!

Os catetos são os lados do ângulo de 90˚. O outro lado do triângulo é a hipotenusa. A

hipotenusa é sempre o maior dos três lados.

Os nomes dos catetos dependem do ângulo agudo que estamos a considerar.

hipotenusa

cateto

cateto



Relativamente ao ângulo β, temos:

Relativamente ao ângulo θ, temos:

Como em todos os triângulos, a soma das amplitudes dos três ângulos internos é sempre

igual a 180˚.

Uma vez que existe sempre um ângulo recto, a soma das amplitudes dos dois ângulos agudos

é sempre igual a 90˚.

O prolongamento de qualquer lado gera sempre dois ângulos suplementares (ângulos

suplementares são aqueles cuja soma das amplitudes do ângulo interno com o respectivo

ângulo externo é igual a 180˚).

Isto dá um jeitão na resolução de exercícios, pois muitas vezes só temos um ângulo externo!

hipotenusacateto

oposto a

cateto adjacente a

hipotenusacateto

adjacente a

cateto oposto a

α + β + θ = 180˚

90˚ + β + θ = 180˚ ⟺ β + θ = 180˚ - 90˚ ⟺ β + θ = 90˚



θ + φ = 180˚

β + ω = 180˚

Basta saber um dos ângulos externos e ficamos a saber os ângulos internos todos!

Exemplo:

Qual a amplitude dos ângulos internos do triângulo? Resposta: θ + 120˚ = 180˚ (ângulos suplementares) θ = 180˚-120 ̊θ = 60˚ Sabendo θ, calculamos β. θ + β = 90˚ 60˚ + β = 90 ̊β = 90˚ - 60˚ β = 30˚

O Teorema de Pitágoras

Em qualquer triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é sempre igual à soma do

quadrado dos catetos.

h²= b²+ c²



Outra maneira de ver o Teorema de Pitágoras:

Se fizermos as contas, a área do rectângulo verde é igual à soma das áreas dos quadrados azul e laranja. E como se calcula a área de cada quadrado? É fácil, é só fazer a medida do lado, ao quadrado! Então, o que escrevemos na primeira frase é, em linguagem matemática, h²= b²+ c². Mas isto é o Teorema de Pitágoras! Pois é!

Para que serve o Teorema de Pitágoras?

Em primeiro lugar, serve para sermos civilizados. Os macacos não sabem o Teorema

de Pitágoras…

Em segundo lugar, serve para calcular o tamanho de qualquer um dos lados do

triângulo rectângulo, quando temos os outros dois. Para fazer esse cálculo

recorremos a uma equação, sendo que o lado em falta é a nossa incógnita.

Exemplos:

Quanto mede a hipotenusa do triângulo? O triângulo é rectângulo? Então aplicamos o Teorema de Pitágoras!

h² = 3² +4² ⟺ h² = 9 +16 ⟺ h = ±√𝟐𝟓 ⟺ 𝒉 = ±𝟓 Atendendo que ℎ > 0, pois é um comprimento, tem-se que ℎ = 5 A hipotenusa mede 5.



Quanto mede o cateto do triângulo? O triângulo é rectângulo? Então aplicamos o Teorema de Pitágoras!

5² = c² +4² ⟺ 25 - 16 = c² ⟺ c = ±√𝟗 ⟺ 𝒄 = ±𝟑 Atendendo que 𝑐 > 0, pois é um comprimento, tem-se que 𝑐 = 3 O cateto mede 3.

Quanto mede o cateto do triângulo? O triângulo é rectângulo? Então aplicamos o Teorema de Pitágoras!

5² = 3² +c² ⟺ 25 - 9 = c² ⟺ c = ±√𝟏𝟔 ⟺ 𝒄 = ±𝟒 Atendendo que 𝑐 > 0, pois é um comprimento, tem-se que 𝑐 = 4 O cateto mede 4.

As medidas do Triângulo - Trigonometria

A trigonometria nasceu com o triângulo rectângulo. Hoje aplica-se a variadíssimas áreas do

conhecimento, tanto nas matemáticas puras quanto nas matemáticas aplicadas.

