transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta ... · (1 2 1 s) (s) = x1 n=1 ( 1 )n 1...

Novos Talentos em Matemática

Transformadas aritméticas relacionadascom a função zeta de Riemann

Hélder Lima

Orientado por: Semyon Yakubovich

Programa Novos Talentos em Matemática

Transformadas aritméticas relacionadas com a função zeta de Riemann 1


Função zeta de Riemann (ζ(s))

ζ(s) =∞∑n=1

1ns,Re s > 1

ζ(s) =∏

p primo

1

1− 1ps,Re s > 1

(a igualdade entre as duas fórmulas acima pode ser vistautilizando o Teorema Fundamental da Aritméticae a expansão em série de Taylor da expressão dentro do produtório)

(1− 21−s)ζ(s) =∞∑n=1

(−1)n−1

ns,Re s > 0



Função zeta de Riemann (ζ(s))

A função zeta de Riemann satisfaz a seguinte equação funcional:

ζ(s) = 2sπs−1 sin(πs

2)Γ(1− s)ζ(1− s)

Esta equação vai nos permitir prolongar ζ(s), obtendo uma funçãoanalítica em todo o plano complexo, excepto no ponto s = 1onde a função ζ(s) tem um pólo simples.



Hipótese de Riemann (curiosidade)

A hipótese de Riemann é um dos Millenium Prize Problems.

É uma conjectura relacionada com a distribuição dos zeros de ζ(s),que diz que os zeros não triviais de ζ(s) se encontram todos narecta vertical s ∈ C : Re(s) = 1

2.

O problema reduz-se à faixa crítica: s ∈ C : 0 < Re(s) < 1.



Funções aritméticas

Função de Möbius (µ(n)):

µ(1) = 1

µ(n) = (−1)k , se n é o produto de k primos distintos

µ(n) = 0, se a decomposição de n como produto de primos contémalgum primo elevado a uma potência maior do que 1

Esta função tem a seguinte propriedade:

∀n > 1,∑d |n

µ(d) = 0




Fórmula de inversão de Möbius:A função de Möbius fornece-nos uma fórmula que relaciona duas funções fe g denidas no conjunto dos números naturais. Seja f uma funçãodenida para todo o n ∈ N e dena-se a função g :

∀n ∈ N, g(n) :=∑d |n

f (d)

Então temos que:

∀n ∈ N, f (n) =∑d |n

µ(n

d)g(d)




Função divisora de Dirichlet (d(n)):∀n ∈ N, d(n) denota o número de divisores (naturais) de n.Esta função pode ser generalizada por dk(n)(k ∈ N) que, para qualquern ∈ N, indica o número de formas diferentes de escrever n como o produtode k factores naturais.(d(n) = dk(n), para k = 2)




σa(n)(a ∈ C):

∀n ∈ N, σa(n) :=∑d |n

da

(d(n) = σa(n), para a = 0)

a(n) denota o maior divisor ímpar de n

Função de Euler(ϕ(n)):ϕ(n)=|m ∈ N : m ≤ n e (m, n) = 1|




ω(n) representa o número de factores primos distintos de n

Ω(n) representa a soma das potências de cada primo na decomposiçãoem factores primos de n

Se n =∏k

i=1 paii , com ∀1 ≤ i ≤ k : pi primo e ai ∈ N então:

ω(n) = k e Ω(n) =∑k

i=1 ai

Função de Liouville (λ(n)):λ(n) = (−1)Ω(n)



Identidades de Ramanujan

(ζ(s))2 =∞∑n=1

d(n)

ns,Re(s) > 1

(ζ(s))k =∞∑n=1

dk(n)

ns,Re(s) > 1 (k ∈ N)




1ζ(s)

=∞∑n=1

µ(n)

ns,Re(s) > 1

ζ(s)

ζ(2s)=∞∑n=1

|µ(n)|ns

,Re(s) > 1




ζ(2s)

ζ(s)=∞∑n=1

λ(n)

ns,Re(s) > 1

ζ(s)ζ(s − a)ζ(s − b)ζ(s − a− b)

