treliças
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3 TRELIÇAS
3.1 Definição
Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O
ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados
unicamente nos nós.
Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um
mesmo plano.
Para se calcular uma treliça deve-se:
a) determinar as reações de apoio;
b) determinar as forças nas barras.
A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é:
vbn2
onde:
b= número de barras
n= número de nós
v= número de reações de apoio
Adota-se como convenção de sinais:
barras tracionadas: positivo
setas saindo do nó
barras comprimidas: negativo
setas entrando no nó
Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e
analíticos.
Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós,
abaixo exemplificado.
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3.2 Método do equilíbrio dos nós
Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de apoio.
No caso da treliça da figura, no
nó A tem-se um apoio móvel e no nó
B, um apoio fixo.
Como os apoios móveis
restringem somente deslocamentos os
perpendiculares ao plano do apoio,
tem-se uma reação vertical RA.
Como os apoios fixos
restringem deslocamentos paralelos e
perpendiculares ao plano do apoio,
tem-se uma reação vertical RB e uma
reação horizontal HE.
C
RA
A F
2 m
B
50 kN 100 kN
D
2 m
RE
E
2 m
HE
50 kN
Verificar se a treliça é uma estrutura isostática
barras b = 9
nós n = 6
reações v = 3
vbn2 Conclusão:
3962 a treliça é uma estrutura isostática
Cálculo do ângulo de inclinação das barras º452
2
adjacentecateto
opostocatetoarctg
a) Cálculo das reações de apoio
Equação de equilíbrio das forças na horizontal:
0HF conclusão: HE = 0
Equação de equilíbrio das forças na vertical:
0VF 05010050EA RR 200EA RR kN (1)
Equação de equilíbrio de momentos:
Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer
ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por exemplo o nó A como referência, tem-se
0AM 021004504 ER 4
400ER 100ER kN
Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se:
200100AR kN logo 100AR kN
b) Cálculo das forças nas barras
Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças
devem estar tracionando o nó (seta saindo). Como não se sabe a priori se as forças nas
barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor
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determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta
deve ser mudado.
Nó A
A
RA
N2
N1
0HF 02N
0VF
01100 N 1001N kN
Nó B
B
100
45°
N4
50
N3
0HF
0º45cos43 NN 503N kN
0VF
0º45450100 senN 7,704N kN
Nó C
N550
100
N6
C
0HF
0550 N 505N kN
0VF
06100 N 1006N kN
Nó D
45°
50
50
N7 N8
D
0HF
0º45cos750 N 7,707N kN
0VF
0º457,70850 senN 1008N kN
Nó E
100
100
EN9
0HF 09N
Nó F Verificação
45° 45°
100
70,770,7
0,0 0,0F
0HF
0º45cos7,70º45cos7,70 0 = 0 ok
0VF
0º457,70º457,70100 sensen 0 = 0 ok
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Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças
que agem nos nós D e E são iguais às dos nós B e A, respectivamente. Portanto, não há
necessidade de se calcular as forças nos nós D e E.
Resultados
NAB= -100 kN compressão
NAF= 0
NBC= -50 kN compressão
NBF= +70,7 kN tração
NCF= -100 kN compressão
NCD= -50 kN compressão
NDF= +70,7 kN tração
NDE= -100 kN compressão
NFE= 0 kN
C
RA
A F
2 m
B
50 kN 100 kN
D
2 m
RE
E
2 m
HE
50 kN
2. Calcular as forças em cada barra da treliça “mão francesa” da figura.
1.0
m
C
2.0 m
40 kN
AHA
1.0
m
E
2.0 m
D
20 kN
RB
HB B
Cálculo dos ângulos de inclinação das barras
º43,631
2arctg º56,26
2
1arctg
a) Cálculo das reações de apoio
0HF 40BA HH kN
0VF 020BR 20BR kN
0BM 01402402AH 60AH kN 20BH kN
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b) Cálculo das forças nas barras
Nó B
N2
N1
63.4°
20 kN
20 kN
B
0HF
022 senN 4,222N kN
0VF
0cos2120 NN 101N kN
Nó A
60
N3
100
26.6°
A
N4
10
0HF
0346 senNN
04,2246 senN 404N kN
0VF
0cos310 N 4,223N kN
Nó E
40 N6
E
N5
0HF 406N kN
0VF 05N kN
Nó D
26.6°
N7
40D
20
0VF
0720 senN 7,447N kN
0HF
0cos7,4440 sen 0 = 0 ok
Nó C
22,4 44,70,0
22,4
26.6° 40C
0HF
0cos7,4440cos4,22cos4,22 =0 kN
0VF
07,444,224,22 sensensen
10+10-20 =0 ok
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Resultados
NAB= +10 kN tração
NAC= -22,4 kN compressão
NBC= +40 kN tração
NBC= +22,4 kN tração
NCE= 0
NCD= +44,7 kN tração
NED= +40 kN tração
1.0
m
C
2.0 m
40 kN
AHA
1.0
m
E
2.0 m
D
20 kN
RB
HB B
Exercícios
1. Determine a força em cada barras das treliças ilustradas. Indique se cada barra está
tracionada ou comprimida.
1.
FAB = 8 kN C
FAC = 10 kN T
FBC = 8,545 kN T
C1.2m
A
9000 N
2.4m
0.9
m
B
A
400mm
B C
500mm
37
5m
m
1200 N
2.
FAB = 3 900 N T
FAC = 4 500 N C
FBC = 3600 N C
3.
FAB = FDE = FBG = FDI = 0;
FAF = FCH = FEJ = 400 N C;
FBC = FCD = 800 N C;
FBF = FDJ = 849 N C;
FBH = FDH = 283 N T;
FFH = FGH = FHI = FIJ = 600 N T
a a a
a
B C D E
G H I J
400 N 400 N 400 N 400 N
F
a
A
400 N
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �
27
2,7
m
9000 N
F
3,6m
E
2,7
m
DC
9000 N BA
4.
FAB = 9 kN;
FAC = 0;
FBC = 11,25 kN C
FBD = 6,75 kN T;
FCD = 18 kN T
FCE = 6,75 kN C;
FDE = 22,50 kN C
FDF = 20,25 kN T
5.
FAB = FDE = 8 kN C
FAF = FFG = FHE = 6,93 kN T
FBC = FCD = FBG = FDE = 4 kN C
FBF = FDH = FCG = 4 kN T
a a aa
30° 30° 30° 30°
G
C
F H
4 kN4 kN
A E
DB
FD E3,6 m 3,6 m
100 kN
A1,5 m
1,5 m
1,5 m
B
C6.
FAB = 130 kN T
FAD = 100 kN T
FAE = 130 kN C
FBC = 173,5 kN T
FBE = 50 kN T
FBF = 52,05 kN C
FCF = 33,35 kN T
FDE = 0
FEF= 1120 kN C
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