A trigonometria relaciona o comprimento dos lados de um triângulo rectângulo com

qualquer um dos seus ângulos agudos.

A trigonometria permite identificar a amplitude de ângulos partindo do comprimento dos

lados, ou identificar o comprimento dos lados partindo da amplitude de qualquer um dos

ângulos agudos, tudo isto no triângulo rectângulo.

As razões trigonométricas

São seis as razões trigonométricas:

1. Seno 2. Co-seno 3. Tangente

4. Co-tangente 5. Secante 6. Co-secante



Todas estas razões trigonométricas são relativas a um determinado ângulo agudo, que

devemos identificar.

No exemplo seguinte vamos indicar como se calculam as razões trigonométricas referentes

ao ângulo β (nota: no cálculo das razões trigonométricas usamos os comprimentos dos

lados do triângulo. No exemplo apenas nos referimos aos lados, por mera simplificação de

linguagem).

Seno β Co-seno β Tangente β Co-tangente β Secante β Co-secante β

𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝒄𝒂𝒕 . 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝑐𝑜𝑠 𝛽 =

𝒄𝒂𝒕. 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄 .

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝑡𝑔 𝛽 =

𝒄𝒂𝒕. 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐

𝒄𝒂𝒕. 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄 . 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =

𝒄𝒂𝒕. 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄 .

𝒄𝒂𝒕. 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑠𝑒𝑐 𝛽 =

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

𝒄𝒂𝒕. 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄 . 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛽 =

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

𝒄𝒂𝒕. 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐

O actual programa do 11º ano de escolaridade, aprovado pelo Ministério da Educação

português, apenas refere como razões trigonométricas a estudar o seno, o co -seno e a

tangente.

Assim sendo, eis o que tem que ficar sabido:

Seno β Co-seno β Tangente β

𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝑐𝑜𝑠 𝛽 =

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝑡𝑔 𝛽 =

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

Ao contrário do tamanho dos lados de triângulos semelhantes (que variam consoante o

tamanho dos ditos triângulos), a amplitude dos ângulos mantém-se.

E para as mesmas amplitudes de ângulos temos sempre o mesmo valor das correspondentes

razões trigonométricas.

Exemplos:

hipotenusacateto

oposto a

cateto adjacente a



Em triângulos semelhantes o tamanho dos lados varia de acordo com a respectiva razão de semelhança…

… mas a amplitude dos ângulos mantém-se inalterada.

𝜶 = 𝜷

Se a amplitude dos ângulos se mantém inalterada, então também as razões trigonométricas

se mantêm inalteradas!

𝒕𝒈 𝜶 =𝟑

𝟒 𝒕𝒈 𝜷 =

𝟔

𝟖⟺ 𝒕𝒈 𝜷 =

𝟑

𝟒

𝜶 = 𝜷

Para que servem as razões trigonométricas?



Com as razões trigonométricas passamos a poder relacionar o tamanho dos lados

do triângulo rectângulo com a amplitude dos seus ângulos.

Passamos a conseguir calcular o comprimento dos lados partindo do conhecimento

da amplitude dos ângulos, ou a calcular a amplitude dos ângulos partindo do

conhecimento do comprimento dos lados.

Exemplos:

Sabendo que 𝜶 = 𝟑𝟔, 𝟖𝟕°, calcule o comprimento do cateto c. Temos a amplitude de um ângulo (𝜶), o comprimento do cateto oposto (c) e o comprimento do cateto adjacente (4). Qual a razão trigonométrica que relaciona estas três grandezas? Essa razão trigonométrica é a tangente! Então,

𝒕𝒈 𝟑𝟔, 𝟖𝟕° =𝒄

𝟒 ⟺ 𝟎, 𝟕𝟓 =

𝒄

𝟒 ⟺ 𝟒 × 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝒄 ⟺ 𝒄 = 𝟑

(o valor de 𝑡𝑔 36,87° foi aproximado às centésimas).

O cateto c mede 3.