ζ(2s − a− b)=∞∑n=1

σa(n)σb(n)

ns,

Re(s) > max1,Re(a) + 1,Re(b) + 1,Re(a + b) + 1




ζ(s)ζ(s − a) =∞∑n=1

σa(n)

ns,Re(s) > max1,Re(a) + 1

(ζ(s))2

ζ(2s)=∞∑n=1

2ω(n)

ns,Re(s) > 1




(ζ(s))3

ζ(2s)=∞∑n=1

d(n2)

ns,Re(s) > 1

(ζ(s))4

ζ(2s)=∞∑n=1

d2(n)

ns,Re(s) > 1




ζ(s − 1)

ζ(s)=∞∑n=1

ϕ(n)

ns,Re(s) > 2

1− 21−s

1− 2−sζ(s − 1) =

∞∑n=1

a(n)

ns,Re(s) > 2



Transformada de Mellin

f ∗(s) =

∫ ∞0

f (t)ts−1dt

Inversa:

f (t) =

∫ c0+i∞

c0−i∞f ∗(s)t−sds, c0 = Re(s)

f (t) =

∫Cf ∗(s)t−sds,C = s ∈ C : Re(s) = c0



Transformada de Möbius

C = s ∈ C : Re(s) = c0, c0 > 1

g(x) =12πi

∫Cζ(s)f ∗(s)x−sds =

∞∑n=1

f (xn)

Inversa:

f (x) =12πi

∫C

g∗(s)

ζ(s)x−sds =

∞∑n=1

µ(n)g(xn)



Transformada de Möbius

Composta:

Mk(g) =12πi

∫Cζk(s)g∗(s)x−sds =

∞∑n=1

dk(n)g(xn)

Inversa da Composta:

(Mk)−1(g) =12πi

∫C

g∗(s)

ζk(s)x−sds =

∞∑n=1

fk(n)g(xn),

com f1(n) = µ(n) e fk+1(n) =∑

d |n µ( nd )fk(d), ∀k ∈ N



Mais uma transformada...

C = s ∈ C : Re(s) = c0, c0 > 1

g(x) =12πi

∫C

(1− 21−s)ζ(s)f ∗(s)x−sds =∞∑n=1

(−1)n−1f (xn)

Inversa:

f (x) =12πi

∫C

g∗(s)

(1− 21−s)ζ(s)x−sds =

∞∑k=0

∞∑n=1

2kµ(n)g(xn)



Mais uma transformada...

Composta:

(M ′)k(g) =12πi

∫C

(1− 21−s)kζk(s)g∗(s)x−sds =

=∞∑n=1

k∑m=0

2m(k

m

)dk(n)g(xn2m)

Inversa da Composta:

((M ′)k)−1(g) =12πi

∫C

g∗(s)

(1− 21−s)kζk(s)x−sds =

=∞∑n=1

∞∑m=0

2m(m + k − 1

k − 1

)fk(n)g(xn2m)



Fórmula de Müntz

Observe-se a seguinte fórmula de Müntz que engloba a função zeta deRiemann (em que f é uma função arbitrária com propriedades adequadas):

ζ(s)

∫ ∞0

y s−1f (y)dy =

∫ ∞0

x s−1(∞∑n=1

f (nx)− 1x

∫ ∞0

f (v)dv)dx ,

com s ∈ C tal que 0 < Re(s) < 1



Fórmulas análogas à de MüntzCaso

ζ(s)ζ(2s)

Para s ∈ C tal que Re(s) = c0 > 1 temos que:

∞∑n=1

|µ(n)|f (xn) =12πi

∫c0>1

ζ(s)

ζ(2s)f ∗(s)x−sds

Mas, se tivermos 12< c1 < 1:

∞∑n=1

|µ(n)|f (xn) =12πi

∫c0>1

ζ(s)


=12πi

∫1

2<c1<1

ζ(s)

ζ(2s)f ∗(s)x−sds + res

s=1(ζ(s)

ζ(2s)f ∗(s)x−s)




ζ(s)ζ(2s)

Como as funções ζ(2s), f ∗(s) e x−s são analíticas no ponto s = 1 que, porsua vez, é um pólo simples da função zeta de Riemann, conclui-se queζ(s)ζ(2s) f

∗(s)x−s tem um pólo simples em s = 1 logo:

ress=1

(ζ(s)

ζ(2s)f ∗(s)x−s) = lim

s→1(s − 1)

ζ(s)

ζ(2s)f ∗(s)x−s

Note-se agora que ress=1 ζ(s) = 1 e que, como s = 1 é um pólo simples dafunção zeta de Riemann, tem-se que ress=1 ζ(s) = lims→1(s − 1)ζ(s).Então lims→1(s − 1)ζ(s) = 1.




ζ(s)ζ(2s)

Portanto, podemos calcular:

ress=1

(ζ(s)


s→1(s − 1)

ζ(s)

ζ(2s)f ∗(s)x−s =

=f ∗(1)x−1

ζ(2)=

6π2x

∫ ∞0

f (v)dv

Daqui se conclui que:

∞∑n=1

|µ(n)|f (xn) =12πi

∫1

2<c1<1

ζ(s)

ζ(2s)f ∗(s)x−sds +

6π2x

∫ ∞0

f (v)dv




ζ(s)ζ(2s)

Portanto:

12πi

∫1

2<c1<1

ζ(s)

ζ(2s)f ∗(s)x−sds =

∞∑n=1

|µ(n)|f (xn)− 6π2x

∫ ∞0

f (v)dv

Aplicando agora a transformada de Mellin obtém-se uma igualdade análogaà fórmula de Muntz:

ζ(s)

ζ(2s)

∫ ∞0

y s−1f (y)dy =

∫ ∞0

x s−1(∞∑n=1

|µ(n)|f (xn)− 6π2x

∫ ∞0

f (v)dv)dx




ζ2(s)ζ(2s)

Para s ∈ C tal que Re(s) = c1 > 1 temos que:

∞∑n=1

2ω(n)f (xn) =12πi

∫c1>1

ζ2(s)


Mas, se tivermos 12< c0 < 1:

∞∑n=1

2ω(n)f (xn) =12πi

∫c1>1

ζ2(s)


=12πi

∫1

2<c0<1

ζ2(s)

ζ(2s)f ∗(s)x−sds + res

s=1(ζ2(s)





ζ2(s)ζ(2s)

Como as funções ζ(2s), f ∗(s) e x−s são analíticas no ponto s = 1 que, porsua vez, é um pólo simples da função zeta de Riemann, conclui-se queζ2(s)ζ(2s) f

∗(s)x−s tem um pólo duplo em s = 1 logo:

ress=1

(ζ2(s)


s→1

d

ds(s − 1)2

ζ2(s)

ζ(2s)f ∗(s)x−s =

= ... =6π2x

∫ ∞0

(ln(A12v

2πx)− γ) f (v)dv

(em que γ é a constante de Euler-Mascheroni eA é a constante de Glaisher-Kinkelin)




ζ2(s)ζ(2s)

Daqui se conclui que:

12πi

∫1

2<c0<1

ζ2(s)

ζ(2s)f ∗(s)x−sds =

=∞∑n=1

2ω(n)f (xn)− 6π2x

∫ ∞0

(ln(A12v

2πx)− γ) f (v)dv

Aplicando agora a transformada de Mellin obtém-se mais uma igualdadeanáloga à fórmula de Muntz:

ζ2(s)

ζ(2s)

∫ ∞0

y s−1f (y)dy =

=

∫ ∞0

x s−1(∞∑n=1

2ω(n)f (xn)− 6π2x

∫ ∞0

(ln(A12v

2πx)− γ) f (v)dv)dx



Fórmulas análogas à de MüntzMais 2 casos

Com um raciocínio semelhante aos utilizados anteriormente obtemos mais2 igualdades análogas á fórmula de Muntz:

ζ3(s)ζ(2s)

∫∞0

y s−1f (y)dy =∫∞0

x s−1(∑∞

n=1 d(n2)f (xn)− R3) dx

ζ4(s)ζ(2s)

∫∞0

y s−1f (y)dy =∫∞0

x s−1(∑∞

n=1 d2(n)f (xn)− R4) dx

com:

R3 = ress=1

(ζ3(s)

ζ(2s)f ∗(s)x−s) =

12lims→1

d2

ds2((s − 1)3

ζ3(s)


R4 = ress=1

(ζ4(s)

ζ(2s)f ∗(s)x−s) =

16lims→1

d3

ds3((s − 1)4

ζ4(s)




Referências:

S. B. Yakubovich, Integral and series transformations via Ramanujan's

identities and Salem's type equivalences to the Riemann hypothesis

E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-function

O. I. Marichev, Handbook of integral transforms of higher

transcendental functions

T. M. Apostol, Introduction To Analytic Number Theory


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