Sabendo que 𝜶 = 𝟑𝟔, 𝟖𝟕°, calcule o comprimento da hipotenusa. Temos a amplitude de um ângulo (𝜶), o comprimento do cateto adjacente (4) e o comprimento da hipotenusa. Qual a razão trigonométrica que relaciona estas três grandezas? Essa razão trigonométrica é o co-seno. Então,

𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟔, 𝟖𝟕° =𝟒

𝒉 ⟺ 𝟎, 𝟖𝟎 =

𝟒

𝒉 ⟺ 𝒉 × 𝟎, 𝟖𝟎 = 𝟒 ⟺ 𝒉 =

𝟒

𝟎, 𝟖𝟎

⟺ 𝒉 = 𝟓 (o valor de cos 36,87° foi aproximado às centésimas). A hipotenusa mede 5.



Calcule a amplitude do ângulo 𝜶. Temos a amplitude de um ângulo (𝜶), o comprimento do

cateto oposto (√3) e o comprimento do cateto adjacente (3). Qual a razão trigonométrica que relaciona estas três grandezas? Essa razão trigonométrica é a tangente! Então,

𝒕𝒈 𝜶 =√𝟑

𝟑

Atendendo que 𝜶 é a amplitude de um ângulo agudo, tem-se que:

𝜶 = 𝒕𝒈−𝟏 (√𝟑

𝟑) ⟺ 𝜶 = 𝟑𝟎°

Portanto, 𝜶 = 𝟑𝟎°. NOTA: 𝑡𝑔−1 representa a função inversa da tangente, também chamada arco de tangente. Podemos escrever 𝑡𝑔−1 ou arc tg. Usa a máquina de calcular para fazeres estas contas. Cuidado com o sistema de medição de ângulos que está programado na tua máquina de calcular!

Calcule a amplitude do ângulo 𝜷. Temos a amplitude de um ângulo (𝜷), o comprimento do cateto

oposto (√3) e o comprimento da hipotenusa (2). Qual a razão trigonométrica que relaciona estas três grandezas? Essa razão trigonométrica é o seno! Então,

𝐬𝐞𝐧 𝜷 =√𝟑

𝟐

Atendendo que 𝜷 é a amplitude de um ângulo agudo, tem-se que:

𝜷 = 𝐬𝐞𝐧−𝟏 (√𝟑

𝟐) ⟺ 𝜷 = 𝟔𝟎°

Portanto, 𝜷 = 𝟔𝟎°. NOTA: 𝑠𝑒𝑛−1 representa a função inversa do seno, também chamada arco de seno. Podemos escrever 𝑠𝑒𝑛−1 ou arc sen. Usa a máquina de calcular para fazeres estas contas. Cuidado com o sistema de medição de ângulos que está programado na tua máquina de calcular!



Valores das razões trigonométricas de ângulos fundamentais

Sistema sexagesimal – unidade: grau 0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚

Sistema circular – unidade: radiano 0 𝝅

𝟔

𝝅

𝟒

𝝅

𝟑

𝝅

𝟐

seno 0 𝟏

𝟐

√𝟐

𝟐

√𝟑

𝟐 1

co-seno 1 √𝟑

𝟐

√𝟐

𝟐

𝟏

𝟐 0

tangente 0 √𝟑

𝟑 1 √𝟑 --

Relações entre as razões trigonométricas

Qualquer que seja o ângulo,

Esta é a fórmula fundamental da trigonometria.

Para que serve a fórmula fundamental da trigonometria? Para calcular um co-seno quando

temos um seno, ou para calcular um seno quando temos um co-seno.

Exemplo:

Calcule o valor do 𝐜𝐨𝐬 𝜶 sabendo que 𝐬𝐞𝐧 𝜶 =√𝟑

𝟐

Conhecemos o valor do seno e queremos saber o valor do co-seno. Como resolver? Aplicamos a fórmula fundamental da trigonometria!

(√3

2)

2

+ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 ⟺ 3

4+ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 ⟺ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 −

3

4 ⟺

⟺ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 =1

4 ⟺ cos 𝛼 = ±√

1

4⟺ cos 𝛼 = ±

1

2

Portanto, 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝟏

𝟐 ou 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = −

𝟏

𝟐

𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏



Qualquer que seja o ângulo,

Com esta fórmula e a fórmula fundamental da trigonometria conseguimos, sabendo uma

razão trigonométrica, calcular qualquer outra.

Exemplo:

Calcule o valor do 𝐬𝐞𝐧 𝜶 sabendo que 𝒕𝒈 𝜶 =√𝟑

𝟑

Conhecemos o valor da tangente e queremos saber o valor do seno. Como resolver? Aplicamos a fórmula da tangente, em associação com a fórmula fundamental da trigonometria!

Sabemos que 𝑡𝑔 𝛼 =𝑠𝑒𝑛 𝛼

cos 𝛼 , e que 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1. Então, para “fazer aparecer” uma

tangente na fórmula fundamental da trigonometria, vamos dividir tudo por 𝑐𝑜𝑠2𝛼!

𝑠𝑒𝑛2𝛼

𝑐𝑜𝑠2𝛼+

𝑐𝑜𝑠2𝛼

𝑐𝑜𝑠2𝛼=

1

𝑐𝑜𝑠2𝛼 ⟺ 𝒕𝒈𝟐𝜶 + 𝟏 =

𝟏

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶

A partir daqui, e com o valor da tangente, vamos calcular o valor do co-seno. Calculado o valor do co-seno, voltamos à fórmula fundamental da trigonometria e calculamos o valor do seno. Está feito!

(√3

3)

2

+ 1 =1

𝑐𝑜𝑠2𝛼⟺

1

3+ 1 =

1

𝑐𝑜𝑠2𝛼 ⟺ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 =

3

4

Agora voltamos à fórmula fundamental da trigonometria para calcular o sen 𝛼 !

𝑠𝑒𝑛2 𝛼 +3

4= 1 ⟺ 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 1 −

3

4⟺ 𝑠𝑒𝑛2𝛼 =

1

4⟺

⟺ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = ± √1

4⟺ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = ±

1

2

Portanto, 𝒔𝒆𝒏 𝜶 = 𝟏

𝟐 ou 𝒔𝒆𝒏 𝜶 = −

𝟏

𝟐

𝒕𝒈 𝜶 =𝐬𝐞𝐧 𝜶

𝐜𝐨𝐬 𝜶



Apêndice

Formulário

Equação

sen β 𝒔𝒆𝒏 𝜷 =𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐

𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

cos β 𝒄𝒐𝒔 𝜷 =𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

tg β 𝒕𝒈 𝜷 =𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐

𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

Fórmula fundamental da trigonometria 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 = 𝟏

𝒕𝒈 𝜶 =𝐬𝐞𝐧 𝜶

𝐜𝐨𝐬 𝜶

Variante da fórmula fundamental da trigonometria 𝒕𝒈𝟐𝜶 + 𝟏 =

𝟏

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶

Outras fórmulas úteis (não são do programa):

Para qualquer triângulo

Lei dos senos 𝒔𝒆𝒏 𝜶

𝑨=

𝒔𝒆𝒏 𝜷

𝑩=

𝒔𝒆𝒏 𝜽

𝑪

Lei dos co-senos

(nota: o Teorema de Pitágoras é um caso particular da Lei dos co-senos, pois nesse caso 𝜶 = 𝟗𝟎° e 𝐜𝐨𝐬 𝟗𝟎° = 𝟎).

𝑨𝟐 = 𝑩𝟐 − 𝟐 × 𝑩 × 𝑪 × 𝐜𝐨𝐬 𝜶 + 𝑪𝟐

𝑩𝟐 = 𝑨𝟐 − 𝟐 × 𝑨 × 𝑪 × 𝒄𝒐𝒔 𝜷 + 𝑪𝟐

𝑪𝟐 = 𝑨𝟐 − 𝟐 × 𝑨 × 𝑩 × 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝑩𝟐

Fim

hipotenusacateto

oposto a

cateto adjacente a

triângulos e suas medidas trigonometria - · pdf fileresumos matematik setembro 2015...

Documents